51

CalculoVariasVariables.pdf

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Notas par un curso de Cálculo Multivariable

Citation preview

Page 1: CalculoVariasVariables.pdf

���������� � �� ������� �� ���� �������

������� ���� �� ����������

��� � ��������

Page 2: CalculoVariasVariables.pdf

��������

��� � � �� ���� ���� �� ��� ��

��� ������

�� ��������� ��

��� ������� �� �������� ��� �������� �� ��� ��� �������! ��� �"�����#

���� A �� �� �����$�� �� ���� l#A �l� � l�

%���� �� �&�� � �� ��� ����� � ��� �������� ������� x ������ �� �� ��� �� �����p '"�#

I �x� � p � x

(���! � ���� ! � ���� ��� ������ �$ ������� ���� �� ���� �� ��������) � *! ���� ���� ��'�� ������� ��� �������� �� �$ �� ��� �������#

+� $��� �� �� ����$�&��� ��,� �� � � b , ��,� ������ � h#

A �b, h� � b � h

-� �&�� � �� ��� ����� � ��� ������� x� � x� ������ �� �� ���� � ���� ! ��,� �� ������ ����� �� p� , p�#

I �x�, x�� � p� � x� � p� � x�

-� ����� �� �������� �� �����.��&�� ! ��� �� ���� �� ������ �������� �� ������� x ������ �� �����"� � y ������ �� ������! ����� C , a �� �� ��� ����� '"� ���� ��� � < a < �#

f �x, y� � C � xa � y�−a

+� �� ����! �� �� �������� �� �� ��� �������� �$ �� ��� ��������* ��� /�������0 ������������! � ���� ��� ��'�� ������� ��� �������� �� �$ �� ��� �������)

��� �� �������� Rn

-������ R �� ���"���� �� � ���� ����� ) +� ���"���� �� ���� �� ������ �x�, x�� ��� x�! x������ �� ��������� R�! � ����! � �� �������� ����� ���

R� � R×R � {�x�, x�� � x� ∈ R, x� ∈ R}

Page 3: CalculoVariasVariables.pdf

+� &������! �� ���"���� �� n����� �x�, . . . , xn� ��� x�, . . . , x� ����� �� ��������� Rn! � ����! ���������� ����� ���

Rn � R× . . .×R � {�x�, . . . , xn� � x� ∈ R, . . . , xn ∈ R}

��� ���� ���� �� ��� �� ��� �����

���� � �� /%���� �� ���� ������� 0 ��� D �� �������� �� Rn �� � ���� �x�, . . . , xn� ∈ D

�� ��������� �� ���� ����� ����f �x�, . . . , xn�

�� ���� ��� f �� ��� ������� �� ��� ��������� x�, . . . , xn

��� ��� � ��� �������� �������� ������������

A �b, h� � b � h

I �x�, x�� � p� � x� � p� � x�f �x, y� � C � xa � y�−a

�� �������� �� �� ���������

���� � �� � /.���� , ��������0 �� ����� D �� �� ��������� ������� �� ����� ������ ��f � � �� ����� �� ������ f �x�, . . . , xn� ������������� � ���� ����� �� ����� ������ �� f

��� ��� ! f �x, y� � x� � y�

�� ������� f ���� ������� ���� �� �x, y� ∈ R� � �� ���� �� ����� �� f �� D � R�

�� f ����� ����� �� ��������� ���� � ��!����� �� ������� �� R � {z ∈ R � z ≥ �}

f �x, y� � �xy

"��� ��� �� ������� f ���# ������� �� �������� ���

xy > �

������� �x > �y > �

����

�x < �y < �

��$ �� ����� �� f ���� �� ��!������ �����

� �� ������� �� R � R

Page 4: CalculoVariasVariables.pdf

"������� �� # �� f � g �� �������� �� n ���������� �� ������

f � Rn → R � g � Rn → R

������� ��� ��!������ ��������� �� ��� ��!�� � ������ �������� �� n ���������%

���� , ��������#

�f ± g� �x�, . . . , xn� � f �x�, . . . , xn�± g �x�, . . . , xn�

(�������#�fg� �x�, . . . , xn� � f �x�, . . . , xn� g �x�, . . . , xn�

�������#

� g �x�, . . . , xn� � � ������� �f

g

��x�, . . . , xn� �

f �x�, . . . , xn�

g �x�, . . . , xn�

�!� $���������� �� %����� �� ��� ���� �� �� ��� �� ��� ������

���� � �� & /1�$'�� � &����0 �� � ��� �� ��� ������� �� n ��������� x�, . . . , xn �� �� ������� ����� �x�, . . . , xn, z� ∈ Rn�� ��� ����������

z � f �x�, . . . , xn�

�� �x�, . . . , xn� �� �� ����� �� f

-� ����������� &���2���� �� �� &�$'�� � �� &�����#(��� n � �) -� &�$'�� �� ��� ����� f � R→ R �� &������ �� ����� �x, y� ���� ��� y � f �x�

, � ����� ����� ����� ���� ��� ����� �� R�#

(��� n � �) -� &�$'�� �� ��� ����� f � R� → R �� &������ �� ����� �x, y, z� ���� ���z � f �x, y� , � ����� ����� ����� ���� ��� ����'�� �� R�#

3

Page 5: CalculoVariasVariables.pdf

(��� n ≥ �) -� &�$'�� �� ��� ����� f � Rn → R �� &������ �� ����� �x�, . . . , xn, z� ���� ��� z � f �x�, . . . , xn� , �� �� ��� ��� ����� ������� �� ����� �������� ���� �� ����� ,� ������� ���*��� �� ������ �� ����� ����� ���"���� ����! �� ���� ! ������ �"� ���������� ! � ���� �� R�)

4� �������� ��� ��������� ��� ����� �������� ������� )

�#� ��������� �� � ���

-� ���"���� �� ���� �� ��� ����� f �� ����� �� ����� �x�, . . . , xn� ��� ����� ��� ������� � �� ����� �� f )

+� ���"���� �� ���� k �� �� ����� f � Rn → R � ��'�� ����#

Uk � {�x�, . . . , xn� ∈ Rn � f �x�, . . . , xn� � k}

+� ����� �� k ���� � ��� �� �� �������� �� �� �����! ,� ��� �� ���� �� �! �� ���"���� �� ���� k!Uk! ��$ �� ���"���� ���*�)

� n � � � �� ���"���� �� ���� �� ��������� ������ �� � ���)� n � � � �� ���"���� �� ���� �� ��������� ������� �� �� � ���)

��� ��� ' ������ � • f �x, y� � x� � y�

&�������� ��� ������ �� ����� '� (� )� *� +� �� f

�� f �x, y� � � ������� x� � y� � � �� �� ����� x � y � �

�� f �x, y� � k ������� x� � y� � k ��� �� ��� �������������� �� ����√k

�� �������� �� �� !����� �� �� ��!������%

5

Page 6: CalculoVariasVariables.pdf

• f �x, y, z� � x

&�������� ��� ���������� �� ����� '� (� ) � * �� f

�� f �x, y, z� � k ������� x � k ��� �� �� ���� ��������

��&��� �"����� ������� �� ����� �� ���� ��#

�) ��������# .� ����� �� ����� ���� �� ����'�� ��� ����� �� � �� ��� � ���� �2���)

�) (���� ����%������# .� ����� �� ����� ���� �� ����'�� ����� ��� ��� � �$� � �� � �������� ���� �� ���� ��� ���)

6

Page 7: CalculoVariasVariables.pdf

�&� )� ���

7��� � ������ �� �������� �� �*��� �� ����� ������) (��� ��� ����� f �� ��� �������!����� ���

� ��x�→a

f �x� � L

�8 ��� �� �*��� ��� �� �����9� , ��� �� ������� �� x � a! , ����$ ������� ��� �� ����� ��L)

(��� ��� ����� f �� �� ������� ! ����� ���

� ���x,y��→�a,b�

f �x, y� � L

�8 ��� �� �*��� ��� :;.;� �� ����� �� ��� 9��� �� ����� �a, b�! , ����$ ������� ����� ����� �� L)

<

Page 8: CalculoVariasVariables.pdf

��� ��� * f �x, y� �

�x� y �� �x, y� � ��, ��� �� �x, y� � ��, ��

� ���x,y� �→��,��

f �x, y� � �

�,���� �� �$����

f �x, y� �

�x� y �� x � y

� �� x � y

- � ���x,y��→��,��

f �x, y� .

�� �� �������� �� �� ����� y � x ������� �� �$���� �� ���� � �� �� �������� ����� ������ �� ������ y � �� ������� �� ���� � �� ���� �$����� � ��������� �������� �,���� �� �$����

-� &���������� ��� �*��� ���� ������� �� n ������� � �������#

���� � �� + "��� ��� ������� f �� n ���������� ������ ���

� ���x�,...,xn� �→�a�,...,an�

f �x�, . . . , xn� � L

�� �,����� �� �$����� �� /010� �� ������ ������� ����� �� ���� �a�, . . . , an�� � ������ ���������� �� ���� �� L

"������� �� /(�������� 0���� f � g �������� ����� ��� � ��

�x,y��→�a,b�f �x, y� � F � � ��

�x,y� �→�a,b�g �x, y� � G �������%

( � ���x,y� �→�a,b�

�f ± g� �x, y� � � ���x,y��→�a,b�

�f �x, y�± g �x, y�� � F ±G

) � ���x,y� �→�a,b�

�f � g� �x, y� � � ���x,y� �→�a,b�

�f �x, y� � g �x, y�� � F �G

* �� G � �� � ���x,y� �→�a,b�

�f

g

��x, y� � � ��

�x,y� �→�a,b�

�f �x, y�

g �x, y�

��

F

G

+ � ���x,y� �→�a,b�

ef�x,y� � e��

�x,y��→�a,b�f�x,y�

2 � ���x,y� �→�a,b�

� f �x, y� � � � ���x,y� �→�a,b�

f �x, y�

����� � � � 3���� �� ��� ���������� ��������� ���� ��������

� ���x,y,z��→��,�,��

ex�y�z

x� � y� � z� � �

�'� ���� �� ���

���� � �� � 3�� ������� f � Rn → R �� ������� �� �� ���� �a�, . . . , an� ��

� ���x�,...,xn� �→�a�,...,an�

f �x�, . . . , xn� � f �a�, . . . , an�

1����� ����������� ��� f �� ������� �� � �� ���� �� ���� �� �� ����� 4�������������� f ��������� �� �a�, . . . , an� �� �� !����� � ����� ������ �!����� ��$������

=

Page 9: CalculoVariasVariables.pdf

��� ��� ! -�� �������� ��������

f �x, y� �

�x� y �� �x, y� � ��, ��� �� �x, y� � ��, ��

�� ��, ��.

f �x, y� �

�x� y �� x � y

� �� x � y�� ��, ��.

f �x, y, z� �ex�y�z

x� � y� � z� � ��� ��, �, ��.

"������� �� # /(�������� 0 �� f � Rn → R � g � Rn → R �� �������� �������� �� �a�, . . . , an��� h � R→ R �� ��� ������� ������� �� f �a�, . . . , an�� �������

f � g �� ������� �� �a�, . . . , an�

f � g �� ������� �� �a�, . . . , an�

�� g �a�, . . . , an� � � �������f

g�� ������� �a�, . . . , an�

�� ��������� h ◦ f �� ������� �� �a�, . . . , an�

"������� �� & ��� �������� ����������� ��������� ��� ��������� � �� ����� � �����5����� �� ����� �� �,����������� �!������� ��� �� ��������

��� ��� ' -�� ������� f �x, y� �ex�y�z

x��� � �� �xy�xy � �

�� ��, ��.

�,� ��� ���� �� ���� ��

��� ��� , 1�������� � ������������ ����$��������� �� ������ D �� ��� ��!������� ��������%

( f �x, y� � ��xy � x�

/����� ���D �

��x, y� ∈ R� � xy � x� > �

��

���x, y� ∈ R� � x > �, y � x > �

�∪��x, y� ∈ R� � x < �, y � x < �

6�$ �� ����� �� �� �����

>

Page 10: CalculoVariasVariables.pdf

) f �x, y� � exy

/����� ���D �

��x, y� ∈ R� � y � �

6�$ �� ����� ��

* f �x, y, z� � �x� �y� − ����xy � � /����� ���

D � R�

�� ��� f ���� ������� ���� �� ���� �x, y, z�

��� ��� * 1�������� ��!��� ������ �� �����

( f �x, y� � xy

/����� ���Uk �

��x, y� ∈ R� � xy � k

6�$� ��� ������ �� ����� �������� y � k �x

���� ���� k

) f �x, y� � x� y

/����� ���Uk �

��x, y� ∈ R� � x� y � k

6�$� ��� ������ �� ����� �������� y � k − x ���� ���� k

Page 11: CalculoVariasVariables.pdf

��� ��� �+ ����������� �� ���������� �� ��!���� ��������

( f �x, y� �

�x�−y�x��y�

�� �x, y� � ��, ��� �� �x, y� � ��, ��

"��� �� �x, y� � ��, �� ������ ��� f �� ��� ������� ������� ��� ��������� � �� �������� � ��� f �� ������� �� ��������� ���� �x, y� � ��, �� -7�# ���� �� ��, ��.

8� ���,������� �� �� ������ ���������

�� ����� x � �

��� ����� y � �

6�$

� ���x,y��→��,�� x��

f �x, y� � � ���x,y��→��,�� x��

x� − y�

x� � y�� � ��y �→�

�� − y�

�� � y�� −�

� ���x,y� �→��,�� y��

f �x, y� � � ���x,y��→��,�� y��

x� − y�

x� � y�� � ��x�→�

x� − ��x� � ��

� �

� �� ���� �� �$����� �� ��������� ������� � �,����

� ���x,y��→��,��

f �x, y�

� �� ���� � ����� ��� ������� �� ��, ��

9�� ������ �������� �� �$���� �� ���� ��� ������ y � λx � �� �� %

� ���x,y��→��,�� y�λx

f �x, y� � � ���x,y� �→��,�� y�λx

x� − λ�x�

x� � λ�x�� � ��x�→�

x���− λ�

x��� � λ�

� ��− λ�

� � λ�

� �� ������� �� �� ��������� λ� ������� f � �� ������� �� ��, ��

) f �x, y� �

�xy �� �x, y� � ��, ��� �� �x, y� � ��, ��

"��� �� ����� �x, y� � ��, �� �� ������� f �� �� ������ �� ��� ��������� x � y� � �� ����f �� ������� ���� ���� ����� �� �� ���� �x, y� � ��, �� �� ������� f ����� �$����

� ���x,y��→��,��

f �x, y� � � ���x,y��→��,��

xy � �

� ��f ��, �� � �

��

Page 12: CalculoVariasVariables.pdf

�������� ��

�x,y��→��,��f �x, y� � � � � � f ��, ��

� �� � ���� f � �� ������� �� ��, ��

* f �x, y� � ex��y� � x�y � �

��

h �x� � ex

g� �x, y� � x� � y�

g� �x, y� � x�y

g� �x, y� � �

�� �������� �� �� ���� �� ��� ������ �

f � �h ◦ g�� � g� � g�

������� �� ��� ���������� ���������� �� ������� f �� ������� �� �� �� ����� R�

��

Page 13: CalculoVariasVariables.pdf

�������� �

��� ��� � ��� - � ������ �� � ����

��� ��� ����� ���� ����

(����� ���&������� ��� ���*� �� ����� ������ ��� ��� ������� ����������� ����������� ��� ����� �� ���$ ! � ��� ��� ���*� �� ����� �� ������ �� ��� ������)

(��� �� ������ � � �� ���&���� ���� ���� �8������ �� �������� �� ��� ���� � ������� ������ ������� )

-� �8��� � ��� ��� ������� 9��� ��� ���� ������� �� ���� ������� �� �8 �� ��� ����������! �� ���� )

���� � �� � /.������ ������� 0# ��� f � R� → R ��� ������� �� �� ��������� 1����� ��� ���������� ������� �� f �� ������� �� x �� �� ���� �x, y� �� �� �������

fx �x, y� � � ��h�→�

f �x� h, y�− f �x, y�

h

������� ��� �,���� �� �$����

���� � �� �� 1� �!��� ������ ����� ������ �� �������� ������� �� f �� ������� �� y �� ������ �x, y� �� �� �������

fy �x, y� � � ��h �→�

f �x, y � h�− f �x, y�

h

������� ��� �,���� �� �$����

.���� �� �� fx �∂f

∂xfy �

∂f

∂y

���� � �� �! /.������ ������� � ���� � ������� 0# ��� f � Rn → R ��� ������� �� ��� ����������x�, . . . , xn� 1����� ��� �� �������� ������� �� f �� ������� �� xk �� �� ���� �x�, . . . , xn� �� ���������

fxk �x�, . . . , xn� �∂f

∂xk�x�, . . . , xn� � � ��

h �→�f �x�, . . . , xk � h, . . . , xn�− f �x�, . . . , xn�

h

������� ��� �,���� �� �$����

��

Page 14: CalculoVariasVariables.pdf

���� ����������� �� %�� /�� �� ���� � � ��

-� ������� ������ fx �� �� ����� �x�, y�� ����� ���� �� ���&���� /��������0 �� �� �����

h �x� � f �x, y��

�� �� ����� x�)+ ����! � ���� ����$���� �� ����'�� z � f �x, y� /�� ��&��0 ��� �� ����� y � y� /�� �����0

, �� �������� �� �� ����� ���&���� �� x� /�� ����0 �� �� ����� ���� ���� /�� ��"�0 � �� ������������� �� f �� ����� �� x �� �x�, y��)

-� ����������� &���2���� �� �� fy � ��$��&�! ������������ �� ����� �� x � y);� ���� �� ���"�

�3

Page 15: CalculoVariasVariables.pdf

��� ��� �# 3���� ��� �� ��������� ���� � �������� ��� ��������� ��������� ��

f �x, y� � �x� x�y� � �

�� ������∂f

∂x�x, y� � � ��

h→�� �x� h� � �x� h�� y� � �− �x− x�y� − �

h�

� � ��h→�

�h� �xhy� � h�y�

h� � ��h→�

� � �xy� � hy� � �� �xy�

� �� �� ���∂f

∂y�x, y� � � ��

h→��x� x� �y � h�� � �− �x− x�y� − �

h�

� � ��h→�

�hx�y � x�h�

h� � ��h→�

�x�y � x�h � �x�y

"������� �� �& ����� ��������� ��������� ������� ��� ������ ��!��� �� ���������� ���������� ������ �������� �� ��� ��������� ���������� �� �������� ������� � �� ��� ������� ������� �� ������� �������� �� �� �������� � ��� ����� ��������� �� �� ������ ���������

��� ��� �' 3���� ��� ����� ��!��� �� ��������� ���� � �������� ��� ��������� ��������� ��%

f �x, y� � ��x� y�−�

/����� ���fx �x, y� � −� ��x� y�−� � � � −� ��x� y�−�

� ������fy �x, y� � −� ��x� y�−� � � � −� ��x� y�−�

f �x, y, z� � exy �� �yz�fx �x, y, z� � exy �� �yz� � y

fy �x, y, z� � xexy �� �yz�− exy ��� �yz� � zfz �x, y, z� � −exy ��� �yz� � y

���� ��� ����� �� ����� ����� ��

?�� ��� ��� 9��� ��������� ��&��� ������� ������ �� z � f �x, y�! � �� � ! ∂f∂x�x, y� � ∂f

∂y�x, y�

������ ������ � �������� �� ������� ������� �� � �� ������� / ����� ��� �8 ���0) .� � �������� � ����� ��

f �x, y�

��������� �� ������� ������ �� f !

∂f∂x�x, y� ∂f

∂y�x, y�

, � ����� �� � �� ! ���������� � ������� ������� �������� �� ��� ����� ���� ���� �� ������ � ��� ����� ���� ���� ��%����� �� f !

∂�∂f∂x�∂x

�x, y�∂� ∂f∂x�∂y

�x, y�

∂∂f∂y

∂x�x, y�

∂∂f∂y

∂y�x, y�

�5

Page 16: CalculoVariasVariables.pdf

.���� �� �, "��� ���������� �� ������� ���������

fxx �x, y� �∂�f∂x�

�x, y� �∂� ∂f∂x�∂x

�x, y�

fxy �x, y� �∂�f∂y∂x

�x, y� �∂� ∂f∂x�∂y

�x, y�

fyx �x, y� �∂�f∂x∂y

�x, y� �∂∂f∂y

∂x�x, y�

fyy �x, y� �∂�f∂y�

�x, y� �∂∂f∂y

∂y�x, y�

�� !������� �� �������� �� ���� m

fxixj ...xk �x�, . . . , xn� �∂mf

∂xk . . . ∂xj∂xi�x�, . . . , xn� �

∂∂m−�f∂xk...∂xj

∂xk�x�, . . . , xn�

��� ��� �* :��� � �������� ��� ��������� ��������� �� ���� ) ��

f �x, y� � ��x� y�−�

;� ��������� ������������ ���

fx �x, y� � −� ��x� y�−� fy �x, y� � −� ��x� y�−�

"� � ����

fxx �x, y� � �� ��x� y�−� � � � �� ��x� y�−�

fxy �x, y� � �� ��x� y�−�

fyx �x, y� � �� ��x� y�−� � � � �� ��x� y�−�

fyy �x, y� � �� ��x� y�−�

���������� �� -�� ��� ���������� ��� fxy �x, y� � fyx �x, y� � �� ��x� y�−�.

0���� � � 9���<�� = ��� f � R� → R ��� ������� ��� ��� ∂f∂x

� ∂f∂y

� ∂�f∂y∂x

�,����� �� �� ����� ���

���� �a, b� � �� ������� ∂�f∂y∂x

�� ������� �� �a, b�� ������� �,���� ∂�f∂x∂y

� �� ������� ���

∂�f

∂y∂x�a, b� �

∂�f

∂x∂y�a, b�

"������� �� �� �� ������ �� ���<�� �� ����� ���� ��������� ����� �� ��������� � ���� ������������� �� �� �������� �������� ������� ��� �� ��������� ��� ���������� �� ��� ����� �� ��������� ���5������ ��!����� �� ��� �������� ������� 6�$ ����� �����

fxyzx � fxxyz � fyzxx � fxzxy � � � �"������� �� �� �� ������ �� ���� � >��� ?������ 6������ ���<�� 9(@+*5(A)(=

�6

Page 17: CalculoVariasVariables.pdf

���� 1��� ����

���� � �� �! 9B��������= ��� z � f �x�, . . . , xn� ��� ������� ��� ��� �,���� ∂f∂xi

���� �� i ��, . . . , n �� ����� �������� �� f �� �x�, . . . , xn� �� �����

∇f �x�, . . . , xn� ��∂f

∂x��x�, . . . , xn� , . . . ,

∂f

∂xn�x�, . . . , xn�

��!� 2��� ���

���� � �� �# 9?������ ����� ��������= ��� z � f �x�, . . . , xn� ��� ������� ��� ��� ����� ������� ��������� ��������� ����� �� ���� ) �������� ������� �� ���� ��� �� ���� �������� �������� �� f �� �x � �x�, . . . , xn� �� �� �����

Hf ��x� �

∂�f

∂x����x� ∂�f

∂x�∂x���x� � � � ∂�f

∂xn∂x���x�

∂�f∂x�∂x�

��x� ∂�f

∂x����x� � � � ∂�f

∂xn∂x���x�

∂�f∂x�∂xn

��x� ∂�f∂x�∂xn

��x� � � � ∂�f∂x�n

��x�

"������� �� �& ��!�� �� ��������� �� �������� �� ��� ��������� ��������� ����� �� ���� ) ����������� ������� ����� ������� �� ������ �� ���<�� � ��$ ������ ���

∂�f

∂xi∂xj��x� �

∂�f

∂xj∂xi��x�

� �� ���� �� ����� �������� �� ���#�����

"������� �� �' ���� ����� ����� �� ����� ��� ��������� ������ ������ ���� ���� 9(@((5 (@C+=

�<

Page 18: CalculoVariasVariables.pdf

��� ��� �, ��� f �x, y� � x� ��� ��y�� ���� � �������� ∇f��, π�

�� Hf

��, π�

"����� ��������� ��� ��������� ��������� ��������

fx �x, y� � �x ��� ��y�

fy �x, y� � �x� �� ��y�

�� � ���∇f �x, y� �

��x ��� ��y� , �x� �� ��y�

"���� ���� �������� ��� ��������� ��������� ��!�����

fxx �x, y� � � ��� ��y� fxy �x, y� � �x �� ��y�

fyx �x, y� � �x �� ��y� fyy �x, y� � −�x� ��� ��y�

�� � ���

Hf �x, y� �

�� ��� ��y� �x �� ��y��x �� ��y� −�x� ��� ��y�

; ����������� �� �� ������, π�

������� ���

∇f�,π

�� � � ���

�π

, � � �� ��

�π

� ��,−��

� ������

Hf�,π

�� ���

��π��

� � � ����π��

� � � ����π��−� � �� ���

����

�� −�−� �

��#� ��� ����� � ���� ������

@��� � �� ��� �� ������� ������ fx ��� �� ������ �� f ������ �� ������ ��� �� �����y � cte) (��� ���� �� ������ �� f �� ���� ������ ��������� ���� ���� �� �������� �� ����������������)

�=

Page 19: CalculoVariasVariables.pdf

"������� �� �* -��� �������� �� ����� �� ����� ( �� �� ����� ��������� ��� �� ���.���������� �� ����� v � �x, y� �� ���� ��������� �� ������ ����� ��� ���$� �� ������� f

��������� �� �����u �

v

�v����� �v� �

�x� � y� �� �� ����� �� v 6�$ �� ����� u ����� ��!���� �!��� � ( �� ���

�u� �����

v

�v�

���� ��

�v� �v� � �

��������� ����� u ��� ��� �u� � � �� ��������� �������

���� � �� !+ 91������� ����������= ��� z � f �x, y� � ��� u � �u�, u�� �� ����� ������� ���������� ���������� �� f �� �� ��������� �� u �� �� ���� �x, y� �� ����� ��

Duf �x, y� � � ��t�→�

f �x� tu�, y � tu��− f �x, y�

t

������� ��� �,���� ���� �$����

���� � �� ! 91������� ���������� 5 n ���������= ��� z � f �x�, . . . , xn� � ��� u � �u�, . . . , un� ������� ������� �� �������� ���������� �� f �� �� ��������� �� u �� �� ���� �x�, . . . , xn� �� �������

Duf �x�, . . . , xn� � � ��t�→�

f �x� � tu�, . . . , xn � tun�− f �x�, . . . , xn�

t

������� ��� �,���� ���� �$����

��� ��� !� �������� �� �������� �� f �x, y� � ex�y �� �� ��������� ��� ����� u � ��, �� �� �� �����x, y� � ��, �� -�,���� �� �������� ���������� �� f �� ��������� ���� �x, y� � �� ��������� ���������u.

�� �� ����� ��� ����� u ��

�u� ���� � �� �

√� � �

������� u � �� ������� ��������� �� ����� �u � u�u� �

�√�, �√

��� �� ������� "� � ����

D�uf ��, �� � � ��t�→�

f� � t �√

�, � � t �√

− f ��, ��

t�

�>

Page 20: CalculoVariasVariables.pdf

� � ��t �→�

et �√

��t �√

� − �t

� � ��t �→�

et

�√�

− �t

� �D?����� �

� � ��t �→�

�√�et

�√�� �√

��

�√�

"��� �������� �� ��!���� ���!����� ����!��� ��� u � �u�, u�� �� ��������� ����� ������� ��5�����

Duf �x, y� � � ��t�→�

f �x� tu�, y � tu��− f �x, y�

t� � ��t�→�

e�x�tu��y�tu�� − ex�y

t�

� � ��t�→�

ex�y�et�u��u�� − �

t� ex�y � ��

t�→�

�et�u��u�� − �

t� �D?����� �

� ex�y � ��t�→�

�u� � u�� et�u��u��

�� ex�y �u� � u��

��� �,���� ���� �� ���� �x, y� � ��� ��������� u � �u�, u��

��&� $���� �� ����� ���� �� ��� - ��� ��� � ���

+��������� ��� ���������� �� �8 ����� �� ������� ������� ! ����� ��� �� 9�, ��&��������� ����� 2 �� , �� ���������)

��� ��� !� E������ ������� � ��������� �� �� ���� ��� f �x, y� � |x|� |y|� ��� �� ������� �� ��, �� �� ��� � ��

�x,y� �→��,��|x|� |y| � �� ��� �� ����� ���

∂f

∂x��, �� � � ��

h→�f �� � h, ��− f ��, ��

h� � ��h→�

|h|h�

��� �� h > �−� �� h < �

�� � ��� � �,���� �� �$���� � �� ���� � �,���� �� �������� ������� ∂f∂x

�� �� ���� ��, �� 1� �!���

�� �� ��������� ��� � �,���� ∂f∂y��, ��

f ������� � f ����������� !����� �� f ��%

��

Page 21: CalculoVariasVariables.pdf

��� ��� !! E������ ��������� � � ������� �� �� ����

��� f �x, y� �

�� �� xy � �� �� xy � � ��� � �� ������� �� ��, ��� ���

∂f

∂x��, �� � � ��

h→�f �� � h, ��− f ��, ��

h� � ��h→�

�− �h

� �

∂f

∂y��, �� � � ��

h→�f ��, � � h�− f ��, ��

h� � ��h→�

�− �h

� �

�� ���� �$����� �,������ ������� �,����� ∂f∂x��, �� � ∂f

∂y��, ��

f ��������� � f ��������� !����� �� f ��%

����� � � !# 1������� ���,����� �� ��� �������� x � λy� ��� � �� ������� �� ��, �� ��

������� f �x, y� �

�xy�

x��y� �� �x, y� � ��, ��� �� �x, y� � ��, ��

-"��� ��# ���������� v � �v�, v�� ��������� �,���� ��

�������� ���������� �� f �� ��, ��.

����� � � !& "��� ��� �������� f �x, y� � xexy � h �x, y, z� � xez � y �� �x� z�� �������� ∇f � ∇h�

Hf � Hh� hxyz� hyxz� hyzx� hxzy� hxzy� hzxy � hzyx

��'� � ������ �� � ���

��'�� � ������ �� �� ��� ���� �� �� ��� ��� ����

+� �� �� � �� ��� ����� �� ��� ��� ����! � ����� ��'�� �� ��������� �� f �� �� ����� x�

dfx� �x� � f ′ �x�� �x− x��

� ���������������! ������� △x � �x− x�� �������

dfx� �x� � f ′ �x��△x

-� ��������� dfx� ! �& � � �� ��'���! �8 �� , �� �8 �� �� ������� f ′ �x��! ��� �� ��� ������ ������� �� ��� ������� �� �������� �� ���������� ������ ��� �� �������������)

.��������� A .������������

��

Page 22: CalculoVariasVariables.pdf

+ �� ����� ����8�� �� ������� △y � f �x�− f �x�� ������ x � x� � �$� ��8�� #

��� ��� !' �� f �x� � x� � � x� ���� � ���,���� �� ���� �� f ��′��� �������� �� ����������� 8� ������ �� �� ���� x � � ��� ���� ������ � x � �′�� "� �� ���������

df��� �x� � f ′ ��� �x− �� ���x�

x

x��

�x− �� � � �x− ��

� �������df���

��′��

�� �

��′��− �

�� �′��

1� ���� ������� ��df���

��′��

�≈ △y � f

��′��

�− f ���

�������f��′��

�≈ f ��� � df���

��′��

�� � � �′�� � �′��

��'��� � ������ �� �� ��� ���� �� �� ��� �� ��� �����

7��� � ��� ���� �� � �� �������� ���� ������� �� �� ������� z � f �x, y� �� �� ������x�, y��)

������������ x� 9� �� �� ����� x� �△x! ��� ������� f ���� ��� ����� �� ��� �������! � *

�x�, y�� −→ �x� �△x, y��

��� �� ��� ��� ����8���� ��$

△f � f �x� �△x, y��− f �x�, y�� ≈∂f

∂x�x�, y�� �x− x��

� 9����� �� � �� ������������ y� 9� �� �� ����� y� �△y!

�x�, y�� −→ �x�, y� �△y�

�������

△f � f �x�, y� �△y�− f �x�, y�� ≈∂f

∂y�x�, y�� �y − y��

��

Page 23: CalculoVariasVariables.pdf

-� ��� �� � �� �� ��������� ����� �� ��� ����� ����8���� ��△f � f �x� �△x, y� �△y�−f �x�, y��! ��� �� ��� ��'��� �� ��������� �� f �� �x�, y�� ����

df�x�,y�� �x, y� �∂f

∂x�x�, y�� �x− x�� �

∂f

∂y�x�, y�� �y − y��

+� ����� ��△f � f �x� �△x, y� �△y�−f �x�, y�� � ����� ����8��� ������� �� ����� df�x�,y�� �x, y�)

-� &���������� �� �� ��������� ���� ������� �� n ������� � ��$��&�) � �x� ��x��, . . . , x

�n

� �� ����� ��������� , �x � �x�, . . . , xn� � �� ������ �� ������� ! � ��'�� �� ��������� �� f ���x� ����

df�x� ��x� �∂f

∂x���x��

�x� − x��

�� . . .�

∂f

∂xn��x��

�xn − x�n

� ����

df�x� ��x� � ∇f ��x�� �

x� − x��)))

xn − x�n

��� ��� !, �������� �� ����������� �� f �x, y� ��

xy�� �� ���� ��, �� � ���,���� �� ���� ��

��′���� �

���′�����′���

��� ��������� ��������� �� f ��∂f

∂x�x, y� �

−�x�y

� ������∂f

∂y�x, y� �

−�xy�

� ��� �� ��������

�� ��, ��� �������

∂f

∂x��, �� �

−��

∂f

∂y��, �� �

−��

� �� ����

df��,�� �x, y� �∂f

∂x��, �� �x− �� � ∂f

∂y��, �� �y − �� �

�−���x− �� � −�

��y − �� � −�

��x� y − ��

"��� ���,���� �� ���� �� ���′�����′��� � f ��′��, �′��� ����� ��� �� ����������� �� f �� ��, ��� ��$

df��,����′��, �′��

�≈ f

��′��, �′��

�− f ��, ��

��

Page 24: CalculoVariasVariables.pdf

� �� ����f��′��, �′��

�≈ df��,��

��′��, �′��

�� f ��, �� �

�−��

��′�� � �′��− �

���

�� −�′���� � �′�� � �′����

�� ���� ���� �� f ��′��, �′��� � �, ������� . . .

���� � �� !* 91����������������= 3�� ������� z � f �x, y� �� ������������� �� �x�, y�� ��

△z � f �x� �△x, y� �△y�− f �x�, y��

����� �,�������� �� �� ����

△z � ∂f

∂x�x�, y��△x�

∂f

∂y�x�, y��△y � ε�△x� ε�△y

���� ε�, ε� → � ����� �△x,△y� → ��, �� �� ������ f �� ������������� �� ����� ���,�������������� �� ����������� df�x�,y�� �x, y�

"������� �� #+ 9�������� ��������� �� �����������������= "� �� ��������� �������� ��� �������������������� f �� ����� ���,���� �������� �� ����������� df�x� ��x�� �� � ��� ������� ���� �,�����

df�x� ��x� � ∇f ��x�� � ��x− �x��������� �� �������� ��� �,���� ∇f ��x��� �� ������ ���� ��� f ��� ������������� �� �x� �� ����������� �,����� ���� ��� ��������� ��������� ∂f

∂x�� � ∂f

∂xn�� �� ���� �x�

0���� � # 9�������� ��������� �� �����������������= �� f � R� → R �� ��� ������� ��� ��� ∂f∂x

�∂f∂y

�� �������� �� �x�, y�� ������� f �� ������������� �� �x�, y��

0���� � #� �� f �� ��� ������� ������������� �� �x�, y�� ������� f �� ������� �� �x�, y��

@�, ��� �������� ��� �� �� �� ��� �� �8 ����� �� �� ������� ������� �� �� �����! ,� ������ ���

f �x, y� �

�� xy � �� xy � �

���*� ������� ������� �� ��, �� ���� f �� � ������� �� ��, ��) �� �� �� �������! ��� �� ��������������! f �� ����� �� ����������� �� ��, ��)

.��������� � .������������

-� ��������� �$��� �� �� &����� #

�3

Page 25: CalculoVariasVariables.pdf

��,� $���� �� ����� ��� ����� ���� ���� - ��� ���� � ���� ����

� f � R� → R � ��� ����� ����������� , �u � �u�, u�� ∈ R� � �� ������ ������! ������� ������ ���'��� �� �$����� �� �� ������� ���������

D�uf �x, y� � � ��h�→�

f �x� hu�, y � hu��− f �x, y�

h

����

D�uf �x, y� �∂f

∂x�x, y� � u� �

∂f

∂y�x, y� � u�

-� &���������� ���� n ������� � �������! f � Rn → R � ��� ����� ����������� ,�u � �u�, . . . , un� ∈ Rn ������� � ����� � ����

D�uf �x�, . . . , xn� � ∇f �x�, . . . , xn� • �u

����� �� *����� • ������ �� �������� � �����)��� �� ������ �������! ��������� �� ������� ���������� �� �� ������ �� �� �������

�u � ��, �� , �v � ��, �� �������� ���

D�uf �x, y� � ∇f �x, y� • �u �∂f

∂x�x, y� � � � ∂f

∂y�x, y� � � � ∂f

∂x�x, y�

D�vf �x, y� � ∇f �x, y� • �v �∂f

∂x�x, y� � � � ∂f

∂y�x, y� � � � ∂f

∂y�x, y�

��� �� ��� �� ������� ������� �� �� � ���������� �� ������� ���������� )

��� ��� #� �������� �� �������� �� f �x, y� � �x� − �y� �� �� ��������� �� �u � ��, �� �� �� ������, ��

�� ��u� �√�� � �� �

√� � � ������� �� ����� �u � �� ������� ��������� �v � �u

��u� ��√�, �√

��� �� ������� "� �� ���������

D�vf ��, �� � � ��h �→�

f� � h �√

�, � � h �√

− f ��, ��

h�

� � ��h �→�

�� � h �√

�− �

� � h �√

�− � � �� � � � ��

h�

� � ��h �→�

� � �h√�� �h�

� − h� − �h

� � ��h�→�

�√���h

�− h �

�√�

1� ��� ����� �� f �� �� ������� ������� �� ������������� � ������� �� ∇f �x, y� ���x,−�y� �� ����� ���

D�vf ��, �� � ∇f ��, �� •��√�,�√�

��

� ��, �� •��√�,�√�

�� �

�√�� �

�√��

�√�

�5

Page 26: CalculoVariasVariables.pdf

��*� 3��� ������ �� ��� ���� ���� � ������ �����

��� f ��� ����� ����������� �� �x � �x�, . . . , xn� ∈ Rn#

�) � ∇f ��x� � ��, . . . , �� ������� D�uf ��x� � � ���� ���� �u ∈ Rn)

�) -� ������ �� �$8�� ��������� �� f ���� ���� ��� �� ������ �� ∇f ��x�! , �� ������$8�� �� D�uf ��x� � �∇f ��x��)

3) -� ������ �� �$8�� ����������� �� f ���� ���� ��� �� ������ �� ∇f ��x�! , �� ������*��� �� D�uf ��x� � −�∇f ��x��)

-� ��������� � , 3 �� ��� ������� �� �� ������

D�uf ��x� � ∇f ��x� • �u � �∇f ��x�� � ��u� � �� θ

"������� �� #! �� ����� ∇f ��x� � ������ ����� �� ��,�� �� �� ������� f � ��� �� �� ����������� �� ��� f ����� ��� �����������

0���� � ## �� f �� ������������� �� �x�, y�� � ������ ∇f �x�, y�� � ��, �� ������� ∇f �x�, y�� ��������������� � �� ����� �� ����� ��� ���� �� �x�, y��

0���� � #& 9!������� �����= �� f �� ������������� �� �x�, . . . , xn� � ������ ∇f �x�, . . . , xn� ���, . . . , �� ������� ∇f �x�, . . . , xn� �� ������������� �� ����� �� ����� ��� ���� �� �x�, . . . , xn�

��� ��� #' �� �� ��������� ���� ���� �� ��������� �� �� ���� �� �� ���� ��, ��� � �� ��������������� �� ��������� ����� ���� ��

f �x, y� ��

�x� � y� � �

-?���� ����� ���� ����!���� ���� ��� �� ���� �������� �� ������ ��� �����������.

�6

Page 27: CalculoVariasVariables.pdf

�� �� ��������� �� ��,�� ���������� �� �� ����������� ����� ���� �� �� ��������� �� ∇f �������� �� ����� ������� �� ��������� �� −∇f ��, �� 6�$

∇f �x, y� �� −�x��x� � y� � ���

,−�y

��x� � y� � ���

� �������

∇f ��, �� ��−���

,−���

��

�−��,−���

"� � ���� �� ��������� ���� ������ �� �� ���������

−∇f ��, �� ���

�,�

��

��+� 3���� ���%���� � ��� ������� �

+� �� �� � �� ��� ����� f �� ��� �������! � �� ��� ��� ���� �� ����� ���&���� � �� �����y � f �x�

� * �� ������ �� �� ����� ���&���� ��$

y � f �a� � f ′ �a� �x− a�

:���2� ������ ��� ���� �� ����� ���&���� �� �� ����� � ��� ����'��) -� ����'�� ���������� ���� ����#

�) �����'�� �� ���� �� ��� ����� F �x, y, z�! � *

F �x, y, z� � c

� ��� ����'��)

�) 1�$'�� �� ��� ����� f �x, y�! � *z � f �x, y�

����� ���� ��� ����'��) (��� � ��� �&���� �� �! �������

F �x, y, z� � f �x, y�− z

������� �� ����'�� ��'��� ��� z � f �x, y� ��� ����� � � ���������� � �� ����'�� �� ����F �x, y, z� � �)

�<

Page 28: CalculoVariasVariables.pdf

.��� �� ����'�� �� ���� F �x, y, z� � c ��� F �����������! ���� � �������� �� ������ �������� ���&���� � F �x, y, z� � c �� �� ����� �x�, y�, z�� �� �� ����'��)

+ ��������� ��������� ��� �x�, y�, z�� ��������� � �� ����'��) ��� �x, y, z� �� ����� ��� ��������&���� �� ����! ������� �� ������

�x− x�, y − y�, z − z��

����2� ��������� �� ����� ���&����) (�� ���� ����! ���� ∇F �x�, y�, z�� � ������������ � �� �����'�� �� ���� F �x, y, z� � c �� �� ����� �x�, y�, z��! ������� ����2� ��$ ������������ �� ��������&���� �� �x�, y�, z��)

(�� ����� � ���� ��� ���'��� ���

∇F �x�, y�, z�� • �x− x�, y − y�, z − z�� � �

+ �� � Fx �x�, y�, z�� �x− x�� � Fy �x�, y�, z�� �y − y�� � Fz �x�, y�, z�� �z − z�� � �

��� � �� ������ ��� ����� ���&����)

+� �� �� � ��� F �x, y, z� � f �x, y�− z! ������� �� ������ �����

fx �x�, y�� �x− x�� � fy �x�, y�� �y − y��− �z − f �x�, y��� � �

"������� �� #, �������� �� �������� ��� ���� ���!����

�z − f �x�, y��� � fx �x�, y�� �x− x�� � fy �x�, y�� �y − y��

�� �� �,������� �� �� �����������

df�x�,y�� �x, y� � fx �x�, y�� �x− x�� � fy �x�, y�� �y − y��

���� ��� �� ���,������� ��f �x, y�− f �x�, y��

�������� �� ����������� �� ����������� � ���,����� �������� �� ���� ���!����

��� ��� #* �������� �� ���� ���!���� � ��� ����������%

�=

Page 29: CalculoVariasVariables.pdf

( x� � y� � z� � � �� �� �����,√�� ,

√��

�� ��������� ����� ���� �� �� ��������� �� ����� ( ��

F �x, y, z� � x� � y� � z�

�� �� ������� ��� F�,√�� ,

√��

� � ������� �� ����

�,√�� ,

√��

��������� � �� ���������

6����� �� ����� ���

Fx �x, y, z� � �x �⇒ Fx

�,√�� ,

√��

� �

Fy �x, y, z� � �y �⇒ Fy

�,√�� ,

√��

�√�

Fz �x, y, z� � �z �⇒ Fz

�,√�� ,

√��

�√�

"� � ����� ����������� ��� ������ ������� ��� �� �������� ��� ���� ���!���� �����

� � �x− �� �√�

y −√�

�√�

z −√�

� �

�� �����√�y �

√�z � �

) z � ex�y��� �� ���� ��, ��

�� ��������� ����� ���� �� ������� �� ) ��������� z � f �x, y� ����

f �x, y� � ex�y�

/����� ��� �������� �� ���� �� f ��, �� � e����� e� 6����� �� ����� ���

fx �x, y� � ex�y�

�⇒ fx ��, �� � e�

fy �x, y� � �yex�y� �⇒ fy ��, �� � �e

"� � ����� ����������� ��� ������ ������� ��� �� �������� ��� ���� ���!���� �����

e� � �x− �� � �e� �y − ��−�z − e�

�� �

�� �����e� �x� �y�− z � �e�

�>

Page 30: CalculoVariasVariables.pdf

�������� �

� ������ �� � ���4 ��� ��� �����

��� $�%�� �� �� ������

.��� ��� ����� f �x, y�! � ���� � ���� ��� �� ������� x � y �������� �� ���� ������� !��� �"�����! x �t� � y �s, t, r�) .� � �� ������ ������ � ��� ����� ��� �� �������� �� ������ ��f �& � ���*�� s! t! � r! � ����! ������� ������ f �� ����� �� s! t � r)

+� &������! ���� ��� ����� f �� ���� ������� ! � �� ��� ��� ���� ������� �������� ������ ! , � �� �&���� �� ��� ������� ! , � * ��� �������) (��� ����� �������� �� ������� ��f �� ����� �� �� ���� ������� �� �� ��� �������! ���� ���� ��� ��&�� ���� ����� 9������ ��&������! ���������������� �� �� ������� , �� � � ����)

+ �� ��&�� ��$ �� ��&�� �� �� ������)+ �������� �� ������ ��� ���������� �� ��&�� �� �� ������ ���� ��&��� �� � ���������� !

���� �� ����� �������� � ������������)

0���� � &+ ��� z � f �x, y� ��� ������� ������������� ��

x � x �t� y � y �t�

��� � �� �� � �������� ���������� �� t� ������� f �� ��� ������� ��������� ������� �� t ��

df

dt�t� �

∂f

∂x�x �t� , y �t�� � dx

dt�t� �

∂f

∂y�x �t� , y �t�� � dy

dt�t�

(��� �������� � �� ������ ���"��� �� &����� ��&����#

���� ����� ��� ��&���� ����� ���� �� ������� �� �� ����� �� � ������� �� ����� �� �� ��������� � �����9�) � * �� ��&���� ����� ���� �� &����� ������� #

��

Page 31: CalculoVariasVariables.pdf

@�, �� ����� ��� �� ��� � ���&� � �� ������� t) (��� ��������� �� ������ 9�, ��� ����������� ������� ��� ���������� ��� ���� ����� , ���� ���� �� ����� ��� ���&�� � �� ������� t)

(���� �����#z → x→ t

� * �������� �� �������� �� �� �������

∂z

∂x�x �t� , y �t�� � dx

dt�t�

��&���� �����#z → y → t

� * �������� �� �������� �� �� �������

∂z

∂y�x �t� , y �t�� � dy

dt�t�

-� ��� �� � �� �������� �� ��� �� ������

dz

dt�t� �

∂z

∂x�x �t� , y �t�� � dx

dt�t� �

∂z

∂y�x �t� , y �t�� � dy

dt�t�

� ��� �� ������ �������

df

dt�t� �

∂f

∂x�x �t� , y �t�� � dx

dt�t� �

∂f

∂y�x �t� , y �t�� � dy

dt�t�

��� ��� & �������� �� �������f �x, y� � x�y − y�

� ���� ��� ��������

�x � et

y � �� t� �� ���� �������� �� �������� �� f ������� �� t

df

dt�t� �

∂f

∂x�x �t� , y �t�� � dx

dt�t� �

∂f

∂y�x �t� , y �t�� � dy

dt�t� �

� ��x �t� y �t�� ��et��x �t�� − �y �t�

� �− ��� t� �

���et �� t

���et���e�t − � �� t

�� �− ��� t� �

� e�t �� �� t− ��� t� � � �� t ��� t

3�

Page 32: CalculoVariasVariables.pdf

0���� � &� ��� z � f �x, y� ��� ������� ������������� ��

x � x �s, t� y � y �s, t�

��� � �� �� � �������� ����� ��� �,����� ��� ��������� ��������� ∂x∂s

� ∂x∂t

� ∂y∂s

� ∂y∂t

� ������� ���

��������� ��������� ∂f∂s

� ∂f∂t

�,����� � ������ ����� ��

∂f

∂s�s, t� �

∂f

∂x�x �s, t� , y �s, t�� � ∂x

∂s�s, t� �

∂f

∂y�x �s, t� , y �s, t�� � ∂y

∂s�s, t�

∂f

∂t�s, t� �

∂f

∂x�x �s, t� , y �s, t�� � ∂x

∂t�s, t� �

∂f

∂y�x �s, t� , y �s, t�� � ∂y

∂t�s, t�

+� � ����� �� � �� ������ � �� &�����#

-� ����� ��� � ����� ����� ����� �� &����� ������� #

?������� � �� � ����� ������ ��������� �� ������ ���� �������� �����! � ���� ����� ����� ��� �������� ���� �� ������ �� ��� )

.��������� �� �� ������� �� ���� ����� ������ ��������� �� ������ ��������)

��� ��� &� "��� ���� �� ������ ������ ���

3�

Page 33: CalculoVariasVariables.pdf

∂z∂s�s, t, r� � ∂z

∂x�x �s, t� , y �r, t�� � ∂x

∂s�s, t�

∂z∂t�s, t, r� � ∂z

∂x�x �s, t� , y �r, t�� � ∂x

∂t�s, t� � ∂z

∂y�x �s, t� , y �r, t�� � ∂y

∂t�r, t�

∂z∂r�s, t, r� � ∂z

∂y�x �s, t� , y �rs, t�� � ∂y

∂r�r, t�

/����#�

�∂z∂s� ∂z

∂x� ∂x∂s� ∂z

∂y� ∂y∂s

∂z∂t� ∂z

∂x� ∂x∂u� dudt� ∂z

∂y� ∂y∂t

���� �������� �������� �� �� ���� �������������

��� ��� &! �������� �� �������f �x, y� � x� − y�ex

� ���� ��� �������� ����� x � st � y � s� � t� � �� �� ���� �������� ��� ��������� �� f ������� ��s � t

∂f

∂s�s, t� �

∂f

∂x�x �s, t� , y �s, t�� � ∂x

∂s�s, t� �

∂f

∂y�x �s, t� , y �s, t�� � ∂y

∂s�s, t� �

���x− y�ex

�� �t� � �−�yex� ��s� �

��st−

�s� � t� � �

��estt�

�−��s� � t� � �

�est��s

∂f

∂t�s, t� �

∂f

∂x�x �s, t� , y �s, t�� � ∂x

∂t�s, t� �

∂f

∂y�x �s, t� , y �s, t�� � ∂y

∂t�s, t� �

3�

Page 34: CalculoVariasVariables.pdf

���x− y�ex

�� �s� � �−�yex� ��t� �

��st−

�s� � t� � �

��ests�

�−��s� � t� � �

�est��t

����� � � &# ��� Y � F �K,L� ��� ������� �� ���������� ���� Y ���������� �� �������� ��5������� K �� ������� � L �� ����� �����!��� ���� � �� �� � �� ������� � �� ����� �������� ��������

�) B��� ���*� �� �������� ��� �� ����� ��� �����C

�) ������� � �� ������ �� �� �� � �� ��� F �� �� ����� �� �����.��&�� F �K,L� � AKaLb)

3) � Y � ��KL−√K −

√L! , ������ ��� K � t

� � � , L � �et�� ! �������� dY

dt���� t � �)

����� � � && ������� �� ���!���� � ��������� ��� �������� �� ∂f∂s

� ∂f∂t

����� f �x, y, z� �� x �s, t��y �s, t� � z �s, t�

����� � � &' �������� �� ���!���� � �������� ��� �������� �� ∂f∂s

� ∂f∂t

� ∂f∂r

����� f �x, y, z� ��x �s, t, r�� y �s, t, r� � z �s, t, r�

���� ����������� �� 0�-���

D�������� �� &����� ������� ���� ������� �� ��� �������#

0���� � &, ����!��� ��� f �x� �� ��������� n � � ����� �� �� �������� �� ��� ���������� x �x�� �������

f �x� � f �x�� � f ′ �x�� �x− x�� �f ′′ �x���

�x− x��� � � � ��

� � � �� f �n� �x��

n��x− x��

n �f �n��� �c�

�n� ����x− x��

n��

���� ����� ���� c ����� x � x�

+ �� �� ������� �� f � ������� .� ������� �� :�,��� �� f �� x�)+� �������

Pn �x� � f �x�� � f ′ �x�� �x− x�� � � � ��f �n� �x��

n��x− x��

n

� ����� (������ �� :�,��� �� f �� ����� n �� x�)+� �2����

Rn �x� �f �n��� �c�

�n� ����x− x��

n��

� ������� D� �� �� -�&���&� ��� �� ������� �� :�,��� �� f �� ����� n �� x�)+ �� ������� � ���� �� �����$��� �&�2 ����E :�,��� /�<>6 � �=3�0 , �� � �� � ���������

9� �� ��� �� �==� �� ������ F� ��9 -�� -�&���&� /1� ���� -�& -�&���&�! �=3< � �>�30 ������� �� � �����)

33

Page 35: CalculoVariasVariables.pdf

�) :�,��� F) -) -�&���&�

��� ��� &* �������� �� �������� �� /���� �� f �x� � ex �� ���� 2 �� �� ���� x� � � "����� ��������� ��� ��������� �� f %

f �x� � ex �⇒ f ��� � e� � �f ′ �x� � ex �⇒ f ′ ��� � e� � �

f ��� �x� � ex �⇒ f ��� ��� � e� � �

f ��� �x� � ex �⇒ f ��� �c� � ec

� � ���������� �� �� �������

f �x� � f ��� � f ′ ��� �x− �� � � � �� f ��� ���

���x− ��� � f ��� ���

���x− ��� �

� � � x�x�

��x�

��x�

���

x�

����ecx�

���

��� ��� '+ �������� �� ������ �� /���� �� f �x� � ��x �� ���� n �� �� ���� x� � � "����� ��������� ��� ��������� �� f %

f ′ �x� � �x

�⇒ f ′ ��� � �f ′′ �x� � −�

x��⇒ f ′′ ��� � −�

f ′′′ �x� � �x�

�⇒ f ′′′ ��� � �f ��� �x� � −�

x�⇒ f ��� ��� � −�

f �n� �x� � �−��n���n−���xn

�⇒ f �n� ��� � �−��n�� �n− ���

6�$ ������ ���

Pn �x� � f ��� � f ′ ��� �x− �� � f ′′ �����

�x− ��� � � � �� f �n� ���

n��x− ��n �

� � � �x− ��− ���x− ��� � �

��x− ��� − �

��x− ��� � � � �� �−��

n��

n�x− ��n

��� ��� ' 6��,���� �� ���� �� � ��′�� �������� �� ������� �� /���� �� ������� '� (� )�* � + ��������� �� �� ����� �������

0���� '% P� �x� � �

35

Page 36: CalculoVariasVariables.pdf

6�$���′��� f

��′��≈ P�

��′��� �

0���� (% P� �x� � x− � 6�$

���′��� f

��′��≈ P�

��′��� �′�− � � �′�

0���� )% P� �x� � �x− ��− �� �x− ��

� 6�$

���′��� f

��′��≈ P�

��′��� �′�− �

��′���� �′���

0���� *% P� �x� � �x− ��− �� �x− ��

� � �� �x− ��

� 6�$

���′��� f

��′��≈ P�

��′��� �′��� �

��′���� �′������ . . .

0���� +% P� �x� � �x− ��− �� �x− ��

� � �� �x− ��

� − �� �x− ��

� 6�$

���′��� f

��′��≈ P�

��′��� �′����� . . .− �

��′���� �′�������

�� ���� ���� �� � ��′�� � �, ����������� . . .

"������� �� '� �� �� ����� ������� � ��!�� �� ��������� ��� ������ �� /���� �� ���������

Pn �x� � Pn−� �x� �f �n� �x��

n��x− x��

n

+ �� ��� ��'�� �� �� ������� �� :�,��� ���� ������� �� ���� ������� ) (��� ���� �������� ��� ������� �� ������ �������� �� ������� ������� ) ����$ �� ������� �� :�,��� ��$ ��������� �� ���� ������� )

0���� � '� 9"����� �� /���� �� ���� (=����!��� ��� f �x, y� ����� ���� ��� ��������� ��������� �������� ����� �� ���� )� �������

��� �x�, y�� �� ����� ���

f �x, y� � f �x�, y�� �∂f

∂x�x�, y�� �x− x�� �

∂f

∂y�x�, y�� �y − y�� �R� �x, y�

� ���� �������� �� ������� 1������� �� /���� �� f �� ���� ( �� �x�, y�� 6�����

P� �x, y� � f �x�, y�� �∂f

∂x�x�, y�� �x− x�� �

∂f

∂y�x�, y�� �y − y��

�� �� "����� �� /���� �� f �� ���� ( �� �x�, y�� �

R� �x, y�

�� �� F��� �� ��!���!� ��� ���� ������� �� ��� ��������� ��������� ��!����� �� f �� �� ������� ���� ���� �� ��!���� ��� ��� �x, y� �� �x�, y��

-� ��'��� ���� �� �� � �� ��� ����� f &������ ��$#

36

Page 37: CalculoVariasVariables.pdf

0���� � '! 9"����� �� /���� �� ���� (=����!��� ��� f �x�, . . . , xn� ����� ���� ��� ��������� ��������� �������� ����� �� ���� )�

������� ����x��, . . . , x

�n

��� ����� ���

f �x�, . . . , xn� � f�x��, . . . , x

�n

��∇f

�x��, . . . , x

�n

x� − x��

xn − x�n

�R� �x�, . . . , xn�

� ���� �������� �� ������� 1������� �� /���� �� f �� ���� ( ���x��, . . . , x

�n

� 6�����

P� �x�, . . . , xn� � f�x��, . . . , x

�n

��∇f

�x��, . . . , x

�n

x� − x��

xn − x�n

�� �� "����� �� /���� �� f �� ���� ( ���x��, . . . , x

�n

��

R� �x�, . . . , xn�

�� �� F��� �� ��!���!� ��� ���� ������� �� ��� ��������� ��������� ��!����� �� f �� �� ����

��� ���� ���� �� ��!���� ��� ��� �x�, . . . , xn� ���x��, . . . , x

�n

"������� �� '# "��� ������ �� �������� �� /���� �� ���� ( ���� ������� �������� ������� ��������� ��������� ����� �� ���� )� ��� �� � ��� ������� �� ������ �� ������ �� /������ ����� ���������� �� �������� ��� �,����� ��� ��������� ��������� �� ���� ( �� �� ����� �������

�x��, . . . , x

�n

"������� �� '& �� ������ � ������������ ���� ���� �����#� �� �� ���� �� �������� ��/���� �� ���� )� �� ����� �� �� ��������� ���������� �� ���������� �� ��� ��������� �������������� �� ���� * ��� ���� ������ �� ������ �� /���� �� ���� ) �� ��������� �� �,�������� ����������� ��������� ����� �� ���� ) �� �� ����� ��

�x��, . . . , x

�n

0���� � '' 9"����� �� /���� �� ���� )=����!��� ��� f �x, y� ����� ���� ��� ��������� ��������� �������� ����� �� ���� *� �������

��� �x�, y�� �� ����� ���

f �x, y� � f �x�, y�� �∂f

∂x�x�, y�� �x− x�� �

∂f

∂y�x�, y�� �y − y���

��

�∂�f

∂x��x�, y�� �x− x��

� � �∂�f

∂x∂y�x�, y�� �x− x�� �y − y���

�∂�f

∂y��x�, y�� �y − y��

��R� �x, y�

� ���� �������� �� ������� 1������� �� /���� �� f �� ���� ) �� �x�, y�� 6�����

P� �x, y� � f �x�, y�� �∂f

∂x�x�, y�� �x− x�� �

∂f

∂y�x�, y�� �y − y���

��

�∂�f

∂x��x�, y�� �x− x��

� � �∂�f

∂x∂y�x�, y�� �x− x�� �y − y���

�∂�f

∂y��x�, y�� �y − y��

3<

Page 38: CalculoVariasVariables.pdf

�� �� "����� �� /���� �� f �� ���� ) �� �x�, y�� �

R� �x, y�

�� �� F��� �� ��!���!� ��� ���� ������� �� ��� ��������� ��������� �������� �� f �� �� ���� ������� ���� �� ��!���� ��� ��� �x, y� �� �x�, y��

-� ��'��� ���� �� �� � �� ��� ����� f &������ ��$#

0���� � ', 9"����� �� /���� �� ���� )=����!��� ��� f �x�, . . . , xn� ����� ���� ��� ��������� ��������� �������� ����� �� ���� *�

������� ����x��, . . . , x

�n

��� ����� ���

f �x�, . . . , xn� � f�x��, . . . , x

�n

��∇f

�x��, . . . , x

�n

��

x� − x��

xn − x�n

��

�x� − x��, . . . , xn − x�n

��Hf

�x��, . . . , x

�n

��

x� − x��

xn − x�n

�R� �x�, . . . , xn�

� ���� �������� �� ������� 1������� �� /���� �� f �� ���� ) ���x��, . . . , x

�n

6�����

P� �x�, . . . , xn� � f�x��, . . . , x

�n

��∇f

�x��, . . . , x

�n

x� − x��

xn − x�n

��

�x� − x��, . . . , xn − x�n

��Hf

�x��, . . . , x

�n

��

x� − x��

xn − x�n

�� �� "����� �� /���� �� f �� ���� ) ���x��, . . . , x

�n

��

R� �x�, . . . , xn�

�� �� F��� �� ��!���!� ��� ���� ������� �� ��� ��������� ��������� �������� �� f �� �� ���� ���

���� ���� �� ��!���� ��� ��� �x�, . . . , xn� ���x��, . . . , x

�n

��� ��� '* �������� �� ������� �� /���� �� ���� ( � ) �� �� ���� �x�, y�� � ��, �� ���� ���������� f �x, y� � ��� �x� �y�

"��� �������� �� ������ �� ���� ( P� �x, y� ���������� �� ���� �� f � �� ��� ����������������� �� �� ���� ��, ��� ��$

f ��, �� � �∂f∂x�x, y� � �� �x� �y� �⇒ ∂f

∂x��, �� � �

∂f∂y�x, y� � � �� �x� �y� �⇒ ∂f

∂y��, �� � �

�� � ����

P� �x, y� � f ��, �� �∂f

∂x��, �� �x− �� � ∂f

∂y��, �� �y − �� �

� � � � �x− �� � � �y − �� � x� �y

3=

Page 39: CalculoVariasVariables.pdf

"��� �������� �� ������ ��/���� �� ���� ) ���������� ��� ��������� ��!����� �� f �� ��, ��%

∂�f∂x�

�x, y� � − ��� �x� �y� �⇒ ∂�f∂x�

��, �� � �∂�f∂x∂y

�x, y� � −� ��� �x� �y� �⇒ ∂�f∂x∂y

��, �� � �∂�f∂y∂x

�x, y� � ∂�f∂x∂y

�x, y� / �� ���<�� ∂�f∂y�

�x, y� � −� ��� �x� �y� �⇒ ∂�f∂y�

��, �� � �

�� � ����

P� �x, y� � P� �x, y� ��

�∂�f

∂x���, �� � x� � ∂�f

∂x∂y��, �� � xy � ∂�f

∂y���, �� � y�

�������

P� �x, y� � x� �y ��

��x� � �xy � �y�

�� x� �y

��� ��� ,+ �������� �� ������� �� /���� �� ���� ( � ) �� �� ���� �x�, y�� � ��, �� ���� ���������� f �x, y� � ex �� y

"��� �������� P� �x, y� ���������� �� ���� �� f � �� ��� ��������� �������� �� �� ���� ��, �����$

f ��, �� � �∂f∂x�x, y� � ex �� y �⇒ ∂f

∂x��, �� � �

∂f∂y�x, y� � −ex ��� y �⇒ ∂f

∂y��, �� � �

�� � ����

P� �x, y� � f ��, �� �∂f

∂x��, �� �x− �� � ∂f

∂y��, �� �y − �� �

� � � � �x− �� � � �y − �� � � � x

��������� ���� ��� ��������� ��!����� �� f �� ��, ��%

∂�f∂x�

�x, y� � ex �� y �⇒ ∂�f∂x�

��, �� � �∂�f∂x∂y

�x, y� � −ex ��� y �⇒ ∂�f∂x∂y

��, �� � �∂�f∂y∂x

�x, y� � ∂�f∂x∂y

�x, y� / �� ���<�� ∂�f∂y�

�x, y� � −ex �� y �⇒ ∂�f∂y�

��, �� � −�

�� � ����

P� �x, y� � P� �x, y� ��

�∂�f

∂x���, �� � x� � ∂�f

∂x∂y��, �� � xy � ∂�f

∂y���, �� � y�

�������

P� �x, y� � � � x��

��x� � �xy − �y�

�� � � x�

x�

�− y�

"������� �� ,

+"�����# B��� ��2 ���� ������ ����*� ��������� �� ������ ��� ������� �� :�,���C+"�����# B��$� � �� ������� �� :�,��� �� ����� � ��

f �x, y� � A�Bx�Cy

�� ��, ��C� BG �� ������� �� :�,��� �� ����� � ��

f �x, y� � A�Bx�Cy �Dx� �Exy � Fy�

�� ��, ��C

3>

Page 40: CalculoVariasVariables.pdf

�������� !

���� ���� ���� ���

!�� ��������� ��

� ������ ��� ������ ��� ���F �x, y� � �

�� ������ ���&����� ������ �� ��"�� ��� ������� �� ����� �� �� ����! � ����! ������ ��������� ��� ����� f ��� ���

y � f �x�

�� ���������� � ������ ��&���)

��� ��� ,� �� ������ �� ��������x� � y� − � � �

����� ������� �� �������� y �� ������� �� �� �������� x ��

y ����− x�

��& � �� D�+!

+H(-I��:;# ��") J�� �8��� � ����� , ���������������� ��� �� �)

�K(-I��:;# ��") .*�� � �� �� ������ �� ���� �� � � ��� � �� �� �8��� �)

@��� � �� ��� �� ����� �x, y� ∈ R� ��� ���'��� ��� y � f �x� /����� �8��*���0 �� �� � �� ��� ���'��� ��� F �x, y� � f �x�− y � � /����� ���*���0)

��� ��� ,� �� y � ��x �� ��� ������� �,��$����� ������� �� �������

F �x, y� � ��x− y

�� ��������F �x, y� � �⇐⇒ ��x− y � �

����� ��� ������� ����$��������� /����#� G �x, y� � x− ey � � ����� ����$��������� �� ����� �������� �� ���

G �x, f �x�� � x− e��x � x− x � �

3�

Page 41: CalculoVariasVariables.pdf

B:��� �� ������� ��'��� ���*�������� /F �x, y� � �0 ������ � ���� � �8��*��������/y � f �x�0C + ����! B� ����� �� F �x, y� � � ������ �������� y � f �x�C

-� �� ��� �� � ���� ���&���� � ."#

�) 4� ���� �� �������� ��'��� ���*�������� ��� �����! ��� �"�����!

x� � y� � � � �

�� ��'�� ��&��� ����� �� ��& � ����� �x, y� ∈ R�)

�) 4� ���� �� ������� ���� ���*�������� ������ � ���� � �8��*��������! � ����! �������� �� ��"�� �! ��� �"�����!

x− � ��x� y − � �� y − � � �

�� � ����� �� ��"�� ������ �8 �� y � f �x� ��� ���'�� �� ������)

!��� 0���� � �� �� ���� �� ���� ��

+� � �� ���� ������ �������� �'����� ���� ��������� ���� ��� ������ F �x, y� � �!�8 �� ��� ����� y � f �x� ��� ���'�� �� ������)

+� ���� ������� ! � �������� �������� �'����� ���� ��������� �� ����� �� ����F �x, y� � � ����� �� ���� � ������� ��� ����� y � f �x� ����� �� �� ����� �x�, y�� ��� ���������� ��9� ����� �� ����)

0���� � ,! 9E������ ����$���� ���� �� ���������=�� F �x, y� �� ��� ������� �� ��������� ��������� �������� � ���� �x�, y�� �� ����� ���

F �x�, y�� � c

Fy �x�, y�� � �������� �,����� δ > � � ε > � ����� ���%

5�

Page 42: CalculoVariasVariables.pdf

( "��� ���� x ∈ �x� − δ, x� � δ�� �� ��������

F �x, y� � c

����� ��� ����� ������� �� �� �������� �y� − ε, y� � ε�

) �� ���� ����� ������� �� f �x�� ������� �� ������� y � f �x� ����� �������� ������� �� ���������� �x� − δ, x� � δ� ���� ��

f ′ �x� �−Fx �x, f �x��Fy �x, f �x��

"������� �� ,# ��� ��������� ��������� �� ��������� ����������� �� ������ �� ��!��� ����5���� � �� ������� ������� � ����� ��������� ���!��� ����������� ����������� � ����������� �� �� ������

+ �� ��� ���������� �� ����� �� �� ������� x � y �� �� �������! �� � �� �� � �� �������������*� �� �� &����� ������#

0���� � ,& 9E������ ����$���� ���� �� ���������� ������� )=�� F �x, y� �� ��� ������� �� ��������� ��������� �������� � ���� �x�, y�� �� ����� ���

F �x�, y�� � c

Fx �x�, y�� � �������� �,����� δ > � � ε > � ����� ���%

( "��� ���� y ∈ �y� − δ, y� � δ�� �� ��������

F �x, y� � c

����� ��� ����� ������� �� �� �������� �x� − ε, x� � ε�

) �� ���� ����� ������� �� g �y�� ������� �� ������� x � g �y� ����� �������� ������� �� ���������� �y� − δ, y� � δ� ���� ��

g ′ �y� �−Fy �x, f �x��Fx �x, f �x��

��� ��� ,' ���������� �� �������

F �x, y� � x� � y� − �������� �� ����� �� ����� ' ���� �� F �x, y� � �

x� � y� − � � ����� �������� �� �� �������������� �� ���� (

5�

Page 43: CalculoVariasVariables.pdf

:��������� ��� ��������� ��� /����� �� �� ������� ����$���� �� �� ���� �x�, y�� � ��, �� ���� ���������� �������

��� ��������� ��������� �� F �x, y� � x� � y� − � ��

Fx �x, y� � �x Fy �x, y� � �y

��� �� ��� ���������� �����#� �� �������� "� �� ��� �� ����� ���

F ��, �� � �� � �� − � � �� �� ������ Fy �x, y� � �y �������

Fy ��, �� � � � �

������� �� �������� ��� ��������� ��� ������ � ����� �������� �� ��������� ��� ������ �� ���� ��� �,���� �� �������� �−δ, δ� � ��� ����� ������� f �x�

������� �� �−δ, δ� ��� ���F �x, f �x�� � �

���� �� x ∈ �−δ, δ�

�� /����� �� �� ������� ����$���� �����#� �� ������� �������� �� �������� �� f �� x � x� ��������

f ′ ��� �−Fx ��, ��Fy ��, ��

�−��� �

-7�# ������ �� �� ���� �x�, y�� � ��, ��.F������ ���

F ��, �� � �� � �� − � � ���� �� ������� ��������� � �� ������� �� ���

Fy ��, �� � �

� �� ���� � ����� ������� �� ������ -"���� ������� ������� ��� � �,���� �� ������� f ������� ����� �� ��, ��.8� �������� ��� ��������� ��� ����� �� �� ������

5�

Page 44: CalculoVariasVariables.pdf

:���� �� ����� �� ����� ����� ��� ���� ��, ��

�� Fy ��, �� � � ������� �� ����� ���!���� �� ��, �� �� �������� � �������� ��� � ����� �,������� ������� f �� ��� ����� �� x � �� � �� � �������� �� ������� f �����$� ��� ����� �� ������ �������� ���� x < � ������

��� ��� ,, -"��$� ������� ��� Fy �x�, y�� � � � �,����� �� ������� f �x� ��� ���

F �x, f �x�� � �

���� ������ ������� � x � x�. �$� ����� �� !����� �� �� ������� ��� �� �� ��!������ ����%

0���� � ,* 9E������ ����$���� ���� ���� ���������=�� F �x, y, z� �� ��� ������� �� ��������� ��������� �������� � ���� �x�, y�, z�� �� ����� ���

F �x�, y�, z�� � c Fz �x�, y�, z�� � �

������� �,����� δ > �� ε > � � ��� ������� f �x, y� ������� ���� �� �x, y� ����� �����x− x��

� � �y − y��� <

δ ��� �������� ���

( f �x�, y�� � z�

) "��� �� �x, y� ��� �����x− x��

� � �y − y��� < δ �� ����� ���

F �x, y, f �x, y�� � c

53

Page 45: CalculoVariasVariables.pdf

* z � f �x, y� �� �� ����� ������� �� F �x, y, z� � c ��� ��������� �� ������� �z� − ε, z� � ε�

+ �� ������� z � f �x, y� ����� ��������� ��������� �������� ��� ������ ����� ��

∂f�x�,y��∂x

�−∂F �x�,y�,z��

∂x∂F �x�,y�,z��

∂z

∂f�x�,y��∂y

�−∂F �x�,y�,z��

∂y

∂F �x�,y�,z��∂z

�� ���� ��������� �� �������� F �x, y, z� � c ����� ����$��������� � �� �������� z �� ���������� f �� ��� ��������� x� y ����� �� �x�, y�� � �� ������ �����

��� ��� *+ -�� �������� �x− y�� � � ����� � �� �������� y �� ������� ����$���� �� x ����� ������� ��, ��.

:���� �� ����� ������� �� /����� �� �� ������� ����$���� �� F �x, y� � �x− y��� ��� ������������������

Fx �x, y� � � �x− y�� Fy �x, y� � −� �x− y��

�� �������� �� ��� ������� "� �� ��� �� ���� ��, �� ��������� � �� ����� �� ����� ' �� F ��� �����

F ��, �� � � ��− ��� � ���� ����� �� �������� ���� �� �������� �� ��, �� �� ���

Fy ��, �� � −� ��− ��� � �

�� � ��� � ����� ������� �� ������ �� ���� ��� � ���$� ����� �� ��� ����� �������%

�x− y�� � �

��x− y�� � �

x− y � �

y � x

��� �� �� ������� �� �� �������� �� � ��� y � f �x� � x �� �� ����� �������

��� ��� * 1� �� ��������x− � � x� y − � � y − � � �

� �� ����� ������� ���!��� �������� �� ������� �� �� ��� "�� -����� � ��� �������� �� �����������$���� �� �� ���.

:���� ��� �� �������� ����� � x �� ������� ����$���� �� y �� �� ���� ��, �� ��� F �x, y� �x− � � x� y − � � y − �� �������

Fx �x, y� � �− �x

Fy �x, y� � �− �y

��� �� �������� �� ��, �� 6�����

F ��, �� � �− � � � � �− � � �− � � �

Fy ��, �� � �−�

�� −� � �

�� � ��� �������� �� /����� �� �� ������� ����$���� ������ ��� �,���� ��� ������� f ������� ���� �������� ��� ������� � x � � ��� ��� y � f �x� �� �� ����� ������� �� �� �������� F �x, y� � �

-�� ������ �������� f ′ �x�.

55

Page 46: CalculoVariasVariables.pdf

�� x−� � x�y−� � y−� � � ������� �� y � f �x� �������� �� ������� �� x �������

�− �

x� y′ − �y

y� �

y′��− �

y

�� −

��− �

x

y′ �−��− �

x

��− �

y

� �� ���� �� �� ���� x � � �� ����� ���

y′ ��� �−��− �

��− �

y���

��

−� � −�

+� �� �"����� ������� 9��� � �� ��� ������ ��������� �� ������� �� �� ����� f ���������� �2���� ��������� ������� ���*���)

7�������� � �������� �� �� &����� �"�����)

��� ��� *� ��� �� �������

F �x, y, z� � �x�z − x�y� � �z� � �yz − �

-�,���� ������� z � f �x, y� �� �� �������� F �x, y, z� � � �� �� ���� ��, �, ��.:���� �� ����� ������� �� /����� �� �� ������� ����$���� ��� ��������� ��������� �� F ��%

Fx �x, y, z� � �xz − �xy�Fy �x, y, z� � −�x�y � �z

Fz �x, y, z� � �x� � �z� � �y

��� �� �������� �� ��� ������� 6�����

F ��, �, �� � �− � � � � �− � � �

�Fz ��, �, �� � � � � � � � �

�� � ��� �������� �� /����� �� �� ������� ����$���� ������ ��� �� �� ����� �� ��, �, �� �,������� ������� f ��� ��� z � f �x, y� �� �� ������� �� �� �������� F �x, y, z� � �

:��� � �������� �� !�������� �� f

∇f ��∂f

∂x,∂f

∂y

�� �zx, zy�

1������� �� �������� F �x, y, z� � � 9�������� �����#� �� ��!�� �� �� ������= ������� �� x �� �����

�xz � �x�zx − �xy� � �z�zx � �yzx � �

� �������� zx �������

zx �−�xz � �xy��x� � �z� � �y

1� �!��� ������� �������� F �x, y, z� � � ������� �� y �� �����

�x�zy − �x�y � �z�zy � �z � �yzy � �

56

Page 47: CalculoVariasVariables.pdf

� �������� zy ���!��� �

zy ��x�y − �z

�x� � �z� � �y

�� z ��, �� � � �������

zx ��, �� �−� � �� � � � �

�−��

zy ��, �� ��− �

� � � � ��−��

�� � ����

∇f ��, �� ��∂f ��, ��

∂x,∂f ��, ��

∂y

�� �zx ��, �� , zy ��, ��� �

�−��,−��

�� ���� �������� ����� �������� �� �������� ��� ���� ���!���� � f �� ��, �� 9�� ������ �� �������!���� � �� ��������� �� ����� F �x, y, z� � � �� ��, �, ��= 6�$

∂f ��, ��

∂x�x− �� � ∂f ��, ��

∂y�y − ��− �z − �� � �

−���x− ��− �

��y − ��− �z − �� � �

�x�

�y � z �

�x� �y � �z � ��

����� � � *� ( ������� �� �� ������� �������� �� ���������� ��� /����� �� �� ������� ��5��$����� �� ��� ��!������� ��������� ������ � y �� ������� ����$���� �� x �� �� ��������������� -1����� � x �� ������� ����$���� �� y �� �� ����� �����.

�= � � x− y � �xy � � �� �� ���� ��, ��

�= xy � exy � � �� �� ���� ��, ��

) 1��������� �� �� ��������xyz − z�y� � �x− z � �

����� � y �� ������� ����$���� �� �x, z� �� �� ���� �x, y, z� � ��, �, �� �� ��� ���������������� ��� ��������� �� y ������� �� x � �� z �� �� ���� �x, z� � ��, ��

!��� �� ��� �� ��� 0���� � �� �� ���� �� ���� �� � �� ����� ��

���f �t, P �

�� ����� �� �� ������� �� �� ��� ��� ������� ��

P �� ����� ������ � ���� �� t �� �7� ������

�����&��� ���S � g �P �

� �� ����� �� �� ������ �� � � ���)

5<

Page 48: CalculoVariasVariables.pdf

J������ ��� 9�,� ������� �� �� �������! � ����

;%+D:� � .+K�4.�

f �t, P � � g �P �

� �� ������ �� ������� ��'�� �� ����� P ���� ����� ���*��� �� t! � ����! �� ����� �� ��� � ���� ����� �� ��� ���� ������� ��9� ������� � ��� ����� �� t! ������� ������ ����������� ���*� el����� P��� �� ����� ��� ���� �� t! � ����

dP

dt

+� ������! ��'��� �� �����F �t, P � � f �t, P �− g �P �

, � * �� ������F �t, P � � �

� ���������� � �� ������ �� �������) ���� 9��� ���� �� ��� � �� ������ ��'�� � P ��������� ���*��� �� t! �������

dP

dt�−Ft �t, P �FP �t, P �

�−ft �t, P �

fP �t, P �− g′ �P ��

ft �t, P �

g′ �P �− fP �t, P �

+ ��������� ������ ���g′ �P � > �

,� ��� ������� �� ����� ��������$ �� ������)(�� ���� ���� ����� ������ ���

ft �t, P � < � fP �t, P � < �

,� ��� �� ������� � ���,� � ������� �� ���� �� t) (�� �� �����

dP

dt�

ft �t, P �

g′ �P �− fP �t, P �< �

�� ��� ����� ��� �� ����� P �����$ ��� �������� � ������� �� ���� �� t ���� �������� ���������)

5=

Page 49: CalculoVariasVariables.pdf

�������� #

���� ���� 5� �%/����

#�� ���� ���� 5� �%/����

?� ��� �� ������� ��������� ��� �������� �� +�����*� �� �� ������� 9���&2��� ) -� ������� �� �������� �� �����.��&�� �� �� � �� ���)

���� � �� *! /%���� 9���&2���0 1����� ��� f �x, y� �� ��� ������� ��!#��� �� !��� k ���������

f �tx, ty� � tk � f �x, y����� �� t > �

"������� �� *# �� ��������� �� �� ��� �� �������� �� n ��������� �� ����!�

"������� �� *& �� �������������� �� ���� ��������� �� ��� �� ������������ ��� ��������� x � y ���� ���� ����� t > �� ������� �� ���� f �tx, ty� ���� �� ���� ��� �� �� f �x, y� ����������� ��tk

6������ ���� �� ���������� � �� ��������� �� ����������������� 9�� �������� �� ����������= �� f

��� ��� *' ��� �� ������� A �x, y� � xy ��� �������� �� ���� �� �� ������!�� �� ���� x � �� ������y� ������� �� ������������ �� ���� � �� ������ �� �� ���� ����� 9� � t � �= ������� �� ������� ������!�� ���������� �� t� � �� � � ����� �� ���� ��!����%

A ��x, �y� � ��A �x, y�

�� !������A �tx, ty� � t�A �x, y�

�� � ��� A �� ��� ������� ��!#��� �� !��� �

5>

Page 50: CalculoVariasVariables.pdf

��� ��� *, �� ������� �� ��������� �� ���51�!���

F �x, y� � Cxayb

���� C, a, b ∈ R ������� ���

F �tx, ty� � C �tx�a �ty�b � Ctaxatbyb �

� tatbCxayb � ta�bCxayb � ta�bF �tx, ty�

�� � ��� F �� ��� ������� ��!#��� �� !��� a� b

0���� � ** 9�����= ��� f �x, y� ��� ������� ������������� �� ������� f �x, y� �� ��!#��� ��!��� k �� � ��� ��

x∂f

∂x�x, y� � y

∂f

∂y�x, y� � k � f �x, y�

+ �� ������� � ���� � ��� �� �� �$ &����� �����$��� �� �� @ ����! �� ��� -���9���+���� /�=�= � �=>30)

��� ��� ++ :���� ��� �� ������� �� ��������� �� ���51�!���

F �x, y� � Cxayb

�� ��!#��� ����� ��� �� ������ �� �����

∂F

∂x�x, y� � aCxa−�yb

∂F

∂x�x, y� � bCxayb−�

�������

x∂f

∂x�x, y� � y

∂f

∂y�x, y� � x

aCxa−�yb

� y

bCxayb−�

� aCxayb � bCxayb � �a� b�Cxayb � �a� b�F �x, y�

�� � ��� ������ ��� F �� ��!#���

3����� � �� + /(�������� 0 ��� f ��� ������� ��!#��� �� !��� k�

( ��� ���������∂f

∂x�∂f

∂y�� ��!#���� �� !��� k − �

5�

Page 51: CalculoVariasVariables.pdf

) f �x, y� � xkf��, yx

�� ykf

xy, �

����

�x > �y > �

* x�∂�f

∂x�� �xy

∂�f

∂x∂y� y�

∂�f

∂y�� k �k − �� f �x, y�

��� ��� +� :���� ��� f �x, y� � �x�y − y� �� ��!#��� � ������� ��� ���������� ���������

( f ��!#��� 9�� �� ���������=%

f �tx, ty� � � �tx�� �ty�− �ty�� � �t�x�ty − t�y� �

� �t�x�y − t�y� � t���x�y − y�

�� t�f �x, y�

�� � ��� f �� ��!#��� �� !��� *

) f ��!#��� 9�� �� ������ �� �����=%

x∂f

∂x�x, y� � y

∂f

∂y�x, y� � x ��xy� � y

��x� − �y�

��

� �x�y − �y� � ���x�y − y�

�� �f �x, y�

�� � ��� f �� ��!#��� �� !��� *

* ∂f∂x

�� ��!#���%

∂f

∂x�tx, ty� � � �tx� �ty� � �t�xy � t��xy � t�

∂f

∂x�x, y�

��$ ������ ��� ∂f∂x

�� ��!#��� �� !��� )

+ ∂f∂y

�� ��!#���%

∂f

∂y�tx, ty� � � �tx�� − � �ty�� � t�

��x� − �y�

�� t�

∂f

∂y�x, y�

��$ ������ ��� ∂f∂x

�� ��!#��� �� !��� )

2 "������� )%

x�f�,y

x

� x�

������ yx−yx

��� x�

��y

x− y�

x�

��

� �x�y

x− x�y�

x�� �x�y − y� � f �x, y�

"� �� ���

y�f

�x

y, �

�� y�

�x

y

���− ����

� y���x�

y�− ���

� �x�y�

y�− y� � �x�y − y� � f �x, y�

����� � � +� ������� �� �������� * ���� �� �������

f �x, y� � �x�y − y�

6�