Campo Magnético - Carlos Alberto Vara magnético, del mismo modo que en torno a una car-ga eléctrica se establece un campo eléctrico. Pero no sólo los imanes son capaces de crear

INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA: Campo Magnético

1.- Interacción magnética 2.- Campo magnético 3.- Acción del campo magnético sobre corrientes 4.- Campo magnético creado por corrientes 5.- Circulación de un campo magnético: Ley de Ampère 6.- Fuerzas entre corrientes: definición de amperio 7.- Magnetización de la materia 8.- Analogías y diferencias entre los campos gravitatorio, eléctrico y magnético

Actividades desarrolladas

U IV T 13: Campo Magnético

305

1.- INTERACCIÓN MAGNÉTICA

La interacción magnética es otro tipo de interacción que se observa en la naturaleza. Los antiguos griegos observaron que ciertos minerales de hierro, como la magnetita, tienen

la propiedad de atraer pequeños trozos de hierro. En estado natural, esta propiedad la muestran el hierro, el cobalto, el manganeso y muchos compuestos de estos metales.

No está relacionada con la gravitación puesto que no la poseen todos los cuerpos, y parece

concentrarse en ciertos lugares del mineral. Aparentemente tampoco está relacionada con la in-teracción eléctrica, debido a que ni bolitas de corcho ni trozos de papel son atraídos por tales mi-nerales. Por tanto, a esta propiedad física se le dio un nuevo nombre, magnetismo. El nombre se deriva de la antigua ciudad del Asia Menor, Magnesia, en donde según la tradición, fue observado por primera vez el fenómeno. Las regiones de un cuerpo donde parece concentrarse el magnetis-mo se conocen como polos magnéticos. Un cuerpo magnetizado se conoce como imán.

La Tierra misma es un gran imán. Por ejemplo, si suspendemos una varilla magnetizada en

cualquier punto de la superficie terrestre y permitimos que gire libremente alrededor de la vertical, la varilla se orienta de modo que el mismo extremo apunta siempre hacia el polo norte geográfico. Este resultado muestra que la tierra ejerce una fuerza adicional sobre la varilla magnetizada. Si la varilla no está magnetizada no se ejerce ninguna fuerza.

Los experimentos realizados con cuerpos magnetizados sugieren la existencia de dos tipos

de polos magnéticos. Podemos representar ambos mediante los signos N y S, que corresponden a los tipos de polos que se orientan hacia el norte y hacia el sur terrestres, respectivamente.

La experiencia muestra que una barra magnetizada tiene polos opuestos en sus extremos.

Dos barras magnetizadas, colocadas como se muestra en la figura, se repelerán o se atraerán, dependiendo de si colocamos polos iguales o diferentes uno frente al otro. Así, concluimos que:

“La interacción entre polos magnéticos iguales es de repulsión y entre polos magné-ticos diferentes es de atracción”. Podríamos medir la intensidad de un polo magnético si definimos una masa o carga magné-

tica e investigamos la dependencia de la interacción magnética con respecto a la distancia entre los polos. Antes de que los físicos entendieran la naturaleza del magnetismo, éste fue el plantea-miento adoptado (similar al aplicado a las cargas eléctricas o a las masas gravitatorias).

Sin embargo, aparece una dificultad fundamental cuando se intenta efectuar tales medicio-

nes. Se han podido aislar experimentalmente cargas eléctricas positivas y negativas y asociar una cantidad definida de carga eléctrica a las partículas fundamentales que constituyen la materia. Por el contrario, no ha sido posible aislar un polo magnético o identificar una partícula que tenga sólo un tipo de magnetismo, N o S.

Interacción entre dos barras magnetizadas.- Polos de distinto signo se atraen (izquierda);

polos del mismo signo se repelen (derecha)


306

Además, los conceptos de polo magnético y masa magnética no son necesarios para la

descripción del magnetismo. Como veremos, las interacciones eléctrica y magnética están estre-chamente relacionadas, y constituyen dos aspectos diferentes de una misma propiedad de la ma-teria, su carga eléctrica. De hecho, la experiencia ha mostrado que el magnetismo es una mani-festación de las cargas eléctricas en movimiento con respecto al observador. Por tal razón, las interacciones eléctrica y magnética deben considerarse juntas bajo el nombre más general de interacción electromagnética.

2.- CAMPO MAGNÉTICO

Un imán provoca una alteración en el espacio a su al-rededor, pues atrae al hierro y cambia la dirección de una aguja imantada, en tanto que, en ausencia del imán, el hie-rro y la aguja permanecen inmóviles. Estos hechos se inter-pretan diciendo que en el espacio alrededor del imán hay un campo magnético, del mismo modo que en torno a una car-ga eléctrica se establece un campo eléctrico.

Pero no sólo los imanes son capaces de crear un

campo magnético. En 1820, H. Ch. Oersted realizó un expe-rimento que puso de manifiesto cómo una corriente eléctrica produce sobre una aguja imantada los mismos efectos que un imán. Situó una brújula en las inmediaciones de un hilo conductor rectilíneo, e hizo pasar por él una corriente eléc-trica. Observó cómo la aguja imantada se orientaba perpen-dicularmente a la corriente; y al cesar ésta, la aguja volvía a su posición anterior. Esta experiencia mostró la relación en-tre magnetismo y corriente eléctrica: hizo sospechar que las causas del magnetismo estuviesen relacionadas con el mo-vimiento de las cargas eléctricas.

¿Cómo se puede averiguar si en una región del espacio existe un campo magnético? ¿y

cómo determinar su valor en cada punto? Observando la fuerza de interacción ejercida sobre una carga eléctrica q en movimiento. Se llega a las siguientes conclusiones:

+ Si la carga q está en reposo, no aparece fuerza magnética sobre ella. + La fuerza magnética es proporcional a la carga eléctrica q y a la velocidad v de la misma. + Existe una dirección particular para la cual la fuerza magnética es nula. + Para las demás direcciones, la fuerza

magnética es perpendicular simultá-neamente a la velocidad v

r de la carga

eléctrica y a esa dirección para la que es nula dicha fuerza. Y su valor es pro-porcional al seno del ángulo formado por la velocidad y dicha dirección.

Br


307

En estas condiciones, definimos en cada punto del espacio la intensidad del campo mag-

nético Br

(que también suele llamarse “inducción magnética”) como el vector que verifica:

Fr

= q ( vr

x Br

) (1)

Según esta expresión, Br

es un vector en la dirección para la que la fuerza magnética es nu-la, y su módulo vale (figura):

B = αsen.v.q

F (2)

En el Sistema Internacional, la unidad de campo magnético se llama tesla (T), (o weber por

metro cuadrado, Wb/m2). De acuerdo con (2):

1T = 1 Wb/m2 = 1 m.A

N

s/m.C

N1=

Cuando una carga q se mueve con velocidad v

ren el seno conjunto de un campo eléctrico

Er

y otro magnético Br

, la fuerza que sobre ella actúa es la resultante de la fuerza eléctrica, qEr

,

más la magnética, q( Bxvrr

), es decir:

)BxvE(qFrrrr

+= (3) Esta fuerza recibe el nombre de fuerza de Lorentz.

La expresión (1), que define el campo magnético, muestra que la fuerza magnética es siem-

pre perpendicular a la dirección del movimiento de la carga, ( )vFrr

⊥ . Esto implica dos consecuen-cias:

+ El trabajo realizado por la fuerza magnética sobre una carga que se desplaza es nulo.

+ Si Br

es constante en un recinto, y la partícula penetra en él perpendicularmente a dicho campo, su trayectoria es circular.

3.- ACCIÓN DEL CAMPO MAGNÉTICO SOBRE CORRIENTES

A.- FUERZA SOBRE UN ELEMENTO DE CORRIENTE Sea un conductor por el que circula una corriente eléctrica de intensidad I, en el seno de un

campo magnético Br

. La corriente supone un movimiento de cargas eléctricas en el conductor. El campo magnético ejercerá su acción sobre cada una de ellas, acción que viene dada por (1).

La fuerza magnética se manifestará sobre el con-ductor, soporte de la corriente, como una acción trasversal. Para calcularla, supongamos que las cargas se desplazan con una velocidad v

r. En un tiempo dt, la

carga que ha atravesado la sección del conductor (por ejemplo, por M) es dq = I dt, y se habrá desplazado en él de modo que toda ella se encuentra dentro del

elemento de conductor dt.vLdrr

= . Por tanto, la fuerza

elemental Fdr

sobre dicho elemento de conductor Ldr

es, según (1):


308

)Bxv(dqFdrrr

= = I =)Bxv(dtrr

I =)Bdtx.v(rr

I )BxLd(rr

⇒ =Fdr

I )BxLd(rr

Primera ley de Laplace (4)

(4) expresa la fuerza elemental Fdr

con la que actúa el campo magnético Br

sobre un elemen-

to de conductor Ldr

recorrido por una corriente eléctrica de intensidad I.

Para calcular la acción ejercida por un campo magnético Br

sobre un conductor cualquiera, recorrido por una corriente de intensidad I, deberemos “sumar” todos los efectos del campo sobre cada elemento de conductor ⇒ es decir, integraremos (1) a lo largo del conductor:

== ∫cond

FdFrr

∫cond

I )BxL(drr

B.- FUERZA SOBRE UNA CORRIENTE RECTILÍNEA Suponemos el campo magnético uniforme: quiere decir que B

rpresenta el mismo valor en todos

los puntos. Sea una corriente eléctrica, de intensi-dad I, circulando por un conductor rectilíneo, de longitud L, en el seno de dicho campo magnético. Sea el sentido de dicha corriente el dado por el ver-

sor u . Tomemos I.L. u = I.Lr

.

En este caso, todos los desplazamientos

Ldr

tienen la misma dirección, por lo que:

∫= FdFrr

∫= I =)BxLd(rr

I =∫ )BxLd(rr

I ( )[ ]=∫ BxLdrr

I )BxL(rr

⇒ =Fr

I )BxL(rr

(5)

El módulo de esta fuerza es: F = I L B senθ donde θ es el ángulo formado por el con-ductor y el campo magnético (figura). La comprobación experimental de la fuerza con que un campo magnético actúa sobre un con-ductor rectilíneo cuando por él circula una corriente puede realizarse por medio de la llamada “balanza de Cotton” (figura). Con ella, la medida de la fuerza, así como su dirección y sentido, se reducen a la simple realización de una pesada. Puede compro-barse en este experimento la proporcionalidad de la fuerza con la intensidad de corriente y la longitud del conductor. El experimento permite calcular el valor del campo magnético. Esfuércese el alumno en comprender la expe-riencia señalada en la figura... y deducir la expre-sión que permite calcular B.


309

C.- MOMENTO SOBRE UNA ESPIRA Consideremos una espira rectangular, de lados L y L’, y situada en el seno de un campo

magnético uniforme Br

. El área de la espira es S = L.L’ ; démosle carácter vectorial así:

Sr

es un vector cuyo módulo S es igual al área de la espira, S = L.L’, está dirigido perpendi-cularmente a la superficie enmarcada por la espira, en el sentido de avance de un tornillo que gire de acuerdo con la corriente de la espira.

Sea θ el ángulo que en un determinado instante forman Br

y Sr

. De (5) resulta que: + las fuerzas magnéticas sobre los lados AD y BC son F’ = I.L’.B.senα = I.L’.B.cosθ Si la espira es no deformable, estas fuerzas son neutralizadas por su reacción elástica. + las fuerzas magnéticas sobre los lados AB y CD son F = I.L.B.sen(π/2) = I.L.B Estas fuerzas constituyen un par que tiende a hacer girar la espira, situándola perpendicularmente

al campo Br

. El momento de este par vale: M = F. L’. senθ = (I.L.B)( L’.senθ) = I.S.B.senθ

Definimos Momento dipolar magnético de una espira así: ≡mr

I .Sr

. Entonces el momento del par se escribe:

BxmMrrr

= (6) Por tanto, la acción del campo magnético sobre la espira es un par de fuerzas que da lugar a su rotación, tendiendo a alinear el momento dipolar magnético de la espira con el campo magné-tico. Cuando la espira se sitúa perpendicularmente al campo, el momento del par se anula, y cesa su acción. Si la espira es circular, lo anteriormente explicado sigue siendo válido. Asimismo, si se tiene en el seno del campo magnético una bobina de N espiras, recorrida por una corriente de intensi-dad I:

BxmMrrr

= donde ≡mr

N.I.Sr

(7)


310

D.- APLICACIONES ♣ Trayectorias circulares de cargas eléctricas en un campo magnético uniforme.- Si a una partícula de masa m, cargada eléctricamente con carga q y situada en el seno de

un campo magnético uniforme Br

, se le comunica una velocidad vr

en dirección perpendicular al campo, sobre ella actúa una fuerza F = q v B que es normal a la trayectoria. Por este motivo, esta fuerza es centrípeta, no hace variar la rapidez v, pero obliga a describir una trayectoria circular con movimiento uniforme. Si lla-mamos R al radio de la trayectoria circular, se verifi-cará:

F = m an q v B = mR

v 2

⇒ R = B

v

q

m

El sentido del movimiento circular descrito por la par-tícula depende obviamente del sentido del campo y del signo de la carga eléctrica de la partícula. ♣ Experimento de Thomson .- Medida de la relación carga-masa, q/m

Durante la última parte del siglo XIX se efectuaron numerosos experimentos sobre descar-gas eléctricas. Tales experimentos consisten en producir una descarga eléctrica a través de un gas a baja presión, aplicando una diferencia de potencial de varios miles de voltios entre dos elec-trodos colocados dentro del gas. El electrodo negativo (C) es el cátodo y el positivo (A) el ánodo. Dependiendo de la presión del gas que se halla en el tubo, se observan varios efectos luminosos. Cuando la presión del gas en el tubo es menor que 100 Pa (0,75 mmHg), se detecta una mancha luminosa en O sobre la pared del tubo, directamente opuesta al cátodo C (figura). Por tanto se supuso que el cátodo emitía una radiación que se mueve en línea recta hacia O. En consecuen-cia, estas radiaciones se denominaron rayos catódicos.

Cuando se produce un campo eléctrico E = b/V∆ mediante la aplicación de una diferencia

de potencial ∆V a las placas paralelas P y P’, separadas una distancia b, se observa que la man-cha luminosa se mueve de O a O'. Esto es, los "rayos" se desvían en la dirección correspondiente a una carga eléctrica negativa. Esto sugirió que los rayos catódicos eran simplemente una corrien-te de partículas cargadas negativamente. Sea q la carga de cada partícula, m su masa y v su ve-locidad. Se puede calcular, midiendo la desviación d = OO' (conocidos los valores de L, de a y de

E = b/V∆ ), la relación entre las variables desconocidas, 2v.m

q, en función de las establecidas en


311

el experimento (a, b, L y ∆V) y de la obtenida por medición, d. El alumno puede resolverlo como problema, obteniéndose el siguiente resultado:

dLa

b

Vv.m

q

∆=

12

La fuerza eléctrica ejercida sobre la partícula es Fe = q E = q ∆V/b y está dirigida hacia

arriba (figura). Supongamos que también aplicamos en la misma región un campo magnético diri-gido perpendicularmente hacia el papel. La fuerza magnética, Fm, según la ecuación (1), es Fm = q v B, y está dirigida hacia abajo porque q es una carga negativa. Ajustando adecuadamente el valor de B, podemos hacer que la fuerza magnética sea igual a la eléctrica, Fe = Fm. Esto tiene como resultado una fuerza neta cero, y la mancha luminosa regresa de O' a O; es decir, no hay desviación de los rayos catódicos. Entonces se verifica:

q E = q v B ⇒ v = b.B

V

B

b/V

B

E ∆=

∆=

Esta expresión proporciona una medida de la velocidad de la partícula cargada. Sustituyen-do este valor de v en la expresión anterior, obtenemos el cociente q/m (carga específica) de las partículas que constituyen los rayos catódicos:

2B

V

Lab

d

m

q ∆=

Este procedimiento experimental fue uno de los primeros métodos para medir q/m con pre-cisión. También fue una prueba indirecta de que los rayos catódicos están formados por partículas con carga negativa que desde entonces se conocen como electrones.

Estos experimentos y otros parecidos fueron efectuados por Sir J. J. Thomson (1856-1940)

en 1897, quien realizó grandes esfuerzos e invirtió mucho tiempo intentando descubrir la naturale-za de los rayos catódicos.

♣ Espectrómetro de masas, de Dempster

Consideremos el dispositivo ilustrado en la figura siguiente, donde I es una fuente de iones y S1 y S2 son dos rendijas estrechas por las que pasan dichos iones, que son acelerados por la diferencia de potencial ∆V aplicada entre las rendijas. La velocidad de salida de los iones se calcula mediante la ecuación: ½ mv2 = q ∆V

resultando: v2 = 2 Vm

q∆

En la región debajo de las ranuras existe un campo magnético uniforme (sa-liente, orientado hacia el lector). Cada ión, entonces, describirá una órbita circular, en una u otra dirección dependiendo del signo de su carga q.

Después de describir un semicírculo, los iones llegan a una placa fotográfica P, dejando una

señal en ella. El radio R de la órbita está dado por la ecuación vista anteriormente, R = m v / q B, de la

cual, despejando la velocidad, obtenemos

v = B.Rm

q


312

Combinando esta ecuación con la anterior para eliminar v, se tiene:

22

2RB

V

m

q ∆=

que expresa la carga específica de los iones, q / m, en función de las variables utilizadas en el aparato experimental: la ddp ∆V de aceleración de los iones aplicada a las rendijas S1 y S2, la in-tensidad del campo magnético B y el radio R de la trayectoria circular descrita por el ión que se mide en el experimento.

Podemos aplicar esta técnica a electrones, protones o iones, y a cualquier otra partícula cargada. Si por otro método se mide la carga q, la fórmula anterior permite calcular la masa m de la partícula.

El dispositivo de la figura constituye un espectrómetro de masas, debido a que separa los

iones de la misma carga y diferente masa m, puesto que según la ecuación, el radio de la trayec-toria de cada ion será diferente dependiendo de su valor de q / m. Existen varios tipos de espec-trómetros de masas, todos basados en el mismo principio. Los científicos que usan esta técnica descubrieron, en la década de los veinte del pasado siglo, que los átomos del mismo elemento químico no tienen necesariamente la misma masa: las diferentes variedades de átomos de un elemento que difieren en su masa se conocen como isótopos. Así por ejemplo, J. J. Thomson descubrió que cuando se tenían partículas de neón a baja presión, en la placa fotográfica aparecía no una única raya correspondiente a la masa atómica que se asignaba a dicho gas (20,1839 u) sino dos, que correspondían a masas ligeramente diferentes: 20 u y 22 u. Esto llevó a la conclu-

sión de que debían de existir dos isótopos del neón, Ne2010 y Ne22

10 , en la proporción de 9 a1. ♣ Acelerador de partículas. El Ciclotrón

El hecho de que la trayectoria de una partícula cargada en un campo magnético es circular

ha permitido el diseño de aceleradores de partículas que operan de manera cíclica. En los aceleradores electrostáticos, la aceleración depende de la diferencia de potencial to-

tal ∆V. Para producir partículas de alta energía, ∆V debe ser muy grande. Sin embargo, en un ace-lerador cíclico una carga eléctrica puede recibir una serie de aceleraciones al pasar muchas veces por una diferencia de potencial relativamente pequeña. El primer dispositivo que funcionó con este principio fue el ciclotrón, diseñado por E. O. Lawrence (1901-1958).

El primer ciclotrón práctico empezó a funcio-

nar en 1932. Desde entonces se han construido muchos en todo el mundo, aunque ahora ya han sido superados por dispositivos mucho más pode-rosos.

Esencialmente, un ciclotrón (Fig. 22.13) con-

siste en una cavidad cilíndrica dividida por la mitad (cada una conocida como "de" por su semejanza con la letra D) y colocada en un campo magnético uniforme paralelo a su eje.

Las des están aisladas eléctricamente entre sí, y en el centro del espacio entre las des se si-

túa una fuente de iones, S. El sistema debe mantenerse a un alto vacío para evitar colisiones en-tre las partículas aceleradas y cualquier molécula de gas. Entre las des se aplica una diferencia de potencial alterna del orden de 10000 voltios. Si los iones son positivos, se acelerarán hacia la de negativa. Cuando los iones penetran en una de, no experimentan fuerza eléctrica alguna, debido a que el campo eléctrico es cero en su interior.


313

Sin embargo, el campo magnético hace que el ion describa una trayectoria circular, con un

radio dado por la ecuación vista anteriormente, R = m v / q B, y con velocidad angular dada por ω = v / R = q B / m. La diferencia de potencial alterna entre las des se regula con una frecuencia igual precisamente a ω / 2 π. De esta forma la diferencia de potencial entre la des está en reso-nancia con el movimiento circular de los iones.

Mientras los iones describen media revolución, la polaridad de las des se invierte de modo

que cada vez que los iones cruzan el espacio que hay entre ellas, reciben una pequeña acelera-ción. Por tanto cada medio ciclo el ión describe un semicírculo con un radio mayor pero con la misma velocidad angular. El proceso se repite varias veces, hasta que el radio adquiere un valor máximo R, que es prácticamente igual al radio de la cavidad. Los polos del imán están diseñados de modo que el campo magnético en el borde de las des disminuya drásticamente y los iones ad-quieran un movimiento tangencial, escapando por una abertura conveniente. La velocidad máxima vmax está relacionada con el radio R mediante la ecuación:

qB

mvR max= → BR

m

qvmax =

La energía cinética de los iones que salen por A es entonces:

Ec = ½ mv2 = m

RBq

2

222

y está determinada por la carga y la masa de la partícula, la intensidad del campo magnético y el radio del ciclotrón, pero es independiente del potencial de aceleración entre las des. Cuando la diferencia de potencial es pequeña, los iones tienen que dar muchas vueltas antes de que adquie-ran su energía final. Pero cuando es grande, sólo se requieren unas cuantas vueltas para adquirir la misma energía.


314

4.- CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR CORRIENTES

A.- CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CARGA EN MOVIMIENTO Hasta aquí hemos considerado campos magnéticos sin preguntarnos por la forma en que

éstos se producen. Más adelante veremos que el mejor método de producir un campo magnético es mediante corrientes eléctricas. Sin embargo, una corriente eléctrica es un flujo de partículas cargadas que se mueven en la misma dirección dentro de un conductor.

Una carga eléctrica en movimiento, con respecto

al observador, produce un campo magnético además de su campo eléctrico. Se ha encontrado experimentalmente que el campo magnético en un punto P, a una distancia r de la carga que se mueve con respecto al observador con una velocidad v (pequeña comparada con la de la luz) es:

B = π

µ4

0

2r

sen.v.q θ (8)

donde µ0 es una constante conocida como permeabilidad del vacío y cuyo valor en el S.I. es: µ0 = 4π.10-7 m.kg.C-2 (o bien, T.m.A-1) y donde θ es el ángulo determinado por la dirección del movimiento de la carga (vector velocidad) y el vector de posición del punto P respecto de la carga.

Nótese que, según esta fórmula, el valor del campo magnético: * es cero en la dirección del movimiento * tiene su valor máximo en el plano perpendicular a esa dirección del movimiento y que con-

tiene a la carga. Además: * la dirección del campo magnético es perpendicular a los vectores r

r y v

r(véase la figura).

Combinando ambas propiedades del campo magnético, podemos expresarlo en forma vec-

torial así:

π

µ=

4

0Br

2r

)rxv(qr

(9)

donde r es el vector unitario en la dirección de rr

. Las líneas magnéticas son entonces circunfe-rencias concéntricas con su centro en la trayectoria de la carga.

Por otro lado, el campo eléctrico Er

producido por la carga q en P es:

rr

qr

r

qkE

20

2 4

1

πε==

r

Despejando r en esta última expresión y sustituyendo su valor en (9), y simplificando, se llega a la siguiente relación entre ambos campos debidos a la carga q en movimiento:

)Exv(µiB 00

rrr=


315

Puesto que 00µε = 8’8544x10-12C2.N-1.m-2 x 4πx10-7m.kg.C-2 = 1’1127x10-17 s2.m-2

resulta que c ≡ 88

1700

1031099821011271

11xx'

x'≅==

µε −m/s, valor que coincide curiosamente

con la velocidad de la luz en el vacío. De acuerdo con ello, la anterior expresión se transforma en ésta, que relaciona los dos campos, eléctrico y magnético, asociados a la carga q en movimiento:

)Exv(c

Brrr

2

1= (10)

Por tanto, aunque una carga en reposo produce únicamente un campo eléctrico, una carga en movimiento con respecto al observador produce un campo eléctrico y uno magnético. Además, los dos campos están relacionados por la ecuación (10). Así pues, los campos eléctrico y magné-tico son simplemente dos aspectos de una propiedad fundamental de la materia, y resulta más apropiado utilizar el término campo electromagnético para describir la situación física que impli-ca cargas en movimiento.

Otra propiedad interesante es que dos observadores en movimiento relativo miden velocida-

des diferentes de la carga eléctrica en movimiento y, por tanto, también miden diferentes campos magnéticos. En otras palabras, los campos magnéticos dependen del movimiento relativo entre la carga y el observador.

Vemos pues que, a medida que la partícula se mueve, lleva con ella sus campos eléctrico y

magnético. Así, un observador que ve la partícula en movimiento mide campos eléctrico y magné-tico que cambian con el tiempo a medida que la partícula se acerca y se aleja del observador, mientras que un observador en reposo con respecto a la carga (o que se mueve con ella) sólo mide un campo eléctrico constante.

B.- CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UN ELEMENTO DE CORRIENTE

En realidad, históricamente, las primeras observaciones de campos magnéticos creados por cargas en movimiento tuvieron lugar observando corrientes eléctricas. En 1820, H. C. Oersted, al observar la desviación de la aguja de una brújula colocada cerca de un conductor por el que pasaba una corriente (experiencia de Oersted), concluyó que una co-rriente eléctrica produce un campo magnético cuya dirección es perpendicular a dicha corriente. Como la corriente eléctrica es un flujo de cargas eléctricas que se mueven en una dirección, la conclusión es que cada carga produce un campo magnético. Por tanto, el campo magnético creado por la corriente es la suma de los campos magnéticos producidos por cada una de las par-tículas en movimiento.

A partir de la experiencia de Oersted y tras muchos experimentos efectuados por varios físicos, A. M. Ampè-re y P. Laplace llegaron de manera empírica a la

expresión que proporciona el campo magnético Br

creado por una corriente de intensidad I en un punto P. Éste es el resultado de sumar las aportaciones de todos y cada uno de los elementos de corriente en que podemos dividir el conductor por el que se mueven las cargas eléctricas.

La aportación elemental al campo magnético debida a un elemento de conductor Ldr

por el que

pasa una corriente I es: =Bdr

k’ I 2r

rxLdr


316

donde:

+ Bdr

es el campo magnético elemental creado en P por el elemento Ldr

de conductor por el que circula una corriente I .

+ r es la distancia desde el elemento de conductor Ldr

al punto P; y r es el versor en esa dirección y sentido.

+ k’ es una constante que depende del medio. k’ se expresa mejor como µ/4π , donde µ se denomina permeabilidad magnética del medio. En particular, para el vacío (y para el aire, prácticamente), y en el S.I. vale:

µ0 = 1’25664x10-6 T.m.A-1 = 4π.10-7 T.m.A-1 ⇔ k’0 = µ0/4π = 10-7 T.m.A-1

Así pues, π

µ=

4

0Bdr

I 2r

rxLdr

Segunda ley de Laplace (11)

El campo magnético creado en P por un conductor cualquiera por el que pasa una corriente

I se calcula por integración de (11) extendida a dicho conductor, entendiendo ésta como suma de las aportaciones de cada trozo elemental en que podemos considerar dividido el conductor. O sea:

=Br

πµ4

0 I ∫Conductor

2r

rxLdr

(12)

La segunda ley de Laplace puede ser deducida de la expresión (9), 2

0

4 r

rxv.qB

rr

πµ

= , tomando ésta

como expresión resultante de los experimentos desarrollados a partir de Oersted. La carga dq que atraviesa la sección del conductor en un tiempo dt es dq = I.dt. Esta carga, movién-

dose con velocidad vr

, se encuentra en ese tiempo en el elemento de conductor dt.vLdrr

= .

Por tanto, el campo Bdr

creado por dicha carga dq es, según (9):

π

µ=

4

0Bdr

dq2r

rxvr

= π

µ4

0 I dt 2r

rxvr

= π

µ4

0 I2r

rdtx.vrr

= π

µ4

0 I 2r

rxLdr

C.- CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CORRIENTE RECTILÍNEA INDE-

FINIDA A partir de la experiencia de Oersted, los científicos J. B. Biot y F. Savart consiguen medir el

campo magnético en las proximidades de un conductor rectilíneo, muy largo, por el que circula una corriente eléctrica. Deducen la ley que lleva su nombre y que puede resumirse así:

El campo magnético creado por una corriente rectilínea en un punto es: + proporcional a la intensidad de la corriente. + inversamente proporcional a la distancia del punto a la

corriente. + depende del medio material en el que se encuentran

el conductor y el punto.

O sea, B = R

KI


317

Además: + las líneas del campo magnético son curvas circulares situadas en planos perpendiculares

al conductor y centradas con él. Su sentido, y por tanto el de Br

, viene dado por la Regla de la mano derecha: “Colocando la mano derecha semicerrada, y seña-lando con el dedo pulgar la dirección de la corriente I, los otros dedos señalan el sentido de las líneas del campo.”

La Regla del tornillo es similar: “El sentido de las líneas del campo es el de giro de un tornillo cuando avanza en la dirección de la corriente en el conductor.”

A partir de la segunda ley de Laplace, fórmulas (11) y (12), podemos deducir esta ley de Biot

y Savart. Sea un conductor rectilíneo, muy largo (teóricamente indefinido), por el que fluye una co-

rriente I. Vamos a calcular el campo magnético creado en un punto P, situado a una distancia R del conductor. Elijamos según el conductor y el sentido de la corriente el eje de abscisas X, como señala la figura:

La expresión =Bdr

πµ4

0 I2r

rxldr

conduce a:

dB = π

µ4

0 I2r

sen.dl α=

πµ4

0 I2r

'sen.dx α=

πµ4

0 I2r

cos.dx θ

Además, r =θcos

R y x = R.tgθ ⇒ dx = θ

θd

cos

R2

.

Sustituyendo en dB los valores de dx y r, resulta:

dB = π

µ4

0

R

I cosθ. dθ

Ésta es la aportación del elemento de corriente ldr

al campo magnético total. Como se observa, depende del ángulo θ. Para calcular el campo B, integraremos la expresión anterior desde θ = - π/2 (cuando x = - ∝) hasta θ = + π/2 (cuando x = + ∝):

B = Rπ

µ4

0 I ∫π+

π−

θθ2

2

d.cos = Rπ

µ4

0 I [ ] 2

2

π+π−θsen =

πµ2

0 ( I / R).

O sea, B = π

µ2

0

R

I (13)

La dirección y el sentido de Br

ya fue comentada. Las líneas de campo magnético son cir-cunferencias concéntricas con el conductor, y situadas en planos perpendiculares a él, como se

deduce de la expresión vectorial de Bdr

. Se observa que son líneas cerradas, a diferencia de las líneas de campo eléctrico, que parten de las cargas positivas y mueren en las negativas, siendo líneas abiertas. Esta propiedad de las líneas de campo magnético, de cerrarse sobre sí mismas, es general, cualquiera que sea el conductor.

D.- CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CORRIENTE CIRCULAR en puntos del eje (espira circular)

En muchos dispositivos que utilizan una corriente eléctrica para crear un campo magnético (un electroimán, un transformador, ...) el hilo que soporta la corriente está arrollado en forma de bobina (solenoide). De ahí el interés de estudiar el campo magnético creado por una sola espira de hilo que transporta la corriente. La figura representa una espira circular, de radio R , por la que


318

pasa una corriente I . Situemos los ejes coordenados en el centro O de la espira de modo que ésta se sitúe en el plano YZ, coincidiendo el eje X con el de la espira. Sea P un punto del eje, de abscisa x. Deseamos calcular el campo magnético en él.

Bdr

= π

µ4

0 I 2r

rxLd ˆr

⇒ dB = π

µ4

0 I2r

)2ヾdL.sen(=

πµ4

0 I2r

dL

El vector Bdr

se puede descomponer en las dos direcciones: componente dB|| según el eje OX, y componente dB⊥ en dirección perpendicular a dicho eje:

BdBdrr

= || + Bdr

⊥ donde dB|| = dB senθ y dB⊥ = dB cosθ Por razón de simetría (figura), las componentes dB⊥, sumadas para toda la espira, dan resul-

tante nula. Sólo contribuyen al campo total las componentes dB||. Así pues:

B = ∫Espira

dB || = ∫Espira

dB . senθ = π

µ4

0 I2r

senθ 2πR =

2

0µI

2r

senθR

Teniendo en cuenta que r = (R2 + x2)1/2 y senθ = R/r resulta finalmente:

B = 2

0µI

2322

2

/)xR(

R

+ Y vectorialmente: =B

r

2

0µI

2322

2

/)xR(

R

+ i (14)

En el centro O de la espira (x = 0) el campo magnético vale:

B0 = 2

0µ

R

I Vectorialmente B

r0 =

2

0µ

R

I i (15)

Si en lugar de una sola espira se dispone de una bobina de N espiras, cada una de éstas contribuye en igual medida a la creación del campo. La anterior expresión resulta, para el centro de la bobina:

Br

0 = 2

0µ

R

N I i (16)

Líneas de campo magnético debidas a

una corriente circular

Líneas de campo magnético debidas a una co-

rriente solenoidal


319

5.- CIRCULACIÓN DE UN CAMPO MAGNÉTICO: LEY DE AMPÈRE

Dado un campo vectorial Cr

y una curva cerrada c, la integral ∫c

rd.Crr

se llama circulación

de Cr

a lo largo de la curva c.

Hemos visto que para los campos gravitatorio gr

y eléctrico Er

se verifica:

0=∫c

rd.grr

y 0=∫c

rd.Err

para todo c.

Por ello decíamos que ambos campos son conservativos, procediendo, en consecuencia, de un potencial cada uno: potencial gravitatorio y potencial eléctrico, respectivamente.

Este caso no se da para el campo magnético Br

: El campo magnético no es conservativo. En efecto, volvamos a considerar el campo creado por una corriente rectilínea indefinida. Tome-mos como curva cerrada de integración precisamen-te una línea de campo (circunferencia), y calculemos la anterior circulación:

∫c

rd.Brr

En todo punto de la línea de campo c el módulo del campo magnético tiene el mismo valor,

si bien su dirección es tangente a dicha línea. Por tanto Br

y rdr

son vectores paralelos, por lo que

rd.Brr

= B ds cos0º = B ds

∫c

rd.Brr

= ( ) I2

I0

0

cc

R2R

dsBds.B µ=π⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛πµ

== ∫∫ Así pues: ∫c

rd.Brr

= µ0 I

⇒ La circulación del campo magnético no es nula, sino proporcional a la intensidad de corriente I; además es independiente del radio de la línea de campo elegida como camino de integración. Un análisis más riguroso, que omitimos, indica que cualquiera que sea el camino cerrado c que encierra la corriente I, y cualquiera que sea la forma del conductor de corriente, se verifica la anterior expresión. Más aún, si se dispone de varias corrientes I1, I2, ..., Ii, ..., In, enlazadas por la línea cerrada c, se cumple la denominada Ley de Ampère:

“La circulación de un campo magnético a lo largo de una línea cerrada que en-laza las corrientes I1, I2, ..., Ii, ..., In es

∑∫ = iIr.dB 0µc

rr (17)

donde ∑ iI representa la corriente total neta enlazada por la línea cerrada c.”


320

La aplicación de la ley de Ampère exige asignar un sentido de recorrido de la curva de integración. En virtud de esta elección, tomamos como positivas las corrientes que atraviesan la superficie limitada por c en el sentido de avance de un tornillo que gire de acuerdo con el de reco-rrido de la curva, y negativas las que lo hacen en sentido de avance contrario. En el caso de la figura:

∫c

rd.Brr

= µ0 (I1 – I2 + I 3)

Haciendo uso de la ley de Ampère, puede calcularse cómodamente el campo magnético producido por distribuciones de corriente que gocen de cierta simetría geométrica: el campo mag-nético en el interior de un solenoide recto y largo, o el campo magnético en el interior de un sole-noide toroidal, por ejemplo. 1.- Solenoide toroidal.- Campo magnético creado en su interior. Una bobina toroidal, o solenoide toroidal, consiste en un alambre uniformemente arrollado en un toroide o superficie anular de sección circular. Supongamos que el radio a de la sección toroidal es mucho menor que el radio R del toroide. Sea N el número de vueltas o espiras del alambre conductor, igualmente espaciadas, e I la intensidad de corriente que circula por ellas. La simetría del problema sugiere que las líneas de campo magnético son circunferen-cias concéntricas con el toroide. Consideremos primeramente la línea de campo c, interior al toroide, de radio R, como cami-

no de integración en la aplicación del teorema de Ampère. Entonces, por un lado: ∫c

rd.Brr

= B.2πR

pues Br

y rdr

son vectores paralelos y B tiene el mismo valor en todos los puntos de c (simetría).

Por otro lado, ∑ Ii = N I pues el número de conductores de corriente que atraviesan la superficie

enmarcada de radio R, en el mismo sentido, es el de espiras del toroide, o sea N.

Por tanto: ∫c

rd.Brr

= µ0 ∑ Ii se escribe para este caso: B.2πR = µ0 N I

⇒ B = R

.N I

2

0

πµ

Y si llamamos n ≡ N/2πR al número de espiras del toroide por unidad de longitud, B = µ0 n I. Estas dos expresiones dan el valor del campo magnético creado por la corriente toroidal en el interior del solenoide. Es constante. En el exterior del solenoide, el campo magnético es nulo. En efecto, el propio teorema de Ampère lo prueba, ya que, se tome la curva c’ o c’’ como caminos de integración, la corriente total que atraviesa las superficies que determinan es nula: + en el caso del camino c’’, no hay corrientes. + en el caso de c’, la corriente en cada espira, atraviesa la superficie dos veces y en sentido opuesto.


321

2.- Solenoide recto, muy largo.- Campo magnético en su interior. Calculemos el campo magnético en el inter-ior del solenoide, de N espiras arrolladas en un cilindro de longitud grande frente al diámetro del mismo (al menos, unas cinco veces mayor). El cálculo es válido alejados de los extremos del so-lenoide.

Apliquemos el teorema de Ampère, ∫c

rd.Brr

= µ0∑ Ii,

tomando como camino de integración la curva c. Esta curva es una línea de campo cerrada. Con-sideremos en ella las siguientes partes: interior, AB ≡ L; cercanas a los extremos, DA y BC; exte-rior, CD. El campo magnético sólo tiene valor en el interior del solenoide (valor que buscamos); en el exterior es nulo especialmente en la parte alejada del solenoide; y en las proximidades de sus polos decrece rápidamente, pudiéndose tomar como aproximadamente nulo.

Por tanto, por un lado: ∫c

rd.Brr

= ∫AB

rd.Brr

+ ∫CD

rd.Brr

+ ∫+DABC

rd.Brr

= ∫AB

dr.B + 0 + 0 = B.L

Por otro lado, µ0∑ Ii = µ0 N I.

Así pues, igualando, resulta: B = µ0 L

.N I

Y si llamamos n ≡ N/L al número de espiras por unidad de longitud, del solenoide, B = µ0 n I Si dentro de los solenoides introducimos una barra cilíndrica de hierro o material ferromag-nético (µ >> µ0), el campo magnético que se crea es mucho más intenso. Se tiene entonces un electroimán.

6.- FUERZAS ENTRE CORRIENTES: DEFINICIÓN DE AMPERIO Veamos, a continuación, la interacción entre dos corrientes I1 e I2 que circulan por sendos con-ductores, 1 y 2. Considerémoslos ambos rectilíneos, de longitud L, paralelos y separados una distancia d. En cualquier punto del conductor 2 el campo magnético B1 creado por I1 está dado por (ecuación (13)):

B1 = π

µ2

0

d1I

siendo la dirección de 1Br

la señalada en la figura. La fuerza F2 ejercida por B1 sobre la corriente I2 es (ecuación (5)):

)BxL(F 122 Irrr

= ⇒ F2 = I2 L π

µ2

0

d1I

⇒ F2 = π

µ2

0 L.d

21II

Análogamente, campo magnético creado por I2 en puntos del conductor 1 es: B2 = π

µ2

0

d2I


322

y la fuerza magnética F1 ejercida por B2 sobre la corriente 1 vale: F1 = I1 L B2 = π

µ2

0 L.d

21II

Como se ve, efectivamente las acciones son iguales y opuestas, F1 = F2 ≡ F

F = π

µ2

0 L.d

21II (18)

Estas fuerzas de interacción son tales que “dos corrientes paralelas en el mismo sentido se atraen; si son de sentido contrario, se repelen”, como puede observarse estudiando el sen-

tido de 1Fr

y 2Fr

. (Figura).

La fuerza ejercida entre corrientes eléctricas se utiliza para definir la unidad de intensidad de corriente en el S.I.: el Amperio (A). Esta unidad sustituye al Culombio, unidad de carga eléc-trica, como unidad fundamental, a causa de la facilidad de cálculo y experimentación utilizando el estudio anterior. Escribiendo (17) así:

=L

F

πµ2

0

d21II

y haciendo d = 1 metro y F/L = 2x10-7 N/m, se define el amperio de este modo:

“Dos conductores paralelos, situados a 1 metro de distancia, en el vacío, están reco-rridos por una intensidad de corriente de 1 amperio si se atraen con una fuerza de 2x10-7 newtons por metro de longitud de conductor.”

La balanza de la figura de la página siguiente, balanza de corrientes, es un dispositivo ade-

cuado para realizar experimentalmente la medida de la fuerza ejercida entre dos conductores pa-ralelos. La misma corriente pasa por los dos conductores, de modo que F/L = 2x10-7 I2

/d . Primero se equilibra la balanza cuando no hay corrientes en el circuito. Cuando por éste circula la corrien-te, es necesario agregar pesas en el platillo izquierdo para equilibrar nuevamente la balanza. Usando los valores conocidos de F, L y d, podemos encontrar el valor de I .

Balanza de corrientes, para medir una

corriente en función de la fuerza magné-

tica entre dos conductores paralelos


323

7.- MAGNETIZACIÓN DE LA MATERIA La manifestación más conocida del magnetismo es la fuerza de atracción o repulsión que actúa entre los materiales magnéticos tales como el hierro: los imanes. Sin embargo, en toda la materia se pueden observar efectos más sutiles del magnetismo. Cuando un campo magnético se crea en el seno de un medio material, su intensidad se ve afectada por dicho medio. Decimos en-tonces que éste se ha magnetizado. En el modelo de Bohr, los electrones que giran en torno al núcleo constituyen corrientes eléctricas que son dipolos magnéticos, (de acuerdo con el estudio desarrollado en Tema 13,

nº 3C), de momento dipolar magnético |m| = I S = π e f r2. Además cada electrón presenta un mo-mento dipolar magnético intrínseco asociado a su espín. En definitiva, cada átomo presenta un

momento dipolar total. En presencia de un campo magnético exterior 0Br

se produce la interacción

de estos dipolos con dicho campo, lo que se traduce en una variación de 0Br

.

Estas fuerzas mutuas entre estos momentos de dipolo magnético y su interacción con un campo magnético externo son de importancia fundamental para entender el comportamiento de materiales magnéticos. No entramos en detalles y sólo describiremos las tres categorías de mate-riales: paramagnéticos, diamagnéticos y ferromagnéticos, según la respuesta de los mismos a la acción de un campo externo B0. Esta respuesta depende en parte de los momentos dipolares magnéticos de los átomos del material y en parte de las interacciones entre los átomos. El paramagnetismo ocurre en materiales cuyos átomos tienen momentos dipolares mag-néticos permanentes; no hay diferencia si estos momentos dipolares son del tipo orbital o del tipo de espín. El paramagnetismo nace del alineamiento parcial de los momentos magnéticos molecu-lares (mm) en presencia de un campo magnético externo. Los mm están, en estado normal, orientados al azar. Y en presencia del campo magnético

externo 0Br

los dipolos se alinean parcialmente en la dirección del campo, produciéndose un au-mento del campo (Recuérdese “acción de un campo magnético sobre una espira”). A temperatu-ras ordinarias y con campos externos normales, sólo una fracción muy pequeña se orienta con el

campo, por consiguiente el aumento del campo es muy pequeño: 0'BBrr

µ= donde µ’ es la per-

meabilidad relativa del medio paramagnético, de valor µ’ > 1 pero µ’ ≅ 1 ⇒ BBBrr

≅> 0

Son sustancias paramagnéticas el aire, el platino, el aluminio, el oxígeno, el FeCl3 ... El ferromagnetismo, al igual que el paramagnetismo, se presenta en materiales en los que los átomos tienen momentos dipolares magnéticos permanentes. Lo que distingue a los mate-riales ferromagnéticos de los materiales paramagnéticos es que, en los materiales ferromagnéti-cos, existe una fuerte interacción entre los momentos dipolares atómicos vecinos que los mantie-ne alineados incluso cuando se suprime el campo magnético externo. El que esto ocurra o no depende de la intensidad de los dipolos atómicos y también, pues-to que el campo del dipolo cambia con la distancia, de la separación entre los átomos del material. Los materiales ferromagnéticos más comunes a la temperatura ambiente incluyen a los elementos hierro, cobalto y níquel. Los elementos ferromagnéticos menos comunes, alguno de los cuales muestran su ferromagnetismo sólo a temperaturas mucho menores que la temperatura ambiente, son los elementos de las tierras raras, como el gadolinio y el disprosio. También pueden ser ferromagnéticos los compuestos y las aleaciones, por ejemplo, el CrO2, el ingrediente básico de las cintas magnéticas: es ferromagnético aunque, ninguno de los elementos, cromo u oxígeno, es ferromagnético a temperatura ambiente. Podemos disminuir la efectividad del acoplamiento entre átomos vecinos que causa el fe-rromagnetismo al aumentar la temperatura de una sustancia. A la temperatura a la cual un mate-rial ferromagnético se vuelve paramagnético se le denomina temperatura Curie.


324

La temperatura Curie del hierro, por ejemplo, es de 770 ºC; por encima de esta temperatu-ra, el hierro es paramagnético. La temperatura Curie del metal gadolinio es de 16 ºC; a la tempe-ratura ambiente, el gadolinio es paramagnético, mientras que a temperaturas por debajo de los 16 ºC, el gadolinio se vuelve ferromagnético.

En el caso ferromagnético, 0'BBrr

µ= con 1'>>>µ , a veces µ’ ≈ 4000, 5000, o más. Este hecho justifica por qué en un electroimán, o bobina, u otros casos, se introduce un núcleo de hie-rro: el campo magnético queda así multiplicado por el factor µ’. Diamagnetismo: En 1847, Michael Faraday descubrió que una muestra de bismuto era repelida por un imán potente. A tales sustancias las llamó diamagnéticas. (Por el contrario, las sustancias paramagnéticas son atraídas siempre por un imán). El diamagnetismo se presenta en todos los materiales. Sin embargo, generalmente es un efecto mucho más débil que el paramag-netismo y, por lo tanto, puede observarse más fácilmente sólo en materiales que no sean para-magnéticos. Tales materiales podrían ser aquellos que tienen momentos dipolares magnéticos atómicos de valor cero, originándose quizás en átomos que tienen varios electrones con sus mo-mentos magnéticos orbital y de espín que al sumarse vectorialmente dan un valor cero. (El diarnagnetismo es análogo al efecto de los campos eléctricos inducidos en la electrostática. Un trozo de material no cargado, como el papel, es atraído hacia una barra cargada de cualquier polaridad. Las moléculas del papel no tienen momentos dipolares eléctricos permanentes pero adquieren momentos dipo-lares inducidos por la acción del campo eléctrico, y estos momentos inducidos pueden entonces ser atraídos por el campo). En los materiales diamagnéticos, los átomos que no tienen momentos dipolares magnéti-cos permanentes adquieren momentos dipolares inducidos cuando están situados dentro de un campo magnético externo. Consideremos que los electrones que giran en un átomo se comporten como espiras de corriente. Cuando se aplica un campo externo B0, el flujo a través del anillo cam-bia. Según la ley de Lenz, el movimiento debe cambiar de manera tal que un campo inducido se oponga a este aumento en el flujo. En definitiva, pues, en el medio diamagnético el campo magné-

tico decrece, bien que muy poco. 0'BBrr

µ= donde µ’ < 1 es la permeabilidad relativa del medio

diamagnético, de valor µ’ < 1 pero µ’ ≅ 1 ⇒ BBBrr

≅< 0 Son sustancias claramente diamagnéticas el bismuto, el cobre, mercurio, plomo, agua, hidrógeno, entre otras muchas. (Si quisiéramos traer un solo átomo de un material como el bismuto cerca del polo norte de un imán, el campo (que apunta alejándose del polo norte) tiende a aumentar el flujo a través de la espira de corriente que representa al electrón circulando en torno al núcleo de bismuto. De acuerdo con la ley de inducción de Lenz, en la espira debe aparecer una corriente que origine un campo inducido apuntando en la dirección opuesta al campo de imán (o sea, dirigida hacia el polo N del imán). La espira es así un imán elemental situado con su polo N más cercano al polo N del imán. Los dos imanes pues se repelen entre sí, y el átomo de bismuto es rechazado por el imán inicial. Este efecto ocurre sin importar cuál sea el sentido de la rotación de la órbita original, de modo que, en un material diamagnético, la magnetización se opone al campo aplicado).


325

8.- DIFERENCIAS ENTRE LOS CAMPOS ELÉCTRICO Y MAGNÉTICO

CAMPO ELÉCTRICO CAMPO MAGNÉTICO 1.- Es una perturbación del medio originada por cargas eléctricas, tanto en reposo como en movimiento.

1.- Es una perturbación del medio originada por cargas eléctricas en movimiento.

2.- Es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.

2.- Depende de la distancia y de la orientación.

3.- Es un campo de fuerzas centrales.

3.- No es un campo de fuerzas centrales.

4.- Las fuerzas eléctricas tienen la misma di-rección que el campo.

4.- Las fuerzas magnéticas son perpendicula-res al campo.

5.- Una carga eléctrica siempre experimenta la acción de un campo eléctrico.

5.- Una carga eléctrica experimenta la acción de un campo magnético solamente cuando se mueve en una dirección diferente a la del cam-po.

6.- Las líneas del campo eléctrico son abiertas.

6.- Las líneas del campo magnético son siem-pre cerradas.

7.- Pueden existir cargas eléctricas aisladas.

7.- No existen polos magnéticos aislados.

8.- El campo eléctrico es conservativo, por lo cual se puede definir una función potencial.

8.- El campo magnético no es conservativo, por lo cual no tiene sentido definir una función po-tencial.

9.- La intensidad de la interacción eléctrica de-pende del medio, siendo mayor en el vacío que en los medios materiales.

9.- La intensidad de la interacción magnética depende del medio pero, según el tipo de mate-rial, puede ser mayor o menos que en el vacío.


326

ANALOGÍAS Y DIFERENCIAS ENTRE LOS CAMPOS GRAVITATORIO, ELÉCTRICO Y MAGNÉTICO CAMPO GRAVITATORIO CAMPO ELÉCTRICO CAMPO MAGNÉTICO

1.- Es un campo de fuerzas que actúa sobre cuerpos ma-teriales por el hecho de tener masa.

1.- Es un campo de fuerzas que actúa sobre cuerpos con cargas eléctricas.

1.- Es un campo de fuerzas que actúa sobre cuerpos con cargas eléctricas en movimien-to.

2.- La fuerza ejercida es pro-porcional a la masa sobre la que actúa.

2.- La fuerza ejercida es pro-porcional a la carga eléctrica sobre la que actúa.

2.- La fuerza ejercida es pro-porcional a la carga eléctrica sobre la que actúa.

3.- La fuerza gravitatoria es siempre de atracción.

3.- La fuerza eléctrica puede ser de atracción o de repul-sión.

3.- En general, no se puede afirmar que el sentido de la fuerza magnética sea ni de atracción ni de repulsión.

4.- El campo queda definido en cada punto por el vector

m

Fg

rr=

4.- El campo queda definido en cada punto por el vector

q

FE

rr=

4.- El campo queda definido

en cada punto por el vector Br

tal que

)( BxvqFrrr

=

5.- La intensidad del campo gravitatorio debido a una masa puntual es inversamente pro-porcional al cuadrado de la

distancia: rr

mGg ˆ

2−=

r

5.- La intensidad del campo eléctrico debido a una carga puntual es inversamente pro-porcional al cuadrado de la

distancia: rr

qkE ˆ

2=

r

5.- El campo magnético debido a un elemento conductor por el que circula una corriente eléc-trica I es inversamente propor-cional al cuadrado de la dis-

tancia: 2

0ˆ

4 r

rxLdIBd

rr

πµ

=

6.- La constante G es una constante universal, no de-pendiente de los medios.

6.- La constante electrostática k tiene un valor diferente se-gún el medio.

6.- La permeabilidad magnéti-ca µ depende del medio.

7.- Es un campo de fuerzas conservativo.

7.- Es un campo de fuerzas conservativo.

7.- Es un campo de fuerzas no conservativo.

8.- Se puede definir un poten-cial gravitatorio.

8.- Se puede definir un poten-cial eléctrico.

8.- No tiene sentido definir un potencial magnético.


327

9.- El potencial gravitatorio V en un punto es la energía po-tencial gravitatoria de la uni-dad de masa en ese punto: Ep = m V

9.- El potencial eléctrico V en un punto es la energía poten-cial eléctrica de la unidad posi-tiva de carga en ese punto: Ep = q V

9.- Sin sentido.

10.- El potencial gravitatorio V en un punto debido a una ma-sa puntual es inversamente proporcional a la distancia:

V = –Gr

m

10.- El potencial eléctrico V en un punto debido a una carga puntual es inversamente pro-porcional a la distancia:

V = kr

q

10.- Sin sentido.

11.- Las líneas de campo gra-vitatorio son abiertas: nacen en el infinito y mueren el las masas.

11.- Las líneas de campo eléc-trico son abiertas: nacen en el infinito y en las cargas positi-vas y mueren en el infinito y en las cargas negativas.

11.- Las líneas de campo magnético son cerradas.


328

ACTIVIDADES DESARROLLADAS 1.- Hallar el radio de la trayectoria circular que describe una partícula α en el seno de un campo magnético de 0’5 mT, si su velocidad es de 2x105 m/s, perpendicular al campo. Se supone, para la partícula α, que mp ≈ mn ≡ m = 1’67x10-27kg y e = 1’6x10-19 C.

Una partícula α es un núcleo de helio, +24

2He , por lo que:

masa, m = 2mp + 2mn ≅ 4mp carga, q = 2e

La fuerza magnética sobre ella vale: )Bxv(qFrrr

= → F = q v B

Esta fuerza es siempre perpendicular a la trayectoria ( vFrr

⊥ ), por lo que producirá una aceleración

centrípeta an = R

v 2

, y la trayectoria deberá ser una circunferencia. Su radio lo obtenemos a partir

de la 2ª ley de Newton: F = m. an → q v B = m R

v 2

→ R = B.e

vm

B..e

vm

B.q

v.m pp 2

2

4==

R = 319

527

10501061

102106712−−

−

x'xx'

xxx'x = 8’35 metros de radio

2.- En una región del espacio coexisten un campo eléctrico y otro magnético, perpendicula-res entre sí, y de intensidades E y B respectivamente. A pesar de ello, una partícula con carga q se mueve en línea recta con velocidad constante. Calcular cuál debe ser su módulo, dirección y sentido. a) Supongamos un caso sencillo en el que la partí-cula entra en la región de los campos perpendicu-larmente a ellos. Para que no se desvíe de su tra-yectoria recta es preciso que la fuerza eléctrica r rF qEe = contrarreste a la magnética

r r rF q vxBm = ( ) ,

siendo ambas iguales y de sentido contrario En la figura se dibuja el caso q > 0. r rF Fe m= − → Fe = Fm → q E = q v B

⇒ v = E

B

b) En el caso más general, supongamos que la partícula penetra en la región de los campos con

una velocidad cualquiera, rv v i v j v kx y z= + +. $ . $ . $ Sean los campos k.EE −=

r y i.BB −=

r, eligiendo

un sistema de coordenadas habitual (como en la figura). Entonces la expresión r rF Fe m= − se es-

cribe:

- q.E k = - q

00B

vvv

kji

zyx

− ⇒ E k = - vz B j + vy B k ⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

=

0z

y

x

vB

Ev

arbitrariov

que significa que, para que no haya desviación de la partícula por los campos cruzados, es preci-so que su velocidad sea perpendicular al campo eléctrico (vz = 0) y que su componente según la dirección perpendicular al campo magnético sea precisamente vy = E / B . En cuanto a la compo-nente en la dirección del campo magnético, vx, puede tomar cualquier valor.


329

3.- Una varilla de 140 g de masa y 30 cm de longitud descansa en una superficie horizontal, y circula por ella una corriente de 24 A. Se aplica un campo magnético vertical cuya inten-sidad va creciendo; cuando alcanza el valor de 60 militeslas, la varilla empieza a deslizarse por la superficie. Determinar: a) el coeficiente estático de rozamiento varilla-superficie. - b) el trabajo que realiza la fuerza debida al campo magnético para desplazar la varilla una dis-tancia de 1’5 m. - c) el aumento de energía cinética en ese desplazamiento si el campo magnético se hace tres veces más intenso.

a) Fuerzas: r r rF l xBm = I( ) → Fm = I l B

gmFg

rr=

gmFN g

rrr== → N = mg

rozFr

(rozamiento estático; en el

límite, lim Froz = µe N = µe mg) En el momento en el que se rompe el equilibrio y comienza el movimiento:

Fm = lim Froz → I l B = µe mg

→ µe = IlB

mg= =

819140

0603024

'x'

'x'x0’31

b) Trabajo de la fuerza magnética: W = =∆x.Fm

rrI l B ∆x = 24x0'3x0’06x1’5 = 0’648 julios

c) Se supone que el coeficiente de rozamiento dinámico es igual a µe. Entonces Froz = µemg = I l B Fm → F’m = 3 I l B . La resultante de las fuerzas es F = F’m – Froz = 3 I l B - I l B = 2 I l B. El trabajo de esta resultante es igual a la variación de la energía cinética de la varilla, ∆Ec = Wneto = F . ∆x = 2 I l B ∆x = 1’296 julios 4.- El campo eléctrico entre las placas del selec-tor de velocidades de un espectrógrafo de ma-sas de Bainbridge es 1’2x105 V m-1 y ambos campos magnéticos son de 0’60 T. Un haz de iones de azufre con carga +e se desdobla en dos trayectorias circulares, de 11’76 y 11’06 cm de radio respectivamente, en el campo magnéti-co. Determinar a qué isótopos corresponden. E = 1’2x105 V.m-1 B = 0’6 T q = e = 1’6x10-19 C El selector de velocidades consigue que sólo pasen por el diafragma S3 los iones con una velocidad dada:

v = B

E= 5

5

10260

1021x

'

x'= m/s

En la 2ª región del campo magnético los iones S+ que pasaron experimentan desviaciones según dos trayectorias circulares de radios R1 y R2, correspondiendo a diferentes masas de los iones S+, m1 y m2

.


330

Se verificará para cada caso:

F = m.an → q v B = m v2/R → m = E

R.B.e

BE

R.B.e

v

R.B.q 2

==

Para los iones de masa m1: m1 = 5

22191

2

1021

107611601061

x'

x'x'xx'

E

R.B.e −−

= = 5’665x10-26 kg =

= 5’665x10-23 g = 5’665x10-23 g x 6’02x1023 u/g = 33’9817 u Corresponde al isótopo .S3416

Para los iones de masa m2: m2 = 5

22192

2

1021

100611601061

x'

x'x'xx'

E

R.B.e −−

= = 5’3088x10-26 kg =

= 5’3088x10-23 g = 5’3088x10-23 g x 6’02x1023 u/g = 31’9590 u Corresponde al isótopo .S3216

5.- Experimento de J.J.Thomson.- Un fino haz de electrones, procedente de una descarga disruptiva, penetra horizontalmente en la región de dos campos, eléctrico y magnético, cru-zados entre sí. La trayectoria del haz incidente es perpendicular a ambos campos. El campo eléctrico está producido por un condensador plano (longitud de las armadu-ras, a = 1 cm; distancia entre ellas, b = 0’5 cm; diferencia de potencial, ∆V = 100 voltios. El haz incide, tras la región de los campos, en una pantalla fluorescente situada a L = 80 cm de ellos. Cuando actúa únicamente el campo eléctrico, el haz se desvía d = 5,1 cm, medidos en la pantalla. Se aplica a continuación el campo magnético progresivamente creciente, consi-guiendo corregir la desviación anterior para un valor de dicho campo, B = 0,85 mT. Hallar la relación carga-masa, e/m, o carga específica de los electrones. Trayectoria del haz de electrones dentro del recinto de acción del campo eléctrico, suponiendo que sólo actúa dicho campo.- y(x)

y = ½ ay t2 ∧ ay = F/m = e E / m ∧ E = ∆V / b ∧ x = v t ⇒ y = 2

2 2x.

b.

V

v.m

e ∆

La desviación del haz, a la salida de este recinto, se obtiene calculando y para x = a, resultando:

y0 = Vb.

a

v.m

e∆

2

2

2

La desviación angular β del haz, debida al campo eléctrico, se obtiene a partir de las componentes de la velocidad, a la salida:

tg β = Vb

a

v.m

eaE

v.m

e

v

)v/a)(meE(

v

t.a

v

v y

x

y ∆====22


331

La desviación del haz d, medida en la pantalla (punto O’), viene dada por:

d = L.tg β = Vb

La

v.m

e∆

2

Aplicamos a continuación, el campo magnético. Veamos cuál debe ser su valor para que las partí-culas del haz no se desvíen: la acción del campo magnético ha de contrarrestar la del campo eléc-trico, con lo que la señal del haz vuelve al punto O de la pantalla:

Fm = Fe → e v B = e E → B = E / v ⇔ v = E / B = B.b

V∆

Por tanto, sustituyendo este valor de la velocidad en la expresión de la desviación, se llega a:

d = b.a.LV

B

m

e

∆

2

⇒ 2B

V

b.a.L

d

m

e ∆= =

2310850

100

005001080

0510

)x'('x'x'

'−

= 1’765x1011 C/kg

6.- Por un alambre de cobre, situado en el ecuador terrestre y paralelamente a él, pasa una corriente que lo mantiene flotando por la acción del magnetismo terrestre. Determínese dicha intensidad. - Datos: Densidad lineal de masa del conductor, λ = 8 g/m; componente horizontal del campo magnético, B = 5x10-5 T. “... lo mantiene flotando...” significa que el conductor se encuentra en equilibrio, bajo la acción de la fuer-za gravitatoria (su peso) en sentido vertical hacia abajo y la fuerza magnética que ha de ejercerse verticalmente hacia arriba. Entonces:

Fm = Fg → I l B = m g → I B.l

g.m=

y puesto que m = λ.l, resulta en definitiva:

I = B

g.λ=

5

3

105

809108−

−

x

'xx= 1568 amperios

7.- Hallar la intensidad del campo mag-nético producido por dos corrientes rectilíneas, paralelas, indefinidas y de sentidos opuestos, de intensidades I1 = 2 A e I2 = 3 A, en los puntos M y N de la figura, siendo a = 10 cm.

En M: =+=+=+= j).BB(j.Bj.BBBB MMMMMMM 212121

rrr= (

a.πµ

2

0 I1 + a.π

µ2

0 I2). j =

=a.π

µ2

0 (I1 + I2). j = 57

103210

102 −−

=+ )(,

xj teslas.


332

En N:

=−=+=+= j).BB(j.Bj.BBBB NNNNNNN 212121

rrr

= (a.32

0

πµ

I1 -a.π

µ2

0 I2). j =a.π

µ2

0 (3

1I1 – I2). j =

= 67

1067433

2

10

102 −−

−=− x,)(,

xj teslas

8.- Hallar la intensidad del campo magnético en el centro de dos espiras circulares concén-tricas situadas en planos perpendiculares, de 2 m y 3 m de radio, por las que pasan corrien-tes de 12 A y 15 A, respectivamente.

1

021210

2 R.i.Bk.BBBB

µ=−=+=

rrrI1. k -

2

0

2 R.

µI 2. i =

= 2πx10-7x k2

12 - 2πx10-7x i

3

15=

= 6’283x10-7(- 5 i +6 k ) teslas O bien: B0 = 4’91x10-6 teslas

α= arc tg5

6= 55’194º = 50º 11’ 40’’

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Campo Magnético - Carlos Alberto Vara magnético, del mismo modo que en torno a una car-ga eléctrica se establece un campo eléctrico. Pero no sólo los imanes son capaces de crear