65

CAPITOLUL V

STABILITATE

5.1 Stabilitate asimptotic

S considerm sistemul liniar = ( , , , )A B C D i comanda u, R= ttu ,0)( . Ecuaia de stare devine:

(5.1) 0 : &( ) ( ) , ( )x t Ax t x t x= =0 0 .

Fie x t x t x( ) ( , )= 0 soluia corespuztoare strii iniiale x0 (conform celor vzute

n Capitolul II, x t e xA t t( ) ( )= 0 0 ).

Pentru 0 starea x0 0= este o stare de repaus (o poziie de echilibru), ntruct dac x0 0= rezult c x t t t x( ) ( , )= = 0 0 0 pentru orice Rt .

Definiia 5.1

Sistemul 0 se zice stabil (relativ la starea zero) dac pentru orice > 0 exist > 0 astfel nct pentru orice x X0 cu || ||x0 < rezult c || ( )||x t < pentru orice t t> 0 .

Dac sistemul nu este stabil el se zice instabil.

Sistemul 0 se cheam asimptotic stabil dac este stabil i, mai mult, pentru orice

x X0 , lim ( )t

x t

= 0 .

66

Observaia 5.2 Situaiile de mai sus pot fi ilustrate dup cum urmeaz (pentru n=1)

Fig 5.1

Teorema 5.3

a) 0 este asimptotic stabil dac i numai dac toate valorile proprii ale matricii A au

parile reale negative ( ( )A C ).

b) Dac exist o valoare proprie 0Recu > , atunci 0 este instabil.

c) Dac orice valoare proprie a lui A are 0Re i exist cel puin o valoare proprie cu Re = 0 dar orice astfel de valoare proprie are multiplicitatea geometric 1 (adic este rdcin simpl a polinomului minimal al matricii A), atunci 0 este stabil, dar nu asimptotic stabil.

d) Dac exist o valoare proprie 0Recu = i aceasta este rdcin de ordin cel puin 2 a polinomului minimal al lui A (deci are multiplicitatea geometric >1), atunci 0 este instabil.

x0

-

-

x0

x

x0

stabil instabil asimptotic stabil

67

Demonstraie:

Matricea A are forma canonic $A

J

J

J

i

s

=

1O

O

, adic exist o

matrice nesingular (matricea de trecere) T astfel ca A TAT= $ 1 i Ji sunt celule Jordan,

J

m

i

i

i

i

i

=

11

1

O

O

O

6 74444 84444

. n acest caz soluia este x t e x Te T xAt At( ) $= = 0 1 0 i

e

e

e

e

At

J t

J t

J t

i

s

$=

1

O

O

cu t

i

m

tJ i

i

i e

t

t

tm

ttt

e

=

1!1

!21

!11

)!1(!2!11

2

12

O

O

O

.

Prin urmare deducem c:

a) x tt

n( )

0 R 0 t

tk iet pentru orice ,1 si = i = 1,0 imk

| |e i tt

0 e i tt

Re

0 < =Re , , i i s0 1 .

(n acest caz A se zice matrice stabil) b) Dac 0Recu > ii rezult c | |e i t t

, aadar x tt

( )

i deci

sistemul este instabil.

n cazul c), pentru valorile proprii cu pri reale strict negative | | Ret e t ek t k t

t

=

0 , deci funciile t ek t sunt mrginite, iar pentru

68

valorile proprii 0Recu = ( = i ) i multiplicitate geometric = 1 termenii corespunztori din soluia x(t) sunt de forma ei t , deci cu | |ei t = 1. Prin urmare elementele exponenialei e At rmn marginite, adic 0un pentru |||| > MMe At , deci x t M x( ) || || 0 (0 este stabil) , ns ei t t

// 0 .

n cazul d), pentru o valoare multipl de forma = i vom avea n x(t) componente de forma t ek i t i deoarece t e tk i t k

t

=

rezult c 0 este

instabil.

Definiia 5.4 Polinomul p z a z a z a z ann

nn( ) = + + + +

11

1 0K se numete polinom

Hurwitz dac i numai dac toi minorii principali ai matricii Hurwitz asociate

(5.2) H

a a

a a a a

a a a a a a

a

n

n n

n n n n

n n n n n n=

1

3 2 1

5 4 3 2 1

0

0 0 0 0 00 0 0

0

0 0 0 0 0 0

L

L

L

L L L L L L L L

L

sunt pzitivi, adic

(5.3) 1 1 2 13 2

0 0 0= > = > = >

aa a

a aHn

n n

n nn n, , , detK .

A. Hurwitz a dovedit c dac i i n =0 1, , , attunci numrul de rdcini cu

partea real pozitiv ale lui p(z) este egal cu numrul de schimbri de semn din irul finit

1 12

1

3

2 1, , , , ,

K n

n

. Folosind acest rezultat se poate demonstra:

Teorema 5.5 (Criteriul Routh-Hurwitz) Sistemul 0: &x Ax= este asimptotic stabil dac i numai dac polinomul

caracteristic al matricii A este un polinom Hurwitz.

69

Observaia 5.6 Dca p este un polinom Hurwitz, atunci coeficienii

a a a an n 1 2 1 0, , , ,K (adic elementele diagonalei principale a matricii Hn ) trebuie sa aib acelai semn cu an .

Exist o metod mai general i mai util pentru a studia stabilitatea unui sistem

liniar, fr a fi nevoie de studiul polinomului caracteristic/spectrului matricei A.

Teorema 5.7 Sistemul &x Ax= este asimptotic stabil dac i numai dac ecuaia algebric

(numit ecuaia Liapunov) (5.4) + = A P PA Q are o soluie real, simetric, pozitiv definit P pentru o matrice real, simetric, pozitiv

definit Q.

Demonstraie:

Necesitatea. Pentru orice Q >0 s considerm matricea

(5.5) P e Qe dtA t At=

0

; integrala este convergent (v. demonstraia Teoremei

5.3) deoarece elementele sale sunt de forma c t ek t unde 0, kc R

70

Se observ cu uurin c P este simetric, iar pentru orice x xn R , 0 avem

= >

x Px y Qydt0

0 (ntruct e At este nesingular, prin urmare y e xAt= 0 i deci

>y Qy 0 ).

Suficiena. S presupunem c exist P > 0 astfel nct + = A P PA Q pentru o matrice oarecare Q >0.

Fie o valoare proprie a lui A i fie v un vector propriu corespunztor valorii , adic Av v= .

Atunci Av v= (i deci ** vAv = ) pentru c matricea A este real.

Obinem succesiv: v A P PA v v Qv* *( ) + = v Pv v Pv v Qv* * *+ = < 0

+ < + 0)

71

Observaia 5.10 Ecuaia Liapunov (5.4) poate fi rescris ca o ecuaie liniar sub forma

(5.6) QPL ~~ =

unde ~P este vectorul coloan 2n - dimensional obinut aseznd coloanele lui P una sub

alta, ~Q este obinut n acelai fel din Q iar L este un operator liniar, L n n:R R2 2 de forma L A I I A= + .(Am notat cu njiij BaBA = ,1][ produsul Kronecker al

matricelor A i B.) Se poate arta c valorile proprii ale lui L sunt ij i j= + , unde

i j A i j n, ( ), , 1 , deci ij 0 pentru c Re i < 0 oricare ar fi i i deci L

este inversabil. Prin urmare (5.6) are o solutie unic pentru orice Q > 0. Un exerciiu util este demonstraia celor de mai sus pentru n=2.

5.2 Stabilitatea sistemelor discrete

Pentru comanda u cu u(t)=0, t=0, 1, ..., ecuaia de stare a sistemului liniar discret devine:

(5.7) : x t Ax t t( ) ( ) , , ,+ = =1 0 1 K i prin urmare

(5.8) x t A xt( ) = 0 . Teorema 5.11

i) Dac orice valoare proprie a lui A are modulul subunitar, | | < 1, atunci este asimptotic stabil.

ii) Dac exist ( )A cu | | > 1, atunci este instabil.

iii) Dac ( )A , | | 1 i orice valoare proprie cu | | = 1 are multiplicitatea geometric m=1, atunci este stabil (dar nu asimptotic stabil).

iv) Dac exist )(A cu | | = 1 i cu multiplicitatea geometric m >1, atunci este instabil.

72

Demonstraie:

Considerm T o matrice de tranziie astfel nct A TAT= $ 1 , unde

$A

J

J

J

i

s

=

1O

O

eset forma canonic Jordan a lui A

Obinem A TA Tt t= $ 1pentru orice t 0 , cu $A

J

J

J

t

t

it

st

=

1O

O

.

innd seama de faptul c J

m

i

i

i

i

i

=

11

1

O

O

O

1 24444 34444

pentru i s= 1, , sau

J I Ki i i= + , unde K

m

i

i

=

0 1

0 10

O O

1 244 344

, deoarece Ki2

0 0 1

0 0 10 0

0

=

O O O

,...,

Kim

=

1

0 0 10 0 0

0 0 0 0

L

L

L L L L, K Oi

m= i K I IKi i= , utiliznd formula binomului se

obine:

J I K I C K C K C Kit

i it

it

t it

i t it

i tm t m

imi i i= + = + + + +

( ) 1 1 1 2 2 1 1 1K .

73

Aadar elementele lui At sunt combinaii liniare de funcii de forma t dac m=1 sau de funcii de forma t j t dac m >1. n cazurile enunate deducem, respectiv:

i) | | < 1 =lim | |

t

j tt 0 , deci || ||x k 0 pentru c x t A xt( ) ( )= 0 .

ii) | | > 1 = lim | |

t

j tt .

iii) | | , | | = = = 1 1 1m t elementele lui At sunt mrginite, deci exist M >0 astfel

nct || || ,A M tt 0 . Atunci pentru orice 0> exist M = cu proprietatea c

|| || || ( ) || || || || | |x x t A x MM

t0 0< =

, deci este stabil (dar t / 0 ).

iv) Dac | | , = >1 1m , lim | | limt

j tt

jt t

= = , n consecin este instabil.

Observaia 5.12 Concluzia este c regiunile de stabilitate pentru valorile proprii ale matricii A sunt urmtoarele:

Observaia 5.13 Fie transformarea omografic Z zz

=

+

11

care transform discul unitate in

semiplanul stng:

(Z) ReZ

74

(ntr-adevr, avem z Zz Z z Z

z i Z ii

i

= =

= = = =

= =+

=

11 0 0 1

11

).

Fie i polinomul caracteristic al lui A

p z zI A a z a z a z a ann

nn

n( ) det( ) ( )= = + + + + = 1 1 1 0 1K . Rezult c toate valorile proprii ale lui A, adic rdcinile lui p(z) verific | | < 1 toate rdcinile ale lui p(Z(z)) verific Re < 0 numrtorul lui p(Z(z)) este un polinom Hurwitz, adic polinomul

(5.9) ( ) ( )z p zz

z az

za

z

za

z

za

n nn

n

n n

n

n

+

=

+

++

+ ++

+

1 11

1 11

11

111

1

1 1 0( )( )

( )( )

K

ndeplinete criteriul Routh-Hurwitz.

5.3 Stabilitatea sistemelor neliniare. Prima metod Liapunov

S considerm sistemul neliniar staionar:

(5.10) : & ( )x f x=

unde f C 2 i cu poziia de echilibru x , adic f x( ) = 0 .(n inginerie x este o stare ideal de operare a unei maini iar n economie o stare de echilibru economic.) Folosind substituia y t x t x( ) ( )= i notnd cu F y f y x( ) ( )= + obinem & & ( ) ( ) ( )y x f x f y x F y= = = + = i F f x( ) ( )0 0= = , aadar problema stabilitii poziiei

de echilibru x a sistemului & ( )x f x= este echivalent cu problema stabilitii sistemului & ( )y F y= relativ la starea zero.

n acelai mod se poate arta c problema stabilitii unei soluii periodice poate fi redus la stabilitatea relativ la originea spaiului X al strilor i astfel definiiile de la

nceputul capitolului referitoare la stabilitate, instabilitate i stabilitate asimptotic pot fi

extinse la sisteme neliniare de forma

75

& ( )x f x= , f ( )0 0= .

Definiia 5.14 Sistemul : & ( ) , ( )x f x f= =0 0 se zice asimptotic stabil relativ la origine ntr-o vecintate U a lui 0 dac este stabil i dac pentru orice x0 U ,

lim ( )t

x t

= 0 .

Dac U este o mulime mrginit este vorba de stabilitate asimptotic local, iar

dac U = Rn de stabilitate asimptotic global.

Exist o strns legtur ntre stabilitatea sistemului (5.10) i stabilitatea sistemului su liniarizat referitoare la starea de echilibru.

ntr-adevr, aplicnd formula lui Taylor n vecintatea unei stri de echilibru x avem relaia:

f x f x f x x x g x x f x x x g x x( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )= + + = + ,

unde )( ordinul de este )( xxoxxg (o funcie g este o(x) dac lim ( )x

g xx

=

00 ).

Notnd cu A matricea A f x= ( ) i cu e eroarea e x x= , sistemul liniarizat corespunztor lui se poate scrie sub forma

(5.11) : & ( )e Ae g e= +

Teorema 5.15 Sistemul (5.10) este asimptotic stabil in jurul strii sale de echilibru x , sau, echivalent, sistemul (5.11) este asimptotic stabil ntr-o vecintate a originii dac matricea A este stabil.

Demonstraie:

Deoarece A este stabil, exist o unic soluie P >0 a ecuaiei Liapunov

+ = A P PA I .

S consideram V t e t Pe t( ) ( ) ( )= (funcia Liapunov asociat).Atunci: &( ) &( ) ( ) ( ) &( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )),V t e t Pe t e t Pe t e t A Pe t g e t Pe t e t PAe t e t Pg e t= + = + + +

aadar

76

& ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))V t e t e t e t Pg e t= + 2 . Integrnd aceast relaie pe intervalul [0, T], T < , obinem

V T V e t dt e t Pg e t dtTT

( ) ( ) || ( ) || ( ) ( ( )) = + 0 2200

.

Deoarece 0>P rezult c |||||||||||||| yxPPyx . Prin urmare avem

,||))((||||)(||||||2)0(

|))(()(|2)0())(()(2)0(||)(||)(

0

00 0

2

+

++=+

T

TT T

dttegtePV

dttePgteVdttePgteVdtteTV

deci i

)0(||)(||||)(||||))((||||||21)( 2

0T .

Pentru > 0 suficient de mic s considerm vecintatea nevid (deoarece g este o(x)) a originii

0 avem

)0(||)(||||)(||||))((||||||21 2

0T ,

deci, trecnd la limit pentru T , vom avea i c lim ( )t

e t

= 0 .

77

5.4 A doua metod Liapunov

Fie sistemul

(5.12) : & ( ) , ( )x f x f= =0 0 , cu f x f x f xn( ) ( ( ), , ( ))= 1 K continu. Problema stabilitii se poate reduce la problema existenei i a determinrii unor

funcii cu proprieti speciale, numite funcii Liapunov, fr a fi nevoie de rezolvarea

efectiv a ecuaiei de stare.

Fie O o mulime deschis ce conine originea, nRO0 . S presupunem i c

f este continu pe O.

Definiia 5.16 O funcieV :O R se numete funcie Liapunov pentru dac: i) V este pozitiv definit pe O, adic V C V =1 0 0( ), ( )O i V x( ) > 0 pentru orice

x O \ { }0 .

ii) & ( ) grad ( )V x V f x 0 pe O . (ntr-adevr, pentru orice soluie x(t) a sistemului (5.12)

& ( ( )) ( ( )) & ( ) ( ( )) ( ( )) grad ( ( ))V x t Vx

x t x tVx

x t f x t V f x ti

ii

ii

n

i

n

= = =

==

11

).

Teorema 5.17 (teorema de stabilitate local) Dac exist o funcie Liapunov pentru , atunci sistemul este stabil.

Demonstraie: Fie O o mulime deschis cu 0 O Rn i V o funcie Liapunov pe O .

S considerm un numr pozitiv , suficient de mic pentru ca bila B x xn = 0 astefel ca x B V x m

78

Fig. 5.

Deducem c pentru orice stare iniial x B0 soluia x t t( ), 0 a sistemului

(5.12) ndeplinete V x t V x V x s dst

( ( )) ( ) & ( ( ))= + 00

i, folosind condiia ii), obinem c

V x t V x m( ( )) ( ) 0 suficient de mic nct B O .

Atunci exist > 0 astfel ca pentru orice x B0 soluia corespunztoare x(t) s se afle n B pentru orice t 0 .

Este suficient s artm c V x tt

( ( ))

0 (cum V x( ) > 0 pentru x O \ { }0

i V ( )0 0= ) pentru a obine c x tt

( )

0 .

S presupunem c V x t( ( )) / 0. Atunci ar exista un r ( , ]0 astfel ca V x t r t( ( )) 0 (deoarece din & ( ( ))V x t < 0 rezult c pentru t t1 2< avem V x t V x t( ( )) ( ( ))1 2> ). Cum )(grad)( xfVxV =& i 0)0( =f obinem c & ( ) grad ( )V V f0 0 0= = . S considerm atunci mulimea X x V x rr =

79

aa nct 0)( tXtx rC ). Cum V este continu i V x( ) > 0 pentru x O \ { }0 , V ( )0 0= , rezult c X r este o mulime deschis i conex ce conine originea. Atunci

complementara sa rXC este nchis, O BBX rC i rXC0 . ntruct &V este

continu pe O ( )(1 CV i )(0 Cf ), & ( )V x < 0 pe O \ { }0 , rXB C 0 rezult

c maximul de mai jos exist i este strict negativ, s zicem a :

0}),(max{ 0 pe ~ \ { }O 0 , atunci sistemul este instabil.

80

CAPITOLUL VI

REPREZENTRI N DOMENIUL FRECVENELOR

6.1 Matricea de transfer pentru sisteme continue

S considerm sistemul liniar continuu staionar = ( , , , )A B C D A n n R ,

B n m R , C p n R , D p m R , cu alte cuvinte sistemul dat de ecuaiile

( . )( . )

&( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

616 2

x t Ax t Bu ty t Cx t Du t

= +

= +

Convenind s notm transformata Laplace a lui x t( ) cu X s( ) , aadar

==

)]([...........

)]([)]([)(

1

tx

tx

txsX

uL

L

L i utilizm teorema de derivare a originalului

)0()()]([ xssXtx =&L , ecuaiile (6.1), (6.2) ce definesc se transform n

)()()()()()0()(

sDUsCXsYsBUsAXxssX

+=

+= .

S considerm starea iniial x( )0 0= . Rezult c ( ) ( ) ( )s I A X s BU s = i deci

pentru s A( ) X s s I A BU s( ) ( ) ( )= 1 , aplicaia de intrare-ieire (care caracterizeaz comportamentul extern) a sistemului devine

(6.3) Y s C s I A B D U s( ) [ ( ) ] ( )= +1 . Definiia 6.1 Mattricea p m cu elemente (componente) funcii

T s C s I A B D( ) ( )= +1 se numete matricea de transfer a lui Dac p m= = 1 (cazul scalar) T s( ) se zice funcia de transfer a lui .

81

Propoziia 6.2 Dou sisteme izomorfe au aceeai matrice de transfer.

Demonstraie:

Dac sistemele = ( , , , )A B C D i $ ( $ , $ , $ , $ ) = A B C D sunt izomorfe, atunci exist o matrice inversabil T astefel ca

$,$

,$

,$A T AT B T B C CT D D= = = = 1 1

Prin urmare matricea de transfer a lui $ este

T s C sI A B D CT sT I T T AT T B D$ ( ) $( $) $ $ ( ) = + = + = 1 1 1 1 1

= + = + = CT T sI A T T B D CT T sI A T T B D[ ( ) ] [ ( ) ]1 1 1 1 1 1

= + =C sI A B D T s( ) ( )1 .

Observaia 6.3

Fie p s s a s a s a s I An nn( ) ... det( )= + + + + =

11

1 0 polinomul carac-teristic

al matricei A , iar ( )*s I A adjuncta matricei s I A .

Deoarece elementele lui ( )*s I A sunt complementele algebrice ale elementelor transpusei matricei s I A , aceast matrice reciproc este o marice n n ale crei

elemente sunt polinoame de grad cel mult n 1. n consecin, dac D D =0 0( )

elementele T sij ( ) ale matricei T s p s C s I A B D( ) ( ) ( )*

= +1

sunt funcii rationale

avnd gradele numrtorilor mai mici sau egale (strict mai mici) dect gradele numitorilor, de aceea T s( ) se zice matrice de transfer proprie (strict proprie).

S remarcm c D T ss

=

lim ( ) , deoarece lim ( )

sC s I A B

=1 0.

Valorile proprii ale matricei A sunt rdcinile polinomului caracteristic p(s), deci sunt polii funciilor analitice care sunt elemente ale lui T s( ) i de aceea sunt numii polii sistemului .

82

Observaia 6.4 n capitolul II am gsit c aplicaia de intrare-ieire a pentru x( )0 0=

are forma ( )y t Ce Bu Du t dA tt

( ) ( ) ( )= + 0

, altfel scris

y t R t u d R u tt

( ) ( ) ( ) ( )( )= = 0

,

unde R t Ce B D tAt( ) ( )= + este matricea ponderilor lui . Conform teoremei de convoluie obinem aplicaia de itrare-ieire n domeniul frecvenelor ca fiind

)]([)]([)])([()]([)( tutRtuRtysY LLLL === ,

deci )()]([)( sUtRsY L= ; ns Y s T s U s( ) ( ) ( )= , sugernd c )]([)( tRsT L= .

Propoziia 6.5 Matricea de transfer a sistemului este transformata (imaginea) Laplace transform a matricei de rspuns la impuls, adic )]([)( tRsT L= .

Demonstraie:

Deoarece (pentru )}(|,|max{Re As > )

1

001+

0)(1!

!!][

=

==

==

=

= AsIsA

ss

kkA

ktA

e

k

kk

kk

k

k

kkAt

LL ,

obinem c

[ ] )()()]([][)( 1 sTDBAsICtDBeCtR At =+=+= LLL .

Observaia 6.6 (O explicaie a sintagmei domeniul frecvenelor.) S considerm sistemul (6.1) (6.2) i semnalul de intrare sinusoidal de frecven , adic u t u t( ) sin= 0 , unde u m0 R i ( )i A . Se poate arta c soluia ecuaiei de stare &( ) ( ) sinx t Ax t Bu t= + 0 este periodic. S cutm aceast soluie sub forma

x t x t x t( ) sin cos= +1 2 , x x n1 2, R . Din calcule obinem

83

x t x t Ax t Ax t Bu t1 2 1 2 0 cos sin sin cos sin = + + , aadar x1 i x2 verific

sistemul

x Axx Ax Bu1 2

2 1 0

0

=

=

nmulind prima ecuaie cu i i adunnd-o cu cea de-a doua obinem ( ) ( )i x ix A x ix Bu 1 2 1 2 0+ + = , sau ( )x ix i I A Bu1 2 1 0+ = , deci soluia cutat este x t i I A Bu t i I A Bu t( ) Re( ) sin Im( ) cos= + 1 0 1 0 , iar ieirea corespunztoare are forma

y t C i I A B D u t C i I A B u t

C i I A B D u t C i I A B D u t

( ) Re[ ( ) ] sin Im[ ( ) ] cosRe[ ( ) ] sin Im[ ( ) ] cos

= + + =

= + + +

10

10

10

10

,

adic

y t T i u t T i u t( ) Re ( ) sin Im ( ) cos= + 0 0 ,

unde T s( ) este matricea de transfer a sistemului . Aadar matricea T i( ) poate fi privit ca furniznd ieirea n funcie de frecvena i acesta este motivul pentru care

matricea T i( ) se numete rspunsul n frecven al lui ( T i( ) se mai numete i mulimea de transfer a lui ).

S observm c, dac sistemul este asimptotic stabil, deoarece

==

0)()]([)( dtetRtRsT stL , punnd s i= obinem c T i R t e dti t( ) ( ) =

0

, adic

T i( ) este transformata Fourier a matricei de rspuns la impuls.

De exemplu, n cazul scalar ( )p m= = 1 , T s( ) este o funcie raional. S notm cu r T i= ( ) i cu = Arg ( )T i , adic T i r i( ) (cos sin ) = + .

84

Atunci y t r u t r u t ru t( ) cos sin sin cos sin( )= + = + 0 0 0 , prin urmare T i( ) msoar raportul n aplitudine al ieirii fa de intrare, n timp ce Arg ( )T i msoar diferena de faz ntre cele dou micri periodice.

Exemplul 6.7

S determinm funcia de transfer (m = p = 1) al unui sistem liniar SISO ~ controlabil, n form canonic: ~ ( ~, ~, ~) = A b c , unde

(6.4) ,

10

00

~

,

10000

0010000010

~

12210

=

=

L

L

L

LLLLLL

L

L

b

aaaaa

A

nn

)0~( ],[~ 12210 == dcccccc nnL .

Polinomul caracteristic al matricei ~A este

p s sI A

s

s

s

a a a a s an n

( ) det( ~)= =

+

1 0 0 00 1 0 0

0 0 0 1

0 1 2 2 1

L

L

L L L L L L

L

L

.

Dac nmulim ultima coloan cu s i o adunam la penultima, apoi adunm

penultima coloan nmulit cu s la ante-penultima i aa mai departe, obinem

p s

p s p s p s p s p sn n

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

0 1 0 0 00 0 1 0 0

0 0 0 0 1

0 1 2 2 1

L

L

L L L L L L

L

L

,

unde

85

p s s an n = +1 1( ) ,

p s s a s an n n = + +22

1 2( ) ,...,

p s s a s an nn

22

13

2( ) = + + + K ,

p s s a s an nn

11

12

1( ) = + + + K

i p s s a s a s an nn

0 11

1 0( ) = + + + + K ,

deci: p s p s p sn n( ) ( ) ( ) ( ) ( )= =+ 1 11 1 0 0 , adic p s s a s a s an n n( ) = + + + + 1 1 1 0K .

Avem ns i

+

=

1

2

1

0

1000000

001000

)~(

n

n

as

as

as

as

AsI

L

L

LLLLLL

L

L

i calculnd deci ultima

coloan a adjunctei matricei )~( AsI obinem

( ~) * ~sI A bs

s

sn

=

1

2

1

L

Obinem aadar matricea de transfer (funcie de tranfer n cazul de fa) a siatemului

T s c sI A b cp s

sI A b( ) ~( ~) ~ ~ ( ) (~) * ~= = 1 1 , deci

(6.5) T s c s c s cs a s a s a

r s

p sn

n

nn

n( ) ( )( )=

+ + +

+ + + +=

11

1 0

11

1 0

K

K.

Reciproc, orice funcie raional strict proprie T(s) de forma (6.5) este funcie de transfer pentru un sistem liniar ~ ( ~, ~, ~) = A b c dat de (6.4). ~ se numete realizare a funciei (matricei) T s( ) .

86

Exemplul 6.8. S considerm sistemul ~ n forma canonic contriolabil (6.4), un vector ~ [ ]f f f fn= 0 1 1L (numit feedback sau conexiune invers) i un scalar g R ;

pentru comanda u f x g v= +~ aplicat sistemului ~ , ecuaia de stare devine vgbxfbxAubxAx ~~~~~~ ++=+=& , adic vgbxfbAx ~)~~~(= ++& , unde

~ ~~A b f

f a f a f a f a f an n n n

+ =

0 1 0 0 00 0 1 0 0

0 0 1 1 2 2 2 2 1 1

L

L

L L L L L L

L

Prin urmare, ca i in Exeplul 6.7,

det ( ~ ~~) ( ) ( ) ( )sI A b f s a f s a f p s f sn n n n = + + + = 1 1 1 0 0K , unde

f s f s f s fn n( ) = + + + 1 1 1 0K i deoarece ( ~ ~~) ~*sI A b f bs

sn

=

1

1M

, se obine

~( ~ ~~) ( )*c sI A b f b c s c s c r sn n = + + + = 1 1 1 0K . Aadar dac matricea de transfer a

sistemului = ( ~, ~,~)A b c este T s r sp s

( ) ( )( )= , atunci matricea de transfer a sistemului n

bucl nchis f A b f b g c= +( ~ ~~, ~ , ~) (Fig 6.1) este

T s r sp s f s gf ( )

( )( ) ( )= .

Fig. 6.1

v u x y

n g ~b ~c

~f Sistemul n bucl nchis f

87

Conform Propoziiei 6.3, o proprietate asemntoare poate fi enunat pentru un

sistem ( ) = A b c, , care nu este neaprat n form canonic controlabil i pentru feedback-ul f f T= ~ 1 .

6.2 Criteriul lui Nyquist

6.2.1 Sistemul n bucl nchis Considerm problema gsirii unei condiii pentru sistemul n bucl deschis

(sitemul iniial) care s asigure stabilitatea asimptotic asistemului n bucl nchis (sistemul cu conexiune invers). Fie 1 i 2 dou sisteme liniare avnd matricele de transfer strict proprii, cu toate

elementele ireductibile, date de

T s N s M s1 11

1( ) ( ) ( )= i T s N s M s2 2 1 2( ) ( ) ( )= , unde N M N M1 1 2 2, , , sunt matrice polinomiale de dimensiuni 11 nn , 21 nn ,

22 nn , respective 12 nn . Considerm sistemul (Fig. 6.2), conexiunea invers a sistemelor 1 i 2 , adic avnd. 12 yu = i 21 yuu = ( u u y y1 2 1 2, , , fiind intrrile,

rspectiv ieirile sistemelor 1, 2). Obiectivul nostru este s ne asigurm c n orice moment t diferena u y 2 este suficient de mic.

Fig 6.2

Transformatele Laplace ale intrrilor i ieirilor verific relaiile:

( )Y s T s U s Y s1 1 2( ) ( ) ( ) ( )= Y s T s Y s2 2 1( ) ( ) ( )= ,

1

T1 (s)

T2 (s)

u1 = u - y2 y1

u2 y2

u

2

_

88

deci

( )N s Y s M s U s Y s1 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )= , N s Y s M s Y s2 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )= ,

sau

N s M sM s N s

Y sY s

M sU s1 1

2 2

1

2

10

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

=

.

Aadar

Y sY s

N s M sM s N s

M sU s1

2

1 1

2 2

110

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

=

i prin urmare aplicaia intrare-ieire a sistemului (aplicaia intrare-ieire a sistemului cu feedback sau a sistemului cu conexiune invers) este

Y s IN s M sM s N s

M sU s1

1 1

2 2

1100

( ) [ ] ( ) ( )( ) ( )( ) ( )=

.

Polii lui sunt rdcinile ecuaiei caracteristice ( )s = 0 , unde

( ) ( ) ( )( ) ( )sN s M sM s N s

=

1 1

2 2; s notm mulimea acestor poli cu ( ( )) s .

Prin urmare sistemul n bucl nchis este asimptotic stabil dac i numai dac

( ( )) s C .

S considerm rezultatul nmulirii matricei caracteristice cu matricea

I M NI

1 21

0, care este inversabil (determinantul su = 1):

I M NI

N MM N

N M N MN

=

+

1 21 1 1

2 21 1 2

12

200

0 .

89

Calculnd determinantul acesteia obinem:

( ) det[ ]det det det det[ ]s N M N M N N N I N M N M= + = + 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 ,

prin urmare polinomul caracteristic al sistemului n bucl nchis este:

(6.6) [ ]( ) det ( ) det ( ) det ( ) ( )s N s N s I T s T s= +1 2 1 2 .

Observaia 6.9 Considernd sistemul n bucl deschis (Fig. 6.3)

Fig 6.3

obinem matricea de transfer

T s T s N s M s N s M s2 1 21

2 11

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= , aadar polii sunt rdcinile ecuaiei caracteristice 0 1 2( ) det ( ) det ( )s N s N s= . Dac bucla ar fi deschis la ieirea lui 1 (Fig 6.4), matricea de transfer ar fi T s T s1 2( ) ( ) .

Fig. 6.4

Fie T(s) produdul T s T s T s( ) ( ) ( )= 1 2 ; ieirea devine Y s T s V s1 ( ) ( ) ( )= . Diferena dintre semnalul V(s) aplicat ca intrare pentru dispozitivul 2 i ieirea lui 1 este atunci

T1 (s)

T2 (s)

y1

y2

1

2

_

_

T1 (s)

T2 (s)

y1

u2 y2

1

2

90

V s Y s I T s V s( ) ( ) ( ( )) ( ) = +1 i poart numele de diferen de retur. Matricea I T s+ ( ) se numete matricea diferenei de retur.

S notm elementele matricei T(s) cu t sij ( ) ; aadar t sij ( ) sunt funcii raionale cu

numitorul comun 0 ( )s . Determinantul matricei diferenei de retur este n consecin:

det ( ( ))( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )I T s

t s t s t s

t s t s t s

n

n n n n

+ =

+

+

1

1

11 12 1

1 1

1

1 1 1 1

L

L L L L

L

i avnd n vedere n primul rnd produsul elementelor de pe diagonala principal

obinem expresia: det ( ( )) ( )I T s K s+ = +1 , unde K(s) este o funcie raional strict

proprie K s L ss

n( ) ( )

( )=

0 1 (deoarece t s s

sij

ij( ) ( )( )=

0).

Prin urmare (6.6) devine

( ) ( ) ( ) ( )s s K s= +0 1 , unde

( ) ( ) ( )( )

s sL s

sn

= +

00

11.

Dar ( )s i 0 ( )s sunt polinoame, deci L(s) are forma

L s P s sn( ) ( ) ( )= 0 11 , cu P s s s( ) ( ) ( )= 0 .

Atunci K s L ss

P ssn

( ) ( )( )

( )( )= = 0 01

i rezult c

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( )s sP s

s

s P ss

= +

=

+0

0

0

01 .

6.2.2 Reziduuri logaritmice

Fie f o funcie uniform definit pe un domeniu nchis D C , exceptnd o mulime finit de poli { }z z Dp1 , ,K . S presupunem de asemenea c f are zerourile

91

{ } 1 , ,K n D (deci implicit c f nu are zerouri sau poli pe = D ). Fie pk ordinul polului zk i nk ordinul zeroului k . S notam cu P i cu N numrul total al polilor, respectiv numrul total al

zerourilor, adic

P pkk

p=

=

1

i N nkk

n

=

=

1

.

Fig 6.5

Funcia ( ) ( )( )zf zf z=

se numete derivata logaritmic a lui f , iar reziduurile

sale se numesc reziduurile logaritmice ale lui f . ntruct k este un zerou de ordin nk , exist o funcie g, analitic intr-o vecintate a lui k , astfel ca g k( ) 0 i ( )f z z g zk nk( ) ( )= . Atunci, ntr-o vecintate a zeroului k avem:

( ) (ln ( )) [ ln( ) ln ( )]( )( )z f z n z g z

n

z

g zg zk k

k

k=

= + =

+

.

Rezult c k este un pol simplu pentru (z) i c reziduul lui n k este nk ,

adic kk nzfzf

=

,)()(Rez pentru orice k zerou de ordin nk al funciei f .

z1

zp

1

n

92

Asemntor, dac zk este un pol de ordin pk pentru f avem f zg z

z zkpk

( ) ( )( )

=

,

prin urmare ( ) (ln ( )) ( )( )z f zp

z z

g zg z

k

k=

=

+

i deci kk pzzfzf

=

,)(

)(Rez .

S considerm acum integrala curbilinie a lui pe frontiera a domeniului D, cu orientarea standard (n sens trigonometric). Aplicnd acesteia teorema reziduurilor obinem:

=

= =

+= +

n p

kkk k

zzzidzz1 1

]),([Rez]),([Rez2)( pi

=

=

=

= 2

1 12pi pii n

kp

ki N Pk

n

kp

( ) .

Am demonstrat astfel

Teorema 6.10 Dac funcia f are proprietile enunate mai sus, atunci diferena dintre numrul total al zerourilor i numrul total al polilor lui f n domeniul D este dat de formula:

N Pi

f zf z dz =

+

12pi

( )( ) .

S notm cu Var [arg ( )]f z + variaia argumentului funciei f(z) cnd z parcurge

curba .

Teorema 6.11 (Variaia argumentului)

N P f z = +12pi Var [arg ( )]

Demonstraie:

Avem 12

12

12pi pi pi

i

f zf z dz i d f z i d f z i f z

= = ++ + +

( )( ) ln ( ) [ln ( ) arg ( )]=

93

=

12

12

12pi pi

pi

i

d f z d f z f zln ( ) arg ( ) Var [arg ( )]+

+ + =+

,

deoarece funcia ln ( )f z este uniform, deci variaia argumentului su este zero cnd z parcurge .

S considerm acum cazul unei funcii f care are n plus polii ~ , , ~z zm1 K pe

frontiera , poli de ordine respectiv ~ , , ~p pm1 K (deci n n umr total de ~ ~P pkk

m

=

=

1

).

Fig 6.6

Rezut tot ca mai sus c ~zk este un pol simplu pentru ( )( )( )z

f zf z=

i c

kk pzzfzf

~~

,)()(Rez =

; aplicnd de aceast dat teorema semi-reziduurilor obinem:

pi pi

( ) Res[ ( ), ] Res[ ( ), ] Res[ ( ), ~ ]z dz i z z zkk

i z zk

k kpn

km

+ = +

==

+

=

=211 1

=

=

=

=

= 21 1 1

2pi pi pi pii nk

pk

i pk

i N P iPkn

kp

kp

~ ( ) ~ .

Integrala

( )z dz+ este, ca de obicei, considerat n sensul valorii principale.

Folosind argumente asemntoare cu cele din demonstraia Teoremei 6.11 (dar considernd orientat n sens invers trigonometric) obinem:

~z1

z1

zp

1

n

~zm

94

Teorema 6.12

(6.7) P P N f z+ =

12

12

~ Var [arg ( )]pi

.

6.3.3 Criteriul lui Nyquist

Aa cum am artat n 6.2.1, sistemul n bucl nchis este asimptotic stabil dac i

numai dac rdcinile polinomului (s) sunt n semiplanul complex stng, de asemenea rdcinile lui (s) sunt zerourile lui . S considerm conturul n planul (s), contur format de semicercul C cu centrul n origine i aflat n semiplamul drept, segmente incluse n diametrul su i semicercuri

i din semiplanul drept centrate n polii lui K(s) de pe axa imaginar, ca n Fig. 6.7; presupunem de asemenea c semicercul C are raza R suficient de mare, iar semicercurile

i razele suficient de mici pentru ca toii polii lui K(s) din semiplanul drept s se afle n domeniul mrginit delimitat de contur. Cnd R i r 0 conturul considerat n

planul (s) include la limit ntregul semiplan drept; integrala pe conturul este mereu consierat n sensul valorii principale.

Fie imaginea conturului n planul complex (K) prin transformarea conform K K s= ( ) .

Fig 6.7 Fig 6.8

1

2

i

~P polii lui K(s) de pe axa imaginar

P polii lui K(s) Din semiplanul drept C

(s) (K)

-1

95

Fie NPP ,~, respectiv numrul de (incluznd multiplicitile) poli ai lui K(s) din semiplanul drept, de poli ai lui K(s) de pe axa imaginar si de zerouri ale lui 1+ K s( ) (deci ale lui ( )s ) din semiplanul drept.

Din (6.7) deducem c

( )12

1 12pi

Var [arg ( ) ] ~+ = +

K s P P N .

Sistemul este asimptotic stabil dac i numai dac N = 0, deci am obinut

Criteriul lui Nyquist

Sistemul n bucl nchis este asimptiotic stabil dac i numai dac

(6.8) ( )12

1 12pi

Var [arg ( ) ] ~+ = +

K s P P .

Funcia raional K(s) este strict proprie, deci are limita la infinit K() = 0, aadar pentru R suficient de mare avem:

( )Var [arg ( ) ] Var [arg ]1 1 0+ = =K s C C .

Mai mult, coeficienii fiind reali, exist o simetrie fa de axa real, deci pe axa

imaginar avem:

Var [arg ( ( ))] Var [arg ( ( ))]( ) ( ,0)1 10,+ = + K i K i .

i atunci

( )Var [arg ( ) ] Var [arg ( ( ))] ( )1 2 1 0,+ = + K s K i ,

iar formula (6.8) devine

(6.9) 12

1 12

120,pi

Var [arg ( ( ))] ~( )+ = + K i P P .

96

n planul complex (K) numrul 1+ K este asociat cu vectorul cu originea n punctul (-1, 0) i vrful pe conturul (Fig 6.8).

Aadar ( )12

1pi

Var [arg ( ) ]+

K s reprezint numrul T de rotaii complete ale

vectorului 1+ K n jurul punctului (-1, 0), cnd s descrie conturul iniial n sens invers trigonometric (dar rotaiile 1+ K sunt numrate n sens direct trigonometric).

Prin urmare putem reformula criteriul lui Nyquist:

Teorema 6.13 Sistemul n bucl nchis este asimptotic stabil dac i numai dac

T P P= + 12

~

.

Exeplul 6.14

Fie funcia de transfer a sistemului n bucl deschis

T s K s ss s

( ) ( ) ( )= =+

3 11

,

aadar cu numrul polilor C+ uor de observat, P = 1 i pe axa imaginar iR la fel de

uor, ~P = 1 .,

Avem, n consecin

T i ii i

i i

ii( ) ( )

( )( )( ) ( )

=

+

=

+ +

+=

++

+

3 11

3 1 11

41

1 312 2

2

2

i deci lim ( )

>

=

00

4T i , T i( )13

3= , T i i( )3 1 23

= , lim ( )

=T i 0,

aadar mulimea Nyquist (imaginea intervalului ( , )0 prin funcia T i( ) ) este curba din Fig 6.9.

97

-4 -1

(K)

1

1+K

(K)

Argumentul variaz ntre 2pi

i pi2 , deci

Var [arg ( ( ))] ( )1 2 2320,

+ = = K i pipi pi

.

Atunci relaia (6.9) devine 12

32

12

1 12pi

pi= +

, deci criteriul lui Nyquist este verificat,

prin urmare sistemul n bucl nchis este asimptotic stabil.

Fig 6.9 Fig. 6.10

Exemplul 6.15

Dac funcia de transfer n bucl deschis este

T s K s s

s s( ) ( )

( )= =

+

112

,

avem P = 0, ~P = 2, ns mulimea Nyquist (mulimea de transfer) (Fig 6.10) ne d:

Var [arg ( ( ))] ( )1 00,+ = = K i pi pi .

Cum P P+ =12

1~ , relaia (6.8) nu este ndeplinit, n consecin sistemul n bucl nchis

nu este asimptotic stabil.

98

6.3 Transformarea ZZZZ i legtura cu sistemele liniare discrete

6.3.1 Transformarea ZZZZ

Considerm transformarea Laplace a unei serii infinite de funcii Dirac translatate N ttx ),( , avnd drept coeficieni valorile funciei discrete f(t). Utiliznd integrala

Stieltjes obinem (ntruct

= )()()( tfdxtxtf )

=

=

=

==

=

00 00)()()()()()(

t

ppt

t

px

t

eFetfdxtxetftxtf L .

Funcia F e p( ) se numete transformata Laplace discret (sau transformata

Dirichlet) a funciei f. Dac notm cu z e p= i cu F z F e p*( ) ( )= obinem ZZZZ transformata (transformata ZZZZ). S definim riguros transformarea sugerat de cele de mai sus.

Definiia 6.16 O funcie f :Z C se numete original dac i) f (t)=0 , pentru t >M R0 0, astfel ca f t MR t( ) , t = 0, 1, (R este raza unui disc)

Definiia 6.17 Transformata ZZZZ a funciei original f, notat cu F z* ( ) sau cu ZZZZ [f(t)] este suma seriei Laurent

(6.10) F z f t z tt

* ( ) ( )= =

0

.

Propoziia 6.18 Seria (6.10) este convergent pentru Rz > (deci n afara discului

z R ) i uniform convergent n orice regiune z R R > .

serie convergent

R

R

serie uniform convergent

99

Demonstraie:

Penru z R>

=

=

=

0

)

00)()(

t

ttii

t

tt

t zRMztfztf

.

0

=

=

t

t

z

RM (folosind seria geometric)z

RM

=

1

1

Pe mulimea z R obinem, n acelai mod, c f t z M RR

tt

( )

. Deoarece seria

geometric RR

t

t

=

0

este convergent, conform criteriului de comparaie al lui

Weierstrass seria (6.10) converge uniform. Rezult c funcia F z* ( ) este analitic pe domeniul z R> . Exemplul 6.19.

Considerm funcia (irul)

=

=

0pentru ,10pentru ,0)(

t

ttf , -2 -1 0 1 2

Aceast funcie joac pentru sisteme i semnale discrete rolul pe care funcia Dirac l joac pentru cele continue, de aceea uneori este numit sometimes it is called funcia discret sau funcia Dirac discret.

11)(1)2(1)1()0()]([ 2 =+++++= KK tztf

zf

zfftfZZZZ .

Exemplul 6.20

Dac h(t) este funcia treapt unitate discret, adic

h tt

t( ) ,

, , , ,

=

1 obinem, folosind seria geometric:

111

11)]([

=

=

=

=

z

z

zot z

tht

ZZZZ .

Exemplul 6.21

Funcia putere

=

, folosind din nou seria geometric obinem

az

z

z

at z

azatp

t

t

tt

=

=

=

==

=

1

1

0)]([

0ZZZZ .

n cazul particular a e= obinem transformata ZZZZ a funciei exponeniale

[ ] ez zee tt == )(][ ZZZZZZZZ , pentru z e e> = Re .

Exemplul 6.22

Pentru funcia

=

+=

=

11 1 1

11 1 1 K .

Pentru a obine o list ct mai extins a transformatelor ZZZZ va trebui s evideniem

proprietile fundamentale ale transformrii ZZZZ.

Teorema 6.23 (liniaritate) Dac , C i f,g sunt funcii original cu razele R f i respectiv Rg , atunci pentru z R Rf g> max{ , ) avem

)]([)]([)]()([ tgtftgtf ZZZZZZZZZZZZ +=+ . Demonstraie:

)]()([ tgtf +ZZZZ =

=

=

=

=+=+000

)()()]()([t

t

t

t

t

t ztgztfztgtf

)]([)]([ tgtf ZZZZZZZZ += , seriile fiind convergente.

Exemplul 6.24

=

+=

2][cos

titi eet

ZZZZZZZZ (din liniaritate) =

( )=+= ][][21 titi ee ZZZZZZZZ (v. Exaemplul 6.12) =

+

=

12

z

z e

z

z ei i

( )=

+

++

=

+

z ze e

ze e

z

z z

z z

i i

i i

2

22

1 2 122

cos

cos.

n mod asemntor 1cos2

sin][sin 2 +=

zz

ztZZZZ ,

1ch2)ch(][ch 2 +

=

zz

zztZZZZ ,

1ch2sh][sh 2 +

=

zz

ztZZZZ ,

102

=+=+ ][cossin][sincos)][sin( ttt ZZZZZZZZZZZZ

=

+

+

z z

z z

( sin sin( ))cos

2 2 1

.

Teorema 6.25 (asemnare) Dac R este raza lui f i a 0 este un numr complex, atunci pentru z a R> ,

=

a

zFtfta *)]([ZZZZ

Demonstraie:

( )a f t a M R M a Rt t t t( ) = , prin urmare noua raz este a R . Avem

=

=

=

==

0 0*)()()]([

t t

ttt

a

zFa

ztfztfatftaZZZZ .

Exemplul 6.26

222 cos2)cos(

1cos2

cos

]cos[aazz

azz

a

z

a

z

a

z

a

z

ta t

+

=

+

=

ZZZZ .

n particular, pentru a e= ,

22 cos2

)cos(]cos[ezez

ezzte t

+

=ZZZZ .

Teorema 6.27 (ntrziere). Pentru n N ,

( )zFzntf n *)]([ =ZZZZ . Demonstraie:

=

==

0)()]([

t

tzntfntfZZZZ (folosind substituia tn = k )

103

= f t z z f k z f k zk n nk n

k k

kk n( ) ( ) ( )( ) +

=

=

=

= +

= 0

1(cum f k( ) = 0 pentru k < 0) =

= =

=

z f k z z F zn k nk

( ) *( )0

.

Teorema 6.28 (translaie, sau a doua teorem de ntrziere).

Dat fiind n N ,

=+

=

1

0)()(*)]([

n

t

tn ztfzFzntfZZZZ .

Demonstraie:

=

+=+0

)()]([t

tzntfntfZZZZ = (substituia t + n = k ) =

= =

=

=

=

=

f k z z f k z f k zk nk n

n k k

k

n

k( ) ( ) ( )( )

0

1

0z F z f t zn t

t

n

*( ) ( )

=

0

1.

Exemplul 6.29

)(1][][ 2

333

ezzez

zzeze tt

=

==

ZZZZZZZZ ,

ez

zezezez

ez

zzzezeeze tt

=

==+

3223322133 )1][(][ ZZZZZZZZ ,

11

1])1[(])1[( 111

+=

+==

zz

zzz tt ZZZZZZZZ .

Exemplul 6.30 (Funcie periodic uilateral).

Dac T N astfel nct f t T f t t( ) ( ) ,+ = N , s notm cu F zT* ( )

transformata restriciei la primul interval de lungime T, adic F z f t zT tt

T* ( ) ( )=

=

0

1.

104

Atunci F z f t z tt

*( ) ( )= =

0

= (din periodicitate) = f t T z tt

( )+ ==

0

(conform

Teoremei 6.28) = z F z F zT T( * ( ) ( ))* , deci

F zz F z

z

f t z

z

TT

T

T t

t

T

T* ( ) ( )

( )*

=

=

=

1 10

1

.

n locul derivatei unei funcii vom considera diferena de ordinul I a funciei f(t) definit prin

K,2,1,0,)()1()( =+= ttftftf i pentru orice n > 1 diferena de ordinul n definit recursiv prin

n nf t f t( ) ( ( ))= 1 .

Se poate arta c

n n k nk

k

n

f t C f t k( ) ( ) ( )= +=

10

.

Teorema 6.31

)0()()1()]([ * zfzFztf =ZZZZ .

Demonstraie:

()]()1([ =+ tftfZZZZ din liniaritate i translaie cu == )1n

= = z F z f F z z F z zf( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )* * *0 1 0 . Prin inducie se poate demonstra o generalizare a Teoremei 6.31,

=

=1

0

1* )0()1()()1()]([n

i

iinnn fzzzFztfZZZZ

Teorema 6.32 (derivarea imaginii )

[ ] ))(()( * = zFzttfZZZZ .

105

Demonstraie:

=

=

=

====

01

1

0

* )]([))(()))((())(())((t

t

t

t

t

t ttfzttfzttfzztfzzFz ZZZZ .

Exemplul 6.33

2)1(1)]([][

=

==

z

z

z

zzttht ZZZZZZZZ ,

322

)1()1(

)1(][][

+=

==

z

zz

z

zzttt ZZZZZZZZ ,

4

223

)1()14(][][

++==

z

zzzttt ZZZZZZZZ .

n locul integrrii unei funcii original vom folosi suma, definit prin

g t f t f kk

t( ) ( ) ( )= =

=

S

0

1 .

Teorema 6.34 Pentru | | max( , )z R> 1

1)()]([

*

=

z

zFtfSZZZZ .

Demonstraie:

g t g t g t f k f k f tk

t

k

t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + = =

= =

10 0

1 i g f k

k O( ) ( )0 0= =

/ .

Din Teorema 6.31

)0()()1()]([)]([)( ** gzGztgtfzF === ZZZZZZZZ , de unde G z F zz

**

( ) ( )= 1

.

Exemplul 6.35

Considerm funcia original dat de suma funciei original f ( )0 1= , f ( )1 2= , f ( )2 3= , f ( )3 4= , 40)( = ttf .

106

Rezult c 32* 4321)(

zzzzF = i deci

)1(432)]([ 3

23

=

zz

zzztfSZZZZ .

La fel, cum 2)1(][

=

z

ztZZZZ , (v. Exemplul 6.23),

32

1

0 )1()1(11][

=

=

=z

z

z

z

zk

t

kZZZZ .

Teorema 6.36 (Integrarea imaginii).

Dac f ( )0 0= , atunci

=

z

duu

uFt

tf )(*)(ZZZZ .

Demonstraie:

Pentru c F*(z) este analitic n domeniul z R> , uar seria sa Laurent este

uniform convergent n domeniul nchis z R pentru orice >R R , poate fi integrat

termen cu termen.

Prin urmare

F uu

duu

f t u du f t u duz

f tt

u

z

bt

tz

bt

b

t

t

z

b

t

*( ) ( ) ( ) ( ) =

= =

=

=

=

1 1

0

1

0 1

(deoarece f ( )0 0= ). Trecem la limit pentru b i, cum 1pentru 0 tb t , avem

=

=

t

tfz

t

tfduu

uF

t

t

z

)()(=

)(*1

ZZZZ .

Exemplul 6.37

+=

+=

+=

+=

zzz

u

u

uu

dut zz

t 11ln1

ln1

ln)1()1( 1

ZZZZ

(am folosit Exemplul 6.29).

107

S definim acum convoluia pentru funcii discrete:

(6.11) ( )( ) ( ) ( )f g t f k g t kk

t

=

=

0

(amintim c pentru cele continue ( )( ) ( ) ( )f g t f s g t s dst

= 0

).

Teorema 6.38 (Convoluie).

[ ] )(*)(*))(( zGzFtgf =ZZZZ pentru z R Rf g> max( , ) . Demonstraie:

F z G z f k z g m z f k g m zkk

m

m m

k m

k* ( ) * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=

= =

=

=

=

+

=

0 0 00

= (penru k+m=t) =

[ ]))(()()()()(00 0

tgfktgkfktgkfzt

kt

t

k

t=

=

=

=

= =

ZZZZZZZZ .

Teorema 6.39 (Produsul originalelor)

=

=

r

dzGFi

tgtf

pi *)(*2

1)]()([ZZZZ , unde R r zRf g

> > .

Demonstraie:

=

=

=

=

=

= r

kt

r

d

k

zkgt

tfi

dzGFi

pi

pi 0

)(0

)(21

*)(*21

=

==

=

f t g k z i dktk k t

r

( ) ( ) 1200

1pi

.

Dar =

==

=

r

tktktki

tkd

pi ).e.(i11,2

11,01, prin urmare rezultatul este

)]()([)()(0

tgtfztgtft

tZZZZ=

=

.

108

Exemplul 6.40

Folosind Exemplele 6.21 i 6.33, putem calcula pentru 1< , H(z) este i ea analitic iar limitele lui F*(z) i H(z) pentru z exist.

Atunci lim * ( ) ( ) lim ( ) ( )z

F z fz

H zz

f

= +

=0 0 .

n acelai mod se poate arta c

(6.12)

( )( )

fz

z F z f

fz

z F z f f z

f tz

z F z f k zk

t kt

( ) lim *( ) ( )

( ) lim *( ) ( ) ( )

( ) lim *( ) ( ) .

1 0

2 0 1

0

2 1

1

=

=

=

=

LLL

z

e

1 r

109

Teorema 6.42 (Valoarea final) Dac lim ( )

tf t

exist, atunci lim

Im

( ) *( )z

z

z F z

=

+10

1 exist de asemenea i

)(*)1(11

lim)(lim zFzzz

tft

>

=

.

Demonstraie:

Din Teorema 6.31 asupra diferenei avem [ ] )0()(*)1()( zfzFztf =ZZZZ . S calculm

( ) ( ) =

++

>

=+

>

=

>

=

0)()1()0(

11

lim)]([)0(11

lim)(*)1(11

limt

tztftfzfzz

tfzfzz

zFz

zz

ZZZZ

( )= + + =

f f t f tt

( ) ( ) ( )0 10

= (conform definiiei suma unei serii este egal cu limita

irului sumelor pariale, dac aceasta exist)= [ ]=

+ + + + + =lim ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

tf f f f f f t f t f t f t0 1 0 2 1 1 2 1K

=

lim ( )

tf t , care prin ipotez exist.

Exemplul 6.43

Fie funcia )()( tftg S= definit n Exemplul 6.35. Presupunnd c limita sa exist, obinem

lim ( ) lim ( ) *( ) lim ( )( )t

g tzz

z G zzz

zz z z

z z=

>

=

>

+

=

11

111

1 2 3 41

23 2

3 .

Determinarea originalului

S considerm acum problema aflrii originalului f(t) cnd cunoatem transformata ZZZZ a sa, F*(z).

110

Teorema 6.44 Dac F*(z) este o funcie analitic pe mulimea z R> , atunci exist o unic funcie original f(t), definit prin

(6.13)

=

=

K,1,0pentru ,)(*21

0 if, 0

)( 1 tdzzzFi

t

tf

Rrrz

t

pi

astfel nct )(*)]([ zFtf =ZZZZ .

Demonstraie:

Amintim c irul unic de coeficieni ai dezvoltrii n serie Laurent a unei funcii

analitice g n jurul unui punct singular izolat a al su este dat de formulele

+

= dzaz

zgi

cnn 1)()(

21pi

.

Deoarece

=

=

0)()(*

t

tztfzF , f(t) rezult a fi coeficientul pentru 0, == atn al

funciei )(*)( zFzg = , deci f ti

F z z dzt

z r

( ) *( )= =

1

21

pi , unde r R> , ceea ce ncheie

demonstraia.

Pe de alt parte, dac punctele singulare ale lui F*(z) sunt nj aaa ,,,,1 KK (toate evident n discul z R< ), aplicnd teorema reziduurilor obinem c

( )F z z dz i F z z atz r

t jj

n

* ( ) Res * ( ) ,=

=

= 1 1

12pi , deci originalul poate fi determinat i prin

formula

(6.14) f t F z z at jj

n

( ) Res ( * ( ) , )= =

11

.

S observm c dac z = 0 este pol pentru F*(z) este mai convenabil s scriem

funcia sub forma )(*)(* zGzzF k= , unde )(* zG este analitic ntr-o vecintate a lui

a = 0 i G*( )0 0 , s determinm originalul g(t) al acesteia din urm folosind Teorema 6.27 de ntrziere s scriem f(t) = g(tk).

111

Exemplul 6.45

Dac F z z

z*( ) =

2 1, originalul este

=

+

=

= >=

1,1

Rez1,1

Rez12

1)(22

1

12 z

z

z

zdzzz

z

itf

tt

r

rz

t

pi

( )= + = + = =

z

z

z

z

t

z

t

z

t

2 212

1 11 1

1( ) .

Pentru ( )F z z z* ( ) = 1

12 2 putem considera G z

z* ( ) =

112

, al crei original

este

( )

= >

0 2 2 1 11 2 1

if or if

.

Acum, deoarece )(*)(* 2 zGzzF = , din teorema de ntrziere obinem:

( ) ( )f t g tt

tt t( ) ( )

,

( ) ( ) ,= = , atunci exist o unic funcie f(t) , definit prin

(6.15)

=

=

=

+ ,

1 .

i (6.16) are loc deoarece f t ct( ) = .

Alte metode pentru obinerea transformrii inverse:

Folosirea relaiei (6.12); Descompunerea transformatei F *(z) ca o combinaie liniar de imagini (transformate)

simple (de exemplu n fracii simple nmulite cu z) i identificarea originalelor; Dezvoltarea lui F *(z) n serie Laurent n vecintatea lui z = .

6.3.2 Funcia de transfer pentru sisteme liniare discrete

S considerm mai nti sistemul liniar cu o singur intrare i o singur ieire

descris de ecuaia cu diferene

(6.17) a y t n a y t n a y t b u t n b u t n b u tn n n n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + + + + = + + + + + 1 0 1 01 1K K , unde Kia (unde K este corp), an 0. Presupunem c sistemul s-a aflat n repaus pentru t n , adic 0)()( == iuiy pentru ni .

Teorema de translaie 6.28 d

)(*)]([ zYzkty k=+ZZZZ , nkzUzktu k ,0,)(*)]([ ==+ZZZZ i deci (6.17) devine

115

( ) * ( ) ( ) * ( )a z a z a z a Y z b z b z b z b U zn n n n n n n n+ + + + = + + + + 1 1 1 0 1 1 1 0K K , de unde

Y zb z

a z

U zi

i

i

n

ii

i

n* ( ) * ( )= =

=

0

0

.

Prin urmare, funcia de transfer a sistemului SISO (6.13) este T zb z

a z

ii

i

n

ii

i

n( ) = =

=

0

0

.

Dac x tx t

x tn

( )( )

( )=

1M este un vector n-dimensional avnd componentele x ti ( )

funcii original cu razale Ri , pentru | | maxz R Ri n

i> = 1

putem defini transformata ZZZZ a sa:

==

)]([

)]([)]([)(

1*

tx

tx

txzX

nZZZZ

ZZZZ

ZZZZ M .

Aplicnd transformarea ZZZZ sistemului liniar discret

(6.18) x t Ax t Bu ty t Cx t Du t( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

+ = +

= +

1

i folosind din nou Teorema 6.28 de translaie obinem

( )z X z x AX z BU zY z CX z DU z

*( ) ( ) * ( ) * ( )* ( ) * ( ) * ( )

= +

= +

0,

deci ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

* *

* *

zI A X z BU z z x

X z zI A BU z z zI A x

= +

= +

0

01 1 i aplicaia intrare-ieire devine:

[ ]Y z C zI A B D U z z C zI A x*( ) ( ) * ( ) ( ) ( )= + + 1 1 0 . Dac starea iniial este x( )0 0= (poziia de echilibru) avem

[ ]Y z C zI A B D U z*( ) ( ) * ( )= +1 ,

116

aadar funcia de transfer a sistemului (6.18) este (6.19) T z C zI A B D*( ) ( )= +1 .

Notnd cu f(t) originalul corespunztor funciei e transfer T z*( ) , folosind Teorema de convoluie 6.38, obinem c aplicaia intrare-ieire n domeniul temporal are

forma:

y t f u t f k u t kk

n

( ) ( )( ) ( ) ( )= = =

0

.

Observaia 6.49 Cum T z C zI A B D D CA B z f t zt tt

t

t

*( ) ( ) ( )= + = + = =

=

1 10 0

,

rezult c

=

=

=

.,2,1pentru ,

0pentru , )( 1 KtBCA

tDtf

t

Observaia 6.50 S evideniem (ca i n Observaia 6.6) rspunsul n domeniul frecvenelor al unui sistem liniar discret SISO ce are aplicaia intrare-ieire (v. (6.19))

Y z T z U z* ( ) ( ) * ( )= .

Fie semnalul complex bilateral de intrare Z= tetu ti ,)( ( este frecvena acestuia n radiani). Atunci ieirea (rspunsul) sistemului este

y t f k u t k f k e e f k ek

i t k

k

i t i k

k( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )= = =

=

=

=

0 0 0

.

Dar deoarece T z f k z kk

*( ) ( )= =

0

, obinem

)()( * iti eTety = , adic )()(=)( * tueTty i .

Funcia T ei*( ) se numete rspunsul complex n frecven al sistemului liniar

discret. Acesta mai poate fi scris ca T e R ei i* ( )( ) ( ) = , unde R T ei( ) | ( )|* = este rspunsul n amplitudine iar ( ) Arg ( )*= T ei este rspunsul n faz al SL.