cap2osciladores-150514211419-lva1-app6891

Captulo 2

Osciladores lineales

Pero el poder de la instruccin es rara vez de mucha ecacia,

con excepcin de aquellas disposiciones felices en los que es casi superuo.

Edward Emily Gibbon (1737 - 1794)

2.1. Movimientos sinusoidales en una dimensin

El sistema sinusoidal ms simple, se reduce a un punto material que presenta un movimiento

de un solo grado de libertad, el que se desplaza en una nica trayectoria. Su posicin puede ser

establecida por una sola coordenada x, tomando en ello un origen arbitrario. La ecuacin demovimiento de dicho punto mas simple, se puede obtener si utilizamos la ecuacin de movimiento

de Newton, que se expresa bajo la forma:

md2x

dt2= F (2.1.1)

donde F es la fuerza que acta sobre el punto. Para que el movimiento sea sinusoidal, es necesarioque la fuerza F sea proporcional a x y dirigida en cada instante en sentido inverso al valor de x.Es una fuerza de restitucin F = kx, donde el valor de k , representa una constante y

md2x

dt2+ kx = 0 (2.1.2)

es una ecuacin diferencial ordinaria, que tiene como solucin

x (t) = xm cos (0t ) (2.1.3)ya que

d2x

dt2+k

mx = 0 (2.1.4)

admite como solucin a (2.1.3). La pulsacin 0 est dada por (2.1.4)

0 =

k

m(2.1.5)

que se denomina pulsacin propia del oscilador y se denomina as ya que depende de las constantes

caractersticas m y k del oscilador.El origen de las abscisas, est bien denido ya que F = 0 y ella es una posicin de equilibrioestable para la masa puntual. Sin embargo, los valores de xm y se deben establecer por lascondiciones iniciales x (0) y x (0) del sistema.

1

CAPTULO 2. OSCILADORES LINEALES

O

mg

G

l

(a) Rotacin de un cuerpo rgido

G

l

O

mg(b) Fuerzas y torques que actan

Figura 2.1.1: Cuerpo rgido en rotacin

2.1.1. Oscilaciones de un cuerpo rgido en rotacin

En el caso de un sistema oscilante de un cuerpo indeformable, donde la inercia est caracterizada

por una masa constante m o de un momento de inercia IO constante respecto a un eje (ver gura2.1.1); existe un movimiento de un grado de libertad: la abscisa angular .La expresin fundamental para el movimiento de rotacin es

~MO = IOd2~

dt2(2.1.6)

establece que los torques aplicados en torno al eje de rotacin O son proporcionales al momento deInercia en torno al eje que pasa por el punto O y su aceleracin angular. Al aplicarla a la rotacindel slido rgido de la gura 2.1.1a, se obtiene:

mgl sin = IO (2.1.7)obteniendo la ecuacin diferencial no lineal de segundo orden en :

+mgl

IOsin = 0 (2.1.8)

si usamos la expresin para la aproximacin del sin 36 + hasta el primer orden, entoncesla expresin diferencial no lineal (2.1.8), la podemos aproximar a una ecuacin lineal

+mgl

IO = 0 (2.1.9)

similar a la ecuacin (2.1.2) con

2o =mgl

IO(2.1.10)

Si ahora consideramos que toda la masa del cuerpo indeformable, se encuentra representada en el

centro de gravedad del cuerpo, se obtiene la ecuacin para el pndulo simple con IO = ml2y en

este caso la ecuacin (2.1.10), se escribe como:

2o =mgl

IO=g

l(2.1.11)

y la ecuacin no contiene el valor de m al hacer coincidir la masa inercial y la masa gravitacional.

Medina V. 2


2.1.2. Carga elctrica oscilante

Los sistemas de cargas elctricas, tambin pueden presentar oscilaciones. La pulsacin frecuencias

de la oscilaciones dependern tanto de la masa del in particula cargada, as como la carga

electrica que presentan.

Como un ejemplo de esto, estudiemos un un sistema conformado por una carga elctrica q en lascercanas de un anillo cargado de radio a (2.1.2a) y carga total Q > 0; podemos calcular el campocreado por el anillo sobre el eje horizontal, ya que sabemos que

~F = q ~E = md2~r

dt2(2.1.12)

Si consideramos constante la densidad lineal de carga

1

, se tiene = Q2pia , entonces cada elementodel anillo cargado produce en un punto cualquiera del eje horizontal, a una distancia x del centro,crear un campo dado por:

d ~E =1

4pi0

dQ

r2u =

a

4pi0

d

a2 + x2(cos senea)

=a

4pi0

[x

(a2 + x2)32

d a(a2 + x2)

32

dea

](2.1.13)

siendo ea el vector unitario en el plano del anillo en el sentido de su radio. Al integrar entre 0 y2pi, se obtiene:

~E1 =a

4pi0

x

(a2 + x2)32

2pi0

d

puesto que la segunda integral del lado derecho de (2.1.13) y el campo elctrico solo tiene compo-

nentes en el eje Ox, es decir:

~E(x) =a

20

x

(a2 + x2)32

o en trminos de la carga total del aro:

~E(x) =Q

4pi0

x

(a2 + x2)32

=Q

4pi0a3x[

1 +(xa

)2] 32 (2.1.14)en el caso que

xa 1 entonces podemos aproximar[1 +

(xa

)2] 32 1 +

(3

2

)(xa

)2+

1

2

(3

2

)(3

2 1)(x

a

)4+

al primer orden se obtiene:

E(x) =Q

4pi0a2

xa[

1 +(xa

)2] 32 = Q4pi0a3xy puesto que el movimiento de la carga es en el eje del anillo, entonces la expresin (2.1.12) se

escribe

q E (x) = md2x

dt2

y la ecuacin diferencial que se obtiene es

0 =q

mE (x) +

d2x

dt2

0 = x+( qm

)( Q4pi0a3

)x

1

Sin prdida de generalidad, podemos suponer que la carga Q es positiva

Medina V. 3


a

Oxq

(a) Carga elctrica q cerca de un anillo car-gado

E(x)

0.6

0.3

0

0.3

0.6

2.5 1.25 0 1.25 2.5

(b) Campo E (x) (Curva normalizada)

Figura 2.1.2: Campo elctrico creado por un anillo cargado

al considerar que el anillo tiene una carga Q contraria a la partcula con carga q entonces el valor

20 =Qq

4pi0ma3(2.1.15)

y

x+ 20x = 0 (2.1.16)

tendr el mismo conjunto de soluciones que (2.1.3). La partcula cargada efectuar oscilaciones

armnicas entorno al centro del anillo cargado.

2.1.3. Deformaciones de un slido

Ft

tn

Fn

(S)

F

Figura 2.1.3

Consideremos un slido cualquiera de forma alargada co-

mo se muestra en la gura (2.1.3). Si se aplica una fuerza

~F a la seccin (S) aplicada a dicho solido, se puede des-

componer dicha fuerza en dos componentes

~Fn y ~Ft, quea su vez pueden generar torques con una componente

normal

~n y tangencial ~t en (S). A la componente ~Fnse le denomina traccin y a la componente

~Ft, cizalla-miento;

~n se denomina par de torsin y ~t se denominapar de exin.

Un resorte en espiral se deforma por exin; un resorte

helicoidal, constituido por un hilo enrollado en espiral,

se deforma por exin, si est sometido a un par pa-

ralelo a la hlice y por torsin si se le aplica una trac-

cin o una compresin al aplicarsele siguiendo a su eje.

Las tracciones producen alargamientos y las cizalladuras

producen deformaciones angulares denominadas desliza-

mientos. Por ello, podemos concluir que las deformacio-

nes elsticas son proporcionales a los esfuerzos que las producen

2

: Ellas cambian de signo y no de

valor a suspender el esfuerzo que las origin. En estas condiciones se denen diversas constantes

de proporcionalidad, para slidos homogneos e istropos:

2

Hooke 1675

Medina V. 4


F

F

L

L

(a) Alargamiento

F

F

S

(b) Cizalladura

L

(c) Deformacin por torque

Figura 2.1.4: Algunas deformaciones de los slidos

Entre el alargamiento L y la traccin ~F de un paraleleppedo a un cilindro recto de longitudL y de seccin S (gura 2.1.4a)

L

L=

1

Y

(F

S

)(2.1.17)

donde Y es el mdulo de Elasticidad o mdulo de Young

Entre el deslizamiento simple y el par de fuerzas de cizalladura (gura 2.1.4b)

=1

G

(F

S

)(2.1.18)

donde G es el modulo de la rigidez

Entre el ngulo de torsin y el momento del par que lo produce (gura 2.1.4c)

= C (2.1.19)

donde C es la constante de torsin

Para los metales Y es del orden de 1011a 2 1011 Nm2 ; G de 5 1010a 1011 Nm2 ; C se puede expresaren trminos de G.

2.1.4. Deformaciones elsticas de un uido

Los uidos, gases o lquidos no presentan una gran resistencia a los cambios de formas,

solamente a los cambios de volumen, compresin o dilataciones que siempre son elsticas. Un

uido se caracteriza por su coeciente de compresibilidad :

= 1V

dV

dP(2.1.20)

Medina V. 5


donde dVdP representa una pequea variacin del volumen debido al cambio de la presin. Paralos lquidos, vara entre 5 1010 y 109m2N1. Para un gas, es necesario distinguir entre elcoeciente de compresibilidad isoterma T y el coeciente de compresibilidad adiabtica s queson casi indistinguibles en un lquido.

En el caso de un gas perfecto, T y s son expresiones simples que se deducen de la ecuacin deestado. En una transformacin isoterma PV = Cte, y de ah:

T = 1V(dVdP

)T

=1

P(2.1.21)

Para el caso de una transformacin adiabtica; PV = Cte , donde =CpCvsiendo Cp y Cv loscalores especcos del gas a presin y volumen constante, respectivamente.

s = T (2.1.22)

= 1, 7 para los gases mono atmicos y = 1, 4 para un gas di-atmicos.

x

V

m

S

Figura 2.1.5

En la gura (2.1.5), se tiene un recipiente que

contiene aire comprimido a una presin cerca-

na a la presin atmosfrica y separado del ex-

terior por un pequeo pistn de masa m y deseccin S que puede desplazarse en la columnadel recipiente, donde se puede medir el despla-

zamiento del pistn a partir de su posicin de

equilibrio x . La ecuacin de movimiento delpistn se escribe

mx = S P (2.1.23)siendo P la pequea diferencia de presin en-tre el envase y la columna del recipiente. De acuerdo con (2.1.20) y (2.1.22), se tiene:

mx = S P = S PV V

= S (dP

dV

) V = S

( 1V s

) V =

= SPV T

V = SPV T

S x = S2P

V T x

nalmente

mx = S2P

V T x

x+

(S2P

mV T

) x = 0 (2.1.24)

y el pistn entonces realizar oscilaciones sinusoidales.

2.2. Estudio de la ecuacin diferencial de movimiento

Las ecuaciones (2.1.4) (2.1.9) y (2.1.16) son ecuaciones diferenciales de segundo orden, lineales

(contienen solamente potencias en x o y sus derivadas), homogneas, (no existen trminosindependientes de x o ), de coecientes reales constantes y positivas. Los sistemas oscilantes querepresentan se dicen lineales.

Las ecuaciones de este tipo, cualquiera que sea su orden, pueden ser integradas directamente

mediante el empleo de funciones exponenciales que transforman una expresin diferencial, en una

ecuacin algebraica. En nuestro caso:

x (t) = ept (2.2.1)

Medina V. 6


donde p es una constante. La sustitucin de (2.2.1) en (2.1.4), establece que

p = jk

m= j0 con j =

1 (2.2.2)

como la expresin (2.1.2) es lineal entonces la solucin de (2.1.4) es de la forma

x (t) = C+ej0t + Cej0t (2.2.3)

si recordamos la expresin o frmula de Euler :

ej0t = cos (0t) + sin (0t)

y podemos escribir

x (t) = C+ej0t + Cej0t

= (C+ + C) cos (0t) + j (C+ C) sin (0t) (2.2.4)de la ecuacin (2.2.4), se tiene que tanto la parte real


2.2.1. Balance de Energa - Plano de Fases

Multiplicando la ecuacin de movimiento (2.1.2) por xdt = vdt = dx se tiene

mdv

dt vdt+ kxdx = 0

m vdv + k xdx = 0y recordando que para cualquier variable d

(z2)

= 2zdz, entonces

mv d(

1

2v2)

+ k d(

1

2x2)

= 0

0

x

x

P

Figura 2.2.1

que es equivalente a escribir:

d

(1

2mv2 +

1

2kx2)

= 0 (2.2.9)

Estableciendo de esta manera el principio de conserva-

cin de la energa, a partir de la ecuacin de movimiento

Ec + Ep = Em (2.2.10)

donde se ha denido en (2.2.9) la Energa Cintica como

Ec =12mv

2y la Energa Potencial como Ep =

12kx

2.

Con la ayuda de la solucin de (2.1.2), y (2.2.10), Po-

demos establecer el valor total constante de esta energa

mecnica:

Em =1

2mx2 +

1

2kx2

=1

2m20

x2

20+

1

2m20x

2

=1

2m20

[(x

0

)2+ x2

](2.2.11)

y como la solucin de (2.1.2), es (2.1.3), entonces

x = xm cos (0t )x = 0xm sin (0t )y por ello la expresin para la energa mecnica (2.2.11) es

Em =1

2m20x

2m (2.2.12)

es decir, un valor constante. Si combinamos las expresiones (2.2.11) y (2.2.12), podemos escribir:

1

2m20

[(x

0

)2+ x2

]=

1

2m20x

2m

que al simplicar, obtenemos

x2m =

(x

0

)2+ x2 (2.2.13)

que dene una familia de circunferencias concntricas en el plano cartesiano establecido por las

coordenadas

(x, x0

)(ver gura 2.2.1). Como la velocidad x decrece cuando x aumenta, entonces

las curvas se describen en el sentido horario.

Medina V. 8


En realidad se dene el espacio de fase a como el conjunto cartesiano obtenido a partir de los

pares ordenados (x, p), donde p = mx, es la cantidad de movimiento asociada (o conjugada) a lavariable x. Las circunferencias denidas en la ecuacin (2.2.13), establecern ecuaciones de elipsesen el espacio de fases (x, p) ya que de la ecuacin (2.2.13), se tiene

1 =p2

(m0xm)2 +

x2

x2m(2.2.14)

donde los valores de los semiejes mayor y menor de la elipse, as denida, dependern de los valores

de xm y m0xm.

2.3. Oscilaciones con una fuerza de amortiguamiento propor-

cional a la velocidad

Los sistemas oscilantes precedentes repiten peridicamente indenidamente el mismo estado de

movimiento y se mantiene la energa mecnica dada inicialmente. Se dice en este caso que el sistema

es ideal. En la realidad, la amplitud del movimiento disminuye, hasta que nalmente alcanza su

estado de reposo. Se dice en este caso que el movimiento es amortiguado.

r

m

k

Figura 2.3.1: Oscilador Amortiguado

Para estudiar el movimiento real es necesario

modicar la ecuacin de movimiento del cuer-

po, de tal manera que se tome en consideracin

la inuencia del medio ambiente donde se en-

cuentra el cuerpo a estudiar. Una de tales fuer-

zas a considerar, es el rozamiento o la viscosi-

dad que se origina por la interaccin del gas

que conforma la atmsfera, con el movimien-

to del sistema. Si se desea conservar la carac-

terstica lineal de la ecuacin diferencial, que

facilite su solucin, es necesario que la fuerza

de rozamiento sea proporcional a la velocidad

y dirigida en el sentido opuesto al movimiento:

Es decir, F = rx = rv, donde r representa a una constante positiva. La ecuacin de movimientoen lugar de (2.1.2) es ahora:

md2x

dt2+ r

dx

dt+ kx = 0 (2.3.1)

En la prctica se encuentra que la resistencia que ofrece un uido al movimiento de un slido,

debida a la viscosidad, es de la forma rv con la condicin que estos movimientos sean bastantelentos

3

. De ah el nombre de rozamiento viscoso. El esquema de un sistema mecnico que obedece

a la ecuacin (2.3.1), esta representado en la gura (2.3.1).

Se puede constatar que existen otros ejemplos de sistemas fsicos en los que su comportamiento

temporal se encuentran determinados por una ecuacin parecida a (2.3.1): En un circuito elctrico

RCL, la resistencia Efecto Joule juega el papel de la fuerza debida al fenmeno de la viscosidad;

la emisin de ondas elsticas o electromagnticas, pueden dar origen a fuerzas de amortiguamiento

proporcional a la velocidad.

2.3.1. Estudio de la ecuacin del movimiento amortiguado

Al dividir la expresin (2.3.1) por la masa obtenemos la expresin:

d2x

dt2+ 2 dx

dt+ 20x = 0 (2.3.2)

3

La condicin, es que la velocidad del slido (v) sea mucho menor que la velocidad del sonido en el medio (c).Es decir, (v c), (velocidades subsnicas)

Medina V. 9


donde hemos denido

20 =k

m(2.3.3)

=r

2m(2.3.4)

El valor de 0 recibe el nombre de pulsacin propia, y , se denomina decremento logartmico. Sisuponemos que la solucin homognea es de la forma

x (t) = Aept (2.3.5)

entonces la expresin de la ecuacin diferencial (2.3.2) en x (t), se expresa como

Aept(p2 + 2 + 20

)= 0 (2.3.6)

el polinomio de segundo grado en p, recibe el nombre de ecuacin caracterstica de la ecuacindiferencial asociada. Esta ecuacin tiene como races:

p = 2 20 (2.3.7)

que depender de los valores de la cantidad subradical. Estos casos se pueden clasicar en (ver

Figura 2.3.2)

1. Caso 2 20 > 0 (Amortiguamiento Fuerte): Podemos denir

=2 20 (2.3.8)

y los valores para p son:

p = las soluciones de nuestra ecuacin diferencial se escriben como

x (t) = C1e(+)t + C2e()t

= et(C1e

t + C2e+t)(2.3.9)

que al utilizar los valores iniciales o condiciones iniciales x (0) y x (0), podemos jar losvalores de las constantes C1 y C2, ya que

x (t) = x (t) et (C1et C2e+t)al evaluar en t = 0, se tiene

x (0) = C1 + C2

x (0) = x (0) (C1 C2)obtenindose el sistema de ecuaciones

x (0) = C1 + C2

x (0) x (0)

= C1 C2

es decir que

C1 =1

2

(1

)x (0) x (0)

2

C2 =1

2

(1 +

)x (0) +

x (0)

2

Medina V. 10


y

x (t) = et{[

1

2

(1

)x (0) x (0)

2

]et +

[1

2

(1 +

)x (0) +

x (0)

2

]e+t

}= et

{[(et + e+t

2

)+

(e+t et

2

)]x (0) +

x (0)

(e+t et

2

)}= et

{[cosh (t) +

sinh (t)

]x (0) +

x (0)

sinh (t)

}= = et

[x (0) cosh (t) +

(x (0) + x (0)

)sinh (t)

]

2. Caso 220 = 0 (Amortiguamiento Crtico): Los valores de p = son raz doble y lasolucin se expresa como:

x (t) = et (C1 + C2t) (2.3.10)

su derivada vale:

x (t) = x (t) + C2et

las constantes, en trminos de las condiciones iniciales se expresan como:

x (0) = C1

x (0) = x (0) + C2es decir:

C2 = x (0) + x (0)

y en funcin de las condiciones iniciales:

x (t) = et [x (0) + (x (0) + x (0)) t]= et [(1 + t) x (0) + x (0) t]

3. Caso 2 20 < 0 (Amortiguamiento Dbil ): En este caso podemos denir la pseudo-pulsacin

=20 2 (2.3.11)

y los valores para p son:

p = j

con j2 = 1, la unidad imaginaria las soluciones de nuestra ecuacin diferencial se escribencomo

x (t) = C1e(+j)t + C2e(j)t

= et(C1e

jt + C2e+jt)(2.3.12)

Estas soluciones se pueden escribir, en trminos de las funciones trigonomtricas, ya que a

partir de la Frmula de Euler, se tiene:

ejt = cos (t) j sin (t) (2.3.13)

Medina V. 11


T

DebilFuerteCritico

0

Figura 2.3.2: Diferentes tipos de Amortiguamiento

y puesto que los coecientes de nuestra ecuacin diferencial (2.3.2) son reales, entonces tanto

la solucin real e imaginaria, sern soluciones linealmente independientes. Por esto:

x (t) = C1et cos (t) + C2et sin (t)

= et [C1 cos (t) + C2 sin (t)] (2.3.14)

de manera similar a los casos anteriores:

x (t) = etx (t) + et [C1 sin (t) + C2 cos (t)]que al evaluar en t = 0, tenemos que x (0) = C1 y x (0) = x (0) + C2. Al sustituir en(2.3.14), se tiene

x (t) = et[x (0) cos (t) +

(x (0) + x (0)

)sint

]

2.3.2. Balance de Energa - Espacio de fases

De igual manera como se realiz en la seccin (2.2.1) para el oscilador armnico, podemos obtener

una expresin de la energa mecnica a partir de la ecuacin de movimiento para el sistema

amortiguado; al multiplicar (2.3.1) por xdt = vdt = dx :

(mdv

dt vdt+ kxdx

)= rx2dt

que es equivalente a escribir:

ddt

(1

2mv2 +

1

2kx2)

= rv2 (2.3.15)

Medina V. 12


A2

20m

~

E(t) = 2E(t)

t2

t2+

(t)

t

e

e

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Figura 2.3.3: Energa disipada en un oscilador subamortiguado

el trmino rv2 representa el trabajo de la fuerza de rozamiento por unidad de tiempo. Ella siemprees positiva si r es positivo y es igual a la disminucin de la energa mecnica total del sistemaoscilante. El sistema no es conservativo: el sistema es disipativo.

Estudiemos la evolucin de la energa para el caso del amortiguamiento dbil (subamortiguado).

Podemos usar la expresin general de la energa mecnica (2.2.11):

E (t) =1

2m20

[(x

0

)2+ x2

]

y tomando en consideracin la solucin de la ecuacin diferencial correspondiente:

x (t) = Aet cos (t ) (2.3.16)

tenemos entonces

x (t) = Aet [ cos (t ) + sin (t )] (2.3.17)

y

x

0= Aet

[(

0

)cos (t ) +

(

0

)sin (t )

](x

0

)2= A2e2t

[(

0

)2cos2 (t ) +

(

0

)2sin2 (t ) +

+ 2

(

20

)cos (t ) sin (t )

]

Medina V. 13


que al sustituir en (2.2.11)

2E (t)

m20=

(x

0

)2+ x2

= A2e2t[(

0

)2cos2 (t ) +

(

0

)2sin2 (t ) +

+ 2

(

20

)cos (t ) sin (t )

]+A2e2t cos2 (t )

= A2e2t{[

1 +

(

0

)2]cos2 (t ) +

(

0

)2sin2 (t ) +

+ 2

(

20

)cos (t ) sin (t )

}de la ecuacin (2.3.11)

2 = 20 2 (

0

)2= 1

(

0

)2(2.3.18)

se tiene

2E (t) e2t

m20A2

=

[1 +

(

0

)2]cos2 (t ) +

[1

(

0

)2]sin2 (t ) +

+2

(

20

)cos (t ) sin (t )

= 1 +

(

0

)2 [cos2 (t ) sin2 (t )]+

+2

(

20

)cos (t ) sin (t )

= 1 +

(

0

)2cos 2 (t ) +

(2

20

)sin 2 (t )

= 1 +

(

0

)2 [cos 2 (t ) +

(

)sin 2 (t )

]= 1 +

(

0

)2 [cos 2 (t ) +

(00

)sin 2 (t )

]

= 1 +

(

0

)2 cos 2 (t ) +

1(0

)20

sin 2 (t )

y nalmente obtenemos

E (t) =1

2m20A

2e2t

{1 +

(

0

)2cos 2 (t ) +

+

1

(0

)20

sin 2 (t )

(2.3.19)Si en lugar de (2.3.16), usamos

x (t) = Aet sin (t ) (2.3.20)

Medina V. 14


la expresin (2.3.19) es

E (t) =1

2m20A

2e2t

{1

(

0

)2cos 2 (t ) +

+

1

(0

)20

sin 2 (t )

(2.3.21)si denimos

(t) = 1(

0

)( 0

)cos 2 (t ) +

1

(

0

)2sin 2 (t )

(2.3.22)

y observar que

(t+

T

2

)= 1

(

0

)2 cos 2 [(t+ T2)

]+

1

(0

)20

sin 2

[

(t+

T

2

)

]

= 1(

0

)2 cos [2 (t ) + T ] +

1(0

)20

sin [2 (t ) + T ]

= 1(

0

)2 cos [2 (t ) + 2pi] +

1(0

)20

sin [2 (t ) + 2pi]

= (t)

es decir, que (t) es peridica de periodo T2 y en particular

(0) =

(T

2

)= (T ) (2.3.23)

La expresin para la energa (2.3.16) o (2.3.20) se expresa como

E (t) =1

2m20A

2e2t (t) (2.3.24)

se aprecia la curva normalizada en la gura (2.3.3) de la disipacin de energa en funcin del

tiempo. Si 0 entonces 0 0 y (t) 1 (2.3.24), se reduce a

E (t) =1

2m20A

2e2t =1

2m20

(Aet

)2(2.3.25)

muy similar a la expresin obtenida para el oscilador armnico (ecuacin (2.2.12)).

Se puede observar en la gura 2.3.4a las grcas del espacio de fases (x, p) tanto para el caso noamortiguado como amortiguado. Para el caso no amortiguado (oscilador armnico) se puede ver

la curva cerrada (elipse) tal como se deduce de la ecuacin (2.2.14) y se mantiene la conservacin

de la energa. Para la espiral que corresponde al amortiguamiento dbil; se comprueba la prdida

de energa ya que la curva no es cerrada. En funcin de los valores iniciales

x (t) et = x (0)

[cos (t) +

sin (t)

]+x (0)

sin (t)

x (t)

et = x (0)

[1 +

(

)2]sin (t) +

x (0)

[cos (t)

sin (t)

]

Medina V. 15


sin amortiguamiento amortiguado

3

2

1

0

1

2

3

2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5x

P

(a) Amortiguamiento Dbil

P

x Amortiguamieto fuerte

0.16

0.17

0.18

0.19

0.2

0.21

1 0.98 0.96 0.94 0.92

(b) Amortiguamiento Fuerte

Figura 2.3.4: Espacio de fases del movimiento amortiguado

En el caso del amortiguamiento fuerte, la curva no es cerrada y por ello no hay conservacin de

la energa. La grca de (x, p) del espacio de fases correspondiente se puede apreciar en la gura2.3.4b.

2.3.3. Relacin entre amplitud y energa

Sabemos que la amplitud en el movimiento subamortiguado se expresa por la ecuacin (2.3.16),

y al evaluarla en t = 0, tenemos

x (0) = A cos ()

y en un perodo T , se tiene

x (T ) = AeT cos (T )= A cos () eT = x (0) eT

en consecuencia

x (0)

x (T )= eT ln

(x (0)

x (T )

)= T (2.3.26)

o en el caso de dos mximos consecutivos

=1

Tln

(xmxm+1

)(2.3.27)

y el decremento logartmico se puede determinar de manera aproximada a partir de una grcacomo por ejemplo de la gura (2.3.5). Tomando dos puntos, por ejemplo: T = 4, 9s 0, 5s = 4, 4sy

=1

4, 4sln

(0, 4

0, 9

) 0, 18 s1

De igual manera, podemos usar la expresin (2.3.25), o (2.3.24), para escribir

E (0) =1

2m20A

2 (0)

E (T ) =1

2m20A

2e2T (T ) =[

1

2m20A

2 (T )]e2T

y de las anteriores, ya que se satisface (2.3.23), podemos escribir:

E (T ) = E (0) e2T

Medina V. 16


1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1.33958 2.67916 4.01874 5.35832 6.6979 8.03748 9.37706 10.7166 12.0562 13.3958

Figura 2.3.5: Amortiguamiento dbil

o de manera equivalente:

E (0)

E (T )= e2T ln

(E (0)

E (T )

)= 2T (2.3.28)

combinando las ecuaciones (2.3.26) y (2.3.28) podemos concluir que

E (0)

E (T )=

(x (0)

x (T )

)2(2.3.29)

la prdida de energa es cuadrticamente proporcional a la amplitud.

2.3.4. Factor de Calidad

Una caracterstica interesante, para el caso del oscilador subamortiguado, es que en el mximo

de la amplitud del oscilador, la velocidad es nula y en consecuencia tambin es nula la energa

cintica:

x (t) = xmet cos (t )

x (t+ T ) ={xme

t cos [ (t+ T ) ]} eT=

{xme

t cos (t+ 2pi )} eT= x (t) eT (2.3.30)

Para el valor mximo de la amplitud en un ciclo xm, se tiene que la energa cintica se hace nulay la energa potencial es mxima. Para el caso del sistema masa+resorte, se tiene Ep =

12k x2m y

Ep (t) =1

2k x2 (t) = 1

2kx2me

2t cos2 (t )

Medina V. 17


y para el ciclo siguiente

Ep (t+ T ) =1

2k x2 (t+ T )

=1

2kx2me

2t e2T cos2 [ (t+ T ) ]

=

[1

2kx2me

2t] e2T cos2 [t+ T ]

=

[1

2kx2me

2t cos2 (t )] e2T

= Ep (t) e2T

es decir, que

Ep (t) Ep (t+ T ) = Ep (t) Ep (t) e2TEp = Ep (t)

(1 e2T )o de manera equivalente

4 EpEp = 1 e2TEn el caso que T 1 entoncesEpEp

= 1 e2T 2T 2

(2pi

)= 2pi

(2

)

= 2pi

(2

0

)[

1(

0

)2] 12donde hemos usado a (2.3.18). Haciendo uso del desarrollo de la funcin (1 + z)

n, podemos escribir:EE

= 2pi(20)[

1(

0

)2] 12 2pi

(2

0

)[

1 12

(

0

)2+

3

8

(

0

)4+

]

= 2pi

(2

0

)[

1 18

(2

0

)2+

3

128

(2

0

)4+

](2.3.31)

de la denicin de factor de calidad

Q =

km

r=

kmm

2

(2m)=m

km

(2m)=02(2.3.32)

si 0 y en consecuencia de (2.3.18) entonces podemos despreciar los trminos de orden 2 osuperiores en

20en la ecuacin (2.3.31) y ahora escribimosEE

= 2pi(20)

=2pi

Q(2.3.33)

4

Del desarrollo de

ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+

Medina V. 18


y podemos relacionar el factor de calidad con el porcentaje de la energa perdida por ciclo

Q = 2pi

(E

E

)1(2.3.34)

2.4. Circuitos elctricos

La expresin (2.3.1) se pueden encontrar en circuitos elctricos, como el diagrama esquemtico

de la gura (2.4.1), donde la carga Q del condensador C hace las veces de variable dependiente,jugando el mismo rol que la variacin, a partir del equilibrio, x del sistema masa resorte en laecuacin (2.1.2).

C

LR

Figura 2.4.1: Circuito RCL en serie

Si inicialmente las placas del condensador se encuentran cargadas, entonces podemos utilizar la

ecuacin de Voltajes de Kirchho k

Vk = 0 (2.4.1)

para determinar los valores del potencial o la carga elctrica en las armaduras del capacitor.

Utilizando (2.4.1), para cada uno de los elementos de circuitos en la malla, se tiene

Vc + VR + VL = 0 (2.4.2)

Si recordamos la denicin de corriente elctrica

I =dQ

dt(2.4.3)

As como que a partir de la Ley de Ohm, la diferencia de potencial en los extremos de un conductor

es proporcional a la corriente que pasa por el

VR = RI

Para el caso de la bobina o inductancia, tenemos que el cambio del ujo de campo magntico

VL =d

dt=d (LI)

dt= L

dI

dt(2.4.4)

genera una diferencia de potencial (o fuerza electromotriz) en los extremos de una bobina (Ley de

Faraday); entonces podemos reescribir la ecuacin (2.4.2) como

Q

C+RI + L

dI

dt= 0 (2.4.5)

Medina V. 19


que junto con (2.4.3), se escribe

Q

C+R

dQ

dt+ L

d2Q

dt2= 0

Q

LC+ 2

(R

2L

)dQ

dt+d2Q

dt2= 0 (2.4.6)

obteniendo una expresin similar a (2.3.1), donde

20 =1

LC, =

R

2L

establecen los valores la pulsacin propia y del decremento logartmico, tal como en (2.3.3) y

(2.3.4), respectivamente.

Si dividimos (2.4.6) por C, en lugar de obtener una ecuacin diferencial en funcin de Q, obte-nemos la misma ecuacin diferencial, en trminos de la diferencia de potencial de las placas del

condensador. Esta cantidad es mucho ms prctica de medir que la carga en las placas:(QC

)LC

+ 2

(R

2L

) d(QC)dt

+d2(QC

)dt2

= 0

20V + 2V + V = 0 (2.4.7)

y por ello es ms prctica para vericar el comportamiento temporal de la diferencia de potencial

en las placas del capacitor.

2.4.1. Balance de Energa

Si a la expresin (2.4.5), la multiplicamos por la corriente I, entonces se tiene

Q

C dQdt

+ L I dIdt

= RI2

que al proceder como en la seccin (2.2.1), obtenemos

ddt

(Q2

2C+

1

2LI2

)= RI2 (2.4.8)

estableciendo que la potencia disipada por efecto Joule es igual al cambio de la suma de la energa

electrosttica y electromagntica del circuito.

En el caso ideal en que la resistencia del circuito sea despreciable, se puede establecer la Conser-

vacin de la suma de la energa electrosttica del condensador (comparable a la energa potencial

de un oscilador) y de la energa electromagntica, similar a la energa cintica.

2.5. Tiempo de relajacin

Las ecuaciones de la forma (2.3.1) como (2.4.6) o (2.4.5), se reducen a (2.1.2) si podemos despreciar

el amortiguamiento. Si las fuerzas de inercia son despreciables frente a las fuerzas de restitucin

elsticas y de amortiguamiento, obtenemos un sistema muy amortiguado y no existirn oscilacio-

nes. El sistema es aperidico y el primer trmino de (2.3.1) se desprecia y obtenemos

rx+ kx = 0 (2.5.1)

que es equivalente a escribir

dx

dt= k

rx

Medina V. 20


una ecuacin diferencial de primer orden cuya solucin es

x (t) = x0e t(2.5.2)

y el valor = rk se denomina tiempo de relajacin o constante de tiempo, que corresponde ala duracin en la cual la elongacin inicial decrece en un factor de

1e . La constante x0 se puededeterminar usando las condiciones iniciales.

exp(t/tau)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2

Figura 2.5.1: Descarga de un condensador

Un ejemplo de ello, lo podemos obtener

(ver gura 2.5.1) si el valor de la induc-

tancia es despreciable en el caso del cir-

cuito elctrico RCL en serie de la ecuacin

(2.4.5), y en este caso, obtenemos

Q

C+RI = 0 (2.5.3)

y por ello

dQ

dt= t

RC

y el tiempo de relajacin es = RC yobtenemos de (2.5.3)

Q (t) = Q0e tRC

Si tomamos en consideracin que la ecuacin (2.3.2) se puede escribir como

d2x

dt2+ 2b0 dx

dt+ 20x = 0 (2.5.4)

donde

b =0

=

km

r2m

=2mk

r(2.5.5)

es la razn de amortiguamiento, coeciente sin dimensin. La pseudo-pulsacin (ecuacin (2.3.11))

en trminos de la razn de amortiguamiento es

= 0

1 b2

y la expresin (2.5.4), se denomina ecuacin reducida. En algunos casos, es conveniente, utilizar

la expresin reducida si denimos una variable independiente adimensional = 0t y en este casola expresin reducida se escribe

d2x

d (0t)2 + 2b

dx

d (0t)+ x = 0

d2x

d2+ 2b dx

d+ x = 0

mas propicia de resolver numricamente.

Medina V. 21

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