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Apresentação Disciplina
Capitalização, Actualização e taxas de juros
Operações financeiras
Rendas
Empréstimos: Bancários Obrigacionistas
Conceitos básicos
Conceitos básicos
O tempo
O capital
A taxa de juro
Capitalização,
Actualização
e Taxas juro
Consumo
Aforro (ou Poupança) Entesouramento (Capital monetário)
Improdutivo
Investimento (Capital financeiro) Juro
Capitalização, Actualização e taxas juro
Co = Capital inicial
Co Cn
Cn = Capital futuro
Capitalização
Capitalização, Actualização e taxas juro
Regime de capitalização
(Lei de formação do juro)
Regime juro composto
Regime juro simples
Regime puro simples
Regime dito simples
Capitalização, Actualização e taxas juro
Fórmula Geral de Capitalização
C0 C1 C2 C3 C4 Ct-1
Ct
0 1 2 3 4 t-1 t
i0 i1 i2 i3 it-1
C1 = C0 + C0 io = C0(1+i0)
C2 = C1 + C1 i1 = C1 (1+i1) = C0(1 + i0)(1+i1)
C3 = C2 + C2 i2 = C2 (1+i2) = C0(1 + i0)(1+i1)(1+i2)
Ct = Ct-1 + Ct-1 it-1 = Ct-1 (1+it-1) = C0(1 + i0)(1+i1)(1+i2)…(1+it-1)
…
Capitalização, Actualização e taxas juro
Fórmula Geral de Capitalização
t-1
Ct = C0 . (1+is)
s=0
Ct = Ct-1 + Ct-1 it-1 = Ct-1 (1+it-1) = C0(1 + i0)(1+i1)(1+i2)…(1+it-1)
Capitalização, Actualização e taxas juro
Regime Juro Simples
Hipótese:
i0
it =
1 + i0.t
em que :
it = Taxa de capitalização
i0 = Taxa Juro do período [0,1]
t = n.º períodos
Capitalização, Actualização e taxas juro
Regime Juro Simples
i0 i0 i0 i01+i0.1 1+i0.2 1+i0.3 1+i0.(t-1)
(1 +Ct = C0 (1+i0) ) (1 + ) (1 + ) [1 + ]…
1+i0.2 1+i0.3 1+i0.4 1+i0.t1+i0.1 1+i0.2 1+i0.3 1+i0.(t-1)
… [ ]( ) ( )Ct = C0 (1+i0) ( )
Ct = C0 (1+i0.t)
Capitalização, Actualização e taxas juro
Regime Juro Simples
Taxa de Capitalização
Juro periódico = C0 x i0 = Ct x it
Juro = Ct – C0
Juro = C0 x i0.t
i01+i0.t
it =
Capitalização, Actualização e taxas juro
Exemplo :
O Sr. Joaquim depositou a quantia de 1.000 € durante 3 anos à taxa de juro inicial de 10% ao ano.
a) Determine o juro vencido em cada ano
b) Determine o total de juros vencidos
c) Determine o valor acumulado
Capitalização, Actualização e taxas juro
Resolução:
Regime Juro Simples
a) Determine o juro vencido em cada ano :
Juro periódico = C0 x i0 = Ct x it Juro 1 = 1.000 x 0,1
Juro 1 = 100
Juro 2 = 1.000 x 0,1 = 1.100 x 0,0909
Juro 2 = 100
Juro 3 = 1.000 x 0,1 = 1.200 x 0,0833
Juro 3 = 100
Capitalização, Actualização e taxas juro
Resolução:
Regime Juro Simples
b) Determine o total de juros vencidos :
Juro = C0 x i0.t
Juro = 1.000 x 0,1 x 3
Juro = 300
Ct = C0 (1+i0.t)
Capitalização, Actualização e taxas juro
Resolução:
Regime Juro Simples
c) Determine o valor acumulado :
Ct = C0 x ( 1 + i0.t )
Ct = 1.000 x ( 1 + 0,1 x 3)
Ct = 1.300
Capitalização, Actualização e taxas juro
Regime Juro Composto
Hipótese:i0 = i1 = i2 = … = it = i
Taxa de capitalização constante
(1+i) … (1+i)Ct = C0 (1+i) (1+i) (1+i)
t vezes
Capitalização, Actualização e taxas juro
Regime Juro Composto
Capitalização
Ct = C0 ( 1 + i ) t
em que :
Ct = Capital Futuro (valor acumulado)
C0 = Capital Inicial (valor actual)
i = Taxa de Juro
t = n.º períodos
Capitalização, Actualização e taxas juro
Regime Juro Composto
Capitalização
Juro do período t = Ct-1 x i = C0 (1+i)t-1 x i
Juro = Ct – C0
Ct = C0 (1+ i)t
Capitalização, Actualização e taxas juro
Exemplo :
O Sr. Joaquim depositou a quantia de 1.000 € durante 3 anos à taxa de juro de 10% ao ano.
a) Determine o juro vencido em cada ano
b) Determine o valor acumulado
c) Determine o total de juros vencidos
Capitalização, Actualização e taxas juro
Resolução:
Regime Juro Composto
a) Determine o juro vencido em cada ano :
Juro t = Ct-1 x i
Juro 1 = 1.000 * 0,1
Juro 1 = 100
Juro 2 = 1.100 * 0,1
Juro 2 = 110
Juro 3 = 1.210 * 0,1
Juro 3 = 121
Capitalização, Actualização e taxas juro
Resolução:
Regime Juro Composto
b) Determine o valor acumulado :
Ct = C0 ( 1 + i ) t
Ct = 1.000 x ( 1 + 0,1 ) 3
Ct = 1.331
Capitalização, Actualização e taxas juro
Resolução:
Regime Juro Composto
c) Determine o total de juros vencidos :
Juro = Ct – C0
Juro = 1.331 – 1.000
Juro = 331
Capitalização, Actualização e taxas juro
Conclusão:
Regime Juro Simples
Ct = 1.300
Regime Juro Composto
Ct = 1.331
Capitalização, Actualização e taxas juro
Porquê a diferença ?
No regime de juro simples a taxa de capitalização é decrescente, daí resultando um juro periódico constante, enquanto no regime de juro composto, com uma taxa de capitalização constante e igual à taxa de juro inicial, o juro periódico cresce de forma exponencial.
Capitalização, Actualização e taxas juro
Período
Regime Juro Simples Regime Juro Composto
Juro VencidoCapital
AcumuladoJuro Vencido
Capital Acumulado
1 100 1.100 100 1.100
2 100 1.200 110 1.210
3 100 1.300 121 1.331
Capitalização, Actualização e taxas juro
Actualização
Capitalização, Actualização e taxas juro
C0 = Capital inicial
C0 Ct
Ct = Capital futuro
Actualização
Capitalização, Actualização e taxas juro
Regime Juro Composto
Actualização
C0 = Ct ( 1 + i ) -t
em que :
Ct = Capital Futuro
Co = Capital Inicial
i = Taxa de Juro
t = n.º períodos
Capitalização, Actualização e taxas juro
Exemplo :
Na aquisição de um computador, o Sr. Joaquim pagou 1.000 € e comprometeu-se a pagar os restantes 500 € passados 3 anos. Após um ano, face aos excedentes de tesouraria apurados, propôs, ao fornecedor do equipamento, liquidar a sua dívida. Sabendo que a taxa de juro é de 15% anual, quanto deve pagar ?
Capitalização, Actualização e taxas juro
Resolução:
Regime Juro Composto
0 1 2 3
500
C0 = Ct ( 1 + i ) -t
C0 = 500 x ( 1 + 0,15 ) -2
C0 = 378,07
Capitalização, Actualização e taxas juro
Capitalização ou Acumulação
Actualização
ou
Desconto
C0 = Capital inicial
C0 Ct
Ct = Capital futuro
Capitalização, Actualização e taxas juro
Taxas juro
Capitalização, Actualização e taxas juro
Taxa juro nominal
i (m)
Taxa juro efectiva
Regime proporcionalidade
Regime equivalência
( 1 + i ) = ( 1 + i’ ) m
i i’
Nº de vezes que o período da taxa i’ cabe no período da taxa nominal i (m)
m.i’
m
Capitalização, Actualização e taxas juro
Proporcionalidade
i’ = i (m) / m , em que
período taxa referência – i (m)
Equivalência
( 1 + i ) = ( 1 + i’ ) m , em que
i – taxa maior
i’ – taxa menor
período taxa maior período taxa menor
m =
período taxa pretendida – i’m =
Capitalização, Actualização e taxas juro
Fórmula Actualização
C0 = Ct ( 1 + i ) -t
Fórmula Capitalização
Tanto na Actualização como na Capitalização
i e t têm que ter o mesmo horizonte temporal
Ct = C0 ( 1 + i ) t
Capitalização, Actualização e taxas juro
Taxa corrente/Taxa real Taxa corrente é a taxa convencionada
utilizada no cálculo do valor acumulado de um capital durante um determinado período de tempo.
Taxa real é a constante de proporcionalidade entre o valor real de um capital acumulado e o valor do capital inicial quando aplicado durante a unidade de tempo, ou seja, é o capital acumulado à taxa de juro corrente deflacionado à taxa de inflação.
Capitalização, Actualização e taxas juro
Taxa corrente/Taxa real
Juro: Compensação da erosão monetária Remuneração do capital
C0 . (1 + i) = C0 . [(1 + I).(1 + r)], em que:
i – Taxa corrente
I – Taxa de Inflação
r – Taxa reali = I + r + I.r
(1+ i)(1+ I)r = -1
Capitalização, Actualização e taxas juro
Taxas de Rendimento/Custo Efectivas
T.A.E.L
Taxa Anual Efectiva Líquida (p/depósitos)
. Carta Circular do Banco de Portugal, de 12/11/93
T.A.E.G. (D.L. 325/91, de 21/9)
Taxa Anual de Encargos Efectiva Global
(Crédito ao consumo)
T.A.E. (D.L. 220/94, de 23/8)
(Crédito bancário)
Capitalização, Actualização e taxas juro
Se i # n, como se resolve ?
Encontramos o 1º momento de convertibilidade.
É o momento em que a tx. Nominal é igual á tx. Efectiva.
Capitalização, Actualização e taxas juro
Convertível xxx vezes Periodicidade dos juros Pagamento de juros ............................
Expressões que definem um horizonte temporal
Período da taxa de juro
Capitalização, Actualização e taxas juro
Exemplo :
Dada a taxa anual nominal de 12 %, convertível mensalmente, calcular a taxa efectiva anual.
Capitalização, Actualização e taxas juro
Resolução :
i (m) = 0,12 e m = 12/1 i’ = i (m) / m
i’ = 0,12 / (12/1)
i’ = 0,01 – Taxa Efectiva Mensal
( 1 + i ) = ( 1 + i’ ) m
( 1 + i ) = ( 1 + 0,01) 12
i = 0,1268
i = 12,68% - Taxa Efectiva Anual
i (m) = 12% - Taxa Nominal Anual
Capitalização, Actualização e taxas juro
Interpolação Linear
Capitalização, Actualização e taxas juro
O que é a Interpolação Linear ?
Interpolação Linear permite estimar, com um grau de certeza muito elevado, uma taxa desconhecida numa dada operação financeira, assentando no pressuposto de que a função em estudo tem um comportamento linear entre dois valores extremos conhecidos.
Capitalização, Actualização e taxas juro
Exemplo :
Sabendo que o Sr. Joaquim pediu um empréstimo de 10.000 € e que se comprometeu a liquidar essa dívida através do pagamento de 3 anuidades de 4.000 €, determine qual a taxa de juro utilizada nesta operação.
Capitalização, Actualização e taxas juro
Resolução :
+10.000 -4.000 -4.000 -4.000
0 1 2 3
ACTUALIZAÇÃO
C0 = Ct ( 1 + i ) -t
i
Capitalização, Actualização e taxas juro
Resolução :
+10.000 -4.000 -4.000 -4.000
0 1 2 3
10.000 = 4.000(1+i) -1 + 4.000(1+i) -2 + 4.000(1+i) -3
i
Capitalização, Actualização e taxas juro
i0 = i2 – [ (C0 – C2 ).( i2 – i1 )] / ( C1 – C2 ), em que :
i0 = taxa pretendida C0 = Capital dado equação i1 = taxa escolhida que substituída na equação origina um C1 = Capital LIGEIRAMENTE superior a C0
i2 = taxa escolhida que substituída na equação origina um C2 = Capital LIGEIRAMENTE inferior a C0
Capitalização, Actualização e taxas juro
Como se utiliza ?
10.000 = 4.000(1+i) -1 + 4.000(1+i) -2 + 4.000(1+i) -3
i0 = ?
C0 = 10.000
i1 = ? - C1 = C0
i2 = ? - C2 = C0
Capitalização, Actualização e taxas juro
Como se utiliza ?
10.000 = 4.000(1+i) -1 + 4.000(1+i) -2 + 4.000(1+i) -3
Por exemplo, i1 = 9%
4.000.[(1+0,09) -1 + (1+0,09) -2 + (1+0,09) -3]
= 10.125,18 C0
Capitalização, Actualização e taxas juro
Como se utiliza ?
10.000 = 4.000(1+i) -1 + 4.000(1+i) -2 + 4.000(1+i) -3
Por exemplo, i2 = 10%
4.000.[(1+0,1) -1 + (1+0,1) -2 + (1+0,1) -3]
= 9.947,41 C0
Capitalização, Actualização e taxas juro
i0 = i2 – [ (C0 – C2 ).( i2 – i1 )] / ( C1 – C2 ),
em que :
i0 = taxa pretendida C0 = 10.000 i1 = 9% C1 = 10.125,18 i2 = 10% C2 = 9.947,41
Capitalização, Actualização e taxas juro
i0 = i2 – [ (C0 – C2 ).( i2 – i1 )] / ( C1 – C2 )
i0 = 0,1 – [ (10.000 – 9.947,41).(0,1 – 0,09) ]
(10.125,18 – 9.947,41)
i0 = 0,097 i0 = 9,7%
Capitalização, Actualização e taxas juro
Capitalização, Actualização e taxas juro
10.125,18 a
b' c'10.000,00
9.947,41 b c
9,00% Tx 10,00%
a b' b' c'a b b c
=
10.125,18 - 10.000,00 tx - 9,00%10.125,18 - 9.947,41 10,00% - 9,00%
= tx = 9,70%
Operações financeiras
Letras
Operações financeiras O que é uma letra ?
Uma letra é um título de crédito à ordem que pode ser transmitido por endosso (declaração assinada no verso da letra para ser paga a
uma terceira pessoa, que se designa por endossado). Uma letra é uma ordem de pagamento
emitida pelo credor (sacador) que deverá ser paga na data de vencimento ao seu legítimo portador (geralmente o sacador, ou ao tomador – pessoa a quem foi passada a letra – ou ao endossado – geralmente um banco)
A assinatura do sacado (aceite) confirma o contrato da letra
Operações financeiras
Como funciona ?
Quando o legítimo possuidor de uma letra pretende a antecipação do pagamento (relativamente à data de vencimento) propõe ao banco o seu recebimento mais cedo, descontando o juro e comissões devidas pela antecipação no recebimento, ou seja, propõe ao banco o seu desconto.
Operações financeiras
O que é o desconto ?
Diferença entre o valor nominal / facial da letra (exigível na data de vencimento – momento n) e o valor recebido aquando da concretização da operação (momento actual ou momento zero).
D = Cn – C0
Operações financeiras
Tipos de desconto:
Regime Juro Composto - Desconto Composto
Regime Juro Simples - Desconto por dentro, Interno ou Racional
Desconto por fora, Externo ou Comercial
Operações financeiras
Regime Juro Composto
Desconto Composto - Dc
Dc = Cn – C0
Dc = Cn – Cn ( 1 + i ) –n
Dc = Cn . [ 1 – ( 1+ i ) –n ]
Operações financeiras
Regime Juro Simples Desconto por dentro, Interno ou Racional - Dd
Dd = Cn – C0
Dd = Cn – Cn (1 + i0.n) -1
Dd = Cn [1 – 1/(1 + i0.n)]
Dd = Cn.n.i0/(1 + i0.n) = Cn.n.in
Operações financeiras
Desconto por fora, Externo ou Comercial - Df
Df = Cn . i . n n – Nº de dias i – Taxa diária
0 n
C0 Cn
Operações financeiras
Desconto Bancário - DB
Df = Valor Facial x Tx. Anual nominal/Nº dias ano x (n+2)
Pretende-se obter uma taxa diária. A taxa utilizada neste desconto é uma taxa nominal.
n - n.º dias que faltam para o vencimento da letra.
Os 2 dias adicionais utilizados na contagem é o período de dilação
DB = Df + Comissão Cobrança + Imposto Selo + Portes
Operações financeiras
Desconto Bancário - DB Comissão de cobrança - C Cob C Cob = Valor Facial (Cn) x % C Cob(A % utilizada no cálculo da Comissão de cobrança varia de banco para
banco) Imposto Selo - Imp Selo Imp Selo = ( Df + C Cob ) x % Imp Selo
(Actualmente o Imposto de Selo é de 4%) Portes – Valor determinado na negociação
(Variável de banco para banco)
DB = (Df + C Cob) x (1 + % Imp Selo) + Portes
Operações financeiras
Depois de obtidos todos os custos associados ao desconto de uma letra, pode-se determinar o montante do valor efectivamente recebido, ou seja, o valor actual Co ou PRODUTO LÍQUIDO DO DESCONTO. Como ?
Somam-se todos os custos, obtendo o DESCONTO BANCÁRIO TOTAL - DB
DB = (Df + C Cob) x (1 + % Imp Selo) + Portes
Co = Cn - DB
Desconto Bancário - DB
Operações financeiras O custo do crédito associado ao desconto de
uma letra é determinado de acordo com o conceito de T.A. E.G. ( Taxa Anual de Encargos Efectiva Global )
A T.A.E.G. é a taxa anual efectiva associada ao desconto efectuado, incluindo todos os encargos suportados.
Como se determina ?
Através da Fórmula de Capitalização no regime de juro composto.
Operações financeiras
C0 Cn
0 n Como se determina a T.A.E.G. ?
Conhecidos os valores de C0 (Produto Líquido) e Cn (Valor Nominal), utiliza-se a fórmula de Capitalização de juro composto para determinar a T.A.E.G.
Cn = Co ( 1 + i ) n
Em que i é a Taxa diária e n = Nº dias do Ano civil
Operações financeiras
Uma outra questão que se pode colocar no cálculo das letras é a T.A.E.
( Taxa Anual Efectiva )
Qual a diferença entre a T.A.E.G. ou T.A.E. ? A ÚNICA diferença entre a T.A.E.G. e a
T.A.E. é que esta última não entra em conta com o Imposto de Selo. Tudo o resto é igual.
Como a T.A.E. é uma taxa de custo efectiva e não se considerando o Imposto de Selo – que é uma receita do Estado – esta taxa reflecte unicamente o quanto custa o crédito bancário.
Operações financeiras
Cálculo da T.A.E. Depois de termos obtido todos os custos
associados ao desconto de uma letra, podemos determinar o valor hoje recebido, ou seja, podemos determinar o C0 (Produto Líquido). Como ?
Somam-se todos os custos e obtém-se o DESCONTO BANCÁRIO TOTAL ( DB )
DB = Df + C Cob + Imp Selo + Portes
C0 = Cn - DB
Operações financeiras
C0 Cn
0 n Como se determina a T.A.E. ? Conhecidos os valores de C0 e Cn,
utiliza-se a fórmula de Capitalização de juro composto para determinar a T.A.E.
Cn = C0 ( 1 + i ) n
Em que i é a Taxa diária e n = Nº dias do Ano civil
Substituição de um conjunto de capitais com diversos vencimentos por um único capital (CAPITAL COMUM) com um vencimento comum.
C4 Ct
0 n1 n2 n3 n4 nt
C1 C2 C3
1. Conversão do conjunto de capitais primitivos em capitais equivalentes com vencimento comum n
2. Adicionar os valores obtidos
EQUAÇÃO DO VALOR
n . . .
C4 Ct
0 n1 n2 n3 n4 nt
CA
PIT
AL
CO
MU
M
C1 C2 C3
Capitalizações Actualizações
Para um capital Cs, com vencimento no prazo ns, o CAPITAL EQUIVALENTE Cn, no momento n, vem:
Cn = Cs . ( 1 + i ) n-ns
EQUAÇÃO DO VALOR
Uma vez obtido o conjunto de capitais equivalentes com igual vencimento, efectua-se a respectiva soma e obtém-se o CAPITAL COMUM (C) com
VENCIMENTO COMUM (n).
C = [ Cs. ( 1 + i ) n - ns ]
t
S=1
EQUAÇÃO DO VALOR
C.(1+i)-n = Cs.( 1 + i )- ns
S=1
t
EQUAÇÃO DO VALOR
Determinada a Equação do Valor duas questões se colocam, depois da definição da taxa de avaliação :
1. Escolhido o vencimento comum (n), qual o capital comum?
2. Escolhido o capital comum (C), qual o vencimento comum?
EQUAÇÃO DO VALOR
EQUAÇÃO DO VALOR
Vencimento comum no momento actual n = 0
C = Cs.( 1 + i ) - ns
t
S=1
Vencimento médio C = Cs
t
S=1
Log Cs.vn
s – Log Cs
t t
S=1 S=1
Log vn =
v = ( 1 + i ) -1