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CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
mxi
mzi
Pzi
P
xjmxjP
zjm yj
myj
yim
xiP
Pyi
Pzj
~ ~d =
ddd....qqq
d =
ddd....qqq
i
xi
yi
zi
xi
yi
zi
j
xj
yj
zj
xj
yj
zj
ESTRUCTURAS DE PÓRTICOS ESPACIALES
Barra en el espacio en coordenadas locales
Los esfuerzos y desplazamiento en coordenadas locales serán
~ ~P =
P
PP....
mmm
P =
P
PP....
mmm
i
xi
yi
zi
xi
yi
zi
j
xj
yj
zj
xj
yj
zj
Las relaciones entre esfuerzos y deformaciones son similares a lasobtenidas en el pórtico plano y en el emparrillado plano
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
z
Estado IIy
yEstado I
xm yi
II
yi
Iyim
y
θ
δ − δzi
yjII
Iyj
zj
yj
m
mθ
Esfuerzo axil.
P = - P = EA
ld -
EAl
dxi xj xi xj⋅ ⋅
Momento torsor
m = - m = GJl - GJ
lxi xj xi xj⋅ ⋅θ θ
FLEXIÓN EN EL PLANO DEL ENTRAMADO
m = -6E
ld +
6E
ld +
4E
l +
2E
l
m = -6E
ld +
6El
d + 2E
l +
4El
P = - P = -12E
ld +
12E
ld +
6E
l +
6E
l
yi 2 zi 2 zj yi yj
yj 2 zi 2 zj yi yj
zi zj 3 zi 3 zj 2 yi 2 yj
I I I I
I I I I
I I I I
y y y y
y y y y
y y y y
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
θ θ
θ θ
θ θ
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
z
Estado IIm II
zi
yEstado I
ziIm
zi
x
y
θ
m IIzj
zj
Izjm
yiδ − δyj
θ
FLEXIÓN EN EL PLANO NORMAL AL ENTRAMADO
m = 6E
ld -
6El
d + 4E
l +
2El
m = 6E
ld -
6El
d + 2E
l +
4El
P = - P = 12E
ld -
12El
d + 6El
+ 6El
zi 2 yi 2 yj zi zj
zj 2 yi 2 yj zi zj
yi yj 3 yi 3 yj 2 zi 2 zj
I I I I
I I I I
I I I I
z z z z
z z z z
z z z z
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
θ θ
θ θ
θ θ
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
~
~ ~
K =
K Kii ij
EAl
EAl
EIl
EIl
EIl
EIl
EI
l
EI
l
EI
l
EI
lGJl
GJl
EI
l
EI
l
EI
l
EI
lEIl
EIl
EI
z z z z
y y y y
y y y y
z z
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
012
0 0 06
012
0 0 06
0 012
06
0 0 012
06
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 06
04
0 0 06
02
0
06
0 0 04
06
3 2 3 2
3 2 3 2
2 2
2
M
M
M
M
M
M
−
−
− − −
−
−
− z z
z z z z
y y y y
y y y y
z
lEIl
EAl
EAl
EIl
EIl
EIl
EIl
EI
l
EI
l
EI
l
EI
lGJl
GJl
EI
l
EI
l
EI
l
EI
lEIl
2
3 2 3 2
3 2 3 2
2 2
2
0 0 02
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
012
0 0 06
012
0 0 06
0 012
06
0 0 012
06
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 06
02
0 0 06
04
0
06
0
L L L L L L M L L L L L L
M
M
M
M
M
−
− − −
−
−
−
0 02
06
0 0 04
2
EIl
EIl
EIl
z z zM
M~ ~K Kji j j
P = K d + K d
P = K d + K d En coordenadas localesi ii i ij j
j ji i jj j
~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
⋅ ⋅⋅ ⋅
⇒
Poniendo todas estas ecuaciones en forma matricial
Que pueden ponerse en la forma
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
αz β γz zZ=(cos ,cos ,cos )
xxx βα γX=(cos ,cos ,cos )γ yyyα βY=(cos ,cos ,cos )
X'
Z'
Y'
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~P' = A P = A K A d' + A K A d' = S d' + S d'
P' = A P = A K A d' + A K A d' = S d' + S d'
it
it
ii it
ij j ii i ij j
jt
jt
ji it
jj j ji i j j j
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
CAMBIO DE COORDENADAS
Se pasan de coordenadas locales (x,y,z) a globales (x’,y’,z’) pormedio de una matriz de rotación que afecta a cada grupo de tresejes
~A =
cos cos cos 0 0 0cos cos cos 0 0 0
cos cos cos 0 0 0
0 0 0 cos cos cos 0 0 0 cos cos cos
0 0 0 cos cos cos
x x x
y y y
z z z
x x x
y y y
z z z
α β γα β γα β γ
α β γα β γα β γ
MM
ML L L M L L L
MM
M
Para pasar a coordenadas globales se procede como en los casosanteriores
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
~ ~ ~d = A d'⋅
d = d' cos + d' cos + d' cos
d = d' cos + d' cos + d' cos
d = d' cos + d' cos + d' cos
= ' cos + ' cos + ' cos
= ' cos + ' cos + ' cos
=
xi xi yi zi
yi xi yi zi
zi xi yi zi
xi xi yi zi
yi xi yi zi
zi
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
α β γ
α β γ
α β γ
θ θ α θ β θ γ
θ θ α θ β θ γ
θ
x x x
y y y
z z z
x x x
y y y
θ α θ β θ γ' cos + ' cos + ' cos xi yi zi⋅ ⋅ ⋅z z z
d = d' cos + d' cos + d' cos
d = d' cos + d' cos + d' cos
d = d' cos + d' cos + d' cos
= ' cos + ' cos + ' cos
= ' cos + ' cos + ' cos
=
xj xj yj zj
yj xj yj zj
zj xj yj zj
xj xj yj zj
yj xj yj zj
zj
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
α β γ
α β γ
α β γ
θ θ α θ β θ γ
θ θ α θ β θ γ
θ
x x x
y y y
z z z
x x x
y y y
θ α θ β θ γ' cos + ' cos + ' cos xj yj zj⋅ ⋅ ⋅z z z
CÁLCULO DE ESFUERZOS: ESTRUCTURAS DEPÓRTICOS ESPACIALES
Para cada barra se aplica la ecuación de compatibilidad
Aplicando esta ecuación a los nudos origen y extremo de la barra
Nudo origen i
Nudo extremo j
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
~ ~ ~P = K d⋅
m = - m = GJl -
GJlxi xj xi xj⋅ ⋅θ θ
Aplicando la ecuación constitutiva
P = - P = EA
l d - EA
l dxi xj xi xj⋅ ⋅
m = -6E
ld +
6El
d + 4E
l +
2El
m = -6E
ld +
6El
d + 2E
l +
4El
P = - P = -12E
ld +
12El
d + 6E
l +
6El
yi 2 zi 2 zj yi yj
yj 2 zi 2 zj yi yj
zi zj 3 zi 3 zj 2 yi 2 yj
I I I I
I I I I
I I I I
y y y y
y y y y
y y y y
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
θ θ
θ θ
θ θ
m = 6E
ld -
6El
d + 4E
l +
2El
m = 6E
ld -
6El
d + 2E
l +
4El
P = - P = 12E
ld -
12El
d + 6El
+ 6El
zi 2 yi 2 yj zi zj
zj 2 yi 2 yj zi zj
yi yj 3 yi 3 yj 2 zi 2 zj
I I I I
I I I I
I I I I
z z z z
z z z z
z z z z
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
θ θ
θ θ
θ θ
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
P'P'
P'
m'm'
m'
=
cos cos cos 0 0 0cos cos cos 0 0 0
cos cos cos 0 0 0
0 0 0 cos cos cos 0 0 0 cos cos cos
0 0 0 cos cos cos
Pxi
yi
zi
xi
yi
zi
xi xi xi
yi yi yi
zi zi zi
xi xi xi
yi yi yi
zi zi zi
L
MM
ML L L M L L L
MM
M
⋅
α β γα β γα β γ
α β γα β γα β γ
xi
yi
zi
xi
yi
zi
P
P
mm
m
L
COMPROBACIÓN DE RESULTADOS: ESTRUCTURASDE PÓRTICOS ESPACIALES.
Se comprueba el equilibrio de los nudos, para las fuerzas verticalesexternas y para los momentos exteriores.
Es preciso pasar los esfuerzos sobre las barras a coordenadas globales~' ~P = A Pt ⋅
Aplicando las condiciones de equilibrio
F = 0 F + (P cos + P cos + P cos = 0
F = 0 F + (P cos +P cos + P cos = 0
F = 0 F + (P cos + P cos +P cos = 0
M = 0 M + (m cos + m
x x xii=1
n
xi yi yi zi zi
y y xii=1
n
xi yi yi zi z i
z z xii=1
n
xi yi yi zi zi
x x xii=1
n
xi yi
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
⇒ ⋅ ⋅ ⋅
⇒ ⋅ ⋅ ⋅
⇒ ⋅ ⋅ ⋅
⇒ ⋅ ⋅
α α α
β β β
γ γ γ
α cos + m cos = 0
M = 0 M + (m cos + m cos + m cos = 0
M = 0 M + (m cos + m cos + m cos = 0
yi zi z i
y y xii=1
n
xi yi yi zi zi
z z xii=1
n
xi yi yi z i zi
α α
β β β
γ γ γ
⋅
⇒ ⋅ ⋅ ⋅
⇒ ⋅ ⋅ ⋅
∑ ∑
∑ ∑
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
iV
Mi
jV
Mj
P'P'P'
m'm'm'
=
cos cos cos 0 0 0cos cos cos 0 0 0cos cos cos 0 0 0
0 0 0 cos cos cos 0 0 0 cos cos cos 0 0 0 cos cos cos
0xi
yi
zi
xi
yi
zi
xi xi xi
yi yi yi
zi zi zi
xi xi xi
yi yi yi
zi zi zi
L
MMM
L L L M L L LMMM
⋅
α β γα β γα β γ
α β γα β γα β γ
0V
0M0
=
V cos V cos V cos
M cos M cos M cos
i
i
i xi
i yi
i zi
i xi
i yi
i zi
L L
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
γγγ
βββ
ACCIONES SOBRE LAS BARRAS.- PÓRTICOSESPACIALES
En el caso más frecuente de cargas verticales sobre la barra
Es preciso pasar los esfuerzos de empotramiento perfecto sobre lasbarras a coordenadas globales~' ~P = A Pt ⋅
Nudo origen i
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
P'P'P'
m'm'm'
=
cos cos cos 0 0 0cos cos cos 0 0 0cos cos cos 0 0 0
0 0 0 cos cos cos 0 0 0 cos cos cos 0 0 0 cos cos cos
0xj
yj
zj
xj
yj
zj
xi xi xi
yi yi yi
zi zi zi
xi xi xi
yi yi yi
zi zi zi
L
MMM
L L L M L L LMMM
⋅
α β γα β γα β γ
α β γα β γα β γ
0V
0-M0
=
V cos V cos V cos
-M cos -M cos -M cos
j
j
j xi
j yi
j zi
j xi
j yi
j zi
L L
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
γγγ
βββ
Nudo extremo j
Resultado final Superposición E I + EII
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
(7)
(3)
(1)
1
3
5
8
4
9
765
2 3
1
(5-2+1)·3=12
(9-5+1)·3=15
Ancho de Banda
Ancho de Banda
8
(4)
(6)
2
(5)
(2)
(8)(9)
76
4
9
8
7
2
146
9 3
5
MÉTODOS DE RENUMERACIÓN DE NUDOS
Objetivos Reducir el espacio de almacenamientoReducir el tiempo de cálculo
ALGORITMO DE CUTHILL - Mc KEE
1 Se elige como punto inicial uno conectado a otros pocos nudos.2 A partir de él se construye un grafo.3 Se numeran los puntos de grafo en orden descendente.4 Se reitera el proceso para todos los nudos.
EJEMPLO
C No conduce necesariamente a la solución óptimaC Mejora si se efectúan permutaciones en cada nivel, pero a costa de
un importante incremento de tiempo, que lo puede hacer inviable.C Es sencillo y fácil de programar.
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
SIMPLIFICACIONES EN EL CÁLCULO MATRICIAL
Objetivos Reducir el número de grados de libertadSimplificar modelizaciones complejas
ESTRUCTURAS INTRASLACIONALES
Son aquellas cuyos nudos pueden girar pero no desplazarse
C Por barras que triangulan la estructuraC Por cerramientos sólidos que impiden el desplazamiento de los
nudos
El cálculo se simplifica al no tener más que un grado de libertad por nudo:El giro
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
i
m i mj
j
ij
θθ
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA.
El único grado de libertad(el giro) no depende delsistema de coordenadas.No es preciso cambio deejes.
Momentos producidos por el estado 1.- Giro de los extremos.
θ
θ
θ θ
θ θ
ii j
ji j
i i j
j i j
= m l3E
- m l
6E
= -m l3E
+ m l6E
m = 4E
l + 2E
lm = 2E
l + 4E
l
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⇒⋅ ⋅
⋅ ⋅I I
I I
I I
I I
Que puesto en forma matricial
{
mm
P
=
4El
2El
2El
4El
K d
i
j
i
j
⋅
~ ~ ~123
1 244 344
I I
I Iθθ
El ensamblaje de matrices y la consideración de las cargasrepartidas se hacen de la misma manera que en el caso general.
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
y'
x'
ESTRUCTURAS TRASLACIONALES
Son aquellas cuyos nudos pueden girar y desplazarse.Puede simplificarse el tratamiento matricial si se consideran las siguienteshipótesis:
C Sólo se consideran deformaciones debidas a los momentosflectores. En consecuencia.
Los pilares se consideran indeformables a compresión.El desplazamiento horizontal de los nudos del mismo dinteles idéntico.
Estas hipótesis son similares a las que se emplean en el método deCross.
C El pórtico tiene sus vigas y pilares paralelos a los ejes globales.
C Todos los pilares llegan a cimentación.
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
M
MF4
7F
M32M
5M4
1
1
5
4
7
32
6
~ ~P =
MM
MF
MM
F
d = d
d
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
θθθ
θθ
NUMERACIÓN.
Es preciso numerar los grados de libertad de la estructura, no los nudos:
C Giros en los nudos.C Desplazamientos en los dinteles horizontales.
Vector de cargas Vector de desplazamientos
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
i
m i mj
j
ij
θθi
m i mj
j
ij
θθ
Ma
b
Fa
i
i
Fb
M j
j
CÁLCULO DE LAS MATRICES DE RIGIDEZ.
En este caso los ejes locales coinciden con los globales, por lo que no esnecesario considerar las matrices de compatibilidad.
VIGASLos extremos tienen elmismo desplazamiento.Es idéntico al casointralacional.
{
mm
P
=
4El
2El
2El
4El
K d
i
j
i
j
⋅
~ ~ ~123
1 244 344
I I
I Iθθ
PILARES
En un pilar actúan los momentos en susextremos Mi y Mj y las fuerzasc o r r e s p o n d i e n t e s a l o sdesplazamientos horizontales de lasplantas que une, Fa y Fb. El cálculo de lamatriz de rigidez se hace como en elcaso general.
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
Ma
b
m Ii
iiθ
Fa
i
iaF
iIIm
δa
m jI
j
jθFb
M j
j bFIIjm
abδ − δ
Momentos producidos por el estado 1.- Giro de los extremos.
θ
θ
θ θ
θ θ
ii
1j
1
ji
1j
1
i
1
i j
j
1
i j
= m l3E
- m l6E
= -m l3E
+ m l6E
m =
4El
+ 2E
l
m = 2El
+ 4El
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⇒⋅ ⋅
⋅ ⋅I I
I I
I I
I I
Momentos producidos por el estado 2.- Desplaz. de los extremos.
( )m = m = 6El
d - d = 6El
d - 6El
di2
j2
2 b a 2 b 2 aI I I⋅ ⋅
El estado total es la suma de ambos
m = 4El
+ 2El
- 6El
d + 6El
d
m = 2El
+ 4El
- 6El
d + 6El
d
i i j 2 a 2 b
j i j 2 a 2 b
I I I I
I I I I
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
θ θ
θ θ
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
m
mF
F
P
=
4El
2El
-6El
6El
2El
4El
-6El
6El
- 6El
- 6El
12El
- 12El
6El
6El
- 12El
12El
K
d
d
i
j
a
b
i
2 2
2 2
2 2 3 3
2 2 3 3
ii
i
j
a
b
⋅
~ ~
123
1 2444444 3444444
I I I I
I I I I
I I I I
I I I I
θθ
{
~di
Planteando la ecuación de equilibrio de la barra
F = - F = -m +m
l = -
6El
- 6El
+ 12E
ld +
12El
d a bi j
2 i 2 j 3 a 3 bI I I I
⋅ ⋅ ⋅ ⋅θ θ
Poniendo todas estas ecuaciones en forma matricial
El ensamblaje de la matriz global y el tratamiento de las cargas repartidasse hacen como en el caso general
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
W= fuerza del VIENTO
W/2
PORTICO 2PORTICO 1 PORTICO 3
CÁLCULO MATRICIAL DE UN EDIFICIO COMPLETO
Desplazamiento en una sola dirección
Pueden acoplarse los pórticos por medio de bielas por tener el mismodesplazamiento lateral.
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
ACCIONES RESPUESTAS
SUBESTRUCTURAS
Proceso general del cálculo matricial.
C Se estudia el comportamiento de un elemento en función de losdesplazamientos de sus dos extremos.
C Se ensamblan todas las barras de la estructura en una matriz derigidez global.
C Se resuelve el sistema de ecuaciones y se calculan los esfuerzos.
También es posible ensamblar un conjunto de barras siempre que seaposible formular los esfuerzos en los nudos de unión con el resto de laestructura en función de los desplazamientos de esos nudos. Esteconjunto se llama subestructura.
La subestructura funciona como una “caja negra”
Para obtener la matriz de rigidez de la subestructura:
C Se plantea la matriz de rigidez total de todas las barras afectadas.
C Se condensan de esa matriz el conjunto de grados de libertad queinteresen.
Se facilita enormemente el proceso ordenando los grados de libertad deforma tal que queden agrupados los que interese condensar.
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
A x + A x = bA x + A x = b
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
⋅ ⋅⋅ ⋅
{ {
A x = b Sistema global
A AA A
A
xx
x
=bb
b
11 12
21 22
1
2
1
2
⋅
⋅
~ ~ ~1 244 344
{
A 00 A
A*
x
x
x
=bb
b*
*11
*22
1
2
*1
*2
⋅
~ ~ ~1 244 344 123
A = A - A A A
b = b - A A b
*22 22 21
-111 12
*22 22 21
-111 1
⋅ ⋅
⋅ ⋅
Planteamiento teórico
Sistema condensado
Desarrollando el sistema anterior
x = A (b - A x )
A A (b - A x ) + A x = 0
(A - A A A ) x = b - A A b
A x = b
1-1
11 1 12 2
21-1
11 1 12 2 22 2
22 21-1
11 12 2 22 21-1
11 1*22 2
*22
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
De donde
Para condensar los grados de libertad es muy cómodo aplicar el algoritmode Gauss, siempre que estén al final. En caso contrario se necesitanalgoritmos especiales.
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
COLAPSO PANDEO GENERALIZADO del PORTICO
colapso
Desplazamientos
Axiles
régimen no lineal
régimen lineal
ANÁLISIS NO LINEAL
Principales causas:C Comportamientos no lineales del materialC Grandes desplazamientosC Modificaciones del estado tensional por la deformación
En este apartado sólo se van a analizar los efectos no lineales de lavariación de rigidez por efecto del esfuerzo axil Variaciones delestado tensional por la deformación de la barra
Aumento de axiles Disminuye la rigidez
Mayor deformación Tendencia a inestabilidad
La estructura se hace inestable cuando la matriz sea singular (autovalornulo)
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
N NM
α2
α1
PPm
P
Pm
P
=
EAl
0 0 -EA
l0 0
012E
l6El
0 -12E
l6El
06El
4El
0 -6El
2El
-EA
l0 0
EAl
0 0
0 -12E
l-
6El
012E
xi
Yi
i
xj
yj
j
i
3 2 3 2
2 2
3 2
L
123
M
M
M
L L L L L L L
M
M
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
~
I I I I
I I I I
I I I
Φ Φ Φ Φ
Φ Φ Φ Φ
Φ Φ
1 2 1 2
2 3 2 4
1 2 l-
6El
06El
2El
0 -6El
4El
K
dd
d
d3 2
2 2
ii
xi
yi
i
xj
yj
j⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
Φ Φ
Φ Φ Φ Φ
1 2
2 4 2 3
I
I I I IM
1 24444444444444444444 34444444444444444444~
θ
θ
~di
123
El esfuerzo axil modifica la rigidez Análisis no lineal
El efecto del axil sobre la estructura deformada hace que aumente elgiro α α1 α2
La rigidez disminuye al aumentar αR = Mα
Fases del cálculo no lineal
C Se hace un cálculo linealC Con los axiles calculados se modifica la matriz de rigidezC Se efectúa un nuevo cálculo con la rigidez corregidaC Se continua la iteración hasta que la diferencia de axiles en dos
cálculos consecutivos sea menor que lo prefijado
La matriz de rigidez en coordenadas locales será
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
N
M
NM'
ρπ
απ
ρ = -N
El
> 0 = 2
2
2
⋅⋅
I
ρπ
γπ
ρ = -N
El
< 0 = 2
- 2
2
⋅⋅
I
s = (1- 2 ctg 2 )
tg -
t = 2 - sen 2
sen 2 - 2 cos 2
α α αα α
α αα α α
⋅
⋅
s = (1- 2 cth 2 )
tg -
t = 2 - sh 2
sh 2 - 2 ch 2
γ γ γγ γ
γ γγ γ γ
⋅
⋅
Siendo Φ1, Φ2, Φ3 , Φ4 unas funciones de estabilidad definidas como
Se calcula la rigidez ( s = M/q ) y el factor de trasmisión ( t = M’/M ) enfunción del porcentaje del axil sobre la carga crítica de pandeo
BARRA COMPRIMIDA
BARRA TRACCIONADA
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
Suponiendo despreciable el efecto del cortante
Φ Φ
Φ
Φ Φ
1
2
1
2
2
3 4
= s (1+ t)
6 -
3> 0
o = s (1+ t)
6 +
3< 0
= s (1+ t)
6
= s4
= s t2
⋅ ⋅
⋅
⋅
α
ρ
γ
ρ1 244 344 1 244 344
Como los desplazamientos son muy pequeños se supone que no varíanlas orientaciones de los ejes locales, ni la matriz de compatibilidad.
NOTA.- Para valores reducidos del esfuerzo axil elN < 0,05 t
ordenador puede cometer graves errores de truncadura al calcular s y t.En estos casos se hace directamente Φ 1= Φ 2 = Φ 3 = Φ 4 = 1
La matriz de rigidez global será
Siendo~S =
a c d : -a -c d
c b e : -c -b ed e f : -d -e g... ... ... ... ... ... ...
-a -c -d : a c -d-c -b -e : c b -e
d e g : -d -e f
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
dd =
cos sen 0-sen cos 0
0 0 1
d'd'
'
xi
yi
i
xi
yi
iθ
α αα α
θ
⋅
d = cos d' + sen d'
d = - sen d' + cos d'
= '
xi xi yi
yi xi yi
i i
α α
α α
θ θ
⋅ ⋅
⋅ ⋅
d = cos d' + sen d'
d = - sen d' + cos d'
= '
xj xj yj
yj xj yj
j j
α α
α α
θ θ
⋅ ⋅
⋅ ⋅
a =EA
lcos +
12El
sen
b =EA
lsen +
12El
cos
c =EA
lsen cos -
12El
sen cos
d = -6El
sen ; e =6El
cos
f =4E
l ; g =
2El
23
21
23
21
3 1
2 2 2 2
3 4
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
α α
α α
α α α α
α α
I
I
I
I I
I I
Φ
Φ
Φ
Φ Φ
Φ Φ
CÁLCULO DE ESFUERZOS
Para cada barra se aplica la ecuación de compatibilidad
~ ~ ~d = A d'⋅
Aplicando esta ecuación a los nudos origen y extremo de la barra
Nudo origen i
Nudo extremo j
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
~ ~ ~P = K d⋅Aplicando la ecuación constitutiva
P = - P = EAl
d - EAl
dxi xj xi xj⋅ ⋅
P = - P = 12E
ld -
12El
d + 6El
+ 6Elyi yj 3 yi 3 yj 1 2 i 2 j 1
I I I I⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅Φ Φθ θ
m = 6El
d - 6El
d + 4El
+ 2El
m = 6El
d - 6El
d + 2E
l +
4El
i 2 yi 2 yj 2 i 3 j 4
j 2 yi 2 yj 2 i 4 j 3
I I I I
I I I I
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Φ Φ Φ
Φ Φ Φ
θ θ
θ θ
La comprobación de resultados se efectúa de la misma forma que en lospórticos planos en los que no se ha considerado la variación de rigidezcon el axil.