5. Teoría clásica de placas (TCP)

Las placas son elementos estructurales planos que tienen una de sus dimensiones significatívamente menor que las otras dos. La TCP acepta las hipótesis formuladas por Kirchhoff, que en esencia son los mismas en dos dimensiones que las aceptadas para el análisis de vigas. Esas hipótesis son: 1. Se supone que las líneas rectas perpendiculares al plano medio de la placa antes de aplicar la carga siguen siendo rectas despues de ser aplicada la carga; 2. Se desprecian las deformaciones angulares en los planos perpendiculares al plano medio de la placa; 3. Se desprecia la deformación lineal (cambio de longitud sobre longitud inicial) en la dirección perpendicular al plano de la placa. Con la TCP es posible obtener buenos resultados en placas delgadas, es decir placas cuyas relaciones entre la menor dimensión y el espesor son mayores que ocho.

5.1 Equivalencia estática entre cortantes, fuerzas axiales, momentos y esfuerzos

Figura 5.1. Elemento de placa

En teoría de placas se suele trabajar con fuerzas y momentos por unidad de longitud. Dado el elemento de placa mostrado en la Figura 5.1, en la cara que es perpendicular al eje x, o cara x, tenemos los siguientes efectos: una fuerza axial Nx, una fuerza cortante Qx, un momento flector Mx y un momento torsor Mxy. Estas fuerzas y momentos están relacionados con los esfuerzos mediante las siguientes ecuaciones de equivalencia estática

(5.1)

(5.2)

36

y

x

p(x,y)

1.0 1.0

Qy

Qx

Myx

MyMxyMx

t

(5.3)

(5.4)donde t es el espesor de la placa y el plano (x,y) coincide con su plano medio. También se pueden establecer equivalencias estáticas para la cara y (perpendicular al eje y) con lo cual se obtiene

(5.5)

(5.6)

(5.7)

(5.8)En las anteriores expresiones se tomó un diferencial de área igual a la unidad multiplicada por un dz, teniendo en cuenta que tanto las fuerzas como los momentos se dan por unidad de longitud.

5.2 Ecuaciones de equilibrio

Si se desprecian las fuerzas de volumen, las ecuaciones de equilibrio en las direcciones x, y y z son:

(5.9)

(5.10)

(5.11)

Estas ecuaciones de equilibrio se pueden expresar en términos de los momentos y fuerzas en las placas de la siguiente forma. Si se aplica a las ecuaciones (5.9) y (5.10) el operador

se obtiene

(5.12)

(5.13)

donde se acepta que la carga es perpendicular al plano de la placa lo cual implica que xz

y yz son iguales a cero en t/2 y –t/2. Si se aplica el mismo operador a la ecuación (5.11) se obtiene

37

(5.14)

donde p(x,y) es la diferencia entre la carga transversal que actúa en la cara superior de la placa (ps(x,y) en z = -t/2, dada en unidades de presión) y la carga tranversal en la cara inferior (pb(x,y) en z = t/2). Observe que una de las condiciones de borde del problema es que z(z = -t/2) = -ps(x,y). El signo negativo aplica ya que se supone que la carga ps(x,y) se dirige hacia la placa, lo cual ocasiona una compresión z. Lo mismo ocurre para la cara inferior.Si se aplica ahora el operador

a las ecuaciones (9) y (10) se obtiene

(5.15)

(5.16)

5.3 Campo de desplazamientos

Dadas las hipótesis de Kirchhoff, las funciones desplazamiento u, v, w en las direcciones x, y y z, respectívamente, son

(5.17) (5.18)

. (5.19)

Figura 5.2. Representación de la función desplazamiento en la dirección x

Donde las ecuaciones (5.17) y (5.18) indican que los desplazamientos u y v varían linealmente con z, lo cual está de acuerdo con la hipótesis que dice que las líneas rectas permanecen rectas después de aplicada la carga. La ecuación (5.18) indica que el

38

dw/dxz

u = z(x,y)

desplazamiento en la dirección z sólo depende de x y y, con lo cual se desprecia la deformación en la dirección z, es decir que se acepta que el espesor de la placa no cambia.

5.4 Cálculo de las deformaciones infinitesimales

Dadas las ecuaciones (5.17)-(5.19) es posible calcular las deformaciones infinitesimales de la siguiente forma

(5.21)

(5.22)

(5.23)

(5.24)

(5.25)

La TCP desprecia las deformaciones cortantes xz y yz, con lo cual se deduce de las ecuaciones (5.24) y (5.25) que

(5.26)

(5.27)

lo cual equivale a decir que la tangente de la función deflexión w(x,y) en las direcciones x y y respectívamente es igual a las funciones (x,y) y (x,y), tal como se ilustra en la Figura 5.2 para el caso de (x,y).

39

5.5 Aplicación de la ley de Hooke para un material isótropo y homogéneo

Si se supone ahora que el material es isótropo y homogéneo se establecen las siguientes relaciones entre los esfuerzos y las deformacione infinitesimales (relaciones similares se pueden aplicar a materiales anisotrópos y heterogéneos). Se considera que la placa es delgada por lo cual se desprecian los esfuerzos en la dirección z

(5.28)

(5.29)

(5.30)

En las anteriores expresiones se usaron las ecuaciones (5.26) y (5.27) para expresar las deformaciones en términos de la función w(x,y). Si se operan las ecuaciones (5.28)-(5.30) con

se obtiene

(5.31)

(5.32)

(5.33)

donde se ha usado el siguiente resultado

.

Las ecuaciones (5.31)-(5.33) se pueden invertir para obtener los momentos en términos de w(x,y),

(5.34)

(5.35)

(5.36)

que son las relaciones diferenciales entre momentos y curvaturas. En las anteriores ecuaciones D es la constante de placas, definida como

. (5.37)

40

Las fuerzas cortantes también se pueden expresar en términos de w(x,y) mediante el reemplazo de las ecuaciones (5.34)-(5.36) en las ecuaciones (5.15)-(5.16), con lo cual se obtiene

(5.38)

(5.39)

5.6 Ecuación general de las placas

Si se reemplazan las ecuaciones (5.34)-(5.36) en las ecuaciones de equilibrio (5.14)-(5.16) se obtiene la ecuación general de placas

(5.40)

5.7 Comentarios sobre la TCP

Las ecuaciones que resultan de la TCP son equivalentes a las utilizadas en resistencia de materiales para vigas. Por ejemplo, las ecuaciones de equilibrio (5.14)-(5.16) corresponden a las relaciones entre momento y cortante y cortante y carga,

con la diferencia que éstas son solo función de x. Por otra parte, la ecuación general de placas es la que resulta en vigas si se hace D = EI, es decir

.

Cabe advertir que aunque en la TCP se desprecian las deformaciones asociadas con el eje z, los esfuerzos asociados con estas deformaciones (es decir z, xz y yz) se calculan mediante las ecuaciones de equilibrio. Este mismo procedimiento se efectúa en resistencia de materiales para calcular los esfuerzos cortantes despues de que se ha despreciado la influencia de la deformación por cortante en la deflexión de la viga.

41

5.8 Condiciones de borde

Borde empotrado

En este caso tanto la función deflexión como su derivada respecto a la dirección normal al borde son cero.

Borde símplemente apoyado

En este caso la deflexión es cero en el borde. Además, como el soporte no ofrece resistencia a la rotación, el momento también es cero. Por ejemplo, si tenemos una placa rectangular a x b, donde el lado a es paralelo al eje x y el lado b al eje y, entonces las condiciones de borde para el lado b símplemente apoyado (Figura 5.3) son

.

Debido a que el borde es recto y tanto w(x,y) como todas sus derivadas respecto a y son cero, la segunda ecuación se puede reemplazar por la que se obtiene si se hace el laplaciano de w(x,y) igual a cero.

Borde libreEn un borde libre tanto las fuerzas como los momentos son cero. Por tanto se puede plantear (borde x=a en la Figura 5.3)

Como la ecuación diferencial que describe el problema es parcial de cuarto orden, sólo deben darse dos condiciones para cada borde, y en este caso se tienen tres. Kirchhoff propuso reemplazar las dos últimas por una sola, definiendo

(5.41)

El significado físico de esta definición fue explicado por Kelvin. En un borde el momento torsor Mxy se puede reemplazar por un par de fuerzas verticales de magnitud , ubicadas en rectángulos que tienen por lado un elemento diferencial dy (Figura 5.3). Las fuerzas verticales en los lados comunes de rectángulos adyacentes tienden a anularse y el efecto total es el que se representa mediante la ecuación (5.41). En las esquinas las fuerzas verticales en los cajones adyacentes se superponen y resulta una fuerza concentrada de magnitud R

. (5.42)

42

Figura 5.3. Reemplazo de Mxy en los bordes por pares verticales

Por ejemplo, en el caso de una placa símplemente apoyada la fuerza R es la que se debe aplicar en las esquinas para que no se levanten.

5.9 Solución de problemas

Flexión cilíndricaEste es el caso de una placa rectangular que tiene dos de sus bordes opuestos libres (perpendiculares al eje y, por ejemplo) sometida a una carga transversal que es función de x sólamente. La deflexión de la placa es función entonces de x y los problemas se pueden solucionar utilizando los mismos métodos de las vigas, con la diferencia que la constante de rigidez de vigas EI se reemplaza ahora por D. Esto implica que, dadas una placa y una viga sometidas a la misma carga y a las mismas condiciones de borde, la placa tiene una rigidez mayor en la proporción de 1/(1-2), lo cual se explica ya que el ancho de la placa es mayor que el de la viga y ocasiona una restricción a la deformación en la dirección de y que no se tiene en la viga. Por ejemplo, considere la placa de la Figura 5.4, empotrada en un borde, libre en los otros bordes y sometida a una carga uniformemente distribuída p0. El momento Mx por unidad de longitud se calcula como

y la ecuación (5.34) queda así

la cual se integra dos veces para obtener

.

43

Mxy

dyyMM xyxy )/(

dydyyMM xyxy )/( dyM xy /

R

y

x

b a

dy

Figura 5.4. Ejemplo de flexión cilíndrica de una placa

Donde las constantes c1 y c2 se evalúan de acuerdo con las condiciones de borde del problema, que en este caso son w(L,y) = 0, , con lo cual se obtiene

Flexión pura

Suponga que la carga transversal sobre la placa es nula y que se encuentra sometida a una distribución de momentos constantes Mx, My. Además Mxy = 0.Como Mxy = 0, de la ecuación (5.36) se deduce que la forma general de w(x,y) es

.Si se invierten las ecuaciones (5.34) y (5.35) se obtiene

.

La doble integración de estas ecuaciones conduce a la siguiente forma para w(x,y)

(5.43)

44

po

L

x

y

max

Borde empotrado

donde las constantes c1, c2 y c3 se pueden evaluar si se fija la placa para que no tenga movimientos de cuerpo rígido. Por ejemplo, si se restringe completamente el punto (0,0), tanto en sus desplazamientos como en sus rotaciones, las constantes son nulas. En caso de que Mx = My la placa forma un paraboloide de revolución. Por el contrario, si Mx = -My, la placa forma un paraboloide hiperbólico, es decir una superficie de curvatura invertida similar a una silla de montar (Figura 5.5).

Figura 5.5. Paraboloide hiperbólico formado por una placa sometida a flexión puraPlaca rectangular simplemente apoyada

Considere una placa rectangular de dimensiones axb simplemente apoyada en sus cuatro bordes y sobre la cual actúa una carga uniformemente distribuída p0. Se desea hallar la distribución de esfuerzos, la deflexión y las reacciones en los apoyos.

Figura 5.6. Placa rectangular símplemente apoyada sometida a una presión uniforme

45

x

y

po

ab

Debido a que la placa está símplemente apoyada los desplazamientos en los borde son nulos pero la rotación está permitida, por tanto

(5.44)

(5.45)

(5.46)

(5.47)

La solución de este problema se puede descomponer en tres etapas: 1. Hallar la solución para una carga sinusoidal; 2. Desarrollar la carga uniforme en componentes sinusoidales mediante una serie de Fourier; 3. Aplicar el principio de superposición para obtener la solución para la carga uniforme utilizando los resultados de 1 y 2.

1. Solución para una carga sinusoidal

Se supone primero que la carga tiene la siguiente forma

. (5.48)

Se puede observar que la carga es máxima en el centro de la placa e igual a cero en los extremos. La solución de la ecuación (5.40) se obtiene sumando las soluciones homogénea y particular. Utilizando el procedimiento de los coeficientes indeterminados ensayamos una solución particular de la forma

. (5.49)

Si se deriva esta función y se reemplaza en la ecuación se obtiene

de la cual se deduce que

. (5.50)

En este caso se puede verificar que la solución particular satisface todas las condiciones de borde y se concluye entonces que es la solución del problema y no es necesario por tanto hallar la homogénea.

2. Desarrollo de la carga uniforme en una serie de Fourier

La carga uniforme p0 se puede desarrollar en una serie de Fourier así

46

donde los coeficientes pmn se obtienen mediante la siguiente ecuación

.

Las integrales de la derecha son de la forma

Con la cual se halla que

(5.51)

En la Figura 5.7 se ilustra la aproximación de la carga uniforme obtenida mediante el programa Mathematica para una placa cuadrada, con la contribución de los términos que contienen m y n menores que 7 (un total de 28 términos).

Figura 5.7. Aproximación de la carga uniforme con una serie de Fourier finita

3. Aplicación del principio de superposición El principio de superposición se aplica ahora con base en las ecuaciones (5.50) y (5.51) para obtener la deflexión de la placa sometida a una carga uniformemente distribuída así

. (5.52)

Con base en la expresión anterior se puede hallar la deflexión máxima, la cual se produce en el centro de la placa

(5.53)

47

Figura 5.8. Representación exagerada de la placa deformada

Si a=b se obtiene

Los momentos se evalúan con las ecuaciones (5.34)-(5.36) y (5.52)

De manera análoga se obtienen las fuerzas cortantes

Una ecuación similar se obtiene para Qy. En la Tabla 5.1 aparecen los valores numéricos para calcular las deflexiones, momentos y cortantes máximos obtenidos para placas de diferentes tamaños.En el apéndice se presenta una hoja de cálculo realizada en el programa Mathematica para calcular deflexiones y esfuerzos.

48

Tabla 5.1. Deflexiones y momentos en una placa rectangular simplemente apoyada (Tomada de Theory of Plates and Shells, S. Timoshenko y S.Woinowsky-Krieger, 1959)

b/a wmax=qa4/D

(Mx)max

=qa2(My)max

=qa2(Qx)max

=qa(Qy)max

=qa(Vx)max

=qa(Vy)max

=qaR=nqa2

1 1 1 n1.0 0.00406 0.0479 0.0479 0.338 0.338 0.420 0.420 0.0651.1 0.00485 0.0554 0.0493 0.360 0.347 0.440 0.440 0.0701.2 0.00564 0.0627 0.0501 0.380 0.353 0.455 0.453 0.0741.3 0.00638 0.0694 0.0503 0.397 0.357 0.468 0.464 0.0791.4 0.00705 0.0755 0.0502 0.411 0.361 0.478 0.471 0.0831.5 0.00772 0.0812 0.0498 0.424 0.363 0.486 0.480 0.0851.6 0.00830 0.0862 0.0492 0.435 0.365 0.491 0.485 0.0861.7 0.00883 0.0908 0.0486 0.444 0.367 0.496 0.488 0.0881.8 0.00931 0.0948 0.0479 0.452 0.368 0.499 0.491 0.0901.9 0.00974 0.0985 0.0471 0.459 0.369 0.502 0.494 0.0912.0 0.01013 0.1017 0.0464 0.465 0.370 0.503 0.496 0.0923.0 0.01223 0.1189 0.0406 0.493 0.372 0.505 0.498 0.0934.0 0.01282 0.1235 0.0384 0.498 0.372 0.502 0.500 0.0945.0 0.01297 0.1246 0.0375 0.500 0.372 0.501 0.500 0.095 0.01302 0.1250 0.0375 0.500 0.372 0.500 0.500 0.095

5.10 Ecuación general de las placas circulares con simetría axial

Si la carga sobre una placa circular conserva la simetría axial entonces la deflexión w depende solamente del radio. El laplaciano en coordenadas polares se escribe así

y la ecuación de placas queda entonces como

. (5.54)

Dada la carga p(r) es posible integrar esta ecuación cuatro veces para hallar la función desplazamiento y luego, con base en ella, calcular los momentos y las fuerzas cortantes, dados en coordenadas polares mediante las siguientes expresiones

(5.55)

(5.56)

. (5.57)

49

5.11 Ecuación general para una placar circular con carga uniforme

Si la carga p(r) es constante, es decir p(r) = p0, la ecuación (5.54) se integra así

(5.58)

(5.59)

en la cual se puede calcular la integral

y la ecuación queda como

(5.60)

de donde se obtiene finalmente la solución general para placas circulares con carga uniforme

(5.61)

Las cuatro constantes se calculan de acuerdo con las condiciones de borde del problema.

5.12 Placas circulares sólidas (sin agujero en el centro)

En caso de placas sólidas dos de las constantes son cero. De acuerdo con la ecuación (5.61) la deflexión tiende a infinito cuando el radio es igual a cero, debido al término logarítmico. Si la placa no tiene un orificio en el centro, y sobre ella actúa una carga distribuída no es razonable que la deflexión sea infinita, por tanto la constante c3 se hace igual a cero (es de anotar que en problemas de elasticidad donde se presenta una carga concentrada las soluciones arrojan singularidades en los puntos en que se aplica la carga, es decir tienden a infinito). Por otro lado, de las ecuaciones (5.57) y (5.58) se obtiene que

.

Esta ecuación indica que la fuerza cortante en el centro tiende a infinito, a menos que la constante c1 sea igual a cero. Por tanto, la solución general para una placa sólida sobre la cual actúa una carga uniforme queda así

(5.62)

50

5.13 Placa circular sólida sometida a carga uniforme y con el borde exterior empotrado

Las condiciones en el borde externo son

de las cuales se obtiene

y la función deflexión queda como

. (5.63)

Se propone como ejercicio al lector calcular los esfuerzos máximos.

5.14 Tablas para placas circulares

En la Tabla 2 se presentan los coeficientes k y k1 que permiten calcular los esfuerzos y deflexiones máximas para los diez casos mostrados en la Figura (5.9), y de acuerdo con las siguientes fórmulas

(5.64)

donde la primera ecuación aplica si la presión q está distribuída sobre la placa y la segunda aplica si la carga P está distribuída sobre uno de los bordes. Para el cálculo de la deflexión máxima se aplican las fórmulas

, (5.65)

donde a y b son los radios exterior e interior, respectívamente.

51

Figura 5.9. Casos para las placas circulares del la Tabla 5.2Tabla 5.2. Coeficientes k y k1 de las ecuaciones (5.64) y (5.65) para los diez casos mostrados en la Figura (5.9). (Theory of Plates and Shells, S.Timoshenko y S.Woinowsky-Krieger).a/b= 1.25 1.5 2 3 4 5Caso k k1 k k1 k k1 k k1 k k1 k k1

1 1.10 0.341 1.26 0.519 1.48 0.672 1.88 0.734 2.17 0.724 2.34 0.7042 0.66 0.202 1.19 0.491 2.04 0.902 3.34 1.220 4.30 1.300 5.10 1.3103 0.135 0.00231 0.410 0.0183 1.04 0.0938 2.15 0.293 2.99 0.448 3.69 0.5644 0.122 0.00343 0.336 0.0313 0.74 0.1250 1.21 0.291 1.45 0.417 1.59 0.4925 0.090 0.00077 0.273 0.0062 0.71 0.0329 1.54 0.110 2.23 0.179 2.80 0.2346 0.115 0.00129 0.220 0.0064 0.405 0.0237 0.703 0.062 0.933 0.092 1.13 0.1147 0.592 0.184 0.976 0.414 1.440 0.664 1.880 0.824 2.08 0.830 2.19 0.8138 0.227 0.00510 0.428 0.0249 0.753 0.0877 1.205 0.209 1.514 0.293 1.745 0.3509 0.194 0.00504 0.320 0.0242 0.454 0.0810 0.673 0.172 1.021 0.217 1.305 0.23810 0.105 0.00199 0.259 0.0139 0.480 0.0575 0.657 0.130 0.710 0.162 0.730 0.175

En el apéndice se presenta una nota de cálculo que permite calcular los coeficientes de la Tabla 5.2.

5.15 Ejercicios numéricos

Ejercicio 1

52

Se desea determinar el espesor necesario para una placa de un tanque que contiene agua de 3 m de largo por 2 m de ancho y 2 m de altura (Figura 5.10) y que tiene en su borde superior un anillo rigidizador. Considere un acero A36 (y = 250.MPa) con un factor de seguridad de 1.5

Figura 5.10. Geometría del tanque del ejercicio 1

Las placas laterales del recipiente se pueden considerar como símplemente apoyadas en sus cuatro bordes y sometidas a una carga distribuída triangular. Se presentan dos cálculos. En el primero se analiza una franja vertical de una unidad de longitud de ancho con base en la teoría de vigas y en el segundo se hace el análisis mediante las ecuaciones de placas. a. Análisis mediante la teoría de vigasLa fuerza máxima por unidad de longitud de la franja en el fondo del tanque es

En una viga símplemente apoyada sometida a esta carga distribuída triangular, las reacciones son

y el momento máximo se presenta a una distancia del borde superior y tiene el siguiente valor

.Por tanto, se plantea la siguiente ecuación mediante la cual se halla el espesor

53

1 m2 m

2 m

3 m

Por otro lado, la deflexión máxima se obtiene así

.

b. Análisis mediante la teoría de placas

Para utilizar la teoría de placas se recurre a la Tabla 5.3, válida para carga hidrostática y b>a. En caso que b<a se puede recurrir a la Tabla 5.4.

Tabla 5.3. Factores numéricos para la deflexión y el momento en una placa rectangular sometida a carga hidrostática q = q0x/a, b>a, en x=0.6 a (Theory of Plates and Shells, Timoshenko y Woinowsky-Krieger).

b/a w=q0a4/D

Mx=a2q0

My=a2q0

1.0 0.00201 0.0264 0.02451.1 0.00242 0.0302 0.02511.2 0.00279 0.0338 0.02541.3 0.00315 0.0371 0.02551.4 0.00348 0.0402 0.02541.5 0.00379 0.0429 0.02521.6 0.00407 0.0454 0.02491.7 0.00432 0.0476 0.02461.8 0.00455 0.0496 0.02421.9 0.00475 0.0513 0.02382.0 0.00494 0.0529 0.02343.0 0.00592 0.0611 0.02074.0 0.00622 0.0632 0.01965.0 0.00629 0.0638 0.0193 0.00632 0.0640 0.0192

Tabla 5.4. Factores numéricos para la deflexión y el momento en una placa rectangular sometida a carga hidrostática q = q0x/a, b<a, en x=0.75 a (Theory of Plates and Shells, Timoshenko y Woinowsky-Krieger).

a/b w=q0b4/D

Mx=b2q0

My=b2q0

x=0.6a x=0.75a x=0.6a x=0.75a x=0.6a x=0.75a 0.00781 0.00976 0.0225 0.0281 0.0750 0.09375.0 0.00778 0.00965 0.0230 0.0309 0.0742 0.08774.0 0.00751 0.00832 0.0237 0.0326 0.0727 0.08203.0 0.00692 0.00707 0.0256 0.0345 0.0678 0.07152.0 0.00542 0.00492 0.0285 0.0348 0.0554 0.05231.9 0.00518 0.00465 0.0288 0.0345 0.0533 0.04981.8 0.00491 0.00434 0.0291 0.0341 0.0509 0.04701.7 0.00463 0.00404 0.0293 0.0337 0.0485 0.04421.6 0.00432 0.00372 0.0294 0.0331 0.0457 0.04121.5 0.00399 0.00339 0.0294 0.0324 0.0428 0.03811.4 0.00363 0.00304 0.0292 0.0315 0.0396 0.03481.3 0.00325 0.00269 0.0290 0.0304 0.0360 0.03141.2 0.00286 0.00234 0.0284 0.0291 0.0323 0.02791.1 0.00245 0.00199 0.0276 0.0276 0.0285 0.02451.0 0.00201 0.00162 0.0264 0.0259 0.0245 0.0207

Con la relación b/a = 1.5 se obtiene de la Tabla 5.3 = 0.00379 y =0.0429, por tanto

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de donde se obtiene el espesor necesario de la placa

Con base en este espesor se determina la deflexión máxima de la placa

la cual es una deflexión excesiva y debe por tanto considerarse otro tipo de configuración mediante la colocación de anillos adicionales o ángulos verticales que soporten las placas en líneas intermedias. El análisis con base en la teoría de placas arroja unos resultados más reales, menos conservativos que aquellos obtenidos mediante el método simplificado basado en las ecuaciones de vigas. El método de análisis mediante una franja de la placa como elemento viga produce unos resultados suficientemente buenos para placas con una relación del ancho sobre la altura mayor de tres. Lo cual se puede deducir mediante la comparacióm de los factores numéricos de las Tablas 5.1, 5.2, 5.3 y 5.4.Ejercicio 2

Se desea calcular las reacciones en la placa circular mostrada (Figura 5.11) que tiene sus dos bordes símplemente apoyados.

Figura 5.11. Placa circular con sus bordes símplemente apoyados

Se soluciona este problema utilizando el principio de superposición y mediante la Tabla 2 para placas circulares. Las condiciones de carga y de borde de la placa se pueden lograr mediante la superposición de los casos 1 y 7. Para esta geometría la relación a/b es de 2. Si se supone primero que no existe el apoyo en el borde interior se produce un desplazamiento máximo del borde, w1 que se puede calcular como (coeficiente k1 de la Tabla 2, para el caso 7 y b/a =2)

.

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q

2”

4”

Se aplica luego una fuerza P distribuída en el borde interior que produce un desplazamiento w2 hacia arriba, donde

.

La fuerza P en el borde interior debe ser tal que w1=w2, por tanto

.

Como la carga total hacia abajo es

la reacción en el borde exterior es de

es decir que el borde exterior toma el 58.1 % de la carga total.

5.16 Problemas propuestos

1. Determine la función deflexión general para una placa circular sobre la cual actúa una carga distribuída que varía linealmente con el radio, es decir p(r) = p0 r/a.

2. Determine la deflexión de una placa sólida circular que está simplemente apoyada en el borde exterior.

3. Halle la deflexión de una placa circular sólida sobre la cual actúa una distribución de momentos Mr uniformes en su borde exterior. Carga transversal nula.

4. Calcular el espesor mínimo t que debe tener el alma del volante mostrado si sobre él actúa una carga axial de 20 kips distribuída sobre la corona. Acero A36 y factor de seguridad de 1.5.

Figura 5.12. Volante del problema 4

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5. Una placa circular de 15”de radio exterior y 5” de radio interior se encuentra sometida a una presión uniforme de 400 psi. La placa está empotrada en su borde interior y símplemente apoyada en el exterior. Calcular las reacciones.

6. Determinar los espesores mínimos necesarios para el Ejercicio 1 si se tienen las siguientes configuraciones (todas con un anillo rigidizador arriba): a. Anillo rigidizador intermedio, b. Rigidizadores verticales en cada cara, c. Anillo intermedio más los rigidizadores verticales en cada cara. Evalúe el peso según cada alternativa.¿Cuál es la más conveniente?

7. Para el problema de la placa símplemente apoyada sometida a una carga distribuída verifique los coeficientes de la Tabla 5.5 para una relacion b/a =1.3.

8. Calcule las reacciones en los bordes y las fuerzas en las esquinas en una placa cuadrada símplemente apoyada y sometida a una carga uniforme. Verifique que la suma de reacciones sea igual a la carga total.

9. Dada una placa rectangular de 1m x 2m sometida a una carga uniformemente distribuída de 2000 N/m2 y símplemente apoyada en sus cuatro bordes, determine el espesor: a. Considerando la teoría de vigas, b. Considerando la teoría de placas. En cada caso utilice el criterio de Tresca con y FS = 1.5.

10. Calcule el espesor de una placa circular en la cual se apoya un cilindro de espesor delgado que transmite a la cimentación una carga de 4000 lb. Utilice el critero de Von Mises con y FS = 1.5.

Figura 5.13. Esquema del problema 10.

Re = 30”

Re = 20”

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