Calculus I Lecture (Integration Part)

8/18/2019 Calculus I Lecture (Integration Part)

http://slidepdf.com/reader/full/calculus-i-lecture-integration-part 1/84

Calculus II Part 1

For SCMA103 – Semester 1

Powered by PP SC161

SCMU#55 Academic Team

1



♦ เน อหาภายในสไลด ♦

⦿⩌⦿

* Int. = Integration

Diff. = Differentiation

Frac. = Fractions

Trig. = Trigonometric

Sub. = Substitution

FTC = Fundamental Theorems of Calculus

• ทบทวนเน อหาเกา • Integration by parts

• Partial Fractions

•TrigonometricSubstitution

• Definite Integral

• Fundamental Theorems

of Calculus

•Improper Integral

• Applications of Integral

2



⋅

≠ 0

ทบทวนเน อหาเกา

กฎลกโซ ver.1

3



13 cos 3 1 3

13 cos 3 1 3 1

13 s i n 3 1

cos(3 1)


ตัวอยาง

4



กฎลกโซ ver.2

หรอกคอ การยัดอะไรบางอยางใน integrand เขาไปใน

differential ซ งเราจะเอาเขาไปได โดยการอนทเกรตสวนท เราตองการจะ

ยัดเทานั น (ในท น กคอ นั นเอง) ถาเขาใจหลักการน แลว การอนทเกรตแยกสวน (by parts) ท

นากลัวกจะงายข นมาก

⋅ ∫

ทบทวนเน อหาเกา 5



sin ⋅ cos

s i n sin

s i n sin

17 sin

sin ⋅ cos



6



การลดรปของตร โกณมต รปแบบท 1

วธน ใชกับการยัดบางตัวเขาไปใน differential แลวสวนท เหลอ

เปนกาลังเลขค หมด

sin c o s 1

1 t a n s e c

1 c o t c s c




sin ⋅ c o s ⋅ cos

s i n ⋅ c o s sin

sin 1 sin sin

sin s i n sin

1

5 sin

1

7 sin

sin ⋅ c o s



8




วธน มักใชกับพวกท ไม ใช sine, cosine ท มเลขยกกาลังต าๆ สวน

ท เหลอโดน by parts เกบไปหมดแลว

tansec

c o t c s c

s e c s e c ⋅ t a n

c s c c s c ⋅ c o t




t a n ⋅ sec

t a n tan

18 tan

tan ⋅ s e c



10




วธน ใชกับพวก sine, cosine ท มเลขยกกาลังเปนเลขค หมด ไมสามารถยัดอะไรเขาไปใน differential ได ตองลยถกเทาน ัน!!!

s i n 2 2 s i n ⋅ c o s

sin 1cos22

cos 1cos 22




14 2 sin ⋅ cos

14 sin 2

18 1 cos 4

18 132 sin4

sin ⋅ c o s



12



การอนทเกรตแยกสวน (Int. by parts) น ัน คอการสลับตาแหนง ของ integrand กับ differential เพ อใหปญหาบางขอแก ไดงายข น

⋅

♠ Integration By Parts ♠

13



สังเกตวาฟงกชันท เราอนทเกรตนั น (f x ln ) ม โดเมนเปนจานวนจรงบวก

เราจง assume เลยวา l n l n | | ในคร ังตอๆไปจงขอละไว ในฐานท เขาใจ (หรอเปลา!?!)

⋅ ln ln

l n ⋅ 1

l n

ln



14



ℎ

.

LIATE

นอกจากน แลว การใช by parts นั นใชค กับกฎลกโซ ver.2

(การยัด!!!) เสมอ โดยส งท เราจะอัดเขาไปเปนอันดับแรก กคอส งท เม อ

อนทเกรตแลวอย ในรปท งายท สด และใน Textbook หลายเลมกนยมใช หลักการน น ันคอ...

ร ะ ด ั บ ค ว า ม ย า ก ข อ ง ร ป

แ บ บ


15



⋅

12

1

2

12



16



⋅



17



⋅ sin

cos

cos cos

c o s s i n

sin


ตัวอยางการใชงานของ by parts กับโจทยตางๆ

18

19



⋅ cos

sin

sin sin

sin 2 sin

s i n 2 c o s 2 s i n

cos



19

20



โจทยบางขอถามอง LIATE ไม ได (มตัวฟงกชันอย แบบเดยว) ก ไมตองทาอะไร ให ใช by parts ตรงๆไปเลย อยางขอน เปนตน

l n ln

l n 2 ⋅ l n ⋅ 1

l n 2 ln

l n 2 l n 2

l n



20

21



⋅ arctan arctan

a r c t a n 1

arctan 12 1

1 1

arctan 12 l n | 1 |

arctan

คาตอบสดทายจะไม ใส absolute ก ไดนะ ขางในมันเปนบวกเสมอ



21

22


http://slidepdf.com/reader/full/calculus-i-lecture-integration-part 22/84 โจทยบางขออาจมการวนลปได อยางขอน เปนตน

sin sin



cos c o s sin

s i n sin

s i n cos

ในทานองเดยวกัน,

∴ sin s i n c o s sin

sin

1

2

sincos

22

23



แตบางทก ไมจาเปนตองใชตาม LIATE เสมอไป เชน

(โจทย ในแบบฝกหัด 9) ฟงกชันแกมมา (Gamma Function) นยามโดย

Γ −

−

จงใชการอนทเกรตแยกสวนเพ อแสดงวา Γ Γ 1

ซ ง ดเหมอนเปนการช โพรงใหกระรอกเลย

เพราะวา พอด เราเลยสะดวกกวาท จะยัด −

เขาไปใน differential


Γ −−

−

23

24



การอนทเกรตโดยใชตารางแถบ (Tabular Int.)

คอการอนทเกรตเพ อลดดกรของพหนาม (เปนสวนมาก) โดยเรา จะอนทเกรตในรปของสองฟงกชันคณกัน หรอกคอ

⋅

ถาเปนพหนาม เราจะหาอนพันธ

แตถาเปนอ นๆ เราจะทาการอนทเกรต ดังข ันตอนตอไปน


24

25



และอนพันธ

และอนทเกรต

′

′′

′′′

⋮ ⋮

()

()

()


คาตอบท ไดกคอการเอาแตละค มาคณกัน พรอมกับใสเคร องหมาย ท ังหมดรวมกันกจะเปนคาตอบ

25

26


http://slidepdf.com/reader/full/calculus-i-lecture-integration-part 26/84Maurice D. Weir, Joel Hass and Frank R. Giordano, Thomas’ Calculus, 11th ed., Pearson Education, Inc., 2005, p. 566


26

27


http://slidepdf.com/reader/full/calculus-i-lecture-integration-part 27/84Maurice D. Weir, Joel Hass and Frank R. Giordano, Thomas’ Calculus, 11th ed., Pearson Education, Inc., 2005, p. 566


27

28



ตัวอยางโจทยท นาสนใจ

1. ln

2 . l n 1

3.sec

4. sec ⋅ tan

5 . 1

6. cos

7. sin ln

8. +

HINT : มบางขอใช Tabular Int. ไดดวย!!!


28

29



การอนทเกรตโดยใชความสัมพันธเวยนเกด (Recurrence Relations)

คอการอนทเกรตฟงกชันซ งสามารถลดทอนดกร ได โดยการใช by parts ไปเร อยๆ และเขยนเปนความสัมพันธทั วไป นยมใชกับพวกท

มดกรสงแต ใช Tabular Int. ไม ได เชน

l n tan

ln sin(ln )


ใชเปนตัวอยางท 1 ใชเปนตัวอยางท 2

29

30



L ln

L ln

ln

L ln ⋅ 1 ln − ⋅ 1

L ln 1 ln −

L ln 1 L−


ตัวอยาง 1

30

31



L ln 3L

L ln 2L

L ln L

L ln

∴ L ln 3 l n 6 l n 6 l n 6



32



T tan

T sin− cos ⋅ sin

T sin− cos cos

T sin− cos cos

T 1

1

sin− 1

cos−



33



T 1 1 sin− 1

cos−

T 1 1 tan− 1cos− sin−

T 1 1 tan− sin− ⋅ c o s

cos−

T 1 1 tan− t a n−

T 1

1 tan−

T−



34



T 16 tan T

T 14 tan

T

T 12 tan T

T ln | sec |

∴ T 1

6tan 1

4tan 1

2tan l n | s e c |



35



1. A sin

2. B cos

3. C sin ⋅ c o s

4. D sin ⋅ c o s

เม อ m เปนคาคงท (หามเปล ยนแปลง)



ตัวอยางโจทยท นาสนใจ (หาความสัมพันธเวยนเกด)

36



5. E sin ln

6. F cos ln

7. G ln


ตดในรปของ A และ B ได


ตัวอยางโจทยท นาสนใจ (หาความสัมพันธเวยนเกด)

37



เศษสวนยอย (Partial Frac.) คอการ simplify เศษสวนพหนาม จนเราอนทเกรตออกไดดวยสตรพ นฐาน โดยมหลักการดังน

d e g ≥ d e g

d e g < d e g

Improper Frac.

Proper Frac.

⎈ Partial Fractions ⎈

บางคร ังเศษสวนพหนามกเรยกวา ฟงกชันตรรกยะ (Rational Functions)

38



= หารจนไดเปน เชน

3

5 6 2 2 ( 1 )

2 2 4 2 2

1 4

2 2

Improper Frac. Proper Frac.


39



= ดวาตัวสวนมแฟคเตอรอะไรบาง เชน

1

2 1 3 5

2 1

3

5

Proper Frac.

1 3 5 2 1 5 2 1 3

, , 277 , 2

7 , 311


40



Maurice D. Weir, Joel Hass and Frank R. Giordano, Thomas’ Calculus, 11th ed., Pearson Education, Inc., 2005, p. 577


41



แลวในกรณท บางแฟคเตอรยกกาลังมากกวา 1 ละ??? เชน

1 1 2

1

2 2

2

1 2 1 2 1 2 1

1 6 3

1 2

8 4 2

0 6 3 0

1 2 0

8 4 2 1


42



1 2 1 2 1 2 1

, 127 , 13

0

6 3 0

1 2 0 8 4 2 0

, 127 , 19


43



อกเทคนคหน งท อาจจะดแปลกไปหนอย แตก ใช ได น ันคอการหาอนพันธทั งสองฝ งสมการ!!! (เพราะสองฝ งคอพหนามเดยวกัน จะหา อนพันธก ไมมผลอะไร) มักใชกับแฟคเตอรท มดกรมากกวา 1 เชน


44









47



อนทเกรตได 6arctan(2)

อนทเกรตได ln |1 2 |

1 4 8 4 5

1

4 2

1 2 6

1 2

อยาลมวา ดกรตัวเศษอาจเปน 1 ก ได ถาตัวสวนเปนกาลังสอง ในกรณน ใหแยกออกเปนแฟคเตอรท เหมอนกับตัวสวน เชน

37(4)( 4 5 )

ตัวสวนกคอ 1 2


48



ถาเอามาผสมกันหมดเลยละ!!! กคอยๆแยกไปตามขั นตอน เชน

4

1 1

1

1

1

1

1 1

4 1 1 1 ( )( 1)




50



การบาน!!! (Hint : by parts)

อนทเกรตได

+

อนทเกรตได arctan

อนทเกรตได l n | 1 |

4 1 1 1 1 1 1 2 2 1

1 1 1 1 1

2 2 1 2

1 2 1


51



1. 20131 1

2. 4 1 2 4

3. 3

1

4. 1 1

5. sec sec 2 t a n 1

6. sin24coscos s i n 1

7. 1

1

8. 1 2−



โจทยฝ งขวาอย ในเร อง Partial Frac. จรงๆจา

52




SPECIAL BONUS!!!

ผ ท ตอบคาถามน ไดเปนคนแรก มของรางวัลพเศษ

จงหาพหนามกาลังสอง ซ ง 0 1

และ ′ 0 0

และทาให เปนฟงกชันตรรกยะ (เศษสวนพหนาม)

1

53




SPECIAL BONUS!!!

สมมต ให ไดวา ′ 2

จากเง อนไข 0 1 ไดวา 1

จากเง อนไข ′ 0 0 ไดวา 0

ดังน ัน พหนามอย ในรปของ 1

จากน ัน ทาการแยกเศษสวนเปน

1 1

1

1

เน องจากอนทเกรตแลวตองไดฟงกชันตรรกยะ เลยตัดสองตัวน ออกไป

54




SPECIAL BONUS!!! 1 1

1

1 1 1

2 3 4 1 2 2 3

แทน 1 1

แทน 1 3 2

หาอนพันธสองฝ งสมการ

แกสมการได 3 ดังน ัน พหนามดังกลาวกคอ 3

1



56




1

4

1

4 4 s i n (2 sin )

coscos

arcsin 2

แทนดวย 2 s i n

⌔ Trigonometric Substitution

⌔

57



ชนกล มนอยอกกล มคอ ไมมเง อนไข (เปนจานวนจรงอะไรก ได) จะใช t a n หรอ c o t ก ได แตการจะแทนนั น ตองจัดรปเพ อ

ใหตรงกับเอกลักษณดังน

เชน

9

เง อนไขคอ 9 > 0 หรอกคอ ∈ ℝ

สาหรับขอน เราควรแทนดวย 3 t a n หรอ 3 c o t ก ได

1 t a n s e c 1 c o t c s c


⌔

58




1

9

1

9 9 t a n (3 tan )

sec sec

sec

l n | s e c t a n |

ln | 9

|

แทนดวย 3 t a n


⌔



60



2 1

12 sin2

s i n ⋅ c o s

arctan 1


⌔

การบาน (เดม) : แก โจทยน โดยไม ใช Trig. Sub.

61



ปรพันธจากัดเขต (Definite Int.) คอการใสขอบเขตใหกับ ปรพันธ โดยมนยามวา

ถา

แลว

ดังนั นการใสคาคงท หลังการอนทเกรตจงไมจาเปนตองใช ในสวนน เพราะมันจะลบกันเองในตัว (จรงๆกมเทาน แหละ)

()

⟡ Definite Integral ⟡

()

หรอเขยนได ในรป

()=

62



ทฤษฎบทมลฐานแคลคลัส (Fundamental Theorems of Calculus)นยมเรยนสั นๆวา FTC มอย ดวยกัน 2 ขอคอ

ขอ 1 : ถา ตอเน องบนชวง a, b และ ′ แลว


()

63



ทฤษฎบทมลฐานแคลคลัส (Fundamental Theorems of Calculus)

ขอ 2 : ถา หาปรพันธบนชวง a, b ได และ ∈ , แลว

ถา

แลว

หรอกคอ


()

()

()

()

64



ตัวอยาง จงหาคาของ (ขอสอบเกาของกล มแพทย)

เน องจากเรา take limit → ∞

น ันคอ เราถอวา เปนคาคงท เม อเทยบกับ เราจงดงออกมาไดเลยเปน

ซ งลมตดังกลาวอย ในรปของ ∞/∞ เราจงใชกฎของโลปตาลไดเปน

lim→

∫


lim→ −

lim→

2

lim→

1

2

0

ไดมาจาก 2nd FTC

65



โจทยอาจพลกแพลงใหซับซอนได เชน

จงหาคาของ

อยาเพ งตกใจ ให ใช แทน แลวใชกฎลกโซ กจะไดดังน


⋅

2 ⋅

2

มคาเทากับการเพ ม

กฎลกโซเขาไปเทานั นเอง

66



หรอโจทยอาจจะใสขอบเขตเปนตัวแปรทั งสองอันเลยก ได เชน


ในกรณน เรากแบงเปนสองสวนซะกจบ ไดเปน


2

+

2

+

2

2

+

2

2+ 2

2

คลายๆกับ 1st FTC นั นแหละ

เปนคาคงท อะไรก ได ใสๆ ไปเหอะ

67



ปรพันธ ไมตรงแบบ (Improper Integral)คอการหาปรพันธจากัดเขตซ งใชลมตมาชวยในการหาคา (อาจจะ

หาได หรอล ออกก ได) มอย 2 ประเภท ไดแก

1 : ขอบเขตของการอนทเกรตยาวไปถง ∞ หรอ ∞ เชน

−

2 : มบางจดในชวงท อนทเกรตท ทาใหฟงกชันไมนยาม เชน

1


68





69




Maurice D. Weir, Joel Hass and Frank R. Giordano, Thomas’ Calculus, 11th ed., Pearson Education, Inc., 2005, p. 620 – 621

70





⟡ ⟡71





⟡ ⟡72




Maurice D. Weir, Joel Hass and Frank R. Giordano, Thomas’ Calculus, 11th ed., Pearson Education, Inc., 2005, p. 623 – 624

⟡ ⟡73





⟡ ⟡74




1. 11

2. sech

−

3. 1

1

4. 2 arctan

5. 11

−

6 . l n

7 . | l n |

8. 1 1 1


75



ในเชงเรขาคณตพบวา ปรพันธจากัดเขตของฟงกชันใดๆ กคอ พ นท ระหวางแกนกับกราฟนั น ดังรป

ถาอย เหนอแกน ปรพันธจะเปนบวก แตถาอย ใตแกน ปรพันธ จะตดลบ เวลาหาพ นท จงตองระวังชวงท ตดลบดวย

⋇ Applications of Integral ⋇


76





77





78



นอกจากน เรายังสามารถใชอนทกรัลในการหาความยาวเสนโคง ใดๆไดดวย ดังน



1

1 ′

1 ′

∴Length

⋇ ⋇79





⋇ f ⋇80





⋇ l f l ⋇81



ผลรวมรมันน (Riemann Summation)

คอการแบงพ นท ใตกราฟเปนสวนๆดังรป



⋇ A li i f l ⋇

82




จากรปดังกลาว เราสามารเขยนอนทกรัลใหอย ในรปของผลรวม

พ นท ใตกราฟได กลาวคอ


A r e a ⋅ Δ=

lim→ ⋅ Δ

=

⋇ A li ti f I t l ⋇

83




และถาเราแบงอยางเปนระเบยบ คอ แบงขอบเขตของอนทกรัล

เปนชองเลกๆใหเทากัน ชอง แลว ผลรวมรมันนจะกลายเปน

เม อ

โจทยสวนมากท เจอบอยมักจะใชขอบเขตเปน0,1

เพ อใหจัดรป

ดงาย และผลรวมรมันน ในกรณน กคอ


lim→ Δ Δ=

Δ

lim

→

1

n

=

⋇ A li ti f I t l ⋇84





จัดรปใหคลายกับผลรวมรมันนกอน ไดเปน

ฟงกชันท เราตองการกคอ ln 1 นั นเอง


lim→ ln

/=

lim→1

⋅ ln

1

=

∴ lim 1 ⋅ ln 1

l n 1

l n 2 1

ไดจากการ

อนทเกรตธรรมดา

Documents

Calculus I Lecture (Integration Part)