Campos Electricos y Magneticos en Condiciones Estaticas

1 Campos elctricos y magnticos en condiciones estticas 15

1 Campos elctricos y magnticos en condiciones estticas

En este primer captulo se revisarn los conceptos fundamentales de la teoraelectromagntica en condiciones estticas, esto es, sin considerar variaciones temporales enlas fuentes ni en los campos producidos por ellas. A pesar de la evidente limitacin de esteanlisis, lo cierto es que resulta muy instructivo, porque revela la naturaleza y lascaractersticas esenciales de los campos y de las dems magnitudes fsicas relacionadas. Enla realidad muchos fenmenos electromagnticos no se desarrollan en condiciones estticas,pero sus variaciones temporales son lentas en comparacin con los tiempos propios de losfenmenos bsicos y de los medios materiales que intervienen, por lo que en esas ocasionesbastara con asignar a los campos las mismas variaciones temporales de las fuentes, una vezcalculados aqullos mediante los mtodos propios del anlisis esttico.

Se ha pretendido que este captulo sirva en buena medida de repaso a cuestiones queya se han visto en cursos anteriores de Fsica y, a la vez, se busca introducir al lector en lametodologa, la notacin y el tipo de herramientas matemticas que se utilizan a lo largo detodo el libro.

1.1 El campo elctrico en el vaco

1.1.1 Ley de Coulomb. Definicin de campo elctrico

La ley de Coulomb cuantifica la fuerza que ejercen entre s dos cuerpos cargadoselctricamente, la cual aparece como un dato de experiencia.

Consideremos dos cuerpos cargados, con cargas q1 y q2 respectivamente, dedimensiones reducidas respecto a la distancia que los separa, d. Se comprueba que la fuerzaque cada uno de ellos ejerce sobre el otro es:

F F

q qd12 21 01 2

21

4= =

pi (1.1)

donde el subndice 12 quiere decir sobre 1 debido a 2. La direccin en que se ejercen talesfuerzas es la de la lnea que une ambas cargas. 0 es la permitividad dielctrica del vaco, de

16 Campos electromagnticos

valor 8,85418 Faradios / metro (F/m).La fuerza ejercida sobre un cuerpo no parece tener una existencia real si la

separamos del objeto sobre el que acta. Sin embargo, en teora electromagntica se trabajacon el concepto de campo, como fuerza ejercida por unidad de carga, independientemente desi est causando o no algn efecto sobre otros cuerpos prximos: se define el campoelctrico

E r( ) en un punto r del espacio, creado por un cuerpo cargado, como la fuerzaque ejercera sobre la unidad de carga positiva si estuviera situada en dicho punto.Habitualmente se expresa en forma de lmite, queriendo indicar que dicha carga de prueba noaltera la distribucin original de cargas cuyo campo medimos.

( )

E r limq

Fqp p

N C V m=

=

0( ) ( ) (1.2)

1.1.2 Cargas puntuales y distribuciones de carga

Cuando se consideran los efectos elctricos de un cuerpo cargado a distancias muchomayores que sus propias dimensiones podemos hacer la suposicin de que se trata de unobjeto de dimensiones despreciables, y que ocupa un nico punto del espacio. Estaidealizacin recibe el nombre de carga puntual. La carga puntual se caracteriza por el valorde su carga elctrica y la posicin que ocupa respecto a un determinado sistema decoordenadas. El campo elctrico creado por una carga puntual, de acuerdo con la definicinde campo del apartado anterior y la ley de Coulomb, debe ser:

E rq

r r

r r

r r( ) =

14 0 0

20

0pi (1.3)

donde r es el punto en que medimos el campo y r0 es la posicin de la carga puntual devalor q. El vector r r 0 dividido por su mdulo es el vector unitario que indica la direccindel campo.

Las fuerzas que diferentes causas fsicas ejercen en un punto de un determinadoobjeto se suman vectorialmente para dar lugar a una fuerza resultante nica. El principio desuperposicin es aplicable a los campos creados por diferentes distribuciones de carga. Elcampo elctrico creado por una distribucin de cargas puntuales qi situadas en puntos

ri

ser:

E rq

r r

r r

r r

i

i

i

ii( ) =

14 0

2pi (1.4)


con la nica salvedad de que si medimos en un punto r ri= , donde est situada una de lascargas, debera eliminarse la contribucin de esa carga qi, puesto que una carga puntual noejerce fuerza alguna sobre s misma.

El estudio de los sistemas de cargas puntuales suele ser un primer paso para abordarotras situaciones ms generales. Usualmente la carga se distribuye en la materia semejandoun continuo de carga. Para expresarlo matemticamente se definen las densidades de carga.La densidad volmica de carga es:

( ) ( )r dqdv

Cm

= 3 (1.5)

definida en el volumen del cuerpo cargado y nula fuera de l. En muchas ocasiones la cargatiende a concentrarse especficamente en la superficie del medio, por lo que debe utilizarse ladensidad superficial de carga:

( ) ( )r dqds

Cm

= 2 (1.6)

El campo elctrico creado por un diferencial de carga situado en un punto r es:

( ) ( )dE r dqr r

r r

=

14 0

3pi '' (1.7)

y atendiendo a la totalidad de la carga que pueda estar presente en un medio continuo,utilizando (1.5) y (1.6):

E rr r r

r rvdv

r r r

r rsds( ) ( ) ( ' )

''

'

( ) ( ' )''

'=

+

14 0

3 3pi

(1.8)

En la ecuacin (1.8) se utiliza la notacin habitual a lo largo de todo el libro cuandoaparezcan procedimientos integrales:

r representa el punto de campo: all donde se evala la magnitud fsica;

r ' es el punto de fuente, y depende de las variables de integracin.

Esta ecuacin es el primer resultado con aplicacin inmediata para el clculo delcampo. Cuando se conoce la distribucin de carga y se obtiene el campo elctrico mediantela ecuacin (1.8) se dice que se est aplicando un mtodo de integracin directa.


Ejemplo 1.1: Calcule el campo elctrico creado por un plano muy extenso en el queexiste una densidad superficial de carga homognea.

Consideremos un plano de carga de extensin ilimitada como el mostrado enla figura. Trataremos de calcular la magnitud del campo elctrico que crea en undeterminado punto situado a una distancia d del plano. Por comodidad situaremos elorigen de coordenadas bajo el punto donde buscamos el campo, pues es equivalentea cualquier otra eleccin. Los radiovectores r ' que sealan a los diferentesdiferenciales de carga podemos tomarlos por parejas, opuestos respecto al origen,para poner de manifiesto la simetra del problema: se comprueba que el campo totaldebe ir dirigido en la direccin perpendicular al plano, pues cualquier otracomponente se cancelar al integrar.

Z

Y

Xr '

r - r '

d Ea

s0

ds '

d r

Fig. 1.1 Plano infinito con densidad de carga superficial constante

La expresin diferencial es dE rds

r rr r

( ) ''

( ' )=

14 0

03pi

y dE dEz =

cos

donde cos'

=

r

r r .

De all llegamos a ( )E rz Sr ds

r r

=

14 0

03pi

'

'

.

Despus de obtener la integral que debe resolverse el siguiente paso consisteen escribir correctamente las variables y los diferenciales:


( )

r d z r x x y y ds dx dy

r r x x y y d z r r x y d

= = + =

= + = + +

' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' '2 2 2

12

y finalmente se obtiene ( )E rd

x y ddx dyz ( )

' '

' '

=

+ +

pi0 0 2 2 2 324 .Esa integral se resuelve fcilmenteutilizando coordenadas polares sobre el plano. El resultado es:

E r z V m( ) =

0

02

El campo final es constante e independiente de la posicin en que lo midamos (salvoel signo cambiado a un lado y otro del plano). Esto tiene sentido, ya que al ser un plano deextensin infinita no existe trmino de comparacin para saber si se est cerca o lejos de l.

Ejemplo 1.2: Clculo del campo elctrico creado por una esfera de radio R cargadacon una densidad volmica constante.

R

d EZ

Y

X

r - r '

r

r '

' dv '

0

Fig. 1.2 Simetras en el clculo del campo creado por una esferacon densidad de carga homognea


Al igual que en el ejemplo precedente ocurre que las contribucionesdiferenciales de los diferentes puntos del volumen se cancelan parcialmente. Lacomponente final de campo deber ser radial.

Situamos el origen de coordenadas en el centro de la esfera. Nos limitaremosa calcular el campo sobre un punto del eje Z, que al fin es igual a cualquier otropunto: el campo final slo puede depender de la distancia a la esfera y todas lasdirecciones radiales son equivalentes.

( ) ( )dE r dE rz

= cos y cos' cos '

'

=

r r

r r .

La integral que debe calcularse es ( )E r r rr r

dvzv

=

pi 0 0 34' cos '

'

'

donde ( ) r r x y d z = + + ' ' ' ( ')2 2 2 12 .Por la geometra del problema es ms adecuado utilizar coordenadas esfricas:

x r

y r

z r

' ' sen ' cos

' ' sen ' sen

' ' cos

'

'

'

=

=

=

La integral resultante es: ( )E r d r r dr d dr dr d

z

R

=

+ pi pi pi

0

0 0

2

0

2

2 2 3204 2

( ' cos ' ) ' sen ' ' ' '( ' ' cos ' )

que, a pesar de su aparente dificultad,puede resolverse con un cambio de variable:

r dr d t dr d tdt' ' cos ' ' sen ' '2 2 22 2 2 + = =

El resultado final es:

( ) E rRr

r si r R

r r si r R=

>

= + = +

0

0

21

0

0

3

26 3

Para calcular las constantes C1 y C2 disponemos de dos condiciones: el potencial debe cancelarse en el infinito; ha de ser continuo en r = R.

El resultado final es:

( ) ( )r R r R

r R r rRr

< >

= =

0

0

2 2 0

0

3

63

3( )

1.1.5 Representacin espacial del campo y del potencial: lneas de campo y superficiesequipotenciales

La representacin grfica de los fenmenos elctricos se realiza mediante lneas decampo y superficies equipotenciales. Las lneas de campo son trayectorias continuastangentes en cada punto del espacio al vector campo elctrico. En problemas estticos, talescomo los que estamos considerando, tienen su origen siempre en cargas positivas (o en elinfinito) y su final en cargas negativas (o en el infinito). Esto es obligado, puesto que lo quedescriben es la trayectoria que seguira una carga positiva abandonada a la accin del campo.

En coordenadas cartesianas un campo tiene la forma:

( ) ( ) ( ) ( ) E r E r x E r y E r zx y z= + + y el diferencial de longitud genrico es:

dl dx x dy y dz z

= + +

Las ecuaciones diferenciales que deben resolverse para obtener las trayectorias de laslneas de campo son las que resultan al imponer la condicin de paralelismo:


dxE

dyE

dzEx y z

= = (1.16)

La densidad de lneas debe tomarse proporcionalmente a la intensidad del campo encada zona del espacio.

Por otro lado, las superficies equipotenciales son el conjunto de los lugaresgeomtricos del espacio en los que el potencial toma el mismo valor:

( ) r ii= = 0 1 2, , , ... (1.17)donde se eligen los valores para 0 , 1 , 2 , segn el criterio de representacin que sequiera adoptar. Las superficies equipotenciales y las lneas de campo son perpendiculares alldonde se cruzan: es una consecuencia necesaria de la relacin entre campo elctrico ypotencial.

1.1.6 Relacin entre el potencial elctrico y la densidad de carga

El potencial puede obtenerse directamente a partir de las densidades de carga delproblema. Sustituyamos la ecuacin (1.8) en (1.13):

( ) ( ) ( ) ( )pi

pi

rr r r

r rdv r dr r

r r r

r rdr dv

v v=

=

14

140

30

3

( ' ) ''

' ''

'

'

' '

El problema, por tanto, consiste en resolver la ecuacin en r de esa expresin.Resulta algo largo y no lo haremos aqu, pero se propone al lector como ejercicio. Elresultado es:

( )

r r r

r rdr

r r

=

' ' '

31

Sustituyendo arriba obtenemos:

pi

( ) ( )'

''

rr

r rdv

v=

14 0 (1.18)que es la expresin integral del potencial.


Ejemplo 1.6: A la vista de la ecuacin (1.18) deduzca la forma del potencialelctrico creado por una carga puntual situada en un punto r0 .

La relacin entre el campo y el potencial es de integracin-derivacin, y,consecuentemente, lineal. El principio de superposicin es vlido para el potencial.De la expresin (1.18) se deduce que la contribucin al potencial total de cadadiferencial de carga es:

( )d r dqr r

pi

=

14 0 '

con ( )dq r dv= ' '

Si tenemos una carga puntual el potencial creado en cualquier punto delespacio debe ser:

( )pi

r

qr r

=

14 0 0

(1.19)

Ejemplo 1.7: Obtenga el campo y el potencial creados por dos cargas puntuales devalores +q y -q situadas sobre el eje Z en las posiciones + S 2 y S 2 . Realice unaaproximacin para el caso en que nos situemos en puntos muy alejados de lascargas.

La expresin del potencial es: ( )pi

r

q

r z r zS S=

+

4

1

2

1

20 .

Para hacer la aproximacin a grandes distancias trabajaremos con esa funcin.

( )( ) ( ) ( ) r z x y z r s z r sS S S Z Sr r2 2 2 2 2 2 2 2 2212 12 124 41 = + + = + = +si r >> s podemos hacer la siguiente aproximacin:

( ) ( ) r zr

sr

sr

sz

r

S Z Zr r2

12

12 2 3

11

11

1 12

12

=

y de all llegamos a:


1 1

2 23

r z r zs

z

rS S

+

La expresin aproximada para el potencial es:

( )pi pi

rqszr

qsr

=

14

140

30

2 cos (1.20)

El campo elctrico puede obtenerse ahora a partir del potencial.

( ) ( ) E r rr

rr r

= = + +

sen

1 1

pi

pi

r

qsr

qsr

=

= =

14

2

14

0

03

02

cos

sen

y de all: ( ) ( ) E r qsr

r +1

42

03pi

cos sen (1.21)

Ejemplo 1.7 (continuacin): Represente grficamente las lneas de campo y lassuperficies equipotenciales correspondientes al problema anterior.

Lneas de campo: Las componentes (esfricas) del campo elctrico son:

E Kqs

rE K

qsr

Er = = =2

03 3cos sen

y en coordenadas esfricas el diferencial de longitud genrico:

dl dr r r d r d

= + + sen

Por lo que la ecuacin que rige las trayectorias es:


( )drE

r dE

drr

d d

r

= = =

2 2

cos

sen

sen

sen

y la solucin general: r C= sen2 , donde la constante C toma valores diversospara las diferentes trayectorias.

Superficies equipotenciales: La ecuacin que se obtiene es r C2 = ' cos .

En la figura se muestra la forma de las superficies (lnea delgada) y las lneas decampo (lnea gruesa) en un plano.

Fig. 1.6 Lneas de campo y superficies equipotencialespara un dipolo elctrico orientado verticalmente

1.1.7 El campo elctrico y el potencial en conductores

Los conductores se caracterizan por contener en su estructura una muy alta densidadde portadores de carga libres. El modelo microscpico ms sencillo nos muestra al conductorcomo una red inica de carga positiva rodeada de una nube de electrones. En presencia decampos elctricos esta nube de electrones se desplaza dentro de los lmites del conductor enbusca de la posicin de mnima energa (equilibrio estable), en la que las inter- accioneselctricas quedan compensadas.


En el equilibrio cesa cualquier fuerza sobre cualesquiera de los portadores mvilesen el conductor, y por lo tanto, la primera condicin que debe satisfacerse es:

( ) E r r 0 (1.22)Esa suposicin la aplicaremos siempre en electrosttica y, como veremos en

posteriores captulos, tambin es habitual en dinmica (con ondas electromagnticas),aunque con algunas restricciones. La consecuencia inmediata de la ecuacin (1.22) es que ladiferencia de potencial entre dos puntos del conductor es siempre nula, y los mediosconductores son entonces volmenes equipotenciales.

Si elegimos una superficie cerrada cualquiera que englobe un volumen dentro delconductor (Fig. 1.7) y calculamos el flujo del campo elctrico obtendremos:

( ) E r ds QS

T = 0 0y como ese resultado no depende de la superficie elegida debemos concluir que:

( ) r r V 0 (1.23)conduc to r

S

Fig. 1.7 Ley de Gauss en el interior de un conductor

El resultado anterior no implica que no haya cargas elctricas en el interior delconductor, puesto que permanece la red inica y los electrones libres; sin embargo, ambasdistribuciones de carga se cancelan punto a punto, de manera que no hay carga neta niefectos elctricos macroscpicos. Podra escribirse:

( ) ( ) ( ).

r r riones electr= +

+ 0

Si aplicamos la ley de Gauss a una superficie cerrada que no est ntegramentecontenida dentro del medio conductor la situacin es diferente (Fig. 1.8).


E ( r )

( r )

conduc to r

S

Fig. 1.8 Ley de Gauss aplicada en una superficie S queengloba una parte de la superficie de un conductor

En este caso no debe esperarse que el campo elctrico sea necesariamente cerodentro del volumen definido por la superficie gaussiana; entonces puede existir un flujo decampo a travs de ella, y eso nos indica que en general hay algn tipo de distribucin decarga englobada por la superficie. Existe usualmente en los conductores una densidadsuperficial de carga elctrica. Aparece cuando el conductor posee una carga global netadistinta de cero (ha sido cargado de algn modo), o por efecto del desplazamiento de la nubeelectrnica, que se ha redistribuido para neutralizar campos externos que pretendaninstalarse dentro del conductor.

Ejemplo 1.8: Una esfera conductora de radio R est cargada con una carga neta Q.Cmo se distribuye esta carga en la esfera?

Debe distribuirse exclusivamente por la superficie, puesto que en elconductor en equilibrio no puede haber carga volmica.

Adems la densidad superficial de carga ser homognea, como cabe esperarde la simetra del conductor, y porque ya vimos que una densidad esfrica de cargaconstante no produce campo elctrico neto en los puntos del interior de la esfera (Ej.1.3), lo que es necesario en este caso al tratarse de un conductor (Ec. 1.22).

La densidad superficial de carga dejar de ser homognea si situamos laesfera conductora en el seno de un campo elctrico externo. Ms adelante (ejemplo1.10) se tratar con detalle este problema.


E = 0

0

E = Eext + E =0

( r )

Eext

E = 0

Fig. 1.9 Densidad superficial de carga en una esfera conductora

Ejemplo 1.9: Considrese una barra conductora cilndrica, de longitud L , radio a,y con carga neta Q. Cmo se distribuye la carga por la superficie de la barra enausencia de campos externos?

Este problema, a pesar de su aparente sencillez, no puede ser resuelto si noes mediante mtodos numricos.

Las condiciones que deben satisfacerse son:

( )( ) ( )

i r ds Qii r cte E r r barra

S))

== = 0

Dividimos el conductor en pequeas secciones transversales, de longitudl , de manera que podamos asignar a la superficie lateral de cada seccin i un valorconstante de densidad superficial de carga s i (Fig. 1.10). Hacemos la aproximacinadems de que las superficies circulares de ambos extremos de la barra tienen unadensidad de carga constante se.

Las ecuaciones anteriores se escriben ahora de la forma:

i a a l Q

ii E E E E

e i

i

j

i j

i

jij j

ij

N

ext izq ext dcho

N

)

). . ..

2 221

1

1

1

pi pi +

+ = +

=

=

= +

=


1 2

i

N

L

e

l

i

Fig. 1.10 Particin de una barra conductora para el clculo de la distribucin de carga por un mtodo numrico

La ecuacin ii) es otra forma de escribir que el campo debe ser cero en todoslos puntos de la barra: las secciones situadas a la izquierda de una seccin jcualquiera han de producir un campo igual en mdulo (de sentido contrario) al quelas secciones de la derecha producen en esa misma seccin. Las expresiones de loscampos se pueden tomar en primera aproximacin como:

[ ] [ ][ ]

Ea

j lE

a

N j l

El a

j i l

ext izqj e

ext dchoj e

ij i

. . . .

( ) ( )

( )

=

=

+

=

14 1

2

14 1

21

42

0

2

20

2

2

02

pi

pi

pi

pi

pi

pi

donde el clculo del campo se ha realizado en el centro de cada seccin de barra.

De esta manera obtenemos un sistema de N/2+1 ecuaciones (si N par), y elmismo nmero de incgnitas. La precisin del clculo es funcin de N, pero tambinmejorar si utilizamos expresiones para el campo menos aproximadas que la escritasarriba. Por ejemplo, esto puede ser especialmente importante cuando se considera lacontribucin al campo total sobre una seccin de las secciones ms prximas a ella (iy j cercanos). En ese caso, una mejor expresin es:

[ ] [ ]E a

a j i l a j i lij i

=

+

+ +

21

12

1

12

0 2 2 212 2 2 2

12( ) ( )


La expresin primera es, de hecho, el lmite de esta ltima si se cumple que(j-i) Dl >> a. Por otra parte se sobreentiende que la validez del procedimiento estsupeditada a tomar un nmero suficiente de secciones, de modo que a >> Dl .

Por ltimo debe sealarse que la consideracin de carga homognea en lasbases puede ser insuficiente si la barra es gruesa. En general debera permitirse unavariacin radial, descomponiendo cada base en anillos con densidades diferentes.

1.1.8 El campo elctrico en la superficie de un conductor

La carga elctrica superficial de un conductor provoca la aparicin de camposelctricos en sus inmediaciones. El campo elctrico es siempre perpendicular a la superficiedel conductor, que es una superficie equipotencial. Si no fuese as las cargas superficialesestaran en movimiento continuo, debido a la componente tangencial no nula del campo. Enla figura 1.11 se muestra cualitativamente la forma de los campos en las proximidades de unconductor en dos situaciones tpicas.

(a)( r )

= c te

E = Eex t + E

E ( r )

( r )

E = E

= c te(b)

Fig. 1.11 a) Campo elctrico en presencia de un conductor;b) campo elctrico producido por un conductor cargado

En la primera de ellas un campo externo provoca la aparicin de una densidadsuperficial de carga, ( )r , cuyo campo se suma al campo externo para dar el campo final.


En el segundo caso no hay campo exterior pero el conductor est cargado, por lo que

produce su propio campo Es , mediante la densidad superficial de carga.La relacin entre la densidad superficial de carga y el valor del campo elctrico en

cada punto de la superficie se obtiene como una consecuencia de la ley de Gauss aplicada aeste caso particular. Sea una superficie cerrada en forma de cajita, situada de forma queintersecta con la superficie del conductor (Fig. 1.12). Denominamos h a la altura de la cajitay Sb a la superficie de su base.

E

E = 0 sh

S b

conduc to r

Fig. 1.12

El flujo del campo a travs de la superficie gaussiana es:

( ) E ds Q r dsS

T S

Sb = = 0 0

1

Si llevamos la expresin al lmite, cuando h tiende a cero y cuando Sb tiende a unvalor diferencial dSb, estamos examinando el campo en un punto de la superficie. El campoes nulo en la parte interna del conductor y, por tanto, podemos escribir:

( ) ( ) E r ds r dSb = 10

y de all:


( ) ( )

E rr

n=

0

(1.24)

donde n es el vector unitario normal a la superficie dirigido hacia fuera del conductor en elpunto considerado.

1.1.9 Problemas de potencial. Ecuaciones de Laplace y Poisson

Las expresiones integrales del campo y del potencial elctricos, como funciones delas densidades de carga [Ecs. (1.8) y (1.18)], son tiles cuando se conocen de antemano talesdistribuciones. Sin embargo sta no es con mucho la situacin habitual. Por lo general lapresencia de conductores y, como se ver ms adelante, de dielctricos, provoca la aparicinde distribuciones de carga difciles de hallar. Es por eso que el planteamiento tpico de losproblemas electromagnticos puede ser integral, pero ms frecuentemente es diferencial.Usualmente nos enfrentaremos a ecuaciones diferenciales que deben resolverse para algunazona del espacio, y donde tenemos fijadas ciertas condiciones de contorno que debernsatisfacerse. En este apartado nos centraremos en las ecuaciones usuales para el campo y elpotencial.

La ley de Gauss en forma diferencial es:

( ) =

Er

0 (1.25)

que se obtiene de la expresin integral por aplicacin del teorema de la divergencia. Es laecuacin diferencial primera para el campo elctrico. A diferencia de la expresin integralahora tenemos una relacin entre el campo y la densidad de carga que debe cumplirse puntoa punto en la zona del espacio que se considere. Es fcil de ver entonces que la condicinque debe satisfacer el campo en aquellos puntos del espacio donde no haya carga elctrica(aunque exista carga en las proximidades) es la de tener divergencia nula.

Del carcter conservativo del campo elctrico se deduce la segunda ecuacin, que es: =

E 0 (1.26)

Esta ecuacin est estrechamente relacionada con la ecuacin (1.14), en la que seexpresaba el campo como el menos gradiente del potencial elctrico. En realidad todogradiente de una funcin escalar es irrotacional (su rotacional es nulo), y viceversa: si uncampo vectorial es irrotacional es seguro que podr hallarse una funcin escalar tal que sugradiente coincida con el campo vectorial.

Sustituyendo el campo en la ecuacin (1.25) en funcin del potencial tendremos:


( ) ( ) = =

Er

2 2

0 (1.27)

que se denomina ecuacin de Poisson. La divergencia de un gradiente es la laplaciana, 2 ,del campo escalar. En coordenadas cartesianas se expresa sencillamente como:

= + +22

2

2

2

2

2

x y z

y fsicamente viene a representar la variacin promedio del potencial en los alrededoresinmediatos de cada punto del espacio. En los problemas habituales de potencial esta ecuacindebe resolverse para obtener una solucin genrica, y quedarn dos constantes pordeterminar mediante condiciones de contorno. Singular importancia tiene la ecuacindiferencial del potencial en aquellos puntos del espacio en los que no hay carga elctrica,denominada ecuacin de Laplace:

=2 0 (1.28)

La solucin general de esta ecuacin es tambin parte de la solucin de la ecuacinde Poisson, a la que habr que aadir la solucin particular en funcin de la carga elctrica.La expresin en cartesianas de la laplaciana se ha escrito arriba. Para los otros dos sistemashabituales de coordenadas puede consultarse el anexo B.

Ejemplo 1.10: Una esfera conductora sin carga neta, de radio a, se sita en el senode un campo elctrico constante, de mdulo E0. Obtenga la distribucin final delcampo elctrico, el potencial de la esfera y la densidad de carga resultante.

Por accin del campo elctrico la nube de electrones de la esfera conductorase redistribuye, acercndose a la superficie en la direccin contraria a la de

E .

Aparece una densidad de carga superficial no homognea en el conductor. Como taldistribucin no es fcilmente calculable no podemos tratar de obtener

E ( )r

directamente por procedimientos integrales. La alternativa es obtener la solucin dela ecuacin de Laplace en el espacio que circunda a la esfera:

=2 0 para r>a.

Tomaremos el campo elctrico externo en la direccin Z por comodidad: E r E zext ( ) = 0


El problema tiene entonces simetra azimutal, y todas las magnitudesimplicadas (densidad superficial de carga, campo y potencial finales) , han de serinvariantes con el ngulo . La ecuacin de Laplace es ahora:

= + =

2 2 2 21 1

0

r r

rr r sin

sin (1.29)

y la solucin a esta ecuacin es bien conocida:

( ) ( ) ( ) r A r B r Pi i i i ii

, cos( )

= + +

=

10

(1.30)

donde Pi (cos ) representa el polinomio de Legendre de orden i. Los polinomios deLegendre son aquellos que satisfacen la ecuacin diferencial del mismo nombre, y,en la prctica se obtienen mediante la frmula de Rodrigues:

( ) ( )P xi

ddx

xi i

i

ii

=

12

12!

P x P x x P x x0 1 221 12 3 1( ) ( ) ( ) ( ) ...= = =

El que puedan ser necesarios ms o menos trminos del sumatorio en laecuacin (1.30) depende de las condiciones de contorno que deban satisfacerse. Ennuestro problema particular estas condiciones son:

( ) ( )i r a cte ii E r E zr

) . ) = = =

y

0

La primera condicin fuerza la relacin: A B a ii ii

= +( )2 1 . Por otrolado el campo elctrico debe ser:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

E rr

iA r i B r P

E rr

A r B rdP

d

E r

r ii

ii

i

ii

ii i

, ( ) cos

,

cos

,

( )

( )

= = +

= = +

=

+

+

1 2

1 2

1

1

0


y su valor limite cuando nos alejamos de la esfera :

( ) ( ) E r E z E r= = 0 0 cos sen que es el campo externo sin perturbar por la presencia de la esfera. Esta segundacondicin fuerza la cancelacin de todos los trminos de la ecuacin (1.30) salvo losdos primeros: A B ii i, = >0 1 y adems: A E1 0= y B A a E a1 1

30

3= = .

La solucin es finalmente:

( ) ( )E r E zr

E a r, cos sen = + +0 3 031 2

La densidad de carga resultante en la esfera es:

( ) r E n E ES r ar= = ==0 0 0 03 cosPor ltimo debe aadirse que el potencial en la esfera est indeterminado. No

tenemos ninguna referencia respecto a la que medirlo porque el campo exterior estinfinitamente extendido en el espacio, desde z = hasta z = + , y estasuposicin implica que hay cargas en el infinito, que son las que estn produciendoel campo. Consecuentemente no podemos fijar un potencial de referencia en elinfinito.

Fig. 1.13 Esfera conductora en el seno de uncampo elctrico uniforme


Ejemplo 1.11 : Un cable coaxial est formado por dos conductores cilndricos, deradios a y b. El conductor exterior se pone a potencial V y el interior se conecta atierra. Obtenga el campo elctrico entre los conductores.

b

V

a

Fig. 1.14 Cable coaxial

Debido a la simetra cilndrica del problema podemos asegurar que lasdensidades superficiales de carga en los conductores sern homogneas, aunque demomento desconozcamos su valor. Esa consideracin nos permitira aplicar la ley deGauss en forma integral para obtener el campo que, posteriormente, pondramos enrelacin con la diferencia de potencial V entre los conductores. Esa va se proponecomo ejercicio.

La alternativa es obtener la funcin potencial mediante la resolucin de laecuacin de Laplace. Podemos afirmar que nuestro potencial slo ser funcin delradio: ( ) ( )r = , y por tanto:

= =

2

10

La solucin a esa ecuacin es: ( ) ln= +A B , y por aplicacin de lascondiciones de contorno: ( ) , ( )= = = =a b V0 , se llega a:

( )ln( )ln( )

= V aba

y E r

Vb

a

( )ln( )

=

1


Ejemplo 1.12: Una esfera conductora hueca, sin carga neta, de radio interior a yexterior b, contiene en su interior una carga puntual de valor q, en alguna posicinarbitraria r0 Cul ser el campo en el exterior de la esfera?

ex t

a

in tb

roq

Fig. 1.15

Utilizamos de nuevo la ecuacin de Laplace para calcular el potencial en el exterior.Debe observarse que si situamos la esfera conductora centrada en el origen decoordenadas podremos asegurar que el potencial externo es de la forma

( ) ( )r r r b= >

y esto sin conocer cmo sean las distribuciones de carga del problema. La razn esque quien manda a la hora de determinar las condiciones de contorno para elpotencial es nicamente la superficie equipotencial que constituye el conductor.En estas circunstancias, de la ecuacin de Laplace en coordenadas esfricas,podemos deducir que la forma del potencial ser:

( )r Ar

B r b= + >

donde, adems, B=0 por la condicin de potencial nulo en el infinito. No sabemoscul es el potencial de la esfera, y nos queda la constante A sin determinar. Parafinalizar el problema debemos aplicar la ley integral de Gauss, lo que resulta tilporque ahora sabemos que el campo exterior slo tiene componente radial,consecuentemente con la forma del potencial. El resultado final es:

E rq r

rr b( ) = >

4 02pi


Por tanto, el conductor realiza un apantallamiento parcial de la cargaelctrica situada en su interior: no en lo que se refiere a su valor neto, que da lamagnitud del campo, pero s en cuanto a que no importa cul sea su posicin en elinterior de la esfera. Compruebe que si la esfera conductora estuviese conectada a unpotencial fijo V el valor del campo en el exterior sera independiente tambin delvalor de la carga puntual.

1.1.10 Condiciones que determinan el campo en una regin

La segunda identidad de Green es un teorema matemtico que establece:

[ ]

=

2 2

v S

dvn n

ds (1.31)

para cualesquiera funciones escalares y definidas en el volumen v, y con S la superficiecerrada que limita a v.

Si identificamos la funcin con nuestra funcin potencial y elegimos:

( )'

rr r

=

1 (funcin de Green) (1.32)

se obtiene una expresin de inters para el potencial:

pi

pi

( ) ( ' ) '' ' '

''

rr dv

r r n nds

v S=

14

140

(1.33)

donde ( )r es la densidad volmica de carga y n es la normal a la superficie en cada punto.La ecuacin precedente no tiene para nosotros tanto una importancia prctica como terica.Su significado es que el potencial en un cierto volumen depende exclusivamente de la cargainterior al volumen y de las condiciones de contorno en la superficie cerrada que lo rodea.Tal superficie puede ser una superficie fsica de separacin con algn otro medio, o unasuperficie imaginaria, definida de modo matemtico, grfico, o de alguna otra manera.

El teorema de unicidad del potencial est basado en la ecuacin (1.33) y se enunciaas: fijadas la densidad volmica de carga en un determinado volumen y las condiciones decontorno, para el potencial y para su derivada respecto a la normal, en la superficie que lolimita, el valor del potencial en todo el volumen est unvocamente determinado.


En la prctica suelen encontrarse dos tipos de superficies: superficies conductoras yla superficie del infinito. Podra tratarse tambin de una superficie dielctrica, en un cambiode medio, pero de momento no trataremos esa posibilidad.

Cuando tenemos una superficie conductora ocurre que la derivada del potencialrespecto a la normal en cada punto coincide con el campo elctrico en la superficie. Entoncesel campo no es realmente independiente del valor de la carga interna al volumen y del valordel potencial en el conductor, por lo que, de hecho, no constituye una condicin separada. Sise conoce ( )r en el volumen y el potencial en la superficie, el problema est, pues,unvocamente determinado. A esta clase de problemas se les denomina problemas deDirichlet. La alternativa es que conozcamos la densidad volmica de carga y el valor de laderivada del potencial respecto a la normal (el campo) en la superficie. En ese caso quedaruna constante por determinar al calcular el potencial. Se habla entonces de problema deNeumann.

La superficie del infinito puede tratarse como una superficie conductora a potencialcero (si no hay carga en el infinito). Desde este punto de vista el problema de potencialdonde se conoce la densidad de carga presente en el espacio ilimitado es un problema deDirichlet, y su solucin general es la dada por la ecuacin (1.18).

Ejemplo 1.13: Una esfera conductora hueca de radio interior a y exterior b se conecta aun potencial V. A una distancia d del centro de la esfera (d>b) se encuentra unacarga puntual de valor q. Cul es el potencial en el interior de la esfera?

a

b

dq

V

Fig. 1.16

En el interior debe cumplirse =2 0 y adems la condicin de contorno ( )r a V= = . Como se trata de un problema de Dirichlet tendr solucin nica, ycomo que la simple funcin ( )r V= satisface ambas condiciones, sa debe ser lasolucin buscada. Obsrvese que se trata de un volumen cerrado, tal como seestableci al hablar de la unicidad del potencial. De nuevo un conductor conectado auna tensin externa apantalla el efecto de una carga elctrica.


La utilidad prctica del teorema de unicidad consiste en que nos permite ignorar lasdensidades superficiales de carga existentes en la superficie lmite del volumen dondecalculamos el potencial, as como otras posibles cargas exteriores al volumen. Esainformacin, que sera imprescindible si planteramos el problema por medio del clculointegral directo, la sustituimos por el conocimiento de la condicin de contorno.

Mtodo de las imgenes

El mtodo de clculo que se sigue usualmente en la prctica es un mtodo inverso,denominado mtodo de las imgenes. Cuando en nuestro problema intervienen densidadessuperficiales inducidas por la presencia de otras distribuciones de carga, de manera que suclculo es complicado, lo que se hace es crear una situacin equivalente a la actual pero dems fcil resolucin. La equivalencia se consigue reproduciendo artificialmente lascondiciones de contorno por la inclusin de cargas externas al volumen de inters.

Ejemplo 1.14: Calcule el campo elctrico producido en todo el espacio por unacarga puntual situada frente a un plano conductor conectado a tierra.

Y

Z

d

q

Fig. 1.17

A pesar de su aparente sencillez, elproblema no puede resolverse de formadirecta, porque la presencia de la cargapuntual provoca la aparicin de unadensidad superficial de carga: losportadores libres del conductortendern a concentrarse en algunamedida en el punto del plano mscercano a la carga puntual, atrados porsta. Pero esa densidad de cargainducida no puede calcularse de formasencilla.

La alternativa es plantear un problema equivalente, donde las caractersticasesenciales del problema queden inalteradas.

Lo esencial a un problema de potencial, de Neumann o de Dirichlet, es lacarga existente en el interior del volumen considerado y las condiciones de contornoalrededor del mismo. La primera objecin para considerar este caso como unproblema bien definido de potencial es que no es un volumen cerrado, y, sinembargo, podemos tomar la superficie del infinito para completarlo. En la figura1.18 se muestra el esquema de este planteamiento.


S inf ( S= 0 )

q

p l a n o y = 0( S= 0 )

( r )

Fig. 1.18 La misma situacin de la figura anterior aparece como un problema deDirichlet al considerar la superficie del infinito

La cuestin es ahora obtener una situacin equivalente resoluble. Esto seconsigue eliminando el plano conductor y situando una carga imagen al otro lado delplano, como aparece en la figura 1.19.

+ q-q

d d

Z

Y

Fig. 1.19 Problema equivalente al representado en la figura 1.17

Si la nueva carga es de igual valor y distinto signo a la original y est situada a lamisma distancia del plano, es claro que el potencial en el plano y=0 ser nulo. Porotro lado, el potencial en el infinito permanece igual a cero. Entonces el problemaoriginal y el de la figura 1.19, en cuanto que problemas de potencial, son el mismoen el semiespacio derecho, y la solucin de ambos es idntica.


Tendremos:

pi

( ) ( )

r

qr dy

qr dy

y=

+

14

00

y

E rq r dy

r dy

r dy

r dyy( )

=

+

+>

4 00 3 3pi

En cuanto al semiespacio izquierdo (en el problema original) no puede haberninguna duda:

( ) , ( ) r E r y= =


Si examinamos el valor del potencial en r=a, utilizando los valores de dy q propuestos:

pi

( )( ) ( )

r aq

a yd d

ad

a y a da

d

= =

+

+

4

1

2 20 2 21

2 22 4

21

2

y despus de algunas operaciones, se comprueba que es igual a cero.

b) Utilizar el resultado anterior para calcular mediante el mtodo de las imgenesel potencial en el interior de la esfera del ejemplo 1.12 .

El resultado anterior se puede interpretar en el sentido de que la imagen deuna carga puntual respecto a un conductor esfrico a potencial cero es otra cargapuntual, de valor y posicin bien precisas.

En el ejemplo 1.12 tenamos una carga puntual q en el interior de una esferahueca conductora. Supongamos que dicha carga est en la posicin r y0 . Unasituacin equivalente de fcil resolucin debera reproducir la condicin delpotencial en r=a (radio interno de la cavidad) para permitirnos ignorar el conductor.Para ello situamos otra carga puntual en el exterior, de valor q y en la posicin dque se daban en el apartado anterior. Este es un buen inicio, porque ya tenemos unpotencial uniforme all donde estaba la cara interna de la esfera. Pero no reproducecompletamente la situacin porque en nuestro problema (ejemplo 1.12) el potencialde la esfera no era nulo. Cmo resolver esta eventualidad?

El potencial de la esfera es: ( )pi

r aq

a= =

41

0

Acudiendo de nuevo al teorema de unicidad se puede afirmar que el potencial en elinterior es:

pi pi pi

( )

r

qa

qr r y

q ar

r ar

y= +

+

14

14

140 0 0 0

02

0

Raznelo.

1.1.11 Energa electrosttica

Toda distribucin espacial de carga posee una energa potencial elctrica, porque escapaz de realizar un trabajo sobre otras cargas. Cuando hablamos de energa potencialestamos implcitamente reconociendo una referencia de energa cero, respecto a la quemedimos los sucesivos incrementos de energa que pueda recibir algn elemento de nuestro


sistema. Es importante en las cuestiones relacionadas con la energa explicitar con claridadcul es nuestro sistema y cul es la referencia de energa nula que estamos tomando.

La energa potencial elctrica debe coincidir con la energa de formacin del sistema:aquella energa que fue necesario aportar para construir la distribucin de carga a partir deuna situacin inicial de mxima dispersin (energa nula).

La energa electrosttica se considera de modo diverso si tratamos con densidadescontinuas de carga o con colecciones de cargas puntuales. La carga puntual es unaaproximacin ideal, pero propiamente no tiene sentido fsico, y el motivo es precisamenteque para concentrar una cantidad finita de carga en un volumen nulo necesitaramos aplicaruna energa infinita. En sistemas de cargas puntuales se habla con ms propiedad de energade reunin que de energa de formacin del sistema.

Considrese un conjunto de N cargas puntuales de valores qi situadas en posicionesri . Vamos a tratar de calcular la energa que hubo que aplicar para formar el sistema,partiendo de una situacin inicial en la que las cargas estaban infinitamente separadas unasde otras. Para ello iremos trayendo ordenadamente las cargas desde el infinito hasta susposiciones respectivas, y contabilizando los aportes de energa sucesivos.

q 1

q 2

q 3

q N

q i

r i

r 3

r1rN

r 2

Fig. 1.21 Sistema de N cargas puntuales

Uinicial = 0q r U1 1 1 0 =

;

q r q rU2 2 2 2 1 2 =

; ( ) q r q r rU3 3 3 3 1 3 2 3 = +

; ( ( ) ( ))

q r q rN N N N i Ni

N

U ==

; ( ) 1


La energa final es:

U Uii

N

ii

N

iq r= == =

1 1

12

( ) (1.34)

Se emple la notacin j ir( ) para el potencial creado por la carga q j en el punto riy ( )ri para el potencial creado en ri por todas las cargas excepto la que ocupa esaposicin, qi . La comprobacin de la ecuacin (1.34) se propone como ejercicio.

Para un continuo de carga ( )r es aplicable la misma filosofa, pero ahora en vez deagregar cargas puntuales tendremos que ir formando el sistema mediante diferenciales decarga. La expresin final de la energa en este caso ser:

U r r dv r r dsV S

= + 12 12 ( ) ( ) ( ) ( ) (1.35)

donde aadimos la integral de superficie en el caso de que exista tambin una densidadsuperficial de carga en la distribucin.

1.1.12 Energa electrosttica asociada al campo elctrico

Las expresiones anteriores parecen dar a entender que la energa de una distribucinde cargas est limitada espacialmente al propio volumen que ocupan las cargas. Sin embargono es esa la nica manera de verlo: puesto que una distribucin de carga es capaz de realizarun trabajo sobre otras cargas distantes parece ms adecuado asociar la energa al campo o alpotencial creado en todo el espacio. A partir de la ecuacin (1.35) puede buscarse unaexpresin alternativa.

( )r = 0 2

( ) ( ) ( ) r r r= 0 2 (1.36)

Utilizaremos la igualdad: = + = + ( ) ( ) ( ) E E E E2 2 , dedonde: = + 2 2( ) E E . Sustituyendo esta ltima en (1.36) y despus en (1.35)llegamos a:

( )U E dv E dvVV= + 12 0 2 ( )


A partir de all podramos extender el volumen de integracin a todo el espacio, ya que elresultado no debe variar. Si integramos hasta el infinito la segunda integral se cancela:

= ( ) inf E dv E dsV S 0porque cuando r tenemos 1 1 2 2r E r ds r, ,

aun en el caso en que el

campo y el potencial decrezcan de la forma ms lenta posible, siempre que hablemos dedistribuciones de carga limitadas. La expresin final es:

U E dvV

= 12 0 2 (1.37)que es la habitualmente utilizada.

Ejemplo 1.16: Calcule la energa de una distribucin esfrica de carga de radio Ry densidad volmica de carga homognea r0 .

Haremos el clculo directo integrando las contribuciones de energa que se precisanpara formar la esfera, trayendo diferenciales de carga desde el infinito. Por sencilleztomaremos capas concntricas de radio r creciente y espesor dr.

dr

Rr

Fig. 1.22

Para depositar cada diferencial de cargadebemos aportar una energa dada por

dU r dq= ( )

donde f (r) es el potencial creado por lacarga precedente en el lmite de la esferaen formacin:

( )r r= 00

2

3

U r r dr RR

J= = pi pi00 0 20 2 02

0

5

34

415

( )

Verifique este resultado utilizando la ecuacin (1.37).


1.1.13 Aproximacin del potencial a grandes distancias. Desarrollo multipolar delpotencial

En los problemas tcnicos no se precisa habitualmente de una solucin exacta, sinoque resulta ms que suficiente disponer de resultados con cierto grado de aproximacin. Estoes aplicable a todos los problemas de Ingeniera. Los modelos que se utilizan sonsimplificaciones que se ajustan de alguna manera a la realidad fsica, sin contemplarlatotalmente. En teora electromagntica se han desarrollado formulaciones sencillas queomiten a propsito algunas caractersticas de los campos para centrarse en lo que en unasituacin dada resulta esencial. La aproximacin ms tpica es la que presentaremos ahorapara el caso del potencial elctrico esttico: la de grandes distancias o, tambin llamada, decampo lejano. Ms adelante en este curso, y en otros posteriores, se volver sobre estemodelo, para el estudio de los sistemas radiantes y de la difraccin.

Consideremos una distribucin de carga arbitraria, limitada espacialmente, situada enlas proximidades del origen de coordenadas.

r - r '

r '

r

(r ')

v 'dv '

Fig. 1.23 Clculo del potencial a grandes distancias

El potencial elctrico creado en cualquier punto del espacio es:

pi

( ) ( ' )'

''

rr

r rdv

V=

14 0Buscaremos una aproximacin de esta funcin cuando r r r r >> ' ' ' , es decir,

cuando medimos el potencial a grandes distancias de la distribucin de carga. Paraconseguirlo desarrollamos en serie de Taylor la funcin en

r del integrando. La frmula en

el caso de tres variables es:


f r f fx

xf

x xx x

i i

ii j

i ji j

i x x xji( ) ( ) ...

,

= + + +

= = ===

0 1213

0 01

3

1

3 2

alrededor del punto r = 0 .Aplicamos el anterior desarrollo a la funcin 1

r r como funcin de r :

1 1 12

133 5

2

r r r

r r

r rx x r x xi j i j i j

ji= +

+ +'

' ( ' ' ' )

donde ij es la delta de Kronecker (= 0 si i j ; = 1 si i = j ).

Sustituyendo en la expresin del potencial obtenemos:

( )

pi

( ) ( ' ) ' ' ( ' ) '

( ' ' ' ( ' )) '

' '

'

rr

r dvr

r r r dv

rx x r r dv

v v

v i j i jji

+ +

+ +

14

1 1

12

13

03

52

(1.38)

Usualmente son suficientes esos tres trminos para obtener una buena aproximacinal potencial, y aun puede bastar con los dos primeros. En el caso de que no sea as, quiz nosea una buena idea buscar una aproximacin por este procedimiento y deba pensarse en unmtodo numrico. Las expresiones integrales de la ecuacin (1.38) reciben el nombre demomentos de la distribucin de carga.

momento monopolar Q r dv

momento dipolar p r r dv

m cuadripolar Q x x r r dv

escalarv

vectorv

tensorv

T

i j i j i j

C

C m

C m

( )'

( )'

( )'

: ' ( )( )

' ( )

( ' )

: ' ( ' ) '

. : ( ' ' ' ) ( ' )

=

=

=

12

3 2 2

(1.39)

Estos momentos, y los sucesivos de orden superior, caracterizan con aproximacincreciente la forma de la distribucin de carga. El potencial se escribe entonces:


pi pi pi

( )

rQr

p rr

r r

r

Tt

+

+ +1

41

41

40 03

05

Q (1.40)

Ejemplo 1.17: Calcular el potencial creado a grandes distancias por las dos cargaspuntuales de la figura 1.24 mediante los dos primeros trminos de (1.40).

s

-q

+ q

Fig. 1.24

El momento monopolar es lacarga total: QT = 0.

La expresin del momentodipolar es, para cargas puntuales:

p q rii

i= Y, en nuestro caso, tendremos:

p qs

z qs

z qsz= + + =2 2 ( ) (1.41)

El potencial resulta ser en primera aproximacin:

pi pi

( ) cos

rqsz r

r

qsr

+

=01

41

403

02

Compruebe que es igual al obtenido en el ejemplo 1.7.

Ejemplo 1.18: Calcule el potencial que crean a grandes distancias cuatro cargaspuntuales situadas en el plano YZ de forma que ocupan los vrtices de un cuadradode lado l. Las cargas tienen magnitudes iguales y signos alternados (Fig. 1.25).

El momento monopolar es nulo. El momento dipolar lo calcularemos igualque en el ejemplo anterior:

p q lz q ly q l y z q= + + + + =0 0 ( ) ( ) ( )


En este caso estamos obligados a calcular el momento de tercer orden paraobtener alguna aproximacin.

l

-q

+ q -q

+ q

Y

X

Z

Fig. 1.25 Cuadripolo

La integral de la expresin general vuelve a ser sustituida por un sumatoriosobre las cargas:

( )Q x x r qi j im jm m i jm

m= 12 32

Las variables x xim

jm

, son las componentes del vector posicin de la cargaqm ; r

m es el mdulo del vector. La siguiente tabla facilitar el clculo, que debe

hacerse con cuidado:

m x y zq rmm m m m

qqqq

l ll l ll l

1234

0 0 0 00 00 20 0

+

+

Se obtiene:

Q Q Q QQ QQ QQ Q l q y

xx yy zz

xy yx

xz zx

yz zy

11

2

0 0 0

0

032

= = = =

= =

= =

= =


y sustituyendo en la ecuacin (1.40): r r l q yzt Q = 3 2 , que podemos pasar acoordenadas esfricas utilizando: y = r senq senj y z = r cosq . Resulta:

pi

( ) sen senr l qr

14

32

20

2

3

Dependencia de los momentos con el origen de coordenadas

En los ejemplos anteriores se han situado las distribuciones de carga prximas alorigen de coordenadas, pero surge la cuestin de si los momentos de segundo y tercer ordenhubieran resultado diferentes de haber elegido otra posicin para las cargas y, por tanto, si elpotencial podra haber variado en funcin de esa eleccin.

El momento monopolar, por definicin, es independiente de la posicin de ladistribucin de carga. Los dems momentos s pueden variar. Vemoslo con el momentodipolar.

Consideremos una distribucin de carga arbitraria, a la que referenciaremos segndos sistemas de coordenadas diferentes, uno desplazado respecto al otro, tal como se muestraen la figura 1.26. Calcularemos el momento dipolar desde uno y otro.

r2r1

R

(r )

O 1O 2

v

Fig. 1.26 Dependencia de p con la eleccin del origen

Se cumple ( ) ( ) r r1 2= cuando r r R1 2= + . Entonces:

p r r dv r R r dv p R Qv v2 2 2 1 1 1

= = = ( ) ( ) ( ) (1.42)Por tanto el momento dipolar es independiente del origen tomado slo si la carga

total de la distribucin es nula. Resultados semejantes se obtendran para los momentos deorden superior.


Ejemplo 1.19: Repita el clculo del momento cuadripolar para la distribucin decargas del ejemplo anterior tomando el origen de coordenadas en el centro delcuadrado.

Comprobar que el momento cuadripolar no vara en este caso. Observe quelos momentos de orden inferior en esa distribucin son nulos. En realidad eseresultado responde, con un orden ms, a la deduccin que se acaba de hacer.

1.1.14 Dipolo real y dipolo ideal

El clculo de los momentos permite realizar aproximaciones cuando nos alejamos dela distribucin de cargas, pero tambin resultan extremadamente tiles cuando lasdimensiones de la distribucin son muy pequeas, pues ambas situaciones son equivalentes:se satisface la condicin r r r >> .

Junto al concepto de carga puntual (momento monopolar puro o monopolo ideal) sepueden considerar los de dipolo ideal y cuadripolo ideal. Ambos tienen aplicacin en elestudio de las interacciones de los campos elctricos con la materia.

El dipolo ideal puede definirse como una distribucin formada por dos cargaspuntuales de igual magnitud y signo opuesto (dipolo real), cuando la distancia que las separatiende a cero, pero de manera que se mantiene constante el momento dipolar. De acuerdo conel ejemplo 1.17 (Ec. 1.41), esto implica que el valor q ha de tender simultneamente ainfinito. Como resultado se obtiene una distribucin puntual, pero caracterizadaexclusivamente por su momento dipolar (y por su posicin), de la misma forma que el valorde su momento monopolar caracteriza completamente a la carga puntual.

El potencial creado en el espacio por un dipolo ideal es (vid. la ecuacin (1.40)):

pi

( ) ( )

rp r r

r r=

14 0

0

03

(1.43)

donde r0 es la posicin del dipolo. Ahora ya no se trata de una aproximacin, sino del valorexacto del potencial, debido a la dimensin nula del dipolo.

En la misma forma si tomamos las cuatro cargas puntuales del ejemplo 1.18 y lascolapsamos a un punto de forma que se mantenga el valor de su momento cuadripolarobtendremos un cuadripolo ideal, caracterizado exclusivamente por el valor de ese momentoy su posicin.


1.1.15 El dipolo ideal en presencia de campos elctricos externos

Sea un dipolo ideal situado en el seno de un campo elctrico externo producido poralguna distribucin de cargas lejana. Cul es la influencia del campo sobre el dipolo?

Para verlo imaginemos que el dipolo consta de dos cargas puntuales de distinto signoseparadas una distancia . La energa potencial del dipolo en una determinada posicin es:

[ ]U q r q r q r rdip = + = + + + ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 12 0 12 0 12 0 12

( )U q E r p E rdip ext ext= = ( ) ( )0 0 (1.44)

Este resultado tiene dos importantes implicaciones:

si el campo elctrico externo es uniforme, entonces el dipolo buscar el equilibrio(estado de energa mnima) orientndose en la direccin del campo;

si el campo no es uniforme, el dipolo se orientar con l, pero adems sedesplazar buscando la zona donde el campo es ms intenso.

1.2 El campo electrosttico en presencia de medios dielctricos

Los medios dielctricos, o aislantes, no poseen portadores de carga libres, capaces dedesplazarse a travs del medio bajo la influencia de campos elctricos; sin embargo, lasmolculas que forman su estructura pueden sufrir cambios en su orientacin o pequeosdesplazamientos. A este efecto se le denomina polarizacin del material. Un mediodielctrico polarizado crea a su vez un campo elctrico que se superpone al campo excitador,dando lugar a un campo final en el equilibrio diferente al que ocupara el espacio si nohubiese dielctrico.

El estudio de los fenmenos electrostticos en medios dielctricos se realiza a partirde modelos microscpicos en los que se asume la existencia de dipolos ideales como loselementos constitutivos del material. Estos dipolos simulan el estado de polarizacin atmicao molecular.

Existen bsicamente dos tipos de medios dielctricos: los dielctricos polares,constituidos por molculas orientadas elctricamente, y los dielctricos no polares, en losque las molculas tienen un momento dipolar nulo cuando sobre ellas no actan camposexternos. Los primeros no presentarn usualmente un efecto macroscpico neto de formaespontnea, porque el estado de mnima energa coincide con aquel en que las orientacionesde los dipolos elementales son arbitrarias, y el efecto global se cancela. La presencia de uncampo exterior es lo que provoca una orientacin preferente de los dipolos en la direccindel campo, y un efecto macroscpico medible. En el caso de los dielctricos no polares, un


campo exterior puede todava producir un desequilibrio microscpico de las cargas, con loque provoca simultneamente la creacin y la orientacin de los dipolos, con efectos netosapreciables.

En una primera aproximacin, el simple modelo que se acaba de bosquejar essuficiente. Es claro, sin embargo, que existirn molculas o cristales elementales cuyocomportamiento elctrico deba caracterizarse ms cuidadosamente, por ejemplo con lainclusin de cuadripolos elementales.

En teora de campos estamos interesados en el estudio de los efectos macroscpicos,sin nimo de averiguar con detalle lo que ocurra a escala atmica o molecular. De hecho, elmodelo atmico, por su naturaleza discreta, es el modelo opuesto a la teora de camposclsica que, por definicin, slo trata con medios continuos. Por esto un tomo, unamolcula, un portador de carga, o un grupo pequeo de ellos, no tienen una consideracinparticular. Es ms, ni siquiera se consideran, puesto que no son capaces de producir efectosapreciables a escala macroscpica.

Cuando tomamos un diferencial de volumen o de superficie en un materialdielctrico se asume que el nmero de dipolos elementales contenidos en l es muy elevado.Las consideraciones que se hacen referentes al modelo atmico son las necesarias paraconstruir un modelo til y realista, que proporcione resultados vlidos macroscpicamente.

La consecuencia de lo anterior es que slo tratamos con valores medios de campo, ode potencial, existentes en los diferentes puntos del medio material, pero que desde luego nocoinciden con los valores del campo microscpico o campo local que pueda haber en dichospuntos. Es, por otra parte, el campo medio, o campo a escala macroscpica, el que tieneinters, pues el campo local ser una funcin complicada de la posicin, cuyas fluctuacionestienen poca relevancia para nuestro estudio.

1.2.1 Vector polarizacin

Consideremos un diferencial de volumen en un medio dielctrico polar. En suinterior existen numerosos dipolos elementales (microscpicos) con orientaciones arbitrarias.La suma de todos los momentos dipolares microscpicos es un diferencial de momentodipolar.

dp pii

= (1.45)

Cuando el medio est inmerso en el seno de un campo elctrico, los dipoloselementales se orientan en la direccin del campo. La inspeccin del momento dipolardiferencial de los diferenciales de volumen nos da informacin de la presencia y del valor delcampo elctrico total que est actuando sobre el material. Se define el vector polarizacincomo la densidad de momento dipolar por unidad de volumen.


P rdpdv

Cm

( ) ( )= 2 (1.46)

Esta magnitud define completamente el estado de polarizacin del medio, en lamisma medida que el momento dipolar es una caracterizacin completa de un dipoloelemental. Es un campo vectorial definido en todo el volumen del dielctrico, que tomarhabitualmente diferentes valores en los diferentes puntos del material, ya que el estado depolarizacin no tiene por qu ser uniforme. En figura 1.27 se representa esquemticamentetodo lo anterior.

E ex t

p i

d p

Fig. 1.27 Dielctrico polarizado por efecto deun campo elctrico exterior

El dielctrico polarizado contribuye al campo total por efecto de la orientacinmayoritaria de los dipolos elementales. La contribucin del dielctrico se puede obtenermediante el vector polarizacin de acuerdo con las expresiones (1.43) y (1.46):

d rdp r r

r r

P r dv r rr r

pi pi

( ) ( ) ( ) ( )

=

=

14

140 3 0 3

de donde resulta:

pi

( ) ( ) ( )

rP r r r

r rdv

v=

14 0 3 (1.47)


Obsrvese que el potencial dado por la ecuacin (1.47) no es el potencial presente enel espacio, sino nicamente la contribucin del dielctrico, del mismo modo que el campoelctrico que se deduzca de ste no ser el campo total presente, sino una parte de l.Conviene resaltar que en el equilibrio el dielctrico est tambin, en cierta medida,autopolarizado, y unas zonas del medio influyen en las restantes para dar lugar a lapolarizacin final, pero todo ello est incluido en el vector

P r( ) .

1.2.2 Relacin entre el vector polarizacin y el campo elctrico. Tipos de dielctricos

En Electrosttica -al igual que en multitud de situaciones que se vern ms adelantedurante el curso, incluso cuando se consideran casos con variacin temporal- buscamossiempre el estudio de las interacciones elctricas en el equilibrio, o en estado estacionario. Enel caso de los dielctricos ocurre que, cuando son polarizados por un campo exterior, lasdiferentes partes del medio ejercen entre s una influencia recproca. Lo importante no es,por tanto, la magnitud del campo externo que comenz el proceso de polarizacin, sino elcampo global que finalmente se establece en cada punto del medio

La magnitud del efecto de polarizacin dielctrica depende del tipo de materialconsiderado. En medios lineales, homogneos e istropos se escribe:

P r E re( ) ( )= 0 (1.48)

donde e (chi sub-e) es la susceptibilidad elctrica del medio, adimensional y positiva.

En medios inhomogneos se mantiene la misma relacin, pero la susceptibilidad esfuncin de la posicin: e e r= ( ) .

En los llamados medios anistropos, como son los materiales cristalinos no cbicos,las peculiares fuerzas de ligadura existentes en su estructura condicionan la magnitud delefecto de polarizacin, de forma diferente segn la direccin del campo polarizador. Existen,entonces, direcciones de fcil y de difcil polarizacin. Para caracterizar estos medios, lasusceptibilidad se convierte en un tensor. En medios anistropos lineales tendremos:

e =

11 12 13

21 22 23

31 32 33

(1.49)

y los vectores P y

E no son paralelos en general.


Por fin, en medios no lineales la polarizacin vara fuertemente en funcin de laintensidad de campo aplicado, y no existe una relacin sencilla entre el campo elctrico y elvector polarizacin:

( ) P r E r E re( ) ( ) ( )= 0En este tipo de medios, de creciente inters tecnolgico, suele desarrollarse la

funcin de susceptibilidad alrededor del punto E = 0 mediante una serie de Taylor:

( )P E E E E E Ei i j j i j k j k i j k l j k l= + + + 0 donde los subndices i , j , k , l (= 1,2,3) denotan las diferentes componentes. En la expresinde arriba se han omitido los sumatorios sobre los ndices mudos (j; j y k; j, k y l,respectivamente). La aparicin de tensores de diferentes rdenes indica anisotropa.

En adelante nos limitaremos al caso ms usual de medios lineales e istropos.

El estado de polarizacin de un dielctrico est determinado por el vectorpolarizacin. Sin embargo, este vector no ser usualmente un dato conocido desde elprincipio, por lo que debemos desarrollar con ms profundidad la teora para poderenfrentarnos a problemas reales. Con este objetivo se introduce la consideracin explcita delas densidades de carga propias del dielctrico, esto es, las que constituyen los dipolosinducidos en el material, que se denominan densidades de carga ligada. El trabajar con estasdensidades de carga no reporta beneficios, usualmente, en problemas prcticos, porque,como veremos ms adelante, se han desarrollado herramientas ms directas y poderosas,pero sirven para cimentar la teora en que se basan esos otros mtodos.

Una porcin de dielctrico puede considerarse constituida por un continuo dedipolos elementales, tal como se ha explicado, pero tambin como una agrupacin de cargaelctrica. Para verlo realizamos el siguiente desarrollo.

Se cumple en general: ( ) = + A A A . Apliquemos esa relacin parael caso particular en que:

( ) ( ) ( )

=

= rr r

A r P r1

y

obtendremos, con el operador actuando sobre las variables prima:

=

+

P r

r r

r r

r rP r

P r

r r

( ) ( ) ( )3


en donde se utiliz la relacin:

=

13

r r

r r

r r.

De todo ello, utilizando la ecuacin (1.47), resulta que el potencial producido por eldielctrico polarizado es de la forma:

pi pi

( ) ( ) ( )

rP r n

r rds

P rr r

dvS v

=

+

14

140 0

(1.50)

Este resultado es importante, porque nos dice que un dielctrico polarizado puedecaracterizarse equivalentemente mediante dos magnitudes relacionadas con el vectorpolarizacin, que son:

P r n r

P r rS b

b

( ) ( )( ) ( )

(1.51)

y que se denominan, respectivamente, densidad superficial y densidad volmica de cargaligada (bounded). De la ecuacin (1.50) es inmediato ver que tales magnitudes realizan elpapel de verdaderas densidades de carga, y un estudio ms detallado, que aqu no haremos,nos demostrara que tales densidades existen y son resultado de la polarizacin del medio.

1.2.3 Ley de Gauss en medios dielctricos. Vector desplazamiento elctrico

El hallazgo de las densidades de carga ligadas tiene un inters conceptual y tericoelevado, aun cuando en problemas prcticos pueden no utilizarse. En este apartado lasincluiremos para generalizar la ley de Gauss a aquellas situaciones en las que intervienenmedios dielctricos junto a otras distribuciones de cargas libres.

Consideremos una superficie cerrada que contiene en su interior un mediodielctrico, en el que, a su vez, se ha introducido una distribucin de cargas libres. Por lodicho hasta ahora es claro que las cargas libres producirn un campo que polarizar aldielctrico, y que esto provocar la aparicin de ciertas densidades de carga ligada en elmedio. La ley de Gauss aplicada sobre la superficie debe escribirse ahora en la forma:

E r dsQ Q

S

f b( ) =+ 0 (1.52)

donde Qf y Qb son las cargas totales libres y ligadas contenidas en el interior de la superficieconsiderada. Escrita en forma diferencial, tendremos, para cualquier punto del interior larelacin:


=+

E f b

0 (1.53)

de donde podemos escribir:

0 = + E Pf ( )

y ( ) + = 0 E P f

La magnitud 0 E P+ resulta ser extremadamente til, porque est estrechamente

relacionada con el campo elctrico, pero su divergencia, a diferencia del propio campoE ,

slo depende de la densidad de carga libre. Se define el vector:

D E P C

m= +0 2( ) (1.54)

denominado vector desplazamiento elctrico y que resulta de gran utilidad para tratarproblema en los que intervienen medios dielctricos.

La relacin entre el campo elctrico y el vector polarizacin viene dada por lasusceptibilidad del medio, segn se escribi en la ecuacin (1.48). Sustituyendo en laecuacin anterior llegamos a:

D r E re( ) ( ) ( )= + 0 1 (1.55)

con lo que la relacin entre el vector desplazamiento y el campo es todava ms evidente. Sedefine:

r e= +1 (1.56)

como la permitividad relativa o constante dielctrica del medio, y

= 0 rF

m( )

(1.57)

como su permitividad dielctrica.

El vaco tiene susceptibilidad elctrica nula y constante dielctrica unidad. En el airela susceptibilidad es despreciable y su constante dielctrica se toma tambin la unidad en lamayora de las situaciones. Los medios lquidos y slidos tienen susceptibilidadesapreciables y su constante dielctrica es siempre mayor que uno.


El vector desplazamiento puede escribirse entonces en la forma: D r E r( ) ( )= (1.58)

Y la forma general de la ley de Gauss se escribe:

= D r( ) (1.59)

donde se sobreentiende que es nicamente la densidad de carga libre. O en forma integral:

D ds QS S

= (1.60)donde Q es la carga total libre encerrada por la superficie.

Ejemplo 1.20: Una esfera conductora de radio a posee una carga neta Q, y estrodeada de una cubierta esfrica de material dielctrico, con er = 9 y grosor d.Calcular el campo elctrico en todo el espacio.

Sabemos que, por la simetra del problema, la carga libre se ha de distribuiruniformemente por la superficie conductora esfrica.

ab

c o n d

0 r

picond r aQa=

=

4 2

El campo producido por la cargalibre polariza la cubierta dielctrica, yaparecern cargas ligadas. Si trabajsemos con el campotendramos que tenerlas en cuenta. Laforma de ignorarlas es utilizar el vectordesplazamiento al aplicar la ley deGauss.

Fig. 1.28

Es claro que D r D r rr( ) ( ) = en todo el espacio.


a < r < b

D ds D r r

Q QS r

f S

= =

= =

( ) 4 2pi

D rQ

rr ( ) = 4 2pi

E rD r Q

rr

r

( ) ( ) = = pi0 0

21

9 4

a

b

c o n d

0 r

r

S

b < rQueda exactamente igual en cuanto a

D r( ) . El campo elctrico en elexterior resulta:

E rQ

rr( ) = 1

402 pi

Ejemplo 1.24 (Continuacin): Obtenga el vector polarizacin y las densidades decarga ligadas del dielctrico en el ejemplo anterior.

Tan slo debemos aplicar las frmulas correspondientes:

P r E EQ

rre r( ) ( ) = = =

pi0 0 21

89 4

pi

b

r PQ

rr

r( ) ( )

= = =

89 4

102 2

pi

pi

b

b

r a P rQ

a

r b P r Qb

r a

r a

( ) ( )

( )

= = =

= = =

=

=

89 4

89 4

2

2

b ( r=a)b ( r=b)

f( r=a)

b (r)= 0

Fig. 1.29


Observe que el campo creado por las cargas ligadas se opone al campopolarizador. Esta situacin es habitual, por lo que en ocasiones se habla de campodespolarizador.

Volveremos ms adelante sobre problemas prcticos en los que intervienen mediosdielctricos. Veamos ahora algunas cuestiones adicionales.

Conservacin de la carga en medios dielctricos

Si un medio dielctrico no posee carga neta es claro que no la adquirir por el slohecho de polarizarse. En consecuencia, la carga ligada total debe ser cero. Esta afirmacin seprueba inmediatamente:

Q r ds P dv P n dsb b bS Sdvv v= + = + ( ) 0pues ambas integrales son la misma, por el teorema de la divergencia.

Relacin entre la carga libre y la carga ligada

Las densidades superficiales de carga ligada aparecen siempre que se polariza undielctrico, como consecuencia de la terminacin abrupta del medio. La densidad volmicade carga ligada es, sin embargo, un efecto excepcional, que no se da en los casos msusuales. Grosso modo puede adelantarse que la densidad volmica aparece siempre ycuando se rompa la homogeneidad del medio, sea por su propia estructura, o por la inclusinde cargas libres.

Pueden probarse las siguientes relaciones:

En medios homogneos:

b

r

r

fr r( ) ( )

=

1 (1.61)

En medios inhomogneos:

b

r

r

fr

rr r r E r( ) ( ) ( ) ( )

=

1 0

(1.62)


En el primer caso slo podremos encontrar carga ligada volmica en aquellos puntosdel medio donde se haya introducido carga libre. En medios no homogneos se induce cargaligada volmica por la propia variacin de la permitividad.

1.2.4 Ecuacin de Poisson generalizada

La relacin diferencial entre el potencial elctrico y las cargas cuando se trabaja conmedios dielctricos ser, en cualquier situacin:

= +

2

0

f b (1.63)

Pero esta relacin es poco til, porque la densidad volmica de carga ligada no serconocida.

En el caso de que nuestro medio sea homogneo (utilizamos la ecuacin (1.61))obtendremos:

= = 20

f

r

f (1.64)

Y por ltimo, en medios inhomogneos, la ecuacin de Poisson tiene una forma mscomplicada:

+ = 21

r

r

f (1.65)

Ejemplo 1.25: Una carga puntual de valor q, situada en el origen de coordenadas,est rodeada de un dielctrico inhomogneo, cuya permitividad es:

r rr

a( ) = 2

.

que ocupa un volumen esfrico de radio a. Obtenga el potencial elctrico dentro yfuera del dielctrico.

La carga puntual polariza al dielctrico. Como ste es inhomogneo debe esperarse,en general, que se induzca una cierta densidad volmica de carga ligada. Laresolucin mediante la ecuacin de Poisson resultara complicada (Ec. 1.65).


Aprovechamos la simetra esfrica del problema para utilizar la ley de Gauss:

D r D r rr( ) ( ) =

Esto es aplicable tanto en eldielctrico como fuera de l. Tomamossuperficies gaussianas esfricas, y lacarga libre contenida en ellas no varacon el radio, por lo que resulta:

D rqr

r( ) =4 2pi

en todo el espacio.

a

q

Fig. 1.30

El campo elctrico ser:

E rqr

r r ar

a( ) ( )= < 140

2 pi

A partir del campo puede obtenerse el potencial, mediante la relacin:( )r E dr= :

( )

pi

pi

( )

( ) ln( )

rq

rr a

rq

ar ar a r

ar

= >

= + > d )

S = a x b

d

Cab

d=

Condensador cilndrico

( l >> b-a )b

a

l

C lba

=

2piln


Condensador esfrico

a

b C

a b=

41 1

pi

Fig. 1.31

La energa almacenada por un condensador puede obtenerse mediante la expresin(1.67) una vez calculados los campos presentes, pero es bien sabido por teora de circuitosque existe una expresin ms simple si se conoce la capacidad, y es:

U CV=12

2

Cuestiones de repaso:

1) El campo electrosttico tiene siempre su origen en cargas positivas y el final en cargasnegativas (o en el infinito). Explique cul es la razn fsica de ese hecho.

2) Qu condiciones se precisan para que en una determinada situacin podamos utilizar laley de Gauss para el clculo directo del campo elctrico?

3) Cmo disminuye el campo elctrico creado por las siguientes distribuciones de carga amedida que nos alejamos de ellas: a) un plano infinito de carga; b) un hilo infinito; c) unaesfera cargada; d) un dipolo; e) un cuadripolo? Considere densidades homogneas en lastres primeras.

4) El hecho de que el flujo del campo elctrico a travs de una superficie cerrada sea nulo noimplica que el campo deba ser nulo en todos los puntos de la superficie, ni en el volumenencerrado por ella. D ejemplos reales que lo confirmen.

5) Si nos desplazamos sobre una superficie y medimos un potencial elctricoconstantemente nulo sobre ella, qu podremos afirmar acerca del campo elctrico en lospuntos de esa superficie?


6) La densidad de carga superficial libre sobre un conductor debe tener el mismo signo encualquier punto? Demustrelo en caso afirmativo o proponga un contraejemplo en casonegativo.

7) En un conductor no podemos fijar a la vez la carga neta y el potencial, porque cualquierade esas dos magnitudes condiciona el valor de la otra. Busque ejemplos sencillos quesostengan esa afirmacin.

8) Los conductores (con carga neta nula) atraen a las cargas elctricas?

9) En que situaciones es adecuado el mtodo de las imgenes para el clculo del potencial?Qu se precisa para poder aplicar ese mtodo?

10) El vector desplazamiento elctrico depende de las densidades de carga ligadas? O dichode otro modo, depende de los medios dielctricos presentes en las inmediaciones?

11) Habitualmente no se incluyen explcitamente las densidades superficiales de carga en lasecuaciones diferenciales del campo o del potencial (Gauss y Laplace). De qu modo setienen entonces en cuenta al resolver los problemas por esos mtodos?

12) Podra en algn caso ser negativa la susceptibilidad elctrica de un material?

13) En determinados medios D Ey no son necesariamente paralelos. En cules?

14) Los dielctricos (sin carga neta) atraen a las cargas elctricas de sus inmediaciones?

15) Cmo se obtiene la energa potencial de un dielctrico polarizado por un campoexterior?

16) La presencia de un dielctrico provoca siempre una disminucin de la intensidad decampo elctrico respecto a la misma situacin sin dielctrico (se supone en los casos enque el dielctrico no altera la distribucin de lneas de campo previa). Por qu?

17) Un condensador con una geometra y unas dimensiones dadas aumenta su capacidadproporcionalmente a la constante dielctrica cuando introducimos un dielctricohomogneo entre sus armaduras. Por qu?

18) Un condensador con un dielctrico no lineal entre sus armaduras no respondera alconcepto tradicional de condensador (aunque podra tener gran utilidad prctica) Porqu?


1.3 El campo magnetosttico en el vaco

1.3.1 Introduccin

Un fenmeno fsico se llama estacionario cuando est en equilibrio -puedepermanecer indefinidamente en esa situacin si no intervienen otros factores externos- perode tal manera que algunas variables macroscpicas varan en el tiempo. Tal es el casohabitual en el que se habla de campo magntico en condiciones estticas, o de campomagnetosttico. A diferencia de lo que ocurre en Electrosttica ahora debemos considerarlas cargas elctricas en movimiento, ya que es en esa situacin cuando producen un campomagntico o detectan su presencia. La primera experiencia cientfica equivalente a laatraccin o repulsin entre cargas elctricas (ley de Coulomb) dentro del magnetismo fuerealizada por Oersted, quien comprob la existencia de fuerzas entre hilos

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Campos Electricos y Magneticos en Condiciones Estaticas