8/18/2019 Cálculo I - Lista 4
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Lista 4
1. A fórmula de expansão aidabática do ar é pv1/4
= c onde p denota pressão,v o volume
total e c é uma constante. Em certo instante a
pressão é de
40 dinas/cm2 e está aumentando à razão de 3
dinas/cm2 por segundo. Se,naquele mesmo instante, o volume é
de 60 cm3 determine a taxa de variação
do volume.
2. Quando duas resistências elétricas R1 e
R2 são ligadas em paralelo, a re-
sistência total R é dada por 1/ R =
1/ R1 +1/ R2. Se R1 e R2 aumentam à
razãode 0.01 ohms/s e 2 0.02 ohms/s, respectivamente, qual a taxa
de variação de
R no instante em que R1 = 30 ohms
e R2 = 90 ohms?
3. Uma vara de metal tem a forma de um cilindro circular reto.
Ao ser aquecida,
seu comprimento aumenta à taxa de 0.005 cm/min e seu diâmetro
aumenta
à razão de 0.002 cm/mim. Qual a taxa de variação do volume
quando o
comprimento é de 40 cm e o diâmetro de 3 cm?
4. Determine a equação da reta tangente e da normal a curva
f ( x) no pontoindicado
(a) f ( x) = x2 e
p = 2
(b) f ( x) = e x4
e p = 1
(c) Determine a reta que é tangente ao gráfico de
f ( x) = x2 e paralela àreta
y = 4 x+ 2
5. Seja y = t 2 x onde
x = x(t ) é uma função derivável.
Calcule y′ em t = 1,supondo x′
= 2 em t = 1 e x = 3
para t = 1.
6. Seja y = x2, onde x =
x(t ) é uma função derivável até a segunda
ordem.Verifique que:
d 2 y
dt 2 = 2
dx
dt
2+ 2 x
d 2 x
dt 2
7. Mostre que a derivada de uma função ı́mpar é par.
8. Seja y = eα x, onde α é
uma raiz da equação σ2 + aσ + b = 0
com a e bconstantes. verifique que:
d 2 y
dx2 + a
dy
dx + by = 0
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9. Ao se aquecer um disco circular de metal, seu diâmetro varia
á razão de 0.01
cm/min. Quando o diâmetro está com 5 m, a que taxa está a
área de umaface variando?
10. Seja
f ( x) = x2, x≤ 0
= x3, x > 0 (1)
Mostre que f ′(0) existe, mas que
f ′′(0) não existe.
11. Um avião está voando a 1.100 m de altura. Qual a taxa de
variação da
distância entre o avião e o ponto fixo P em
relação a θ quando θ = 30 graus?
12. Se a área de um cı́rculo decresce à razão constante de 3
centimentros quadra-
dos por segundo, a que razão o raio r estará
decrescendo no instante em que
r = 2 cm?
13. Se f ( x) = 2 x2 − x,
determine o ponto no gráfico de f onde a
tangente éparalela à reta 3 x− y−4 = 0,
determine a equação da tangente nesse ponto.
14. Seja f ( x) = x3 + x2−
5 x e g(t ) = t t 2+4
. Esboce o gráfico das duas funções.
15. Uma centena de animais pertencendo a uma espécie em perigo
estão colo-
cados numa reserva de proteção. Depois de t
anos a população p desses
animais na reserva é dada por:
p = 100t 2 + 5t + 25
t 2 + 25.
Após quantos anos a população é máxima?
16. Dois postes, um de 12 pés de altura e o outro de 28 pés de
altura, estão a
30 pés de distância. Eles devem ser apoiados por dois cabos,
presos a uma
única estaca, indo do nı́vel do solo até o topo de cada poste.
Onde a estaca
deve ser colocada para que seja usada a quantidade mı́nima de
cabo?
17. Encontre dois número positivos cuja soma é S e o produto
é máximo.
18. Determine o número real positivo cuja diferença entre ele
e seu quadrado
seja máxima
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