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Cap. 39 – Mais ondas de matéria
•Ondas em cordas e ondas de matéria;•Energia de um elétron confinado (1D);
•Mudanças de energia;•Função de onda de um elétron confinado (1D);•Elétron em poço finito;
•Outras armadilhas;•Elétron confinado (2D e 3D);
•O átomo de hidrogênio;•Átomo de Bohr;•Eq. de Schrödinger.
Problema
• Início de séc. XX:– Estrutura dos átomos?
– Como átomos emitiam ou absorviam luz?
– Por que os átomos são estáveis?
– Ligações químicas?
• 1926: Física Quântica– Partículas que formam o átomo se comportam como onda eq.
Schrödinger
Ondas em cordas e ondas de matéria
• Ondas em cordas de comprimento “infinito”– Onda progressiva de qualquer
comprimento de onda / frequência
• Ondas em cordas de comprimento limitado e extremidades fixas– Ondas estacionárias de
comprimentos de onda quantizados
“O confinamento de uma onda leva à quantização, ou seja, à existência de estados discretos com energias discretas. A onda pode ter apenas uma destas energias.”
Energia de um elétron confinado
• Armadilha unidimensional– Energia potencial: U = – e.V– O potencial associado à esta armadilha:
poço de energia potencial infinitamente profundo
– A partícula fica confinada entre x = 0 e x = L
n = 1 estado fundamentaln > 1 estados excitados
Applet
Mudanças de energia
• Mudanças de energia– O elétron só passará para outro estado se
receber ou liberar a diferença de energia entre os níveis
• Transição para maiores energias– Absorção de fóton
– O elétron só executará um salto quântico se o fóton possuir a energia E
• Transição para menores energias– Emissão de fótons
Funções de onda de um elétron confinado
• Resolvendo eq. de Schrödinger para 0 < x < L:
• Probabilidade de detecção:
Applet
Princípio da correspondência: “Para grandes valores dos números quânticos, os resultados da física quântica tendem para os resultados da física clássica.”
Funções de onda de um elétron confinado
• NORMALIZAÇÃO:• A partícula deve estar em algum lugar do espaço. Logo:
• Energia de ponto zero:– Menor valor de energia é para n = 1. Assim:
“Em sistemas confinados não existem estados de energia zero.”
Um elétron em um poço finito
• Poço infinito: idealização• Poço finito: mais realista
• Equação de Schrödinger:
Applet
Exemplo
• Um elétron no estado n = 2 do poço de potencial finito da Figura absorve uma energia de 400 eV de uma fonte externa. Qual é a energia cinética do elétron após esta absorção, supondo que o elétron seja transferido para uma posição onde x > L?
Outras armadilhas para elétrons
• Nanocristalitos (d ~ 1 nm): poço de potencial
• Menor tamanho → maior diferença de energia → menor comprimento de onda
• Solução de CdSe:
CdSe
Tamanho
Outras armadilhas para elétrons• Pontos quânticos:• metal / isolante / semi-condutor / isolante / metal• Isolante: poço de potencial• Diferença de potencial ou laser: controle do tunelamento através da
camada semicondutora
elétron
buraco
Outras armadilhas para elétrons
• Ponto quântico fotodetector de infravermelho• (QDIP - Quantum dot infrared photodetector) InGaAs/InGaP/GaAs
256x256 pixels.
Armadilhas bidimensionais e tridimensionais
• Elétron em 1D (fio):
M. Lagos, V. Rodrigues, and D. Ugarte, JESRP 156, 20 (2007)
Um número quântico!!!
Outras armadilhas para elétrons
• Currais quânticos:• Átomos de ferro sobre cobre
Ondas de matérias → elétrons do cobre confinados na barreira de potencial dos átomos de ferro
Armadilhas bidimensionais e tridimensionais
• Elétron em 2D (placa):
Dois números quânticos!!!
Exemplo
• Na notação da equação abaixo, a energia do estado fundamental do elétron em um curral retangular é E0,0 ; E1,0 ; E0,1 ou E1,1?
nx, ny = 1, 2, 3, …
Armadilhas bidimensionais e tridimensionais
• Elétron em 3D (volume):
Três números quânticos!!!
Exemplo
• Um curral retangular de larguras Lx=L e Ly=2L contém um elétron. Determine, em múltiplos de h2/8mL2, onde m é a massa do elétron, (a) a energia do estado fundamental do elétron, (b) a energia do primeiro estado excitado, (c) a energia dos primeiros estados degenerados e (d) a diferença entre as energias do segundo e do terceiro estado excitado.
O átomo de hidrogênio
e-
p+
O átomo de hidrogênio
• Johann Balmer (1885)• Série de Balmer: hidrogênio só emite / absorve quatro
comprimentos de onda no visível.
UV Visível
O átomo de hidrogênio
• Hipóteses do modelo de Bohr:
1. Elétron gira em torno do núcleo em órbita circular;
2. Módulo do momento angular do elétron só pode assumir valores quantizados:
Raio de Bohr:
Força de Coulomb:
Mas:
O átomo de hidrogênio
Energia:
O átomo de hidrogênio
• Mudanças de energia
nbaixo = 1, Série de Lymannbaixo = 2, Série de Balmernbaixo = 3, Série de Paschennbaixo = 4, Série de Brackett
constante de Rydberg
O átomo de hidrogênio
O átomo de hidrogênio e a eq. de Schrödinger
• Potencial Coulombiano
3D: 3 números quânticos
Elétron confinado: Energia discreta
Símbolo Nome Valores permitidos
n nº quântico principal 1, 2, 3, 4, ...
l nº quântico orbital 0, 1, 2, ..., n – 1
ml nº quântico orbital magnético – l, – l + 1, ..., l – 1, l
O átomo de hidrogênio e a eq. de Schrödinger
n l ml
1 0 0 1s
2
0 0 2s
1
-1
2p0
1
3
0 0 3s
1
-1
3p0
1
2
-2
3d
-1
0
1
2
O átomo de hidrogênio e a eq. de Schrödinger
• Energia / Funções de onda:
• Função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio
• Densidade de probabilidade radial
• Raio mais provável para n = 1: raio de Bohr.
• Porém, há probabilidade de o elétron estar em qualquer raio.
• A noção de o elétron orbitar o núcleo em órbitas definidas é INCORRETA!!!
Raio de Bohr