Caṕıtulo 4

INTERPOLACIÓN.

4.1. Introducción. Interpolación polinómica.

4.1.1. Introducción

A menudo, hemos de interpretar en forma más o menos precisa la interrelación entre 2magnitudes; a saber, x e y, supuesto conocidos algunos datos sobre ellas.

Aśı, más concretamente, si se conocen los puntos (o relaciones, o datos) del plano: {(xi, yi); i =0, 1, . . . , n}, cabe preguntarse si hay alguna función, y = φ(x), cuya curva pase por los puntosconsiderados.

Figura 4.1: Datos de iterpolación y curva interpolante.

También puede ocurrir que , de una función dada y = f(x), se conozcan algunos valores:f(x0), f(x1), . . . , f(xn), y nos preguntamos, ¿cómo dar un valor aproximado de f en un ”x”

entre los xi?

En ambos casos, una función que satisfaga los requisitos impuestos se llama función inter-poladora o Interpolante.

1

2 Interpolación.

No obstante, lo anterior hay que precisarlo mejor en el sentido siguiente:Dado el conjunto de datos, D = {(xi, yi) i = 0, 1, . . . , n}, buscamos una función, p(x), tal

que:

Sea interpolante; es decir, p(xi) = yi ∀i

la función p(x) pertenezca a un espacio de funciones prefijado (p.e., polinómicas, racio-nales, splines, etc...).

Fijado el espacio de funciones, hay dos cuestiones básicas:

¿Existe y es único el Interpolante?;

si existe el Interpolante, ¿cómo construirlo?

Ocupémonos, ahora, del problema de existencia y unicidad del interpolante para un casoclásico concreto (interpolación polinomial de Lagrange).

Sean (xi, yi) i = 0, 1, . . . , n; (n+ 1)–puntos del plano y consideramos el problema siguiente:

Hallar un polinomio, p(x), de grado ≤ n tal quep(xi) = yi i = 0, 1, . . . , n

(4.1)

Si hay solución se llama polinomio de Interpolación o interpolante polinomial.

Si notamos por Pn al espacio de polinomios de grado ≤ n y coeficientes reales; entonces,todo p(x) ∈ Pn se escribe como: p(x) = a0 + a1x + · · · + anxn. Aśı, p(x) será solución delproblema si, y sólo si, el S.E.L :

1 x0 x20 . . . x

n0

1 x1 x21 . . . x

n1

1 x2 x22 . . . x

n2

......

.... . .

...1 xn x

2n . . . x

nn

a0a1a2...an

=

y0y1y2...yn

(4.2)

admite solución.Llamando M a la matriz de coeficientes del sistema (4.2); se tiene que el problema de in-

terpolación admite una única solución si, y sólo si, los nodos de interpolación son distintos.

Para ello basta con probar que det(M) =∏

i>j(xi−xj) y, por lo tanto, det(M) 6= 0⇔ xi 6=xj.

Extendiendo un poco más la idea de interpolación (problema de coincidencias) introducidase puede plantear el problema (interpolación polinomial clásica de Hermite) siguiente:

Apuntes de J. Lorente 3

Hallar un polinomio de grado ≤ 2m+ 1 verificando:p(xi) = yi i = 0, 1, . . . ,mp′(xi) = y

′i i = 0, 1, . . . ,m

(4.3)

4.1.2. Generalización del Problema.

En los casos, anteriormente descritos, cabe destacar dos aspectos comunes:

El número de datos es finito.

El tipo de datos satisface las condiciones de ”linealidad”.

Más aún, el espacio de funciones interpolantes es de dimensión igual al número de datos ocondiciones.

Aśı, un plantemiento general del problema seŕıa:

Interpolación Lineal Finita.

Sean L1, L2, . . . , LN N–formas o aplicaciones lineales (definen los datos de interpolación),Li : F −→ R con F espacio vectorial real y V ⊂ F un subespacio de dimensión N . Para f ∈ F ,se pretende:

Hallar p ∈ V verificando:Li(p) = Li(f) i = 1, . . . , N

(4.4)

o, equivalentemente, para valores reales, {z1, z2, . . . , zN}, dados;

Hallar p ∈ V verificando:Li(p) = zi i = 1, . . . , N

(4.5)

Si el problema (4.4) ó (4.5) admite solución única en V se dice que es V –unisolvente.

A continuación, damos una caracterización de la existencia y unicidad de solución (o uni-solvencia) de (4.4) ó (4.5); a saber:

Teorema 4.1 Sea V ⊂ F de dimensión N , f ∈ F , y L1, L2, . . . , LN N–formas lineales. En-tonces, (4.4) es V –unisolvente ⇐⇒ Det(Li(ϕj))i,j 6= 0 donde {ϕ1, ϕ2, . . . , ϕN} es una basecualquiera de V .

4 Interpolación.

Demostración:

Si {ϕ1, ϕ2, . . . , ϕN} es base para V se tendrá que:

p =N∑i=1

aiϕi ∀p ∈ V

por lo que resolver el problema (4.4) equivale a encontrar las ctes ai i = 1, . . . , N solución delS.E.L.:

a1 · L1(ϕ1) + a2 · L1(ϕ2) + · · ·+ aN · L1(ϕN) = L1(f)a1 · L2(ϕ1) + a2 · L2(ϕ2) + · · ·+ aN · L2(ϕN) = L2(f)

...

a1 · LN(ϕ1) + a2 · LN(ϕ2) + · · ·+ aN · LN(ϕN) = LN(f)

Aśı, dado que la matriz de coeficientes del S.E.L. es

G = (Li(ϕj))i,j =

L1(ϕ1) L1(ϕ2) · · · L1(ϕN)L2(ϕ1) L2(ϕ2) · · · L2(ϕN)

......

. . ....

LN(ϕ1) LN(ϕ2) · · · LN(ϕN)

(llamada matriz de Gram), se tiene trivialmente la caracterización dada en el teorema.

C.Q.D.Observación.- El teorema anterior se puede interpretar de forma idéntica si usamos el

problema (4.5) sin más que intercambiar Li(f) con zi.

Apuntes de J. Lorente 5

4.2. Problemas habituales: Lagrange, Taylor y Hermite

Veamos como se pueden obtener los problemas clásicos usuales desde un planteamientoparticular del problema general (4.4).

1. Interpolación Polinomial Clásica o Interpolación Lagrangiana.

Se considera el espacio F =espacio de funciones valuadas en, al menos, un conjunto finitode puntos xi (que llamaremos nodos de interpolación). Tomamos V = Pn y definimos las(N = n+ 1)–formas lineales:

Li : F −→ Rcon Li(f) = f(xi) i = 0, . . . , n y los llamamos datos de tipo Lagrange.

Aśı, el problema resultante es el dado en (4.1). Dicho problema es unisolvente en Pn ⇐⇒la matriz de Gram tiene determinante no nulo; es decir,

Det(ϕj(xi))i,j 6= 0donde {ϕj = xj j = 0, . . . , n} es la base canónica de Pn.Es fácil comprobar que la matriz de Gram es la que aparece en (4.2) y, por lo tanto elproblema tiene solución única si y, sólo si, los nodos son distintos entre si.

2. Interpolación Taylor.

Supongamos que son conocidos el valor y derivadas sucesivas de f(x) en un nodo x0,entonces, tenemos las formas lineales (datos tipo Taylor) siguientes:

L0(f) = f(x0), L1(f) = f′(x0), . . . , Ln(f) = f

n)(x0)

y, as, el problema de Interpolación Taylor consiste en:

Hallar T (x) ∈ Pn / Lk(T ) = Lk(f) k = 0, 1, . . . , n

es decir, T k)(x0) = fk)(x0) k = 0, 1, . . . , n

(4.6)

El problema (4.6) tiene solución única si la matriz de Gram asociada tiene determinanteno nulo para alguna base del espacio interpolante (V = Pn). Si elegimos como base detrabajo,

{ϕj} = {1, x− x0, (x− x0)2, . . . , (x− x0)n}es fácil comprobar que la matriz de Gram es:

G =

1 0 0 · · · 00 1 0 · · · 00 0 2 · · · 0...

......

. . . 00 0 · · · 0 n!

6 Interpolación.

Y, por lo tanto, det(G) 6= 0. Luego, el problema (4.6) tiene una única solución.

3. Interpolación Clásica de Hermite.

Sean x0, x1, . . . , xm nodos distintos de interpolación y se toman F = C1([a, b]), V =P2m+1 y formas lineales (datos de tipo Hermite):

Lr : F −→ R

f 7−→ Lr(f) ={f(xi) r = 2i i = 0, . . . ,mf ′(xi) r = 2i+ 1 i = 0, . . . ,m

Ahora, escribiendo el problema general de interpolacin (4.4) con estos datos y espacioparticular V se obtiene el problema:

Hallar un polinomio p(x) ∈ P2m+1 verificando:Lr(p) = p(xi) = Lr(f) = f(xi) = yi r = 2i

Lr(p) = p′(xi) = Lr(f) = f

′(xi) = y′i r = 2i+ 1

con i = 0, . . . ,m

que es el mismo problema que se dió en (4.3).

En este caso, la matriz de Gram asociada a la base canónica de P2m+1 es:

G =

1 x0 x20 . . . x

2m+10

0 1 2x0 . . . (2m+ 1)x2m0

1 x1 x21 . . . x

2m+11

0 1 2x1 . . . (2m+ 1)x2m1

......

. . ....

1 xm x2m . . . x

2m+1m

0 1 2xm . . . (2m+ 1)x2mm

Además det(G) 6= 0⇐⇒ xi 6= xj ∀i 6= jPuede probarse que

det(G) =∏i>j

(xi − xj)4

con lo que se tiene la afirmación dada y el problema tendrá una únicica solución.

Apuntes de J. Lorente 7

4.3. Métodos de Interpolación: Lagrange y Newton.

4.3.1. Método de Lagrange

Si bien, la técnica que se presenta se desarrolló desde la resolución del problema de Inter-polación polinomial clásica, aqúı la consideraremos para el caso general y posteriormente seaplicará a los casos más conocidos; a saber, la Interpolación lagrangiana, la de Taylor, y lainterpolación clásica de Hermite.

Problema General de Interpolación

Sea f ∈ F y L1, L2, . . . , LN N–formas lineales sobre F . El problema de hallar p ∈ V(subespacio de dim V = N) verificando:

Li(p) = Li(f) i = 1, 2, . . . , N

admite solución única ⇐⇒ det (Li(ϕj))i,j 6= 0 siendo {ϕ1, ϕ2, . . . , ϕN} una base de V .

Ahora bien, supongamos construida una base de V , {Φ1,Φ2, . . . ,ΦN} , dual respecto de lasformas lineales dadas; es decir,

Li(Φj) = δij =

1 i = j

0 i 6= ji = 1, 2, . . . , N.

Entonces, la única solución del Problema general de interpolación se puede expresar como:

p = L1(f)Φ1 + L2(f)Φ2 + · · ·+ LN(f)ΦN (4.7)

que se denomina Fórmula de Lagrange para el Problema General de Interpolación LinealFinita (P.G.I.L.F.).

Observaciones:

La fórmula (4.7) se escribe, para el problema (4.5), como:

p = z1Φ1 + z2Φ2 + · · ·+ zNΦN (4.8)

Si el P.G.I.L.F. es unisolvente, es evidente que se pueden construir las Φj y rećıprocamen-te. Además, una base de este tipo se llama Base de Lagrange .

8 Interpolación.

Por tanto, de lo anterior puede decirse que el método de Lagrange consiste en la resolucióninicial de N–problemas canónicos (un dato con valor 1 y el resto 0), y desde ellos poder resol-ver cualquier otro (datos con valores arbitrarios) sin más que utilizar la Fórmula de Lagrange.

Interpolación Polinomial Clásica (I. Lagrangiana)

Sea D = {(xi, yi) i = 0, 1, . . . , n} el conjunto de datos de interpolación con nodos, xi,distintos. Vamos a usar la idea anteriormente expuesta al Problema:

Hallar p(x) ∈ Pn / p(xi) = yi i = 0, 1, . . . , n (4.9)

Aśı, construimos una Base de Lagrange en Pn; es decir, sean l0(x), l1(x), . . . , ln(x) n + 1–polinomios de grado n verificando:

li(xj) =

1 i = j

0 i 6= ji = 0, 1, . . . , n (4.10)

Por tanto, desde (4.10) se deduce que cada li(x) es un polinomio de grado n que se anulaen n–nodos. Más concretamente,

li(x) = Ai

n∏j=0

j 6=i

(x− xj)

donde Ai se obtiene sin más que imponer: li(xi) = 1. Aśı,

li(x) =n∏

j=0

j 6=i

(x− xjxi − xj

) i = 0, 1, . . . , n (4.11)

Tales polinomios son denominados, a menudo, polinomios de Lagrange. Y, desde aqúı,es claro que la solución del problema (4.9) es:

p(x) = y0l0(x) + y1l1(x) + · · ·+ ynln(x) (4.12)

La expresión (4.12) recibe el nombre de Fórmula de Lagrange para el interpolante.

Apuntes de J. Lorente 9

Interpolación Polinomial de Taylor

Consideramos el problema de interpolación siguiente:

Hallar T (x) ∈ Pn / T k)(x0) = fk)(x0) k = 0, 1, . . . , n (4.13)

siendo f ∈ Cn([x0 − r, x0 + r])

Es fácil obtener la base de Lagrange, {T0(x), T1(x), . . . , Tn(x)}, asociada al problema (4.13);a saber:

Tj(x) =(x− x0)j

j!j = 0, 1, . . . , n

Por lo tanto, la Fórmula de Lagrange para el interpolante será:

T (x) = f(x0)T0(x) + f′(x0)T1(x) + · · ·+ fn)(x0)Tn(x)=

= f(x0) + f′(x0)(x− x0) + · · ·+ f

n)(x0)n!

(x− x0)n(4.14)

Interpolación Clásica de Hermite

Pretendemos, ahora obtener la Fórmula de Lagrange para el problema:

Hallar H(x) ∈ P2m+1 /

H(xi) = f(xi)

H ′(xi) = f′(xi)

i = 0, 1, . . . ,m (4.15)

Para el problema (4.15) la obtención de una base de Lagrange es algo más compleja; a saber:sean Hi(x) y Ki(x) con i = 0, 1, . . . ,m polinomios de grado 2m+ 1 verificando:

Hi(xj) = δij H′i(xj) = 0 j = 0, 1, . . . ,m

Ki(xj) = 0 K′i(xj) = δij j = 0, 1, . . . ,m

i = 0, 1, . . . ,mAśı, teniendo en cuenta las caracteŕısticas, respecto a los ceros, de Hi(x) y Ki(x) se pueden

escribir de la forma:

Hi(x) = (Aix+Bi) · (li(x))2

Ki(x) = Ci · (x− xi) · (li(x))2

i = 0, 1, . . . ,m

10 Interpolación.

donde l0(x), l1(x), . . . , lm(x) son los polinomios clásicos de Lagrange asociados a los nodosx0, x1, . . . , xm.

Ahora, imponiendo las condiciones de interpolación que restan, en cada caso; se obtiene:

Hi(xi) = 1

H ′i(xi) = 0

=⇒ Hi(x) = [1− 2l′i(xi)(x− xi)] · (li(x))2 i = 0, 1, . . . ,my, análogamente:

K ′i(xi) = 1 =⇒ Ki(x) = (x− xi) · (li(x))2 i = 0, 1, . . . ,m

Con esto se deduce la Fórmula de Lagrange para el interpolante de Hermite:

H(x) = f(x0)H0(x) + f′(x0)K0(x) + · · ·+ f(xm)Hm(x) + f ′(xm)Km(x) (4.16)

4.3.2. Método de Newton.

El objetivo del método de Newton es la obtención del interpolante de una forma recursiva.A tal fin, se intenta encontrar la relación entre el interpolante para k + 1-datos y el inter-

polante para k-datos de ellos.Vemos como se lleva esta idea a la práctica según el problema a resolver.

Interpolación Polinomial Clásica.

Pretendemos, aqúı, resolver el problema (4.9).

Sea pk(x) el polinomio de grado ≤ k interpolante para los datos, D = {(xi, yi) i =0, 1, . . . , k}, entonces:

pk+1(x)− pk(x) ∈ Pk+1y se anula en los nodos, x0, x1, . . . , xk; por consiguiente,

pk+1(x)− pk(x) = Ak+1 · (x− x0) · · · (x− xk) con Ak+1 = Cte

Imponiendo la condición pk+1(xk+1) = yk+1 se obtiene el valor de Ak+1; a saber:

Ak+1 =yk+1 − pk(xk+1)

(xk+1 − x0) · · · (xk+1 − xk)

Desde aqúı, es trivial que el polinomio buscado (solución de (4.9) ) es:

p(x) = pn(x) = A0 + A1 · (x− x0) + · · ·+ An · (x− x0) · (x− x1) · · · (x− xn−1) (4.17)

Apuntes de J. Lorente 11

La expresión (4.17) recibe el nombre de Fórmula de Newton para la interpolación la-grangiana.

No obstante, el cálculo de las ctes. Ak puede simplificarse. Para ello, debido a la dependenciarespecto de los nodos correspondientes, notamos:

Ai = f [x0, x1, . . . , xi]

y la llamamos Diferencia Dividida de orden i de f en los nodos x0, x1, . . . , xi (D.D. ordeni). De su cálculo nos ocupamos en la sección siguiente.

12 Interpolación.

4.4. Diferencias Divididas. Diferencias Finitas.

En primer lugar, nuestro objetivo es obtener una relación de recurrencia, apropiada, para elcálculo de las D.D. en general, y de las ctes. Ai en particular para la obtención del polinomiode interpolación para el problema de Lagrange y el problema de Hermite.

Propiedades

1. Para cada k ≥ 0, se tiene:

f [x0, x1, . . . , xk] =k∑i=0

f(xi)∏j 6=i (xi − xj)

2. Para cada permutación, (i0, i1, . . . , ik), de los ı́ndices {0, 1, . . . , k} se verifica:

f [xi0 , xi1 , . . . , xik ] = f [x0, x1, . . . , xk]

Demostración:

1. Sea pk(x) el polinomio de interpolación, en la forma de Lagrange, para la función f(x) enlos nodos x0, x1, . . . , xk =⇒

pk(x) =k∑i=0

f(xi) · li(x) con li(x) =k∏

j=0

j 6=i

(x− xjxi − xj

)

entonces, el coeficiente de xk en dicho polinomio es:

k∑i=0

f(xi)∏j 6=i (xi − xj)

Por otra parte, la forma de Newton para pk(x) es:

pk(x) = A0 + A1 · (x− x0) + · · ·+ Ak · (x− x0) · (x− x1) · · · (x− xk−1)

de donde, puesto que el interpolante es único, se tiene:

f [x0, x1, . . . , xk] = Ak =k∑i=0

f(xi)∏j 6=i (xi − xj)

C.Q.D.

2. Basta utilizar la propiedad 1 para verificar 2.

Apuntes de J. Lorente 13

Aśı, estamos en disposición de obtener la relación de recurrencia para las D.D. de órdenessucesivos. Esta se expresa en el teorema siguiente:

Teorema 4.2 Sea f ∈ C([a, b]) y {xi}i ⊂ [a, b], entonces:

1. f [xj] = f(xj)

2. Para cada k ≥ 1 se verifica:

f [x0, x1, . . . , xk] =f [x1,...,xk]−f [x0,...,xk−1]

xk−x0

Con la relación de recurrencia anterior, se puede obtener una tabla de D.D. de órdenes 1,2, ..., k, ... como sigue:

xi f(xi) o yi D.D. 1 D.D. 2 D.D. 3

x0 f(x0) - - -

x1 f(x1) f [x0, x1] - -

x2 f(x2) f [x1, x2] f [x0, x1, x2] -

x3 f(x3) f [x2, x3] f [x1, x2, x3] f [x0, x1, x2, x3]

......

......

...

Entonces, calculada la tabla, se obtiene la formula de interpolación de Newton:

p(x) = f(x0) + f [x0, x1] · (x− x0) + · · ·+ f [x0, . . . , xn] · (x− x0) · · · (x− xn−1) (4.18)

Esta idea es extensible al problema de Hermite y al de Taylor. Para ello es de gran interésla propiedad siguiente:

Proposición 4.1 Si f ∈ Cn([a, b]), entonces

f [x0, x1, . . . , xn] =fn)(ξ)

n!

donde ξ es un nodo entre los xi.

14 Interpolación.

Demostración.En efecto, consideramos el polinomio interpolante en los nodos x0, x1, . . . , xn (supuestos

distintos) para f entonces, f(x)−p(x) se anulará en n+ 1–nodos, y usando el teorema de Rollededucimos que (f − p)n)(x) se anula, al menos, una vez; es decir:

∃ ξ / fn)(ξ)− pn)(ξ) = 0 =⇒ f [x0, x1, . . . , xn] =fn)(ξ)

n!

C.Q.D.

Esta propiedad permite, sin mucha dificultad, extender la noción de D.D. al caso en que susargumentos puedan ser repetidos. Más concretamente:

Definición 4.1 Sean los nodos x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xk en un intervalo [a, b] donde f es suficien-temente derivable, entonces:

f [x0, x1, . . . , xk] =

fk)(x0)k!

si x0 = xk

f [x1,...,xk]−f [x0,...,xk−1]xk−x0

si x0 6= xk

Aśı, la solución del problema de Hermite (4.15) adoptaŕıa la forma de Newton siguiente:

H(x) = f(x0) + f [x0, x0] · (x− x0) + f [x0, x0, x1] · (x− x0)2 + · · ·+

+f [x0, x0, . . . , xn, xn] · (x− x0)2 · · · (x− xn−1)2 · (x− xn)(4.19)

donde las D.D. consideradas se obtienen desde la tabla:

xi f(xi) o yi D.D. 1 D.D. 2 D.D. 3

x0 f(x0) - - -

x0 f(x0) f′(x0) - -

x1 f(x1) f [x0, x1] f [x0, x0, x1] -

x1 f(x1) f′(x1) f [x0, x1, x1] f [x0, x0, x1, x1]

Ejemplo:Calculemos el polinomio de gardo ≤ 5, interpolante de Hermite, verifivando:

p(0) = 1 p(1) = −1 p(3) = 2

p′(0) = 0 p′(1) = 5 p′(3) = 2

Apuntes de J. Lorente 15

Para ello usamos la tabla de D.D. del tipo anterior que da lugar a:

xi f(xi) o yi D.D. 1 D.D. 2 D.D. 3 D.D. 4 D.D. 5

0 10 1 01 -1 -2 -21 -1 5 7 93 2 32 -

74 -

3512 -

14336

3 2 2 14 14736

9554

Por tanto el interpolante de Hermite es:

H(x) = 1− 2x2 + 9x2(x− 1)− 14336x2(x− 1)2 + 95

54x2(x− 1)2(x− 3)

La gráfica del interpolante se da en la Figura 4.2.

Figura 4.2: Interpolante de Hermite

16 Interpolación.

4.4.1. Diferencias Finitas: Fórmulas de Newton Progresiva y Regre-siva.

Nos preguntamos, ahora, ¿cómo puede expresarse el polinomio de interpolación para datoslagrangianos; es decir, p (xi) = f (xi) = yi cuando los nodos están igualmente espaciados?.

Supongamos que los nodos son de la forma: a = x0 < x1 < · · · < xn = b con xi = a+ ih, i =0, . . . , n y h = b−a

n; entonces, podemos relacionar las diferencias divididas de f(x) con las

llamadas Diferencias Finitas (D.F.) de f(x). Pero, ¿cómo se definen?.

Definición 4.2 Llamamos D.F. progresiva de f de orden k > 0 en un punto x, al valor:

∆kf(x) =

f(x) si k = 0f(x+ h)− f(x) si k = 1∆(∆k−1f(x)

)si k > 1

Si usamos como punto un nodo de interpolación, entonces las D.F. progresivas serán:

∆0yi = yi, i = 0, 1, . . . , n∆yi = yi+1 − yi, i = 0, . . . , n− 1∆kyi = ∆

(∆k−1yi

), i = 0, . . . , n− k

De forma similar pueden definirse las D.F. regresivas para f o datos; a saber,

Definición 4.3 Llamamos D.F. regresiva de f de orden k > 0 en un punto x, al valor:

∇0f(x) = f(x)∇f(x) = f(x)− f(x− h)∇kf(x) = ∇

(∇k−1f(x)

)o bien,

∇0yi = yi, i = 0, 1, . . . , n∇yi = yi − yi−1, i = 1, . . . , n∇kyi = ∇

(∇k−1yi

), i = k, . . . , n

Ahora, con esta nomenclatura, es fácil comprobar la propiedad siguiente:

Proposición 4.2 Dada f evaluada en nodos igualmente espaciados, xi = a + ih, i = 0, . . . n ,entonces:

1. f [x0, x1, . . . , xk] =∆ky0k!hk

, k = 0, . . . , n (D.D. ascendentes mediante D.F. progresivas)

2. f [xn, xn−1, . . . , xn−k] =∇kynk!hk

, k = 0, . . . , n (D.D. descendentes mediante D.F. regresivas).

Por lo tanto, desde las dos propiedades anteriores, el polinomio de interpolación en la formade Newton admite las representaciones que especificamos a continuación.

Apuntes de J. Lorente 17

Fórmula de Newton Progresiva.

Esta la obtenemos usando la fórmula de Newton clásica para el interpolante de Lagrange;es decir,

PN(x) = f [x0] + f [x0, x1] (x− x0) + · · ·+ f [x0, x1, . . . , xn] (x− x0) (x− x1) · · · (x− xn−1)

Esta expresión quedaŕıa reducida a la siguiente:

PN(x) = ∆0y0 +

∆y0h

(x− x0) + · · ·+∆ny0n!hn

(x− x0) (x− x1) · · · (x− xn−1)

pero si realizamos el cambio de variable:

s =x− x0h

⇒ x− xih

=x− (x0 + ih)

h= s− i

entonces,

PN(s) = ∆0y0 + ∆y0s+ ∆

2y0s(s−1)

2!+ · · ·+ ∆ny0 s(s−1)···(s−n+1)n! =

=n∑k=0

(sk

)∆ky0

(4.20)

Fórmula de Newton Regresiva.

Si, en el método de interpolación de Newton, usamos un proceso descendente; es decir, desdeel nodo xn hasta el nodo x0 tendŕıamos la Fórmula de Newton siguiente:

PN(x) = f [xn] + f [xn, xn−1] (x− xn) + · · ·+ f [xn, xn−1, . . . , x0] (x− xn) (x− xn−1) · · · (x− x1)

y, desde aqúı, de forma similar pero con las diferencias regresivas llegamos a la expresión:

PN(x) = ∇0yn +∇ynh

(x− xn) + · · ·+∇nynn!hn

(x− xn) (x− xn−1) · · · (x− x1)

Como antes, si hacemos el cambio:

t =xn − xh

⇒ xn−i − xh

=(xn − ih)− x

h= t− i

tenemos la expresión:

P (t) = ∇0yn −∇ynt+∇2yn t(t−1)2! + · · ·+ (−1)n∇nyn t(t−1)···(t−n+1)n! =

=n∑k=0

(−1)k(tk

)∇kyn

(4.21)

18 Interpolación.

Observación.- En las expresiones (4.20) y (4.21) he usado el combinatorio formal:(wk

)= w(w−1)···(w−k+1)

k!con w = s ó w = t.

EJEMPLOCalculamos la tabla respectivas de diferencias finitas progresivas y regresivas para los datos:

{(−2, 3) , (0,−1) , (2, 3) , (4, 5)} y damos las respectivas expresiones del interpolante.

Solución: Las diferencias finitas (progresivas y regresivas) son:

∆ky0↘ yi = ∆

0yi↓

∆yi↓

∆2yi↓

∆3yi↓

3

-4

−1 84 -10

3 -2

2

5

↗∇kyn

↑yi = ∇0yi

↑∇yi

↑∇2yi

↑∇3yi

Por lo tanto, los respectivos polinomios de interpolación son:

FORMA PROGRESIVA (coeficientes en azul-morado):

p(s) = 3− 4s+ 8 s(s−1)2− 10 s(s−1)(s−2)

6

donde s = x+22

(pues h = 2, y x0 = −2)

FORMA REGRESIVA (coeficientes en rojo-morado):

p(s) = 5− 2t− 2 t(t−1)2

+ 10 t(t−1)(t−2)6

donde t = 4−x2

(pues h = 2, y x3 = 4)

Apuntes de J. Lorente 19

4.4.2. Interpolación por resurrencia

Aqúı se pretende obtener de forma recursiva el valor del polinomio de interepolación en”x”desde una modificación adecuada en la tabla de diferencias divididas. El procedimeientoestá basado en el resultado siguiente (que se atribuye a Aitken).

Lema general de Aitken

Sean PSi(x) y PSj (x) sendos polinomios interpolantes para los conjuntos de nodos respectivosSi y Sj. Supongamos que ambos conjuntos difieren, exactamente, en un nodo; a saber, xi ∈Si − Sj y xj ∈ Sj − Si . Entonces, el interpolante para la unión de nodos, S = Si ∪ Sj es:

PS(x) =(x− xj)PSi(x)− (x− xi)PSj (x)

xi − xjLa demostración es muy simple, pues basta con evaluar la expresión propuesta en los nodos

de interpolación de S, xr, para los casos:

r 6= i ó j

r = i

r = j

y comprobar que el resultado es el valor yr respectivo.

En particular, si Pi,i+1,...,i+k−1(x) y Pi+1,...,i+k−1,i+k(x) son los polinomios de interpolación enlos nodos {xi, xi+1, . . . , xi+k−1} y {xi+1, . . . , xi+k−1, xi+k} respectivamente. Entonces, el inter-polante para los nodos {xi, xi+1, . . . , xi+k−1, xi+k} es:

Pi,i+1,...,i+k−1,i+k(x) =(x− xi)Pi+1,...,i+k−1,i+k(x)− (x− xi+k)Pi,i+1,...,i+k−1(x)

xi+k − xiAhora, desde este resultado podemos generar una tabla de interpolantes susesivos para 1

nodo, 2 nodos, , hasta el total de nodos con el objetivo de conseguir el valor del polinomio deinterpolación en ”x”. Dependiendo de la estrategia elegida aparecen dos tablas diferenciadas:

Estrategia de Neville

Ésta tiene el mismo procedimiento de cálculo que las diferencias divididas salvo por losfactores x− xr y conduce a la tabla siguiente:

x− xi xi yi = Pi(x) P grado 1 P grado 2 P grado 3x− x0 x0 y0 = P0(x)x− x1 x1 y1 = P1(x) P01(x)x− x2 x2 y2 = P2(x) P12(x) P012(x)x− x3 x3 y3 = P3(x) P23(x) P123(x) P0123(x)· · · · · ·

20 Interpolación.

Estrategia de Aitken

Esta estrategia conduce a la tabla siguiente:

x− xi xi yi = Pi(x) P grado 1 P grado 2 P grado 3x− x0 x0 y0 = P0(x)x− x1 x1 y1 = P1(x) P01(x)x− x2 x2 y2 = P2(x) P02(x) P012(x)x− x3 x3 y3 = P3(x) P03(x) P013(x) P0123(x)· · · · · ·

Por último, observe que ambas estrategias tiene los mismos valores en la diagonal de lastablas respectivas. As, el valor de salida de ambas estrategias es:

p(x) = P0,1,...,n(x)

Ejemplo.Calcula el valor del polinomio de interpolación en x = 3 para los datos: {(−1, 0), (2,−1), (5, 2), (6, 5)}

Solución.

• Si utilizamos la tabla de Neville, se obtiene:

x− xi xi yi = grad. 0 grado 1 grado 2 grado 34 −1 01 2 −1 −4

3

−2 5 2 0 −49

−3 6 5 −4 −1 −1621

Desde aqúı, el valor buscado es: p(3) = P0123(3) = −1621

• Si usamos la estrategia de Aitken, obtenemos la tabla de valores:

x− xi xi yi = grad. 0 grado 1 grado 2 grado 34 −1 0 − − −1 2 −1 −4

3− −

−2 5 2 43

−49

−−3 6 5 20

7−2

7−16

21

De nuevo, el valor del interpolante es: p(3) = P0123(3) = −1621 .

Ejercicio.Compruebe, usando la fórmula de interpolación de Newton, que el valor obtenido mediante lastablas anteriores es el correcto.

Apuntes de J. Lorente 21

4.5. Error en la Interpolación Polinomial.

Cuando calculamos el polinomio de interpoalción para el problema de Lagrange o Hermite,en general, estamos dando una estimación del modelo exacto por lo que se comete un error quepretendemos analizar de forma escueta en esta sección. Lo hacemos para los dos problemas másclásicos: Interpolación polinomial lagrangiana y de Hermite clásica.

Aśı supongamos que los datos vienen de la función f(x) y sea p(x) el interpolante de f(x)entonces llamamos error de interpolación en ”x” al valor:

E(x) = f(x)− p(x)

En esta situación, nos preguntamos si podemos dar una estimación manejable de este valor.Veámoslo en los casos comentados anteriormente.

Sea pn(x) el interpolante de f(x) en los nodos x0, x1, . . . , xn, entonces, el error lo escribimoscomo En(x) = f(x)− pn(x). Si usamos la fórmula de Newuton, tenemos que:

pn(x) = f(x0) + f [x0, x1] · (x− x0) + · · ·+ f [x0, . . . , xn] · (x− x0) · · · (x− xn−1)

y también, si agregamos un nuevo nodo de interpolación, xn+1 = x̂ tendremos la expresiónformal de Newton:

pn+1(x; x̂) = pn(x) + f [x0, . . . , xn, x̂] · (x− x0) · · · (x− xn−1) · (x− xn)

Pues bien, si suponemos que el nodo elegido es precisamente el nodo genérico x̂ = x, esevidente que la expresión anterior es una forma de escribir la función f(x); es decir,

f(x) ≡ pn+1(x;x) = pn(x) + f [x0, . . . , xn, x] · (x− x0) · · · (x− xn−1) · (x− xn)

Por lo tanto, el error de interpolación polinomial es:

En(x) = f(x)− pn(x) = f [x0, . . . , xn, x] · (x− x0) · · · (x− xn−1) · (x− xn)

Si usamos la propiedad que relaciona las diferencias difididas con la derivabilidad de unafunción podemos obtener el resultado siguiente:

Teorema 4.3 Sea f ∈ Cn+1 ([a, b]) y sea pn(x) el polinomio de interpolación de f en los nodosxi i = 0, 1, . . . , n del intervalo [a, b]. Entonces,

1. En(x) = f(x)− pn (x) = fn+1)(ξx)(n+1)!

Π(x)

donde Π(x) = (x− x0) · (x− x1) · · · (x− xn) =n∏i=0

(x− xi)

2. Una estimación del error es la siguiente: |En(x)| ≤ M(n+1)! |Π(x)| donde M es una cotapara

∣∣fn+1) (x)∣∣ en el intervalo [a, b].

22 Interpolación.

Aśı, podemos observad que el error de interpolación puede estar controlado para funcionessuaves pero el término que depende de los nodos en una forma especial puede presentar grandesoscilaciones debido a tal propiedad intŕınsica de los polinomios de grado elevado. Nos pregunta-mos, pues, si interpolamos una función dada en un intervalo [a, b] mediante el aumento sucesivode nodos de interpolación ¿será más pequeño el error?; es decir, ¿convergerá la sucesión depolinomios de interpolación a la función cuando n→∞?

La respuesta, en general, es negativa, a menos que los nodos sean elegidos de forma especial.Observe esto con el ejemplo de la Figura 4.3.

Figura 4.3: función e interpolantes p2(x), p6(x) y p10(x)

La función considerada es: f(x) = 11+x2

en el intervalo ]-5, 5[ y nodos de interpolaciónigualmente espaciados:

{−5, 0, 5}; {−5,−206,−10

6, 0,

10

6,20

6, 5}; {−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

En estas gráficas puede apreciarse que el error de interpolación no disminuye con el gradosino que es mayor, por lo que esta distribución de nodos conduce a una sucesión de polinomiosdivergente. Nos preguntamos, pues, ¿es posible elegir unos nodos óptimos respecto del error deinterpolación?En términos más precisos,

¿existen nodos xi en el intervalo de interpolación para los que máxx∈[a,b]

{|Π(x)|} sea mı́nimo?

La respuesta a esta cuestión está en las propiedades de los llamados polinomios de Chebyshevcuyo análisis detallado se hace en el caṕıtulo 5.

Tales polinomios vienen definidos, en el intervalo [-1,1] mediante la relación de recurrencia:

T0 = 1, T1 = x, Tn+1 = 2xTn − Tn−1n ≥ 1

Aśı por ejemplo los cinco primeros polinomios de Chebyshev son:

Apuntes de J. Lorente 23

T0 = 1, T1 = x, T2 = 2x2 − 1, T3= 4x3 − 3x, T4 = 8x4 − x2 + 1

Pues bien, estos polinomios tienen propiedades muy interesantes en relación al error deinterpolación.

1. p(x) = Tn+12n

es un polinomio de grado n+1 y coeficiente ĺıder 1 que cumple:

‖p(x)‖∞ = máxx∈[−1,1]

{|Tn+1(x)|

2n

}=

1

2n

2. para cualquier polinomio de grado n+1 y coeficiente ĺıder 1, q(x), se cumple:

‖q(x)‖∞ ≥1

2n

3. El polinomio de Chebyshev, Tn+1, tiene exactamente n+1 ceros distintos en el intervalo]− 1, 1[ que vienen dados por la igualdad:

xi = cos

(2i+ 1

n+ 1· π

2

)i = 0, 1, . . . , n

(esta igualdad proviene de la igualdad siguiente: Tn+1(x) = cos ((n+ 1)θ), con θ =arc cos(x))

Como consecuencia de estas dos propiedades podemos asegurar que los mejores n+ 1 nodosde interpolación para una función en el intervalo [-1,1] seŕıan los ceros del polinomio de Chebys-hev Tn+1 pues, en tal caso, el polinomio Π(x) seŕıa

Tn+12n

cuyo valor máximo en el intervalo [-1,1]es lo más pequeo posible y por tanto el error de interpolación seŕıa óptimo.

Pero, ¿qué ocurre si deseamos interpolar una función suave en un intervalo [a, b] 6= [−1, 1]?Pues, lo único que hay que hacer es un cambio de variable adecuado que transforme los nodosdel intervalo [-1,1] en nodos del intervalo [a,b].

Con el cambio de variable se tienen los nodos en [a, b]:

xi = a+b− a

2

(1 + cos

(2i+ 1

n+ 1· π

2

))i = 0, 1, . . . , n

En la tabla siguiente se dan los nodos óptimos para n=2, 3, 4 en intervalos diferentes:

[−1, 1] [−5, 5]2 {−0,866025, 0., 0,866025} {−4,33013, 0., 4,33013}3 {−0,92388,−0,382683, 0,382683, 0,92388} {−4,6194,−1,91342, 1,91342, 4,6194}4 {−0,951057,−0,587785, 0., 0,587785, 0,951057} {−4,75528,−2,93893, 0., 2,93893, 4,75528}

Observe y compare el comportamiento de los interpolantes en las Figuras 4.3 y 4.4.

24 Interpolación.

Figura 4.4: Interpolantes con nodos óptimos para f(x) = 11+x2

en [−5, 5]

INTERPOLACIÓN.Introducción. Interpolación polinómica.IntroducciónGeneralización del Problema.

Problemas habituales: Lagrange, Taylor y HermiteMétodos de Interpolación: Lagrange y Newton.Método de LagrangeMétodo de Newton.

Diferencias Divididas. Diferencias Finitas.Diferencias Finitas: Fórmulas de Newton Progresiva y Regresiva.Interpolación por resurrencia

Error en la Interpolación Polinomial.