14
! " # $%# ! & %## ’ ( # # %# )# *# (+# , (+ (# ( -(# #. / ,+ # ( # #(* 0 ( #, # *# ,# (#. 12(# 1#( ’ # # %# + # . " #( (( # %# )# % ## %# / * # ,# # ## %## # # / + * # # (# # # %# (# (# % #3. "# ((# # *# 4(# # ’ (( ) ## ## # # # (#. & %## ’ # ( # 5#6 # 7(# $%# (# ## , (2 ,#. # 0 ## ((# / # # ( # ## / ,### ( % 56.

Cálculo de sumas infinitas de potencias pares negativas de enteros

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Cálculo de sumas infinitas de potencias pares negativas de enteros

�������������� �� � ���������� ������

���� ������������ � ������� ������� ��

����������������� �����

����������������� ��������������� ���������������������������������� ������ !�

"������ ������������ #�$ ���%��� #����� !�

�����������������

&�� �%��#�#����'�������� ( ������� #����� � � � ���� � #�� ���%��� #����� �� �����)#� � � �

��� � ��� �� � �� *�������#� ���(��+ #� ��� , �� ���� �� �� �� ���(��+ �� ������ (��� �����#� ���

� �� ��(��� ��� � ��� �-���(��#� �������� #.� � ��� � /��� ,��� + � ��� �#��� � �(�� �#� � �

#��(��*�� �����0���(������� �� ���� ������#��,������ �����#���*������ ��#����������, � #�

( ��� ��#.������������1� �2� (��#���1�#�(��'���������������#� �� � ����� #�� ���%��� #�

�� � + �������� ���#������������ ���� ���������� ���.��" ���#���(��������� �(��( �����

������ #�� �������%��� #�������������� �)��� #������%����������#������� #����%��� #�/�

����*��������� #�,��� �����#����� #���#� #����� �%��#�#������������#������������#���� �� �/�

� + � *�������� �� #��� ��� #� (��� �����#� ��� �#� � � � � ��� � #� � ���%��� #�� ����

(��� �����#� ��(��� ���#� ��� ��� %�� � ��� ����� � ��� � � #�3 �.� � " #� (��(��� ��#� ��� ��#�

���*�������#� ��� � � �4( �#���� ��� #����� ��� '������� (��(������ �� � ���)�� #��������#�

#������ #��������#����� ���#� �������#�(������ #.��&�� �%��#�#����'�����������#��� �( ����

�����#�5��� ���#6����� #�7���(� � #�$ ���%��� #������(��������#�#���� ��#� ���,���(��2

���,��#�� ���.��������� �����#�����0���#�#�(��(��� ��#�/ �������� � #�� #�� ���(������

����#�������# ���#�/�,�#��# #��� ���� ������(��������� ��� ���%�����5 � ����6.�

Page 2: Cálculo de sumas infinitas de potencias pares negativas de enteros

��������������� ������������������������������������

��������

����������������������������������

�� � ���!� �� � *������� (������� � ��� � � , �� ���� �� �� �� �0��� (����� �� ��� ��(��#��� �� ��

����(�!.� � ��*�������#� #�� (������� *��� ���� �� ���� 0��� #�������#� (��� ���,�����

(�#���,���� ��0����( � ������������!=���+��!��/�#���4�#��� �-���������(�#���,��� ��0���( � �

����� �� #�� ���(��� ���!=���+�!�� �������#� �≥��.� � &#� ��� �+�������� ���,� �� ����#�� �� 0���

�������#� �8��� �#� ��� ������� (�#���,�.� � " � *�������� � *��� ���� �� ��� �#� ��� ��,��#�� ����

(�������*��� ���� �����=98��.�

" � *������� ���#� ���� �#� (������� � ���� �� �0����� (�������� (���� ��� (�#��� (�������

*��� ���� ���/ �0���#�#�(�#����#�(������#�#���������+����������#��� ��#�(�#���,�#��0���

���(�#���������.�

���������������������������

��� #�/�� #�-��� #��4(������ ��#��� �� �� #���#���������4(������ ��#���/���4(�������

�#��� ����#� ������ �� �� �(�� ������(��� ���(����!�0����������(�����������#� �)#���#��

(������� *��� ���� �� �� ��!� #��� ��� � � *��� � �4(�����!�� ������ ��� ������� �� �0���� ��#������ �� � � ���� �� �� �� �� .� � &#��� #�� (����� ���(��� �� ��#��, ���� 0���� ( � � 0���

�4(��α�!�#� �(������� ����(������������ ����#���

( ) ( )( ) ( ) ( )� ��4( �4( �4( �4(� � � � � � � � �α α α α= + = .�

��� 0���#���������0���α���� ����#�������# �� ����������-���(��������������π.��:#��� #���# #�� (���� � #��� ������# ���� �4(��# �� �� �0����� *������� (������� � ��� (�������

*��� ���� ������������ ������� ��������� �������� #��#� #��4(������ ��#��� �� �� #.��

:��#� ��4(��#��������� � *�������(������� ������������ ����� ���� ������4(������ ��#�

�� �� �� #�#������������ ��4( �#�������#������4(������ �����'������.�

�� ��!����������������������������������

��(�� ��#��������#�0����� �*�����������*�������� �*��� ���� �����#��(������#�������

�����

( ) ( )��4( ��

� � � � �� �π+∞

=−∞

= ∑ � �9!�

Page 3: Cálculo de sumas infinitas de potencias pares negativas de enteros

"� � ����#� ���#��������*�������#�������# ����������#������4(������ �����'�������������!��

�� #��(�������� ���*�������#� ��� '������� ��� ���!.� � ;�����#� ��*������ ( � � � #� *�������#�

���(��+ #����, �� ���� ���(������� #�����(���������� �#� ��#���#��(�������*��� ���� ����

��!���� ��(�� �����0���������� #�(��(��� ��#����(���������#� � �<�

( ) ( ) ( ) ( )�

=

9

� � � � � � � � ��= ∫i � ��!�

������� ������ ��#���� ��> �#�������������, ���������������� �� ��(�������*��� ���� ���

/� ��� #����#��� ����� � ���+� ����� ���(��+ .� � " #� *�������#� �4(�����!� #���

�������� ��#�������#(����� ��#���(���������#� � ����#��������

( ) ( ) ( )( )�

� � � �

9�4( � �4( � �4( � �

� �� � � � � � � � � ��

π π π δ= − =∫i � �?!�

�������� �#���� #����������� ����@�����A����0����#� �� �� �9� #���=��/���������� #��

����� ���.� � &#��� � ���> �� (��� �+��(���� 0��� #�� �� � *������� #�� (����� �4(��# �� ��� ��#�

*��� #� ����� #����� �4(������ �� ��� '�������� ��#� ���*�������#� ��� �� #� #����#� #���

��)�����#� ���� � ���.� � :���%#�� #�� �� � #�3 �� ���!� #�� (����� �4(��# �� ��� ������� � �9!��

�������#�

( ) ( ) ( ) ( )�

� � � �

9�4( � �4( � �4( � �

� � � �� � � � � � � � �� � ��

π π π δ+∞ +∞

=−∞ =−∞

− = = ∑ ∑∫ i B�

( ) ( )�

9�4( ��

� � � � �� � ��

π= −∫ � ��!�

&#� ������� ��#� ���*�������#� ���� ��# ������� ��� #����� ��� '������� #��� �� ��� ��#��� ��� ���

5(��/��� �6�� �*����������!�#�������#�5,������#6��4(�����!.��&#��#�,������#�*��� �� ��

��� ���+����� ���� ������� ����(��������� �������� ��.� � C�� (�����#� ������ 0��� *������

�� �� #��(��0������ ,� ����# ����#�#���#����#�#��� ����� ���D�

��"��#�����������$��

C���#�� ���%#�0���� ������(��� �����*�#�� �����(���������#� � ������� �*�������(������� �

��� ���������#�����(��+ !����#�����#� ��#�-����!���#�� ����(������ ����� ��/ �0���

( ) ( ) ( )�

9

� � � � � � ��= ∫i ��

;�������� �����(��� �#�� E���!E�� ����� � � (������ � ��#� ��%�� � �# �,�� �� � ���#� ���� ���

(��(������ ��� �!����� �*����������!��� ����)#� ��#��� �� ������*�#�� .��;����+��(����� �

(������ � ��)����� � ��#� ��%�� � �#� (��(������ �� �� ,��� +�� �� �� �� ���� /� � ���)�� � � �

Page 4: Cálculo de sumas infinitas de potencias pares negativas de enteros

���������� ���� �� ��.��&�������� ����; �#�, ����#�(�������� ���� ��� �(������ ����� ����

�� �*���������4(��#%���� � ��� ,)#����#�#����*�������#����'������.��; � �������������#����

����� �0����#��� �*��������#��4(��# ������� ������� ��9!���������#�

( ) ( ) ( ) ( )= =

� � ��4( � �4( �� � �

� �

� � � � � � � �� � � � � � �π π δ∞ ∞ ∞ ∞

=−∞ =−∞ =−∞ =−∞

= = ∑ ∑ ∑ ∑i i B�

( )�

� �

9��� �

��

� � � ��

+∞

=−∞

= = ∑∫ � �F!�

&#� ������� ����� � �� �� � � (������ � ���� � ��� �� � *������� �#� �0��, ������ � � �� �� #��

(���������#� � �����#�����#� ���� ������� �� ���*����������!���������#�#���#� �*�������

�#��4(��# ���������#��������'��������(�����#�� �� ���#� �(������ ����� �#�� ������#�

������#� �� �� �� ��� ��� #�#� ���(������#� ��#(����� ��� � #� *�������#� �������� � #�

�4(�����!.�

&#��� ��#��� �����#�(������� � ���� ������ ������ � #������ � ����� ����� #�� #� ��*���� #B�

� #� ������������ ��� �*����������!�0������ ���#����*�������#� (��(� ��#.�

��%��&���������������������������������������

����� �*��������� �����!��#��4(��# ������� ������� ��9!���������#����/��−��#������(��+�#�

���+� ��#<�

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = =

� � ��4( � �4( � �4( �� � �

� � �

� � � � �� � � � �� � � � � � �� �π π π+∞ +∞ +∞

−=−∞ =−∞ =−∞

= − = = =∑ ∑ ∑ .�

��� � � *������� ������ #������ � ( �� ��#� ������� ���!=��−�!� ( � � ����� �!�� �������#� ��=�−���

������ #� 0��� #�� ������ #������ � ��( �� ��#� ������� ���!=−��−�!!� ( � � ����� �!�� �������#�

��=−�−�<�

( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � ��4( � �4( � �4( �� � �

� � �

� � � � �� � � � �� � � � � � �� �π π π+∞ +∞ +∞

−=−∞ =−∞ =−∞

− = − = = ± = ±∑ ∑ ∑ .�

"�#� ����(����#���� ��#� ��������#� ��#��� ��#� � ���)�� #��� ������#�� ����� ��� ������� (�����

���(��� �����,� ������.�

" �#�� ��������#���#����*�������#����'�������������!��#��� �� ����!<�

( ) ( )� �4( �� �

� �

� � �+∞ +∞

=−∞ =−∞

= =∑ ∑ � � !�

&#��� ��#��� ��� � ���)�� (������ ��,� ������� #��� �����> ��� ( � � � ���� �� ����� #� #�� #�

��*���� #��������������, ������#�3 ��#����!�0������ #���#����*�������#� (��(� ��#.�

Page 5: Cálculo de sumas infinitas de potencias pares negativas de enteros

G���(��� ������� ��� , ���� ���� ���*�������� ��� �#� ��� , ���� (�������� ��� � � #�3 �� ��� ���

(�������������#�����(���� �� ��������=�������!<�

( ) ( ) ( )� �

� �

9 9�4( �

� �

� � � � � � �� �= =∫ ∫ � �H!�

����� �*����������!��������*�������#����'����������#����� �� �����������(���������#���#�

���*�������#� ��� '������� ��� � � *������� ��� �� � � #��� �4(�−��π���τ!��� �(��(��� �� ������ ���!<�

( ) ( )( ) ( ) ( )� � ��4( � �4( � �4( �� �

� �

� � � � �� � � � �� � �� �τ π τ π τ π+∞ +∞

=−∞ =−∞

− = − = − ∑ ∑ �

:(��� ����)#� ��#���� �#�3 ��������#������ �������� ���� ���#�����������+��8�!=−���!�( � �

������!���������#���#����*�������#����'����������������( ��#�������#<�

( ) ( ) ( ) ( ) ( )�� �9 �4( � �4( �

� �

� �

�� � � � �� � � � � � �� �π π

+∞ +∞

=−∞ =−∞

+ = − = − − ∑ ∑ .�

��� 0���#�������������# �� ������0���#�����#�( �����=−����0����#�(������� ��������.��&��

�������(��������(��� ��*%���������0����������(������ ���)���#�������.�

'�� ��������#����#����*�������#����'�������������!�#���������#����*�������#����'����������� �

����, � �������!�������#(����� ���#����������(��(��� ���������, ����!.�

( ) ( ) ( ) ( )�

� �

�4( �� �4( �� �

� �

� � � �� �� � � �� � �� �

� �

ππ π

+∞ +∞

=−∞ =−∞

= = ∑ ∑ .�

&4�#������� #�(��(��� ��#������#����*�������#����'��������(�������#��%������, ���#�( � �

�#����#�����.�

��'��!�����������������(��

I #� � ��� � ����#� #������ 0��� �4�#���� ���*�������#� ��� � ��#� 0��� � � *������� ���!�

# ��#* ��� �9!.� � " � (����� � 0��� ��� ����#� ��#(������� ��� ,� � �#�� J( � � 0�)� *�������#�

(������� #� ��� (������� *��� ���� ����� #�� ���(��� �9!K� � " � ��#(��#� � �#�� (��� �������#�

��� #� 0���� #�0������(� ��� #�����������#���������������0���#��<�

9!� " � *������������ #��� �#���� ������ ����� ����������(�������� �#�������� ���, ����

�#������������!����#���������#��� �*���������� �, ����#����(��+�#!������������

�� ������ ���� �� ������ ��������(������.�

�!� " �*�����������������-�����*����������%4���#�/�������#�������(������.�

?!� " �*�����������������-�����*�����������#��������� ��#�������(����������� #���� #�

����# ����*�����.�

Page 6: Cálculo de sumas infinitas de potencias pares negativas de enteros

�� �����#� #����#�����������#�#�����(������ �#��������'����������,���� �� �*�����������

��� #������� ��� 0��� � � (������ � ���� � ���� ������ 0��� �4�#��� ������ � � *������� /� � � #�����

����� � �������� ���� �������������-���������)�����#����� �#���������� � <�

( ) ( )�

9��� �4( � �

��

� ��

� � � � �� � ��

π+

→+∞=−

− =∑∫ .�

:���%#��� ��� �� ���9!�������#����*�������#�� ���� ��#���� ������� ���!�#��� ��4 �� ����

�����(�������# �,�������#��(�#����#!�(����#� �#� ��#������#��������� ��������!�������#�0���

� �#��������'����������,����(���� ������� ��, ����(�������������#�������#�� ��� ��#����

���!� (��� ������ � �� �>0����� .� � &#��� ��#��� ��� #�� � � #��� ����#�� ������ / � 0��� )#� � �#�

��� ��, ���������(��+ ��#������#���� �#������L���FL����#������ �������� ��� ���������� #�

$ ���%��� #!��/��������(����������������� � (��� ����������(�� ��#���*�� ��, �( � ����

��� �����#����#�����.�

;���� ��#� � ���)�� �����(��� �� 0��� ��� ���+����� ��� � #� *�������#� �4(�����!� #��� ���#�#��� � ���� ���� ��� ��� ���+����� ��� *�������#�� �� ��%�� (���������� ��� #� � #� 0���

# ��#* ���� � #� ����������#� ������������� �� /� ��� #� ��� #�� ����� ,�����#� ��#���� !.��

������� ��� �#�� ���+����� ���� ���� � #� *�������#� �4(�����!� #��� �� �� � � #��

�������� � .�

��)����*�����������+�

&4�#������#����������#�0������# ��#* ����� #�����������#���������������(����#��(������#���

�4(��# � #������#��������'������.������+��(����#������#��� ��������(�����(������� ������

��#����������#����� ������� ���!��� ���)���� � � #���(��#�#����� ���#!���#( �� � #����

�������*��� �0����� ������� #��#�)�#��� � �����=�.� �:��� �� ����#����������#������������

���������������(��#�#����� ���#���5(����������� �6��/�� ������ ����#�(������!<�

( ) ( )�

� � � �δ+∞

=−∞

= −∑ .�

" ���#�������������� ������� ������(��#������ ������������#�(��(��� ��#�0���#��(������

����#�� ���0��, �����#<�

9!� :������, ���� � *�������������� � � ���>�#�� #������, � �(�#�������� � �(��������

��#��������� ��� �� � ��#���������� ���� � ������ �������(��� � � (��� ��� # ���� ��� � �

*������� ��� � � ��#��������� ��� �#� ������� (��� ��� ������� (��� � � ������ � ����#� ���

�������(���� ��>0����� ����� �*�������������(����������#��������� �.�

Page 7: Cálculo de sumas infinitas de potencias pares negativas de enteros

�!� " ���#�������������� ������� ������ �� ���!���#���� �( � ������, ���������������������(��)���#�� ���%#�0���

( ) ( ) ( )��

� � � � �δ =∫ �

( � �����������, �������!�0��������� � ������#����������.�

�����> �����#� �#���� �(��(��� ����#����,� �����(��� ��0�����#����*�������#����'�������

����5(����������� �6�#���

( ) ( ) ( )�

� � �

�4( �9 9�4( �

� � � �� � �� � �

δ π+

= − = =∫ .�

��,��������� �� �� ���� �� ������� �� �-���� �� ������

�����������

�����.���/����������$��������������������������0�����������

�����/ �#��� ������� ����( � �(����� (��� ��� #�#����#����'������� ���%���������#�� #�

��*���� #�� ����#�� ��#� ������� �� #�3 ��#� ��/�#� ���*�������#� #� �� (��(� ��#.� � ;���

�+��(���� (�����#� ��� �� �� � ��� � �� �� � � ���� �� � ���� #������ � ��( �� /� (�������

*��� ���� ��9���#����������=��=9!����/ ���(��#��� ������%*�� �#��� <�

&#����,� �����(��� ���(�������� ����������� ��0���#�#����*�������#����'�������#��� �<�

Page 8: Cálculo de sumas infinitas de potencias pares negativas de enteros

( ) ( ) ( )9�

9�

�4( � �4( � 9 9

� �

� �� � ���

� � � � � �

π π

π π π−

− − − − −= + = .�

�� #������� �������−98����#����������� , �������98�!���������� ��#��� ���� ��� �� � �

���� �� ����� #������ �( ���0��� ��� ����, ����9���� �=���/���/�#����*�������#����'�������

#��� ��

( ) ( )9 9 9 9�4(

� �

� �� �

� � � �

π

π π

− − − − = = .�

C���#��0����#��#����*�������#�#�������#��� �������#�( ���/��� �������#���( ��(�#���,���

��� �� , ����#� ��� #���� ����� ����� (��(������ ��#� � 98�<� �9=�8π�� �?=−�8�?π!��

�F=�8�Fπ!�D��7�,� ���������=�−��(���������� �#�3 ��#������ �( �.��;������� ����� (��� ����

� !��#�������������(������ �( ������� ��, �����������������#��� ��<�

( )9

� � �9 � � � ...

? F� �

� �

� � �π π π

+∞ +∞

=−∞ =

= = = = − + − ∑ ∑ B����������9 9 9

9 ...? F H �

π− + − + = .�

�������������������������������������0���$����������/�����$��

&#� ��#�������# ��#��������%���������#�� #����� �*��� <�

�9

9�

� �

+∞

=∑ ��

#������������������(�#���,���� �0���� .��&��(�������� ���(�����#���#��, ��0���������

������������ #��(������#������������ �-��� �� ��� � ������α�� #������α� ��� ����������

�� ��,��/������������(�#���,����( ���/�����#� #�����������#���#�#���(�����������

�������#�

� � � � � �9 � 9 � 9

���( � ���( �

9 9 9 9 �

� � � 9

� �� � � � � ��

� �� α α

α α

+∞ +∞ +∞ +∞ +∞

= = = = =

= = = ⋅ =−

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ������������

9���( �

9� �

+∞

=

= ∑ .�

����#� � *��� ��(�����#� ������ �������> �� *�������#����� #������ � ������� ���� ���/�#�

���*�������#� ��� #� �� ��,��# ������ (��(������ ��#� � ��� ( � � � ���� �� � � #�� � ��#� � .��

G����� ��#� � ���)�� 0���� #�� ��������#� �� � *������� ��/�#� ���*�������#� #���

��,��# ������ (��(������ ��#� � ���� /� )#� � �#� � � ����, � � ��� �� � #���� � *��������

�������#��#� �-���� � �����%��(��� � �(��(��� ���������, ���������*�������#� ��,��# ������

(��(������ ��#� � ��+9.� � " � (����� � #�� �� �9�� � � (�����#� � ���� �� *%���������� / � 0���

���������#�,�#���� � � ��� � �� �� � � ���� �� � ���/ � (������ � ��#� ��%�� � �#� 9� ��� �����

Page 9: Cálculo de sumas infinitas de potencias pares negativas de enteros

��#� �����/�(������� ����� ���)���#�9�#��(������ ����� !�����������*�������#���,��# ������

(��(������ ��#� ��<�

9� � � � �9

���( � ���( �

� M 9 M9

� �� �

�� �π π π

+∞ +∞

=−∞ =

= = =∑ ∑ B�

9�9

���( �

9

M��

��

π+∞

=

= =∑ B����������� �

9 9� �9

9 �

� 9 �

� ��

π+∞

=

= = =−

∑ .�

; � �� �� ��� #�#�� #����� ��#����� ��#�� �#��������* ���� ����*�������#<�

( )( )( )

( )

9

9

9

9� 9 � ��

9 9��

9� 9 � � .

� �

� � �

� �

− + − ≤ < − −= = − < ≤

" #� *�������#� #�� ���#���� �� �4������ #� (������� ������ ���� (������� 9.� � ��� �*����� �

������� ������ ���(��#��� ������%*�� ���� ����#��������#�����#� �* ���� <�

��� ���(���� � ���,� ������� 0��� ��� #� �#� #� *�������#� #��� #��)���� #� ��� ���� � ��� ��

#������ ���%#�

( ) ( ) ( )9� 9�

� �� � �

�−

= − ����( ���

( ) ( ) ( ) ( )9

9� 9 � �

� �� � � � � � �

�−

= − + − − ������( �.�

Page 10: Cálculo de sumas infinitas de potencias pares negativas de enteros

" �(������ ����� ���� � � ��� ���� �#� #� #�3 ��#� �#�� (��,��� ���� #�#� #������ #�( ����

��( ���#�-��0�����#� �( ������( ����#(����, �������

( ) ( )( )

99� 9 ��

� �

��

� 9 9� � 9

� � 9 � 9

� � �

� �

− −= − = =

− −∫ .�

"� � ����#������ ���#����*�������#����'����������� �#�3 ������!.��" #� ��������#���� �����#�

������� �����, � ������ �*����������� �* ���� �/�� � ��������#���� ������(��#����

( )� 9�

� 9� � � �

� �� �

�π−

−= − ����( ���

( ) ( )( )� 9�

9 9� 9�

� � � �

� �� � �

� �π π−

− −−= − − ������( �.�

;����+��(����/ �0���� ���� ���� ��� ������ �� �����#������ �( ��/�#������ ��,��#��� �

����!��/�� ���� ��� �� � ����� �� �����#������ ���( ��#��� ��9��!��������#<�

( )( )9�

�� � �

� 9 9��

� ��

� �π π

− −−= = − .�

C���#�� 0��� �4�#���� � (������� �� � ���������� ����� ��� � � *��� � �8�� ( � � �=��� (���� #��

��#���,�����(��� ����0���� ����#�������=��/ �0�������!� ������#������ �������� ���� .��

&������#��#�������������*��� ������� � �

� �� �� � �9

���( �

9 9 ?��

?�

� ��

� ��π π

+∞ +∞

=−∞ =

= = = =∑ ∑ B�

��9

���( �

9

N ��

��

π+∞

=

= =∑ B����������� �

� �� �9

9 �

� 9 N��

� ��

π+∞

=

= = =−

∑ .�

; � � � �� �� � #� #�� #� ( � � , ����#�� /���#� ��� ��� #�� (������ �#� ������� � #� #�������#�

��� �����#� ����������#�� *����� ��� � #� (��(��� ��#� ��� ����, ����� /� ��� ����� /� ��� ��#�

���*�������#�/ �� �� ��#�����5(����������� �6����!<�

( )� 9�

� 9� � � �

� �� �

�π−

−= ����( ������������

( ) ( )9�

� 9 9 9�

� �

� �

� � ��

� � �π π

−− − −

= + ������( �.�

:#���( � ��=?�/������#(����, �������#���������

( ) ( )?� ? ?

9 9 9 9M

� �

�� � �� �π π− − − −

= − B����������( ) ( )

�� � � � �

9 9 9 9�M

� �

��� �π π

− − − −= − + B�

N NH ?�

? ?� 9? ?� � �

� �� �9 9

F ?�

� �� � �

π π π π

+∞

=−∞

= = = − + = −∑ B����������

?N �

�π= .�

Page 11: Cálculo de sumas infinitas de potencias pares negativas de enteros

N �99 � F � 99 ��

?� � �� �� M � M

� ?� ? � ? � ?9 N

H F�

�� � � �

π π π π

+∞

=−∞

⋅⋅ ⋅ ⋅= = = − + = −∑ B����������

M

9H

9 9�M��

π= .�

? ? ?9

9 �

� 9 ? F H N�F�

� ��

π π+∞

=

= = = =− ⋅ ⋅∑ �����������M M M

� �M M ? �9

9 �

� 9 � ? F H N�F��

� ��

π π+∞

=

= = = =− ⋅ ⋅ ⋅∑ .�

; � � , ����#� � /���#� ��� �� #�� (���� � �����> �� ��� ��#��� (�������������� #���� 0��� #��

���(��� �� ����*��� ��%(�� ������� � ( ����������� � �,�>��%#�#�� ���#����� � �������

0������, �� � ��������������)�����#����> ��#��������%�����������#�E����E�.�

� ����������������������������������0���$����������/�$������������������

�====1�

���������� #�� ����������#���#�������#� �� #�*�������#�����, ����#�( ��#���������������#�

����!=−9��#������-����(��������������� ������/ �0����#���, �����#��� ��� ���� � ���#�

������#� � ��� ��#������ ��, ���������� ������� ��� � � � *���������� �=�.� �;�����#�(��#�

(��� ��� �(��(��� ��0�����#�(�������� �� �����, �������� �*����������������������*�������

��� #�#� ���*�������#� ��� '�������� �����> ���� ���%#� 0��� � � #������ � ( �� ��� � � *�������

� ���> � 0��� �−�=���� /� 0��� ����#� ��#� ���*�������#� ( ��#� #��� ����#� (��� #��� � #� ����!�#��)���� #�������� ���� <�

� � � �

9���( �

9 �� � � �

� ��

� �+∞ +∞

=−∞ =

− = =∑ ∑ .�

�����> ���� ���%#� � #� ��� �����#� �����#�, #� ������������� � �� � #� ( � � ��#� ������

������#�0����( � �����( ���

( )( ) ( )� � � ��� � � �

� � 9 � � � � 9� � � �

� � �� �

� �π π−

− − −= − − ����������� �� � �

���

�π= − .�

" � #�������� ��� �#� � ��� ����� �����#�, � ��#� (�������� � � �� �� ��#� ������� ��� ������

(���� ��#� �4�� ��� ��#� , ����#� ��� � #� #�� #� ��#� � #.� � &#� ��� ��, ������ #��������

���(��� ��(�������������0����( � �����( ���

( ) ( )( )

� � � �9

� � 9 O9

� � O

���

� � � ��

��

� � �π=

−= − −∑ .�

&*����, �������( � ��=9��������#�

( ) ( )( )

�9

��� � � �

� � 9 O �9

� � O��

� �π π

−− = − =

−��

������ #�0���#�������#��� ����#��������( � �����������#�

Page 12: Cálculo de sumas infinitas de potencias pares negativas de enteros

( )( ) ( )

( )( )

( )

( )

( )

( )( )

( )

� �� � �� � � �

� P �9P

� P � P � �P �

� P9P

� P � PP 9

� � 9 � � � 9

� � � 9 O � � � 9 O9

� � � P O � � � O

� � � 9 O9 �

� � � P O

� � � �

���

� ��

���

� ��

� � �� �

� �

� �

� � � � �

� � �

π π

π π

π

+

+

=

+

=

+ += − −+ − + −= − −+ − + −+ −= − + −

������#��� ��� ��> ������� ��������, �� �����P=�+9.����� 0����

( )( )

( )( )( )��

� � � �9 9 9

���( �

� 9 � O� �� � O� 9 9

� �

��� �� � ��

� � � �� � �

� �� �� �� � �

� �π π+∞

= = =

− − = = − = − ∑ ∑ ∑ B�

&#�����#�(�������� �� �� �� � #���*������#�#�� #����� ����� ���� ����������#�, �� �� � .��

; � �#��(��*�� ���#��#��%�����#��(�����#���*�����

( )� ��

� � O

� �

��

��

π= ����������� ( ) ( )� 9 �

9

�9 � � 9

�� � �

�� �

=

− = − − ∑ ��

9 9�

�O 9

� � �

π= = ������ � �? �

�O 9

� ?�� �π= = ������ ? ? F

O 9

� ��� �π= = ������ � �M H

MO 9

� ?�� �π= = .�

;����+��(����(�����#�� �� ��

( ) ( ) ( )�N 9� N � 9 �

F F

9

? F H M

9�� � 9 � ? 99 ?9 F 9 � � 9

F F N � F �9 � F ? � F HN � F ?9B

� � �

� � ��

=

− = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + − −

= − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

∑�

F

F

� = B����������

N 9� 9�

FF 9�

9

�9

9�O N?FFF�

��

π π+∞

=

= = =∑ .�

( ) ( ) ( )F

99 9� 99 � � 9 �

9

� � � � N

9�

9�� � 9 � ? F H 9? 9 � � 9

� ? � ? 99 � ? FF � ? HH � ? N?F � ? 9H�F

� ? N9B

� � �

� � ��

−=

− = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − − − − = − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

∑�

N9

�H?�� = B����������

99 9� 9�

9�

9

�9 N9

9�O ?MF9�MHF�

��

π π+∞

=

= = =∑ .�

:����#��������#�� ��%�������������0�����#����#�������� ��� ����#�, ����#� �#�����#����

��#� �-����#� ��� ��������������� ��*�����#� +����� ���� ��#� (��������#� ��� �������������!�

���� ���<�

( )

�9 O

��

� � ���

==− ∑ B���������� ( )

�� ���

9

��

�� �

� �→

= = − .�

Page 13: Cálculo de sumas infinitas de potencias pares negativas de enteros

���������������#��� ���������� �:���*�I��Q��>��� ���%��������*�� ��#�����#����RR�/�

(�����(��#�����RR���#� ������0���( � �≥���

( ) ( )( )

�4( �O

��

� ��� �

��

π

π

+∞

=−∞≠

= − ∑ .�

&#��������0���( � �=���� (��� ����� �(��(��� ������, ��������=��#����������

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )� � � � � 9 �

9

9 � O 9 � O9� �

��

� �

� � �� � � ��

� �� � �

� ππ

+∞

=

− −= = − = −∑ B�

( )( )

( )( )

9 � 9 �� 9 �

�9 ��

� O � O

� � �� �

� �

�� �

� �

ππ− −−−

= = .�

"�#��-����#���������������#�%��� ���� ��#�( � �, ����#���/�� ���#���������7�������

��� ���F� #�� (������� ��� , ���� ����F������!.� � 7�#��, ���� ��#� , ����#� ��#�� ��#� ��� S9T��

(�����#��������#�� �� �<�

9? 9�

9�9

9 � H

9�O� �

π+∞

=

⋅ ⋅=

⋅∑ �����������

9F 9

9 9

9 � ? 9H

F9� 9 O� �

π+∞

=

⋅ ⋅=

⋅∑ �����������

9H 9M

9M9

9 � �?M H

HNM 9MO� �

π+∞

=

⋅ ⋅=

⋅∑ �

9N ��

��9

9 � 9H� 99

??� ��O� �

π+∞

=

⋅ ⋅=

⋅∑ �����������

�9 ��

��9

9 � MF�F9?

9?M ��O� �

π+∞

=

⋅ ⋅=

⋅∑ .�

C���#��*�� �������0����������� �� ���� �������������#��-����#��������������/�� �*�������

>�� ����G��� ����,���(����+��(���S9T!��

( ) ( ) ( )9

� � 9 �

9 � O�

� � �

�� �ζπ

−= ��

(�����#� � �� �� (��� ��� #������ � ����� ��� ��#��� ��� 0��� #��%� ��������� ( � � ����#�

�������#<�

( )�9

9�

��

��ζ

=

=∑ .�

2�������/�

S9T����(<88� ��Q����.Q��*� �.���8���������C�����.�����

Page 14: Cálculo de sumas infinitas de potencias pares negativas de enteros

RReevviissttaa EEssccoollaarr ddee llaa OOlliimmppííaaddaa IIbbeerrooaammeerriiccaannaa ddee MMaatteemmááttiiccaa

hhttttpp::////wwwwww..ccaammppuuss--ooeeii..oorrgg//ooiimm//rreevviissttaaooiimm//

EEddiittaa::