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7/25/2019 Cap VI - Hidrulica 1
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CAPITULO VI TRANSPORTE DE SEDIMENTOS EM CANAIS
6.1 Generalidades
Du Boys, em 1879, sugeria que o movimento dos sedimentos do leito deveria
ocorrer em camadas com espessuras iguais s dos gros. A camada da superfcie teria maiorvelocidade, e a partir deste ponto a velocidade decresceria linearmente com a profundidade,figura 6.3. Esta foi uma das primeiras tentativas de formalizar um modelo que representasse
o fenmeno de transporte slido. Aparentemente foi Krey quem, em 1910, observou que o
modelo idealizado por Du Boys no correspondia realidade. As observaes feitas por
Krey e outras posteriores, revelaram que somente a camada superficial era passvel demovimento. Ademais, o movimento no se realizava pelo escorregamento da camada
superficial. Na verdade, existem mecanismos distintos para o transporte de material slido,
ou seja, junto ao fundo existem as modalidades de transporte por arrastamento e porsaltitao, e nos estgios mais avanados do escoamento, ocorre o transporte de materiais
em suspenso no seio lquido.
Os diversos estgios do escoamento dos sedimentos podem ser sintetizados daseguinte forma:
1) 0< 0cr qs =0
no h transporte de sedimentos
2) 0cr< 0< 0cr qs = qsf
O material transportado por arrastamento ou saltitao (qsf), numa determinada camada
do escoamento y < .3) 0cr < 0 qs = qsf + qss
O material transportado por rolamento ou saltitao (qsf) na camada y < , e emsuspenso (qss) na camada < y < h.
A partcula que arrancada do leito pelas foras da turbulncia, no ter uma
trajetria determinada Tb (figura 6.1). Sua trajetria estar merc das foras deturbulncia, de natureza randmica, e portanto, a partcula se movimentar numa trajetria
probabilstica Ts (figura 6.1).
A limitao convencional entre o transporte de fundo (por arrastamento ou
saltitao) e o transporte em suspenso, em essncia, uma idealizao que na realidadeno existe. Desde que as trajetrias Tb e Ts so tpicas de materiais transportados pelo
fundo e em suspenso, e que a transio entre as duas modalidades no abrupta (existem
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entre elas outras trajetrias tpicas de situaes intermedirias T1, T2, T3.... (figura 6.2), no
existe um valor determinado de 0cr que determine o incio do transporte em suspenso,nem uma camada de espessura y = , que separe as regies das duas modalidades detransporte.
No estudo das modalidades de transporte de fundo, em suspenso e total, que seroapresentadas a seguir, foram selecionadas algumas frmulas de transporte slido mais
utilizadas. Destas, algumas mais consagradas, sero analisadas com maior profundidade.
6.2 Transporte slido de fundo
Existem basicamente duas modalidades de transporte de fundo, definidas pelo
Subcommittee on Sediment Terminology da American Geophysical Union como:
Transporte de contacto, em que o material se movimenta atravs de rolamento ou
escorregamento sobre a superfcie do leio.Transporte por saltitao, em que o material se desloca em pequenos saltos.
Em ambos os casos os movimentos so descontnuos, caracterizados pordeslocamentos relativamente rpidos, entremeados de perodos de repouso.
Nos cursos naturais, de maneira geral, o transporte de fundo predomina nas regies
de cabeceira, devido s caractersiticas gerais dos sedimentos, que nestas regies, so mais
grosseiros. O transporte por saltitao nestes casos, pode representar uma parcelaimportante.
De maneira geral, a medio do transporte por saltitao muito difcil, alm do
que esta modalidade pouco representativa nos casos de escoamentos em leitos arenosos.Por esta razo, os transportes por contato e por saltitao so agrupados sem distino, para
representar o transporte de fundo, ou seja, o transporte nas imediaes do leito.
A pesar de existirem modelos tericos que expliquem razoavelmente o transporte de
fundo, no se conseguiu ainda nenhum mtodo de clculo que o quantifique, dentro dospadres normais de preciso para a engenharia. Os mtodos de clculo foram
desenvolvidos basicamente com dados de Laboratrio, uma vez que os dados das mediesna natureza so bastante escassos. Mesmo assim os resultados de Laboratrio so efetuados
em sua acuracidade, por dificuldade tcnicas de medio. Quando os sedimentos so muito
finos, parte deste material transportado em suspenso, e muitas vezes contabilizado como
transporte de fundo. As medies realizadas numa determinada seo apresentam umavariabilidade no tempo, e existem exemplos que apontam uma disperso em relao ao
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valor mdio da ordem de 300 a 500 por cento. Isto se deve variabilidade da intensidade detransporte nos diversos pontos de ondulao do leito.
Para tornar ainda mais complexo o problema, h uma interdependncia entre o
transporte de fundo e a resistncia ao escoamento, devido rugosidade de forma. A falta deum completo entendimento de como equacionar corretamente a resistncia em canais
aluvionais, alm de todas as incertezas que cercam os dados de medies, dificultasobremaneira o equacionamento do transporte de fundo.Partindo destas evidncias pode-se esperar uma diferena significativa nos
resultados das aplicaes das diversas metodologias de clculo que sero apresentadas a
seguir. Estas metodologias foram classificadas de acordo com a natureza da formulao:
a- Formulaes de natureza empricab- Formulaes baseadas na anlise dimensional
c- Formulaes terico-experimentais
6.2.1 Mtodos de clculo do transporte slido de fundo
6.2.1.1 Formulaes de natureza emprica
- Frmula de Du BoysA primeira frmula de transporte slido de fundo foi proposta em 1879 por Du
Boys, que imaginou o escoamento do material de fundo em camadas (figura 6.3), com a
velocidade mxima superfcie, decrescendo linearmente com a profundidade. Destaforma, a vazo slida especfica seria:
qs = s N . h (N-1) V/2 (6.1)onde:
N nmero de camadas.
V variao da velocidade por camadas.
A tenso de cizalhamento sobre o leito deveria ser igual tenso da resistncia aoescoamento:
0= s N h tg (6.2)onde:
- ngulo de repouso
O nmero de camadas N, pode ser obtido atravs da condio crtica de incio de
arraste, em que N = 1.
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0cr= s h tg (6.3)ou
ocr
N
0=
Portanto a equao 6.1 fica na forma:
( 00022
cr
ocr
s Vhqs
= ) (6.4)
-Frmulas empricas gerais
Apesar do modelo proposto por Du Boys ser incorreto, existem inmeras frmulas
de natureza emprica, que apresentam muita semelhana com a expresso 6.4. a restrio
que feita a frmulas deste tipo, que no consideram o efeito da rugosidade de forma.Na tabela 6.1, so apresentadas algumas frmulas empricas. Os coeficientes a e b
das frmulas representam coeficientes empricos.
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-Frmulas de Meyer-Peter e Muller
A frmula emprica de maior aceitao a que foi desenvolvida por Meyer-Peter e
Muller (1948). Nos primeiros estudos realizados por Meyer-Peter, Favre e Einstein (1934)este grupo chegou seguinte equao, vlida para sedimentos grosseiros:
174,0 3
2
3
2
=d
Jq
d
qsb (6.5)
porm, esta frmula apresentou grandes discrepncias quando testada com sedimentosfinos. Posteriormente, Meyer-Peter e Muller modificaram a equao 6.5, baseados nos
seguintes fatos:
a a desuniformidade do material alterava o valor das constantes da equao;
b uma parcela da tenso de atrito era utilizada para vencer as ondulaes do leito, noparticipando do transporte de material slido.
A partir destas consideraes, propuseram um mtodo de clculo, em que a perda decarga unitria do escoamento se subdividia em duas parcelas: uma correspondente
rugosidade do gro e outra rugosidade de forma.
J = J + J (6.6)A interpretao fsica simples, tratando-se de uma superposio de efeitos. A
primeira parcela corresponde perda de carga num canal de seo regular, contando apenas
com a rugosidade dos gros, e a segunda parcela corresponde perda de carga num canal
com a rugosidade das deformaes decorrentes do transporte slido.O valor de J determinado pela frmula de Manning-Strickler:
2
1
3
2
'.1
JRns
um= (6.7)
0,26
61
90dns= (6.8)
Igualando a expresso 6.7 frmula de Manning (4.35), chega-se a:2
'
=n
ns
J
J (6.9)
Introduzindo esta relao na equao 6.5 a rearranjando-a, Meyer-Peter e Mullerobtiveram a equao:
( ) ( ) dass
qsb
gdas
RJ
n
ns
3
1
3
2
3
1
2
3
125,0047,0
+=
(6.10)
onde da o dimetro caracterstico, representado pela mdia aritmtica dos dimetros da
mistura. Nos sedimentos utilizados por Meyer-Peter e Muller da variou entre d 50e d60.A equao 6.10 foi obtida para o seguinte campo de variveis:
J = 4.10-4
a 2.10-2
m/m
d = 0,4 mm a 30 mmh = 1 cm a 120 cm
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25,0=
sa 3,2
O amplo campo de dados em que a frmula foi utilizada com resultados poucodispersivos, tornaram a aplicao deste mtodo mais confivel em aplicaes generalizadas.
Ning Chien (1954), obteve sucesso no teste comparativo da equao 6,10 com a frmula de
Einstein, figura 6.4, o que no deixa de ser tambm um bom indicador para o seu uso.
A equao 6.10, pode ser reescrita numa forma mais conveniente, figura 6.5:
3
2
*
2
3
25,0047,0 +=
n
ns (6.11)
onde:
3
adgs
s
qsb
=
(6.12)
ou ( )23
* 047,0'8 = (6.13)
onde *
2
3
*'
=n
ns (6.14)
e2
3
'
=n
ns
R
R (6.15)
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( )dsJR
='
'* (6.16)
A equao 6.13, desenvolvida por Chien, utiliza a metodologia proposta porEinstein, em que a subdiviso dos efeitos das rugosidades do gro e de forma feita atravs
do raio hidrulico.
A formula 6.13, nesta forma, torna-se similar frmula do tipo Du Boys, onde a
vazo slida se anula para um particular valor de *=0,047. Este valor concorda com osresultados do diagrama de Shields, figura 6.5. O resultado bastante coerente, uma vez que
os autores trabalharam na maioria dos casos com sedimentos grados. Yalin (1977) aindaprope uma forma generalizada para a expresso 6.13.
23
* )'(8 cr = (6.17)
6.2.1.2 Formulaes baseadas na anlise dimensional
As frmulas de transporte slido, que sero apresentadas no restante deste captulo,sero expressas em termos dos adimensionais desenvolvidos no captulo II (tabela 2.1). Os
adimensionais mais utilizados so:
d*
*
vRe = (6.18)
ds
2
**
v
= (6.19)
d
hh =* (6.20)
sW= (6.21)
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3gd
qsb
ss
=
(6.22)
*
1
= (6.23)
*v
8 um
fc == (6.24)
- Frmula de Shields
Em 1936, Shields, apresentou uma formulao para o clculo do transporte de
fundo, na forma adimensionalizada:
=
dJq
sqsb
s
cr
0010
1
(6.25)
que tambm pode ser escrita da forma:
( crw
c **2
5
*
110 = ) (6.26)
Esta formulao se assemelha maioria das frmulas vistas at o momento,relacionando o transporte slido com o excedente de tenso acima da crtica. O efeito da
rugosidade do leito est representado pelo adimensional c. Shields tambm considerou a
variabilidade da natureza do material, atravs do adimensional W, fazendo-o variar entre1,06 e 4,20. A granulometria esteve compreendida entre 1,56 mm e 2,47 mm.
Uma verificao posterior desta frmula, indicou erros de at 200%. Todavia, tal
magnitude de erros tpica em formulaes para o clculo do transporte slido.
- Mtodo de Rottner
Rottner (1959) apresentou uma relao grfica (figura 6.6) de quatro adimensionais.
3gh
qsb
ss
;d
h;
gh
u
s
;
s
J (6.27)
baseado em dados de 2500 observaes em canais de laboratrio.
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Os adimensionais podem ser reescritos na forma:
23
*
3
= hgh
qsb
ss
(6.28)
*hd
h= (6.29)
2
1
*
*
=
h
c
gh
u
s
(6.30)
*
*
h
J
s
=
(6.31)
Assim, o conjunto de adimensionais passa a ser:
23
*
h ; ;*h
2
1
*
*
h
c
;*
*
h
(6.32)
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No captulo II foi visto que nos casos em que o regime de escoamento de leitoplano, rugas ou ondulaes suaves (Ks ~ d), o adimensional h* no uma grandeza
caracterstica, e este aspecto no ficou claro na relao proposta por Rottner.
As taxas de transporte obtidas por este mtodo so muito superiores s taxascalculadas por outros mtodos tradicionais, como Meyer-Peter e Muller, Einstein, Garde e
diversos autores.
- Mtodo de Garde e Albertson
Garde e Albertson (1961) verificaram que a maioria das frmulas de transporte de
fundo estabelecem uma relao do tipo:
( crG ** = ) (6.34)ou ainda nos casos em que > cr** >
) (6.35)( *fG=onde:
Jhd
qsb
s
G
**v
==
Para os casos em que o leito plano, os dados definem uma nica curva, como as
relaes encontradas por Kalinske e Einstein (figura 6.8). Por outro lado, nos regimes de
rugas ou dunas, relaes deste tipo apresentam grandes disperses, uma vez que oescoamento slido nestes casos tambm est condicionado rugosidade de forma. Garde e
Albertson concluram, ento, que haveria necessidade de uma terceira varivel,
representada pelo adimensional c. O uso deste adimensional parece lgico, uma vez que
para um determinado estgio do escoamento representados na relao *x Fr (figura 4.13).O transporte de fundo poderia ento ser expresso em funo do parmetro de
Shields * , e do regime do escoamento. Este, por sua vez, representado pela resistncia aoescoamento, ou seja, pelo adimensional c (figura 6.9).
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Este critrio pretende considerar todos os aspectos que afetam o transporte slido de
fundo sem , no entanto, entrar em refinamentos concernentes subdiviso da tenso decizalhamento devido s rugosidades do gro e de forma. Desta maneira, bastam as curvas
representadas nas figuras 4.14, 6.8 e 6.9.
6.2.13 Mtodos Semitericos
- Mtodo de Einstein (1942 a 1950)
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O mtodo de clculo formulado por Einstein (1950) representa um marco naevoluo das frmulas de transporte de slido. O modelo fsico em que se baseia, abandona
o conceito da condio crtica de incio de movimento. O transporte de fundo, neste
modelo, est relacionado s flutuaes de velocidades. O movimento da partcula funoda probabilidade de ocorrncia do desequilbrio das foras atuantes sobre o gro.
Evidncias experimentais levaram Einstein a concluir que:a Existe uma intensa e estvel troca de partculas entre o material do leito em repouso e odo leito em movimento.
b Os movimentos das partculas ocorrem em passos rpidos, entremeados de longos
perodos de repouso.
c Em mdia, os passos dados pelas partculas carreadas so constantes, e aparentementeindependem do estgio do escoamento lquido, slido ou da composio granulomtrica.
d A variao no transporte slido atribuda mudana nos intervalos de tempo em que
as partculas permanecem em repouso.
Partindo destes conceitos, Einstein desenvolveu seu mtodo, inicialmente de
natureza emprica (1942), modificando-o posteriormente atravs de um tratamento analtico(1950).
Modelo fsico
O modelo fsico idealizado por Einstein, para explicar o fenmeno, consiste em queo transporte slido resulte da intensa troca entre as partculas que esto em movimento e as
que esto em repouso. O equilbrio destas trocas implica em que as quantidades de
partculas retiradas e depositadas, por unidade de tempo e rea, devam ser iguais.
Deposio
Cada partcula com um dado dimetro d, percorre uma distncia Ald. Seja umasuperfcie retangular de largura unitria e comprimento Ald, ento o nmero de partculas
que se depositam nesta superfcie, por unidade de tempo e rea :
4
2
3
2 dikAl
qsbis
dkdiAl
qsbisn
ss
T
=
=
(6.36)
onde:
is qsb o transporte slido em peso, da frao is do material transportado, que tem
dimetro di, por unidade de tempo.
sk2di
3- peso seco de uma partcula de dimetro di. (k2 coeficiente de forma do volume)
Remoo
O nmero de partculas por unidade da rea do leito, para uma frao ib do material
do leito com granulometria di, dado por:
2kldi
ibNB= (6.37)
onde:
k1 um coeficiente de forma de superfcie.
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Seja p a probabilidade de remoo de uma partcula do leito, ento o nmero de
partculas que so removidas do leito, por unidade de rea e tempo :
tedik
ibpnB 2
1
= (6.38)
onde:te o tempo consumido para uma troca total na superfcie AL. D. 1, entre o material emrepouso e o transportado.
No existe forma para determinar te diretamente. Einstein, em 1942, props marelao de dependncia de te, com a velocidade de queda da partcula.
te ~0w
d (6.39)
ou
)(3
=sg
dikte (6.40)
Equilbrio
Desde que as taxas de deposio e remoo estejam em equilbrio, ou seja, que o
transporte slido esteja em regime, pode-se exprimir a relao:
( )
= S
SL di
g
dikk
pib
dikA
sbisq2
31
4
2
(6.41)
Probabilidade de remoo
A probabilidade de remoo p, a frao do tempo em que as foras ascensionais
que agem sobre a partcula superam o seu peso. Einstein interpretou que a probabilidadepoderia ser utilizada para o clculo da distncia AL. d.
Seja a probabilidade p de valor pequeno, ento a distncia de transporte limitada
inferiormente, portanto virtualmente constante, e pode ser escrita:
ALd = bd (6.42)Sendo buma constante de percurso unitrio tendo um valor em torno de 100.
Considere-se agora uma situao contrria, em que a probabilidade de remoo pseja grande, de sorte que apenas (1-p) partculas se depositam aps o percurso bd, aopasso que p continuam em movimento. No percurso seguinte, correspondente a 2bd, p(1-p) se depositam, enquanto p
2continuam em movimento. No ensimo percurso, ou seja a n.
b.d, pn-1
(1-p) se depositam, ao passo que pnseguem o percurso.
Seguindo este raciocnio, o percurso mximo AL.d para que haja uma troca total,
expressa em termos de probabilidade de remoo :
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AL.d =p
bdnpp
d
b
n
n =+
= 1)1()1(
0
(6.43)
Este valor substitudo na equao 6.41, fornece a expresso:
=
3
2
31 1
1 gdi
qsb
ib
is
k
kk
p
p
ssb
(6.44)
ou
**1
Ap
p=
(6.45)
onde:
=*A b
k
kk
2
31 (6.46)
constante determinada experimentalmente.
=ib
is* (6.47)
Formulao emprica (1942)
A primeira formulao apresentada por H. Einstein em 1942, aplicvel a sedimentos
uniformes e misturas, apresenta uma relao similar equao 6.45:
4242
*1
Ap
p=
(6.48)
onde:
3
12
314242
*
1
)(
1
gdi
qs
Fk
kkA
ssb
=
(6.49)
onde:
ss gdgd
F2
33
2
1
3636
3
2+= (6.50)
que representa o coeficiente da equao de Rubey (1933), para a determinao da
velocidade de queda da partcula (3.10).Ainda nesta ocasio Einstein no discretizava a dimenso da partcula, sugerindo
para os casos de misturas, que fosse utilizada como dimenso caracterstica um dimetro de
peneiramento situado entre d35e d45.
Determinao da probabilidade de remoo
A probabilidade de remoo de uma partcula do leito, como sabido, depende da
relao entre a fora de sustentao e peso da partcula.
=G
Ffp (6.51)
onde:
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22
2
1ubdikipCF L = (6.52)
3'
2 dkG s= (6.53)ub velocidade nas proximidades do leito, que em se tratando de regime viscoso:
ub 11,6 v*11,6 JgR' (6.54)A funo 6.51 pode ser reescrita na forma:
)( 4242*Bfp= (6.55)onde:
LCk
kB
1
135
2
1
242
* = (6.56)
B*42
admitido constante, porm deve-se observar que CL varivel com Re*= v*d/noregime laminar.
JR
d
H
s
'
)(1'
*
42
== (6.57)
Na expresso 6.57, percebe-se a subdiviso da tenso de cizalhamento proposta por
H. Einstein, onde ele considera a parcela = , correspondente ao gro, como acomponente que efetivamente contribui para o transporte slido.
JR '0 '
Para o caso particular, em que a probabilidade p pequena (42< 0,4), a equao6.48 simplifica-se a:
)( 4242*4242
* BfAp == (6.58)As constantes A*
42e B*
42, foram determinadas empiricamente, e a funo 6.57 foi
ajustada aos dados de Gilbert (1914) e Meyer-Peter(1934), figura 6.10, resultando na
equao:
391,01
465,0 =eF (6.59)
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Nos regimes de transporte slido intenso (42>0,4), a equao 6.58 desvia-se
consideravelmente dos dados. Este fato de se esperar, uma vez que nessas condies ahiptese da equao 6.58 no mais vlida. Para estes casos a equao completa 6.48 deve
ser utilizada, resultando na curva 2 da figura 6.9. O desvio da curva em relao aos dados
observados explicado pelo fato de que nestes esto includas parcelas de material emsuspenso.
Posteriormente Brown (1950) revisando estes dados, sugeriu um ajuste da curva,
vlida para 09,01
*>= , atravs da expresso:
3
140
=
(6.60)
onde:
ds )(
0*
= (6.61)
0 - tenso de atrito total.As expresses 6.59 para 0,09 (figura 6.10) passaram a ser
denominadas de frmula de Einstein e Brown.* *
Percebe-se ainda que para valores de inferiores a =0,06 (=17), ocorretransporte apesar de pequeno, contrariando os resultados das frmulas tradicionais quecalculam o transporte em funo do excedente de tenso acima da crtica.
* cr*
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Formulao analtica (1950)
O mtodo de Einstein, na sua apresentao com um desenvolvimento analtico
(1950) adquiriu um carter mais abrangente que a formulao emprica (1942). Representauma possibilidade mais generalizada para o clculo do transporte de fundo, uma vez que, ao
contrrio da formulao original, esta considera os efeitos da deformao do leito.
Determinao da funo da probabilidade de remoo
A probabilidade de remoo da partcula, determinada pela funo 6.51, pode ainda
ser expressa pela probabilidade da fora de sustentao superar o peso da partcula.
( ) 11 >+G
F (6.62)
onde:
- uma funo randmica distribuda de acordo com a distribuio normal, comdesvio padro 0 = 0,5 (constante)
22
11..2
1ubdkCF L= (6.52)
CL= 0,178 (obtido experimentalmente)
A velocidade nas proximidades do leito ub, considerada a uma distncia de 0,35Xdo leito onde X representa o dimetro caracterstico da mistura, com:
Xx
d6577,0= se 80,1'
65 >x
d (6.63)
X = 1,39 se' 80,1'
65 (6.68)
onde:
JR
d
H
s
'
= (6.69)
1
2
2
1
2 34,0)75.5)(178,0(
2
k
k
k
kB == (6.70)
65
6,10logd
xXx
= (6.71)
Fatores de correo
Einstein introduziu na expresso 6.68, o fator de correo que considera oencobrimento de sedimentos finos por outros grosseiros, ou pela camada limite laminar.
Neste caso, a fora de sustentao dever ser corrigida por
-1
que funo de d/X, figura6.11.
Um segundo fator foi introduzido, para corrigir o coeficiente de sustentao, que varivel de acordo com a rugosidade das diversas misturas, e portanto funo de d65/,figura 6.12. Para material de granulometria uniforme, tais constantes so unitrias.
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A expresso 6.68, com algumas manipulaes, toma a forma:
2
*
2
*
2
*
0
1Bn
n>
+ (6.72)
onde:n*=n/n0 (6.73)
(razo entre n e desvio padro n0).
2
0
* =n
BB (6.74)
=
2
2
*x
(6.75)
em que = log 10,6.
No limite do equilbrio de foras, a condio de incio de movimento das partculas
:
2
*
2
*
2
*
0
1=
+ Bn
n (6.76)
ou
n*limite=0
**
1
nB (6.77)
Como n, por hiptese, tem distribuio normal, a probabilidade de remoo daspartculas, que vem a ser a integrao da funo n, fica sendo:
p = 1 -
dte tn
B
nB
20
*
0*
1*
1*
1
(6.78)
onde: t a varivel de integrao.
Combinando as expresses 6.45 e 6.78, chega-se formulao final de H. Einstein(1950), figura 6.13:
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21/61
+=+
11 **
**
A
A
dte tn
B
nB
20
*
0*
1*
1*
1
(6.79)
em que os coeficientes forma obtidos experimentalmente, fornecendo os valores:
A*= 43,8
B*= 0,143
O clculo do transporte slido, como foi visto, feito individualmente para cadafaixa granulomtrica (is/ib) da mistura, e totalizado com a soma destes clculos parciais. Se
o sedimento do leito no tiver uma granulometria muito variada, ento o clculo poder serfeito, utilizando-se o dimetro d35como dimenso caracterstica.
Mtodo de Kalinske
O mtodo proposto por Kalinske (1947), parte de trs premissas bsicas:
a- Existe uma condio crtica para o incio do movimento das partculas, definidopela tenso crtica de cizalhamento.
b- As foras do escoamento que atuam sobre as partculas, flutuam em torno de umvalor mdio, devido s flutuaes turbulentas.
c- A taxa de transporte slido funo do nmero, dimenses e velocidade mdia dossedimentos.
Utilizando um mtodo semelhante ao proposto por White (1940), Kalinske definiu oincio de transporte slido a partir de :
ocr= 0,039 s d (6.80)
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condio que se aproxima do critrio de Shields para o caso de regime turbulento rugoso.A velocidade de escoamento do sedimento determinado por:
Us= k(ub ubcr) (6.81)
onde Us a velocidade instantnea do sedimento e ubcre ubso as velocidades instantnea ecrtica de incio de movimento nas proximidades do leito. K uma constante determinada
experimentalmente e de valor unitrio.Admitindo que a velocidade instantnea do escoamento obedea a uma distribuionormal, a equao 6.81 fica:
= rum
ucrf
u
Us , (6.82)
Os valores com barra indicam mdias temporais, e r =u
, com 2)( uu= .
Lembrando que existe uma proporcionalidade entre ucr/u e , a funo 6.82pode ser reescrita na forma:
0/ocr
= rf
u
sU
o
ocr ,
(6.83)
O transporte slido calculado em funo da velocidade mdia de escoamento dosedimento:
)(64/.
3
2
1
= SSs Ud
d
Pq (6.84)
onde:
4/. 2
1
d
P
- o nmero d gros por unidade de rea.
P1 a frao do leito ocupado pelos gros.
Com alguma manipulao de equao 6.84, chega-se a:
um
UP
du
q S
s
s1
3
2
)(=
(6.85)
ou utilizando uma das propriedades da lei de distribuio de velocidades, 0,11*
=v
u, ento:
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( ) ( ) umU
d
q s
s
s
s
s 57,2.v **
=
=
(6.86)
ou
( )um
Us
s
s ..57,2 * = (6.87)
A funo 6.83 foi determinada experimentalmente, figura 6.14, para osvalores r = 0 e r = 0,25, representando as condies de regime laminar, e regimeturbulento, respectivamente, nas proximidades do leito.
Kalinske verificou esta formulao atravs de dados experimentais,considerando r = 0,25, obtendo resultados satisfatrios, figura 6.15.
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A frmula foi desenvolvida para sedimentos de granulometria uniforme.
Para os casos de misturas o autor recomenda o uso de dimetro mdio, para que seobtenham melhores resultados. A principal limitao deste mtodo, contudo, est emno considerar as deformaes do leito. Portanto este mtodo deve encontrar bons
resultados somente nos casos em que o leito plano.
6.3 Transporte slido em suspenso
O transporte slido em suspenso ocorre nos estgios mais avanados doescoamento lquido, quando parte das partculas slidas que entram em movimento,atingem regies em que a turbulncia capaz de produzir esforos ascensionais demesma magnitude dos pesos das partculas.
Para entender o mecanismo que mantm o sedimento em suspenso,considere-se um plano horizontal, orientado segundo o sistema de coordenadas dafigura 6.16, e uma superfcie elementar de rea dx . dz.
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A velocidade do escoamento representa a somatria de todas as
componentes:zvyvxvv
rrrr
++= (6.88)onde
vx'xvvx += (6.89 a)
vy'yvvy += (6.89 b)
vz'zvvz += (6.89 c)
as componentes vx, vy e vz, correspondem s flutuaes de velocidade devido
turbulncia. Estas componentes variam em mdulo e sentido no transcorrer do tempo,de sorte que a mdia temporal nula.A vazo slida instantnea que atravessa a superfcie elementar dx dz ser
portanto:
qs = vy . C dx . dz (6.90)
Como a concentrao instantnea tambm pode ser decomposta em:' (6.91)ccc +=
ento:
' (6.92)'''')'(' cvycvycvyccvyqsy =+=+=
pois:cvy' =0
Nos escoamentos com transporte em suspenso, a concentrao mdiac decresce medida que cresce a distncia do leito, devido ao da foragravitacional sobre os gros. No movimento ascensional, o fluido se movimenta de umaregio de maior concentrao para uma regio de menor concentrao, portanto comgrande possibilidade de que a concentrao 'c+c , do ponto de partida seja maior que a
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concentrao local. No movimento da descida, partindo do mesmo raciocnio, aafirmao oposta vlida. Por esta razo, no movimento ascendente a componente+vy1 est associada a +c no movimento descendente a componente vy est associada
a c, resultando, nestes dois casos, num produto ''v y c positivo, fazendo com que se
produza um movimento ascendente dos sedimentos, mantendo-os em suspenso.
Evidentemente podem ocorrer alguns casos em que tal produto seja negativo. A relaoentre as flutuaes de concentrao c, e de velocidade vz, algo do tipo do diagramada figura 6.17, cujo coeficiente de correlao definido por:
221
'v.'c
vy''
y
c= (6.93)
onde 2'c a mdia quadrtica da flutuao de concentraes, que pode ser calculadada forma:
dy
cdl*
2'c = (6.94)
onde l*tem a dimenso de um comprimento caracterstico, anlogo ao comprimento demistura l, definido por Prandtl (equao 4.5).
Das equaes 6.92, 6.93 e 6.94, pode-se expressar a vazo slida em
suspenso no sintido ascensional da forma:
dy
dcEsqsy = (6.96)
onde:
- C=c por simplicidade de notao- ( ) *
21 ' lcEs = definido como coeficiente de difuso do sedimento
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- o sinal negativo representa que o transporte ocorre na direo em que aconcentrao decresce.
Se por um lado a turbulncia do escoamento produz um movimento de ascensodas partculas, o peso desats produz um movimento em sentido contrrio:
0.WCqsy = (6.97)onde Wo representa a velocidade final de queda das partculas.No caso em que o escoamento est em regime, ou seja, quando h equilbrio entre as
foras de turbulncia e peso das partculas, e portanto a vazo slida qsy nula, ento:C wo + Es (dc/dy) = 0 (6.98)
Esta equao foi desenvolvida por Wilhelm Schmidt em 1925 para partculas finasna atmosfera, e posteriormente por M.P.OBrian (1933), em estudos de transporte desedimentos em suspenso em cursos de gua.
A equao de difuso dos sedimentos, pode ainda ser escrita numa forma maisgeneralizada:
y
c
woz
c
Ezzy
c
Eyyx
c
Exxz
c
y
c
x
c
t
c
+
+
+
+= vzvyvx (6.99)
6.3.1 Distribuio da concentrao do material transportado em suspenso
A expresso da distribuio da concentrao do material em suspenso obtida pelaintegrao da equao 6.99, ou ainda, no caso particular do escoamento ser bidimensional esem variao da concentrao ao longo do eixo x, a partir da integrao da equao 6.98.Neste ltimo caso, considerando ainda que a turbulncia seja uniforme em toda aprofundidade do escoamento, portanto com o coeficiente de difuso Es constante, aintegrao da equao 6.98 resultar em:
)( ayEs
wo
eCaC
= (6.100)
onde: Ca uma concentrao de referncia a uma distncia, a do fundo.
Nos escoamentos em canais, no entanto, o coeficiente de difuso Es varivel deacordo com a profundidade. Para a determinao do coeficiente de difuso Es, considere-seque a tenso de cizalhamento possa ser determinada de maneira anloga ao que foi feitonas equaes 6.92 a 6.96:
o
vy'vx' = (6.101)ento:
dy
duE. = (6.102)
onde E = 2 vy l representa o coeficiente de difuso da quantidade de movimento, ou
ainda um coeficiente cinemtico da viscosidade turbulenta.Evidncias experimentais indicam haver uma relao entre os coeficientes de
difuso do sedimento e da quantidade de movimento, do tipo:
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EEs 3= (6.103)
onde uma constante de proporcionalidade. Para efeito prtico, pode ser adotado o
valor unitrio.3
Com as equaes 6.102, 6.103 e as equaes de distribuio da velocidade e tensode cizalhamento vistas no captulo IV.
0.
1xydy
du= (6.104)
h
yh=
0
(6.105)
obtm-se:
)(.03 yhh
yEs =
(6.106)
Substituindo a equao 6.106 em 6.98, tem-se:
dyyhy
hwoc
dc)(v*3
=
(6.107)
Integrando a equao 6.107 obtm-se:z
ah
a
y
yh
Ca
C
= . (6.108)
onde:
*vwo
z= (6.109)
admitindo = 1.03
A equao 6.108, foi desenvolvida por H. Rouse (1965) e por esta razo recebeu sua
denominao. comum tambm encontrar na literatura, o expoente z da equao 6.109,referindo como o nmero de Rouse. A figura 6.18 um grfico da equao 6.108,preparada por Rouse, para diversos valores de z.
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A verificao experimental da equao 6.108, foi feita por diversos pesquisadores,
sempre apresentando resultados satisfatrios. A ttulo de exemplo, a figura 6.19 representadados de medies no rio Missouri (E.U.A.) e resultados de experimentos em laboratrioobtidos por V. Vanoni (1953). Percebe-se claramente o ajuste das curvas tericas com osdados experimentais. Os valores dos expoentes z foram obtidos indiretamente, a partir dascurvas que melhor se ajustaram aos pontos.
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Existem ainda outras abordagens para a determinao da distribuio da
concentrao, como as apresentadas por Bagnold (1966), Velikanov (1954), Einstein eChien (1954), Tanaka e Fugimoto (1958) e outros, mas que dispensam maiores
comentrios, uma vez que estes mtodos no representam um avano significativo emrelao equao 6.108.
6.3.2 Clculo do transporte slido em suspenso por Einstein
Desde que se conheam as curvas de distribuio da velocidade e concentrao, avazo slida com suspenso obtida pela integrao:
= h
yoCudyqss (6.110)
ou
=
h
a
z
dyd
xyah
ay
yhCaqss65
* .2.30ln'v.
(6.111)
o limite inferior a adotado por Einstein, corresponde a dois dimetros do sedimento(a=2d). A velocidade de atrito, refere-se ao gro (v*), para considerar o efeito dadeformao do leito.
Desenvolvendo a integral 6.111, chega-se a:
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+
=
1 1
65
*1..2,30
lnln.1
1
'v
na na
y
z
y
y
y
z
y
y
z
a
a dnn
n
d
xhdnny
n
nhCaqss
(6.112)
ondeh
ana = e
h
yny =
Fazendo-se a transformao:
I1(nai; Zi) = 0,216 dnyny
ny
nai
naiz
na
z
z
.1
)1(
11
(6.113)
I2(nai; Zi) = 0,216 dnynyny
ny
nai
naiz
na
z
z
.ln1
)1(
11
(6.114)
65
..2,30ln
d
xRPr= (6.115)
A expresso 6.112 toma a forma:
[ ]),(),(..'v.64,4
21*
iaiiair ZnIZnIPaiCaiqssis +
=
(6.116)
Nas expresses 6.113 a 6.118, feita a discretizao da distribuio granulomtrica,ai = 2dsi, proposta por Einstein, e a profundidade h substituda pelo raio hidrulico R.
Considerando que a vazo slida de fundo pode ser representada por:
= aiCaiqi bb
'v64,4 * (6.117)
a expresso 6.116 toma a forma final:
)),(),(.( 21 ZinaiIZiaiIPqiqssis rbb += (6.118)
As integrais I1 (nai, Zi) e I2 (nai,Zi), so obtidas graficamente atravs das figuras6.20 e 6.21.
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6.4 Transporte Slido Total
O material slido transportado num escoamento, corresponde soma do materialpredominante na constituio do leito e da carga de lavagem. Esta ltima parcela constituda por um material mais fino, raramente encontrado no leito.
A carga de lavagem resultado da eroso do solo da bacia, das margens, ou doprprio desgaste do material. A produo deste material est ligada a fatores externos aoescoamento, no permitindo uma correlao com parmetros hidrulicos. Este fato noacarreta maiores problemas nas aplicaes da prtica, uma vez que a carga de lavagem, namaioria dos casos, praticamente no interfere na evoluo do leito.
A separao da parcela correspondente carga de lavagem difcil de ser feita, e oscritrios so muito subjetivos. Einstein (1940), por exemplo, sugere de forma arbitrria, quese exclua 10% do material mais fino da composio granulomtrica do leito. A taxa dacarga de lavagem quantificada por Benedict e Matejka no Middle Loup River em dunning(USA) era em torno de 10% do transporte slido total. Em alguns canais da ndia e doPaquisto foram observadas taxas muito maiores.
No estudo do transporte slido total, desenvolvido neste captulo, exclui-se aparcela correspondente carga de lavagem.
Existem dois enfoques distintos no que tange ao equacionamento do transporteslido total, que Garde (1977), definiu da seguinte forma:
Mtodos Macroscpicos:
Neste enfoque, o transporte slido total considerado como um todo. Os autoresque advogam esta forma de tratamento, argumentam que o transporte slido em suspenso um estgio avanado da trao do escoamento sobre o leito. Portanto o transporte slidototal deve estar relacionado com estes esforos de trao do escoamento, no havendonecessidade de distinguir as modalidades de transporte. As metodologias compreendidasneste grupo so baseadas em anlise dimensional, intuio ou, por vezes, em completoempirismo. So exemplos desta categoria os mtodos de Laursen (1958), Bishop et alli(1965), Engelund e Hansen (1967), Achers e White (1973), Garde e Raju (1981).
Mtodos Microscpicos:
Neste grupo esto as metodologias que fazem a subdiviso do transporte slido totalem transporte de fundo e transporte em suspenso. Como se sabe, os mecanismos nestasduas modalidades so totalmente distintos, de forma que os equacionamentos so diferentespar cada uma das modalidades. So exemplos desta categoria os mtodos de Einstein(1950), Colby et alli (1955), Toffaleti(1969).
6.4.1 Exemplos de mtodos macroscpicos
Mtodo de Laursen (1958)
Partindo de uma anlise intuitiva, Laursen considerou que o transporte slido,representado pela concentrao mdia Cm(em porcentagem de peso), poderia ser expressaem funo de adimensionais representativos do transporte slido. O autor escolheu os
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adimensionais v*/wo ecr
o
' , como representativos do transporte em suspenso e de fundo,
respectivamente.A tenso de atrito calculada pela frmula de Strickler (Captulo IV):
3/150
20 )/(74,1' hdmu= (6.119)
e a tenso crtica determinada pelo grfico de Shields (Captulo V).
Para testar o grau de importncia do parmetrocr
o
' , Laursen relacionou Cm com
(cr
o
'
- 1) e obteve uma variao praticamente linear. Por razo intuitiva,
acrescentou relao de parmetros o adimensional (d/h)7/6, obtido da equao de Strickler.A relao final a que chegou foi:
)/v(1')/(
*6/7
i
cr
owof
hdipi
Cm
=
(6.120)
representada pela funo da figura 6.22, vlida para dimetros entre 0,11 mm e 4.08 mm. Oautor ainda sugere, para que se tenha maior acuracidade nos clculos, que estes sejam feitoscom o fracionamento da composio granulomtrica, conforme est indicado na equao6.120.
Bondurant (1958), ao aplicar o mtodo em diversos trechos do rio Missouri,verificou que os valores observados localizava-se esquerda da curva de Laursen (figura6.22), e concluiu que seria necessrio fazer uma reviso da funo. Bogardi , desenvolveuuma relao similar apresentada por Laursen, figura 6.23:
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),v/(1')/(
2*
6/7dgd
hdi
Cm
cr
o
=
(6.121)
Mtodo de Bishop, Simons e Richardson (1965)
A metodologia desenvolvida por Bishop, Simons e Richardson, decorrncia deuma simplificao do mtodo de Einstein, e baseia-se na seguinte premissa:
O transporte slido do material do leito por definio, a parcela do transporteslido total que possui a mesma granulometria de uma grande parte do material encontradono leito (exclui-se portanto a carga de lavagem). razovel considerar que as causas queproduzem o transporte de material em suspenso e de fundo sejam as mesmas. Portanto,pode-se admitir o clculo do transporte slido de uma forma global. Desta forma,eliminam-se as dificuldades decorrentes da diviso do transporte slido em suspenso e defundo, assim como a diviso das zonas correspondentes a cada uma das modalidades detransporte.
Partindo de medies em laboratrio, com sedimentos cujos dimetros mdiosforma 0,19 mm, 0,27 mm, 0,47 mm e 0,93 mm, os autores verificaram que a aplicao domtodo de Einstein fornecia valores abaixo do real nos regimes de rugas e a tendnciaoposta era verificada para o regime de antidunas. Um outro aspecto interessante que pode
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ser visto que a composio granulomtrica do material transportado em suspensoapresenta variaes em funo do regime de escoamento. Nos regimes de rugas e dunas, asdimenses dos gros transportados so inferiores aos da composio do leito, apresentandouma curva mais graduada, figura 6.24. Este fato pode explicar em parte as discrepnciasverificadas na aplicao do mtodo de Einstein, uma vez que os clculos so efetuados em
funo da composio granulomtrica do leito.
O mtodo utiliza uma relao entre parmetros Te , definidos por:
3gd
qst
ss
T
= (6.122)
JR
ds
'
)(' 35
= (6.123)
onde qst representa a vazo slida total por unidade de comprimento.As figuras 6.25 e 6.28, apresentam as curvas ajustadas aos resultados dos
experimentos, para cada granulometria. As linhas cheias representam as curvas ajustadasvisualmente, e as linhas tracejadas representam a adequao dos parmetros A*e B*.
As curvas ajustadas visualmente, apresentam o mesmo tipo de conformao, comopode ser visto na figura 6.29, distinguindo-se trs regies distintas correspondentes aosregimes inferior (parte inferior da curva), de transio (regio de inflexo) e superior (parte
superior da curva). A curva de Einstein, com o ajuste de A*e B*adere bem aos dados naregio correspondente ao regime inferior, desviando-se bastante na regio de transio.
Esta metodologia foi testada para oito rios dos E.U.A., apresentando resultados umpouco melhores em relao ao mtodo de Einstein. A grande vantagem na aplicao destemtodo reside na sua simplicidade de aplicao.
A aplicao deste mtodo pode ser feita fazendo-se uso da figura 6.30, e da curvacorrespondente granulometria obtida atravs de interpolao grfica. Outra forma de
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37/61
aplicao pode ser feita, utilizando-se a equao 6.80, de Einstein, com os valores de A*eB*obtidos atravs da figura 6.30, desde que o escoamento esteja em regime inferior.
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Mtodo de Graf et alli (1968)
Esta metodologia foi desenvolvida por Graf et alli, para calcular o transporte slidototal, tanto em escoamentos livres como em condutos forados. As hipteses assumidas so
as seguintes:a) leito plano e estacionrio;b) granulometria uniforme;c) seo transversal constante;d) utiliza o critrio de condio crtica de incio de movimento;
A condio de movimento incipiente de uma partcula slida, determinada, comofoi visto no captulo 5, a partir do equilbrio entre a fora hidrodinmica atuante sobre apartcula e a respectiva fora de resistncia ao movimento:
rr
DFtgsG = (6.124)
onde:
Gs peso submerso da partculaGs = k3(s- ) gd
3tg - coeficiente de atrito (ngulo de repouso)FD fora hidrodinmica sobre a partcula calculada por
2
22 udkCF iDD
= (6.125)
CD coeficiente de arrasto
= 21 ,K
dufCD
(6.126)
K1, K2e K3 coeficientes de forma
uf velocidade nas proximidades do leito
= CKs
yufKsuf,,
v
v*
2*
(6.127)
yuf profundidade onde ocorre uf, que por definio :yuf = k4d
C concentrao de partculas slidasKs rugosidade equivalente de Nikuradse
Fazendo-se a substituio destas variveis em 6.124, obtm-se a expresso:
( )2
4
*
2213
1
,,
v
,2
1
=
Ck
d
k
dub
tgk
kd
ocr
s
(6.128)que para uma determinada partcula toma a forma simplificada:
= Cd
cr ,v*
3
(6.129)
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Este um critrio de incio de movimento de material do leito, semelhante ao deShields, apresentado no captulo 5. A diferena bsica que leva em considerao aconcentrao de material transportado.
O transporte slido total, definido atravs de:
P
QCq sst ).( = (6.130)
onde:Q vazo lquida totalP - Permetro molhado (constante)
foi relacionado com a potncia do escoamento disponvel para o transporte slido, ou seja,com o excesso de tenso acima da crtica, expressa por:
)(4 = umN o (6.131)
onde a funo foi adotada intuitivamente pelos autores, para representar a parcelaresponsvel pelo transporte slido.
)(4
Por uma questo de coerncia de notao o transporte slido total foi multiplicadopelo fator um/wo, para transformar o resultado em termos de potncia, de onde se obtm:
)(.. 40 = umwo
umqst (6.132)
ou)(.. 40 = woqst (6.133)
A equao 6.133 pode ser adimensionalizada, dividindo-se os dois membros por
/)( ocrocr , ou seja
)(.. 4
=ocrocr
o
ocrocr
woqst
(6.134)
A velocidade de queda calculada por:
D
s
c
gdwo
=
3
4 (6.135)
a tenso de atrito crtica, obtida atravs do parmetro de Shields:dKs socr )( = (6.136)
e a razo uma funo de , ou seja:ocro /
)(5 =ocr
o (6.137)
Substituindo 6.130, 6.135, 6.136 em 6.134, obtm-se
5543 3
4)()(
)(
.K
CdP
CQ
Ds
=
(6.138)
ou:
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( ) 6=A (6.139)
Onde: representam, respectivamente, o primeiro e o segundo membros da
expresso 6.138.
( ) 6eA
A relao funcional 6.138, foi obtida por Grafet alli (1968), utilizando dados de
medies de transporte slido total em canais, rios e condutos forados, de diversas fontes.A partir de uma anlise de regresso os autores obtiveram o seguinte resultado:
( ) 52,239,10 = A (6.140) interessante observar que este mtodo apresentou, nas aplicaes efetuadas pelos
autores, resultados melhores nos escoamentos livres do que nos escoamentos forados,embora as hipteses para a aplicao desta metodologia se ajustem mis a este ltimo caso.
Mtodo de Raju et alli (1981)
O recente trabalho apresentado por Garde e Raju em 1981, representa uma evoluodo mtodo proposto por Vital, Garde e Raju (1973). Neste ltimo, aps uma anlise de uma
grande quantidade de dados de diversas fontes, os autores verificaram que nos escoamentosem regime plano, com concentraes baixas, h uma relao bem definida entre osadimensionais Te (equaes 6.122 e 6.123), figura 6.31.
Nos casos em que o leito ondulado, com transporte em suspenso, a tenso decizalhamento efetiva oe, responsvel pelo transporte slido, definida como:
oe = (o + o) (6.141)(ver captulo IV, 4.1).
O parmetro *e, definido como:
ds
oee )(*
= (6.142)
determinado neste mtodo atravs de uma relao emprico-experimental, tomando-secomo varivel o parmetro *, figura 6.32. O transporte slido total para o rgime de rugase dunas calculado atravs da curva experimental T= (*e), figura 6.33.
Verificaes posteriores demonstraram que a acuracidade do mtodo bastanteafetada por erros na determinao de *e, decorrente de uma falha conceitual. Ao contrriodos casos em que o transporte de material em suspenso discreto, e portanto *e*,quando a concentrao de material em suspenso elevada, pode-se esperar umadependncia de *e/* com u*/wo, e a relao apresentada na figura 6.32 torna-seinsuficiente.
A partir da anlise dimensional pode-se escrever a relao:oe=(, , , s, o, um) (6.143)
que pode ser simplificada, resultando: oe=(, wo, o, o) (6.144)ou na forma adimensionalizada
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=
0
*v,'
' wo
o
o
oe
(6.145)
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Plotando os parmetros */* e v*/wo contra *e/*, com dados provenientes de
diversas fontes, os autores puderam verificar as tendncias da relao 6.145, figura 6.34, de
que resultou a seguinte expresso:m
o
oe
=
0
0 '
'
(6.146)
Quando no h transporte slido em suspenso, ou seja, quando:
5,00
* w
u (z 5,0)
ento: m=0 e *e= * (leito plano)
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A partir da figura 6.34, foram determinados valores de m em funo de u*/wo
resultando na seguinte equao, quando u*/wo 0,5:
m = 0,2 v*/wo 0,10 (6.147)
A expresso 6.146 pode ser escrita em termos de *e, ou seja:m
e
=
0
0**
''
(6.148)
e a funo de transporte slido torna-se:
)'
'.( *
m
o
oT
=
(6.149)
que resulta na relao experimental da figura 6.35. A curva experimental 6.149, foi ajustada
resultando na expresso:
3
*
''.60
=
m
o
oT
(6.150)
vlida para 0,05 m
o
o
'
'.* 1,0.
O campo da validade da equao, cobre a maioria das situaes prticas. Os erros
encontrados na aplicao da funo 6.150, est compreendido entre 40 % para 80 % doscasos analisados.
Mtodo de Engelund e Hansen (1967)
Utilizando os princpios de semelhana, Engelund e Hansen desenvolveram umametodologia d clculo baseada nas mesmas hipteses do trabalho desenvolvido no captulo
4, para o clculo da resistncia em canais aluvionais.
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A partir da anlise dimensional, sabe-se que qualquer grandeza fsica pertinente aofenmeno pode ser expressa em funo dos adimensionais caractersticos (captulo 2).
Portanto, o adimensional de transporte slido e o fator de frico podem ser expressos naforma:
),( **1 d = (6.151)
),( **2 df = (6.152)o que permite escrever:
),( *3 f = (6.153)
Considerando-se que a energia para transportar as partculas a uma altura h da
mesma ordem de grandeza das deformaes do leito, igual ao trabalho exercido pelas
foras de arraste para o movimento das partculas no mesmo intervalo de tempo, pode-seescrever a equao:
( ) *0 v)'( = lhqs
ocr
s
s
(6.154)
onde uma constante de proporcionalidade que multiplicada pela velocidade de atrito,representa a velocidade de deslocamento das partculas.
h e l representam os deslocamentos nas direes vertical e horizontal, respectivamente, damesma ordem de grandeza das deformaes do leito.
A equao 6.154 pode ser reescrita numa forma mais conveniente:
( ) d
dfl
hqf
s
ocr
s
s
= *
0 v)'(
(6.155)
ou
**
)06,0'( =f (6.156)
pois atravs do grfico de Shields, segundo Rouse, *cr=0,06, para os casos em que oregime turbulento rugoso. No captulo 4, foi visto que:
l
hf
= (6.157)
portanto:
1=
=
h
lf
h
lf
(6.158)
Da equao da resistncia proposta por Engelund e Hansen, sabe-se que no regime
de dunas:
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2
** 4,006,0' = (6.159)portanto a equao 6.156, toma a forma:
25
*~ f (6.160)
A relao 6.160 foi determinada experimentalmente para todos os regimes de
escoamento, resultando em:
25
*1,0 =f (6.161)Segundo os autores, seria mais lgico considerar a velocidade de atrito relativa ao
gro, v* ( referente tenso efetiva). Portanto a expresso 6.161, deveria ser expressa da
forma:
')06,0'(~. ** f (6.162)O ajuste da curva da figura 6.162 (tracejada), possui uma expresso diferente:
15,0077,0.2
*
2
* += f (6.163)
Quando * pequeno, a equao aproxima-se assintoticamente de uma relao dotipo f~*2, o que indica uma predominncia do transporte de fundo. Quando * assumevalores elevados, a relao aproxima-se de f~*
3, indicando uma predominncia do
transporte em suspenso. Os autores, baseados nos dados analisados, afirmam no poder
definir a relao mais adequada ao uso (equao 6.162 ou 6.163). Sugerem apenas por uma
questo de convenincia de lgebra o uso da expresso 6.161.
Mtodo de Ackers e White (1973)
O embasamento terico desta metodologia foi feito por Peter Ackers (1972), a partirde consideraes fsicas, e atravs do uso de Anlise Dimensional. O objetivo, como nos
demais mtodos macroscpicos, era o de desenvolver uma metodologia de clculo que
utilizasse dados de fcil determinao e que fosse simples de ser aplicada. O transporteslido expresso em termo do adimensional G, atravs da funo:
)Re,( **1 =G (6.164)onde:
n
d
hCG
=
um
v*
(6.165)
A novidade do mtodo est no fato de que os parmetros de mobilidade *, e o detransporte slido so definidos distintamente para sedimentos grosseiros, finos e para afaixa de transio. Considerando que a velocidade mdia de escoamento, para sedimentos
grosseiros, pode ser calculada da forma:
=sK
h
g
um 3,12log32
v* (6.166)
ento o nmero de mobilidade *pode se calculado atravs de:
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=
d
hdg
um
s
log
1
32
21
* (6.167)
onde uma constante que depende da rugosidade.Quando se trata de sedimentos finos * calculado atravs de:
dg
f
s
=
32
v*21* (6.168)
Generalizando as expresses 6.167 e 6.168, pode-se escrever:n
s
n
d
h
um
dg
f
=
1
*21
*
log3232
v
(6.169)
n=0 a equao aplicada a sedimentos grosseiros.
n=1 a equao aplicada a sedimentos finos
0
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n
s
s
r
T
um
v
FG
= *
(6.173)
A partir de anlises experimentais, de diversas fontes, Ackers e White propuseram
uma expresso geral para o clculo do transporte slido:
m
AKG )1(
5,0
* = (6.174)
onde, para sedimentos finos e na faixa de transio, 1,0 < d*< 60.n=1,00 = 0,56 log d*
14,023,0
*
+=d
A
34,166,9
*
+=d
m
log K = 2,86 . log d*- (log d*)2 3,53
para sedimentos grosseiros, d*>60n=0,00A=0,17
m=1,50
K=0,025
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Mtodo de Colby(1964)
Colby partiu de uma investigao da influncia das caractersticas do escoamento,
do fluido e do sedimento no transporte de material slido, para o desenvolvimento de seu
mtodo. Procurou relacionar o transporte slido com a tenso de cizalhamento efetiva etotal, com a energia do escoamento e com a velocidade. Aps uma anlise destas quatro
variveis, observando alguns aspectos, como a acuracidade, a disponibilidade de dados, a
simplicidade e convenincia de utilizao dos parmetros, concluiu que a melhor forma de
relacionar o transporte slido,seria com a utilizao da velocidade mdia como varivel.Numa anlise mais avanada, Colby verificou haver uma estreita relao entre o
transporte slido total e a velocidade mdia, para uma determinada profundidade do canal e
dimenso do sedimento. Para chegar a esta concluso, Colby fez uso do mtodo de H.Einstein, e de inmeros dados de escoamentos naturais, obtendo relaes bem definidas.
Relaes como estas podem ser determinadas empiricamente para sedimentos de variadas
granulometrias. Por uma questo de praticidade, estas curvas foram representadas na formada figura 6.37 a.
As curvas da figura 6.37 a, representadas em linhas descontnuas representam
extrapolaes tericas, confrontadas com um nmero reduzido dedados. Parte dos dadosutilizados na elaborao destes grficos no continham a parcela correspondente regio
no mensurvel. Estes dados foram corrigidos com a utilizao do mtodo de Einstein
modificado (Colby et alli (1955)).
Um segundo conjunto de grficos apresentados a figura 6.37b, foi determinadoexperimentalmente por Colby, para corrigir os efeitos secundrios (temperatura,
concentrao de material fino e dimenso do sedimento). Portanto, o clculo da vazo
slida especfica em peso, feito atravs das expresses:
[ qsikkkqs 321 01,0).1.(1 += ] (6.175)
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onde:
qsi = (h, d, um) (figura 6.37a) (6.176)
k1, k2e k3fatores de correo (figura 6.37 a)
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6.4.2 Exemplos de Mtodos Microscpicos
Mtodo de Einstein(1950)
O clculo pelo mtodo de Einstein feito individualmente para todas as fraes que
compem a mistura do material do leito. A soma destas fraes fornece o transporte slidototal:
= qsiqs (6.177)As fraes do transporte slido total qsi so calculadas atravs da soma dos
transportes slidos em suspenso e de fundo, resultante das equaes 6.118 e 6.79:
[ ]1),(),(Pr 21 ++= iaiiaibi ZIZIqsqsi (6.178)
Mtodo de Toffaleti (1969)
A metodologia desenvolvida por Toffaleti, baseou-se nas conceituaes de Einstein
(1950) e Einstein e Chien (1952) partindo das seguintes consideraes:
a) O escoamento bidimensional. A curva granulomtrica do material do leito, assim
como no mtodo de Einstein, discretizada de forma que em cada intervalo odimetro mximo o dobro da dimenso do dimetro mnimo de cada frao, e o
dimetro caracterstico representado pela mdia geomtrica dos valores extremos.
O clculo do transporte slido feito para cada frao, e totalizado no final.
b) Os fatores corretivos do parmetro d escoamento , , e (/x)2, todos de certaforma ligados espessura da camada viscosa , so agrupados num nico fator A,funo de:
'v10
2,32
10
*
31
5
g
figura 6.38a. So utilizados ainda o fator corretivo k4, funo de:
)..10('v10
2,32
10
65
5
*
31
5
dJ
g
figura 6.38b, e o fator que considera o efeito da temperatura Tt, calculada por:Tt = 1,10 (0,051 + 0,00009T) (6.179)
Onde T a temperatura da gua em graus Fahrenheit.
c) A equao da distribuio de velocidades calculada pela expresso emprica:uhyumu u
)/()1( += (6.180)onde:
u = 0,1198 + 0,00048 T (6.181)d) A distribuio de concentrao apresenta trs zonas distintas, alm da camada de
dois dimetros junto ao leito, sugerida no mtodo de Einstein como zona de
transporte de fundo. A delimitao destas zonas, assim como as curvas de
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distribuio de concentrao, foram determinadas a partir de dados de medies noRio Atchafalaya, figura 6.39:
NZi
ojj hyCC = )/( (6.182)
(o ndice j refere-se a uma das trs zonas)
onde:
1) zona superior, para 2,5>h/y>1(6.182 a)
Coj= Cos
N = 1,5
2) Zona intermediria, para 11,24>h/y>2,5
(6.182 b)Coj= Com
N = 1,0
3) Zona inferior, para h/2di>h/y>11,24
(6.182 c)
Coj= CoIN = 0,756
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O expoente Z assemelha-se ao nmero de Rouse,
*vK
wz oii = (6.183)
onde K pode ser calculado, de acordo com Vanoni e Brooks da forma:
umkk
'
v303,2 *= (6.184)
Portanto:
hJ
=K
umwz oii (6.185)
onde:
'
2,32303,2
kkz
= (sistema ingls) (6.186)
o parmetro Kz calculado a partir da expresso emprica:
kz= 260,67 0,667 T (6.187)
Clculo do transporte slido
O transporte slido em suspenso calculado a partir de:
=ys
yI
j dyuCjqss .. (6.188)
As concentraes de referncia Cos e Com, da camada superior e
intermediria (6.182a e 6.182b) podem ser expressas em funo da concentrao da
camada inferior, da mesma forma que as respectivas vazes slidas calculadas por
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6.188. a determinao da vazo slida na camada inferior, feita a partir da expressoemprica:
3/53
5
2
4
0058,0
600,0
=
di
um
kATt
ibqssi (ton/dia.p) (6.189)
quando o valor de K4 resultar num produto A . K4 < 16,0, utiliza-se arbitrariamente o
valor A . K4= 16,0.
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Resolvendo a integrao 6.188, para cada zona, obtm-se:
)756,01(
)2(24,11
756,01
758,01
Zi
dih
kq
qss
u
Zi
Zi
I+
=
++
(6.190)
[ ]
)1(
)24,11/()5,2/(24,11
11
244,0
Zi
hhh
kq
qssu
ZiZi
Zi
M+
=
++
(6.191)
[ ]
)5,11(
)5,2/(5,224,11
5,115,11
5,0244,0
Zi
hhhh
kq
qssu
ZiZi
ZiZi
S+
=
++
(6.192)
Para obter o valor da concentrao de referncia na camada inferior, basta igualar asequaes 6.189 e 6.190, que a nica incgnita passa a ser CoI.
O transporte slido de fundo na camada y = 2di, calculado por:
Qsbi = kq (2 dsi) (6.194)Zi758,01 +
A descarga slida total determinada por:qsti = qsbi+ qssI+ qssm+qsss (6.195)
qst = qsti (6.196)Note-se que todas as dimenses, com exceo da vazo slida, esto no sistema
ingls.
O mtodo de Toffaleti foi desenvolvido a partir de dados de sete rios dos E.U.A., e
de canais de laboratrio, com profundidades que variaram de 1 p a 50 ps, com leitosconstitudos por areia fina e mdia.
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Mtodo de Einstein modificado Colby e Hembree (1955)
Esta metodologia foi desenvolvida por Colby e Hembree, para contornar algumas
falhas das medies de transporte slido, ou seja, a dificuldade de medir o transporte slidode fundo dentro dos limites razoveis de preciso, e a impossibilidade de amostragens
numa faixa prxima ao leito em que os amostradores de material em suspenso noconseguem varrer. Em determinadas circunstncias, a parcela de material transportadonesta regio no amostrada pode representar uma grande parcela do material transportado.
O mtodo de clculo, consiste basicamente em calcular, atravs do mtodo de
Einstein, o transporte slido na regio amostrada, partindo dos dados das medies da
regio amostrada e de outros parmetros caractersticos do fenmeno.Os dados necessrios para o clculo so basicamente os mesmos do mtodo de
Einstein, alm da concentrao mdia do material amostrado, o valor da respectiva
profundidade, as distribuies granulomtricas do material transportado em suspenso, domaterial do leito, e a temperatura da gua. Deve-se tomar o cuidado de retirar a parcela da
concentrao correspondente carga de lavagem. A discretizao da curva granulomtrica
para efetuar o clculo fracionado, segue o mesmo procedimento que no mtodo de Einstein.A vazo slida em suspenso na regio amostrada calculada por:
==h
a
mib
miQCdyuCssiq
'
''.'' (6.197)
onde:
a altura correspondente regio no mensurvel
miC' - concentrao mdia na regio medida
Q vazo lquida na faixa mensurvel
Considerando-se que a distribuio de velocidades pode ser escrita na forma
logartmica:
65
*
2,30log'75,5
d
xyvu= (6.198)
Fazendo-se estas substituies, e a integrao de 6.197, tem-se:
Q=2,50v*.h.b[(1-) (Pm-1)-2,3vlogv] (6.199)Em que:
V=a/h (6.200a)Pm=2,3 log 30,2 x.hm/d65 (6.200b)
hm = A/b = rea/largura b (6.200c)
A vazo lquida total obtida a partir de 6.197, fazendo v --> 0:Q = 2,50 v* h (Pm-1) (6.201)
Portanto a vazo lquida na regio mensurvel obtida atravs de 6.200 e 6.201.
1
log3,2)1(
'
=
Pm
nnn
Q
Q vvv (6.202)
e a vazo em suspenso, atravs da equao 6.203:
1
log3,2)1('
=
Pm
nnnmQCqssi vvv (6.203)
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A expresso que permite o clculo da vazo slida em suspenso na regiomensurvel:
=h
a
dyuiCissiq'
' (6.204)
onde:
Ci distribuio vertical de concentraoUi distribuio vertical de velocidade
Quando integrada pelo mtodo de Einstein, toma a forma:
[ ]),()',(1
1'' 21
'
iviv
Z
oi
v
v
ZnIZnPmIqsbin
n
n
oinssiq
i
+
= (6.205)
onde:
hm
dinoi
2= (6.205a)
h
anv
'= (6.205b)
A vazo slida de fundo qsbi calculada atravs da funo de Einstein (figura
6.13), com a seguinte simplificao no clculo de *.* = m (6.206)
onde m o maior valor entrem= (0,4)(1,65) . di/(RJ)m (6.206a)
m= 1,65 . d35/(RJ)m (6.206b)e (RJ)m obtido atravs da expresso logartimica para a determinao da velocidade
mdia.
65
2,12log)(75,5
d
xhmRJgum= (6.207)
Uma vez determinados os valores de (RJ)m, *e conseqentemente *, calcula-se avazo slida de fundo:
3
*5,0 is
s gdPiqsbi
=
(6.208)
Portanto, a nica incgnita da equao passa a ser Zi, que pode ser determinada por
tentativas, com o uso das figuras 6.20 e 6.21. Podem ocorrer casos em que o escoamentosendo raso, o parmetro nv = a/h, seja superior a 0,1, limite superior das abcissas das
figuras 6.20 e 6.21. Neste caso, devem-se utilizar os grficos correspondentes preparados
por Colby e Hembree (1955) ou Hubbell e Matejka (1959).Conhecidos todos os parmetros, o transporte slido total calculado atravs da
expresso de Einstein 6.209:[ ]1)','()','( 21 ++= iZnIiZnIPqssiqsti oioiE (6.209)
Colby e Hubbell (1957) apresentaram uma simplificao substancial do mtodo,
introduzindo uma srie de grficos que reduzem o volume de clculo.
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Mtodo de Colby (1957) para o clculo do transporte slido a partir de medies
O mtodo de Colby consiste na utilizao de algumas relaes semi-empricas,
baseadas em medies de escoamentos utilizadas para o desenvolvimento do Mtodo deEinstein Modificado. A sua aplicao extremamente simples, e no necessita de
subdiviso da composio granulomtrica. Requer somente uma determinao precisa davelocidade mdia, uma vez que a parcela no medida do transporte slido muito sensvel
s mudanas de velocidade.Os dados necessrios para a aplicao do mtodo so: a velocidade mdia (um) e a
profundidade mdia (h) do escoamento, a concentrao mdia da regio mensurvel,
descontada a parcela da carga de lavagem (Cm). O limite considerado para a carga delavagem (wash-load) d = 0,062 mm.
O clculo efetuado com auxlio das figuras 6.40, 6.41 e 6.42, seguindo o seguinte
roteiro:1 A partir da figura 6.40, feita a determinao do transporte slido da regio no medida
em funo da velocidade mdia.
2 Com a figura 6.41, determina-se a concentrao relativa (em partes por milho) paradeterminadas velocidade e profundidade.
3 Calcula-se a razo entre a concentrao medida e a concentrao obida no passo 2. Estarelao denominada de coeficiente de eficcia.
4 Entrando com o valor do coeficiente de eficcia no grfico da figura 6.42, obtm-se o
fator de correo do transporte slido da regio no medida.
5 O transporte slido real na regio no medida, o produto dos valores obtidos nospassos 1 a 4.
6 O transporte slido total determinado por:
Qst = (qsm+ qsn) . b (ton/dia) (6.210)Onde:
qsm= 43.2 Cm.q vazo slida medida.
qsn= vazo slida na regio no medida, obtida no passo 5.q=Q/b vazo lquida especfica
43.2 fator de transformao de unidades
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7 Se a concentrao total medida Cs(incluindo a carga de lavagem) for
excepcionalmente baixa ou elevada, o autor sugere a introduo de um outro fator de
correo K5, que multiplicado ao valor obtido no passo 5, fornece uma estimativa melhor
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do transporte slido na regio no medida, A determinao do fator K5 feita atravs daequao:
K5= 0,18(Cs)0,23
(6.211)
Onde: Cs em partes por milho.