calculo-variacional

Cálculo Variacional. Condiciones necesarias y suficientes de extremo. La ecuación de Euler. Condiciones de Jacobi, Legendre y Weiertrass. 01/01/2010 Universidad de Almería. Carmen Gádor Garzón Escamilla y Melina Gorini.

Universidad de Almería. | Cálculo Variacional. 2

Contenido.

1. Introducción…………………………………………………………………………………………4 1.1. Introducción histórica…………………………………………………………….…..4 1.2. Definición de Cálculo Variacional………………………………………………...5 1.3. Problemas importantes………………………………………………………….…...7

1.3.1. Problema isoperimétrico………………………………………….………..7 1.3.2. Principio de acción mínima……………………………………….……….7 1.3.3. Problema de la Braquistocrona………………………………………….8 1.3.4. El problema de las Geodésicas……………………………………….….10 1.3.5. La Catenaria……………………………………………………………….……11 1.3.6. Conclusión…………………………………………………………...……….…11

1.4. Métodos de resolución de los problemas variacionales…………………..12 1.4.1. Métodos indirectos……………………………………………….………….12 1.4.2. Métodos directos……………………………………………….…………….12

2. Condiciones necesarias de extremo. Ecuación de Euler…………………………15 2.1. Funciones que dependen de funciones de varias

Variables independientes…………………….……………..…………………….28 3. Condiciones suficientes de Extremo…………………………………………..………..33 4. Condición de Legendre…………………………………………………………..…………..39

4.1. Condición necesaria de Legendre para la realización de un mínimo de un funcional del tipo variacional………..………..……………39

4.2. Condición suficiente de Legendre de inclusión de un extremal de un funcional en un campo de extremales…….……….....40

5. Condición de Jacobi……………………………………………………………………………42 5.1. Condición necesaria de Jacobi…………………….……………….……………42 5.2. Condición suficiente de Jacobi bajo las cuales un funcional

tiene un mínimo………………………………………………………………………49 5.3. Relación entre la condición de Jacobi y la teoría de

formas cuadráticas………………….………………………………………………..51 5.4. Condición suficiente de Jacobi de inclusión de una extremal

en un campo de extremales centrales………………………………………..56 6. Condición de Weiertrass……………………………………………………………………..59

6.1. Función (, , , ′). Condición de Weiertrass………….……….………..59 7. Anexo: Métodos directos en el cálculo variacional. …………………….………..72

7.1. Método de Euler de diferencias finitas……………………..………..………72 7.2. Método de Ritz……………………………………………………………..………….74 7.3. Método de Kantoróvich………………………………………………….…………79 7.4. Métodos variacionales de búsqueda de valores propios y

funciones propias…………………………………………………………….…….….81 7.4.1. El problema de Sturm-Liouville………………..………………...…..81 7.4.2. Principio de Rayleigh……………………………...……………….….….85

8. Biografías…………………………………………………………………………………………..88 8.1. Leonhard Euler……………….………………………………………………………88 8.2. Karl Gustav Jacobi…………………….………………………………………….….90


8.3. Adrien Marie Legendre…………………………………………………….…….…91 8.4. Karl Weiertrass……………………………….………………………….………….…91

9. Bibliografía……………………………………………………………………………………..…93


1. Introducción

1.1. Introducción histórica

El cálculo de variaciones o cálculo variacional es una rama clásica y fundamental de las matemáticas. No es una exageración afirmar que el desarrollo de esta rama de las matemáticas ha ido a la par con el desarrollo de los conceptos centrales del análisis matemático y sus aplicaciones. En lo que respecta a las aplicaciones, muchos de los conceptos centrales de la física teórica están en estrecha relación con el cálculo variacional.

Las raíces del cálculo variacional se extienden a tiempos anteriores a la Grecia clásica. Uno de los problemas más antiguos del cálculo variacional, y de las matemáticas en general, es el problema isoperimétrico. Este problema está relacionado con la legendaria Dido fundadora de la ciudad fenicia de Cartago (buena parte de la leyenda de Dido se encuentra en la Eneida de Virgilio, aunque por otras fuentes se sabe que fue un personaje histórico). Cuenta la leyenda que Dido y un grupo de seguidores llegaron a las costas de lo que ahora es Túnez y solicitaron un pedazo de tierra a los habitantes locales. Dido pidió la tierra que pueda ser encerrada por la piel de un toro. Desde luego la petición no parecía muy ambiciosa así que le fue esto concedido. Dido corto la piel en tiras muy delgadas formando así una cuerda muy larga. Utilizó entonces esta cuerda para rodear una extensión de tierra en la costa que pasó a convertirse en la ciudad de Cartago. Independientemente de la veracidad de la leyenda no es difícil aceptar que el problema de abarcar la mayor área posible dada una cuerda de longitud fija apareció hace mucho tiempo en la historia. El filósofo Zenodoros (200 a.n.e.) planteó de manera precisa éste y otros problemas matemáticos relacionados con encontrar figuras “óptimas", que hoy podemos considerar problemas clásicos del cálculo variacional. Hay otros problemas clásicos que son parte del cálculo de variaciones que fueron planteados y estudiados por Aristóteles y Pappus.

Hasta aquí hemos hablado de problemas de cálculo variacional, pero no hemos definido esta rama de las matemáticas. De hecho no lo haremos ahora sino que postergaremos la definición del cálculo de variaciones. Esto no nos impide notar que en los problemas de cálculo de variaciones siempre se requiere encontrar curvas, figuras, procesos, “óptimos".

Se le atribuye a Pierre de Fermat, matemático francés del siglo XVII, el principio físico de tiempo mínimo, el cual establece que la trayectoria que toma la luz entre dos puntos es la trayectoria que puede ser recorrida en el menor tiempo. Este principio está relacionado con el principio de distancia mínima de Herón de Alejandría, filósofo griego del siglo I (la luz sigue la trayectoria entre dos puntos que resulta ser la más corta). En 1662, Fermat utilizó su principio de tiempo mínimo para deducir la ya entonces conocida ley de Snell que describe la refracción de la luz al pasar de un medio a otro. Es a partir de este momento que se empiezan a utilizar métodos analíticos para la resolución de problemas de “optimización" (anteriormente estos problemas se habían abordado por métodos puramente geométricos).


El tratamiento de Fermat de este problema es considerado por varios historiadores del cálculo variacional como el comienzo del mismo, precisamente por el uso de técnicas analíticas similares a las que se usarían más tarde en el análisis matemático. Es interesante mencionar que éstas técnicas jugaron un papel importante en el desarrollo del cálculo unos años después.

En 1696 Johann Bernoulli publica un desafío para los matemáticos de su tiempo: el llamado problema de la Braquistocrona. Varios matemáticos dieron respuesta al desafío. Entre las respuestas destacadas se encuentran la de su hermano Jakob, la de Newton (publicada de manera anónima) y la de Leibniz.

Jakob Bernoulli utiliza un método similar al de Fermat, pero más refinado, para dar respuesta al problema. El desarrollo y generalización de estos métodos por Euler, y después Lagrange, llevan a un método sistemático para estudiar este tipo de problemas y éste al cálculo de variaciones. Fue precisamente Euler quién acuño el término.

Johann Bernoulli también estudio geodésicas en varias superficies. Este es otro problema clásico del cálculo variacional. La geodésica es la curva más corta sobre cierta superficie que une a dos puntos de esa superficie.

Durante el siglo XIX los trabajos de Euler y Lagrange son formalizados y generalizados para conformar lo que es el cálculo de variaciones hoy en día. Es de destacarse las contribuciones de Weierstrass en la formalización de la teoría.

El desarrollo del cálculo variacional está relacionado con el desarrollo de la física. Esto es así por el marco conceptual en el que se han desarrollado las ideas sobre el “comportamiento" de la realidad. Con innegable influencia religiosa el pensamiento físico ha considerado que los procesos naturales se desarrollan de manera “óptima". Durante la evolución de los procesos algo se minimiza o maximiza (Dios o la naturaleza deben ser perfectos). Así las leyes de la física deben ser el producto de principios variacionales. Es así como surgen la mecánica analítica y la mecánica hamiltoniana y de ahí la formalización de la mecánica cuántica. Es también notable que la Teoría General de la Relatividad también esté relacionada con el cálculo de variaciones.

1.2. Definición de Cálculo Variacional

En una serie de problemas de la física y de la matemática nos encontramos con funciones definidas sobre un conjunto cuyos elementos también son funciones de una o varias variables.

Las funciones definidas sobre un conjunto cuyos elementos son funciones, se

llaman funcionales. Por ejemplo, la longitud l del arco de una curva plana que une dos puntos

dados ( )00 , yxA y ( )11 , yxB , es un funcional. La magnitud l puede calcularse si se

da la ecuación de la curva ( )xyy = . Entonces


( )[ ] ( )∫ +=1

0

2'1

x

xdxyxyl

El área S de cierta superficie es también un funcional, puesto que se

determina escogiendo la superficie, es decir, escogiendo la función ( )yxzz ,= de la superficie. Como es sabido,

( )[ ] ∫ ∫

+

+=

Ddxdy

dy

dz

dz

dzyxzS

22

1,

donde D es la proyección de la superficie en el plano OXY .

Los momentos de inercia, los momentos estáticos, las coordenadas del centro de gravedad de cierta curva o superficie homogénea, son también funcionales, puesto que sus valores se determinan eligiendo la curva o la superficie, es decir, las funciones contenidas en la ecuación de dicha curva o superficie.

En todos estos ejemplos se tiene una dependencia que es característica para

los funcionales: a una función (escalar o vectorial) le corresponde un número, mientras que al dar una función ( )xfz = a un número le correspondería otro número.

En el Cálculo Variacional se consideran los métodos para hallar el valor

máximo o el mínimo de un funcional. Los problemas en que se exige investigar el máximo o el mínimo de un funcional, se denominan problemas variacionales.

Durante más de dos siglos, el Cálculo de Variaciones ha sido una de las

principales ramas del Análisis. Es un instrumento de gran utilidad que se puede aplicar en muy diversos problemas, como ya he dicho antes, tanto en Matemáticas, como en Física.

Es fácil captar el interés del tema si se toman en cuenta algunos de sus

problemas típicos. A continuación, introducimos algunos ejemplos clásicos del Cálculo de Variaciones, en los que se muestran los elementos fundamentales del problema de optimización. Éstos son:

1. Un espacio de funciones V , tal que q

u ℜ→Ω: , donde Ω es un abierto, normalmente acotado, de nℜ , de frontera, Γ , regular.

2. Restricciones sobre el conjunto de soluciones, que pueden imponerse bien sobre la frontera Γ , bien sobre el dominio Ω . Por ejemplo 0=u en Γ , Ψ≥u en Ω , etc. El conjunto de funciones que satisfacen estas restricciones es, en general, un subconjunto, U de V .

3. Un funcional ℜ→VJ : de la forma siguiente:


( ) ( ) ( )( )∫Ω= dxxuxuxLuJ ',,: (1)

La hipótesis sobre V y L deben asegurar la existencia de J sobre V , o al menos sobre U .

El problema de optimización consiste en hallar el mínimo, Uu ∈ , del

funcional J .

1.3. Problemas importantes

1.3.1. Problema isoperimétrico

De entre todas las curvas de longitud λ dada, que unen el punto ( )0,0 con un

punto variable ( )0,ξ , encontrar aquella que, junto con el eje OX , encierra una superficie máxima. El problema es, pues, el de hallar una función, u y un número, ξ tales que ( ) 00 =u , ( ) 0=ξu , 0≥u y que minimicen el funcional

( ) ∫−=ξ

ξ0

:, uuJ

y satisfagan la restricción

λξ

=+∫02

'1 u

1.3.2. Principio de acción mínima

En Mecánica Clásica, cuando una partícula se mueve bajo la acción de un potencial ( )xV , el movimiento real es el dado por las ecuaciones de Newton, que expresan la aceleración de la partícula en términos de las fuerzas. Cuando las fuerzas derivan de un potencial ( )xV , el movimiento real ( )txt → satisface la ecuación diferencial:

( ) ( )( )

dx

txdV

dt

txdm −=

2

2

cuya solución determina el movimiento real que sigue una partícula que en un instante inicial 1t sale del punto 1x , se mueve bajo la acción del potencial, y

llega en un instante final 2t al punto 2x .

Una pregunta interesante es: ¿Podemos singularizar el movimiento real dado por las soluciones de esta ecuación, entre todos los movimientos que la


partícula podría seguir, para ir desde el punto inicial 1x en el instante 1t al

punto final 2x en el instante 2t ? La respuesta a esta pregunta es un principio básico en Física, que en

Mecánica se denomina principio de Hamilton, o principio de mínima acción. Este principio caracteriza a los movimientos reales entre todos los movimientos imaginables que llevarían a la partícula del estado inicial (posición 1x en el

instante 1t ) al estado final (posición 2x en el instante 2t ), ambos dados.

La caracterización dada por el principio de Hamilton asocia una cantidad, denominada acción a cada movimiento imaginable. La acción es una cantidad de naturaleza bastante diferente a las cantidades que usualmente describen el estado de la partícula, como posición y/o velocidad. A diferencia de ellas, la acción no se asocia al estado, sino a la historia completa de la partícula entre dos instantes inicial y final. Para cada movimiento imaginable, descrito por

( )txt → con las condiciones ( )11 xtx = , ( )

22 xtx = , la acción de ese movimiento se define como:

( )[ ] ( ) ( )( )∫

−

=

2

1

2

2

1t

tdttxV

dt

tdxmtxS

El principio de la mínima acción dice: entre todos los movimientos

imaginables, la propiedad que distingue al movimiento real es que el valor de

la acción ( )[ ]txS es menor para el movimiento real que para cualquier otro. ¿Cuál es la relación entre este principio y la forma newtoniana de planear las

ecuaciones del movimiento? Resulta que ambas maneras de describir el movimiento son equivalentes. Para verlo, necesitamos abordar el problema de la búsqueda de la función ( )tx con las condiciones requeridas, que minimice el valor de la acción. No se trata de un problema ordinario de mínimo, ya que la acción depende del movimiento como un todo, esto es, depende de la función

( )tx .

1.3.3. Problema de la Braquistocrona

El problema de la braquistocrona, o curva de descenso más rápido, es uno de los problemas más antiguos del cálculo de variaciones. La primera solución fue dada por Johann Bernoulli en 1696, aunque también dieron soluciones algunos contemporáneos como Jacob Bernoulli, Leibniz y Newton.

Entre todas las curvas que unen los puntos A y B , se desea hallar aquella a lo largo de la cual un punto material, moviéndose bajo la fuerza de la gravedad desde A llega al punto B en el menor tiempo.

Para resolver este problema debemos considerar todas las posibles curvas que unen A y B . A una determinada curva, γ , le corresponderá un valor determinado, T , del tiempo invertido para el descenso del punto material a lo


largo de ella.. El tiempo, T , dependerá de la elección de γ . De todas las curvas que unen A con B debemos hallar aquella a la que corresponda el menor valor de T . El problema puede plantearse de la siguiente forma.

Tracemos un plano vertical que pase por los puntos A y B . La curva de más rápido descenso debe evidentemente estar en él, así que podemos restringirnos a curvas sobre dicho plano. Tomemos el punto A como el origen de coordenadas, el eje OX apuntando en la dirección de la gravedad y sea

( )11 , yxB = , con 01 >x y 01 ≥y . Consideremos una curva arbitraria descrita por

la ecuación

( )xyy = 10 xx ≤≤ (2) donde y es una función regular. Como la curva pasa por A y B , la función y debe verificar

( )00 y= , ( )11 yxy = (3)

El movimiento de la masa puntual puede describirse por medio de la ley de

la conservación de la energía, .cteEE pc =+ , del siguiente modo: en el punto A ,

en el que asumimos que la velocidad inicial es nula, se tiene

EmghEEE Appc ===+

donde 0>E es una constante y Ah es la altura a la que se encuentra el punto A . En cualquier punto por debajo será

Emghmv =+2

2

1

luego

( )hhgv A −= 22

y tomando la coordenada vertical como hhx A −= , deducimos que la velocidad del movimiento del punto material es

gxdt

dsv 2=≡

siendo s una parametrización de la trayectoria del punto material. Deducimos que

gx

dsdt

2=

y como la longitud de arco de la curva viene dada por

( ) dxxyds2

'1+=


tenemos que el tiempo empleado a lo largo de la curva y viene dado por

( ) ( )∫

+=

1

0

2

1

2

2

'1x

dxgx

xyyJ

(4)

Hallar la braquistocrona es equivalente a resolver el siguiente problema de

mínimos: entre todas las posibles funciones (2) que verifican las condiciones (3), hallar la que corresponda al menor valor de la integral (4).

1.3.4. El problema de las Geodésicas

Las geodésicas son aquellas curvas contenidas en una superficie regular que minimizan la distancia entre dos puntos de la misma. Enunciaremos este problema de dos formas:

1. Consideremos una superficie regular 3ℜ⊂S definida por la

parametrización:

( )vuxx ,= , ( )vuyy ,= , ( )vuzz ,= , con ( ) [ ] [ ]1010 ,,, vvuuvu ×∈ . Cualquier curva contenida en S puede

parametrizarse en la forma [ ] ( ) ( )( )tvtuttt ,,: 21 → . El elemento de arco de las curvas contenidas en S está determinado por la primera forma fundamental:

222'''2': GvvFuEuds ++=

con

222: uuu zyxE ++= , vuvuvu zzyyxxF ++=: , 222

: vvv zyxG ++=

De modo que la longitud del arco entre los puntos correspondientes a los valores 1t y 2t es

( ) ∫ ++=2

1

22'''2',

t

tdtGvvFuEuvuJ

que es el funcional a minimizar.

2. Si la superficie viene dada de la forma implícita por ( ) 0,, =zyxϕ y representamos una curva sobre ella de forma paramétrica,

( ) ( ) ( )( )tztytx ,, , debemos minimizar el funcional


( ) ( ) ( ) ( )( )∫ ++=1

0

2

1222

''',,t

tdttztytxzyxJ

Además, las funciones x , y y z deben someterse a la condición

( ) ( ) ( )( ) 0,, =tztytxϕ para [ ]10ttt ∈ . Es lo que se llama un problema variacional con restricciones de igualdad.

1.3.5. La Catenaria

¿Cómo cuelga un hilo inextensible y flexible, de longitud total L, suspendido entre dos torres con separación horizontal d , y alturas dadas, A y B ? Claramente, el principio que determina la forma de equilibrio del hilo es que su energía potencial sea la menor posible. Cada forma posible del hilo está descrita por una función ( )xzx → que debe satisfacer las condiciones ( ) Aaz = ,

( ) Bbz = (donde a y b son las coordenadas horizontales de las torres), abd −= , y además otra condición importante, a saber, la longitud total del hilo debe ser L ; esta condición se traduce en:

( )∫ +=b

adxxzL

2'1

Veamos ahora cómo se expresa la energía potencial del hilo cuando su forma es la función ( )xz . Suponiendo el hilo de densidad lineal ρ constante, la masa

del elemento entre las coordenadas x y dxx + es ( ) dxxz2

'1+ρ y la energía

potencial de ese elemento es ( ) ( ) dxxzgxz2

'1+ρ . Así pues, la energía potencial

total es:

( ) ( )∫ +=b

adxxzxzgE

2'1ρ

La forma real será aquella curva que, satisfaciendo la condición adicional de

tener longitud total L , haga mínima la energía potencial. Conviene notar que este problema es más complicado que los anteriores, ya que interviene en él una ligadura, o condición auxiliar.

1.3.6. Conclusión

En todos los casos, el problema propuesto se reduce a buscar, entre todas las funciones ( )xfxf →: definidas en un intervalo [ ]ba, , y con condiciones del

tipo ( ) Aaf = , ( ) Bbf = (además de otras condiciones de continuidad, regularidad, etc. Que se precisarán a su tiempo), aquellas que minimizan o maximizan una expresión del tipo


( ) ( )( )∫ Φb

adxxfxfx ',,

En algunos casos, la función ( )xfxf →: debe satisfacer ciertas condiciones

adicionales, que pueden imaginarse como ligaduras; en todos los casos que hemos discutido los ligaduras están expresadas también por condiciones del tipo

( ) ( )( ) ctedxxfxfxb

a=Ξ∫ ',,

Por otro lado veremos algunos métodos de resolución de problemas variacionales.

1.4. Métodos de resolución de los problemas variacionales

Existen dos aproximaciones fundamentales a la resolución de los problemas

variacionales.

1.4.1. Métodos indirectos

La primera de estas aproximaciones es la heredada de los métodos de

minimización de funciones (dimensión finita) vía el cálculo diferencial. Este método proporciona condiciones necesarias y condiciones suficientes que dan lugar a una base metodológica para la resolución de problemas variacionales, la cual está íntimamente ligada a la teoría de ecuaciones diferenciales.

1.4.2. Métodos directos

La idea fundamental es la extensión del Teorema de Weierstrass a funciones

definidas de dimensión infinita, que tendrá un enunciado del tipo:

Teorema 1. Sea ℜ→VJ : un funcional definido en un espacio de funciones V dotado de cierta noción de convergencia para la que V es compacto y J es semicontinuo inferiormente. Entonces existe un mínimo de J en V .

A partir de este teorema, se produce del siguiente modo:

1. Se elige la clase de funciones V junto con una noción adecuada de

convergencia para la que V sea completo.


2. Hay que mostrar que J está bien definido en V y que está acotado inferiormente, de modo que ( )uJVu∈inf sea finito. Esto implica que

se puede construir una sucesión minimizante, Vu k ∈ , tal que

( ) ( )uJuJ Vuk ∈→ inf .

3. Debemos probar que J es semicontinuo inferiormente (secuencialmente), es decir, que uu k → implica

( ) ( )k

kuJlímuJ

∞→≤

4. Finalmente, debemos demostrar que V es compacto

(secuencialmente) con respecto a la convergencia considerada en 1. La hipótesis del Teorema de Weierstrass atañen a la función que se desea

minimizar (semicontinuidad inferior) y al conjunto en el cual se busca el mínimo (compacto). En espacios de dimensión finita estas hipótesis son relativamente fáciles de comprobar dado que la compacidad de un conjunto es equivalente a que el mismo sea cerrado y acotado. La continuidad suele deducirse de un análisis directo de la función a minimizar.

Sin embargo, el Teorema de Riesz establece que la bola unidad cerrada de un

espacio de Banach es compacta si y solo si la dimensión del espacio es finita. Puesto que este criterio de compacidad falla en el caso de dimensión infinita, se impone la investigación de nuevas condiciones sobre los subconjuntos de espacios de dimensión infinita y sobre los funcionales definidos en estos espacios que nos permitan usar una generalización del Teorema de Weierstrass.

Puesto que los conjuntos cerrados y acotados, en el sentido de la topología

fuerte, de un espacio de Banach no son compactos, puede esperarse que si se reduce la cantidad de abiertos mediante la introducción de la nueva topología, la cantidad de cerrados y, por tanto, de compactos, aumente. Esto resulta ser así. En particular, cualquier subconjunto cerrado y acotado de un espacio de Banach es relativamente compacto respecto a la topología débil (es la topología menos fina que hace continuas a las aplicaciones lineales).

El problema que surge a continuación es el de la continuidad (respecto a la

topología débil) del funcional a minimizar. Claramente, al introducir una topología con menos abiertos, la cantidad de funciones continuas también disminuye y así, por ejemplo, la norma asociada a la topología fuerte no es una función continua respecto a la topología débil. Cobra especial importancia en este contexto la noción de semicontinuidad inferior.

Finalmente, observamos que aunque la introducción de la topología débil y

de los funcionales semicontinuos inferiormente respecto dicha topología nos permiten asegurar la existencia de un mínimo sobre cualquier conjunto cerrado y acotado respecto la topología débil, la verificación práctica de estas propiedades dista de ser sencilla. Por ello, una de las cuestiones centrales es la


búsqueda de condiciones expresadas respecto a la topología fuerte que impliquen las correspondientes respecto a la topología débil. En este contexto la convexidad de conjuntos y funciones juega un papel fundamental.


2. Condiciones necesarias de extremo.

Ecuación de Euler.

Analicemos el extremo del funcional:

() = , (), ′()

si los puntos frontera de las curvas admisibles están fijos () = e () =, tal y como podemos apreciar en la siguiente imagen:

Además (, , ′) se considera derivable tres veces. Sabemos que la condición necesaria para que haya un extremo es la anulación de la variación de el funcional. Supongamos que en la curva = (), derivando dos veces, se tiene un extremo (exigiendo sólo la existencia de derivadas de primer orden de las curvas admisibles, se puede demostrar por otro método que la curva posee también segunda derivada). Tomemos cierta curva admisible = () cercana a la curva = () e incluyamos ambas curvas en la familia mono-paramétricas de curvas: (, ) = () + (() − ()) cuando = 0, se obtiene la curva = (); para = 1, se tiene = (). Lo podemos ver en la siguiente imagen:


Recordemos que () − () se llama variación de la función () y se designa por . Esta función se puede derivar una o varias veces, siendo ()′ = () − ()= ′, es decir, la derivada de la variación es igual a la variación de la derivada. Análogamente podemos verlo en derivadas sucesivas de la variación. De este modo, consideremos la familia = (, ), donde (, ) = () + , que contiene para = 0 la curva en la cual se alcanza el extremo, y para = 1 cierta curva admisible cercana llamada curva de comparación. Si consideramos los valores del funcional: () = , (), ′()

sólo en las curvas de la familia = (, ), el funcional se transforma en una función de : (, ) = () ya que el valor del parámetro determina una curva de la familia = (, ) determinando también con esto el valor del funcional (, ). Esta función () tiene un extremo en = 0, ya que para dicho valor se obtiene = () teniendo el funcional, por hipótesis, un extremo con respecto a cualquier curva cerca admisible y, en particular, con respecto a las curvas cercanas de la familia = (, ) . La condición necesaria para que la función () tenga un extremo en = 0, es la anulación de su derivada para = 0, es decir, ′(0) = 0. Como () = , (, ), ′(, )

Derivando: ′() = ! "" (, ) + !′

"" ′(, )#

donde ! = "" , (, ), ′(, ), !′ = ""′ , (, ), ′(, ), o, puesto que, "" (, ) = "" () + = "" ′(, ) = "" $′() + ′% = ′ se obtiene


′() = $!&, (, ), ′(, )' + !′&, (, ), ′(, )'′ %

sustituyendo por = 0, obtenemos: ′(0) = $!&, (), ′()' + !′&, (), ′()'′ %

Como hemos visto ′(0) se llama variación del funcional, y se designa por .

La condición necesaria para que la funcional v tenga un extremo consiste en la anulación de su variación: = 0. Para el funcional: () = &, , ′'

esta condición tiene la forma: $! + !′′% = 0

Integrando el segundo sumando por partes y tomando en cuenta que ′ = ()′ obtenemos que:

= $!′% + )! − !′*

Pero + = = () − () = 0 ,

+ = = () − () = 0 ,

Considerando que todas las curvas admisibles en el problema simple pasan por puntos frontera fijos, se tiene que: = )! − !′*

De este modo, la condición necesaria de extremo toma la forma:

= )! − !′* = 0 ( - )

donde el primer factor ! − .. !′ es una función continua dada en la curva = () que realiza el extremo, y el segundo factor es una función arbitraria


que satisface que se anula en los puntos frontera = y = es continua y derivable una o varias veces, o bien y ′ son pequeños en valor absoluto. Para simplificar la condición necesaria de extremo ( I ) obtenida, aplicaremos el siguiente lema, conocido como Lema Fundamental del Cálculo de Variaciones: Lema 2. (Fundamental del Cálculo de Variaciones). Sea / ∈ 1(, ) = / ∈1(, ): /() = 0, /(4) = 0, una función continua tal que: (/()()) = 0

para todo ∈ 1(, ). Entonces /() = 0 para todo ∈ , . Demostración. Suponiendo que en el punto = contenido en el segmento ≤ ≤ sea /() ≠ 0, se llega a una contradicción. Así es, como / ∈1(, ) entonces se deduce que si /() ≠ 0, entonces /() conserva el signo en cierto entorno ≤ ≤ del punto . Pero entonces tomando una función () que también conserve su signo en este entorno y sea igual a cero fuera del mismo tal y como aparece en la siguiente imagen:

se obtiene: (/()()) = (/()()) ≠ 0

ya que el producto /()() conserva su signo en el segmento ≤ ≤ y se anula fuera del mismo. De este modo, hemos llegado a una contradicción; por lo tanto /() ≡ 0. La función () puede escogerse de la siguiente manera: () ≡ 0 fuera del segmento ≤ ≤ ; () = :( − )4;( − )4; en el segmento ≤ ≤ , donde n es un entero positivo, y k, un factor constante. Es evidente que la función () satisface las condiciones consideradas anteriormente: es continua, tiene derivadas continuas hasta de orden 2= − 1, se anula en los puntos y y puede hacerse tan pequeña como se quiera en valor absoluto, conjuntamente con sus derivadas, disminuyendo el módulo del factor k. ∎

Apliquemos ahora el lema 2 para simplificar la condición necesaria ( I ), obtenida anteriormente, de extremo del funcional inicial con el que comenzamos esta sección,


)! − !′* = 0

Todas las condiciones del lema se cumplen: en la curva que realiza el

extremo, el factor ! − .. !′ es función continua, y la variación es una

función arbitraria a la cual se ha impuesto sólo limitaciones de carácter general,

ya previstas en el lema fundamental. Por lo tanto, ! − .. !′ ≡ 0 en la curva = () que realiza el extremo del funcional considerado, es decir, = () es

solución de la ecuación diferencial de segundo orden ! − !′ = 0 o también: ! , (), ′() − !′ , (), ′() = 0 , ∀ ∈ (, ) o bien de la forma desarrollada: ! − !′ − !!′′ − !′!′′′ = 0

Esta ecuación se denomina Ecuación de Euler, publicada por primera vez por Euler en 1744. La ecuación de Euler juega un papel fundamental en el cálculo de variaciones. Las curvas integrales de la ecuación de Euler = (, 1, 14) se llaman extremales. Sólo en las extremales puede alcanzarse un extremo del funcional:

() = , (), ′()

Para hallar la curva que realiza un extremo del funcional, se integra la

ecuación de Euler y se determinan las dos constantes arbitrarias, que figuran en la solución general de esta ecuación, de las condiciones de frontera () =, () = . Sólo en las extremales que satisfacen estas condiciones se puede realizar un extremo del funcional.

Recordemos que el problema de la frontera:

! − !′ = 0, () = , () = no siempre tiene solución, y si existe, puede no ser única.

A continuación veremos un par de problemas variacionales donde la existencia de la solución es evidente en el sentido físico o geométrico del problema, y si la ecuación de Euler que satisface las condiciones de frontera es única, esta única extremal será la solución del problema variacional considerado.


Ejemplo 1. Veamos en qué curvas puede alcanzar su extremo el funcional:

() = @&′'4 − 4A , (0) = 0, B2 = 1 C4 ?

Solución. La ecuación de Euler tiene la forma: ′′ + 6 = 0 donde =1 cos + 14 IJ= . Utilizando las condiciones de frontera, se obtiene que 1 = 0, 14 = 1, por lo tanto, el extremo puede alzarse sólo en la curva = IJ=. ∎ Ejemplo 2. Veamos en qué curvas puede alcanzar su extremo el funcional: () = @&′'4 − 12A , (0) = 0, (1) = 1

? Solución. La ecuación de Euler tiene la forma: ′′ + = 0 donde = K +1 + 14. Utilizando las condiciones de frontera, se obtiene que 1 = 0, 14 = 0, por lo tanto, el extremo puede alzarse sólo en la curva = IJ=. ∎

En estos dos ejemplos la ecuación de Euler fue integrada fácilmente; pero esto no siempre ocurre, puesto que las ecuaciones diferenciales de segundo orden se integran de forma finita, solo en casos excepcionales.

A continuación veamos algunos casos simples de integración de la ecuación de Euler:

1) F no depende de ′: = (, ) La ecuación de Euler tiene la forma !(, ) = 0 puesto que ! ≡ 0. La solución de la ecuación finita !(, ) = 0 obtenida no contiene elementos

arbitrarios y, por esto, en general no satisface las condiciones de frontera () = J () = . Por lo tanto, la solución del problema variacional considerado en general no existe. Sólo en casos excepcionales, cuando la curva !(, ) = 0 pasa por los puntos frontera (, ), (, ) existe una curva en la que se puede alcanzar un extremo.

2) F depende de ′ en forma lineal: &, , ′' = L(, ) + M(, )′ () = L(, ) + M(, ) #


La ecuación de Euler tiene la forma: "L" + "M" ′ − M(, ) = 0 ó "L" + "M" ′ − "M" − "M" ′ = 0 o bien: "L" − "M" = 0 pero ésta, al igual que en el caso anterior, de nuevo es una ecuación finita

y no diferencial. La curva NON! − NPN = 0 no satisface, en general, las condiciones de frontera. Por lo tanto, el problema variacional, por regla general, no tiene solución en la clase de funciones continuas. Si, en cambio, "L" − "M" ≡ 0 la expresión L + M es una diferencial total, entonces: () = L + M # = L + M

no depende del camino de integración con lo que el valor del funcional es constante en las curvas admisibles. Por tanto el problema variacional pierde el sentido.

3) F depende sólo de ′:

= (′)

La ecuación de Euler tiene la forma !′!′′′ = 0, puesto que ! = !′ =!!′ = 0. De aquí se obtiene que ′′ = 0, o bien, !′!′ = 0. Si ′′ = 0, entonces = 1 + 14, que es una familia biparamétricas de líneas rectas.

Si la ecuación !′!′&′' = 0 tiene una o varias raíces reales ′ = :, entonces = :Q + 1, y obtenemos una familia monoparamétrica de rectas contenida en la familia biparamétrica = 1 + 14 obtenida


anteriormente. De esta forma, en el caso = (′) todas las líneas rectas posibles = 1 + 14 son extremales.

4) F depende sólo de x e ′: = (, ′)

La ecuación de Euler toma la forma .. !′&, ′' = 0, y por lo tanto, tiene

la primera integral !′&, ′' = 1. Además, como la ecuación de primer

orden obtenida !′&, ′' = 1 no contiene a , ésta puede integrarse o bien resolviéndola directamente respecto a ′ e integrando, o bien introduciendo un parámetro escogido en forma adecuada.

5) F depende sólo de e ′: = (, ′) La ecuación de Euler tiene la forma ! − !!′′ − !′!′′′ = 0, puesto que !′ = 0. Si se multiplica esta ecuación miembro a miembro por ′, entonces, como no es difícil comprobar, el primer miembro se

transforma en la derivada exacta .. ( − ′!′).

En efecto, & − ′!′' = !′ + !′′′ − !!′′4 − !!′′′′

= ′&! − !!′′ − !R!RSS'. Por consiguiente, la ecuación de Euler tiene la primera integral: − S!S = 1 además, como esta ecuación de primer orden no contiene explícitamente a x, puede ser integrada resolviéndola con respecto a ′ y separando variables, o introduciendo un parámetro.

Para obtener las condiciones necesarias de extremo del funcional de tipo más general:

, 4, K, … , ; = (, , 4, … , S , 4S , … , ;S )

con condiciones de frontera dadas para todas las funciones:


() = , 4() = 4, … … … … … … … … … , ;() = ; () = , 4() = 4, … … … … … … … … … , ;() = ; variaremos sólo una de las funciones: U() (V = 1,2 … , =) dejando las demás invariables.

Entonces el funcional , 4, K, … , ; se transforma en un funcional que depende sólo de una función variable, por ejemplo, de Q(),

, 4, K, … , ; = WQ del tipo considerado en el apartado anterior.

Por tanto, la función que realiza el extremo debe satisfacer la ecuación de Euler:

!X − !XR = 0

Como este razonamiento es aplicable a cualquier función Q (Y = 1,2, … =), se obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden:

!X − !XR = 0 (Y = 1,2, … , =) que determinan, en general, una familia dependiente de 2n parámetros de curvas integrales en el espacio , , 4, … , ;, que es la familia de extremales del problema variacional dado.

Si, en particular, el funcional depende sólo de dos funciones () y Z(): (), Z() = (, , Z, S, ZS)

; () = , Z() = Z () = Z() = Z o sea, se determina eligiendo la curva alabeada = (), Z = Z(), tal y como observamos en el siguiente gráfico:


Entonces variando sólo () y fijando Z(), cambiamos nuestra curva de tal modo que su proyección en el plano xOz no varía, es decir, la curva permanece todo el tiempo en el cilindro de proyección Z = Z() como podemos observar:

Análogamente, fijando () y variando Z(), variamos la curva de modo que ésta permanezca todo el tiempo en el cilindro de proyección = (). Entonces obtenemos un sistema de dos ecuaciones de Euler:

! − !S = 0 \ − \S = 0 Ejemplo 3. Hallar los extremales del funcional:

() = (S)4 + (ZS)4 + 2Z, (0) = 0, B2 = 1, Z(0) = 0, Z B2 = −1 C4

Solución. El sistema de ecuaciones diferenciales de Euler tiene la forma: SS − Z = 0 ZSS − = 0


Despejando por ejemplo, z, de la primera ecuación y sustituyendo en la segunda se obtiene que Q] − = 0 integrando esta ecuación lineal con coeficientes constantes tendremos que:

= 1J + 14J^ + 1K cos + 1_IJ=

Como Z = ′′ entonces Z = 1J + 14J^ − 1K cos − 1_IJ= . Utilizando las condiciones de frontera, que se exponen en el enunciado, se halla que:

1 = 0 14 = 0 1K = 0 1_ = 1

Y por lo tanto = IJ= , Z = −IJ= .

Analicemos el extremo del funcional: , 4, K, … , ; = &, (), S(), … , (;)()'

donde la función F se considera derivable = + 2 veces con respecto a todos los argumentos y supondremos que las condiciones de frontera tienen la forma: () = , ′() = S , … … … … … … … … … , (;^)() = (;^) () = , ′() = S , … … … … … … … … … , (;^)() = (;^)

Es decir, en los puntos frontera están dados los valores no sólo de las funciones, sino también de sus derivadas hasta de orden (= − 1) inclusive. Supongamos que el extremo se alcanza en la curva = (), derivable 2n veces. Sea = () la ecuación de cierta curva de comparación, también derivable 2n veces.

Consideramos la función monoparamétrica de funciones (, ) = () +() − (), o bien, (, ) = () + . Para = 0, (, ) = (); para = 1, (, ) = (). Si consideramos el valor del funcional () sólo en las curvas de la familia = (, ), entonces ésta se transforma en una función del

parámetro , la cual alcanza su extremo para = 0. Por lo tanto, .. (, ) restringido a = 0, vale 0. Esta derivada se llama variación del funcional y se designa por : = ` &, (, ), S(, ), … , (;)(, )'

a = 0= ( ! + !RS + !RRSS + ⋯ + !(c)(;))

Integramos por partes una vez el segundo sumando del segundo miembro: !SS = $!R% − !S


el tercer sumando, dos veces: !SSSS = $!RR′% − !SS# + 44 !SS

y así sucesivamente. El último sumando n veces, tenemos que: !(c)(;) = $!(c)(;^)% − !(;)(;^4)# + ⋯ + (−1);

= ;; !(c)

Tomando en cuenta las condiciones de frontera, en virtud de las cuales las

variaciones = S = SS = ⋯ = (;^) = 0 para = y para = , obtenemos por último:

= d! − !S + 44 !SS + ⋯ + (−1); ;; !(c)e

Como en la curva que realiza el extremo se tiene que:

= d! − !S + 44 !SS + ⋯ + (−1); ;; !(c)e = 0

para funciones arbitrarias, y como el primer factor bajo el símbolo integral es función continua de x en la misma curva = (), entonces, debido al lema fundamental, el primer factor es idénticamente nulo: ! − !S + 44 !SS + ⋯ + (−1); ;; !(c) ≡ 0

De este modo, la función = (), que realiza el extremo del funcional: () = &, (), S(), … , (;)()'

debe ser solución de la ecuación ! − !S + 44 !SS + ⋯ + (−1); ;; !(c) = 0

Esta ecuación diferencial de orden 2n recibe el nombre de ecuación de Euler-Poisson, y sus curvas integrales se denominan extremales del problema variacional considerado. La solución general de esta ecuación contiene 2n constantes arbitrarias, las cuales pueden ser, en general, determinadas a partir de las 2n condiciones de frontera:


() = , ′() = S , … … … … … … … … … , (;^)() = (;^) () = , ′() = S , … … … … … … … … … , (;^)() = (;^) Ejemplo 4. Hallar la extremal del funcional: () = (1 + SS4), (0) = 0, ′(0) = 1, (1) = 1, ′(1) = 1

Solución. La ecuación de Euler-Poisson tiene la forma .f.f (2SS) = 0 ó Q] = 0

su solución general es = 1K + 144 + 1K + 1_. Utilizando las condiciones de frontera, obtenemos: 1 = 0 14 = 0 1K = 1 1_ = 0 De esta manera, el extremo puede alcanzarse sólo en la recta = .

Ejemplo 5. Determinar la extremal del funcional:

() = SS4 − 4 + 4, (0) = 1, ′(0) = 0, B2 = 0, Z B2 = −1 C4

Solución. La ecuación de Euler-Poisson tiene la forma Q] − = 0 su solución general es = 1J + 14J^ + 1K cos + 1_IJ= . Utilizando las condiciones de frontera, obtenemos: 1 = 0 14 = 0 1K = 1 1_ = 0

De esta manera, el extremo puede alcanzarse sólo en la recta = cos .

Veamos que ocurre cuando el funcional tiene la forma: (), Z() = &, , S, … , (;), Z, ZS, … , Z(h)'

; variando sólo () y considerando Z() fija, se halla que las funciones () y Z() que realizan el extremo deben satisfacer la ecuación de Euler-Poisson: ! − !S + 44 !SS + ⋯ + (−1); ;; !(c) = 0;

Variando Z() y considerando () fija, obtenemos que las mismas funciones deben satisfacer la ecuación:


\ − \S + 44 \SS + ⋯ + (−1)h hh \(i) = 0; De esta manera las funciones Z() e () deben satisfacer el sistema de

ecuaciones: ! − !S + 44 !SS + ⋯ + (−1); ;; !(c) = 0;

\ − \S + 44 \SS + ⋯ + (−1)h hh \(i) = 0;

De forma completamente análoga se puede razonar también al analizar el extremo de un funcional que depende de un número arbitrario de funciones:

, 4, … , h = , , S , … , (;), 4, 4S , … , 4(;f), … , h, hS , … , h(;i) ;

Variando sólo alguna Q() y considerando invariables las demás, obtenemos

la condición necesaria fundamental de extremo en la forma: !X − !XR + ⋯ + (−1);X ;X;X !X(cX) = 0 (Y = 1,2, … , j)

2.1 Funciones que dependen de funciones de varias variables independientes.

Analicemos el extremo del funcional

Z(, ) = k ), , Z, "Z" , "Z"* l ;

Además en la frontera C de la región D los valores de la función Z(, ) están dados, es decir, está dado un contorno alabeado 1, por el cual deben pasar todas las superficies admisibles, tal y como vemos en la siguiente figura:

Para abreviar la escritura, designamos

N\N = , N\N! = m. La función F se considerará derivable tres veces. La superficie Z = Z(, ), en la cual se realiza el extremo, se supondrá derivable dos veces.


Consideramos nuevamente la familia monoparamétrica de superficies Z = Z(, , ) = Z(, ) + Z, siendo Z = Z(, ) − Z(, ), que contiene, cuando = 0, la superficie Z = Z(, ), en la cual se realiza el extremo y, para = 1,

cierta superficie admisible Z = Z(, ). En las funciones de la familia Z(, , ), el funcional se transforma en una función de , la cual debe tener un extremo

cuando = 0; por lo tanto N\Nn Z(, ) = 0 = 0. Llamando variación del

funcional a la derivada de Z(, , ) con respecto a cuando = 0, designándola por , tendremos que:

Z(, ) = o"Z" k (, , Z(, , ), (, , ), m(, , ))l p = 0= k\Z + q + rml

Donde

Z(, , ) = Z(, ) + Z (, , ) = "Z(, , )" = (, ) + m(, , ) = "Z(, , )" = m(, ) + m

Como "" sqZt = "" sqtZ + q "" srZt = " srtZ + rm Entonces

k(q + rm)l = k "" sqZt + "" srZt#l − k "" sqt + "" srt#l Z

donde NN sqt es la llamada derivada parcial completa o total con respecto a x.

Al calcularla, se considera fija, pero la dependencia de Z, , m de x se toma en

cuenta: "" sqt = q + q\ "Z" + qq "" + qr "m" y análogamente:


"" srt = r + r\ "Z" + rq "" + rr "m"

En virtud de la fórmula de Green:

k "M" + "L" # = k(M − L)ul

se obtiene

k "" sqZt + "" srZt#l = &q − r'Z = 0u

La última integral es igual a cero, debido a que en el contorno C, la variación Z = 0, puesto que todas las superficies admisibles pasan por el mismo contorno

alabeado 1. Por lo tanto:

k\Z + rml = − k "" sqt + "" srt# Zl y la condición necesaria de extremo:

k\Z + q + rml = 0 toma la forma:

k )\ − "" sqt − "" r* Zl = 0

Como la variación Z es arbitraria (a Z se le imponen limitaciones sólo de carácter general con respecto a la continuidad y a la derivabilidad, anulación en el contorno C, etc.) y el primer factor es continuo por el lema fundamental enunciado anteriormente, en la superficie Z = Z(, ) que realiza el extremo será:

\ − "" sqt − "" r ≡ 0

Por consiguiente, Z = Z(, ) es solución de la ecuación: \ − "" sqt − "" srt = 0


Esta ecuación diferencial de segundo orden en derivadas parciales, a la cual debe satisfacer la función Z(, ) que realiza el extremo, lleva el nombre de ecuación de Ostrogradski, en honor al eminente matemático ruso M.V.Ostrogradski, quien la obtuvo por primera vez en el año 1834; sin embargo, para las regiones D rectangulares se encontraba ya en los trabajos de L. Euler.

Dado el funcional de la siguiente forma:

Z(, 4, … , ;) = k … v … (, 4, … , ;, Z, , 4, … , ;)4 … ;,

donde Q = N\NX en base a la condición necesaria fundamental de extremo = 0, se obtiene, en forma completamente análoga, la siguiente ecuación de Ostragradski:

\ − w ""Q sqXt = 0;Qx

a la cual debe satisfacer la función: Z = Z(, 4, … , ;) que realiza el extremo del funcional .

Por ejemplo, para el funcional:

Z(, ) = k (, , Z, "Z" , "Z" , "4Z"4 , "4Z"" , "4Z"4)l se obtiene la ecuación \ − "" sqt − "" srt + "4"4 y + "4"" z + "4"4 = 0 donde = "Z" ; m = "Z" ; | = "4Z"4 ; I = "4Z"" ; = "4Z"4

La función que realiza el extremo del funcional debe satisfacer esta ecuación de cuarto orden en derivadas parciales. Por ejemplo, para el funcional:

= ~d"4Z"4e4 + d"4Z"4e4 + 2 d "4Z" "e4 l


La función z que realiza el extremo debe satisfacer la llamada ecuación biarmónica "_Z"_ + 2 "_Z"4"4 + "_Z"_ Que habitualmente se escribe en forma compacta así: ∆∆Z = 0. Para el funcional

= ~d"4Z"4e4 + d"4Z"4e4 + 2 d "4Z" "e4 − 2Z(, ) l La función z(x,y) que realiza el extremo debe satisfacer la ecuación ∆∆Z =(, ).

Los problemas sobre el extremo funcional

= d"4Z"4e + d"4Z"4e 4 l o del funcional de forma más general

= d"4Z"4 + "4Z"4e4 − 2(1 − ) ~"4Z"4 "4Z"4 − d "4Z""e4 l

donde es un parámetro, se reducen también a la ecuación biarmónica.


3. Condiciones suficientes de extremo.

Si en el plano (, ) por cada punto de cierta región v pasa una y sólo una curva de la familia = (, 1), se dice que esta familia de curvas forma un campo en la región v, o, más exactamente, un campo propio. El coeficiente angular de la tangente (, )a la curva de la familia = (, 1) que pasa por el punto (, ) se llama inclinación (o declive) del campo en el punto (, ).

Por ejemplo, las rectas paralelas = + 1 forman un campo dentro del círculo 1

22 ≤+ yx (Figura 1) y su inclinación es (, ) = 1. Por el contrario, la familia de parábolas 1)(

2 −−= axy (Figura 2) no forma un campo dentro del mismo círculo, debido a que en su interior las parábolas de la familia considerada se cortan.

Figura 1

Si todas las curvas de la familia = (, 1) pasan por cierto punto ),( 00 yx , es

decir, forman un haz de curvas, entonces éstas con seguridad no forman un campo propio en la región v si el centro del haz pertenece a ésta. Sin embargo, si las curvas del haz cubren toda la región v y se cortan en su interior sólo en el centro del haz, es decir, se cumplen las condiciones impuestas al campo en todos los puntos distintos del centro del haz, se die que la familia = (, 1) forma también un campo, llamado en este caso central, a diferencia del campo propio (Figura 3).

Figura 2


Por ejemplo, el haz de sinusoides )(xCseny = forma un campo central para ax ≤≤0 , π≤a (Figura 4). El mismo haz de sinusoides forma un campo propio

en un entrono suficientemente pequeño del segmento ax ≤≤δ del eje de las abscisas, donde 0>δ , π<a (Figura 4). El mismo haz de sinusoides no forma un campo en un entorno del segmento 10 ax ≤≤ , π>1a , del eje de las abscisas (Figura 4).

Si un campo central o propio está formado por una familia de extremales de cierto problema variacional, se llama campo de extremales.

El concepto de campo se generaliza casi sin modificaciones también al caso de un espacio de cualquier dimensión. La familia ),...,,( 1 nii CCxyy =

),...,2,1( ni = forma un campo en la región D del espacio nyyx ,...,, 1 .

Figura 3 Figura 4

si por cada punto de dicha región pasa una y sólo una curva de la familia ),...,,( 1 nii CCxyy = . Se llaman funciones de inclinación del campo

),...,,,( 21 ni yyyxp = ),...,2,1( ni = a las derivadas parciales de las funciones

),...,,( 1 nii CCxyy = con respecto a x, calculadas en el punto ),...,,,( 21 nyyyx ; por

consiguiente, para obtener ),...,,,( 21 ni yyyxp = hay que tomar ),...,,( 1 ni CCxyx∂

∂

y sustituir ),...,( 1 nCC por sus expresiones mediante las coordenadas

nyyyx ,...,,, 21 . En forma análoga se define también el campo central.

Supongamos que la curva )(xyy = es extremal del problema variacional sobre el extremo del funcional simple

∫=1

0

)',,()]([

x

x

dxyyxFxyv

con puntos frontera ),( 0yxA o y ),( 11 yxB fijos. Se dice que la extremal )(xyy = está incluida en un campo de extremales, si ha sido dada una familia de extremales ),( Cxyy = que forma un campo,


Figura 5 Figura 6

contiene a la extremal )(xyy = para cierto valor 0CC = y dicha extremal no pertenece a la frontera de la región D en la cual la familia ),( Cxyy = forma un

campo (Figura 5). Si el haz de extremales con centro en el punto ),( 0yxA o forma un campo en un entrono de la extremal )(xyy = , que pasa por este punto, entonces con esto se halla un campo central que contiene a la extremal dada

)(xyy = . Como parámetro de la familia se puede tomar en este caso el

coeficiente angular de la tangente a las curvas del haz en el punto ),( 0yxA o

(Figura 6).

Ejemplo 6. Se da el funcional

dxyy

a

)'(2

0

2

∫ −

se pide incluir el segmento de la extremal y = 0 que une los puntos (0, 0) y (a, 0), donde π<< a0 , en un campo central de extremales.

Solución. La solución general de la ecuación de Euler 0'' =+ yy tiene la forma

)()cos( 21 xsenCxCy += . De la condición de que las extremales pasen por el

punto (0, 0) se obtiene 01 =C , )(2 xsenCy = ; las curvas de este haz forman un campo central en el segmento ax ≤≤0 , π<a que incluye la extremal 0=y para 02 =C . El parámetro 2C de la familia es igual a la derivada xy en el punto

(0, 0). Si en este mismo problema fuera π≥a , la familia )(2 xsenCy = no formaría campo.

Es sabido que dos curvas infinitamente cercanas de la familia 0),,( =CyxF se cortan en los puntos de la curva C-discriminante, la cual se determina por las ecuaciones


0),,( =CyxF 0=∂

∂

C

F

Figura 7

Recordemos que en la curva C-discriminante se incluyen, en particular, la envolvente de la familia y los lugares geométricos de los puntos múltiples de las curvas de dicha familia. Si 0),,( =CyxF es la ecuación de un haz de curvas, se centro pertenece también a la curva C-discriminante. Por esto, si se toma un haz de extremales ),( Cxyy = que pasan por el punto ),( 00 yx y se determina su

curva C-discriminante 0),( =Φ yx .

En particular, las curvas de este familia próximas a la extremal considerada )(xyy = , que pasa por los puntos ),( 0yxA o y ),( 11 yxB , se cortarán en puntos

cercanos a los puntos de tangencia (o de intersección) de la curva )(xyy = con la curva C-discriminante (véase la Figura 7, en donde la curva C-discriminante está representada por una línea gruesa). Si el arco AB de la extremal )(xyy = no tiene puntos comunes diferentes de A con la curva C-discriminante del haz de extremales que incluye a la extremal dada, entonces las extremales del haz suficientemente próximas al arco AB no se cortan, es decir, forman un campo central que incluye al arco AB en un entorno de este arco (Figura 8).

Figura 8


Si el arco de la extremal )(xyy = tiene un punto común *A , diferente del punto , con la curva C-discriminante del haz ),( Cxyy = entonces las curvas del haz próximas a )(xyy = pueden cortarse entre sí y con la curva )(xyy = en

las proximidades del punto *A se llama conjugado del punto . El resultado obtenido se puede enunciar así: para construir un campo central

de extremales con centro en el punto que contenga el arco de la extremal, es suficiente que el punto *A conjugado del no pertenezca al arco . Esta condición de la posibilidad de la construcción de un campo de extremales que incluya a la extremal dada se llama condición de Jacobi.

No es difícil formular esta condición también en forma analítica. Sea ),( Cxyy = la ecuación del haz de extremales con centro en el punto ; el

parámetro 1 se puede considerar, para fijar ideas que coincide con el coeficiente angular y’ de las extremales del haz en el punto . La curva C-discriminante se determina por las ecuaciones

);,( Cxyy = 0),(

=∂

∂

C

Cxy

A lo largo de cada curva fija de la familia la derivada 0),(

=∂

∂

C

Cxy es una

función sólo de . Denotaremos abreviadamente por dicha función:

C

Cxyu

∂

∂=

),(, donde 1 está dado; de aquí .

),('

2

xC

Cxyu x

∂∂

∂= Las funciones

),( Cxyy = son soluciones de la ecuación de Euler por lo tanto,

0)),('),,(,()),('),,(,( ≡− CxyCxyxFdx

dCxyCxyxF xyxy

.

Derivando esta identidad con respecto a 1 y haciendo uC

Cxy=

∂

∂ ),(, se obtiene

0)'(' ''' =+−+ uFuFdx

duFuF yyyyyyyy

,

o bien

0)'()( ''' =−− uFdx

duF

dx

duF yyyyyy

.

Aquí )',,( yyxFyy , )',,(' yyxFyy y )',,('' yyxF yy son funciones conocidas de , debido a que el segundo argumento y es igual a la solución ),( Cxyy = de la

ecuación de Euler, tomada para el valor 0CC = que corresponde a la extremal . Esta ecuación lineal homogénea de segundo orden con respecto a u se llama ecuación de Jacobi.


Si la solución C

Cxyu

∂

∂=

),( de este ecuación que se anula en el centro del haz

para 0xx = (el centro del haz siempre pertenece a la curva C-discriminante) se

anula también en algún otro punto del intervalo 10 xxx << , entonces el punto

conjugado de , que se determina por las ecuaciones

),( 0Cxyy = y 0),(

=∂

∂

C

Cxy o bien 0=u ,

Pertenece al arco de la extremal. Si, en cambio, existe una solución de la ecuación de Jacobi que se anule para 0xx = y no se anule en ningún otro punto

del segmento 10 xxx ≤≤ , entonces no hay puntos conjugados de en el arco ;

la condición de Jacobi se cumple y se puede incluir el arco de la extremal en un campo central de extremales con centro en el punto . Observación. Se puede demostrar que la condición de Jacobi es necesaria para que se alcance un extremo, es decir, para la curva que realiza un extremo el punto conjugado de no puede estar en el intervalo 10 xxx << .


4. Condición de Legendre

4.1.Condición necesaria de Legendre para la realización de un mínimo de un funcional del tipo variacional.

La condición necesaria para la realización de un mínimo de un funcional del

tipo variacional () = &, (), S()'

con condición de frontera fija, ( )

00 yxy = y ( )11 yxy = , es la condición de

Legendre

( ) ( )( ) 0',,'' ≥xyxyxF yy para todo ( )10 , xxx ∈

Legendre, en analogía al caso de dimensión finita, intentó demostrar, sin éxito, que una condición suficiente para que v tenga un mínimo en y es que satisfaga la desigualdad estricta

( ) ( )( ) 0',,'' >xyxyxF yy para todo ( )

10 , xxx ∈

Ahora, hallamos la siguiente expresión para la segunda variación

( ) dxuFuFdx

dFuv

x

xyyyyyyy ∫

+

−=

1

0

2

''

2

'

2'

2

1δ

con [ ]( )10

1

0 , xxCu ∈ . Por brevedad, la escribimos como

( ) ( )dxQuPuuFx

xy ∫ +=

1

0

222'

2

1δ

La idea de Legendre fue escribir esta expresión en la forma

( ) ( )( )dxuwQwuuPuuFx

xy ∫ +++=

1

0

222''2'

2

1δ (5)

siendo w una función derivable arbitraria, y donde hemos usado la relación


( ) ( )dxwuuuwwudx

d x

x

x

x ∫∫ +==1

0

1

0

'2'022

puesto que ( ) ( ) 010 == xuxu . Seguidamente, observó que la condición 0

''>yyF

sería suficiente si se pudiera encontrar una función w para la que el integrando de (5) fuera un cuadrado perfecto. Sin embargo, esto no es siempre posible, como el mismo Legendre demostró, puesto que w debería satisfacer la ecuación

( ) 2' wwQP =+

que no posee, necesariamente, una solución global en todo el intervalo ( )

10 , xx

(Por ejemplo, si 1−=P y 1=Q , la solución viene dada por ( ) ( )xcxw −= tan . Si

π>− 01 xx , no hay solución en todo el intervalo ( )10 , xx , puesto que ( )xc −tan

se hace infinita en algún punto de dicho intervalo). Legendre concluyó que condiciones de tipo local como la ecuación de Euler o la condición estricta de Legendre no podían ser las únicas condiciones suficientes para la realización de un mínimo.

4.2 Condición suficiente de Legendre de inclusión de un extremal de un funcional en un campo de extremales.

La condición suficiente de inclusión de un extremal de un funcional () = &, (), S()'

con condición de frontera fija, ( )00 yxy = y ( )

11 yxy = en un campo de

extremales es el cumplimiento de la condición reforzada de Legendre

( ) ( )( ) 0',,'' >xyxyxF yy

en todos los puntos de la extremal considerada (es decir,para todo ( )0 1,x x x∈ )

Ejemplo 7. Mostrar que la extremal del problema variacional () = (′_ + ′4)4

con condición de frontera ( ) ,10 =y ( ) 52 =y se puede incluir en un campo de

extremales.


Solución. Las extremales son las rectas .21 CxCy += La extremal que satisface

la condición de contorno dadas es la recta .12 += xy En este caso

2'122

'' += yF yy y en todos los puntos de la extremal 12 += xy tenemos

.050'' >=yyF La condición reforzada de Legendre se cumple y, por tanto, la

extremal 12 += xy puede ser incluida en un campo de extremales.

Esto se ve sin necesidad de realizar cálculos. La extremal 12 += xy pertenece

a la familia uniparamétrica de extremales α+= xy 2 , donde α es un parámetro, las cuales forman un campo propio.


5. Condición de Jacobi

5.1. Condición necesaria de Jacobi.

En esta sección estudiaremos las condiciones bajo las cuales el funcional

( ) ( )∫ +=1

0

22'

x

xdxQuPuuG (6)

definido para [ ]( )10

1

0 , xxCu ∈ , es definido positivo. Se puede observar, que en relación con la función lagrangiana del problema de optimización se obtiene este mismo funcional, en concreto

''2

1yyFP = ,

−=

''2

1yyyy F

dx

dFQ

De momento estudiaremos la positividad del funcional (6) como un problema independiente.

Una condición necesaria para la no negatividad del funcional (6) es que

( ) 0≥xP para todo ( )10 , xxx ∈ .

En esta sección asumiremos la condición

( ) 0>xP para todo ( )10 , xxx ∈ .

y buscaremos condiciones necesarias y suficientes para que dicho funcional sea definido positivo. Comenzamos escribiendo la ecuación de Euler asociada al funcional (6):

( ) 0' =+− QuPudx

d (7)

Esta es una ecuación diferencial lineal de segundo orden. Las condiciones de

frontera son ( ) ( ) 010 == xuxu . Este problema tiene la solución trivial 0≡u . Sin embargo, también puede tener soluciones no triviales (Por ejemplo, para

1== QP , la función ( ) Csexxu = es solución del problema en el intervalo ( )π,0 ,

para toda constante C ). En este contexto, se introduce la siguiente definición:

Definición 3. Diremos que el punto x es un punto conjugado de 0x si la

ecuación (7) tiene una solución que se anula en 0x y x pero que no es idénticamente nula.


Observación. Si u es una solución no idénticamente nula de (7) entonces también lo será Cu , para cualquier 0≠C . Hay varios criterios de normalización que se pueden imponer para forzar la unidad de solución de este problema. Aquí asumiremos que ( ) 1' 0 =xu , que es siempre posible eligiendo C

adecuadamente. En efecto, si ( ) 00 =xu y v no es idénticamente nula entonces

( )0' xu no puede ser nulo, por el teorema de unicidad para la ecuación lineal (7).

Teorema 4. Supongamos que ( ) 0>xP en [ ]10 , xx y que no hay puntos conjugados en dicho intervalo. Entonces el funcional cuadrático

( ) ( )∫ +=1

0

22'

x

xdxQuPuuG

es definida positiva para toda [ ]( )

10

1

0 , xxCu ∈ .

Demostración. Para demostrar que el funcional G es definido positivo lo reduciremos a la forma

∫1

0

2x

xdxPϕ

donde 2ϕ es cierta expresión cuya anulación implica que 0≡u . Para conseguir

esto, comenzamos sumando a G la función cero expresada en la forma

( )∫1

0

2x

xdxwu

dx

d

A continuación, seleccionamos la función diferenciable w de modo que la

expresión

( ) ( ) 22222''2'' uwQwuuPuwu

dx

dQuPu +++=++ (8)

sea un cuadrado perfecto. Esto será cierto si w es solución de

( ) 2' wwQP =+ (9)

ya que en tal caso (8) puede ser escrito como

2

'

+ u

P

wuP

De este modo, si (9) tiene una solución definida en todo el intervalo [ ],, 10 xx

entonces G puede escribirse como


∫

+

1

0

2

'x

xdxu

P

wuP (10)

y es, por tanto, definido positivo. De hecho, si (10) se anula, entonces debe ser

0' ≡+ uP

wu

puesto que, por hipótesis, es ( ) 0>xP en [ ]10 , xx . Pero esta ecuación de primer

orden, con la condición ( ) 00 =xu tiene por única solución a 0≡u .

La demostración se reduce, pues, a comprobar que si no hay puntos conjugados de 0x en el intervalo [ ]10 , xx entonces la ecuación (9) tiene una

solución global en [ ]10 , xx . Esta ecuación diferencial, es una ecuación de Ricatti, que puede ser reducida a una ecuación lineal de segundo orden mediante el cambio

Pz

zw

'−= (11)

donde z es una nueva incógnita. Con este cambio (9) se transforma en

( ) 0' =+− QzPzdx

d (12)

que es, justamente, la ecuación de Euler de G . Ahora, puesto que no hay puntos conjugados en [ ]10 , xx se sigue, por definición, que (12) tiene una solución que

no se anula en [ ]10 , xx . Por tanto, la ecuación (9) tiene una solución, dada por

(11), definida en todo el intervalo [ ]10 , xx .

A continuación veremos que la condición de que no existan puntos

conjugados de 0x en el intervalo [ ]10 , xx no es solo una condición suficiente sino

también necesaria. Comenzamos con un lema que usaremos en la demostración. Lema 5. Si la función u satisface la ecuación

( ) 0' =+− QzPzdx

d

y las condiciones de frontera

( ) ( ) 010 == xuxu entonces


( ) 0'1

0

22 =+∫x

xdxQuPu

Demostración. El lema es una consecuencia inmediata de la fórmula

( ) ( )∫∫ +=

+−=

1

0

1

0

22''0

x

x

x

xdxQuPuudxQuPu

dx

d

que se obtiene por integración por partes y el uso de las condiciones de frontera.

Teorema 6. Supongamos que ( ) 0>xP para todo 0x en el intervalo [ ]10 , xx . Si

el funcional cuadrático G es definido positivo para toda [ ]( )10

1

0 , xxCu ∈

entonces el intervalo [ ]10 , xx no posee puntos conjugados de 0x . Demostración. La idea de la demostración es la de construir una familia de funcionales definidos positivos dependientes de un parámetro, t , tales que para

1=t se reduce al funcional G , mientras que para 0=t nos da el funcional cuadrático

∫1

0

2'

x

xdxu

el cual, claramente, no posee puntos conjugados de 0x en el intervalo [ ]10 , xx .

Entonces, demostraremos que cuando variamos el parámetro t en [ ]1,0 , no

pueden aparecer puntos conjugados en [ ]10 , xx .

Consideremos el funcional

( ) ( )[ ]∫ −++1

0

222'1'

x

xdxutQuPut (13)

es definido positivo para todo [ ]1,0∈t , puesto que G lo es por hipótesis. La ecuación de Euler correspondiente a este funcional es

( )( )[ ] 0'1 =+−+− tQzuttPdx

d (14)

Sea ( )txu , una solución de (14) tal que ( ) 0,0 =txu y ( ) 1,0 =txu x para todo

[ ]1,0∈t . Esta solución depende con continuidad del parámetro t , que para 1=t se reduce a la solución v de la ecuación (7) con las condiciones


( ) ( ) 01,1, 10 == xuxu , y para 0=t se reduce a la solución de 0'' =u con las

mismas condiciones de frontera, es decir, ( )00 0, xxxu −= .

Supongamos ahora que el intervalo [ ]10 , xx contiene un punto x conjugado

de 0x . Necesariamente será 1xx < porque, si 1xx = , el lema anterior implica

que existe una v no idénticamente nula tal que ( ) 0=vG , contradiciendo la

hipótesis de positividad de G . Por tanto, la demostración se reduce a

comprobar que no puede haber un punto conjugado, x , en el interior de [ ]10 , xx Para demostrarlo, consideremos el conjunto de puntos

( ) [ ] [ ] ( ) 0,:1,0, 10 =×∈= txuxxtxC Si mostramos que en los puntos en los que ( ) 0, =txu no puede tenerse

( ) 0,0 =txu x entonces podremos deducir el teorema de la función implícita que

el conjunto C representa una curva diferenciable en el plano xt . Tenemos que, si ( ) 0**, =txu en algún ( )**,tx entonces debe ser ( ) 0**, ≠txu x ya que para

cualquier t fijo ( )txu , satisface la ecuación (14), y si se tuviera

( ) ( ) 0**,**, == txutxu x entonces debería ser ( ) 0*, =txu para todo [ ]10 , xxx ∈

debido al teorema de unicidad para ecuaciones diferenciales lineales. Pero esto es imposible puesto que xu es una función continua en [ ] [ ]1,0, 10 ×xx y

( ) 1,0 =txu x para todo [ ]1,0∈t .

Tenemos entonces que el teorema de la función implícita nos asegura la

existencia de una curva, ( )tx , tal que ( )( ) 0, =ttxu en un entorno de cada punto

de C . Por hipótesis, el punto ( )1,x pertenece a dicha curva. Partiendo de este punto tenemos que:

A. La curva no puede terminar en le interior de [ ] [ ]1,0, 10 ×xx , pues sería

una condición de la dependencia continua de ( )txu , respecto del parámetro t .

B. La curva no puede cortar el segmento [ ] 1,0,1 ∈= txx , puesto que, por el mismo argumento que el del lema anterior, pero aplicado a la ecuación (14), las condiciones de frontera ( ) ( ) 0,, 10 == txutxu y el funcional (13), se tendría una contradicción de la positividad del funcional para todo t .

C. La curva no puede cortar el segmento 1=t , [ ]10 , xxx ∈ , puesto que

tendríamos ( ) ( ) 0,, == txutxu x para algún ( )tx, .

D. La curva no puede cortar el segmento [ ] 10 ,,0 xxxt ∈= , puesto que

para 0=t la ecuación (14) se reduce a 0'' =u cuya solución sólo se anula en 0xx = .


E. La curva no puede aproximarse al segmento [ ] 1,0,0 ∈= txx puesto

que tendríamos ( ) 0,0 =txu x para algún t , contrario a nuestras hipótesis.

Podemos ver esto en la siguiente figura:

Se sigue que tal curva no puede existir, con lo que se concluye la

demostración.

Si reemplazamos la condición de que el funcional G sea definido positivo

por la de que sea no negativo obtenemos el siguiente resultado.

Corolario 7. Si ( )uG , con ( ) 0>xP para todo 0x en el intervalo [ ]10 , xx , es

definido no negativo entonces el intervalo [ )10 , xx no contiene puntos

conjugados de 0x .

Demostración. La única diferencia con la demostración del teorema anterior es que no podemos asegurar que el funcional auxiliar dado por (13) sea definido

positivo en 1=t . Así, no se puede excluir la posibilidad de que 1xx = .

Los teoremas anteriores se combinan en el siguiente enunciado.

Teorema 8. El funcional cuadrático

( )∫ +1

0

22'

x

xdxQuPu

con ( ) 0>xP para todo 0x en el intervalo [ ]10 , xx , es definido positivo para toda

[ ]( )10

1

0 , xxCu ∈ si y solo si el intervalo [ ]10 , xx no contiene puntos conjugados en

0x .


A continuación aplicaremos estos resultados al problema de optimización

( ) ( ) ( )( )dxxuxuxLuJx

x∫=1

0

',, (15)

con las condiciones de frontera ( )

00 uxu = y ( )11 uxu = . Recordemos que la

segunda variación de este funcional en un extremo viene dada por

( )∫ +1

0

22'

x

xdxQvPv (16)

con

''2

1uuLP = ,

−=

''2

1uuuu L

dx

dLQ

Definición 9. La ecuación de Euler

( ) 0' =+− QvPvdx

d

del funcional cuadrático (16) es llamada ecuación de Jacobi del funcional original dado por (15).

Definición 10. Se dice que el punto x es conjugado de 0x con respecto al

funcional (15) si es el conjugado de 0x con respecto al funcional cuadrático (16).

A continuación enunciamos la condición necesaria de Jacobi:

Teorema 11. Si u es un mínimo del funcional

() = &, (), S()' (17)

para el cual 0

''>yyF , entonces el intervalo ( )

10 , xx no contiene puntos

conjugados de 0x . Demostración. Como ya se ha dicho anteriormente, una condición necesaria para la realización de F es la no negatividad de la segunda variación evaluada en dicho mínimo. Un colorarlo anterior, asegura que si el funcional cuadrático (16) es no negativo entonces el intervalo ( )

10 , xx no puede contener puntos

conjugados en 0x .


5.2.Condiciones suficientes de Jacobi bajo las cuales un funcional tiene un mínimo.

En esta sección formularemos las condiciones suficientes bajo las cuales un

funcional de la forma () = &, (), S()' (18)

con condiciones de frontera fija, ( )

00 yxy = y ( )11 yxy = tiene un mínimo en la

curva y . Veremos que estas condiciones se parecen mucho a las condiciones necesarias obtenidas en las secciones anteriores. Las condiciones necesarias fueron consideradas separadamente, puesto que cada una de ellas es necesaria en sí misma. Sin embargo, las condiciones suficientes deben considerarse en conjunto puesto que la presencia de un mínimo está asegurada solo si se satisfacen todas las condiciones simultáneamente. Demostraremos previamente un lema que usaremos en la demostración del teorema de suficiencia.

Lema 12. Sea u una función diferenciable con ( )

00 yxy = , ( )11 yxy = y

[ ]( )10

1

0 , xxCu ∈ . Entonces si F es tres veces diferenciable con continuidad respecto todos sus argumentos, se tiene

( ) ( ) ( ) ( )∫∫ +++=−+1

0

1

0

222''

x

x

x

xdxuudxQyPyFyvuyv ηξ

donde 0, →ηξ cuando 0

1→u .

Demostración. El desarrollo de Taylor de orden dos nos proporciona la identidad

( ) ( ) ( ) ( ) ε+++++=−+ ∫∫1

0

1

0

2

''''

2

' ''22

1'

x

xyyyyyy

x

xyy dxuFuuFuFdxuFuFyvuyv

donde el resto, ε , puede escribirse como

( )∫ ++=1

0

2

32

2

1 ''x

xdxuuuu εεεε (19)

Debido a la continuidad de las derivadas yyF , 'yyF y ''yyF , se sigue que

0→iε cuando 01

→u , para 3,2,1=i . Ahora integrando por partes y usando

las condiciones de frontera de h , podemos escribir (19) como

( )∫ +1

0

22'

x

xdxuu ηξ

con ξ y η satisfaciendo 0, →ηξ cuando 0

1→u .


Teorema 13. Supongamos que el funcional (18) evaluado en u satisface las siguientes condiciones:

1. La curva u es un extremo, es decir, satisface la ecuación de Euler

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0',,',, ' =− xyxyxFdx

dxyxyxF yy para todo ( )

10 , xxx ∈

2. A lo largo de la curva u se satisface la condición estricta de Legendre, es

decir

( ) ( ) ( )( ) 0',,2

1'' >== xyxyxFxP yy para todo ( )

10 , xxx ∈

3. El intervalo [ ]10 , xx no contiene puntos conjugados de 0x .

Entonces el funcional (18) tiene un mínimo en y . Demostración. Si el intervalo [ ]10 , xx no contiene puntos conjugados de 0x , y

si ( ) 0>xP en dicho intervalo, entonces por la continuidad de la solución de la Ecuación de Jacobi y de la función P , tenemos que tampoco habrá puntos conjugados en un intervalo mayor [ ]ε+10 , xx , en el cual también podemos

asumir que 0>P . Consideremos ahora el funcional cuadrático

( ) ∫∫ −+1

0

1

0

2222''

x

x

x

xdxudxQuPu α (19)

que tiene por ecuación de Euler

( )[ ] 0'2 =+−− QuuP

dx

dα (20)

Puesto que 0>P en [ ]ε+10 , xx y, por tanto, tiene una cota inferior positiva

en este intervalo, y como la solución de (20) que satisface las condiciones iniciales ( ) 00 =xu , ( ) 1' 0 =xu depende con continuidad del parámetro α , se

sigue que: 1. ( ) 0

2 >−αxP para todo [ ]10 , xxx ∈ .

2. La solución de (2.15) que satisface las condiciones de frontera ( ) 00 =xu ,

( ) 1' 0 =xu no se anula en ( ]10 , xx .

Por el segundo teorema de este punto se sabe que el funcional (19) es

definido positivo para todo α suficientemente pequeño. Es decir, existe una constante 0>c tal que


( ) ∫∫ >+1

0

1

0

222''

x

x

x

xdxucdxQuPu (21)

A partir de (21) deducimos que el mínimo es, efectivamente, y . En efecto,

sea h una curva tal que hy + está suficientemente próximo a y . Entonces tenemos que (por un lema anterior):

( ) ( ) ( ) ( )∫∫ +++=−+1

0

1

0

222''

x

x

x

xdxhhdxQuPuFyvhyv ηξ

donde 0, →ηξ en [ ]10 , xx cuando 0

1→h . Además, usando la desigualdad de

Schwarz obtenemos

( ) ( ) ( )∫∫∫ −≤−≤

=

1

000

2

0

2

0

22

'''x

x

x

x

x

xdxhxxdxhxxdxhxh

es decir,

( )∫∫

−≤

1

0

1

0

2

2

012'

2

x

x

x

xdxh

xxdxh

que implica que

( ) ( )∫∫

−+≤+

1

0

1

0

2

2

0122'

21'

x

x

x

xdxh

xxdxhh εηξ (22)

si εξ ≤ y εη ≤ . Puesto que 0>ε puede tomarse arbitrariamente pequeño, se

sigue de (21) y (22) que ( ) ( )yvhyv >+ para toda h con 1

h suficientemente

pequeña.

5.3. Relación entre la condición de Jacobi y la teoría de formas cuadráticas.

El funcional cuadrático

( )∫ +b

adxQuPu

22' (23)

donde hemos cambiado la notación [ ]10 , xx por [ ]ba, , y donde ( ) 0>xP para

todo [ ]bax ,∈ , es definido positivo para todo [ ]( )baCu ,1

0∈ si y solo si el

intervalo [ ]ba, no contiene puntos conjugados de a . El funcional (23) es el análogo a una forma cuadrática en dimensión finita. Por tanto, es natural


comenzar estudiando las condiciones de este tipo de formas en un espacio n-dimensional y luego tomar el límite ∞→n . Esto puede hacerse de la siguiente manera: introducimos la partición

bxxxxa nn == +110 ,,...,,

del intervalo [ ]ba, , en la cual, por comodidad, suponemos los nodos

equiespaciados, ( ) ( )1+−=∆ nabx , a continuación consideramos la forma cuadrática

∑=

+ ∆

+

∆

−n

i

ii

ii

i xuQx

uuP

0

2

2

1 (24)

donde iP , iQ y iv son los valores de las funciones P , Q y v en los nodos ix . Esta forma cuadrática proporciona una aproximación finito dimensional cuadrático (23), agrupando términos similares y teniendo en cuenta que

( ) 00 == auu , ( ) 01 ==+ buun , podemos escribir (24) como

∑=

−−−

∆−

∆

−+∆

n

i

iii

iii

i uux

Pu

x

PPxQ

1

1

121 2 (25)

En otras palabras, el funcional cuadrático (23) puede aproximarse por una

forma cuadrática de n variables cuya matriz viene dada por

−

−−−

nn

nnn

ab

bab

ab

bab

ba

1

112

32

221

11

0...000

...000

.......................

000...0

000...

000...0

(26)

donde

x

PPxQa ii

ii∆

++∆= −1 para ni ,...,2,1=

y

x

Pb i

i∆

−= para 1,...,2,1 −= ni


Un matriz como (26) en la cual todos los electos excepto la diagonal principal y sus dos diagonales adyacentes se anulan es llamada matriz de Jacobi, y su forma cuadrática asociada es llamada forma de Jacobi. Para cualquier matriz de Jacobi existe una fórmula de recurrencia para el cálculo de los menores principales dados por:

para ni ,...,2,1= . En efecto, expandiendo iD con respecto a los elementos de la

última fila, obtenemos la fórmula

2

2

11 −−− −= iiiii DbDaD (27)

que nos permite determinar nDD ,...,3 en términos de los dos primeros

menores. De hecho, si tomamos 10 =D y 01

=−D , entonces esta fórmula es

válida para todo ni ,...,2,1= . El criterio de Silvester asegura que una forma cuadrática simétrica es

definida positiva si y solo si todos los menores iD son positivos. Podemos así

obtener un criterio para que el funcional cuadrático (23) sea definido positivo haciendo ∞→n en la fórmula (27). Sustituyendo la expresión de los

coeficientes ia y ib en dicha fórmula, obtenemos

( ) 22

2

1

1

1

−−

−−

∆−

∆

++∆= i

ii

iiii D

x

PD

x

PPxQD (28)

para ni ,...,2,1= . Es imposible pasar directamente al límite ∞→n en esta

expresión, puesto que los coeficientes de 1−iD y 2−iD se hacen infinitos. Para evitar esta dificultad realizamos el cambio


( ) 1

11...+

+

∆=

i

iii

x

ZPPD , 11

0 =∆

=x

ZD , 001 ==− ZD

para ni ,...,2,1= . La fórmula (28) se escribe entonces, en términos de las

variables iZ como

( ) ( ) ( ) ( ) 1

121

2

2

1111

1

11 .........−

−−−−−

+

+

∆∆−

∆

∆

++∆=

∆i

iii

i

iiiiii

ii

x

ZPP

x

P

x

ZPP

x

PPxQ

x

ZPP

es decir,

( ) 01111

2=−−++∆ −−+− iiiiiiiiii ZPZPZPZPxZQ (29)

o

01 1

1

1 =

∆

−−

∆

−

∆− −

−+

x

ZZP

x

ZZP

xZQ ii

iii

iii

para ni ,...,2,1= . Pasando al límite ∞→n obtenemos la ecuación diferencial

( ) 0' =+− QZPZdx

d

que es justamente la ecuación de Jacobi.

La condición de que las cantidades iD sean positivas es equivalente a la

condición de que las cantidades iZ que satisfacen la ecuación en diferencias (29) sean positivas ya que el factor

( ) 1

...+

∆i

ii

x

PP

es siempre positivo (ya que ( ) 0>xP ). De modo que hemos probado que la forma cuadrática (23) es definida positiva si y solo si todas, excepto las primeras

2+n cantidades 10 ,..., +nZZ que satisfacen la ecuación en diferencias (29) son positivas.

Ahora, si consideramos la línea poligonal nΠ con vértices

( ) ( ) ( )

11100 ,,...,,,, +nZbZxZa


la condición de que 00 =Z y 0>iZ para 1,...,2,1 += ni significa que nΠ no

corta el intervalo [ ]ba, excepto en el punto a . Así, cuando 0→∆x , la ecuación en diferencias (29) se transforma en la ecuación de Jacobi, y la línea poligonal

nΠ tienda a una solución no trivial de dicha ecuación, la cual satisface la

condición inicial

( ) 00 == ZaZ , ( ) 1'0

01

0=

∆

∆=

∆

−=

→→ x

xlím

x

ZZlímaZ

xx

y además, dicha solución no se anula en ( ]ba, . En otras palabras, cuando

∞→n , la forma de Jacobi converge al funcional cuadrático (23), y la condición de que (25) sea definida positiva se traduce en la condición de que (23) sea definida positiva, que es equivalente a que el intervalo [ ]ba, no contenga puntos conjugados de a .

Ejemplo 8. ¿Se cumple la condición de Jacobi para calcular el extremo del

funcional ( )dxyyva

∫ −=0

22' que pasa por los puntos ( )0,0A y ( )0,aB ?

Solución. La ecuación de Jacobi tiene la forma

( ) 0'22 =−− ydx

dy , o bien 0'' =+ yy

de donde ( )

21CxsenCy −= .

Como ( ) 00 =y , entonces 02 =C , senxCy 1= . La función y se anula en los

puntos πkx = , donde k es un número entero.

Por tanto, si ( )π,0∈a , la función y se anula en el intervalo [ ]ax ,0∈ solo en el

punto 0=x , y la condición de Jacobi se cumple. Si, en cambio, ( )∞∈ ,πa , la

función y se anula en el intervalo [ ]ax ,0∈ también por lo menos en el punto π=x , y la condición de Jacobi no se cumple.

Ejemplo 9. ¿Se cumple la condición de Jacobi para calcular el extremo del

funcional ( )dxxyyva

∫ ++=0

222' que pasa por los puntos ( )0,0A y ( )0,aB ?

Solución. La ecuación de Jacobi tiene la forma

0'' =+ yy


Tomemos la solución general en la forma

chxCshxCy21

+= De la condición ( ) 00 =y se halla 02 =C , por lo que shxCy

1= . Las curvas

del haz shxCy1

= cortan el eje OX solo en el punto 0=x . La condición de Jacobi se cumple para todo a .

5.4.Condición suficiente de Jacobi de inclusión de una extremal en un campo de extremales central.

Para que un arco AB de una extremal se pueda incluir en un campo de extremales central con centro en un punto 0 0

( , )A yx , es suficiente que el arco AB no contenga puntos *A conjugados del punto A. Ejemplo 10. Consideremos el funcional

22 2

0

;[ ( )] ( ' 9 1)a

xv y x y y e dx= − + −∫ (0) 0,y = (0) 0,y = ( ) 0.y a =

Determinar si la extremal 0y = puede ser incluida en un campo central de extremales con centro en el punto (0,0).O Solución. La ecuación de Euler del funcional dado es '' 9 0y y+ = y su solución

general, 1 2

( ) (3 ) cos(3 ).y x C sen x C x= +

Si / 3a kπ≠ (k es un número entero), entonces la extremal que satisface las condiciones de contorno dadas es la recta 0.y = Considerando la familia

uniparamétrica de extremales 1 1

(3 ),y C sen x= es fácil verificar que su C-


discriminante está formado por los puntos ( / 3,0).kπ Por eso, si / 3,a π< en la extremal 0y = no existen puntos conjugados del punto (0,0), por lo cual esta extremal, evidentemente, puede ser incluida en el campo central de extremales con centro en el punto (0,0).O Pero si / 3,a π≥ entonces en la extremal 0y = hay al menos un punto conjugado del punto (0,0),O es decir, la condición

suficiente de Jacobi no se cumple. En este caso las extremales 1

(3 )y C sen x= no forman un campo.

Forma analítica de la condición de Jacobi.

Consideremos el problema variacional elemental

1

0

[ ( )] ( , , ') ;

x

x

v y x F x y y dx= ∫ 0 0( ) ,y x y= 1 1

( ) .y x y=

Si la solución ( )u u x= de la ecuación deJacobi

' ' '( ) ( , ') 0yy yy y y

d dF F u F u

dx dx− − =

que satisface la condición

0( ) 0u x = se anula en algún punto del intervalo

0 1,x x x< < entonces el arco AB de la extremal (en el punto B tiene coordenadas

1 1( , )x y ) contiene un punto *A conjugado de

0 0( , ).A x y

Si existe una solución ( )u x de la ecuación de Jacobi que satisface la

condición 0

( ) 0u x = y que no se anula en ningún punto del semiintervalo

0 1,x x x< ≤ entonces en el arco AB no hay puntos conjugados de A. En este caso,

el arco AB de la extremal puede ser incluido en el campo central de extremales con centro en el punto

0 0( , ).A x y

Ejemplo 11. Determinar si se cumple la condición de Jacobi para la extremal del funcional

2 2

0

[ ( )] ( ' )a

v y x y x dx= +∫

que pasa por los puntos (0,0)O y ( ,3).B a Solución. La ecuación de Jacobi es '' 0u = y su solución general es

1 2( ) .u x C x C= + De la condición (0) 0u = resulta

20,C = de donde

1.u C x= Estas

soluciones 1

u C x= (1

0C ≠ ) no se anulan para ningún valor de 0.a > Es decir, en el arco OB de la extremal no existe un punto conjugado del punto (0,0).O Por consiguiente, esta extremal puede ser incluida en un campo central de extremales con centro en el punto (0,0).O No es difícil verificar que la extremal


buscada es la recta 3 / ,y x a= la cual, evidentemente, está incluida en el campo

central de extremales 1

.y C x=


6. Condición de Weiertrass.

6.1. Función )',,,( ypyxE . Condición de

Weiertrass.

Supongamos que en el problema simple sobre el extremo del funcional

∫=1

0

;)',,(

x

x

dxyyxFv ;)( 00 yxy = 11)( yxy =

se cumple la condición de Jacobi y, por consiguiente, la extremal C que pasa por los puntos ),( 00 yxA y ),( 11 yxB puede ser incluida en un campo central con

inclinación igual a (, ) (Figura 5).

Figura 5

Transformemos el incremente ∫∫ −=∆CC

dxyyxFdxyyxFv )',,()',,( a una forma

más cómoda para su estudio, para determinar el signo del incremento v∆ del

funcional v al pasar de la extremal 1 a cierta curva próxima admisible C . (Los símbolos:

∫C

dxyyxF )',,( y ∫C

dxyyxF )',,(

representan los valores del funcional ∫=1

0

)',,(

x

x

dxyyxFv tomados

respectivamente por los arcos de las curvas C y C ).

Consideremos el funcional auxiliar:


dxpyxFpdx

dypyxF

C

p∫

−+ ),,(),,( ,

que se transforma en ∫C

dxyyxF )',,( en la extremal C , en virtud de que pdx

dy=

en las extremales del campo. Por otro lado, el mismo funcional auxiliar

dxpyxFpdx

dypyxF

C

p∫

−+ ),,(),,( ,

o bien

dypyxFdxpyxpFpyxF p

C

p ),,()],,(),,([ +−∫ (30)

es la integral de una diferencial total. En efecto, la diferencial de la función ),( yxv , en la cual se transforma el funcional )]([ xyv en las extremales del

campo, tiene la forma

dyyyxFdxyyxFyyyxFvd yy )',,()]',,(')',,([ '' +−= ,

Y se diferencia sólo por la notación del coeficiente angular de la tangente a las extremales del campo de la expresión subintegral en la instalar auxiliar (30) considerada.

De este modo, la integral dxFpypyxF

C

p∫ −+ ])'(),,([ coincide con la

∫C

dxyyxF )',,( en la extremal C, y como el funcional dxFpypyxF

C

p∫ −+ ])'(),,([ es

la integral de una diferencial total, (y por lo tanto, no depende del camino de integración) entonces

dxpyxFpypyxFdxyyxF

C

p

C

∫∫ −+= )],,()'(),,([)',,(

no sólo para CC = , sino también para cualquier C .

Por lo tanto, el incremento

∫∫ −=∆CC

dxyyxFdxyyxFv )',,()',,(

Puede ser reducido a la forma siguiente:

∫∫ −+−=∆C

p

C

dxpyxFpypyxFdxyyxFv )],,()'(),,([)',,( .


La función subintegral se llama función de Weierstrass, y se denota por )',,,( ypyxE :

),,()'(),,()',,()',,,( pyxFpypyxFyyxFypyxE p−−−= .

En estas notaciones

∫=∆1

0

)',,,(

x

x

dxypyxEv

Es evidente que una condición suficiente para que el funcional v tenga un mínimo en la curva C es que la función E no sea negativa, puesto que si 0≥E , entonces también 0≥∆v ; y una condición suficiente para que tenga un máximo será 0≤E , debido a que en este caso también 0≤∆v . Para que haya un mínimo débil es suficiente que la desigualdad 0)',,,( ≥ypyxE (ó 0≤E en el caso de máximo) se cumpla para valores de x e y próximos al valor de x e y en la extremal C investigada, y para valores de y’ cercanos a p(x,y) en la misma extremal; para que haya un mínimo fuerte la misma desigualdad debe ser válida para las mismas x e y, pero para y’ arbitrarias, puesto que en el caso de un extremo fuerte las curvas cercanas tendrán direcciones arbitrarias de las tangentes, y en el caso de extremo débil los valores de y’ en las curvas cercanas son próximos a los valores py =' en la extremal C.

Por consiguiente, las siguientes condiciones serán suficientes para que el funcional v tenga un extremo en la curva C.

Para un extremo débil:

1. La curva C es una extremal que satisface las condiciones de frontera. 2. La extremal C puede ser incluida en un campo de extremales. Esta

condición se puede sustituir de la de Jacobi. 3. La función )',,,( ypyxE no cambia su signo en todos los puntos (x, y)

próximos a la curva C, y para valores de y’ cercanos a p(x, y). En el caso de mínimo es 0≥E , en el caso de máximo, 0≤E .

Para un extremo fuerte:

1. La curva C es una extremal que satisface las condiciones de frontera. 2. La extremal C puede ser incluida en un campo de extremales. Esta

condición se puede sustituir por la de Jacobi. 3. La función )',,,( ypyxE no cambia su signo en todos los puntos (x, y)

próximos a la curva C, y para valores de y’. En el caso de mínimo es 0≥E , en el caso de máximo, 0≤E .

Observación. Se puede demostrar que la condición de Weierstrass es necesaria. Más exactamente, si en un campo central que incluya a la extremal C la función E tiene signos opuestos en los puntos de la extremal para ciertas y’,


entonces no hay extremo fuerte. Si esta propiedad tiene lugar para valores de y’ arbitrariamente próximos a p, tampoco hay extremo débil.

Ejemplo 12. Investigar el extremo del funcional

dxyv

a

∫=0

3' 0)0( =y bay =)(

0>a 0>b .

Solución. Las rectas 21 CxCy += son extremales. El extremo puede alcanzarse

sólo en la recta xa

by = . El haz de rectas xCy 1= con centro en el punto (0, 0)

forma un campo central que incluye a la extremal xa

by = (Figura 6).

Figura 6

La función E es igual a

)2'()'()'(3')',,,(2233 pypypyppyypyxE +−=−−−= .

En la extremal xa

by = la inclinación del campo es 0>=

a

bp , y si y’ toma

valores próximos a a

bp = , entonces 0≥E y, en consecuencia se cumplen todas

las condiciones suficientes para que haya un mínimo débil. De este modo, en la

extremal xa

by = hay un mínimo débil. Si, en cambio, y’ toma valores

arbitrarios, entonces )2'( py − puede tener cualquier signo y, por lo tanto, la función E no tiene signo constante; no se cumplen las condiciones suficientes para que haya un mínimo fuerte. Entonces, se puede afirmar que no hay

mínimo fuerte en la recta xa

by = .


Ejemplo 13. Analizar el extremo del funcional

;)'''6(4

0

2dxyyyy

a

+−∫ 0)0( =y bay =)(

0>a 0>b .

en la clase de las funciones continuas con derivada primera continua.

Solución. Las rectas 21 CxCy += son extremales. La recta xa

by = satisface las

condiciones de frontera, y se incluye en el haz de extremales xCy 1= que forman un campo central.

La función E es igual a

[ ].)36('2')'(

)412)('(6'''6)',,,(

222

34242

ppyypy

ypppyypppyyyyypyxE

−−+−−=

=+−−−−+−+−=.

El signo de E es opuesto a signo del último factor

)36('2'22 ppyy −−+ .

Este factor se anula y puede cambiar su signo sólo cuando ′ pasa por el valor .26'

2ppy −±−= Para 026

2 ≤− p ó 3≥p , para toda y’ tendremos

0)]36('2'[22 ≥−−+ ppyy ; si, en cambio, 026

2 >− p ó 3<p , la expresión

)]36('2'[22 ppyy −−+ cambia su signo. Si en este caso ′ se diferencia

suficientemente poco de , la última expresión mantiene su signo positivo >1, y negativo para < 1. Por tanto, para 1<=

a

bp ó ab < se tiene un mínimo débil, puesto que 0≥E

para valores de y’ próximos a p; para 1>=a

bp ó ab > se tiene un máximo

débil. Para 3≥=a

bp se tiene un máximo fuerte, ya que 0≤E para valores

cualesquiera de y’. Para 3<=a

bp , no hay ni mínimo fuerte ni máximo fuerte

(figura 7).


Figura 7

Incluso en los ejemplos citados más arriba, sumamente simples, el estudio del signo de la función causó ciertas dificultades; por esto, sería conveniente sustituir la condición de que la función tenga sigo constante por otra, de más fácil comprobación. Supongamos que la función )',,( yyxF es derivable tres veces respecto al argumento ′. Según la fórmula de Taylor,

),,(!2

)'(),,()'(),,()',,( ''

2

qyxFpy

pyxFpypyxFyyxF yyp

−+−+= ,

donde m está contenido entre e ′. La función

),,()'(),,()',,()',,,( pyxFpypyxFyyxFypyxE p−−−=

luego de sustituir )',,( yyxF por su desarrollo mediante la fórmula de Taylor, toma la forma:

),,(!2

)'()',,,( ''

2

qyxFpy

ypyxE yy

−= .

De aquí se ve que la función conserva su signo se ),,('' qyxF yy lo conserva.

Al estudiar el extremo débil, la función ),,('' qyxF yy debe conservar su signo para

valores de e en los puntos cercanos a los puntos de la extremal que se investiga, y para valores de m próximos a . Si 0)',,('' ≠yyxF yy en los puntos de

la extremal 1, entonces en virtud de la continuidad esta derivada segunda conserva su signo en los puntos próximos a la curva 1, y para valores de ′ próximos a los valores de y’ en la curva 1. De este modo, al estudiar un mínimo débil la condición 0≥E puede ser sustituida por la 0'' <yyF en la curva 1. La condición 0'' >yyF (ó 0'' <yyF ) se llama condición de Legendre).


Al estudiar un mínimo fuerte la condición 0≥E puede sustituirse por la 0),,('' ≥qyxF yy en los puntos (, ) próximos a los puntos de la curva 1 para

valores arbitrarios de m. En este caso se supone, claro está, que el desarrollo mediante la fórmula de Taylor:

),,(!2

)'(),,()'(),,()',,( ''

2

qyxFpy

pyxFpypyxFyyxF yyp

−+−+=

tiene lugar para ′ cualesquiera. Al estudiar un máximo fuerte se obtiene la condición 0),,('' ≤qyxF yy , bajo las mismas suposiciones respecto a la región de

variación de los argumentos y a la validez del desarrollo de la función )',,( yyxF por la fórmula de Taylor.


[ ] ∫ −=a

dxyyxyv0

22)'()( 0>a 0)0( =y 0)( =ay

Solución. La ecuación de Euler tiene la forma ;0'' =+ yy su solución general es

).()cos( 21 xsenCxCy += Utilizando las condiciones de frontera, se obtiene 01 =C

y 02 =C , si πka ≠ , donde : es un entero. De este modo, si πka ≠ , es extremo se puede alcanzar sólo en la recta 0=y .

Si π<a , el haz de extremales )(1 xsenCy = con centro en el punto (0, 0) forma un campo central. Si π>a , la condición de Jacobi no se cumple.

Como la función subintegral es derivable tres veces con respecto a ′ para ′ cualesquiera y 02'' >=yyF para valores cualesquiera de y’, entonces en la recta

0=y , para π<a , hay un mínimo fuerte. Entonces, se puede afirmar que para π>a no hay mínimo en la recta 0=y .


[ ] dxy

yxyv

x

∫+

=1

0

2'1

)( 0)0( =y 11)( yxy =

Solución. Las extremales son las cicloides

21 )(( CtsentCx +−=

)cos(1(1 tCy −=


El haz de cicloides 21 )(( CtsentCx +−= , )cos(1(1 tCy −= con centro en el punto (0, 0) forma un campo central que incluye la extremal

))(( tsentax −= ))cos(1( tay −= ,

Donde a se determina de la condición de que la cicloide pase por el segundo punto frontera ),( 11 yxB (Figura 8), si ax π21 <

Figura 8

se tiene

2'

'1

'

yy

yFy

+= 0

)'1(

12/32'' >

+=

yyF yy

para y’ cualesquiera. Por consiguiente, para ax π21 < hay un mínimo fuerte en la cicloide

))(( tsentax −= ))cos(1( tay −= ,


[ ] dxyxyv

a

∫=0

3')( 0)0( =y bay =)( 0>a 0>b .

Solución. Los extremales son líneas rectas. El haz Cxy = forma un campo

central que incluye la extremal xa

by = . En la extremal x

a

by = la derivada

segunda es 06'6'' >==a

byF yy

. En consecuencia, en la recta xa

by = hay un

mínimo débil.


La derivada segunda '6'' yF yy = no mantiene su signo constante para ′ arbitrarias; por lo tanto, las condiciones suficientes para que haya un mínimo fuerte indicadas más arriba no se cumplen. Sin embargo, de aquí no se puede aún concluir que no hay un extremo fuerte.


[ ] dxy

yxyv

a

∫=0

2'

)( 1)0( =y bay =)( 0>a 10 << b .

Solución. La primera integral de la ecuación de Euler tiene la forma

Cy

yy

y

y=+

32'

2'

' , o bien yCy 1

24' =

Extrayendo la raíz cuadrada, separando variables e integrando, se obtiene 2

21 )( CxCy += , que es una familia de parábolas. De la condición 1)0( =y se

halla 12 =C . El haz de parábolas 2

1 )1( += xCy con centro en el punto A(0,1)

tiene la curva 1C -discriminante 0=y (Figura 9).

Figura 9

Por el punto (, ) pasan dos parábolas de este haz. En el arco de una de ellas )( 1L se encuentra el punto ∗ conjugado del ; en el otro )( 2L no hay puntos conjugados y, por lo tanto, la condición de Jacobi se cumple en el arco

2L , y en este arco de parábola puede haber un extremo. En un entrono de la

extremal estudiada se tiene 0'

64'' >=

y

yF yy

para ′ arbitrarias; sin embargo, en


base a esto no su puede aún afirmar que en el arco 2L hay un mínimo fuerte,

debido a que la función 2'

)',,(y

yyyxF = no puede ser representada en la forma

),,(!2

)'(),,()'(),,()',,( ''

2

qyxFpy

pyxFpypyxFyyxF yyp

−−−+=

Para valores de ′ arbitrarios, ya que la función )',,( yyxF es discontinua para

0'=y . Se puede afirmar solamente que en 2L hay un mínimo débil, puesto que

para valores de ′ cercanos a la inclinación del campo en la curva 2L tiene lugar dicho desarrollo de la función )',,( yyxF por la fórmula de Taylor.

Para un estudio completo del extremo de este funcional es necesario considerar la función )',,,( ypyxE :

.'

)'2()'()'(

2

')',,,(

32

2

322py

pypyypy

p

y

p

y

y

yypyxE

+−=−+−=

Como el factor )'2( py + no mantiene su signo constante para ′ arbitrarias, se puede afirmar, que no hay un mínimo fuerte en el arco 2L .

La teoría expuesta se generaliza sin cambios sustanciales a los funcionales de la forma

[ ] ;)',...,',',,...,,,(,...,, 212121

1

0

dxyyyyyyxFyyyv nn

x

x

n ∫=

ioi yxy =)( 0 11)( ii yxy = ),...2,1( ni =

La función tiene la forma:

),...,,,,...,,,()(

),...,,,,...,,,()',...,',',,...,,,(

2121

1

21212121

nnpi

n

i

i

nnnn

pppyyyxFpy

pppyyyxFyyyyyyxFE

i−−

−−=

∑=

donde ip son las funciones de inclinación del campo, al cual se le imponen ciertas limitaciones (bajo estas limitaciones en campo se llama especial).

La condición de Legendre 0'' ≥yyF se sustituye por las condiciones siguientes:

021 ''

≥yyF , 0

2212

2111

''''

''''≥

yyyy

yyyy

FF

FF


Las condiciones suficientes de mínimo débil se pueden obtener tanto para el problema simple como para otros más complejos por otro método, basado en el estudio del signo de la segunda variación.

El incremento del funcional en el problema simple se puede reducir, mediante la fórmula de Taylor, a la forma siguiente:

[ ]

∫ ∫

∫

++++=

=−++=∆

1

0

1

0

1

0

)''2(2

1)',(

)',,()'',,(

2

'''

2

'

x

x

x

x

yyyyyyyy

x

x

RdxyFyyFyFdxyFyF

dxyyxFyyyyxFv

δδδδδδ

δδ

donde R tiene orden mayor que 2 respecto a yδ y 'yδ . Al investigar un extremo débil yδ y 'yδ son suficientemente pequeñas, y en este caso el signo del incremento v∆ se determina por el signo del término que se halla en el segundo miembro y contiene las potencias menores de yδ y 'yδ . En las extremales la primera variación será

∫ =1

0

0)',( '

x

x

yy dxyFyF δδ

y, por lo tanto, el signo del incremento v∆ coincide en general con el de la segunda variación

∫ ++=1

0

)''2(2

'''

22

x

x

yyyyyy dxyFyyFyFv δδδδδ

La condición de Legendre conjuntamente con la de Jacobi son precisamente condiciones que aseguran que el signo de la segunda variación sea constante y, conjuntamente con esto, sea constante el signo del incremento v∆ en el problema sobre un extremo débil.

En efecto, consideremos la integral

∫ +1

0

)')(2)('(2

x

x

dxyyxyx δδωδω (31)

donde )(xω es una función derivable arbitraria. Esta integral es igual a cero:

∫∫ ===+1

0

1

0

1

0

0])([)()')(2)('(22

x

x

x

x

x

x

yxyddxyyxyx δωωδδδωδω

Sumando la integral (31) a la segunda variación, se obtiene


∫ ++++=1

0

)'')(2)'((2

'''

22

x

x

yyyyyy dxyFyyFyFv δδδωδωδ .

La función )(xω se escoge de modo que la función subintegral se transforme, salvo un factor, en un cuadrado perfecto. Para esto la función )(xω debe satisfacer la ecuación

0)()'(2

''' =+−+ ωω yyyyyy FFF .

Con la función ω elegida de este modo, la segunda variación toma la forma

∫

++=

1

0

2

''

'

''

2'

x

x yy

yy

yy dxyF

FyFv δ

ωδδ

y, en consecuencia, su signo coincide con el de ''yyF .

Sin embargo, esta transformación es posible sólo bajo la hipótesis de que la ecuación diferencial

0)()'(2

''' =+−+ ωω yyyyyy FFF

tenga una solución derivable )(xω en el segmento ),( 10 xx .

Transformando esta ecuación a nuevas variables mediante la sustitución

u

uFF yyyy

'''' −−=ω

donde es una nueva función incógnita, se obtiene 0)'( ''' =−

− uF

dx

duF

dx

dF yyyyyy

,

que es la ecuación de Jacobi.

Si existe una solución de esta ecuación que no se anule para 10 xxx ≤< , es decir, si se cumple la condición de Jacobi, existe, para dichos valores de x, una solución continua y derivable:

u

uFFx yyyy

')( ''' −−=ω

de la ecuación:

0)()'(2

''' =+−+ ωω yyyyyy FFF


De este modo, las condiciones de Legendre y de Jacobi aseguran la constancia del signo de la segunda variación y, por consiguiente, son condiciones suficientes de mínimo )0( '' >yyF o máximo )0( '' <yyF débil.


7. ANEXO: Métodos directos en el cálculo variacional.

7.1. Método de Euler de diferencias finitas.

Consideremos el siguiente problema variacional elemental: hallar el extremo del funcional

[ ( )] ( , , ') ;b

a

v y x F x y y dx= ∫ ( ) ,y a A= ( ) .y b B=

En el método de Euler los valores del funcional anterior no se consideran en curvas arbitrarias admisibles para el problema variacional dado, sino sólo en líneas quebradas formadas por un número dado n de segmentos rectilíneos cuyos vértices tienen abscisas

,a x+ ∆ 2 , ,a x+ ∆ … ( 1) ,a n x+ − ∆ donde .b a

xn

−∆ =

En estas líneas quebradas el funcional [ ( )]v y x se transforma en una

función 1 2 1

( , ,..., )ny y y −Φ de las coordenadas 1 2 1, ,....,

ny y y − de los vértices de la

línea quebrada. Las ordenadas 1 2 1, ,....,

ny y y − se eligen de tal manera que la

función 1 2 1

( , ,..., )ny y y −Φ alcance su extremo, es decir, se determinan del

sistema de ecuaciones

1

0,y

∂Φ=

∂

2

0,y

∂Φ=

∂ .....,

1

0.ny −

∂Φ=

∂

La línea quebrada obtenida es una solución aproximada del problema variacional inicial.

Ejemplo 18. Hallar la solución aproximada del problema del mínimo del funcional

1

2

0

[ ( )] ( ' 2 ) ;v y x y y dx= +∫ (0) (1) 0.y y= =

Solución. Tomemos 1 0

0,25

x−

∆ = = y hagamos

= (0) = 0, = (0,2), 4 = (0,4), K = (0,6),


_ = (0,8), = (1) = 0 Sustituyamos aproximadamente los valores de las derivadas mediante la fórmula

S = S() ≈ − ∆

Entonces,

S(0) = − 00,2 , S(0,2) = 4 − 0,2 , S(0,4) = K − 40,2 , S(0,6) = _ − K0,2 , S(0,8) = 0 − _0,2 .

La integral se calcula por el método de los rectángulos:

() ≈ (() + () + (4) + ⋯ + (;^))∆.

Entonces,

Φ(, 4, K, _) = `) 0,2*4 + )4 − 0,2 *4 + 2 + )K − 40,2 *4 + 24 + )_ − K0,2 *4 +, ,+2K + )− _0,2*4 + 2_a ∙ 0.2

Escribimos el sistema de ecuaciones para determinar las ordenadas , 4, K, _ de la línea quebrada:

10,2 ∙ "Φ" = 0,02 − 4 − 0,02 + 2 = 0,10,2 ∙ "Φ"4 = 4 − 0,02 − K − 40,02 + 2 = 0,10,2 ∙ "Φ"K = K − 40,02 − _ − K0,02 + 2 = 0,10,2 ∙ "Φ"_ = _ − K0,02 + _0,02 + 2 = 0,

,

o bien

2 − 4 = −0,04− + 24 − K = −0,04−4 + 2K − _ = −0.04−K + 2_ = −0,04 ,


La solución de este sistema es

= −0,08 ; 4 = −0,12 ; K = −0,12 ; _ = −0,08 Los valores de la solución exacta

= 4 − 2

en los puntos respectivos coinciden con los valores de la solución aproximada.

7.2. Método de Ritz.

La idea del método consiste en que al hallar el extremo del funcional [ ( )]v y x

se consideran, en lugar del espacio de las funciones admisibles, sólo las funciones que se pueden representar como combinaciones lineales de las funciones admisibles:

∑=

=n

j

jjn xxy1

)()( ϕα (32)

donde jα son unas constantes y el sistema )(xjϕ , llamado sistema de

funciones coordenadas, está formado por funciones )(xjϕ que son linealmente

independientes y que constituyen un sistema completo de funciones en el espacio considerado.

Hablado en términos generales, cuando pedimos que las funciones )(xyn

sean admisibles, imponemos a las funciones coordenadas )(xjϕ ciertas

condiciones complementarias como, por ejemplo, limitaciones en cuanto a la derivabilidad o en cuanto a la verificación de las condiciones de frontera.

En estas combinaciones lineales el funcional [ ( )]v y x se convierte en una

función de los argumentos nααα ,...,, 21 :

1 2[ ( )] ( , ,..., )

nv y x α α α= Φ .

Determinamos los valores nααα ,...,, 21 que ofrecen extremo a la función

),...,,( 21 nαααΦ ; para ello resolvemos el sistema de ecuaciones


0=∂

Φ∂

jα ),...,2,1( ni = ,

no lineales, como regla, respecto a nααα ,...,, 21 , e introducimos en (32) los

valores encontrados para jα . La sucesión )(xyn que así resulta es una

sucesión minimizante, o sea, la sucesión de los valores del funcional [ ( )]v y x

obtenida a partir de ella converge hacia el mínimo o hacia la cota inferior del funcional )]([ xyJ .

Sin embargo, de

[ ( )] min [ ( )]lim nn

v y x v y x→∞

=

no se deduce aún que ( ) ( )lim nn

y x y x→∞

= . La sucesión minimizante puede no

converger hacia la función que realiza el extremo en la clase de las funciones admisibles.

Se pueden indicar las condiciones que garanticen que el mínimo absoluto del funcional exista y se alcance en las funciones )(xyn .

En el caso en el que se trate del extremo del funcional

2

1

[ ( )] ( , , ')

x

x

v y x F x y y dx= ∫ ;

11)( yxy = 22 )( yxy =

estas condiciones son:

1. La función ),,( zyxF es continua respecto al conjunto de sus argumentos para cualquier z y para Dyx ∈),( , donde D es un recinto cerrado del

plano yx0 al que pertenecen las líneas )(xyn . 2. Existan unas constantes 1,0 >> pα y β tales que

β+≥p

zzyxF ),,(

cualquiera que sea z y para cualquier punto Dyx ∈),( .

3. La función ),,( zyxF tiene la derivada parcial continua ),,( zyxFz y esta derivada es una función no decreciente de z )( +∞<<−∞ z cualquiera que sea el punto Dyx ∈),( .

En particular, las condiciones enunciadas se cumplen para los funcionales


2

1

2 2[ ( )] ( ) ' ( ) 2 ( )

x

x

v y x p x y q x y r x y dx = + + ∫

axy =)( 1 bxy =)( 2

donde )(),( xqxp y )(xr son funciones dadas, continuas en ],[ 21 xx , con la particularidad de que existe la derivada continua )(' xp de )(xp y de que

0)( >xp y 0)( ≥xq .

Si por este método se determina el extremo absoluto del funcional, el valor aproximado de su mínimo se obtiene por exceso y el valor aproximado de su máximo, por defecto. Al aplicar este método, el éxito depende en gran medida de la elección adecuada del sistema )(xjϕ de funciones coordenadas.

En muchos casos basta tomar la combinación lineal de dos o tres funciones )(xjϕ para obtener una aproximación bastante satisfactoria de la solución

exacta.

Si hay que determinar el extremo aproximado del funcional 1 2

[ ( , ,..., )]n

v z x x x

que dependen de las funciones de varias variables independientes, se escoge un sistema de funciones coordenadas

),...,,( 211 nxxxϕ , ),...,,( 212 nxxxϕ ,… ),...,,( 21 nn xxxϕ ,…

y la solución aproximada del problema variacional se busca en la forma:

),...,,(),...,,( 21

1

21 n

m

k

kknm xxxxxxz ∑=

= ϕα ,

donde los coeficientes kα son unos números constantes. Para determinarlos se

forma, por analogía con lo que hemos explicado, el sistema de ecuaciones

0=∂

Φ∂

kα ),...,2,1( nk = donde ),...,,( 21 nαααΦ es el resultado de introducir mz en

el funcional 1 2

[ ( , ,..., )]n

v z x x x .

Ejemplo 19. Hallar la solución aproximada del problema sobre el mínimo del funcional

1

2 2

0

[ ( )] ' 2v y x y y xy dx = − + ∫ (33)

0)1()0( == yy

y compararla con la solución exacta.


Solución. Como sistema de funciones coordenadas )(xkϕ tomamos

k

k xxx )1()( −=ϕ ,...)2,1( =k

Es evidente que las funciones )(xkϕ satisfacen las condiciones de frontera

0)1()0( == kk ϕϕ , son linealmente independientes y forman un sistema completo

en el espacio ]1,0[1C .

Para 1=k tenemos )()(2

11 xxxy −= α . Introduciendo esta expresión de )(1 xy en el funcional (33), obtenemos

1

2 2 2 2 2 2

1 1 1

0

1

2 2 2 3 4 2 3

1 1

0

2

1 1

[ ( )] (1 2 ) ( ) 2 ( )

(1 4 4 2 ) 2 ( )

3 1

10 6

v y x x x x x x x dx

x x x x x x x dx

α α α

α α

α α

= − − − + − =

= − + − + − + − =

= +

∫

∫

El coeficiente 1α se determina de la ecuación

06

1

5

31

1

=+=∂

∂α

α

φ

de donde resulta 18

51 −=α . Por consiguiente,

2

118

5

18

5)( xxxy +−= .

Solución exacta. La ecuación de Euler del funcional considerado es

xyy =+''

Resolviendo esta ecuación lineal no homogénea, encontramos

xxsenCxCy +−= )()cos( 21 .

Empleando las condiciones de frontera 0)1()0( == yy , obtenemos definitivamente


)1(

)(

sen

xsenxy −= .

Comparemos las soluciones exacta y aproximada:

X Solución exacta Solución aproximada

0,00 0 0 0,25 -0,044 -0,052 0,50 -0,070 -0,069 0,75 -0,060 -0,052 1,00 0 0

Ejemplo 20. Hallar la solución aproximada de la ecuación no lineal

2

2

3'' yy =

que satisfaga las condiciones 4)0( =y , 1)1( =y .

Solución. A este problema de contorno le corresponde el problema variacional

1

2 3

0

[ ( )] 'v y x y y dx = − ∫ 4)0( =y 1)1( =y

Buscaremos la solución en la forma

)(34)(2

11 xxxxy −+−= α

Es evidente que )(1 xy satisface las condiciones de frontera dadas cualquiera que

sea el valor de 1α .

Tenemos:

1

2 2 2 3

1 1

0

[ ( )] (1 2 ) 3] [4 3 ( )]v y x x x x x dxα α = − − + − + − ∫ ,

de donde

1

2 2 21

1 1

1 0

[ ( )](1 2 )2[ (1 2 ) 3] 3( )[4 3 ( )]

v y xx x x x x x x dxα α

α

∂ = − − − + − − + − ∂ ∫


La condición 1

1

[ ( )]0

v y x

α

∂=

∂ toma la forma

014074909 1

2

1 =++ αα

y para 0413,31 −=α obtenemos la solución del problema

40413,60413,3)(2

1 +−= xxxy

positiva en todos los puntos.

7.3. Método de Kantoróvich.

Este método ocupa un lugar intermedio entre la resolución exacta del problema y el método de Ritz, y se utiliza en la investigación de los extremos de funcionales

1 2[ ( , ,... )],

nv z x x x

dependientes de funciones de varias variables independientes ( 2n ≥ ). Al igual que en el caso del método de Ritz, elegimos un sistema coordenado de funciones

( ) 1 2, ,...

k nx x xϕ y buscamos una solución aproximada de la forma

( )1 2

1

( ) , ,... ,m

m k j k n

k

z x x x xα ϕ=

=∑

pero ahora los coeficientes ( )k j

xα son funciones desconocidas de una de las

variables independientes.

En las funciones de la forma ( )1 2

1

( ) , ,...m

m k j k n

k

z x x x xα ϕ=

=∑ el funcional

1 2[ ( , ,... )]

nv z x x x se transforma en el funcional

1 2( ( ), ( ),..., ( )),

j j m jv x x xα α α

dependiente de j funciones 1 2( ), ( ),..., ( ).

j j m jx x xα α α Estas funciones se eligen

de tal manera que el funcional v alcance su extremo, y se determinan a partir de las condiciones necesarias de extremo del funcional v .


Para las mismas funciones coordenadas ( ) 1 2, ,...

k nx x xϕ y con el mismo

número j de términos de la aproximación, utilizando el método de Kantoróvich obtenemos una solución aproximada más exacta, en general, que por el método de Ritz. Ejemplo 21. Hallar la solución aproximada de la ecuación de Poisson 1z∆ = − en el rectángulo , ,D a x a b y b= − ≤ ≤ − ≤ ≤ con la condición 0z = en la

frontera de la región .D Solución: La ecuación 1z∆ = − es la ecuación de Euler-Ostrogradski del funcional

22

[ ] 2 .D

z zv y z dxdy

x y

∂ ∂ = + −

∂ ∂ ∫∫

La solución se busca en la forma

2 2

1( , ) ( ) ( );z x y b y xα= −

la función

1( , )z x y satisface las condiciones de contorno del problema en las

rectas .y b= ±

Sustituyendo este valor de 1

z en el funcional [ ]v y anterior, obtenemos

5 2 3 2 3

1

16 8 8[ ] ' .

15 3 3

a

a

v z b b b dxα α α−

= + −

∫

La ecuación de Euler de este funcional es

22

5 5''42 bb

α α− = −

Se trata de una ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes y su solución general es

1 2

5 5 1( ) .

2 2 2

x xx C ch C sh

b bα = ⋅ + ⋅ +

Las constantes

1 2,C C se hallan a partir de las condiciones de contorno

( ) ( ) 0,a aα α− = =

lo cual proporciona 2

0,C = 1

1,

52

2

Ca

chb

= −

⋅

de manera que


5

1 2( ) 1 .

2 5

2

xch

bxa

chb

α

⋅

= −

⋅

Así pues,

2 2

1

5

2( , ) 1 .

2 5

2

xch

b y bz x ya

chb

⋅ −

= −

⋅

Para obtener una aproximación más exacta se puede buscar la solución del problema en la forma

2 2 2 2 2

2 1 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( ).z x y b y x b y xα α= − + −

7.4. Métodos variacionales de búsqueda de valores propios y funciones propias

7.4.1 El problema de Sturm-Liouville.

La ecuación de Sturm-Liouville

− (()S) + m() = ¡ (33) con condiciones

() = 0, () = 0 (34) donde () > 0 tiene derivada continua y m() es continua, siempre tiene la solución trivial (nula) ≡ 0 para todo ¡ real o complejo.

Definición 14. La ecuación (33) con las condiciones de contorno (34) se denomina problema de contorno de Sturm-Liouville (33)-(34). Los valores del parámetro ¡ para los cuales el problema de contorno (33)-(34) tiene soluciones no triviales () ≠ 0, se denominan valores propios y las propias soluciones, funciones propias del problema de contorno dado.

La ecuación (33) es la ecuación de Euler del siguiente problema de extremo condicionado: hallar el mínimo del funcional

= (S4 + m4) (35)


con las condiciones (34) y

()4 = 1 (36)

Si cierta función () es solución de este problema variacional, entonces, en virtud de la condición (36), también es una solución no trivial del problema (33)-(34). Por eso, los valores propios y las funciones propias del problema de contorno de Sturm-Liouville se llaman también valores propios y funciones propias del funcional (35) con las condiciones (34) y (36).

La función propia () se denomina función normalizada si

()4 = 1

Ejemplo 22. Hallar los valores propios y las funciones propias del funcional

= (2 + 3)4S4 − 4K

con las condiciones

(0) = 0, (3) = 0, ()4 = 1.K

Solución. La ecuación de Sturm-Liouville es

− − ((2 + 3)4′) = ¡, o bien,

(2 + 3)4SS + 4(2 + 3)S + (¡ + 1) = 0. (37) Mediante el cambio de variables 2 + 3 = J la ecuación anterior se reduce a la ecuación lineal con coeficientes constantes

4 44 + 4 + (¡ + 1) = 0. (38) Su ecuación característica

4:4 + 4: + ¡ + 1 = 0 tiene raíces


:,4 = − 12 ± 12 √−¡. Consideremos tres casos:

1. ¡ < 0. Entonces la solución general de la ecuación (38) es () = 1J + 14Jf,

donde : y :4 son números reales. La solucioón general de la ecuación (37) es

() = 1(2 + 3) + 14(2 + 3)f . Utilizando las condiciones de contorno del problema obtenemos que 1 = 0 14 = 0. Luego () ≡ 0. 2. ¡ = 0. Entonces,

() = (1 + 14)J^4, es decir,

() = (1 + 14 ln(2 + 3)) 1√2 + 3. De las condiciones de contorno obtenemos que 1 = 0 14 = 0. Luego () ≡ 0.

3. ¡ > 0. Entonces :,4 = − 4 ± Y √©4 y la solución general de la

ecuación (38) es

() = J^4 d1 cos √¡2 + 14 sin √¡2 e. Regeresando a la variable , resulta

() = 1 cos d√¡2 ln(2 + 3)e + 14 sin d√¡2 ln(2 + 3)e √2 + 3 . (39)

Las condiciones de contorno proporcionan


1 cos d√¡2 ln(3)e + 14 sin d√¡2 ln(3)e = 0

1 cos d√¡2 ln(9)e + 14 sin d√¡2 ln(9)e = 0 , (40) El sistema tiene soluciones no triviales si su determinante es igual a cero:

¬¬cos d√¡2 ln(3)e sin d√¡2 ln(3)e cos d√¡2 ln(9)e sin d√¡2 ln(9)e ¬¬ = 0,

o bien

sin d√¡ ln 3 − √¡2 ln 3e = 0, es decir, sin √©4 ln 3 = 0, de donde √©4 ln 3 = =B. Los valores propios son

¡; = 4=4B4ln43 , = = 1,2, …. Tomando cualquier ecuación del sistema (40) y sustituyendo el valor de ¡ por ¡; obtenemos

1 cos =B + 14 sin =B = 0, de donde se tiene que 1 = 0. Haciendo en (39) 1 = 0 y ¡; = _;fCf®fK , obtenemos las funciones propias del problema dado:

;() = 1; sin )=B ln(2 + 3)ln 3 * √2 + 3 , = = 1,2, …

Los coeficientes 1; se hallan de la condición de normalización

;()4 = 1,K

lo cual proporciona

1; = ± 2√ln 3.


Entonces,

;() = ± 2√ln 3 sin )=B ln(2 + 3)ln 3 * √2 + 3 , = = 1,2, …

Los valores propios y las funciones propias del problema variacional (35), (34), (36) poseen una serie de propiedades importantes.

1. Si ¡h y ¡; son dos valores propios diferentes del funcional (35) con las condiciones (34) y (36), e h() e ;() son las correspondientes funciones propias, entonces estas funciones son ortogonales, es decir,

h() ;() = 0, j ≠ =.

2. Todos los valores propios ¡; del funcional (35) son reales. 3. Si ¡; es un valor propio del funcional (35), e ;() es su función propia normalizada correspondiente, entonces

;() = ¡;. 4. El menor de los valores propios coincide con el mínimo del funcional (35) con las condiciones (34) y (36).

7.4.2 Principio de Rayleigh.

Consideremos el problema de valores propios

= − )() * + m() = ¡|(), (41) ¯() + °S() = 0, 4 + °4 > 0,4() + °4S() = 0, 44 + °44 > 0, (42),

donde (), S(), m(), |() son continuas en , y () > 0 en , . Definición 15. La función () se denomina función admisible ( ∈ v) si es dos veces diferenciable y satisface las condiciones de contorno (42).

Supongamos que para toda función admisible () se cumple la condición


≥ 0.

En este caso el problema de contorno (41)-(42) tiene sólo valores propios reales ¡. Al problema de valores propios se le puede poner en correspondencia el

siguiente problema variacional: entre todas las funciones admisibles () tales que

|()4 > 0, (43)

hallar la función para la cual

|()4 = jY=. Sea = ²() la solución de este problema.

Si ¡ es el valor propio mínimo, es decir, si

¡ = min!∈l ´ |()4 = ² ´² | ²4 , entonces ¡ es el menor valor propio positivo, y ²() es su función propia correspondiente.

Si, además de las condiciones (43), sobre las funciones admisibles se impone la condición

|² = 0

(condición de ortogonalidad), entonces el problema

|4 = jY= tiene nuevamente cierta solución ²4().

Si ¡4 es el valor propio mínimo correspondiente, entonces ¡4 es el siguiente valor propio en magnitud (¡4 ≥ ¡), y ²4() es su función propia correspondiente, ortogonal a ²(). En general, si ya se conocen los : primeros valores propios positivos


¡ ≤ ¡4 ≤ ⋯ ≤ ¡ y su sistema ortogonal de funciones correspondientes

²(), ²4(), … , ²(), entonces el siguiente valor propio es

¡ = min!∈l ´ |4 , con la particularidad de que ahora se consideran las funciones admisibles () que, a excepción de (43), cumplen las condiciones adicionales

|()²]()() = 0, = 1,2, … , :.

Si en la ecuación (41) la función |() > 0 en , , entonces para estimar superiormente el menor valor propio positivo ¡, a menudo se utiliza la desigualdad (principio de Rayleigh)

¡ ≤ |4 . Ejemplo 23. Utilizando el principio de Rayleigh, estimar ¡ en el problema de contorno

−SS = ¡; S(0) = 0, (1) = 0. Solución. En este caso = −SS, es decir, () ≡ 1 > 0, m() ≡ 0 y |() ≡1 > 0 en 0,1. Evidentemente, = 0, ° = 1, 4 = 1, °4 = 0, de modo que 4 + °4 = 1 > 0, 44 + °44 = 1 > 0. Tomemos como función admisible () =1 − 4. De acuerdo con el principio de Rayleigh tenemos

¡ ≤ |4 = 2(1 − 4) (1 − 4) = 4 3µ8 15µ = 2,5 El valor exacto es ¡ = Cf_ ≈ 2,4674.

8. Biografías

8.1. Leonhard Euler

(Basilea, Suiza, 1707facultades que desde temprana edad demostró para las matemáticas pronto le ganaron la estima del patriarca de los Bernoulli, Johann, uno de los más eminentes matemáticos de su tiempo y profesor de Euler en la Universidad de Basilea. Tras graduarse en dicha instinvitado personalmente por Catalina I para convertirse en asociado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, donde coincidió con otro miembro de la familia Bernoulli, Daniel, a quien en 1733 relevó en la cátematemáticas.

A causa de su extrema dedicación al trabajo, dos años más tarde perdió la visión del ojo derecho, hecho que no afectó ni a la calidad ni al número de sus hallazgos. Hasta 1741, año en que por invitación de Federico el Grande se trasladó a la Academia de Berlín, refinó los métodos y las formas del cálculo integral (no sólo gracias a resultados novedosos, sino también a un cambio en los habituales métodos de demostración geométricos, que sustituyó por métodos algebraicos), que convirtió enproblemas de física. Con ello configuró en buena parte las matemáticas aplicadas de la centuria siguiente (a las que contribuiría luego con otros resultados destacados en el campo de la teoría de las ecuaciones diferelineales), además de desarrollar la teoría de las funciones trigonométricas y logarítmicas (introduciendo de paso la notación e para definir la base de los logaritmos naturales).

Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

Leonhard Euler

(Basilea, Suiza, 1707-San Petersburgo, 1783) Matemático suizo. Las tades que desde temprana edad demostró para las matemáticas pronto le

ganaron la estima del patriarca de los Bernoulli, Johann, uno de los más eminentes matemáticos de su tiempo y profesor de Euler en la Universidad de Basilea. Tras graduarse en dicha institución en 1723, cuatro años más tarde fue invitado personalmente por Catalina I para convertirse en asociado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, donde coincidió con otro miembro de la familia Bernoulli, Daniel, a quien en 1733 relevó en la cáte

A causa de su extrema dedicación al trabajo, dos años más tarde perdió la visión del ojo derecho, hecho que no afectó ni a la calidad ni al número de sus hallazgos. Hasta 1741, año en que por invitación de Federico el Grande se

a la Academia de Berlín, refinó los métodos y las formas del cálculo integral (no sólo gracias a resultados novedosos, sino también a un cambio en los habituales métodos de demostración geométricos, que sustituyó por métodos algebraicos), que convirtió en una herramienta de fácil aplicación a problemas de física. Con ello configuró en buena parte las matemáticas aplicadas de la centuria siguiente (a las que contribuiría luego con otros resultados destacados en el campo de la teoría de las ecuaciones diferelineales), además de desarrollar la teoría de las funciones trigonométricas y logarítmicas (introduciendo de paso la notación e para definir la base de los

| Cálculo Variacional. 88

San Petersburgo, 1783) Matemático suizo. Las tades que desde temprana edad demostró para las matemáticas pronto le

ganaron la estima del patriarca de los Bernoulli, Johann, uno de los más eminentes matemáticos de su tiempo y profesor de Euler en la Universidad de

itución en 1723, cuatro años más tarde fue invitado personalmente por Catalina I para convertirse en asociado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, donde coincidió con otro miembro de la familia Bernoulli, Daniel, a quien en 1733 relevó en la cátedra de

A causa de su extrema dedicación al trabajo, dos años más tarde perdió la visión del ojo derecho, hecho que no afectó ni a la calidad ni al número de sus hallazgos. Hasta 1741, año en que por invitación de Federico el Grande se

a la Academia de Berlín, refinó los métodos y las formas del cálculo integral (no sólo gracias a resultados novedosos, sino también a un cambio en los habituales métodos de demostración geométricos, que sustituyó por

una herramienta de fácil aplicación a problemas de física. Con ello configuró en buena parte las matemáticas aplicadas de la centuria siguiente (a las que contribuiría luego con otros resultados destacados en el campo de la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales), además de desarrollar la teoría de las funciones trigonométricas y logarítmicas (introduciendo de paso la notación e para definir la base de los


En 1748 publicó la obra Introductio in analysim infinitorum, en la que expuso el concepto de función en el marco del análisis matemático, campo en el que así mismo contribuyó de forma decisiva con resultados como el teorema sobre las funciones homogéneas y la teoría de la convergencia. En el ámbito de la geometría desarrolló conceptos básicos como los del ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo, y revolucionó el tratamiento de las funciones trigonométricas al adoptar ratios numéricos y relacionarlos con los números complejos mediante la denominada identidad de Euler; a él se debe la moderna tendencia a representar cuestiones matemáticas y físicas en términos aritméticos.

En el terreno del álgebra obtuvo así mismo resultados destacados, como el de la reducción de una ecuación cúbica a una bicuadrada y el de la determinación de la constante que lleva su nombre. A lo largo de sus innumerables obras, tratados y publicaciones introdujo gran número de nuevas técnicas y contribuyó sustancialmente a la moderna notación matemática de conceptos como función, suma de los divisores de un número y expresión del número imaginario raíz de menos uno. También se ocupó de la teoría de números, campo en el cual su mayor aportación fue la ley de la reciprocidad cuadrática, enunciada en 1783.

A raíz de ciertas tensiones con su patrón Federico el Grande, regresó nuevamente a Rusia en 1766, donde al poco de llegar perdió la visión del otro ojo. A pesar de ello, su memoria privilegiada y su prodigiosa capacidad para el tratamiento computacional de los problemas le permitieron continuar su actividad científica; así, entre 1768 y 1772 escribió sus Lettres à une princesse d’Allemagne, en las que expuso concisa y claramente los principios básicos de la mecánica, la óptica, la acústica y la astrofísica de su tiempo.

De sus trabajos sobre mecánica destacan, entre los dedicados a la mecánica de fluidos, la formulación de las ecuaciones que rigen su movimiento y su estudio sobre la presión de una corriente líquida, y, en relación a la mecánica celeste, el desarrollo de una solución parcial al problema de los tres cuerpos –resultado de su interés por perfeccionar la teoría del movimiento lunar–, así como la determinación precisa del centro de las órbitas elípticas planetarias, que identificó con el centro de la masa solar. Tras su muerte, se inició un ambicioso proyecto para publicar la totalidad de su obra científica, compuesta por más de ochocientos tratados, lo cual lo convierte en el matemático más prolífico de la historia.


8.2. Karl Gustav Jacobi

(Potsdam, actual Alemania, 1804-Berlín, 1851) Matemático alemán. Hijo de una familia de banqueros de origen judío, estudió en la Universidad de Berlín, donde se doctoró en 1825. Convertido al cristianismo, tuvo oportunidad de acceder a un puesto de profesor en la Universidad de Königsberg.

Destacadísimo pedagogo, influyó en numerosas generaciones posteriores de matemáticos alemanes. Sus trabajos más relevantes se produjeron en el campo del álgebra, en el que introdujo y desarrolló el concepto de determinante, aplicándolo así mismo al estudio de las funciones de variables múltiples. Entre 1826 y 1827 estableció, independientemente del noruego Niels Henrik Abel, los principios fundamentales de la teoría de las funciones elípticas. En el ámbito de la teoría de números, demostró el teorema de Bachet sobre el total de las descomposiciones posibles de un entero, y en el de la mecánica física, trató con profundidad y rigor el problema de los tres cuerpos.

Su obra más notable es sobre la formación y propiedades de los determinantes (1841).

8.3. Adrien Marie Legendre

(París, 1752-Auteuil, Francia, 1833) Matemático francés. Tras completar sus

estudios en el Collège Mazarin, entró a trabajar en la Escuela Militar, para la que completó un estudio sobre la trayectoria de los proyectiles que le supPremio de la Academia de Berlín en 1782. A partir de 1795 enseñó matemáticas en la École Normale.

En sus primeros trabajos, centrados en la mecánica, introdujo conceptos como la función que lleva su nombre o la primera demostración del método de los mínimos cuadrados.

Tras los pasos de Euler y Lagrange, estudió las funciones elípticas y las redujo a tres formas básicas. Fue el primero en dedicar una obra estrictamente a la teoría de números, ámbito en el que obtuvo resultados fundamentales como la demostración en 1830 de la ley de la reciprocidad cuadrática.

En 1794 publicó los Elementos de geometría, una versión reordenada y simplificada de la obra original de Euclides, que fue traducida a más de treinta idiomas.

8.4. Karl Weiertrass


Adrien Marie Legendre

Auteuil, Francia, 1833) Matemático francés. Tras completar sus estudios en el Collège Mazarin, entró a trabajar en la Escuela Militar, para la que completó un estudio sobre la trayectoria de los proyectiles que le supPremio de la Academia de Berlín en 1782. A partir de 1795 enseñó matemáticas

En sus primeros trabajos, centrados en la mecánica, introdujo conceptos como la función que lleva su nombre o la primera demostración del método de

Tras los pasos de Euler y Lagrange, estudió las funciones elípticas y las redujo

a tres formas básicas. Fue el primero en dedicar una obra estrictamente a la teoría de números, ámbito en el que obtuvo resultados fundamentales como la demostración en 1830 de la ley de la reciprocidad cuadrática.

En 1794 publicó los Elementos de geometría, una versión reordenada y simplificada de la obra original de Euclides, que fue traducida a más de treinta

Karl Weiertrass


Auteuil, Francia, 1833) Matemático francés. Tras completar sus estudios en el Collège Mazarin, entró a trabajar en la Escuela Militar, para la que completó un estudio sobre la trayectoria de los proyectiles que le supuso el Premio de la Academia de Berlín en 1782. A partir de 1795 enseñó matemáticas

En sus primeros trabajos, centrados en la mecánica, introdujo conceptos como la función que lleva su nombre o la primera demostración del método de

Tras los pasos de Euler y Lagrange, estudió las funciones elípticas y las redujo a tres formas básicas. Fue el primero en dedicar una obra estrictamente a la teoría de números, ámbito en el que obtuvo resultados fundamentales como la

En 1794 publicó los Elementos de geometría, una versión reordenada y simplificada de la obra original de Euclides, que fue traducida a más de treinta

Karl Weierstrass. (Ostenfelde, actual Alemania, 1815Matemático alemán, e hijo de un oficial a las órdenes de Napoleón, Karl era el mayor de cuatro hermanos. Más tarde, su padre ingresó erecaudación de impuestos en Prusia, lo que obligó a la familia a trasladarse constantemente. Con catorce años, Karl fue aceptado en la escuela católica de enseñanza secundaria de Paderborn. Ganó algunos premios antes de graduarse, y en 1834, siguiendo los deseos de su padre, ingresó en la Universidad de Bonn para estudiar comercio y finanzas. Sin embargo, estas materias no le interesaban y pasó la mayor parte del tiempo bebiendo, practicando esgrima y leyendo libros de matemáticas.

En 1839 fue aceptado en la Academia de Teología y Filosofía de Münster, donde encontró la inspiración matemática de manos de Christof Guderman. Éste le introdujo en la teoría de las series de potencias, que más tarde serían la base de todo su trabajo. Su primer eensayo sobre funciones elípticas.

Durante los quince años siguientes se dedicó a dar clase en una escuela de enseñanza secundaria. En 1854 envió un trabajo sobre funciones abelianas a una publicación matemáticamatemática con su genio. Por este trabajo recibió el doctorado honorífico de la Universidad de Königsberg y en 1856 fue aceptado como profesor asociado en la Universidad de Berlín.

Abrumado por las enormes responcrisis nerviosa en 1861, que le apartó de las aulas dos años. A pesar de ello, en 1864 fue ascendido a profesor, cargo que ostentó el resto de su vida. Desafortunadamente, tras los ataques públicos de Kronecker porideas de Cantor, y la muerte de su amiga Sonja Kovalevsky, se hundió mentalmente y pasó el resto de su vida en una silla de ruedas hasta que murió víctima de una neumonía.


. (Ostenfelde, actual Alemania, 1815-Matemático alemán, e hijo de un oficial a las órdenes de Napoleón, Karl era el mayor de cuatro hermanos. Más tarde, su padre ingresó en el servicio de recaudación de impuestos en Prusia, lo que obligó a la familia a trasladarse constantemente. Con catorce años, Karl fue aceptado en la escuela católica de enseñanza secundaria de Paderborn. Ganó algunos premios antes de graduarse,

4, siguiendo los deseos de su padre, ingresó en la Universidad de Bonn para estudiar comercio y finanzas. Sin embargo, estas materias no le interesaban y pasó la mayor parte del tiempo bebiendo, practicando esgrima y leyendo libros de matemáticas.

fue aceptado en la Academia de Teología y Filosofía de Münster, donde encontró la inspiración matemática de manos de Christof Guderman. Éste le introdujo en la teoría de las series de potencias, que más tarde serían la base de todo su trabajo. Su primer escrito importante, publicado en 1841, fue un ensayo sobre funciones elípticas.

Durante los quince años siguientes se dedicó a dar clase en una escuela de enseñanza secundaria. En 1854 envió un trabajo sobre funciones abelianas a una publicación matemática de prestigio, y sorprendió a la comunidad matemática con su genio. Por este trabajo recibió el doctorado honorífico de la Universidad de Königsberg y en 1856 fue aceptado como profesor asociado en la

Abrumado por las enormes responsabilidades de su nuevo cargo, sufrió una crisis nerviosa en 1861, que le apartó de las aulas dos años. A pesar de ello, en 1864 fue ascendido a profesor, cargo que ostentó el resto de su vida. Desafortunadamente, tras los ataques públicos de Kronecker porideas de Cantor, y la muerte de su amiga Sonja Kovalevsky, se hundió mentalmente y pasó el resto de su vida en una silla de ruedas hasta que murió víctima de una neumonía.


-Berlín, 1897) Matemático alemán, e hijo de un oficial a las órdenes de Napoleón, Karl era el

n el servicio de recaudación de impuestos en Prusia, lo que obligó a la familia a trasladarse constantemente. Con catorce años, Karl fue aceptado en la escuela católica de enseñanza secundaria de Paderborn. Ganó algunos premios antes de graduarse,

4, siguiendo los deseos de su padre, ingresó en la Universidad de Bonn para estudiar comercio y finanzas. Sin embargo, estas materias no le interesaban y pasó la mayor parte del tiempo bebiendo, practicando esgrima y

fue aceptado en la Academia de Teología y Filosofía de Münster, donde encontró la inspiración matemática de manos de Christof Guderman. Éste le introdujo en la teoría de las series de potencias, que más tarde serían la

scrito importante, publicado en 1841, fue un

Durante los quince años siguientes se dedicó a dar clase en una escuela de enseñanza secundaria. En 1854 envió un trabajo sobre funciones abelianas a

de prestigio, y sorprendió a la comunidad matemática con su genio. Por este trabajo recibió el doctorado honorífico de la Universidad de Königsberg y en 1856 fue aceptado como profesor asociado en la

sabilidades de su nuevo cargo, sufrió una crisis nerviosa en 1861, que le apartó de las aulas dos años. A pesar de ello, en 1864 fue ascendido a profesor, cargo que ostentó el resto de su vida. Desafortunadamente, tras los ataques públicos de Kronecker por su apoyo a las ideas de Cantor, y la muerte de su amiga Sonja Kovalevsky, se hundió mentalmente y pasó el resto de su vida en una silla de ruedas hasta que murió


9. Bibliografía

Las consultas realizadas para la elaboración de este trabajo han sido las siguiente:

[1] Biografía y vidas http://www.biografiasyvidas.com

[2] Elsgoltz, L. Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Variacional. Editorial MIR (Moscú) Rusia. 1969.

[3] Galiano, G. Introducción al Cálculo Variacional. 2003. http://orion.ciencias.uniovi.es/~galiano/docencia/main03.pdf

[4] Krasnov, M.L., Kiseliov, V, Makárenko, G.I. Cálculo Variacional. Editorial URSS (Moscú). 2002.

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