CAMPO MAGNÉTICO (III)

Magnetismo en la materia

Campo Magnético

Magnetismo en la materia

v Los átomos tienen momentos dipolares magnéticos debido al movimiento de sus electrones y al momento dipolar magnético intrínseco asociado al espin de los electrones

vEn un material magnéticamente polarizado, los dipolos crean un campo magnético paralelo a los vectores del momento dipolar magnético

v Paramagnéticos

vDiamagnéticos

vFerromagnéticos

Clasificación de materiales atendiendo a comportamiento de sus momentos magnéticos

en un campo externo

vParamagnetismo: surge de la alineación parcial de momentos magnéticos atómicos o moleculares en presencia de un campo magnético externo. Los momentos dipolares no interaccionan fuertemente entre sí.

vFerromagnetismo: los momentos dipolares interactúan fuertemente entre sí. Se puede conseguir una gran alineación de dipolos magnéticos incluso con campos externos débiles.

vDiamagnetismo: surge de los momentos dipolares magnéticos orbitales inducidos por un campo magnético externo. Los momentos inducidos son opuestos al campo externo y debilitan el campo total. Este efecto ocurre en todos los materiales pero como los momentos inducidos son pequeños respecto a los momentos magnéticos permanentes, el diamagnetismo está enmascarado por los efectos paramagnéticos o ferromagnéticos.

Campo Magnético Imantación y susceptibilidad magnética

Cuando se sitúa un material en B, los momentos magnéticos tienden a alinearse El material se magnetiza

dVdmM = Imantación : momento dipolar por unidad de volumen

Corriente superficial

dldi

AdlAdi

dVdm

===M

Campo creado por un solenoide:

nIB 0m=

nI: corriente por unidad de longitud

Ejemplo, cilindro con imantación uniforme

Efecto macroscópico, corriente superficial

Campo creado en el material imantado (por analogía):

MBm 0m=

Campo Magnético Imantación y susceptibilidad magnética

Materiales paramagnéticos y ferromagnéticos:

MBB ap 0m+=

Campo magnético en el material:

apBM //

Situando un material magnético en un solenoide y

aplicando un campo Bap

Materiales diamagnéticos

M se opone a Bap

)()( 00 MJJJB ´Ñ+=+=´Ñ mm M

En presencia de un material magnético

JMB=÷÷

ø

öççè

æ-´Ñ

0mMBH -=

0mVector intensidad de campo magnético

HM mc= HHMHB mcmm =+=+= )1()( 00 m

Medios lineales e isótropos

)1(0 mcmm +=mc : Susceptibilidad magnética : Permeabilidad magnética

(A/m)

Campo Magnético

HM mc= mr cm +=1

Diamagnético: 1£rm 1<<mc

Paramagnético: 1³rm 10 <<< mc

Ferromagnético: 1>>rm 1>>mc

Ciclo de histéresis

6

H

M

Campo magnético aplicado

Imanación del material

Material imanado hasta saturación por alineación

de dominios

El material ferromagnético sigue una curva no lineal cuando se

imana desde campo cero

El ciclo de histéresis muestra que la imanación de un material ferromagnético depende de su

historia previa. Una vez se ha llevado el material a saturación el campo aplicado H puede ser

reducido a cero pero el material retiene buena parte de su imanación (“recuerda su historia”).

Cuando el campo magnético aplicado cae a cero, sigue existiendo magnetismo remanente (esto tiene utilidad para

almacenamiento magnético de datos)

El campo magnético aplicado debe invertirse y alcanzar un valor llamado

campo coercitivo para que la imanación vuelva a ser nula

Saturación en sentido opuesto

HISTÉRESIS MAGNÉTICA

En el eje de ordenadas puede representarse bien la imanación M o bien el campo B

INTRODUCCIÓN

7

Líneas de campo B

MBHr

rr

-=0m

Líneas de campo H

0mBr

Hr

Hr

Mr

0mBr

En el espacio libre

Dentro del material ferromagnético

MATERIALES FERROMAGNÉTICOS. LÍNEAS DE CAMPO

Mr

INTRODUCCIÓN (2)

8

ESFERA FERROMAGNÉTICA UNIFORMEMENTE IMANADA

zuMM rr0=Imanación

Z

MRmrr 3

34p=

R

q

r

( )qq q sincos23 3

30 uurRMH re

rrr+=

( )3

sincos3

0 MuuMH ri

rrrr

-=+-= qq q

( ) MMMHMB iir

rrrrr

000 32

3mmm =÷÷

ø

öççè

æ-=+=

( )qqm q sincos23 3

30

0 uurRMB re

rrr+=

Fuera de la esfera uniformemente imanada

El mismo campo que produciría un dipolo magnético centrado en la esfera MRm

rr 3

34p=

Dentro de la esfera uniformemente imanada

Campos uniformes. El campo H tiene sentido opuesto a la imanación (campo desimanador)

INTRODUCCIÓN (3)

9

Magnetismo

Electricidad

y

Líneas de campo Br

Líneas de campo Hr

Z Z

zuMM rr0=Imanación

ESFERA FERROMAGNÉTICA UNIFORMEMENTE IMANADA (Cont)

INTRODUCCIÓN (4)

10

Dos conductores indefinidos coaxiales de radios a y b transportan corrientes iguales +I y –I (igual magnitud y sentidos contrarios). En un sector del volumen comprendido entre ambos existe un material lineal de permeabilidad m, subtendidendo un ángulo q (véase corte transversal en la figura). Se pide:

PROBLEMA 1

a) Los campos H y B entre ambos conductores si no existiese entre ellos ningún material magnético. b) Los campos H, B y M en la situación planteada en el enunciado.

a

b q m

Si no existiese ningún material magnético

r

Ampère: IldH =òrr

ldr

Hr

Suponemos saliente la corriente del

conductor interno

a

b

jpu

rIH rr

2=

jpm u

rIB rr

20=

( ) IrHrH =+- 20 qqp

Existiendo material magnético

a

b

q m

r ldr

0Hr

ldr

Hr

IldH =òrr

Las componentes del campo B normales a las superficies de separación de ambos medios han de ser continuas.

q

m juBn

r

juBnr

0

nn BB =0

HH mm =00

000 HBn m= HBn m=

11

HH mm =00

( ) IrHrH =+- 20 qqp( ) IrHrH =+- 2 0

00 q

mmqp ( )( ) r

IH 2 0

0 qmqpmm

+-=

( )( ) jqmqpmm u

rIH rr

2 00 +-

=( )( ) jqmqpm

m ur

IH rr

2 0

0

+-=

000 HBrr

m= ( )( ) jqmqpmmm u

rI r

2 0

0

+-= HB

rrm= ( )( ) jqmqpm

mm ur

I r

2 0

0

+-=

El campo B es el mismo en ambos casos

Imanación en el material magnético

MBHr

rr

-=0m

HBMr

rr

-=0m

( )( )( ) jqmqpm

mm ur

IM rr

2 0

0

+--

=

PROBLEMA 1 (Continuación)

12

r1

a b

I

Un filamento rectilíneo indefinido que transporta una corriente I es el eje de un tubo cilíndrico también indefinido, de radios interior y exterior a y b respectivamente, hecho de un material magnético lineal de permeabilidad relativa mr. Determine:

PROBLEMA 2

a) Los campos H, B y M alrededor del filamento. b) Las corrientes de imanación en el tubo.

Cálculo de los campos: se distinguen tres regiones alrededor del filamento

Región 1. r1 < a Aplicamos el teorema de Ampère a una circunferencia centrada en el hilo de radio r1

IldH =òrr

1

jur

Por la simetría del problema, el campo H está en cada punto en la dirección del unitario jur

IrH =× 11 2p jpu

rIH rr

11 2

= jpmm u

rIHB rrr

1

0101 2

==

01 =Mr

Región 2. a £ r2 £ b r2

1. r1 < a 2. a £ r2 £ b 3. r3 > b

Dentro del material magnético

IldH =òrr

2 IrH =× 22 2p

jpmmmm u

rIHB r

rrrr

2

0202 2

==

jpu

rIH rr

22 2

=

20

22 MBH

rr

r-=

m

( )jp

m ur

IM r rr

22 2

1-=

13

a b

r1

r2

r3

I

Región 3. r3 > b

PROBLEMA 2 (Continuación)

jur

IldH =òrr

3

IrH =× 33 2p jpu

rIH rr

33 2

=

jpmm u

rIHB rrr

3

0303 2

== 03 =Mr

Corrientes de imanación MJmrr

´Ñ=

nm uMK rrr´=

(A/m2)

(A/m)

( )÷÷ø

öççè

æ¶

¶-

¶¶

+÷øö

çèæ

¶¶

-¶

¶+÷÷

ø

öççè

æ¶

¶-

¶¶

=´Ñjj

jj

j rz

zrzr

Mr

rMr

ur

Mz

Muz

MMr

uM 11 rrrr

( )2

22 21)(r

IrfM r

pm

j-

==Véase que en la región 2 la forma de M es

02 =rM 02 =zM

Los términos tachados con aspa son nulos porque M2 no tiene componentes r ni z.

El término tachado con flecha inclinada a la derecha es nulo porque la derivada de M2j respecto a z es cero.

El término tachado con flecha inclinada a la izquierda es nulo porque rM2j es constante y su derivada respecto a r es cero.

Véase que 0=´Ñ= MJmrr

No hay corrientes volumétricas de imanación

14

PROBLEMA 2 (Continuación)

Densidades de corrientes superficiales de imanación nm uMK rrr´=

a b

I

En r2 = a rn uu rr -=

( ) ( )rr

narm uua

IuarMK rrrrr-´

-=´==

= jpm

21)( 22

2

( )z

r ua

I r

21

pm -

=

rur-jur

zur

Sobre la cara interna r2 = a

rurjur

zur-

Sobre la cara externa r2 = b

En r2 = b rn uu rr =

( )r

rnbrm uu

bIubrMK rrrrr

´-

=´=== jp

m 21)( 22

2

( ) ( )zr u

bI r-

-=

21

pm

Corrientes de imanación

Superficie interna ( ) ( )Ia

IaaI rr

m 1 21 2)( -=

-×= m

pmp

Superficie externa ( ) ( )Ia

IbaI rr

m 1 2

1 2)( --=úûù

êëé --

×= mp

mp

Pregunta adicional: ¿podrían obtenerse los valores de los campos B2 y B3 usando el resultado recién obtenido?

15

d

R NIldH =ò

rr ( ) NIdHdRH dm =+-p2

mBr

dBr

0 =ò SdBrr

md HH mm =0

Un toroide de material magnético lineal de permeabilidad mr = 100 tiene un radio medio R = 20 cm. El toroide tiene un entrehierro d = 1 cm y un bobinado de 500 espiras, por el que se hace circular una corriente de 1075 mA. Determine los campos B y H en el entrehierro.

PROBLEMA 3

N = 500

I = 1.075 A

Ecuación campo H

Los campos H y B están confinados en el interior del material y en el entrehierro, por la simetría del problema sus direcciones son tangentes a la circunferencia en todos los puntos de la misma.

material entrehierro

Ecuación campo B

En las paredes laterales del tubo el flujo de B es nulo, sólo hay flujo en las bases. Por tanto la condición de flujo nulo a través de la superficie cerrada da: md BB =

( ) NIdHdRH dm =+-p2

dmrm HHH 00 mmmm ==

( ) NIdHdRH mrm =+- mp2

( )dRNIH

rm 12 -+

=mp

( )dRNIHHH

r

rmrmd 120 -+

===mp

mmmm

( )dRNIHB

rdd 120 -+

==mp

mm

A/m 23925=

T 030.0=

B

B

B

H

H

H md BB =

16

a

R

MATERIAL LINEAL

MATERIAL FERROMAGNÉTICO

Un circuito magnético consiste en un toroide de radio medio R y sección recta S formado por dos sectores: 1. Un material ferromagnético imanado que cubre un ángulo a, y cuya curva de desimanación se presenta en la figura adjunta, y 2. El resto del toroide formado por material magnéticamente lineal cuya permeabilidad relativa es mr. Usando los valores numéricos dados en el apartado de datos, determine la imanación de los dos materiales.

S

-0,06 -0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0,000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

B (T

)

m0 H (T)

Datos: a = 30º; mr = 100; R = 20 cm

PROBLEMA 4

17

Ecuaciones del circuito magnético (para H y para B)

0 =ò ldHrr

(La trayectoria de integración para H es la línea punteada de radio igual al radio medio R)

MATERIAL LINEAL

a

R

MATERIAL FERROMAGNÉTICO

S

Datos: a = 60º; mr = 100; R = 20 cm

( ) 020 =+- RHRH faap Subíndice 0 para el material lineal; subíndice f para el ferromagnético

0Hr

fHr

0Hr

0Br

fBr

0Br

0BBf = El campo B no tiene discontinuidades al pasar de un material a otro

apa

--=

20fH

H

0 =ò SdBrr

Relación entre H0 y B0 en el material lineal

000 HB rmm=ap

amm

--=

20f

rH

apa

mm-

-==200

frf

HBB

apam

m --=

20

r

f

f

HB

Relación entre Bf y Hf en el material ferromagnético

Esta es una relación lineal donde Bf se expresa en función de m0Hf, y el punto de corte de la misma con la curva de desimanación nos permitirá calcular la imanación del material ferromagnético (véase transparencia siguiente).

Valor numérico (véase que es independiente de R) 203/23/100

0-=

-×

-=ppp

m f

f

HB

PROBLEMA 4 (Continuación)

18

( )ff HB 020 m-=

-0,06 -0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0,000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

B (T

)

m0 H (T)

(0, 0)

(-0.05, 1)

-0.044 T

0.89 T

T 044.00 -=fHm

A/m 1050.3104044.0 4

7 ×-=×

-= -pfH

ff

f MB

Hr

rr

-=0m f

ff H

BM

rr

r-=

0m

A/m 1043.71050.310489.0 44

7 ×=×+×

= -pfM

000 HBB rf mm==0

00 mmr

BH =

A/m 1008.7104100

89.0 370 ×=

××= -p

H

00

00 MBH

rr

r-=

m 00

00 HBM -=

mA/m 1001.71008.7

10489.0 53

7 ×=×-×

= -p

PROBLEMA 4 (Continuación)

Material cm a 20 ºC µr Aluminio 2,3·10-5 1,000023 Bismuto -1,66·10-5 0,9999834 Cobre -0,98·10-5 0,9999902 Diamante -2,2·10-5 0,999978 Oro -3,6·10-5 0,999964 Magnesio 1,2·10-5 1,000012 Mercurio -3,2·10-5 0,999968 Plata -2,6·10-5 0,999974 Sodio -0,24·10-5 0,9999976 Titanio 7,06·10-5 1,0000706 Wolframio 6,8·10-5 1,000068 Hidrógeno(1 atm) -9,9·10-9 0,99999999 Dióxido de carbono (1 atm) -2,3·10-9 1 Nitrógeno (1 atm) -5,0·10-9 1 Oxígeno (1 atm) 2090·10-9 1,00000209

ENERGÍA MAGNÉTICA.

Debido a que la fem inducida por un inductor evita que una batería

establezca una corriente instantánea, la batería tiene que efectuar

trabajo contra el inductor para crear una corriente.

Parte de la energía suministrada por la batería se convierte en calor

que se disipa en el resistor, en tanto que la energía restante se

almacena en el inductor. Para calcular la energía almacenada en un

inductor lo podemos hacer mediante la siguiente ecuación.

UB=1/2LI2

• Donde UB= energía asociada a un inductor en Joules.

• L= inductancia en Henrys. • I = intensidad de corriente del circuito en

Amperes (A).

𝑈𝐵 =12𝐿𝐼2

• Problemas (muy) simples para fijar ideas

Problemas de energía asociada a un campo magnético.

• 1.- Determinar la energía almacenada por un toroide de 10 mil vueltas, con una longitud media de 2 metros y un área de sección transversal de 20 cm2, si la corriente que entra al toroide es de 20 amperes.

• Datos Fórmulas Sustitución • UB=? L=μoN2A L=12.56x10-7 Tm/Ax • N=10000 l 100002x0.00024 m2. • A=0.20 m2. UB=1/2LI2. 2 m • μo=12.56x10-7 Tm/A L=0.1256 • l=2 metros • l=20 A UB=(0.5)(0.1256) (20 A)2.

» UB= 25.12 Joules

Problemas

• 2.- Dos inductores L1= 85 μH y L2=200 μH se conectan en un circuito que suministra una corriente de 850 miliamperes. Calcule la energía almacenada en cada inductor.

• Datos Fórmula Sustitución. • UB1=? UB=1/2LI2. UB1=0.5x85x10- 6Hx

(850x10-3 A)2.

• UB2=? UB1= 3.07 x10-5 Joules. • L1= 85x10-6 H UB2=0.5x200x10-6 Hx(850x10-3 A)2

• L2= 200x10-6 H UB2= 7.225x10-5 Joules • I = 850x10-3 A

• 2.- Dos inductores L1= 85 μH y L2=200 μH se conectan en un circuito que suministra una corriente de 850 miliamperes. Calcule la energía almacenada en cada inductor.

• Datos Fórmula Sustitución. • UB1=? UB=1/2LI2. UB1=0.5x85x10- 6Hx

(850x10-3 A)2.

• UB2=? UB1= 3.07 x10-5 Joules. • L1= 85x10-6 H UB2=0.5x200x10-6 Hx(850x10-3 A)2

• L2= 200x10-6 H UB2= 7.225x10-5 Joules • I = 850x10-3 A

Problemas

• 3.- Un solenoide de núcleo de aire con 68 vueltas mide 8 cm de largo y tiene un diámetro de 1.2 cm. ¿Cuánta energía se almacena en su campo magnético cuando conduce una corriente de 0.77 amperes?.

• Datos Fórmulas Sustitución • UB=? A = πr2. • A = 3.14 x (0.006 m)2. = 1.13 x 10-4 m2.

L=μoN2A L=12.56x10-7 Tm/Ax • N = 68 l 682x 1.13 x 10-4 m2. • Ф= 0.012 m. 0.08 m • r = 0.006 m . UB=1/2LI2. • μo=12.56x10-7 Tm/A L= 8.2 x 10-6 Henrys. • l = 0.08 m • I = 20 A UB=(0.5)(8.2 x 10-6 Henrys) (0.77 A)2. • UB= 2.44 μJ.

Problemas

• 4. Una batería de 10 volts, un resistor de 5 Ω y un inductor de 10 henrys se conectan en serie. Calcular la energía almacenada en el campo magnético del inductor.

• Fórmulas: I = V/R • UB =1/2LI2. • Sustitución y resultado: • I = 10 V/5 Ω = 2 A. • UB = 0.5 x 10 H x (2 A)2. =20 Joules.

• 5. Un circuito está constituido por una batería de 24 volts, una resistencia de 8 Ω y un inductor de 4 henrys. ¿Cuánta energía se almacena en el inductor?

• Fórmulas: I = V/R • UB =1/2LI2. • Sustitución y resultado: • I = 24 V/8 Ω = 3 A. • UB = 0.5 x 4 H x (3 A)2. = 18 Joules.

• 6. n circuito está constituido por una batería de 60 volts, una resistencia de 12 Ω y un inductor de 8 henrys. ¿Cuánta energía se almacena en el inductor?

• Fórmulas: I = V/R • UB =1/2LI2. • Sustitución y resultado: • I = 60 V/12 Ω = 5 A. • UB = 0.5 x 8 H x (5 A)2. = 100 Joules.

• 7. Calcule la energía asociada al campo magnético de un solenoide de 200 vueltas, en el cual una corriente de 1.75 amperes produce un flujo de 3.70 x 10-4 wb en cada vuelta.

• Datos Fórmulas • UB = ? L = N Ф • N = 200 I • I = 1.75 A UB = 1/2LI2. • Ф = 3.70 x 10-4 wb • Sustitución y resultado: • L = 200 x 3.70 x 10-4 wb = 0.0422 Henrys. • 1.75 A • UB = 0.5 x 0.0422 Henrys x (1.75 A)2 = 6.46 x 10-2 Joules.

• 8. Un solenoide de núcleo de aire con 68 vueltas mide 8 cm de largo y tiene un diámetro de 1.2 cm. ¿Cuánta energía se almacena en su campo magnético cuando conduce una corriente de 0.77 amperes?

• Datos Fórmulas • N = 68 A = πr2. • r = 6 x 10-3 m L = μoN2A • l • UB = 1/2LI2. • l = 0.08 m Sustitución y resultado: • UB = ? A = 3.14 x (6 x 10-3 m)2. • I = 0.77 A A = 1.13 x 10-4 m2. • L = 12.56 x 10-7 wb/A.m x (68)2 x 1.13 x 10-4 m2. • 0.08 m. • L = 8.20 x 10-6 Henrys. • UB = 0.5 x 8.20 x 10-6 H x (0.77 A)2 = 2.44 x 10-6 J ó 2.44 μJ.

• 9. El campo magnético dentro de un solenoide superconductor es de 4.5 Teslas. El solenoide tiene un diámetro interior de 6.2 cm y una longitud de 26 cm. Determine la energía almacenada en el campo magnético dentro del solenoide.

• Datos Fórmula • B = 4.5 T A = πr2. • UB = B2 (Al) • 2 μo • r = 0.031 m • l = 0.26 m A = 3.14 x (0.031 m)2. • UB = ? A = 3.01 x 10-3 m2. • UB = (4.5 T)2 (3.01 x 10-3 m2.x 0.26 m) • 2 x 12.56 x 10-7 wb/A .m • UB = 6.31 x 103 J ó 6.31 kJoules.

• 10. Dos inductores, L1 = 85 μH y L2 = 200 μH, se conectan en serie a un suministro de potencia de 850 miliamperes. Calcule la energía almacenada en cada inductor.

• Datos Fórmula • L1 = 85 x 10-6 H UB = ½ LI2. • L2 = 200 x 10-6 H • I = 850 x 10-3 A • UB1 =? • UB2 = ? • Sustitución y resultado: • UB1 = 0.5 x 85 x 10-6 H x (850 x 10-3 A)2 =30.7 x 10-6 J ó 30.7 μJ.

• UB2 = 0.5 x 200 x 10-6 H x (850 x 10-3 A)2 = 72.2 x 10-6 J ó • 72.2 μJ

Densidad de energía magnética.

• La energía almacenada por un inductor puede expresarse por unidad de volumen, lo que nos da el concepto de densidad de energía en el campo magnético, que es un concepto similar al de densidad de energía en el campo eléctrico visto anteriormente. Por simplicidad considere un solenoide cuya inductancia está dada por la ecuación.

• L= μoN2A • l

• El campo magnético de un solenoide está dado por la ecuación B=μoNI. Despejando I de esta ecuación obtenemos: I= B

• μoN • En general queda de la siguiente forma: • UB=1/2LI2=1/2μoN2A/l(B/μoN)2=(B2/2μo)(AL) • Debido a que AL es el volumen del solenoide, la energía

almacenada por unidad de volumen en un campo magnético es la siguiente:

• UB=UB = B2. • AL 2μo

• Donde: • UB = Densidad de energía magnética

asociada a un inductor. • UB = Energía almacenada en un inductor. • B = Campo magnético. • μo= Constante de permeabilidad del aire

12.56 x10-7 Tm/A.

Problemas de densidad de energía magnética.

• 1.- Determine la densidad de energía magnética y la energía total almacenada de un toroide que tiene 200 vueltas con una longitud de 1 metro y un área de 0.010 m2 y por ella circula una corriente de 20 A.

• Datos Fórmula Sustitución • UB=? UB= 1/2LI2. UB=0.5x12.56x10-7 Tm/A • UB=? UB=UB x2002x 0.010 m2x 1m • N= 200 AL UB=2.51x10-4 Joules. • A=0.010 m2. UB= 2.51x10-4 J • l= 1 m 0.010 m2x 1 m • I= 20 A UB=2.51 x 10-2 J/m3.

• 2.- El campo magnético dentro de un solenoide superconductor es de 4.5 Teslas. El solenoide tiene un diámetro interior de 6.2 cm y una longitud de 26 cm. Determine la densidad de energía magnética en el campo.

• Fórmulas: UB = B2

• 2 μo • Sustitución y resultado: • UB= (4.5 T)2. = 8.06 x 106 J/m3. • 2 x 12.56 x10-7 Tm/A.

• 3.- El campo magnético de la Tierra tiene una magnitud de 0.500 x 10-4 Teslas. Calcule la densidad de energía magnética de la Tierra.

• Fórmula: • UB = B2

• 2 μo • Sustitución y resultado: • UB = (0.500 x 10-4 T)2 = 995 μJ/m3

• 2 x 12.56 x10-7 Tm/A.