CÁLCULO DEL CAMPO MAGNÉTICO EN EL EJE DE UN IMÁN CILÍNDRICO CON IMANACIÓN UNIFORME

1

CÁLCULO DEL CAMPO MAGNÉTICO EN EL EJE DE UN IMÁN CILÍNDRICO CON IMANACIÓN UNIFORME

Antonio J. BarberoDpto. Física Aplicada UCLM

1. Cilindro con imanación uniforme (cálculo de B, ley de Biot y Savart)

2. Cilindro con imanación uniforme (cálculo de B, potencial escalar magnético)

3. Cilindro con imanación uniforme (cálculo de H)

4. Arandela con imanación uniforme (cálculo de B, ley de Biot y Savart)

2

1. Determinar el campo magnético en el eje de un cilindro recto imanado, de radio R y altura L, cuya imanación uniforme es .. Representar gráficamente.zuMM

0

'z

zuMM

0

L

R

(0,0,z)

'dz

X

Y

Z

ru

zu u

ru

zu

u

rs uMJ

rz uuM 0 uM

0

2/322

02

0

)'(2

'

Rzz

udzMRBd z

zuRz

IRB

2/322

20

2

El cilindro imanado se comporta como una lámina cilíndrica por la que circula una corriente superficial Js cuyo módulo es M0 (A/m)

sJ

Las fuentes del campo B son las cintas de altura dz’ que transportan la corriente superficial Js. Cada una de esas cintas se encuentra a una altura z’ sobre el plano XY, y cada punto de la cinta situada en z’ se encuentra a una distancia del punto donde hay que determinar el campo magnético.

22)'( Rzz

El campo magnético de una espira circular (radio R) que transporta la corriente I en un punto z de su eje es

Análogamente el campo creado en z por cada una de las cintas que transportan la corriente M0dz’ es

CILINDRO CON IMANACIÓN UNIFORME

L

z

Rzz

udzMRBdB

0

2/3 22

02

0

)'(2

'

zuRLz

Lz

Rz

zM

2222

00

)(2

22222

0

2/3 22

1

)'(

'

RLz

Lz

Rz

z

RRzz

dzL

3

CILINDRO CON IMANACIÓN UNIFORME (Continuación)

Representación gráfica del módulo del campo B frente a z/L para distintos valores de R/L

222200

)(2 RLz

Lz

Rz

zMB

2222

00

1

1

2

LR

Lz

Lz

LR

Lz

Lz

M

-3 -2 -1 0 1 2 3 40,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

B (

un

ida

de

s 0M

0)

z/L

-3 -2 -1 0 1 2 3 40,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

B (

un

ida

de

s 0M

0)

z/L

-3 -2 -1 0 1 2 3 40,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

B (

un

ida

de

s 0M

0)

z/L

-3 -2 -1 0 1 2 3 40,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

B (

un

ida

de

s 0M

0)

z/L

1L

R

5.0L

R

2L

R

10L

R

El origen z/L = 0 es el polo sur. El imán es la zona gris 0 < z/L < 1.

2. Determinar el campo magnético en el eje de un cilindro recto imanado uniformemente, de radio R y altura L, usando el concepto de cargas magnéticas y densidad de polo magnético para determinar el potencial escalar magnético y a partir de ahí el campo B (similitud con el caso electrostático). Considere como dato el momento magnético del imán m (A·m2), siendo la imanación uniforme M0 (A/m) igual al momento magnético por unidad de volumen.

CILINDRO CON IMANACIÓN UNIFORME (Mismo problema, otro punto de vista)

m

L

R2

L

ZuMM

0

A·m L

mp

p magnético Polo

p magnético Polo

Sustituimos el imán por dos polos magnéticos, uno en la cara norte (+) y otro en la cara sur (-), cada uno de ellos con el signo correspondiente y de valor

Estos polos magnéticos aportan sobre cada una de las superficies superior e inferior una “densidad superficial de polo” (positiva y negativa, respectivamente) análoga a la densidad superficial de carga en electrostática. Su valor absoluto es el cociente entre el polo p y el área circular de radio R.

A/m 2R

p

Observación: el polo magnético p, definido como el cociente m/L, donde m es el momento magnético del imán, es una magnitud escalar, y representa el análogo de la carga eléctrica en electrostática.

Las densidades superficiales de polo (análogas a las distribuciones superficiales de carga en electrostática) se pueden considerar como origen de un potencial magnético escalar que puede calcularse, análogamente al potencial electrostático, teniendo en cuenta la simetría circular de las densidades de polo alrededor del eje Z. Así puede determinarse el potencial escalar magnético en cualquier punto del eje sumando las contribuciones de ambos polos, y una vez conocido éste, el campo B se calcula como el menos gradiente de ese potencial magnético (persistimos en la analogía electrostática).

55

d

z a

dr

dS

Rr

rd

ddrrdS

dV

a

ddrrkdV

a

dSk

22

rz

ddrrk

A/m

Punto P, potencial escalar

magnético a calcular

22 rz

zRzkV 22 2

CAMPO MAGNÉTICO B EN EL EJE DEL DISCO CON DENSIDAD DE POLO UNIFORME s

Relación entre campo B y potencial escalar magnético (en el eje solo depende de z)

VB ZuzRz

zk

2 22

ZuRzz

zkB

11

222

ZuRz

zzkB

2

22

Zu

Consideraremos que un polo magnético está compuesto por gran número de trapecios circulares de área dS, cada uno de los cuales contiene una fracción de polo ·dS, la cual contribuye al potencial escalar magnético con dV.

A·m L

mp A/m

2R

p


Polo magnético Densidad de polo

2

0 0

22

2

0 0

22

d

rz

drrk

rz

ddrrkV

RR

2

0

0 22 drzk

R

(k es aquí la constante magnética)

Análogamente al caso electrostático:

6

A·m L

mp A/m

2R

p


Polo magnético Densidad de polo

L

p magnético Polo

p magnético Polo

z

ZuRzz

zkB

11

222

Campo B creado por

un polo a la distancia z

Campo B creado por el polo (-) a la distancia z

ZuRzz

zkB

11

222

Tomamos como origen el polo (-) situado a la distancia z

Cálculo del campo B en el punto P: suma de las contribuciones de ambos polos magnéticos

P

Campo B creado por el polo (+) a la distancia z-L

Zu

RLzLzLzkB

11 2

22

ZuRz

zk

1 2

22

ZuRLz

LzkB

1 2

22

Zu

RLz

Lz

Rz

zkBBB

2

2222

ZuRLz

Lz

Rz

zMB

2

2222

00

LR

m

V

mM

20

m

Relación entre la imanación, el momento magnético y la densidad superficial de polo

24 2 2 00

00 M

Mk

LR

m

R

p22

La densidad superficial de polo es igual a la componente de la imanación normal a la superficie. En la parte lateral del

imán es nula por ser nula dicha componente normal.

Suma de ambos:

7

Partiendo del resultado anterior para el campo B, determinar el campo magnético H en el eje de un cilindro recto imanado de radio R y altura L (imanación constante e igual a . Representar gráficamente para R/L = 0.25zuMM

0

CILINDRO CON IMANACIÓN UNIFORME

zuRLz

Lz

Rz

zMB

2222

00

)(2

zu

LR

Lz

Lz

LR

Lz

Lz

M

1

1

2 2222

00

MH

B

0

MB

H

0

1

1

1

2

1

22220

LR

Lz

Lz

LR

Lz

Lz

uM z

Dentro del imán 0 z/L 1

Fuera del imán

0B

H

zu

LR

Lz

Lz

LR

Lz

Lz

M

1

1

2 2222

0

-0.50 -0.30 -0.10 0.10 0.30 0.50 0.70 0.90 1.10 1.30 1.50

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6 H

B

Lz /

25.0/ LR

Fuera del imán H tiene el mismo sentido que B; dentro tiene sentido contrario.

0 unidades M

8

Una arandela de espesor e = 0.5 mm está uniformemente imanada en la dirección del eje Z, siendo M0 = 104 A·m-1. Si los radios interior y exterior son respectivamente R1 = 2 cm y R2 = 5 cm, se pide:

1R2R

ZuMM

0

e

Z

(a) Discutir (sin cálculos complicados) si el campo magnético B en el centro de la arandela tendrá o no el mismo sentido que el vector imanación M. Puede considerarse que las corrientes de imanación en la arandela, al ser de muy pequeño espesor, se comportan como si fuesen corrientes filamentales.

(b) Calcular el campo magnético B en cualquier punto del eje Z.

(c) Representar gráficamente el perfil del campo B a lo largo del eje Z.

ARANDELA CON IMANACIÓN UNIFORME

(a) El campo B en cualquier punto del eje vendrá dado por la suma de las contribuciones de las corrientes de imanación .

Corrientes volumétricas: MJ

Puesto que la imanación es constante, 0 0 JM

Corrientes superficiales: NuMK

donde es el vector unitario normal a la superficie en cada punto

(sentido saliente) Nu

Como en las superficies superior e inferior de la arandela la normal y la dirección del eje Z son paralelos, el producto vectorial es nulo, pues la imanación será o bien paralela o bien antiparalela a la superficie. Los únicos lugares en donde existirán corrientes superficiales de imanación serán los bordes interno y externo de la arandela, en donde la dirección del vector superficie forma un ángulo recto con la dirección de la imanación.

En el borde interior el producto vectorial tiene sentido horario visto desde arriba, y en el borde exterior tiene sentido antihorario. Es decir, cada uno de esos dos bordes equivale a una pequeña espira que transporta corriente en sentido contrario a la otra: así que la arandela equivale a un sistema de dos espiras concéntricas con corrientes de sentidos opuestos, por lo que los campos magnéticos producidos en el centro tendrán diferentes sentidos, y uno de ellos será opuesto al sentido del vector imanación.

NuM

99

Las fuentes del campo magnético en un punto genérico (0,0, z) son los elementos de corriente superficial que existen en ambos bordes interior (1) y exterior (2) de la arandela.

21 , KK

Z

ru

ru

1rr

Zu

zr ,0,0

interior (1)

exterior (2)

No existen corrientes volumétricas de imanación, por ser constante el vector ; tampoco hay corrientes superficiales en las caras superior ni inferior de la arandela, puesto que en esas zonas el producto vectorial de la imanación por el vector superficie local es igual a cero.

M

1r

1R

2R

0,sin,cos 222 RRr

2r

0,sin,cos 111 RRr

d

e

1R

1K

u

ru

Zu

dResd 11

Borde interior (1)

El elemento de superficie que transporta la corriente es1K

Vectores de posición en coordenadas cilíndricas:

Punto fuente: ruRr

11

Punto campo: Zuzr

Zr uzuRrr

11

2211 zRrr

Ley de Biot y Savart aplicada al borde interior: hay que sumar la contribución de todas las fuentes del campo en el punto zr ,0,0

Nu

u

ru

Zu

NuMK

1

1K

rZ uuMK

01

uMK

01

3

1

11101

4 rr

sdrrKB

2

0

2/3221

11001

4 zR

dReuzuRuMB Zr

Extendemos la integral desde 0 hasta 2p para cubrir todos los valores de .

ZuMM

0

ZuMM

0

1K

1rr

1sd

1rr

(b) Cálculo del campo magnético en un punto genérico del eje vertical


10


Z

ru

ru

1rr

Zu

zr ,0,0

interior (1)

exterior (2)

ZuMM

0

1r

1R

2R

0,sin,cos 222 RRr

2r

0,sin,cos 111 RRr

d

e

1R

1K

u

ru

Zu

Nu

u

ru

Zu

NuMK

1 rZ uuMK

01

uMK

01

2

0

12/3221

100 4

duzuRu

zR

ReMZr

1K

ZuMM

0

2

0

12/3221

1001

4

duuzuuR

zR

ReMB Zr

2

0

2/3221

11001

4 zR

dReuzuRuMB Zr

u

ruZu

Zr uuu

rZ uuu

uuu rZ

Zu

ru

2

0

12/3221

1001

4

duzuR

zR

ReMB rZ

sincos YXr uuu

2

0

12/3221

1001 sincos

4

duuzuR

zR

ReMB YXZ


11

2

0

2/3222

22002

4 zR

dReuzuRuMB Zr


Z

2rr

Zu

zr ,0,0

interior (1)

exterior (2)

ZuMM

0

1r

1R

2R

0,sin,cos 222 RRr

2r

0,sin,cos 111 RRr

NuMK

2

rZ uuMK

02

uMK

02

2

0

12/3221

1001 sincos

4

duuzuR

zR

ReMB YXZ

Sobre un periodo completo, las integrales del seno y del coseno son iguales a cero:

0 sin

2

0

d 0 cos

2

0

d

2

0

12/3221

1001

4

duR

zR

ReMB Z

ZuzR

ReMB

2

2/322

1

2100

1

Borde exterior (2)

d

2K

2Ru

ru

Zu

e

Nu

2K

ZuMM

0

u

ru

Zu

ru

ru

dResd 22 Elemento de superficie que transporta la corriente

Vectores de posición en coordenadas cilíndricas:

Punto fuente: ruRr

22

Punto campo: Zuzr

Zr uzuRrr

22

2222 zRrr

2K

Ley de Biot y Savart aplicada al borde exterior: hay que sumar la contribución de todas las fuentes del campo en el punto

3

2

22202

4 rr

sdrrKB

¡Sentido opuesto al caso anterior!

2K

2rr 2sd

2rr

Integral entre 0 y 2p

zr ,0,0


12


2

0

22/3222

200 4

duzuRu

zR

ReMZr

2

0

2/3222

22002

4 zR

dReuzuRuMB Zr

Siguiendo los mismos pasos que antes para calcular el campo debido a las corrientes superficiales del borde interior, llegamos al resultado siguiente: Zu

zR

ReMB

2

2/322

2

2200

2

Véase que el signo es opuesto, porque la corriente superficial del borde exterior está orientada en sentido contrario a la del borde interior.

ZuzR

R

zR

ReMBBB

2

2/322

2

22

2/3221

2100

21

T·m 10 2

5·10 ·10 ·10 4

2

6447

00

eM

m 10 · 5 m 10 · 2 m 10 · 5 A·m 10 H·m 10 4 22

21

4140

170

RReM

Campo magnético en el punto (0, 0, z):


Para resolución numérica sustitúyanse los datos

13


(m) Z

1R2R

m 05.0 m 02.0 21 RR

ZuMM

0

T 10

2 400M

B

m 0005.0e

eEje horizontal

(m) Z

140 A·m 10 M

(c) Perfil del campo magnético sobre el eje vertical

B

Zon

a su

peri

orZ

ona

infe

rior

Z. central

ZuzR

R

zR

ReMBBB

2

2/322

2

22

2/3221

2100

21

B

B

B

Tabla de valores en hoja Excel

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