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9.3.2 Hipótesis para el Análisis y Diseño por Flexión

a) Hipótesis Básicas

a1) Las secciones planas permanecen planas (Hipótesis de Navier). Esta hipótesis se cumple en vigas esbeltas, deja de tener validez en vigas de gran peralte o v igas pared. Experimentalmente se ha encontrado que cuando /h < 4 (= luz, h =peralte), deja de cumplirse la hipótesis de Navier. El ACI-02 utiliza esta misma relación de luz a peralte para definir a las vigas pared (Art. 10.7).

a2) Adherencia. No hay deslizamiento entre el acero y el concreto que lo rodea. Las deformaciones en el acero y en el concreto circundante son iguales.

a3) Se puede despreciar la resistencia en tracción del concreto en los cálculos de la resistencia de una sección.

a4) Los esfuerzos en el concreto y en el acero pueden ser calculados a partir de las deformaciones utilizando las relaciones constitutivas ( ) del acero y del concreto

Con las cuatro hipótesis anteriores es posible determinar la resistencia en flexión de cualquier sección de concreto armado, siempre que el elemento sea esbelto. Sin embargo, las Normas suelen introducir alguna hipótesis adicionales, que las podemos llamar simplificadoras, las cuales, como su nombre lo indica, permiten simplificar las ecuaciones para el análisis y el diseño.

b) Hipótesis Simplificadoras (Para el análisis y el diseño)

b1) El diagrama constitutivo del acero de refuerzo se puede suponer elastoplástico.

b2) Se asume que el concreto falla cuando la deformación en compresión (cu) alcanza un cierto valor limite definido como:

ACI: cu = 0.003 deformación máxima utilizable (vigas y columnas)

CEB: cu = 0.0035 deformación máxima utilizable (vigas)

Se pueden alcanzar valores mayores de cu en secciones confinadas por estribos cerrados poco espaciados y/o en secciones con fuertes gradientes de esfuerzos. El valor fijado por el ACI es conservador y proviene de los resultados experimentales de un gran número de elementos ensayados en laboratorio.

La figura 9-9 (MacGregor) muestra las deformaciones últimas medidas en ensayos de laboratorio en vigas y columnas así como en elementos sin refuerzo, para distintas calidades de concreto. Es claro que el valor adoptado por el ACI (0.003) es conservador, basta compararlo con las deformaciones máximas medidas en elementos con refuerzo. Nótese que ha medida que aumenta la calidad del concreto ( fc) la tendencia global es hacia la reducción de la deformación máxima del concreto.

b3) La relación entre el esfuerzo de compresión en el concreto y su deformación correspondiente () puede asumirse como: Rectangular, trapezoidal, parabólica o cualquier otra que prediga la resistencia acorde con los resultados experimentales.

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La figura 9-10 (Neville) muestra algunas curvas típicas para el concreto comprimido. Los resultados de los ensayos indican que la forma de la curva antes de alcanzar el esfuerzo máximo, dependen de la calidad del concreto (fc). En general para esta zona de la curva, una parábola de segundo grado permite un ajuste “razonable”. En la figura no se muestra la rama descendente de la curva.

Fig. 9-9 Deformación última del concreto medida en ensayos.

Fig. 9-10 Curvas típicas para el concreto en compresión hasta el esfuerzo máximo.

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9.3.3 Caracterización del Bloque de Compresiones para el Análisis y Diseño

La figura 9-11 muestra la zona comprimida de una sección de concreto armado sometida a flexión. Se ha supuesto por simplicidad, que la sección es rectangular. Se muestran las deformaciones, asumiendo que las secciones permanecen planas, y los esfuerzos en el concreto.

Para caracterizar el bloque de compresiones es necesario conocer los valores de k1, k2 y k3. El parámetro k1 permite calcular el área total bajo la curva de compresiones, k2 permite ubicar la resultante de compresiones y k3 mide la resistencia máxima del concreto de la sección como fracción de la resistencia obtenida en las probetas de laboratorio. Si se conocen estos tres parámetros, las compresiones en el concreto pueden remplazarse por su resultante Cc y los cálculos de resistencia se simplifican.

El ACI y la Norma Peruana aceptan remplazar el diagrama “real” de esfuerzos en el concreto, como el mostrado en la figura 9-11, por un bloque equivalente de compresiones tal como se muestra en la figura 9-12.

A la simplificación adoptada por el ACI se le conoce con el nombre de bloque equivalente de compresiones o Rectángulo de Whitney, e involucra los siguientes valores que caracterizan al bloque de compresiones bajo esta simplificación:

k3 = 0.85 (9-13)

k2 = 1 /2 (9-14)

1 = 0.85 para fc 280 kg/cm2 1 = 0.65 para fc 560 kg/cm2

(9-15)

Fig. 9-11 Bloque de compresiones en una sección sometida a flexión.

Fig. 9-12 Bloque equivalente de compresiones.

a = profundidad del bloque equivalente de compresiones

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La figura 9-13 (PCA) muestra la variación del parámetro 1 (ecuación 9-15) en función de la resistencia del concreto. La figura 9-14 (MacGregor) muestra el parámetro 1 en comparación con un grupo de resultados experimentales. Se observa que el ajuste del ACI no es bueno para los concretos de muy baja resistencia.

La distribución del bloque de compresiones propuesta por el ACI proviene del ajuste de resultados de ensayos realizados en vigas reales y logra un buen nivel de aproximación con los resultados experimentales. Para el caso, por ejemplo, de flexión sin carga axial la sección debe estar en todo instante en equilibrio, es decir la resultante de las compresiones en el concreto (Cc) debe ser igual a la fuerza total de tracción en el acero (As fs). En consecuencia la compresión total calculada a partir del diagrama “real” del concreto es igual a la compresión total calculada con el bloque equivalente del ACI.

Con respecto a otros modelos para el concreto comprimido, el bloque equivalente tiene la gran ventaja de su simplicidad. Las ecuaciones que predicen la resistencia nominal de secciones en flexión o flexocompresión son más simples que las provenientes del empleo de otros modelos.

280 560 840

Fig. 9-13 Variación del parámetro 1

Fig. 9-14 Valores de 1 k3 provenientes de ensayos y ajuste del ACI

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A partir de la figura 9-12 es posible construir la curva esfuerzo - deformación () para el concreto comprimido, asumida implícitamente por el ACI. La aplicación del bloque equivalente de compresiones conduce a una relación para el concreto como la mostrada en la parte derecha de la figura 9-15. Los esfuerzos en el concreto son nulos hasta una deformación (1) de 0.00045 para valores de fc hasta 280 kg/cm2 y de 0.00105 para concretos mayores de 560 kg/cm2. La relación esfuerzo – deformación del ACI no tiene demasiado significado físico, es consecuencia de haber adoptado un bloque equivalente que permite aproximar bastante bien la resistencia de la sección, en comparación con los resultados experimentales.

La figura 9-16 (ACI) muestra el buen nivel de ajuste entre los resultados de ensayos sobre vigas con falla en tracción, con la ecuación que predice la resistencia en flexión. La ecuación mostrada en la figura que predice la resistencia, está basada en las hipótesis que hemos mencionado y su deducción se presentará posteriormente.

Existen muchas otras propuestas para caracterizar la zona comprimida de concreto. La figura 9-17 muestra el diagrama parábola – rectángulo de cálculo propuesto por el CEB utilizado en Europa para el análisis y diseño de secciones. Consiste en una parábola de segundo grado cuyo vértice se encuentra en la abscisa 0 = 0.002 (deformación de rotura del concreto en compresión simple) seguida de un rectángulo con vértice en la abscisa cu = 0.0035 (deformación de rotura del concreto en flexión). Al igual que el ACI se trata

364 ensayos de vigas con falla controlada por tracción (s > y)

= As/bd

Fig. 9-16 Resultados de ensayos de vigas en flexión

1

1=

-

Fig. 9-15 Relación esfuerzo – deformación del ACI para el concreto comprimido.

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de un diagrama idealizado que conduce a resultados concordantes con la evidencia experimental existente.

La figura 9-18 (PCA) muestra el bloque de compresiones adoptado por la Portland Cement Association (PCA) para el cálculo de secciones de concreto armado. Es claro que este modelo es prácticamente el mismo que el del CEB.

La figura 9-19 (PCA) muestra la evolución histórica de la caracterización del bloque de compresiones. Nótese la gran variedad de modelos y su evolución a lo largo de los años. Es interesante observar la propuesta del año 1899 consistente en una parábola de segundo grado, como la que se utilizó en la sección 8.3.4, luego la propuesta de los años 1904 y 1912 basada en un rectángulo como el que se emplea en la actualidad y la propuesta más completa del año 1932, similar a la presentada en la figura 9-11.

Fig. 9-17 Diagrama parábola – rectángulo de cálculo del CEB

Fig. 9-18 Relación esfuerzo – deformación de la PCA para el concreto comprimido

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Fig. 9-19 Desarrollo de las teorías de capacidad última para secciones en flexión