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MAT01353PP2 PAC (51) 3251.4111 9815.6555 http://www.passeemcalculo.com
Questo Bnus 01:
Calcule a integral +
2 2 25dx
x x.
Lembrando das substituies trigonomtricas disponveis conforme a famlia do radical (C = Constante, V = Varivel):
Famlia Estrutura Identidade Trigonomtrica Substituio
C V 2 2a x 2 2cos 1 senx x= senx a=
C + V 2 2a x+ 2 2sec 1 tgx x= + tgx a=
V C 2 2x a 2 2tg sec 1x x= secx a=
No caso, o radical 2 25x + do tipo C + V e, portanto, requer a substituio tgx a= . Comeamos identificando o valor de a: 2 25 5a a= = Em seguida, utilizamos a substituio sugerida e imediatamente derivamos a equao de substituio
para obter a expresso de d : 2 25tg 5sec 5secdxx dx dd
= = =
A partir da, substitumos! (Observao: como sempre, no incio vai parecer que est piorando...)
2 2
125
dxx x +
( ) ( )
2
2 2
1 5sec5tg 5tg 25
d= +
(substituindo)
5
=2sec
25
d 2 2tg 25tg 25 +
(expandindo potncias e simplificando)
2
2 2
sec15 tg 25tg 25
d =
+ (constante atravessando a integral)
2 MAT01353PP2 PAC (51) 3251.4111 9815.6555 http://www.passeemcalculo.com
Trabalhando separadamente com a simplificao da raiz, obtemos: 225tg 25+
( )225 tg 1= + (colocando em evidncia) 225sec= (trocando 2 por 1 conforme a sugesto da caixinha!) 5sec= (finalmente eliminando o radical) Voltando ao desenvolvimento da integral, temos:
2
2 2
sec15 tg 25tg 25
d
+
2sec1
5
= 2tg 5 secd
(substituindo e simplificando)
2
sec125 tg
d =
(constante atravessando a integral)
Trabalhando separadamente com as funes trigonomtricas resultantes, obtemos:
2
2 2 2
sec 1 cos costg cos sen sen
= =
Essa converso nos permite atacar a integral por intermdio de uma substituio u simples:
2
sec125 tg
d
(constante atravessando a integral)
2cos1
25 send
= ( sen , cosu du d= = )
2125
duu
= (integrando a expresso algbrica resultante)
1 125
Cu
= +
(retomando a substituio)
1 125 sen
C= +
(convertendo a razo trigonomtrica)
1 cossec25
C= + (beleza!)
MAT01353PP2 PAC 3 (51) 3251.4111 9985.1335 http://www.passeemcalculo.com
Para expressar a integral em funo de x, construimos um tringulo retngulo compatvel com a substituio utilizada e, a partir dele, determinamos cossec :
cateto oposto5tg tg5 cateto adjacentexx = = =
Por Pitgoras, 2hipotenusa 25 x= +
21 hipotenusa 25cossec
sen cateto opostox
x+
= = =
Portanto, a resposta da questo
2 2
2 2
1 1 25 2525 2525
x xdx C Cx xx x+ +
= + = ++
5
225 x+x
4 MAT01353PP2 PAC (51) 3251.4111 9815.6555 http://www.passeemcalculo.com
Questo Bnus 02. a) 2 8 6 1 0y x y+ + + =
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
6 8 16 9 8 1 9
3 8 8
3 8 1 1, 3
4 8 2
y y xy y x
y x
y x V
p p
+ =
+ + = +
+ = +
+ =
= =
Logo, temos uma parbola com concavidade para a esquerda (p
MAT01353PP2 PAC 5 (51) 3251.4111 9985.1335 http://www.passeemcalculo.com
c) 2 24 8 4 8 0x y x y+ + =
( )( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
22
22
22
2
2
2 2 2
4 8 4 8
4 2 4 8
4 2 1 4 4 8 4 4
4 1 2 16
24 1 1616 16 16
211 1, 2
4 1616 44 2
2 3
32
x x y y
x x y y
x x y y
x y
yx
yxC
a ab b
a b c c
ce ea
+ + =
+ + =
+ + + + = + +
+ + =
++ =
++ =
= =
= =
= + =
= =
Logo, temos uma elipse com eixo maior vertical. Pontos sobre esse eixo tm o mesmo x!
A partir da, temos ( )1 1, 6A , ( )2 1,2A , ( )1 1, 2 2 3F , ( )2 1, 2 2 3F + , ( )1 1, 2B e ( )2 3, 2B .
6 MAT01353PP2 PAC (51) 3251.4111 9815.6555 http://www.passeemcalculo.com
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(51) 3251.4111 9815.6555
Boa Prova!