Upload
cashimingo
View
218
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Notas par un curso de Cálculo Multivariable
Citation preview
���������� � �� ������� �� ���� �������
������� ���� �� ����������
��� � ��������
��������
��� � � �� ���� ���� �� ��� ��
��� ������
�� ��������� ��
��� ������� �� �������� ��� �������� �� ��� ��� �������! ��� �"�����#
���� A �� �� �����$�� �� ���� l#A �l� � l�
%���� �� �&�� � �� ��� ����� � ��� �������� ������� x ������ �� �� ��� �� �����p '"�#
I �x� � p � x
(���! � ���� ! � ���� ��� ������ �$ ������� ���� �� ���� �� ��������) � *! ���� ���� ��'�� ������� ��� �������� �� �$ �� ��� �������#
+� $��� �� �� ����$�&��� ��,� �� � � b , ��,� ������ � h#
A �b, h� � b � h
-� �&�� � �� ��� ����� � ��� ������� x� � x� ������ �� �� ���� � ���� ! ��,� �� ������ ����� �� p� , p�#
I �x�, x�� � p� � x� � p� � x�
-� ����� �� �������� �� �����.��&�� ! ��� �� ���� �� ������ �������� �� ������� x ������ �� �����"� � y ������ �� ������! ����� C , a �� �� ��� ����� '"� ���� ��� � < a < �#
f �x, y� � C � xa � y�−a
+� �� ����! �� �� �������� �� �� ��� �������� �$ �� ��� ��������* ��� /�������0 ������������! � ���� ��� ��'�� ������� ��� �������� �� �$ �� ��� �������)
��� �� �������� Rn
-������ R �� ���"���� �� � ���� ����� ) +� ���"���� �� ���� �� ������ �x�, x�� ��� x�! x������ �� ��������� R�! � ����! � �� �������� ����� ���
R� � R×R � {�x�, x�� � x� ∈ R, x� ∈ R}
�
+� &������! �� ���"���� �� n����� �x�, . . . , xn� ��� x�, . . . , x� ����� �� ��������� Rn! � ����! ���������� ����� ���
Rn � R× . . .×R � {�x�, . . . , xn� � x� ∈ R, . . . , xn ∈ R}
��� ���� ���� �� ��� �� ��� �����
���� � �� /%���� �� ���� ������� 0 ��� D �� �������� �� Rn �� � ���� �x�, . . . , xn� ∈ D
�� ��������� �� ���� ����� ����f �x�, . . . , xn�
�� ���� ��� f �� ��� ������� �� ��� ��������� x�, . . . , xn
��� ��� � ��� �������� �������� ������������
A �b, h� � b � h
I �x�, x�� � p� � x� � p� � x�f �x, y� � C � xa � y�−a
�� �������� �� �� ���������
���� � �� � /.���� , ��������0 �� ����� D �� �� ��������� ������� �� ����� ������ ��f � � �� ����� �� ������ f �x�, . . . , xn� ������������� � ���� ����� �� ����� ������ �� f
��� ��� ! f �x, y� � x� � y�
�� ������� f ���� ������� ���� �� �x, y� ∈ R� � �� ���� �� ����� �� f �� D � R�
�� f ����� ����� �� ��������� ���� � ��!����� �� ������� �� R � {z ∈ R � z ≥ �}
f �x, y� � �xy
"��� ��� �� ������� f ���# ������� �� �������� ���
xy > �
������� �x > �y > �
����
�x < �y < �
��$ �� ����� �� f ���� �� ��!������ �����
� �� ������� �� R � R
�
"������� �� # �� f � g �� �������� �� n ���������� �� ������
f � Rn → R � g � Rn → R
������� ��� ��!������ ��������� �� ��� ��!�� � ������ �������� �� n ���������%
���� , ��������#
�f ± g� �x�, . . . , xn� � f �x�, . . . , xn�± g �x�, . . . , xn�
(�������#�fg� �x�, . . . , xn� � f �x�, . . . , xn� g �x�, . . . , xn�
�������#
� g �x�, . . . , xn� � � ������� �f
g
��x�, . . . , xn� �
f �x�, . . . , xn�
g �x�, . . . , xn�
�!� $���������� �� %����� �� ��� ���� �� �� ��� �� ��� ������
���� � �� & /1�$'�� � &����0 �� � ��� �� ��� ������� �� n ��������� x�, . . . , xn �� �� ������� ����� �x�, . . . , xn, z� ∈ Rn�� ��� ����������
z � f �x�, . . . , xn�
�� �x�, . . . , xn� �� �� ����� �� f
-� ����������� &���2���� �� �� &�$'�� � �� &�����#(��� n � �) -� &�$'�� �� ��� ����� f � R→ R �� &������ �� ����� �x, y� ���� ��� y � f �x�
, � ����� ����� ����� ���� ��� ����� �� R�#
(��� n � �) -� &�$'�� �� ��� ����� f � R� → R �� &������ �� ����� �x, y, z� ���� ���z � f �x, y� , � ����� ����� ����� ���� ��� ����'�� �� R�#
3
(��� n ≥ �) -� &�$'�� �� ��� ����� f � Rn → R �� &������ �� ����� �x�, . . . , xn, z� ���� ��� z � f �x�, . . . , xn� , �� �� ��� ��� ����� ������� �� ����� �������� ���� �� ����� ,� ������� ���*��� �� ������ �� ����� ����� ���"���� ����! �� ���� ! ������ �"� ���������� ! � ���� �� R�)
4� �������� ��� ��������� ��� ����� �������� ������� )
�#� ��������� �� � ���
-� ���"���� �� ���� �� ��� ����� f �� ����� �� ����� �x�, . . . , xn� ��� ����� ��� ������� � �� ����� �� f )
+� ���"���� �� ���� k �� �� ����� f � Rn → R � ��'�� ����#
Uk � {�x�, . . . , xn� ∈ Rn � f �x�, . . . , xn� � k}
+� ����� �� k ���� � ��� �� �� �������� �� �� �����! ,� ��� �� ���� �� �! �� ���"���� �� ���� k!Uk! ��$ �� ���"���� ���*�)
� n � � � �� ���"���� �� ���� �� ��������� ������ �� � ���)� n � � � �� ���"���� �� ���� �� ��������� ������� �� �� � ���)
��� ��� ' ������ � • f �x, y� � x� � y�
&�������� ��� ������ �� ����� '� (� )� *� +� �� f
�� f �x, y� � � ������� x� � y� � � �� �� ����� x � y � �
�� f �x, y� � k ������� x� � y� � k ��� �� ��� �������������� �� ����√k
�� �������� �� �� !����� �� �� ��!������%
5
• f �x, y, z� � x
&�������� ��� ���������� �� ����� '� (� ) � * �� f
�� f �x, y, z� � k ������� x � k ��� �� �� ���� ��������
��&��� �"����� ������� �� ����� �� ���� ��#
�) ��������# .� ����� �� ����� ���� �� ����'�� ��� ����� �� � �� ��� � ���� �2���)
�) (���� ����%������# .� ����� �� ����� ���� �� ����'�� ����� ��� ��� � �$� � �� � �������� ���� �� ���� ��� ���)
6
�&� )� ���
7��� � ������ �� �������� �� �*��� �� ����� ������) (��� ��� ����� f �� ��� �������!����� ���
� ��x�→a
f �x� � L
�8 ��� �� �*��� ��� �� �����9� , ��� �� ������� �� x � a! , ����$ ������� ��� �� ����� ��L)
(��� ��� ����� f �� �� ������� ! ����� ���
� ���x,y��→�a,b�
f �x, y� � L
�8 ��� �� �*��� ��� :;.;� �� ����� �� ��� 9��� �� ����� �a, b�! , ����$ ������� ����� ����� �� L)
<
��� ��� * f �x, y� �
�x� y �� �x, y� � ��, ��� �� �x, y� � ��, ��
� ���x,y� �→��,��
f �x, y� � �
�,���� �� �$����
f �x, y� �
�x� y �� x � y
� �� x � y
- � ���x,y��→��,��
f �x, y� .
�� �� �������� �� �� ����� y � x ������� �� �$���� �� ���� � �� �� �������� ����� ������ �� ������ y � �� ������� �� ���� � �� ���� �$����� � ��������� �������� �,���� �� �$����
-� &���������� ��� �*��� ���� ������� �� n ������� � �������#
���� � �� + "��� ��� ������� f �� n ���������� ������ ���
� ���x�,...,xn� �→�a�,...,an�
f �x�, . . . , xn� � L
�� �,����� �� �$����� �� /010� �� ������ ������� ����� �� ���� �a�, . . . , an�� � ������ ���������� �� ���� �� L
"������� �� /(�������� 0���� f � g �������� ����� ��� � ��
�x,y��→�a,b�f �x, y� � F � � ��
�x,y� �→�a,b�g �x, y� � G �������%
( � ���x,y� �→�a,b�
�f ± g� �x, y� � � ���x,y��→�a,b�
�f �x, y�± g �x, y�� � F ±G
) � ���x,y� �→�a,b�
�f � g� �x, y� � � ���x,y� �→�a,b�
�f �x, y� � g �x, y�� � F �G
* �� G � �� � ���x,y� �→�a,b�
�f
g
��x, y� � � ��
�x,y� �→�a,b�
�f �x, y�
g �x, y�
��
F
G
+ � ���x,y� �→�a,b�
ef�x,y� � e��
�x,y��→�a,b�f�x,y�
2 � ���x,y� �→�a,b�
� f �x, y� � � � ���x,y� �→�a,b�
f �x, y�
����� � � � 3���� �� ��� ���������� ��������� ���� ��������
� ���x,y,z��→��,�,��
ex�y�z
x� � y� � z� � �
�'� ���� �� ���
���� � �� � 3�� ������� f � Rn → R �� ������� �� �� ���� �a�, . . . , an� ��
� ���x�,...,xn� �→�a�,...,an�
f �x�, . . . , xn� � f �a�, . . . , an�
1����� ����������� ��� f �� ������� �� � �� ���� �� ���� �� �� ����� 4�������������� f ��������� �� �a�, . . . , an� �� �� !����� � ����� ������ �!����� ��$������
=
��� ��� ! -�� �������� ��������
f �x, y� �
�x� y �� �x, y� � ��, ��� �� �x, y� � ��, ��
�� ��, ��.
f �x, y� �
�x� y �� x � y
� �� x � y�� ��, ��.
f �x, y, z� �ex�y�z
x� � y� � z� � ��� ��, �, ��.
"������� �� # /(�������� 0 �� f � Rn → R � g � Rn → R �� �������� �������� �� �a�, . . . , an��� h � R→ R �� ��� ������� ������� �� f �a�, . . . , an�� �������
f � g �� ������� �� �a�, . . . , an�
f � g �� ������� �� �a�, . . . , an�
�� g �a�, . . . , an� � � �������f
g�� ������� �a�, . . . , an�
�� ��������� h ◦ f �� ������� �� �a�, . . . , an�
"������� �� & ��� �������� ����������� ��������� ��� ��������� � �� ����� � �����5����� �� ����� �� �,����������� �!������� ��� �� ��������
��� ��� ' -�� ������� f �x, y� �ex�y�z
x��� � �� �xy�xy � �
�� ��, ��.
�,� ��� ���� �� ���� ��
��� ��� , 1�������� � ������������ ����$��������� �� ������ D �� ��� ��!������� ��������%
( f �x, y� � ��xy � x�
�
/����� ���D �
��x, y� ∈ R� � xy � x� > �
��
���x, y� ∈ R� � x > �, y � x > �
�∪��x, y� ∈ R� � x < �, y � x < �
�
6�$ �� ����� �� �� �����
>
) f �x, y� � exy
/����� ���D �
��x, y� ∈ R� � y � �
�
6�$ �� ����� ��
* f �x, y, z� � �x� �y� − ����xy � � /����� ���
D � R�
�� ��� f ���� ������� ���� �� ���� �x, y, z�
��� ��� * 1�������� ��!��� ������ �� �����
( f �x, y� � xy
/����� ���Uk �
��x, y� ∈ R� � xy � k
�
6�$� ��� ������ �� ����� �������� y � k �x
���� ���� k
) f �x, y� � x� y
/����� ���Uk �
��x, y� ∈ R� � x� y � k
�
6�$� ��� ������ �� ����� �������� y � k − x ���� ���� k
�
��� ��� �+ ����������� �� ���������� �� ��!���� ��������
( f �x, y� �
�x�−y�x��y�
�� �x, y� � ��, ��� �� �x, y� � ��, ��
"��� �� �x, y� � ��, �� ������ ��� f �� ��� ������� ������� ��� ��������� � �� �������� � ��� f �� ������� �� ��������� ���� �x, y� � ��, �� -7�# ���� �� ��, ��.
8� ���,������� �� �� ������ ���������
�� ����� x � �
��� ����� y � �
6�$
� ���x,y��→��,�� x��
f �x, y� � � ���x,y��→��,�� x��
x� − y�
x� � y�� � ��y �→�
�� − y�
�� � y�� −�
� ���x,y� �→��,�� y��
f �x, y� � � ���x,y��→��,�� y��
x� − y�
x� � y�� � ��x�→�
x� − ��x� � ��
� �
� �� ���� �� �$����� �� ��������� ������� � �,����
� ���x,y��→��,��
f �x, y�
� �� ���� � ����� ��� ������� �� ��, ��
9�� ������ �������� �� �$���� �� ���� ��� ������ y � λx � �� �� %
� ���x,y��→��,�� y�λx
f �x, y� � � ���x,y� �→��,�� y�λx
x� − λ�x�
x� � λ�x�� � ��x�→�
x���− λ�
�
x��� � λ�
� ��− λ�
� � λ�
� �� ������� �� �� ��������� λ� ������� f � �� ������� �� ��, ��
) f �x, y� �
�xy �� �x, y� � ��, ��� �� �x, y� � ��, ��
"��� �� ����� �x, y� � ��, �� �� ������� f �� �� ������ �� ��� ��������� x � y� � �� ����f �� ������� ���� ���� ����� �� �� ���� �x, y� � ��, �� �� ������� f ����� �$����
� ���x,y��→��,��
f �x, y� � � ���x,y��→��,��
xy � �
� ��f ��, �� � �
��
�������� ��
�x,y��→��,��f �x, y� � � � � � f ��, ��
� �� � ���� f � �� ������� �� ��, ��
* f �x, y� � ex��y� � x�y � �
��
h �x� � ex
g� �x, y� � x� � y�
g� �x, y� � x�y
g� �x, y� � �
�� �������� �� �� ���� �� ��� ������ �
f � �h ◦ g�� � g� � g�
������� �� ��� ���������� ���������� �� ������� f �� ������� �� �� �� ����� R�
��
�������� �
��� ��� � ��� - � ������ �� � ����
��� ��� ����� ���� ����
(����� ���&������� ��� ���*� �� ����� ������ ��� ��� ������� ����������� ����������� ��� ����� �� ���$ ! � ��� ��� ���*� �� ����� �� ������ �� ��� ������)
(��� �� ������ � � �� ���&���� ���� ���� �8������ �� �������� �� ��� ���� � ������� ������ ������� )
-� �8��� � ��� ��� ������� 9��� ��� ���� ������� �� ���� ������� �� �8 �� ��� ����������! �� ���� )
���� � �� � /.������ ������� 0# ��� f � R� → R ��� ������� �� �� ��������� 1����� ��� ���������� ������� �� f �� ������� �� x �� �� ���� �x, y� �� �� �������
fx �x, y� � � ��h�→�
f �x� h, y�− f �x, y�
h
������� ��� �,���� �� �$����
���� � �� �� 1� �!��� ������ ����� ������ �� �������� ������� �� f �� ������� �� y �� ������ �x, y� �� �� �������
fy �x, y� � � ��h �→�
f �x, y � h�− f �x, y�
h
������� ��� �,���� �� �$����
.���� �� �� fx �∂f
∂xfy �
∂f
∂y
���� � �� �! /.������ ������� � ���� � ������� 0# ��� f � Rn → R ��� ������� �� ��� ����������x�, . . . , xn� 1����� ��� �� �������� ������� �� f �� ������� �� xk �� �� ���� �x�, . . . , xn� �� ���������
fxk �x�, . . . , xn� �∂f
∂xk�x�, . . . , xn� � � ��
h �→�f �x�, . . . , xk � h, . . . , xn�− f �x�, . . . , xn�
h
������� ��� �,���� �� �$����
��
���� ����������� �� %�� /�� �� ���� � � ��
-� ������� ������ fx �� �� ����� �x�, y�� ����� ���� �� ���&���� /��������0 �� �� �����
h �x� � f �x, y��
�� �� ����� x�)+ ����! � ���� ����$���� �� ����'�� z � f �x, y� /�� ��&��0 ��� �� ����� y � y� /�� �����0
, �� �������� �� �� ����� ���&���� �� x� /�� ����0 �� �� ����� ���� ���� /�� ��"�0 � �� ������������� �� f �� ����� �� x �� �x�, y��)
-� ����������� &���2���� �� �� fy � ��$��&�! ������������ �� ����� �� x � y);� ���� �� ���"�
�3
��� ��� �# 3���� ��� �� ��������� ���� � �������� ��� ��������� ��������� ��
f �x, y� � �x� x�y� � �
�� ������∂f
∂x�x, y� � � ��
h→�� �x� h� � �x� h�� y� � �− �x− x�y� − �
h�
� � ��h→�
�h� �xhy� � h�y�
h� � ��h→�
� � �xy� � hy� � �� �xy�
� �� �� ���∂f
∂y�x, y� � � ��
h→��x� x� �y � h�� � �− �x− x�y� − �
h�
� � ��h→�
�hx�y � x�h�
h� � ��h→�
�x�y � x�h � �x�y
"������� �� �& ����� ��������� ��������� ������� ��� ������ ��!��� �� ���������� ���������� ������ �������� �� ��� ��������� ���������� �� �������� ������� � �� ��� ������� ������� �� ������� �������� �� �� �������� � ��� ����� ��������� �� �� ������ ���������
��� ��� �' 3���� ��� ����� ��!��� �� ��������� ���� � �������� ��� ��������� ��������� ��%
f �x, y� � ��x� y�−�
/����� ���fx �x, y� � −� ��x� y�−� � � � −� ��x� y�−�
� ������fy �x, y� � −� ��x� y�−� � � � −� ��x� y�−�
f �x, y, z� � exy �� �yz�fx �x, y, z� � exy �� �yz� � y
fy �x, y, z� � xexy �� �yz�− exy ��� �yz� � zfz �x, y, z� � −exy ��� �yz� � y
���� ��� ����� �� ����� ����� ��
?�� ��� ��� 9��� ��������� ��&��� ������� ������ �� z � f �x, y�! � �� � ! ∂f∂x�x, y� � ∂f
∂y�x, y�
������ ������ � �������� �� ������� ������� �� � �� ������� / ����� ��� �8 ���0) .� � �������� � ����� ��
f �x, y�
��������� �� ������� ������ �� f !
∂f∂x�x, y� ∂f
∂y�x, y�
, � ����� �� � �� ! ���������� � ������� ������� �������� �� ��� ����� ���� ���� �� ������ � ��� ����� ���� ���� ��%����� �� f !
∂�∂f∂x�∂x
�x, y�∂� ∂f∂x�∂y
�x, y�
∂∂f∂y
∂x�x, y�
∂∂f∂y
∂y�x, y�
�5
.���� �� �, "��� ���������� �� ������� ���������
fxx �x, y� �∂�f∂x�
�x, y� �∂� ∂f∂x�∂x
�x, y�
fxy �x, y� �∂�f∂y∂x
�x, y� �∂� ∂f∂x�∂y
�x, y�
fyx �x, y� �∂�f∂x∂y
�x, y� �∂∂f∂y
∂x�x, y�
fyy �x, y� �∂�f∂y�
�x, y� �∂∂f∂y
∂y�x, y�
�� !������� �� �������� �� ���� m
fxixj ...xk �x�, . . . , xn� �∂mf
∂xk . . . ∂xj∂xi�x�, . . . , xn� �
∂∂m−�f∂xk...∂xj
∂xk�x�, . . . , xn�
��� ��� �* :��� � �������� ��� ��������� ��������� �� ���� ) ��
f �x, y� � ��x� y�−�
;� ��������� ������������ ���
fx �x, y� � −� ��x� y�−� fy �x, y� � −� ��x� y�−�
"� � ����
fxx �x, y� � �� ��x� y�−� � � � �� ��x� y�−�
fxy �x, y� � �� ��x� y�−�
fyx �x, y� � �� ��x� y�−� � � � �� ��x� y�−�
fyy �x, y� � �� ��x� y�−�
���������� �� -�� ��� ���������� ��� fxy �x, y� � fyx �x, y� � �� ��x� y�−�.
0���� � � 9���<�� = ��� f � R� → R ��� ������� ��� ��� ∂f∂x
� ∂f∂y
� ∂�f∂y∂x
�,����� �� �� ����� ���
���� �a, b� � �� ������� ∂�f∂y∂x
�� ������� �� �a, b�� ������� �,���� ∂�f∂x∂y
� �� ������� ���
∂�f
∂y∂x�a, b� �
∂�f
∂x∂y�a, b�
"������� �� �� �� ������ �� ���<�� �� ����� ���� ��������� ����� �� ��������� � ���� ������������� �� �� �������� �������� ������� ��� �� ��������� ��� ���������� �� ��� ����� �� ��������� ���5������ ��!����� �� ��� �������� ������� 6�$ ����� �����
fxyzx � fxxyz � fyzxx � fxzxy � � � �"������� �� �� �� ������ �� ���� � >��� ?������ 6������ ���<�� 9(@+*5(A)(=
�6
���� 1��� ����
���� � �� �! 9B��������= ��� z � f �x�, . . . , xn� ��� ������� ��� ��� �,���� ∂f∂xi
���� �� i ��, . . . , n �� ����� �������� �� f �� �x�, . . . , xn� �� �����
∇f �x�, . . . , xn� ��∂f
∂x��x�, . . . , xn� , . . . ,
∂f
∂xn�x�, . . . , xn�
�
��!� 2��� ���
���� � �� �# 9?������ ����� ��������= ��� z � f �x�, . . . , xn� ��� ������� ��� ��� ����� ������� ��������� ��������� ����� �� ���� ) �������� ������� �� ���� ��� �� ���� �������� �������� �� f �� �x � �x�, . . . , xn� �� �� �����
Hf ��x� �
∂�f
∂x����x� ∂�f
∂x�∂x���x� � � � ∂�f
∂xn∂x���x�
∂�f∂x�∂x�
��x� ∂�f
∂x����x� � � � ∂�f
∂xn∂x���x�
∂�f∂x�∂xn
��x� ∂�f∂x�∂xn
��x� � � � ∂�f∂x�n
��x�
"������� �� �& ��!�� �� ��������� �� �������� �� ��� ��������� ��������� ����� �� ���� ) ����������� ������� ����� ������� �� ������ �� ���<�� � ��$ ������ ���
∂�f
∂xi∂xj��x� �
∂�f
∂xj∂xi��x�
� �� ���� �� ����� �������� �� ���#�����
"������� �� �' ���� ����� ����� �� ����� ��� ��������� ������ ������ ���� ���� 9(@((5 (@C+=
�<
��� ��� �, ��� f �x, y� � x� ��� ��y�� ���� � �������� ∇f��, π�
�� Hf
��, π�
�
"����� ��������� ��� ��������� ��������� ��������
fx �x, y� � �x ��� ��y�
fy �x, y� � �x� �� ��y�
�� � ���∇f �x, y� �
��x ��� ��y� , �x� �� ��y�
�
"���� ���� �������� ��� ��������� ��������� ��!�����
fxx �x, y� � � ��� ��y� fxy �x, y� � �x �� ��y�
fyx �x, y� � �x �� ��y� fyy �x, y� � −�x� ��� ��y�
�� � ���
Hf �x, y� �
�� ��� ��y� �x �� ��y��x �� ��y� −�x� ��� ��y�
�
; ����������� �� �� ������, π�
������� ���
∇f�,π
�
�� � � ���
�π
�
, � � �� ��
�π
�
� ��,−��
� ������
Hf�,π
�
�
�� ���
��π��
� � � ����π��
� � � ����π��−� � �� ���
����
�� −�−� �
�
��#� ��� ����� � ���� ������
@��� � �� ��� �� ������� ������ fx ��� �� ������ �� f ������ �� ������ ��� �� �����y � cte) (��� ���� �� ������ �� f �� ���� ������ ��������� ���� ���� �� �������� �� ����������������)
�=
"������� �� �* -��� �������� �� ����� �� ����� ( �� �� ����� ��������� ��� �� ���.���������� �� ����� v � �x, y� �� ���� ��������� �� ������ ����� ��� ���$� �� ������� f
��������� �� �����u �
v
�v����� �v� �
�x� � y� �� �� ����� �� v 6�$ �� ����� u ����� ��!���� �!��� � ( �� ���
�u� �����
v
�v�
���� ��
�v� �v� � �
��������� ����� u ��� ��� �u� � � �� ��������� �������
���� � �� !+ 91������� ����������= ��� z � f �x, y� � ��� u � �u�, u�� �� ����� ������� ���������� ���������� �� f �� �� ��������� �� u �� �� ���� �x, y� �� ����� ��
Duf �x, y� � � ��t�→�
f �x� tu�, y � tu��− f �x, y�
t
������� ��� �,���� ���� �$����
���� � �� ! 91������� ���������� 5 n ���������= ��� z � f �x�, . . . , xn� � ��� u � �u�, . . . , un� ������� ������� �� �������� ���������� �� f �� �� ��������� �� u �� �� ���� �x�, . . . , xn� �� �������
Duf �x�, . . . , xn� � � ��t�→�
f �x� � tu�, . . . , xn � tun�− f �x�, . . . , xn�
t
������� ��� �,���� ���� �$����
��� ��� !� �������� �� �������� �� f �x, y� � ex�y �� �� ��������� ��� ����� u � ��, �� �� �� �����x, y� � ��, �� -�,���� �� �������� ���������� �� f �� ��������� ���� �x, y� � �� ��������� ���������u.
�� �� ����� ��� ����� u ��
�u� ���� � �� �
√� � �
������� u � �� ������� ��������� �� ����� �u � u�u� �
�√�, �√
�
��� �� ������� "� � ����
D�uf ��, �� � � ��t�→�
f� � t �√
�, � � t �√
�
− f ��, ��
t�
�>
� � ��t �→�
et �√
��t �√
� − �t
� � ��t �→�
et
�√�
− �t
� �D?����� �
� � ��t �→�
�√�et
�√�� �√
�
��
�√�
"��� �������� �� ��!���� ���!����� ����!��� ��� u � �u�, u�� �� ��������� ����� ������� ��5�����
Duf �x, y� � � ��t�→�
f �x� tu�, y � tu��− f �x, y�
t� � ��t�→�
e�x�tu��y�tu�� − ex�y
t�
� � ��t�→�
ex�y�et�u��u�� − �
�
t� ex�y � ��
t�→�
�et�u��u�� − �
�
t� �D?����� �
� ex�y � ��t�→�
�u� � u�� et�u��u��
�� ex�y �u� � u��
��� �,���� ���� �� ���� �x, y� � ��� ��������� u � �u�, u��
��&� $���� �� ����� ���� �� ��� - ��� ��� � ���
+��������� ��� ���������� �� �8 ����� �� ������� ������� ! ����� ��� �� 9�, ��&��������� ����� 2 �� , �� ���������)
��� ��� !� E������ ������� � ��������� �� �� ���� ��� f �x, y� � |x|� |y|� ��� �� ������� �� ��, �� �� ��� � ��
�x,y� �→��,��|x|� |y| � �� ��� �� ����� ���
∂f
∂x��, �� � � ��
h→�f �� � h, ��− f ��, ��
h� � ��h→�
|h|h�
��� �� h > �−� �� h < �
�� � ��� � �,���� �� �$���� � �� ���� � �,���� �� �������� ������� ∂f∂x
�� �� ���� ��, �� 1� �!���
�� �� ��������� ��� � �,���� ∂f∂y��, ��
f ������� � f ����������� !����� �� f ��%
��
��� ��� !! E������ ��������� � � ������� �� �� ����
��� f �x, y� �
�� �� xy � �� �� xy � � ��� � �� ������� �� ��, ��� ���
∂f
∂x��, �� � � ��
h→�f �� � h, ��− f ��, ��
h� � ��h→�
�− �h
� �
∂f
∂y��, �� � � ��
h→�f ��, � � h�− f ��, ��
h� � ��h→�
�− �h
� �
�� ���� �$����� �,������ ������� �,����� ∂f∂x��, �� � ∂f
∂y��, ��
f ��������� � f ��������� !����� �� f ��%
����� � � !# 1������� ���,����� �� ��� �������� x � λy� ��� � �� ������� �� ��, �� ��
������� f �x, y� �
�xy�
x��y� �� �x, y� � ��, ��� �� �x, y� � ��, ��
-"��� ��# ���������� v � �v�, v�� ��������� �,���� ��
�������� ���������� �� f �� ��, ��.
����� � � !& "��� ��� �������� f �x, y� � xexy � h �x, y, z� � xez � y �� �x� z�� �������� ∇f � ∇h�
Hf � Hh� hxyz� hyxz� hyzx� hxzy� hxzy� hzxy � hzyx
��'� � ������ �� � ���
��'�� � ������ �� �� ��� ���� �� �� ��� ��� ����
+� �� �� � �� ��� ����� �� ��� ��� ����! � ����� ��'�� �� ��������� �� f �� �� ����� x�
dfx� �x� � f ′ �x�� �x− x��
� ���������������! ������� △x � �x− x�� �������
dfx� �x� � f ′ �x��△x
-� ��������� dfx� ! �& � � �� ��'���! �8 �� , �� �8 �� �� ������� f ′ �x��! ��� �� ��� ������ ������� �� ��� ������� �� �������� �� ���������� ������ ��� �� �������������)
.��������� A .������������
��
+ �� ����� ����8�� �� ������� △y � f �x�− f �x�� ������ x � x� � �$� ��8�� #
��� ��� !' �� f �x� � x� � � x� ���� � ���,���� �� ���� �� f ��′��� �������� �� ����������� 8� ������ �� �� ���� x � � ��� ���� ������ � x � �′�� "� �� ���������
df��� �x� � f ′ ��� �x− �� ���x�
�
x
�
x��
�x− �� � � �x− ��
� �������df���
��′��
�� �
��′��− �
�� �′��
1� ���� ������� ��df���
��′��
�≈ △y � f
��′��
�− f ���
�������f��′��
�≈ f ��� � df���
��′��
�� � � �′�� � �′��
��'��� � ������ �� �� ��� ���� �� �� ��� �� ��� �����
7��� � ��� ���� �� � �� �������� ���� ������� �� �� ������� z � f �x, y� �� �� ������x�, y��)
������������ x� 9� �� �� ����� x� �△x! ��� ������� f ���� ��� ����� �� ��� �������! � *
�x�, y�� −→ �x� �△x, y��
��� �� ��� ��� ����8���� ��$
△f � f �x� �△x, y��− f �x�, y�� ≈∂f
∂x�x�, y�� �x− x��
� 9����� �� � �� ������������ y� 9� �� �� ����� y� �△y!
�x�, y�� −→ �x�, y� �△y�
�������
△f � f �x�, y� �△y�− f �x�, y�� ≈∂f
∂y�x�, y�� �y − y��
��
-� ��� �� � �� �� ��������� ����� �� ��� ����� ����8���� ��△f � f �x� �△x, y� �△y�−f �x�, y��! ��� �� ��� ��'��� �� ��������� �� f �� �x�, y�� ����
df�x�,y�� �x, y� �∂f
∂x�x�, y�� �x− x�� �
∂f
∂y�x�, y�� �y − y��
+� ����� ��△f � f �x� �△x, y� �△y�−f �x�, y�� � ����� ����8��� ������� �� ����� df�x�,y�� �x, y�)
-� &���������� �� �� ��������� ���� ������� �� n ������� � ��$��&�) � �x� ��x��, . . . , x
�n
�
� �� ����� ��������� , �x � �x�, . . . , xn� � �� ������ �� ������� ! � ��'�� �� ��������� �� f ���x� ����
df�x� ��x� �∂f
∂x���x��
�x� − x��
�� . . .�
∂f
∂xn��x��
�xn − x�n
�
� ����
df�x� ��x� � ∇f ��x�� �
x� − x��)))
xn − x�n
��� ��� !, �������� �� ����������� �� f �x, y� ��
xy�� �� ���� ��, �� � ���,���� �� ���� ��
��′���� �
���′�����′���
��� ��������� ��������� �� f ��∂f
∂x�x, y� �
−�x�y
� ������∂f
∂y�x, y� �
−�xy�
� ��� �� ��������
�� ��, ��� �������
∂f
∂x��, �� �
−��
∂f
∂y��, �� �
−��
� �� ����
df��,�� �x, y� �∂f
∂x��, �� �x− �� � ∂f
∂y��, �� �y − �� �
�−���x− �� � −�
��y − �� � −�
��x� y − ��
"��� ���,���� �� ���� �� ���′�����′��� � f ��′��, �′��� ����� ��� �� ����������� �� f �� ��, ��� ��$
df��,����′��, �′��
�≈ f
��′��, �′��
�− f ��, ��
��
� �� ����f��′��, �′��
�≈ df��,��
��′��, �′��
�� f ��, �� �
�−��
��′�� � �′��− �
���
�� −�′���� � �′�� � �′����
�� ���� ���� �� f ��′��, �′��� � �, ������� . . .
���� � �� !* 91����������������= 3�� ������� z � f �x, y� �� ������������� �� �x�, y�� ��
△z � f �x� �△x, y� �△y�− f �x�, y��
����� �,�������� �� �� ����
△z � ∂f
∂x�x�, y��△x�
∂f
∂y�x�, y��△y � ε�△x� ε�△y
���� ε�, ε� → � ����� �△x,△y� → ��, �� �� ������ f �� ������������� �� ����� ���,�������������� �� ����������� df�x�,y�� �x, y�
"������� �� #+ 9�������� ��������� �� �����������������= "� �� ��������� �������� ��� �������������������� f �� ����� ���,���� �������� �� ����������� df�x� ��x�� �� � ��� ������� ���� �,�����
df�x� ��x� � ∇f ��x�� � ��x− �x��������� �� �������� ��� �,���� ∇f ��x��� �� ������ ���� ��� f ��� ������������� �� �x� �� ����������� �,����� ���� ��� ��������� ��������� ∂f
∂x�� � ∂f
∂xn�� �� ���� �x�
0���� � # 9�������� ��������� �� �����������������= �� f � R� → R �� ��� ������� ��� ��� ∂f∂x
�∂f∂y
�� �������� �� �x�, y�� ������� f �� ������������� �� �x�, y��
0���� � #� �� f �� ��� ������� ������������� �� �x�, y�� ������� f �� ������� �� �x�, y��
@�, ��� �������� ��� �� �� �� ��� �� �8 ����� �� �� ������� ������� �� �� �����! ,� ������ ���
f �x, y� �
�� xy � �� xy � �
���*� ������� ������� �� ��, �� ���� f �� � ������� �� ��, ��) �� �� �� �������! ��� �� ��������������! f �� ����� �� ����������� �� ��, ��)
.��������� � .������������
-� ��������� �$��� �� �� &����� #
�3
��,� $���� �� ����� ��� ����� ���� ���� - ��� ���� � ���� ����
� f � R� → R � ��� ����� ����������� , �u � �u�, u�� ∈ R� � �� ������ ������! ������� ������ ���'��� �� �$����� �� �� ������� ���������
D�uf �x, y� � � ��h�→�
f �x� hu�, y � hu��− f �x, y�
h
����
D�uf �x, y� �∂f
∂x�x, y� � u� �
∂f
∂y�x, y� � u�
-� &���������� ���� n ������� � �������! f � Rn → R � ��� ����� ����������� ,�u � �u�, . . . , un� ∈ Rn ������� � ����� � ����
D�uf �x�, . . . , xn� � ∇f �x�, . . . , xn� • �u
����� �� *����� • ������ �� �������� � �����)��� �� ������ �������! ��������� �� ������� ���������� �� �� ������ �� �� �������
�u � ��, �� , �v � ��, �� �������� ���
D�uf �x, y� � ∇f �x, y� • �u �∂f
∂x�x, y� � � � ∂f
∂y�x, y� � � � ∂f
∂x�x, y�
D�vf �x, y� � ∇f �x, y� • �v �∂f
∂x�x, y� � � � ∂f
∂y�x, y� � � � ∂f
∂y�x, y�
��� �� ��� �� ������� ������� �� �� � ���������� �� ������� ���������� )
��� ��� #� �������� �� �������� �� f �x, y� � �x� − �y� �� �� ��������� �� �u � ��, �� �� �� ������, ��
�� ��u� �√�� � �� �
√� � � ������� �� ����� �u � �� ������� ��������� �v � �u
��u� ��√�, �√
�
��� �� ������� "� �� ���������
D�vf ��, �� � � ��h �→�
f� � h �√
�, � � h �√
�
− f ��, ��
h�
� � ��h �→�
�� � h �√
�
�− �
� � h �√
�
�− � � �� � � � ��
h�
� � ��h �→�
� � �h√�� �h�
� − h� − �h
� � ��h�→�
�√���h
�− h �
�√�
1� ��� ����� �� f �� �� ������� ������� �� ������������� � ������� �� ∇f �x, y� ���x,−�y� �� ����� ���
D�vf ��, �� � ∇f ��, �� •��√�,�√�
��
� ��, �� •��√�,�√�
�� �
�√�� �
�√��
�√�
�5
��*� 3��� ������ �� ��� ���� ���� � ������ �����
��� f ��� ����� ����������� �� �x � �x�, . . . , xn� ∈ Rn#
�) � ∇f ��x� � ��, . . . , �� ������� D�uf ��x� � � ���� ���� �u ∈ Rn)
�) -� ������ �� �$8�� ��������� �� f ���� ���� ��� �� ������ �� ∇f ��x�! , �� ������$8�� �� D�uf ��x� � �∇f ��x��)
3) -� ������ �� �$8�� ����������� �� f ���� ���� ��� �� ������ �� ∇f ��x�! , �� ������*��� �� D�uf ��x� � −�∇f ��x��)
-� ��������� � , 3 �� ��� ������� �� �� ������
D�uf ��x� � ∇f ��x� • �u � �∇f ��x�� � ��u� � �� θ
"������� �� #! �� ����� ∇f ��x� � ������ ����� �� ��,�� �� �� ������� f � ��� �� �� ����������� �� ��� f ����� ��� �����������
0���� � ## �� f �� ������������� �� �x�, y�� � ������ ∇f �x�, y�� � ��, �� ������� ∇f �x�, y�� ��������������� � �� ����� �� ����� ��� ���� �� �x�, y��
0���� � #& 9!������� �����= �� f �� ������������� �� �x�, . . . , xn� � ������ ∇f �x�, . . . , xn� ���, . . . , �� ������� ∇f �x�, . . . , xn� �� ������������� �� ����� �� ����� ��� ���� �� �x�, . . . , xn�
��� ��� #' �� �� ��������� ���� ���� �� ��������� �� �� ���� �� �� ���� ��, ��� � �� ��������������� �� ��������� ����� ���� ��
f �x, y� ��
�x� � y� � �
-?���� ����� ���� ����!���� ���� ��� �� ���� �������� �� ������ ��� �����������.
�6
�� �� ��������� �� ��,�� ���������� �� �� ����������� ����� ���� �� �� ��������� �� ∇f �������� �� ����� ������� �� ��������� �� −∇f ��, �� 6�$
∇f �x, y� �� −�x��x� � y� � ���
,−�y
��x� � y� � ���
�
� �������
∇f ��, �� ��−���
,−���
��
�−��,−���
�
"� � ���� �� ��������� ���� ������ �� �� ���������
−∇f ��, �� ���
�,�
��
�
��+� 3���� ���%���� � ��� ������� �
+� �� �� � �� ��� ����� f �� ��� �������! � �� ��� ��� ���� �� ����� ���&���� � �� �����y � f �x�
� * �� ������ �� �� ����� ���&���� ��$
y � f �a� � f ′ �a� �x− a�
:���2� ������ ��� ���� �� ����� ���&���� �� �� ����� � ��� ����'��) -� ����'�� ���������� ���� ����#
�) �����'�� �� ���� �� ��� ����� F �x, y, z�! � *
F �x, y, z� � c
� ��� ����'��)
�) 1�$'�� �� ��� ����� f �x, y�! � *z � f �x, y�
����� ���� ��� ����'��) (��� � ��� �&���� �� �! �������
F �x, y, z� � f �x, y�− z
������� �� ����'�� ��'��� ��� z � f �x, y� ��� ����� � � ���������� � �� ����'�� �� ����F �x, y, z� � �)
�<
.��� �� ����'�� �� ���� F �x, y, z� � c ��� F �����������! ���� � �������� �� ������ �������� ���&���� � F �x, y, z� � c �� �� ����� �x�, y�, z�� �� �� ����'��)
+ ��������� ��������� ��� �x�, y�, z�� ��������� � �� ����'��) ��� �x, y, z� �� ����� ��� ��������&���� �� ����! ������� �� ������
�x− x�, y − y�, z − z��
����2� ��������� �� ����� ���&����) (�� ���� ����! ���� ∇F �x�, y�, z�� � ������������ � �� �����'�� �� ���� F �x, y, z� � c �� �� ����� �x�, y�, z��! ������� ����2� ��$ ������������ �� ��������&���� �� �x�, y�, z��)
(�� ����� � ���� ��� ���'��� ���
∇F �x�, y�, z�� • �x− x�, y − y�, z − z�� � �
+ �� � Fx �x�, y�, z�� �x− x�� � Fy �x�, y�, z�� �y − y�� � Fz �x�, y�, z�� �z − z�� � �
��� � �� ������ ��� ����� ���&����)
+� �� �� � ��� F �x, y, z� � f �x, y�− z! ������� �� ������ �����
fx �x�, y�� �x− x�� � fy �x�, y�� �y − y��− �z − f �x�, y��� � �
"������� �� #, �������� �� �������� ��� ���� ���!����
�z − f �x�, y��� � fx �x�, y�� �x− x�� � fy �x�, y�� �y − y��
�� �� �,������� �� �� �����������
df�x�,y�� �x, y� � fx �x�, y�� �x− x�� � fy �x�, y�� �y − y��
���� ��� �� ���,������� ��f �x, y�− f �x�, y��
�������� �� ����������� �� ����������� � ���,����� �������� �� ���� ���!����
��� ��� #* �������� �� ���� ���!���� � ��� ����������%
�=
( x� � y� � z� � � �� �� �����,√�� ,
√��
�� ��������� ����� ���� �� �� ��������� �� ����� ( ��
F �x, y, z� � x� � y� � z�
�� �� ������� ��� F�,√�� ,
√��
� � ������� �� ����
�,√�� ,
√��
��������� � �� ���������
6����� �� ����� ���
Fx �x, y, z� � �x �⇒ Fx
�,√�� ,
√��
� �
Fy �x, y, z� � �y �⇒ Fy
�,√�� ,
√��
�√�
Fz �x, y, z� � �z �⇒ Fz
�,√�� ,
√��
�√�
"� � ����� ����������� ��� ������ ������� ��� �� �������� ��� ���� ���!���� �����
� � �x− �� �√�
�
y −√�
�
�
�√�
�
z −√�
�
�
� �
�� �����√�y �
√�z � �
) z � ex�y��� �� ���� ��, ��
�� ��������� ����� ���� �� ������� �� ) ��������� z � f �x, y� ����
f �x, y� � ex�y�
/����� ��� �������� �� ���� �� f ��, �� � e����� e� 6����� �� ����� ���
fx �x, y� � ex�y�
�⇒ fx ��, �� � e�
fy �x, y� � �yex�y� �⇒ fy ��, �� � �e
�
"� � ����� ����������� ��� ������ ������� ��� �� �������� ��� ���� ���!���� �����
e� � �x− �� � �e� �y − ��−�z − e�
�� �
�� �����e� �x� �y�− z � �e�
�>
�������� �
� ������ �� � ���4 ��� ��� �����
��� $�%�� �� �� ������
.��� ��� ����� f �x, y�! � ���� � ���� ��� �� ������� x � y �������� �� ���� ������� !��� �"�����! x �t� � y �s, t, r�) .� � �� ������ ������ � ��� ����� ��� �� �������� �� ������ ��f �& � ���*�� s! t! � r! � ����! ������� ������ f �� ����� �� s! t � r)
+� &������! ���� ��� ����� f �� ���� ������� ! � �� ��� ��� ���� ������� �������� ������ ! , � �� �&���� �� ��� ������� ! , � * ��� �������) (��� ����� �������� �� ������� ��f �� ����� �� �� ���� ������� �� �� ��� �������! ���� ���� ��� ��&�� ���� ����� 9������ ��&������! ���������������� �� �� ������� , �� � � ����)
+ �� ��&�� ��$ �� ��&�� �� �� ������)+ �������� �� ������ ��� ���������� �� ��&�� �� �� ������ ���� ��&��� �� � ���������� !
���� �� ����� �������� � ������������)
0���� � &+ ��� z � f �x, y� ��� ������� ������������� ��
x � x �t� y � y �t�
��� � �� �� � �������� ���������� �� t� ������� f �� ��� ������� ��������� ������� �� t ��
df
dt�t� �
∂f
∂x�x �t� , y �t�� � dx
dt�t� �
∂f
∂y�x �t� , y �t�� � dy
dt�t�
(��� �������� � �� ������ ���"��� �� &����� ��&����#
���� ����� ��� ��&���� ����� ���� �� ������� �� �� ����� �� � ������� �� ����� �� �� ��������� � �����9�) � * �� ��&���� ����� ���� �� &����� ������� #
��
@�, �� ����� ��� �� ��� � ���&� � �� ������� t) (��� ��������� �� ������ 9�, ��� ����������� ������� ��� ���������� ��� ���� ����� , ���� ���� �� ����� ��� ���&�� � �� ������� t)
(���� �����#z → x→ t
� * �������� �� �������� �� �� �������
∂z
∂x�x �t� , y �t�� � dx
dt�t�
��&���� �����#z → y → t
� * �������� �� �������� �� �� �������
∂z
∂y�x �t� , y �t�� � dy
dt�t�
-� ��� �� � �� �������� �� ��� �� ������
dz
dt�t� �
∂z
∂x�x �t� , y �t�� � dx
dt�t� �
∂z
∂y�x �t� , y �t�� � dy
dt�t�
� ��� �� ������ �������
df
dt�t� �
∂f
∂x�x �t� , y �t�� � dx
dt�t� �
∂f
∂y�x �t� , y �t�� � dy
dt�t�
��� ��� & �������� �� �������f �x, y� � x�y − y�
� ���� ��� ��������
�x � et
y � �� t� �� ���� �������� �� �������� �� f ������� �� t
df
dt�t� �
∂f
∂x�x �t� , y �t�� � dx
dt�t� �
∂f
∂y�x �t� , y �t�� � dy
dt�t� �
� ��x �t� y �t�� ��et��x �t�� − �y �t�
� �− ��� t� �
���et �� t
���et���e�t − � �� t
�� �− ��� t� �
� e�t �� �� t− ��� t� � � �� t ��� t
3�
0���� � &� ��� z � f �x, y� ��� ������� ������������� ��
x � x �s, t� y � y �s, t�
��� � �� �� � �������� ����� ��� �,����� ��� ��������� ��������� ∂x∂s
� ∂x∂t
� ∂y∂s
� ∂y∂t
� ������� ���
��������� ��������� ∂f∂s
� ∂f∂t
�,����� � ������ ����� ��
∂f
∂s�s, t� �
∂f
∂x�x �s, t� , y �s, t�� � ∂x
∂s�s, t� �
∂f
∂y�x �s, t� , y �s, t�� � ∂y
∂s�s, t�
∂f
∂t�s, t� �
∂f
∂x�x �s, t� , y �s, t�� � ∂x
∂t�s, t� �
∂f
∂y�x �s, t� , y �s, t�� � ∂y
∂t�s, t�
+� � ����� �� � �� ������ � �� &�����#
-� ����� ��� � ����� ����� ����� �� &����� ������� #
?������� � �� � ����� ������ ��������� �� ������ ���� �������� �����! � ���� ����� ����� ��� �������� ���� �� ������ �� ��� )
.��������� �� �� ������� �� ���� ����� ������ ��������� �� ������ ��������)
��� ��� &� "��� ���� �� ������ ������ ���
3�
∂z∂s�s, t, r� � ∂z
∂x�x �s, t� , y �r, t�� � ∂x
∂s�s, t�
∂z∂t�s, t, r� � ∂z
∂x�x �s, t� , y �r, t�� � ∂x
∂t�s, t� � ∂z
∂y�x �s, t� , y �r, t�� � ∂y
∂t�r, t�
∂z∂r�s, t, r� � ∂z
∂y�x �s, t� , y �rs, t�� � ∂y
∂r�r, t�
/����#�
�∂z∂s� ∂z
∂x� ∂x∂s� ∂z
∂y� ∂y∂s
∂z∂t� ∂z
∂x� ∂x∂u� dudt� ∂z
∂y� ∂y∂t
���� �������� �������� �� �� ���� �������������
��� ��� &! �������� �� �������f �x, y� � x� − y�ex
� ���� ��� �������� ����� x � st � y � s� � t� � �� �� ���� �������� ��� ��������� �� f ������� ��s � t
∂f
∂s�s, t� �
∂f
∂x�x �s, t� , y �s, t�� � ∂x
∂s�s, t� �
∂f
∂y�x �s, t� , y �s, t�� � ∂y
∂s�s, t� �
���x− y�ex
�� �t� � �−�yex� ��s� �
��st−
�s� � t� � �
��estt�
�−��s� � t� � �
�est��s
∂f
∂t�s, t� �
∂f
∂x�x �s, t� , y �s, t�� � ∂x
∂t�s, t� �
∂f
∂y�x �s, t� , y �s, t�� � ∂y
∂t�s, t� �
3�
���x− y�ex
�� �s� � �−�yex� ��t� �
��st−
�s� � t� � �
��ests�
�−��s� � t� � �
�est��t
����� � � &# ��� Y � F �K,L� ��� ������� �� ���������� ���� Y ���������� �� �������� ��5������� K �� ������� � L �� ����� �����!��� ���� � �� �� � �� ������� � �� ����� �������� ��������
�) B��� ���*� �� �������� ��� �� ����� ��� �����C
�) ������� � �� ������ �� �� �� � �� ��� F �� �� ����� �� �����.��&�� F �K,L� � AKaLb)
3) � Y � ��KL−√K −
√L! , ������ ��� K � t
� � � , L � �et�� ! �������� dY
dt���� t � �)
����� � � && ������� �� ���!���� � ��������� ��� �������� �� ∂f∂s
� ∂f∂t
����� f �x, y, z� �� x �s, t��y �s, t� � z �s, t�
����� � � &' �������� �� ���!���� � �������� ��� �������� �� ∂f∂s
� ∂f∂t
� ∂f∂r
����� f �x, y, z� ��x �s, t, r�� y �s, t, r� � z �s, t, r�
���� ����������� �� 0�-���
D�������� �� &����� ������� ���� ������� �� ��� �������#
0���� � &, ����!��� ��� f �x� �� ��������� n � � ����� �� �� �������� �� ��� ���������� x �x�� �������
f �x� � f �x�� � f ′ �x�� �x− x�� �f ′′ �x���
�x− x��� � � � ��
� � � �� f �n� �x��
n��x− x��
n �f �n��� �c�
�n� ����x− x��
n��
���� ����� ���� c ����� x � x�
+ �� �� ������� �� f � ������� .� ������� �� :�,��� �� f �� x�)+� �������
Pn �x� � f �x�� � f ′ �x�� �x− x�� � � � ��f �n� �x��
n��x− x��
n
� ����� (������ �� :�,��� �� f �� ����� n �� x�)+� �2����
Rn �x� �f �n��� �c�
�n� ����x− x��
n��
� ������� D� �� �� -�&���&� ��� �� ������� �� :�,��� �� f �� ����� n �� x�)+ �� ������� � ���� �� �����$��� �&�2 ����E :�,��� /�<>6 � �=3�0 , �� � �� � ���������
9� �� ��� �� �==� �� ������ F� ��9 -�� -�&���&� /1� ���� -�& -�&���&�! �=3< � �>�30 ������� �� � �����)
33
�) :�,��� F) -) -�&���&�
��� ��� &* �������� �� �������� �� /���� �� f �x� � ex �� ���� 2 �� �� ���� x� � � "����� ��������� ��� ��������� �� f %
f �x� � ex �⇒ f ��� � e� � �f ′ �x� � ex �⇒ f ′ ��� � e� � �
f ��� �x� � ex �⇒ f ��� ��� � e� � �
f ��� �x� � ex �⇒ f ��� �c� � ec
� � ���������� �� �� �������
f �x� � f ��� � f ′ ��� �x− �� � � � �� f ��� ���
���x− ��� � f ��� ���
���x− ��� �
� � � x�x�
��x�
��x�
���
x�
����ecx�
���
��� ��� '+ �������� �� ������ �� /���� �� f �x� � ��x �� ���� n �� �� ���� x� � � "����� ��������� ��� ��������� �� f %
f ′ �x� � �x
�⇒ f ′ ��� � �f ′′ �x� � −�
x��⇒ f ′′ ��� � −�
f ′′′ �x� � �x�
�⇒ f ′′′ ��� � �f ��� �x� � −�
x�⇒ f ��� ��� � −�
f �n� �x� � �−��n���n−���xn
�⇒ f �n� ��� � �−��n�� �n− ���
6�$ ������ ���
Pn �x� � f ��� � f ′ ��� �x− �� � f ′′ �����
�x− ��� � � � �� f �n� ���
n��x− ��n �
� � � �x− ��− ���x− ��� � �
��x− ��� − �
��x− ��� � � � �� �−��
n��
n�x− ��n
��� ��� ' 6��,���� �� ���� �� � ��′�� �������� �� ������� �� /���� �� ������� '� (� )�* � + ��������� �� �� ����� �������
0���� '% P� �x� � �
35
6�$���′��� f
��′��≈ P�
��′��� �
0���� (% P� �x� � x− � 6�$
���′��� f
��′��≈ P�
��′��� �′�− � � �′�
0���� )% P� �x� � �x− ��− �� �x− ��
� 6�$
���′��� f
��′��≈ P�
��′��� �′�− �
�
��′���� �′���
0���� *% P� �x� � �x− ��− �� �x− ��
� � �� �x− ��
� 6�$
���′��� f
��′��≈ P�
��′��� �′��� �
�
�
��′���� �′������ . . .
0���� +% P� �x� � �x− ��− �� �x− ��
� � �� �x− ��
� − �� �x− ��
� 6�$
���′��� f
��′��≈ P�
��′��� �′����� . . .− �
�
��′���� �′�������
�� ���� ���� �� � ��′�� � �, ����������� . . .
"������� �� '� �� �� ����� ������� � ��!�� �� ��������� ��� ������ �� /���� �� ���������
Pn �x� � Pn−� �x� �f �n� �x��
n��x− x��
n
+ �� ��� ��'�� �� �� ������� �� :�,��� ���� ������� �� ���� ������� ) (��� ���� �������� ��� ������� �� ������ �������� �� ������� ������� ) ����$ �� ������� �� :�,��� ��$ ��������� �� ���� ������� )
0���� � '� 9"����� �� /���� �� ���� (=����!��� ��� f �x, y� ����� ���� ��� ��������� ��������� �������� ����� �� ���� )� �������
��� �x�, y�� �� ����� ���
f �x, y� � f �x�, y�� �∂f
∂x�x�, y�� �x− x�� �
∂f
∂y�x�, y�� �y − y�� �R� �x, y�
� ���� �������� �� ������� 1������� �� /���� �� f �� ���� ( �� �x�, y�� 6�����
P� �x, y� � f �x�, y�� �∂f
∂x�x�, y�� �x− x�� �
∂f
∂y�x�, y�� �y − y��
�� �� "����� �� /���� �� f �� ���� ( �� �x�, y�� �
R� �x, y�
�� �� F��� �� ��!���!� ��� ���� ������� �� ��� ��������� ��������� ��!����� �� f �� �� ������� ���� ���� �� ��!���� ��� ��� �x, y� �� �x�, y��
-� ��'��� ���� �� �� � �� ��� ����� f &������ ��$#
36
0���� � '! 9"����� �� /���� �� ���� (=����!��� ��� f �x�, . . . , xn� ����� ���� ��� ��������� ��������� �������� ����� �� ���� )�
������� ����x��, . . . , x
�n
��� ����� ���
f �x�, . . . , xn� � f�x��, . . . , x
�n
��∇f
�x��, . . . , x
�n
�
x� − x��
xn − x�n
�R� �x�, . . . , xn�
� ���� �������� �� ������� 1������� �� /���� �� f �� ���� ( ���x��, . . . , x
�n
� 6�����
P� �x�, . . . , xn� � f�x��, . . . , x
�n
��∇f
�x��, . . . , x
�n
�
x� − x��
xn − x�n
�� �� "����� �� /���� �� f �� ���� ( ���x��, . . . , x
�n
��
R� �x�, . . . , xn�
�� �� F��� �� ��!���!� ��� ���� ������� �� ��� ��������� ��������� ��!����� �� f �� �� ����
��� ���� ���� �� ��!���� ��� ��� �x�, . . . , xn� ���x��, . . . , x
�n
�
"������� �� '# "��� ������ �� �������� �� /���� �� ���� ( ���� ������� �������� ������� ��������� ��������� ����� �� ���� )� ��� �� � ��� ������� �� ������ �� ������ �� /������ ����� ���������� �� �������� ��� �,����� ��� ��������� ��������� �� ���� ( �� �� ����� �������
�x��, . . . , x
�n
�
"������� �� '& �� ������ � ������������ ���� ���� �����#� �� �� ���� �� �������� ��/���� �� ���� )� �� ����� �� �� ��������� ���������� �� ���������� �� ��� ��������� �������������� �� ���� * ��� ���� ������ �� ������ �� /���� �� ���� ) �� ��������� �� �,�������� ����������� ��������� ����� �� ���� ) �� �� ����� ��
�x��, . . . , x
�n
�
0���� � '' 9"����� �� /���� �� ���� )=����!��� ��� f �x, y� ����� ���� ��� ��������� ��������� �������� ����� �� ���� *� �������
��� �x�, y�� �� ����� ���
f �x, y� � f �x�, y�� �∂f
∂x�x�, y�� �x− x�� �
∂f
∂y�x�, y�� �y − y���
��
�
�∂�f
∂x��x�, y�� �x− x��
� � �∂�f
∂x∂y�x�, y�� �x− x�� �y − y���
�∂�f
∂y��x�, y�� �y − y��
�
��R� �x, y�
� ���� �������� �� ������� 1������� �� /���� �� f �� ���� ) �� �x�, y�� 6�����
P� �x, y� � f �x�, y�� �∂f
∂x�x�, y�� �x− x�� �
∂f
∂y�x�, y�� �y − y���
��
�
�∂�f
∂x��x�, y�� �x− x��
� � �∂�f
∂x∂y�x�, y�� �x− x�� �y − y���
�∂�f
∂y��x�, y�� �y − y��
�
�
3<
�� �� "����� �� /���� �� f �� ���� ) �� �x�, y�� �
R� �x, y�
�� �� F��� �� ��!���!� ��� ���� ������� �� ��� ��������� ��������� �������� �� f �� �� ���� ������� ���� �� ��!���� ��� ��� �x, y� �� �x�, y��
-� ��'��� ���� �� �� � �� ��� ����� f &������ ��$#
0���� � ', 9"����� �� /���� �� ���� )=����!��� ��� f �x�, . . . , xn� ����� ���� ��� ��������� ��������� �������� ����� �� ���� *�
������� ����x��, . . . , x
�n
��� ����� ���
f �x�, . . . , xn� � f�x��, . . . , x
�n
��∇f
�x��, . . . , x
�n
��
x� − x��
xn − x�n
�
��
�
�x� − x��, . . . , xn − x�n
��Hf
�x��, . . . , x
�n
��
x� − x��
xn − x�n
�R� �x�, . . . , xn�
� ���� �������� �� ������� 1������� �� /���� �� f �� ���� ) ���x��, . . . , x
�n
�
6�����
P� �x�, . . . , xn� � f�x��, . . . , x
�n
��∇f
�x��, . . . , x
�n
�
x� − x��
xn − x�n
�
��
�
�x� − x��, . . . , xn − x�n
��Hf
�x��, . . . , x
�n
��
x� − x��
xn − x�n
�� �� "����� �� /���� �� f �� ���� ) ���x��, . . . , x
�n
��
R� �x�, . . . , xn�
�� �� F��� �� ��!���!� ��� ���� ������� �� ��� ��������� ��������� �������� �� f �� �� ���� ���
���� ���� �� ��!���� ��� ��� �x�, . . . , xn� ���x��, . . . , x
�n
�
��� ��� '* �������� �� ������� �� /���� �� ���� ( � ) �� �� ���� �x�, y�� � ��, �� ���� ���������� f �x, y� � ��� �x� �y�
"��� �������� �� ������ �� ���� ( P� �x, y� ���������� �� ���� �� f � �� ��� ����������������� �� �� ���� ��, ��� ��$
f ��, �� � �∂f∂x�x, y� � �� �x� �y� �⇒ ∂f
∂x��, �� � �
∂f∂y�x, y� � � �� �x� �y� �⇒ ∂f
∂y��, �� � �
�� � ����
P� �x, y� � f ��, �� �∂f
∂x��, �� �x− �� � ∂f
∂y��, �� �y − �� �
� � � � �x− �� � � �y − �� � x� �y
3=
"��� �������� �� ������ ��/���� �� ���� ) ���������� ��� ��������� ��!����� �� f �� ��, ��%
∂�f∂x�
�x, y� � − ��� �x� �y� �⇒ ∂�f∂x�
��, �� � �∂�f∂x∂y
�x, y� � −� ��� �x� �y� �⇒ ∂�f∂x∂y
��, �� � �∂�f∂y∂x
�x, y� � ∂�f∂x∂y
�x, y� / �� ���<�� ∂�f∂y�
�x, y� � −� ��� �x� �y� �⇒ ∂�f∂y�
��, �� � �
�� � ����
P� �x, y� � P� �x, y� ��
�
�∂�f
∂x���, �� � x� � ∂�f
∂x∂y��, �� � xy � ∂�f
∂y���, �� � y�
�
�������
P� �x, y� � x� �y ��
�
��x� � �xy � �y�
�� x� �y
��� ��� ,+ �������� �� ������� �� /���� �� ���� ( � ) �� �� ���� �x�, y�� � ��, �� ���� ���������� f �x, y� � ex �� y
"��� �������� P� �x, y� ���������� �� ���� �� f � �� ��� ��������� �������� �� �� ���� ��, �����$
f ��, �� � �∂f∂x�x, y� � ex �� y �⇒ ∂f
∂x��, �� � �
∂f∂y�x, y� � −ex ��� y �⇒ ∂f
∂y��, �� � �
�� � ����
P� �x, y� � f ��, �� �∂f
∂x��, �� �x− �� � ∂f
∂y��, �� �y − �� �
� � � � �x− �� � � �y − �� � � � x
��������� ���� ��� ��������� ��!����� �� f �� ��, ��%
∂�f∂x�
�x, y� � ex �� y �⇒ ∂�f∂x�
��, �� � �∂�f∂x∂y
�x, y� � −ex ��� y �⇒ ∂�f∂x∂y
��, �� � �∂�f∂y∂x
�x, y� � ∂�f∂x∂y
�x, y� / �� ���<�� ∂�f∂y�
�x, y� � −ex �� y �⇒ ∂�f∂y�
��, �� � −�
�� � ����
P� �x, y� � P� �x, y� ��
�
�∂�f
∂x���, �� � x� � ∂�f
∂x∂y��, �� � xy � ∂�f
∂y���, �� � y�
�
�������
P� �x, y� � � � x��
�
��x� � �xy − �y�
�� � � x�
x�
�− y�
�
"������� �� ,
+"�����# B��� ��2 ���� ������ ����*� ��������� �� ������ ��� ������� �� :�,���C+"�����# B��$� � �� ������� �� :�,��� �� ����� � ��
f �x, y� � A�Bx�Cy
�� ��, ��C� BG �� ������� �� :�,��� �� ����� � ��
f �x, y� � A�Bx�Cy �Dx� �Exy � Fy�
�� ��, ��C
3>
�������� !
���� ���� ���� ���
!�� ��������� ��
� ������ ��� ������ ��� ���F �x, y� � �
�� ������ ���&����� ������ �� ��"�� ��� ������� �� ����� �� �� ����! � ����! ������ ��������� ��� ����� f ��� ���
y � f �x�
�� ���������� � ������ ��&���)
��� ��� ,� �� ������ �� ��������x� � y� − � � �
����� ������� �� �������� y �� ������� �� �� �������� x ��
y ����− x�
��& � �� D�+!
+H(-I��:;# ��") J�� �8��� � ����� , ���������������� ��� �� �)
�K(-I��:;# ��") .*�� � �� �� ������ �� ���� �� � � ��� � �� �� �8��� �)
@��� � �� ��� �� ����� �x, y� ∈ R� ��� ���'��� ��� y � f �x� /����� �8��*���0 �� �� � �� ��� ���'��� ��� F �x, y� � f �x�− y � � /����� ���*���0)
��� ��� ,� �� y � ��x �� ��� ������� �,��$����� ������� �� �������
F �x, y� � ��x− y
�� ��������F �x, y� � �⇐⇒ ��x− y � �
����� ��� ������� ����$��������� /����#� G �x, y� � x− ey � � ����� ����$��������� �� ����� �������� �� ���
G �x, f �x�� � x− e��x � x− x � �
3�
B:��� �� ������� ��'��� ���*�������� /F �x, y� � �0 ������ � ���� � �8��*��������/y � f �x�0C + ����! B� ����� �� F �x, y� � � ������ �������� y � f �x�C
-� �� ��� �� � ���� ���&���� � ."#
�) 4� ���� �� �������� ��'��� ���*�������� ��� �����! ��� �"�����!
x� � y� � � � �
�� ��'�� ��&��� ����� �� ��& � ����� �x, y� ∈ R�)
�) 4� ���� �� ������� ���� ���*�������� ������ � ���� � �8��*��������! � ����! �������� �� ��"�� �! ��� �"�����!
x− � ��x� y − � �� y − � � �
�� � ����� �� ��"�� ������ �8 �� y � f �x� ��� ���'�� �� ������)
!��� 0���� � �� �� ���� �� ���� ��
+� � �� ���� ������ �������� �'����� ���� ��������� ���� ��� ������ F �x, y� � �!�8 �� ��� ����� y � f �x� ��� ���'�� �� ������)
+� ���� ������� ! � �������� �������� �'����� ���� ��������� �� ����� �� ����F �x, y� � � ����� �� ���� � ������� ��� ����� y � f �x� ����� �� �� ����� �x�, y�� ��� ���������� ��9� ����� �� ����)
0���� � ,! 9E������ ����$���� ���� �� ���������=�� F �x, y� �� ��� ������� �� ��������� ��������� �������� � ���� �x�, y�� �� ����� ���
F �x�, y�� � c
Fy �x�, y�� � �������� �,����� δ > � � ε > � ����� ���%
5�
( "��� ���� x ∈ �x� − δ, x� � δ�� �� ��������
F �x, y� � c
����� ��� ����� ������� �� �� �������� �y� − ε, y� � ε�
) �� ���� ����� ������� �� f �x�� ������� �� ������� y � f �x� ����� �������� ������� �� ���������� �x� − δ, x� � δ� ���� ��
f ′ �x� �−Fx �x, f �x��Fy �x, f �x��
"������� �� ,# ��� ��������� ��������� �� ��������� ����������� �� ������ �� ��!��� ����5���� � �� ������� ������� � ����� ��������� ���!��� ����������� ����������� � ����������� �� �� ������
+ �� ��� ���������� �� ����� �� �� ������� x � y �� �� �������! �� � �� �� � �� �������������*� �� �� &����� ������#
0���� � ,& 9E������ ����$���� ���� �� ���������� ������� )=�� F �x, y� �� ��� ������� �� ��������� ��������� �������� � ���� �x�, y�� �� ����� ���
F �x�, y�� � c
Fx �x�, y�� � �������� �,����� δ > � � ε > � ����� ���%
( "��� ���� y ∈ �y� − δ, y� � δ�� �� ��������
F �x, y� � c
����� ��� ����� ������� �� �� �������� �x� − ε, x� � ε�
) �� ���� ����� ������� �� g �y�� ������� �� ������� x � g �y� ����� �������� ������� �� ���������� �y� − δ, y� � δ� ���� ��
g ′ �y� �−Fy �x, f �x��Fx �x, f �x��
��� ��� ,' ���������� �� �������
F �x, y� � x� � y� − �������� �� ����� �� ����� ' ���� �� F �x, y� � �
x� � y� − � � ����� �������� �� �� �������������� �� ���� (
5�
:��������� ��� ��������� ��� /����� �� �� ������� ����$���� �� �� ���� �x�, y�� � ��, �� ���� ���������� �������
��� ��������� ��������� �� F �x, y� � x� � y� − � ��
Fx �x, y� � �x Fy �x, y� � �y
��� �� ��� ���������� �����#� �� �������� "� �� ��� �� ����� ���
F ��, �� � �� � �� − � � �� �� ������ Fy �x, y� � �y �������
Fy ��, �� � � � �
������� �� �������� ��� ��������� ��� ������ � ����� �������� �� ��������� ��� ������ �� ���� ��� �,���� �� �������� �−δ, δ� � ��� ����� ������� f �x�
������� �� �−δ, δ� ��� ���F �x, f �x�� � �
���� �� x ∈ �−δ, δ�
�� /����� �� �� ������� ����$���� �����#� �� ������� �������� �� �������� �� f �� x � x� ��������
f ′ ��� �−Fx ��, ��Fy ��, ��
�−��� �
-7�# ������ �� �� ���� �x�, y�� � ��, ��.F������ ���
F ��, �� � �� � �� − � � ���� �� ������� ��������� � �� ������� �� ���
Fy ��, �� � �
� �� ���� � ����� ������� �� ������ -"���� ������� ������� ��� � �,���� �� ������� f ������� ����� �� ��, ��.8� �������� ��� ��������� ��� ����� �� �� ������
5�
:���� �� ����� �� ����� ����� ��� ���� ��, ��
�� Fy ��, �� � � ������� �� ����� ���!���� �� ��, �� �� �������� � �������� ��� � ����� �,������� ������� f �� ��� ����� �� x � �� � �� � �������� �� ������� f �����$� ��� ����� �� ������ �������� ���� x < � ������
��� ��� ,, -"��$� ������� ��� Fy �x�, y�� � � � �,����� �� ������� f �x� ��� ���
F �x, f �x�� � �
���� ������ ������� � x � x�. �$� ����� �� !����� �� �� ������� ��� �� �� ��!������ ����%
0���� � ,* 9E������ ����$���� ���� ���� ���������=�� F �x, y, z� �� ��� ������� �� ��������� ��������� �������� � ���� �x�, y�, z�� �� ����� ���
F �x�, y�, z�� � c Fz �x�, y�, z�� � �
������� �,����� δ > �� ε > � � ��� ������� f �x, y� ������� ���� �� �x, y� ����� �����x− x��
� � �y − y��� <
δ ��� �������� ���
( f �x�, y�� � z�
) "��� �� �x, y� ��� �����x− x��
� � �y − y��� < δ �� ����� ���
F �x, y, f �x, y�� � c
53
* z � f �x, y� �� �� ����� ������� �� F �x, y, z� � c ��� ��������� �� ������� �z� − ε, z� � ε�
+ �� ������� z � f �x, y� ����� ��������� ��������� �������� ��� ������ ����� ��
∂f�x�,y��∂x
�−∂F �x�,y�,z��
∂x∂F �x�,y�,z��
∂z
∂f�x�,y��∂y
�−∂F �x�,y�,z��
∂y
∂F �x�,y�,z��∂z
�� ���� ��������� �� �������� F �x, y, z� � c ����� ����$��������� � �� �������� z �� ���������� f �� ��� ��������� x� y ����� �� �x�, y�� � �� ������ �����
��� ��� *+ -�� �������� �x− y�� � � ����� � �� �������� y �� ������� ����$���� �� x ����� ������� ��, ��.
:���� �� ����� ������� �� /����� �� �� ������� ����$���� �� F �x, y� � �x− y��� ��� ������������������
Fx �x, y� � � �x− y�� Fy �x, y� � −� �x− y��
�� �������� �� ��� ������� "� �� ��� �� ���� ��, �� ��������� � �� ����� �� ����� ' �� F ��� �����
F ��, �� � � ��− ��� � ���� ����� �� �������� ���� �� �������� �� ��, �� �� ���
Fy ��, �� � −� ��− ��� � �
�� � ��� � ����� ������� �� ������ �� ���� ��� � ���$� ����� �� ��� ����� �������%
�x− y�� � �
�
��x− y�� � �
x− y � �
y � x
��� �� �� ������� �� �� �������� �� � ��� y � f �x� � x �� �� ����� �������
��� ��� * 1� �� ��������x− � � x� y − � � y − � � �
� �� ����� ������� ���!��� �������� �� ������� �� �� ��� "�� -����� � ��� �������� �� �����������$���� �� �� ���.
:���� ��� �� �������� ����� � x �� ������� ����$���� �� y �� �� ���� ��, �� ��� F �x, y� �x− � � x� y − � � y − �� �������
Fx �x, y� � �− �x
Fy �x, y� � �− �y
��� �� �������� �� ��, �� 6�����
F ��, �� � �− � � � � �− � � �− � � �
Fy ��, �� � �−�
�� −� � �
�� � ��� �������� �� /����� �� �� ������� ����$���� ������ ��� �,���� ��� ������� f ������� ���� �������� ��� ������� � x � � ��� ��� y � f �x� �� �� ����� ������� �� �� �������� F �x, y� � �
-�� ������ �������� f ′ �x�.
55
�� x−� � x�y−� � y−� � � ������� �� y � f �x� �������� �� ������� �� x �������
�− �
x� y′ − �y
′
y� �
y′��− �
y
�� −
��− �
x
�
y′ �−��− �
x
��− �
y
� �� ���� �� �� ���� x � � �� ����� ���
y′ ��� �−��− �
�
��− �
y���
��
−� � −�
+� �� �"����� ������� 9��� � �� ��� ������ ��������� �� ������� �� �� ����� f ���������� �2���� ��������� ������� ���*���)
7�������� � �������� �� �� &����� �"�����)
��� ��� *� ��� �� �������
F �x, y, z� � �x�z − x�y� � �z� � �yz − �
-�,���� ������� z � f �x, y� �� �� �������� F �x, y, z� � � �� �� ���� ��, �, ��.:���� �� ����� ������� �� /����� �� �� ������� ����$���� ��� ��������� ��������� �� F ��%
Fx �x, y, z� � �xz − �xy�Fy �x, y, z� � −�x�y � �z
Fz �x, y, z� � �x� � �z� � �y
��� �� �������� �� ��� ������� 6�����
F ��, �, �� � �− � � � � �− � � �
�Fz ��, �, �� � � � � � � � �
�� � ��� �������� �� /����� �� �� ������� ����$���� ������ ��� �� �� ����� �� ��, �, �� �,������� ������� f ��� ��� z � f �x, y� �� �� ������� �� �� �������� F �x, y, z� � �
:��� � �������� �� !�������� �� f
∇f ��∂f
∂x,∂f
∂y
�� �zx, zy�
1������� �� �������� F �x, y, z� � � 9�������� �����#� �� ��!�� �� �� ������= ������� �� x �� �����
�xz � �x�zx − �xy� � �z�zx � �yzx � �
� �������� zx �������
zx �−�xz � �xy��x� � �z� � �y
1� �!��� ������� �������� F �x, y, z� � � ������� �� y �� �����
�x�zy − �x�y � �z�zy � �z � �yzy � �
56
� �������� zy ���!��� �
zy ��x�y − �z
�x� � �z� � �y
�� z ��, �� � � �������
zx ��, �� �−� � �� � � � �
�−��
zy ��, �� ��− �
� � � � ��−��
�� � ����
∇f ��, �� ��∂f ��, ��
∂x,∂f ��, ��
∂y
�� �zx ��, �� , zy ��, ��� �
�−��,−��
�
�� ���� �������� ����� �������� �� �������� ��� ���� ���!���� � f �� ��, �� 9�� ������ �� �������!���� � �� ��������� �� ����� F �x, y, z� � � �� ��, �, ��= 6�$
∂f ��, ��
∂x�x− �� � ∂f ��, ��
∂y�y − ��− �z − �� � �
−���x− ��− �
��y − ��− �z − �� � �
�
�x�
�
�y � z �
�
�
�x� �y � �z � ��
����� � � *� ( ������� �� �� ������� �������� �� ���������� ��� /����� �� �� ������� ��5��$����� �� ��� ��!������� ��������� ������ � y �� ������� ����$���� �� x �� �� ��������������� -1����� � x �� ������� ����$���� �� y �� �� ����� �����.
�= � � x− y � �xy � � �� �� ���� ��, ��
�= xy � exy � � �� �� ���� ��, ��
) 1��������� �� �� ��������xyz − z�y� � �x− z � �
����� � y �� ������� ����$���� �� �x, z� �� �� ���� �x, y, z� � ��, �, �� �� ��� ���������������� ��� ��������� �� y ������� �� x � �� z �� �� ���� �x, z� � ��, ��
!��� �� ��� �� ��� 0���� � �� �� ���� �� ���� �� � �� ����� ��
���f �t, P �
�� ����� �� �� ������� �� �� ��� ��� ������� ��
P �� ����� ������ � ���� �� t �� �7� ������
�����&��� ���S � g �P �
� �� ����� �� �� ������ �� � � ���)
5<
J������ ��� 9�,� ������� �� �� �������! � ����
;%+D:� � .+K�4.�
f �t, P � � g �P �
� �� ������ �� ������� ��'�� �� ����� P ���� ����� ���*��� �� t! � ����! �� ����� �� ��� � ���� ����� �� ��� ���� ������� ��9� ������� � ��� ����� �� t! ������� ������ ����������� ���*� el����� P��� �� ����� ��� ���� �� t! � ����
dP
dt
+� ������! ��'��� �� �����F �t, P � � f �t, P �− g �P �
, � * �� ������F �t, P � � �
� ���������� � �� ������ �� �������) ���� 9��� ���� �� ��� � �� ������ ��'�� � P ��������� ���*��� �� t! �������
dP
dt�−Ft �t, P �FP �t, P �
�−ft �t, P �
fP �t, P �− g′ �P ��
ft �t, P �
g′ �P �− fP �t, P �
+ ��������� ������ ���g′ �P � > �
,� ��� ������� �� ����� ��������$ �� ������)(�� ���� ���� ����� ������ ���
ft �t, P � < � fP �t, P � < �
,� ��� �� ������� � ���,� � ������� �� ���� �� t) (�� �� �����
dP
dt�
ft �t, P �
g′ �P �− fP �t, P �< �
�� ��� ����� ��� �� ����� P �����$ ��� �������� � ������� �� ���� �� t ���� �������� ���������)
5=
�������� #
���� ���� 5� �%/����
#�� ���� ���� 5� �%/����
?� ��� �� ������� ��������� ��� �������� �� +�����*� �� �� ������� 9���&2��� ) -� ������� �� �������� �� �����.��&�� �� �� � �� ���)
���� � �� *! /%���� 9���&2���0 1����� ��� f �x, y� �� ��� ������� ��!#��� �� !��� k ���������
f �tx, ty� � tk � f �x, y����� �� t > �
"������� �� *# �� ��������� �� �� ��� �� �������� �� n ��������� �� ����!�
"������� �� *& �� �������������� �� ���� ��������� �� ��� �� ������������ ��� ��������� x � y ���� ���� ����� t > �� ������� �� ���� f �tx, ty� ���� �� ���� ��� �� �� f �x, y� ����������� ��tk
6������ ���� �� ���������� � �� ��������� �� ����������������� 9�� �������� �� ����������= �� f
��� ��� *' ��� �� ������� A �x, y� � xy ��� �������� �� ���� �� �� ������!�� �� ���� x � �� ������y� ������� �� ������������ �� ���� � �� ������ �� �� ���� ����� 9� � t � �= ������� �� ������� ������!�� ���������� �� t� � �� � � ����� �� ���� ��!����%
A ��x, �y� � ��A �x, y�
�� !������A �tx, ty� � t�A �x, y�
�� � ��� A �� ��� ������� ��!#��� �� !��� �
5>
��� ��� *, �� ������� �� ��������� �� ���51�!���
F �x, y� � Cxayb
���� C, a, b ∈ R ������� ���
F �tx, ty� � C �tx�a �ty�b � Ctaxatbyb �
� tatbCxayb � ta�bCxayb � ta�bF �tx, ty�
�� � ��� F �� ��� ������� ��!#��� �� !��� a� b
0���� � ** 9�����= ��� f �x, y� ��� ������� ������������� �� ������� f �x, y� �� ��!#��� ��!��� k �� � ��� ��
x∂f
∂x�x, y� � y
∂f
∂y�x, y� � k � f �x, y�
+ �� ������� � ���� � ��� �� �� �$ &����� �����$��� �� �� @ ����! �� ��� -���9���+���� /�=�= � �=>30)
��� ��� ++ :���� ��� �� ������� �� ��������� �� ���51�!���
F �x, y� � Cxayb
�� ��!#��� ����� ��� �� ������ �� �����
∂F
∂x�x, y� � aCxa−�yb
∂F
∂x�x, y� � bCxayb−�
�������
x∂f
∂x�x, y� � y
∂f
∂y�x, y� � x
aCxa−�yb
� y
bCxayb−�
�
� aCxayb � bCxayb � �a� b�Cxayb � �a� b�F �x, y�
�� � ��� ������ ��� F �� ��!#���
3����� � �� + /(�������� 0 ��� f ��� ������� ��!#��� �� !��� k�
( ��� ���������∂f
∂x�∂f
∂y�� ��!#���� �� !��� k − �
5�
) f �x, y� � xkf��, yx
�� ykf
xy, �
����
�x > �y > �
* x�∂�f
∂x�� �xy
∂�f
∂x∂y� y�
∂�f
∂y�� k �k − �� f �x, y�
��� ��� +� :���� ��� f �x, y� � �x�y − y� �� ��!#��� � ������� ��� ���������� ���������
( f ��!#��� 9�� �� ���������=%
f �tx, ty� � � �tx�� �ty�− �ty�� � �t�x�ty − t�y� �
� �t�x�y − t�y� � t���x�y − y�
�� t�f �x, y�
�� � ��� f �� ��!#��� �� !��� *
) f ��!#��� 9�� �� ������ �� �����=%
x∂f
∂x�x, y� � y
∂f
∂y�x, y� � x ��xy� � y
��x� − �y�
��
� �x�y − �y� � ���x�y − y�
�� �f �x, y�
�� � ��� f �� ��!#��� �� !��� *
* ∂f∂x
�� ��!#���%
∂f
∂x�tx, ty� � � �tx� �ty� � �t�xy � t��xy � t�
∂f
∂x�x, y�
��$ ������ ��� ∂f∂x
�� ��!#��� �� !��� )
+ ∂f∂y
�� ��!#���%
∂f
∂y�tx, ty� � � �tx�� − � �ty�� � t�
��x� − �y�
�� t�
∂f
∂y�x, y�
��$ ������ ��� ∂f∂x
�� ��!#��� �� !��� )
2 "������� )%
x�f�,y
x
� x�
������ yx−yx
��� x�
��y
x− y�
x�
��
� �x�y
x− x�y�
x�� �x�y − y� � f �x, y�
"� �� ���
y�f
�x
y, �
�� y�
�
�
�x
y
���− ����
�
� y���x�
y�− ���
� �x�y�
y�− y� � �x�y − y� � f �x, y�
����� � � +� ������� �� �������� * ���� �� �������
f �x, y� � �x�y − y�
6�