Gua Solemne 2.

1. Encuentre todas las asntotas verticales y horizontales para la grca dela funcin dada f . Trace la grca.

(a) f (x) =1

x2 + 1

(b) f (x) =x2

x+ 1

(c) f (x) =1

x2 (x 2)

(d) f (x) =r

x

x 1(e) f (x) =

x 2px2 + 1

(f) f (x) =x

x2 + 1

(g) f (x) =x2 xx2 1

(h) f (x) =4x2

x2 + 4

(i) f (x) =1pxp

x

(j) f (x) =x+ 3px2 1

(k) f (x) =x2 + 4

x2 1(l) f (x) =

x 9p4x2 + 3x+ 2

2. Encuentre una frmula para una funcin que tenga las asntotas verticalesx = 1 y x = 3 y la asntota horizontal y = 1

3. Usa la denicin para determinar la derivada de las funciones dadas.

(a) f(x) = 3x+ 5(b) f(x) = 3x2

(c) f(x) = x2 + 4x+ 1(d) f(x) = (x+ 1)2

(e) f(x) = x3 + x

(f) f(x) =2

x+ 1

1

(g) f(x) =2x+ 3

x+ 4

(h) f(x) =1px

(i) f(x) =1

x+1

x2

(j) f(x) =x

x 1(k) f (x) = 3x4

(l) f (x) = x

(m) f (x) = (2x 5)2

4. Use la denicin para encontrar la derivada de la funcin dada. Encuentrela ecuacin de la recta tangente a la funcin en el valor indicado de x

(a) f (x) = 4x2 + 7x; x = 1(b) f (x) = 13x

3 + 2x 4; x = 0(c) f (x) = x 1

x; x = 1

(d) f (x) = 2x+ 1 +6

x; x = 2

5. Demuestre que la funcin dad es diferenciable en el valor indicado de x

(a) f (x) = x+ 2 x 22x 4 x > 2 x = 2

(b) f (x) =

3x x < 04x x 0 x = 0

6. Se sabe que las funciones f(x) = x1=3 y g(x) =px tienen tangentes

verticales en el origen (0; 0): Conjeture dnde las grcas de y = (x 4)1=3y y =

px+ 2 tienen tangentes verticales.

7. Encuentredy

dx:Simplique

(a) y = x9

(b) y = 4px 6

3px2

(c) y =x x2p

x

(d) y = x2 cosx(e) y = 1 + 7 sinx tanx(f) y = (4

px 3 3px) cosx

2

(g) y = cotx cosx

(h) y = cscx tanx

(i) y = x3 cosx x3 sinx(j) y =

cotx

x+ 1

(k) y =x2

1 + 2 tanx

(l) y =sinx

1 + cosx

(m) y =x2 6x1 + cosx

(n) y =1 + cscx

1 + secx

(o) y =1 + sinx

x cosx

8. Encuentre la ecuacin de la recta tangente y normal a la grca de lafuncin dada en el valor indicado de x:

(a) y =4px+ 2px; x = 4

(b) y = x+ 8x; x = 2

(c) y = x3 + 6x2; x = 1(d) y = x4 x; x = 1

9. Encuentra el o los puntos donde la recta tangente es horizontal

(a) y = x3 3x2 9x+ 2(b) y = x4 4x3

10. Encuentre una funcin cuadrtica f (x) = ax2 + bx + c tal que f (1) =11; f 0 (1) = 7 y f 00 (1) = 4

11. Encuentre los valores de a y b tales que la pendiente de la tangente a lagrca de f (x) = ax2 + bx en (1; 4) sea 5:

12. Se dice que las grcas de f (x) y g (x) son ortonogales si las rectastangentes a cada grca son perpendiculares en cada punto de intersec-cin. Demuestre que las grcas de f (x) = 18x

2 y g (x) = 14x2 + 3 sonortogonales.

13. Encuentre la ecuacin de la recta tangente en el punto dado.

(a) f (x) =x

x 1 ; x =12

3

(b) f (x) =5x

x2 + 1; x = 2

(c) f (x) = (2px+ x)

2x2 + 5x 1 ; x = 1(d) f (x) =

2x2 4 x3 + 5x+ 3 ; x = 0

14. Encuentre el o los puntos sobre la grca de la funcin donde la rectatangente es horizontal.

(a) f (x) =x2 4 x2 6

(b) f (x) =x2

x4 + 1

(c) f (x) =1

x2 6x(d) f (x) = x (x 1)2

15. Demuestre que la tangente a la grca de f (x) =x2 + 14

x2 + 9en x = 1 es

perpendicular a la tangente de la grca de g (x) =1 + x2

(1 + 2x) en

x = 1

16. Encuentre la ecuacin de la recta normal en el valor indicado de x

(a) y = sinx; x =4

3(b) y = x cosx; x =

(c) y =x

1 + sinx; x = =2

(d) y = tan2 x; x = =4

17. Considerando la grca de la funcin dad sobre el intervalo [0; 2] : En-cuentre las cordenadas del o los puntos sobre la grca donde la rectatangente es horizontal.

(a) f (x) = x+ 2 cosx

(b) f (x) =sinx

2 cosx(c) f (x) =

1

x+ cosx

(d) f (x) = sinx+ cosx

18. Encuentre el o los puntos sobre la grca de f (x) =x

(x2 + 1)2 donde la

recta tangente a la grca es horizontal. La grca de f ,tiene algunatangente vertical?

19. Encuentre la ecuacion de la recta normal a la grca de la funcin dadaen el valor indicado de x

4

(a) f (x) = sin 6x

cos

x2

; x = 1=2

(b) f (x) = sin3x3

; x =

20. Suponda que la ecuacin dada dene por lo menos una funcin diferencia-ble implcita. Use diferenciacin implcita para encontrar dy=dx

(a) y2 2y = x(b) xy2 x2 + 4 = 0(c) 3y + cos y = x2

(d)x+ y

x y = x

(e)x 1x+ 2

= y2

(f)x

y2+y2

x= 5

(g) x+ y = cos (xy)

21. Encuentre el o los puntos donde la tangente es horizontal.

(a) x2 xy + y2 = 3(b) y2 = x2 4x+ 7

22. Encuentre el punto donde se cortan las rectas tangentes a la grca dex2 + y2 = 25 en (3; 4) y (3;4)

23. Encuentre la derivada de la funcin dada.

(a) y =1

arctanx2

(b) y = 2arcsinx+ x arccosx

(c) y =arcsinx

sinx(d) y = (arctanx) (arccotx)

(e) y = cot1 x tan1 xp1 x2

(f) y =x2 9 tan1 x

3

3(g) y =

2

ex=2 + ex=2

(h) y =xex

x+ ex

(i) y = expx2+1

(j) y = ex + ex+ex

5

(k) y = lnp5x+ 1

x3 + 4

6(l) y =

plnpx

(m) y = ln (ln (lnx))

(n) y = x sin (ln 5x)

(o) y = ln

s(3x+ 2)

5

x4 + 7

6