Caderno V10

MATEMÁTICA CADERNO DE APOIO AO ALUNO

2008

Marisa Oliveira, Susana Nicola Araújo Instituto Superior de Engenharia do Porto

DEM

A-

DEP

ART

AMEN

TO D

E MATEM

ÁTIC

A

2 Marisa Oliveira, Susana Araújo

Descrição:

Estes apontamentos destinam-se ao acompanhamento das aulas de matemática do curso Maiores de 23.

Contém, para cada capítulo, uma explicação teórica seguida de um conjunto de exercícios resolvidos e de exercícios propostos.

Em relação aos exercícios propostos alguns serão resolvidos nas aulas em conjunto e os restantes serão resolvidos pelos alunos para consolidação das matérias expostas nas aulas.

Introdução:

Nos dias de hoje, a Matemática ocupa um lugar de destaque, pois o homem como parte

integrante da sociedade actual necessita de conhecimentos matemáticos. Na verdade, dado o

progresso das tecnologias na nossa sociedade, é necessário criar uma Matemática cada vez

mais forte, que permita a sua contextualização na sociedade. Um dos objectivos principal

destes apontamentos é proporcionar aos alunos uma aprendizagem, de tal modo que se

sintam motivados e aprendam de facto. Apresentar uma visão da Matemática agradável,

aplicável e simples. Esperar que os alunos sintam alguma diferença na sua relação com a

disciplina e que a sua ideia da própria Matemática, como ciência se altere para algo positivo e

importante para a vida. Resumindo, procuraremos motivar os alunos para a análise e estudo

dos conteúdos desenvolvidos durante o curso mostrando a importância da matemática usando-

a de maneira que seja compreendida.

Objectivos:

Pretendemos que os alunos consigam:

• Desenvolver a capacidade de comunicar conceitos com clareza e rigor lógico;

• Usar correctamente o vocabulário específico da Matemática;

• Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática na interpretação e

intervenção do real;

• Descobrir relações entre conceitos de Matemática;

• Desenvolver o sentido de responsabilidade pelas suas iniciativas e tarefas;

• Desenvolver a confiança em si próprio;

• Autonomizar o processo de aprendizagem;

• Adquirir o hábito de estudar por iniciativa própria;

• Criar motivação e auto-confiança para o estudo da matemática;

• Adquirir rapidez e exactidão nos cálculos;


Capítulo 1

OPERAÇÕES E PROPRIEDADES EM IR


Operações em IR

Adição.

Subtracção.

Multiplicação

Divisão.

Potenciação e radiciação

Objectivos:

Utilizar as propriedades das operações para simplificar os

cálculos;

Conhecimento do conjunto dos números racionais, das diferentes

formas de representação dos elementos desses conjuntos e das

relações entre eles, bem como a compreensão das propriedades

das operações em cada um deles e a aptidão para usá-las em

situações concretas;

Aptidão para trabalhar com valores aproximados de números

racionais de maneira adequada ao contexto do problema ou da

situação em estudo;

Aptidão para operar com potências.

Pré-requisitos:

Operações com números relativos.


1. Operações em IR

1.1 Números inteiros positivos

Neste conjunto a adição é sempre possível pois, se considerarmos dois

números a e b, existe sempre um número natural c que é a soma de a com b. A

multiplicação também é sempre possível.

Quer a adição quer a multiplicação são:

- comutativas: quaisquer que sejam os números naturais a e b

a + b = b + a

a x b = b x a

- associativas: quaisquer que sejam os números naturais a, b e c

(a + b) + c = a + (b + c)

(a.b).c = a.(b.c)

- sendo ainda a multiplicação distributiva em relação à adição

(a + b).c = a.c + b.c

a.(b + c) = a.b + a.c

IR Q Z IN

IN – conjunto dos números naturais = 1, 2, 3, ....


Sendo a e b números naturais, se conseguirmos determinar x, tal que:

b.x = a

ou x = a : b, o que é o mesmo que a

x

b

=

dizemos que x representa o quociente exacto de a por b.

a diz-se dividendo;

b diz-se divisor.

Exemplo: 5 = 15 : 3 pois 5 x 3 = 15

Mas a divisão exacta nem sempre é possível no conjunto dos números

naturais. Não existe nenhum número natural x, tal que 3.x = 2.

Para que a divisão exacta se torne possível, é preciso ampliar o conjunto dos

números naturais, acrescentando-lhe os números fraccionários positivos.

No exemplo anterior, o quociente de 2 por 3, que não era possível em IN,

representa agora o número fraccionário 2

3

, em que 2 é o numerador e 3 o

denominador.

1.2 Números inteiros positivos, negativos e o zero

É claro que as propriedades já enunciadas, para a adição e multiplicação,

permanecem válidas ao alargar o conjunto dos números naturais.

1.3 Números inteiros e números fraccionários relativos

Z – conjunto dos números inteiros relativos = ..., 3, 2, 1, 0,1, 2, 3, ....− − −

Q – conjunto dos números racionais


Números racionais são todos aqueles que se podem escrever sob a forma de

fracção x

y

com 0y ≠ , x e y inteiros. Estes números podem ser representados

por dízimas finitas ou infinitas periódicas.

Repare que duas fracções podem representar o mesmo número, dizendo-se

fracções equivalentes.

Exemplo: 12

6

e 8

4

representam o número natural 2.

12

6

e 8

4

são fracções equivalentes.

Exemplo: São ainda equivalentes, por exemplo, as fracções 2

7

e 8

28

. Se

dividirmos ambos os membros da segunda fracção por 4 obtemos

2

7

.

Exemplo: 2

7

é uma fracção irredutível.

Exemplo: 8

28

é uma fracção redutível.

Exemplo: 3

5

é maior do que 1

5

. 7

3

é maior do que 4

3

.

Só podemos somar fracções com o mesmo denominador, sendo a b a b

c c c

+

+ =

Dadas duas fracções com o mesmo denominador elas serão

equivalentes se tiverem o mesmo numerador, caso contrário será maior

a que tiver maior numerador.


Exemplo:

a) 5 3 5 3 8

4

2 2 2 2

+

+ = = =

b) 3 7 3 7 10 5

4 4 4 4 2

+

+ = = =

Exemplo:2 1

5 3

+ . Como as fracções não têm o mesmo denominador, teremos

que reduzi-las a um denominador comum. m.m.c. (5,3) = 15

2 2 3 6

5 5 3 15

×

= =

×

1 1 5 5

3 3 5 15

×

= =

×

Logo, 2 1 6 5 11

5 3 15 15 15

+ = + =

Para multiplicar fracções, multiplicamos numerador com numerador,

denominador com denominador.

Exemplo: 11 2 11 2 22

7 3 7 3 21

×

× = =

×

A divisão em Q é sempre possível. Dividir a

b

por c

d

, é o mesmo que multiplicar

a

b

pelo inverso de c

d

; d

c

.

:a c a d ad

b d b c bc

= × =

Exemplo: 2 7 2 3 6

:

5 3 5 7 35

= × =


1.4 Números racionais e números irracionais

Números irracionais são todos aqueles que se podem escrever sob a forma de

fracção. Estes representam-se por dízimas infinitas não periódicas.

IR ⊃ Q ⊃ Z ⊃ IN

1.5 Operações com números reais

1.5.1 Adição

a + b com a, b ∈ IR

1) Adicionar um número real com 0, dá o próprio número, pois 0 é o

elemento neutro da adição:

0 + a = a + 0 = a, ∀ a ∈ IR

2) Adicionar os números simétricos a e – a:

(- a) + a = a + (- a) = 0, ∀ a ∈ IR

3) Se as parcelas têm o mesmo sinal:

(+…) + (…+) ou (-…) + (-…)

a soma tem esse mesmo sinal e o seu módulo é igual à soma dos

módulos

4) Se as parcelas têm sinais contrários:

(+…) + (-…) ou (-…) + (+…)

IR – conjunto dos números reais

N

os inteiros positivos

N

os inteiros relativos (Z ) Zero Nos

racionais (Q ) Nos inteiros negativos

Nos

reais ( IR) Nos

fraccionários– dízimas infinitas periódicas Nos

irracionais – dízimas infinitas não periódicas

(IN)


O sinal da soma é o da parcela com maior módulo e o módulo da

soma é igual à diferença dos módulos das parcelas.

Exemplo:(+ 5) + (+ 2) = + (5 + 2) = + 7

(- 3) + (- 2) = - (3 + 2) = - 5

(- 4) + (+ 2) = - (4 – 2) = - 2

Porque |- 4| > |2|

(+ 5) + (- 3) = + (5 – 3)= 2

Porque |5| > |-3|

1.5.2 Subtracção

a - b com a, b ∈ IR

Subtrair ao número a o número b é adicionar ao número a o simétrico

de b.

a – b = a + (-b) com a, b ∈ IR

Exemplo: 1 1 14 1 13

7 7

2 2 2 2 2

− = + − = + − = +

1.5.3 Multiplicação

a . b com a, b ∈ IR

1) Qualquer que seja o número a, a.0 = 0.a = 0, o que traduz que 0 é

o elemento absorvente da multiplicação.

2) O produto tem sinal + se os factores tiverem o mesmo sinal e tem

sinal – se os factores tiverem sinais diferentes.


Podemos traduzir isto pela tabela seguinte:

. + -

+ + -

- - +

Exemplo:

1.5.4 Divisão

a : b com a, b ∈ IR e b ≠ 0

Dividir a por b, não é mais que multiplicar por a o inverso de b.

1

:

a

a b a

b b

= = ×

Exemplos: Calcular:

a)

1

2 : 2.3 6

3

1 1 1 1

: 5 .

2 2 5 10

4 7 4 5 20

: .

3 5 3 7 21

= =

= =

= =

1 5

5.

2 2

5 3 5.3 15

.

2 7 2.7 14

2 3.2 6

3.

5 5 5

2 1 2 2

.

3 7 3.7 21

+ + =

− − = + = +

− + = − = −

+ − = − = −


b)

c)

1.6 Valores aproximados

1.6.1 Dizimas

As dízimas podem ser finitas, infinitas periódicas e infinitas não

periódicas

Exemplo: 0,111…. Ou 0,(1) é uma dízima infinita periódica de período 1

1 1 4 1

2 :

3 2 5 2

2 1 4

.2

3 2 5

2 1 8

.

3 2 5

2 8

3 10

2 4

3 5

(5) (3)

10 12

15 15

22

15

× +

= +

= +

= +

= +

= +

=

1 1 2 1 12 1 2

2 4 2

5 3 15 5 3 3 15

1 13 2 2 13 2 30 13 2

2 .

5 3 15 1 15 15 15 15 15

(15 )

17 2 19

15 15 15

− + + = − + +

= − + = − + = − +

= + =


Exemplo: 0,123123… ou 0,(123) é uma dízima infinita periódica de período

123

Exemplo: 1,15893571973… é uma dízima infinita não periódica (não há

repetição de algarismos ou de sequência de algarismos)

1.6.2 Valores aproximados, erro máximo cometido e valores

exactos

O erro máximo cometido é a diferença entre valor aproximado por excesso pelo

valor aproximado por defeito: 1,415 - 1,414 = 0,001. Neste caso o erro máximo

cometido é uma milésima.

Exemplo: 7 ~ 2, 64575...

O valor aproximado de 7 às milésimas por defeito é 2,645

O valor aproximado de 7 às milésimas por excesso é 2,646

O valor aproximado de 7 às centésimas por excesso é 2,65

O valor aproximado de 7 a menos de uma décima por defeito é 2,6

O valor exacto de 7 é 7

1,414 2 1,415< <

3 casas decimais 3 casas decimais

Valor exacto

Valor aproximado de 2 , por excesso a menos de 0,001

Valor aproximado de 2 , por defeito a menos de 0,001

3 casas decimais


Exemplo: 2 7+ = ?

1, 414 2, 645 2 7 1, 415 2, 646+ < + < +

4, 059 2 7 4, 061< + <

2 7+ = 4,061 é o valor aproximado por excesso a menos de 0,001

2 7+ 0 4,059 é o valor aproximado por defeito a menos de 0,001

O erro máximo cometido é 4,061 – 4,059 = 0,002

1.7 Potências

Regras de Cálculo:

I) .

p qp q

a a a

+

=

Exemplo:

a) 5 3 5 3 8

2 .2 2 2+

= =

b)

3 4 3 4 7

1 1 1 1

.

2 2 2 2

+

= =

II) ( ). .

pp

a bp

a b=

Na multiplicação de potências, com a mesma base,

mantém-se essa base e somam-se os expoentes.

Na multiplicação de potências, com o mesmo expoente,

multiplicam-se as base e mantém-se esse expoente.


Exemplo:

a)

3 3 3

1 5 5

.

3 2 6

=

b)

2 2

4 122 2( 3) . ( 4) 16

3 3

− = − = − =

III) :

p qp q

a a a

−

=

Exemplo:

a) 3 2 3 2

( 4) : ( 4) ( 4) 4−

− − = − = −

b)

3 2 1

1 1 1 1

:

5 5 5 5

− − = − = −

IV) :

p

pa b

p a

b=

Na divisão de potências, com a mesma base, mantém-se

essa base e subtraem-se os expoentes.

Na divisão de potências, com o mesmo expoente, dividem-

se as base e mantém-se esse expoente.


Exemplo:

a) 3

3 3

1 13 3( 5) : 5 : ( 5 : 3) ( 15)

3 3

− = − = − = −

b)

4 4 4 4 4 4

5 1 5 1 5 10 5

: : .2

4 2 4 2 4 4 2

= = = =

V) ( )q

p pqa a=

Exemplo:

a) ( )2

3 62 ( 2)− = −

b)

35 15

1 1

2 2

=

Nota: n

a é sempre não negativa se o expoente é par; tem o sinal de a se o

expoente é ímpar; por convenção 0

1a = e 1

a a= .

Exemplo:

a) 3

( 3) 27− = −

Podemos elevar uma potência a outra potência. Para se efectuar este cálculo mantém-se a base comum e multiplicam-se os expoentes respectivos.


b) 2

( 4) 16− = +

c) 3

2 8=

d) 2

5 25=

Nota: 2 2

4 ( 4)− ≠ − pois 2

4 (4 4) 16− = − × = − (a base da potência é 4) e

2( 4) ( 4) ( 4) 16− = − × − = +

Se quisermos efectuar a operação 2 5

3 : 3 ?

2 2

3 3 12 53 : 3

5 2 3 33 3 .3 3

= = =

Mas por III) 2 5 2 5 3

3 : 3 3 3− −

= =

Então 1 3

33

3

−= que se trata de uma potência de expoente negativo.

VI) 1 1

n

na

na a

−= =

, com , 0 e a IR a n IN∈ ≠ ∈

Exemplo: Transformar em potência de expoente positivo:

a) 3 5 3 1 5 2 5 2 5 3

2 .2 : 2 2 : 2 2 : 2 2 2− − − + − − − − +

= = = =

O que significa que uma potência de expoente inteiro

negativo é igual ao inverso da potência de base igual e

expoente simétrico.


b)

55 5 2 2

1 2 10 1 2 10

: . : .

5 3 3 5 3 3

5 2 5 2

1 3 10 3 10

. . .

5 2 3 10 3

5 2 5 2 3

10 10 10 10

.

3 3 3 3

−− − − −

− − = − −

− − − −

= − − = − −

− −

= − − = − = −

VII) O radical

p

q p qa a= com 0; e

p

a q IN Q

q

> ∈ ∈

Exemplo: Escrever como uma potência de expoente fraccionário:

a)

3

3 22 2=

b)

1

51 15

2 2

=

c)

1

4 47 7=

d)

11133 32 2

2

−−

= =


Exercícios Propostos:

1. Calcule:

a)

2 3

1 11( 5) :

5 3

−− × −

b) 2 2 3

( 3) 2 ( 6)

2 2( 2) 3

− × × −

− ×

c)

33

130 3 2( 1) : 5 2

10

−

− + ×

d)

5 2

1 12: 5

5 10

21 3 2

1 3 1

3 2 2

−

×

− −

× ×

e)

( )

( )

2 2

1 611 21 5

3 5

92 33 3 7

2 : 2 : 3

2

− + × ×

−×


2. Transforme em radicais:

a)

1

23

b) ( )1

2 55

−

c)

2

32

5

d)

5

3 61

3

e)

3

14

22

5


f)

31

44

−

g)

52

35

7

−


Capítulo 2

POLINÓMIOS


Polinómios:

Operações com polinómios.

Zeros de um polinómio.

Casos notáveis da multiplicação de binómios.

Decomposição de um polinómio em factores.

Objectivos:

Operar com polinómios simples;

Decompor um binómio ou trinómio em factores;

Determinar o quociente e o resto da divisão de um polinómio por

outro pelo algoritmo da divisão inteira de polinómios;

Usar a regra de Ruffini e reconhecer a validade da regra;

Decompor um polinómio em factores, encontrando por tentativas

uma raiz e depois usar a regra de Ruffini;

Determinar os zeros de um polinómio.

Pré-requisitos:

Operações com monómios e polinómios.


0 1 2 3

Miguel

anos

10 ( )2110 x+ ( )3

110 x+( )x+110

( ) ( ) ( )( )( )( )( )

10303010

13310

22110

12110

1110110

23

23

322

2

23

+++=

+++=

+++++=

+++=

++=+

xxx

xxx

xxxxx

xxx

xxx

2. Polinómios

Comecemos por analisar um exemplo da vida real onde existem, sem darmos

por isso, expressões com polinómios.

O Miguel depositou no banco Y, 10 contos. A taxa anual de juro praticada é x.

Observando a figura conclui-se que as expressões ( )2110 x+ e

( )3110 x+ representam o dinheiro que terá o Miguel ao fim de 2 e 3 anos

respectivamente.

A expressão ( )3110 x+ pode ser escrita de outra forma:

As expressões ( )3110 x+ e 10303010 23 +++ xxx são equivalentes e ambas são

polinómios, mas a segunda está escrita sob a forma de polinómio reduzido e

ordenado.

Chama-se polinómio na variável x a a toda a expressão do tipo:

ℜ∈ℵ∈

++++

−

−−

nn

nn

nn

aaaa

axaxaxa

,,...,, e n que em

...

0 110

1

1

10


reduzido polinómio 29

→+1x

No polinómio: nn

nn axaxaxa ++++ −−

1

1

10 ... ,

teindependen termo

escoeficient os são ,,...,,

termos os são ,,...,,

→

→

→

−

−

−

n

nn

nn

nn

a

aaaa

axaxaxa

110

1

1

10

Nota: Designação de polinómios “especiais”

Números de termos Designação do polinómio

Um termo.

Exemplo: 4

x−

Monómio

Dois termos.

Exemplo: 4

13 +x

Binómio

Três termos.

Exemplo: 132 2 ++ xx

Trinómio

Reduzir um polinómio é escrevê-lo de forma a que não apareçam monómios

semelhantes.

Exemplo: reduzido não polinómio →++ 12

33 xx .

Resolução: Os termos 3x e x2

3 são semelhantes uma vez que têm a mesma

parte literal. Adicionando-os obtemos:

Ordenar um polinómio é escrevê-lo segundo as potências crescentes ou

decrescentes de x .


( ) ( )

236

12134

12134

2

22

22

++=

=++++=

=++++

xx

xxx

xxx

23

102

134

2

2

++

+++

++

x

xx

xx

26x

Depois de reduzido e ordenado o polinómio, é fácil de identificar o seu grau e

verificar se é ou não um polinómio completo.

Exemplo: O polinómio 123 2 +++ xx45x tem grau 4 e é incompleto porque

tem nulo o coeficiente do termo em 3x .

Exemplo: O polinómio 23 2x x+ + tem grau 2 e é completo.

Exemplo: O polinómio 000 2 ++ xx tem os coeficientes todos nulos, é um

polinómio nulo e tem grau indeterminado.

2.1 Operações com polinómios

Qualquer polinómio fica determinado pelos seus coeficientes, ou seja se

A(x) = nn

nn axaxaxa ++++ −

−

1

1

10 ... e B(x) = mm

mm bxbxbxb ++++ −

−

1

1

10 ... são

polinómios de grau n e m, respectivamente, então tem-se A = B se e só se

mn = e 00 ba = e 11 ba = e... e mn ba = .

2.1.1 Adição

Exemplo:

Ou, usando o algoritmo da adição:

Para adicionar dois polinómios aplicam-se as propriedades comutativa e associativa da adição e reduzem-se os termos semelhantes


( ))( baba −+=−

−+=− 3232

( ) ( )( ) ( )

xx

xxx

xxx

32

12134

12134

2

22

22

+=

−−+++=

=+−++

( ) ( )

13668

123648

12134

234

2324

22

++++=

=+++++=

=+×++

xxxx

xxxxx

xxx

2.1.2 Subtracção

Para obter a diferença de dois polinómios aplica-se a seguinte propriedade dos

números reais:

Exemplo:

Exemplo:

2.1.3 Multiplicação

Exemplo:

Exercícios Resolvidos:

1. Considere os polinómios A, B e C definidos por

A(x) = x3 + x2 + 3, B(x) = x2 + 2x + 1 e C(x) = 2x + 4.

Calcule os coeficientes e o grau do polinómio A - BC.

Resolução:

A(x) - B(x)C(x) = (x3 + x2 + 3) - (x2 + 2x + 1) (2x + 4)

Para subtrair dois números adiciona-se, ao aditivo, o simétrico do subtractivo.

Para calcular o produto de dois polinómios aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação relativamente à adição e, em seguida, adicionam-se os termos semelhantes.


= x3 + x2 + 3 - (x2 + 2x + 1) 2x - (x2 + 2x + 1) 4

= x3 + x2 + 3 - (2x3 + 4x2 + 2x) - (4x2 + 8x + 4)

= x3 + x2 + 3 - 2x3 - 4x2 - 2x - 4x2 - 8x - 4

= (x3 - 2x3) + (x2 - 4x2 - 4x2) + (-2x - 8x) + (- 4 + 3)

= -x3 - 7x2 - 10x - 1,

logo os coeficientes do polinómio A - BC são a0 = -1, a1 = -10, a2 = -7 e

a3 = -1, e o seu grau é 3.

2. Calcule os coeficientes do único polinómio A de grau 2 que verifica

A(-1) = 2 e A(0) = 5 e A(1) = 3.

Resolução: Se a0, a1 e a2 são os coeficintes de A, temos

A(x) = a2x2 + a1x + a0, para qualquer ℜ∈x .

e portanto:

A(-1) = a2 (-1)2 + a1 (-1) + a0 = a2 - a1 + a0;

A(0) = a202 + a10 + a0 = a0;

A(1) = a212 + a11 + a0 = a2 + a1 + a0.

Vemos assim que o polinómio A verifica

A(-1) = 2 e A(0) = 5 e A(1) = 3

se e só se

a2 - a1 + a0 = 2 e a0 = 5 e a2 + a1 + a0 = 3,

ou ainda

a2 - a1 = -3 e a0 = 5 e a2 + a1 = -2.


Logo os coeficientes de A são a0 = 5, a1 = 1/2 e a2 = -5/2.

2.1.4 Divisão Inteira de Polinómios

No conjunto dos números naturais, ℵ , efectuar a divisão inteira de

um número D (dividendo) por um número d (divisor) é encontrar um

número natural q (quociente) e um natural r (resto), tais que:

Se o resto é zero , então qdD ×=


1. Calcule o quociente e o resto da divisão inteira de

A(x) = 4x3 + 8x2 + 1 por B(x) = 2x2 + 3x - 1.

Resolução: Recorde que o algoritmo da divisão inteira de polinómios

permite calcular o quociente e o resto da divisão inteira de dois quaisquer

polinómios. Neste caso obtemos:

drrqdD <+×= com ,

Recorde que para quaisquer polinómios ( )xA e ( )xB existem polinómios

únicos ( )xQ e ( )xR que verificam simultaneamente:

1. ( ) ( ) ( ) ( )xRxQxBxA += .

2. ( )xR é o polinómio nulo, ou grau ( )xR < grau ( )xB .

Os polinómios ( )xQ e ( )xR chamam-se respectivamente quociente e

resto da divisão inteira de ( )xA por ( )xB . Se ( )xR é o polinómio nulo

temos ( ) ( ) ( )xQxBxA .= , e dizemos neste caso que ( )xA é divisível por

( )xB .


e portanto

Q(x) = 2x + 1 e R(x) = 2 - x.

Descrição do algoritmo da divisão:

a) Começa por se escrever, ordenadamente, o dividendo e o divisor

segundo as potências decrescentes de x, escrevendo também os

termos nulos do dividendo.

b) Dividem-se os termos de maior grau do dividendo e do divisor.

Exemplo: xxx 224 23 =:

c) Multiplica-se o divisor pelo termo de maior grau do quociente,

escreve-se o simétrico desse produto e adiciona-se ao dividendo,

obtendo assim o resto parcial. Neste caso o resto parcial será,

122 2 ++ xx .

d) Divide-se o termo de maior grau do resto parcial pelo termo de

maior grau do divisor. Exemplo: 122 22 =xx : . O resultado é o

segundo termo do quociente. Repete-se em seguida todo o

processo.

2. Calcule o quociente e o resto da divisão inteira de

A(x) = x3 + 6x2 + 7x - 1 por B(x) = x + 3.

Resolução: Implementando o algoritmo da divisão obtemos:


( ) 01

1

10 =++++= −−

nn

nn aaaaA αααα ...

logo

Q(x) = x2 + 3x - 2 e R(x) = 5.

Alternativamente poderíamos utilizar a regra Ruffini. Recorde que este

algoritmo permite determinar o quociente e o resto da divisão de A(x) por

B(x) quando (e só quando) B(x) = x - a. Neste caso teríamos

e portanto Q(x) = x2 + 3x - 2 e R(x) = 5.

2.2 Raízes (ou Zeros) de um Polinómio

Dado um polinómio

diz-se que um número ℜ∈α é uma raiz real de ( )xA se

.

As raízes reais de um polinómio ( )xA são portanto as soluções reais da

equação polinomial

nn

nn axaxaxaxA ++++= −−

1

1

10 ...)(

1 6 7 - 1

-3

1

-3

3

-9

1 6 7 - 1

-3

1

-3

3 -2

6

-2

1 6 7 - 1

-3

1 3

-3 -9

5

x

x

x


( ) ( )( ) ( )αα AxxQxA +−=

01

1

10 =++++ −−

nnnn axaxaxa ....

Note que se ( )xA é um polinómio e α é um número real, então o resto

da divisão inteira de ( )xA por x - α é A(α ). Isto significa que existe um

polinómio ( )xQ tal que

(1)

e portanto

α é raiz de ( ) ( )xAxA ⇔ é divisível α−x . (2)

Recorde que esta equivalência fundamental desempenha um papel

importante no cálculo das raízes reais de um polinómio. Em particular

permite demonstrar que qualquer polinómio de grau n não pode ter mais

do que n raízes.


1. Considere o polinómio

A(x) = x6 - x5 - 2x4 + x2 - x - 2

e os números -1, 1, -2 e 2. Verifique que dois destes números são raízes

de A.

Resolução: Temos:

A(-1) = (-1)6 - (-1)5 - 2 (-1)4 + (-1)2 - (-1) - 2 = 0,

A(1) = 16 - 15 - 2 (1)4 + 12 - 1 - 2 = - 4,

A(-2) = (-2)6 - (-2)5 -2(-2)4 + (-2)2 - (-2) - 2 = 68

A(2) = 26 - 25 - 2 (2)4 + 22 - 2 - 2 = 0.

Vemos assim que A(-1) = 0, A(1) 0, A(-2) 0 e A(2) = 0. Logo, dos

números -1, 1, -2 e 2, apenas -1 e 2 são raízes de A.


( ) ( ) ( )022222

222222

23

23

=−−+=

=−−+=

A

2. Considere o polinómio

A(x) = x3 + x2 - 2x -2.

Calcule o resto da divisão de A por 2−x . Verifique que A é divisível

por 2−x .

Resolução: Sabemos por (1) que o polinómio ( ) ( )2AxR = é o resto da

divisão de A por 2−x . Assim basta calcular

para concluir que R(x) é o polinómio nulo. Isto demonstra que A(x) é

divisível por 2−x

3. Calcule as soluções reais da equação

2x2 = 3x + 1.

Resolução: A equação

2x2 = 3x + 1

é equivalente a

2x2 - 3x - 1 = 0.

Recorde que para resolvermos a equação polinomial

ax2 + bx + c = 0,

devemos distinguir dois casos:

1º Se a = 0 e b 0 ficamos na presença de uma equação do 1ª grau.

Neste caso a equação tem solução única dada por

b

c−=α .


2º Se a 0 ficamos na presença de uma equação do 2º grau. Neste caso

a existência de soluções para esta equação depende do descriminante

∆ = b2 - 4ac.

o Se ∆ > 0 a equação tem exactamente duas soluções

dadas por

a

b

a

b

2221

∆−−=

∆+−= αα e

o Se ∆ = 0 a equação tem solução única dada por

a

b

2−=α .

o Se ∆ < 0 a equação não tem soluções reais.

Neste caso temos a = 2, b = -3 e c = -1 e portanto

∆ = (-3)2 - 4 (2) (-1) = 17 > 0,

logo a equação tem duas soluções irracionais dadas por

4

173

4

17321

−=

+= αα e .

4. Calcule as raízes do polinómio

( ) ( )( )322 −−= xxxA

Resolução: Temos

( )( ) 0302032 22 =−∨=−⇔=−− xxxx

assim, porque as raízes do polinómio 22 −x são 2− e 2 , e 3 é a

única raiz de 3−x , vemos que as raízes de A(x) são 2− , 2 e 3 .


5. Sabendo que o número 2 é uma raiz do polinómio

A(x) = x3 - 2x2 - 3x + 6,

calcule todas as raízes reais de A.

Resolução: Porque 2 é raiz de A sabemos por (2) que existe um

polinómio Q tal que

A(x) = Q(x)(x - 2).

Note que Q é o quociente da divisão de A(x) por x - 2. Assim, pela regra

de Ruffini:

1 -2 -3 6

2

x 1

2 0 -6

0 -3 0

vemos que Q(x) = x2 - 3 e portanto

A(x) = (x2 - 3)(x - 2).

Temos então

( ) ( )02030 2 =−∨=−⇔= xxxA , logo as raízes de A(x) são 2, 3−

e 3 .

6. Sabendo que uma das raízes do polinómio

A(x) = 2x3 + 14x2 - x - 7

é um número inteiro, calcule as raízes de A.


Resolução: Recorde que se o polinómio

n

nn xaxaaxA 01 +++= − ...)(

é tal que Zaan ∈0,..., e 0≠na , e Z∈α é uma raiz de A(x), então tem-

se

Zan ∈α

, (3)

ou seja na é divisível por α. Este facto, útil na determinação das raízes

inteiras de um polinómio com coeficientes inteiros, decorre

imediatamente da definição de raiz.

Vemos assim por (3) que qualquer raiz inteira α de

A(x) = 2x3 + 14x2 - x - 7

terá de verificar

Z∈−

α

7.

Isto significa que as possíveis raízes inteiras de A(x) se encontram entre

os elementos de

-7, -1, 1, 7.

Assim basta calcular

A(-7) = 0, A(-1) = 6, A(1) = 8, A(7) = 1358

para concluir que -7 é a única raiz inteira de A(x). Para calcular as

restantes raízes de A(x) podemos recorrer a (2) para factorizar A(x).

Dividindo A(x) por x + 7:


vemos que

A(x) = (2x2 – 1) (x + 7)

e portanto

( ) ( )070120 2 =+∨=−⇔= xxxA

Logo as raízes de A são -7, 2

2− e

2

2.

3. Casos notáveis da multiplicação de binómios

A multiplicação de dois polinómios pode processar-se sempre do mesmo

modo.

No entanto, há produtos de polinómios que aparecem com muita frequência e

com variadas aplicações em Matemática e que nos merecem especial atenção:

o quadrado do binómio e a diferença de quadrados.

Assim chamam-se casos notáveis da multiplicação ao produto de dois binómios

iguais ( )( ) ( )2bababa +=++ ou ao produto de dois binómios conjugados

( )( )( )baba −+ .

Nota:

Área do quadrado

A =a2

Área do rectângulo

A =ab

2 14 -1 -7

-7

2

-14

0

0

-1

7

0x

a

a

b


Entre todos os produtos de polinómios há três casos que têm um interesse

particular, não só pela sua aplicação a muitas situações, como pela sua ligação

à geometria.

1. O quadrado da soma

Vejamos se ( ) 2222 bababa ++=+

Temos ( ) ( )( )bababa ++=+2

Aplicando a regra geral do produto de

polinómios temos:

A = A + A + A + A

Logo,

2. O quadrado da diferença

( ) ( )( )( )

2

2

2

2 bab

babab

bababa

+−=

=+−−=

==

−−=−

2

2

a

a

b-b-ba-ab-aa

Logo,

( ) 2222 bababa ++=+

b2

a2 ab

ab

a+b

b

a

(a-b)2

ab

ba a

b

a-b

( ) 222 babba +−=− 2a

( )

( ) 222

222

2 bababa

babababa

++=+

+++=+


( )( )55252 +−=− xxx

Polinómio não factorizado

Polinómio factorizado



( )( )11122 ++=++ xxxx



( ) ( )( )

( ) ( )( )17163

4343163

2

2

+−=−−

+−−−=−−

xxx

xxx

( )( )22

22

ba

bababababa

−=

−−+=−+

3. Diferença de quadrados

Vejamos se ( )( ) 22 bababa −=−+

Temos

Logo,

4. Decomposição de um polinómio em factores

Decompor um polinómio em factores ou factorizar um polinómio é escrevê-

lo sob a forma de um produto de factores do menor grau possível.

( )( ) 22 bababa −=−+

a+b

a

b

a-b


Seja ( ) =xP nn

nn axaxaxa ++++ −

−

1

1

10 ... um polinómio de

grau n, com n raízes nxxx ,...,, 21 , então ( )xP pode ser

decomposto em factores do seguinte modo:

2

13

4

57

4

24497

0372 2

=∨=

±=

−±=

=+−

xx

x

x

xx

Existe um teorema que diz o seguinte:

Se, por exemplo, 21 xx = , diz-se que a raíz 1x é dupla.

Um polinómio pode ter raiz dupla, tripla, etc.

Exemplos: Decompor em factores

1. Calcule-se as raízes dos trinómios.

a) 372 2 +− xx

Resolução:

Raízes: 3 e 2

1

Então, ( )

−−=+−

2

132372

2 xxxx

b) 181222 +− xx

( ) ( )( ) ( )nxxxxxxaxP −−−= ...210

RELEMBRE: Fórmula Resolvente

a

acbbx

cbxax

2

4

0

2

2

−±−=

=++


( )( )dupla raíz

2 por tudo dividindo

3

03

096

018122

2

2

2

=

=−

=+−

=+−

x

x

xx

xx

542

0542

−±=

=+−

x

xx

Resolução:

Raízes: 3 (raíz dupla)

Então, ( )( )33218122 2 −−=+− xxxx

c) 542 +− xx

Resolução:

Equação impossível

Raízes: não tem

Então, 542 +− xx não se pode decompor de modo que os factores tenham

grau inferior ao polinómio dado.

No conjunto dos números reais um polinomio de grau n tem no máximo n raízes reais.


Exercícios Propostos

1. Indica o coeficiente e a parte literal de cada um dos seguintes

monómios:

1.1 25xy

1.2 zxy 2−

1.3 b5

4

2. Reduzindo os termos semelhantes, simplifica cada uma das

expressões seguintes:

2.1 ababa 733 +−++

2.2 xxx

xx3

27

23 22 ++−+

2.3 3

2732

1 mnnmnmmn −+−++

2.4 zyzzyzz5

7

3

8

4

1

3

2

2

1−−++

2.5 2222

5

23

4

1

2

12 uuvuuvu ++−−

3. Depois de reduzir e ordenar o polinómio:

Indique o grau, os termos nulos e o termo independente.

4. Dados os polinómios

2

312

2

133 2223 +−=+−=+−= xxTxxSxxR

4.1 TSR ++

4.2 TSR −−

4.3 TSR −+−

32

1

10

3 32

+++

xxx

,


4.4 TSR −−−

5.Efectua e simplifica

5.1 ( )2543 x−

5.2 ( ) ( )28323 2 +−−−− xxxx

5.3 ( ) ( )14322 −+−− babaaba

5.4 ( ) ( )12

13 222 +−+− mnmnmmn

6. Apresenta sob a forma de polinómio reduzido

6.1 ( )( )43 ++ ba

6.2 ( )( )43 −− aa

6.3 ( )( )836 ++ aa

6.4 ( )( )xx 532 +−

6.5 ( )( )4322 2 +−− baa

6.6 ( )( )mnnmnm +−−+ 22 5232

6.7 ( ) 332

+−x

6.8 ( ) 322

−+y

6.9

−−

−+

4

1

3

2

4

1

5

2

3

22 xxx

6.10 ( )[ ] 232652 22 −+−+−−−− xxxxx

7. Qual o polinómio que se deve subtrair 37 3 −− xx , para se obter xx 32 2 −− ?


8. Calcule aplicando a fórmula do quadrado do binómio

8.1 ( )232 −x

8.2 ( )27+x

8.3 2

2

1

+y

8.4 ( )234 ba −

8.5 ( )21−− x

8.6 ( )21+x

9. Calcule, aplicando a diferença de quadrados

9.1 ( )( )55 −+ xx

9.2 ( )( )1212 +− xx

9.3 ( )( )xx +− 11

9.4

+

− xx

2

11

2

11

10. Completa

10.1 ( ) 252

++=+ ............x

10.2 ( ) 12

+−=− ............y

10.3 ( ) ............ ++=+ zz 82

10.4 ( )( ) 49−=−+ ............ nn

10.5 ( ) ............ ++=+ 2294 x


11. Usando o algoritmo da divisão, calcule o quociente e o resto

da divisão de:

11.1 ;: 1134 2 ++− xxx

11.2 ;: 23232

1 32 −+− xxxx

11.3 321334 2523 +−++− xxxxxx :

12. Usando a regra de Ruffini, determine o quociente e o resto da divisão:

12.1 ( ) ( )3132 −++ xxx :

12.2 ( ) ( )2153 23 −+++ xxxx :

12.3 ( ) ( )1134 2 ++− xxx :

12.4 ( )23232

1 32 −

+− xxxx :

12.5 1

123

+

+++

x

xxx

12.6 3

15

+

+

x

x

12.7 13

553 23

−

−++

x

xxx

13. Calcule o valor numérico do polinómio ( ) 57 23 ++−= xxxxA para:

14.1 0=x

14.2 1=x

14.3 1−=x

14. Averigue quais dos seguintes números: 5231 e ; ; −− são raízes do

polinómio 1577 23 ++− xxx .

15. Determine a e b de modo que o polinómio 13234 +++− xbxaxx seja

divisível por ( )( )11 +− xx .


16 . Determine as raízes de cada um dos seguintes polinómios e decomponha-

os em factores:

16.1 12 2 −− xx

16.2 5195 2 ++ xx

16.3 xx 82 3 −

16.4 2

99

2

1 23 +−− xxx

17. Averigue a multiplicidade da raíz −2 em cada um dos seguintes

polinómios e, em seguida, decomponha-o em factores:

17.1 485 23 +++ xxx

17.2 4432 234 +−−+ xxxx

Soluções:

uvuuyzzmnmn

x 324

7210

1 2.5) ;2

20

13 2.4) ;

2

135

3

2)3.2;

6

7210x 2.2) 2b;-11a 2.1) ++−−−−++

2

1132

2

33 4.4) ;2

922

53 4.3) ;2

132

2

93 4.2) ;2

1132

2

33 4.1) ;32

23030x1 )3 −++−−−+−++−+−−+++ xxxxxxxxxxxxx

x

22

142

122

133223 5.4) ;443322 5.3) ;6272 x5.2) ;2512 )1.5 mmnmmnnmaabbabaxx +−+−+−−−−+−

4825x- 6.10) ;5

2x

3

2x - 6.9) ;142 6.8) ;1262 6.7)

;23533221536210n-m4 6.6) ;86432432 6.5)

;6725x- 6.4) ;482623a 6.3) ;1272 6.2) 1234 )1.6

++++++−

−++−+−++−−

++++−−+++

xyyxx

mnnnmnmmbaabaa

xaaa;baab

2 :literal parte

5:ecoeficient 1.1

xy z2 :literal parte

-1:ecoeficient 1.2

xy b :literal parte

5

4:ecoeficient 1.3


( ) ( )

( ) ;31522311.3)

;3

2

3

1

2

1211.2) ;874;11.1)2x4

1-1 9.4) ;2x-9.3)1 1;-24x 9.2) ; 25-2 x)1.9

1228.6)x 1;2x2 x8.5) ;29b24ab-216a 8.4) ;4

1y2 8.3) ; 4914x28.2)x 9;12x-24 )1.8

−=+++=

=+−−===

++++++++++

R(x)xxxxQ

R(x)xxxQ R(x)x-xQ

xyx

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

2; plicidade17.2)Multi 2; plicidade17.1)Multi 16.4);

2; e 2,0- :s16.3)Raíze ; 10

26119- e

10

26119- :zes1;16.2)Raí e

2

1- :s16.1)Raíze

-2;b 3a 15) ; 5 e 3 são raízes s14) ;41-13.3)A 0;113.2)A 5;013.1)A

;4362312.7)

;21271272933412.6) ;01212.5)

1 ;3

21

2

3312.4) ;87412.3)

;31155212.2) ;19612.1)

−+

==−===

−=++=

−=+−+−==+=

=+−−==−=

=++==+=

A

R(x)xxxQ

R(x)xxx xxQ R(x)xxQ

R(x)xxxQ R(x)xxQ

R(x)xxxQ R(x)xxQ


Capítulo 3

Equações e Inequações do 1º

e 2º Grau


Equações

Equações do 1º grau

o Equações com denominadores

o Equações literais

Equações de grau superior ao 1º

o Operações com polinómios (adição algébrica, multiplicação)

o Lei do anulamento do produto, disjunção de condições e reunião

de conjuntos

o Casos notáveis da multiplicação de binómios

Objectivos:

Interpretar o enunciado de um problema

Traduzir um problema por meio de uma equação

Procurar soluções de uma equação

Escrever o enunciado de um problema que possa ser traduzido por meio

de uma equação dada

Resolver equações do 1º grau a uma incógnita

Resolver equações literais em ordem a uma das incógnitas

Operar com polinómios simples

Decompôr um binómio ou trinómio em factores

Aplicar a lei do anulamento do produto à resolução de equações

Interpretar e criticar as soluções de uma equação no contexto de um

problema

Pré-requisitos:

Resolução de equações do primeiro grau: soluções, equações

equivalentes, redução de termos semelhantes

Resolução de problemas


3 Equações do 1º grau

Embora todos os dias se resolvam situações que envolvem cálculos mais ou

menos simples (contar dinheiro, programar o tempo, etc.), nem sempre a

solução é imediata e daí a necessidade de, por vezes, equacionar o problema.

Para verificar se um dado número é ou não raiz ou solução da equação:

Substitui-se, na equação, a incógnita pelo número dado;

Observa-se a igualdade obtida:

Se for verdadeira, esse número é raiz ou solução da equação

Se for falsa, esse número não é raiz ou solução da equação

3.1 Regras usadas na resolução de equações

3.1.1 Regra da adição

Adicionando ou subtraindo o mesmo número aos dois membros da equação, obtemos uma equação equivalente à dada, o que, na prática, se traduz por:

Numa equação podemos mudar um termo de um membro para o outro trocando-lhe o sinal.

Equação Igualdade que contém pelo menos uma letra de valor desconhecido.

Incógnita Letra ou letras que aparecem na equação e que representam valores desconhecidos.

Resolver uma equação Descobrir o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira. Esse valor é a raiz ou solução da equação.

Numa equação o sinal = separa a equação em duas partes, os membros.

Cada membro é formado por um ou mais termos.

Equações equivalentes são as que admitem as mesmas soluções


3.1.2 Regra da multiplicação

Numa equação podemos multiplicar ou dividir ambos os membros pelo mesmo valor (diferente de zero), que obtemos uma equação equivalente à inicial.

3.2 Classificação de equações:

Determinadas

Possíveis

Indeterminadas

Impossíveis

As equações com mais do que uma variável chamam-se equações literais.

Exemplo:

3 2 5x y+ =

Monómio é uma expressão em que apenas surge a multiplicação a ligar constantes e/ou variáveis.

Exemplo:

5xy (coeficiente: 5 ; parte literal: xy )

Grau de um monómio é a soma dos expoentes das variáveis.

Exemplo:

2 3xy z - monómio de grau 6


Os monómios que têm partes literais iguais chamam-se monómios semelhantes

Exemplo:

2xy e 1

2

xy são monómios semelhantes

Grau de um polinómio é o maior dos graus dos seus termos

Exemplo:

2 33 3 1x x x+ + + -polinómio de grau 3

Adição Algébrica

Para adicionar dois polinómios, utilizam-se as propriedades usuais da adição

(comutativa, associativa, etc.) e segue-se o processo já estudado para

adicionar monómios.

Etapas Exemplo

2 2(3 2 1) ( 7 8)x x x x− + − + −

2. Desembaraçar de parêntesis

2 23 2 1 7 8x x x x− + − − +

3. Pela propriedade comutativa pode-se juntar os monómios, ou termos, semelhantes

2 23 2 7 1 8x x x x− − − + +

4. Adicionam-se os termos semelhantes até obtermos um polinómio reduzido

22 9 9x x− +


3.3 Equações do 1º grau com denominadores

Etapas Exemplo

3 3 3135

5 8 5

x x x x+ − + =

1. Desembaraçar a equação de parênteses

• Usar a propriedade distributiva da multiplicação para eliminar os parêntesis

2. Desembaraçar a equação de denominadores

• Multiplicar ambos os membros da equação pelo m.m.c.(5,8,40) = 40

3 3 9

135

5 8 40

x x x x+ − + =

(x8) (x5) (x40) (x40)

24 15 9 5400 40

40 40 40 40 40

x x x x+ − + =

• Suprimir os denominadores

24 15 9 5400 40x x x x+ − + =

3. Agrupar: • Termos com incógnitas

num membro • Termos sem incógnita

noutro membro Ao trocar um termo de membro mudar o sinal

24 15 9 40 5400x x x x+ − − = −

4. Reduzir os termos semelhantes 10 5400x− = −

5. Dividir ambos os membros de equação pelo coeficiente de x (regra da multiplicação)

540x =


Verificação:

Substitui-se na equação x por 540:

3 3 3540 540 540 135 540

5 8 5

× + − × + =

3324 216 135 540

8

+ × + =

324 81 135 540+ + =

540 540=


Exercícios propostos:

1. Resolva cada uma das seguintes equações:

a) 2 3

3

4 2

xx

−+ =

b) 1 2 3 1

2 4 8 4

xx

+− = +

c) 2 1 2 4 1

3 5 15

x x x− − −− =

2. Três irmãos decidem comprar um CD para oferecer à mãe no dia do

seu aniversário. O irmão mais velho paga metade; o segundo paga a

terça parte e o mais novo paga 3 €, que é o que falta. Qual é o preço

do CD?

3. Resolva cada uma das equações em ordem à letra indicada entre

parêntesis

a) 3 2a b a b+ = − ( )a

b) 2P rπ= ( )r

c) ( )3 2 1 5 2x y y− + = + ( )y

4. Um agricultor dispõe de 200€ para vedar um terreno rectangular. A

vedação deve ser feita do seguinte modo: um dos lados com tijolo e

rede nos restantes três.

Cada metro de rede custa 2€ e cada metro de parede em tijolo fica

por 4€.

a) Escreva uma equação que

Relacione x e y.

b) Resolva a equação obtida,

em ordem a y.

c) Complete o quadro ao lado.

x 10 20 30

y y

x


5. Considere as expressões:

1 2( ) 2 5

2

A x x x= − + − ; 3

( ) 4 5 1B x x x= − + ; 13 2

( ) 2 7

3

C x x x x= − + +

Determine:

a) A B+

b) A B C− +

c) 2 (3 )A C B− −

Soluções:

7

43);

2);

2

3)318€; de é CD do preço O2;

21

10);

7

3);)1 2

−==−==−==

x

ycP

rbbaaScSbSaπ

;92222310)

;61426

136);4322

134)5;5,20,35);2

350);46200)4

−−−

−+−−−−−===−=+=

xxxc

xxxbxxxayyycxybyxa


3.4 Intervalos de números reais

Condição Recta real Intervalo

:x IR a x b∈ < < ] [,a b

:x IR a x b∈ ≤ < [ [,a b

:x IR a x b∈ < ≤ ] ],a b

:x IR a x b∈ ≤ ≤ [ ],a b

:x IR x a∈ > ] [,a +∞

:x IR x b∈ < ] [, b−∞

3.4.1 Reunião e intersecção de intervalos de números reais

A reunião do intervalo A com o intervalo B representado por A B∪ é constituído

por todos os elementos de ambos os intervalos.

Exemplo:

0;5A = e 3;3B = − , na recta real temos:

] ]3; 5A B∪ = −

A intersecção do intervalo A com o intervalo B representado por A B∩ é

constituído por todos os elementos comuns aos dois intervalos.

Exemplo:

0;5A = e 3;3B = − , na recta real temos:

a b

a b

a b

a b

a b

a b

-3 3 5 0

-3 3 5 0


[ [0; 3A B∩ =

3.5 Inequações do 1º grau

Uma inequação é uma expressão onde está presente uma ou mais variáveis e

um sinal de desigualdade (>, <, ≤ ou ≥).

Exemplo:

2 5 3x − ≥

Solução de uma inequação é o valor ou conjunto de valores que ao serem

concretizados na variável, obtêm uma proposição verdadeira.

Exemplo:

3≥1+2x 5 é uma solução da inequação pois substituindo x por 5 temos:

2.(5) + 1 ≥ 3 ⇔ 10 + 1 ≥ 3 ⇔ 11 ≥ 3 proposição verdadeira

Este é o processo que utilizamos para verificar se um número é solução de

uma inequação. Duas ou mais inequações são equivalentes se tiverem o

mesmo conjunto solução.

3.5.1 Resolver uma inequação

Significa determinar o seu conjunto solução. Os passos a seguir, na resolução

de uma inequação são os seguintes:

a) Desembaraçar de parênteses, caso os haja.

b) Desembaraçar de denominadores, se existirem.

c) Todos os termos com incógnita passam para o 1º membro e os

restantes para o 2º membro.

d) Isolar a incógnita.

1º membro

2º membro


e) Apresentar o conjunto-solução.

3.5.2 Princípios de equivalência de inequações

1º Se substituirmos um ou os dois membros de uma inequação por uma

expressão equivalente, ainda obtemos uma inequação equivalente à primeira.

Exemplo:

( 2) 2( 2) 2 2 4x x x x− + ≤ − ⇔ − − ≤ −

2º Se numa inequação mudarmos um termo de um membro para o outro

trocando-lhe o sinal, ainda obtemos uma inequação equivalente à primeira.

Exemplo:

2 2 4 2 2 4x x x x− − ≤ − ⇔ − − ≤ −

3º Quando multiplicamos ou dividimos ambos os membros de uma inequação

pelo mesmo número positivo, ainda obtemos uma inequação equivalente à

primeira.

Exemplo:

2 3. 3.2 6

3 3

x x

x≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥

4º Quando multiplicamos ou dividimos ambos os membros de uma inequação

pelo mesmo número negativo, teremos de inverter o sentido da desigualdade

para obtermos ainda uma inequação equivalente à primeira.

Exemplo:

2 32 3 3

2 2 2x

xx− ≥ ⇔

−≤ ⇔ ≤ −

− −


3.6 Disjunção e conjunção de inequações

À disjunção (v) de inequações está associada a reunião ( ∪ ) de conjuntos.

Exemplo:

1 2 3 1 3x x x x+ ≥ ∨ < − ⇔ ≥ ∨ < −

] [ [ [+∞∪−∞− ;13; conjunto-solução da disjunção das duas inequações.

À conjunção ( ∧ ) de inequações está associada a intersecção ( ∩ ) de conjuntos.

Exemplo:

1 3 3 .( 2) ( 1).( 2) 3 3 2 0

2 2

x x

x x x x− ≥ − ∧ − > − ⇔ − − ≤ − − ∧ > − + ⇔ ≤ ∧ >

] ] ] [ ] ]; 2 0, 0; 2−∞ ∩ +∞ = conjunto-solução da conjunção das duas inequações

-3 1 0

2 0


Exercícios propostos:

1. Considere as condições A , B, C e D :

C = : 5 3x IR x∈ − ≤ <

D = : 1x IR x∈ >

Represente sob a forma de intervalo de números reais:

a) O conjunto A

b) O conjunto B

c) O conjunto C

d) O conjunto D

e) ∪C D

f) ∪A B

g) A B∩

h) ( ) 2;A B ∪ ∩ +∞

i) ∩C D

j) ( ) 2; ∪ ∩ +∞ C D

2. Considere a inequação 2( 1) 3( 2)

1 2

3 5

x x+ −

+ ≤ −

a) Verifique se 3

2

é solução da inequação.

b) Qual é o conjunto-solução da inequação?

c) Que conjunto solução se irá obter se fizer a conjunção dessa

inequação com a inequação 2 1 2

2 1

4 2

x x− −

+ > − ?

+<+∈=

+≥−−

∈=

25

21

3:

212

1:

xxIRxB

xx

IRxA


3. Resolva cada uma das seguintes condições apresentando, sempre que

possível, o resultado sob a forma de intervalo de números reais.

a) 12 2

( 2) 1 ( 1)

2

x x− + > − −

b) 2( 1) ( 2)

16

2 3

x x x x x− +

− ≤ −

c) 1 1

1 1 13

2 3

x xx

−− ≤ − ∧ − ≤

d) 1 2 1

2 1 3 1

x x

x x

− > −

+ < −

e) 5 3

1

2 4

x

x x

−

− > −

f)

1

20 5

3

x +

≤ ≤

4. Considere que 1

( ) 2 1

3

x

f x

−

= − +

a) Resolva as equações:

a1 ( ) 0f x = b1 ( ) 1f x =

b) Resolva a inequação ( ) 5f x ≥ −

c) Quais os dois maiores números inteiros que verificam a condição

( ) 5f x ≥ − ?

d) Determine os valores de x para os quais ( )f x não é positiva.

5. Considere a inequação 1 3

1

2 5

x x

x

− +

+ < +

a) Verifique, sem resolver a inequação, que 2 pertence ao conjunto-

solução, justificando a sua resposta.

b) Qual o menor número pertencente a Z−

que satisfaz a inequação

dada?


c) Resolva a conjunção da inequação dada com a seguinte:

2( 2) 3( 1)

1 0

3 2

x x+ −

− + ≤

d) Apresente o conjunto-solução da disjunção das duas inequações.

6. Resolva os seguintes problemas:

a) A diferença do dobro de um número pela sua terça parte é maior que

o quíntuplo da soma desse número com dois

i. Traduza para linguagem matemática o enunciado do

problema.

ii. Determine o maior número inteiro que satisfaz a

condição enunciada.

b) Determine o conjunto dos números inteiros que verificam

simultaneamente as condições seguintes:

- A diferença entre cada um deles é quatro e negativa.

- A soma de quádruplo de cada um deles com dois não é

negativa.

c) A família da Sofia foi de férias no Verão passado à ilha de São

Miguel, nos Açores, e aí decidiram alugar um carro para visitar a ilha.

Tiveram a possibilidade de escolha a agência de aluguer de

automóveis “Popó” e a “Calhambeque”. A primeira praticava o preço

de 9 euros fixo mais 15 cêntimos ao km e a segunda 14 euros fixo

mais 12 cêntimos ao km. O pai da Sofia optou pela agência

“Calhambeque”, tendo percorrido 850 km. Terá sido a escolha mais

económica? Justifica a tua resposta.


Soluções:

] ] ] ] [ [ [ [

] ]

] [

( ) .económicos termos em acertada foi escolha a sim );3,2,1,0);4);253

2)6

;;3);;5

23.);2)inequação; da solução é 2)5;;

2

5.)

;10 9);10;.);1.);2

5.)4;

2

29;

2

1.);

5

6;.);10;

3

2.)

;3

4;.);;

7

6.);

4

9;.)3;

19

23;

4

1);

19

23;); inequação da solução é não

2

3)2

:2:2))(;7;);5

9;);

5

9;);7;)1

21

21

cbaxx

xa

dSCcbaSCd

ecSCbSCaSCaSCfSCeSCd

SCcSCbSCaxcxba

BBAeABAdBBAcBbAa

−+>−

+∞−

+∞=−

+∞=

∞−==

=

−=

−∞−=

=

∞−=

+∞=

∞−=

∈

∞−∈

∅=+∞∩=+∞∩∪−∞−==∩

∞−==∪

∞−=−∞−=


3.7 Equações do 2º grau

Objectivos:

Traduzir o enunciado de um problema da linguagem corrente para

a linguagem matemática.

Decompor um binómio ou trinómio em factores, com vista à

resolução de equações

Resolver equações do 2º grau, procurando utilizar o processo

mais adequado a cada situação ( lei do anulamento do produto,

fórmula resolvente, noção de raiz quadrada).

Interpretar e analisar as soluções ou a impossibilidade de uma

equação no contexto de um problema.

Discutir, apresentando argumentos, o processo usado na

resolução de um problema.


Equações do 2º grau

Toda a equação que seja equivalente a uma equação do tipo 2

0ax bx c+ + = em

que a, b e c são números reais e 0a ≠ , é uma equação do 2º grau.

Quando uma equação do 2º grau está escrita na forma 2

0ax bx c+ + = , em que a,

b e c são números reais e 0a ≠ dizemos que a equação está escrita na forma

canónica.

a – coeficiente do termo 2

x

b – coeficiente do termo em x

c – termo independente

3.7.1 Classificação das equações do 2º grau

As equações do 2º grau podem classificar-se em:

Completas quando 0b ≠ e 0c ≠

Incompletas quando 0b = 2

0ax c+ =

0c = 2

0ax bx+ =

0b = e 0c = 2

0ax =

Factorização de um polinómio

Factorizar é transformar num produto uma adição algébrica.

Colocação em evidência do factor comum

( )ax bx x a b+ = +

adição produto

x é o factor comum


Exemplos:

23 2 (3 2)x x x x+ = +

(2 3)( 3) (2 3) (2 3)( 3 1) (2 3)( 2)x x x x x x x+ + − + = + + − = + +

Lei do anulamento do produto

O produto de dois ou mais factores é zero quando pelo menos um deles é zero.

0 0 0a b a b× = ⇔ = ∨ =

Exemplos:

a) (2 3)( 2) 0 2 3 0 2 0x x x x+ + = ⇔ + = ∨ + =

b) ( 3) 0 0 3 0a a a a− = ⇔ = ∨ − =

3.7.2 Resolução de equações do tipo 2 0, 0ax b a+ = ≠

2 2

se 0 a equação é impossível

se 0 a equação tem duas raízes distintas

se 0 a equação tem uma única solução 0

b

a

b b bax b x x

a a a

bx

a

<

= ⇔ = > = ±

= =

Exemplos:

a)

2 2 2 5 52 5 0 2 5

2 2

5 5. . ;

2 2

x x x x

C S

− = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±

= −

b)

2 22 5 0 2 5 equação impossível

. .

x x

C S

+ = ⇔ = −

=`


c)

2 2 202 0 0 0

2

. . 0

x x x x

C S

= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

=

3.7.3 Resolução de equações do tipo 2 0, 0ax bx a+ = ≠

20 ( ) 0

0 0

0

. . 0;

ax bx x ax b

x ax b

bx x

a

bC S

a

+ = ⇔ + =

⇔ = ∨ + =

⇔ = ∨ = −

= −

Exemplo:

22 4 0 (2 4) 0

0 2 4 0

40 2

2

. . 0;2

x x x x

x x

x x

C S

− = ⇔ − =

⇔ = ∨ − =

⇔ = ∨ = =

=

3.7.3 Equações do 2º grau completas 2 0ax bx c+ + =

1º Caso - Se for possível transformar o 1º membro no quadrado de um binómio

( )2

0 0

. .

cx d cx d

dx

c

dC S

c

+ = ⇔ + =

⇔ = −

= −

Exemplo:

2 24 4 0 ( 2) 0

2 0 2

. . 2

x x x

x x

C S

− + = ⇔ − =

⇔ − = ⇔ =

=

O primeiro membro de uma equação do 2º grau completa escrita na forma

canónica nem sempre é o desenvolvimento do quadrado de um binómio.


2º Caso – Usando a fórmula resolvente

Fórmula resolvente das equações do 2º grau:

2 4

2

b b acx

a

− ± −=

Onde a, b e c são os coeficientes dos termos da equação, com a ≠ 0

Exemplo:

2

2

3 70 0

3 3 4 1 ( 70)

2 1

3 9 280

2

3 289

2

3 17

2

14 207 10

2 2

. . 10;7

x x

x

x

x

x

x x x x

C S

+ − = ⇔

− ± − × × −⇔ =

×

− ± +⇔ =

− ±⇔ =

− ±⇔ =

⇔ = ∨ = − ⇔ = ∨ = −

= −



1. Resolva as seguintes equações, através do método que considere mais

adequado:

a) 2

4( 2)2

xx= − +

b) ( )2

4 25x + =

c) ( )2

3 7x + =

d) 2 18 19 0x x+ − =

e) 2 10 22 0x x− + =

f) 2 3 70 0x x+ − =

g) ( )25 1x x= − +

2. Um terreno rectangular tem 666 2m . Calcule as dimensões do terreno

sabendo que o comprimento excede em 19 m a largura.

3. O triplo da idade do Ricardo é igual ao quadrado da sua metade. Qual é

a idade do Ricardo?

Soluções:

12)3;18arg,37)2

;73;73.);1,9.);4.)1

==

+−−−=−=−=

uralocompriment

SCcSCbSCa

A = 666 2m

x

x - 19


3.8 Inequações do 2º grau

3.8.1 Gráfico da função de segundo grau

O gráfico da função definida de IR em IR por f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) é uma

curva chamada parábola, que terá concavidade voltada para cima se a > 0 ou

para baixo se a < 0.

O gráfico de qualquer função f(x) corta o eixo Ox nos seus zeros (ou raízes).

No caso da parábola, isso ocorre dependendo do valor do discriminante ∆ .

• Se ∆ > 0, a parábola intersecta o eixo Ox em dois pontos (a função tem

duas raízes distintas).

• Se ∆ = 0, a parábola intersecta o eixo Ox num único ponto (a função

tem uma raiz dupla).

• Se ∆ < 0, a parábola não intersecta o eixo Ox (a função não tem raízes

reais).

A parábola possui um eixo de simetria que passa pelo vértice V.

O vértice V pode ser um ponto de máximo (a < 0) ou um ponto de mínimo (a >

0) da função.

O vértice da parábola é dado por V ,2 4

b

a a

∆ − −

.

Para resolvermos uma inequação do 2º grau, utilizamos o estudo do sinal.

As inequações são representadas pelas desigualdades: > , > , < , < .

Exemplo:

2 3 2 0x x− + >

2 3 2 0 1 2x x x x− + = ⇔ = ∨ =


Como desejamos os valores para os quais a função é maior que zero

devemos fazer um esboço do gráfico e ver quais os valores de x para os quais

isso ocorre.

Vemos, que as regiões que tornam positivas a função são: x<1 e x>2

C.S. = x∈ IR: x<1 ou x>2 ] [ ] [;1 2;= −∞ ∪ +∞

Exemplo:

28 2 8 0x x− < − − <

1º Passo) Separar as inequações, obedecendo o intervalo dado.

Temos:

I) 2 2 8 8x x− − > − e

II) 2 2 1 0x x− + <

2º Passo) Determinar as raízes ou zeros de cada uma das funções obtidas

pela separação 2 2 1 0x x− + < .

I) 2 2 0 0 2x x x x− = ⇔ = ∨ =

II) 2 2 1 0 1x x x− + = ⇔ = (raíz dupla)


3º Passo) Fazer o estudo do sinal para cada função.

I) 0 2x x< ∨ >

II) 1x ≠

4º Passo) Calcular a solução S, que é dada pela intersecção dos intervalos de

S1 e S2.

Observação: o quadro de resposta será preenchido pelo intervalo achado.

] [ ] [. . ;0 2;C S = −∞ ∪ +∞

3.8.2 Inequação produto e inequação quociente

São as desigualdades da forma:

f(x) . g(x) > 0, f(x) . g(x) < 0, f(x) .g(x) > 0 e f(x) .g(x) < 0.

f(x) / g(x) > 0, f(x) / g(x) < 0, f(x) / g(x) > 0 e f(x) / g(x) < 0, respectivamente.

Exemplo:

a) ( )( )2 29 10 4 4 0x x x x− − − + ≤

1º Passo) Trabalhar f(x) e g(x) separadamente

2 0 1


2 9 10 0x x− − = (I)

2 4 4 0x x− + = (II)

2º Passo) Determinar as raízes das funções

(I) 1 21; 10x x= − = (II) 1 2 2x x= =

3º Passo) Fazer o estudo do sinal para cada função.

I) 1 10x x< − ∨ > II) 2x ≠

4º passo) Calcular a solução, que é dado pelo sinal de desigualdade da

função de origem, isto é:

> intervalo positivo e bolinha fechada

> intervalo positivo e bolinha aberta

< intervalo negativo e bolinha fechada

< intervalo negativo e bolinha aberta

Observação1: no quadro de respostas (ou soluções), se os intervalos forem

em: f(x) positivo e g(x) positivo o h(x) = f(x). g(x) será +, assim temos: + e + =

+ ; + e - = - ; - e + = - ; - e - = +


Observação2: Na inequação quociente nos zeros do denominador aparece

S.S o que irá influenciar o C.S.; Nos zeros do denominador que aparecem no

C.S. o intervalo será sempre aberto.

x -∞ -1 2 10 +∞ 2 9 10x x− − + 0 - - - 0 + 2 4 4x x− + + + + 0 + + +

Produto + 0 - 0 - 0 +

Assim, as únicas regiões positivas (maiores que zero) são em 1x < − e 10x > .

Logo: ] [ ] [. . ; 1 10,C S = −∞ − ∪ +∞


Exercícios Propostos

1. Complete com >,< ou =

a)

b)

c)

d)

e)

f)

2. Determine ,em IR, o conjunto solução das condições:

a) ( )( )2 21 3 0x x x+ − ≤

b) 2

2

10

3

x

x x

+≤

−

c) ( )( )23 1 0x x− − >

d) 2

30

1

x

x

−>

−


e) 2

12

x≥

f) 2 8 16

02 1

x x

x

− +≤

−

g) 2 1x

xx

−> −

h) 1 1

3 1x x≤

+

i) 3

03 1

x x

x

−≤

+

Soluções:

1. a) 0; 0a > ∆ > ;b) 0; 0a > ∆ < ;c) 0; 0a < ∆ > ;d) 0; 0a > ∆ =

e) 0; 0a < ∆ = ; f) 0; 0a < ∆ <

2. a) ]0,3 ; b) ] [0,3 ; c) ] [ ] [; 1 1;3−∞ − ∪ ;d) ] [ ] [; 1 1;3−∞ − ∪ ;

e) 2 2

; ;2 2

−∞ − ∪ +∞

;f) 1

; 42

−∞ ∪

;g) 2 2

;0 ;2 2

− ∪ +∞

h) 1 1

;0 ;3 2

− ∪ +∞

; e) [ ]1

1; 0;13

− − ∪


Capítulo 4

NOÇÕES BÁSICAS DE GEOMETRIA


Noções básicas de geometria:

Composição e decomposição de figuras geométricas planas.

Cálculo de perímetros, de áreas e de volumes

Semelhança de triângulos

Objectivos:

Decompor um polígono em triângulos e quadriláteros;

Por composição de figuras, obter uma figura dada;

Resolver problemas, relacionando entre si propriedades das

figuras geométricas;

Resolver problemas, no plano e no espaço, aplicando o Teorema

de Pitágoras;

Usar critérios de semelhança de triângulos e as relações entre os

elementos homólogos na justificação de raciocínios;

Relacionar os perímetros e as áreas em triângulos semelhantes;

Usar a semelhança de triângulos na análise de figuras;


Determinar áreas e volumes de sólidos e de objectos da vida real.

Pré-requisitos:

Semelhança de figuras (ampliação e redução de figuras,

polígonos semelhantes);

Áreas e volumes de sólidos.

4. Noções Básicas de Geometria

O estudo da Geometria contribui para uma maior compreensão do mundo que

nos rodeia e que é essencialmente geométrico. Historicamente falando, a

Geometria é uma técnica inventada pelos Babilónios e pelos Egípcios e

transformada numa ciência pelos Gregos.

4.1 Decomposição de figuras e áreas

Decompondo e compondo um figura geométrica

Analise o que se passa em cada conjunto de figuras.

Decompondo

Compondo

Compondo


( )100100

100010

1010

1001

222

22

22

22

××

→→

=

=

=

,

,

dmmdam

dmdam

dmm

mmcm

Para calcularmos a área de um polígono qualquer podemos decompô-lo em

triângulos e quadriláteros .

4.1.1 Unidades de área

Exemplos:

Exemplos:

4.1.2 Áreas.

2km 2hm 2dam2m 2dm 2cm 2mm

X 100 X 100 X 100 X 100X 100 X 100

: 100: 100: 100: 100: 100: 100

Para passarmos de uma unidade para a

unidade imediatamente inferior,

multiplica-se por 100

( )100100

101000

001010

0101

222

22

22

22

::

,

,,

,

mmcmdm

dmmm

dmcm

kmhm

←←

=

=

= Para passarmos de uma unidade para a

unidade imediatamente superior,divide-se

por 100

Q u a d ra d o

R e c tâ n g u lo

Triâ n g u lo

Pa ra le lo g ra m o

b

h

b

c

L

L

L

l

h

2LA =

LcA ×=

2

hbA

×=

hbA ×=



A figura mostra a área de um terreno. Determine a sua área.

Resolução: As linhas a tracejado foram desenhadas para ajudar a

resolver o problema.

4.2 Teorema de Pitágoras

5

5

5

8

6

4

7

A =25 2m

( )2

2

104

768

m

mA

=

+×=

2

2

28

74

m

mA

=

×=

+ + = 2157mAtotal =


Conta a lenda que Pitágoras, filósofo e matemático grego, ao olhar para o

chão verificou que:

Desta relação entre as áreas dos quadrados construídos sobre os lados de

um triângulo rectângulo surgiu o Teorema de Pitágoras.


1. Determine o x da figura:

A=9

A=16

A=25A área de um quadrado construído sobre a

hipotenusa de um triângulo rectângulo é

igual à soma das áreas dos quadrados

construídos sobre os catetos.

35

4

222435 +=

Teorema de Pitágoras

Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é

igual à soma dos quadrados dos catetos

xcm

5cm

12cm


Resolução:

Logo, cmx 13=

Determinação da altura de um poste.

Resolução: Imaginemos que o poste é um segmento de recta

perpendicular ao plano do chão e que a escada é outro segmento de

recta. Aplicamos assim o teorema de pitágoras no espaço.

Considerando x a altura do poste, vem:

Logo, a altura do poste é aproximadamente 14,7 m.

2. Determinação da diagonal de um cubo

2 2 2

2

2

12 5

144 25

169

169

13

x

x

x

x

x

= +

= +

=

=

=

( )dcx

x

x

x

x

x

., 1714

216

216

9225

9225

315

2

2

2

222

=

=

=

=−

+=

+=


Resolução: Comecemos por calcular a diagonal de uma das faces.

Desenhemos o triângulo em que a hipotenusa é a diagonal do cubo.

Logo, o comprimento da diagonal é 75 .

3. A figura representa um trapézio rectângulo [ ]ABCD em que:

Resolução:

Vamos calcular a área do trapézio. Comecemos por calcular DC .

5

5

x

5

50

d

50

50

2525

55

2

2

222

=

=

+=

+=

x

x

x

x

( )

75

75

2550

550

2

2

22

2

=

=

+=

+=

d

d

d

d

A B

CD

2,5cm2cm


Cálculo de DC Cálculo de AB

22 2

22 2

2 2

3,5 2

3,5 2

8,25

DC

DC

DC DC

DC

= +

= −

=

=

Área do trapézio =

4.3 Semelhança de triângulos

4.3.1 Contexto Histórico: Tales de Mileto, matemático e filósofo grego, VI

a.c, certa vez, apresentou-se ao Rei Amasis, do Egipto oferecendo-se para

calcular a altura da pirâmide de Quéops, sem escalar o monumento. Nas

proximidades da pirâmide, fincou uma estaca de madeira no solo.

Concluiu que, no momento em que o comprimento da sombra da

pirâmide fosse igual ao comprimento da estaca, a altura da pirâmide

seria igual ao comprimento da sombra da pirâmide mais metade da

medida da base.

22 2

2

2,5 3,5

18,5

18,5

AB

AB

AB

= +

=

=

.2 8,25 18,52 2

B b DC ABh DC AB

+ +× = = + = +

O raciocínio de Tales nas pirâmides

estaca

A pirâmide de Quéops, situada a dez milhas a Oeste do Cairo,

na planície de Gizé, no Egito, a 39 metrosdo vale do rio Nilo, foi construída a cerca

de 2500 a.C.Considerada uma das sete maravilhas domundo antigo, ela tem 146 m de altura.Sua base é um quadrado, cujos lados

medem cerca de 230m.

RACIOCÍNIO MATEMÁTICO DE TALES

NA PIRÂMIDE


Alturada pirâmide

(H)Altura

daestaca(2 m)

115 mbase

250 msombra

5 msombra

H = 115 + 250 → 5 H = 365 x 2 → 5 H = 730 → H = 730 → H = 1462 5 5

Altura da Pirâmide : 146 metros

•CONCEITO MATEMÁTICO

“Se dois triângulos têm os ângulos respectivamente congruentes, então seus lados são respectivamente proporcionais”

Essa propriedade tem inúmeras aplicações práticas:

Um topógrafo, para calcular a largura de um rio, sem atravessá-lo, faz uso do teodolito - aparelho para medir ângulos, estabelecendo uma distância

de sua posição à margem do rio.

Com essas informações, desenha-se um triângulo semelhante às medidas traçadas ao rio.

A

C B ST

^ ^ ^ ^ ^ ^ AB = AC = BC e C ≡≡≡≡ T B ≡≡≡≡ S A ≡≡≡≡ R RS RT ST

R


4.3.2 Casos de semelhança de triângulos

Vamos ver os casos de semelhança de triângulos recordando os casos

de igualdade de triângulos

Existe um grande paralelismo entre os casos de igualdade de triângulos

e os casos de semelhança de triângulos.

Casos de igualdade de triângulos

Casos de semelhança de Triângulos

LLL LAL ALA

Dois triângulos são iguais se os três lados de um são iguais aos três lados de outro.

Dois triângulos são iguais se tiverem dois lados e o ângulo por eles formado iguais.

Dois triângulos são iguais se têm um lado igual e os dois ângulos adjacentes a esse lado iguais.

c ba

a b

c

a′ b′

c ′

Dois triângulos são semelhantes se os três lados de um sãoproporcionais aos três lados do outro

a′

b′A′

B′

C ′

A

B

C

a

b

A ′ B′

C ′

A B

C

ba

Dois triângulos são semelhantes se têm dois lados proporcionais e o ângulo por eles formado igual.

Dois triângulos são semelhantes se têm dois ângulos iguais.



1. Observe os triângulos. Os números representam as medidas, em

centímetros, dos segmentos a que estão associados.

1.1 Mostre que os triângulos são semelhantes e indique uma razão de

semelhança que permita construir um a partir do outro.

1.2 Escreva as relações entre os ângulos dos dois triângulos.

Resolução:

1.1 Para verificarmos se os triângulos são semelhantes teremos de

ver se os lados de um são proporcionais aos lados do outro.

→==356

→==54

3

57

5

9

6

,,

Como 3

2

3

2

3

2== os triângulos [LUA] e [RIO] são semelhantes.

6

53

L

U

A R

I

O

7,54,5

9

Comprimentos dos três lados do triângulo [LUA]

por ordem decrescente

Comprimento dos três lados do triângulo [RIO] por ordem

decrescente


A razão de semelhança é 3

2=r .

1.2 Em triângulos semelhantes, a lados correspondentes opôem-se

ângulos iguais. Logo, = = = ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, e R L U I A O .

4.3.2 Relações entre perímetros e entre áreas de triângulos

semelhantes.

Vamos considerar três triângulos semelhantes.

Uma vez que são semelhantes, podemos concluir que:

[ ] cmXZ 4= e [ ] cmQR 6=

E de acordo com o quadro e comparando a 1ª com a 3ª colunas, podemos

concluir que:

Razão de

semelhança

Cálculo das

áreas

Razão das

áreas

[ ][ ]XYZ

ABC

∆

∆

2

5

25

4 4

25

[ ][ ]PQR

ABC

∆

∆

3

5

25

9 9

25

A

B

C10

x

y

z2

Q

R

3

5


[ ][ ]PQR

XYZ

∆

∆

3

2

4

9 9

4

De modo análogo,


Os perímetros de dois triângulos semelhantes são, respectivamente, 16 cm

e 48 cm. Calcule a área do segundo triângulo sabendo que a área do

primeiro é 20 cm2.

Resolução:

Comecemos por determinar a razão de semelhança:

316

48

1

2 ===P

Pr

A razão entre as áreas é igual ao quadrado da razão de

semelhança:

920920

9 22

1

2 ×=== AA

A

A;;

Logo, a área do segundo triângulo é 180cm2.

A razão das áreas é igual ao quadrado da razão de

semelhança 2rA

A

x

y =

A razão dos perímetros é igual à razão de semelhança

rP

P

x

y =


base

face lateral

apotl

A

apotlA

××

=

××=

2

4

24

Paralelipípedo

ab

c

a=b=c

( )

cbaV

AAA

abA

bcacA

AbAlAt

lbt

b

l

××=

+=

=

+=

+=

2

2

Cubo

3

26

aV

aAt

=

=

4.4 Áreas e Volumes

4.4.1 Áreas de figuras planas

Já vimos no item 4.1.2 algumas áreas de figuras planas.

Área do Círculo = 2rπ

4.4.2 Áreas e Volumes de Sólidos

No cálculo da área dos sólidos temos de distinguir:

Área Lateral - Al ; Área da base – Ab ; Área Total - At

Se quisermos calcular a área lateral de uma pirâmide regular,

calculamos a área de uma face lateral e multiplicamos pelo

número de faces laterais.

No cálculo das áreas e volumes dos sólidos, iremos usar as

seguintes fórmulas:

AbAlAt

apotPb

Al

+=

×=2


hAV

AAA

hPA

b

lbt

bl

×=

+=

×=

2

hAV

AAA

apotPb

A

AnA

b

blt

l

fl

×=

+=

×=

×=

3

1

2

hAV

AAA

hPA

b

lbt

bl

×=

+=

×=

2

hAV

AAA

gP

A

b

lbt

bl

×=

+=

×=

3

1

2

Prisma recto

Pirâmide Regular

Cilindro de Revolução

Cone de Revolução

bP

alturah

Perímetro da base

n

fA

apot

Número de faces

Área da face

Apótema da pirâmide


19cm

20cm

46cm


1. Determine a área da figura ao lado, considerando como unidade de área:

1.1 A área do

1.2 A área do

2. Calcule a área das seguintes figuras. (As medidas indicadas são em

centímetros.)

2.1

2.2

2.3

3. Calcule a área, em m2, do seguinte trapézio.


4. Todos os rectângulos da figura têm 7 cm por 4 cm.

4.1 Qual a área de qualquer dos rectângulos?

4.2 Qual a área de cada um dos triângulos sombreados?

5. Se a área de for 0,5 cm2, qual a área de cada uma das figuras?

6. Sabendo que o lado do quadrado mede 12 cm, determine a área da zona

sombreada de cada figura.


7. Utiliza o teorema de Pitágoras para determinar a medida indicada:

8. Classifica, quanto aos ângulos, cada um dos triângulos em que as medidas

dos lados são:

8.1 3,4 e 5 cm

8.2 3,4 e 6 cm

8.3 3,4 e 3 cm

9. Qual o comprimento da diagonal de um quadrado com 18 cm de lado?

10. A diagonal de um quadrado mede 30 cm. Qual é a área do quadrado? E o

perímetro?

11. Dois navios navegam, um para norte e outro para oeste, respectivamente

com as velocidades de 30 km/h e 40 km/h. Sabe-se que largaram à mesma

hora e que se encontraram ao fim de 15 horas. A que distância se

encontram os dois portos de onde largaram os dois barcos?


12. Pretende-se ligar por um tubo condutor de água os pontos U e A de um

terreno [UVAS] de forma quadrada e que tem 324 m2 de área. Qual será a

despesa, se cada metro de tubo custa 2,50€.

13. O volume do cubo da figura é 27 m3.

Determine:

13.1 O comprimento da diagonal [PQ].

13.2 O comprimento da diagonal [PR].

14. Sabendo que são semelhantes os pares de triângulos e que os números

representam as medidas, em cm, dos lados a que estão associados,

determine x. ( Utiliza-se o mesmo símbolo para indicar que os angulos são

iguais.)

14.1

14.2

15. Observe a figura e, de acordo com os dados, determine x.


16. Considere o seguinte paralelipípedo com as medidas apresentadas na

figura. Determine:

16.1 A área total do paralelipípedo.

16.2 O volume do paralelipípedo.

17. Uma esfera está inscrita num cubo de aresta 20 cm. Determine:

17.1 A área da superfície esférica.

17.2 O volume da esfera.

17.3 O volume do cubo.

17.4 O volume do cubo não ocupado pela esfera.

18. A figura representa uma pirâmide quadrangular. A aresta da base mede 10

cm, a altura da pirâmide é de 20 cm e E é o ponto médio da aresta da base

[DA]. Determine:

18.1 A área total da pirâmide.


18.2 VÊO

Soluções:

4263 18.2 ;5cm200100 18.1

;cm3

4000-8000 17.4 ;000cm 8 17.3 ; cm

34000

17.2 ;cm400 17.1

;125cm V16.2 ; 175cm16.1A ; 4,5 15 6,6; 14.2 ; 14.17 5,20cm;27PR 13.2

4,24cm;18PQ 13.1 63,75€; 12 750km; 11 84,9cm;P 450cm A10

;525 9 ;acutângulo 8.3 ; oobtusângul 8.2 ;rectângulo 8.1 10; d)52; c) ; b)17 ; a)13 7

;31d);31c);31b);316a) ;6 e) ;4,5 d) ;6c) ;4 b);3 a) 5

;14 4.2 ;28 4.1 ;0650 3 ;88 2.3 ; 270 2.2 ; 12 2.1 ;.48 2.1 ;.8 1.1

o

3332

32t

2

222222222

222222

′+

====

≅===

πππ

cm,

cmcmcmcmcmcmcmcmcm

cmcmm,cmcmcmauau


Capítulo 5

NOÇÕES BÁSICAS DE TRIGONOMETRIA


Objectivos

Determinar razões trigonométricas de um dado ângulo agudo (por construção,

utilizando tabelas, usando calculadora).

Determinar um ângulo agudo conhecida uma das suas razões trigonométricas

(por construção, utilizando tabelas, usando calculadora).

Determinar uma razão trigonométrica de um ângulo agudo, conhecida outra.

Procurar estratégias adequadas para determinar distâncias a locais

inacessíveis, alturas de edifícios, etc.

Competências

o A compreensão do conceito de forma de uma figura geométrica e o

reconhecimento das relações entre elementos de figuras semelhantes.

o A aptidão para resolver problemas geométricos através de construção,

nomeadamente envolvendo igualdade e semelhança de triângulos, assim

como para justificar os processo utilizados.

o A tendência para procurar invariantes em figuras geométricas e para utilizar

modelos geométricos na resolução de problemas reais.

o A aptidão para visualizar e descrever propriedades e relações geométricas,

através da análise e comparação de figuras, para fazer conjecturas e justificar

os seus raciocínios.


5.1 Razões Trigonométricas de um ângulo agudo

As razões trigonométricas mais conhecidas são o seno, o coseno e a tangente. Assim, em qualquer triângulo rectângulo com ângulo θ , como o do exemplo, as raízes trigonométricas são:

____

___

cateto oposto

hipotenusa

BCsen

AB

θ = =

____

___

cateto adjacente

hipotenusa

ACcos

AB

θ = =

____

___

cateto oposto

cateto adjacente

BCtg

AC

θ = =

5.2 Fórmula fundamental da trigonometria

No triângulo da figura, e de acordo com o teorema

de Pitágoras,

2 2 2b c a+ =

Dividindo ambos o membros por 2a , vem

2 22 2 2

2 2 21

b c a b c

a aa a a

+ = ⇔ + =

.

Mas, csen

aα = e cos

b

aα = .

Então ( ) ( )2 2

cos 1senα α+ =

Ou 2 2cos 1sen α α+ = Fórmula Fundamental da Trigonometria

b

c a

A

B

C α

β

Cateto adjacente

Cateto oposto hipotenusa

A

B

C θ


5.3 Fórmulas secundárias:

Partindo da fórmula fundamental:

2 2cos 1sen α α+ =

Dividindo ambos os membros por 2sen α e 2

cos α ,obtemos respectivamente as seguintes equações :

2

2 2 2

1 1 11 1

costg

tg senα

α α α+ = + =

3.4 Valores especiais

Considere-se o seguinte triângulo escaleno.

Observando a figura vem:

1 330º 60º

2 2

3 130º 60º

2 2

1 330º 60º 3

33

sen sen

cos cos

tg tg

= =

= =

= = =

60º

30º

3 3

1 2


• Considere-se o seguinte triângulo isósceles, tendo os catetos uma unidade de comprimento:

245º cos 45º

2

45º 1

sen

tg

= =

=

Em resumo, tem-se:

θ 30º 45º 60º sen θ 1

2 2

2 3

2

cos θ 3

2 2

2

1

2

tg θ 3

3

1 3

Exemplo:

Seja 3

5senα = . Então,

2 2 2 2

2

2

2

cos 1 cos 1

3 9cos 1 1

5 25

16 16cos cos

25 25

3cos

5

sen senα α α α

α

α α

α

+ = ⇔ = − ⇔

⇔ = − = − ⇔

⇔ = ⇒ = ± ⇒

=

45º

1

2 1



1. Uma cegonha tem o seu ninho num poste de alta tensão, com 20 metros de altura, no qual foi colocada uma placa especial de modo a que a cegonha não corra qualquer perigo. Do seu ninho, a cegonha vê um alimento no chão e voa em direcção a ele numa inclinação de 35º.

Qual foi a extensão do voo da cegonha?

2. O Tiago mede 1,80 m. Qual é o ângulo de elevação da lua, quando numa noite de lua cheia, a uma certa hora, a sombra do Tiago mede 3 metros?

3. Utilizou-se um teodolito como auxiliar para medir a altura do Padrão dos Descobrimentos, em Belém. Tenha em atenção a figura e considere que α = 2º , β

= 39º e ___

PT = 60m. Qual é a altura do Padrão dos Descobrimentos?


4. O Rui quer mudar uma lâmpada. Usou um escadote como se representa na figura ao lado. Tendo em atenção as medições que ele efectuou, as quais são indicadas na figura, determine a que altura se encontra a lâmpada do topo do escadote.

5. O Rui quer colocar a bengala do avô numa caixa com a forma de um paralelepípedo, como se mostra na figura e com as dimensões assinaladas. Será que a bengala do avô do Rui cabe na caixa?

6. Calcule sen β sendo:

a) 1cos =

5β

b) = 2,5tg β

7. Mostre que :

a) 2cos

1 1

xsen x

sen x− =

+

b) ( ) ( )2 2

cos cos 2sen senα α α α+ + − =

c) 21

coscos

sen xx

x

−=

d) 2 2 2cos 2cos 1senβ β β− = −


Soluções:

2 5º1. 24m; 2. 59 ; 3.51m; 4 70cm ou 0,7 m ; 5 A bengala do Rui cabe na caixa ; 6a)sen ; b)sen 0, 93

5α β β= = =


Capítulo 6

NOÇÕES BÁSICAS DE ESTATÍSTICA E

PROBABILIDADES


Objectivos

Indicar situações da vida quotidiana ou das ciências onde a estatística

presta relevantes serviços;

Identificar, num estudo estatístico, a população, a amostra, a unidade

estatística e o tipo de variável;

Identificar variável discreta e contínua;

Construir tabelas de frequências absolutas, relativas, e acumuladas, a

partir de dados;

Construir e interpretar gráficos de barras, poligonais, circulares e

histogramas;

Usar o símbolo Σ nos cálculos;

Calcular a média, a moda e a mediana de um conjunto de dados;


6.1 Noções Básicas de Estatística

É objectivo da Estatística extrair informação dos dados para obter uma melhor compreensão das situações que representam.

No estudo de um problema envolvendo métodos estatísticos, estes devem ser utilizados mesmo antes de se recolher a amostra, isto é, deve-se planear a experiência que nos vai permitir recolher os dados, de modo a que, posteriormente, se possa extrair o máximo de informação relevante para o problema em estudo, ou seja para a população de onde os dados provêm.

Uma noção fundamental em Estatística é a de conjunto ou agregado, conceito para o qual se usam, indiferentemente, os termos População ou universo.

População

Exemplo

Colecção de unidades individuais, que podem ser

pessoas ou resultados experimentais, com uma ou mais

características comuns, que se pretendem estudar.

Por vezes, identifica-se População com a característica populacional que se pretende

estudar. Por exemplo a população das alturas dos alunos curso de preparação para a

prova de Matemática do Concurso Maiores de 23 anos; a população das notas obtidas

no exame;

Nem sempre é possível estudar exaustivamente todos os elementos da população

porque, por exemplo:

- a população pode ser infinita.


Exemplo: a população constituída pelas pressões atmosféricas, nos

diferentes pontos de uma cidade;

- o estudo da população pode levar à destruição da população.

Exemplo: a população dos fósforos de uma caixa;

- o estudo da população pode ser muito dispendioso.

Exemplo: sondagens exaustivas de todos os eleitores, sobre

determinado candidato;

Quando não é possível estudar, exaustivamente, todos os elementos da população,

estudam-se só alguns elementos, a que damos o nome de Amostra.

Amostra – conjunto de dados ou observações, recolhidos a partir de um subconjunto

da população, que se estuda com o objectivo de tirar conclusões para a população de

onde foi recolhida.

Exemplo:

Relativamente à população das alturas dos alunos matriculados no ISEP,

consideremos a seguinte amostra, constituída pelas alturas (em cm) de 20 alunos

escolhidos ao acaso

175, 163, 167, 162, 176, 169, 180, 177, 168, 167, 171, 172, 170, 168, 176, 180, 168, 177, 161, 182

É muito importante a escolha da amostra pois esta deve ser tão representativa quanto

possível da população que se pretende estudar, uma vez que vai ser a partir do estudo

da amostra que vamos tirar conclusões para a população.

A análise estatística envolve duas fases fundamentais, com objectivos distintos:

- Estatística Descritiva onde se procura descrever a amostra, pondo em

evidência as características principais e as propriedades;


- Estatística Indutiva onde conhecidas certas propriedades (obtidas a partir de

uma análise descritiva da amostra), expressas por meio de proposições,

imaginam-se proposições mais gerais, que exprimam a existência de leis (na

população).

Esquematicamente, temos:

Exemplo:

O gerente de uma fábrica de detergentes pretende lançar um novo produto para lavar

a loiça pelo que, encarrega uma empresa especialista em estudos de mercado de

“estimar” a percentagem de potenciais compradores desse produto

População- conjunto de todos os agregados familiares do país.

Amostra- conjunto de alguns agregados familiares, inquiridos pela empresa.

Problema- pretende-se, a partir da percetagem de respostas afirmativas, de entre os

inquiridos sobre a compra do novo produto, obter uma estimativa do número de

compradores na população.

Podemos classificar os dados que constituem a Amostra, ou dados amostrais, em

dois grupos fundamentais:

- Dados qualitativos representam a informação que identifica alguma

qualidade, categoria ou característica, não susceptível de medida, mas de

classificação, assumindo várias modalidades;


Exemplo: O estado civil de um indivíduo é um dado qualitativo, assumindo as

categorias solteiro, casado, viúvo e divorciado.

Os são organizados na forma de uma tabela de frequências que apresenta o

número de elementos – frequência absoluta – de cada uma das categorias ou

classes numa tabela de frequências. Além das frequências absolutas também

se apresentam as frequências relativas, onde

frequência absolutafrequência relativa =

dimensão da amostra

Exemplo: Num inquérito realizado a 150 indivíduos, estes tiveram de assinalar

o sexo – M ou F, e o estado civil – Solteiro, casado, viúvo ou divorciado. Uma

forma de resumir informação contida nos dados, no que diz respeito ao estado

civil, é construir uma tabela de frequências em que se consideram para as

classes as diferentes modalidades que o estado civil pode tomar

Tabela de frequências

classes Frequência absoluta Frequência relativa

solteiro 78 0,52

casado 50 0,33

viúvo 5 0,03

divorciado 17 0,12

Total 150 1

- Dados quantitativos representam a informação resultante de características

susceptíveis de serem medidas, apresentando-se com diferentes intensidades,

que podem ser de natureza discreta (descontínua) – dados discretos, ou

contínua – dados contínuos.

Exemplo: Consideremos uma amostra constituída por 10 alunos de uma turma

em que se pretende saber o número de irmãos de cada um: 3, 4, 1, 1, 3, 1, 0,

2, 1, 2. Estes dados são de natureza discreta.

Se para os mesmos alunos considerarmos as alturas (cm): 153, 157, 161, 160,

158, 155, 162, 156, 152, 159 obteremos dados do tipo contínuo.


Dados discretos – Estes dados só podem tomar um número finito ou infinito

numerável de valores distintos, apresentando vários valores repetidos – é o

caso, por exemplo, do número de filhos de uma família ou o número de

acidentes, por dia, em determinado cruzamento.

Os dados são organizados na forma de uma tabela de frequências, análoga à

construída para o caso de dados qualitativos. No entanto, em vez das

categorias apresentam-se os valores distintos da amostra, os quais vão

constituir as classes.

Exemplo:

Apresentação de dados de variáveis discretas

Consideremos a amostra constituída pelo número de irmãos dos 20 alunos de

uma determinada turma:

1, 1, 2, 1, 0, 3, 4, 2, 3, 1, 0, 2, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 3, 2

A tabela de frequências é a seguinte:


Classes Frequências absolutas Frequências relativas

0 4 0,20

1 8 0,40

2 4 0,20

3 3 0,15

4 1 0,05

Total 20 1

Exemplo:

Apresentação de dados de variáveis contínuas

Fez-se um estudo sobre as alturas, em metros, dos jogadores de uma equipa e os

dados obtidos estão indicados em baixo.

1,60 1,70 1,62 1,80 1,83

1,82 1,71 1,68 1,68 1,65

1,62 1,64 1,80 1,81 1,78

1,76 1,69 1,64 1,63 1,67

1,68 1,83 1,70 1,71 1,6


Vamos construir uma tabela com os dados agrupados em 5 classes.


ix Frequências

absolutas

Frequências

relativas

[ [1,60;1,65 6 60,24

25=

[ [1,65;1,70 7 70,28

25=

[ [1,70;1,75 4 40,16

25=

[ [1,75;1,80 2 20,08

25=

[ [1,80;1,85 6 60,24

25=

n = 25 1

6.2 Medidas de localização

6.2.1 Média

Considere-se 1 2, ,..., nx x x , uma amostra de n observações

Definição: Chama-se média aritmética ou simplesmente média e representa-se por __

x

ao valor assim obtido:

Para os dados não classificados

__

1 2 1...

n

i

n i

xx x x

xn n

=+ + += =

∑

Para os dados classificados

__

1 1 2 2 1...

m

i i

n n i

f xf x f x f x

xn n

=+ + += =

∑


Onde:

m é o número de classes

if é a frequência absoluta da classe i, 1

1

m

i

n f=

=∑

ix é o valor correspondente da classe i

Se os dados são discretos ou contínuos e as classes são intervalos então, ix é o

ponto médio da classe i. Neste caso o valor da média é um valor aproximado e não um

valor exacto.

Exemplo

Média em dados simples

Perguntou-se a 10 alunos as suas classificações em Estatística e obtiveram-se os

seguintes resultados:

12 15 13 14 13 16 15 15 16 16

Para determinar a classificação média destes alunos aplicamos directamente a

definição de média

__ 12+15+13+14+13+16+15+15+16+1614,5

10x = =

Exemplo:

Média em dados classificados

Suponhamos que os dados do exemplo anterior eram apresentados através da

seguinte tabela


ix if

12 1

13 2

14 1

15 3

16 3

10if n= =∑

Para determinarmos a média aproveitamos a tabela anterior para reduzir o número de

parcelas da soma

ix if

i ix f

12 1 12

13 2 26

14 1 14

15 3 45

16 3 48

10if n= =∑ 145i ix f =∑

__1 1 2 2 1... 145

14,510

m

i i

n n i

f xf x f x f x

xn n

=+ + += = = =

∑

Exemplo:

Média – dados classificados em classes

A tabela seguinte refere a área, em hectares, das quintas de uma dada região:

Área (ha) Frequência

[ [0,5 31

[ [5,10 12

[ [10,15 8

[ [15,20 5

n = 56


Neste caso, como os dados estão agrupados em classes, recorre-se ao cálculo do

valor central da classe. Este valor ix (marca da classe) obtém-se determinando a

média dos extremos.

Por exemplo 1

0 50,5

2x

+= =

Deste modo, este caso reduz-se ao anterior.

Classe if Valor central

ix

i if x

[ [0,5 31 2,5 77,5

[ [5,10 12 7,5 90

[ [10,15 8 12,5 100

[ [15,20 5 17,5 87,5

56if =∑ 355i if x =∑

Temos __ 355

6,3 (1 . .)56

x c d= =

Duas outras medidas de localização são a mediana e a moda.

6.2.2 Mediana

Definição: A mediana é o valor que divide a amostra, depois de ordenada, em duas

partes com o mesmo número de observações cada. Pode ser assim calculada

1

2__

12 2

ímpar

par2

n

n n

x n

x x x

n

+

+

= +

Onde (1) ( )... nx x≤ ≤ são as observações ordenadas correspondentes à amostra

1 2, ,..., nx x x .



1. Determinação da mediana em dados simples

Determine a mediana para cada um dos seguintes conjuntos de dados

12 14 15 15 16 16 17 18

20 20 20 20 21 21 22 23

Resolução:

Os dados estão escritos por ordem crescente. O número de dados é 16. Os valores

centrais são 18 e 20. Então __ 18 20

192

x+

= =

2. Perguntou-se a 37 crianças de uma turma que número calçavam. As respostas

foram registadas na tabela seguinte.

Número de sapato, ix 28 30 32 34 36

Frequência, if 3 16 9 6 3

Calcule o número mediano.

Resolução:

n = 37, n é ímpar.

Vamos construir uma tabela de frequências absolutas acumuladas.

ix if iF

28 3 3

30 16 19

32 9 28

34 6 34

36 3 37

n = 37


O número de termos é 37. A ordem do temo mediano é:

37 119

2t

+= =

Na coluna iF aparece o número 19.

A mediana é o valor 19x , ou seja,

~

30x = .

3. Calcule a mediana para os dados da seguinte tabela:

ix 28 30 32 34 36

if 5 10 15 6 3

Resolução:

Vamos construir a tabela de frequências absolutas acumuladas.

ix if

iF

28 5 5

30 10 15

32 15 30

34 6 36

36 3 39

n = 39

O número de termos é 39, logo, a ordem do termo mediano é

39 120

2k

+= =

A mediana é o valor 20x , ou seja,

~

32x = .


4. Calcule a mediana para os dados da seguinte tabela:

ix if iF

28 4 4

30 10 14

32 12 26

34 5 31

36 3 34

n = 34

Resolução:

O número de elementos é 34, n é par.

1

3417

2k = = 2

34 218

2k

+= =

Percorrendo a coluna iF , não encontramos nem o 17 nem o 18.

Como ambos são maiores do que 14 e menores do que 26, assinalamos a linha

correspondente a 26, da coluna iF . Logo

~

32x = .

5. Calcule a mediana para os dados da tabela.

ix if

iF

28 4 4

30 13 17

32 10 27

34 4 31

36 3 34

n = 34

Resolução:

O número de elementos é 34.


1

3417

2k = =

2

34 218

2k

+= =

Neste caso, procurando estes valores, na coluna iF encontramos apenas o número

17. O outro valor (18) está na linha seguinte (18 > 17 e 18 < 27).

Logo, os termos a considerar são 17 30x = e

18 32x = .

Logo, ~ 30 32

312

x+

= =

6. Calcule a mediana para os dados da tabela.

ix if iF

28 4 4

30 13 17

32 11 28

34 3 31

36 1 32

n = 32

Resolução:

O número de elementos é 32.

1

3216

2k = = 2

32 217

2k

+= =

Neste caso, procurando estes valores, na coluna iF encontramos o número 17. Um

dos valores que vai entrar no cálculo da mediana é 17 30x = .

O outro valor, 16x , será também determinado na mesma linha (16 > 4 e 16 < 17).

Logo, os termos a considerar são 17 30x = e

18 32x = .

Logo, ~

16 17 30 3030

2 2

x xx

+ += = =


7. Determinação da mediana: dados classificados em classes

A tabela seguinte mostra os resultados de um estudo estatístico sobre as

distâncias percorridas pelos táxis de uma companhia durante um ano. Calcule a

classe mediana desta distribuição.

Distância

(milhares de km)

[ [80,85 [ [85,90 [ [90,95 [ [95,100

[ [100,105

Frequência 18 25 30 22 5

Resolução:

Para determinar a mediana, construamos uma tabela de frequências absolutas e

acumuladas.

Classe if iF

[ [80,85 18 18

[ [85,90 25 43

[ [90,95 30 73

[ [95,100 22 95

[ [100,105 5 100

n = 100

Como a distribuição apresenta os dados agrupados em classes, admite-se que os

valores da variável se distribuem igualmente em cada uma delas e considera-se a

mediana o termo de ordem 2

n , não se fazendo distinção se n é par ou ímpar.

Como o número de elementos é 100, a ordem do termo mediano é 100

502

t = = . A

mediana é o termo de ordem 50, que, apesar de não aparecer na coluna iF ,

corresponde a 3 73F = . Então, [ [50 90,95x ∈ .

Logo, [ [90,95 é a classe mediana.


6.2.3 Moda

Definição: A moda, mo, é a observação mais frequente, se existir.

Caso discreto – é o valor que ocorre com maior frequência.

Caso contínuo – só faz sentido definir-se sobre dados agrupados – é um valor do

intervalo de classe com maior frequência.

Exercícios Resolvidos

1. Determine a moda para cada um dos conjuntos de dados.

1.1

1 3 5 3 5 6 8 5

Resolução:

A moda é 5;

1.2

1 3 2 3 2 7

Resolução:

Há duas modas: 2 e 3;

1.3

1 2 3 4 5

Resolução:

O conjunto de dados não tem moda; é, portanto, amodal.


2. Pediu-se aos 21 alunos de uma turma para indicarem o género de leitura que preferem:

livros de cowboys (C); aventuras (A); ficção (F); viagens (V); animais (Na); outros (O). Os

resultados obtidos foram os seguintes:

F A An F C O A

V C F F A F F

F F A An F O V

Qual é a moda?

Resolução:

Por observação directa, verificamos que o valor mais frequente é F.

Logo, a moda é F. Assim, podemos dizer que para este grupo de alunos os livros

preferidos são os de ficção.

3. Observe a seguinte tabela:

Temperatura mínima (ºC)

em Julho, ix

Número de dias

in

12 3

14 4

15 6

16 7

17 5

18 6

Qual é a moda?

Resolução:

Por observação da tabela conclui-se que o valor da variável ix que aparece com

maior frequência é 16. Logo a moda é 16.


4. Pesaram-se 100 sacos de arroz embalados por uma máquina programada para produzir

embalagens com 1 kg. A tabela seguinte sintetiza os resultados da observação.

Peso (g) Nº de sacos

[ [994,996 4

[ [996,998 15

[ [998,1000 35

[ [1000,1002 40

[ [1002,1004 6

n = 100

Qual é a classe modal?

Resolução:

A classe [ [1000,1002 tem maior frequência. Logo, podemos dizer que a moda pertence à

classe [ [1000,1002 e que esta é a classe modal.

Exemplos:

1. Um agricultor estudou o crescimento de plantas da mesma espécie em ambiente

de estufa:

Calculou o crescimento médio das plantas em estudo e dividiu pelo nº total de

plantas:

3+6+7+5+9+10+6+4+6+7+8

11

Concluiu que o crescimento médio é de 6.5 cm.

Crescimento em, cm, de 11 plantas

3 5 6 8

6 9 4 7

7 10 6


2. Observou-se o nº de cartões amarelos mostrados por um árbitro em 12 jogos de

futebol consecutivos

Nº de cartões amarelos

3 5 6 1

6 9 8 6

1 8 3 6

A medida mais simples que se usa para representar este conjunto de dados é a

moda, ou seja, o valor da variável que ocorre com maior frequência.

Nos dados apresentados verifica-se que o dado que aparece com maior

frequência é o 6. Logo a moda é o 6.

Para um conjunto de dados, pode existir mais do que uma moda ou até

nem existir moda.

Se o conjunto de dados tiver uma única moda, esse conjunto diz-se unimodal;

Se o conjunto de dados tiver duas moda, esse conjunto diz-se multimodal;

Se o conjunto de dados não tiver moda diz-se amodal.

3. Em cinco testes de Matemática o João obteve as seguintes classificações:

30% 50% 25% 80% 65%

Por ordem crescente as classificações são as seguintes:

25% 30% 50% 65% 80%

Mediana

Mais tarde o João fez um sexto teste e agora os dados são:

25% 30% 50% 65% 80% 85%

Valores centrais

Mediana = 50%+65%57,5

2=



1. Uma amostra de 25 caixas de bombons foi seleccionada de um stock de 100

caixas. O peso em gramas de cada caixa foi o seguinte:

93 100 106 104 98

97 98 104 92 94

101 103 96 100 108

100 108 97 103 100

94 104 95 101 102

a) Construa uma tabela de frequências, agrupando o peso das caixas em

intervalos de amplitude 5g.

b) Determine, em percentagem, as frequências relativas de cada classe.

2. As alturas, em centímetros, de um grupo de alunos são:

160 162 152 159 155

155 161 155 153 154

Determine a:

a) altura média;

b) altura mediana;

c) altura modal.

3. As classificações obtidas por uma turma de 24 alunos num teste de matemática,

cotado de 0 a 100 pontos, foram as seguintes:

46 64 50 35 85 42 47 72

31 42 53 47 51 31 15 81

80 72 60 52 53 47 32 50


Determine:

a) A classificação média;

b) A classificação mediana;

c) A classificação modal.

4. As horas de sol por dia, registadas numa praia durante um período de 61 dias,

foram as seguintes

Horas de sol 5 6 7 8 9 10 11

Frequência

(dias) 6 12 10 9 8 8 8

a) Determine o número modal de horas de sol por dia;

b) Determine o número mediano de horas de sol por dia;

c) Determine o número médio de horas de sol por dia.

5. Pediu-se aos alunos de uma turma que contassem o número de objectos que

tinham nos seus bolsos. Os resultados obtidos apresentam-se na tabela seguinte

Nº de objectos [ [0,5 [ [5,10 [ [10,15 [ [15,20 [ [20, 25

Frequência 6 11 6 4 3

Determine o número médio de objectos e as classes modal e mediana.

Soluções:


6.3 Estatística e Probabilidades

Objectivos:

Reconhecer que em determinados acontecimentos há um grau de incerteza.

Identificar resultados possíveis numa situação aleatória.

Calcular, em casos simples, a probabilidade de um acontecimento como

quociente entre número de casos favoráveis e número de casos possíveis.

Compreender e usar escalas de probabilidades de 0 a 1 ou de 0% a 100%.

Usar conscientemente as expressões “muito provável”, “improvável”, “certo”,

“impossível”,…

Compreender e usar a frequência relativa como aproximação da probabilidade.

Competências Específicas:

o Sensibilidade para distinguir fenómenos aleatórios e fenómenos deterministas e

interpretar situações concretas de acordo com essa distinção.

o Aptidão para entender e usar de modo adequado a linguagem das probabilidades

em casos simples.


Quando realizamos várias vezes a experiência deixar cair um prego para dentro de um

balde de água, verificamos que fatalmente o prego se afunda.

Existe, no entanto, outro tipo de experiências cujo resultado final não é assim tão certo.

A uma experiência cujo resultado depende do acaso, ainda que repetida nas mesmas

condições, chama-se experiência aleatória.

Exemplos: São experiências aleatórias:

- lançamento de uma moeda;

- lançamento de um dado;

- tirar ao acaso uma bola de um saco com bolas numeradas;

- tirar ao acaso uma carta de um baralho de 52 cartas.

Apesar de não sabermos qual vai ser o resultado de uma experiência aleatória, é

possível identificar quais são os resultados possíveis. Assim, no lançamento de um dado,

embora não se saiba qual será a face que ficará voltada para cima, conhecem-se todos

os resultados possíveis 1,2,3,4,5,6

Ao conjunto de todos os resultados possíveis numa experiência aleatória chama-se

espaço de resultados ou espaço amostral.

Acontecimentos certos são aqueles que se verificam sempre.

Exemplo:

No lançamento de um dado “sair número menor do que 7” é um acontecimento certo.

Acontecimentos impossíveis são aqueles que nunca se verificam.

Exemplo:

No lançamento de um dado “sair número negativo” é um acontecimento impossível.

Exemplo:

No lançamento de um dado é tão provável “sair número par” como “sair número ímpar”,

ou seja, são acontecimentos equiprováveis.


6.3.1 Probabilidade de um acontecimento

A probabilidade de um acontecimento A, P(A), é o quociente entre o número de casos

favoráveis e o número de casos possíveis

número de casos favoráveis( )

número de casos possíveisP A =

Exemplo:

No jogo do dado, a probabilidade de “sair um número par” é:

P(“”sair nº par) = 3 1

6 2=

Acontecimentos equiprováveis

P(“”sair nº ímpar) = 3 1

6 2=

Exemplo:

No jogo do dado, a probabilidade de “sair um número negativo” é:

P(“sair nº negativo”) = 00

6= Acontecimento Impossível

Exemplo:

No jogo do dado, a probabilidade de “sair um número menor do que 7” é:

P(“sair nº < 7”) = 61

6= Acontecimento certo

A probabilidade de um acontecimento certo é 1 (100%)

A probabilidade de um acontecimento impossível é 0 (0%)

A probabilidade de um acontecimento pode variar entre 0 e 1 (entre 0% e 100%).


Exemplo:

Num saco estão 10 bolas idênticas e numeradas de 0 a 9. Tira-se uma bola desse saco

ao acaso.

Qual a probabilidade da bola extraída:

A- “ser a bola com o número 7”?

B- “ser uma bola com número primo”?

C- “não ser uma bola com número par”?

D- “ser uma bola com número ímpar ou com número primo”?

P(A) = 1

10 = 0,1 = 10%; P(B) = 4

10 = 0,4 = 40%; P(C) = 5

10 = 0,5 = 50%,

P(D) = 6

10 = 0,6 = 60%

A contagem do número de casos favoráveis e do número de casos possíveis necessária

na determinação de uma probabilidade (aplicando a Lei de Laplace) nem sempre é tarefa

fácil. Nos problemas mais complexos é usual recorrer-se a esquemas que permitem

conhecer mais facilmente o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis.

Entre estes esquemas destacam-se os:

- diagramas de Venn;

- diagramas de dupla entrada;

- diagramas de árvore.

Exemplo:

Utilização de um diagrama de Venn

Interrogaram-se os 80 trabalhadores de uma fábrica sobre o jornal que costumam ler

diariamente.

Dos 80, 25 declararam que lêem diariamente o jornal Alfa, 40 o jornal Beta e 10 afirmam

que lêem ambos.

Escolhem-se aleatoriamente um desses 80 trabalhadores.


Elaborando o diagrama de Venn respectivo, temos

Ω = trabalhadores da fábrica

A = trabalhadores que lêem o jornal Alfa

B = trabalhadores que lêem o jornal Beta

Com a ajuda do diagrama de Venn facilmente se determinam as probabilidades:

P(“ler apenas o jornal Beta”) = 30 3

80 8=

P(“não ler nenhum dos jornais”) = 25 5

80 16=

P(“ler pelo menos um dos jornais”) = 55 11

80 16=

B

30 10

15

A

25

Ω


Exemplo:

Utilização de um diagrama de dupla entrada

Lançam-se dois dados equilibrados com as faces numeradas de 1 a 6. Qual a

probabilidade de a soma dos pontos saídos ser 5?

Dado 2

Dado1

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Observando a tabela de dupla entrada facilmente se verifica que a probabilidade pedida

é:

P(“a soma dos pontos ser cinco”) = 4 10,1111 11,11%

36 9= = =


Exemplo:

Utilização de um diagrama de árvore

Lança-se uma moeda equilibrada ao ar três vezes seguidas. Qual é a probabilidade de se

obter duas vezes euro e uma vez face?

Observando o diagrama de árvore, verifica-se que:

P(“obter duas vezes euro e uma face”) = 30, 375 37, 5%

8= =

6.3.2 Frequência relativa e probabilidade

Lei dos grandes números: Para um número muito elevado de experiências, a

frequência relativa de um acontecimento é um valor muito aproximado da sua

probabilidade.

E ( E E E )

E

F ( E E F )

E ( E F E )

F

F ( E F F )

E ( F E E )

E

F ( F E F )F

E ( F F E )

F

F ( F F F )

E

→

→

→

→

→

→

→

→



1. Escreva alguns acontecimentos:

a) Prováveis;

b) Certos;

c) Impossíveis.

2. Quais dos seguintes valores não correspondem à probabilidade de um

acontecimento: 2 7 9 1,1, , , 0, , 2

3 8 8 2?

3. Escolheu-se ao acaso um número entre 1 e 11. Qual a probabilidade de escolher

um número ímpar?

4. Qual é a probabilidade de escolher uma carta de copas num baralho de 52

cartas?

5. Lançou-se um dado perfeito. Calcule a probabilidade de obter:

a) O número 6;

b) Um número par;

c) Um número ímpar;

d) Um número menor que 5.

6. Uma caixa contém 6 bolas vermelhas, 5 verdes, 8 azuis e 3 amarelas. Determine

a probabilidade de, escolhendo uma bola ao acaso, ela ser:

a) Verde;

b) Vermelha;

c) Amarela;

d) Azul.


7. A professora de Matemática colocou 4 bolas pretas e 1 vermelha numa caixa.

Pediu aos alunos para determinarem a probabilidade de sair uma bola vermelha

quando se tira da caixa uma bola ao acaso.

A Maria disse que era 1

4, porque há uma bola vermelha e quatro pretas. O Miguel

disse 1

5, porque das 5 bolas só uma é vermelha.

a) Qual das respostas está correcta? Explique porque é que a outra está errada.

b) Qual é a probabilidade de sair uma bola preta?

8. Uma caixa contém 40 chocolates com a mesma forma e tamanho: 6 são de

chocolate com avelã, 15 de chocolate preto, 10 de chocolate de leite e os

restantes de chocolate branco. Retirando ao acaso um chocolate da caixa , qual a

probabilidade de:

a) Ser de chocolate com avelã?

b) Ser de chocolate de leite?

c) Ser de chocolate branco?

9. Um saco contém 3 bolas pretas e 2 brancas. Calcule a probabilidade de tirar (sem

reposição):

a) Uma bola branca;

b) Três bolas brancas (em 3 extracções consecutivas);

c) Três bolas pretas (em 3 extracções consecutivas);

d) Uma bola azul;

e) Uma bola branca ou preta (numa só extracção).


Capítulo 7

FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL: AFIM,

QUADRÁTICA E MÓDULO


Funções reais de variável real

Gráfico cartesiano de uma função em referencial ortogonal

Definição de função, gráfico e representação gráfico de uma

função.

Estudo do domínio, contradomínio, pontos notáveis e extremos

relativos e absolutos.

Objectivos:

Definir função;

Identificar uma correspondência entre dois conjuntos que seja

uma função;

Distinguir a variável dependente da variável independente;

Usar a simbologia das funções;

Identificar o domínio, o contradomínio, pontos notáveis, monotonia

e extremos (relativos e absolutos) de uma função quando

possível.

Determinar o domínio de uma função quando definida para uma

expressão algébrica;

Identificar uma função afim;

Conhecer as designações função linear e função constante como

casos particulares de uma função afim.

Definir zero, extremo absoluto, extremo relativo e intervalo de

monotonia de uma função.

Pré-requisitos:

Definição de função


7. Funções

Na resolução de problemas práticos usamos muitas vezes relações entre

grandezas que variam. Por exemplo, a distância percorrida numa viagem e o

tempo gasto, o número de impulsos e o preço de uma chamada telefónica a

temperatura do ar e a altitude. Em Matemática estas grandezas que variam

damos o nome de variáveis e a algumas relações entre elas chamamos

funções.

7.1 Definição, domínio e contradomínio

Dados dois conjuntos A e B, uma função de A em B é uma correspondência

que associa a cada elemento a A um e um só elemento b B

(correspondência unívoca). É usual a notação

BAf →:

para representar uma função f de A em B. Para cada a A o correspondente

elemento b B é a imagem de a por f e é usualmente representado por f(a).

O conjunto A é o domínio de f, também representado por Df .

O conjunto B é o conjunto de chegada de f.

O conjunto das imagens dos elementos de A por f, isto é, o conjunto

AaBaf ∈∈ :)(

é o contradomínio de f, usualmente representado por CDf. Naturalmente, tem-

se que CDf B.

Uma função está definida quando se conhece o seu domínio, o seu conjunto de

chegada e o modo de identificar ou calcular a imagem de cada elemento do

domínio.

∈ ∈

∈

∈

⊆


Uma função pode ser definida de diversas formas. Por exemplo, a função f de

A = 1, 2, 3, 4, 5 em B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 que a cada elemento de A

faz corresponder o seu dobro pode ser definida indicando explicitamente a

imagem f(a) de cada elemento a A:

Observe-se que se tem CDf = 2, 4, 6, 8, 10.

Pode também utilizar-se um diagrama:

Este tipo de diagrama designa-se usualmente por diagrama de Venn.

Pode também recorrer-se a uma expressão designatória, neste caso a

expressão designatória 2x, e escrever

Para simplificar pode omitir-se a referência “para x A” e escrever

( ) x

BAf

2=→

→

xf x

:

∈

( )

( )

( )

( )

( ) 105

84

63

42

21

=

=

=

=

=

→

f

f

f

f

f

BAf

:

( ) Axxxf

BAf

∈=

→

para

:

2

∈


ou ainda

2x x

:

→

→ BAf

Pode também recorrer-se a mais de uma expressão designatória para definir

uma função, caso em que se diz que a função está definida por troços ou

ramos.

Por exemplo, a função

associa a cada real não negativo x o seu quadrado e a cada real negativo x o

simétrico do seu quadrado.

Exemplo: Seja

a correspondência que a cada natural INx∈ faz corresponder o

natural INx∈ . Trata-se duma correspondência unívoca nos naturais, logo

temos uma função. Esta função é conhecida como função identidade nos

naturais. Neste caso, o domínio Df é o conjunto dos naturais e contradomínio

fD′ coincide com o conjunto de chegada , isto é

INCDD ff ==

Ao gráfico desta função pertencem os pares (1,1), (2,2), (5,5), por

exemplo. Em geral, escrevemos para o gráfico

cuja representação gráfica (conjunto de pontos discretos) se vê na Fig.

1.

ININf →:


Fig. 1. Representação gráfica da função f

Observe-se que é possível efectuar um teste simples à representação

gráfica para determinar se se trata da representação gráfica duma

função (teste do gráfico): se qualquer recta vertical intersectar o gráfico

em, no máximo, um ponto, pode concluir-se que se trata da

representação gráfica duma função.

Se se considerar

a correspondência que a cada real IRx∈ associa o real IRx∈ também

se obtém uma função, que é conhecida como função identidade nos

reais. Observe que neste caso, o domínio Dg é o conjunto dos números

reais, bem como o contradomínio CDg, e por isso gf ≠ . A representação

gráfica desta função pode ver-se na Fig. 2.

Fig. 2. Representação gráfica da função g

IRIRg →:


Vamos considerar a correspondência h que a cada +

0∈IRx associa e

. Trata-se duma correspondência que não é unívoca. Por exemplo,

temos que a x = 1 corresponde o valor 1, mas também o valor -1, logo

não temos uma função. Conforme se pode ver na Fig.3, a curva

representada não é o gráfico duma função (observe que falha o teste do

gráfico).

Fig. 3. Representação gráfica da correspondência h

7.2 Funções reais de variável real

Funções reais de variável real são funções cujo domínio é um subconjunto de

IR e o conjunto de chegada é IR.

Ao definir uma função real de variável real f através de uma expressão

designatória f(x), se não se indicar explicitamente o domínio de f deve sempre

assumir-se que este é o conjunto de todos os reais a tais que f(a) representa

um número real. Por exemplo, quando se diz “f é a função real de variável real

definida por no seu domínio” tal significa que f é a função

pois é precisamente o conjunto dos reais a para os quais

representa um número real.


De igual modo, quando se diz “f é a função real de variável real definida por

no seu domínio” tal significa que f é a função

dado que é o conjunto dos reais a para os quais representa

um número real.

7.2.1 Gráfico

Seja f uma função real de variável real.

O gráfico de f é o conjunto

A representação gráfica de G é constituída pelos pontos do plano cartesiano

que representam os pares (x, f(x)) com x Df . É usual designar a

representação gráfica do gráfico de f simplesmente por representação gráfica

de f ou gráfico de f.

Considerando o sistema de eixos Oxy na Fig. 2,

Fig. 2. Sistema de eixos Oxy

a recta Ox é usualmente designada eixo das abcissas ou eixo dos xx e a

recta Oy é usualmente designada eixo das ordenadas ou eixo dos yy.


Note-se que Df se identifica graficamente com o conjunto das abcissas dos

pontos do gráfico (a azul na Fig. 2) e que CDf se identifica graficamente com o

conjunto das ordenadas dos pontos do gráfico (a cor de laranja na Fig. 2).

Fig. 2. Representação gráfica do gráfico G de uma função f com Df a cor azul e

CDf a cor de laranja.

7.2.2 Igualdade de funções

Duas funções reais de variável real f e g são iguais se

• Df = Dg

• f(x) = g(x) para cada x Df .

7.2.3 Zeros e sinal de uma função

Seja f uma função real de variável real a ∈ Df . Diz-se que

• a é um zero de f se f(a) = 0

• f é positiva em a se f(a) > 0

• f é não negativa em a se f(a) 0

• f é negativa em a se f(a) < 0

• f é não positiva em a se f(a) 0


Diz-se que a função f é positiva num subconjunto A de Df se f é positiva em a

para cada a ∈ A. De igual modo se define função não negativa, negativa e não

positiva em A.

Fig. 3. Gráfico de uma função f

Na Fig. 3 encontra-se o gráfico de uma função f real de variável real, com

domínio Df=[-2,11/2[. Observe-se que

• -2 e 2 são zeros da função f

• f é positiva em ]2,11/2[

• f é não negativa em [2,11/2[

• f é negativa em ]-2,2[

• f é não positiva em [-2,2]

7.2.4 Monotonia de uma função

Seja f uma função real de variável real e seja A um subconjunto de Df .

Diz-se que

• f é uma função crescente em A se

f(a) > f(b) para cada a, b ∈ A tal que a > b

• f é uma função crescente em sentido lato em A se

f(a) f(b) para cada a, b ∈ A tal que a > b


• f é uma função decrescente em A se

f(a) < f(b) para cada a, b ∈ A tal que a > b

• f é uma função decrescente em sentido lato em A se

f(a) f(b) para cada a, b ∈ A tal que a > b

Designa-se também por estritamente crescente e estritamente decrescente

em A uma função crescente e decrescente em A, respectivamente.

A função f diz-se monótona em A se for crescente em A ou se for decrescente

em A.

Quando A = Df, pode omitir-se a referência a A. Neste caso, fala-se então

simplesmente de função crescente, função decrescente, função monótona, etc.



domínio Df=[-2,11/2[, decrescente em [-2,0] e em [4,11/2[ (a cor de laranja na

Fig. 4) e crescente em [0,4] (a azul na Fig. 4).


7.2.5 Extremos de uma função

Vizinhança

Recorde que uma vizinhança de a ∈ IR é um intervalo com +∈∂ IR .

Seja f uma função real de variável real, a Df.

• Extremos relativos

– f tem um máximo relativo em x = a se existir uma vizinhança I de a tal

que para todo o

– f tem um mínimo relativo em x = a se existir uma vizinhança I de a tal

que para todo o

• Extremos absolutos

– f tem um máximo absoluto em x = a se para todo x Df ; f(a) é

o maior valor de CDf e é o maior dos máximos relativos

– f tem um mínimo absoluto em x = a se para todo x Df ; f(a) é

o menor valor de CDf e é o menor dos mínimos relativos




domínio Df=[-2,11/2[. A função f tem um mínimo absoluto com valor -2 em x=0

e um máximo absoluto com valor 3 em x=4.

7.2.6 Função par e função ímpar

Seja f uma função real de variável real tal que x Df se e só se −x Df , para

todo o x . Diz-se que

• f é uma função par se f(−a) = f(a) para todo a Df

• f é uma função ímpar se f(−a) = −f(a) para todo a Df

Fig. 6. Gráfico de uma função ímpar a preto e de uma função par a azul

Note que um gráfico de uma função par é sempre simétrico relativamente ao

eixo Oy.

7.2.7 Função injectiva, sobrejectiva e bijectiva

Seja f uma função real de variável real. Diz-se que

• f é uma função injectiva se

para quaisquer a, b Df tais que a b se tem f(a) f(b)

• f é uma função sobrejectiva se


para cada b existe a Df tal que f(a) = b

• f é uma função bijectiva se é injectiva e sobrejectiva

7.2.8 Função periódica

A função real de variável real f diz-se periódica se existe um número real P

diferente de 0 tal que para todo o x Df

• x + P Df e x − P Df

• f(x + P) = f(x)

Exemplo de funções periódicas são as funções trigonométricas seno, coseno e

tangente.

7.2.9 Função inversa

Seja f uma função real de variável real injectiva. Chama-se função inversa de f

à função que se designa por f−1 e é tal que

• Df−1 = CDf

• dado y CDf , ou seja y = f(x) então f−1(y) = x.

Observe-se que f(f−1(x)) = x para todo o x Df−1 e que f−1(f(x)) = x para todo x

Df. Note-se também que CDf−1 = Df.

Note-se ainda que (f−1)−1 = f.


Fig. 7. Diagrama de Venn de uma função f (setas a preto) e de f-1 (setas a cor

de laranja).

7.2.10 Operações sobre funções

Sejam f e g função real de variável real.

• A função f + g é a função real de variável real tal que

– Df+g = Df Dg

– (f + g)(x) = f(x) + g(x).

• A função f − g é a função real de variável real tal que

– Df−g = Df Dg

– (f − g)(x) = f(x) − g(x).

• A função f × g é a função real de variável real tal que

– Df × g = Df Dg

– (f × g)(x) = f(x) × g(x).

A função f x g pode também ser designada por fg.

• A função fn, com n , é a função real de variável real tal que

– Dfn = Df

– (fn)(x) = (f(x))n.


• A função é a função real de variável real tal que

–

– .

• A função , com n ímpar, é a função real de variável real tal que

–

– .

• A função , com n par, é a função real de variável real tal que

–

–

7.2.10 Composição de funções

Sejam f e g função real de variável real. A função composta de g com f é a

função real de variável real que se designa por e é tal que

• • .

As funções f e g dizem-se permutáveis se .


Fig. 8. Diagrama de Venn de f e g (setas a preto) e da composição (setas as

cor de laranja).

7.2.11 Extensão e restrição de função

Seja f uma função real de variável real.

• Uma extensão, ou prolongamento, de f a um conjunto tal que

é uma função real de variável real g tal que

–

– g(x) = f(x) para cada .

Note que se existem muitas extensões de f a C, pois o valor de g(x)

quando pode ser um qualquer valor real.

• A restrição de f a um conjunto é a função real de variável real g tal

que

–

– g(x) = f(x) para cada .

É frequente usar a notação para representar a restrição da função f ao

conjunto C.

7.3 Funções cujos os gráficos são rectas. Função afim.

Existem muitas situações que podem ser traduzidas e resolvidas por

funções lineares ou afins. Estas funções constituem uma família e a

representação gráfica de cada elemento dessa família é sempre uma

recta.


Qual o significado do número 4 nas expressões que definem as

funções?

As rectas que representam as funções intersectam o eixo dos yy no

ponto de ordenada 4.

Qualquer das funções representadas tem a designação de função afim.

xy = xy 4−= xy31

= xy31

−=

7.4 Função Módulo

O valor absoluto ou módulo de x representa-se por x e é definido do

seguinte modo:

<−

=

>

=

≤−

>=

<−

≥=

0 xse

0 xse 0

0 xse

ou 0 xse

0 xse ou

0 xse

0 xse

x

x

xx

xx

x

xx

A função real de variável real, xyf =→: é chamada a função módulo ou valor

absoluto.

Uma função afim é definida por uma expressão algébrica do tipo IRbabaxy ∈+= ,, ou bmxy += , m designa o declive da recta e

b a ordenada na origem.

O gráfico de uma função afim é uma recta.


Outra forma de encontrar o valor absoluto de um número é elevar o

número ao quadrado e em seguida determinar a raiz quadrada.

2xx =


Escreva a expressão algébrica das funções representadas.

Resolução:

( ) 34 +−= xxg ; ( ) xxh32

−= ;

( ) 26)( −+−= xxi ; ( ) ( ) 272 −−−= xxj .

2xy =


7.4.1 Gráfico da função ( )xf .

O que poderá acontecer ao gráfico de uma função se substituirmos

( )xf por ( )xf ?

Nas funções xy = as imagens são sempre positivas. A parte do gráfico da

função xy = que estava “abaixo” do eixo dos xx aparece simetricamente

colocada relativamente ao eixo dos xx.


7.4.2 Gráfico de função ( )xf

Quando se substitui x por x , na expressão designatória de unma função,

obtém-se uma nova função que é necessariamente uma função par.

Seja xyf =→:

O domínio da função f é +ℜ0 .

Seja xyxg =→:

O domínio da função g é ℜ

7.4.3 Generalização dos gráficos das funções ( )xf e ( )xf

a) Valor absoluto de variável dependente


O gráfico da função ( )xfy = obtém-se do gráfico da função

( )xfy = mantendo os pontos de ordenada positiva ou nula e

transformando os pontos de ordenada negativa por uma simetria

em relação ao eixo dos xx.

O gráfico de ( )xf está “acima” ou “sobre” o eixo dos xx.

( ) 0≥xf

b) Valor absoluto de variável independente

O gráfico da função ( )xfy = obtém-se do gráfico de ( )xf

mantendo os pontos de abcissa positiva e transformando os

pontos de abcissa negativa de modo a que pontos de abcissas

simétricas sejam simétricas em relação ao eixo dos yy.


7.4.4 Resolução de equações com módulos

Note que 44

44

=−

=+

axaxaxa −=∨=⇔=> ,0

444 −=∨=⇔= xxx

A distância de P a Q é de 6 unidades

Utilizando a definição de módulo, vem:

0−= xx

yx −

Assim, a distância entre P e Q é:

( ) 532 523 =−−=−−

De um modo geral, se > 0a

2→

4→

Q

P

Representa a distância do ponto de abscissa x

ao ponto de abscissa 0 (de origem)

Representa a distância do ponto de

abscissa x ao ponto de abscissa y.

ayxayxayx −=−∨=−⇔=−


Exemplo:

Resolver a equação com módulos 1222 =+x

84

6262

621222

−=∨=⇔

−=+∨=+⇔

=+⇔=+

xx

xx

xx

Graficamente:

Considerem-se as funções 2+= xy e 6=y .

Exemplo:

Resolva a equação 323 +=− xx

06036

323323323

=∨−=⇔=∨=−⇔

−−=−∨+=−⇔+=−

xxxx

xxxxxx

As soluções da equação

são as abcissas dos

pontos de intersecção: -

8 e 4 .


Graficamente:

7.4.5 Inequações com módulos

Exemplo:

1x5 x

232323

>∧<⇔

−>−∧<−⇔<− xxx

A condição é uma conjunção de inequações.

] [5,1=S

ayxayxaayx −>−∧<−⇔>∧<− 0

ayxayxaayx −<−∧>−⇔>∧>− 0


7.5 Função Quadrática

Uma função real de variável real f definida para cada IRx ∈ por

f(x) = ax2 + bx + c

com 0\IRa ∈ e b, c IR∈ , designa-se função quadrática. Recorde que esta

função tem as seguintes propriedades, onde ∆ = b2 - 4ac (binómio

discriminante):

• Domínio: IR

• Zeros e Sinal:

o se ∆ < 0:

não tem zeros

se a > 0 é sempre positiva

se a < 0 é sempre negativa

o se ∆ = 0:


tem um zero em a

bz

2−

=

se a > 0 é positiva em IR \z

se a < 0 é negativa em IR \z

o se ∆ > 0:

tem dois zeros em a

acbbz

a

acbbz

24

e 2

4 2

2

2

1

−+−=

−−−=

se a> 0 é positiva em ] - , z1[ ]z2, + [ e negativa em ]z1, z2[

se a< 0 é positiva em ]z1,z2[ e negativa em ] - , z1[ ]z2, + [


• Extremos e Monotonia:

o se a < 0:

não tem mínimos

tem um máximo absoluto de valor a

bm

a 2 em

4−=

∆−

crescente em ] - ,m] e decrescente em [m, + [

o se a> 0:

não tem máximos

tem um mínimo absoluto de valor a

bm

a 2 em

4−=

∆−

crescente em [m, + [ e decrescente em ] - ,m]

• Contradomínio:

o se a< 0:

∆−∞−

a4,

o se a> 0:

+∞

∆− ,

4a

• A função é contínua no seu domínio

• A função é par se b=0

• A função não é injectiva e não é sobrejectiva

• Gráfico é uma parábola com:

o vértice no ponto do plano de coordenadas

∆−−

aa

b

4,

2


o concavidade voltada para cima se a > 0 e voltada para baixo se a

< 0

Nas figuras Fig. 1, Fig. 2 e Fig. 3 encontram-se representados os gráficos de

três funções quadráticas.

Fig. 1. Gráfico da função quadrática f(x)=x2-2x-3

Fig. 2. Gráfico da função quadrática g(x)=-x2+2x-3


Fig. 3. Gráfico da função quadrática h(x)=x2+4x+4


1. Faça um estudo completo da função definida por ( ) 74 −= xxf .

2. Represente graficamente, num mesmo referencial, as funções definidas em

IR por x: 3 2 ; ;3 ;2 ; Xyx;-yxyxyxyxy −==−====

2.1 Indique as coordenadas do ponto comum aos gráficos de todas elas.

2.2 As funções representadas são todas do tipo mxy = . Relacione o valor

de m com a inclinação da cada recta.

2.3 Relacione m com a monotonia da função.

2.4 Indique para cada função os intervalos onde ela é positiva e onde é

negativa.

3.Considere a função definida por ( ) 54 −= xxf

3.1 Calcule ( ) ( ) ( )1 ;5,2 ;0 −fff

3.2 Represente graficamente a função

3.3 Resolva as seguintes condições: ( ) ( ) ( ) 5,4 ;3 ;11 >−≤= xfxfxf

4. Numa caçada assiste-se a certa altura a uma perseguição de um gato a um

rato que surge de repente e se lança em fuga. Quando o gato se apercebe da


persença do rato já este tem 11 metros de avanço. Sabe-se que a velocidade

média de fuga de um rato é aproximadamente de 10m/s e a do gato 12m/s.

4.1 Das expressões que se seguem identifique a que traduz a fuga do rato

e a que traduz a perseguição do gato:

te

te

1011

12

+=

=

4.2 Em que momento da perseguição o gato apanha o rato? Resolva

analiticamente e graficamente esta questão.

5. Represente no mesmo referencial os gráficos das seguintes funções:

( ) ( ) ( ) 3 2 −=+== xxhxxgxxf

Que conclusões se podem tirar destes gráficos?

6. Represente no mesmo referencial os gráficos das seguintes funções:

( ) ( ) ( ) 4 5 +=−== xxhxxgxxf

Que conclusões se podem tirar destes gráficos?

7. Represente graficamente a função ( ) 342 −−= xxm .

8. Resolve as seguintes condições:

8.1 1089 =+x

8.2 543 <−x

8.3 0745 >−− x

8.4 21

5 =− x

8.5 1312 −≥+x


9. Representa graficamente a função 163 −−= xy a partir da função

63 −= xy .

10. Esboça os gráficos das funções ( )xfy = e ( )xgy = e escreve as

respectivas expressões.

11. Defina por ramos as seguintes funções:

11.1 ( ) 13 +−= xxm

11.2 ( ) 102 −= xxp

11.3 ( ) 524 −−= xxt

12. Considere a função: xxyxf 3: 2 −=→ . Obtenha as representações

gráficas das funções:

12.1 ( )xf

12.2 ( )xf

13. Diga qual o sentido e concavidade do gráfico das seguintes funções:

13.1 32 +−= xy

13.2 ( ) 312 2+−−= xy

13.3 21 xxy −−=

14. Determine o eixo de simetria e o vértice da parábola que representa

graficamente a função:


14.1 3421 +−= xxy

14.2 1642 22 +−−= xxy

15. Determine os zeros das seguintes funções:

15.1 ( ) 10321 −+= xxxf

15.2 ( ) 30822 ++−= xxxf

15.3 ( ) 4423 −+−= xxxf

16. A partir do gráfico da função 2xy = , esboça o gráfico das seguintes

funções:

16.1 22 −= xy

16.2 22 +−= xy

16.3 42 2 −= xy

16.4 ( )23+= xy

16.5 ( ) 15 2−−= xy

16.6 ( ) 212 2−+= xy

17. Observe os gráficos e faz corresponder a cada um deles a respectiva

expressão analítica:

17.1 2xy =

17.2 32 −= xy

17.3 xxy 32 +=

17.4 ( )23+= xy


18. Considere a seguinte função 432 +−−= xxy :

18.1 Quais são os zeros da função?

18.2 Quais são as coordenadas do vértice da parábola correspondente à

função?

18.3 Esboçe o gráfico da função

18.4 Indique o conjunto solução da condição 0≥y .

18.5 Indique o extremo da função e os intervalos de monotonia.

19. Considere a função real de variável real definida por:

( ) 322 −−= xxxf

19.1 Escreva ( )xf na forma ( ) khx +−2 , com h , IRk ∈ .

19.2 Indique as coordenadas do vértice e escreva a equação do eixo de

simetria da parábola que representa o gráfico da função.

19.3 Determine os zeros da função.

19.4 Para que valores de x a imagem da função é negativa?

20. No instante t=0, uma bola é lançada na vertical de um ponto situado a 1,5

metros do solo. Após t segundos, a distância da bola ao solo, em metros, é

dada por: 5,162 2 ++−= tth

20.1 Determine a altura máxima que a bola consegue alcançar.

20.2 Determine, a menos de uma décima de segundo, o instante em que a

bola atingiu o solo.

20.3 Determine, a menos de uma décima de segundo, quanto tempo a bola

permanece acima dos 3 metros de altura.

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Caderno V10