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01 de37
INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
A U L A 0 1 2 6 M A I O 2 0 0 8
Técnicas de Integração (Primitivação) uma breve revisão de “Funções de Uma Variável”
Prof. André
02 de37
Técnicas de Integração (Primitivação)
OBJETIVO: Apresentar técnicas para determinar a função F(x) – conhecida como primitiva – tal que F’(x) = f(x) ou:
F(x)dx f(x)
As principais técnicas de primitivação, conforme visto no curso FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL (BC 0201) são:
Seguem algum exercícios onde estas técnicas são aplicadas.
– INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL
– INTEGRAÇÃO POR PARTES
– INTEGRAÇÃO POR DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS
– INTEGRAÇÃO UTILIZANDO SUBSTITUIÇÕES (POR MEIO DE IDENTIDADES) TRIGONOMÉTRICAS
EXERCÍCIO 01
Calcular dx2x1)(x 502
Solução
Seja u = x2 + 1
Logo: 2x dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
du(u)50
C51
1)(xC
51
udu(u)
5125150
03 de37
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
2xdx
du
EXERCÍCIO 02
Calcular dx9)sen(x
Solução
Seja u = x + 9
Logo: dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
dusen(u)
C9)cos(xCcos(u)dusen(u)
04 de37
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
1dx
du
EXERCÍCIO 03
Calcular dxcos(x)(x)sen2
Solução
Seja u = sen(x)
Logo: cos(x) dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
duu2
C3
(x)senC
3
uduu
332
05 de37
cos(x)dx
du
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
EXERCÍCIO 04
Calcular dxx
e x
Solução
Entãox2
1
x
1
2
1x
2
1x
dx
d
dx
du
2
12
1
2
1
Seja u = x
Logo: = du dxx2
1
Antes da substituição, a função dada será escrita de outra forma.
06 de37
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
Ce2Ce2due2du2e xuuu
dxx2
12edx
x2
2
1
edx
x
e xxx
du2edxx2
12e ux
Ou seja: Ce2dxx
e xx
du2dxx
1dudx
x2
1
outra maneira de chegar aqui sem manipular a função dada é fazendo (página 08):
07 de37
EXERCÍCIO 05
Calcular dx1xx2
Solução
Seja u = x – 1
Logo: dx = du
Se u = x – 1
Então x = u + 1
x2 = (u+1)2
x2 = u2 + 2u + 1
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
08 de37
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
duu1)2u(u2
ou:
duu2uu
du1uu2uuuduu1)2u(u
2
1
2
3
2
5
2
1
2
1
2
122
12
Portanto:
C1
21u
123u
21
25u
duu2uu
12
11
2
31
2
5
2
1
2
3
2
5
09 de37
Cu3
2u
5
4u
7
2duu2uu 2
3
2
5
2
7
2
1
2
3
2
5
Finalmente:
Escrevendo em termos de x:
C)1(x3
2)1(x
5
4)1(x
7
2dx1xx 2
3
2
5
2
72
10 de37
EXERCÍCIO 06
Calcular dxex x
Solução
A integral dada deve ser escrita na forma . dvu
Seja, portanto:
dxex x
xu dxedv x
Deste modo:
Cexedxexeduvuvdvudxxe xxxxx a constante C pode ser incluída apenas no final.
11 de37
INTEGRAÇÃO POR PARTES
dxdu
xxx edxevdxedv
Então:
EXERCÍCIO 07
Calcular dxex x2
Solução
Seja:2xu dxedv x
Assim:
dx2xdu
xxx edxevdxedv Portanto:
2xdx)e(exduvuvdvudxex xx2x2
12 de37
INTEGRAÇÃO POR PARTES
A última integral é semelhante à original, com a exceção de que x2 foi substituído por x.
ou:
dxex2exdxex xx2x2 (1)
Outra integração por partes aplicada a
completará o problema.
dxex x
Seja:
xu dxedv x
13 de37
Assim:
dxdu
xxx edxevdxedv
Portanto:
dx)e(exduvuvdvudxex xxx
ou:
1xxxxx Ceexdxeexdxex (2)
Substituindo (2) em (1) resulta:
14 de37
1
xxx2
1xxx2
xx2x2
C2e2ex2ex
Ceex2ex
dxex2exdxex
Portanto:
Ce)2x2x(dxex x2x2
15 de37
O integrando é uma fração própria, uma vez que o numerador possui grau 4 e o denominador possui grau 5.
Pela regra do fator linear, o fator (x + 2) no denominador introduz o termo:
2x
A
16 de37
Determinar
dx3)2)(x(x
920x16x4x3x22
234
EXERCÍCIO 08
Solução
INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS: Frações próprias
Pela regra do fator (quadrático) repetido, o fator (x2 + 2)2 presente no denominador introduz os termos:
222 3)(x
EDx
3x
CBx
Assim, a decomposição em frações parciais do integrando é:
22222
234
3)(x
EDx
3x
CBx
2x
A
3)2)(x(x
920x16x4x3x
Multiplicar os dois lados da equação por (x + 2)(x2 + 3)2
2222
222
2222
23422
3)(x
EDx3)2)(x(x
3x
CBx3)2)(x(x
2x
A3)2)(x(x
3)2)(x(x
920x16x4x3x3)2)(x(x
17 de37
que resulta:
E)2)(Dx(x
C)3)(Bx2)(x(xA3)(x920x16x4x3x 222234
Expandindo o lado direito e reagrupando termos semelhantes resulta:
E)29A(6C
xE)2D3C(6B
xD)2C3B(6A
xC)(2BxB)(A920x16x4x3x2
34234
Equacionando os coeficientes correspondentes de cada lado, obtém-se um sistema de cinco equações algébricas lineares em 5 incógnitas:
18 de37
9E26C9A
20E2D3C6B
16D2C3B6A
4C2B
3BA
A solução deste sistema resulta:
0E4D0C2B1A
Portanto:
22222
234
3)(x
4x
3x
2x
2x
1
3)2)(x(x
920x16x4x3x
19 de37
Logo:
dx3)(x
4xdx
3x
2xdx
2x
1dx
3)2)(x(x
920x16x4x3x22222
234
C2xlnCulnduu
1dx
2x
1
dxdu1dx
du
2xu
dx3)(x
x4dx
3x
2xdx
2x
1222
C3xlnCulnduu
1dx
3x
2x
dx2xdu2xdx
du
3xu
22
2
20 de37
C3)2(x
1
2u
1
12
u
2
1duu
2
1dxx3)(x
dxx2
dudx2x du3xu
dx3)(xxdx3)(x
x
2
12222
2
2222
dx3)(x
x4dx
3x
2xdx
2x
1222
E, finalmente:
C3x
23xln2xlndx
3)2)(x(x
920x16x4x3x2
222
234
21 de37
Sejam as identidades trigonométricas:
2
cos2x1xcos
2
cos2x1xsen 22
Assim,
dxcos2x2
1dx
2
1dx
2
cos2x1dxxsen2
2
sen2x
2
1
10
x
2
1 10
Cusen2
1
duucos2
1dxcos2x
dx2
du2
dx
du
2xu
dxcos2x
C4
2xsen
2
xxsen2
22 de37
EXERCÍCIOS 09
INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS QUADRÁTICAS DASFUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SEN(X) E COS(X)
Da mesma forma, e utilizando a outra identidade trigonométrica:
C4
2xsen
2
xxcos2
A integraldxxcosxsen 22
pode ser resolvida fazendo:
dxcos2x12
1cos2x1
2
1
dx2xcos14
1 2
dx2
cos2x1
2
cos2x1dxxcosxsen 22
23 de37
dx2xcos14
1 2
dx2xcos4
1dx1
4
1 2
8
4xsen
2
x
8
2usen
4
u
4
2usen
2
u
2
1duucos
2
1dx2xcos
dx2
du2xu
dx2xcos
22
2
8
sen4x
2
x
4
1
4
x
C32
sen4x
8
x
24 de37
Solução
EXERCÍCIO 10
Determinar dx 6)4xsen(x 2)(x 2
Seja u = x2 + 4x – 6
Então:
42xdx
du
dx 2)(x 2 dx 4)(2xdu
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
25 de37
Logo, seja: dx 2)(x 2
du
Assim,
du sen(u)2
1
2
dusen(u)dx 6)4xsen(x 2)(x 2
Sabe-se que:
Ccos(u)du sen(u) TABELA
Mas:
dx 6)4xsen(x 2)(x 2
26 de37
Então:
C)cos(u)(2
1dx 6)4xsen(x 2)(x 2
C6)4xcos(x2
1dx 6)4xsen(x 2)(x 22
Portanto:
27 de37
Solução
EXERCÍCIO 11
Determinar dx
1xx
x2
Seja u = x2 + x + 1
Então:
12xdx
du dx 1)(2xdu
Na integral original, fazer:
dx
1xx
112x
2
1dx
1xx
2x
2
1dx
1xx
x222
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
28 de37
Mas:
dx
1xx
1
2
1dx
1xx
12x
2
1dx
1xx
112x
2
1222
1 2
uu
21
u
2
1
121
u
2
1du u
2
1du
u
1
2
1 2
12
11
2
1
2
1
C1xxdx 1xx
12x
2
1 2
2
1 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
du
u
1
2
1dx
1xx
12x
2
12
ver detalhes na página anterior
29 de37
A segunda integral a ser resolvida está (ou pode ser colocada) na forma acima:
2 TABELA
Cuaulnduua
1 22
22
du au
1
2
1dx
23
21
x
1
2
1dx
1xx
1
2
122222
onde:
2
3a dx du
2
1xu
30 de37
Portanto:
C2
1x
4
3
2
1xln
2
1dx
1xx
1
2
12
2
Então, finalmente:
C2
1x
4
3
2
1xln
2
11xxdx
1xx
x2
2
2
31 de37
Solução
INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS: Frações impróprias
EXERCÍCIO 12
Determinar
dxxx
13x9x23
3
O primeiro passo é realizar uma divisão no integrando e fazer aparecer frações próprias.
13x9x
9 9x9x
xx13xx09x
2
23
2323
23
2
23
3
xx
13x9x9
xx
13x9x
fração própria
32 de37
dx
xx
13x9x9dx
xx
13x9x23
2
23
3
dxxx
13x9xdx 9
23
2
dx)1(xx
13x9xdx 9
2
2
)1(x
C
x
B
x
A
)1(xx
13x9x22
2
)1(x
C)1(xx
x
B)1(xx
x
A)1(xx
)1(xx
13x9x)1(xx 2
222
2
22
BxB)A(xC)(A13x9x 22
DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS
33 de37
1B
3BA
9 CA
A = 2 B = – 1 C = 7
dx)1(x
7
x
1
x
2dx 9
2
dx)1(xx
13x9xdx 9
2
2
dx)1(x
7dx
x
1dx
x
2dx 9
2
C1xln7x
1xln2x9
34 de37
Solução
INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS: Fatores lineares não repetidos
EXERCÍCIO 13
Determinar dx
2xxx
123
2)1)(x(xx
1
2)x(xx
1
2xxx
1223
2)(x
C
1)(x
B
x
A
2)1)(x(xx
1
2AxC)2B(AxC)B(A1 2
Multiplicando os dois lados da igualdade por x ( x–1 )( x+2 ) e rearranjando resulta:
35 de37
12A
0C2BA
0CBA
Portanto:
6
1C
3
1B
2
1A
2)6(x
1
1)3(x
1
2x
1
2)1)(x(xx
1
E, finalmente:
Logo:
dx2x
1
6
1dx
1x
1
3
1dx
x
1
2
1dx
2xxx
123
C2xln6
11xln
3
1xln
2
1dx
2xxx
123
36 de37
crédito da figura de fundo
Catedral de Saint-Nazaire
Carcassonne, França
37 de37