8/19/2019 Caiet Dna Fleancu-probleme Mate
1/3
Probleme matematică, dna Fleancu
Probleme propuse “Dacă vrei poți”
Fleancu
Arătați că numărul a=2n+2x3n-22 este divizibil cu 20,
∀ ∈ ℕ
Soluție:
a=6nx4-4
a=4(6n-1)
U(6n-1)=5 => (6
n-1)⋮ 5
=> ⋮ 45 => ⋮ 20
Produsul a două numere naturale este 2000, iar cmmdc al lor este
de 5 ori mai mic decât cmmmc
al lor. Aflați numerele.
Soluție:
Notăm numerele cu a și b.
[a;b]=5(a;b)
ab=[a;b](a;b)=>ab=5(a;b)2
=> 5(a;b)2=2000 => (a;b)=20
a=20x
b=20y
(x,y)=1
=>20xx20y=2000 =>xy=5 =>x=1 => a=20
y=5 => b=100
Se dă trapezul ABCD cu AB || CD, AD=DC=BC=a și (∢) = °.
a)Arătați că AC este bisectoarea ∢.
b)Arătați că AC ⊥ DM, unde M este mijlocul segmentului
AB.
Soluție: D C
A MB
Page 1 of 3
8/19/2019 Caiet Dna Fleancu-probleme Mate
2/3
Probleme matematică, dna Fleancu
a) (∢) = 120° , (∢) = 120° ,
∆ => (∢) = 30°, (∢) =60° − 30° =
30°
(∢) = (∢) = 30° => ∢.
b) (∢) = 120° − 30° = 90° =>
∆ ℎ.
CM este mediană => CM=AB/2. => CM=AM.
AD=DC=CM=AM => DCMA este romb, AC și DM sunt diagonale =>
AC⊥DM.
Aflați numerele reale pozitive x,y,z care îndeplinesc simultan
condițiile:
a)x2+y2+z2+xy+xz+yz=115
b)sunt invers proporționale cu 2, 3 și 4.
Soluție: a) 2x=3y=4z=k => x=k/2, y=k/3, z=k/4
x+y=5k/6, x+z=3k/4, y+z=7k/12 x
2+y
2+z
2+xy+xz+yz=115 (x+y)
2+(x+z)
2+(y+z)
2=230
(5k/6)2+(3k/4)2+(7k/12)2=230 => k=12 =>x=6, y=4,
z=3.
Raportul a două unghiuri complementare este 1/3. Aflați măsurile
lor și măsura unghiurilor
formate de bisectoarea unghiului mai mic și bisectoarea
jumătății unghiului mai mare. (Mircescu
Norris)
Soluție:
a+b=90°, b=3a. Fie (∢) = , (∢) = => =
22°30′, = 67°30′
[OM – bisect. ∢, (∢) = 11°15′
[ON – bisect. ∢, (∢) = 16°52′30′′, (∢) = 28°7′30°
Calculați media aritmetică a numerelor:
=
+
+
+ ⋯ +
=
+
+
+ ⋯ +
Soluție:
a+b=(2/5+3/5)+(3/7+4/7)+...+(99/199+100/199)
a+b=98
ma=(a+b)/2 = 49.
În triunghiul ABC, (∢) = °, (∢) = ∗ (∢), (∢)
= ∗ (∢), , ∈ ℕ∗.Arătați că triunghiul este isoscel.
Soluție:
(∢) = 15 ∗ , (∢) = 15 ∗ ∗ , (∢) + (∢) + (∢) = 180°
15ab+15b+15=180
ab+b+1=12 => b(a+1)=11
=>b=1,a+1=11
=>b=1, a=10.
Page 2 of 3
8/19/2019 Caiet Dna Fleancu-probleme Mate
3/3
Probleme matematică, dna Fleancu
O piramidă patrulateră regulată are toate muchiile egale cu
24cm. Să se determine pozițiapunctului M pe muchia VA astfel încât
aria triunghiului MBD să fie minimă.Soluție:
Aria triunghiului MBD este minimă dacă înălțimea corespunzătoare
laturii BD este minimă. Triunghiul MBD este isoscel => MO
este înălțimea triunghiului, unde O este centrul bazei
ABCD. MO este minimă dacă OM ⊥ VA.
În triunghiul VOA, MO este înălțime => MO=
(VO*OA)/2.
= 12√ 2, = 24 => = 12√ 2 , =12√ 2 ∗
12√ 2
24= 12.
2 = ∗ => =2
=
12√ 22
24= 12, => .
Probleme propuse pentru Concursul
Interjudețean „Misterioasele științe” –
prof . Fleancu Mariana
Clasa a V-aSe dă șirul: 3/2, 5/6, 7/12, 9/20,....Al
2014-lea termen al șirului este a)2013/4029 b)
2015/4029 c)4029/631210Răspuns: c)
Clasa a VI-aMedicul ți-a dăruit 3 pastile și ți-a
spus să le înghiți câte una la fiecare jumătate
de oră. De cât timpai nevoie să le termini?
a)
1 orăb) 1 oră și 30 minute c) 2
ore Răspuns: b.
Clasa a VIII-aCum vei tăia un tort în exact 8 bucăți făcând
3 tăieturi drepte și ne întrerupte?Răspuns: Se
fac 2 tăieturi pe verticală în X și o
tăietură pe transversală.
Page 3 of 3
