Cap_01_1a_aula_F_MEC_MAT_EST(2014.1)

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil – PEC UFRN

Prof. Daniel Nelson Maciel ([email protected])

1. Conceitos Iniciais1.1. Teoria da Elasticidade – Hipóteses básicas1ª Hipótese – Elasticidade: O corpo ao ser submetido à ação de forças externas se deforma. Cessando à ação de tais forças, a forma do corpo retorna à sua configuração inicial;

2ª Hipótese – Homogeneidade: O material do corpo é homogêneo, ou seja, qualquer porção tomada desse material apresenta as mesmas propriedades.

3ª Hipótese – Isotropia*: As propriedades mecânicas do material são as mesmas em todas as direções.

4ª Hipótese – Continuidade: O material ocupa continuamente o volume do corpo (ausência de vazios).



1.1. Teoria da Elasticidade – Hipóteses básicas (cont)

Teoria da Elasticidade Linear – Restrições:

1ª Restrição – Linearidade Física. O corpo é elástico linear. Lei de Hooke.

2ª Restrição - Lineariadade Geométrica. Deformações são pequenas se comparadas com a unidade. Os deslocamentos são pequenos se comparados com as dimensões do corpo.

σ

ε

pσσ

Eε

Eσ ε= Lei de Hooke*



1.2. Notação Indicial

A notação indicial objetiva compactar a escrita de vetores, tensores, matrizes e equações, bem como seus desenvolvimentos matemáticos. Émuito utilizada em artigos científicos que envolvem mecânica computacional e também livros didáticos de Mecânica do Contínuo ou Análise Tensorial.

I) Alguns Exemplos de vetores, matrizes e tensores:

Um vetor V= { V1 V2 V3} Vi=Vi, com i=1,2,3

Uma matriz

Tensor de terceira e quarta ordem:

11 12

21 22

M MM M⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

M . jij iM M=

.

kijk ij

klijkl ij

T T

D D

=

=



1.2. Notação Indicial (cont)

Regras da Notação Indicial:

1ª) Um índice só pode aparecer numa expressão no máximo DUAS vezes, exemplo:

2ª) O índice repetido denota SOMATÓRIO e chama-se índice mudo (regra de Einstein), exemplos:

Se k=1,2 e j=1,2,3, temos:

OBS: os índices “livres” são os que não se repetem numa expressão.

; ;ii ij j ij k k

kk j j

M a b C C

u U

δ

= Φ

1 1 1 11 1 1 2 2 3 3

2 2 2 22 1 1 2 2 3 3

:kk j j

j j

j j

u U

u U U U U

u U U U U

= Φ

∴ = Φ = Φ +Φ +Φ

∴ = Φ = Φ +Φ +Φ




Algumas operações na forma indicial:

i) Traço de uma matriz:

ii) Produto escalar entre dois vetores:

iii) Produto entre duas matrizes:

Delta de Kronecker:

É o tensor identidade, e é dado por:

Um vetor no espaço pode ser representado em coordenadas retangulares

na forma:

Sendo:

Além disso, (propriedade de mudar o índice de uma expressão)

e ainda:

( ) jjtr M M=

k ka b⋅ =a b

ij ik kjC A B=

10ij

se i jse i j

δ=⎧

= ⎨ ≠⎩

1 2 2 3 3 i iv v v v= + + =1v e e e e

ij i jδ = ⋅e e

ik k iC Cδ =3kkδ =




Permutador, ou Símbolo de Permutação:

É dado por:

O produto vetorial de dois vetores na forma indicial é dado por:

1, 123121, 32132

0,ijk

se ijk aparecer na sequênciase ijk aparecer na sequência

se ijk aparecer em qualquer outra sequênciaε

⎧⎪= −⎨⎪⎩

ijk i j ka bε=a×b e

Notação de Derivação: Em notação indicial é comum indicar derivação

através do uso de vírgulas, exemplo: , então:( )1 2, ,...,i nV f x x x=

,i

i jj

V Vx∂

=∂

1ª derivada

2

,i

i jkj k

V Vx x∂

=∂ ∂ 2ª derivada







Exemplo1: Expandir a seguinte expressão:

2ij ij kk ijGσ λδ ε ε= +

Exemplo3: Dada a função , onde é constante, mostre queij i jf A x x=ijA

( )ij ji jf

i

A A x∂= +

x∂

Exemplo2: Determine o valor das seguintes expressões:

jj

i

j

jk jk

ij jk

xx

Aij ik

δ

δ δ

δ δ

δ

=

∂=

∂

=

=

=

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