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Cap. 8: FLUIDOS VISCOSOS
Fluido perfeito: dois letes de uido podem deslizar um do lado do outrocom velocidades diferentes sem interagir.Fluido real: agitação molecular de origem térmica −→ colisões entre asmoleculas dos dois letes e troca progressiva de momento −→ resistênciaao deslizamento relativo de camadas adjacentes, depende da viscosidade.
8.1 Equação de Navier-Stokes para uidos incompressíveisObjetivo
Obter ~fvisc , força de superfície:
∂~v
∂t+ (~v · ∇)~v = −
~∇pρ
+ ~g +~fviscρ
Fluido incompressível: ~∇ · ~v = 0−→ 4 eq. e 4 incognitas.
Força devida à viscosidade num caso simplesPlaca xa parada:Fluido perfeito: ~v⊥ = 0Fluido real: ~v⊥ = 0 e ~v|| = 0, condição de não-escorregamento ou noslip
Experiência:Duas placas com água entre elas, uma em movimentoForça para manter a placa em movimento: F
A= η v0
d, com η coeciente
de viscosidade de cisalhamento.
d FLUIDOd
área A
Força para manter uma camada em movimento em relação a outra:∆F
∆A= η
∆vx
∆y= η
∂vx∂y
Força devida à viscosidade num caso simplesPlaca xa parada:Fluido perfeito: ~v⊥ = 0Fluido real: ~v⊥ = 0 e ~v|| = 0, condição de não-escorregamento ou noslip
Experiência:Duas placas com água entre elas, uma em movimentoForça para manter a placa em movimento: F
A= η v0
d, com η coeciente
de viscosidade de cisalhamento.
d FLUIDOd
área A
Força para manter uma camada em movimento em relação a outra:∆F
∆A= η
∆vx
∆y= η
∂vx∂y
Força devida à viscosidade num caso simplesPlaca xa parada:Fluido perfeito: ~v⊥ = 0Fluido real: ~v⊥ = 0 e ~v|| = 0, condição de não-escorregamento ou noslip
Experiência:Duas placas com água entre elas, uma em movimentoForça para manter a placa em movimento: F
A= η v0
d, com η coeciente
de viscosidade de cisalhamento.
d FLUIDOd
área A
Força para manter uma camada em movimento em relação a outra:∆F
∆A= η
∆vx
∆y= η
∂vx∂y
Equação de Navier-Stokes para uido incompressívelProcuramos ~f = −~∇p + ~fvisc .
Força sobre δV :
~f δV =
[(~T1 +
∂~T1
∂x1δx1
)− ~T1
]δx2δx3 +[(
~T2 +∂~T2
∂x2δx2
)− ~T2
]δx1δx3 +
[(~T3 +
∂~T3
∂x3δx3
)− ~T3
]δx1δx2
=
[∂~T1
∂x1+∂~T2
∂x2+∂~T3
∂x3
]δV
ou:fi = ∂σi1
∂x1+ ∂σi2
∂x2+ ∂σi3
∂x3=∑j
∂σij
∂xjcom (Tj)i ≡ σij
Decompomos: σij = −pδij + σ′ij . Procuramos σ′ij =∑k,l
αijkl∂vk∂xl
(Um pouco técnico)fi =
∑j
∂σij
∂xjcom σij = −pδij + σ′ij e σ
′ij =?
σ′ij =∑k,l
αijkl∂vk∂xl
e ∂vk∂xl
= 1
2
(∂vk∂xl
+ ∂vl∂xk
)+ 1
2
(∂vk∂xl− ∂vl
∂xk
)−→ σ′ij =
σ′ji =∑k,l
αijkl1
2
(∂vk∂xl
+ ∂vl∂xk
)(conservamos só a parte simétrica que
corresponde a deformação).Fluido é isotrópico: αijkl = λδijδkl + η(δikδjl + δilδjk) + γ(δikδjl − δilδjk) =λδijδkl + η(δikδjl + δilδjk). No último termo usamos o fato que devemoster σ′ij = σ′ji .
Assim σ′ij = λδij∑k
(∂vk∂xk
)+ η
(∂vi∂xj
+∂vj∂xi
).
Usando ~∇ · ~v =∑k
(∂vk∂xk) = 0
σ′ij = η
(∂vi∂xj
+∂vj∂xi
).
Em coordenadas cartesianas
σ′ij =
2η ∂vx∂x η(∂vx∂y +∂vy∂x ) η(∂vx∂z + ∂vz
∂x )
η(∂vy∂x + ∂vx
∂y ) 2η ∂vy∂y η(∂vy∂z + ∂vz
∂y )
η(∂vz∂x + ∂vx∂z ) η(∂vz∂y +
∂vy∂z ) 2η ∂vz∂z
Em coordenadas cilíndricas
σ′ij =
2η ∂vr∂r η(r ∂∂r(vθr
)+ 1
r∂vr∂θ ) η(∂vr∂z + ∂vz
∂r )
η(r ∂∂r(vθr
)+ 1
r∂vr∂θ ) 2η( 1
r∂vθ∂θ + vr
r) η(∂vθ∂z + 1
r∂vz∂θ )
η(∂vr∂z + ∂vz∂r ) η(∂vθ∂z + 1
r∂vz∂θ ) 2η ∂vz∂z
Voltando à equação de movimento:
fi =∑j
∂σij∂xj
=∑j
[− ∂p∂xj
δij + η(∂2vi∂2xj
+∂2vj∂xi∂xj
)]
= − ∂p∂xi
+ η∑j
∂2vi∂2xj
.
−→ ~fvisc = η∇2~v .
Equação de Navier-Stokes:∂~v
∂t+ (~v · ~∇)~v = −
~∇pρ
+ ~g +η
ρ∇2~v .
Cuidado: Laplaciano de vetor ∇2~v = (~∇ · ~∇)~v 6= ~∇(~∇ · ~v) em geral.
Emcoordenadas cartesianas ∇2 = ∂2
∂x2 + ∂2
∂y2 + ∂2
∂z2
∇2~v = ∇2vx x +∇2vy y +∇2vz z =
[∂2vx∂x2
+∂2vx∂y2
+∂2vx∂z2
]x
+ [∂2vy∂x2
+∂2vy∂y2
+∂2vy∂z2
]y
+ [∂2vz∂x2
+∂2vz∂y2
+∂2vz∂z2
]z .
Em coordenadas cilindricas ∇2 = 1
r∂∂r
(r ∂∂r)
+ 1
r2∂2
∂θ2 + ∂2
∂z2
∇2~v =
[1r
∂
∂r(r∂vr∂r
)− vr
r2+
1r2∂2vr∂θ2
− 2r2∂vθ∂θ
+∂2vr∂z2
]r
+[1r
∂
∂r(r∂vθ∂r
)− vθ
r2+
1r2∂2vθ∂θ2
+2r2∂vr∂θ
+∂2vθ∂z2
]θ
+1r
∂
∂r(r∂vz∂r
) +1r2∂2vz∂θ2
+∂2vz∂z2
]z .
Cuidado: Laplaciano de vetor ∇2~v = (~∇ · ~∇)~v 6= ~∇(~∇ · ~v) em geral. Emcoordenadas cartesianas ∇2 = ∂2
∂x2 + ∂2
∂y2 + ∂2
∂z2
∇2~v = ∇2vx x +∇2vy y +∇2vz z =
[∂2vx∂x2
+∂2vx∂y2
+∂2vx∂z2
]x
+ [∂2vy∂x2
+∂2vy∂y2
+∂2vy∂z2
]y
+ [∂2vz∂x2
+∂2vz∂y2
+∂2vz∂z2
]z .
Em coordenadas cilindricas ∇2 = 1
r∂∂r
(r ∂∂r)
+ 1
r2∂2
∂θ2 + ∂2
∂z2
∇2~v =
[1r
∂
∂r(r∂vr∂r
)− vr
r2+
1r2∂2vr∂θ2
− 2r2∂vθ∂θ
+∂2vr∂z2
]r
+[1r
∂
∂r(r∂vθ∂r
)− vθ
r2+
1r2∂2vθ∂θ2
+2r2∂vr∂θ
+∂2vθ∂z2
]θ
+1r
∂
∂r(r∂vz∂r
) +1r2∂2vz∂θ2
+∂2vz∂z2
]z .
Cuidado: Laplaciano de vetor ∇2~v = (~∇ · ~∇)~v 6= ~∇(~∇ · ~v) em geral. Emcoordenadas cartesianas ∇2 = ∂2
∂x2 + ∂2
∂y2 + ∂2
∂z2
∇2~v = ∇2vx x +∇2vy y +∇2vz z =
[∂2vx∂x2
+∂2vx∂y2
+∂2vx∂z2
]x
+ [∂2vy∂x2
+∂2vy∂y2
+∂2vy∂z2
]y
+ [∂2vz∂x2
+∂2vz∂y2
+∂2vz∂z2
]z .
Em coordenadas cilindricas ∇2 = 1
r∂∂r
(r ∂∂r)
+ 1
r2∂2
∂θ2 + ∂2
∂z2
∇2~v =
[1r
∂
∂r(r∂vr∂r
)− vr
r2+
1r2∂2vr∂θ2
− 2r2∂vθ∂θ
+∂2vr∂z2
]r
+[1r
∂
∂r(r∂vθ∂r
)− vθ
r2+
1r2∂2vθ∂θ2
+2r2∂vr∂θ
+∂2vθ∂z2
]θ
+1r
∂
∂r(r∂vz∂r
) +1r2∂2vz∂θ2
+∂2vz∂z2
]z .
Observações:
I Eq. de Euler e de NS: Termos não lineares em (~v · ~∇)~v ⇒ não usaro teorema de superposição para obter soluções (nem o deunicidade).
I Eq. de Euler: ordem das derivadas espaciais é 1 (cf. (~v · ~∇)~v , ~∇p,etc).Eq. NS: ordem é 2 devido ao termo ∇2~v .−→ mais difícil de resolver e precisa de mais condições de contorno.
I Eq. NS: o que importa é η/ρ ≡ ν (viscosidade cinemática)
η(g/s·cm) ν(cm2/s)água 0.010 0.010ar 1.8×10−4 0.150mercúrio 0.0156 0.0012
É muito mais fácil observar turbulências no ar do que na água ou nomercúrio.
I Eq. de movimento da vorticidade ~Ω = ~∇× ~v (cf. 5.1.4)∂~Ω∂t + ~∇× (~Ω× ~v) = η
ρ∇2~Ω.
I Condições de contorno: ver exemplos.
ApplicaçõesEscoamento estacionário entre placas com velocidade relativa (Couette plano)
Duas placas com velocidade relativa v0x com p = cteDesprezar a gravitação. Supor estacionário.
p
xy
I ~v = vx(x , y , z)x = vx(x , y)x e ~∇ ·~v = ∂vx/∂x = 0 −→ ~v = vx(y)x .
I ∂~v/∂t = 0, (~v · ~∇)~v = (vx∂x)(vx(y)x) = 0, ~∇p = 0,
∇2~v = ∇2vx x = (d2vx/dy2)x ⇒ d2vx
dy2= 0 (eq. NS)
I Integrando: ⇒ vx(y) = ay + b
⇒ vx(y) =v0
dy (pois vx(0) = 0 e vx(d) = v0)
ApplicaçõesEscoamento estacionário entre placas com velocidade relativa (Couette plano)
Duas placas com velocidade relativa v0x com p = cteDesprezar a gravitação. Supor estacionário.
p
xy
I ~v = vx(x , y , z)x = vx(x , y)x e ~∇ ·~v = ∂vx/∂x = 0 −→ ~v = vx(y)x .
I ∂~v/∂t = 0, (~v · ~∇)~v = (vx∂x)(vx(y)x) = 0, ~∇p = 0,
∇2~v = ∇2vx x = (d2vx/dy2)x ⇒ d2vx
dy2= 0 (eq. NS)
I Integrando: ⇒ vx(y) = ay + b
⇒ vx(y) =v0
dy (pois vx(0) = 0 e vx(d) = v0)
ApplicaçõesEscoamento estacionário entre placas com velocidade relativa (Couette plano)
Duas placas com velocidade relativa v0x com p = cteDesprezar a gravitação. Supor estacionário.
p
xy
I ~v = vx(x , y , z)x = vx(x , y)x e ~∇ ·~v = ∂vx/∂x = 0 −→ ~v = vx(y)x .
I ∂~v/∂t = 0, (~v · ~∇)~v = (vx∂x)(vx(y)x) = 0, ~∇p = 0,
∇2~v = ∇2vx x = (d2vx/dy2)x ⇒ d2vx
dy2= 0 (eq. NS)
I Integrando: ⇒ vx(y) = ay + b
⇒ vx(y) =v0
dy (pois vx(0) = 0 e vx(d) = v0)
ApplicaçõesEscoamento estacionário entre placas com velocidade relativa (Couette plano)
Duas placas com velocidade relativa v0x com p = cteDesprezar a gravitação. Supor estacionário.
p
xy
I ~v = vx(x , y , z)x = vx(x , y)x e ~∇ ·~v = ∂vx/∂x = 0 −→ ~v = vx(y)x .
I ∂~v/∂t = 0, (~v · ~∇)~v = (vx∂x)(vx(y)x) = 0, ~∇p = 0,
∇2~v = ∇2vx x = (d2vx/dy2)x ⇒ d2vx
dy2= 0 (eq. NS)
I Integrando: ⇒ vx(y) = ay + b
⇒ vx(y) =v0
dy (pois vx(0) = 0 e vx(d) = v0)
Forças sobre o uido em y = 0 e y = d :
dFi = (fint)idV =∑j
∂σij
∂xjdV
Gauss=
∑j
σij dSj = − p dSi +∑j
σ′ij dSj
Aquí ~dSx = ~dSz = 0 e ~dSy (h) = dxdzy e ~dSy (0) = −dxdzy e todos osσ′ são nulos exceto σ′xy = σ′yx = η∂vx/∂y = v0η/d .
Na direção y : Fy (y = d) = −∫p dSy +
∫σ′yx dSx = −pA
e Fy (y = 0) = pA (pois ~dS aponta em sentido oposto).Na direção x : Fx(y = d) =
∫σ′xy dSy = v0Aη/d e
Fx(y = 0) = −v0Aη/d (pois ~dS aponta em sentido oposto).Na direção z : Fz(y = d) = 0 = Fz(y = 0)
Na interface y = d : uido submetido à força −pAy + (v0Aη/d)x eresponde com força oposta.Na interface y = 0: uido submetido à força pAy − (v0Aη/d)x eresponde com força oposta.
Além disto: soma das forças nula como esperado pois uido nãoacelerado.
Forças sobre o uido em y = 0 e y = d :
dFi = (fint)idV =∑j
∂σij
∂xjdV
Gauss=
∑j
σij dSj = − p dSi +∑j
σ′ij dSj
Aquí ~dSx = ~dSz = 0 e ~dSy (h) = dxdzy e ~dSy (0) = −dxdzy e todos osσ′ são nulos exceto σ′xy = σ′yx = η∂vx/∂y = v0η/d .Na direção y : Fy (y = d) = −
∫p dSy +
∫σ′yx dSx = −pA
e Fy (y = 0) = pA (pois ~dS aponta em sentido oposto).
Na direção x : Fx(y = d) =∫σ′xy dSy = v0Aη/d e
Fx(y = 0) = −v0Aη/d (pois ~dS aponta em sentido oposto).Na direção z : Fz(y = d) = 0 = Fz(y = 0)
Na interface y = d : uido submetido à força −pAy + (v0Aη/d)x eresponde com força oposta.Na interface y = 0: uido submetido à força pAy − (v0Aη/d)x eresponde com força oposta.
Além disto: soma das forças nula como esperado pois uido nãoacelerado.
Forças sobre o uido em y = 0 e y = d :
dFi = (fint)idV =∑j
∂σij
∂xjdV
Gauss=
∑j
σij dSj = − p dSi +∑j
σ′ij dSj
Aquí ~dSx = ~dSz = 0 e ~dSy (h) = dxdzy e ~dSy (0) = −dxdzy e todos osσ′ são nulos exceto σ′xy = σ′yx = η∂vx/∂y = v0η/d .Na direção y : Fy (y = d) = −
∫p dSy +
∫σ′yx dSx = −pA
e Fy (y = 0) = pA (pois ~dS aponta em sentido oposto).Na direção x : Fx(y = d) =
∫σ′xy dSy = v0Aη/d e
Fx(y = 0) = −v0Aη/d (pois ~dS aponta em sentido oposto).Na direção z : Fz(y = d) = 0 = Fz(y = 0)
Na interface y = d : uido submetido à força −pAy + (v0Aη/d)x eresponde com força oposta.Na interface y = 0: uido submetido à força pAy − (v0Aη/d)x eresponde com força oposta.
Além disto: soma das forças nula como esperado pois uido nãoacelerado.
Forças sobre o uido em y = 0 e y = d :
dFi = (fint)idV =∑j
∂σij
∂xjdV
Gauss=
∑j
σij dSj = − p dSi +∑j
σ′ij dSj
Aquí ~dSx = ~dSz = 0 e ~dSy (h) = dxdzy e ~dSy (0) = −dxdzy e todos osσ′ são nulos exceto σ′xy = σ′yx = η∂vx/∂y = v0η/d .Na direção y : Fy (y = d) = −
∫p dSy +
∫σ′yx dSx = −pA
e Fy (y = 0) = pA (pois ~dS aponta em sentido oposto).Na direção x : Fx(y = d) =
∫σ′xy dSy = v0Aη/d e
Fx(y = 0) = −v0Aη/d (pois ~dS aponta em sentido oposto).Na direção z : Fz(y = d) = 0 = Fz(y = 0)
Na interface y = d : uido submetido à força −pAy + (v0Aη/d)x eresponde com força oposta.
Na interface y = 0: uido submetido à força pAy − (v0Aη/d)x eresponde com força oposta.
Além disto: soma das forças nula como esperado pois uido nãoacelerado.
Forças sobre o uido em y = 0 e y = d :
dFi = (fint)idV =∑j
∂σij
∂xjdV
Gauss=
∑j
σij dSj = − p dSi +∑j
σ′ij dSj
Aquí ~dSx = ~dSz = 0 e ~dSy (h) = dxdzy e ~dSy (0) = −dxdzy e todos osσ′ são nulos exceto σ′xy = σ′yx = η∂vx/∂y = v0η/d .Na direção y : Fy (y = d) = −
∫p dSy +
∫σ′yx dSx = −pA
e Fy (y = 0) = pA (pois ~dS aponta em sentido oposto).Na direção x : Fx(y = d) =
∫σ′xy dSy = v0Aη/d e
Fx(y = 0) = −v0Aη/d (pois ~dS aponta em sentido oposto).Na direção z : Fz(y = d) = 0 = Fz(y = 0)
Na interface y = d : uido submetido à força −pAy + (v0Aη/d)x eresponde com força oposta.Na interface y = 0: uido submetido à força pAy − (v0Aη/d)x eresponde com força oposta.
Além disto: soma das forças nula como esperado pois uido nãoacelerado.
Forças sobre o uido em y = 0 e y = d :
dFi = (fint)idV =∑j
∂σij
∂xjdV
Gauss=
∑j
σij dSj = − p dSi +∑j
σ′ij dSj
Aquí ~dSx = ~dSz = 0 e ~dSy (h) = dxdzy e ~dSy (0) = −dxdzy e todos osσ′ são nulos exceto σ′xy = σ′yx = η∂vx/∂y = v0η/d .Na direção y : Fy (y = d) = −
∫p dSy +
∫σ′yx dSx = −pA
e Fy (y = 0) = pA (pois ~dS aponta em sentido oposto).Na direção x : Fx(y = d) =
∫σ′xy dSy = v0Aη/d e
Fx(y = 0) = −v0Aη/d (pois ~dS aponta em sentido oposto).Na direção z : Fz(y = d) = 0 = Fz(y = 0)
Na interface y = d : uido submetido à força −pAy + (v0Aη/d)x eresponde com força oposta.Na interface y = 0: uido submetido à força pAy − (v0Aη/d)x eresponde com força oposta.
Além disto: soma das forças nula como esperado pois uido nãoacelerado.
Escoamento estacionário entre placas com gradiente de pressão (Poiseuille plano)
Duas placas paradas com p(−l/2) = p1 > p(+l/2) = p2. Desprezar agravitação. Supor estacionário.
xy
I ~v = vx(x , y , z)x = vx(x , y)x e ~∇ ·~v = ∂vx/∂x = 0 −→ ~v = vx(y)x .
I ∂~v/∂t = 0, (~v · ~∇)~v = (vx∂x)(vx(y)x) = 0,∇2~v = ∇2vx x =(d2vx/dy
2)x
de modo que:∂p
∂x+ η
d2vx
dy2= 0
∂p
∂y=∂p
∂z= 0
p depende de x e d2vxdy2
de y ⇒ ∂p∂x = C e d2vx
dy2= C .
I Integrando com as condições de contorno p(−l/2) = p1,p(+l/2) = p2, vx(0) = vx(h) = 0, obtemos:
p(x) =p2 − p1
lx +
p2 + p1
2e vx(y) =
p2 − p1
l2ηy(y − h)
Escoamento estacionário entre placas com gradiente de pressão (Poiseuille plano)
Duas placas paradas com p(−l/2) = p1 > p(+l/2) = p2. Desprezar agravitação. Supor estacionário.
xy
I ~v = vx(x , y , z)x = vx(x , y)x e ~∇ ·~v = ∂vx/∂x = 0 −→ ~v = vx(y)x .
I ∂~v/∂t = 0, (~v · ~∇)~v = (vx∂x)(vx(y)x) = 0,∇2~v = ∇2vx x =(d2vx/dy
2)x
de modo que:∂p
∂x+ η
d2vx
dy2= 0
∂p
∂y=∂p
∂z= 0
p depende de x e d2vxdy2
de y ⇒ ∂p∂x = C e d2vx
dy2= C .
I Integrando com as condições de contorno p(−l/2) = p1,p(+l/2) = p2, vx(0) = vx(h) = 0, obtemos:
p(x) =p2 − p1
lx +
p2 + p1
2e vx(y) =
p2 − p1
l2ηy(y − h)
Escoamento estacionário entre placas com gradiente de pressão (Poiseuille plano)
Duas placas paradas com p(−l/2) = p1 > p(+l/2) = p2. Desprezar agravitação. Supor estacionário.
xy
I ~v = vx(x , y , z)x = vx(x , y)x e ~∇ ·~v = ∂vx/∂x = 0 −→ ~v = vx(y)x .
I ∂~v/∂t = 0, (~v · ~∇)~v = (vx∂x)(vx(y)x) = 0,∇2~v = ∇2vx x =(d2vx/dy
2)x
de modo que:∂p
∂x+ η
d2vx
dy2= 0
∂p
∂y=∂p
∂z= 0
p depende de x e d2vxdy2
de y ⇒ ∂p∂x = C e d2vx
dy2= C .
I Integrando com as condições de contorno p(−l/2) = p1,p(+l/2) = p2, vx(0) = vx(h) = 0, obtemos:
p(x) =p2 − p1
lx +
p2 + p1
2e vx(y) =
p2 − p1
l2ηy(y − h)
Escoamento estacionário entre placas com gradiente de pressão (Poiseuille plano)
Duas placas paradas com p(−l/2) = p1 > p(+l/2) = p2. Desprezar agravitação. Supor estacionário.
xy
I ~v = vx(x , y , z)x = vx(x , y)x e ~∇ ·~v = ∂vx/∂x = 0 −→ ~v = vx(y)x .
I ∂~v/∂t = 0, (~v · ~∇)~v = (vx∂x)(vx(y)x) = 0,∇2~v = ∇2vx x =(d2vx/dy
2)x
de modo que:∂p
∂x+ η
d2vx
dy2= 0
∂p
∂y=∂p
∂z= 0
p depende de x e d2vxdy2
de y ⇒ ∂p∂x = C e d2vx
dy2= C .
I Integrando com as condições de contorno p(−l/2) = p1,p(+l/2) = p2, vx(0) = vx(h) = 0, obtemos:
p(x) =p2 − p1
lx +
p2 + p1
2e vx(y) =
p2 − p1
l2ηy(y − h)
Forças sobre o uido:Paredes: ~dSx = ~dSz = 0 e ~dSy (h) = dxdzy e ~dSy (0) = −dxdzy . Todosσ′ nulos exceto σ′xy = σ′yx = η∂vx/∂y = [(p2 − p1)/l ](y − h/2).Supomos que z varia de −L/2 a L/2.
Na direção x : Fx(y = h) =∫σ′xy dSy = (p2 − p1)Lh/2 e
Fx(y = 0) = (p2 − p1)Lh/2.Força total na direção x : (p2 − p1)Lhx , equilibra a força devida àdiferença de pressão −~∇pV = [(p1 − p2)/l ]hlLx = −(p2 − p1)Lhx .Na direção y : Fy (h) = −
∫p dSy = −(p1 + p2)lL/2 (intregrando com
p(x) calculado) e Fy (y = 0) = (p1 + p2)lL/2.Na direção z : Fz(y = h) = 0 = Fz(y = 0)
Além disto: soma das forças nula como esperado pois uido nãoacelerado.
Forças sobre o uido:Paredes: ~dSx = ~dSz = 0 e ~dSy (h) = dxdzy e ~dSy (0) = −dxdzy . Todosσ′ nulos exceto σ′xy = σ′yx = η∂vx/∂y = [(p2 − p1)/l ](y − h/2).Supomos que z varia de −L/2 a L/2.Na direção x : Fx(y = h) =
∫σ′xy dSy = (p2 − p1)Lh/2 e
Fx(y = 0) = (p2 − p1)Lh/2.Força total na direção x : (p2 − p1)Lhx , equilibra a força devida àdiferença de pressão −~∇pV = [(p1 − p2)/l ]hlLx = −(p2 − p1)Lhx .
Na direção y : Fy (h) = −∫p dSy = −(p1 + p2)lL/2 (intregrando com
p(x) calculado) e Fy (y = 0) = (p1 + p2)lL/2.Na direção z : Fz(y = h) = 0 = Fz(y = 0)
Além disto: soma das forças nula como esperado pois uido nãoacelerado.
Forças sobre o uido:Paredes: ~dSx = ~dSz = 0 e ~dSy (h) = dxdzy e ~dSy (0) = −dxdzy . Todosσ′ nulos exceto σ′xy = σ′yx = η∂vx/∂y = [(p2 − p1)/l ](y − h/2).Supomos que z varia de −L/2 a L/2.Na direção x : Fx(y = h) =
∫σ′xy dSy = (p2 − p1)Lh/2 e
Fx(y = 0) = (p2 − p1)Lh/2.Força total na direção x : (p2 − p1)Lhx , equilibra a força devida àdiferença de pressão −~∇pV = [(p1 − p2)/l ]hlLx = −(p2 − p1)Lhx .Na direção y : Fy (h) = −
∫p dSy = −(p1 + p2)lL/2 (intregrando com
p(x) calculado) e Fy (y = 0) = (p1 + p2)lL/2.
Na direção z : Fz(y = h) = 0 = Fz(y = 0)
Além disto: soma das forças nula como esperado pois uido nãoacelerado.
Forças sobre o uido:Paredes: ~dSx = ~dSz = 0 e ~dSy (h) = dxdzy e ~dSy (0) = −dxdzy . Todosσ′ nulos exceto σ′xy = σ′yx = η∂vx/∂y = [(p2 − p1)/l ](y − h/2).Supomos que z varia de −L/2 a L/2.Na direção x : Fx(y = h) =
∫σ′xy dSy = (p2 − p1)Lh/2 e
Fx(y = 0) = (p2 − p1)Lh/2.Força total na direção x : (p2 − p1)Lhx , equilibra a força devida àdiferença de pressão −~∇pV = [(p1 − p2)/l ]hlLx = −(p2 − p1)Lhx .Na direção y : Fy (h) = −
∫p dSy = −(p1 + p2)lL/2 (intregrando com
p(x) calculado) e Fy (y = 0) = (p1 + p2)lL/2.Na direção z : Fz(y = h) = 0 = Fz(y = 0)
Além disto: soma das forças nula como esperado pois uido nãoacelerado.
Forças sobre o uido:Paredes: ~dSx = ~dSz = 0 e ~dSy (h) = dxdzy e ~dSy (0) = −dxdzy . Todosσ′ nulos exceto σ′xy = σ′yx = η∂vx/∂y = [(p2 − p1)/l ](y − h/2).Supomos que z varia de −L/2 a L/2.Na direção x : Fx(y = h) =
∫σ′xy dSy = (p2 − p1)Lh/2 e
Fx(y = 0) = (p2 − p1)Lh/2.Força total na direção x : (p2 − p1)Lhx , equilibra a força devida àdiferença de pressão −~∇pV = [(p1 − p2)/l ]hlLx = −(p2 − p1)Lhx .Na direção y : Fy (h) = −
∫p dSy = −(p1 + p2)lL/2 (intregrando com
p(x) calculado) e Fy (y = 0) = (p1 + p2)lL/2.Na direção z : Fz(y = h) = 0 = Fz(y = 0)
Além disto: soma das forças nula como esperado pois uido nãoacelerado.