Calculo. Granville-Smith-Longley. Soluciones Problemas Pag 32

8/16/2019 Calculo. Granville-Smith-Longley. Soluciones Problemas Pag 32

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Calculo Diferencial e Integral

Granville / Smith / Longley

UTEHA

Impreso en Espa a! "#$%

&A'TE III

&ro(lemas &aginas )*

Soluciones por +enito Camela ,ergara

Calcular la -eriva-a -e ca-a una -e las siguientes funciones usan-o la regla general!

"! y . * )0

Se sustituye en la función 101 por 10 2 01 y se calcula el nuevo valor de la función y 2 y !

y + ∆ y = 2 - 3 (x + ∆ X) . Se resta el valor dado de la función delnuevo valor y se obtiene ∆ y.

Y + ∆ y = 2 - 3 (x + ∆ X) Y + ∆ y = 2 3X -3 ∆ X

y + ∆ y - y = 2 - 3x - 3 ∆ x 2 + 3X . ∆ y = - 3 ∆ x.

Se divide ∆ y para ∆ x.

∆ y = - 3 ∆ x∆ x ∆ x

Se calcula el l!"ite de este cociente cuando 0 → 3 .#l l!"ite as! $allado es la derivada buscada.

∆ y = - 3 ∆ x . 4 ∆ x . lim 0 → 3

-y . ) 5 6 . )-0


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3/18

∆ s = 2 - 2t - ∆ tt

lim 0 → 3

-s . * *t 3 5 6 . * ; *t-t

y + ∆ y = c ( x + ∆ x)3. y + ∆ y = c ( x 3 + 3x 2. ∆ x + 3x. ∆ x2 + ∆ x3 )

y + ∆ y = c x 3 + 3cx 2. ∆ x + 3cx. ∆ x2 + c. ∆ x3 y + ∆ y - y = c x 3 + 3cx 2. ∆ x + 3cx. ∆ x2 + c. ∆ x3 - c x 3

∆ y = 3cx 2.∆ x + 3cx. ∆ x2 + c ∆ x3 ∆ y = 3cx 2 . ∆ x + 3cx. ∆ x2 + c ∆ x3 ∆ x ∆ x ∆ x ∆ x .

∆ y = 3cx2

+ 3cx. ∆ x + c ∆ x2

. ∆ x lim 0 → 3

-y . )c0 * 2 )c08 3 9 2 c 8 3 9 * -0

5 7 . )c0 *

=! y . )0 0 ) !

y + ∆ y = 3 (x + ∆ x) - (x + ∆ x)3. y + ∆ y = 3 x + 3 ∆ x - (x 3 +3X 2 ∆ x + 3X ∆ x2 + ∆ x3 ) y + ∆ y = 3 x + 3 ∆ x - x 3 -3X 2 ∆ x - 3X ∆ x2 - ∆ x3

y + ∆ y - y = 3 x + 3 ∆ x - x 3 -3X 2 ∆ x - 3X ∆ x2 - ∆ x3 3X + X 3.∆ y = 3∆ x - 3X 2 ∆ x - 3X ∆ x2 - ∆ x3

∆ y = 3. ∆ x - 3x 2 .∆ x - 3x.( ∆ x)2 - (∆ x)3 .∆ x ∆ x ∆ x ∆ x ∆ x∆ y = 3 - 3x 2 - 3x (%) - ( ∆ x)2

∆ xlim 0 → 3

-y . ) )0 * . 5 6 . ) ; )0 *

-0

$. u . :v * 2 *v ) .

u + ∆ u = & (v + ∆ v)2 + 2 (v + ∆ v)3.


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u + ∆ u = & ( v2 + 2v ∆ v + ∆ v2 ) + 2 ( v 3 + 3v 2∆ v + 3v ∆ v2 + ∆ v3 )u + ∆ u = & v2 + 'v ∆ v +&∆ v2 + 2v 3 + v 2∆ v + v ∆ v2 + 2 ∆ v3 u 2 ∆ u u = & v2 + 'v ∆ v +&∆ v2 + 2v 3 + v2∆ v + v ∆ v2 + 2 ∆ v3 &v2 2v3

u . 'v ∆ v +&∆ v2 + v 2∆ v + v ∆ v2 + 2 ∆ v3

∆ u = 'v. ∆ v + &. ∆ v2 + v 2 . ∆ v + v. ∆ v2 + 2. ∆ v3 .

∆ v ∆ v ∆ v ∆ v ∆ v ∆ v

∆ u = 'v + &. ∆ v + v 2 + v. ∆ v + 2. ∆ v2

∆ v∆ u = 'v + &(%) + v 2 + v(%) + 2(% )2

∆ v lim v → 3

-u . %v 2 3 2 =v * 2 3 2 3-v

-u . %v 2 =v* . U6 . %v 2 =v *

-v

%! y. 0 : !

y + ∆ y = (x + ∆ x)&.y + ∆ y = x& + &X3∆ x + X 2 ∆ x2 + &X∆ x3 + ∆ x&

y + ∆ y - y = x& + &X3∆ x + X 2 ∆ x2 + &X∆ x3 + ∆ x& - x&

∆ y = &x3. ∆ x + x 2.∆ x2 + &x.∆ x3 + ∆ x&.∆ y = &x3 . ∆ x + x 2 (∆ x)2 + &x(∆ x)3 + (∆ x)&

∆ x ∆ x ∆ x ∆ x ∆ x .

∆ y = &x3 + x2. ∆ x + &x (∆ x)2 + ( ∆ x)3 ∆ x∆ y = &x3 + x2(%) + &x(%)2 + ( % )3

∆ x lim 0 → 3

-y . :0 ) . 5 7 . :0 )

-0

#! e . * . θ 2 "

e + ∆ e = 2 . (θ + ∆θ ) +

e + ∆ e - e = 2 - 2 .(θ + ∆θ ) + (θ + )

∆ e = 2 (θ + ) - 2*(θ + ∆θ ) + . *(θ + ∆θ ) + (θ + )


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∆ e = 2θ + 2 - 2θ - 2. ∆θ - 2 = - 2. ∆θ . *(θ + ∆θ ) + (θ + ) *(θ + ∆θ ) + (θ + )∆ e = - 2. ∆θ = -2 = ∆θ *(θ + ∆θ ) + (θ + )(∆θ ) *(θ + ∆θ ) + (θ + )

∆ e = - 2 . ∆θ *(θ + %) + (θ + )

lim 0→ 3

-e . * . - θ 8θ 2 "9 8 θ 2 "9

de . * . - θ 8θ 2 "9 *

Y , . * . 8θ 2 "9 *

"3! y . ) . 0* 2 *y + ∆ y = 3 . (x + ∆ x)2 + 2y + ∆ y - y = 3 - 3 .

(x + ∆ x)2 + 2 x2 + 2

∆ y = 3 (x 2 + 2) - 3 *(x + ∆ x)2 + 2*(x + ∆ x)2 + 2 (x2 + 2)

∆ y = 3x 2 + -3 *x 2 + 2x. ∆ x +( ∆ x)2 +2 *(x + ∆ x)2 + 2 (x2 + 2)

∆ y = 3x 2 + - 3x2 - x. ∆ x - 3( ∆ x)2 - = - x. ∆ x - 3( ∆ x)2 . *(x + ∆ x)2 + 2 (x2 + 2) *(x+ ∆ x)2 + 2 (x2 + 2)

∆ y = ∆ x (- x -3. ∆ x) = - x - 3. ∆ x = ∆ x *(x + ∆ x)2 + 2 (x2 + 2) ∆ x *(x + ∆ x)2 + 2 (x2 + 2)

∆ y = - x - 3 (%) . ∆ x *(x + %)2 + 2 (x2 + 2) lim 0 → 3

-y . =0 3 . =0 .


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-0 80 * 2 *9 80 * 2 *9 80* 2 *9 *

""! s . t 2 : t

s + ∆ s = (t + ∆ t) + & t + ∆ t

s + ∆ s - s = t + ∆ t + & - t + & t + ∆ t t

∆ s = t (t + ∆ t + &) - (t + &) (t + ∆ t) = (t + ∆ t) t

∆ s = t2 + t. ∆ t + &t -(t 2 + &t + t. ∆ t + &. ∆ t) = (t + ∆ t) t

∆ s = t2 + t. ∆ t + &t - t 2 - &t - t. ∆ t - &. ∆ t = - &. ∆ t . (t + ∆ t) t (t + ∆ t) t

∆ s = - &( ∆ t ) .∆ t (t + ∆ t) t ( ∆ t )

∆ s = - & . t (t + %)t

li" t→ 3

-s . : . : .-t t!t t *

S >. : / t *

"*! y . " ! " *0

y + ∆ y = . - 2(x + ∆ x)

y + ∆ y - y = - . - 2 (x + ∆ x) - 2x


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∆ y = ( - 2x) - * -2(x + ∆ x) = - 2x -( - 2x - 2 ∆ x) = * - 2(x+∆ x) ( - 2x) * - 2(x+ ∆ x) ( - 2x)

∆ y = - 2x - + 2x + 2∆ x = 2∆ x . * - 2(x+∆ x) ( - 2x) * - 2 (x + ∆ x) ( - 2x)

∆ y = 2 ∆ x = 2 . ∆ x ∆ x * - 2(x + ∆ x) ( - 2x) * - 2(x + ∆ x) ( - 2x)

∆ y = 2 .0 * - 2 (x + %) ( - 2x)

li" 0→ 3

-y . * . * .-0 8" *09 8" *09 8" *09*

-y . *-0 8" *09 *

")! e . θ ! θ 2 *

e + ∆ e = θ + ∆θ . (θ + ∆θ ) + 2

e + ∆ e - e = θ + ∆θ θ .

(θ

+∆θ

) + 2θ

+ 2 e . 8 θ 2 *9 8 θ 2 θ 9 θ ?8θ 2 θ 9 2 *@. θ * 2 * θ 2 θ ! θ 2 * θ θ * θ ! θ *θ !

?8θ 2 θ 9 2 *@8θ 2 *9 ?8θ 2 θ 9 2 *@ 8θ 2 *9

∆ e = 2 ∆θ . *(θ + ∆θ ) + 2 (θ + 2)

ividiendo a a"bos "ie"bros para ∆θ y si"plificando /

∆ e = 2∆θ = 2. ∆θ .∆θ *(θ + ∆θ ) + 2 (θ + 2). ∆θ *(θ + ∆θ ) + 2 (θ + 2). ∆θ .

∆ e = 2 = 2 = 2 .θ *(θ + %) + 2 (θ + 2) ( θ + 2) ( θ + 2) ( θ + 2) 2

li" θ → 3

-e . * . * .- θ 8θ 2 *9 8θ 2 *9 8θ 2 *9 *


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":! s . At 2 + Ct 2 D

s + ∆ s = 0(t + ∆ t) + 1 . (t + ∆ t) +

s + ∆ s - s = 0(t + ∆ t) + 1 - 0t + 1 * (t + ∆ t) + t +

∆ s = *0(t + ∆ t) + 1 ( t + ) - * (t + ∆ t) + (0t + 1)* (t + ∆ t) + ( t + )

∆ s = *0.t + 0. ∆ t + 1 ( .t + ) - * .t + . ∆ t + (0.t + 1)

* (t + ∆ t) + ( t + )

∆ s = 0 t 2 + 0 t + 0 . t . ∆ t + 0 ∆ t + 1 t + 1 . * (t + ∆ t) + ( t + )

- 0 t 2 - 1 t - 0 t ∆ t - 1 ∆ t - 0dt - 1 . * (t + ∆ t) + ( t + )

∆ s = 0. . ∆ t - 1. . ∆ t = ∆ t (0. - 1. ) . * (t + ∆ t) + ( t + ) * (t + ∆ t) + ( t + )

∆ s = ∆ t (0. - 1. ) = (0. - 1. ) . ∆ t * (t + ∆ t) + ( t + ) ( ∆ t) * (t + ∆ t) + ( t + )

∆ s = (0. - 1. ) = (0. - 1. ) . t * (t + %) + ( t + ) ( t + )( t + )

lim t → 3

-s . 8A!D +!C9 . 8A!D +!C9 .-t 8Ct 2 D98Ct 2 D9 8Ct 2 D9 *

"

2 " ! 0

y + ∆ y = (x + ∆ x)3 + .(x + ∆ x)

y + ∆ y - y = (x + ∆ x)3 + - x3 + (x + ∆ x) x


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∆ y = *(x + ∆ x)3 + x - (x3 + ) (x + ∆ x) (x + ∆ x) x

∆ y = *x3 + 3x 2 ∆ x + 3x( ∆ x)2 + ( ∆ x)3 + 4(x) - x& - x 3 (∆ x) - x - ∆ x

(x +∆

x) x∆ y = x& + 3x3 ∆ x + 3x 2 (∆ x)2 + (∆ x)3 (x) + x - x & - x 3 ( ∆ x) - x - ∆ x (x + ∆ x) x

∆ y = 2x 3 . ∆ x + 3x 2 (∆ x)2 + ( ∆ x)3 (x) - 3x 2 (∆ x)2 + ( ∆ x)3 (x) - ∆ x(x + ∆ x) x

∆ y = ∆ x *2x3 + 3x 2 ∆ x + ( ∆ x)2 (x) - 3x 2 (∆ x) + ( ∆ x)2 (x) - (x + ∆ x) x

ividiendo a a"bos "ie"bros para ∆ x5 tene"os /

∆ y = ∆ x *2x3 + 3x 2 ∆ x + ( ∆ x)2 (x) - 3x 2 (∆ x) + ( ∆ x)2 (x) - ∆ x (x + ∆ x) (x) ( ∆ x)

∆ y = ∆ x *2x 3 + 3x 2. ∆ x + ( ∆ x)2 .x - 3x 2 . ∆ x + ( ∆ x)2 .x - ∆ x (x + ∆ x)(x) ( ∆ x)

∆ y = *2x 3 + 3x 2 ( % ) + (%)2 (x) - 3x 2 (%) + (%)2 (x) - 0 ( x + % ) x lim 0→ 3

y’ = 2x 3 + % + % - % + % - = 2x 3 - = 2 x 3 - x . x x 2 x2 x2

-y . *0 "-0 0 *

"=! y . " ! 0* 2 a *

y + ∆ y = . (x + ∆ x)2 + a 2

y + ∆ y - y = . (x + ∆ x)2 + a 2 x2 + a 2

∆ y = (x 2 + a 2 ) - *(x + ∆ x)2 + a 2 = x2 + a 2 -*x 2 + 2x. ∆ x + ( ∆ x)2 + a 2

*(x + ∆ x)2 + a 2 (x2 + a 2) *(x+∆ x)2 + a 2 (x2 + a 2)

∆ y = x2 + a 2 - x 2 - 2x. ∆ x -( ∆ x)2 - a 2 = - 2x. ∆ x -( ∆ x)2 . *(x + ∆ x)2 + a 2 (x2 + a 2) *(x + ∆ x)2 + a 2 (x2 + a 2)


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∆ y = - ∆ x (2x + ∆ x) . *(x + ∆ x)2 + a 2 (x2 + a 2)

ividiendo a a"bos "ie"bros para ∆ x5 tene"os /

∆ y = - ∆ x (2x + ∆ x) = - (2x + ∆ x) .∆ x *(x + ∆ x)2 + a 2 (x2 + a 2). ∆ x *(x + ∆ x)2 + a 2 (x2 + a 2)

∆ y = - (2x + %) . 0 *(x + %)2 + a 2 (x2 + a 2)

lim 0 → 3

-y . *0 . *0 !-0 80 * 2 a *9 80* 2 a *9 80* 2 a * 9*

-y . *0-0 80 * 2 a * 9*

"$! y . 0 . 0* 2 "

y + ∆ y = x + ∆ x . (x + ∆ x)2 +

y + ∆ y - y = x + ∆ x - x . *(x + ∆ x)2 + (x2 + )

∆ y = (x + ∆ x) (x 2 + ) - x *(x + ∆ x)2 + . *(x + ∆ x)2 + (x2 + )

∆ y = x3 + x + ∆ x. x 2 + ∆ x - x *x 2 + 2x. ∆ x + ( ∆ x)2 + *(x + ∆ x)2 + (x2 + )

∆ y = x 3 + x + ∆ x. x 2 + ∆ x - x 3 - 2. ∆ x. x 2 - x. ( ∆ x)2 - x .

*(x + ∆ x)2 + (x2 + )

∆ y = - ∆ x.x 2 - x.( ∆ x)2 + ∆ x = - ∆ x (x 2 + x . ∆ x - ) . *(x + ∆ x)2 + (x2 + ) *(x + ∆ x)2 + (x2 + )

∆ y = - ∆ x (x2 + x. ∆ x - ) = - (x 2 + x. ∆ x - ) . ∆ x *(x + ∆ x)2 + (x2 + ) . ∆ x *(x + ∆ x)2 + (x2 + )

∆ y = - *x2 + x(%) - .


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0 *(x + %)2 + (x2 + )li" 0→ 3

-y . 80* "9 . " 0*

-0 80*

2 "9 80*

2 "9 80*

2 "9*

"%! y . 0* . : 0 *

y + ∆ y = (x + ∆ x)2 . & - (x + ∆ x)2

y +∆

y - y = (x +∆

x)2

- x2

.*& - (x + ∆ x)2 (& - x2)

∆ y = (x + ∆ x)2 (& - x2 ) - *& - (x + ∆ x)2 x2 . *& - (x + ∆ x)2 (& - x2)

∆ y = *x2 + 2x. ∆ x + ( ∆ x)2 (& - x2 ) - *&-(x2 +2x. ∆ x + ( ∆ x)2 ( x2 ) *& - (x + ∆ x)2 (& - x2)

y . :0 * 2 %0! 0 2 :8 09* 0: *0 ) ! 0 0* !8 09* ?: 0* *0! 0 8 09* @80* 9?: 80 2 09 *@ 8: 0*9

y . :0 * 2 %0! 0 2 :8 09 * 0 : *0) ! 0 0* !8 09* :0 * 2 0 : 2 *0 ) ! 0 2 0 * ! 8 09* ?: 80 2 09*@8: 0*9

∆ y = 'x. ∆ x + &. (∆ x)2 = ∆ x ('x + &. ∆ x) . *& - (x + ∆ x)2 (& - x2) *& - (x + ∆ x)2 (& - x2)

ividiendo5 para ∆ x 5 tene"os /

∆ y = ∆ x ('x + &. ∆ x) . ∆ y *& - (x + ∆ x)2 (& - x2) . ∆ x .

∆ y = 'x + &. ∆ x = 'x + &( % ) =0 *& - (x + ∆ x)2 (& - x2) *& - (x + %)2 (& - x2)

lim 0 → 3

-y . %0 2 3 . %0-0 ?: 0 *@ 8: 0* 9 8: 0* 9*

"#! y . )0 * :0


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y + ∆ y = 3 (x + ∆ x)2 - & (x + ∆ x) - 6

y + ∆ y - y = 3 (x + ∆ x)2 - & (x + ∆ x) - 6 - (3x 2 - &x -6)∆ y = 3 *x2 + 2x. ∆ x + ( ∆ x)2 - & (x +∆ x) - 6 - (3x 2 - &x -6)

∆ y = 3x 2 + x. ∆ x + 3.( ∆ x)2 - &x - &. ∆ x - 6 - 3x 2 + &x + 6 .

∆ y = x. ∆ x + 3 ( ∆ x)2 - &.(∆ x) = (∆ x) * x + 3 ( ∆ x) - &

ividiendo para ∆ x /

∆ y = (∆ x)* x + 3 ( ∆ x) - & = ∆ x * x + 3 (∆ x) - & = x + 3(%) - & 0 ∆ x ∆ x lim 0→ 3

-y . =0 : . *8)0 *9-0

*3! s . at * 2 (t 2 c .

s + ∆ s = a (t + ∆ t)2 + b (t + ∆ t) + c .

s + ∆ s - s = a (t + ∆ t)2 + b (t + ∆ t) + c - (at 2 + bt + c) .

∆ s = a *t2 + 2t. ∆ t + ( ∆ t)2 + bt + b. ∆ t + c - at 2 - bt - c .

∆ s = at2 + 2at. ∆ t + a.( ∆ t)2 + bt + b. ∆ t + c - at 2 - bt - c .

∆ s = 2at. ∆ t + a.( ∆ t)2 + b. ∆ t

ividiendo para ∆ t 5 factori7ando y si"plificando /

∆ s = ∆ t (2at + a. ∆ t + b) = ∆ t (2at + a. ∆ t + b)∆ t ∆ t ∆ t

∆ s = 2at + a( % ) + b = 2at + % + b . t

li" t→ 3

-s . *at 2 ( .-t


13/18

*"! u . *v ) )v *

u + ∆ u = 2 (v + ∆ v)3 - 3 (v + ∆ v)2

u + ∆ u - u = 2(v + ∆ v)3 - 3 (v + ∆ v)2 - (2v 3 - 3v 2)

u . *?v) 2 )v *! v 2 )v!8 v9 * 2 8 v) 9@ )?v* 2 *v! v 2 8 v9*@ *v) 2 )v *

u . *v ) 2 =v *! v 2 =v 8 v9* 2 * 8 v9) )v* =v! v )8 v9* *v) 2 )v * !

∆ u = v2. ∆ v + v ( ∆ v)2 + 2 ( ∆ v)3 - v. ∆ v - 3( ∆ v)2

8actori7ando y dividiendo para ∆ v /

∆ u = ∆ v * v2 + v. ∆ v + 2. ( ∆ v)2 - v - 3. ∆ v∆ v ∆ v .

∆ u = v2 + v. ∆ v + 2 ( ∆ v)2 - v - 3. ∆ vv

lim v → 3

∆ u = v2 + v (%) + 2 (%)2 - v - 3 (%) .∆ v

-u . =v* =v-v

**! y . a0 ) 2 (0 * 2 c0 2 - .

y + ∆ y = a (x + ∆ x)3 + b (x + ∆ x)2 + c (x + ∆ x) + d .

y 2 y y . ?a 80 2 09 ) 2 ( 80 2 09 * 2 c80 2 09 2 -@ 8a0 ) 2 (0 * 2 c0 2 -9 !

y + ∆ y - y = a*x3 + 3x 2∆ x + 3x( ∆ x)2 + ( ∆ x)3 + b*x2 + 2x. ∆ x + ( ∆ x)2

+ cx + c. ∆ x + d - (ax 3 + bx 2 + cx + d)

∆ y = ax 3 + 3ax 2.∆ x + 3ax.( ∆ x2) + a.( ∆ x)3 + bx 2 + 2bx. ∆ x + b( ∆ x)2

+ cx + c. ∆ x + d - ax 3 - bx 2 - cx - d .

∆ y = 3ax 2.∆ x + 3ax.( ∆ x2) + a.( ∆ x)3 + 2bx. ∆ x + b( ∆ x)2 + c. ∆ x8actori7ando y dividiendo para ∆ x /

∆ y = ∆ x (3ax 2 + 3ax. ∆ x + a.( ∆ x)2 + 2bx + b. ∆ x + c )∆ x ∆ x

∆ y = 3ax 2 + 3ax ( % ) + a.( % )2 + 2bx + b.( % ). ∆ x + c∆ x

lim v → 3

-y . )a0 * 2 3 2 3 2 *(0 2 3 2 c


14/18

-0

*)! e . 8a ( θ 9*

e +∆

e = *a - b (θ

+∆θ

)2

e + ∆ e - e = *a - b (θ + ∆θ ) 2 - (a - b θ )2

∆ e = (a - b θ - b. ∆θ )2 - (a - b θ )2

∆ e = *a + (-b θ ) + (- b. ∆θ ) 2 - (a - b θ )2

∆ e = a2 + (-b θ )2 + (- b. ∆θ )2 + 2a.(-b θ ) +2a.(- b. ∆θ ) +2.(-b θ ).(- b. ∆θ ) - *a2-2a.b θ + (b θ )2

∆ e = a2 + (b θ )2 +(b. ∆θ )2- 2a(b θ ) -2a(b. ∆θ ) +2(b θ )(b. ∆θ ) - a 2 + 2a.b θ - (b θ )2

∆ e = (b. ∆θ )2 -2a(b. ∆θ ) + 2(b θ )(b. ∆θ )

∆ e = b2(∆θ )2 - 2a(b. ∆θ ) + 2(b θ )(b. ∆θ )

8actorando y dividiendo para ∆θ .

∆ e = ∆θ b2 .( ∆θ ) - 2a.b + 2b 2 .θ 4∆θ ∆θ .

. ∆ e = b2.(∆θ ) - 2a.b + 2b 2.θ = b2.(%) - 2a.b + 2b 2.θ

θ

li" θ → 3

-e . 3 *a( 2 *( *!θ . *( *!θ *a( . *( 8(! θ a 9- θ

*:! y . 8* 09 8" *09.

y + ∆ y = *2 - (x + ∆ x) * - 2 (x + ∆ x)

y + ∆ y - y = *2 - (x + ∆ x) * - 2 (x + ∆ x) - (2 - x) ( - 2x)

∆ y = (2 - x - ∆ x) ( - 2x - 2. ∆ x) - (2 - x) ( - 2x)

∆ y = *2 + (-x) + (- ∆ x) * + (-2x) + (-2. ∆ x) - (2 - &x - x + 2x 2)

y . * :0 :! 0 0 2 *0 * 2 *0! 0 0 2 *0! 0 2 *!8 09* * 2


15/18

∆ y = ∆ x (-6 + &x + 2 ∆ x)∆ x ∆ x .

∆ y = - 6 + &x + 2( % )0li" θ → 3

-y . < 2 :0 . :0 <-0

*

y + ∆ y = *0 (x + ∆ x) + 1 * (x + ∆ x) +

y +∆

y - y = *0 (x +∆

x) + 1 * (x +∆

x) + - (0x + 1) ( x + ). y y 2 y . 8A0 2 A! 0 2 + 9 8C0 2 C! 0 2 D 9 8A0 2 +9 8C0 2 D9!

y . AC0 * 2 AC0! 0 2 AD0 2 AC0! 0 2 AC8 09* 2 AD8 09 2 +C0 2+C! 0 2 +D AC0 * AD0 +C0 +D !

∆ y = 2 0 x. ∆ x + 0 ( ∆ x)2 + 0 ( ∆ x) + 1 . ∆ x

8actorando y dividiendo para ∆ x.

∆ y = ∆ x (20cx + 0 . ∆ x + 0 + 1 )∆ x ∆ x .

∆ y = 20 x + 0 . ∆ x + 0 + 1 = 20cx + *0 (%) + 0 + 1 0

li" 0 → 3∆ y = 20 x + % + 0 + 1

θ lim 0 → 3

-y . *AC0 2 AD 2 +C-0

*=! s . 8a 2 (t9)

s + ∆ s = *a + b (t + ∆ t) 3

s + ∆ s - s = *a + b (t + ∆ t) 3 - (a + bt) 3

∆ s = *a + bt + b ∆ t 3 - *a3 + 3a 2 bt + 3a(bt) 2 +(bt) 3

s . a ) 2 8(t9 ) 2 8( t9) 2 )a *8(t9 2 )a *8( t9 2 )a8(t9 *2 )8(t9 *8( t9 2


16/18

)a8( t9* 2 )8(t98( t9* 2 =a8(t9 8( t9 a ) )a *8(t9 )a8(t9 * 8(t9 )

s . 8( t9) 2 )a *8( t9 2 )8(t9 * 8( t9 2 )a 8( t9* 2 ) 8(t9 8( t9* 2 =a 8(t9 8( t9

8actorando 5 dividiendo y si"plificando para ∆ t .

∆ s = ∆ t (b ∆ t)2 + 3a 2 b + 3b 3 t 2 + 3ab 2 ∆ t + 3b 3 t. ∆ t + ab 2 t4∆ t ∆ t .

∆ s = *b (%)2 + 3a 2 b + 3b 3t2 + 3ab 2.(%) + 3b3t.(%) + ab2t∆ t

li" ∆ t→ %

ds = % + 3a2 b + 3b 3t2 + % + % + ab2t = 3a 2 b + 3b 3t2 + ab 2t.dt

ds = 3a 2 b + ab 2t + 3b 3t2 = 3b ( a 2 + 2abt + b 2t2 ) =

dt

-s . )( ?a 2 8(t9@ *B-t

*$! y . 0 . a 2 (0 *

y + ∆ y = x + ∆ x . a + b (x + ∆ x)2 y + ∆ y - y = x + ∆ x - x . a + b (x + ∆ x)2 a + bx 2

∆ y = (x + ∆ x) (a + bx 2 ) - x a + b (x + ∆ x)2 4 *a + b (x + ∆ x)2 *a + bx2

∆y = ax + bx

3

+ a.∆

x + bx2

.∆

x - x a + b*x2

+ 2x. ∆

x + (∆

x)2

4 *a + b (x + ∆ x)2 *a + bx2

∆ y = ax + bx 3 + a. ∆ x + bx 2 . ∆ x - x a + bx 2 + 2bx. ∆ x + b.( ∆ x)2 4 *a + b (x + ∆ x)2 *a + bx2

∆ y = ax + bx 3 + a. ∆ x + bx 2 . ∆ x - ax - bx 3 - 2bx 2 . ∆ x - bx.( ∆ x)2. *a + b (x + ∆ x)2 *a + bx2


17/18

∆ y = a. ∆ x - bx 2 .∆ x - bx.( ∆ x)2 . 8actorando y dividiendo para ∆ x/ *a + b (x + ∆ x)2 *a + bx2

∆ y = ∆ x (a - bx 2 - bx. ∆ x) .∆ x *a + b (x + ∆ x)2 *a + bx2 ∆ x .

∆ y = a - bx2

- bx. ∆ x = a - bx2

- bx ( % ) . 0 *a + b (x + ∆ x)2 *a + bx2 a + b *x + ( % ) 24*a + bx 2 li" ∆ x→ %

∆ y = a - bx 2 - % . 0 *a + bx 2 *a + bx2 ∆ x→ %

-y . a (0 * -0 ?a 2 (0 *@*

*%! y . a 2 (0*

0*

y + ∆ y = a + b (x + ∆ x)2 (x + ∆ x)2

y + ∆ y - y = a + b (x + ∆ x)2 - *a + bx 2

(x + ∆ x)2 x2

∆ y = a + b (x + ∆ x)2 4 (x 2 ) - (x + ∆ x)2 (a + bx 2 ) (x + ∆ x)2 x2

∆ y = a + b*x2 +2x. ∆ x + ( ∆ x)2 4(x2 ) - x 2 + 2x. ∆ x + ( ∆ x)2 4(a +bx 2 ) (x + ∆ x)2 x2 ∆ y = a + bx 2 + 2bx . ∆ x + b. ( ∆ x)2 4(x 2 ) - ax 2 + bx &+ 2ax. ∆ x

(x + ∆ x)2 x2 + 2bx 3 . ∆ x + a ( ∆ x)2 + bx 2 .( ∆ x)24 (x + ∆ x)2 x2

∆ y = ax 2 + bx & + 2bx 3 .∆ x + bx 2 (∆ x)2 - ax 2 - bx & -2ax. ∆ x -(x + ∆ x)2 x2

∆ y = 2bx 3 . ∆ x - a( ∆ x)2 - bx 2 .( ∆ x)2

(x + ∆ x)2 x2

∆ y = - 2ax. ∆ x - a( ∆ x)2

(x +∆

x)2

x2

8actorando 5 dividiendo y si"plificando para ∆ x /∆ y = ∆ x -2ax - a ( ∆ x)4 = (∆ x) -2ax - a ( ∆ x)4∆ x (x + ∆ x)2. x2. (∆ x) (x + ∆ x)2. x2. (∆ x)

∆ y = -2ax - a ( ∆ x)4 = - 2ax - a ( % ) = - 2ax - %∆ x (x + ∆ x)2. x2 (x + % )2 .x 2 x2.x2

li" ∆ x→ %


18/18

-y . *a0 . *a! 0 . *a-0 0 : 0 ) !0 0 )

*#! y . 0* . a 2 (0 *

y + ∆ y = (x + ∆ x)2 . a + b (x + ∆ x)2

y + ∆ y - y = (x + ∆ x)2 - x 2 .*a + b (x + ∆ x)2 (a + bx2)

∆ y = (x + ∆ x)2 (a + bx 2 ) - a + b (x + ∆ x)2 4( x 2 ) *a + b (x + ∆ x)2 ( a + bx2 )

∆ y = x2 + 2x. ∆ x + ( ∆ x)2 4(a + bx 2 ) - a + b *x 2 + 2x. ∆ x + ( ∆ x)2 4( x2 )

*a + b (x +∆

x)2

( a + bx2

)∆ y = ax 2 +bx & +2ax( ∆ x)+2bx 3 (∆ x)+a( ∆ x)2 +bx 2 (∆ x)2 4- a+bx 2 +2bx( ∆ x)+b( ∆ x)2 4(x 2)

*a + b (x + ∆ x)2 ( a + bx2)

∆ y = ax 2 + bx & +2ax. ∆ x+ 2bx 3 ∆ x +a( ∆ x)2 + bx 2 (∆ x)2 - ax 2 + bx &+ 2bx 3 .∆ x + bx 2 ( ∆ x) 2 *a + b (x + ∆ x) 2 ( a + bx 2 )

∆ y = 2ax. ∆ x + a( ∆ x)2 . *a + b (x + ∆ x)2 ( a + bx2 )

8actorando 5 dividiendo y si"plificando para ∆ x/

∆ y = (∆ x) 2ax + a( ∆ x)4 = *a + b (x + ∆ x)2 ( a + bx2 )(∆ x)

∆ y = (∆ x) 2ax + a( ∆ x)4 . *a + b (x + ∆ x)2 (a + bx2) (∆ x) .

∆ y = (2ax + a. ∆ x) = 2ax + a ( % ) . ∆ x *a + b (x + ∆ x)2 ( a + bx 2) *a + b (x + %)2 (a + bx2)li" ∆ x→ %

dy = 2ax + % = 2axdx (a + bx 2) (a + bx 2) (a + bx 2)2

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Calculo. Granville-Smith-Longley. Soluciones Problemas Pag 32