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MEC 2240 Diseo Mecnico
CAP. 5 DISEO DE MIEMBROS EN TORSIN OBJETIVOS: TEMAS: 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9. 5.1. Teora de torsin simple Deformacin angular Tensin de torsin Mdulo de rigidez Tensin de torsin admisible Mdulo de seccin polar Deformacin angular admisible Potencia transmitida por los ejes Diseo de miembros en torsin Demostrar la ecuacin de la tensin de torsin, su aplicacin y diseo de miembros sometidos a tensiones de torsin
Teora de torsin simple Un par de torsin es un momento que tiende a hacer girar a un miembro con respecto a su eje longitudinal. Hibbeler
Los esfuerzos de torsin se los encuentra sobre todo en elementos giratorios como los ejes de las maquinarias. Cuando se somete a una pieza a un momento torsor, en la misma se crea un ngulo de torsin que vara proporcionalmente a la longitud del eje, por lo que el tamao de la pieza es fundamental para obtener una relacin de la deformacin de la misma, as por ejemplo en la figura de lado, se ve un eje antes de ser sometido a un momentos torsor. En la figura de abajo se tiene la misma pieza sometida a un torsor que la deforma haciendo rotar su estructura formando el ngulo de rotacin.
Docente: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana
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5.2
Deformacin angular
Observando las figuras anteriores se puede concluir lo siguiente:
Los puntos n-n dan la relacin:
nnDonde: = deformacin por cortante = Angulo de Torsin
x
= Radio o distancia hasta el punto de anlisis. X = Distancia o longitud del elemento La ecuacin anterior nos presenta una relacin entre la longitud del elemento y su deformacin angular debido a un momento torsor. Normalmente cuando se calcula en eje a torsin se verifica que este resista un torsor determinado y que no exceda una deformacin pedida.
5.3
Tensin de torsin
Si un miembro de seccin circular est sujeto a cargas de torsin, se producen fuerzas cortantes; el producto de estas fuerzas cortantes por sus respectivas distancias al eje de la flecha producen los momentos cuya suma es el torsor resistente al torsor impuesto externamente. Algunos enunciados que se pueden formular para obtener las relaciones de las tensiones de torsin pueden ser: 1. La seccin de flecha es plana antes de la torsin y continua plana despus de la torsin (este hecho solo se da en secciones circulares) 2. El dimetro de la flecha no vara durante la carga. 3. Los esfuerzos estn dentro el rango elstico.
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4. Las deformaciones por cortante varan linealmente desde cero en el centro del eje hasta un mximo en el extremo radial del mismo. Por cuanto si suponemos que la tensin en el borde del eje es max y las tensiones en cualquier punto del eje son , se puede exponer la siguiente relacin:max c
De ah se puede colegir que la fuerza en un punto determinado ser:F dA max c dA
Multiplicndolo por el radio dar:F max 2
dT
c
dA
Integrando: T
1 dT
0
max 2 dA c 0
c
T
max 2 dA c 0
c
La integral por definicin es el momento polar de inercia, por tanto:max Ip c
T
Escrito de otra manera:max T c Ip
Donde:
T= Momento torsor c=Distancia al punto mas alejado Ip= Momento polar de Inercia
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Ejercicio 5.1 Determinar el par interno de las secciones indicadas:
Ejercicio 5.2 5.2.1 Determinar el esfuerzo cortante mximo en un eje de 2 pulg. de dimetro; el par aplicado es de 800 lb-pies.Deje := 2inTor := 800lbf ft
Calculando el momento de inercia: Deje 324
Ip :=
Ip = 65.381cm
4
el esfuerzo cortante mximo es:max Tor c IpTor max :=
Deje 2
Ip
max = 429.684
kgf cm2
5.2.2
Un eje macizo de latn de 90 mm de dimetro tiene un esfuerzo cortante admisible de 8000 lb/pulg2. determinar el par mximo que puede resistir el eje.adm := 8000 lbf in4 2
Deje := 90mm4
Ip :=
Deje 32
Ip = 644.12cm
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Tor
adm c
Ip
Tor :=
admDeje 2
Ip
Tor = 7895.26N m
5.3.1
Tensin de torsin en ejes huecos
Revisando la ecuacin de la tensin, se puede encontrar que el esfuerzo es susceptible a las variaciones del momento polar de inercia; mas cuando trabajamos con ejes huecos el momento de inercia sufre pequeas variaciones respecto de un eje macizo, y por el contrario, el peso del elemento disminuye considerablemente, por cuanto se puede aprovechar esta propiedad para obtener elementos mas livianos con buenas propiedades de resistencia. Ejercicio 5.3.1 Comparar la resistencia de una flecha de acero de 4 in de dimetro con otra flecha hueca de 4 in de dimetro exterior y 2 in de dimetro interior; el esfuerzo cortante admisible es 10000lbf/in2. Comparar los pesos de los ejes si estos tiene 1 pie de longitud. Solucin para eje MacizoDe := 4in De 32 admDe 2 4
adm := 10000
lbf in2
acero := 7.45
kgf dm3
Ip :=
Ip = 1046.1cm
4
Tor :=
Ip
Tor = 14198.09N m
wmacizo :=
De 4
2
1ft acero
wmacizo = 18.41kgf
Solucin para eje huecoDe := 4in De Di 4 4
Di := 2in
Ip :=
32 admDe 2
Ip = 980.72cm
4
Torhueco :=
Ip
Torhueco = 13310.71N m
2 2 whueco := De Di 1 ft acero 4 Docente: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana
whueco = 13.81kgf
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En Torsor resistenteTorhueco Tor
100 = 93.75
en pesowhueco wmacizo 100 = 75
5.4 Mdulo de rigidez Cuando se aplica un momento torsor sobre un eje, esta produce una tensin de corte adems de un ngulo de deformacin. Esta relacin es directamente proporcional pues tal como en esfuerzos de traccin sigue la ley de Hook. La relacin de proporcionalidad se la denomina como modulo de rigidez o Mdulo de elasticidad a cortante. G
5.5
Angulo de Torsin
Al igualar las dos definiciones de esfuerzo cortante en torsin se puede obtener la ecuacin del ngulo de torsin, en la que relaciona el momento torsor, con la longitud del eje y las propiedades del material, constituyndose una ecuacin base para el diseo de flechas. Tor R Ip
G R L G R LTor L Ip G
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Ejercicio 5.5.1 El eje BC es hueco y sus dimetros interior y exterior miden 90 mm y 120 mm repsectivamente. Los ejes AB y CD son slidos y su dimetro es "d". Para la carga mostrada halle: Los esfuerzos cortantes mximo y mnimo en el eje BC. el dimetro "d" en los ejes AB y CD si el cortante admisible es 65 MPa. Primero se debe encontrar mediante las ecuaciones de la esttica los momentos que estn afectando al eje:Primer tramo
x=0Segundo Tramo
6kN m TAB 0
TAB := 6kN m
6kN m + 14kN m TBC 0 el momento de inercia para el eje hueco es:
TBC:= 20kN m r1 := 45mm4
r2 := 60mm
4 4 Iph := r2 r1 2
Iph = 1391.63 cm
El esfuerzo cortante mximo se encuentra en el punto exterior, por lo tanto: TBC r2 Iph
max:=
max= 86.23MPa
El esfuerzo cortante mnimo se encuentra en el punto interior de eje:
min:=
TBC r1 Iph
min = 64.67MPa
En los ejes AB y CD, el torque solicitante es de 6 kN, entonces: Tor adm Ip d 2 adm := 65MPa
Given dab TAB 2 dab 324
adm
Find dab = 77.76mm
( )
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5.6
TORSIN DE ELEMENTOS NO CIRCULARES
El comportamiento a torsin de elementos de secciones no circulares varia de los de secciones circulares, y es que existe una deformacin no uniforme de la seccin no circular cuando a esta se la exige con un momento torsor; sin embargo para fines prcticos de clculo se emplean frmulas semejantes a las empleadas para tensiones de corte a torsin de secciones circulares pero empleando valores de ajuste de una seccin dada ha una circular, as: Para la formula de esfuerzo cortante por torsin:
max
Tor c Ip
max
Tor Q
Donde Q, depende de la forma de la seccin. Para el ngulo de torsin se puede emplear la siguiente relacin: Tor L G Ip Tor L G K
K tambin est en funcin de la seccin. Ambos valores se puede obtener de la tabla siguiente:
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Ejercicio 5.6 Un eje de 2 de dimetro que soporta a una rueda tiene un extremo fresado en forma de cuadrado para permitir el uso de una manivela. El cuadrado mide 1.75 por lado. Calcule la tensin mxima por esfuerzo de corte en la parte cuadrada si se aplica un torque de 15000lbf*in. Adems calcular el ngulo de torsin si la longitud de la parte cuadrada es de 8. Se considera G=11.5*106 psi.
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