8/17/2019 Cap 2 C Dif

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Capitulo 2

LA DERIVADA Y SUS INTERPRETACIONES

Incrementos Incremento de una función Pendiente de una línea recta Pendiente de una curva Concepto de derivada Notación de la derivada Clasificación de la derivada Método de los cuatro pasos Derivadas algebraicas Regla de la cadena

Derivadas de funciones implícitas Derivadas de orden superior Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas Derivadas de funciones circulares! trigonometrícas Derivada de funciones trigonometrícas inversa

INCREMENTOS" 

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#i la variable x con un valor inicial a$ s ele da un valor final b$ a la diferencia b-a se le llamaincremento de la variable x$ esto se expresa usando la letra griega delta ∆  %ue se antepone ala variable ab x   −=∆

• #i se registra un aumento de valor el incremento es positivo" &btén el valor delincremento de la variable x con un valor inicial a=4$ valor final b=9  549   =−=∆ x  

• #i 'ay disminución de valor el incremento es negativo" &btener el valor del incrementode la variable x$ con valor inicial a=3$ valor final b=0  330   −=−=∆∴  x

• #i no 'ay diferencia el incremento es nulo" &btener el valor del incremento de la variable x$ con un valor inicial a=3$ valor final b=3  033   =−=∆∴  x

INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN.

 #i y esta en función de x tenemos  y=f(x).Cuando x recibe un incremento ( x$corresponde a la función un incremento ( y$

gr)ficamente se expresa así"#ea el punto  B(x,y)  de una curva cuyaecuación es de la forma y=f(x) 

*os incrementos son+  ∆x= AC y ∆y=BC 

PENDIENTE DE UNA LÍNEA RECTA:

,n geometría analítica estudiamos lo referente a la pendiente m de una línea recta y concluimos+• *a pendiente de toda recta paralela al e-e x es cero"• *a pendiente de una recta %ue forma un )ngulo . entre °

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mueve sobre la curva 'acia 1$ la recta 12 girasobre 1 'asta coincidir con las rectas 1# estangente a la curva en 1"1 medida %ue se aproxima a  A  el (x tiendea cero y la pendiente 12 llegaría a ser la misma

1#",n consecuencia tenemos %ue+

 x

 ytg m x   ∆

∆==

→∆   0θ   

Como los )ngulos 3 y . son iguales$ entonces+

 x

 ytg tg m x   ∆

∆===

→∆   0θ α 

"

CONCEPTO DE DERIVDA.

*a derivada de una función con respecto a una variable es el límite del incremento de la funciónentre el incremento de la variable$ cuando el incremento tiende a cero" #e expresa asi

 x

 ylímderivada x ∆

∆=

→∆   0  cuando el límite de la ra4ón existe$ se dice %ue la función tiene

derivada" ,l valor de la derivada en cual%uier punto de una curva$ es igual a la pendiente de latangente a la curva en ese punto"

NOTACIÓN DE LA DERIVADA.

*a derivada se expresa en cual%uier de las formas siguientes"

→→

→

→

 Leibit! dx

dy Lafrage y

 Lagrage x  f  

Ca"#$y x %f  

´

)´(

)(

CLASIFICACIÓN DE LA DERIVADA.

#e clasifica en

)()(

)()´´´(´´´

)()´´(´´

)()´(´

4

3

2

4

4

3

3

2

2

 x f  % x f  y#"arta

 x f  % x f  yter#era

 x f  % x f  y &eg"da

 x %f  x f  y 'rimera

dx

 yd  ()  *) dx

 yd dx

 yd dxdy

5 así sucesivamente$ las derivadas m)s empleadas son$ a primera y la segunda derivada"

MÉTODO DE LOS CUATRO PASOS.67 Dar un incremento a x" ,n la función sustituimos  x  por  x+∆x  y desarrollamos"

8ambién debemos expresar el incremento de 5"

97 Restar la función original" Restamos algebraicamente de la función incrementada lafunción inicial y desarrollamos"

C  A x   −=∆C  B y   −=∆ %% 

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:7 Calcular el cociente de x

 y

∆∆ Dividimos el incremento de la función ∆y entre el incremento

de la variable independiente ∆x y desarrollamos"

;7 &btener el x

 ylím x ∆

∆→∆   0

Calculamos el límite del cociente anterior$ cuando 0→∆ x  ellímite %ue obtenemos de la derivada %ue tratamos de obtener"

#i generali4amos lo anterior$ obtenemos la regla general de derivación"

 x

 x  f   x x  f  lím

 x

 y

 x ∆−∆+

=∆∆

→∆

)()(

0 ,n donde

→∆→→∆→→∆+

→∆0 _ 

 _ 

)(

)(

 x#"ad/límiteel e&lím

 xei#remet/el e& x

/rigial  f"#i0lae& x f  

dai#remeta f"#i0lae& x x f  

/ x

Deriva la siguiente función por el método de los ; pasos 53   −=  x y

  67 5)(3   −∆+=∆+  x x x y  97 ( )53533)53(   −−−∆+=−−∆+  x x x x y y

  :7 x

 x

 x

 y

∆∆

=∆∆   3

  ;7 30→∆

=∆∆

 xlím

 x

 y  1/r tat/ y2=3

Deriva la siguiente función por el método de los ; pasos 3  x y =

  67 3  x x x y   ∆+=∆+

  97 333  x x x x y y   −∆+=−∆+

  :7( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )      

  

 

+∆++∆+

+∆++∆+∆

−∆+=

∆∆

32

31

31

32

32

31

31

32

33

 x x x x x x

 x x x x x x

 x

 x x x

 x

 y

 ( ) ( ) ( ) ( )[ ]  

  

  

 

+∆++∆+∆

−∆+=

∆∆

32

31

31

32

 x x x x x x x

 x x x

 x

 y

  ;7( ) ( ) ( ) ( )[ ]   ( ) ( ) ( ) ( )   32313132323131320 00

11

 x x x x x x x x x xlím

 x

 y

 x ++++= 

 

 

 

 

 

+∆++∆+=

∆∆

→∆

 3   23

23

23

23

11

 x x x x x

 y=

++=

∆∆

( )

( ) ( )

224

23

)32(322)32(2

322

321

32

0 ==∆

∆

°

∆∆

=∆∆

°

−−−∆+=−−∆+°

−∆+=∆+

−∆+=∆+°

−=

→∆ xlím x

 y

 x

 x

 x

 y

 x x x x y y

 x x y y

 x x y y

 x y

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( ) ( )

( )

 x x x x x x x x x

 y x

 x x x x x x x x

 x

 y

 x x x x x x x x x x x x x x x y y

 x x x x y y

 x x y

10351033lim4

510333

755710533752

751

75

22

0

2222

232322323

23

23

+=∆++∆+∆+=∆∆

°∆

∆+∆+∆+∆+∆=

∆

∆°

+−−∆+−∆++∆+∆+∆+=−+−∆+°

−∆++∆+=∆+°

−+=

→ Χ

( ) ( )( )

( )

 x x x x/ xlím

 x

 y

 x x x x

 x x x

 x

 y

 x x x

 x x x

 x

 x x x

 x

 y

 x x x x y y

 x x y y

 x y

/ x 2

1114

3

2

1

=+

=++

=∆∆°

+∆+∆−∆+=

∆∆

+∆++∆+

∆−∆+

=∆∆

°

−∆+=−∆+°

∆+=∆+°

=

→∆

  EJERCICIOS:

*a derivada$ empleando el método del cociente de Ne

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  97 ( ) x x x x y y   −∆+=−∆+   )(

  :7 x

 x

 x

 y

∆∆

=∆∆

  ;7 10→∆

=∆∆

 xlím

 x

 y  1/r tat/ y2=

misma$ es igual a la unidad" Como indicamos%ue y=x

1)(=

dx

 xd 

 .- DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES.   Como y, ", v$ y 5  est)n en función de  xcuando x se incrementa las dem)s variables también se incrementan"

5v" y   −+=67 )()()( 55vv"" y y   ∆+−∆++∆+=∆+97 ( )   )()()()( 5v"55vv""5v" y y   −+−∆+−∆++∆+=−+−∆+

:7 x

5

 x

v

 x

"

 x

 y

∆∆

−∆∆

+∆∆

=∆∆

;7  

 

 

 

 

∆

∆−

∆

∆+

∆

∆=

∆

∆→∆

 x

5

 x

v

 x

"lím

 x

 y

 x   0 

#e observa %ue a medida %ue (x tiende a cero x

5

 x

v

 x

"

 x

 y

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

,,, tiene por límite a si mismo"

*a derivada con respecto a x de la suma de un n=mero finito de funciones$ es igual a la suma desus derivadas"

dx

d5

dx

dv

dx

d"

dx

5v"d −+=

−+   )(

!.- DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA VARIABLE"   y=#v

 67 )( vv# y y   ∆+=∆+  97 ( )#vv##v#v y y   −∆+=−∆+   )(

  :7 x

v#

 x

 y

∆∆

=∆∆

  ;7 ( ) x

vlím#

 x

 y

 x ∆∆

=∆∆

→∆   0 

*a derivada de una constante por una variablees igual a la constate por la derivada de lavariable

dx

dv#

dx

#vd =

)(

".- DERIVADA DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES" y="v

67 ( ) ( )vv"" y y   ∆+∆+=∆+

 v""vv""v y y

  ∆∆+∆+∆+=∆+97 "vv""vv""v"v y y   −∆∆+∆+∆+=−∆+   )(

:7 x

v"

 x

"v

 x

v"

 x

 y

∆∆∆

+∆∆

+∆∆

=∆∆

;7    

  

∆∆∆

+∆∆

+∆∆

=∆∆

→∆  x

v"

 x

"v

 x

v"lím

 x

 y

 x   0

*a derivada del producto de dos funciones es

igual a la 67 función por la derivada de la 97$m)s la 97 función por la derivada de la 67función"

dx

d"v

dx

dv"

dx

"vd +=

)(

#.- DERIVADA DE LA POTENCIA DE UNA FUNCIÓN "" y =

67 "" y y   )(   ∆+=∆+  seg=n la teoría del binomio desarrollamos el segundo miembro"

  ..........)(2

)1(   221 ""

""" y y ∆−+∆+=∆+   −−

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97 """

"""" y y   −∆−

+∆+=−∆+   −− ..........)(2

)1(   221

 >actori4amos el segundo miembro (u$ """

"" y ∆

∆

−+∆=∆   −− ..........)(

2

)1(   221

:7  x"

""

"" x

 y

∆∆

∆

−+∆=∆

∆   −−.........)(2

)1(   221

;7    

  

∆∆

=∆∆   −

→∆  x

""lím

 x

 y  x

1

0

*a deriva de una función elevada a un exponente entero positivo$ es igual al producto delexponente diminuido en uno por la derivada de la función"

dx

d""

dx

"d 

1)(   −=

$.- DERIVA DEL COCIENTE DE FUNCIONES" Con v?@

v

" y =

67( )

vv

"" y y

∆+∆+=∆+

97v

"

vv

""

v

" y y   −

∆+∆+

=−∆+

  ( ) ( )( )   )(2 vvv

v""vvvv

vv"v"" y∆+∆−∆=

∆+∆+−∆+=∆

:7 =

∆∆+

∆∆−∆

=∆∆

 x

vvv

 x

v""v

 x

 y

)(2

;72v

 x

v"

 x

"v

 x

 y   ∆∆

−∆∆

=∆∆

*a derivada del cociente de dos funciones esigual a una fracción %ue tiene por numeradoral numerador por la derivada deldenominador menos$ el denominador por laderivada del numerador!$ todo dividido entreel cuadrado del denominador"

2v

dx

dv"

dx

d"v

dx

v

"d    −

=   

  

%.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN ENTRE UNA CONSTANTE.

≠=

=0#

C6. #

#

" y

22´

#

dx

d"#

#

dx

d#"

dx

d"#

 y   =−

=

*a derivada de una función por una constantees igual a la derivada de la función entre laconstante"

#

dx

d"

dx

#

"d 

=   

  

 &.- DERIVADA DE LA RAÍ' CAUDRADA DE UNA FUNCIÓN.2

1

"" y   ==

dx

d"" y  1

21   2

1

´  −=

*a derivada de la raí4 de una función es igual a

la derivada de la función entre dos veces laraí4 cuadrada de la función"

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dx

d"

"dx

"d 

2

1=

1.- DERIVADA DE LA RAÍ' CUADRADA DE CON RESPECTO A SI MISMA. x y =

67  x x y y   ∆+=∆+97  x x x x y y   −∆+=−∆+

:7 ( )  x x x x x x x x x x

 x x x

 x x x

 x

 x x x

 x

 y

+∆+=

+∆+∆−∆+

=   

  

 

+∆++∆+

∆−∆+

=∆∆   1

;7 x x x x x

lím x

 y

 x ++=

+∆+=

∆∆

→∆ 0

11

0 

 xdx

 xd 

2

1=∴

FORMULARIO BASICO+Calcular la derivada de una función a partir de su definición es un proceso muy tedioso y %uedemanda muc'o tiempo" Asa es la ra4ón por la %ue se 'an desarrollado instrumentos Bteóricos ytecnológicos %ue permiten acortar el largo camino %ue 'emos visto 'asta a%uí"Recuerda %ue la derivada de una función  f(x)  nos produce otra función$ este proceso lopodemos es%uemati4ar de la siguiente manera+

Donde  x! es una variable  #! es una constante  d7dx es la derivada con respecto a

B x   u" v y < son variables

6"   0)(=

dx

#d 

9"   1)(=

dx

 xd 

:"dx

d5

dx

dv

dx

d"

dx

5v"d −+=

−+   )(

;"dx

dv#

dx

#vd =

)(

" dxd"

vdx

dv"dx

"vd 

+=)(

E"dx

d""

dx

"d 

1)(   −=

F"   1)(   −=

xdx

 xd 

G"2

v

dx

dv

"dx

d"

v

dx

v

"d 

  −=  

 

 

 

H"

#

dx

d"

dx

#

"d 

=   

  

6@"dx

d"

"dx

"d 

2

1=

66" xdx

 xd 

2

1=

69" dxd"

v5dx

dv

"5dx

d5

"vdx

"v5d 

++=)(

Procedimiento para aplicar las fórmulas de derivación"

,-emplo   5= y  como 0)(=

dx

#d  entonces

0)5(==

dx

d 

dx

dy

,-emplo 35   2 −+=  x x y  como

,-emplo 100 x y =  comodx

d""

dx

"d 

1)(   −=

Donde "=x  y =00

991100

100

100100  x xdx

dx

dx

dy===   −

'era#i

de deriva#i )´( x f )( x f  y =

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dx

d5

dx

dv

dx

d"

dx

5v"d −+=

−+   )( tenemos %ue

dx

d 

dx

dx

dx

 xd 

dx

dy   )3()5(   2−+=

Para cada una de las derivadas aplicamos la

fórmula correspondiente 110   +=  xdx

dy

,-emplo 22 +=  x y  comodx

d"

"dx

"d 

2

1=

dx

 xd 

 xdx

 xd 

dx

dy   )2(

22

1)2(   2

2

2 +

+=

+=

22

221

22 +=+==  x x x

 xdxdy

,-emplo bxa x y   +=  tenemos

dx

d"v

dx

dv"

dx

"vd +=

)( y aplicando la fórmula

Donde bxav x"   +==

dxbxa xd 

dxdy   )(   +=

dx

dxbxa

dx

bxad  x

dx

dy++

+=

  )(

)1(2

1bxa

bxa x

dx

dy++

+=

bxabxa

 x

dx

dy++

+=

2

,,RCICI+

,-emplo2

3

1  x

 x y

+=  tenemos

2v

dx

dv"

dx

d"v

dx

v

"d    −

=   

  

 y aplicamos la fórmula

Donde 223 +==  xv x"

dx

 x

 xd 

dx

dy 

+

=2

3

1

(

( ) 22

23

32

1

)1()()1(

 x

dx

 xd  x

dx

 xd  x

dx

dy

+

+−+

=

( )( )22

322

1

)2)((3)1(

 x

 x x x x

dx

dy

+

−+=

( ) 2224

22

442

13

)1(233

 x x x

 x x x x

dxdy

++=

+−+=

Derive cada una de las siguientes funciones por fórmulas$ teoremas o reglas y simplifi%uealgebraicamente"

 y = 8r =

1/2t2

1   −   y=  

  

   −   

   +

2

22

x

1x

x

1x

 y = 3xr = -

5/2t3

2 y =

1xx

x23

2

++   −−−

 y = a y =

2

xr=

432 u

1

u

1

u

1

u

1+++

 y = x + 3 y = -

x

13x − y =

432 uuuu

1

+++ y = 8x 3

 y =2x

3   y = ( )12xx

3x

1x   2 −−   

  

++

 

r = ! 3 - 9 y =

2x

2

x

1−  y = ( )    

  

  

+−++

2x

11x1x

 y = 9 + x y =

7

8x2− y =

x

4

2x

12 −  

 y = 8 x

 y = t

5 " = 3   23 zz +

r = :!   y =   x  y = (x + 3)(x  x)

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0. = 0m:3. " =

7

z

2

z   72−

:. y = -3 (x  x)

y = bzy = x2

x

1− y = 1)(xx   +

r = 3 – 2t y = x5+5x4-10x2+6 r = (t2+4)(t2-4)

t = 3z – 4 y = 3x12-x32+2x-12y =  

  

  x

1x

y = -3

9xy =

x

4

2x

12 + y = (x

2 + x – 1)-13

y = 5x35y =

3t

6

t

2+  

(7x – 3)2

y = 9b2 y = x22x + r = ( )31t +y = ab

2

3 y = (1 – 5x)6y =

2x

1x

−+

 y = 3x !(x) = (3+4x-x2)4

. y =

22)(x +

 y =2

x y = (3x-x3+1)12y =

92x

3x

−

y =5

34x−θ =

32r 

23r 

++

y =2

1z

1z  

  

 −+

y = xy =

5

   

  

+ x1x

y =4

4x

4x   

  

−+

y = x-12 y = 2x2  x2−y =

2x

1x

++

y = 3x12 + 5x13 !(x) = x 22x3 −r =

3 4t

4t

−

+

y = 3 –x2 y = x3  3 1x −.y =

3t

8

t

2+

 y = 3x – x3 y = 4   3 7x   +y =

3

3 3

3  x

 x+

 y = "x3z =

24w1

w

−y = 3 ( x + 1)

 y = 2 – 4x –2x2 y = x1+ y = (x + 1)(x – 1)

y = x3

1x

2

1  2 + !(x) =

1x

1x

+− y = x2  x

y = 2x3 – 3x2 + x - 3 y = (x2+3)4(2x3-5)3 y = ( )( )1x1x   −+y = mx + b

# =2

2

t3

2t

−+

 y = ( x + 3 )15

 y = 8 – x3y =

4

3

3

2x

1x   

     − y = (x2 – x)3

y = x5 + 23xy =

x

1 y = 2x2 +

y = x2 + 3x +5 y = πr 3 y = ( )( )1x1x   ++y = 3x2 – 4x - 5 y = 6x2 + x-2

y =x2

x2

+−

y = (x-3)(x+2)(x-1)y = 5x4 -

5x2

1y =

13t

12t3

2

++

8/17/2019 Cap 2 C Dif

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y = (2 - x)(1 - 2x) y = (x2-7)(x3 + 4x + 2)y =

2

22

t 

t t  −

y = (2x-1)(2x+1) y =(7x+1)(x4 –x3 – 9x)y =

1x

1x

−+

y =

2

3x

2

   

   y = (x-1)   22xx2 +−

y = 42/3

2

3

3

x

7

x

3x

x

7x

−−

y =23x

4

+ y = 2x1x

2 +− y = 159x4x2   −+

y =2x1

1

−!(x) =

1x

102 +

y = x22x +

y =x

3x3 + y = t(4x – 3)-2y =

( )322 xa

3

−y = 3x

$(x) =62x

13x

++

# =3t

42t −

y = 3x + y = (x – 1)

-14

 y = - 3x

12

y = 4%2 + 2%3 y = (6x – 1)2  % = zz3

y =x

1y=

x7

3x2

−−

y =3

3

x4

x

−

y = 2x

1 y =

bta

bta

−+ y= 4   2 73x4x   −+

y =2x

32 +

y =1t2t

t2

2

++ z =

9x7

9x7

+−

y = 2x2 +   y =(z+1)(2z+1)(z-1)  y = x2  34x1−

y = x-2 + x-1 +3 r =(t2+1)(t3-t)(t4+t-1) r=

35x

1

+ y = t13 – t43

 y =23x

5)1)(x(2x

+−+  y = (x-1)   22xx2 +−

y =x

1 y =

4)2)(x(x

x32

5

++ y = 22

x1

x1

+−

y = 3 x  y = 2x

1x − y=  

  

   −   

   +

2x

12x

x

14

REGLA DE LA CADENA.,n algunos casos al aplicar las formulas de derivación %ue se citan a continuación y otras %uededucimos posteriormente$ y est) en función de x por intermedio de "$ de v o de ambas$ esto se

llama función de funciones"

dx

d"v

dx

dv"

dx

"vd +=

)(J

dx

d""

dx

"d 

1)(   −= JE

2v

dx

dv"

dx

d"v

dx

v

"d    −

=   

  

JE

1! *a expresión 2)53(   +=  x y  indica %ue y est) en función de x$ pero si ponemos  53   +=  x"  Kueda 2" y =  lo cual nos expresa %ue y est) en función de funciones de x"

2! *a expresión 52   3 +=  x y  seLala %ue y est) en función de x$ si ponemos"  52   +=  x"  Kueda " y =  lo cual nos expresa %ue y est) en función de funciones de x"

,n estos casos u$ %ue es una nueva variable$ se le llama variable intermedia %ue se expresa+

8/17/2019 Cap 2 C Dif

12/25

[ ])()(  x"  f   x  f   y   ==

Derivada de una función de funciones0 para obtener la derivada de funciones aplicamos la

siguiente fórmula    

     

  =

d"

dy

dx

d"

dx

dy

 ,-emplo 6"3

4

32   

     += x

 y  donde 34

32" y

 x"   =∴

+=  para aplicar la fórmula

   

     

  =

d"

dy

dx

d"

dx

dy 

=+

=

==

21

23

´4

323´

" x

"

" y" y

 

  ( ) ( )912432

3

4

32

2

3

2

33

2

1   22

22 ++=   

     +== 

  

  =∴  x x x""

dx

dy

y ="

"

−+

4

4  #i % = x2  y =

1u

1u2

2

+−

  y % = 2x2 +

y =1u

1u

+−

  y % = x y = 3u12u   +−   y % =7x

62 −

y = 23u   y % = (3x-1)(3x+1) y = ( )3   22 27x   +

y =2

2

x4x

x2x

−−   2)43(   +=  x y

DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLÍCITAS"

>unción implícita$ es una relación entre Bx y By mediante una ecuación$ donde no aparecedespe-ada ninguna de las dos variables" sea %ue no 'ay una evidencia clara de cu)l es lavariable dependiente por e-emplo$ la ecuación 0162 =−  x y   donde y est) definida comofunción implícita de x$ aun%ue x también est) definida como función implícita" Oay ocasiones en

%ue es posible explicitar alguna de las variables$ sin embargo puede suceder %ue tal proceso sea

imposible o demasiado complicado para locua4 tendremos la fórmula"dx

dyy

dx

 yd 

1)(   −=

,-emplo 6" 2522 =+  y x  Derivamos respecto a x a cada término

( ) ( )   ( )dx

d 

dx

 yd 

dx

 xd    2522

=+

022   =+dx

dy y x

 y x

dxdy −=

,-emplo 9"  x y y   =+   4

Derivamos respecto a x a cada término( )   ( )   ( )

dx

 xd 

dx

 yd 

dx

 yd =+

4

14   3 =+dx

dy y

dx

dy

1)41(  3 =+dxdy y

8/17/2019 Cap 2 C Dif

13/25

341

1

 ydx

dy

+=

 

EJERCICIOS:

Derivar las siguientes funciones.

8x = 8y + 8y3 + 3y8 dx

dy = 421

1

 y y   ++  3   23   23   2 5 y x   =+  

dx

dy= 3 x

 y−

y2 + xy – 5 = 0dx

dy= -

 x y

 y

+6  05   22 =+−  y xy x  

dx

dy=

 x y

 x y

−−

2

10

2 x

 y x

 y x=

−+

 dx

dy=

2

2

1

123

 x

 xy x

−−−

 x y   52 =  dx

dy=

 y2

5

053

  22

=−+  y xy x   dx

dy

= -  y x

 y x

10

6

−

+

 xy y x   =−  43

  dx

dy

= 54

53  2

+

− y

 y x

22   2322 =+−  y y x x  dx

dy=

232

62

 x x

 xy y

−+−

 b

a

 x

 y

 y

 x=−  

dx

dy= x

 y

 x y y x   +=+   21  dx

dy=

14

)11(12

+−+−+

 y y x

 y y( )  xy y x   4222 =+  

dx

dy=

 x y y x

 y xy x

−+−+

32

23

 y= x  xy + y= dx

dy=

 y x

 y x

2−−

  33 2  xy y x   −=  dx

dy=

23

32

3

3

 xy x

 y y x

+−−

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.

Para estudios posteriores$ entre$ otros de m)ximos y mínimos$ sentido de concavidad en unpunto y para determinar los puntos de inflexión de una curva es necesario obtener las derivadassucesivas de una función"

dx

dy ,s la primera derivada

   

  dx

dy

dx

d   *a derivada de la 67 derivada es la 97 derivada$ %ue se expresa como

2

2

dx

 yd 

    

   2

2

dx yd 

dxd   *a derivada de la 97 derivada es la :7 derivada$ %ue se expresa como 3

3

dx yd 

,-emplos+

Derive 42 x y =  'asta la %uinta derivada"3

8´   x y  =

224´´   x y   = x y   48´´ =́

48= ()  y

0=) 

 y

Derive 33

1   −==  x x

 y  'asta la :7 derivada"

413 33´   −−− −=−=   x x y514

12)3(4´´  −−− =−−=   x x y

61560)12(5´´´

  −−− −=−=   x x y

8/17/2019 Cap 2 C Dif

14/25

Derive  x x x y   632   25 +−=   'asta ;7derivada"

 x x y   610´   4 −=640´´

  3 −=   x y2120´´´   x y   =

48= ()  y

Derive ( )   31

3 9494   x x y   −=−=  'asta la :7derivada"

32

31 )94(´

−−=  x y

( )  359418´´   −−−=  x y

( )   3894270´´´   −−−=  x y

  EJERCICIOS:

,ncontrar la segunda derivada By

y =1− x x

  y&& =( )2   514

4

−

−

 x

 x

y =12   + x x

  y' =( ) 2

5

12

2

+

−−

 x

 x

y = 3   294  x−   y&&=( )3   594

18 x−

− x2

 + y2

 = 49 y'= - 49y3

y = 21  x−   y&& = - ( )3211

 x− 

DERIVADAS DE FUNCIONES EPONENCIALES Y LOGARITMICAS.Cuando estudiamos las funciones exponenciales$ mencionamos %ue e=.;

8/17/2019 Cap 2 C Dif

15/25

  x"

"

"

""a

 x

 y ""

∆∆

   

     ∆+=

∆∆   ∆

l$   Descomponemos y tenemos

 x

"

""

""a

 x

 y ""

∆∆

   

     ∆+=

∆∆   ∆   1

l$

  Como e"""lím"

"

"= 

  

     ∆+   ∆

→∆   0

;7 ( ) x

"

"e

 x

"lím

"e

 x

 ya

/ xa ∆

∆   

  =

∆∆

=∆∆

→∆

1l$

1l$  

DERIVADA DEL L*+, /*+034* 5030/ L5()" y el$=  ,n donde "=f(x) 1plicando la fórmula anterior

( )

dx

d"

"

e

dx

"d  ae   l$l$ =  Oacemos %ue a=e( )

dx

d"

"

e

dx

ed  ee   l$l$ =  

Como en todo sistema de logaritmos$ el logaritmo de la base es 6 1l$   =ee  entonces

( )dx

d"

"dx

ed  e   1l$ =  

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EPONENCIAL au."a y =  ,n donde f(x)=" por ser exponencial aplicamos logaritmos a los dos miembros de la

ecuación y la derivamos como implícita"

" La Ly = "La Ly =→dx"d  La

dx Lyd    )()( =→ dx

d" Ladxdy

 y=→   1

dxd" yLa

dxdy =→

 Como "a y =  sustituimos

DERIVEDA DE UNA FUNCIÓN EPOMENCIAL e x .

"a y =  ,n donde f(x)=u usamos la fórmula anteriordx

d" Laa

dx

ad  ""

=)(

 'acemos a=e

5 %ueda dxd" Lee

dxed  ""

=)(  como Le= 

,-emplos de derivadas logarítmicas y exponenciales" Lx y =

dx

dx

 xdx

dLx

dx

dy   1==

 xdx

dy   1=

)( Lx L y =

dx

 LxdL

dx

dy   )(=

dx

 Lxd 

 Lxdx

dy   )(1=

 xLxdx

dy   1

=

 x x

 y =  ,sta función no eslogarítmica$ sin embargopodemos utili4ar logaritmosnaturales para determinar laprimera derivada"

 x

 Lx Ly =

( )dx

d"

"

e

dx

"d  aa   l$l$ =∴

( )

dx

d"

"dx

 L"d    1=∴

dx

d" Laa

dx

ad  ""

=)(

dx

d"e

dx

ed  ""

=)(

8/17/2019 Cap 2 C Dif

16/25

( ) ( )

dx

 xLxd 

dx

 Lyd =

)1(11 Lx

 x x

dx

dy

 y+=

( ) y Lxdx

dy

+=   1

( )  x x Lxdx

dy+=   1

 Lx Lx y   22 ==

dx

dx

 xdx

dLx

dx

dy   22==

 xdx

dy   2=

)7)(4(   23 ++=  x x L y( ) ( )74   23 +++=  x L x L y

7

2

4

323

2

++

+=

 x

 x

 x

 x

dx

dy

)( bax L y   +=

dx

baxdL

dx

dy   )(   +=

dx

baxd 

baxdx

dy   )(1   ++

=

bax

a

dx

dy

+=

2

2

1

1

 x

 x L y

−+

=

( ) ( )22 11  x L x L y   −−+=( ) ( )

dx

 xdL

dx

 xdL y

22 11´

  −−

+=

221

2

1

2

 x

 x

 x

 x

dx

dy

−−

−+

=

41

4

 x

 x

dx

dy

−=

 x x y   l$5l$  5 ==

dx

 xd 

dx

dy   l$5=

)1(l$

5      

  = x

e

dx

dy

 xe y3

=

dx

 xed 

dx

dy   

  

  

=

3

dx

dx xedx

dy   33=

233

 x xedx

dy=

 xe xdx

dy   323=

 xe y   2=

( )dx

ed 

dx

dy  x2=

dx

 xd e

dx

dy  x   22=

)2(2 xe

dx

dy=

 xe

dx

dy   22=

 x y   410=

( )dx

d 

dx

dy  x410=

( )

dx

 xd  L

dx

dy  x   41010 4=

)4(10104  Ldx

dy  x=

( ) ( )  x Ldx

dy   410104=

 x

 y   21

5=

dx

d 

dx

dy x

2

1

5=

dx

 xd  L

dx

dy   x 21

55 21

=

)(55212

1

 Ldx

dy  x=

( ) x

 Ldx

dy2

1

552

1=

 xe x y   32=

( )dx

e xd 

dx

dy  x32=

dx

dxe

dx

de x

dx

dy  x x   2

33

2 +=

)2()3(  332 xee x

dx

dy  x x +=

 x x  xee xdx

dy   332 2+=

( )65210   −+=  x x y( )

dx

d 

dx

 y  x x )10(   652 −+

=

)55(10   652

+=   −+  x Lxdx

dy  x x

  EJERCICIOS:

Derive aplicando la fórmula correspondiente"

1.

 x

 xe y   7=2.

 x xee y

  −+=

26. x

 x y =27.

  22  x x y x x−=

53.  x L y  2

#*"=54.   Ltgx y  =

8/17/2019 Cap 2 C Dif

17/25

3.  xe x x y   )22(   2 +−=

4.axe y =

5.  xtg 

e y

1

=

6.  xe x y   )1(   −=

7.2 x

e y

 x

=

8. xe

 x y

5

=

9.  xe x  f    x "#)(   =

10.

12

2   2

+= x

e x y

 x

11. x

 x

e x

 xe y

+=

12. x x

 x x

ee

ee y

−

−

+−

=

13.  xee  y y x =−2

14.   xe y   3#*"2=

15.t t 

t t 

eeee y

22

22

−−

+−=

16.   ( )   343   2 +−−=  x x  xee x y

17.  x x

e y

2

2+

=

( )  xe x &ex xe y  x x "#"#   +−=

18. x

 x

e

e y

  1−=

19.  &exe y x"#=

20. x

 y   5=

21.  xa y   −=

22.  &exa y =

23. ( )  'a '  f  1

=

24.   ( )302531  x x y   −+=

25. x

 x

 y101

101

+−=

28. x x

 x x

aa

aa y −

−

+−

=

29.  347  x x y   +=

30.  x  x y   +=

31.  x x y =

32.   ( ) x x y   33

2   −=

33.   x x y   10=

34. x

 x

e

 x y

  23 +

=

35. x

 y  32=

36. &ex

 y   3=

37.  ( )

( )   121

122

3

+−+

= x x

 x y

 x

38.   x &e y41

10   −=

39.  Lx x

 y   2=

40. a x xa y =41.  xLx y =

42.  Lx x y   2=

43.   21  x x L y   ++=

44.   ( ) xa x L y   ++=

45.   (   293   2 ++=  x x L y

46. x

 x L y

21

21

−+

=

47.  x

 x

 L y −

+

= 11

48.   221  x x x L y   +++=

49.      

  = x

 L y  1

50. xa

 xa L x  f  

−+

=)(

51.   )( Lx L y =

52. Lx x y

2

=

55.      

   +=

 x

a L y   1

56.   ( ) &ex L y =

57.   ( )135   −=   x x L y58.  LCx y =

59.1

1

−+

= x

 x

e

e L y  

60.24

24

1

1

 x x

 x x L y

++

−+=

61.   1211 ++= x x

 L y

62.   ( )tgx L y =

63.  x L xtg  y   "#2

21 +=

64.3

32  x Lx x y   −=

65.3

21   3 x

 Lx x

 y   −+=

66.   ( )t  Lt   f     "#2)(   =

67.

  22

 xa L y   −=

68. x

 L y+

=4

410

69.  &ex L y   3=

70.   7l$  x y =

71.  5l$ t  y =

72.   ( ) 513l$   −=  x y

73.  x y  4l$=

74. x

 x y

4

2l$

2 +=

75.   ( )21l$  x y a   +=

76.   ( )e y  xl$=

77. x

 x x y   2l$=

78.   ( )1l$  2

3   −=  x y79.

8/17/2019 Cap 2 C Dif

18/25

DERIVADAS DE FUNCIONES CIRCULARES (TRIGONOMETRICAS)

Para determinar las derivadas de funciones trigonometrícas son fundamentales en lasidentidades

630+70 ,76*70 D, ,/0751"#22 =+  A A &e   1"#"   = A &eA

 A

 &eA A

"#t+,   =

1t+,#*"   22 =−  A A   1#*""#   = A A &eA

 A A

  "#"t   =

1"t"#"   22 =−  A A   1"tt+,   = A A

S40 8 9,,570 9, ;,5*; 8 7*;,5*; A&eB B &eA B A &e   "#"#)(   +=+  &eA&eB B A B A   −=+   "#"#)"#( A&eB B &eA B A &e   "#"#)(   −=−  &eA&eB B A B A   +=−   "#"#)"#(

E

8/17/2019 Cap 2 C Dif

19/25

DERIVADA DE LA FUNCIÓN TANGENTE y=tan(u)

" y   t+=  Donde"

 &e""

"#t+,   =  

( ) "

dx

d" &e" &e"

dx

d"""

"

dx

"d  &e"

dx

d&e""

dx

"

 &e"d 

dx

"d 

22 "#

"#"#

"#

"#"#

"#t+,  −−

=−

==

( )

dx

d""

dx

d"

""

dx

d"" &e"

dx

"d    222

22

#*""#

1

"#

"#)(t+,

==+

=

DERIVADA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE y=cot(u)

" y   "t=  Donde &e"

""

  "#"t   =  

( )

( ) ( )

" &edx

d"""

dx

d" &e" &e"

 &e"dx

d&e""

dx

"d  &e"

dx &e"

"d 

dx"d 

22

"#"#"#"#"#

"t  −−

=−

==

( )

dx

d""

dx

d"

" &e" &e

dx

d"" &e"

dx

"d    222

22

"#"1

"#)("t −=−=

+−=

DERIVADA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE y=sec(u)

" y   #*"=  Donde"

""#

1#*"   =  

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )dx

d"

"

 &e"

""

dxd" &e""

"

dx"d 

dxd "

dx

"d 

dx

"d 

"#"#

1

"#

10"#

"#

"#11"#"#1

#*"22

  =−−

=−

==

DERIVADA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE y=csc(u)

" y   "#"=  Donde &e"

"  1

"#"   =  

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

dx

d"

 &e"

"

 &e"" &e

dx

d"" &e"

 &e"

dx

d&e"

dx

d  &e"

dx

 &e"d 

dx

"d    "#1"#101

11

"#"22

−=

−−=

−==

,-emplos de derivadas trigonométricas"

→=  x &e y   5  x xdx

 xd&e

dx

dy

5"#5)5(5"#

5

===

dx

d""

dx

"d    2#*")(t+,=∴

dx

d""

dx

"d    2"#")("t

−=

dx

d"""

dx

"d #*"t+,

)(#*"=

dx

d"""

dx

"d "#""t

)("#"−=

8/17/2019 Cap 2 C Dif

20/25

→=  x y2

1"#

 x &e x &edx

 xd 

dx

dy

2

1

2

1

2

1

2

12

1"#

−=   

  −==

→=ax y   t+,

axaaaxdx

axd 

dx

dy   22

#*")(#*"

t+,

===

→=  x y   3"t  x xdx

 xd 

dx

dy3"#"3)3(3"#"

3"t−=−==

→=3

#*" x

 y

3t+,

3#*"

3

1

3

1

3t+,

3#*"3

#*" x x x x

dx

 xd 

dx

dy= 

  

  ==

→=   2"#" x y   22222

"t"#"2)2("t"#""#"

 x x x x x x

dx

 xd 

dx

dy−=−==

( ) →−=  x x &e y   5"#2( )

 xe& x x &e xdx

 x x &ed 

dx

dy552"#25522"#

5"#2+=−−=

−=

 x x &e y   "#3=

( )  x#/x x&ex &e x x &ex x &edx

 x xd&e

dx

dy3"#3333"#"#)(3

"#3+−=+−==

→=   x &e y   2 x &e x x x &e

dx x &ed 

dxdy

22"#)2(2"#)2(

212 2

1

  −=−==  −

→=  x y   2t+,   )1(#*"t+,3t+,   22

3

 x xdx

 xd 

dx

dy==

→=   22"#   θ  y   [ ]   222222

"#)2(24

1"#

4

1θ θ θ θ θ θ 

θ 

θ 

θ  &e &e &e

d 

d 

d 

dy−=−−==

EJERCICIOS:

1.  x &ex y   "#+=  

2.   ϕ ϕ ϕ  ρ    "#+=  &e

3.   ( ) x &e y =

4.3

23 "#5  x x &e y =

5.  x x &e y   22 "#β α    +=

21. #tgxtgx y   −=

22. x

tgx y =

23.  x x y   22 "#"#*"   +=

24.  xtgx xtg  y   −−=   331

8/17/2019 Cap 2 C Dif

21/25

6.  x x y   3"#52   +=

7. x

 x y

2"#1

2"#1

−+

=

8. 5

"#23  x &ex

 y

  −

=

9.   )("#)("#  22  &ex x &e y   +=

10.   [ ])( &ex &e &e y =

11.  x &e y   2=

12.  &ex x y   2=

13.  x &ex y   "#35   +=  

14. x &ex

 x &ex y

"#

"#

−

+=

15. &ex

 x

 x

 &ex y   +=

16. t t t&et  y   "#)2(2   2 −−=

17. x &ex

 x y

"#+=

18. x

 x y

+

−=

1

1"#

2

19.t 

 &et  &

"#1+=

20.  x &e x &ex y   32"#3   +=

25. 2 xtg  y =

26.   #tgx#tgx y   −=

27. x#tg 

tgx y

2=

28. x x &e

 x#tg  xtg  y

22 "#

)1()1(

+++

=

29.   23"#"6  x x y =

30.   1"#"   2 +=  x y

31.   27 x#tg  y =

32. #tgx x &e

 x y

3

4

3

"#3  +−=

33.   ( ) x x y   2#*""#=

34.  xtg  y   52=

35. xtg  x#tg  y

  22   −=

36.  x#tg  xtg  y   22   −=

37.  x#tgx y =

38.  22

41 "#   θ = y

39.  x y 4#*"

2

=

40.   ( ) x xtg  y   −=  2

 

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

DERIVADA DE LA FUNCIÓN y=arcSen(u)

"=ar#&ey  donde  "=f(x)  derivamos implícitamente el inverso   &ey="  con y &e y   21"#   −=

 y &e

dx

d"

 y

dx

d"

dx

dy

dx

d"

dx

dy y

dx

d"

dx

d&ey

21"#"#

−==→=→=  

DERIVADA DE LA FUNCIÓN y=arcCos(u)

"=ar##/&y  donde  "=f(x)  derivamos implícitamente el inverso  C/& y="  con y &ey   2"#1−=

dx

d"

"dx

dar#&e"21

1

−=

8/17/2019 Cap 2 C Dif

22/25

 y

dx

d"

 &ey

dx

d"

dx

dy

dx

d"

dx

dy &ey

dx

d"

dx

 yd 

2"#1

"#

−

−=

−=→=−→=

DERIVADA DE LA FUNCIÓN y=arcTan(u)

"=ar#6ay  donde  "=f(x)  derivamos implícitamente el inverso  6ay="  con y6a y

  221#*"   +=

 y

dx

d"

 y

dx

d"

dx

dy

dx

d"

dx

dy y

dx

d"

dx

 yd 22

2

t+,1#*"#*"

t+,

+==→=→=  

DERIVADA DE LA FUNCIÓN y=arcCot(u)

"=C/ty donde  "=f(x)  derivamos implícitamente el inverso  C/ty="  con122 −=  yC/t  yC

 yC/t 

dx

d"

 yC

dx

d"

dx

dy

dx

d"

dx

dy yC

dx

d"

dx

dC/ty22

2

1+

−=

−=→=−→=  

DERIVADA DE LA FUNCIÓN y=arcSec(u)

"=ar#&e#y  donde  "=f(x)  derivamos implícitamente el inverso   &e#y="  con y6a y   22 1#*"   +=

dx

d"

 y ydx

d"

 y ydx

dy

dx

d"

dx

dy y y

dx

d"

dx

 yd 

1#*"#*"

1

t+,#*"

1t+,#*"

#*"2 −

==→=→=  

DERIVADA DE LA FUNCIÓN y=arcCsc(u)

"=ar##y  donde  "=f(x)  derivamos implícitamente el inverso  #y="  con1"#"2 −=  yC/ty  

dx

d"

 y ydx

d"

 y ydx

dy

dx

d"

dx

dy y ydx

d"

dx

 yd 

1"#""#"

1

"t"#"

1"t"#"

"#"2 −

−=

−=→=−→=  

dx

d"

"dx

dar#C/&"21

1

−−=

dx

d"

"dx

dar#6a"21

1

+=

dx

d"

"dx

dar#C/t"2

1

1

+−

=

dx

d"

""dx

"dar#

1

1#*"2 −

=

8/17/2019 Cap 2 C Dif

23/25

,-emplos de derivadas trigonométricas inversas"

→=   2ar#&ex y422

2

1

2)2(

)(1

1

 x

 x x

 xdx

dar#&ex

dx

dy

−=

−==

→=  x y   3+r""#22

91

33

)3(1

13+r""#

 x xdx

 xd 

dx

dy

−−=

−−==

→=  x y2

1+r"t+,

222

2

12

1

4

112

1

2

1

2

1

1

12

1t+,

 x x x

dx

 xd 

dx

dy

+=

  

 

 

  += 

  

  

  

 

 

 

+

==

→=  xear# y   2"t( )  x

 x x

 x

 x

e

ee

edx

edar#

dx

dy4

22

22

2

1

22

1

1"t

+−=

+

−==

→= axar# y   #*"( )   1

1

1

1#*"

222 −=

−==

 xa xa

axaxdx

axdar#

dx

dy

→=  xar# y   3"#"

( )

( )

19

13

133

13"#"

22

−

−=

−

−==

 x x x xdx

 xdar#

dx

dy

( ) →−=  x x &e y   5"#2( )

 xe& x x &e xdx

 x x &ed 

dx

dy552"#25522"#

5"#2+=−−=

−=

 xar#&e x y   52=

 x xar#&e x

 x x xar#&e

 x x

dx

 xar#&edx

dx

dy52

251

5)2(55

)5(1

15

2

2

2

22

+−

=+  

 

 

 

 

−==

→=  x y   +r""#2

21

22

1

12

1

2

1

1

1+r""#

 x x x x x

 xdx

 xd 

dx

dy

−

−=

−−

=−

−==  −

( ) →=  &ex y   +r"t+,( )  x &e

 x x

 &exdx

 &exd 

dx

dy22 1

"#"#

1

1)(+r"t+,

+=

+==

( ) →=  x L y   2+r""# ( )  x L x x x Ldxdy

21

1

22

1

21

1

22 −

−

=−

−

=

dx

d"

""dx

"dar#

1

1"#"2 −

−=

8/17/2019 Cap 2 C Dif

24/25

EJERCICIOS:

 xar#&e y   2=

 xar#&e y =

2ar#&ex y =

2

 xar#&e y =

 xear#&e y =

 x xar#&e y   2=

 xar#&e y   2=

21  xar#&e y   −=

ar#&ex y

  1=

 x

 xar#&e y

+−

=1

1

5+r""# x

 y =

42

1   2 xar#C/& y =

 xar#C/& y

  1=

( ) 23 xar#C/& y =

 x

ar#C/&x y =

( )12   2 −=  xear#C/& y

ar#C/&x

ar#>ex y =

[ ] Lxar#&e y =

 xar#&C/& y   1=

a xar#>ea xa y   -22 +−=

ax

 xaar#tg  y

−+

=1

1+=   xar#tg  y

2

 x x  x xar#tg  y

−−=

 xar#tgxar#tgx x y2

1

2

1

2

1   2 −+=

( )22

11

2 +++

++= x x

 x xar#tg  y

a

 x

ar#tg a y

  1

=

ar#tgx x

 x y   +

+=

12

21

2

ϕ 

ϕ θ 

−= ar#tg 

ar#Ctgxar#tgx y   +=

( )( ) ( )b x

 xaar#tg bab x xa y

−−

−−−−=

( )2"t   +=  xear# y

1

1"t6

−+

= x

 x

e

ear# y

 x

 xar#C/t  y

+−=

1

1

27 xar#>e# y =

26 xar#>e#x y =

ar#C y =

23 +=  xar#C y

1

1

−+

= x

 xar#C y  

8/17/2019 Cap 2 C Dif

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