Calitate si fiabilitate.pdf

PARTEA a I-a

CALITATE ŞI CARACTERISTICILE CALITĂŢII

1. CALITATE. ELEMENTE DE INGINERIA CALITĂŢII

"Calitatea trebuie proiectată într-un produs,

înainte de execuţie sau asamblare" ISO 9000

1.1 CALITATE. NOŢIUNI GENERALE, INTERPRETĂRI

1.1.1 DEFINIŢIA CALITĂŢII

Noţiunea de "calitate" face parte din limbajul cotidian, având desigur o

încărcătură diferită de la o persoană la alta, bazată pe experienţe şi date individuale

diferite, decurgând de aici o serie de diferenţieri, neclarităţi sau chiar confuzii.

Utilizarea termenului în domeniul tehnic, unde se impune o rigurozitate a

terminologiei şi o exactitate a conţinutului, la nivelul celorlalte concepte utilizate,

impune o definiţie care să coreleze înţelesul cu diferitele particularităţi ale domeniului

în care se aplică.

După o perioadă de îndelungate analize şi discuţii, între specialiştii diverselor

domenii tehnice, s-a ajuns la următoarea definiţie a calităţii, prezentată în standardul

internaţional ISO 8402-1995:

"CALITATEA ESTE ANSAMBLUL DE CARACTERISTICI ALE UNEI

ENTITĂŢI, CARE ÎI CONFERĂ ACESTEIA APTITUDINEA DE A SATISFACE

NECESITĂŢI EXPRIMATE ŞI IMPLICITE"

Termenul CALITATE (Quality), simbol internaţional Q, poate fi folosit în mai

multe împrejurări diferite. Astfel, se poate vorbi de calitatea produselor, a serviciilor, a

vieţii, a educaţiei, a învăţământului, a instruirii profesionale etc.

Este necesar ca termenul CALITATE să fie utilizat considerând întregul conţinut

al definiţiei. Considerarea parţială a conţinutului definiţiei poate să conducă la înţelesuri

aparent satisfăcătoare având însă consecinţe aplicative incorecte. De asemenea,

termenul CALITATE are rolul unui substantiv si nu al unui grad de comparaţie. Se

afirmă despre un produs că are o calitate buna, proastă sau necorespunzătoare.

CALITATEA reprezintă un concept global, bazat pe un ansamblu de

caracteristici.

Pentru a uşura înţelegerea noţiunii de calitate se mai precizează următorii

termeni:

Entitate este ceea ce poate fi descris si luat în consideraţie în mod individual.

Prin entitate se poate înţelege un produs, o activitate sau proces, o organizaţie, un

sistem, o persoană sau orice combinaţie a acestora care poate fi privită ca o unitate.

Calitate. Elemente de ingineria calităţii

2

Produs este rezultatul activităţilor sau proceselor. Un produs poate fi material,

ca rezultat al unor procedee sau procese tehnologice sau imaterial, cunoştinţe, concepte,

programe sau o combinaţie a acestora.

Un produs poate fi, de asemenea, "intenţionat" (principal) sau "neintenţionat"

(secundar) cum ar fi, produsele poluante, produsele rezultate ca o consecinţă nedorită a

procesului de fabricaţie, etc.

Proces sau activitate reprezintă ansamblul de resurse şi activităţi independente

care transformă datele de intrare în date de ieşire.

Resursele sunt formate din: personal, finanţe, facilităţi, echipamente, tehnici şi

metode.

Procedura este modul specificat de efectuare a unei activităţi.

Organizaţie este termenul care desemnează o campanie, corporaţie,

întreprindere, instituţie sau o parte din acestea cu statut de unitate, având propriile sale

funcţii şi propria sa organizare care furnizează un produs sau un serviciu utilizatorului.

Referitor la noţiunea de calitate se mai fac următoarele precizări:

Calitatea unui produs trebuie considerată şi interpretată numai prin prisma

definiţiei stabilite. Elementele de bază ale calităţii sunt constituite din ansamblul

caracteristicilor care fac din produsul respectiv răspunsul la o cerinţă a utilizării.

Calitatea rezultă numai din raportarea comportării produsului la necesităţile

beneficiarului la un anumit moment. Cerinţele şi calitatea evoluează în timp.

Calitatea nu poate rezulta din considerarea separată a unui produs, fără o

raportare la o necesitate. Ansamblul caracteristicilor unui produs este intrinsec

produsului şi acestea se manifestă numai în timpul utilizării.

Calitatea unui produs constă în capacitatea acestuia de a satisface cerinţele unui

utilizator de-a lungul duratei dorite.

Dacă unui produs, realizat pentru o anumită utilizare, i se schimbă utilizarea, i se

schimbă şi calitatea. De exemplu, un contactor corespunzător cerinţelor de definiţie

poate fi folosit, prin reducere la absurd, şi la baterea unui cui. În acest caz, calitatea se

schimbă în raport cu noile cerinţe.

Fără definirea utilizării calitatea unui produs este lipsită de conţinut, putând fi

eventual luat în consideraţie aspectul economic legat de valoarea materialelor.

1.1.2 CARACTERISTICILE CALITĂŢII

Conceptul de calitate se bazează pe ansamblul caracteristicilor şi a

interdependenţelor acestora care reflectă modul de satisfacere a cerinţelor la utilizare.

Cerinţele utilizării pot, de asemenea, căpăta forma unor caracteristici exprimând

condiţiile impuse de utilizare. În cazul echipamentelor reprezentative cu utilizări

generale, cerinţele utilizării sunt standardizate şi exprimate prin valori si unităţi stabilite.

Utilizarea, în cazul echipamentelor electrice, îşi corelează cerinţele reale

încadrându-se în caracteristicile standard respective.

Calitatea rezultă ca ansamblul tuturor caracteristicilor. Calitatea este un concept

global si nu poate fi exprimată numai printr-o singură caracteristică.

Analiza şi descrierea referitoare la calitate reprezintă, de fapt, analiza şi

descrierea caracteristicilor. Noţiunea de caracteristică este bine cunoscută în domeniile

tehnice. Diferitele sensuri sub care pot fi interpretate caracteristicile (determinist,

statistic sau aleator) sunt prezentate în capitolele următoare.

Ţinând seama de natura caracteristicilor şi de implicaţiile în raport cu utilizarea,

acestea pot fi grupate în următoarele categorii:

1. Caracteristici tehnico-funcţionale;


3

2. Caracteristici psihosenzoriale şi economice;

3. Condiţii tehnice;

4. Caracteristici speciale ale calităţii.

În graficul din Fig. 1.1 Sunt prezentate în mod simplificat caracteristicile care stau

la baza conceptului de calitate a unui echipament electric. Caracteristicile tehnico-

funcţionale sunt definite şi descrise de teoria şi proiectarea domeniului tehnic a

echipamentului respectiv.

CARACTERISTICI ALE CALITĂŢII UNUI

ECHPAMENT ELECTRIC

TEHNICO-

FUNCŢIONALE

ECONOMICE

PSIHOSENZORIALE

CONDIŢII

TEHNICE

CARACTERISTICI

SPECIALE

PROPRIETĂŢI

FIZICO-CHIMICE PREŢ; COSTURI PARAMETRI

NOMINALI FIABILITATE

PARAMETRI

TEHNICI

CHELTUIELI DE

MENTENANTA,

INTRETINERE SI

REPARATII

PARAMETRI DE

MEDIU MENTENABILITATE

CURENTI

NOMINALI CHELTUIELI DE

TRANSPORT,

DEPOZITARE SI

INSTALARE

REGIMURI DE

FUNCTIONARE DISPONIBILITATE

SECURITATE TENSIUNI

NOMINALE DE

IZOLARE, DE

TINERE

PROPRIETATI

ERGONOMICE

CURENTI DE

SCURTCIRCUIT

SUPRA-

TENSIUNI RISC

CARACTE-

RISTICI

FUNCTIONALE

DIMENSIUNI DE

GABARIT

MASE; Cu, Fe,

NEFEROASE

ESTETICA

INDUSTRIALA

GRAD DE

RECUPERARE -

REFOLOSIRE

PROTECTIE

MEDIU

NEPOLUARE

COMPATIBILI-

TATE

SIGURANTA IN

FUNCTIONARE

Fig. 1.1 Graficul caracteristicilor calităţii unui echipament electric redate simplificat.

Aceeaşi caracteristică poate fi exprimată în sens fizic sau în sens statistic.

Considerarea celor două sensuri definesc "caracteristica asociată" care stă la baza

conceptului modern de calitate. Tehnica tradiţională consideră caracteristicile în sens

determinist. Caracteristica asociată constituie elementul de bază a ingineriei calităţii.

Caracteristicile speciale ale calităţii sunt cele care descriu comportarea

produsului la utilizare constituind aspectele moderne ale modului de definire a calităţii.

Aceste caracteristici au următoarele definiţii:

FIABILITATE - este caracteristica unei entităţi exprimată prin probabilitatea

îndeplinirii unei funcţii impuse în condiţii date, pe un interval de timp dat.

MENTENABILITATE - este caracteristica unei entităţi utilizată în condiţii date,

exprimată prin probabilitatea ca o operaţie de mentenanţă activă dată să poată fi

efectuată într-un interval de timp dat, cu asigurarea logisticii de mentenanţă, utilizând

procedee şi mijloace prescrise.

DISPONIBILITATE - este caracteristica unei entităţi exprimată prin

probabilitatea îndeplinirii unei funcţii impuse în condiţii date, la un moment dat cu

asigurarea susţinerii logisticii de mentenanţă.

SECURITATE - este caracteristica exprimată prin probabilitatea ca o entitate să

evite apariţia în condiţii date a evenimentelor critice sau catastrofale.

RISC - este măsura unui pericol (gravitate) asociat cu probabilitatea producerii. NOTA: Riscul este o mărime cu două dimensiuni: gravitate x probabilitate.


4

SIGURANŢĂ ÎN FUNCŢIONARE (DEPENDABILITATE) este ansamblul de

proprietăţi care descriu disponibilitatea şi ansamblul de factori care o definesc:

fiabilitatea, mentenabilitatea şi logistica de mentenanţă.

Aspectele economice definesc o categorie importantă de caracteristici care pot

avea componente asociabile fiecărei caracteristici tehnice. Caracteristicile economice

pot defini şi anumite criterii de discriminare a soluţiilor în faza de concepţie, influenţând

calitatea. Caracteristicile speciale ale calităţii (fiabilitate, mentenabilitate,

disponibilitate) sunt caracteristici globale, descriind comportarea produsului la utilizare.

Beneficiarul acordă o deosebită atenţie acestor caracteristici.

Studierea şi analiza caracteristicilor calităţii utilizează tehnici şi metodologii de

cercetare bazate pe statistica matematică şi teoria probabilităţilor.

În consecinţă, statistica descriptivă, modelarea şi descrierea caracteristicilor cu

ajutorul teoriei variabilelor aleatoare, estimaţii şi teste de semnificaţie şi descrierea

modului de comportare, constituie tehnici de bază ale stabilirii calităţii unui produs.

Calitatea este determinată corect în măsura în care caracteristicile componente

sunt corect şi cu exactitate specificate. De asemenea, calitatea definită de ansamblul

tuturor caracteristicilor nu poate fi exprimată numai de o singură caracteristică, oricât de

importantă ar fi.

1.1.3 SENSURI ŞI CLASIFICĂRI REFERITOARE LA CALITATE

Termenul "calitate" poate avea diferite sensuri funcţie de obiectivul de raportare.

Conform definiţiilor date, calitatea este exprimată în raport cu utilizarea. În acest caz, o

altă variantă de definiţie este formulată diferit şi se exprimă prin "corespunzător pentru

utilizare". Este o interpretare similară care pune accentul în special pe utilizare,

ignorând caracteristicile. Dacă raportarea se face la documentaţie tehnică (la proiect)

sau la specificaţie, calitatea este considerată în sensul reflectării corecte a acestor

elemente şi se denumeşte "calitate de conformitate". În producţie, termenul "calitate"

este utilizat şi în sensul denumirii unui ansamblu de activităţi incluse într-un

departament care se ocupă de verificarea şi controlul calităţii produselor.

Conceptul de calitate poate căpăta şi alte sensuri, în raport cu diferite criterii de

interpretare şi clasificare, astfel:

a) În raport cu elementele care stau la baza definiţie calităţii, poate fi:

- "calitate reală" (adevărată sau intrinsecă) existentă dar necunoscută

corespunzătoare utilizării specificate;

- "calitate estimată" definită prin proceduri stabilite si utilizare specificată.

b) În raport cu modul de exprimare:

- calitate implicită - este calitatea exprimată numai prin intermediul

caracteristicilor tehnice de bază (tradiţionale);

- calitate declarată - este calitatea precizată în documentaţiile tehnice cu

specificarea datelor cerute de utilizare;

- calitate asigurată - este calitatea definită şi consemnată în toate etapele de

realizare urmărind să dea încredere utilizatorului.

c) După modul de specificare a conţinutului noţiunii de calitate:

- calitate incomplet specificată - este calitatea exprimata numai de

caracteristicile tehnice tradiţionale impuse de utilizare fără referire la

caracteristicile de fiabilitate şi mentenabilitate;

- calitate specificată - este calitatea exprimată de caracteristicile produsului

inclusiv parametri de bază ai fiabilităţii şi mentenabilităţii;

- calitate complet specificată - este calitatea exprimată de ansamblul

tuturor caracteristicilor produsului, inclusiv a celor speciale (fiabilitate,


5

mentenabilitate, disponibilitate) descrise complet cu precizarea repartiţiilor

şi a parametrilor respectivi.

În toate cazurile, diferitele interpretări ale calităţii trebuie să fie orientate şi

corelate cu definiţia de bază.

1.2 COMPONENTELE CALITĂŢII ŞI FACTORI DE INFLUENŢĂ

1.2.1 ACTIVITĂŢI GENERATOARE DE CALITATE. BUCLA CALITĂŢII

Calitatea unui produs este rezultatul unui mare număr de activităţi si servicii,

care se desfăşoară în diferite compartimente tehnice. Aceste activităţi hotărâtoare pentru

calitate, se pot grupa în următoarele domenii tehnice distincte:

C - activităţi de concepţie-proiectare;

F - activităţi de fabricaţie;

U - activităţi de utilizare.

Conţinutul activităţilor diferă de la un produs la altul şi, in general, aceste

domenii se întâlnesc la toate tipurile de produse, acţionând în mod diferit asupra

calităţii. Activităţile de concepţie-proiectare se bazează pe studii referitoare asupra

cerinţelor, fezabilitate, soluţii constructive, materiale, tehnologii, fiabilitate,

mentenabilitate, metodologii analitice de dimensionare şi preestimare etc.

Activităţile din domeniul fabricaţiei sunt foarte diverse, specifice fiecărui

produs: începând cu pregătirea fabricaţiei, documentaţii tehnice, recepţie de materiale,

diferite activităţi tehnologice de fabricaţie, control tehnic, încercări, recepţia

materialelor, depozitarea şi expedierea produselor realizate etc., constituind un vast

ansamblu de activităţi care stau la baza calităţii. La utilizare există, de asemenea, o serie

de activităţi, începând cu instalarea, punerea în funcţie şi, în continuare, cu desfăşurarea

de activităţi necesare bunei funcţionări şi terminând cu rapoartele asupra funcţionării

echipamentului respectiv.

Calitatea unui produs se bazează pe ansamblul tuturor acestor activităţi

considerate ca un tot unitar.

Există uneori tendinţa greşită de a interpreta calitatea numai prin prisma unor

anumite activităţi, ignorând celelalte domenii. Pentru a evita această interpretare s-a

introdus conceptul de "BUCLĂ A CALITĂŢII" (Quality loop - ISO 8402/1995), fiind

definit ca "modelul conceptual de activităţi interdependente care influenţează şi

defineşte calitatea în diferitele etape începând cu identificarea necesităţilor şi terminând

cu evaluarea satisfacerii acestora". În Fig. 1.2 este reprezentat graficul buclei calităţii.

F

C

U

Fig. 1.2 Bucla calităţii

În consecinţă, produsul trebuie considerat ca fiind rezultatul tuturor acestor

activităţi, formând un tot unitar şi având ca efect realizarea unui produs conform

necesităţilor specificate cu o calitate corespunzătoare definită.


6

1.2.2 COMPONENTELE CALITĂŢII

Activităţile care se desfăşoară în diferitele domenii, concepţie-proiectare,

fabricaţie şi utilizare, influenţează sau determină în mod distinct caracteristicile calităţii.

În consecinţă, la calitatea obţinută se pot diferenţia, în etapele respective,

componentele:

QC - calitatea de concepţie, QF - calitatea de fabricaţie şi QU - calitatea de

utilizare, care pot fi interpretate şi considerate separat drept componente ale calităţii QF.

QC QF

QU

Q

Fig. 1.3 Componentele calităţii.

a) Calitatea de concepţie, QC, se bazează pe capacitatea de a utiliza toate

informaţiile, din toate sferele de activitate şi cercetare, referitoare la materiale,

tehnologii, încercări, exploatare. Cu aceste informaţii se elaborează metode

analitice de estimare predictivă a caracteristicilor calităţii, inclusiv a celor

speciale (fiabilitate, mentenabilitate, disponibilitate) care definesc soluţia

adoptată ca răspuns optim la solicitările utilizatorului. Concepţia şi proiectarea

utilizează un volum foarte mare de informaţii referitoare la materiale, procese

tehnologice de fabricaţie, procese fizice de funcţionare, utilizând o nouă

strategie de proiectare, prin considerarea stărilor limită şi a probabilităţilor de

apariţie a defectelor în timpul funcţionării produsului;

b) Calitatea de fabricaţie, QF, se obţine prin realizarea unui proces de fabricaţie

în conformitate cu documentaţia tehnică elaborată ("calitate de conformitate").

Se pot utiliza şi anumiţi indicatori statistici (v. Cap. 2) pentru a controla şi

estima pe parcurs conformitatea cu documentaţia tehnică elaborată de

concepţie.

Fabricaţia de serie scoate în evidenţă şi un alt aspect care condiţionează

"calitatea de fabricaţie" a produselor realizate dependent de "calitatea proceselor

tehnologice" denumită "calitate de reproductibilitate".

Aceasta reprezintă capacitatea proceselor tehnologice de fabricaţie de a

reproduce în serie caracteristicile produsului. Reproductibilitatea este posibilă în cazul

"stabilităţii" proceselor tehnologice de fabricaţie.

Se constată că nivelul calităţii proceselor de fabricaţie condiţionează direct

calitatea produsului.

În consecinţă, FQ reflectă calitatea proceselor de fabricaţie estimate prin:

1. CAPABILITATEA FABRICAŢIEI, reprezentând aptitudinea proceselor

tehnologice de fabricaţie de a realiza calitatea de concepţie

2. CALITATEA DE CONFORMITATE sau NIVELUL DE FIDELITATE

reflectă măsura în care produsul este în conformitate cu documentaţia tehnică

a produsului interpretată prin intermediul abaterilor măsurate şi prelucrate

statistic.

3. REPRODUCTIBILITATEA proceselor de fabricaţie reprezintă capacitatea de

a reproduce în serie o anumită caracteristică a produsului.


7

4. STABILITATEA PROCESELOR TEHNOLOGICE DE FABRICAŢIE sau

ŢINEREA "SUB CONTROL" a proceselor reprezintă aptitudinea de încadrare

în câmpul de toleranţă specificat.

Calitatea proceselor tehnologice de fabricaţie se poate considera că se transferă

produselor executate.

c) Calitatea de utilizare a produsului, QU, rezultă din "calitatea utilizării"

exprimată prin exactitatea definirii cerinţelor utilizării şi prin capacitatea

desfăşurării activităţilor necesare funcţionării produsului. Calitatea produsului

trebuie considerată ca un ansamblu unitar al acestor componente, fiecare

având o importanţă anumită, care nu poate fi neglijată.

Intuitiv, există tendinţa acordării unei importanţe deosebite calităţii obţinute de

fabricaţie. Analiza acestor componente arată că proiectarea hotărăşte calitatea şi

fabricaţia o realizează la nivelul conceput sau la un nivel mai coborât prin lipsa de

conformitate, iar la utilizare calitatea se manifestă la parametri concepuţi sau inferiori,

datorită abaterilor de la instrucţiunile de instalare, de utilizare şi de întreţinere.

În consecinţă, CALITATEA mai întâi se proiectează, apoi se execută şi ulterior

se manifestă la beneficiar, fiind apreciată în raport cu cerinţele utilizării.

1.2.3 FUNCŢIA CALITĂŢII

Ansamblul desfăşurării activităţilor şi serviciilor unei organizaţii (întreprindere,

instituţie) strict legată de realizarea calităţii unui produs definesc un nou concept

denumit "funcţia calităţii".

Pentru a realiza un produs în cadrul unei întreprinderi există o serie de ateliere,

laboratoare, servicii (de aprovizionare, control, depozitare, expediţii etc.). Funcţionarea

acestora privită unitar prin obiectivul realizării calităţii unui produs defineşte ceea ce se

numeşte global "funcţia calităţii" produsului respectiv. Această funcţie poate fi

interpretată ca având componente în toate compartimentele existente ale unei

întreprinderi. Funcţia calităţii este cea mai importantă funcţie a unei întreprinderi.

Funcţia calităţii este integrată în ansamblul funcţional al unei întreprinderi aşa

cum sunt funcţiile administrative, de protecţie socială etc., dar mult mai importantă

decât fiecare, constituind ansamblul de funcţii in care se realizează calitatea din

intreprinderea respectivă.

Ţinând seama de sistemul de organizare a activităţilor tehnice se poate considera

că funcţia calităţii are componentele:

- funcţia calităţii la proiectare;

- funcţia calităţii la fabricaţie;

- funcţia calităţii la utilizare.

Funcţia calităţii este un concept deosebit de util pentru formarea unei gândiri sau

a unei mentalităţi unitare, referitoare la calitate, având în vedere ansamblul tuturor

activităţilor, a factorilor şi a întregului mecanism care are ca efect calitatea.

În consecinţă, ansamblul conţinutului tuturor activităţilor tehnice şi ale

serviciilor legate de calitate sunt denumite prescurtat "funcţia calităţii" şi au ca obiectiv

realizarea de produse "corespunzătoare pentru utilizare".

Funcţiile calităţii depind de sistemele calităţii. Acest concept este util

managementului pentru a orienta, în mod eficient, activităţile de conducere şi control ale

calităţii în corelare cu aspectele economice. Este de asemenea concept este util în toate

etapele unui produs. Specialiştii identifică componentele acestui concept mai ales în

domeniul fabricaţiei. Utilizarea raţională şi în domeniul concepţiei şi proiectării a

acestuia contribuie la asigurarea şi evoluţia calităţii.


8

1.2.4 FACTORI DE INFLUENŢĂ. DIAGRAMA ISHIKAWA

Caracteristicile care definesc calitatea sunt influenţate de numeroşi factori care

acţionează în special în timpul desfăşurării proceselor tehnologice de fabricaţie,

producând abateri care afectează calitatea.

Legătura care există între factori şi abaterile respective este de tip "cauză-efect".

Pentru anumiţi factori această legătură poate fi exprimată sun forma unei relaţii

analitice care ajută atât la identificare, cât şi la determinarea soluţiei de reducere a

abaterilor. Pe lângă aceşti factori, o analiza aprofundată poate să conducă şi la

identificarea altor cauze.

Pentru aceste analize se utilizează un grafic denumit "diagrama cauză-efect" sau

"diagrama Ishikawa", care indică factorii de influenţă care trebuie urmăriţi în mod

sistematic pentru a obţine rezultatul dorit.

Fig. 1.4 este prezentat un exemplu de diagrama Ishikawa de analiză a cauzelor

abaterilor iX ale unei caracteristici iX . Se considera factorii principali de influenţă A,

B, C,…, dependenţi la rândul lor de o serie de factori secundari:

,...,,...,,, 21321 BBAAA etc.

De exemplu: A-material (proprietăţi, factori de influenţă), B-un anumit proces

tehnologic (dependent de: temperatură, condiţii de mediu umiditate, praf, lumină etc.),

C-factorul om (motivare, salariu, pregătire profesională, comunicare etc.).

Factorii secundari pot fi grupaţi în factori "obiectivi" (numerotaţi cu indice

impar: 531 ,, AAA ) şi "subiectivi" (notaţi cu indice par: 642 ,, AAA ) aranjaţi într-o

anumită succesiune (Fig. 1.4).

ABATERI ALE CARACTERISTICII Xi Xi

E F H

E

A B C D

A1 A2

A3

A4

B1

B3

B5

B2

B4

C1 C2

C3

C4

D1

D2

D4

D3

D5

E1

E3

E2

F1

F3

F2 H1

H3

H2

Fig. 1.4 Diagrama Ishikawa de urmărire a factorilor de influenţă a unei caracteristici.

Dacă rezultatele analizei nu sunt satisfăcătoare se extinde cercetarea identificând

si alţi factori de influenţă. Diagrama Ishikawa poate fi utilizat şi în scop de evidenţiere a

factorilor de influenţă a performanţelor.

În anumite cazuri, aceasta metodă poate fi extinsă şi aprofundată prin est imarea

legăturilor cu ajutorul unor tehnici speciale de regresie sau corelaţie prezentate în

capitolele următoare.

Diagrama Ishikawa poate fi elaboratǎ numai de specialişti cu mare experienţă în

domeniu, putând fi utilă şi organizării controlului pe flux de fabricaţie şi poate avea un

rol important în organizarea controlului calităţii pe fluxul tehnologic de fabricaţie.


9

1.2.5 DEFECTE REFERITOARE LA CALITATE

Defectul în teoria calităţii si în special a fiabilităţii şi mentenabilităţii are o

importanţă primordială.

Un defect poate fi analizat în două moduri:

1- prin raportare la conceptul general de calitate;

2- prin raportare la nivelul unei caracteristici.

În primul caz, defectul este interpretat ca o abatere faţă de conformitatea impusă

de utilizare. Nesatisfacerea acestor cerinţe constituie o neconformitate sau un defect. În

consecinţă, defectul este denumit la modul general o "neconformitate".

Neconformitate este neîndeplinirea unei condiţii specificate. În general, defectul,

fie raportat la ansamblul caracteristicilor (calitate), fie raportat la o singură

caracteristică, este definit standard ca o "nesatisfacere a unei condiţii sau a unei aşteptări

rezonabile referitoare la o utilizare prevăzută, inclusiv la securitate", prin securitate

înţelegându-se acea situaţie în care riscul de vătămare (a persoanelor) sau de deteriorare

este limitat la un nivel acceptabil.

Defectul raportat la calitate este privit în mod pasiv, fără să existe preocupări

referitoare la mecanismul fizic de apariţie etc. Toate defectele constatate în urma unui

control al calităţii sunt consemnate ca "neconformităţi".

Ulterior, un specialist al domeniului poate face distincţia în "defecte de

concepţie", "de fabricaţie" sau "de utilizare incorectă" (dacă se constată acest lucru în

exploatare). În acest caz defectul nu se diversifică pe componente.

Defectele raportate la caracteristici prezintă un interes deosebit pentru proiectare

şi fabricaţie. În acest caz interesează mecanismul fizic de producere, condiţiile de

apariţie, modalităţi de manifestare, probabilităţi de apariţie etc. (vezi cap. 8). Teoria

fiabilităţii a dezvoltat o serie de domenii (Defectoscopie, Diagnoză, Defectologie) care

se ocupă şi cercetează defectele elementelor şi sistemelor tehnice, stabilind o clasificare,

descriere şi interpretare utilă fiabilităţii şi mentenabilităţii.

1.3 NIVELUL ŞI EVOLUŢIA CALITĂŢII

1.3.1 NIVELUL CALITĂŢII

Termenul calitate este un concept global şi general utilizat în organizarea şi

conducerea activităţilor de care depinde calitatea unui produs.

În concepţie, proiectare-dezvoltare este necesară specificarea cantitativă a

calităţii unui produs, fie pentru compararea performanţelor tehnice sau a celor

economice. Exprimarea cantitativă a calităţii este posibilă prin definirea unui nou

concept "nivel al calităţii", necesar şi activităţilor de perfecţionare şi îmbunătăţire a

produselor.

"Nivelul calităţii" reprezintă ansamblul valorilor, atestate prin încercări, ale

caracteristicilor produsului, care îi conferă acestuia capacitatea de a îndeplini condiţiile

impuse de utilizare. Acest concept poate fi extins şi în cazul componentelor sau a unor

caracteristici specifice ca de exemplu nivelul calităţii izolaţiei, nivelul calităţii acţionării

(pentru un electromagnet al unui contactor) etc.

"Nivel cerut" al unei caracteristici reprezintă ansamblul tuturor valorilor

caracteristicii impuse de utilizare, prescrise în general de standardele şi normele

produsului respectiv sau definite prin parametrii încercărilor corespunzătoare stabilite

Exemplu: în cazul unei structuri electroizolante, nivelul cerut izolaţiei, NIz, este

definit de ansamblul valorilor tensiunilor nominale de izolare a tensiunii de ţinere la


10

impuls şi a tensiunii de ţinere la frecvenţa industrială, ( ftin UUUNIz ,, ) precizate de

standardul corespunzător produsului respectiv.

Nivelul poate fi definit în raport cu următoarele trei variante:

a) Nivelul calităţii standard, NQs, este nivelul la care toate valorile

caracteristicilor sunt raportate la valori precizate şi stabilite de standardele

naţionale sau internaţionale.

b) Nivelul de calitate de performanţă, NQp, este nivelul la care cel puţin o

caracteristică principală are valori net superioare celor precizate de standardele

respective.

Astfel, o anumită caracteristică importantă (capacitate de rupere la un

întreruptor, capacitate termică etc.) poate avea sau suporta valori mult superioare celor

impuse de standardele in vigoare.

Produsul este performant în acest caz, în raport cu o anumită caracteristică.

c) Nivelul calităţii de excelenţă, QE, este nivelul la care toate caracteristicile au

valori superioare tuturor standardelor.

Produsul îndeplineşte cu prisosinţă toate condiţiile standard. Produsul are un

nivel de calitate deasupra tuturor standardelor internaţionale depăşind orice concurenţă.

Produsul poate să îndeplinească orice condiţie rezonabilă a beneficiarului,

ignorând condiţiile de tip standard pe care le îndeplineşte fără nici o problemă. Uneori

se face observaţia că standardele tehnice nu mai sunt luate în consideraţie de fabricantul

respectiv.

Există firme renumite care realizează calitatea de excelenţă, desigur cu implicaţii

economice corespunzătoare.

Între diferitele nivele menţionate există următoarea relaţie de ordonare:

EPS NQNQNQ (1.1)

Calitatea standard poate fi considerată ca având nivelul minim admisibil ceea ce

ar trebuie să întreţină permanent o stare alertă a fabricantului.

1.3.2 ETAPELE EVOLUŢIEI CALITĂŢII. SPIRALA CALITĂŢII

Cerinţele utilizării faţă de un produs evoluează permanent. Ceea ce s-a

considerat la un moment dat corespunzător nu mai satisface cerinţele altui moment.

Calitatea în concordanţă cu cerinţele trebuie să se schimbe. În consecinţă, se poate

afirma despre calitate ca are un conţinut istoric.

Etapele evoluţiei sunt determinate în special de factori economici:

În Fig. 1.5 sunt prezentate etapele tipice oricărui produs:

- etapa I-etapa de concepţie, proiectare şi fabricare a produsului cu nivelul

calităţii NQ1;

- etapa II-etapa lansării pe piaţă;

- etapa III-etapa satisfacerii depline a utilizării;

- etapa IV-etapa declinului.

În etapa I concepţia şi fabricaţia desfăşoară activităţi pentru realizarea unui

produs cu nivelul calităţii NQ1 solicitat de utilizare.

În etapa II produsul este lansat pe piaţă şi având un nivel de calitate competitiv

elimină treptat alte produse similare.

În etapa III, nivelul NQ1 satisface majoritatea utilizatorilor şi întreprinderea îl

produce la capacitatea maximă.

În etapa IV apare declinul economic al soluţiei utilizate. Apar pe piaţă produse

concurente.


11

Decalaj

Viata

comerciala

I

I

II III IV

t

Intensitatea vânzarilor

NQ1

NQ2

Fig. 1.5 Etapele evoluţiei calităţii.

Se observă că încă înainte de a apare declinul constructorul a pregătit o altă

soluţie cu un nivel de calitate superior,

NQ2>NQ1

care este deja lansată pe piaţă.

Se poate defini şi un decalaj între NQ1 şi NQ2 şi, de asemenea, o „durată de viaţă

economică” de 3-4 ani care este diferită de durata de funcţionare, depinzând si de tipul

produsului. Cerinţele utilizatorului oricărui produs se modifică în timp. În consecinţă, se

poate afirma că nivelul calităţii variază permanent, variaţie reflectată de caracteristicile

care definesc calitatea.

Dacă privim evoluţia calităţii în timp considerând evoluţia fiecărei activităţi

implicate în realizarea caracteristicilor şi, de asemenea, noile activităţi corespunzătoare

unor caracteristici noi se ajunge la definirea unui alt concept de "SPIRALĂ A

CALITĂŢII" ("Quality Spiral"), având acelaşi conţinut ca bucla calităţii şi reprezintă

"modelul conceptual al activităţilor care definesc calitatea în diferite etape şi momente".

În Fig. 1.6 este reprezentat graficul spiralei calităţii pentru un produs oarecare.

Bucla calităţii se poate considera că este o reprezentare statică a activităţilor care

definesc calitatea, iar spirala calităţii este reprezentarea dinamicii activităţilor calităţii.

Progresul tehnic în construcţia şi realizarea de produse poate fi considerat ca un

progres al calităţii. Apar permanent cerinţe noi referitoare la: comportarea produsului,

durata de viaţă, condiţii de risc, impact asupra mediului ambiant etc., care măresc

permanent sfera noţiunii de calitate.

Fig. 1.6 Spirala calităţii


12

1.4 ASIGURAREA CALITĂTII

1.4.1 DEFINIŢII ŞI INTERPRETĂRI

Asigurarea calităţii (Quality Assurance - QA) înseamnă: "Ansamblul

activităţilor planificate şi sistemice implementate în cadrul sistemului calităţii si

demonstrate atât cât este necesar pentru furnizarea încrederii corespunzătoare că

o entitate va satisface condiţiile referitoare la calitate".

Asigurarea calităţii nu va fi completă dacă ansamblul condiţiilor specificate nu

reflectă toate necesităţile utilizatorului.

Asigurarea calităţii înseamnă încredere în produsul realizat a tuturor factorilor

care au tangenţă cu produsul (personal de execuţie, de control, manageri, utilizatori,

etc.). Asigurarea calităţii presupune, de asemenea:

- specificarea nivelului calităţii, definit de proiectare si demonstrat în etapele

ulterioare;

- furnizarea permanentă de către fabricant numai de produse de calitate bună;

- respectarea principiilor si regulilor care asigură realizarea calităţii

specificate.

Asigurarea calităţii are obiective atât interne cât si externe. Obiectivele interne

furnizează încredere managementului iar cele externe furnizează încredere

utilizatorilor sau altor factori interesaţi.

Asigurarea calităţii rezultă din ansamblul activităţilor proceselor, procedurilor,

resurselor şi structurilor organizatorice care formează sistemul calităţii.

Încrederea în calitatea unui produs se formează în diferitele stadii de realizare

ale produsului respectiv.

1.4.2 STADIILE ASIGURĂRII CALITĂŢII

Activităţile de asigurare ale calităţii se desfăşoară pe parcursul întregului ciclu

de viaţă a unui produs, adică începând cu iniţierea concepţiei şi proiectării până la

scoaterea din uz, depozitare, recuperări de materiale cu protecţia mediului

ambiant.(Fig.1.7).

STADIUL

DE

CONCEPTIE-PROIECTARE

STADIUL

DE

FABRICATIE

ASIGURAREA

CALITÃTII

STADIUL

DE

TESTARE-ACCEPTARE

STADIUL

DE

UTILIZARE

Fig. 1.7 Stadiile asigurării calităţii.

a) Stadiul de concepţie-proiectare

Standardele actuale referitoare la calitate afirmă ceea ce specialiştii proiectanţi

intuiau sau cunoşteau de mult timp si anume:

"CALITATEA SE PROIECTEAZĂ ÎNTR-UN PRODUS, ÎNAINTE DE

EXECUŢIE SAU DE ASAMBLARE" - "ISO 9000 - Quality Management and Quality

Assurance standards".


13

Proiectarea calităţii, în sensul definiţiei actuale, tine seama de ansamblul tuturor

caracteristicilor tehnice ale produsului si de cele speciale (fiabilitate, mentenabilitate,

securitate, risc). Proiectarea stabileşte nivelul calităţii produsului utilizând tehnici

moderne si algoritmi de calcul corespunzători pentru dimensionare si estimarea

predictivă a caracteristicilor considerate.

PROIECTAREA CALITĂŢII (Proiectarea operaţională) nu constituie o

complementaritate a proiectării tradiţionale ci este o proiectare cu o structură si strategie

diferită. Această proiectare va trebui asimilată în perspectivă de viitorii specialişti

deoarece actualul standard ISO 9000:2000 nu prevede încă această obligativitate.

Actualele preocupări sunt legate de introducerea sistemelor de management al calităţii.

Considerarea defectelor fiecărei caracteristici şi a probabilităţilor respective de

apariţie constituie punctul de plecare în dimensionarea produsului si a stabilirii soluţiei

optime corespunzătoare cerinţelor utilizării.

Este necesar ca proiectarea-dezvoltarea să utilizeze informaţii reale din fabricaţie

pentru a stabili corelarea între câmpul variaţiei naturale si tolerante. De asemenea, sunt

necesare informaţii totale asupra materialelor inclusiv cele obţinute din încercări proprii

speciale. Se utilizează si rapoartele de defectare din exploatare (retour d'expérience).

Proiectarea trebuie să urmărească produsul de-a lungul ciclului de fabricaţie şi a

mai multor cicluri de mentenanţă. Proiectarea se bazează pe toate informaţiile, utilizând

software standard, de tip expert, programele CAD (Computer Aided Design =

Proiectare Asistată de Calculator.

Acest stadiu constituie, de asemenea, activităţi de "controlul proiectării"

verificându-se elaborarea planurilor calităţii, a planificărilor şi a monitorizării

proceselor de proiectare. Se urmăresc datele "de intrare" (condiţii referitoare la produs,

fiabilitate, mentenabilitate, etc.) şi datele "de ieşire" ale proiectării care trebuie să fie

documentate şi exprimate prin condiţii, calcule şi analize. Acestea sunt principalele

aspecte ale proiectării operaţionale care deocamdată se manifestă sporadic.

b) Stadiul de fabricaţie

În acest stadiu calitatea este asigurată prin realizarea conformităţii în raport cu

documentaţia tehnică, prin organizarea şi implementarea procedurilor de verificare si

control în toate fazele procesului tehnologic de fabricaţie începând cu recepţia de

materiale. Urmărirea sistematică a încadrării proceselor de fabricaţie şi a

caracteristicilor realizate în limitele de tolerante prescrise, analizele rezultatelor

încercărilor de laborator, analizele defectelor constatate si utilizarea de metode avansate

de prelucrare si interpretare a informaţiilor constituie elementele de bază ale asigurării

calităţii produselor.

c) Stadiul de testare-acceptare

Este stadiul final în care produsul realizat este supus unor teste multiple

concepute pentru a confirma dacă execuţia produsului este conformă cu nivelul de

calitate cerut şi îndeplineşte corespunzător funcţiile necesare cerute. Încercările de

fiabilitate şi mentenabilitate, prelucrarea şi interpretarea rezultatelor constituie etape

importante în acceptarea calităţii produsului şi în furnizarea încrederii în produsul

respectiv.

d) Stadiul de utilizare

Evaluarea performantelor produsului în condiţiile reale de funcţionare cu

returnarea informaţiilor din exploatare duc la îmbunătăţirea capabilităţii produsului.

Informaţiile obţinute din exploatare, în ipoteza exactităţii acestora, prezintă un interes

deosebit pentru evaluarea credibilă a performantelor produsului. Asigurarea calităţii,

încrederea în produsul respectiv, se obţine din desfăşurarea corectă a tuturor activităţilor

legate de calitate în toate stadiile prin care trece produsul.


14

1.4.3 COMPONENTE ALE ASIGURĂRII CALITĂTII

1.4.3.1 Controlul calitătii

Controlul calităţii (Quality Control - QC) înseamnă tehnicile şi activităţile cu

caracter operaţional utilizate pentru a verifica îndeplinirea condiţiilor referitoare la

calitate consolidând încrederea în produsul respectiv. De fapt controlul rezultatelor

diferitelor activităţi a existat dintotdeauna, având acelaşi obiectiv final de a verifica dacă

s-a realizat ceea ce s-a dorit.

Apariţia în ultimele decenii a sintagmei de "control al calităţii" a făcut ca acestor

activităţi să i se acorde o atenţie deosebită. În acest caz controlul trebuie să se

desfăşoare sistematic după reguli stabilite, furnizând elementele necesare încrederii în

calitatea realizată contribuind astfel esenţial la asigurarea calităţii.

Controlul total al calităţii este legat de toate etapele ciclului de viată a unui

produs. Conţinutul, tehnicile şi metodologiile adoptate de controlul calităţii sunt

specifice fiecărei etape a ciclului de viaţă: proiectare, fabricaţie, instalare-montaj,

utilizare şi întreţinere.

Controlul calităţii cuprinde proceduri pentru identificarea tehnicilor statistice

adecvate, necesare pentru a verifica acceptabilitatea capabilităţii procesului şi a

caracteristicilor produsului (ISO 9001).

a) Controlul proiectării

Totdeauna proiectarea a avut faze de control şi verificare bine conturate. Se ştie

că proiectarea oricărui echipament electric are o primă parte denumită "proiectare

preliminară" formată din predimensionarea sau alegerea componentelor urmată de a

doua parte "verificare proiect" care poate fi fie analitică, formată din "calcule de

verificare", fie experimentală constituită din realizarea unui prototip. Şi în cazul

proiectării tradiţionale, care se mai continuă în multe sectoare tehnice, se întâlnesc

activităţi de verificare si control referitoare la calitate.

Controlul proiectării, în spiritul noilor standarde ISO 9000 are un conţinut mai

riguros. Termenul "calitate" considerat în faza de concepţie-proiectare include şi

caracteristicile de fiabilitate, mentenabilitate, securitate şi risc care sunt în general

specificate de utilizare.

Proiectarea trebuie să stabilească şi să menţină proceduri în vederea verificării şi

asigurării satisfacerii condiţiilor specificate. Condiţiile referitoare la produs care

formează date "de intrare" ale proiectării trebuie analizate, verificate pentru a constata

dacă sunt corespunzătoare, în conformitate cu nevoile utilizării.

Datele "de ieşire" ale proiectării trebuie documentate, exprimate prin condiţii,

calcule si analize. Verificarea acestor elemente de proiectare constituie controlul

calităţii produsului în faza de concepţie-proiectare. Verificarea proiectului trebuie să

stabilească faptul că date "de ieşire" ale proiectării satisfac condiţiile din datele "de

intrare" ale proiectării.

Controlul proiectării conţine activităţi si proceduri cunoscute îndeosebi

specialiştilor proiectanţi ai domeniilor respective.

O componentă importantă a calităţii proiectării o reprezintă calitatea

documentelor tehnice elaborate. Sunt necesare proceduri de control al tuturor

documentelor şi datelor furnizate fabricaţiei. Un personal autorizat controlează şi

avizează documentaţia pusă în circulaţie. Documentele perimate sau modificate sunt

retrase din toate punctele de difuzare sau utilizare.

b) Controlul fabricaţiei

Controlul fabricaţiei este controlul cel mai cunoscut atât factorilor interni cât şi

externi (utilizatori sau altor factori interesaţi).


15

Controlul calităţii în stadiul de fabricaţie al unui produs conţine un volum de

activităţi foarte mare şi diferit, legat de fiecare component şi de diferitele etape ale

proceselor de fabricaţie.

Metodele controlului de fabricaţie se bazează pe metodologii şi procedee

specifice componentelor analizate şi sunt fundamentate de statistica matematică şi teoria

probabilităţilor (aceste metode sunt prezentate la cap. Calimetrie).

Controlul de fabricaţie are un rol important în asigurarea calităţii unui produs

fiind în general considerat elementul de bază a încrederii în calitatea produsului atât

pentru producător cât si pentru utilizator.

De multe ori controlul de fabricaţie este făcut răspunzător de toate deficienţele

care se constată la utilizare. referitor la această situaţie trebuie subliniat următorul

aspect: controlul calităţii nu creează calitatea, ci verifică şi atestă calitatea existentă,

definită de concepţie.

În consecinţă îmbunătăţirea calităţii este o problemă de concepţie, de proces şi

nu de control.

Controlul de fabricaţie are rolul de a verifica conformitatea cu documentaţia

tehnică a produsului şi de a îndepărta defectele sistematice. Producătorul trebuie să

stabilească şi să menţină proceduri documentate pentru controlul verificării şi

depozitării produsului furnizat utilizatorului.

În unele cazuri este necesară şi stabilirea documentată a parcursului produsului

de-a lungul tuturor etapelor de fabricaţie începând cu recepţia materialelor, procese

tehnologice, depozitare, livrare şi montaj ("trasabilitatea produsului"), incluzând şi

încercările ale căror rezultate se înregistrează şi se arhivează. O înregistrare a calităţii

furnizează dovezi obiective ale activităţilor efectuate sau ale rezultatelor obţinute. O

înregistrare poate fi scrisă sau stocată pe orice suport de date.

Fabricaţia modernă necesită monitorizarea si controlul continuu al parametrilor

proceselor tehnologice de producţie pentru a se asigura permanent îndeplinirea

condiţiilor specificate.

Controlul de fabricaţie poate fi "control total" dacă este extins la toate activităţile

tuturor compartimentelor tehnice ale unei întreprinderi. Se constată o eficacitate sporită

a controlului dacă executantul unei operaţii participă la controlul operaţiei anterioare.

Acest control este participativ.

Dacă se prevăd operaţii de control "integrate" în toate fazele proceselor de

fabricaţie controlul calităţii este denumit "control total integrat participativ".

Controlul calităţii în domeniul fabricaţiei include si forma denumita "inspecţie"

care constă din activităţi generale care urmăresc: dacă activităţile de control se

desfăşoară conform planului calităţii, sau cu procedurile documentate; daca se folosesc

metode de monitorizare si control al proceselor; dacă sunt efectuate toate încercările

necesare la recepţia materialelor şi, de asemenea, dacă este efectuată verificarea

conformităţii produsului finit cu condiţiile specificate. Fabricantul este obligat să

stabilească şi să păstreze înregistrări care fac dovada că produsul a fost supus la

inspecţii şi încercări având criterii de acceptare definite.

Controlul calităţii include şi verificarea metrologică sistematică a mijloacelor de

măsurare şi încercare.

Verificările metrologice, împreună cu toate încercările şi verificările calităţii, se

păstrează şi se arhivează pentru a demonstra, când este cazul, realizarea calităţii cerute.

Înregistrările calităţii trebuie să fie lizibile si identificabile în raport cu produsul

în cauză. Duratele de păstrare a înregistrărilor calităţii trebuie stabilite şi înregistrate în

corelare cu durata de garanţie a produsului, răspunderea juridică, etc. şi sunt la

dispoziţia utilizatorului.


16

Controlul calităţii se extinde şi la activităţile de manipulare, depozitare,

ambalare şi livrare pentru a asigura menţinerea calităţii în fazele respective.

1.4.3.2 Auditul calităţii

Auditul calităţii (Quality Audit) înseamnă "examinarea sistematică şi

independenta în scopul de a determina dacă activitătile referitoare la calitate si

rezultatele aferente satisfac dispozitiile prestabilite, precum şi dacă aceste

dispozitii sunt implementate efectiv şi sunt corespunzătoare pentru realizarea

obiectivelor".

Auditul calităţii se poate aplica unui sistem al calităţii, unor procese, produse sau

servicii, purtând denumirile respective (auditul proiectării, a controlului, a certificării,

etc.). Auditurile calităţii sunt efectuate de un personal independent care nu are

responsabilităţi directe în domeniile auditate, dar de preferinţă, colaborează cu

personalul domeniilor respective.

Auditul calităţii poate evalua necesitatea îmbunătăţirii calităţii sau necesitatea

unor acţiuni corective.

Auditul calităţii poate fi intern sau extern.

a) Auditul intern poate avea următoarele obiective:

- identificarea punctelor slabe referitoare la calitate;

- eliminarea risipei;

- de a verifica efectul acţiunilor corective.

Auditul intern este un instrument de management pentru conducerea sistemului.

Un audit poate constata şi dacă sistemul de management al calităţii îşi

îndeplineşte obiectivele de calitate declarate.

Auditul intern poate furniza o comparaţie între ceea ce planul calităţii stipulează

că ar trebui să se facă şi ceea ce se face de fapt.

În general auditul intern trebuie să se refere la următoarele:

- neconformităţi cu instrucţiunile stabilite;

- deficiente ale sistemului de management al calităţii;

- recomandări de acţiuni corective pentru a îmbunătăţi sistemul calităţii şi

managementului calităţii;

- referiri la tehnicile de măsurare, încercare, înregistrare şi arhivare a

rezultatelor.

Managementul calităţii trebuie să prevadă "planuri de audit" care să acopere

toate domeniile şi activităţile specifice şi care să se desfăşoare la intervale de circa 3-4

luni. Planul trebuie să prevadă calificarea minimă a personalului care îndeplineşte

auditul, modul de finalizare şi de aprobare a raportului de audit.

Pentru auditul intern se recomandă a fi realizat de un personal calificat

corespunzător, putând fi şi membri ai colectivului de control al calităţii, având în vedere

ca aceştia să nu fie responsabili de calitatea produsului auditat.

b) Auditul extern se efectuează neplanificat la iniţiativa utilizatorului.

Fabricantul trebuie să fie de acord cu efectuarea acestor evaluări şi, de obicei, acestea se

găsesc ca o clauză separată în contract.

În general aceste audituri sunt simple şi de obicei sunt utilizate în cazul

echipamentelor mai complexe având ca obiectiv conformitatea cu standardele

specificate. În cazul unor utilizatori importanţi şi stabili (CNCF "CFR", CONEL, etc.)

producătorul de echipament electric creează condiţii speciale de desfăşurare a acestor

audituri asigurând:

- un birou şi facilităţi administrative;

- spaţiu de lucru necesar pentru verificarea produselor;


17

- acces pe fluxul tehnologic şi de fabricaţie şi în laboratoarele de încercări;

- sprijin pentru documentare;

- asigurarea participării la recepţia materialelor;

- asistentă la manipularea, ambalarea, depozitarea şi livrarea produselor

respective.

Aceste activităţi definesc ceea ce se numeşte "evaluarea producătorului".

1.5 SISTEMELE CALITĂŢII ŞI ALE MANAGEMENTULUI CALITĂŢII

1.5.1 SISTEMELE CALITĂTII

1.5.1.1 Elemente generale, definiţii şi interpretări

Sistemele calităţii ("Quality Sistem" - QS) înseamnă "ansamblul de structuri

organizatorice, proceduri, procese şi resurse necesare realizării calităţii unui

produs" si implementării managementului calităţii".

Termenul de resursă trebuie înţeles în sensul general incluzând: personal,

finanţe, facilităţi, echipamente, tehnici si metode.

Sistemele calităţii constituie modele de asigurare ale calităţii. Se definesc astfel

trei modele de asigurare a calităţii:

- model ISO 9001 pentru asigurarea calităţii în proiectare-dezvoltare,

producţie, montaj si service;

- model ISO 9002 pentru asigurarea calităţii în producţie şi montaj;

- model ISO 9003 pentru asigurarea calităţii în inspecţii şi încercări finale.

Modelele respective sunt complementare (nu alternative). Modelul complet îl

constituie modelul ISO 9001 care are ca obiectiv calitatea începând de la proiectare

până la utilizare considerând toate stadiile produsului.

Sistemul calităţii unui produs (model ISO 9001) poate fi stabilit pe baza

cunoaşterii în detaliu a tuturor aspectelor proiectării, a materialelor, a proceselor

tehnologice, de fabricaţie si montaj. Asigurarea calităţii în cadrul acestui model, nu

poate fi completă dacă nu sunt exprimate toate cerinţele utilizării.

Sistemul calităţii este specific fiecărui produs sau unei categorii întregi de

produse şi nu trebuie să fie mai extins decât o cere realizarea obiectivelor calităţii.

Încadrarea în standarde internaţionale a sistemului calităţii este o operaţie care

necesită o documentare completă. În general se menţionează numai elementele generale

şi de principiu specifice condiţiilor de proiectare şi de fabricaţie ale unui produs.

Fabricantul îşi stabileşte sistemul calităţii care să îi asigure competitivitatea pe piaţa de

desfacere.

Standardul ISO 9001:2000 consideră modelul general de proces referindu-se

numai la sistemul managementului calităţii.

Sistemul calităţii este necesar să satisfacă toate obiectivele referitoare la calitate

şi, de asemenea, necesităţile manageriale interne ale întreprinderii.

1.5.1.2 Funcţiile sistemului calităţii

Ansamblul tuturor caracteristicilor produsului formează baza elaborării

sistemului calităţii şi a activităţilor care urmează a se desfăşura.

Aceste activităţi definesc funcţia sistemului care are ca efect realizarea calităţii

produsului considerat.

În Fig. 1.8 sunt reprezentate în mod simplificat componentele funcţiei sistemului

calităţii model ISO 9001.


18

FUNCTIILE

SISTEMULUI

CALITÃTII

Analizã contract (temã)

Analizã piatã, solutii,materiale, costuri

Proiectare, încercãri.

Documente

Control proiectare sidocumentatieElaborari procese,procedee

Stabilire resurse. Structuri

Elaborare control total al

calitãtiiÎncercãri, analiza calitãtii de fabricatie.Actiuni corective. Tehnici statistice.

Înregistrãri

Manipulare, depozitare

Audituri interne

Analize montaj, mentenantã,comportare în exploatare

Fig. 1.8. Funcţiile sistemului calităţii.

Acest grafic se detaliază funcţie de tipul şi caracteristicile produsului.

1.5.1.3 Fluxul de informaţii al sistemului calităţii

Realizatorii calităţii (proiectanţi şi fabricanţi) trebuie să cunoască mai multe

despre calitate.

CONCEPTIEPROIECTARE

OPERATIONALA

CERCETARI

MATERIALE

TEHNOLOICE

CARACTERISTICI

ANDURANTA

TEORIE=FENOMENE SI

PROCESE FIZICE

REVISTE TEHNICE

BREVETE

SIMPOZIOIIOANE

STIINTIFICE

SOLUTII EXISTENTE

EXECUTIEPROTOTIP

INCERCARI

PROTOTIP INCERCARI

FIABILITATE

UTILIZARESERVICEANALIZE SOLICITARIANALIZE

COMPORTARE

FABRICATIE

INCERCARI

CONTROL TOTAL

Fig. 1.9 Fluxul de informaţie al calităţii.

Proiectarea calităţii unui produs necesită un volum foarte mare de informaţii

achiziţionate din toate domeniile de tehnice legate de produsul respectiv.

Aceste informaţii formează un sistem care funcţionează continuu pe baza unei

structuri organizatorice operaţionale.

Informaţiile tehnice sunt esenţiale pentru concepţia şi proiectarea calităţii.


19

În Fig. 1.9 este reprezentată circulaţia informaţiilor sau fluxul de informaţii

necesar concepţiei şi proiectării, necesar deciziilor corecte de adoptare a soluţiilor,

preestimarea şi verificarea caracteristicilor calităţii. În această figură sunt precizate si

sursele importante de unde se obţin informaţii utile concepţiei şi proiectării. Informaţiile

tehnice complexe, din toate domeniile, asigură competitivitatea calităţii pe piaţă sau

fiabilitatea comercială a produsului şi în final susţin o lungă durată de viaţă a

întreprinderii respective.

1.5.2 SISTEMUL DE MANAGEMENT AL CALITĂŢII

1.5.2.1 Sisteme de management. Definiţii, modele şi obiective

Sistemul managementului calităţii ("Quality Management System" - QMS) este

"ansamblul activităţilor funcţiei generale de management care determină politica

în domeniul calităţii, obiectivele şi responsabilităţile şi care le implementează în

cadrul sistemului calităţii prin mijloace cum ar fi planificarea calităţii, controlul

calităţii, asigurarea calităţii şi îmbunătăţirea calităţii".

Procedurile documentate (scrise) trebuie să precizeze toate elementele necesare a

fi cunoscute.

Sistemul managementului calităţii reprezintă ansamblul activităţilor de

conducere la nivelul întreprinderii incluzând şi activităţile de conducere ale diferitelor

compartimente.

Managementul calităţii constituie responsabilitatea tuturor nivelurilor de

management, având însă conducerea managementului de la nivelul cel mai înalt.

a) Managementul total al calităţii

Evoluţia sistemului de management al calităţii se orientează spre sisteme

integrale de management care extind aria de acţiune asupra tuturor compartimentelor şi

activităţilor din întreprindere.

În acest caz se defineşte "Managementul Total al Calităţii ("Total Quality

Management" - TQM) ca fiind "modul de management al unei organizaţii,

concentrat asupra calităţii, bazat pe participarea tuturor membrilor acesteia şi

care vizează un succes pe termen lung prin satisfacerea utilizatorului precum şi

avantaje pentru toţi membrii organizaţiei şi pentru societate".

Calitatea este plasată în centrul tuturor preocupărilor. Sistemele TQM sunt

dezvoltate si transpuse în practică cu soluţii individuale specifice fiecărei întreprinderi.

Principiul de bază al procesului TQM este "fiecare este simultan şi producător

şi utilizator".

b) Aspectul dinamic al sistemului de management al calităţii

Managementul calităţii unui produs elaborează, organizează si conduce

activităţile necesare realizării calităţii. Acest management trebuie să aibă o permanentă

preocupare de îmbunătăţire a sistemului managementului calităţii.

În principiu perfecţionarea managementului ("calea lui Deming") se poate

realiza prin definirea permanentă a următoarelor obiective:

- Planificare: a stabili obiectivele, termene, procese necesare obţinerii de

rezultate corespunzătoare cerinţelor;

- Execuţie: a pune în funcţie procese stabilite pentru executarea produsului

cerut;

- Verificare: a suprapune şi controla procesele şi produsul în raport cu

obiectivele propuse;

- Intervenţie: a întreprinde acţiuni permanente de îmbunătăţire a

performanţelor proceselor de execuţie.


20

Sistemul de management al calităţii trebuie să acţioneze ca un sistem dinamic

(Fig.1.10)

Sistemul de management al calităţii este eficient dacă în întregime este:

documentat (instrucţiuni scrise), cunoscut şi înţeles de întreg personalul întreprinderii.

Sistemul de management al calităţii este fiabil dacă întreg personalul consideră

că asigurarea calităţii înseamnă asigurarea viitorului întreprinderii, ştie cum să

contribuie la realizarea calităţii şi este stimulat să participe la funcţionarea sistemului.

Sistemul de management al calităţii trebuie să fie capabil să întreţină neîntrerupt

un control sistematic asupra activităţilor interne sau externe care influenţează calitatea

unui produs.

PLANIFICARE Q

INTERVENTIEPROCESE Q

VERIFICARE Q

EXECUTIE Q

Fig. 1.10 Aspectul dinamic al managementului calităţii.

c) Modelul de proces ISO 9000:2000

În principiu standardul ISO 9000:2000 porneşte de la ideea că orice creaţie este

realizată printr-un proces. De asemenea, orice activitate sau operaţiune care primeşte

date de intrare (input-uri) şi le transformă în rezultate (output-uri) poate fi considerată

un proces. În consecinţă aproape toate activităţile industriale şi operaţiile de servicii

sunt procese. Procesul în sine reprezintă o transformare care adaugă valoare (proces de

creare a valorii). Un proces care nu creează valoare ar trebui eliminat în scopul

simplificării sau optimizării operaţiilor.

Realizarea unui produs se obţine printr-o reţea de procese.

Un proces constă din etape interdependente care se succed logic contribuind la

creşterea valorii şi la o realizare secvenţială a produsului. În cadrul fiecărei etape sunt

definite intrări, condiţii şi ieşiri pentru fiecare post sau punct din lotul activităţilor de

realizare a produsului (Fig.1.11).

Într-o succesiune de etape de proces, ieşirea unei etape devine intrare pentru

etapa următoare. Schema este un model pentru procesele de sistem de management al

calităţii putând indica şi interacţiunea dintre procese. Conform ISO 9000-1 un proces

este un set de resurse şi activităţi aflate în interacţiune, care transformă intrările în

rezultate. Prin documentarea proceselor, stabilirea parametrilor de proces, a

obiectivelor, verificări şi reacţia de răspuns (feedback) se asigură realizarea calităţii

etapei respective.

Responsabilul pentru o etapă sau o succesiune de etape este executantul.

Managementul stabileşte cerinţele şi responsabilităţile fiecărui proces.

Prin optica acestui model, satisfacerea şi nivelul satisfacerii cerinţelor utilizării,

acţionând ca un feedback, orientează obiectivele de bază ale managementului calităţii.

Managementul procesului este aplicat pentru toate procesele necesare realizării

produsului şi rezultatele procesului sunt verificate justificând decizia adoptată.


21

Intrare Iesire

Etapa a

procesului

Testare-

Decizie

Reacţie

Măsurare

Fig. 1.11 Etapă a procesului.

d) Obiectivele de bază ale sistemului de management al calităţii

Sistemul de management al calităţii înseamnă o structură organizatorică,

activităţi, resurse şi evenimente care furnizează proceduri şi metode de implementare

care să asigure capacitatea unei întreprinderi de a îndeplini cerinţele de calitate.

Sistemul de management trebuie să satisfacă cerinţele necesare realizării

obiectivelor de bază prezentate în Fig. 1.12 asigurând activităţi operaţionale de

conducere.

ASIGURAREA

CALITĂŢII

OBIECTIVELE

SISTEMULUI DEMANAGEMENT AL

CALITĂŢII

CONTROLUL

CALITĂŢII

MANUALULMANAGEMENTULUI

CALITĂŢII

PROCEDURILE

CALITĂŢIIPLANURILE

CALITĂŢII

INSTRUCŢIUNI

DE LUCRU

Fig. 1.12 Obiectivele principale ale sistemului de management al calităţii

Asigurarea calităţii bazată pe un control eficient, elaborarea unui manual de

management al calităţii şi conducerea întregului lanţ de procese constituie conţinutul

obiectivelor de bază al sistemului de management al calităţii.

1.5.2.2 Politica în domeniul calităţii

Prin "politică în domeniul calităţii" (Quality Policy" - QP) se înţelege

"ansamblul obiectivelor şi orientărilor generale ale unei întreprinderi în ceea ce

priveşte calitatea aşa cum este exprimată oficial de conducere la nivelul cel mai

înalt". Politica în domeniul calităţii este definită considerând următoarele obiective:

- furnizarea de produse si servicii care să satisfacă aşteptările utilizării;

- concordantă cu standardele referitoare la calitate;

- îmbunătăţire permanentă a calităţii;

- realizarea calităţii competitive.

Politica în domeniul calităţii este stabilită si pusă în aplicare de conducerea unei

întreprinderi care fixează şi responsabilităţi la nivelul fiecărui proces sau compartiment

în care se realizează calitatea.

a. Trilogia calităţii

O expresie modernă a politicii în domeniul calităţii a fost formulată de

J.M.Juran, cunoscut specialist american de origine română, intitulată trilogia calităţii.


22

Acest concept avansat al politicii calităţii se bazează pe trei obiective orientate de

calitate:

- planificarea calităţii;

- controlul calităţii;

- îmbunătăţirea calităţii.

Fiecare proces este universal cuprinzând o serie întreagă de activităţi şi secvenţe

care se desfăşoară continuu. Punctul de plecare este planificarea calităţii şi stabilirea de

procese care să îndeplinească sarcinile specificate. Obiectivul planificării poate fi

oricare: un proces de birou pentru producerea documentelor, un proces ingineresc de

proiectare mai bun, un proces de fabricaţie cu abateri mai reduse, un proces de service

care corespunde mai bine cerinţelor utilizării, etc.

În Fig. 1.13 este reprezentat ansamblul universal al proceselor care formează

trilogia calităţii.

POLITICA

ŞIMANAGEMENTUL

Q

Planificare Q Control Q

Îmbunătăţirea Q

Fig. 1.13 Graficul trilogiei calităţii.

Planificarea calităţii include activităţi de analiză, cercetare, proiectare si punere

în fabricaţie a unui produs cu o calitate care rezultă din progresul permanent care se

înregistrează în direcţiile respective. Controlul calităţii este procesul care

fundamentează încrederea în calitatea prevăzută. Îmbunătăţirea calităţii este un proces

permanent anticipând cerinţele utilizării având ca efecte: progresul în domeniul calităţii

şi asigurarea competitivităţii tehnice şi economice.

Trilogia calităţii arată că în prezent calitatea este rezultatul unor procese

performante continuu îmbunătăţite.

b. Factori de competitivitate ai calităţii

Competiţia între diferiţii furnizori ai unui tip de produs implică numeroase

aspecte: preţ, activităţi de service, facilităţi de transport şi instalare, etc., dar cel mai

important factor de competiţie îl formează calitatea. Calitatea ca factor de competiţie

reprezintă un efect al politicii în domeniul calităţii şi un obiectiv important al

managementului calităţii.

Utilizarea calităţii în condiţii de competiţie necesită:

1. Cunoaşterea "calităţii existente pe piaţă" şi utilizarea informaţiilor respective în

reproiectarea calităţii produsului;

2. Cunoaşterea clară a necesităţilor şi a condiţiilor de funcţionare a produsului;

3. Proiectarea produsului: stabilire de performante prin creşterea fiabilităţii,

reducerea activităţilor de mentenanţă, optimizarea soluţiei constructive pe baza

criteriilor economice;

4. Perfecţionarea proceselor tehnologice de fabricaţie şi ţinerea acestora "sub

control";

5. Precizarea perioadelor de garanţie a calităţii printr-o cunoaştere mai bună a

performanţelor produsului şi ale condiţiilor de utilizare;


23

6. Cercetarea amănunţită a materialelor utilizate şi în special a caracteristicilor de

anduranţă pentru diferitele solicitări specifice produsului;

7. Îmbunătăţirea sistemului de informaţie internă şi externă prin acţiuni susţinute

de întoarcere a informaţiilor;

8. Analiza şi îmbunătăţirea planului calităţii;

9. Perfecţionarea sistemelor de control, pentru evitarea trecerii neconformităţilor

şi asigurarea unei reputaţii pozitive pe piaţă.

Realizarea acestor obiective antrenează toate compartimentele şi întregul

personal privind îmbunătăţirea calităţii

1.6 DOCUMENTE SEMNIFICATIVE ALE CALITĂŢII ŞI

ALE MANAGEMENTULUI CALITĂŢII

1.6.1 GRUPAREA DOCUMENTELOR CALITĂŢII

Standardele ISO stabilesc regulile de bază pentru sistemele de management al

calităţii începând de la precizarea principiilor de bază până la implementarea acestora.

Un sistem de management al calităţii poate fi eficient dacă este în întregime

documentat (scris), înţeles şi urmat de către toţi. Există numeroase documente tehnice

care condiţionează calitatea unui produs. Acestea pot fi grupate pe trei nivele (A, B si

C). În Fig. 1.14 se prezintă o grupare de principiu.

Politica de

Calitate

Organizatia

Functii

Elemente ale

sistemului calitatii

Controlul Documentelor

si al Datelor

Controlul Inregistrarilor

de Calitate

Actiuni Corective si Preventive

Audituri interne ale Calitatii

Imbunatatire continua

Satisfactia beneficiarului

Revederea Sistemului Calitatii

Realizarea serviciilor, suport si procese interne

Documente si Forme de Referinta

Nivelul A

Manualul Calitatii

Nivelul B

Nivelul

C

Vedere de ansamblu

Politica de Calitate si

Organizatie

Sistemul de

Control al

Calitatii

Proceduri

Instructiuni

de Lucru

Declaraţia politicii de

calitate

Fig. 1.14 Ierarhia tipică a documentelor sistemului calităţii.

Oricare document poate fi considerat separat, utilizat corespunzător sau înlocuit.

Printre documentele semnificative ale calităţii se pot considera următoarele:

- Manualul Managementului calităţii;

- Planul Calităţii;

- Documentele (diplomele) de certificare şi de acreditare.


24

Aceste documente constituie elementele de bază ale asigurării calităţii şi ale

încrederii utilizatorului în calitatea produsului solicitat.

1.6.2 MANUALUL MANAGEMENTULUI CALITĂŢII

Manualul managementului calităţii (MMC) este documentul care prezintă

politica în domeniul calităţii şi descrie sistemul calităţii unei întreprinderi.

MMC reprezintă înregistrarea oficială a sistemului de management al calităţii

unei anumite întreprinderi si este o carte a regulilor referitoare la calitate după care

funcţionează întreprinderea respectivă şi, de asemenea, o sursă de informaţii pentru

utilizare.

Manualul managementului calităţii conţine în general elementele prezentate în

Fig.1.15 şi de asemenea:

- o declaraţie a politicii întreprinderii referitoare la calitate şi controlul

calităţii;

- descrierea responsabilităţilor factorilor de conducere;

- programele de instruire în domeniul asigurării calităţii.

MMC trebuie să mai precizeze:

- cum funcţionează recepţia materialelor de la subcontractanţi;

- cum se înlocuiesc documentaţiile tehnice;

- cum se înregistrează inspecţiile şi auditurile;

- cum se monitorizează calitatea;

- cum se gestionează si cum se arhivează documentele referitoare la controlul

calităţii.

MANUALUL MANAGEMENTULUI CALITATII

STRUCTURI

RESPONSABILITATI PROCESE PROCEDURI RESURSE

“Cine ce face?” “Cum si cu ce mijloace?”

Fig. 1.15 Conţinutul MMC.

Fiecare întreprindere numeşte un Manager al calităţii (Directorul calităţii) direct

subordonat Directorului General.

În Fig. 1.16 sunt prezentate principalele responsabilităţi ale managerului

calităţii.

Este necesar ca Managerul Calităţii să aibă o bună pregătire profesională cu

experienţă, şi cunoştinţe în domeniul calităţii şi fiabilităţii, care să-i permită să-şi

exercite cu competentă autoritatea.

Prin PROCEDURĂ se înţelege modul specificat de efectuare a unei activităţi.

Procedurile sunt documentate (procedura scrisă) în care se precizează toate

elementele necesare a fi cunoscute.

Procedurile tehnologice de fabricaţie sunt explicit documentate, precizându-se

scopurile si domeniul de aplicare ale unei activităţi: ce trebuie făcut, de către cine, unde

şi cum trebuie efectuată activitatea, ce materiale, echipamente şi documente trebuie

utilizate, cum trebuie controlată şi înregistrată activitatea.


25

Pentru fiecare operaţie trebuie să se ştie: ce trebuie făcut, cu ce, şi de ce. Nu

trebuie să se lase operatorului nici o alternativă.

Directorul general

Managerul calităţii

Proiectarea manualului

calitaăţi

Funcţionarea sistemului

calităţii

Proiectarea planului

calităţii

Recepţia materialelor

Calitatea pe flux de

fabricaţie

Controlul calităţii

Fig. 1.16 Responsabilităţile managerului calităţii.

În cazul unor modificări de procedură se urmăresc sistematic documentaţiile

corectate.

Manualul managementului calităţii este specific fiecărei întreprinderi şi este

avizat de un for superior administrativ în domeniul calităţii.

1.6.3 PLANUL CALITĂTII

1.6.3.1 Graficul şi conţinutul planului

Planul calităţii este "un document care stabileşte practicile de calitate specifice,

resursele şi secvenţele activităţilor relevante pentru un anumit produs, proiect sau

contract".

Fiecare tip de produs are un plan al calităţii diferit şi în general trebuie să

conţină următoarele:

- să asigure compatibilitatea proiectării, a proceselor de producţie şi a

montajului cu documentaţia aplicată şi, de asemenea, să coreleze diferitele

etape de realizare a produsului;

- să precizeze criterii de acceptare si de respingere, să prevadă condiţiile

înregistrărilor calităţii şi arhivarea rezultatelor;

- să precizeze scopul, obiectivele calităţii exprimate în caracteristici

cantitative, construind un document de sine stătător;


26

- să conţină, de asemenea, cerinţe de performantă, cu precizarea metodelor,

procedurilor de calitate şi instrucţiuni de lucru, criterii de acceptare si de

respingere;

- să conţină o planificare a calităţii în corelare cu cerinţele, procesele si

tehnicile speciale necesare;

- să stabilească şi să menţină şi proceduri documentate pentru controlul tuturor

documentelor cu precizări pentru fiecare produs.

În Fig.1.17 este prezentat un grafic al planului calităţii (simplificat) al unui

echipament electric.

Graficul planului calităţii trebuie să se refere la întreg "ciclul de viaţă" al unui

produs.

Ciclul de viată este definit ca: "intervalul de timp de la iniţierea concepţiei

produsului până la înlăturare si scoatere din uz".

Acest plan al programului calităţii este un document tehnic de bază şi se

elaborează în faza de concepţie-proiectare.

Se pot considera în general următoarele faze ale ciclului de viată:

1. Concepţie şi definiţie;

2. Proiectare / dezvoltare;

3. Fabricaţie - încercări - control;

4. Instalare - punere în funcţiune;

5. Utilizare - mentenanţă;

6. Scoatere din uz - lichidare.

Conţinutul general şi de principiu al fiecărei faze este:

În faza de concepţie şi definiţie se stabilesc necesităţile şi cerinţele referitoare

la produs, definindu-se toate aspectele tehnice. Soluţiile adoptate au un impact direct

asupra produsului şi asupra costului de-a lungul ciclului de viaţă.

În fazele de proiectare / dezvoltare se elaborează şi se documentează soluţiile

tehnice cu specificaţii detaliate de fabricare, se realizează documentaţia produsului şi

instrucţiunile de întreţinere şi utilizare.

Se asigură cerinţele referitoare la siguranţa în funcţionare, analize predictive,

criteriile de verificare şi atestare, activităţile de ingineria calităţii, propagarea erorilor si

abaterilor, optimizări, performante, planificări şi susţineri logistice ale mentenanţei, etc.

În această fază se proiectează calitatea produsului.

De asemenea, se formulează cerinţele referitoare la scoaterea din exploatare şi,

dacă este cazul, măsurile necesare de protecţie a mediului ambiant.

În faza de fabricaţie se consideră procesele şi procedeele de realizare a

caracteristicilor calităţii. Se pun în funcţie planurile de control si procedeele stabilite, se

asigură stabilitatea proceselor de fabricaţie, încercările de conformitate, se verifică dacă

elementele stabile de proiectare nu sunt modificate pe durata procesului de fabricaţie.

Activităţile fundamentale sunt legate de verificarea şi atestarea îndeplinirii condiţiilor

impuse şi de încercările de fiabilitate şi mentenabilitate.

Faza de instalare şi de punere în funcţie a echipamentului în conformitate cu

instrucţiunile tehnice, asigură calitatea produsului instalat.

Se prevăd activităţi de control şi verificare a funcţionării putându-se estima

efectul transportului şi a depozitării asupra calităţii.

Faza de utilizare şi de mentenanţă este foarte complexă şi presupune existenţa

unei legături sistematice între constructor şi utilizator asigurând un flux de informaţii

permanent (retur de experienţă).

Pentru a asigura siguranţa în funcţionare este necesar să se prevadă:

- instrucţiuni de exploatare;


27

- instrucţiuni de întreţinere;

- instrucţiuni de avertizare;

- instruire;

- piese de schimb, etc.

Faza de scoatere din exploatare este faza în care produsul este îndepărtat de la

locul de utilizare, demontat, scos din serviciu, distrus sau depozitat.

În această fază se prevăd acţiuni de analize ale uzurii şi se asigură feed-back-ul

datelor în scopul de a îmbunătăţi fiabilitatea şi mentenabilitatea de concepţie şi

proiectare.

De asemenea, se prevăd activităţi de recuperare a materialelor sau elementelor

reciclabile, în condiţiile de protecţie a mediului ambiant.

Un plan al calităţii trebuie să fie cât mai scurt posibil. Acesta poate fi alcătuit

dintr-un număr de părţi (plan structurat), fiecare reprezentând câte un plan pentru o

etapă distinctă cu: proiectare, aprovizionare, fabricare, încercări, etc.

În final planul calităţii trebuie analizat pentru conformitate şi aprobat de un grup

autorizat format din reprezentanţii tuturor departamentelor implicate în realizarea

nivelului calităţii din partea producătorului.

1.6.3.2 Mod de elaborare a planului calităţii

La elaborarea planului calităţii trebuie stabilite şi precizate toate activităţile şi

elementele definitorii ale calităţii produsului în condiţiile date.

Planul calităţii este suplimentar documentaţiei de bază a sistemului calităţii dar

nu trebuie să dubleze documentaţia de bază.

Planurile calităţii trebuie să reflecte mecanismul care face legătura între cerinţele

şi condiţiile specifice produsului şi procedurile sistemului calităţii. Un plan al calităţii

poate fi utilizat pentru monitorizarea şi evaluarea condiţiilor referitoare la calitate.

Elaborarea unui plan al calităţii se bazează pe următoarele activităţi sau acţiuni

preliminare:

- analiza preliminară a nivelului calităţii produsului şi a cerinţelor respective;

- considerarea tuturor caracteristicilor, componentelor şi a fazelor realizării

calităţii (concepţie, proiectare, fabricaţie);

- corelare cu manualul managementului calităţii;

- coordonare cu cerinţele şi condiţiile standardelor referitoare la calitate.

Planul calităţii trebuie să precizeze şi etape de control şi revizie care să reflecte

modificările pe parcurs aduse produsului.

1.6.4 DOCUMENTE DE CERTIFICARE, EVALUARE ŞI ACREDITARE

În conformitate cu actualele standarde ale calităţii certificarea se referă numai la

sistemele managementului calităţii.

Certificarea este confirmarea de către un terţ independent şi recunoscut a

faptului că o întreprindere are introdus în practică şi menţinut corespunzător un sistem

de management al calităţii.

Existenţa unui manual al managementului calităţii nu constituie o dovadă

suficientă pentru un utilizator că se şi aplică în practică.

Certificatul de conformitate cu standardul SR EN ISO 9001:2000 privind

sistemul de management al calităţii constituie o garanţie a stabilităţii, calităţii şi

seriozităţii serviciilor şi un argument important în definirea calităţii în relaţiile fabricant

- utilizator. Certificarea atestă faptul că pe lângă manualul managementului calităţii

există o structură organizatorică a managementului corelată cu organizarea proceselor

din întreprindere care acţionează permanent în direcţia realizării calităţii specificate.


28


29

Prin certificare se atestă calificarea întreprinderii care dovedeşte că are asigurate

toate premisele manageriale pentru fabricarea de produse de calitate în conformitate cu

standardele internaţionale din seria ISO 9000.

Certificatul formează astfel dovada atestată a implementării sistemului

managementului calităţii.

Certificarea se referă la structura organizatorică şi la organizarea proceselor

dintr-o întreprindere.

Implementarea sistemului de management al calităţii este evaluat de un audit de

certificare. Această evaluare are ca scop verificarea sistemului de management al

calităţii din perspectiva conformităţii cu cerinţele standardului pe care se bazează.

Controalele realizate în întreprinderea respectivă trebuie să demonstreze că sistemul de

management al calităţii este funcţional.

Dacă auditul de certificare este satisfăcător auditorii recomandă acordarea

certificatului. Există, de asemenea, proceduri de acreditare pentru laboratoare care

trebuie să verifice conformitatea calităţii produselor.

Prin acreditare se înţelege recunoaşterea oficială a competentei, iar prin

certificare, se înţelege confirmarea (de către un terţ independent) a conformităţii cu

condiţiile anumitor standarde.

Organismele de standardizare din Europa, responsabile de elaborarea

standardelor de evaluare a conformităţii, precizează o serie de proceduri de evaluare şi

criterii de acreditare pentru laboratoare.

Organismele naţionale de certificare sunt certificate şi autorizate de organismele

europene.

Comisia Europeană, EC, recomandă ca sistemul naţional de certificare şi

evaluare să fie deschis pentru toate organismele competente, publice sau private, pentru

ca astfel să fie deschisă calea competiţiei naţionale şi internaţionale.

Un certificat de conformitate are o valabilitate de trei ani, cu condiţia ca

mentenanţa sistemului de management al calităţii să fie atestată printr-un audit de

supraveghere cel puţin odată pe an.

Trebuie menţionat că implementarea unui sistem de management al calităţii,

certificare şi acreditare sunt obiective iniţiale parţiale, absolut necesare dar insuficiente

pentru obţinerea calităţii care să asigure în totalitate cerinţele utilizării. Preocupările

referitoare la calitate nu se rezumă la aceste acţiuni ci urmăresc toate obiectivele

planului calităţii unui produs.

1.7 ASPECTE ECONOMICE ALE CALITĂŢII

1.7.1 COSTURI ŞI NIVEL OPTIM

Costul se acceptă în general ca o variabilă sintetică importantă putând fi luat

drept un criteriu de decizie. Exprimarea în termeni economici a deciziilor de calitate

este uneori greu de efectuat si de multe ori se renunţă la unele acţiuni în domeniul

calităţii plecând de la părerea greşită că îmbunătăţirea calităţii duce la creşterea

costurilor. Fiecare întreprindere, în mod virtual, cheltuieşte bani pentru realizarea unei

anumite performante pentru obţinerea unui anumit nivel de calitate. Calitatea costă, dar

eficienta economică nu se obţine prin reducerea calităţii, ci prin reducerea cheltuielilor,

prin organizarea raţională a acţiunilor privind calitatea şi prin adoptarea unor decizii

fundamentate ştiinţific. Saltul calităţii determină un plus de competitivitate. Costurile

calităţii pot fi: de prevenire, de identificare şi de remediere.


30

a. Costurile calităţii

Costurile totale se referă la întreg ciclul de viaţă a unui produs.

Costurile totale se pot grupa în două categorii: "costuri interne" la fabricant şi

"costuri externe" la utilizare.

Costurile interne sunt costuri de realizare a nivelului respectiv de calitate şi

costurile externe sunt costurile de mentenanţă corespunzătoare nivelului de calitate

achiziţionat.

Costurile de utilizare se pot, de asemenea, grupa în costuri de prevenire, de

identificare şi de remediere.

Costurile calităţii unui produs pot fi stabilite pe diferite faze: costuri de

proiectare, costuri de producţie, de control, costul încercărilor, costuri la utilizare, etc.

Acest mod de a analiza costurile poate defini şi criterii economice de comparaţie între

diferitele produse şi o urmărire mai eficientă a costurilor în diferite faze.

Costurile interne normale ale calităţii au, în general, următoarele componente:

1. Costuri referitoare la studiul pieţei;

2. Costuri legate de activitatea e cercetare-proiectare a soluţiei adoptate;

3. Costuri legate de cercetarea aplicativă asupra materialelor utilizate în

condiţiile de funcţionare ale produsului;

4. Costuri legate de materiale şi de asimilarea proceselor tehnologice de

fabricaţie impuse de calitate;

5. Costuri legate de menţinerea preciziei procesului de fabricaţie;

6. Costuri legate de controlul fabricaţiei impus de nivelul calităţii cerute;

7. Costuri legate de încercări şi de evaluare a calităţii, fiabilităţii şi

mentenabilităţii;

8. Costuri legate de formare si instruire de personal necesar proceselor de

fabricaţie si control;

9. Costurile noncalităţii;

10. Costuri legate de activităţile de informare

Costurile "noncalităţii" sunt "pierderi" care pot avea o pondere foarte mare

ducând la o creştere a preţului produsului şi la reducerea profitului.

Principalele componente ale "costurilor noncalităţii" care pot fi constatate în

fabricaţie sau la utilizare, sunt:

1. Înlocuirea materialelor rebutate;

2. Reinspectarea şi reprocesarea materialelor returnate de utilizator;

3. Pierderi datorită obligaţiei de a trimite la sediul utilizatorului specialişti care

să desfăşoare activităţi legate de reclamaţii privind execuţia

necorespunzătoare;

4. Oprirea producţiei datorită unor probleme majore ale calităţii;

5. Pierderi datorate deficientelor provocate;

6. Pierderi legate de sortarea loturilor necorespunzătoare;

7. Pierderi datorită necesităţii de a face investigaţii şi la utilizare;

8. Pierderi datorită daunelor şi reparaţiilor la utilizare, înlocuiri de materiale şi

a altor lucrări care trebuie executate în termenul de garanţie;

9. Pierderea de imagine sau de reputaţie.

Calitatea are un suport economic foarte complex.

Calitatea produselor poate fi redată în termeni economici cantitativi, globali sau

parţiali.

Costurile interne, de materiale, de proces, pot fi stabilite pe componente, pe

diferite activităţi sau considerate global pe produs, incluzând şi activităţile de cercetare,

de proiectare, încercare, etc.


31

Costurile pot fi raportate şi la principalele caracteristici funcţionale, urmărind şi

eficienţa performanţelor caracteristicilor respective.

Pentru un manager, calitatea reprezintă în mod fundamental o problemă

economică şi decizia acestuia implică asigurarea unui echilibru între costuri, programele

de fabricaţie şi calitate.

Există, de asemenea, o legătură între calitate, aspecte economice şi termen de

livrare.

Programul de fabricaţie trebuie să identifice din timp problemele referitoare la

calitate pentru a se lua măsuri fără să afecteze costurile calităţii şi termenele de livrare.

Costurile "externe" sunt costurile suportate de utilizare pe ciclul duratei de viaţă

a produsului începând cu "costul de achiziţie" care reprezintă preţul iniţial de

cumpărare. Urmează de-a lungul ciclului de viaţă, "costurile susţinerii logistice" a

funcţionării produsului şi a scoaterii din funcţionare.

Costurile "externe" sunt importante pentru utilizare uneori depăşind, pe ciclul de

viaţă, de câteva ori preţul de achiziţie.

La stabilirea nivelului calităţii trebuie să se ia în consideraţie aceste costuri

externe. Uneori fabricantul se oferă în susţinerea parţială sau totală a acestor costuri în

schimbul primirii de date referitoare la mentenanţă şi comportare. Aceste informaţii sunt

necesare pentru îmbunătăţirea calităţii, a încercărilor calităţii şi a creşterii

competitivităţii în perspectivă a produselor.

b. Nivelul optim economic

Se ştie că produsele pot fi: cu mentenanţă (reparabile) şi fără mentenanţă

(neraparabile). În cazul echipamentelor cu mentenanţă cheltuielile de utilizare pot fi

grupate în cheltuieli de achiziţionare (fig.1.18-1) şi cheltuieli de mentenanţă (fig1.18-2)

dependente de nivelul calităţii. Există un minim al cheltuielilor totale (curba 3 din

fig.1.18) care defineşte "nivelul optim economic" al calităţii produsului reparabil.

2

3

Nivelul calitãţii Nivelul optim

economic

1

Fig. 1.18 Optimul economic al produselor reparabile:

1 - cheltuieli de achiziţionare;

2 - cheltuieli de mentenanţă;

3 - cheltuieli totale.

Cheltuielile de întreţinere sunt corelate cu nivelul calităţii; nu trebuie să fie nici

mai mari nici mai mici.


32

Optimul economic se poate referi şi la o performantă obţinută de o caracteristică

principală a produsului.

Evoluţia calităţii are loc în condiţiile unui echilibru economic între valoarea

calităţii şi costurile calităţii. Costurile calităţii se pot raporta parţial la performanţa

respectivă.

Costurile cresc cu nivelul calităţii, iar creşterea performanţelor este justificată

economic între anumite limite.

În Fig.1.19 trecerea de la nivelul 1 al calităţii la nivelul 2 reprezintă o creştere A

a costului calităţii, iar creşterea performanţei este B.

O trecere de la nivelul 2 la 3 arată o creştere a performanţelor egale cu D, şi a

costurilor egale cu C. Relaţia dintre B şi a, respectiv D şi c conduce la stabilirea unui

optim economic al nivelului calităţii.

Dacă se consideră efectul economic al creşterii calităţii EB şi corespunzător

efortul economic A, atunci eficienţa economică a creşterii calităţii este:

A

E

economicEfort

economicEfecteconomicaEficienta B

Performanţa

Nivelul calităţii 0 1 2 3

A

B

C

D

Costul

calităţii

Qoptim

Costul

Creşterea

performanţelor

Fig. 1.19 Calitatea optimală.

Calitatea optimală nu este constantă în timp şi depinde de condiţiile tehnice şi

economice ale momentului. Se poate considera că există permanent o tendinţă de

reducere a costurilor calităţii prin perfecţionarea proceselor de concepţie şi fabricaţie.

Rezultatele şi performantele în domeniul calităţii au efecte economice în două

moduri fundamentale în cadrul unei întreprinderi:

1. Efect asupra venitului: calitatea superioară asigură o participare mare pe

piaţă şi beneficii corespunzătoare;

2. Efect asupra costurilor: realizarea calităţii, controlul, despăgubirile legate

de defectări sunt cheltuieli băneşti care pot fi minimizate.


33

Între costurile calităţii, calitate necesară si nivelul valorii de întrebuinţare trebuie

stabilită o corelare corespunzătoare.

În Fig. 1.20 este reprezentată legătura între costurile calităţii şi valoarea de

întrebuinţare a calităţii.

Costurile

pentru

calitate

Calitatea

necesară

Nivelul valoriide

întrebuinţare

Efectul economic

obţinut prinîmbunãtãţirea

valorii de

întrebuinţare

Fig. 1.20 Legături între costuri şi valoare de întrebuinţare.

Stabilirea unui echilibru între costul calităţii şi valoarea de întrebuinţare este

deosebit de dificilă deoarece factorii de influentă sunt dispersaţi în diferitele

departamente ale întreprinderii si ale utilizării.

Echilibrul care trebuie asigurat între costuri şi valoare nu se referă la calitate în

general, ci la fiecare caracteristică a calităţii.

Factorii care influenţează costul calităţii pot fi, în general, determinaţi şi

consideraţi cu suficientă precizie în timp ce factorii care definesc valoarea de

întrebuinţare a calităţii sunt dificil de estimat.

Un indicator al valorii de întrebuinţare a calităţii unui produs, VP, poate fi

exprimat sub forma:

iiiiP mgcqV (1.1)

unde:

qi - ponderea funcţiei caracteristicii xi definită de utilizare

ci - valoarea exercitării funcţiei caracteristicii xi stabilită de utilizare în unităţi

convenţionale monetare

gi - preţul unităţii monetare

mi - preţul realizării materiale a funcţiei caracteristicii x

VP - indicele de apreciere a valorii calităţii (valoarea de întrebuinţare definită de

utilizare)

Expresia (1.1) este denumită şi "ecuaţie a calităţii".

c. Balanţa costurilor calităţii

Controlul aspectelor economice ale calităţii capătă forma unui bilanţ în care

"pasivul" este prezentat prin ansamblul de cheltuieli determinate de abaterile calitative,

adică de costul "lipsei de calitate" iar "activul" este reprezentat de economiile realizate

prin eliminarea defectelor de calitate. Managementul calităţii urmăreşte o echilibrare a

costurilor calităţii care se realizează în etape. În prima etapă, urmărind costurile cu

ajutorul unor unităţi relative (Fig.1.21), se observă că nu există echilibrare deoarece

costurile deficientelor externe sunt prea mari în comparaţie cu suma celorlalte costuri

ale calităţii.

În a doua etapă, în care se prevede o sortare pentru prevenirea reclamaţiilor se

observă (Fig.1.22) o trecere a ponderilor de la costul deficientelor externe la cele interne

cu o reducere a sumei lor.


34

Se observă că s-au câştigat câteva unităţi de la 24% la 20% deoarece este mai

economic să descoperi defecţiunile în întreprindere decât la beneficiar. În a treia etapă

urmează luarea măsurilor pentru îmbunătăţirea în continuare a situaţiei, deoarece

sortarea trebuie să reprezinte numai o etapă trecătoare în realizarea unui anumit nivel de

calitate.

Realizarea unei anumite calităţi necesită în acest caz introducerea unui control

sistematic în procesul de producţie pentru a depista mai rapid deficientele de fabricaţie.

Ca urmare a acestor măsuri balanţa costurilor se va prezenta ca în Fig. 1.23. Costurile

noncalităţii se pot reduce în continuare şi se poate efectua o optimizare prin cercetări şi

analize ale procesului de fabricaţie orientat în direcţia îndepărtării cauzelor defectelor cu

introducerea unui sistem preventiv în domeniul calităţii.

Prin luarea în considerare a tuturor factorilor se poate asigura calitatea cerută dar

se ajunge la o ridicare a costurilor de prevenire (Fig.1.24). Se observă însă în acest caz,

că suma totală a costurilor lipsei de calitate are valoare minimă, obţinându-se o

optimizare în domeniul costurilor calităţii - balanţa costurilor este echilibrată total. Pe

baza analizelor efectuate se apreciază că o gestiune raţionala permite să se reducă

cheltuielile cu cel puţin 2/3 din costul lipsei de calitate si că cheltuielile pentru

realizarea acestei reduceri sunt mai mici decât 20% din acest cost.

Prin urmare, costurile organizării managementului calităţii constituie o

investiţie si nu o cheltuială anuală.

Fig. 1.21 Balanţa costurilor calităţii în prima etapă.

Fig. 1.22 Balanţa costurilor calităţii în etapa a 2-a.


35

Fig. 1.23 Balanţa costurilor calităţii în etapa a 3-a.

Fig. 1.24 Balanţa echilibrată a costurilor calităţii.

1.8 CALITATEA SERVICIILOR

1.8.1 DEFINIŢII ŞI INTERPRETĂRI

Prin serviciu se înţelege "rezultatul generat de activităţi la interfaţa dintre

furnizor şi un beneficiar incluzând şi activităţi interne ale furnizorului pentru

satisfacerea cerinţelor beneficiarului".

Furnizorul sau beneficiarul poate fi reprezentat la interfaţă prin personal sau

echipamente.

Serviciul poate fi interpretat ca un produs invizibil având în general ca purtător

sau intermediar un suport material.

În domeniul tehnic se poate extinde conceptul de serviciu si la produse. Există o

tendinţă de a considera separat funcţiile unui echipament ca un serviciu cerut de

instalaţia în care funcţionează. În acest caz produsul fizic nu este decât suportul material

care generează funcţiile sau serviciul respectiv. Utilizatorul este interesat de serviciul

produsului si nu de suportul material.

Serviciul reprezintă o funcţie continuă, fără întreruperi. Defectele care se produc

sunt ale suportului material care trebuie înlocuit pentru a asigura un serviciu continuu.

Se poate considera, în acest caz, că produsul este fără defect ("zero defecte" -

zo). Beneficiarul este interesat de "serviciul produsului", pe care îl plăteşte, şi nu de

suportul material. Acesta poate fi al producătorului care trebuie să îl înlocuiască înainte

de a se produce un defect.


36

Există domenii (comunicaţii, informaţii) unde funcţionarea sistemelor tehnice

utilizate este estimată prin prisma calităţii serviciilor oferite.

Există tendinţa ca această optică să fie extinsă şi la alte domenii tehnice

constituind o optică de perspectivă în industria electrotehnică.

1.8.2 CALITATEA SERVICIILOR ŞI CARACTERISTICILE CALITĂTII

SERVICIILOR

Calitatea serviciilor, care reprezintă de fapt efectul unor activităţi sau funcţii,

poate fi interpretată în mod similar celor prezentate în cazul produselor industriale. În

consecinţă calitatea serviciilor înseamnă "ansamblul caracteristicilor serviciului având

ca efect capacitatea de a satisface cerinţele exprimate şi implicite ale beneficiarului".

Analiza cerinţelor, a structurilor care asigură realizarea serviciilor, a

modalităţilor de realizare a serviciilor pot conduce la stabilirea caracteristicilor

serviciului. Satisfacerea cerinţelor se bazează pe totalitatea caracteristicilor.

În cazul serviciilor furnizate de sistemele tehnice: instalaţii electrice, de

automatizare a proceselor de fabricaţie, de furnizare a energiei electrice, de protecţie, de

telecomunicaţii, etc., "calitatea serviciului" ("quality of service") reprezintă efectul

global al caracteristicilor unui serviciu furnizat unui utilizator care determină gradul de

satisfacere a acestuia în urma folosirii serviciului respectiv.

Calitatea serviciului depinde de următorii factori globali (Fig.1.25):

- logistica serviciului ("service support performance") - este aptitudinea furnizării

si utilizării serviciului;

- uşurinţa utilizării ("service operability performance") - este aptitudinea unui

serviciu de a fi utilizat în mod satisfăcător si usor;

- integritatea serviciului ("service integrity") - este aptitudinea ca un serviciu

odată obţinut să fie furnizat fără degradare excesivă"

- accesibilitatea unui serviciu ("service accesibility performance") - reprezintă

aptitudinea ca un serviciu să fie obţinut cu tolerante specificate în conditii date la

cererea unui utilizator;

- continuabilitatea serviciului ("service retainability performance") - reprezintă

aptitudinea ca un serviciu odată obţinut să continue a fi furnizat în condiţii date o

durată dorită. Considerată ca o caracteristică a calităţii serviciului, este redată de

probabilitatea ca un serviciu, odată obţinut, să continue a fi furnizat în condiţii date

pe o durată dorită;

- servibilitatea ("service ability performance") - este aptitudinea serviciului de a

fi obţinut la cererea unui utilizator si de a continua să fie furnizat pe o durată dorită,

cu tolerante specificate în condiţii date. Servibilitatea poate fi subdivizată în

accesibilitate şi continuabilitate (Fig.1.25);

- capabilitate ("capability") - este aptitudinea de a răspunde cerinţelor specificate;

- siguranţa funcţionării ("dependability") - este ansamblul de proprietăţi sau

caracteristici care descriu disponibilitatea si factorii care o condiţionează;

fiabilitatea, mentenabilitatea şi logistica mentenanţei (Fig.1.25).

Aceşti factori globali pot fi exprimaţi, fiecare, şi cu ajutorul unor caracteristici

specifice fiecărui caz particular considerat.

Caracteristicile respective pot fi estimate şi cu ajutorul indicatorilor sintetici

definiţi în funcţie de parametrii specifici diferitelor componente.


37

SERVIABILITATE

CALITATEA

SERVICIULUI

ACCESI-

BILITA-

TE

CONTI-

NUABI-

LITATE

USURIN-

TA IN

UTILIZA-

RE

LOGISTI-

CA

SERVICIU-

LUI

INTE-

GRALI-

TATE

CAPABILITATE DEPENDABILITATE

Fig. 1.4 Graficul factorilor globali ai serviciilor.

1.8.3 ASPECTE ECONOMICE ALE CALITĂTII SERVICIILOR

Costurile raportate la caracteristicile calităţii serviciilor, furnizate de un produs,

determină o interpretare mai simplă a datelor economice. Fiecare funcţie estimată în

termeni economici (lei/MTTF, lei/comutaţii, lei/întrerupere scurtcircuit, etc.) reflectă

aspectele esenţiale ale calităţii serviciului unui produs. De asemenea, se pot stabili în

acest mod si criterii de comparaţie ale diferitelor variante alternative.

Neconformitatea serviciilor, abaterilor de calitate exprimate în termeni

economici au un efect mobilizator foarte eficient.

Preocuparea permanentă de îmbunătăţire a calităţii serviciilor, tendinţă generală

în domeniul politicii calităţii, este uşor de urmărit cu ajutorul indicatorilor economici.

Utilizarea conceptului de serviciu referitor la un produs şi în domeniul

echipamentelor electrice va contribui în perspectivă la formarea unei noi mentalităţi

referitoare la calitate contribuind la creşterea nivelului calităţii.

1.9 LEGISLAŢIA ÎN DOMENIUL CALITĂŢII

1.9.1 SCURT ISTORIC

Standardele sunt documente tehnice stabilite prin consens si aprobate de un

organism recunoscut. Acestea conţin definiţii, reguli, prescripţii, condiţii şi caracteristici

referitoare la activităţi tehnice sau la rezultatele acestora în scopul coordonării acţiunilor

individuale cu interesele generale.

Legislaţia unui domeniu tehnic industrial este formată de ansamblul standardelor

naţionale sau internaţionale care fixează si reglementează regulile, condiţiile şi

procedurile care stau la baza activităţilor de realizare şi control a unui produs, asigurând

concordanţa cu cerinţele specificate.

Standardele referitoare la calitate sunt elaborate în cadrul organizaţiei

internaţionale "International Organisation for Standardisation" - ISO, fiind cunoscute si

acceptate de toată lumea.

ISO a fost fondată în 1947 ca o Agenţie a Naţiunilor Unite (United Nations

Agency) şi este alcătuită din reprezentanţi din peste 90 de tari.

Pentru domeniul electrotehnic există organizaţia "Comission Electrotechnique

Internationale" - CEI, ("International Electrotechnical Commision" - IEC) înfiinţată în

anul 1906 având ca obiectiv important si elaborarea de standarde.


38

Comisia Electrotehnică Internaţională - CEI colaborează cu ISO la elaborarea

diferitelor standarde recunoscute pe plan internaţional.

Pe de altă parte, principalele tari industrializate sunt şi principalii iniţiatori şi

elaboratori de standarde în cadrul organismelor naţionale respective:

- Marea Britanie: British Standards Institution - BSI;

- Germania: Deutsch Institut for Normung - DIN;

- Franta: Association Francaise de Normalisation - AFNOR;

- Statele Unite: American National Standard Institute - ANSI;

- Canada: Canadian Standards Association - CSA.

România este membră CEI din anul 1927 prin Comitetul Electrotehnic Român -

CER sau Comitet Naţional Român al CEI - CNRCEI.

CEI desfăşoară diverse activităţi de normalizare în cadrul a circa 200 de

Comitete Tehnice CEI având publicate peste 3300 de standarde internaţionale.

Din anul 1973 s-a înfiinţat şi Comitetul European pentru Standardizare în

Electrotehnică - CENELEC cu sediul la Bruxelles. Prin acordul CEI-CENELEC, la

Dresda, s-a stabilit colaborarea în scopul publicării de standarde electrotehnice specifice

pieţei europene (circa 80% din standardele CENELEC sunt standarde CEI). CENELEC

desfăşoară activităţi având ca motto: "Eficienţă în scopul construirii Europei" publicând

buletine lunare si rapoarte anuale.

Standardele din seria ISO 9000, care se referă la calitatea produselor si

serviciilor, au apărut pentru prima oară în anul 1987. În anii '90 aceste standarde s-au

diversificat făcând necesară în final o restructurare a acestora.

Seria actuală a standardelor, referitoare la calitate, denumită ISO 9000:2000

aduce o îmbunătăţire şi o simplificare prin eliminarea suprapunerilor.

1.9.2 STANDARDE REFERITOARE LA CALITATE

Odată cu cerinţele tot mai bine conturate în ceea ce priveşte calitatea s-a simţit

nevoia unui set de reguli oficiale în acest domeniu.

NASA în calitate de organism coordonator al programelor spaţiale americane,

unde s-a impus de la început o maximă securitate a echipamentelor, a iniţiat primul set

de proceduri, specificaţii şi condiţii de calitate standardizate sub numele "Military

Standard" - Mil-Std în anii 1950-1960. La început, aceste standarde se refereau la

controlul calităţii iar ulterior obiectivele s-au diversificat extinzându-se la întregul

domeniu care condiţionează şi realizează calitatea. Apar diferite serii de standarde cu

referire la diferitele aspecte ale calităţii.

Problemele de vocabular şi definiţii sunt prezentate în ISO 8402-1995:

Managementul calităţii şi asigurarea calităţii - Vocabular".

Principalele norme referitoare la calitate sunt standardele ISO din seria 9000.

Prima versiune ISO din anii 1990 este formată de:

ISO 9000: "Standard pentru managementul calităţii şi asigurarea calităţii"

Partea 1: Ghid pentru selecţie şi aplicare

Partea 2: Ghid pentru aplicare ISO 9001 - ISO 9003

Partea 3: Ghid pentru aplicare ISO 9001 la dezvoltare

Partea 4: Ghid pentru managementul dependabilităţii

ISO 9001: "Sistemele calităţii. Model pentru asigurarea calităţii în proiectare,

dezvoltare, producţie, montaj şi service"

ISO 9002: "Sistemele calităţii. Model pentru asigurarea calităţii în producţie,

montaj şi service"


39

ISO 9003: Sistemele calităţii. Model pentru asigurarea calităţii în inspecţii şi

încercări finale"

ISO 9004: "Managementul calităţii şi elemente ale sistemului de management al

calităţii"

Partea 1: Ghid

Partea 2: Ghid pentru servicii

Partea 3: Ghid pentru materiale procesate

Partea 4: Ghid pentru îmbunătăţirea calităţii

Seria de standarde ISO 9000 publicate în anii 1990 conţin numeroase

suprapuneri care a făcut necesară apariţia unei serii mai sistematizate.

Începând cu noiembrie 1999 a apărut o nouă serie de standarde ISO 9000:2000

conţinând patru standarde principale completate cu suplimente pe secţiuni astfel:

a) ISO 9000:2000 - "Sisteme de management al calităţii - Concepte si termeni".

În cadrul acestui standard se dau îndrumări referitoare la principiile de

management care stau la baza standardelor ISO 9001 - ISO 9004.

b) ISO 9001:2000 - "Sisteme de management al calităţii - Cerinţe".

Acest standard constituie o reuniune a standardelor ISO 9001, ISO 9002 şi ISO

9003, adoptând conceptul general de management al proceselor.

c) ISO 9004:2000 - "Sisteme de management al calităţii. Introducere în

îmbunătăţirea calităţii.

Standardul este un ghid privind îmbunătăţirea performantelor de ansamblu ale

unei organizaţii.

d) ISO 10.011:2000 - "Ghid pentru auditarea sistemelor calităţii".

Acest standard constituie reuniunea standardelor ISO 9011, ISO 14.010, ISO

14.011, ISO 14.012 care se referă la audit.

O altă categorie de norme europene adoptate ca standarde româneşti, SREN, din

seria 45.000 (45.001, 45.003, 45.011, 45.012, 45.013, 45.014), se referă la diferite

domenii ale calităţii:

- evaluarea laboratoarelor de încercări;

- acreditarea laboratoarelor;

- organismele care efectuează inspecţia;

- certificarea sistemelor de management al calităţii;

- certificarea personalului;

- declaraţii de conformitate, etc.

În linii generale tarile care vor să participe activ în comertul international, sunt

obligate să aplice si să se încadreze în normele si regulamentele referitoare la calitate

stabilite de seria de standarde ISO 9000:2000.

Cine nu ştie să aplice şi să se încadreze în aceste norme va fi exclus de pe pieţele

internaţionale.

1.9.3 STADIUL ACTUAL AL ACTIVITĂŢILOR FORMALE ÎN DOMENIUL

CALITĂŢII.

Necesitatea asigurării calităţii înainte ca un contract să fie parafat impune

necesitatea existentei unui sistem de tip standard al managementului calităţii. Existenta

acestui management referitor la calitate este o dovadă că organizaţia (întreprinderea)

respectivă este capabilă să realizeze produse si servicii de calitate.

Această dovadă este prezentată în mod normal sub forma unei certificări.

Este pentru prima dată în industrie când pentru certificare se introduce o terţă

parte (conform standardelor din seria 45.000).


40

Certificarea se realizează de un terţ independent şi neutru care confirmă faptul că

în întreprindere este introdus documentat şi menţinut corespunzător un sistem de

management al calităţii.

Existenţa unui manual de managementul calităţii nu reprezintă o dovadă

suficientă că sistemul de management al calităţii este introdus, funcţionează şi este

menţinut corespunzător.

Există tot mai mulţi utilizatori ai produselor care solicită fabricanţilor dovezi ale

existentei şi funcţionării sistemului de management al calităţii.

Certificarea trebuie să precizeze dacă se certifică toată întreprinderea sau numai

anumite compartimente.

De asemenea, se certifică instruirea personalului calităţii în perspectiva prestării

activităţilor necesare şi se precizează tipul de standard respectiv (ISO 9001:2000,

ISO 9002:2000).

În cazul întreprinderilor mici sau mijlocii având acelaşi profil de produse se

poate efectua o certificare de grup pentru a reduce costurile de certificare.

Organismele de certificare a sistemului de management al calităţii trebuie să fie

acreditate conform standardelor EN 45.000 şi să întreţină ele însele un sistem de

managementul calităţii.

Se acreditează laboratoarele de încercări care trebuie să certifice conformitatea

calităţii produselor.

În prezent activităţile industriale în domeniul calităţii, în tara noastră, are ca

obiectiv principal încadrarea în restricţiile standardelor din familia ISO 9000:2000 si

implementarea sistemului managementului calităţii cu menţinerea în starea sa activă.

Se acordă în consecinţă o mare atenţie activităţilor de certificare, de acreditare si

de obţinere a certificatelor şi diplomelor respective.

Există însă pericolul unui abuz al dificultăţilor de obţinere a certificărilor

sistemelor managementului calităţii epuizând astfel efortul altor activităţi absolut

necesare în domeniu.

Se creează impresia falsă că odată cu obţinerea certificării şi acreditării în

conformitate cu standardele respective realizarea calităţii este asigurată ceea ce nu

reprezintă de fapt decât o primă etapă.

Elaborarea şi implementarea corectă a sistemului managementului calităţii

reprezintă realizarea unui cadru organizatoric absolut necesar constituind un prim pas în

asigurarea calităţii.

Constructorii de componente si de echipamente electrice trebuie să asimileze

ideea, tot mai frecvent enunţată, potrivit căreia "CALITATEA SE PROIECTEAZĂ

ÎNTR-UN PRODUS ÎNAINTE DE EXECUTIE SAU ASAMBLARE".

În consecinţă realizarea calităţii presupune existenta unor activităţi generatoare

de calitate, încă din faza de proiectare, care nu sunt încă standardizate, dar care au o

importantă esenţială.

Sistemele managementului calităţii, certificările şi acreditările sunt supuse

aceloraşi standarde dar, calitatea realizată de diferiţi producători, care respectă în

aceeaşi măsură standardele, nu realizează aceeaşi calitate.

În foarte multe cazuri proiectarea a rămas la nivelul tehnicii tradiţionale unde

calitatea rezultă ca o consecinţă nedefinită şi care nu poate fi ţinută "sub control".

Cerinţele de perspectivă ale calităţii impun noi metodologii de proiectare

capabile să abordeze predictiv caracteristicile calităţii.

Cine înţelege corect aceste aspecte ale calităţii poate realiza calitatea necesară şi

chiar de excelenţă.În rest, calitatea se obţine în mod conjunctural şi aleatoriu.


41

În Fig 2.5 este prezentat poligonul frecvenţelor (frecvenţelor simple) pentru

exemplul numeric considerat. În cazul frecvenţelor cumulate crescătoare, în acelaşi

mod, se obţine poligonul repartiţiei, numit şi ogiva lui Galton (Fig. 2.3, diagrama trasată

punctat).

Fig.2.4 Diagrama cu linii a frecvenţelor absolute. Fig.2.5 Poligonul frecvenţelor simple.

2.3. INDICATORI STATISTICI

2.3.1. NOŢIUNI GENERALE

Repartiţia empirică a frecvenţelor arată pentru orice caracteristică, o tendinţă de

variaţie cu două aspecte: de localizare (concentrare) în jurul unei anumite zone şi de

împrăştiere. Există populaţii la care localizarea se face în jurul aceloraşi valori, dar care

prezintă împrăştieri diferite (figura 2.6). Se constată, de asemenea că repartiţia

frecvenţelor poate fi simetrică sau asimetrică în raport cu zona de localizare. Graficele

de frecvenţă prezintă aceste aspecte numai calitativ. O analiză cantitativă care să

permită o comparaţie a tendintelor de localizare şi de împrăştiere se poate efectua numai

cu ajutorul unor indicatori statistici determinaţi de valorile caracteristicilor respective.

Există diferiţi indicatori statistici care exprimă numeric fie tendinţa de localizare, fie

tendinţa de împrăştiere şi care pot fi determinaţi pe baza valorilor caracteristicii.

Indicatorii statistici se pot indentifica astfel:

1) indicatori de localizare (de poziţie)

2) indicatori de variaţie (imprăştiere)

Fig.2.6 Curbe de repartiţie cu împrăştieri diferite.

2.3.2. INDICATORI DE LOCALIZARE (DE POZIŢIE)

Tendinţa de localizare a valorilor poate fi exprimată cu ajutorul unor indicatori

care se deosebesc între ei prin modul de calcul. Notaţiile utilizate pentru indicatorii

statistici sunt reglementate de standarde internaţionale. Este interesant de subliniat că

indicatorul de localizare este o valoare teoretică, putând în multe cazuri să nu existe

x

F

j

0 1 2 3 4

5 6

4 5

8

14 10

3 1

aj

x 66 70 74 78 82

86 90 6 x

aj


42

practic printre valorile populaţiei, indicând valoarea spre care tind să se grupeze datele

reale. Indicatorul de bază al tendinţei de localizare îl formează media care se notează în

general cu M[X].

1. Media aritmetică. Considerând valorile caracteristicii: x1, x2,…xn, media

aritmetică notată cu x este dată de relaţia:

n

x

n

xxxx

n

ii

n

121 ...

(2.12)

În cazul valorilor grupate:

n

xa

a

xa

a...aa

xa...xaxax

m

1iii

m

1ii

m

1iii

m21

mm2211

(2.13)

unde:

m

1ii na este volumul populaţiei

(2.14)

Se observă că media aritmetică poate fi exprimată şi de relaţia:

m

iii fxx

1

(2.15)

unde fi este frecvenţa relativă. Relaţia 2.15 poate fi utilizată şi în cazul valorilor grupate

pe intervale.

În acest caz:

icicii fx

n

xax* (2.16)

2. Media geometrică. Cu valorile x1, x2,…xn media geometrică:

n

n

1ii

nn21G xx...xxM

Pentru uşurinţa calculului se foloseşte expresia:

n

xM i

G

ln

ln (2.17)

3. Media armonică. Pentru valorile x1, x2,…, xn media armonică este dată de

relatia:

n

1i in21

H

x

1

n

n

x

1...

x

1

x

1

1M (2.18)

4. Media pătratică. Pentru aceleaşi valori media pătratică este:

n

xM i

p

2

(2.19)

O altă categorie de indicatori de localizare se bazează pe valorile ordonate:

5. Mediana - Me. Valoarea caracteristicii care ocupă locul central în şirul

ordonat de valori, împărţind caracteristica în două grupe egale ca număr, se

numeşte mediană. Dacă şirul conţine un număr impar de valori (n=2k+1),


43

valoarea medianei este dată de valoarea unităţii statistice de rang 2

1n,

adică:

2

1ne XM (2.20)

Exemplu. Pentru X=3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, mediana are valoarea

Me=6.

În cazul unui număr par de valori, mediana este egală cu media aritmetică a

celor două valori centrale

2

122

nn

e

XX

M (2.21)

Dacă valorile sunt grupate pe clase, intervalul care conţine elementul median se

numeşte “interval median” sau “clasă mediană”. Mediana se determină mult mai uşor

decât media şi nu necesită nici un calcul. Din cauza uşurinţei de determinare mediana

este folosită frecvent în industrie la controlul statistic al fabricaţiei. Mediana este

preferată uneori mediei fiind mai puţin afectată de valorile extreme mari sau mici.

Mediana este mai stabilă la fluctuaţiile de selecţie decât media aritmetică.

6. Mod - Mo. Valoarea xi a caracteristicii corespunzătoare celei mai mari

frecvenţe se numeşte mod sau moda. În cazul când repartiţia frecvenţelor

este reprezentată de o curbă, moda corespunde valorii maxime a

caracteristicii. După cum repartiţia empirică are un maximum, două sau

mai multe, se numeşte unimodală, bimodală sau polimodală.

În cazul valorilor grupate pe clase, intervalul căruia îi corespunde frecvenţa

maximă se numeşte interval modal sau clasa modală.

În acest caz moda se determină considerând notaţiile referitoare la intervalul

modal din Fig. 2.7 pe baza căruia se pot scrie relaţiile:

Fig. 2.7 Graficul de definiţie a modei.

bc

1 şi

ac

2 ,

de unde:

ab 21

L1 M0 L2

x

2

1

f


44

sau:

aaba2

1

2

1

2

1

2

1 )(

şi

21

2

2

1a

Rezultă:

21

1110

LaLM (2.22)

sau

21

220

LM (2.23)

7. Valoare centrală. Ca indicator al localizării se utilizează şi media

extremelor valorilor caracteristicii:

2

minmax XXX c

(2.24)

Valoarea centrală se poate referi şi la un interval de grupare de ordin j, care

reprezintă media valorilor limită (inferior şi superior) ale intervalului:

2

uuX

1jj

cj

(2.25)

Proprietăţi şi observaţii referitoare la indicatorii statistici de localizare:

a. Pentru repartiţii unimodale aproape simetrice, abaterea medianei faţă de media

aritmetică este mai mică decât abaterea modului fată de media aritmetică

(relaţia Yule):

xMxM e 0 (2.26)

b. Mediile aritmetică şi pătratică sunt influenţate de valorile mari ale seriei;

c. Mediile MG şi MH (geometrică şi armonică) sunt influenţate de valorile mici şi

reduc din influenta valorilor mari;

d. Între cei patru indicatori ai mediei există relaţia de ordonare:

PGH MxMM (2.27)

e. Mediana nu este influenţată de valorile extreme.

Dintre indicatorii de localizare cel mai important este media aritmetică.

Fig. 2.8 Ordonarea indicatorilor de localizare.

În Fig. 2.8 este reprezentată ordonarea indicatorilor statistici de localizare ţinând

seama de precizările efectuate.

M0 x

MH

MG

Me

MP

f

x


45

Relaţiile de ordonare pot fi utilizate drept criterii de alegere a indicatorilor de

control a diferitelor caracteristici tehnice în procesul de fabricaţie. Astfel pentru

resoartele de apăsare în contacte este justificată utilizarea mediei armonice, iar pentru

verificarea încălzirii bobinelor de excitaţie media pătratică.

2.3.3. INDICATORI DE ÎMPRĂŞTIERE

Tendinţa de împrăştiere a valorilor poate fi estimată cu ajutorul unor indicatori

sensibili la abaterile fiecărei valori.

În general abaterea, δI, a unei mărimi în raport cu o valoare constantă, arbitrar

adoptată, x0, este:

0xxii (2.28)

O semnificaţie aparte o capătă abaterea raportată la media aritmetică x ,

xxii (2.29)

care stă la baza definirii indicatorilor de împrăştiere.

2.3.3.1. Dispersia. Dispersia caracteristicii, notată in general cu simbolul D[X]

sau cu σ2(definită in raport cu x ), are expresia:

n

)xx(

n

)xx(...)xx()xx(

n

1i

2

i2

m

2

2

2

12

(2.30)

pentru valorile x1, x2, ... xn grupate cu frecvenţele absolute a1, a2, ... am, dispersia va fi:

n

)xx(a

a...aa

)xx(a...)xx(a)xx(a

m

1i

2

ii

m21

2

mm

2

22

2

112

(2.31)

Ţinând seama de relaţia 2.26, expresia 2.31 devine:

m

iii xxf

1

22 )( (2.32)

cazul când se estimează dispersia populaţiei cu ajutorul unei selecţii, dispersia de

selecţie se ajustează cu ajutorul unui factor de corecţie 1n

n şi

1n

)xx(

1n

n

n

)xx(

1n

ns

n

1i

2

i

n

1i

2

i22

(2.33)

În cazul datelor grupate pe intervale de grupare se utilizează relaţia:

22* )(1

xxan

cii (2.34)

2.3.3.2. Abaterea medie pătratică. Un indicator cu semnificaţii directe pentru

caracterizarea variaţiei se obţine din rădăcina pătrată a dispersiei şi se numeşte abatere

medie pătratică (notat cu ),

n

xx

XD

n

ii

1

2)(

][ (2.35)

Considerând frecvenţele absolute sau relative, relaţia (2.35) devine:


46

m

iii

m

iii

xxfn

xxa

1

21

2

)(

)(

(2.36)

Dezvoltând relaţia (2.35):

n

1i

n

1i

n

1iii

n

1i

2

i xn

1

n

1x2

n

1)xx(

n

1xx

şi înlocuind cu:

xn

1 n

1iix

; 2n

1ii

x2n

1x2 x

şi

22n

1i

xn

xnx

n

1

expresia (2.35) capătă forma:

n

ii xx

n 1

221 (2.37)

În mod similar, cu aceleaşi transformări, relaţia (2.34) poate fi scrisă şi astfel:

2

n

1i

2

ii

xn

xa

(2.38)

sau:

22 xxf ii (2.39)

În cazul când abaterea medie pătratică se estimează cu ajutorul unei selecţii,

rezultă:

2

1

1x

ns xi

(2.40)

Abaterea unei caracteristici poate fi considerată în raport cu orice constantă. În

general, abaterea se ia în raport cu media aritmetică şi în acest caz se numeşte „abatere

standard”.

În cazul populaţiei de volum redus, dispersiile şi abaterile standard se notează cu

~ sau s indicând faptul că au valori aproximative datorită aproximaţiei de determinare

a indicatorului de referinţă x .

2.3.3.3. Amplitudinea împrăştierii – W – este un indicator statistic definit de

diferenţa valorilor extreme:

minmax xxW (2.41)

În mod similar se mai defineşte şi amplitudinea clasei, , sau a intervalului de grupare

care reprezintă diferenţa dintre valorile extreme ale intervalului.

2.3.3.4. Intervalul intercuartilic-IQ. Cuartilele sunt definite de trei valori Q1,

Q2, Q3, care împart amplitudinea în patru intervale astfel încât frecvenţele relative ale

intervalelor să fie egale între ele (Fig. 2.9). Rezultă că 25% din valori sunt inferioare

cuartilei Q1, 25% din valori sunt superioare cuartilei Q3, iar 50% sunt mai mari sau mai

mici decât Q2.

Intervalul intercuartilic este definit de diferenţa dintre prima şi ultima cuartilă:


47

13Q QQI (2.40)

Cuartilele Q1 şi Q3 se mai numesc ”cuartilă inferioară” (mică), respectiv „cuartilă

superioară” (mare).

Fig. 2.9 Poziţionarea cuartilelor.

2.3.3.5. Coeficientul de variaţie intercuartilic - q este definit de raportul:

e

13

2

13

M

QQ

Q

QQq

(2.41)

2.3.3.6. Coeficientul de variaţie – Cv sau CV – reprezintă valoarea abaterii

standard raportată la media aritmetică:

xCv

(2.42)

sau considerând abaterea standard corectată:

x

sCv (2.43)

Acest coeficient poate fi exprimat şi in procente. Relaţiile (2.32) şi (2.37) pot fi

utilizate in cazul valorilor grupate pe clase (intervale de grupare): fi fiind frecventa

intervalului de ordin i iar xi valoarea centrală a intervalului respectiv.

2.3.3.7. Proprietăţi şi observaţii referitoare la indicatorii de variaţie

Se menţionează următoarele proprietăţi:

a. Suma algebrică a abaterilor fată de media aritmetică este egală cu zero. Se

notează abaterea valorii de ordin i în raport cu media aritmetică:

ii xx Media aritmetică a abaterilor este:

01

)(11

1 11

n

i

n

iii

n

ii xx

nxx

nn

Dacă: 01

1

n

iin , rezultă de asemenea şi: 0

1

n

ii .

b. Suma abaterilor pătratice are valoarea minima atunci când sunt calculate in

raport cu media aritmetică. Se consideră suma abaterilor pătratice in raport cu valoarea

arbitrară 0x : 2

1 1

0

2

0 )]()[()(

n

i

n

i

ii xxxxxx

dezvoltând termenul din partea dreaptă se obţine:

ai

0 xmin Q1 M0 Q2 Q3 xmax

x


48

2.3.3.1. Proprietăţi şi observaţii referitoare la indicatorii de variaţie

Se menţionează următoarele proprietăţi:

a. Suma algebrică a abaterilor fată de media aritmetică este egală cu zero. Se

notează abaterea valorii de ordin i în raport cu media aritmetică:

ii xx

Media aritmetică a abaterilor este:

01

)(11

1 11

n

i

n

iii

n

ii

xn

xxnn

x

Dacă: 01

1

n

iin

, rezultă de asemenea şi: 01

n

ii .

b. Suma abaterilor pătratice are valoarea minima atunci când sunt calculate in

raport cu media aritmetică. Se consideră suma abaterilor pătratice in raport cu valoarea

arbitrară 0x :

2

1 1

02

0 )]()[()(

n

i

n

i

ii xxxxxx

dezvoltând termenul din partea dreaptă se obţine:

n

i

n

i

n

i

n

i

iii xxxxxxxxxxxx1 1 1 1

200

220 )()()(2)()]()[(

Conform celor arătate mai sus:

n

i

i xx1

0)(

Deci:

20

1 1

220 )()()( xxnxxxx

n

i

n

i

ii

Rezultă

n

i

n

i

ii xxxx1 1

220 )()(

Deci, suma abaterii pătratice este minimă atunci când:

xx 0

c. Abaterile în raport cu o valoare constantă oarecare x0 sunt folosite uneori

pentru simplificarea unor calcule. Astfel valoarea medie a caracteristicii se obţine mai

uşor dacă se calculează suma abaterilor xxx ii 0

' , adoptându-se astfel ordinul de

mărime cel mai convenabil:

00

11

0

1

'' 1)(

11xxx

nxx

nx

nx

n

ii

n

i

i

n

i

i x

,

de unde:

'0

1

'

0

1xx

nxx

n

iix

d. Dispersia şi abaterea standard sunt cei mai utilizaţi indicatori de variaţie.


49

2.4. MOMENTE

Anumite particularităţi ale caracteristicii legate de forma (alura) repartiţiei nu

pot fi redate de indicatorii statistici (de localizare sau variaţie). La fel ca în mecanica

solidelor în statistica matematică şi teoria probabilităţilor se utilizează noţiunea de

moment care este extrem de importantă, pe baza sa putându-se stabili indicatori de bază

(media şi dispersia) precum şi indicatori referitori la forma repartiţiei (simetria şi

aplatisarea). Momentele se împart în două mari categorii: momente absolute(iniţiale de

ordin k) la care valorile sunt considerate în raport cu originea (notate cu mk’) şi momente

centrate de ordin k la care valorile sunt exprimate în raport cu o valoare arbitrară (notate

cu mk).

2.4.1. MOMENT ABSOLUT DE ORDIN k ([k]>1)

Prin definiţie, momentul absolut (iniţial) de ordin k este dat de relaţia:

n

i

ki

kn

kk

k xnn

xxxm

1

21 1... (2.44)

unde xxx n..., 21 sunt valorile observate ale caracteristicii X. Momentul absolut de ordin

k poate fi exprimat şi cu ajutorul frecvenţelor absolute sau relative:

m

i

m

i

kii

kiik xfxa

nm

1 1

' 1 (2.45)

Se observă că momentul absolut de ordin 1 reprezintă media aritmetică:

n

i

i xxn

m1

'1

1 (2.46)

În cazul valorilor grupate pe intervale:

m

i

cii xan

m1

'1

1 (2.47)

De asemenea, momentul absolut de ordin 2 este egal cu pătratul mediei

pătratice(2.19):

n

i

pi Mxn

m1

22'2

1 (2.48)

2.4.2. MOMENTE CENTRATE DE ORDIN k ([k]>1)

Prin definiţie, momentul centrat de ordin k în raport cu o origine arbitrara A este:

n

i

ki

Ak Ax

nm

1

)(1

(2.49)

sau în funcţie de frecvenţă:

n

i

kii

Ak Axfm

1

)( (2.50)

Momentul centrat de ordin k în raport cu media aritmetică se notează cu mk şi

este dat de expresia:


50

n

i

kik xx

nm

1

)(1

(2.51)

sau:

n

i

kiik xxfm

1

)( (2.52)

Momentul centrat de ordin 2 este egal cu dispersia:

n

i

i sxxn

m1

222 )(

1

2.4.3. RELAŢII ÎNTRE MOMENTELE ABSOLUTE ŞI MOMENTELE

CENTRATE

Între momentele absolute mk’ şi momentele centrate mk se pot stabili anumite

relaţii. Astfel pornind de la (2.52), momentul centrat de ordin 2 poate fi exprimat funcţie

de momentele iniţiale:

2'

1

'

2

2'

1

'

1

'

1

'

2

1 1 1

2

1

2

2 )(22)( mmmmmmfxxfxxfxxfmn

i

n

i

n

i

iii

n

i

iiii

(2.53)

în mod similar, momentul centrat de ordinul 3 va fi:

n

i

ii

n

i

n

i

n

i

iii

n

i

iiii fxxfxxfxxfxxfm1

3

1 1 1

2

1

333 33)(

3'1

'2

'1

'3

3'1

'1

2'1

'2

'1

'3 2333 mmmmmmmmmm (2.54)

Se pot scrie astfel următoarele relaţii:

'12

2'1

'3

'1

'44

3'1

'2

'1

'33

22'1

'22

1

364

23

0

mmmmmmm

mmmmm

mmm

m

(2.55)

2.4.4. CORECŢIA MOMENTELOR

n

i

ixn

x1

1

este identică cu:

n

i

i Axn

Ax1

)(1

Pentru momentele absolute '2m şi '

4m , valorile corectate sunt date de relaţiile:

4'2

2'4

'4

2'2

'2

240

7

2

1

12

1

mmm

mm

(2.56)


51

unde: este amplitudinea intervalului de grupare. Momentul '3m nu necesită corecţii.

2.4.5. INDICATORI PENTRU ASIMETRIE ŞI APLATISARE

Asimetria repartiţiei poate fi caracterizată în diferite moduri. O anumită

informaţie, referitoare la asimetrie, se poate obţine din abaterea mediei aritmetice faţă

de mod:

0Mxs (2.57)

sau cu acelaşi indicator raportat la abaterea standard:

0Mxs

(2.58)

Se pot utiliza ca indicatori de asimetrie şi abaterile:

es Mx

es MM 0

Un alt indicator, coeficientul de asimetrie intercuartilic, este dat de relaţia:

13

1

13

1223 )(21

)()(

QQ

QM

QQ

QQQQ esQ

Este evident că în cazul unei repartiţii simetrice:

131)(2 QQQM e

rezultând 0s .

Cu ajutorul momentelor se pot defini doi indicatori: coeficientul de asimetrie,

exprimat de relaţia:

3

3

2

311

23

m

m

m (2.59)

şi coeficientul exces:

3334

4

22

422

m

m

m (2.60)

care se referă la gradul de ascuţire (aplatisare) a unei repartiţii.

Coeficientul 1 , indică tipul de asimetrie (dreapta, stânga), conform celor

prezentate în Fig. 2.11, pentru 01 , repartiţia este simetrică.

Excesul sau aplatisarea se exprimă având ca etalon de referinţă repartiţia

normală, la care 32 .

f

x

x

Me

M0

0MM e

x

f

M0

Me

x

xM

MM

e

e

0


52

Fig. 2.10 Tipuri de asimetrie.

Dacă se utilizează indicatorul 1 interpretarea este prezentată în Fig. 2.11:

Fig. 2.11 Asimetria repartiţiei:

a - asimetrie de dreapta; b - asimetrie de stânga; c - simetrie.

Pentru 2<3 repartiţia este „mai aplatisată” decât cea normală, iar pentru 2>3

repartiţia este „ mai ascuţită” (Fig.2.12).

Repartiţiile empirice pot avea unul sau mai multe maxime.

Repartiţia cu un singur maxim se mai numeşte unimodală şi după cum s-a văzut

poate fi simetrică sau asimetrică.

Dacă repartiţia prezintă mai multe maxime se numeşte polimodală.

În Fig. 2.13 este reprezentată curba unei repartiţii bimodale.

Uneori se întâlnesc repartiţii la care în locul unui maxim apare un minim (Fig.

2.14). În acest caz repartiţia poartă denumirea de antimodală.

Un caz particular de repartiţie antimodală îl prezintă repartiţia uniformă la care

valorile frecvenţei rămân constante.

Fig. 2.12 Tipuri de aplatisări:

f f f

0 0 001 01

01

x x x

f f f

32

32 32


53

a -aplatisată (platicurtică); b-aplatisare medie (mesocurtică); c-ascuţită (lepticurtică).

Fig.2.13 Repartiţie antimodală. Fig. 2.14 Repartiţie antimodală.

PROBLEME

2.1. Măsurând rezistenţa electrică la o serie de rezistoare s-au găsit următoarele valori

(în k):

2.60 2.58 2.55 2.56 2.62 2.57 2.56 2.58 2.58 2.57

2.58 2.52 2.60 2.59 2.57 2.52 2.59 2.54 2.57 2.55

2.61 2.60 2.61 2.58 2.56 2.54 2.58 2.62 2.60 2.59

2.57 2.56 2.59 2.60 2.57 2.60 2.59 2.59 2.57 2.60

2.60 2.57 2.56 2.64 2.55 2.62 2.58 2.60 2.60 2.62

a. Să se ordoneze valorile şi să se întocmească tabelul datelor grupate.

b. Să se reprezinte histograma repartiţiei frecvenţelor relative(simple).

c. Idem pentru frecventele cumulate.

2.2. Cu datele exerciţiului precedent să se determine următoarele:

a) Mediile: aritmetică, geometrică, armonică şi pătratică şi să se stabilească

succesiunea acestora;

b) Mediana, moda şi valoarea centrală;

c) Dispersia, abaterea standard şi amplitudinea.

2.3. Măsurând diametrul bornelor unui motor electric executat la un strung automat s-

au găsit valorile:

6.49 6.41 6.36 6.41 6.40 6.40 6.36 6.38 6.38 6.38 6.35 6.37

6.38 6.33 6.34 6.40 6.32 6.30 6.25 6.28 6.35 6.25 6.39 6.37

6.40 6.35 6.42 6.37 6.39 6.35 6.40 6.35 6.28 6.39 6.32 6.37

6.39 6.38 6.33 6.37 6.32 6.33 6.34 6.37 6.37 6.38 6.33 6.42

6.38 6.39 6.40 6.39 6.39 6.42 6.39 6.39 6.28 6.37 6.33 6.37

Să se determine:

a) Repartiţia frecvenţelor.

b) Media şi abaterea standard.

0

f(x)

x

f(x)

x 0


54

2.4. Cu datele exerciţiului 1.3 să se determine media şi abaterea standard cu datele

brute şi cu datele grupate. De asemenea, să se determine corecţiile momentelor de

ordin 2 şi 4.

2.5. Să se demonstreze rezultatul următor:

n

i

n

i

ii xnxxx1 1

22 )(

2.6. Să se calculeze indicatorii statistici x şi s separat pentru prima şi a doua jumătate

a valorilor brute prezentate la exerciţiul 1.3.

BIBLIOGRAFIE

2.1. Bowker, A.H.,

Lieberman, G.J

Méthodes statistiques de l’ingénieur, Ed. Dunod, Paris,

1965

2.2. Brownlee, A.K

Statistical Theory, John Hilley, New York, 1965

2.3. Ciucu, G.,

Craiu, V

Introducere în teoria probabilităţilor şi statistică

matematică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,

1971

2.4. Craiu Mariana

Statistică matematică, Ed. Matrix, Bucureşti, 1998

2.5. Iliescu, D.V.,

Vodă, V.Gh

Statistică şi toleranţe, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1977

2.6. Mihoc, Gh.,

Craiu, V

Tratat de statistică matematică, v.1, 2, 3, Editura

Academiei R.S.R., Bucureşti, 1976

2.7. Panaite. V.:

Statistică tehnică şi fiabilitate, Lito IPB, v.1,2, 561 p.,

Bucureşti, 1978.

2.8. Panaite, V.,

Munteanu, R.:

Control statistic şi fiabilitate, Editura Didactică şi

Pedagogică, 260 p, Bucureşti, 1973.

2.9. Panaite, V.,

Popescu M.O.,

Popescu, C.L.,

Ghinea, D.:

Calitatea produselor şi fiabilitate, Îndrumar de laborator,

Ed. Ars Docendi, Bucureşti, 1999

2.10 Snedecor, G.W

Metode statistice, Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1968

2.11 Tovissi, L.,

Vodă, V

Metode statistice, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică,

Bucureşti, 1982

2.12 *** Statistică matematică în tehnică – Colecţie de standarde,

Editura de Stat pentru Imprimate şi Publicaţii, Bucureşti,

1966


55

3. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR

3.1. NOŢIUNI GENERALE

Teoria probabilităţilor operează cu o serie de noţiuni specifice care, în mod succint, se

prezintă astfel:

Experimentul reprezintă realizarea unui ansamblu de condiţii şi resurse conform unui

anumit criteriu de cercetare.

Evenimentul este rezultatul unui experiment. Putem cita următoarele evenimente: A-

formarea unui arc electric la întreruperea unui circuit; B- arderea unui bec electric la

alimentarea cu o tensiune nominală; C- apariţia unui defect după un anumit timp de

funcţionare etc. Dacă se analizează evenimentele menţionate, se observă că fiecare se

poate realiza într-o măsură diferită. Astfel, evenimentul B este mai puţin probabil să se

producă în comparaţie cu evenimentul A sau C. Dacă se asociază fiecărui eveniment un

anumit număr care să indice posibilitatea de realizare, se ajunge la noţiunea de

probabilitate.

Probabilitatea unui eveniment este măsura numerică a posibilităţii de realizare. Din

punct de vedere al posibilităţilor de realizare evenimentele se pot clasifica în:

1. Evenimentul sigur – evenimentul care se produce în mod obligatoriu într-un

experiment. Notăm evenimentul sigur cu litera E. Exemplu: extragerea unui

contactor dintr-un lot de contactoare.

2. Evenimentul imposibil – evenimentul care în mod obligatoriu nu se produce

în cadrul unui experiment. Notăm evenimentul imposibil cu Ø. Exemplu:

extragerea unui motor electric dintr-un lot de butoane.

3. Evenimentul aleator (întâmplător) – evenimentul care se produce sau nu,

într-un experiment, şi se notează în general cu A, B, C, etc. sau A1, A2,…An.

Se numeşte eveniment simplu (sau elementar), evenimentul definit individual fiind

rezultatul unui experiment.

Câmp de evenimente: rezultatele unor experimente identice pot produce evenimente

diferite, iar totalitatea acestor evenimente formează ceea ce se numeşte câmp de

evenimente sau spaţiu de selecţie al experimentului.

În cazul unui experiment se pot produce simultan mai multe evenimente aleatoare

diferite. De exemplu, la un echipament electric pus în funcţiune, după un anumit timp

pot să apară concomitent mai multe feluri de defecte (evenimente). Aceste evenimente

se numesc compatibile.

Evenimentele compatibile pot fi:

a) Evenimente independente: două evenimente se numesc independente în

probabilitate, dacă probabilitatea de realizare a unuia nu este influenţată de

realizarea sau nerealizarea celuilalt;

b) Evenimentele dependente: două evenimente se numesc dependente, dacă

probabilitatea unui eveniment este influenţată de realizarea celuilalt

eveniment.

Evenimente incompatibile


56

Se observă de asemenea, în decursul mai multor experimente, că există anumite

evenimente care nu se produc simultan. Aceste evenimente se numesc incompatibile.

Astfel, realizarea unui eveniment exclude realizarea celuilalt.

O categorie aparte de evenimente incompatibile o formează evenimentele contrarii

(complementare), care la nerealizarea unui eveniment A se produce sigur evenimentul

contrar Ã.

De exemplu, evenimentul care constă din funcţionarea unui echipament este A, iar

nefuncţionarea este evenimentul contrar Ã. Aceste evenimente nu se pot produce

simultan şi se mai numesc evenimente care se exclud mutual.

Observaţie: evenimentele contrarii sunt incompatibile, în timp ce evenimentele incompatibile nu sunt în

mod obligatoriu contrarii.

În sens tehnic, evenimentul legat de un element component simplu se poate numi

eveniment simplu, iar evenimentele referitoare la sisteme tehnice sunt evenimente

compuse.

Evenimentele compuse se definesc cu ajutorul unor operaţii logice (booleene) pornind,

în general, de la evenimentele simple (elementare). Operaţiile de bază, frecvent aplicate

în tehnică, sunt reuniunea şi intersecţia evenimentelor.

3.2. ALGEBRA EVENIMENTELOR

3.2.1. REUNIUNEA EVENIMENTELOR

Considerând evenimentele A, B, reuniunea S înseamnă realizarea cel puţin a unuia din

evenimentele A sau B.

Se notează astfel: S=A U B (se citeşte A sau B). Reuniunea a două mulţimi A şi B, este

mulţimea elementelor care aparţin sau lui A sau lui B.

În cazul unui sistem de n evenimente, Ai; i =1, 2, … n, reuniunea S se prezintă sub

forma:

n

i

ixn

x1

1 (3.1)

Se spune că evenimentul aleator A se descompune în evenimentele A1 … An dacă

acestea sunt incompatibile Ø)AA( ji , iar evenimentul A constă cel puţin din

realizarea unuia din evenimentele A1, A2, … An.

Evenimentele A1, A2, … An formează un sistem complet de evenimente dacă cel puţin

unul din evenimentele A se produce într-un experiment, adică:

n

1ii EA

3.2.2. INTERSECŢIA EVENIMENTELOR(PRODUSUL EVENIMENTELOR)

Considerând evenimentele A, B, intersecţia acestora însemnând realizarea şi a

evenimentului A şi a evenimentului B, este BAI (se citeşte A şi B).

Intersecţia unui sistem de evenimente {Ai; i=1,2,…n} se prezintă sub forma:

n

1iin21 AA...AAI

(3.2)

În tabelul 3.1, sunt prezentate proprietăţile mai importante ale operaţiilor cu evenimente

şi relaţiile corespunzătoare.


57

Operaţii cu evenimente. Tabelul 3.1

Enunţ Relaţii

Contrariul unui eveniment sigur este un

eveniment imposibil (şi invers). E

E

Reuniunea sau intersecţia unui eveniment A cu

el insuşi este egală cu acelaşi eveniment. AAA AAA

Reuniunile şi intersecţiile sunt comutative. ABBA

ABBA

Reuniunile şi intersecţiile sunt asociative. CBACBA )()(

CBACBA )()(

Intersecţia în raport cu reuniunea şi reuniunea

în raport cu intersecţia sunt distributive. )()()( CABACBA

)()()( CABACBA

Reuniunea evenimentelor contrare este un

eveniment sigur. EAA

Intersecţia a doua evenimente incompatibile

este un eveniment imposibil. ØAA

Dacă E este un eveniment sigur, Ø este un

eveniment imposibil şi A un eveniment aleator

exista relaţiile:

ØØAEEA ;

ØØEE;ØE

Oricare ar fi evenimentele A, B, există relaţiile: ABAA )(

ABAA )(

Considerând evenimentele A, B, şi contrariile

B ,A există următoarele relaţii (,,relaţiile de

Morgan”).

BABA

BABA

3.3. PROBABILITATEA EVENIMENTELOR

3.3.1. INTERPRETĂRI

Probabilitatea reprezintă măsura numerică a posibilităţii de realizare a unui eveniment.

Astfel noţiunea de probabilitate a unui eveniment este legată de noţiunea practică de

frecvenţă a unui eveniment. Ca elemente de referinţă, în precizarea unităţii de măsură a

probabilităţii unui eveniment aleator, se consideră pe de o parte, probabilitatea

evenimentului sigur, care este egală cu unu, iar pe de altă parte, probabilitatea

evenimentului imposibil egală cu zero. Probabilitatea unui eveniment aleator este

cuprinsă astfel între 0 şi 1 (0<P(A)<1). În anumite cazuri, se poate calcula direct

probabilitatea cunoscând numărul cazurilor ,,favorabile“ din totalitatea cazurilor

posibile, considerând evenimente separate ca echiprobabile. În acest caz probabilitatea

unui eveniment simplu A, P(A), este:

posibilecazurilornr

Aluievenimentuproduceriifavorabilecazurilornr

n

mAP

.

.)( (3.3)

Această formulă denumită ,,formula clasică“ de calcul a servit mult timp ca bază a

definiţiei probabilităţilor.

Formula (3.3) este formula directă de calcul a probabilităţii când experimentul se reduce

la un sistem în care compoziţia este cunoscută.

În multe cazuri calculul direct al probabilităţilor nu este posibil (exemplu, durata de

viaţă a unei bobine, a unui bec etc.). Pentru aceste cazuri este necesar să se facă


58

încercări în condiţii identice, determinându-se frecvenţa de apariţie a evenimentului

cercetat. Se ajunge astfel la interpretarea frecvenţială a probabilităţii unui eveniment:

încercăncdetotalnr

Aluievenimentualeapariţpadenr

n

mAP

.

.)( (3.4)

m-reprezentând frecvenţa absolută de apariţii a evenimentului A.

Când numărul încercărilor este redus, frecvenţa evenimentului are un caracter aleator.

Dacă numărul încercărilor creşte, se ajunge la o ,,stabilitate a frecvenţelor” diferitelor

evenimente cercetate.

Ţinând seama de caracterul particular al variaţiei acestei mărimi se spune că frecvenţa

unui eveniment ,,converge” în probabilitate către probabilitatea adevărată a

evenimentului şi nu „tinde” deoarece se aproprie de valoarea adevărată prin abateri

alternative.

3.3.2. PRINCIPIUL CERTITUDINII PRACTICE

În multe cazuri, se întâlnesc evenimente a căror probabilitate se situează la limitele

extreme: fie foarte apropiate de zero, fie foarte apropiate de unitate, fără însă a se

confunda cu evenimentele imposibile sau evenimentele sigure. Aceste evenimente

poartă denumirea de evenimente ,,aproape imposibile“ sau evenimente ,,aproape

sigure“.

Evenimentele ,,aproape imposibile “ şi ,,aproape sigure” joacă un rol foarte important în

teoria probabilităţilor şi în multe domenii majoritatea aplicaţiilor practice sunt bazate pe

aceste noţiuni (tehnica măsurătorilor, control de calitate, reglaj automat etc.).

Dacă probabilitatea unui eveniment într-o experienţă este foarte mică sau foarte

apropiată de unitate, atunci se poate prevedea rezultatul experienţei pe baza principiului

imposibilităţii practice a evenimentelor cu probabilitate mică sau a principiului

certitudinii practice.

Acest principiu poate fi formulat astfel: dacă probabilitatea unui eveniment oarecare A

într-o experienţă este foarte mică, putem fi aproape siguri că dacă experienţa se

efectuează o singură dată, evenimentul A nu va avea loc.

Pornind de la definiţia clasică a probabilităţii se observă că un eveniment cu

probabilitate zero nu este eveniment imposibil, dar realitatea este cea care confirmă

principiul imposibilităţii practice.

Acest principiu stă la baza tuturor programelor de urmărire automată a funcţionării

diferitelor sisteme tehnice sau ale proceselor tehnologice de fabricaţie.

3.4. TEOREME FUNDAMENTALE ÎN TEORIA PROBABILITATILOR

3.4.1. ROLUL TEOREMELOR FUNDAMENTALE

Metoda directă de calcul a probabilităţilor are un rol minor în teoria probabilităţilor şi se

referă, în general, la evenimentele simple.

Foarte mult se folosesc metodele indirecte de calcul permiţând aflarea probabilităţilor

unui eveniment compus pe baza probabilităţilor cunoscute ale evenimentelor simple.

Astfel, teoria probabilităţilor se reduce, în mare, la un sistem de metode indirecte pe

baza cărora necesitatea experimentării este minimă.

3.4.2. TEOREME SI RELATII REFERITOARE LA INTERSECTIA

EVENIMENTELOR


59

a) Evenimente compatibile şi independente

Se consideră două evenimente A şi B, compatibile şi independente, pentru care se

cunosc probabilităţile P(A) şi P(B).

Probabilitatea intersecţiei acestor evenimente este:

)()()( BPAPBAP (3.5)

În cazul general, dacă evenimentul A reprezintă intersecţia a n evenimente simple

compatibile şi independente:

n

iAA1

Cu probabilităţile P(Ai) cunoscute, atunci:

n

i

n

ii APAPAP

11

)()()( (3.6)

b) Evenimente compatibile şi dependente.

Fie două evenimente compatibile, A şi evenimentul B dependent de A.

Probabilitatea intersecţiei acestor evenimente este:

A

BPAPBAP )()( (3.7)

unde P(B/A) este probabilitatea evenimentului B condiţionat de A (probabilitate

condiţionată) definită de relaţia:

)(AP

BAPP A

B

(3.8)

În cazul general, a n evenimente simple dependente, probabilitatea evenimentului

compus definit de intersecţia:

n

i

iAA1

)(

este:

1

1

21

2

1

21

1

)( n

i

i

n

n

i

i

A

AP

AAA

PA

APAPAPAP (3.9)

Relaţia (3.9) are o utilitate practică redusă deoarece valorile probabilităţilor condiţionate

sunt foarte dificil de stabilit.

3.4.3. TEOREME SI RELATII REFERITOARE LA REUNIUNEA

EVENIMENTELOR

a) Evenimente incompatibile

Se consideră:

nAAAA 21

Evenimentele sunt incompatibile, adică:

Øji AA

Probabilitatea evenimentului compus A este:

n

i

i

n

i

APAPAP11

1 )()( (3.10)


60

b) Evenimente compatibile.

Probabilitatea reuniunii a două evenimente compatibile este:

)()()()( 212121 AAPAPAPAAPAP (3.11)

În cazul a trei evenimente simple, 321 AAAA , probabilitatea reuniunii este dată de

relaţia:

)()()(

)()()()()()(

3213231

21321321

AAAPAAPAAP

AAPAPAPAPAAAPAP

(3.12)

În graficele din Fig. 3.1 se pot urmări modalităţile de reprezentare a evenimentelor

respective în aceste două cazuri.

Fig.3.1 Graficul evenimentelor compatibile:

a - intersecţia a două evenimente; b - intersecţia a trei evenimente.

Plecând de la expresia 3.12 considerăm sistemul de evenimente: iAA se obţine

relaţia generală (relaţia Poincaré):

n

2j

1j

1i

n

3k

1k

2j

1j

1i

n

1ii

1n

kjiji

n

1ii

n

1ii )A(P)1()AAA(P)AA(P)A(P)A(P)A(P

(3.13)

Relaţia 3.13 poate fi prezentată sub o formă mai simplă, dacă evenimentele Ai

sunt independente.

Se consideră deci reuniunea evenimentelor independente:

n

i

iAA1

(3.14)

şi sistemul evenimentelor contrarii iA care defineşte un alt eveniment:

n

1i

iAB

(3.15)

Se observă că AB .

Ştiind că:

)(1)( APAP (3.16)

Se obţin, pentru reuniunea evenimentelor independente, relaţiile:

A B

AB

A

B

AB

A1

A2

A3

A2A3

A1A2A3

A1A2

A1A3

a) b)


61

n

i

n

i 1

i

n

1i

i

1

i

n

1i

i AP11AP1AP1AP (3.17)

Expresia 3.14 înlocuieşte relaţia lui Poincaré şi are foarte multe aplicaţii tehnice.

3.4.4. INEGALITATEA BOOLE

În cazul unui sistem de n evenimente, Ai, la care nu se ştie dacă sunt compatibile sau

incompatibile, probabilitatea intersecţiei poate fi exprimată sub forma unei inegalităţi

(inegalitatea Boole).

Cu relaţia 3.11, intersecţia a două evenimente compatibile este:

)()()()( 212121 AAPAPAPAAP (3.18)

Necunoscând faptul că evenimentele sunt compatibile sau incompatibile se poate

considera pentru probabilitatea reuniunii, )( BAP , valoarea maximă obţinându-se

pentru intersecţie valoarea minimă:

1)()()( 2121 APAPAAP (3.19)

Pentru trei evenimente:

])[()( 321321 AAAPAAAP

Notând AAA 21 şi BA 3 ,

2)P(A)P(A)P(A1P(B)P(A)AP 32

n

1i

1

3

1i

i

sau

2)P(AAP3

1i

i

3

1i

i

(3.20)

Generalizând, se obţine pentru n evenimente relaţia:

)1(

n)P(AAPn

1ii

n

1ii (3.21)

denumită ,,inegalitatea Boole”, care determină limita inferioară a probabilităţii

intersecţiei evenimentelor, pentru care nu se ştie dacă sunt compatibile sau

incompatibile.

3.4.5. FORMULA PROBABILITĂŢILOR TOTALE

Pornind de la un exemplu practic, considerând că tolele necesare statorului unei maşini

electrice sunt ştanţate la trei prese diferite. Se cunosc următoarele evenimente: X1 (presa

1), produce 30% din totalul tolelor cu un rebut de 2%; X2, (presa 2) produce 20% din

totalul tolelor cu un rebut de 3%; X3 (presa 3) produce 50% din totalul tolelor cu un

rebut de 1%. Tolele ajung la secţia de montaj şi se amestecă. Aici se pune problema

probabilităţii extragerii unei tole necorespunzătoare.

Generalizând, considerăm un sistem complet de evenimente X1, X2,…,Xn, adică

n

1i

i EX

Fie un alt eveniment A, defectul, care nu se poate realiza singur ci numai împreună cu

unul din evenimentele Xi, formând un sistem de evenimente AX i incompatibile. În

consecinţă, evenimentul n

ii AXA

1

. Deoarece evenimentele )( AX i , )( AX j

sunt incompatibile, adică, ØAXAX ji )()( , probabilitatea evenimentului A este:


62

n

1i

in21 AXPAXPAXPAXPAP (3.22)

Deoarece evenimentele Xi şi A sunt compatibile şi dependente:

)/()()( iii XAPXPAXP (3.23)

Înlocuind 3.23 în 3.22:

i

n

1i

i

n

1i

i XAP)P(XXPAP A (3.24)

Această relaţie, 3.24, este cunoscută sub denumirea ,,formula probabilităţilor totale“.

Revenind la exemplul iniţial, unde 3.0)( 1 XP ; 2.0)( 2 XP ; 5.0)( 3 XP şi, de

asemenea, 02.0)/( 1 XAP ; 03.0)/( 2 XAP ; 01.0)/( 3 XAP , rezultă probabilitatea

unei tole defecte:

017.0)/()()/()()/()()( 332211 XAPXPXAPXPXAPXPAP

3.4.6. TEOREMA IPOTEZELOR (FORMULA LUI BAYES)

Pentru a înţelege mai uşor mecanismul procesului la care se referă teorema ipotezelor,

plecăm de la exemplul analizat în cazul anterior (probabilităţi totale) cu diferenţa că la

secţia de montaj extracţia unei tole a avut loc şi s-a constatat că este defectă.

Se pune acum problema la care presă a fost executată. Deci, care sunt cauzele producerii

defectului respectiv. Probabilităţile iniţiale, precizate, devin acum nişte ipoteze. De aici

şi denumirea de ,,teorema ipotezelor-Bayes“ sau ,,teorema probabilităţilor cauzelor“.

Trecând la formularea generală a teoremei considerăm:

Fie un sistem complet de ipoteze (evenimente) incompatibile, H1, H2,…,Hn

ØHHEHji

ji

n

ii ;

1

Aceste ipoteze (evenimente), reprezintă cauzele unui alt eveniment A, condiţionat de

evenimentele H1, H2,…,Hn.

Înainte de a efectua vreo experienţă sunt date probabilităţile ipotezelor P(H1), P(H2), …,

P(Hn) şi P(A/H1), P(A/H2), …, P(A/Hn). Realizându-se evenimentul A, se pune

întrebarea ce valoare capătă probabilităţile acestor ipoteze, condiţionate de evenimentul

A care s-a produs.

Se ştie că: )/()()/( AHPAPHAP ii . Intersecţia evenimentelor fiind comutativă,

)()( AHPHAP ii .

Se poate scrie egalitatea: x , de unde:

AP

HAPHP

AH

Pi

i

i

(3.25)

Conform formulei probabilităţilor totale 3.24 probabilitatea evenimentului A este

i

n

1

i HAPHPAP .

Înlocuind în 3.25 se obţine relaţia:

n

i ii

ii

i

HAPHP

HAPHP

AH

P

1

(3.26)

care poartă denumirea de ,,formula lui Bayes“.


63

Se observă că această formulă defineşte o probabilitate condiţionată. Există astfel două

moduri de interpretare a probabilităţii condiţionate: una ,,obiectivistă“ (sau frecvenţială)

conform 3.8 şi alta, ,, subiectivista “(sau bayesiană), exprimată prin 3.26.

Prima interpretare ,,obiectivistă”, se bazează pe conceptul de frecvenţă de apariţie a

evenimentului respectiv, în cazul unor experimente repetabile, în condiţii identice.

Interpretarea ,,subiectivistă“, depăşeşte limitele rigorii ,,obiectiviste“ şi defineşte

probabilitatea respectivă pornind de la o serie de ipoteze cu probabilităţile specificate

valoric. Probabilitatea devine astfel o măsură a unei stări de cunoaştere.

Reţinem cele două modalităţi de interpretare care completează şi fundamentează optica

modernă în tratarea multor probleme noi, lărgind orizontul tehnic de cunoaştere.

BIBLIOGRAFIE

3.1. Cicu, G Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică

matematică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,

1963

3.2. Constantinescu,

Al

Elemente de probabilităţi în mecanică, Ed. An-Da, Ed.

Lucman, Bucureşti

3..3. Craiu Mariana


3.4. Maliţa, M.,

Zidăroiu, C

Incertitudine şi decizie, Ed. Ştiinţifică şi enciclopedică,

Bucureşti, 1980

3..5. Mihăilă, N. Introducere în teoria probabilităţilor şi statistică

matematică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,

1965

3.6. Mihoc, Gh.,

Iosifescu, M.,

Ursea, V

Elemente de teorie a probabilităţilor şi aplicaţiilor ei,

Ed. Ştiinţifică, Bucureşti, 1966

3.7. Onicescu, O.,

Mihoc, G.,

Ionescu Tulcea,

C.T

Calculul probabilităţilor, Ed. Academiei RSR,

Bucureşti, 1956

3.8. Onicescu, O. Probabilităţi şi procese aleatoare, Ed. Ştiinţifică şi

enciclopedică, Bucureşti, 1977

3.9. Panaite, V.,

Munteanu, R.:

Control statistic şi fiabilitate, Editura Didactică şi

Pedagogică, 260 p, Bucureşti, 1973.

3.10 Sâmboan, G. ş.a Teoria probabilităţilor, Ed. Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1967

3.11 Trandafir, R

Introducere în teoria probabilităţilor, Ed. Albatros,

Bucureşti, 1979

3.12 Ventsel, H

Théorie des probabilités, Ed. Mir, Moscow, 1973


64

4. VARIABILE ALEATOARE ŞI FUNCŢII DE REPARTIŢIE

4.1. INTRODUCERE

Variabila aleatoare este una din noţiunile fundamentale ale teoriei

probabilităţilor.

Se numeşte variabilă aleatoare o mărime care în cadrul unei experienţe ia orice

valoare posibilă necunoscută dinainte.

Este cazul întâlnit în tehnică la tot pasul.

Ori de câte ori se pune problema măsurării unei anumite caracteristici: curentul

absorbit de o serie de electromagneţi identici, o dimensiune obţinută în urma unei

prelucrări tehnologice, rezistenţa măsurată la un lot de rezistoare etc.

Valorile respective sunt aleatoare. Dar fiecare valoare are o probabilitate de

apariţie diferită.

Spre deosebire de realizarea unei caracteristici certe care constituie un

eveniment sigur, deci totdeauna cu probabilitatea 1 valorile unei caracteristici aleatoare

sunt întâmplătoare, deci cu probabilitatea ≤1.

Variabila aleatoare (de la cuvântul alea-aleae, care înseamnă zar, întâmplare –

în l. latină) sau „variabila stocastică”(din l. greaca cu un înţeles de conjunctură sau

presupunere, utilizat prima data de Jaques Bernoulli) constituie modelul matematic al

unei caracteristici X, care are loc întâmplător, aleator sau stocastic.

Conceptul de variabilă aleatoare este un concept cu două aspecte: una referitoare

la valoarea caracteristicii (exprimată în unităţile corespunzătoare) şi a doua reprezentând

probabilitatea referitoare la valoarea respectivă.

Conceptul de variabilă aleatoare asociază cele două aspecte analizate în

capitolele anterioare.

Variabila aleatoare este un model analitic prin intermediul căruia sunt privite

aproape în totalitate caracteristicile tehnice ale materialelor, proceselor fizice sau

funcţionale ale produselor industriale.

O variabilă aleatoare este corect exprimată dacă se fac referiri atât la valoarea

caracteristicii cât şi la valoarea probabilităţii corespunzătoare.

Aproape în totalitate caracteristicile tehnice reale sunt aleatoare.

Ignorarea aspectului aleator şi interpretarea acestora în mod determinist conduce

la multe neclarităţi.

De aici şi handicapul domeniilor tehnice clasice de a aborda procesele de

defectare, de durata de viaţă, de străpungere a izolaţiei de uzură, etc., care sunt prin

excelenţă aleatoare şi pot fi modelate analitic numai utilizând conceptul de variabilă

aleatoare.

Variabilele aleatoare pot fi:

- discrete, definite pe o mulţime cel mult numărabilă;

- continue, definite pe o mulţime măsurabilă;


65

4.2. VARIABILE ALEATOARE DISCRETE

Fie o variabilă aleatoare X. Se consideră toate valorile )/()()/()( iii HAPHPAHPAP , pe care le

poate căpăta variabila aleatoare X cu probabilităţile fiecărei valori:

)/()()( iii XAPXPAXP

Numărul valorilor variabilei aleatoare discrete poate fi finit (numărabil),

}...,{ 21 nxxxX sau infinit ...}...,{ 21 nxxxX .

Enumerarea tuturor valorilor variabilei aleatoare şi ale probabilităţilor respective

formează tabloul de repartiţie sau distribuţiei şi se scrie sub una din formele:

||...||||)(

||...||||

21

21

ni

ni

pppxXP

xxxx

,

n

n

ppp

xxxX

...,,

...,,:

21

21 , sau nip

xX

i

i

1,:

În prima linie sunt trecute toate valorile posibile ale caracteristicii, iar în a doua

linie probabilităţile corespunzătoare. Probabilitatea fiecărui eveniment ix se poate

prezenta sub forma unei relaţii analitice, care stabileşte legătura dintre valorile aleatoare

ix şi probabilităţile respective. Expresia analitică:

)()()( iiii xpxPxXP (4.1)

se numeşte funcţie de probabilitate şi satisface dubla inegalitate 1)(0 ixP .

Reprezentarea grafică a repartiţiei se poate face sub forma unei diagrame cu bare

(Fig. 4.1) sau forma unei diagrame poligonale (Fig.4.2).

Fig.4.1 Repartiţia probabilităţiilor unei Fig.4.2 Poligonul repartiţiei probabilităţilor

variabile aleatoare discrete unei variabile aleatoare discrete.

Totalitatea valorilor distincte nxxx ..., 21

formează un sistem complet de

evenimente incompatibile.Pentru mulţimea de perechi ordonate }...2,1),,{( nipx ii ,

care definesc repartiţia se poate scrie:

n

ip1

1 (4.2)

Probabilitatea evenimentului xX are o semnificaţie deosebită. Probabilitatea

acestui eveniment este reprezentată de o funcţie numită funcţie de repartiţie a variabilei

aleatoare X:

)()( ii xXPxF (4.3)

0 1 2 3 4

p

xn-1 xn

x

p2

p1

p0

0 1 2

p3

3 x0


66

Funcţia de repartiţie (distribuţie), este o funcţie reprezentativă a variabilei

aleatoare. În cazul variabilei discrete aceasta se reprezintă sub forma unei diagrame

discontinue (în trepte), (Fig.4.3).

Fig.4.3 Graficul funcţiei de repartiţie a unei variabile aleatoare discrete.

Cunoscând funcţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete,

)( ii xPp , funcţia de repartiţie, conform (4.3), va fi:

k k

i

k

i

k

i

iiiikk pxPxXPxPxXPxF1 1 1 1

)()()()()(

(4.4)

4.3. VARIABILE ALEATOARE CONTINUE

Variabila aleatoare continuă X are o infinitate de valori, x, şi repartiţia nu poate

fi redată printr-un tablou.

În consecinţă, se foloseşte probabilitatea evenimentului xX , care, după cum

s-a văzut, se numeşte funcţie de repartiţie şi are, în acest caz, un rol primordial.

Pentru variabila aleatoare continuă, funcţia de repartiţie este definită de

integrala:

x x

dxxFdxxfxXPxF )()()()( (4.5)

unde )(xf reprezintă densitatea de repartiţie a probabilităţii sau densitatea de

probabilitate.

Densitatea de probabilitate este prima derivată (dacă există) a funcţiei de repartiţie

)(xF , adică:

)()()(

lim)(0

xFx

xFxxFxf

x

Densitatea de probabilitate este reprezentată de o curbă, (Fig.4.4).

Mărimea dxxf )( , se numeşte element de probabilitate şi reprezintă

probabilitatea ca variabila aleatoare să se găsească în intervalul elementar dx , fiind

egală, din punct de vedere geometric, cu aria dreptunghiului elementar cu baza dx

(Fig.4.5).

Rezultă că probabilitatea egalităţii cu o valoare oarecare a variabilei aleatoare

continue este egală cu zero.

1

x 0 1 2 3 4 5

F(x)


67

Fig. 4.4 Graficul densităţii de probabilitate. Fig.4.5 Reprezentarea elementului de

probabilitate.

Acest paradox aparent trebuie interpretat în felul următor: evenimentul xX

este un eveniment posibil, dar probabilitatea acestui eveniment este zero. Un astfel de

eveniment, posibil cu probabilitatea zero nu trebuie confundat cu evenimentul

imposibil.

Definiţia clasică a probabilităţii conduce la o interpretare, nu în sensul că

evenimentul va aparea, ci în sensul că evenimentul este posibil, dar probabilitatea

(frecvenţa) sa este nulă.

Se observă de asemenea că )(xf nu are semnificaţia unei probabillităţi aşa cum

se prezintă expresia E

E

, pentru variabila aleatoare discretă.

În consecinţă, semnul sau folosit la variabila aleatoare discretă va fi

înlocuit, în general, prin x sau 01

)(11

1 11

n

i

n

iii

n

ii xx

nxx

nn pentru variabila aleatoare continuă (probabilitatea

egalităţii fiind nulă).

a) Proprietăţile funcţiei de repartiţie

Geometric, funcţia de repartiţie pentru variabila aleatoare continuă este

reprezentată de aria haşurată, cuprinsă între curba densităţii de probabilitate şi axa

absciselor (Fig.4.4), iar aria totală este egală cu unitatea.

Graficul acestei funcţii pentru variabila aleatoare continuă este prezentat în Fig.

4.6 având drept asimptote dreptele 0)( xF şi x .

F(x)

F()=1

F(b) F(a)

F(0)

0 a b x

Fig. 4.6 Graficul de repartiţie a unei variabile aleatoare continue.

În consecinţă, proprietăţile funcţiei de repartiţie sunt:

0)( F

1)()( dxxfF

)()( 21 xFxF

pentru 21 xx funcţia este nedescrescătoare.

1)( dxxf

x

f(x)

0 x 0

f(x)dx

x x+dx

f(x)


68

b) Apartenenţa variabilei aleatoare la un interval dat

În anumite cazuri este necesar să se cunoască probabilitatea ca variabila

aleatoare să aparţină intervalului cuprins între limitele a şi b.

Pentru a exprima această probabilitate, utilizând şi interpretarea geometrică

redată de Fig 4.7. se poate scrie relaţii:

)()()( bXaPaXPbxP

de unde

)()()( aXPbXPbXaP

Conform (4.5.)

)()()( aFbFbXaP (4.6)

sau:

dxxfdxxfdxxfbXaPb

a

ab

)()()()(

(4.7)

Deci conform relaţiei (4.6) şi Fig. 4.6, probabilitatea ca o variabilă aleatoare să

aparţină intervalului (a, b) egală cu creşterea funcţiei de repartiţie în acest interval sau

cu integrala densităţii de repartiţie în intervalul respectiv (a, b), a cărei valoare este dată

de aria trapezului curbiliniu mărginit de axa x , curba densităţii )(xf şi dreptele ax

şi bx (Fig.4.7).

Fig. 4.7 Interpretarea geometrică a probabilităţii apartenenţei la un interval.

4.4. VALORI TIPICE ŞI MOMENTE ALE VARIABILELOR

ALEATOARE

4.4.1. VALORILE TIPICE ALE VARIABILELOR ALEATOARE

Valorile tipice sunt: valori tipice de localizare şi valori tipice de variaţie.

Valorile tipice sunt mărimi teoretice definite de expresii similare indicatorilor

statistici.

Spre deosebire de valorile indicatorilor statistici, care se bazează pe un număr

limitat, inferior volumului populaţiei din care s-au extras, valorile tipice sunt

determinate de toate valorile variabilei aleatoare, cunoscute. Din acest motiv se mai

numesc şi valori „adevărate”.

4.4.1.1 Valori tipice de locarizare

a) Valoare medie. Denumită şi speranţa matematică, valoarea matematică,

media teoretică sau simplu medie. Pentru variabila aleatoare discretă,

,,...,2,1,: nip

xX

i

i

a b x

f(x)

b

a

dxxf )(


69

valoarea medie, este definită de relaţia:

n

i

ii

n

nn pxppp

pxpxpxXM

121

2211

...

...][ (4.8)

Pentru variabila continuă speranţa matematică este definită de expresia:

dxxxfxxdFXM

)()(][ (4.9)

unde f(x) reprezintă densitatea de probabilitate a variabilei X. În general se foloseşte

pentru media teoretică notaţia ][XM sau ][XE , (Matematical Expectation).

b) Mediana eM - este valoarea tipică, în raport cu care, variabila aleatoare X

are aceeaşi probabilitate de a fi inferioară sau superioară, adică

)()( ee MXPMXP sau 5,0)(

eM

dxxf (4.10)

Din punct de vedere geometric, mediana este abscisa punctului prin care trece

pararela la axa Oy , care împarte în două părţi egale aria limitată de curba )(xf şi axa

absciselor (Fig.4.8).

c) Cuantile. Pe baza aceloraşi consideraţii făcute la mediană, se pot defini 1n ,

valori ale variabilei aleatoare 1x la 1nx , denumite cuantile sau fractile pentru care:

1 2

1

3

2 1

1)(...)()()(

x x

x

x

x xn ndxxfdxxfdxxfdxxf (4.11)

Dacă 4n , valorile 332211 ;; QxQxQx se numesc cuartile. Se observă că

eMQ 2 . Pentru 10n , cele 9 valori )9...2,1(1 ix se numesc decile. Dacă 100n ,

valorile respective se numesc procentile. În unele cazuri se poate utiliza noţiunea de

„cuantila ordin ” xQ (Fig.4.9), care reprezintă cuantila superioară, Qxn 1 fie cea

inferioară 11 Qn , definită respectiv de expresiile:

- cuantila superioară: )( QXP

- cuantila inferioară: 1)( 1QXP

Fig. 4.8 Poziţia indicatorilor: Fig.4.9 Poziţia cuantilei de ordin .

medie, mediana şi mod.

d) Mod 0M - este valoarea tipică, cea mai probabilă (valoarea dominantă) a unei

variabile aleatoare. În cazul variabilelor continue moda corespunde valorii pentru care

densitatea de probabilitate are un maxim (Fig.4.8).

4.4.1.2 Valori tipice de variaţie

1-α

α α

f

Q1-α Qα

M0 Me x

f(x)

M


70

Dispersia şi abaterea medie pătratică (abaterea standard) au urmatoarele

expresii:

a) Dispersia teoretică notată cu D[X] sau cu V[X] (Variance), este definită de

relaţiile:

- pentru variabile discrete:

n

i

ii pxXMXD1

222 )(])[(][ (4.12)

- pentru variabila continuă:

dxxfxxD )()(][ 22 (4.13)

sau:

222 )(

dxxfx (4.14)

b) Abaterea medie patratică (abatere standard). Prin definiţie abaterea

medie patratică este dată de expresia generală:

][XD (4.15)

Pentru variabila aleatoare discretă, relaţia (4.15) devine:

n

i

ii

n

i

ii pxpx1

22

1

2)( (4.16)

iar pentru variabila aleatoare continuă:

222 )()()( dxxfxdxxfx (4.17)

4.4.2. MOMENTE

Momentele sunt relaţii generale cu ajutorul cărora se pot calcula şi valorile tipice

prezentate anterior.

Momentele pot fi: momente iniţiale (absolute) şi momente centrate.

4.4.2.1 Momentul iniţial de ordin )1(, kk

Pentru variabila aleatoare discretă, momentul iniţial (absolut) de ordin *, Nkk , este:

n

i

i

k

i

k

k pxXM1

' ][ (4.18)

iar pentru o variabilă continuă acelaşi moment iniţial de ordin k are forma:

dxxfx k

k )('

(4.19)

Stabilirea expresiei momentului iniţial de ordin k , al variabilei cu o limită

inferioară , specificată este prezentată în Anexa 4.1.

4.4.2.2 Momentul centrat de ordin )1(, kk

Pentru o variabilă discretă, momentul centrat de ordin k în raport cu media

teoretică este:

i

k

i

n

i

k

k pxXMXM )(])][[(1

(4.20)

iar pentru o variabilă continuă, momentul centrat de ordin k este:


71

dxxfxxMXM kk

k )()()][[(

(4.21)

Valorile tipice se pot calcula şi cu ajutorul momentelor.

Astfel, media teoretică este definită şi de momentul iniţial de ordinul 1 (k=1):

'

1)(][

dxxfxxM (4.22)

De asemenea, momentul centrat de ordinul 2, reprezintă dispersia teoretică:

2'

1

'

2

2222

2 )()()()(

dxxfxdxxfx (4.23)

4.4.3. COEFICIENTUL DE VARIAŢIE TEORETIC

][

][

XM

XDCV (4.24)

sau în funcţie de momente:

12'

1

'

22

CV (4.25)

Curbele teoretice de repartiţie ale diferitelor variabile aleatoare pot fi comparate

şi cu ajutorul valorilor teoretice ale coeficienţilor de asimetrie şi de exces, cu relaţiile:

3

3

1

(4.26)

34

42

(4.27)

O variabilă aleatoare este „specificată” când i se cunosc valorile tipice şi

„complet specificată” când se cunoaşte şi funcţia de repartiţie.

4.5. INEGALITATEA BIENAYMÉ-CEBÂŞEV

Repartiţia unei variabile aleatoare este „complet specificată” dacă se cunosc

valorile tuturor parametrilor sau se cunosc toate momentele. În cazul în care repart iţia

nu este cunoscută, dar se cunosc valorile tipice, media şi dispersia, se poate stabili

probabilitatea abaterii variabilei aleatoare faţă de medie cu ajutorul inegalităţii Cebâşev.

Fie o variabilă aleatoare discretă cu repartiţia nip

xX

i

i...2,1,:

şi valorile

tipice:

n

ii pxXM1

][

n

ii pxXD1

22 )(][

Notăm abaterile jjx )( în ordinea crescătoare:

222

3

2

2

2

1 ...... nj

Intercalăm între valorile j şi 1j valoarea 2 astfel:

22

1

222

2

2

1 ....... njj


72

Dispersia considerând probabilităţile corespunzătoare jp va fi:

]....[]...[

......

2

2

2

21

2

1

2

2

2

21

2

1

22

2

2

21

2

1

2

nnjjjjjj

nnjj

pppppp

pppp

Se fac următoarele aproximări:

-se neglijează prima paranteză mare (toti termenii 22 j ), iar în paranteza a

doua toate valorile 22 j ;

-se egalează cu 2 şi prin această dublă micşorare a termenului doi expresia

devine:

)..( 21

22

njj ppp

de unde:

2

2

21 ..

njj ppp

sau

2

2

jp

Dar jp reprezintă probabilitatea xP şi deci:

2

2

xP

Deoarece:

1 xPxP

rezulta importanta inegalitate Bienaymé-Cebâşev:

2

2

1

xP (4.28)

sau dacă k , atunci capătă forma:

2

11

kkxP (4.29)

Câmpul de variatie al variabilei aleatoare poate fi exprimat cu un multiplu k al

abaterii medii pătratice .

Valorile expresiei )1( 2k . Tabelul4.1

k 1,2 1,5 1,8 2,0 2,3 2,5 2,8 3,0 3,3 3,5

1-k2 0,3055 0,5556 0,6914 0,7500 0,8109 0,8400 0,8724 0,8889 0,9082 0,9184

În tabelul 4.1 se prezintă valorile termenului 21 k al inegalităţii (4.25) funcţie

de parametrul k . Pentru k=4,5:

95,0)5,4 XP

Se poate astfel calcula probabilitatea abaterii unei valori faţă de media teoretică,

inferioara produsului k , fără a se cunoaşte repartiţia.

Cu această inegalitate intervalul de variaţie k poate fi corelat cu toleranţele

tehnologice prezentând un interes deosebit în procesele de fabricaţie unde legea de

repartiţie a valorilor caracteristicii prelucrate este necunoscută.


73

4.6. FUNCŢIA CARACTERISTICĂ

Calculul momentelor cu ajutorul funcţiilor de repartiţie prezintă uneori anumite

dificultăţi analitice. Pentru evitarea acestor neajunsuri se introduce o funcţie continuă cu

valori complexe, care se numeşte funcţie caracteristică notată cu c(t). Această funcţie

este media teoretică a unei variabile aleatoare complexe: }...,{ 21 nxxxX care se obţine deci

prin înlocuirea lui X cu )( ii xPp , unde t este un parametru real, iar j unitatea imaginară.

Conform acestei definiţii funcţia caracteristică pentru variabila aleatoare discretă este:

n

i

jtx

i

jtx iepeMtc1

][)( (4.30)

Pentru variabile continue, cu densitatea de repartiţie f(x) funcţia caracteristică

are expresia:

dxxfetc jtx )()(

(4.31)

Funcţia caracteristică se mai poate prezenta sub forma generală:

)()( zdFetc jtx

(4.32)

utilizând descompunerea:

...!2!1

1222

iijtx xtjtxe i

relaţia (4.30) devine:

...!2!1

1)(1

222

11

i

n

i

ii

n

i pxtj

pxjt

tc (4.33)

Această relaţie arată legătura care se poate face între momente şi funcţia

caracteristică. Derivând c(t) de k ori şi egalând t=0 se obţin, din (4.29), momentele

teoretice absolute (iniţiale) de ordin k: ')0( k

kjc

sau

kkj

c )0('

Cu relaţia (4.31) se obţine funcţia caracteristică în funcţie de densitatea de

probabilitate f(x). Această transformare poartă denumirea de transformarea Fourier.

Utilizând transformarea Fourier inversă se poate exprima densitatea de probabilitate f(x)

în funcţie de c(t):

dttcexf jtx )(2

1)(

(4.34)

Funcţiile caracteristice au următoarele proprietăţi: 1)0( c ; 1)( te şi )(tc este

reală dacă repartiţia este simetrică. Repartiţiile care au aceiaşi funcţie sunt identice.

Uneori se poate utiliza în locul funcţiei caracteristice o altă funcţie similară, numită

funcţie generatoare definită astfel: pentru variabila aleatoare discretă;

n

1i

tpxxt iie]e[M)t(g (4.35)

iar pentru variabila aleatoare continuă;


74

dxexftg xt)()( (4.36)

Asemănător, prin derivarea de k ori şi prin egalarea t=0 se obţine momentul

absolut de ordin k. Funcţia generatoare are un câmp de aplicaţii mai restrâns decât

funcţia caracteristică.

4.7. FUNCŢII DE REPARTIŢIE

Funcţiile de repartiţie (de distribuţie), constituind de fapt modelul analitic al

unor procese stocastice, poartă şi denumirea de legi de repartiţie sau legi de distribuţie.

4.7.1. REPARTIŢII DISCRETE

4.7.1.1 Repartiţia binomială (Bernoulli), se obţine pe un model, care

îndeplineşte următoarele condiţii:

- fiecare încercare să aibă numai două rezultate posibile şi incompatibile, de

exemplu A şi A ;

- probabilităţile evenimentelor să rămână constante în tot timpul

experimentărilor P(A)=const.; .const)A(P1)A(P

Modelul acesta poate reprezenta cazul unui lot de produse la care A constituie

evenimentul care constă din extragerea unui produs bun şi A - extragerea unui produs

necorespunzător (defect). Similar se consideră cazul unei urne cu bile albe şi bile negre.

Înaintea unei extrageri se cunosc P(A)=p şi qpAP 1)(

Problema care se pune este următoarea: din n extrageri repetate de câte ori apare

evenimentul A.

În consecinţă, variabila aleatoare X, reprezintă numărul de apariţii în cele n

extrageri cu probabilităţile respective. Dacă se îndeplinesc condiţiile specificate mai sus,

mulţimea perechilor {(xi, pi)}, ni 1 , formează repartiţia binomială.

Mai precizăm ca probabilităţile P(A) şi )(AP îşi conservă valorile dacă

extragerea se face dintr-un lot cu un număr de produse N foarte mare sau dacă după

extragere elementul extras este introdus la loc. Acest ultim caz mai este numit

„extragere cu întoarcere”.

Considerăm cazul a două extrageri (n=2). Evenimentul A poate să nu apară, să

apară o dată sau de două ori. Variabila aleatoare X poate căpăta valorile 0, 1, 2 cu

următoarele probabilităţi.

Deci în cele două extrageri: 2)()0( qqqAAPXP

pqAAAAPXP 2)()()1( 2)()2( pAAPXP

În consecinţă, tabelul repartiţiei este:

xi 0 1 2

pi q2 2pq q2

În cazul unui număr de trei extrageri, făcând acelaşi raţionament se obţine

tabelul de repartiţie:


75

xi 0 1 2 3

pi q3 3pq2 3p2q p3

Generalizând, putem considera că după n extrageri s-a produs de k ori

evenimentul A şi de n-k ori evenimentul A . Probabilitatea de a se produce evenimentul

A de k ori în ordine succesivă şi apoi evenimentul A este: knk

orikndeorikde

qpAAAAAAAAP

)......(

În cele n extrageri nu interesează ordinea de apariţie a evenimentului A. În acest

caz trebuie considerate toate situaţiile posibile. Numărul posibil al ordonărilor diferite

este egal cu knC . Rezultă astfel probabilitatea că în n extrageri evenimentul A să se

găsească de k ori este dat de relaţia: knkk

n

knkk

n ppCppCknP )1(),( (4.37)

sau:

knk qpknk

nknP

)!(!

!),( (4.38)

Se observă că expresia P(n,k) are aceeaşi formă ca termenul general al

dezvoltării binomului lui Newton de unde şi denumirea de repartiţie binomială. Pentru

inele aplicaţii unde n ia valori mari se poare folosi pentru simplificarea calculului,

formula lui Stirling:

nenn nn 2! (4.27)

Tabelul repartiţiei variabilei aleatoare este:

nknkk

n

n

nn

n pqpCqpCpqCq

nkX

......

......210: 2221 (4.39)

a) Funcţia de probabilitate a repartiţiei binomiale are expresia: knkk

n qpCkPkXPk )()()( (4.40)

Relaţia (4.40) indică valoarea probabilităţii ca evenimentul să apară de k ori la

repetarea de n ori a evenimentului (x=k). Funcţia de probabilitate se poate reprezenta

prin diagrama cu linii (Fig.4.10) sau prin puncte (diagrama poligonală), (Fig.4.11).

Valoarea funcţiei de probabilitate se poate determina cu ajutorul tabelului din anexe

unde sunt trecute valorile conform (4.40).

0.4

0.3

0.2

0.1

0 1 2 3 4 5

x

)(x

p=0.06

n=20

Fig.4.10 Funcţia de probabilitate a repartiţiei Fig.4.11 Diagrama poligonală a funcţiei de binomiale cu p=0.06 şi n=20. probabilitate cu repartiţie binomială cu

parametrii n=20; p=0.02-0.20


76

b) Funcţia de repartiţie binomială F(k), considerând relaţiile anterioare

pentru Nk , are expresia:

][

0

][

0

)()()(k

x

k

x

xnx

n pCxPkFkP (4.41)

Funcţiile )(x şi F(k) pot fi calculate cu ajutorul tabelelor din anexele A1 şi A2.

Repartiţia binomială se mai numeşte „repartiţie binomială de ordinul n şi parametru p”.

c) Media teoretică (speranţa matematică) a variabilei aleatoare cu

repartiţie binomială. Expresia generală a mediei teoretice în acest caz este:

n

x

xnxx

n qpxCXM1

][ (4.42)

Utilizând funcţia generatoare se ajunge la expresia:

n

xxnxx

n

n iqpCqpt0

)( (4.43)

a cărei derivată în raport cu t este:

1

0

1 .)( xn

xnxx

n

n txqpCpqptn (4.44)

Pentru t=1 se obţine:

n

xnxx

n

n xqpCpqpn0

1)( (4.45)

Deoarece (p+q)=1, rezultă:

npqpnpXM n 1)(][ (4.46)

In tabelul 4.2 sunt prezentate şi alte valori teoretice ale v.a. cu repartiţie

binomială:

Mărimi teoretice ale v.a. cu repartiţie binomială. Tabelul 4.2

Denumirea

mărimii

Simbol Relaţia de calcul

Media npxCpxXMn n

x

x

nii 1 0

][

Mod 0M p)(npq)-(np 0 M

Dispersia 2 npqpnpxD )1(][ 2

Abaterea standard npq

Momente k )361();(

;;43

2

2

'

1npqpqnpqpqnpq

npqnp

Asimetria

1 npq

pq

Excesul

(aplatisarea) 2

npq

pq61

Funcţia

caracteristică

c(t) nqjtxnjin

x

n

xnxn

x

n

jqt epqpeCqpCetcx

)()()(00

Funcţia

generatoare

g(t) ntxnt

nx

n

xnxn

x

n

xt qpeqpeCqpCetgx

)()()(00


77

4.7.1.2 Repartiţia hipergeometrică

Modelul probabilistic al repartiţiei hipergeometrice este similar celui binomial

cu diferenţa că elementul extras nu mai revine şi astfel la fiecare extragere se modifică

compoziţia (condiţiile).

Extragerea se numeşte „fără întoarcere”.

Fie o populaţie cu n piese, din care a sunt bune şi anb sunt defecte

)( nba .

Probabilitatea ca efectuând m extrageri succesive fără întoarcere să se scoată x

piese bune şi în consecinţă un număr xm să fie defecte se obţine considerând că

numărul total al cazurilor posibile este dat de combinările a n piese luate de câte

2

1n, iar numărul cazurilor favorabile extragerii de piese bune şi piese defecte

este dat respectiv de xm

b

x

a CşiC .

Funcţia de probabilitate are expresia: m

n

xm

b

x

amn CCCxp /)(,

(4.47)

Dacă n este foarte mare, repartiţia hipergeometrică se apropie de repartiţia

binomială cu parametrii:

n

ap ;

n

a

n

bq 1

Funcţia de repartiţie în acest caz are expresia:

xm

b

x

a

k

xm

n

mn CCC

kXPkF

0

,

1)()( (4.48)

Valorile tipice sunt reprezentate în tabelul 4.3.

Sub o formă mai generală repartiţia hipergeometrică poate fi întâlnită şi astfel: se

consideră un număr de n produse industriale cu kaaa ,...,, 21 clase având calităţi

diferite, unde .....21 naaa k

Extrăgând (fără întoarcere) m exemplare, posibilitatea ca în eşantionul extras să

existe kxxx ,...,, 21 exemplare din fiecare calitate )...( 21 mxxx k .

m

n

xk

ak

x

a

x

a

nC

CCCxxxmPn

...),...,,(,

2

2

1

1

21 (4.49)

Valori tipice ale variabilei aleatoare cu repartiţie hipergeometică. Tabelul 4.3

Denumirea mărimii Simbol Relaţia de calcul

Media mpMX

Mod 0M

2

1

2

10

n

mpnpnmM

n

mqnpnm

Dacă pmpMqpmmn 0:

Dispersia 2

1][

n

mnmpqXD

Pentru n

m

n

mn

n

mnmn

1

1;

n

mmpqXD 1][

4.7.1.3. Repartiţia Poisson


78

Repartiţia Poisson este repartiţia evenimentelor rare. În foarte multe cazuri,

evenimente cum ar fi avariile instalaţiilor, accidentele, defectările maşinilor sau

echipamentelor etc., au repartiţii Poisson.

Dacă în intervalul de timp T cunoscut se produc 'n evenimente rare, Fig.4.12,

factorul T

n reprezintă densitatea de apariţie a evenimentului în unitatea de timp şi

t. defineşte media apariţiilor evenimentelor în intervalul t. Probabilitatea

apariţiei de k ori a evenimentului respectiv în acelaşi interval t este:

Fig. 4.12 Diagrama evenimentelor rare.

tk

e!k

)t()kX(P (4.50)

Funcţia de probabilitate are expresia:

e!k

)kX(Pk

(4.51)

Valorile funcţiei de probabilitate se pot obţine cu ajutorul tabelului din anexe.

În Fig.4.13 sunt redate diagramele poligonale ale funcţiei de probabilitate Poisson

pentru diferite valori ale parametrului . Funcţia de repartiţie conform definiţiei

generale are expresia:

k

k

k

kekXPkF

0 !)()(

(4.52)

Valorile funcţiei de repartiţie

pot fi determinate cu ajutorul tabelului

de repartiţie din anexe. Legea Poisson

este o lege limitată a repartiţiei

binominale. Această particularitate

poate fi folosită în aplicaţiile practice

atunci când un eveniment cu repartiţie

binomială are o probabilitate foarte

mică. În acest caz în locul formulei

repartiţiei binomiale se poate utiliza

relaţia:

npk

ek

npknP

!

)(),( (4.53)

Fig. 4.13 Diagramele poligonale ale funcţiei

de probabilitate cu repartiţie Poisson.

unde np reprezintă după cum se ştie media teoretică a repartiţiei binominale.

Aproximaţia este suficient de bună atunci când 1,0p şi 5np . Se observă că o

particularitate a repartiţiei Poisson, egalitatea dintre media teoretică şi dispersie (tabel

4.4):

][][ XDXM

sau

T t

t 0 1 2 3 4 n


79

2 (4.54)

În tabelul 4.4 sunt prezentate mărimile teoretice (valorile tipice) ale v.a. cu

repartiţie Poisson.

Mărimi teoretice ale variabilei cu repartiţie Poisson. Tabelul 4.4

Denumirea Simbol Relaţia de calcul

Media

ee

xe

xxexM

xx

0 0

1

)1(!][

Dispersia 2 ][xD

Mod 0M 01 M

Momente k a) momente iniţiale (absolute)

32'

3

2'

2

'

1

3

b) momente centrate

2

4

3

2

2

3

Asimetrie 1

1

Excesul 2

1

Funcţia caracteristica )(tc

0

)1(

!

)()(

jtekjt

ek

eetc

4.7.2. REPARTIŢII CONTINUE

4.7.2.1. Repartiţia uniformă

Variabila aleatoare X aparţinând intervalului ],[ ba are toate valorile

echiprobabile. Densitatea de probabilitate este:

abXF

1)( pentru ],[ bax

0 pentru ],[ bax

Funcţia de repartiţie are expresia:

bxpentru

bxapentruab

axaxpentru

xF

,1

,

,0

)(

Diagramele densităţii şi funcţiei de

repartiţie uniformă sunt reprezentate

în Fig.4.14.

Fig.4.14 Graficul repartiţiei uniforme.

Valorile tipice sunt prezentate în tabelul următor:

ab

1f(x)

a bx

x

a b

1

0.5

F(x) Me


80

Valorile tipice ale variabilei cu repartiţie uniformă. Tabelul 4.5

Denumirea mărimii Simbol Relaţia de calcul

Media

b

a

ab

ab

xdxxM

2][

Dispersia 2

12

)(][

22'

1

'

2

baxD

Momente

k

b

a db

dxx 2'

2

'

1

4.7.2.2. Repartiţia exponenţială

Variabila aleatoare continuă x , cu repartiţia exponenţială negativă, are

densitatea de probabilitate:

xexf x 0,0;)( (4.56)

Funcţia de repartiţie este: xexF 1)( (4.57)

Graficele densităţii de probabilitate şi ale funcţiei de repartiţie sunt

prezentate în Fig.4.15 şi 4.16. La calculul funcţiei de repartiţie se pot utiliza

tabelele din anexe.

Fig.4.15 Densitatea de probabilitate cu Fig. 4.16 Funcţia de repartiţie exponenţială repartiţie exponenţială. negativă.

Valorile tipice au expresiile prezentate în tabelul 4.6. Se observă în acest caz

egalitatea dintre media teoretică şi abaterea standard

1

. Repartiţia

exponenţială reprezintă cazul particular al repartiţiilor Poisson şi Weibull.

Indicatorii teoretici ai variabilei cu repartiţie exponenţială. Tabelul4.6

Denumirea indicatorului Simbol Relaţia de calcul

Media

1

][ 0

dxeXM x

Dispersia 2

2

][ 2'1

'2 XD

Momente k

2

2

0

'

2

'

1

2

1

xex

Funcţia caracteristică )(tc jt

ejt

dxedxxfetc xjtxjtjtx

0)()( )()(

00

01/

x

f(x)

x

f(x)

1

0.63

0 =1/


81

4.7.2.3. Repartiţia normală

Repartiţia normală este una din cele mai importante legi de repartiţie şi este

cunoscută sub denumirea de legea lui Gauss sau Gauss-Laplace.

a. Legea Gauss. Legea de repartiţie Gauss (normală) este caracterizată de

parametrii şi 2 . Densitatea de probabilitate are expresia:

2

2

2

)(

2

1)(

x

exf (4.58)

Repartiţia normală se notează simbolic prin ),( 2N . Graficul densităţii de

probabilitate are formă de clopot (Fig.4.17) şi prezintă următoarele particularităţi:

a) admite un maxim pentru x şi scade necontenit la dreapta şi la stânga

2/1)(;;0

)(fx

dx

xdf;

b) are o simetrie în raport cu dreapta x ;

c) are o formă de clopot (clopotul lui Gauss) cu convexitatea în sus. În punctele

şi curba îşi modifică convexitatea. Curba densităţii de probabilitate este

cu atât mai ascuţită (Fig.4.18) cu cât este mai mic. Modificarea parametrului

translatează curba de-a lungul axei Ox fără să modifice forma (Fig.4.19). În unele

domenii de aplicaţie (teoria erorilor) funcţia densităţii de probabilitate cu repartiţia

normală este prezentată şi sub forma:

Fig.4.17 Densitatea de probabilitate Fig.4.18 Curbele densităţilor de probabilitate

cu repartiţie normală. cu dispersii diferite 21321 ; .

22 )()(

xheh

xf (4.59)

unde parametrul /1707,0/1 h caracterizează precizia. Funcţia de repartiţie

normală este dată de expresia:

dxexXPxFx

x

2

2

2

)(

2

1)()(

(4.60)

Repartiţia fiind simetrică: 2

1)()( dxxfF

x

. Valoarea funcţiei )(xF este

reprezentată în Fig.4.20, prin aria haşurată. Valorile tipice au relaţiile din tabelul 4.7.

Asimetria )( 1 şi aplatisarea )( 2 pentru repartiţie )2,( N sunt egale cu zero.

4.0

2.0

µ-a µ µ+a x

0

f(x)

µ

f(x)

1

2

3

σ1

σ2

σ3

x


82

m

n

xm

b

x

amn CCCxp /)(,

Fig. 4.19 Curbele densităţilor de probabilitate Fig. 4.20 Corelare f(x) şi F(x).

cu repartiţie normală cu dispersii egale şi medii diferite.

Observaţie: Cunoscând parametrii repartiţiei normale şi 2 , se poate determina analitic

valoarea probabilităţii )( axP cu relaţia (4.60). Calculul nu este prea simplu şi în practică

este necesar să se recurgă la tabele. Pentru a evita alcătuirea de tabele pentru fiecare şi s-a

trecut la normarea (reducerea) variabilei aleatoare.

Valori teoretice ale variabilei cu repartiţie normală. Tabelul 4.7

Indicatorul Simbol Relaţia de calcul

Media

0dx)x(f)x(;)x(Mdaca

dx)x(fdx)x(f)x(dx)x(xf]x[M

Dispersia 2 2

Moment k Momente centrate: a) de ordin impar: 012 k

b) de ordin par: 22

)12(2

kkk

4

6

2

4

2

2 15;3;

Asimetria 1 01

Excesul 2 02

Funcţia caracteristică

k 2

2a2

tttc e)(

b. Repartiţia normală redusă (Laplace). Funcţiile densităţii de probabilitate şi de

repartiţie se pot centra printr-o schimbare de variabilă şi anume:

xz (4.61)

Cu această transformare repartiţia poartă denumirea de repartiţie normală

normată (repartiţie normală redusă sau repartiţie Laplace). Densitatea de probabilitate

normală normată (Fig.4.21) este:

2

2

2

1)(

z

ezf

(4.62)

Cu valorile 3989,02

1)0(

f şi 0044,0)3()3( ff .

Se observă că )(zf se obţine din )(xf (relaţia 4.60) dacă 0 şi 1 .

Indicatorii variabilei aleatoare z au valorile M(z)=0 şi z=1. În consecinţă, dispersia este

µ1 µ2 µ3

f(x)

x

.;321 ct F(x)

4.0

f(x)

F(x)

µ

1

0.5

0 x


83

egală cu abaterea standard, iar momentele centrate sunt egale cu cele iniţiale. Repartiţia

normală se notează cu N(0,1).

Fig.4.21 Densitatea de probabilitate cu Fig.4.22 Funcţia de repartiţie normală

repartiţie normală normată )(zf . normată )(zF .

Funcţia de repartiţie Laplace are expresia:

z z

z

dzedzzfzF 2

2

2

1)()(

(4.63)

Valorile funcţiilor f(z) şi F(z) se pot determina cu ajutorul tabelelor din anexe. În

Fig.4.22 este reprezentată funcţia de repartiţie normală normată. Funcţia de repartiţie

F(z) fiind simetrică în raport cu originea, se poate scrie:

)(2

1)()()()(

0 0zdzzfdzzfdzzfzF

z z

(4.64)

Grafic, normala reprezintă o translaţie de axe realizată de ecuaţiile z=z şi

2

1)()( zFz (Fig.4.23, a, b).

Integrala:

dzedzzfzz

zz

0

2

0

2

2

1)()(

(4.65)

poartă denumirea de funcţia integrală Laplace şi geometric reprezintă aria dublu

haşurată din graficul funcţiei densităţii de probabilitate (Fig.4.23, c).

Fig. 4.22 Interpretarea geometrică a funcţiei Laplace

a-funcţia de repartiţie Laplace; b-funcţia integrală Lapace; c-densitatea de probabilitate.

Funcţia integrala Laplace este simetrică în raport cu originea. În consecinţă este

suficient să se cunoască numai valorile funcţiei )(z pentru z>0. Valorile integratei

Laplace se găsesc tabelate, la fel ca şi ale funcţiei de repartiţie Laplace F(z). Se atrage

atenţia asupra confuziilor care se pot face uneori între funcţia de repartiţie Laplace F(z),

funcţie integrată Laplace )(z datorită şi notaţiilor diverse sub care se întâlnesc.

Proprietăţile funcţiei Laplace sunt prezentate în tabelul 4.8.


84

Proprietăţile funcţiei Laplace. Tabelul 4.8

F(z)

0

z 1-F(z)

0.5

z F(z)

1

Dacă ne referim la un interval oarecare )( 2,1 xx probabilitatea ca variabila

aleatoare normală ),( 2N să aparţină acestui interval este conform (4.7), dată de

relaţia:

2

1

)()()()( 1221

x

xxFxFdxxfxXxP (4.66)

Efectuând normarea /)(,/)( 2211 xzxz rezultă:

)()(

)()()()()(

12

12

x

x

z

z 1221

zFzFx

Fx

F

xFxFdzzfdxxfxXxP2

1

2

1

(4.67)

Problema probabilităţii apartenenţei variabilei aleatoare la un interval are

numeroase aplicaţii practice. Astfel, probabilitatea valorii unei caracteristici în raport cu

limitele impuse, a consumului de material, de energie, a abaterilor tehnologice etc.,

ridică probleme similare. În tabelul 4.9 sunt prezentate relaţiile de calcul şi interpretările

geometrice ale probabilităţilor în diferite cazuri. Probabilitatea ca o variabilă normală

normată N(0,1) să aparţină diferitelor intervale 2;1 şi 3 este redată în figura

4.24. În numeroase aplicaţii este necesară valoarea cuantilei z cu probabilitatea de a

fi depăşită (Fig.4.25). Aceste valori sunt prezentate în tabelul anexat.

Fig. 4.24 Probabilitatea corespunzătoare intervalelor. Fig. 4.24 Reprezentarea valorii Q cu

probabilitatea de a fi depăşită.

c. Regula celor 3

Se consideră variabila aleatoare X cu repartiţie normală ),( 2N .

Se pune problema determinării probabilităţii ca abaterea variabilei x faţă de

media teoretică , să fie mai mică decât o anumită valoare 0x , adică 0xx .

Această relaţie conduce la dubla inegalitate 00 xxx .

Notând 01 xx şi

02 xx se poate scrie:


85

4.7.3. Repartiţii de semnificaţie

Există o categorie de repartiţii continue utilizate numai pentru a scoate în

evidenţă semnificaţia unor variaţii aleatoare. Variabilele aleatoare ale acestor repartiţii

sunt definite de o regulă sau de o formula şi poartă denumirea de „statistică”.

4.7.3.1 Repartiţia 2 (hi-pătrat)

Dacă se consideră n variabile aleatoare independente, nzzz ,...,, 21 cu repartiţii

normale )1,0(N suma pătratelor variabilelor iz constituie o variabilă aleatoare notată

cu 2 :

n

iz1

22 (4.69)

Densitatea de probabilitate a repartiţiei 2 este:

0xpentru0

x222

1

xf )/(/)( (4.70)

unde 1 n reprezintă numărul gradelor de libertate (numărul de variabile

independente). Graficul funcţiei densităţii de probabilitate depinde de parametrul şi

este prezentat în Fig.4.27, curbele de repartiţie sunt asimetrice.

Proprietatea de aditivitate. Dacă două variabile aleatoare urmează fiecare,

independent, o lege 2 prin însumare, variabila care rezultă, va urma de asemenea o

lege 2 . Astfel : 2

2

2

1

2 are repartiţia 2 , cu 21 grade de libertate.

Dealtfel aceasta reprezintă consecinţa imediată a definiţiei legii. Repartiţia hi-pătrat are

numeroase utilizări. Cele mai frecvente aplicaţii constau din a determina limita L

pentru a se cunoaşte fie probabilitatea 1P ca 2 să fie inferioară

acesteia )1)(( 2 LP , fie probabilitatea (Fig.4.28) ca 2 să depaşească

această limită ))(;1( 2 LPPL . Valorile astfel aranjate ale repartiţiei 2 se

găsesc tabelate în anexe. În prima coloană se află numărul gradelor de libertate, iar în

coloanele următoare se găsesc valorile variabilei 2 , care au probabilitatea de a fi

depăşite. 2

- este cuantila, superioară, de ordin .

Fig.4.27 Curbele repartiţiei 2 . Fig.4.28 Interpretarea geometrică a probabilităţii

)( 22P .

0 5 10 15 20

0.2

0.1

ν=1 ν=4 ν=10

χ2 χ2

χ2α

)( 22

P

f(χ2)


86

Valorile tipice ale v.a. cu repartiţie 2 sunt:

- media teoretică (speranţa matematică) 2M

- dispersia 2D 2

4.7.3.2 Repartiţia t (Student). Două variabile: Z (centrată) cu repartiţia )1,0(N

şi 2 cu grade de libertate, pot defini o altă variabilă aleatoare:

/2

Zt (4.71)

cu o repartiţie denumită „repartiţia t” sau Student (pseudonimul matematicianului

englez Gosset) având densitatea de probabilitate:

tt

tf ;1

2

2

1

1)(

2

1

2

(4.72)

Funcţia de repartiţie este simetrică satisfăcând următoarele relaţii:

)(1)();()( tFtFtftf . Repartiţia t este asemănătoare repartiţiei normale către

care tinde asimptotic când numărul gradelor de libertate creşte foarte mult (Fig. 4.29).

Valorile tipice au expresiile 0tM ][ şi )(][ 2tD . Pentru mare (practic

)30 dispersia 1][ XD . În aplicaţiile cele mai frecvente, repartiţia Student este

folosită pentru a determina limitele, care sunt depăşite cu o probabilitate (Fig. 4.30).

Aceste valori sunt tabelate şi sunt prezentate în anexe. În general, aplicaţiile se bazează

pe relaţia.

1

2,

ttP (4.73)

Fig. 4.29 Comparaţie între densităţile Fig. 4.30 Poziţia limitelor depăşite cu

de probabilitate )(tf şi )(zf . probabilitatea 2/ definite de repartiţia Student.

4.7.3.3 Repartiţia F (Fisher- Snedecor). Considerând două variabile aleatoare

1Y şi A , independente în probabilitate, cu repartiţie 2 , având respectiv numărul

gradelor de libertate 2 şi 2 , se defineşte o altă variabilă aleatoare (statistică):

1

2

2

2

2

1

22

11 ./

/

y

yF (4.74)

N(0,1)

Repartiţia

Student

f(z)

f(t) f(t)

z t

t -3 -2 -1 0 1 2 3

2

2

1

2

t2

t


87

a cărei repartiţie are densitatea de probabilitate )(Ff , exprimată de relaţia:

0F

2

Ff21

21

121

2221

21212221

;

)(

)/(.

)()(

)()(

//

//

(4.75)

Această repartiţie denumită Fisher –Snedecor sau repartiţia F cu 1 şi

2 grade

de libertate, se notează prescurtat cu ),( 21 F .

Dacă o variabilă aleatoare F are o repartiţie ),( 21 F , atunci variabila

aleatoare este de asemenea repartizată F cu 2 şi

1 grade de libertate.

Diagramele densităţii de probabilitate cu repartiţie F sunt prezentate în

Fig.4.31. Valorile tipice au următoarele expresii:

Media:

2][

1

2

FM pentru 22 (4.76)

Dispersia:

,)4()2(

)2(2][

2

2

11

21

2

2

FD pentru 42 (4.77)

În majoritatea aplicaţiilor este necesar să se cunoască valoarea variabilei

aleatoare 21 ,, F , care este depăşită cu probabilitatea

21

21 ,,,, )()(:

dFFfFFP

Reprezentarea geometrică a acestei probabilităţi este indicată prin aria haşurată

din Fig.4.31. Valorile ),( 21F sunt tabelate pentru anumite probabilităţi.

Fig.4.31 Curbele de repartiţie F. Fig.4.32 Reprezentarea geometrică a probabilităţi

α de a depăşi valoarea Fα, υ1, υ2.

Deoarece aceste valori depind de doi parametri 1 şi

2 , tabelele sunt realizate

cu dublă intrare. Alte legi de repartiţie sunt prezentate în continuare, la capitolul fiabilitate.

υ1=15; υ2=∞;

υ1=15; υ2=50;

υ1=15; υ2=5.

f(F)

F

f(F)

F

1-α

α

Fα, υ1, υ2


88

Anexa 4.1

MOMENTUL INIŢIAL DE ORDIN )1(, kk AL VARIABILEI ALEATOARE

CONTINUE X CU O LIMITĂ INFERIOARĂ SPECIFICATĂ.

Se consideră variabila aleatoare x cu limita inferioară : x

Momentul iniţial de ordin k este:

dxxfxdxxfx kk

k )()(.'

(1)

Integrând prin părţi şi utilizând notaţiile:

dudxxkux kk 1..,

)(;)( xFvdvdxxf

se obţine:

.)()(' dxxFxkxFxvduuv 1kk

k

Dar:

kkkkk xdxxFxkdxxkdxxxFkdxxxFk )](1[)](1[)( 1111

şi:

dxxFxkxFxxdxxFxkxFx kkkkk

k )(1[)](1[)](1[)( 11' (2)

Deoarece 0)( F şi 0)](1[lim

xFxk

x

, cu rezerva convergenţei, se obţine relaţia

generală:

.)]([' dxxxF1k 1kk

k

(3)

Observaţie: Dacă repartiţia este definită de un interval limită x , convergenţa nu

pune nici o problema.

Anexa 4.2

MOMENTELE CENTRALE ALE VARIABILEI ALEATOARE CU

REPARTIŢIE NORMALĂ.

Prin definiţie, momentul centrat de ordin k este

dxexdxxfx

x

kk

k

2

2

2

)(

22

2 )(2

1)()(

(1)

După o schimbare de variabilă ,t

x

se obţine:

)(22

2122

222

2

22 t

kkt

kk

k edtdtet

(2)

Integrând prin părţi expresia (2b):

22

22222

2222122

2 )12(2

)12()12(2

222

k

t

kkt

k

t

kk

k kdtetkdtetket

Deci s-a ajuns la formula de recurenţă:

2k2

2

k2 1k2 )( (3)

putând exprima momentele de ordin superior în funcţie de momentele de ordin inferior.

Se ştie că 10 şi ,21

ttc şi, de asemenea, 2

2 .

BIBLIOGRAFIE

4.1. Barlow, R.E.,

Proshan, F.

Mathematical theory of realibility, Ed. John Wiley and

sons, New-York, 1967

4.2. Ciucu, G.,

Craiu, V.




89

1971

4.3. Ciucu, G.,

Craiu, V



1971

4.4. Craiu Mariana


4.5. Gnedenko,B.V.,

Beleaev, I.K.,

Soloviev, A.D.

Metode matematice în teoria siguranţei, Ed. Tehnică,

Bucureşti, 1968

4.6. Iosifescu, M.,

Mihoc, Gh.,

Teodorescu, R.

Teoria probabilităţilor şi statistică matematică, Editura

Tehnică, Bucureşti, 1966

4.7. Mihoc, Gh.,

Craiu, V

Tratat de statistică matematică, v.1, 2, 3, Editura

Academiei R.S.R., Bucureşti, 1976

4.7. Panaite. V.:

Statistică tehnică şi fiabilitate, Litografie IPB, v.1,2,

561 p., Bucureşti, 1978.

4.9. Târcolea, C.,

Filipoiu, A.,

Bontaş, S

Tehnici actuale în teoria fiabilităţii, Editura Ştiinţifică şi

Enciclopedică, Bucureşti, 1989

4.10 Ventsel, H. Théorie des probabilités, Editura Mir, Moscova, 1973

Documents

Calitate si fiabilitate.pdf