DISPOZITIVE DE SUSPENDARE SARCINI 5.1. CARLIGUL

Cârligul este elementul de prindere a sarcinii, standardizat în variantele simplu S şi dublu D. Tehnologic se obţine prin forjare liberă sau în matriţă şi prin laminare. Cârligele forjate simple se execută în 28 mărimi, iar cârligele forjate duble se execută în 22

mărimi. Se execută în patru clase de rezistenţă M, P, S şi T. Cele din clasa S şi T se utilizează numai în cazuri speciale şi pentru condiţii grele de lucru, când se impune o reducere importantă a masei cârligului.

Notarea cârligelor se face indicând: denumirea; tipul (simplu sau dublu); numărul modelului pentru definirea mărimii; lungimea cârligului funcţie de tip (L sau Lp); clasa de rezistenţă; STAS Exemplu de notare: Cârlig S 20 * 152,5 - P STAS 1944 / 84.

Cârligul va fi marcat vizibil din forjare, prin poansonare sau prin gravare cu: marca de fabrică,număr model, clasă de rezistenţă, an şi număr de fabricaţie, distanţele y (cârlig simplu) şi y1, y2 (cârlig dublu) necesare verificării la încărcarea cârligelor cu forţa de încercare. Cârligele lamelare se utilizează rar la echiparea mecanismelor de ridicare din cauza tehnologiei greoaie de obţinere şi apierderilor mari de material. Cârligele se livrează în mod obligatoriu cu dispozitive de siguranţă.Condiţiile tehnice generale de calitate pentru cârligele forjate utilizate la instalaţiile de ridicat sunt reglementate în STAS 1944-84. Mărcile de oţeluri utilizate depind de clasa de rezistenţă a cârligului.

5.1.1. Alegerea şi verificarea cârligului simplu Calculul cârligului simplu forjat se face cu o încărcare egală cu capacitatea de ridicare a

cârligului (sarcina nominală corespunzătoare grupei de funcţionare a mecanismului la care sunt utilizate) astfel (fig.5.2): determinare eforturilor unitare la tracţiune şi compresiune în secţiunea principală A-A' supusă încovoierii; determinarea efortului unitar de tracţiune în secţiunea B-B';determinarea efortului unitar de forfecare în filet.

În secţiunea principală de încovoiere eforturile unitare se determină în ipoteza că încărcarea acţionează în centrul de curbură al axei centrelor de greutate şieste suspendată pe o singură ramură de cablu. Considerând o secţiune x-x' normală pe axa cârligului, cârligul fiind încărcat cu sarcina Q după axa lui verticală, secţiunea este supusă acţiunii unei forţe Q şi a unui moment M. Descompunând forţa Q dupăcele două direcţii ( perpendiculară pe secţiune QN şi în planul secţiunii QT), forţa normală va da naştere unor solicitări de întindere iar cea tangenţială va produce solicita-rea de forfecare. Pe măsura apropierii de secţiunea A-A' în planul orizontal care trece prin centrul curburi cârligului, creşte atât momentul încovoietor cât şi forţa normală care devine maximă, deci secţiunea considerată este o secţiune periculoasă, care trebuie verificată din punctul de vedere al sarcinii statice..

Cârligul fiind o bară curbă, efortul unitar total este

rAM

rxx

k1

rAM

AQ

+++=σ (0.1) unde: M - momentul încovoietor; Q - sarcina curentă; A - suprafaţa

secţiunii de minimă rezistenţă; r - raza de curbură a secţiunii periculoase (distanţa de la centrul ei de

5555CAPITOLUL

Fig 5.2 Cârlig simplu

Instalaţii de ridicat şi transportat 32

greutate la centrul de curbură); k - coeficientul care ţine seama de forma secţiunii şi curbura barei; x - distanţa de la fibra în care se calculează efortul până la axa neutră a secţiunii considerate.

Distanţa x este negativă dacă fibra considerată se află între centrul de curbură şi axa neutră asecţiunii şi pozitivă pentru fibrele aflate dincolo de axa neutră. Momentul încovoietor se considerăpozitiv dacă tinde să micşoreze raza de curbură şi negativ dacă tinde să o mărească.

Pentru secţiunea periculoasă se obţine ( )1M Q r Q 0,5a x= − = − + (0.2)

unde: a - diametrul deschiderii cârligului; x1- distanţa de la axa neutră la baza mare a secţiunii. Se obţinem astfel expresia efortului într-un punct al secţiunii

rx

xk1

AQ

rxx

k1

rArQ

rArQ

AQ

+−=

+−−=σ (0.3)

Efortul unitar de tracţiune se obţine pentru x = -x1

ax2

k1

AQ 1

t =σ (0.4)

Efortul unitar la compresiune se obţine pentru x = x2

ha5,0x

k1

AQ 2

c +=σ (0.5)

unde: h - înălţimea secţiunii. x2 - distanta de la axa neutră până la baza mică a secţiunii. În secţiunea de minimă rezistenţă (B-B') supusă la tracţiune, diametrul ei este dat de relaţia

a

'BBQ4dσπ

= (0.6)

Sunt situaţii când tija cârligului nu are o poziţie verticală, fiind solicitată astfel şi la încovoiere. În calcule se ţine seama de această solicitare dată de poziţiile oarecare ale axei verticale a sarcinii, prin coeficientul de corecţie c aplicat efortului unitar admisibil σac = cσa.

În filet efortul unitar se determină, în primul pas al filetului în ipoteza că acesta preia jumătate din sarcină şi înălţimea secţiunii supusă la forfecare este jumătate din pasul filetului. Înălţimea piuliţei se determină din condiţia de rezistenţă a filetului la strivire astfel

2 2e i a

4 Q tH =π ( d - ) pd

(0.7) unde: t - pasul filetului; de, di - diametrul interior respectiv exterior al

filetului; pa - presiunea admisibilă (oţel pe oţel pa = 3...3,5 daN/mm2 ). Alegerea cârligului se face ţinând seama de: sarcina nominală admisibilă a mecanismului de

ridicare pe care-l echipează; grupa de funcţionare a mecanismului de ridicare pe care-l echipează; clasa de rezistenţă a materialului din care se confecţionează cârligul. Având aceste elemente din standarde STAS 1944-84 se alege cârligul corespunzător.

Coeficientul de formă al secţiunii se poate determina: din nomogramă cunoscând raza de curbură r, raportul r/x1 şi forma secţiunii; analitic

dArx

xA1k

2

1

x

x∫ +

−= (0.8)

care pentru o secţiune trapezoidală cu bazele b, b1 şi înălţimea h este

( ) ( ) ( )1 21 2 1

1 1

b b r e2k 1 b e r ln b bb b h h r c

− += − + + + − − + + ; (0.9)

33

c) grafic - Se desenează la scară secţiunea transversală care se analizează (fig.5.3). Se fixeazăsistemul axelor de coordonate. Axa absciselor se împarte în intervale egale sau nu. Pe verticalele

respective se iau produsele S = xy, unde x este distanţa de la punctul D la verticala corespunzătoare, iar valorile y reprezintămărimile respectivelor verticale delimitate de conturul secţiunii. Unind punctele rezultate se obţine suprafaţa f, putând determina abscisa centrului de greutate

Af=xc (0.10)

unde f este suprafaţa care se obţine prin planimetrare iar A este suprafaţa secţiuni analizate.

Din centrul de curbură O se duc dreptele di prin punctele de intersecţie a verticalelor construite cu conturul secţiunii. Prin

centrul de greutate se duc paralele gi la di. La intersecţia paralelelor cu verticalele construite se obţin punctele Pi pe care unindu-le printr-o linie continuă se obţin suprafeţele f1 şi f2 adiacente în punctul de abscisă xc (axa centrelor de grautate). Diferenţa suprafeţelor (f1 - f2) este întotdeauna negativă.

Coeficientul de formă al secţiunii se obţine din

( )

Aff2k 21 −−= . (0.11)

Pentru practică se consideră că axa neutră (fibra neutră) coincide cu axa centrelor de greutate. În realitate există o diferenţă determinată de

k1

krx1 += , (0.12)

unde r reprezintă raza de curbură a centrului de greutate. 5.2. OCHIURI Ochiurile echipează instalaţiile de ridicare cu capacitate mare de sarcină (de peste 1000 kN). Se

execută prin forjare în variantele: articulate (fig.5.4.a), sau rigide (fig.5.4.b). Ochiurile rigide sunt standardizate, alegerea lor se face în funcţie de sarcina maximă, şi se

verifică apoi la solicitările principale date de sarcină. Ochiul rigid (fig.5.4.b) este solicitat la încovoiere în partea inferioară. În funcţie de modul de repartizare al eforturilor care acţionează asupra ochiului rigid, acesta este static nedeterminat. Pentru partea inferioară a ochiului, cuplul se poate calcula cu o

relaţie aproximativă de forma 6LQM1 ≅ (0.13) iar pentru părţile laterale

13LQM2 ≅ (0.14) unde Q - este

greutatea sarcinii maxime de ridicat; - deschiderea ochiului, măsurată pe axa neutră. Efortul unitar maxim produs de solicitările la încovoiere şicompresiune în secţiunea cea mai periculoasă, CC (fig.5.4.b) a ochiului este dat de

Fig 5.3 Determinarea grafică acoeficientul de formă

xc

di

x

gi

O

f x

y x

y

Pif2

f1D

S=xy

x1

xn

Fig.5.4. Ochiuri pentru suspendarea şi manevrarea sarcinilor

x

QLQ2

Q2

Q2cos α

Qtg

2α

α

Q

R

LQ2

Q2

Q2cos α

Qtg

2α

α

x

e

a b

2

1

Instalaţii de ridicat şi transportat 34

σ≤σ a1

1

1

1e

AF+

WM= (0.15) unde: M1 - momentul încovoietor în secţiunea CC

xF+6

LQ=M 11 (0.16) ; F1 - forţa care produce solicitarea la compresiune

αtg2Q=F1 (0.17) W1 - modulul de rezistenţă al secţiunii eliptice a ochiului; A1 - aria secţiunii

considerate. Porţiunile laterale ale ochiului sunt solicitate în plus la tracţiune. Efortul unitar la tracţiune în secţiunea A - A se determină cu relaţia

σ≤α

σ at cosA2Q= (0.18)

unde A este aria secţiunii considerate. 5.3. MUFLA În cazul repartizării sarcinii pe mai multe ramuri de cablu se folosesc muflele care asigură

rotirea uşoară a cârligului. Ansamblul de piese suspendat în cablurile în care se montează cârligul se numeşte mufla cârligului. Mufla se compune din : cârlig; traversa muflei; pereţii laterali ai muflei ce susţin traversa şi axul rolelor de cablu; rola sau rolele de cablu; rulment axial; piuliţa cârligului cu sistemul de siguranţă împotriva deşurubării necontrolate.

În cazul palanelor cu număr par de role, sau al palanelor duble, pot fi folosite mufle scurtate (fig.5.5), care au avantajul unei înălţimi mai mici şi folosind cârlige cu tijă lungă, rolele de cablu se montează pe traversa cârligului. Traversa cârligului este solicitată la încovoiere (fig.5.6).

Traversa încărcată fiind cu sarcină nominală se verifică în cele două secţiuni periculoase A-A' şi B-B'.

Momentul încovoietor în secţiunea A-A este: 0'AA

dQ a c QM2 2 2 4

+= − (0.19)

iar modulul de rezistenţă: ( ) 21W b d h6

≅ − (0.20) Astfel efortul unitar normal în secţiunea A-A'

devine 'AA

'AA

M

Wσ = (0.21) În secţiunea B-B' se obţine

'BB' 3BB

1

32 M

dσ =

π(0.22)

unde: 'BB

Q aM2 2

= (0.23)

Fig.5.6 Traversă muflă

acb

d

Q

Q2

a+c

Q2

d0

Q2d 1

h

Q2

d0

Q

A'

A

B'

B

Fig.5.5 Ansamblu muflăa b c

1

24

35

6

35

Axa rolelor de cablu este solicitată la încovoiere (fig.5.7). Ţinând seama că nu se poate asigura repartizarea uniformă a presiunii în lungul butucilor rolelor, în cazul montării mai multor role pe axă se înlocuieşte aceastărepartiţie cu forţe concentrate acţionând în centrul rolelor. Momentul încovoietor maxim va fi

blQ a cM2 2 2

+ = −

(0.24) Modulul de rezistenţă pentru diametrul

d1 al axului are valoarea

3

1dW32π= (0.25)

Efortul unitar maxim la încovoiere este

( )b

bi 3 3

1 1

la cQ Q a c l2 2 32 322 d 4 d

+ − + − σ = =π π

(0.26)

Pentru evitarea strivirii materialului în cazul montării rolelor pe bucşe, se verifică şi presiunea

dintre acestea şi axă aa b

Qp pn d l

= ≤π

(0.27) unde n - numărul rolelor montate pe axă, pa-

presiunea admisibilă 0,5...1 daN/mm2. La mufla scurtă, traversa cârligului este în acelaşi timp şi axăpentru role (fig.5.8) determinând momentul:

−++⋅=

4d

2lc

2l

2QM b (0.28)

Traversa, respectiv axul rolelor, se fixează în scuturi (pereţi laterali) care sunt întăriţi prin platbande de otel (fig.5.9). De obicei se face numai calculul tiranţilor de oţel, neglijându-se scuturile care au o grosime relativ redusă, calculul rezultând din condiţia de rezistenţă la tracţiune

( )

AA '

BB'1

Q 1 ;2 bsQ 12 b d s

σ =

σ =−

(0.29)

Muflele cu mai mult de 6 role de cablu se utilizează mai rar pentru mecanismele de ridicare de uz general. Muflele cu un număr impar de role (trei sau mai multe) nu se utilizează decât în cazuri speciale, deoarece nu permit amplasarea la punct fix sau pe rola de egalizare a limitatorului de sarcină.

5.3.1. Traversa Un alt dispozitiv foarte frecvent folosit este traversa (fig.5.11), construită dintr-o grindă

metalică 1, care se prinde în cârligul mecanismului de ridicare, printr-un lanţ (cablu) 2, cu două ramuri. Sarcina este fixată de traversă prin legăturile 3 (lanţuri, cabluri sau dispozitive speciale).

Traversele sunt în general, organe de prindere a sarcinii detaşabile din cârlig cu ajutorul cărora se manipulează sarcini având dimensiuni mari.

Prin utilizarea traverselor, se realizează păstrarea echilibrului pieselor în timpul manipulării şi o utilizare raţională a lanturilor şicablurilor de legare.

Fig.5.7 Axul rolelor de cablu

d 1

ac ℓb

Q2

Q2

Fig.5.8 Traversă la muflă scurtă

Q2

Q2

ℓb ℓ

d

Q2

Q2c

12

3Fig.5.11 Traversă

Fig.5.9 Tirant

d 1

Q/2

b

s

A' A

B' B

Instalaţii de ridicat şi transportat 36

Funcţie de geometria sarcinilor manipulate distingem: ► traversa pentru manipularea ţevilor; ► dispozitive pentru manipularea grinzilor prefabricate; ► grinzi de egalizare ce se utilizează pentru sprijinirea sarcinilor

cu suprafaţă mare, eliminând pericolul basculării, alunecării, încovoierii cât şi posibilitatea asigurării unor unghiuri de suspendare;

► jug cu dispozitive de prindere pentru manipularea tablelor. 5.3.2. Cleşti de prindere Pentru manipularea sarcinilor în bucăţi mari, fără ochiuri de

agăţare se folosesc cleşti (fig.5.12) de diferite tipuri, la care strângerea sarcinii se realizează automat, sub acţiunea greutăţii proprii a acesteia.

Deschiderea se face de obicei prin lăsarea sarcinii pe un suport sau cu ajutorul unei pârghii speciale acţionate manual. Funcţionarea cleştelui este dictată de condiţia ca forţa de frecare între acesta şi sarcina ridicată să fie mai mare decât greutatea proprie.

Forţa de tracţiune în tirantul cleştelui va fi αcos2

Q=T (0.30)

Condiţia de reţinere a sarcinii se exprimă cu relaţia QN2 ≥µ (0.31)

Considerând un coeficient de siguranţă k se obţinem µ

=2QkN (0.32) Unde µ - coeficientul de

frecare între braţele de prindere a cleştelui şi sarcina de ridicat; ► k - coeficient de siguranţă (k=1,3...1,5). Forţa de strângere N se determină din condiţia de echilibru a braţelor cleştelui articulat în punctul O

02cNcosTtgasinTabN =µ−αβ−α− (0.33)

Înlocuind valorile forţelor T şi N se obţine

( ) 02c

2Qkcostgasina

cos2Qb

2Qk =

µµ−αβ+α

α−

µ(0.34) Rezolvând se obţine ecuaţia care reprezintă

condiţia de bază necesară pentru ridicarea sarcinii ( )

µ

=β+α2cbktgtga (0.35) Pentru ridicarea foilor

de tablă sau a pofilelor se utilizează cleşti cu strângere automată ( fig.5.13 ). Strângerea se realizeazăîntre una din fălcile cleştelui formată din cadrul 1 şi piesa excentrică 2. Cleştele se prinde în cârligul dispozitivului de ridicare prin elementul 3. Considerând µ1 şi µ2 coeficienţii de frecare pe cele douăsuprafeţe de contact, forţa totală de frecare se determină cu relaţia

αµµ

µµtg

)+(Q=)+(N=F 21

21f (0.36)Condiţia de reţinere a

sarcinii este µµ≤α≥ 21f +tg;QF (0.37)

Varianta de actualitate a cleştelui o reprezintă mâna mecanică, utilizată în construcţia manipulatoarelor şi a roboţilor industriali. Pentru mâna mecanică cu acţionare hidraulică

(fig.5.14), condiţia de reţinere a sarcinii este

b

Q

TTcosα

α

a

N

µN

c

Fig.5.12 Cleşte de ridicare

Fig.5.14 Dispozitiv cu acţionare hidraulică

N1

-N1

N2

N2

αF

ℓ1 ℓ2

Fig.5.13 Cleşte automat Q

31

NS

2

Q

37

µ

≥⇒≥µ= GNGNF 22f (0.38) Din condiţia de echilibru a braţelor în articulaţiile acestora se obţine

1

221 l

lNN = (0.39) unde ℓ1şi ℓ2 reprezintă lungimile proiecţiilor braţelor faţă de articulaţie.

Condiţia de ridicare a piesei în acest caz este )+(tgN=F 1 βα (0.40) Cunoscând valoarea forţei F, se pot dimensiona componentele mâinii mecanice. Alegerea

variantei constructive a mâinii de prindere şi a modului de acţionare se face în funcţie de forma şigreutatea sarcinilor manipulate .

5.3.3. Electromagneţii de sarcinăElectromagneţii se utilizează pentru manipularea materialelor cu proprietăţi magnetice de

forme şi dimensiuni variate, fiind organe de prindere a sarcinii, în general detaşabile din cârlig (fig.5.15).

Se pot prinde la cârlig fie direct fie prin intermediul unor traverse, caz în care se prind mai mulţi electromagneţi în vederea manipulării materialelor cu suprafeţe plane mari (tole). Prinderea directă a sarcinii conduce la reducerea duratei ciclului de lucru şi a personalului de deservire.

În anumite situaţii pentru a evita căderea sarcinilor se utilizeazăelectromagneţi cu ghiare. Aceştia nealimentaţi au fălcile desfăcute sub propria greutate. La alimentarea bobinei electromagnetului, capetele superioare ale fălcilor sunt atrase spre electromagnet astfel capetele

inferioare se apropie realizând prinderea materialului. Alimentarea cu energie electrică aelectromagneţilor de sarcină se face numai în curent continuu, de la un redresor propriu montat pe mecanismul de ridicare sau de la o sursă de curent continuu independentă de mecanism. Cablul de alimentare al electromagnetului de sarcină se înfăşoară pe un tambur cu mişcare de rotaţie sincronă cu cel al cablului de tracţiune. Evitarea accidentelor determinate de întreruperea alimentării cu energie electrică, impune prevederea cu baterii de acumulatori care să asigure funcţionarea până la depunerea sarcinii. Locul de manipulare se va îngrădi, accesul fiind prevăzut cu contacte electrice de siguranţă în schema de comandă a mecanismului. Principalul avantaj îl constituie automatizarea operaţiilor de prindere şi desprindere a sarcinii. Dezavantajele esenţiale ale electromagneţilor constau în : scăderea capacităţii utile de ridicare datorită greutăţii proprii; variaţii în limite largi a forţei portante a electromagneţilor în funcţie de forma, dimensiunile, compoziţia chimică, temperatură, etc.

Din punct de vedere constructiv, electromagneţii de sarcină trebuie să suporte şocurile mari produse de sarcinile atrase şi să permită o demagnetizare rapidă la desprinderea sarcinii. Evitarea magnetismului remanent se face prin inversarea sensului curentului în bobina electromagnetului.

Manipularea sarcinilor neferoase cu suprafeţe plane se face, cu ajutorul dispozitivelor pneumatice. Datorită vidului creat între garnituri şi piese cu ajutorul pompei de vid, piesa rămâne fixată la dispozitivul de ridicare.

Pentru manipularea sarcinilor în vrac se utilizează cupe autodescărcătoare de diverse forme şicapacităţi. Încărcarea se face manual şi descărcarea automat prin răsturnare, deschiderea fundului sau a uşilor laterale. Dispozitivul de golire trebuie să nu se deschidă necomandat, să permită golirea completă şi să dea posibilitatea reglării vitezei de golire, deoarece o golire bruscă provoacă şocuri puternice.

Fig.5.15 Electromagnet

Instalaţii de ridicat şi transportat 38

Graifărele sunt dispozitive cu încărcare şi descărcare automată. Ţinând seama de modul de acţionare pot fi acţionate cu: cablu (unul, două sau patru cabluri de comandă), cu electromotor şihidraulice. Construcţia cupelor diferă de la un tip la altul funcţie de destinaţia acestora.

Graifărele cu un cablu sunt cele la care operaţiile de ridicare, coborâre sau închidere deschidere sunt realizate de organul flexibil de tracţiune. Graifărele bicablu (fig. 5.16) au cea mai mare utilizare datorită construcţiei simple şi a productivităţii mari comparativ cu celelalte tipuri.

Graifărul bicablu se compune din cupele 1, suspendate prin tiranţii 2, articulaţi la traversa superioară 3. Cupele sunt articulate în punctele A şi B ale traversei inferioare 4. Acţionarea graifărului se realizează prin intermediul unui troliu cu două tobe; pe toba 9 se înfăşoară cablul de ridicare 5 fixat la traversa superioară, iar pe toba 10 se înfăşoară cablul de închidere 6, legat prin rolele 7 şi 8 la traversa superioară şi inferioară. Cablul de închidere a cupelor străbate liber traversa superioară 3 şi se înfăşoară pe tamburul de cablu 10. Deschiderea sau închiderea graifărului se face în orice poziţie, prin

frânarea tamburului de ridicare şi desfăşurarea sau înfăşurarea cablului de închidere. Ridicarea sau coborârea graifărului se face înfăşurând sau desfăşurând simultan ambele cabluri cu aceiaşiviteză, menţinerea vitezei egale fiind absolut necesară pentru buna funcţionare a graifărului.

Închiderea deschiderea graifărului se poate face prin intermediul unui palan simplu sau dublu. Suspendarea graifărului pe două ramuri de cablu măreşte stabilitatea în funcţionare.

Înfigerea cupelor în material se produce sub acţiunea greutăţii proprii a graifărului astfel că graifărul cu o greutate mai mică decât cea necesară pentru manipularea unui material va aluneca pe suprafaţa acestuia şi nu se va umple, iar cel cu o greutate prea mare se va înfunda în material.

Graifărul hidraulic (fig.5.20), se compune din traversa superioară 1, traversa inferioară 2, cupele 3, montate articulat la traversa inferioară, tiranţii 4 şi cilindrul hidraulic 5 pentru

acţionarea cupelor. Asigură închiderea şi deschiderea cupelor în orice poziţie cu ajutorul unui cilindru hidraulic.

În vederea manipulării unor sarcini în vrac cu granulaţie mărită (şpan) se utilizează graifărele polip.

Platformele sunt dispozitive de susţinere a sarcinilor, detaşabile din cârlig. Au o largăutilizare în porturi la încărcare şi descărcare. Se execută din metal sau lemn fiind în general prevăzute cu patru lanţuri de legare, unite într-un ochet care

se prinde la cârligul macaralei. Prezintă avantaje din punct de vedere al tehnicii securităţii muncii cât şi al protecţiei sarcinii transportate. Au însă dezavantajul unui gabarit mare

Fig.5.16 Graifăr bicablu

Tβ

Pa

Gi

Fi

HBHA

P

T

Fr

1

2

3

54

6

8

7

9

10

Fig.5.20 Graifer hidraulic

1

543

2

Fig.5.18 Explicativă calcul graifăr bicablu

Fi2

G Q2 2

+ ξ

α

Gi2

β

P

a

b

H

c