CADERNO DE RESUMOS · CADERNO DE RESUMOS Faculdade de Ciências - Câmpus de Bauru ... atematica/extensao/lab -mat/jogos no ensino de matematica/>. Acesso em: 23 mar. 2015

XXVII SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA e 2º ENCONTRO DE FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE

MATEMÁTICA E TECNOLOGIAS DIGITAIS

XXVII SEMANA DA LICENCIATURA EM

MATEMÁTICA e 2º ENCONTRO DE FORMAÇÃO

DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA E

TECNOLOGIAS DIGITAIS

CADERNO DE RESUMOS

Faculdade de Ciências - Câmpus de Bauru Dezembro de 2015



CADERNO DE RESUMOS XXVII SEMANA DA LICENCIATURA EM

MATEMÁTICA e 2º ENCONTRO DE FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA E


Organizadores:

Profa. Dra. Adriana Cristina Cherri Nicola

Profa. Dra. Cristiane Alexandra Lázaro

Profa. Dra. Ivete Maria Baraldi

Profa. Dra. Nair Cristina Margarido Brondino

Profa. Dra. Sueli Liberatti Javaroni

Realização: Conselho de Curso da Licenciatura em Matemática

Unesp – Câmpus Bauru

Apoio:



Semana da Licenciatura em Matemática (27. : 2015 : Bauru)

Caderno de resumos [recurso eletrônico] / XXVII Semana de

Licenciatura em Matemática e 2. Encontro de Formação do Professor de

Matemática e Tecnologias Digitais, realizado em Bauru, em dezembro de

2015 ; Organizadores: Adriana Cristina Cherri Nicola ... [et al.]. -

Bauru : UNESP/FC/Departamento de Matemática, 2015

40 p.

Disponível em:

http://www2.fc.unesp.br/matematica/semana/cadernos/cadernoderesumos20

15.pdf

ISBN 978-85-99703-85-4

1.Aritmética. 2. Álgebra. 3. Geometria. 4. Matemática –

Formação de professores. 5. Matemática – Estudo e ensino. I. Encontro

de Formação do Professor de Matemática e Tecnologias Digitais (2. :

2015 : Bauru). II. Nicola, Adriana Cristina Cherri. III. Título.



COMISSÃO ORGANIZADORA Docentes Profa. Dra. Adriana Cristina Cherri Nicola Profa. Dra. Cristiane Alexandra Lázaro Profa. Dra. Ivete Maria Baraldi Profa. Dra. Nair Cristina M. Brondino Profa. Dra. Sueli Liberatti Javaroni

Técnicos Administrativos Christian Ferreira Oivane Daniel Buso de Lima Danilo Pires Maciel Edinéia Ferigato Mattiazzo Ivone Reina Barbieri

Discentes Ana Raquel Faccioli Bianca Frediani Zamuner Caio Vitor Sobrinho Eliana Regina Castro Gabriel Coscia Gasparoti Priscila Oreste Dias Regina Balbino Romero Ronaldo Augusto da Silva Sonia Aparecida Sales

COMISSÃO CIENTÍFICA

Profa. Dra. Cristiane Alexandra Lázaro Profa. Dra. Nair Cristina Margarido Brondino

EDITORAÇÃO

Ivone Reina Barbieri



Sumário

Aprendizagem lúdica no ensino de álgebra e geometria com o jogo “dominó das

quatro cores” ......................................................................................................... 1

Jogos para o ensino de aritmética modular e geometria ............................................ 3

Metodologia para o ensino da matemática baseada na motivação ............................ 6

Atividades matemáticas com o GeoGebra: reflexões dos cursistas referente à

proposta de um curso de formação ....................................................................... 9

Introdução aos sistemas caóticos ............................................................................. 13

Análise de uma dinâmica não linear de um biodigestor via técnica de Lyapunov .. 15

EJA: problemas do afastamento escolar .................................................................. 18

Um sistema dedutivo em tableaux para a lógica do paradoxo LP ......................... 20

O ensino de geometria através da técnica de dobradura.......................................... 24

O que a Revista Documenta tem nos dito sobre formação de professores de

matemática .......................................................................................................... 27

Sobre condicionais e a avaliação PISA ................................................................... 31

Um estudo de módulos de (co)homologia ............................................................... 34

Construção de rotinas com vistas a trabalhar as definições clássica e frequentista de

probabilidade ...................................................................................................... 37



RESUMOS



XXVII Semana da Licenciatura em Matemática e 2º Encontro de Formação do Professor de Matemática e Tecnologias Digitais 1

APRENDIZAGEM LÚDICA NO ENSINO DE ÁLGEBRA E

GEOMETRIA COM O JOGO “DOMINÓ DAS QUATRO CORES”

Ana Beatriz Alves Ribeiro da Silva; Cristiane Alexandra Lázaro; Tatiana Miguel

Rodrigues; Clayton Eugênio Santos; Michel Alberton Lovizoto Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática,

[email protected]

Palavras-chave: Matemática; jogos; geometria.

Resumo

Neste trabalho apresentamos um dos jogos do

Projeto de Extensão “Ensinado Matemática

através de Jogos, Modelos Geométricos e

Informática”, o “Dominó das Quatro Cores”.

Este projeto tem como objetivo desenvolver entre

os alunos do ensino fundamental e médio o

estímulo pelo interesse em Matemática e o

aprimoramento de seus conhecimentos nesta

área, o que é propiciado através do contato com

problemas desafiantes e da interação com outros

colegas e docentes, despertando o gosto e

interesse pela investigação matemática, através

dos jogos, modelos geométricos e softwares. Este

jogo pretende colaborar com a habilidade do

aluno em criar estratégias para resolver

problemas.

Introdução

Em razão da colocação do Brasil em

patamares tão baixos em relação ao ensino de

Matemática, tanto em índices nacionais, quanto

internacionais, resolvemos trabalhar com jogos

para tentar instigar o gosto pela Matemática e

reverter este quadro, pelo menos na cidade de

Bauru, local que a Unesp se encontra.

Para muitos o ensino tradicional de

matemática ainda é aceito, mas, nos dias de hoje,

não só decorar fórmulas, tabelas é suficiente. Daí

a pergunta, com tanta tecnologia e formas

diversas de entretenimento, como fazer para que

os alunos se interessem por matemática? Há

muitas respostas para essa pergunta, uma delas

seria trabalhar com a matemática de maneira

divertida e prazerosa, mas como? Utilizar jogos

matemáticos que atendam a maioria dos níveis de

ensino parece ser uma ótima forma, pois atinge

tanto os alunos quanto a comunidade e os

professores.

Ao trabalhar com jogos, habilidades

como organização, raciocínio, atenção,

concentração, necessárias para o aprendizado da

Matemática e que ficam ocultos durante as aulas,

estão sempre presentes.

O uso dos jogos no ensino vai além de

influenciar o aprendizado de conceitos como

também é um importante meio para a

descentralização de cada aluno, pois este passa a

pensar em grupo, a querer ajudar o grupo,

respeitar o argumento do colega e a buscar novos

raciocínios.

Com os jogos, os alunos a priori fazem

observações e tentam, muitas vezes sem

raciocinar de forma empírica, buscar uma

solução, uma estratégia de como ganhar. Depois

das primeiras tentativas, os conceitos

matemáticos que foram aprendidos surgem como

estratégias para jogar e ganhar.

O projeto está no seu 4º ano consecutivo,

sendo aplicado nas escolas estaduais da cidade de

Bauru. Vamos relatar um pouco sobre o jogo

“Dominó das quatro cores”.

Metodologia

Inicialmente foi feita a confecção do jogo

em espuma vinílica acetinada - E.V.A. Em

seguida, após a construção dos jogos, foram

discutidos os conceitos matemáticos envolvidos

no jogo e foram feitos treinamentos para

apresentação dos alunos nas escolas. Os alunos

bolsistas e voluntários apresentaram os jogos, em

especial o “Dominó das quatro cores”, em forma

de oficina em várias escolas públicas da cidade

de Bauru. Foram escolhidas as salas da 6ª série

(7º ano) até a 2ª série do ensino médio.

Resultados e discussão

O “Dominó das quatro cores” surgiu

quando Francis Guthrie, em 1852, percebeu que

a maioria dos mapas era pintada com quatro

cores, sendo que não se podia repetir cores para

áreas adjacentes. Instigado por este problema,

mailto:[email protected]

XXVII SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA e 2º ENCONTRO DE FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA E



escreveu ao irmão para que este demonstrasse o

seguinte resultado: quatro cores são suficientes

para colorir qualquer mapa sem que regiões

vizinhas tenham a mesma cor. Este problema foi

parar nas mãos de A. de Morgan, o qual não

conseguiu resolvê-lo. Uma solução foi proposta

por Keneth Apple e Wolfgan Haken, porém até

hoje não foi aceita completamente.

O “Dominó das quatro cores” pode ser

construído em madeira, cartolina, papelão ou

E.V.A. nas cores amarela, azul, verde e vermelha

da seguinte maneira: seis peças retangulares com

lados medindo 3 cm e 9 cm, sendo duas amarelas,

duas azuis e duas verdes; seis peças retangulares

de lados de medidas 3 cm e 6 cm, sendo duas

azuis, duas vermelhas e duas verdes e seis peças

quadradas com lados medindo 3 cm, sendo três

azuis, duas vermelhas e uma amarela.

O objetivo deste jogo é construir um

quadrado com todas as peças de modo que peças

da mesma cor não se toquem, nem mesmo pelo

vértice. A proposta é que os jogadores busquem

a solução do problema cooperando entre si,

através de discussões intuitivas e analisando

possibilidades, outra forma é jogar por equipes.

Em qualquer uma das escolhas usa-se o seguinte

procedimento: 1) escolhe-se uma peça dentre

todas e a coloca em uma base quadrada de

tamanho 18 cm. Perde o jogo quem não consegue

colocar uma peça dentro do quadrado, usando as

regras do jogo. 2) Para começar o jogo, cada

jogador escolhe 9 peças. Quando for a sua vez de

jogar, o jogador deve colocar somente uma peça,

dentre as suas já escolhidas. O jogo prossegue até

o jogador (ou dupla/grupo) não conseguir mais

colocar peças para formar o quadrado. Ganha o

jogo aquele que tiver a menor quantidade de

peças.

Neste jogo aparecem duas questões

importantes, as quais ficam na cabeça do

estudante: “existe solução?” e “a solução é

única?”.

Além destas perguntas importantíssimas

que surgem em outros problemas de Matemática,

com este jogo também é possível ensinar sobre

simetria, medida (ou seja, quantos quadrados ou

retângulos são necessários para cobrir

determinada área) e área (por exemplo, explorar

a área de um quadrado e a área de um retângulo).

Observar para o aluno que ao trocarmos os

objetos que estão cobrindo a área do quadrado,

esta deverá permanecer a mesma.

Ao jogar o Dominó das Quatro Cores o

aluno iniciará, intuitivamente, seu aprendizado

em álgebra, pois utilizará operações algébricas

para calcular a área do quadrado (somando áreas

de quadrados e retângulos) e futuramente a

resolver equações do 2º grau.

Considerações finais

Trabalhar com jogos em geral é muito

divertido e estimulante, tanto para os professores

quanto para os alunos, ou seja, para a escola em

geral. No entanto, há de se tomar muito cuidado

para que os jogos não tragam consequências

negativas ou confusão na sala de aula, já que o

objetivo não é o de vencer, mas sim compreender

cada jogo e seu conteúdo matemático. O

“Dominó das quatro cores” é um ótimo jogo

educativo, pois envolve conceitos diferentes em

geometria e álgebra através de uma questão

simples que é cobrir um quadrado.

Tivemos uma resposta muito positiva

com os alunos, alguns chegaram a pedir que

voltássemos com mais frequência, os professores

até mesmo sugeriram que os jogos fossem parte

da metodologia da escola.

Referências bibliográficas

BORIN, J. Jogos e resolução de problemas:

uma estratégia para as aulas de matemática.

5. ed. São Paulo: CAEM/IME-USP, 2004.

GRANDO, R. C. O jogo e a matemática no

contexto da sala de aula. 2. ed. Campinas:

Paulus, 2008.

SELVA, K. R.; CAMARGO, M. O jogo

matemático como recurso para a construção do

conhecimento. In: X ENCONTRO GAÚCHO

DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2009,

Ijuí/RS. Anais... Ijuí: Unijui, 2009.

SILVA, A. F.; KODAMA, H. M. Y. Jogos no

ensino da matemática. In: II Bienal da

Sociedade Brasileira de Matemática, 2004,

Salvador. Anais...Salvador: UFBa, 2004.

JOGOS NO ENSINO DE MATEMÁTICA.

Disponível em:

<http://www.ibilce.unesp.br/#!/departamentos/m

atematica/extensao/lab-mat/jogos-no-ensino-de-

matematica/>. Acesso em: 23 mar. 2015.




JOGOS PARA O ENSINO DE ARITMÉTICA MODULAR E

GEOMETRIA

Ana Maria Maggi Trotti Fabrício; Cristiane Alexandra Lázaro; Tatiana Miguel

Rodrigues; Laís Fernanda Macedo Rosa; Gabriel Marques Neto Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática,

[email protected]

Palavras-chave: Jogos; ensino; aritmética.

Resumo

Este trabalho refere-se a uma alternativa

para se trabalhar com aritmética modular

com alunos do ensino fundamental e médio,

tendo por base jogos envolvendo o raciocínio

para classes de restos de uma divisão de

números. Destaca-se aqui o jogo “Avançando

com o resto”, o qual observa-se de grande

utilidade em intervenções realizadas nos

últimos anos em escolas estaduais na cidade

de Bauru. Esse jogo é construído pelos

participantes do projeto “Ensinando

Matemática através de Jogos, Modelos

Geométricos e Informática” tendo em vista

que um dos objetivos dos departamentos de

Matemática das universidades brasileiras é

estimular o interesse dos graduandos

ingressantes pelo raciocínio lógico e

incentivá-los a conhecer novos métodos de

ensino. Além disso, o enfoque ocorre para a

tentativa de melhorar o quadro brasileiro da

educação, que vem se apresentando defasado

nos últimos anos. Desta forma, o jogo se

apresenta como uma ferramenta no ensino da

Matemática, propiciando uma interação

maior entre professor e aluno, aproximando

assim a universidade da comunidade em

questão.

Introdução

Durante as reuniões de execução do

projeto de extensão “Ensinando Matemática

através de Jogos, Modelos Geométricos e

Informática” nos veio a seguinte pergunta:

“Como trabalhar com classes de restos da

divisão de números utilizando um jogo?”. Os

jogos naturalmente são relacionados com

sensações, disputa, competição e diversão.

Nesse trabalho, relaciona-se o jogo com uma

fundamentação teórica de forma a contribuir

para a aprendizagem como um todo.

Segundo (SELVA; CAMARGO, 2009,

p.4), “o jogo é um processo, no qual o aluno

necessita de conhecimentos prévios, interpretação

de regras e raciocínio, o que representa constantes

desafios, pois a cada nova jogada são abertos

espaços para a elaboração de novas estratégias,

desencadeando situações problemas que, ao serem

resolvidas, permitem a evolução do pensamento

abstrato para o conhecimento efetivo, construído

durante as atividades”.

O ato propriamente dito de jogar

proporciona aos alunos interações seja por meio de

negociações, opiniões dos colegas e contato com

conteúdo de matemática de forma concreta.

Baseado em tais relações, surge o jogo

“Avançando com o Resto”, que pretende suprir

essas lacunas abertas na aprendizagem

colaborando para o trabalho dos professores e

facilitando o desenvolvimento do raciocínio dos

alunos.

Objetivos

Este jogo tem como objetivo geral

desenvolver entre os alunos do ensino

fundamental e médio o interesse em aprender

Matemática e o aprimoramento de seus

conhecimentos nesta área destacando-se a

aritmética modular como conteúdo de ênfase.

Dessa forma é de suma relevância promover a

interação entre a universidade e a comunidade

oferecendo o contato entre os alunos das escolas

estaduais e os graduandos, que serão possíveis

professores, estimulando-os a desenvolverem

novas práticas pedagógicas, aprimorando seus

conhecimentos e auxiliando na aprendizagem,

oferecendo aos alunos situações desafiadoras e

métodos não convencionais de ensino para que os

mesmos possam ter um contato diferente com a

matemática.




Metodologia

A metodologia é baseada no uso de

jogos para o ensino de Matemática

proporcionando o desenvolvimento do

pensamento lógico dos alunos que podem

assumir uma postura crítica em determinadas

situações.

Descreve-se assim que o jogo

“Avançando com o resto” é direcionado

teoricamente para alunos do ensino

fundamental que por sua vez possuem

conhecimentos de multiplicação e divisão,

não impedindo que esse jogo seja utilizado na

introdução de tais conceitos.

O jogo é composto por um tabuleiro,

como apresentado na figura abaixo:

Esse tabuleiro foi confeccionado em

espuma vinílica acetinada - e.v.a. Para a

aplicação do jogo são necessários de um a dois

dados por tabuleiro e um marcador para

representar o jogador em cada casa. Após a

explicação sobre as regras do jogo, um aluno

joga o dado, verifica se o número sorteado é

divisível pelo número que está no tabuleiro.

Caso seja divisível, não sobrará resto e o aluno

não moverá seu marcador. Caso tenha resto,

ele avançará a quantidade de casas referente a

este. O objetivo final do jogo é o de chegar em

primeiro lugar ao espaço com a palavra FIM,

trabalhando com divisão e classe de restos,

seguindo as seguintes regras, conforme Borin

(2004):

Duas equipes jogam alternadamente.

1. Cada equipe movimenta a sua ficha

colocada, inicialmente, na casa de número 39.

2. Cada equipe, na sua vez, joga o dado e

faz uma divisão onde:

• O dividendo é o número da casa onde

sua ficha está;

• O divisor é o número de pontos obtidos

no dado.

3. Em seguida, calcula o resultado da divisão

e movimenta sua ficha o número de casas igual ao

resto da divisão.

4. A equipe deverá obter um resto que faça

chegar exatamente à casa marcada FIM sem

ultrapassá-la, mas se isso não for possível, ela

perde a vez de jogar e fica no mesmo lugar.

5. Vence a equipe que chegar primeiro ao

espaço com a palavra FIM.

Resultados e discussões

Ao longo do desenvolvimento e aplicação

do projeto “Ensinando Matemática através de’

jogos, modelos geométricos e informática, o jogo

“Avançando com o resto” foi de grande utilidade

e participação nas intervenções nas escolas de

nível Fundamental II e Médio. Diante da grande

quantidade de intervenções nas escolas pressupõe-

se que esse jogo foi de grande importância na

aprendizagem dos alunos, ressaltando assim a

importância de usar essa nova proposta de ensino.

Dentre as turmas que responderam ao

questionário nas diferentes escolas foi possível

perceber que, especificamente, o jogo

“Avançando com o resto” contribuiu com a

aprendizagem dos alunos de diversas formas.

Durante a aplicação foi possível observar as

reações dos alunos, a interação com os colegas e

com os professores, as intervenções feitas pelos

aplicadores sempre que os alunos tinham dúvidas,

as orientações feitas pelos professores das classes.

Além disto, um dos retornos positivos

desse jogo foram os comentários dos alunos que

pediam que o projeto voltasse a escola mais vezes.

Muitas escolas tiveram mais de uma intervenção e

o jogo “Avançando com o resto” esteve presente

em todas elas, contribuindo assim de forma

notável para o desenvolvimento cognitivo dos

alunos.

Conclusões

Podemos concluir que após a

apresentação do jogo “Avançando com o resto”

em algumas escolas, o jogo como instrumento

pedagógico constitui-se como um importante

aliado, visto que, o aluno é levado a refletir, a

trocar ideias com o grupo, e também a construir o

seu conhecimento superando as próprias

dificuldades. Nesse sentido, o trabalho do

professor é bem mais dinâmico.




Percebemos que as propostas de

atividades que envolvem jogos desafiam os

alunos sendo, dessa maneira, um importante

recurso didático, possibilitando diagnosticar o

que o aluno não sabe, bem como ampliar os

conceitos que já possui, como também, para

ajudar a ter novos. Ressalta-se, ainda, que a

cooperação entre os alunos durante a

realização do jogo foi grande, onde os

mesmos palpitavam, incentivavam os colegas

para que a partida fosse até o final.

Em todas as escolas em que foram

aplicados os jogos verificamos que os mesmos

proporcionaram novos conhecimentos,

colaboração entre os alunos, motivação para

participação, competitividade e muita

diversão. Também diagnosticamos as falhas

na aprendizagem dos conteúdos matemáticos

envolvidos. É evidente que para os

participantes dessa experiência, os jogos

matemáticos, em sua totalidade, favoreceram

o processo ensino-aprendizagem, assim

como, converteram as aulas em dinâmicas,

participativas, envolventes e principalmente

prazerosas.


BORIN, J. Jogos e resolução de problemas:

uma estratégia para as aulas de

matemática. 5. ed. São Paulo: CAEM/IME-

USP, 2004.

BROADBENT, F. W. Contig: a game to practice

and sharpen skills and facts in the four

fundamental operations. In: SMITH, S. E.;

Backman, C. A. Games and puzzles for

elementary and middle school mathematics

readings from the Arithmetic teacher. Reston,

Va: National Council of Teachers of

Mathematics, 1972. p. 388-390.

DINIZ, M. I. S. V. et al. Proposta curricular de

matemática para o CEFAM e habilitação

específica para o magistério. São Paulo: São

Paulo: Secretaria do Estado da Educação, 1990.

GRANDO, R. C. O jogo e a matemática no

contexto da sala de aula. 2. ed. Campinas:

Paulus, 2008.

KAMIL, C.; DEVRIES, R. Jogos em grupo na

educação infantil: implicações da teoria de

Piaget. São Paulo: Trajetória cultural, 1991.

SELVA, K. R.; CAMARGO, M. O jogo

matemático como recurso para a construção do

conhecimento. In: X ENCONTRO GAÚCHO

DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2009,

Ijuí/RS. Anais... Ijuí: Unijui, 2009.

SILVA, A. F.; KODAMA, H. M. Y. Jogos no

ensino da matemática. In: II Bienal da Sociedade

Brasileira de Matemática, 2004, Salvador.

Anais...Salvador: UFBa, 2004.

VYGOTSKY, L. S. Aprendizagem e

desenvolvimento intelectual na idade escolar. In:

VIGOTSKY, L. S.; LURIA, A. R.; LEONTIEV,

A. N. Linguagem, desenvolvimento e

aprendizagem. Tradução de Maria da Penha

Villalobos. 2. ed. São Paulo: Ícone, 1988. p. 103-

117.

JOGOS NO ENSINO DE MATEMÁTICA.

Disponível em:

http://www.ibilce.unesp.br/#!/departamentos/mat

ematica/extensao/lab-mat/jogos-no-ensino-de-

matematica/. Acesso em: 2 out. 2015.




METODOLOGIA PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA BASEADA

NA MOTIVAÇÃO

Anderson Ricardo Bessan; Luiz Francisco da Cruz

Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática,

[email protected]

Palavras-chave: Metodologia; ensino; matemática.

Resumo

Encontramos em nossas escolas alunos cada

vez mais desmotivados em aprender

matemática, principalmente pelo fato de não

entenderem os conceitos ensinados e como

consequência disso apresentam rendimento

insatisfatório nessa disciplina. O que motiva

aqueles que gostam de matemática é a

capacidade de resolver problemas, pois

quando conseguem a satisfação é imensa e a

motivação aumenta. Nessa perspectiva o

Projeto “Metodologia para o Ensino da

Matemática Baseada na Motivação”, dá a

oportunidade aos alunos participantes de

serem acompanhados em seus estudos,

fazendo com que passem a gostar de

matemática e sejam motivados a aprendê-la

através de uma metodologia que mostrará a

eles que são capazes.

Introdução

Uma das razões do baixo desempenho

em matemática por parte dos alunos é pelo

fato de não entenderem os conceitos

ensinados e não desenvolverem o raciocínio

lógico dedutivo tão necessário para a

compreensão desta na sua totalidade. Como

consequência apresentam um rendimento

insatisfatório nas avaliações, não conseguem

compreender os enunciados dos problemas

propostos e não adquirem uma maturidade

para estudarem sozinhos e fazerem as tarefas.

Isso leva à desmotivação. Então, é muito

comum ouvir dos alunos as afirmações tais

como: "...eu não gosto de matemática...";

"...eu não entendo o que o professor está

explicando..."; "...não consigo entender

matemática..."

A estas constatações atribuímos à situação

desfavorável em que se encontra o ensino

fundamental e médio praticado nas Escolas

Públicas, devido a vários fatores, os quais, durante

vários anos, sofrem com as Políticas Educacionais

equivocadas implementadas pelos Órgãos

Superiores, a não valorização dos professores, os

baixos salários, a falta de autonomia das Diretorias

de Ensino e das Diretorias das Escolas, dos

professores não capacitados e/ou a quantidade

insuficiente deles para atender a demanda do

Estado e, o que é mais agravante, a falta de

interesse pela profissão, ou seja, ninguém mais

quer ser professor. Aliado a tudo isto está presente

uma sociedade diferente, na qual os valores

familiares são outros, deixando muitas vezes a

responsabilidade da educação inicial, das questões

éticas e da disciplina necessária dos seus filhos

para as Escolas, a qual, na verdade, deveria apenas

complementar esta etapa, causando sérios

problemas de mau comportamento, desrespeito,

violência, de convivência social, o desinteresse

pelo estudo e falta de perspectiva de um futuro

promissor advindo da educação escolar.

O Projeto “Metodologia para o Ensino da

Matemática baseada na Motivação”, vinculado

ao Núcleo de Ensino da Unesp e financiado pela

Pró-Reitoria de Graduação – PROGRAD, deu aos

alunos participantes a oportunidade de serem

acompanhados em seus estudos, fazendo com que

passassem a gostar de matemática e fossem

motivados a aprendê-la através de uma

metodologia que mostrou a eles que são capazes.

O que motiva aqueles que gostam de

matemática é a capacidade de resolver problemas.

Quando conseguem a satisfação é imensa e a

motivação aumenta. Se bem motivados, mesmo

que não consigam num primeiro momento, não

desistem, apenas adiam a tentativa de solucioná-

lo. No entanto, se não conseguem e não são

motivados, desistem, criam barreiras difíceis de

serem superadas e sentem-se incapazes de

aprender e, consequentemente, apresentam um

baixo rendimento escolar. Se a motivação e o

gosto pela matemática acontecerem por parte do




aluno desde os primeiros contatos, este não terá

problemas e nem dificuldades futuras no seu

desempenho escolar.

Metodologia O projeto ofereceu encontros

presenciais realizados nas dependências da

Escola Estadual Vera Campagnani, na

cidade de Bauru, semanalmente, todas às

quartas-feiras, das 10 às 12 horas, para os

alunos do 9º ano do ensino fundamental e das

14 às 16 horas, para os alunos da 1ª série do

ensino médio, sendo que cada turma com o

número máximo de 15 alunos. As aulas foram

ministradas por um aluno bolsista do Curso de

Licenciatura em Matemática, o qual foi

orientado por dois professores, sendo um o

coordenador do projeto (professor do

Departamento de Matemática – Unesp/Bauru)

e uma professora de matemática da Escola.

Através de um levantamento

realizado pela professora orientadora da

escola, o projeto deu prioridade aos alunos

com maior dificuldade e menor desempenho

escolar em matemática das séries já

mencionadas, o que não impediu a

participação de outros interessados, desde que

não ultrapassasse a quantidade de 15 alunos

por turma, pois com esta quantidade o

objetivo era atender de forma individual

aqueles que necessitassem ou solicitassem a

intervenção do bolsista.

Após esta etapa o bolsista e a

professora orientadora da escola decidiram

quais os conteúdos deveriam ser abordados

e/ou revistos. Para o nono ano do ensino

fundamental foram selecionados os seguintes

conteúdos: Conjunto dos Números Naturais,

dos Números Inteiros e dos Números

Racionais: Operações e suas propriedades:

adição, subtração, multiplicação e divisão.

Potenciação e radiciação e suas propriedades.

Para a primeira série do ensino médio foram

selecionados os seguintes conteúdos: Função:

definição, domínio e imagem, análise e

construção gráfica das principais funções

elementares.

Através de situações problemas os

alunos foram construindo os conceitos e

aplicando-os de forma natural. Incentivando a

participação de todos e atento às novas ideias,

às soluções alternativas, como os alunos

aprenderam, do que eles mais gostaram, na

tentativa de aproveitar estes momentos e

incorporar novas estratégias à metodologia

aplicada. Como por exemplo, foi pedido a eles

que trouxessem situações concretas do seu dia

a dia para resolverem juntos e satisfazer suas

curiosidades e necessidades. Neste momento

foi de fundamental importância a percepção

do bolsista em observar suas dificuldades e

não deixar o aluno permanecer com dúvidas.

Inicialmente foram propostas

situações problemas para serem resolvidos de

nível "fácil", ou seja, aqueles de aplicação

direta dos conceitos sem muito raciocínio

elaborado, apenas para fixação dos

mecanismos que envolvem estes conceitos.

Na tentativa da resolução eles iam percebendo

que precisavam de conteúdo teórico para

tanto. Então a próxima etapa foi a construção

dos conceitos necessários. Sempre de forma

participativa e coletiva o bolsista foi

ajudando-os nesta construção até que a teoria

formalizar-se na sua totalidade. Se dúvidas e

dificuldades fossem detectadas, o bolsista

resolvia os exercícios procurando mostrar

como utilizar o conceito a ser aprendido e o

raciocínio lógico para resolvê-lo.

Esta primeira etapa foi fundamental

para motivar o aluno. Por serem exercícios

"fáceis", esperava-se que eles conseguissem

resolvê-los, aumentando a motivação para

continuar e a confiança na capacidade de

aprender. Se necessário é importante dedicar

um tempo maior a esta etapa.

Assim prosseguindo o bolsista

gradativamente fez com que os conceitos

fossem construídos e problemas e exercícios

mais elaborados iam sendo introduzidos, até

que eles estivessem plenamente confiantes de

que eram capazes de prosseguir sozinhos,

pois, esperava-se que a motivação obtida lhes

desse a confiança necessária em continuar e

passassem a gostar de matemática.

Ao final do projeto através de uma

avaliação baseada no rendimento dos alunos e

no desenvolvimento do projeto como um

todo, analisando os pontos positivos e

negativos, novas ideias e estratégias servirão

de subsídio para aprimoramento da

metodologia e, consequentemente,

reformulação do projeto.

http://veracampagnani.blogspot.com/





A participação dos alunos foi

significativa que sempre compareciam com

muita vontade de aprender. Procuramos

propor uma série de atividades,

principalmente voltadas para a resolução de

problemas. Isso foi importante, pois aumentou

a motivação e a curiosidade de tentar resolvê-

los. Como previsto na metodologia, de início

foram propostos problemas bem simples

encontrados no cotidiano de cada um deles,

com a finalidade de mostrar que eram capazes

de resolver e aprender o conteúdo abordado,

para num segundo momento propormos

problemas mais elaborados e isso funcionou

muito bem.

Os objetivos do projeto foram

alcançados, uma vez que pudemos perceber

que os alunos têm a plena consciência das suas

dificuldades e desmotivação com a

aprendizagem da matemática, mas se

empenharam na tentativa de reverter esta

situação, apresentando ao final um

rendimento melhor, não só nas avaliações

submetidas pelo próprio projeto, mas no seu

desempenho escolar de forma geral.


O trabalho conjunto entre o bolsista,

os professores orientadores e os alunos trouxe

resultados e uma experiência única na

construção e aplicação da metodologia

baseada na motivação, num trabalho de

pesquisa contínuo na tentativa da melhoria do

ensino fundamental e médio das Escolas

Públicas, os quais serão disponibilizados à

população acadêmica e a todos os

interessados.

A participação do aluno de graduação,

a princípio, se faz necessária para o

desenvolvimento do projeto na sua totalidade,

o qual pode envolvê-lo em situações

cotidianas da docência. Como um segundo

objetivo, o projeto funcionou como um

verdadeiro laboratório de ensino de

aprendizagem da docência. Todo o

conhecimento teórico adquirido em sala de

aula pelo bolsista foi aplicado na prática.

A metodologia da motivação utilizada

apresentou bons resultados e, com algumas

reformulações e melhor planejada, poderia ser

aplicada em todo ensino fundamental e médio.

No entanto, seria necessário que os Órgãos

Superiores permitissem e dessem a

contrapartida para implementação de tal

metodologia, pois a mesma acarretaria em

mudanças do planejamento escolar.


D'AMBROSIO, U. Educação matemática:

da teoria à prática. São Paulo: Papirus

Editora, 1996.

FREINET, C. As técnicas Freinet da escola

moderna. Lisboa: Estampa, 1975.

FREIRE, P. Educação e atualidade

brasileira. 3. ed. São Paulo: Cortez Editora,

2001.

?




ATIVIDADES MATEMÁTICAS COM O GEOGEBRA:

REFLEXÕES DOS CURSISTAS REFERENTE À PROPOSTA DE

UM CURSO DE FORMAÇÃO

Anne Caroline Paim Baldoni; Sueli Liberatti Javaroni; Patrícia Fasseira Andrade; Maria

Teresa Zampieri Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática,

[email protected]

Palavras-chave: Laboratório de informática; tecnologias digitais; anos finais do ensino fundamental.

Resumo

Esse trabalho apresenta o planejamento e o

desenvolvimento de atividades matemáticas

aplicadas a professores de Matemática em um

curso de extensão universitária de formação

continuada, que aconteceu em 2014, na

cidade de Bauru, com momentos presencias e

a distância, cujo intuito era promover

reflexões sobre o uso das tecnologias digitais,

em particular, o software GeoGebra.

Inicialmente, foi criado um grupo no

Facebook com os colaboradores do projeto

Mapeamento e, também, eram feitas reuniões

virtuais para planejar o curso, definir sua

dinâmica, bem como as atividades que seriam

desenvolvidas. Posteriormente, nos encontros

do curso, foram propostas atividades cujos

temas haviam sido sugeridos pelos próprios

professores participantes, assim o

cronograma de atividades era passível de

mudanças. Ao término de cada atividade, era

realizada uma discussão, no qual alguns

professores sugeriram mudanças nos

roteiros, bem como no objetivo das

atividades. A postura crítica evidenciada ao

longo das discussões nos mostraram distintas

maneiras que esses professores participantes

do curso enfrentam em suas zonas de risco.

Introdução

O presente trabalho apresenta o

planejamento e o desenvolvimento de

atividades matemáticas com o software

1 A pesquisa de doutorado da quarta autora

está sendo financiada pela FAPESP, processo

#2014/27166-9. 2 O Programa Observatório da Educação foi

instituído pelo Decreto Presidencial nº 5.803, de 08

GeoGebra, bem como reflexões acerca do

desenvolvimento das mesmas, além das

apresentação das impressões de alguns

trabalhos finais, que ocorreram em um curso

de extensão universitária de formação

continuada intitulado “Currículo no Ensino

Fundamental II e atividades matemáticas com

software: articulações possíveis”, ofertada

para professores de Matemática da rede

estadual de ensino da cidade de Bauru, que

ocorreu no período de agosto a novembro de

2014. Tal curso foi cenário de uma pesquisa

de doutorado que está em desenvolvimento

pela quarta autora1 desse artigo e elaborado a

partir de resultados oriundos do projeto

“Mapeamento do uso de tecnologias da

informação nas aulas de Matemática no

Estado de São Paulo”, coordenado pela

Professora Doutora Sueli Liberatti Javaroni,

vinculado ao Programa Observatório da

Educação (OBEDUC 2012)2, financiado pela

CAPES, que tem como propósito diagnosticar

como as tecnologias digitais são utilizadas,

em particular, o uso do computador, nas aulas

de Matemática nos anos finais do Ensino

Fundamental das escolas estaduais públicas

paulistas.

Resultados das pesquisas e o

planejamento do curso

A pesquisa de iniciação científica -

IC, desenvolvida pela primeira e terceira

autora, teve início em maio de 2013 e teve

como objetivo averiguar as condições físicas

de junho de 2006. Disponível em:

http://www.capes.gov.br/educacao-

basica/observatorio-da-educacao




dos laboratórios de informática das escolas

públicas pertencentes à Diretoria de Ensino

(DE) de Bauru. Em Andrade, Baldoni e

Javaroni (2014), as autoras discutem os

resultados dessa pesquisa. Em 2013,

concomitantemente a essa pesquisa, ocorreu

uma pesquisa de mestrado, na qual Oliveira

(2014) teve o intuito de entender se os

professores de Matemática faziam uso dos

laboratórios de informática em suas aulas e

apontar os modos de utilização, e em caso em

que não era utilizado, entender os motivos.

Em 2014, a pesquisa de IC deu continuidade a

pesquisa de 2013 e, a partir de questionários

respondidos pelos professores de Matemática,

foi constatado que 7 dos 13 professores

entrevistados disseram não utilizar os

laboratórios de informática de suas

respectivas escolas. Os percalços que levavam

a não utilização eram: um número reduzido de

computadores em relação ao número de

alunos, a falta de um profissional para auxiliar

nas aulas e, também, a falta de formação

adequada.

A partir desses resultados, bem como

de demais pesquisas vinculadas ao projeto

Mapeamento (ANDRADE; ZAMPIERI;

JAVARONI, 2014; CHINELLATO, 2014;

OLIVEIRA, 2014), foi planejado um curso de

extensão universitária de formação

continuada ofertada aos professores de

Matemática, cujo propósito era promover

reflexões sobre o uso das tecnologias digitais,

em particular, o software GeoGebra. Para a

elaboração da proposta do curso, houve o

envolvimento de alunos de iniciação

científica, de mestrandos, de doutorandos e

professores coordenadores do núcleo

pedagógico (PCNP) das Diretorias de Ensino

colaboradores do projeto Mapeamento.

Inicialmente, montou-se um grupo de

estudos cujas reuniões virtuais eram feitas

semanalmente pelo ambiente virtual Adobe

Connect. Nessas reuniões eram discutidos o

que o curso iria abordar e como seria a

dinâmica, conforme já discutido em Zampieri

e Javaroni (2014). E também, alguns

participantes trouxeram roteiros, sendo parte

deles articulados ao currículo, trazendo

atividades do Caderno do Aluno.

Desenvolvimento do curso

O curso teve início em agosto de 2014

e seu término em novembro do mesmo ano,

com 26 professores inscritos, constituindo-se

de forma semipresencial, com duração de 32

horas presenciais no laboratório de

informática da DE de Bauru e 8 horas à

distância no Ambiente Virtual Acadêmico

(AVA) Moodle. No primeiro encontro, foi

discutida a dinâmica do curso com os demais

participantes. Com essa discussão ficou

decidido ter como foco do curso a exploração

do software GeoGebra, tendo como base as

salas de aula dos professores participantes, o

tema que eles tinham o interesse de abordar e

o currículo do Estado de São Paulo. Essa

decisão foi tomada porque os professores

foram incisivos que o maior interesse deles

era o aprofundamento do GeoGebra.

Assim, antes que fossem propostas as

atividades no GeoGebra, no segundo

encontro, foi projetada a tela do computador

central e foi feita uma apresentação do

software. Desta forma, os professores iam

explorando as ferramentas em seus

computadores.

A cada encontro eram propostas de 3

a 4 atividades e, ao final de cada uma, eram

discutidas as potencialidades, bem como as

limitações do software. Além disso, era

proposto que cada professor tecesse suas

críticas tendo em mente o aprendizado de seus

alunos. O rol de atividades foi constituído

pelos seguintes temas: Funções

(trigonométricas, lineares, quadráticas),

Sistemas de equações lineares de duas

incógnitas, Soma dos ângulos internos do

polígono, Construções de sólidos

geométricos, Teorema de Pitágoras, Relações

métricas no triângulo retângulo, Casos de

semelhanças de triângulos, entre outros. Cabe

destacar que alguns dos temas foram

sugeridos pelos próprios participantes, assim

o cronograma de atividades era passível de

mudanças visando sempre as salas de aulas

dos professores.

Metodologia

O curso foi cenário de investigação de

uma pesquisa de doutorado, a qual segue a

abordagem qualitativa. Em Zampieri e




Javaroni (2014) é apresentado o objetivo da

pesquisa e sua metodologia. Assim como esta,

as pesquisas vinculadas ao projeto

Mapeamento se apoiam nessa abordagem,

pois têm interesse em aspectos

epistemológicos da formação de professores

de matemática. Para atingir tais propósitos, os

autores optam pela abordagem qualitativa,

pois buscam compreender aspectos subjetivos

dentro de seus trabalhos de campo.

Para atender aos propósitos desse

artigo, foram analisados os relatos de campo

dos encontros do curso, os quais foram

produzidos por parte da equipe proponente do

curso. Pretende-se discutir esses dados de

forma articulada ao que Borba e Penteado

(2001) defendem sobre o enfrentamento das

zonas de risco. Segundo esses autores,

caracterizam-se zonas de risco situações

imprevisíveis durante a aula relacionada ao

manuseio do software, ou até mesmo em

relação às limitações dos laboratórios de

informática. Os autores ainda argumentam

que “não é possível se manter numa zona de

risco sem se movimentar em busca de novos

conhecimentos.” (BORBA; PENTEADO,

2001, p. 63). Assim, o professor deve procurar

sempre estar se atualizando na área da

informática, bem como em relação a

diferentes metodologias de ensino.


Durante as discussões ao término de

cada atividade, alguns professores sugeriram

modificações nas abordagens propostas e, até

mesmo, outra abordagem. Nesse sentido,

destacamos as atividades de Soma dos

ângulos internos do polígono e Semelhança de

triângulos, no qual um dos professores sugeriu

que fosse feito, na primeira atividade, o

manuseio de uma das ferramentas de forma

diferente que sugeria o roteiro e, na segunda

atividade, outro professor foi além do que

propunha o roteiro, fazendo com que a

atividade ficasse mais completa, melhorando

assim a compreensão daquele conteúdo.

No último encontro, os professores

relataram como foi levar suas turmas aos

laboratórios de informática. Vale destacar

uma atividade que duas professoras aplicaram

cujo tema era Teorema de Tales e Relações

Trigonométricas. Elas relataram que, embora

tenham ocorrido dificuldades técnicas, houve

interesse por parte dos alunos. Em particular,

elas relataram o caso de um aluno que,

normalmente, não era participativo, mas se

mostrou interessado e inclusive ajudou um

colega a sanar suas dúvidas.

A postura crítica evidenciada ao

longo das discussões depois da realização de

cada atividade, e, principalmente, no decorrer

das apresentações finais, nos mostraram

distintas maneiras que esses professores

participantes do curso enfrentam em suas

zonas de risco (BORBA; PENTEADO, 2001).

Entretanto, aqui apenas fazemos um

apontamento inicial sobre como aconteceram

esses enfrentamentos, assim uma análise mais

aprofundada já está sendo feita pela

doutoranda, e será compartilhada com o meio

acadêmico posteriormente. Portanto, essa

discussão continua.


ANDRADE, P. F.; ZAMPIERI, M. T.;

JAVARONI, S. L. O computador e a prática

pedagógica: os laboratórios de informática

das escolas estaduais públicas de Bauru. In:

II CONGRESSO NACIONAL DE

FORMAÇÃO DE PROFESSORES E XII

CONGRESSO ESTADUAL PAULISTA

SOBRE FORMAÇÃO DE PROFESSORES,

2014, Águas de Lindoia/SP. Anais... Águas

de Lindóia, 2014, p.1-9.

ANDRADE, P. F.; BALDONI, A. C. P.;

JAVARONI, S. L. A escola pública e o uso

do computador: um olhar para a estrutura

física dos laboratórios de informática das

escolas da Diretoria de Ensino de Bauru.

XXVI Congresso de Iniciação Científica da

Unesp, 2014, Águas de Lindóia/SP. Anais...

Águas de Lindóia, 2014.

BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G.

Informática e educação matemática. Belo

Horizonte: Autêntica, 2001.

CHINELLATO, T. G. O uso do

computador em escolas públicas estaduais

da cidade de Limeira/SP. 2014. 104 f.

Dissertação (Mestrado em Educação

Matemática)- Instituto de Geociências e

Ciências Exatas, Universidade Estadual




Paulista Júlio de Mesquita Filho, Rio Claro,

2014.

OLIVEIRA, F. T. A inviabilidade do uso

das tecnologias da informação e

comunicação no contexto escolar: o que

contam os professores de matemática?. 2014.

169 f. Dissertação (Mestrado em Educação



Paulista Júlio de Mesquita Filho, 2014.

ZAMPIERI, M. T.; JAVARONI, S. L.

Formação continuada de professores de

matemática: possibilidade de um curso

semipresencial. In: SIMPÓSIO

INTERNACIONAL DE EDUCAÇÃO A

DISTÂNCIA, ENCONTRO DE

PESQUISADORES EM EDUCAÇÃO A

DISTÂNCIA, 2014, São Carlos. Anais... São

Carlos: UFSCar, 2014.




INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS CAÓTICOS

Daniel Zarpelão Porcel; Tatiana Miguel Rodrigues


[email protected]

Palavras-chave: Equações diferenciais; sistemas dinâmicos; caos.

Resumo

O estudo dos Sistemas Dinâmicos teve início

com o Cálculo Diferencial e Integral

descobertos por Newton e Leibniz, com a

finalidade de resolver problemas motivados

por conceitos físicos e geométricos. Com sua

evolução obteve a consolidação das Equações

Diferenciais como uma nova área na

matemática, transformando em uma das

disciplinas mais importantes no setor de

pesquisa científica. O crescimento dessa nova

área foi devido às contribuições de

matemáticos como Euler, Lagrange e

Laplace, fazendo com que o conhecimento das

equações diferenciais se expandisse, no

Cálculo das Variações, na Mecânica Celeste

e na Dinâmica de Fluídos. É possível notar

através de equações pertencentes aos

sistemas, muitos comportamentos

complicados em que uma forma algébrica não

indica que o comportamento dinâmico é

simples, no qual ele poderá ser “caótico”.

Portanto, foram estudados nesse trabalho, os

conceitos básicos sobre Teoria de Sistemas

Dinâmicos, desde análise de equações,

gráficos, bifurcações e até finalmente chegar

o Caos.

Introdução

Os Sistemas Dinâmicos ocorrem em

vários ramos da ciência, como por exemplo,

na física, biologia e na matemática. Uma

importante razão para estudar os sistemas

dinâmicos é entender o comportamento ao

longo do tempo de estados de um sistema para

o qual há uma regra que determina como os

estados evoluem. Em vários sistemas, muitos

comportamentos complicados são observados

através de equações. A fórmula algébrica das

equações não significa que o comportamento

dinâmico é simples: de fato, ele pode ser

muito complicado ou "caótico". Outro aspecto

da natureza caótica do sistema é a

"sensibilidade às condições iniciais". Essa

característica deixa outra dificuldade em usar

soluções aproximadas ou reais para predizer o

futuro dos estados baseados no conhecimento

presente. Para desenvolver um entendimento

desses aspectos da dinâmica caótica,

pretendemos estudar situações que exibam

seu comportamento e ainda que nos permitam

entender as características importantes de

como uma solução evolui com o tempo.

Objetivos

Temos como objetivo, compreender o

conceito matemático de caos, com estudos

baseados em modelos simples, aplicando as

ideias estudadas para pesquisar sistemas reais.

Materiais e métodos

Foram utilizadas técnicas

matemáticas e softwares. Empregamos alguns

processos para efetuar simulações e

desenvolver numericamente as equações.

Resultados e discussão

O comportamento de um sistema

caótico foi estudado através de uma aplicação

da forma: Xn+1= µ Xn (1- Xn), para a qual é

possível perceber as modificações que

ocorrem em cada posição Xn, a partir do

momento em que há uma mudança de valores

em µ. Analisando o gráfico, nota-se que

quanto maior valor de µ há uma maior

irregularidade (isto é, caos. No gráfico 1

temos µ>3,5).

Com o aumento de µ, o número de

oscilações é duplicado, até que os valores se

tornem infinitos e a não-linearidade desse

sistema dificulta a determinação do seu

estado. Sendo assim, percebe-se que as

sequências de iterações inicialmente se




distanciam muito rápido. Este fato torna o

sistema imprevisível.

Gráfico 1

Existem duas aplicações básicas para

esse conceito estudado as quais são: o controle

do caos e a sincronização. Podemos aplicar

esta teoria, por exemplo, para o estudo da

previsão meteorológica.

Segundo Lorenz (gráfico 2), a

previsão pode ser modelada da seguinte

maneira (onde ,r,b são parâmetros

constantes):

Gráfico 2

Conclusões

O estudo da aplicação mencionada

permitiu um entendimento do comportamento

caótico e da aplicação em um caso real

(previsão do tempo). Através deste estudo, das

representações gráficas e de tabelas

obtivemos um conhecimento das condições

iniciais e seus comportamentos com o

decorrer do tempo.

Agradecimentos

Agradecemos à Fundação de Amparo

à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP-

processo número 2015/03291-1).


ALLIGOOD, K.T.; SAUER, T. D.; YORKE,

J. A. Chaos: an introduction to dynamical

systems. New York: Springer, 1996.

DEVANEY, R. L. An introduction to

chaotic dynamical systems. 2. ed. Reading,

Mass.: Addison-Wesley, c1989.

PALIS JUNIOR, J.; MELO, W. Introdução

aos sistemas dinâmicos. [Rio de Janeiro]:

IMPA, c1978.




ANÁLISE DE UMA DINÂMICA NÃO LINEAR DE UM

BIODIGESTOR VIA TÉCNICA DE LYAPUNOV

Gustavo Chaves Tanaka; Célia Aparecida dos Reis

Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática, [email protected]

Palavras-chave: Biodigestor; sistema autônomo; estabilidade assintótica.

Resumo

Na atualidade, a busca por energias

renováveis e sem impactos ambientais é de

grande importância. Neste contexto, o estudo

de biodigestores é de suma relevância,

principalmente em pequenas propriedades

rurais. Neste trabalho efetuou-se um estudo

de um modelo matemático não linear

simplificado de um biodigestor, existente na

literatura, que relaciona a quantidade de

bactérias que produzem o biogás e a

quantidade deste gás que permanece no

interior do biodigestor. Os biodigestores em

geral consistem numa câmara que armazena

matéria orgânica fresca e substrato ou

biomassa, que produz um gás combustível.

Este material pode ser de origem humana,

animal ou vegetal, e tem como finalidade a

produção sustentável de energia e

biofertilizantes, no qual ocorre a fermentação

anaeróbica (quando não precisa de oxigênio).

Além disso, o material que sobra no final

deste processo é chamado de biofertilizante.

Dentre os modelos de biodigestores presentes

na literatura, destaca-se o modelo indiano, o

chinês e o de batelada, os quais são

apropriados e mais utilizados em

determinadas regiões, de acordo com suas

diferentes condições geográficas. O modelo

adotado neste trabalho é o modelo indiano.

Efetuou-se um estudo quantitativo e

qualitativo do plano de fase desta dinâmica

não linear, incluindo a determinação e a

classificação dos pontos críticos e a análise

da estabilidade assintótica. Prova-se que os

existem dois pontos críticos sendo um a

origem e outro fora da origem. Além disso,

condições necessárias e suficientes são

obtidas para a análise do ponto crítico não

nulo.

Introdução

No mundo em que vivemos, e da

forma como vivemos, é de suma importância

estudar meios de produção de energia que

tenham o menor impacto ambiental possível e

o máximo de rendimento energético num

custo mínimo. Pensando nisso, a ciência vem

caminhando para encontrar recursos que

supram estas necessidades. Neste contexto, o

estudo de biodigestores é de grande

relevância, principalmente em pequenas

propriedades rurais. Estes, em geral consistem

de uma câmara que armazena matéria

orgânica fresca e substrato ou biomassa, o

qual produz um gás combustível. Este

substrato pode ser de origem humana, animal

ou vegetal, tendo como finalidade a produção

sustentável de energia e biofertilizantes, no

qual ocorre a fermentação anaeróbica. Este

gás combustível pode ser convertido em

eletricidade ([7]; [3])

A história dos biodigestores é antiga e

a Índia foi o primeiro país a instalar

biodigestores para a produção de biogás, por

volta de 1908. Na China a instalação iniciou-

se na década de cinquenta. No Brasil, essa

implantação começou na década de setenta,

sendo a maioria do tipo chinês e indiano [4].

Na literatura existem diversos

modelos de biodigestores. Em [7] são

destacados os mais utilizados: os modelos

indiano, chinês e de batelada. Porém, neste

trabalho, adota-se o modelo indiano.

A principal função de um biodigestor

é a produção do biogás e biofertilizantes. O

biodigestor fornece as condições necessárias

para que o biogás seja liberado pela mistura

orgânica armazenada em temperaturas

adequadas, de acordo com suas diferentes

condições geográficas, tendo como finalidade

a conversão de biogás em energia elétrica, e o

biofertilizante de promover a boa qualidade

do solo para plantações ([7]; [2]).




A justificativa para o estudo de

biodigestores reside no fato de que, além da

produção de energia, os biodigestores em

geral promovem o saneamento do meio

ambiente, trazem a vantagem da redução de

sólidos e também de microrganismos

patogênicos presentes nos efluentes,

estimulam a reciclagem da matéria orgânica e

de nutrientes, possibilitam a higienização das

instalações para criação de animais,

promovendo o tratamento de seus dejetos e

proporcionando a diminuição de moscas e

odores ([1]; [6]; [8]).

Neste trabalho considera-se uma

dinâmica não linear de um biodigestor, o qual

relaciona a quantidade de bactérias que

produzem o biogás e a quantidade deste gás

que permanece no interior do biodigestor [3].

Efetuou-se um estudo quantitativo e

qualitativo do plano de fase desta dinâmica

não linear, incluindo a determinação e a

classificação dos pontos críticos e a análise da

estabilidade assintótica em torno destes

pontos.

Objetivos

O objetivo deste trabalho é a análise

qualitativa e qualitativa de um sistema não

linear de equações diferenciais ordinárias-

EDO’s [3] que modela a relação entre a

população de bactérias e quantidade de biogás

produzido e que permanece no interior de um

biodigestor indiano.

Fundamentação teórica

Considera-se, neste trabalho, uma

dinâmica não linear de um biodigestor que

relaciona a quantidade de bactérias que

produzem o biogás e a quantidade deste gás

que permanece no interior do biodigestor [3]

indiano, conforme a figura 1:

Figura 1: Biodigestor Modelo Indiano [3]

Segundo [3], a variação da quantidade

de biogás no interior do biodigestor é

proporcional à quantidade de bactérias

presentes e sua diminuição pode ser traduzida

pelo tipo de retirada conforme o seguinte

sistema não linear de EDO:

ykxdt

dy

pxyxdt

dx

(1)

sendo que x(t) é quantidade de bactérias que

produzem o biogás, y(t) é quantidade de

biogás produzido e que permanece no interior

do biodigestor, p, k, α, β são constantes

positivas, pxy é responsável pelo fator de

inibição das bactérias e h(y,t) = βy é a função

que representa o tipo de retirada do biogás.

Neste caso, isto significa que a retirada é

proporcional à quantidade existente e β é a

taxa de colheita.

O estudo efetuado baseia-se na

determinação de pontos críticos, construção

do plano de fase deste sistema autônomo,

classificação destes pontos críticos via

métodos de Lyapunov e estudo de estabilidade

assintótica. Prova-se que existem dois pontos

críticos, a saber, a origem e um ponto

deslocado da origem.

Para a determinação dos pontos

críticos da dinâmica (1), considera-se que

,0ykx

0pxyx

que fornece as soluções

)0,0(P1 e

,

pP2 .

Para a análise do ponto crítico P1,

usando o método de Lyapunov, a contraparte

linear da dinâmica não linear (1) um tem

polinômio característico dado por:

0)(2 , (2)

cujas raízes características são λ1 = α > 0 e λ2

= - β < 0. Portanto, P1 é um ponto de sela e,

portanto, instável [3].

A análise do ponto crítico P2, que é

realmente o ponto de interesse para análise do

biodigestor, será efetuada quantitativamente

em trabalhos futuros.




Resultados e discussões.

De (2), tem-se que P1 é assintoticamente

estável se e somente se λ1 = α < 0. A figura 2,

a seguir, mostra o plano de fase da dinâmica

não linear (1) em torno do ponto

,

pP2 , levando-se em conta os

seguintes valores de parâmetros: α = 1, p =

0.5, k = 1 e β = 1/4. Nota-se que P2 é um ponto

em espiral assintoticamente estável. Observa-

se que a curva no plano de fase inicia-se em

(3, 3) e converge para o ponto de equilíbrio

,

pP2 . Desta forma, tanto a

população de bactérias quanto o biogás no

interior do biodigestor tendem a um valor

limite.

Conclusões

Efetuou-se neste trabalho um estudo

quantitativo e qualitativo de uma dinâmica

não linear de um biodigestor, o qual relaciona

a quantidade de bactérias que produzem o

biogás e a quantidade deste gás que

permanece no interior do biodigestor. Provou-

se que esta dinâmica apresenta dois pontos

críticos, a origem sendo instável e um ponto

deslocado, cuja análise foi efetuada

computacionalmente. Neste caso, observa-se

que a população de bactérias e o biogás no

interior do biodigestor tendem a um valor

limite.

Para trabalhos futuros, pretende-se

efetuar a análise quantitativa do segundo

ponto crítico, determinando as condições para

estabilidade assintótica do mesmo.

Figura 2: O plano de fase da dinâmica (1)

em torno do ponto crítico P2.


[1] ANDRADE, M. A. et al. Biodigestores

rurais no contexto da atual crise de energia

elétrica brasileira e na perspectiva da

sustentabilidade ambiental. In: ENCONTRO

DE ENERGIA NO MEIO RURAL, 4., 2002,

Campinas. Anais... Campinas: UNICAMP,

2002. 1 CD-ROM.

[2] BALMANT, W. Concepção, construção

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anaeróbica. 2009. 59 f. Dissertação

(Mestrado em Engenharia e Ciência dos

Materiais)- Universidade Federal do Paraná,

Setor de Tecnologia, 2009.

[3] BASSANEZI, R. C.; FERREIRA JR, W.

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São Paulo: Harbra, 1988. 572 p.

[4] CARIOCA, J. O. B.; ARORA, H. L.

Biomassa: fundamentos e aplicações

tecnológicas. Fortaleza: Universidade

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[5] EDWARDS, C. H.; PENNEY, D. E.

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Janeiro: Prentice-Hall do Brasil, 1995. 643 p.

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[7] PORTES, Z. A.; SILVA, H. O. F.

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[8] VIJAY, V. K.; PRASAD, R.; SING., J.

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Energy Congress. Denver, Colorado:

NREL, 1996. p. 993–996.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 31

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5Plano de Fase

Bactérias

Bio

gás

Pro

duzi

do




EJA: PROBLEMAS DO AFASTAMENTO ESCOLAR

Isabella Rodrigues Souza Silva; Eliana Marques Zanata; Tiago Colombo Dias; Clayton

Eugenio Santos de Paula Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática,

[email protected]

Palavras-chave: Módulo introdutório.

Resumo

O trabalho a seguir refere-se ao módulo

introdutório, aplicado no Centro Estadual de

Educação de Jovens e Adultos "Presidente

Tancredo Neves" (CEEJA). O CEEJA é uma

modalidade de ensino a distância onde alunos

que, pelos mais variados motivos, tiveram que

parar seus estudos em determinado momento

de suas vidas e agora podem retomá-los.

Devido aos alunos estarem um longo período

longe dos estudos, percebeu-se que muitos

destes não apresentavam o desempenho que

os professores esperavam, e com a chegada

dos novos materiais essa situação se

evidenciou. Foi então que foi criado o módulo

introdutório. O material, que contém

exercícios com conceitos básicos da

matemática, foi elaborado em parceria entre

a coordenação do centro com os professores

de matemática, a fim de identificar as

dificuldades dos alunos e procurar sanar suas

dúvidas o quanto antes, para que essas não

comprometam o aprendizado dos futuros

conteúdos a serem estudados. Ao chegar no

CEEJA é apresentado o módulo introdutório

aos alunos. Estes levam o material para ser

resolvido em suas casas e retornam ao centro

para tirar suas dúvidas. O material está à

disposição de todos, até mesmo aqueles que

não estão cursando a matéria de matemática

podem tentar resolver os exercícios

propostos. Este módulo foi criado e aplicado

no ano de 2015 e teve grande aceitação da

parte dos alunos, pois estes após sanarem

suas principais dúvidas no início dos estudos,

se sentiam mais aptos para estudar e

aprender os demais conteúdos.

O projeto PIBID no EJA

O Centro Estadual de Educação de

Jovens e Adultos "Presidente Tancredo

Neves" (CEEJA) é uma modalidade de ensino

para pessoas que em algum momento de suas

vidas tiveram que deixar os estudos, mas que

desejam retomá-los. O CEEJA atende

estudantes do Ensino Fundamental (ciclo II) e

Ensino Médio de maneira semipresencial e os

conteúdos apresentados são divididos em

módulos. A metodologia do CEEJA busca

ativar a autonomia de seus alunos, fazendo

com que os mesmos estudem o conteúdo

proposto, esclarecendo eventuais dúvidas com

o professor e no momento em que estiver

disponível e se sentir apto, fazer a avaliação

do conteúdo estudado. Através do Projeto PIBID, que é um

programa de iniciação à docência, o CEEJA

recebe alunos de licenciatura de variadas áreas

a fim de trocar experiências com os

professores, tentando encontrar métodos de

ensino que possam facilitar a compreensão e

aumentar o interesse pelo estudo e também

ganhar experiência. Com a chegada dos novos materiais

de ensino, a coordenação, em conjunto com os

professores da área da Matemática, resolveu

montar um módulo introdutório para o Ensino

Fundamental com alguns exercícios, com o

objetivo de detectar possíveis dificuldades

com conceitos básicos da matemática que

serão muito necessários para o estudo e

aprendizado da disciplina, como por exemplo,

as quatro operações (adição, subtração,

multiplicação e divisão), números decimais e

interpretação de gráficos.

Divulgação e preparativos

O material foi elaborado pelos

professores de matemática pensando

justamente nas dificuldades que os alunos

poderiam ter, já que estes estavam há algum

tempo longe dos estudos. Para isso, o módulo

introdutório aborda os conceitos básicos de




matemática na forma de exercícios, fazendo

uso de exemplos do cotidiano, trazendo assim

um significado maior para os alunos. Participando do modulo introdutório,

os alunos podem relembrar de assuntos já

estudados há muito tempo, antes de

interromperem seus estudos, ou até mesmo

aprender os conceitos básicos da matemática,

caso seu ensino tenha sido negligenciado em

algum momento. Após terem contato com este material

e terem os conceitos básicos bem claros em

seu sistema cognitivo, os alunos estão aptos

para partir para o próximo modulo. O modulo introdutório possibilita que

os alunos aprendam os pré-requisitos

necessários para o aprendizado de novos

conteúdos, e possam fazer uma 'ponte' entre os

conceitos já aprendidos com aqueles que estão

por vir, tendo assim uma aprendizagem mais

significativa e efetiva. Essa aprendizagem

significativa é descrita como

“... um processo de armazenamento de

informações, condensação em classes mais

genéricas de conhecimentos, que são

incorporados a uma estrutura no cérebro do

indivíduo, de modo que esta possa ser

manipulada e utilizada no futuro. É a habilidade

de organização das informações que deve ser

desenvolvida” (MOREIRA & MASINI, 1982).

Assim podemos afirmar que existe

uma grande relação entre os conhecimentos já

estabelecidos com aqueles que futuramente

surgirão. “Os conceitos relevantes pré-

existentes na estrutura de conhecimento do

indivíduo permitem a “ancoragem” da nova

informação.'' (Larocca). O módulo

introdutório é obrigatório a todos aqueles que

iniciam seus estudos a partir do ensino

fundamental. Os alunos que apresentam

dificuldades em resolver as questões contidas

nesse material são encaminhados para aula

sobre o conteúdo, a fim de sanar suas dúvidas. As aulas referentes a esse módulo são

ministradas todas segundas e quartas-feiras, a

partir das 16h30min, mediante a demanda de

alunos. Vale ressaltar que os alunos podem

fazer quantas aulas forem necessárias e que as

aulas são abertas a outros alunos com

dificuldades mesmo que estes não estejam no

módulo introdutório. A divulgação do Módulo Introdutório

para o Ensino Fundamental foi através do

convite do professor ou do bolsista aos alunos

que iniciavam os estudos em matemática e

também através de cartazes que ficaram

expostos nos corredores das salas de aula, pois

o objetivo era atender todos os alunos do

CEEJA, independente da disciplina que

estiver cursando.

Conclusão

A criação do modulo introdutório

aconteceu devido ao receio que os alunos

tinham com a disciplina de matemática.

Devido a estarem um longo tempo longe dos

estudos, muitos alunos chegam com

dificuldades, principalmente em relação à

divisão e números decimais. Por isso a

elaboração desse material foi feita a fim de

detectar as dificuldades dos alunos,

permitindo aos professores, através das

orientações e das aulas, levarem os alunos a

compreenderem os conceitos básicos da

matemática, fazendo-os perder esse estigma

de que a matemática é algo impossível de se

aprender. Com a aplicação desse material,

percebeu-se que os alunos ficaram mais

familiarizados com os conceitos matemáticos

e se sentiram mais confortáveis para aprender

essa disciplina.


LAROCCA, P. A teoria cognitivista de

David Ausubel: um modelo de ensino.

Universidade Estadual de Ponta Grossa.

Disponível em:

<http://www.uepg.br/formped/disciplinas/Psi

cologiaEducacao/A_TEORIA_COGNITIVIS

TA_DE_DAVID_AUSUBEL.doc>. Acesso

em: 30 nov. 2015. Texto de aula.

MOREIRA, M. A. Ensino e aprendizagem:

enfoques teóricos. São Paulo: Moraes, 1983.

MOREIRA, M. A.; MASINI, E. F, S.

Aprendizagem significativa: a teoria de

David Ausubel. São Paulo, Moraes, 1982.




UM SISTEMA DEDUTIVO EM TABLEAUX PARA A LÓGICA DO

PARADOXO LP

Kaique Fernando Queiroz; Luiz Henrique da Cruz Silvestrini


[email protected]

Palavras-chave: Lógica do paradoxo; tableaux analíticos.

Keywords: Paradox logic; tableaux method.

Resumo

Graham Priest [11] introduziu a lógica do

paradoxo LP e esta se consolidou como uma

das mais conhecidas lógicas paraconsistentes

da literatura lógica. As lógicas

paraconsistentes são aquelas nas quais uma

teoria inconsistente pode ser não trivial. A

proposta de Priest foi de sugerir uma nova

maneira de manipular os paradoxos lógicos.

Uma lógica paraconsistente pode ser usada

como ferramenta para formalizar raciocínios

diante de informações contraditórias. A

versão axiomática da lógica do paradoxo, que

utilizaremos nesta pesquisa, será o sistema

proposicional introduzido em 2011 por

Middelburg, denotado por LP, no qual a

linguagem contempla um conectivo de

implicação para o qual o teorema da dedução

usual é válido. Os axiomas da lógica do

paradoxo LP são os axiomas da parte

proposicional da lógica paraconsistente N-, a

qual foi proposta por Nelson [9], em que a

única regra de dedução é a modus ponens.

Neste trabalho apresentaremos uma lógica

não clássica e paraconsistente, qual seja, a

Lógica do Paradoxo LP introduzida por

Priest, segundo o método dedutivo dos

tableaux, a partir da versão LP ,

apresentada em [4].

Introdução

Em 1979, Graham Priest [11]

introduziu a lógica do paradoxo, denotada por

LP, e esta se consolidou como uma das mais

conhecidas lógicas paraconsistentes da

literatura.

De modo usual, um sistema lógico L

pode ser definido como um par (For, ⊢L)

formado por um conjunto For de fórmulas

munido de uma relação de consequência ⊢L.

Dizemos que uma teoria é consistente se ela

não contém e , para cada fórmula , caso

contrário, a teoria é dita inconsistente. Além

disso, um sistema lógico é paraconsistente

quando nos permite distinguir entre teorias

contraditórias , no sentido em que ⊢L e

⊢L , para alguma fórmula , e teorias

triviais , no sentido em que ⊢L , para toda

fórmula . De modo equivalente, podemos

dizer que um sistema lógico é paraconsistente

se, e somente se, ele é não-explosivo, i.e., um

sistema no qual o princípio de explosão (,

⊢L ) não é válido. Este princípio também é

conhecido como ex falso quodlibet.

Assim, as lógicas paraconsistentes

são aquelas nas quais uma teoria inconsistente

pode ser não trivial. A proposta de Priest, no

artigo [11], foi de sugerir uma nova maneira

de manipular os paradoxos lógicos. Segundo

Priest, ao invés de tentarmos dissolver os

paradoxos, ou explicar o que está errado,

deveríamos aceitar os paradoxos e aprender a

viver com eles.

Portanto, uma lógica paraconsistente

pode ser usada como ferramenta para

formalizar raciocínios diante de informações

contraditórias. Um outro exemplo de lógica

paraconsistente é a lógica da quase verdade de

Newton C. A. da Costa.

A lógica do paradoxo que

utilizaremos nesta pesquisa será a LP de Priest

enriquecida com um conectivo de implicação

para o qual o teorema da dedução usual é

válido. Este sistema denominado de LP é

introduzido em 2011 por Middelburg (cf. [9]),

dentro de um rigoroso estudo sobre as lógicas

paraconsistentes existentes até aquela data.

A apresentação da LP em um sistema

hilbertiano é dada a seguir.




Esquemas de axiomas:

A → (B → A)

(A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))

((A → B) → A) → A

(A B) → A

(A B) → B

A → (B → (A B))

A → (A B)

B → (A B)

(A → C) → ((B → C) → ((A → B) → C))

A A

(A → B) A B

(A B) A B

(A B) A B

A A

A regra de inferência é a Modus

Ponens: A, A → B / B

Dentre algumas teorias de prova para

a lógica do paradoxo existentes, encontramos

a proposta de Lian e Li (cf. [6]) em que

estabelecem um tableaux para a Lógica do

Paradoxo minimamente inconsistente (LPm),

uma variante da LP também introduzida por

Priest em 1991 (cf. [12]).

Outra proposta, dentro da teoria da

prova, de sistema dedutivo alternativo ao

axiomático para a LP é o cálculo de sequentes

apresentado por Palau e Oller em 2008 (cf.

[10]) para a LP proposicional de Priest.

Atualmente, a Teoria da Prova

constitui-se como um domínio de

investigação avançado da Lógica, e ainda,

compreendida como demonstração

automática de teoremas consolida-se como

uma profícua subárea da Teoria da

Computação. O estudo das propriedades

estruturais de provas formais constitui o cerne

da pesquisa relacionada à Teoria da Prova,

que por sua vez está relacionada com o

conceito de decidibilidade desde os tempos de

David Hilbert (1862-1943).

Em 1935, Gerhard Gentzen [5]

introduziu os sistemas de provas que eram

caracterizados por admitir o princípio das

subfórmulas. Além disso, a teoria da prova

desenvolvida por Gentzen consistia em

demonstrar a validade de um argumento de

uma maneira usualmente mais rápida, apenas

trabalhando com regras em métodos finitários.

Esses sistemas de provas são hoje conhecidos

como Dedução Natural e Cálculo de

Sequentes.

Estes trabalhos, de algum modo,

inspiraram a criação de um novo método de

dedução, a saber, o método de tableaux, o qual

também estabelece estruturas que permitem a

representação e a dedução formal de

conhecimento. Um tableau é mais adequado

para implementações em computadores, pois

este pode ser definido como uma árvore

ordenada diádica.

O termo tableaux analíticos foi

introduzido por Raymond M. Smullyan em

1968 (cf. [13]). Este método é uma variante

dos tableaux semânticos de Evert Willem

Beth (1959) que utiliza o princípio de

subfórmula, o qual diz que se uma fórmula

tem uma demonstração, então ela tem uma

demonstração na qual ocorrem apenas

subfórmulas da fórmula inicial. Além disso,

esta proposta pode ser considerada uma

variante dos métodos de Kaarlo Jaakko Juhani

Hintikka, como destaca o próprio Smullyan

(1968, p. 15).

Smullyan ao introduzir o sistema de

tableaux analíticos, buscou estabelecer as

relações deste com os métodos originais de

Gentzen. Por exemplo, o que Zbigniew Lis

(cf. [7]) desenvolveu e denominou por sistema

de dedução natural, uma reestruturação a

partir das formulações de Gentzen, hoje

poderíamos chamar de sistema de tableaux

não-assinalados.

A base de todo sistema de tableaux

analíticos está nas regras de expansão ou

regras para a construção dos tableaux, as quais

permitem a análise das fórmulas de uma

linguagem L. A noção de expansão é

justamente expandir um ramo de um tableau.

Empregamos a palavra “ramo” para designar

um caminho ou uma possibilidade de análise

das fórmulas dadas. Ademais, Smullyan

(1968, p. 24) apresenta seu método como

sendo uma árvore ordenada, por isso a

utilização do termo “ramo”.

Objetivos

Os objetivos deste projeto são: (1)

Apresentar uma lógica não-clássica

paraconsistente por meio de um método

dedutivo alternativo ao axiomático




(hilbertiano). Neste caso, estamos enfatizando

o método dedutivo por tableaux; (2)

Desenvolver um sistema de tableaux

analíticos para a Lógica do Paradoxo LP

introduzida em 1979 por Priest, a partir da

axiomática apresentada em [9], ou seja, para o

sistema hilbertiano LP. Aqui, mostraremos a

equivalência entre a lógica do paradoxo na

versão axiomática e a formalizada em

sistemas de tableaux. Desse modo, todas as

deduções obtidas na lógica do paradoxo, via

sistema hilbertiano, também poderão ser

obtidas através da lógica do paradoxo no

sistema de tableaux e vice-versa.

Material e métodos

Trata-se de um trabalho teórico, para

o qual será desenvolvido um rigoroso e

aprofundado estudo dos textos propostos na

bibliografia, donde se espera encontrar

subsídios para contemplar as atividades de

pesquisa. A presente pesquisa visa reconhecer

o método de tableaux como um método

alternativo ao axiomático e, para este fim,

utilizaremos o método das árvores ordenadas

n-ádicas para definir uma sequência de

tableau.


Neste trabalho, pretende-se

estabelecer um sistema de tableaux analíticos

para a lógica do paradoxo LP, um sistema

proposicional paraconsistente. Dessa maneira,

o sistema de tableaux obtido será analisado

mediante verificação de sua equivalência com

o sistema axiomático introduzido por

Middelburg em [9]. Para tanto, serão

demonstrados alguns teoremas para verificar

que todas as deduções obtidas em nosso

sistema de tableaux também serão obtidas na

lógica do paradoxo LP via sistema

hilbertiano e vice-versa.


[1] BETH, E. W. The foundations of

mathematics. Amsterdam: North-Holland,

1959.

[2] BLOESCH, A. A tableau style proof

system for two paraconsistent logics. Notre

Dame Journal of Formal Logic, Notre

Dame, IN, v. 34, 295-301, 1993.

[3] FITTING, M. C. First-order logic and

automated theorem proving. New York:

Springer-Verlag, 1996.

[4] FITTING, M. C. Introduction. In:

D´AGOSTINO, M. et al. (Edit.). Handbook

of tableau methods. Dordrecht Boston:

Kluwer, 1999. p. 1- 43.

[5] GENTZEN, G. Untersuchungen über das

logische Schlieben. Mathematische

Zeitschrift. v. 39. 1935.

[6] LIAN, Z.; LI, W. A note on tableaux of

logic of paradox. In: KI-94: advances in

artificial intelligence. Berlin: Springer-

Verlag, c1994, p. 296-307.

[7] LIS, Z. Wynikanie semantyczne a

wynikanie formalne. Studia Logica, v. 10.

1960.

[8] MENDELSON, E. Introduction to

mathematical logic. New York: Van

Nostrand, 1964.

[9] MIDDELBURG, C. A. A survey of

paraconsistent logics. Disponível pela

Cornell University Library em:

<arxiv.org/abs/1103.4324>. Acesso em: 30

nov. 2015.

[10] PALAU, G.; OLLER, C. A. A sequent

system for LP, CLE e-Prints, v. 8(6), 2008.

Disponível em www.cle.unicamp.br/e-

prints/vol_8,n_6,2008.html.

PALAU, G.; OLLER, C. A. A sequent

system for LP. In: XV BRAZILIAN LOGIC

CONFERENCE, XIV LATIN-AMERICAN

SYMPOSIUM ON MATHEMATICAL

LOGIC, v. 8 (6), 2008. Paraty. Anais

eletrônicos… Paraty: CLE/Unicamp, 2008.

Disponível em: <www.cle.unicamp.br/e-

prints/vol_8,n_6,2008.html>. Acesso em: 30

nov. 2015.

[11] PRIEST, G. The Logic of Paradox,

Journal of Philosophical Logic, v. 8, pp.

219-241, 1979.

[12] PRIEST, G. Minimally Inconsistent LP,

Studia Logica, v. 50, n. 2, pp. 321-331,

1991.




[13] SMULLYAN, R. M. First-order logic.

New York: Springer, 1968.




O ENSINO DE GEOMETRIA ATRAVÉS DA TÉCNICA DE

DOBRADURA

Laís Fernanda Macedo Rosa; Agnaldo José Ferrari; Sônia Cristina Poltroniere


laisfernanda_rosa@hotmail

Palavras-chave: Matemática; geometria.

Resumo

Um dos objetivos dos departamentos de

Matemática das universidades brasileiras é

estimular o interesse dos graduandos

ingressantes pelo raciocínio lógico. Outro

ângulo é buscar meios de incentivo para

alunos e professores, na tentativa de

colaborar para a melhoria do quadro

brasileiro que se coloca. Queremos com este

projeto estimular o gosto pela Matemática,

em especial pela Geometria, propiciando uma

maior interação professor/aluno e promover

uma aproximação comunidade/universidade,

fazendo com que o aluno tenha uma nova

visão da Matemática através dos modelos

concretos através de dobraduras. A

dobradura, por ser uma arte de custo

acessível, influencia positivamente no

processo de ensino e aprendizagem da

Geometria. É uma das raras oportunidades

no ensino da Matemática, onde se pode pôr a

“mão” no objeto de estudo. O aluno percebe

que com uma simples folha de papel, pode-se

construir desde um simples polígono, como o

hexágono, até um sólido geométrico, como o

tetraedro. Ele não só segue as instruções e as

executa, como também tem a oportunidade de

experimentar e refletir, podendo tirar suas

próprias conclusões. Sendo assim, pode ser

utilizado como recurso didático que colabora

para o desenvolvimento da criatividade, do

senso estético e do espírito de investigação,

entre outras competências e habilidades

recomendadas pelos Parâmetros

Curriculares Nacionais-PCN (BRASIL,1998).

Introdução

Após o movimento da Matemática

Moderna, a partir de 1950, o ensino da

disciplina de matemática passou a priorizar o

simbolismo e a exigir dos alunos maiores

abstrações, distanciando a Matemática da vida

do cotidiano.

O que se percebe é que o aluno fruto

deste ensino aprendeu muito pouco de

geometria e não consegue perceber a

associação deste conteúdo com a vida real.

(Almeida et al., 2000).

A geometria, quando concebida,

estimula o aluno a observar, perceber

semelhanças, diferenças e solucionar

problemas (PCN, 1998).

Devido à carência da aprendizagem

de geometria no ensino básico, surgiu a ideia

de buscar maneiras de inovar o tradicional

ensino, criando o projeto de extensão “Ensino

de geometria através da técnica de

dobradura”.

Este projeto relaciona dobraduras

com o ensino da Geometria, de modo que o

aprendizado desta última torne-se mais

estimulante e agradável para os alunos do

ensino fundamental e médio. O ensino de

geometria através de dobraduras conta com a

colaboração de três docentes do

Departamento de Matemática, da Unesp e

envolve a cidade de Bauru com várias escolas

públicas de ensino fundamental e médio.

Durante o desenvolvimento deste projeto

cumpriu-se as seguintes etapas: preparação de

material concreto de geometria através de

dobraduras que é apresentado nas oficinas

oferecidas nas escolas, preparação da teoria

que é discutida após as atividades e

participação na atividade avaliativa e na

elaboração de relatório. Além da reflexão da

importância do projeto no ensino básico e

universitário.

Objetivos

A abordagem dos conteúdos

geométricos na sala de aula e nos livros




didáticos comumente restringe-se a

memorização de definições e exercícios de

aplicação de fórmulas. O conceito geométrico

não pode simplesmente ser reduzido a sua

definição, mas também deve ser

contextualizado por meio de diferentes

atividades e situações-problema, pois assim

ele adquire um significado para o aprendiz.

Assim, um dos objetivos é buscar

meios de incentivo para alunos e professores,

na tentativa de colaborar para a melhoria do

quadro brasileiro que se coloca. Queremos

com este projeto estimular o gosto pela

Matemática, em especial pela Geometria,

propiciando uma maior interação

professor/aluno e promover uma aproximação

comunidade/universidade, fazendo com que o

aluno tenha uma nova visão da Matemática

através dos modelos concretos através de

dobraduras.

Durante a aplicação da oficina busca-

se analisar as dificuldades apresentadas no

ensino-aprendizagem da geometria,

procurando proporcionar aos futuros

professores um ensino mais significativo e

contextualizado com aquisição de habilidades

e competências para o exercício de uma

prática docente diferenciada.

A dobradura, por ser uma arte de

custo acessível, influencia positivamente no

processo de ensino e aprendizagem da

Geometria. É uma das raras oportunidades no

ensino da Matemática, onde se pode pôr a

“mão” no objeto de estudo. O aluno percebe

que com uma simples folha de papel, pode-se

construir desde um simples polígono, como o

hexágono, até um sólido geométrico, como o

tetraedro. Ele não só segue as instruções e as

executa como também tem a oportunidade de

experimentar e refletir, podendo tirar suas

próprias conclusões. Sendo assim, pode ser

utilizado como recurso didático que colabora

para o desenvolvimento da criatividade, do

senso estético e do espírito de investigação,

entre outras competências e habilidades

recomendadas pelos Parâmetros Curriculares

Nacionais (BRASIL,1998).


A fundamentação teórica do projeto

considera principalmente o descrito nos

Parâmetros Curriculares Nacionais, onde para

o Ensino Fundamental os alunos devem estar

aptos entre outros fatores a utilizar as

diferentes linguagens para produzir, expressar

e comunicar suas ideias, utilizando diferentes

recursos tecnológicos para assim adquirir e

construir conhecimentos. Para o Ensino

Médio, "aprender Matemática deve ser mais

do que memorizar resultados dessa ciência,

pois a aquisição do conhecimento matemático

deve estar vinculada ao domínio de um saber

fazer Matemática e de um saber pensar

matemático”.

Metodologia

A metodologia usada neste projeto

consiste em produzir modelos geométricos em

dobraduras para o Ensino de Geometria e

através destes ensinar os conceitos

envolvidos. Durante a realização deste projeto

os participantes são preparados e orientados

para apresentar e discutir os modelos. Feito

isso, os alunos expõem estas atividades nas

escolas em forma de Oficina e logo após

participam da avaliação e na elaboração de um

relatório. O objetivo com este projeto é que o

aluno consiga, através dos modelos, aprender

conceitos geométricos de uma forma diferente

à usada na metodologia tradicional.


O projeto está em sua primeira edição,

durante este período tivemos a oportunidade

de levar a oficina de jogos para algumas

escolas públicas de Bauru, propiciando a

prática de dobradura não só para o aluno, mas

também para o professor. Percebemos a

grande receptividade da maioria dos

professores que demonstram vontade de

melhorar a qualidade de ensino e utilizar

novas práticas no dia a dia de sala de aula.

Portanto, pretende-se com este

projeto usar o lúdico para complementar a

teoria aprendida no cotidiano escolar e ser um

instrumento para a melhoria do ensino,

obtendo uma interação entre a universidade e

a comunidade, como também propiciando o

contato de alunos do ensino fundamental e

médio com os universitários.

Devido a utilização do material

concreto, percebemos que os alunos

demonstravam interesse e motivação a cada




dobra do papel, especialmente após a

confecção da dobradura. Houve, através das

oficinas, um maior entendimento por parte

dos alunos quanto à geometria e a interação

coletiva na troca de conhecimentos.

Conclusões

O saber Matemática é um processo

lento e trabalhoso. Pensamos em iniciá-lo

através de um método lúdico e, assim,

estimular o aluno a buscar regularidades, a

generalizar padrões e a capacitar a

argumentação. Após este processo faremos a

formalização do conhecimento matemático.

Acreditamos que, ao confeccionar

materiais manipuláveis utilizando a técnica de

dobraduras, os alunos são conduzidos a

realizarem descobertas, além de adquirirem

um embasamento geométrico necessário para

a continuação de seus estudos de Geometria.

Os PCN’s explicitam dentro das competências

e habilidades a serem desenvolvidas em

Matemática, considerando a investigação e

compreensão, os seguintes itens: identificar o

problema, procurar, selecionar e interpretar

informações; formular hipóteses e prever

resultados; selecionar estratégias de resolução

de problemas; interpretar e criticar resultados

numa situação concreta; distinguir e utilizar

raciocínios dedutivos e indutivos; fazer e

validar conjecturas, experimentando,

recorrendo a modelos, esboços, fatos

conhecidos, relações e propriedades; discutir

ideias e produzir argumentos convincentes.

O Projeto de Extensão “O ensino da

geometria através da técnica de dobradura”

leva às escolas públicas da cidade de Bauru a

oportunidade de os alunos terem um

aprendizado significativo através da técnica

de dobradura, ensinando geometria de uma

forma diferente e atrativa.


ALMEIDA, I. A. C.; LOPES, R. F. P.;

SILVA, E. B. O origami como material

exploratório para o ensino e a aprendizagem

da geometria. In: GRAPHICA; 2000, Ouro

Preto/MG.

CARNEIRO, M. J. D.; SPIRA, M. Oficina

de dobraduras. IMPA; 2015. Disponível

em: < http://www.obmep.org.br/docs/apostila9.

pdf>. Acesso em: 23 nov. 2015.

CAVACAMI, E.; FURUYA, Y. K. S.

Explorando geometria com origami. 2010.

Disponível em: < http://www.obmep.org.br/docs/apostila11.pdf

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IMENES, L. M. Geometria das

dobraduras. 5.ed. São Paulo: Scipione,

1994. 64 p. (Coleção Vivendo a

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KASAHARA, K. Origami omnibus: paper-

folding for everybody. 20th ed. Tokyo: Japan

Publications, 2005. 384 p.

LANG, R. J. Origami design secrets:

mathematical methods for an ancient art.

Boca Raton: CRC, 2003. 585 p.

LEROY, L. Aprendendo geometria com

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de Curso (Especialização em matemática

para professores do ensino básico)-

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Horizonte, 2010. Disponível em:

<http://www.ime.usp.br/~iole/aprendendo%2

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Acesso em: 24 out. 2012.

MITCHELL, D. Origami matemáticos:

dobragens de papel para fazer figuras

geométricas. Lisboa: Replicação, 2008. 64 p.

RAFAEL, I. Origami. Educação e

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WAGNER, E. Uma introdução às

construções geométricas. 2009. Disponível

em: < http://www.obmep.org.br/export/sites/default

/arquivos/apostilas_pic2010/Apostila8-

construcoes_geometricas.pdf>. Acesso em:

20 nov. 2012.




O QUE A REVISTA DOCUMENTA TEM NOS DITO SOBRE

FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA

Letícia Nogueira Gomes; Maria Ednéia Martins Salandim


[email protected]

Palavras-chave: História da educação matemática; hermenêutica de profundidade.

Resumo

Resumo Neste artigo trazemos um recorte de nossa

pesquisa de Iniciação Científica intitulada

“Revista Documenta: mapeando cursos que

formaram professores de Matemática nos

anos 1960 e 1970”, financiada pelo CNPq.

Neste recorte temos como objetivo apresentar

e discutir alguns pareceres emitidos por

conselheiros do Conselho Nacional de

Educação (CFE), publicados na Revista

Documenta, a respeito de pedidos de criação

de cursos de Licenciatura em Matemática

e/ou em Ciências, em instituições públicas

federais ou privadas, no início da década de

1970 – período no qual já havia sido

estabelecido pela primeira LDB os cursos de

licenciatura como modalidade formativa

independente da modalidade bacharelado.

Temos a intenção de trazer, a partir de um

exemplo, como temos tecido compreensões,

de viés historiográfico, sobre formação de

professores de Matemática no Brasil.

Introdução

Nossa pesquisa de Iniciação Científica

intitulada “Revista Documenta: mapeando

cursos que formaram professores de

Matemática nos anos 1960 e 1970”,

financiada pelo CNPq, tem como objetivo

constituir um acervo e estudar a coleção da

revista Documenta - publicação do Conselho

Nacional de Educação (CFE)1 a partir de 1962

– e é continuidade de nossa pesquisa de

Iniciação Científica concluída em 2014

(GOMES, 2014). Esta pesquisa insere-se em

um projeto maior do Grupo História Oral e

1 Em 24 de novembro de 1995 foi criado, pela

Lei n.º 9.131, o Conselho Nacional de

Educação Matemática (GHOEM)2 sobre a

formação de professores no Brasil. Esta

publicação tem sido de grande valia para

pesquisadores, em particular àqueles que

pesquisam na linha História da Educação

Matemática e tem se mostrado como uma

importante fonte para as pesquisas

desenvolvidas no âmbito do grupo de pesquisa

GHOEM (MARTINS-SALANDIM, 2012;

MARIANO DA SILVA, 2015). No ano de

2014, através do projeto de extensão

vinculado à Proex o acervo de livros didáticos

do GHOEM recebeu, por doação do CNE,

uma coleção completa desta revista.

Neste artigo apresentamos um recorte

de nossa pesquisa, discutindo pareceres

específicos emitidos por conselheiros do CFE

sobre pedidos de criação e autorização de

funcionamento de cursos que formavam

professores para atuar com a disciplina

Matemática das Faculdade de Ciências de

Lins e da Faculdade “Auxilium” de Filosofia,

Ciências e Letras de Lins, ambos publicados

na Revista DOCUMENTA 113 – abril de

1970.

Objetivos

Nossa pesquisa, de viés historiográfico, tem

como objetivo constituir, sistematizar um

acervo da coleção revista Documenta e

estudar pareceres referentes à criação e à

autorização de funcionamento de cursos que

formaram professores de Matemática no

Brasil anos 1960 e 1970, nas esferas públicas

federais e privadas.

Neste artigo temos como objetivo

apresentar um recorte de nossa pesquisa,

Educação (CNE) que sucedeu o

antigo Conselho Federal de Educação (CFE). 2 www.ghoem.org.br

https://pt.wikipedia.org/wiki/24_de_novembro

https://pt.wikipedia.org/wiki/1995

https://pt.wikipedia.org/wiki/Conselho_Federal_de_Educa%C3%A7%C3%A3o




discutindo pareceres específicos emitidos por

conselheiros do CFE sobre pedidos de criação

e autorização de funcionamento de cursos que

formavam professores para atuar com a

disciplina Matemática das Faculdade de

Ciências de Lins e da Faculdade “Auxilium”

de Filosofia, Ciências e Letras de Lins, ambos

publicados na Revista DOCUMENTA 113 –

abril de 1970.

Metodologia

Nossa metodologia se ampara na

hermenêutica de profundidade (HP), proposta

por Thompson (1995), a qual vem sendo

mobilizada por pesquisadores do campo da

Educação Matemática. Oliveira (2008), a

partir de Thompson (1995), apresenta uma

proposta análise de livros didáticos

(percebidos como formas simbólicas) através

da HP, a partir de três movimentos analíticos:

sócio-histórico - construção do contexto

sócio-histórico no qual a forma simbólica foi

produzida, divulgada e apropriada; discursivo

formal - descrição da estrutura interna da obra

e, interpretação/re-interpretacão - um

momento de síntese.

Entendemos que a Revista

Documenta é uma forma simbólica no sentido

de que há nela uma intenção de dizer (através

dos conselheiros do CFE) e de compreender

de seus leitores (a Revista era distribuída para

instituições de ensino superior). Há nela um

modo de escrita para comunicar decisões

(valendo-se de números de Pareceres e

Processos e de publicações em Diários

Oficiais, termos legais) e compreensões dos

conselheiros sobre questões referentes à

educação brasileira. Sobre o aspecto

estrutural, a Documenta é dividida em seções,

as quais são relativamente constantes:

Autorizações; Reconhecimentos; Estatutos;

Regimento; Reestruturação; Indicações de

Professores; Pareceres Diversos; Atos

Oficiais e Conselho Federal de Educação.


Em relação aos pareceres publicados

na Documenta 113, em 1970, sendo Newton

Sucupira, o presidente da C.E.Su (Câmara de

Ensino Superior), foco deste nosso artigo,

destacamos a submissão de dois pedidos de

criação de cursos de graduação para formação

de professor de Matemática. O primeiro

pedido refere-se à solicitação da Faculdade de

Ciências de Lins, para a criação do curso de

licenciatura do 1º. Ciclo de Ciências –

juntamente com a solicitação para criação da

referida faculdade. Um segundo pedido, da

Faculdade “Auxilium” de Filosofia, Ciências

e Letras de Lins, solicitando autorização para

funcionamento dos cursos de Ciências 1º.

Ciclo (três anos), Matemática (quatro anos) e

Licenciatura em Desenho (quatro anos) – esta

instituição já funcionava na cidade desde 1956

e já oferecia os cursos de Pedagogia, Letras

Neolatinas, Geografia e História. Ambos os

pedidos apresentados tratam de questões sócio

econômicas do município de Lins e das

instituições e um pouco da estrutura oferecida,

sendo que a Faculdade de Ciências ainda não

apresenta quadro docente completo – o que é

solicitado no parecer final (indicar, num prazo

não inferior a três meses, professor ou

professores para a Prática de Ensino em

Ciências e para a Estrutura e Funcionamento

do ensino de 2º. Grau) -, já a Faculdade

“Auxilium” relaciona os professores que

atuarão nos cursos. Nosso destaque é para a

presença de nomes de professores de

diferentes cidades da região e da capital São

Paulo, alguns já aprovados pelo CFE para

atuação em outras instituições.

Os processos transitam por algumas

instâncias com indicação dos peritos e

inspetores para procederem as verificações

das instituições e que apresentaram seus

relatórios. No caso da solicitação da

Faculdade de Ciências, o processo sofreu um

estudo cuidadoso por parte de um dos técnicos

envolvidos, sendo que algumas dúvidas

levantadas pelos conselheiros foram sobre a

possibilidade de criar-se, numa instituição

destinada à formação de professores, apenas

num curso - reportando-se à Lei de Diretrizes

e Bases da Educação Nacional que exigia para

a instalação de uma instituição dessa natureza,

no mínimo quatro cursos; o fato de já existir,

em Lins, uma instituição congênere –

Faculdade “Auxilium” de Filosofia, Ciências

e Letras, com vários cursos reconhecidos e

que também pleiteava autorização para

licenciatura de Ciências do 1º. Ciclo. Neste

processo a relatora Nair Abu-Merhy deu um




parecer favorável em relação à autorização

para o funcionamento do curso de Ciências

(Licenciatura do 1º. Ciclo), condicionada à

alteração da denominação da instituição para

Instituto de Formação de Professores do 1º.

Ciclo, pois não se configurava como

Faculdade de Ciências, uma vez que a

instituição se dedicaria apenas à licenciatura

do 1º. Ciclo. Em relação ao pedido da

Faculdade “Auxilium”, a relatora Nair Fortes

Abu-Merhy considerou que Lins servia uma

região com uma população superior a 200.000

habitantes; a grande carência de professores

de Ciências Biológicas, Matemática e

Desenho; a grande expansão do Ensino Médio

no Estado de São Paulo e a crescente demanda

de professores habilitados em instituições

adequadas, sendo que a partir destas

considerações emitiu parecer favorável ao

pedido e sobre o pedido de autorização de

funcionamento da Licenciatura de 1º. Ciclo de

Ciências, ressaltando que a Faculdade deveria

adaptar, em um prazo de 30 dias, seu

Regimento às prescrições da legislação do

Ensino Superior, as quais passariam a vigorar

a partir de 1971; entretanto, um dos

conselheiros pediu a vista do mesmo. Em

ambos os processos, destaca-se que alguns

itens ainda precisariam ser providenciados

pelas instituições e novos pareceres ainda

deverão ser emitidos.

Este estudo, ainda que em fase inicial,

mas como continuidade de pesquisa concluída

em 2014, traz indícios das dificuldades para

criação de cursos de graduação em localidades

distantes dos grandes centros formadores, nos

quais as possibilidades de encontrar

professores para atuação no segmento de 2º.

graus e nas áreas específicas, como o caso da

Matemática, era mais facilitado. O destaque é

para a carência de professores para atuar no

ensino de 1º e 2º graus, como no caso da

região de Lins, o que, em muitos casos, é um

argumento importante para se conseguir a

criação de instituições e cursos, em especial

em instituições privadas.

Conclusões

Nossa pesquisa, ainda que

apresentada aqui com base em um recorte,

revela como temos tecido compreensões mais

gerais sobre o movimento de criação e

autorização de funcionamento de cursos que

formaram professores de Matemática no

Brasil. Os pareceres, via de regra, apresentam

argumentos sobre aceitação ou não dos

pedidos, trazendo à tona dificuldades quanto à

contratação de professores, constituição de

bibliotecas, acesso de estudantes das

circunvizinhanças das cidades nas quais as

instituições pretendem instalar os cursos,

sobre carência de professores formados para

atuar com a disciplina Matemática nos

diferentes níveis de ensino no Brasil. A partir

destes pareceres temos percebido diferenças

regionais no país quanto à criação destes

cursos, além de uma quantidade muito grande

de pedidos de instituições privadas, mas com

baixa aceitação. Em contrapartida, ainda que

em menor volume os pedidos de instituições

públicas federais, o volume de aceite é

proporcionalmente maior. A coexistência de

pedidos para criação de cursos para formar

professores em um mesmo município, revela,

no mínimo, a falta de cursos formadores na

região estudada e a demanda de professores

formados para atuar nos diferentes níveis de

ensino. Revela também, a anunciada

reestruturação da primeira Lei de Diretrizes e

Bases da Educação Nacional promulgada em

1971. Estes indícios é que tem orientado a

continuidade de nossa pesquisa, quando

efetivaremos uma análise, mais propriamente,

sócio-histórica, como indica nossa

metodologia.


DOCUMENTA. Rio de Janeiro: Conselho

Federal de Educação, 1962-1970.

GOMES, L. N. Revista Documenta:

constituição de acervo e sistematização para

estudos em História da Educação

Matemática. Bauru. UNESP/FC,

Departamento de Matemática, 2014.

Relatório de Iniciação Científica.

MARTINS-SALANDIM, M. E. A

interiorização dos cursos de Matemática

no Estado de São Paulo: um exame da

década de 1960. 2012. 387 f. Tese

(Doutorado em Educação Matemática)-

Instituto de Geociências e Ciências Exatas,

Universidade Estadual Paulista Júlio de

Mesquita Filho, Rio Claro, 2012.




OLIVEIRA, F. D. Análise de textos

didáticos: três estudos. 2008. 227 f.

Dissertação (Mestrado em Educação



Paulista Júlio de Mesquita Filho, Rio Claro,

2008.

SILVA, C. R. M. Uma, nove ou dez

narrativas sobre as licenciaturas em Ciências

e Matemática em Mato Grosso do Sul. 2015.

369 f. Tese (Doutorado em Educação

Matemática)– Instituto de Geociências e


Paulista “Júlio de Mesquita Filho, Rio Claro,

2015.

THOMPSON, J. B. Ideologia e cultura

moderna: teoria social crítica na era dos

meios de comunicação de massa. Petrópolis:

Vozes, 1995.




SOBRE CONDICIONAIS E A AVALIAÇÃO PISA

Luis Felipe Salvador Boato; Alessa Dua; Luiz Henrique da Cruz Silvestrini;

Marcelo Reicher Soares Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática,

[email protected]

Palavras-chave: Raciocínio lógico; linguagem matemática; avaliação PISA.

Keywords: Logical reasoning; mathematical language; PISA programme.

Resumo

Os resultados divulgados pelo Programa

Internacional de Avaliação de Alunos (PISA),

na edição de 2012, culminaram no destaque

negativo para o raciocínio lógico dos

estudantes brasileiros, os quais,

aparentemente, raciocinam de forma linear,

sem ser capazes de inferir a partir de

abstrações mínimas. A partir deste panorama,

pudemos estabelecer frentes de investigação

vinculadas ao Projeto de Extensão

“Raciocínio lógico, analítico e quantitativo:

uma ferramenta para a inclusão racional”

realizado pelo Departamento de Matemática,

da Faculdade de Ciências, da Unesp, câmpus

de Bauru. Nesta apresentação, mostramos

como a aquisição de elementos de raciocínio

lógico analítico e quantitativo, previamente

adquiridos, podem contribuir na capacidade

do aluno em resolver problemas

lógicos/matemáticos aplicados à vida real.

Introdução

O Brasil participa, como convidado

desde 2000, do Programa Internacional de

Avaliação de Alunos, o conhecido PISA,

exame mundial sobre a qualidade da

educação, que reuniu 64 países na última

edição. A prova é aplicada a cada três anos

para alunos que concluem o ciclo básico de

ensino, o resultado é classificatório e,

infelizmente, em todas as edições ficamos

entre os últimos da lista.

O PISA elabora provas que consistem

de atividades de leitura, as quais são

frequentemente realizadas dentro e fora da

escola. A Escala Geral de Leitura é uma escala

síntese dos conhecimentos e habilidades

dentre as três subescalas (leitura, matemática,

ciências), distribuídas em cinco níveis de

proficiência.

O Instituto Nacional de Estudos e

Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira

(INEP) é a entidade responsável pela

condução do PISA no Brasil. Segundo o

“Relatório Nacional PISA 2012 resultados

brasileiros”, o letramento matemático é

definido de modo que raciocinar e

argumentar, utilizar linguagem e operações

simbólicas, formais e técnicas, sejam

capacidades fundamentais da matemática.

Dentre as proficiências apresentadas

destacamos a necessidade do uso de inferência

e a consideração de diversas condições

(hipóteses).

A Organização para a Cooperação e o

Desenvolvimento Econômico (OCDE), que

promove o PISA, divulgou o resultado da

edição de 2012, na qual, pela primeira vez, foi

avaliada a capacidade de 85 mil estudantes

com 15 anos, dos 64 países, sendo 34 filiados

à OCDE e 30 convidados, para resolver

problemas lógicos/matemáticos aplicados à

vida real.

O resultado do PISA 2012 mostrou

que apenas 2% dos alunos brasileiros

conseguiram resolver problemas mais

complexos de lógica/matemática. Entre os

estrangeiros, esse número chegou a 11%.

Desse modo, o destaque negativo foi para o

raciocínio lógico de nossos estudantes, que,

aparentemente, raciocinam de forma linear,

sem serem capazes de inferir a partir de

abstrações mínimas.

Essa carência de raciocínio lógico

apresentada pelos indivíduos implicará em um

desempenho insuficiente em: (i) produção de

textos; (ii) interpretação de textos; e (iii)

matemática aplicada.




Ademais, a relevância em se

desenvolver raciocínios lógicos tornou-se tão

patente que nas provas dos concursos

públicos, vestibulares e do Exame Nacional

do Ensino Médio-ENEM, de um modo geral,

já se encontram questões específicas desta

competência. O raciocínio lógico tem como

objetivo aproximar argumentação e lógica,

sendo esta última vista como ferramenta de

análise e crítica do discurso.

Assim, o raciocínio lógico, no sentido

de o indivíduo ser capaz de reconhecer e

formular bons argumentos, promove o

pensamento crítico, e isto é uma prática

fundamental para o exercício pleno da

cidadania e da democracia.

Segundo Carnielli e Epstein (2011, p.

xi), os truques do mercado, as falácias da

internet, os argumentos tendenciosos da

mídia, em que precisamos agir e tomar

decisões, nos levam a justificar o ensino do

pensamento crítico. Nesse sentido, ao invés de

o aluno decorar uma definição matemática,

por exemplo, que mal compreende, ele pode

“perceber por que as coisas são como são”,

por meio do raciocínio lógico.

Uma vez que compartilhamos desse

ponto de vista e tendo por objetivo intervir

nessa realidade, propusemos o Projeto de

Extensão “Raciocínio lógico, analítico e

quantitativo: uma ferramenta para a inclusão

racional” realizado pelo Departamento de

Matemática, da Faculdade de Ciências, da

Unesp, câmpus de Bauru, a partir do início de

2014.

Neste projeto, destinados a alunos que

estão cursando o último ano do ensino médio

e/ou o ensino técnico, realizamos encontros

regulares para o desenvolvimento de

atividades relacionadas ao raciocínio lógico.

A negação da condicional: uma

possibilidade de investigação

A partir de uma exposição sobre a

relevância do ensino da lógica no nível médio

de ensino, defendida por Velasco (2009,

2010) no artigo intitulado “Sobre o lugar da

lógica na sala de aula”, iremos destacar aqui

algumas pesquisas em andamento que

promovemos a partir do Projeto de Extensão

sobre Raciocínio Lógico, a saber:

i. Análise do rigor da linguagem

(natural e simbólica) da lógica-

matemática. Promovemos a partir de

conectivos lógicos como a condicional

material, e o estudo das condições

necessárias e suficientes, discussões

acerca do rigor na notação matemática.

Por exemplo, mostrar ao aluno que a

sentença matemática: : A B x, xA yB: y= (x),

sendo A e B conjuntos, de fato, encerra

toda a definição de função que é

conhecida.

ii. Análise do uso da matemática em

argumentos falaciosos. Neste caso,

mostramos como gráficos,

porcentagens, etc. podem ser usados

para enganar e nos enganar.

iii. Análise de questões típicas de

raciocínio lógico nos concursos Um

dos assuntos mais abordados dentro da

lógica proposicional clássica presente

nos concursos é o uso do conectivo

condicional. Neste trabalho,

analisaremos o caso das equivalências

de proposições condicionais e negações

de proposições que fazem o uso do

conectivo “se ..., então...”.

Esta frequente utilização de uma

proposição condicional é atribuída ao

equívoco provocado ao pensar

intuitivamente na resposta. Geralmente,

pessoas que não possuem noções da

formalização da condicional, A B (Se

A, então B), no cálculo proposicional

clássico, optam pela alternativa que

estabelece a negação da condição e, ao

mesmo tempo, da consequência de uma

proposição condicional, ou seja, A

B (Se não A, então não B); ou a

alternativa que fixa uma conjunção

obtida a partir da negação da condição e

também da consequência na condicional

dada inicialmente, i.e., A B (não A

e não B).

Entretanto, ao estudar as equivalências

notáveis na lógica clássica, é

demonstrado que uma proposição

condicional, A B, é equivalente à

disjunção entre a negação de sua




condição suficiente e a sua

consequência, simbolicamente

denotado por A B (não A ou B).

Logo, sua negação, pela aplicação da

regra de De Morgan, é escrita pela

conjunção da condição suficiente e a

negação da condição necessária, A

B (A e não B). Portanto, o

pensamento intuitivo da negação da

condicional se revela falso.

Desse modo, ao se pedir a negação de

uma proposição condicional, muitas

vezes a resposta será a forma chamada

contrária (A B) à forma

condicional dada. Contudo, como visto

anteriormente, esta forma proposicional

não representa a negação da

condicional. A forma correta de

representar a negação da condicional é

A B, ou seja, a situação em que a

condição é verificada mas a

consequência não, o único caso em que

a condicional pode ser refutada.

Como há esse equívoco gerado pelo

pensamento intuitivo daqueles que não

possuem conhecimento acerca da lógica

clássica, as bancas desenvolvedoras dos

concursos acabam por inserir

frequentemente questões que abordem o

tema explorado neste tópico visando

selecionar pessoas para os cargos

oferecidos naquele concurso que

possuam um pensamento crítico relativo

às situações cotidianas ou que tenham

conhecimento da lógica

formal/matemática.

Conclusão

Nesta apresentação mostramos

algumas possibilidades de pesquisas

envolvendo Raciocínio Lógico a partir de um

projeto de extensão.

Na busca por um ensino mais repleto

de significados, em que torne possível aos

alunos a apropriação de novos conhecimentos

associados aos que eles já possuem, a

contextualização do arcabouço conceitual

lógico e matemático em situações cotidianas

torna o mesmo não apenas mais atraente, mas,

primordialmente, didático, e dessa maneira,

atribuindo-lhe sentido: significado e maior

poder de aplicação da estrutura lógica em

outras disciplinas.


CARNIELLI, W. A.; EPSTEIN, R. L.

Pensamento crítico: o poder da lógica e da

argumentação. 3. ed. São Paulo: Rideel,

2011.

COPI, I. M. Introdução à lógica. 2. ed. São

Paulo: Mestre Jou, 1978.

FEITOSA, H. A.; PAULOVICH, L. Um

prelúdio à lógica. São Paulo: Editora Unesp,

2006.

FIRJAN, S. O que falta ao trabalhador

brasileiro. Diretoria de Desenvolvimento

Econômico e Associativo Gerência de

Pesquisas e Estatística. Julho de 2011.

Disponível em:

<http://docslide.com.br/documents/pesquisa-

o-que-falta-ao-trabalhador-brasileiro-

sistema-firjan-diretoria-de-desenvolvimento-

economico-e-associativo-gerencia-de-

pesquisas-e-estatistica.html>. Acesso em 6

ago. 2014.

MARTINS, M. S. Noções básicas de lógica

para concursos: teoria concisa e mais de

400 exemplos e exercícios. São Paulo:

Ciência Moderna, 2014.

VELASCO, P. D. N. Sobre o lugar da lógica

na sala de aula. Revista Sul-Americana de

Filosofia da Educação – RESAFE, Brasília,

DF, n. 13, nov. 2009.




UM ESTUDO DE MÓDULOS DE (CO)HOMOLOGIA

Rayne Herrera Sanches; Cristiane Alexandra Lázaro


[email protected]

Palavras-chave: Homomorfismo; módulo; sequência; homologia; cohomologia

Resumo

O estudo de módulos é bastante importante

em diversas áreas da Matemática, sendo as

resoluções livres e projetivas essenciais na

teoria de homologia e cohomologia de grupos

dentro da Álgebra Homológica, oferecendo

um grande número de possibilidades de

interação entre Álgebra e Topologia

Algébrica. A Topologia Algébrica é um ramo

bastante interessante da Matemática que está

na intersecção da Álgebra e da Geometria e

possui aplicações em diversas áreas da

Matemática.

Introdução

A partir do estudo de módulos,

homomorfismo e sequências, pudemos

avançar para o estudo de Módulos de

Homologia e Módulos de Cohomologia,

dentro da Álgebra Homológica, mostrando

alguns resultados que podem ser obtidos

através destes. Neste trabalho iremos

apresentar e calcular homologias de complexo

de cadeias e, para tanto, seguem algumas

definições e resultados.


Definição 1: Um homomorfismo de um R-

módulo X em um R-módulo Y é uma função

f: X→Y, a qual é um homomorfismo do grupo

aditivo abeliano X no grupo aditivo abeliano

Y e preserva a multiplicação escalar.

Definição 2: Um R-módulo, ou um módulo

sobre R é um grupo abeliano aditivo X com a

função µ: R x X → X que satisfaz as seguintes

condições, para todo α e β ∈ R e para todo x,

y ∈ X.

i) µ (α+β, x) = µ(α, x) + µ (β, x)

ii) µ (α, x + y) = µ (α, x) + µ (α, y)

iii) µ (α, µ(β,x)) = µ (αβ, x)

iv) µ (1, x) = x

Escrevemos uma sequência finita ou

infinita de homomorfismos de R-módulos da

seguinte forma:

... ...f gX Y Z

Definição 3: Uma sequência exata de R-

módulos é uma sequência tal que a imagem do

homomorfismo de entrada coincide com o

kernel do homomorfismo de saída em todos os

módulos, exceto nos extremos da sequência,

isto é, Im(f) = Ker(g).

Definição 4: Uma sequência semi-exata de R-

módulos é uma sequência tal que a imagem do

homomorfismo de entrada está contido no

kernel do homomorfismo de saída em todos os

módulos, exceto nos extremos da sequência,

isto é, Im(f) ⊂ Ker(g).

Definição 5: Dada uma sequência semi-exata

arbitrária

:... ...f gC X Y Z

de homomorfismo de R-módulos, o módulo

quociente Ker(g)/Im(f) será chamado módulo

derivado da sequência C no módulo Y.

Os módulos de uma sequência semi-

exata C são usualmente indexados por inteiros

crescentes ou decrescentes:

● Se os inteiros decrescentes são

usados como índices, a sequência semi-exata

C é chamada Complexo de Cadeia e os

homomorfismos em C serão denotados pelo

símbolo ∂ e indexados como nos módulos.

Deste modo, um complexo de cadeia C é da

seguinte forma, com ∂n ◦ ∂n+1 = 0 :

𝐶:… 𝜕𝑛+2→ 𝐶𝑛+1

𝜕𝑛+1→ 𝐶𝑛

𝜕𝑛→ 𝐶𝑛−1

𝜕𝑛−1→ …

Os elementos Ci são chamados

cadeias i-dimensionais de C e os

homomorfismos ∂i são chamados operadores

bordo. O kernel de ∂i é denotado por Zi(C) e




chamado módulo i-dimensional de ciclos de

C. A imagem de ∂i+1 em Ci é denotada por

Bi(C) e é chamado módulo i-dimensional de

bordos de C.

Definição 6: O módulo quociente Hi (C) =

Zi(C)/ Bi (C) = Ker(∂i)/ Im(∂i+1) (módulo

derivado de C no módulo Ci) é denominado

Módulo de Homologia i-dimensional de C.

● Se os inteiros crescentes são usados

como índices, a sequência semi-exata C é

chamada Complexo de Cocadeia e os

homomorfismos em C serão denotados pelo

símbolo e indexados como nos módulos.

Deste modo, um complexo de cocadeia C é da

seguinte forma, com n+1 ◦ n = 0:

𝐶:… 𝛿𝑛−2

→ 𝐶𝑛−1𝛿𝑛−1

→ 𝐶𝑛𝛿𝑛

→ 𝐶𝑛+1𝛿𝑛+1

→ …

Neste caso, os termos cocadeia,

cociclo e cobordo são utilizados no lugar de

cadeia, ciclo e bordo dos complexos de

cadeia.

Definição 7: O módulo quociente Hi (C) =

Zi(C)/ Bi(C) = Ker( i)/ Im( i-1) (módulo

derivado de C no módulo Ci) é denominado

Módulo de Cohomologia i-dimensional de C.

Conclusões

A seguir temos alguns exemplos de

Módulos de Homologia e Cohomologia.

Exemplo 1: Um espaço topológico – garrafa

de Klein.

A garrafa de Klein foi descrita pela

primeira vez em 1882 na Alemanha, pelo

matemático Felix Klein. Esta é uma

variedade unilátera, não-orientável. Seu

esquema topológico é parecido com o de

uma faixa de Moebius.

Considerando

𝐶:… 𝜕𝑛+2→ 𝐶𝑛+1

𝜕𝑛+1→ 𝐶𝑛

𝜕𝑛→ 𝐶𝑛−1

𝜕𝑛−1→ … , com

𝐶𝑛 = {ℤ, 𝑠𝑒 𝑛 = 0,2;ℤ ⨁ℤ, 𝑠𝑒 𝑛 = 1;0, 𝑠𝑒 𝑛 ≠ 0,1,2.

e

𝜕𝑛(𝑥) {0, 𝑠𝑒 𝑛 ≠ 2;

(2𝑥, 0), 𝑠𝑒 𝑛 = 2

Temos:

𝐶:… 𝜕3→ ℤ

𝜕2→ ℤ⨁ℤ

𝜕1→ ℤ

𝜕0→ 0

𝜕−1→ …

Assim, para o módulo de homologia,

temos:

Se n ≠ 0, 1, 2: Hn(C) = Ker(∂n)/ Im(∂n+1)=

= {0}

Se n = 0: H0(C) = Ker(∂0)/ Im(∂1)=

= ℤ/{0} = ℤ

Se n = 1: H1(C) = Ker(∂1)/Im(∂2)=

=ℤ⨁ℤ/2ℤ⨁{0} = ℤ2⨁ℤ

Se n = 2: H2(C) = Ker(∂2)/ Im(∂3)=

={0}/{0} = {0}

Portanto,

𝐻𝑛(𝐶) = {ℤ, 𝑠𝑒 𝑛 = 0;

ℤ2⨁ℤ, 𝑠𝑒 𝑛 = 1;0, 𝑠𝑒 𝑛 ≠ 0,1.

Exemplo 2: Cohomologia da esfera S².

Consideremos o seguinte complexo

de cocadeia

𝐶:… 𝛿𝑛−2

→ 𝐶𝑛−1𝛿𝑛−1

→ 𝐶𝑛𝛿𝑛

→ 𝐶𝑛+1𝛿𝑛+1

→ …,

sendo 𝐶𝑛 = {ℤ, 𝑠𝑒 𝑛 = 0,2;0, 𝑠𝑒 𝑛 ≠ 0,2.

e

𝛿𝑛(𝑥) = 0, ∀𝑛.

Temos então que:

𝐶:…0𝛿−1

→ ℤ𝛿0

→ 0𝛿1

→ ℤ𝛿2

→ 0𝛿3

→ …




Agora, para a cohomologia temos:

Se n= 0: H0(C) = Ker(∂0)/Im(∂-1)= ℤ/{0}= ℤ

Se n= 2: H2(C) = Ker(∂2)/Im(∂1) = ℤ/{0}=ℤ

Se n ≠ 0, 2: Hn(C) = Ker(∂n)/ Im(∂n-1) =

={0}/{0} = {0}

Portanto,

𝐻𝑛(𝐶) = {ℤ, 𝑠𝑒 𝑛 = 0,2;0, 𝑠𝑒 𝑛 ≠ 0,2.


BROWN, K. S. Cohomology of groups.

New York: Springer-Verlag, 1982.

CROOM, F. H. Basic concepts of algebraic

topology. New York: Springer-Verlag, 1978.

HU, S. T. Introduction to homological

algebra. San Francisco: Holden-Day, 1968.

MASSEY, W. S. Algebraic topology: an

introduction. New York: Springer-Verlag,

1967.




CONSTRUÇÃO DE ROTINAS COM VISTAS A TRABALHAR AS

DEFINIÇÕES CLÁSSICA E FREQUENTISTA DE

PROBABILIDADE

Willian Henrique Chaves dos Santos; Nair Cristina Margarido Brondino

Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática, [email protected]

Palavras-chave: Probabilidade; definição frequentista; software R.

Resumo

Este trabalho teve por objetivo a construção

de rotinas em linguagem R, com vistas a

fornecer uma ferramenta para trabalhar os

conceitos de probabilidade frequentista e

clássica. Para isso, foram escolhidos dois

experimentos, a saber: o lançamento de uma

moeda honesta e o PAM (Passeios Aleatórios

da Mônica). A proposta foi motivada pelo fato

de que o uso da tecnologia pode incentivar os

alunos a se interessarem por esses conteúdos,

além de possibilitar que mais exemplos sejam

tratados em sala.

Introdução

O conhecimento básico de

probabilidade é importante para a formação

dos alunos da Educação Básica, pois

possibilita o entendimento dos

acontecimentos de natureza casual de seu

cotidiano, podendo auxiliá-los na tomada de

decisões e possibilitando a previsão de

resultados futuros em algumas situações-

problema.

Apesar disso, os dados do Indicador

Nacional de Analfabetismo Funcional (INAF)

apontam um alto índice de desconhecimento

e/ou dificuldade da população acerca do

assunto (FONSECA, 2004).

Atentos a isso, buscamos soluções

para ensinar os conceitos de probabilidade

clássica e frequentista, a partir da simulação

computacional de experimentos aleatórios.

Para tal, o software R foi escolhido para a

construção de rotinas destinadas a simular os

resultados de experimentos aleatórios e obter

1 FERNANDEZ, D.; FERNANDEZ, D. X. O prazer de

aprender probabilidade através de jogos: descobrindo a

distribuição Binomial. In: Conferência Internacional

“Experiências e Expectativas do Ensino De Estatística –

as frequências relativas de ocorrência de

determinados eventos. A escolha desta

linguagem deve-se ao fato de que a mesma

tem como vantagem ser um software livre

para computação estatística e construção de

gráficos, além de poder ser baixado e

distribuído gratuitamente de acordo com a

licença GNU. Em adição, a possibilidade de

aplicação de software viabiliza a simulação de

um número grande de experimentos em pouco

tempo e o uso da tecnologia pode despertar o

interesse dos alunos, que estão cada vez mais

conectados.

Nesse trabalho, usaremos como base

dois problemas, sendo que o primeiro é o

Problema da Moeda, cujo objetivo é simular

os resultados do lançamento de uma moeda

honesta e posteriormente calcular a frequência

relativa de ocorrência do número de caras.

O segundo problema trata dos

“Passeios Aleatórios da Mônica” (PAM). De

acordo com Nagamine et. al. (2011), “...A

sequência didática (SD) Passeios Aleatórios

da Mônica (PAM) foi proposta por Fernandez

e Fernandez (1999)1, para o estudo da

distribuição Binomial no Ensino Superior,

posteriormente foi adaptada por Cazorla e

Santana (2006), para o ensino de

Probabilidade na Educação Básica...”. De

forma resumida, o PAM é enunciado como a

seguir: “A Mônica e seus amigos moram no

mesmo bairro. A distância da casa da Mônica

para a casa de Horácio, Cebolinha, Magali,

Cascão e Bidu é de quatro quarteirões,

conforme ilustra a Figura 1. Para tornar mais

emocionantes os encontros, a turma

combinou que o acaso escolhesse o amigo a

ser visitado pela Mônica. Para isso, na saída

Desafios para o Século XXI”, 1999, Florianópolis. Anais..., Florianópolis, SC: UFSC, 1999. p. 104-111.




de sua casa e a cada cruzamento, Mônica

deve jogar uma moeda; se sair cara (C),

andará um quarteirão para o Norte, se sair

coroa (X), um quarteirão para o Leste. Cada

jogada representa um quarteirão de percurso.

Mônica deve jogar a moeda quatro vezes para

poder chegar à casa dos amigos (CAZORLA

& SANTANA, 2006, p.442).”

Objetivo

Utilizar o software R para a

construção de rotinas, cujo objetivo é

trabalhar as noções elementares de teoria de

probabilidades, dos pontos de vista

frequentista e clássico.


Spiegel (2004) apresenta a seguinte

definição para a probabilidade clássica:

“Suponha-se que um evento E possa

acontecer de h maneiras diferentes, em um

total de n modos possíveis, igualmente

prováveis. Então, a probabilidade de

ocorrência do evento é definida por: p =

Pr{E} = ℎ

𝑛.”. Desta forma, a probabilidade

clássica pode ser interpretada como a razão

entre o número de casos favoráveis e o

número de casos possíveis. Por exemplo, o

espaço amostral associado aos resultados

possíveis do lançamento de um dado honesto

é o conjunto Ω = {1,2,3,4,5,6}. Logo, do

ponto de vista da definição clássica, a

probabilidade de sair um 1 ou um 2 no

lançamento deste dado é 2

6.

Pela definição frequentista, a

probabilidade de ocorrência de um evento A é

estimada a partir da repetição do experimento

um número grande de vezes. De acordo com

Santos (2011), “A principal característica do

conceito frequentista ou empírico é que a

probabilidade de um acontecimento emerge

do processo de experimentação... Por

exemplo, suponhamos um sucesso particular

A que nos interessa; realizamos o mesmo

experimento várias vezes e anotamos as

ocasiões em que ocorre A; então, a razão

2 CAZORLA, I. M.; SANTANA, E. R. S. Tratamento da

Informação para o Ensino Fundamental e Médio. Itabuna,

BA: Via Litterarum, 2006.

entre o número de vezes que sucede A, 𝑛𝐴, e o

número total de repetições n (razão

frequencial ou frequência relativa de que A

ocorra, isto é, 𝑛𝐴/n) assemelha-se à tendência

de um limite, quando n tende ao infinito.”

Metodologia

O problema da moeda: Usando o

software R, são simulados lançamentos de

uma moeda equilibrada, isto é, em que as

chances de sair cara ou coroa são iguais. A

rotina permite que o número de lançamentos a

serem realizados (n) seja escolhido pelo

usuário. Posteriormente, o programa gera,

aleatoriamente um número no conjunto {0,1}.

Escolheu-se 1 para face cara e 0 para face

coroa. A cada lançamento, o número

acumulado de caras (1´s) é dividido pelo

número de lançamentos realizados até aquele

momento. Ao final do experimento, o

programa fornece um gráfico de frequência

relativa versus número de experimentos.

Passeios Aleatórios da Mônica

(PAM): A metodologia é semelhante à

anterior, porém, como a Mônica precisa jogar

a moeda quatro vezes para saber o caminho

que irá percorrer, o programa gera,

aleatoriamente, quatro números no conjunto

{0,1}, por exemplo: 1011. Escolheu-se 1 para

face cara e 0 para face coroa. A rotina permite

que o número de lançamentos a serem

realizados (n) seja escolhido pelo usuário e a

cada rodada de lançamentos, a sequência de

números gerados determina o caminho que a

Mônica deverá seguir. Ao final do

experimento, o programa fornece um gráfico

com a frequência relativa de visitas calculada

para cada amigo da Mônica.

Resultados e Discussões

Os gráficos apresentados na figura 2

correspondem aos resultados fornecidos pela

rotina para o primeiro problema e mostram a

evolução da frequência relativa de ocorrência

de caras, à medida que foram realizados 50 e

100 lançamentos da moeda, respectivamente.




Observa-se que no começo, quando o número

de experimentos é pequeno, há uma grande

variabilidade no valor da frequência relativa,

mas a mesma tende a se estabilizar em 0,5

conforme o número n de lançamentos vai

aumentando. Esta é uma propriedade de todo

experimento aleatório, chamada estabilidade

estatística. Observe que o "ponto de

estabilidade"- a saber, 0,5- corresponde ao

valor que seria obtido para a probabilidade de

cara ao usarmos o conceito clássico de

probabilidade no espaço amostral Ω = {1,2}. Os gráficos apresentados na figura 3

apresentam os resultados fornecidos pela

rotina para o segundo problema e mostram as

frequências com que a Mônica visitou os

cinco amigos, à medida que foram realizados

30, 300 e 3000 experimentos,

respectivamente. Podemos observar que é

necessário um grande número de realizações

para conseguir chegar nos resultados obtidos

quando o conceito clássico de probabilidade é

aplicado. Isso ocorre porque o espaço

amostral do PAM possui 16 elementos, cada

qual correspondendo a um percurso possível.

Desta forma, existe um único caminho para

chegar na casa do Horácio, quatro para a casa

do Cebolinha, seis para a casa da Magali,

quatro para a casa do Cascão e um para a casa

do Bidu. Ao aplicarmos o conceito clássico a

probabilidade, verifica-se que a probabilidade

de a Mônica visitar o Horácio ou o Bidu é de

1/16 (6,25%), a de visitar o Cebolinha ou o

Cascão é de 4/16 (25%) e a de visitar a Magali

é de 6/16 (37,5%).


A proposta apresentada aqui teve por

objetivo a construção de rotinas, cujo objetivo

é fornecer uma ferramenta para trabalhar os

conceitos de probabilidade frequentista e

clássica. Acreditamos que usar a tecnologia

como recurso didático pode motivar os alunos

a se interessarem pelo assunto. Além disso, a

possibilidade de simular experimentos

computacionalmente permite um grande

número de ensaios em pouco tempo,

possibilitando que mais exemplos sejam

tratados e que o foco esteja mais voltado para

os conceitos teóricos envolvidos.

Figura 1 – Cartaz da PAM.

(Fonte: Nagamine et. al, 2011).

Figura 2 – Resultados do

problema da moeda




Figura 3 – Resultados da PAM.


FONSECA, M. C. F. R. et al. Letramento

no Brasil: habilidades matemáticas. São

Paulo: Global, 2004.

NAGAMINE, C. M. L. et al. Análise

praxeológica dos passeios aleatórios da

Mônica. Bolema, Rio Claro, v. 24, n. 39, p.

451-472, ago. 2011.

PINHEIRO, J. I. D. et al. Estatística básica:

a arte de trabalhar com dados. Rio de

Janeiro: Elsevier, 2009.

SANTOS, J. A. F. L.; GRANDO, R. C. O

movimento das ideias probabilísticas no

ensino fundamental: análise de um caso.

Bolema, Rio Claro, v. 24, n. 39, p. 561-584.

Ago. 2011.

SPIEGEL, M. R. Estatística. 3. ed. São

Paulo: Makron Books, 1994.

Documents

CADERNO DE RESUMOS · CADERNO DE RESUMOS Faculdade de Ciências - Câmpus de Bauru ... atematica/extensao/lab -mat/jogos no ensino de matematica/>. Acesso em: 23 mar. 2015