Caderno de Estudo

eTec | Brasil

Elizabete Alves de Freitas MATEMÁTICA FINANCEIRA

C U R S O T É C N I C O

01Elizabete Alves de Freitas


Razão, proporção, números proporcionaise divisão proporcional

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Coordenadora da Produção dos MateriasVera Lucia do Amaral

Coordenador de EdiçãoAry Sergio Braga Olinisky

Coordenadora de RevisãoGiovana Paiva de Oliveira

coIvana Lima

DiagramaçãoElizabeth da Silva Ferreira

Ivana LimaJosé Antonio Bezerra Junior

Mariana Araújo de Brito

Arte e ilustraçãoAdauto Harley

Carolina CostaHeinkel Huguenin

Leonardo dos Santos Feitoza

caAdriana Rodrigues GomesMargareth Pereira Dias Nouraide Queiroz

Design InstrucionalJanio Gustavo BarbosaJeremias Alves de Araújo SilvaJosé Correia Torres NetoLuciane Almeida Mascarenhas de Andrade

Revisão de LinguagemMaria Aparecida da S. Fernandes Trindade

Revisão das Normas da ABNTVerônica Pinheiro da Silva

Adaptação para o Módulo MatemáticoJoacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho

EQUIPE SEDIS | UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN

co

Secretaria de Educação a Distância – SEDIS

Governo Federal

Ministério da Educação

e-Tecrede.

.Brasil

Governadora do Estado do MaranhãoROSEANA SARNEY MURAD

Prof. José Augusto Silva Oliveira

Prof. Gustavo Pereira da Costa

Prof. Walter Canales Sant’ana

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Esse material foi cedido à Universidade Estadual do Maranhão - UEMA pelo Sistema Escola Técnica Aberta do Brasil - e-Tec Brasil, que autorizou sua reprodução para uso exclusivo dos Cursos Técnicos a Distância do Núcleo de Tecnologias para Educação - UemaNet.

Você verá

por aqui...

Objetivos

1

Matemática fi nanceira A01

... em nossa primeira aula, os conceitos de razão, proporção, números proporcionais ,

divisão proporcional e regra de sociedade, através de uma apresentação do conteúdo

recheada de exemplos práticos.

Durante toda a aula, você encontrará atividades que reforçam imediatamente cada

conteúdo e, ao fi nal da aula, você encontrará uma lista de exercícios com todo o

conteúdo estudado nesta aula.

Além dos assuntos já citados, em nossa disciplina, você também verá, nas próximas

4 (quatro) aulas, alguns conceitos como operações sobre mercadorias, conversão

monetária, operação cambial, capitalização simples e capitalização composta.

Seja bem-vindo e bons estudos.

Conhecer razão, sabendo identificar seus elementos

e calcular uma razão entre dois números ou entre

duas grandezas.

Conhecer proporção, seus elementos e suas propriedades,

utilizando adequadamente essas propriedades para estimar

um valor desconhecido de uma proporção.

Classifi car uma série de números em diretamente proporcional

ou inversamente proporcional a outra série de números

e utilizar adequadamente as propriedades da divisão

proporcional na resolução de problemas que envolvem regra

de sociedade.

2


Para começo

de conversa

Imagine a seguinte situação:

José e Jorge são dois sócios. Eles investiram os capitais de R$ 3.000,00 e

R$ 5.000,00, respectivamente, num empreendimento. No dia do balanço

anual, após 10 meses de sociedade, ao repartirem o lucro, Jorge obteve

R$ 600,00 a mais que o primeiro. De quanto foi o lucro total

do empreendimento?

Para poder responder a esse tipo de pergunta, é preciso entender alguns conceitos que

serão os assuntos de nossa aula.

3


Conhecendo razão,

proporção, números

proporcionais e

divisão proporcional

Vimos, no texto anterior, que ao dividirem os lucros, no balanço geral, Jorge teve um

lucro de R$ 600,00 a mais que o de José. Por que isso aconteceu?

É simples! Nessa sociedade, cada sócio entrou com quantias diferentes. Lembra que

um investiu R$ 3.000,00 e o outro, R$ 5.000,00?

Razão

Quando comparamos as duas quantias, podemos escrever uma razão entre elas. Assim,

a razão entre as quantias investidas nesse negócio, ou seja, a razão entre 3.000,00 e

R$ 5.000,00 é: R$ 3.000, 00R$ 5.000, 00

=35

.

Lemos essa razão assim: três para cinco. Ela também pode ser escrita no formato 3:5.

A palavra razão vem da palavra ratio, que em latim signifi ca divisão. Escrever uma razão

entre dois números é escrever o quociente entre eles.

De uma forma geral, podemos dizer que

A razão do número a para o número b, em que b é diferente de zero, é o

quociente de a por b.

A razão entre a e b, escrita através de notação matemática, é a

bou a : b, onde b �= 0.

Os números a e b são os termos da razão, em que a recebe o nome de antecedente e

b recebe o nome de consequente.

Exemplo 1

Exemplo 3

Exemplo 2

4


Na razão 1:7, o antecedente é 1 e o consequente é 7.

A razão entre 5 e 213

é 5

213

=573

= 5 · 37

=51· 37

=157

ou 15 : 7. A leitura

dessa razão é quinze para sete.

A razão de 12 para 4 é 124

=12 ÷ 44 ÷ 4

=31

= 3. A leitura dessa razão é três

para um (ou apenas três).

Podemos estabelecer uma razão entre medidas de duas grandezas. A razão entre duas

medidas, dadas em certa ordem, é razão entre a primeira medida e a segunda medida

(sendo esta última diferente de zero). Se as medidas que formam a razão são de

grandezas de mesma espécie devemos apresentá-las em uma mesma unidade. Se em

uma razão temos duas medidas de comprimento, por exemplo, devemos apresentá-las

em uma mesma unidade. Nesse caso, a razão é um número que não apresenta unidade

de medida. É o caso de uma escala de um mapa, de uma planta de um imóvel, entre

outros exemplos.

Quando o antecedente e o consequente de uma mesma proporção são múltiplos de

um mesmo número, podemos dividi-los por esse número e encontrar uma razão mais

simples igual à razão dada. A seguir, temos alguns exemplos de razões que podem ser

simplifi cadas.

Exemplo 6

Exemplo 7

Exemplo 4

Exemplo 5

5


A razão entre 20cm e 3m é 20 cm

3 m=

20 cm

300 cm=

20 ÷ 20300 ÷ 20

=115

ou seja, é 1

para 15.

A razão entre 15 minutos e 1 hora é,

15 min

1 h=

15 min

60 min=

1560

=15 ÷ 360 ÷ 3

=5 ÷ 520 ÷ 5

=14

, ou seja, é 1 para 4.

Se as grandezas que formam uma razão não são de uma mesma espécie, a unidade

dessa razão vai depender das unidades das grandezas do antecedente e do consequente.

Que tal ver mais alguns exemplos?

O deslocamento diário de 140 quilômetros de casa para a fábrica onde trabalha

é percorrido por um operário em 2 horas. A razão entre a distância percorrida

e o tempo gasto em percorrê-la é 140 km

2 h=

1402

km/h = 70 km/h.

Um torno de madeira, em 5 minutos, produz 3000 rotações. A razão

entre o número de rotações e o tempo gasto para produzi-las é

3000 rotacoes

5 min= 600rotações/min.

A velocidade média desse torno, nesse período, é de 600 rotações/min.

6


Podemos dizer que a velocidade média de seu meio de transporte nesse

deslocamento é de 70 km/h.

Proporção

Em uma empresa, os dados sobre quais funcionários têm curso completo de informática,

são os seguintes:

Curso de informática completo Total de funcionários

Filial 6 8

Matriz 9 12

A razão entre os funcionários que apresentam curso completo de informática e o número

total de funcionários, em cada unidade da empresa, é:

Filial: 68

=6 ÷ 28 ÷ 2

=34

Matriz: 912

=9 ÷ 312 ÷ 3

=34

Podemos observar que as duas razões são iguais, ou seja, 68

=912

. Essa igualdade

também pode ser escrita como 6 : 8 :: 9 : 12. Assim, dados os números 6, 8, 9 e 12,

nesta ordem, podemos afi rmar que a razão entre os dois primeiros é igual à razão entre

os dois últimos.

A igualdade entre duas razões recebe um nome especial. Dizemos que, nessa mesma

ordem, os números 6, 8, 9 e 12 formam uma proporção.

De uma forma geral, dados quatro números reais e diferentes de zero (a, b,

c e d), em certa ordem, se a razão entre os dois primeiros for igual à razão

entre os dois últimos, ou seja, se a

b=

c

d , dizemos que os números a, b, c

e d, nesta ordem, formam uma proporção.

Uma proporção pode ser escrita na forma a

b=

c

d ou a : b :: c : d. Em qualquer um

dos formatos, sua leitura é a está para b assim como c está para d. No exemplo 7, se

escrevemos 68

=912

ou 6 : 8 :: 9 : 12, a leitura é sempre a mesma: seis está para oito

assim como nove está para doze.

Exemplo 8

Exemplo 9

7


A leitura da proporção 23

=46

é: 2 está para 3 assim como 4 está para 6.

Termos de uma proporção

Se a, b, c e d ∈ �∗ e a

b=

c

d, dizemos que a, b, c e d são os termos da proporção. Assim:

a e c são os antecedentes e b e d são os consequentes das razões;

a e d são os extremos da proporção;

b e c são os meios da proporção.

Em uma proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Aplicando a propriedade fundamental, podemos verifi car se duas razões formam uma

proporção ou não. É o que faremos nos exemplos a seguir.

Na proporção 23

=46

, os números 2, 3, 4 e 6 são os termos da proporção.

Assim:

2 e 4 são os antecedentes e 3 e 6 são os consequentes das razões;

3 e 4 são os meios da proporção;

2 e 6 são os extremos da proporção.

Propriedade fundamental das proporções

Para verifi car essa propriedade, devemos realizar algumas operações.

Na proporção a

b=

c

d, podemos multiplicar os dois lados da igualdade pelo produto dos

conseqüentes de suas razões, ou seja, multiplicar os dois lados da proporção por bd.

Ou seja, a

b· bd =

c

d· bd, que após a simplifi cação é a ·d = b ·c.

Diante desse resultado, podemos afi rmar o seguinte:

Exemplo 10

Exemplo 11

8


A expressão 27

=1863

é uma proporção?

O produto dos extremos é: 2 · 63 = 126.

O produto dos meios é: 7 · 18 = 126.

Podemos observar que 2 · 63 = 7 · 18 , logo a expressão 27

=1863

é uma

proporção.

Verifi que se os números 11, 15, 22 e 30, não obrigatoriamente nessa ordem,

formam uma proporção.

Fazendo o produto entre o menor e o maior desses números, temos:

11 ⋅30 = 330

Fazendo o produto entre os outros dois números, temos: 15 ⋅22 = 330

Assim 11·30 = 15 ·22, e a proporção 1115

=1530

é uma das proporções que

podem ser formadas por esses números.

Recíproca da propriedade fundamental das proporções

Sejam a, b, c e d, números reais e diferentes de zero, tais que o produto de dois deles

seja igual ao produto dos outros dois, isto é:

a ·d = b ·c.

Dividindo cada membro da igualdade pelo produto bd, temos que:

ad

bd=

bc

bd

Após a simplifi cação, temos:a

b=

c

d

Exemplo 12

1Praticando...

9


Assim, transformamos a igualdade entre dois produtos em uma proporção, como você

também verá no exemplo a seguir.

Escreva a igualdade 3 ·35 = 7·15 em forma de proporção.

Dividindo ambos os membros da igualdade 3 ·35 = 7·15 pelo produto

35 ·15, temos 3 · 3535 · 15

=7 · 1535 · 15

.

Ao simplifi carmos essa expressão, obtemos a proporção 315

=735

.

1. Escreva a razão mais simples entre

a) 120 mm e 4 dm. b) 1,2g e 4 cm3. d) 4.000.000 habitantes e 1.000 km2.

2. Indique o antecedente e o consequente em cada uma das razões

a seguir:

a) 3 : 20 b) 513

:125

c) 1825

3. Indique quais números são os extremos e quais são os meios em cada

proporção a seguir:

a) 1027

=3081

b) 18

=15120

4. Verifi que, utilizando a propriedade fundamental das proporções, se a

expressão 213

=1065

é uma proporção.

Exemplo 13

Exemplo 14

10


Cálculo de um termo desconhecido em

uma proporção

Em uma proporção, é sempre possível determinar o valor de um dos termos, sendo

os outros três conhecidos. Basta aplicar a propriedade fundamental das proporções.

Observe o exemplo a seguir:

Quando aplicamos a propriedade fundamental na proporção 34

=60x

, temos:

3x = 4 · 60 ⇒ 3x = 240 ⇒ x = 240 : 3 ⇒ x = 80.

Transformações de uma proporção

Podemos escrever uma mesma proporção de várias maneiras, apenas usando os

mesmos termos em uma ordem diferente, ou seja, encontrando proporções equivalentes

à proporção dada mudando apenas a ordem dos termos.

A igualdade entre as razões, na proporção 35

=1220

, se mantém quando

alternamos os extremos: 205

=123

⇒ 20 · 3 = 5 · 12 = 60;

alternamos os meios: 312

=520

⇒ 3 · 20 = 12 · 5 = 60;

invertemos os termos: 53

=2012

⇒ 5 · 12 = 3 · 20;

transpomos as razões: 1220

=35⇒ 12 · 5 = 20 · 3 = 60.

Proporções múltiplas

Observe as razões 614

e 1535

. Após a simplifi cação, ambas são iguais a 37

.

Logo, podemos escrever 614

=1535

=37, que é uma proporção múltipla.

Exemplo 15

11


Chamamos de proporção múltipla a toda proporção que envolve uma igualdade entre

três razões ou mais. Uma proporção múltipla também pode ser chamada de série de razões iguais.

De forma geral:

a

b=

c

d= . . . =

m

n (em que a, b, c,..., n ∈ �∗

) é uma proporção múltipla.

Propriedade fundamental das proporções múltiplas

Sendo a proporção a

b=

c

d= . . . =

m

n e considerando que cada uma dessas razões é

igual a um mesmo número k, esse valor k é chamado de coefi ciente de proporcionalidade

dessa proporção.

Assim, temos:

a

b= k,

c

d= k, . . . ,

m

n= k ⇒ a = bk, c = dk, . . . , m = nk

Somando essas igualdades, membro a membro, temos:

a + c + . . . + m = bk + dk + . . . + nk

a + c + . . . + m = k · (b + d + . . . + n)

Ou seja:

a + c + . . . + m

b + d + . . . + n= k

Assim:

Em uma proporção múltipla, a soma dos antecedentes está para a soma

dos consequentes assim como qualquer antecedente está para seu

respectivo consequente.

Veja o exemplo a seguir:

Considere a seguinte proporção múltipla: 15

=315

=525

=630

.

12


15

=315

=525

=630

⇒ 1 + 3 + 5 + 65 + 15 + 25 + 30

=1575

=15 ÷ 1575 ÷ 15

=15.

Observe que a razão entre a soma dos antecedentes e a soma dos

consequentes é 15, que é o coefi ciente de proporcionalidade de todas as

outras razões, confi rmando assim a propriedade das proporções múltiplas.

Outras propriedades das proporções

Considerando a proporção a

b=

c

d, podemos observar as seguintes propriedades:

I) Razão entre a soma dos antecedentes e a soma dos consequentes de uma razão.

A soma dos antecedentes de uma proporção está para a soma dos seus conseqüentes,

assim como cada antecedente está para o seu respectivo conseqüente. Ou seja, a + c

b + d=

a

c

ou a + c

b + d=

c

d.

II) Razão entre a diferença dos antecedentes e a diferença dos consequentes de uma razão.

A diferença entre os antecedentes está para a diferença de seus consequentes,

assim como cada antecedente está para seu respectivo consequente. Ou seja, a − c

b − d=

a

b ou

a − c

b − d=

c

d

III) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma razão e seu respectivo

antecedente.

A soma (ou diferença) dos termos da primeira razão está para seu antecedente, assim

como a soma (ou diferença) dos termos da segunda razão está para seu respectivo

antecedente. Assim, a + b

a=

c + d

c ou

a − b

a=

c − d

c.

IV) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma razão e o seu respectivo

consequente.

A soma (ou diferença) entre os termos da primeira razão está para seu conseqüente,

assim como a soma (ou diferença) entre os termos da segunda razão está para seu

respectivo consequente. Assim, a + b

b=

c + d

d ou

a − b

b=

c − d

d.

Veja a utilização dessas propriedades na resolução dos exemplos a seguir:

Exemplo 16

Exemplo 17

13


Determine dois números, sabendo que a sua soma é 54 e que a razão entre

eles é 1:2.

Como são valores desconhecidos, podemos associar ao número menor a

letra x e ao número maior, a letra y.

Através das informações do problema, podemos escrever: x + y = 54 e x

y=

12

Aplicando a propriedade III na proporção x

y=

12

, temos: x + y

x=

1 + 21

Como x + y = 54, temos 54x

=31.

Aplicando a propriedade fundamental das proporções e resolvendo a

equação resultante, temos:

3 · x = 54 · 1 ⇒ 3x = 54 ⇒ x = 54 ÷ 3 ⇒ x = 18

Para encontrar o valor de y basta substituir o valor de x em qualquer das

equações. Substituindo x = 18 na equação x + y = 54, temos:

18 + y = 54 ⇒ y = 54 − 18 ⇒ y = 36

Resposta: Os números procurados são 18 e 36.

Determine dois números sabendo que a diferença entre eles é igual a 12 e

que o maior está para o menor assim como seis está para cinco.

Chamando o número maior de m e o número menor de n, temos que as

informações do problema podem ser escritas como: m – n = 12 e

m

n=

65

.

Aplicando a propriedade IV na proporção m

n=

65

temos: m − n

m=

6 − 56

Substituindo o valor de m – n e resolvendo 6 – 5, temos: 12m

=16

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: m ·1 = 12·6. Ou

seja, m = 72.

2Praticando...

14


Para calcular o valor de n, basta substituir o valor de m na equação

m – n = 12.

Assim: 72 − n = 12 ⇒ −n = 12 − 72 ⇒ −n = −60 ⇒ n = 60.

Resposta: Os números procurados são 72 e 60.

1. Calcule o valor de x na proporção x

5=

x − 32

.

2. Reescreva de 4 maneiras diferentes a proporção 215

=860

.

3. Determine os valores de x, y e z, sabendo que x + y + z = 80 e x

2=

y

4=

z

14.

4. Se x – y = 18 e x

y=

2519

, calcule os valores de x e y.

Números proporcionais

Quando a variação de uma grandeza provoca uma variação em outra grandeza, dizemos

que essas grandezas se relacionam e, de acordo com a relação entre essas grandezas,

elas podem ser classifi cadas em grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.

Os valores numéricos associados a essas grandezas podem ser classifi cados como

números diretamente ou inversamente proporcionais.

Números diretamente proporcionais

Segundo a NR 24, norma do Ministério do Trabalho e Emprego que regula as condições

sanitárias e de conforto nos locais de trabalho, cada empresa deve providenciar, por

trabalhador, a quantidade de 60 litros de água para o consumo nas instalações sanitárias.

Exemplo 18

15


Se duas grandezas são diretamente proporcionais, a razão entre dois valores

de uma delas é igual à razão entre os dois valores correspondentes da outra.

As seqüências de números (reais e diferentes de zero) que representam essas grandezas

são ditas diretamente proporcionais.

As sequências de números (5, 6, 7) e (25, 30, 35) são diretamente

proporcionais?

Escrevendo as razões entre os números correspondentes, temos: 525

, 630

e 735

.

Todas iguais a 15

, que é o coefi ciente de proporcionalidade.

Podemos afi rmar que as seqüências acima são diretamente proporcionais.

Note que enquanto uma grandeza aumenta a outra também aumenta e, em cada unidade

da empresa, a razão entre a quantidade de água mínima necessária (litros) e o número

de funcionários é sempre igual a 60. Veja:

72012

=108018

=120020

=180030

=300050

= 60.

Dizemos, então, que as seqüências de números (720, 1080, 1200, 1800, 3000) e (12, 18,

20, 30, 50) são diretamente proporcionais e que o coefi ciente de proporcionalidade é 60.

Chamando dois valores quaisquer da primeira grandeza de a′ e a′′os valores

correspondentes na segunda grandeza de b′e b′′, podemos apresentar a proporção:

a′

b′=

a′′

b′′ ou, alternando os extremos, obtemos: b

′′

b′=

a′′

a′

Ou seja:

Em uma empresa, que obedece a essas normas, foi construída a seguinte tabela:

Filial Filial A Filial B Filial C Filial D Matriz

Número de funcionários 12 18 20 30 50

Quantidade de água (litros) 720 1080 1200 1800 3000

Exemplo 19

16


As razões formadas pelos elementos correspondentes de duas sequências

diretamente proporcionais são todas iguais a um mesmo número e esse

número é chamado de coefi ciente de proporcionalidade.

Números inversamente proporcionais

Em um serviço de entregas, um veículo de uma transportadora percorre certa distância

em 6 horas, a uma velocidade média de 40 km/h.

Se sua velocidade média aumentasse para 80 km/h, o tempo que se levaria para

percorrer a mesma distância seria reduzido para 3 horas.

Ou seja:

Velocidade média (km/h) 40 80 aumenta

Tempo de percurso (h) 6 3 diminui

Aumentando em duas vezes a velocidade média, o tempo gasto para fazer o mesmo

percurso diminui, sendo reduzido à metade.

Enquanto uma grandeza aumenta, a outra diminui, ou seja, as grandezas variam em

sentido contrário. As grandezas velocidade e tempo são grandezas inversamente

proporcionais.

Qual é o coefi ciente de proporcionalidade entre as sequências diretamente

proporcionais (5, 8, 12) e (40, 64, 96)?

Como 540

=864

=1296

=18, temos que o coefi ciente de proporcionalidade é

18.

Exemplo 20

Exemplo 21

Exemplo 22

17


As sequências (40, 80) e (6, 3) são inversamente proporcionais. Nesse

caso, a primeira sequência é diretamente proporcional aos inversos dos

elementos correspondentes na segunda sequência. Ou seja, as sequências

(40, 80) e ( 16,

13

)) são diretamente proporcionais.

Assim: 4016

=8013

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: 40 · 13

= 80 · 16

A proporção formada (já simplifi cada) é 403

=806

.

Qual o coefi ciente de proporcionalidade entre as sequências de números

inversamente proporcionais (1, 2, 5) e (20, 10, 4)?

Como as seqüências são inversamente proporcionais, temos que:

1120

=2110

=514

⇒ 1 · 201

= 2 · 101

= 5 · 41

= 20 Logo, o coeficiente de

proporcionalidade é 20.

Sabendo que as sequências (m, –4, 1) e (2, n, 4) são inversamente

proporcionais, determine os valores de m e n.

Considerando as seqüências inversamente proporcionais, temos:

m12

=−41n

=114

.

A última razão dessa proporção múltipla é 114

= 1 · 41

= 4, que é também o

coefi ciente de proporcionalidade.

Exemplo 23

18


Igualando cada razão ao coefi ciente de proporcionalidade, temos:

m12

= 4 ⇒ m · 21

= 4 ⇒ 2m = 4 ⇒ m = 2

−41n

= 4 ⇒ −4 · n

1= 4 ⇒ −4n = 4, que multiplicado por (–1), é igual a

4n = −4 ⇒ n = −1

Resposta: Os valores procurados são m = 2 e n = –1.

Calcule o valor de a, b, x e y, sabendo que a sequência (12, 10, 20) é

diretamente proporcional a série (a, b, 5) e inversamente proporcional a

(x, 2, y).

Pelas informações acima, temos que: 12a

=10b

=205

e 121x

=1012

=201y

Números ao mesmo tempo diretamente proporcionais a

uns e inversamente proporcionais a outros números

Considere X uma grandeza proporcional à grandeza A e, ao mesmo tempo, inversamente

proporcional à grandeza C. Se x, a e c são valores correspondentes dessas grandezas,

existe uma constante k, diferente de zero, que é o coefi ciente de proporcionalidade, tal

que: x

a · 1c

= k ⇒ x = ka · 1c

ou x = k · a

c

Então, sendo x1, a

1, c

1 e x

2, a

2, c

2 valores correspondentes das grandezas X, A e C,

temos: x1 = k · a1

c1

e x2 = k · a2

c2

A razão entre esses valores é x1

x2

=k · a1

c1

k · a2

c2

⇒ x1

x2

=

a1

c1

a2

c2

ou x1

x2

=a1

a2

· c2

c1

3Praticando...

(I)

(II)

19


Desenvolvendo a primeira dessas proporções, temos: 12a

=10b

=205

=41

= 4

Assim: 12a

= 4 ⇒ 4a = 12 ⇒ a = 3 e 10b

= 4 ⇒ 4b = 10 ⇒ b =104

⇒ b =52

Desenvolvendo a segunda proporção 121x

=1012

=201y

, temos:

121x

=1012

=201y

⇒ 12x

1=

201

=20y

1

Igualando duas a duas as razões dessa última proporção, obtemos:

(I) 12x

1=

201

⇒ 12x = 20 ⇒ x =2012

⇒ x =53

(II) 201

=20y

1⇒ 20y = 20 ⇒ y =

2020

⇒ y = 1

Resposta: Os valores procurados são a = 3, b =52, x =

53

e y = 1

1. Indique se são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais

as sequências de números:

a) (3, 5, 9) e (115

,19,

15) b) (40, 80, 16) e (2, 1, 5)

2. Determine o valor de m, n, p e r, sabendo que a série de números

(9, 15, 27) é diretamente proporcional à série (m, n, 9) e inversamente

proporcional à série (3, p, r).

Exemplo 24

20


Divisão proporcional e regra de sociedade

Agora, vamos pensar um pouco sobre a situação que encontramos no início desta aula?

José e Jorge são dois sócios. Eles investiram os capitais de R$ 3.000,00

e R$ 5.000,00, respectivamente, num empreendimento. No dia do balanço

anual, após 10 meses de sociedade, ao repartirem o lucro, Jorge obteve

R$ 600,00 a mais que o primeiro. De quanto foi o lucro total dessa sociedade

nesse período?”.

Investimento (R$) Lucro (R$)

José 3.000 x

Jorge 5.000 x + 600

A razão entre as quantias investidas deve ser igual à razão entre os lucros,

ou seja, 3.0005.000

=x

x + 600, ou após a simplifi cação da primeira razão, temos

35

=x

x + 600, onde o produto dos meios é igual a 5·x e o produto dos

extremos: 3 · (x + 600) = 3x + 1.800.

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:

5 · x = 3 · (x + 600) ⇒ 5x = 3x + 1.800 ⇒ 5x − 3x = 1.800 ⇒ 2x = 1.800

x = 1.800 ÷ 2 ⇒ x = 900

Para descobrir o valor que cada um dos sócios recebeu, substituímos o

valor de x por 900 e encontramos que o lucro de José foi de R$ 900,00 e o

lucro de Jorge, R$ 1.500,00.

Essa situação se refere a uma divisão de um número (lucro) em partes diretamente

proporcionais a vários outros (ato de criação da sociedade).

Divisão em partes diretamente proporcionais

Dividir um número em partes diretamente proporcionais a vários outros é decompor

esse número em partes proporcionais a esses números.

Exemplo 25

Exemplo 26

21


Vejamos mais um exemplo:

Para a realização de um serviço de pintura, foram contratados dois funcionários.

Sabendo que um pintor trabalhou 8 horas e outro trabalhou apenas 6 horas, e

que, pelo serviço, foram pagos R$ 280,00, calcule o valor que cada um recebeu.

Remuneração do primeiro pintor: x

Remuneração do segundo pintor: y

Soma das partes: x +y = 280

Quando dividimos R$ 280,00 em partes proporcionais ao tempo de trabalho de

cada pintor, temos: x

8=

y

6, que pode ser transformada na proporção:

x

y=

86

.

Podemos dizer que: x + y

x=

8 + 68

⇒ 280x

=148 e

x + y

y=

8 + 66

⇒ 280y

=146

.

Pela propriedade fundamental das proporções, temos:

14 · x = 280 · 8 ⇒ 14x = 2.240 ⇒ x = 2.240 ÷ 14 ⇒ x = 160

14 · y = 280 · 6 ⇒ 14y = 1.680 ⇒ y = 1.680 ÷ 14 ⇒ y = 120

Resposta: Um pintor recebeu R$ 160,00 e o outro recebeu R$ 120,00.

Um número também pode ser dividido em partes inversamente proporcionais a

vários outros.

Divisão em partes inversamente proporcionais

Quando um número é dividido em partes inversamente proporcionais, dizemos que

esse número é diretamente proporcional aos inversos dessas partes, como você pode

observar no exemplo a seguir:

Divida o número 540 em partes inversamente proporcionais 14, 16 e

18.

Podemos nomear as partes de x, y e z, e afi rmar que:x

4=

y

6=

z

8=

x + y + z

4 + 6 + 8.

Exemplo 27

22


Divisão proporcional composta

Um número pode ser dividido ao mesmo tempo em partes diretamente proporcionais a

alguns números e em partes inversamente proporcionais a outros.

y

6=

54018

⇒ 18 · y = 3.240 ⇒ 18y = 3.240 ⇒ y = 3.240 ÷ 18 ⇒ y = 180

z

8=

54018

⇒ 18 · z = 4.320 ⇒ 18z = 4.320 ⇒ z = 4.320 ÷ 18 ⇒ z = 240

x

4=

54018

⇒ 18 · x = 2.160 ⇒ 18x = 2.160 ⇒ x = 2.160 ÷ 18 ⇒ x = 120

A soma x + y + z = 540 e 4 + 6 + 8 = 18. Assim:

Resposta: As partes de 540 que são inversamente proporcionais a 14

,

16

e 18

são120, 180 e 240.

Divida o número 392 em partes diretamente proporcionais a 4, 3 e 2 e, ao

mesmo tempo, em partes inversamente proporcionais a 17

, 15

e 13.

Nesse caso, as partes de 392 (que chamaremos de m, n e p), são diretamente

proporcionais aos produtos 4 · 117

,

3 · 115

, 2 · 113

, ou seja, diretamente

proporcionais a 28, 15 e 6. Assim: m

28=

n

15=

p

6=

m + n + p

49=

39249

= 8.

Logo:

m

28= 8 ⇒ m = 28 · 8 ⇒ m = 224

n

15= 8 ⇒ n = 15 · 8 ⇒ n = 120

p

6= 8 ⇒ p = 6 · 8 ⇒ p = 48

Resposta: Os valores procurados são m = 224, n = 120 e p = 48.

4Praticando...

23


1. Três amigas compraram, em sociedade, um terreno de R$ 10.000,00.

Ana pagou R$ 5.000,00; Paula, R$ 3.000,00, e Renata, R$ 2.000,00. Algum

tempo depois, elas venderam o terreno por R$ 30.000,00. Quanto recebeu

cada uma das amigas pela venda do terreno?

2. Três irmãos, de 8, 12 e 28 anos, receberam uma herança para ser dividida

entre eles em partes diretamente proporcionais às suas idades.

3. Uma empresa, em um determinado mês, contratou três funcionários

provisórios que foram remunerados com uma verba de R$ 5.200,00,

dividida em partes inversamente proporcionais ao número de faltas de

cada um. Nesse período, o primeiro funcionário faltou 2 dias; o segundo,

3 dias e o terceiro, 4 dias. Ao fi nal do mês, quanto recebeu cada um

desses funcionários?

4. Divida 3.500 em partes diretamente proporcionais a 152

, 6, e 4 e, ao

mesmo tempo, inversamente proporcionais a 32

, 2 e 2.

Uma aplicação da divisão proporcional:

a regra de sociedade

Regra de sociedade é uma forma de aplicação de divisão proporcional utilizada para a

divisão de lucro ou prejuízo entre componentes de uma sociedade.

Essa divisão tem como base o capital investido e o período de tempo em que esses

capitais foram investidos na sociedade.

São quatro os casos de regra de sociedade. Vejamos as características de cada

um deles:

1º. Caso: Capitais iguais e períodos de tempos iguais

Nesse caso, basta dividir igualmente entre os sócios o lucro (ou prejuízo) do período.

5Praticando...

24


2º. Caso: Capitais iguais e períodos de tempo diferentes

Como todos os sócios entraram na sociedade com a mesma quantia

em dinheiro, basta dividir o lucro (ou prejuízo) em partes diretamente

proporcionais ao tempo de sociedade de cada um.

3º. Caso: Capitais diferentes e períodos de tempo iguais

Como todos os sócios têm o mesmo tempo de sociedade, o lucro (ou

prejuízo) é dividido em partes diretamente proporcionais ao capital investido

por cada um dos sócios.

4º. Caso: Capitais diferentes e períodos de tempo diferentes

Nesse caso, dividimos o lucro (ou prejuízo) em partes diretamente

proporcionais ao produto de cada capital investido pelo respectivo tempo

de investimento.

1. Três sócios constituíram sociedade e no dia em que iniciaram esse

negócio a soma do capital investido foi de R$ 30.000,00. No dia em que

apuraram os ganhos dessa sociedade, coube ao primeiro sócio a metade

do que o segundo sócio recebeu, e ao terceiro sócio, o triplo do que

recebeu o primeiro. Qual foi o capital inicial de cada um desses sócios?

2. Pedro e Maria montaram uma sorveteria, entrando cada um, na mesma

época, com R$ 2.500,00. No dia do balanço anual, foi apurado um lucro

de R$ 6.000,00. Quanto deve receber cada um dos sócios?

3. Duas amigas constituíram sociedade com os capitais de R$ 2.000,00 e

R$ 3.000,00. Na divisão dos lucros, a segunda recebeu R$ 7.500,00 a

mais que a primeira. De quanto foi o lucro total dessa sociedade?

Agora, se você já resolveu todas as atividades anteriores e não tem mais

dúvida, que tal resolver mais alguns exercícios?

Exerc

ício

s

25


1. Estabeleça uma correspondência entre os números que se encontram

em cada item da coluna à esquerda e a razão entre esses números, em

cada item da coluna à direita.

(a) 12 e 36 ( ) 12:9

(b) 60 e 15 ( ) 11 para 4

(c) 3 e 2,25 ( ) 5 :4

(d) 1,05 e 3,5 ( ) 4 para 1

(e) 512

e 2 ( )14

(f) 4 e 315

( )310

2. Verifi que se a razão 1025

é igual à razão 210

.

3. Calcule a razão entre as seguintes grandezas:

a) 15 m e 12 cm

b) 20 dam e 3 km

c) 1g e 5 kg

d) 2 km e 0,5 m3

4. Calcule o valor de x na proporção x

5=

2 − x

3.

5. Escreva a proporção cujas razões são iguais a 5 para 7 e cujos

consequentes sejam 3 e 16.

6. Calcule x e y, sabendo que x + y = 300 e x

y=

911

.

7. Complete a série B, no quadro abaixo, sabendo que as séries A e B

são diretamente proporcionais e o coefi ciente de proporcionalidade é 14

.

A B

4

6

12

8. Em uma determinada sociedade, quatro sócios investiram R$ 4.200,00,

R$ 3.800,00, R$ 9.500,00 e R$7.500,00. Ao primeiro sócio, no rateio

do lucro, coube o valor de R$ 13.000,00. Qual foi o lucro recebido por

cada um dos sócios?

26


Nesta aula, vimos os conceitos de razões e proporções, bem como os

seus elementos e propriedades. Também vimos os conceitos de números

proporcionais e de divisão proporcional e uma aplicação de divisão

proporcional: a regra de sociedade.

1. Escreva o conceito de razão.

2. Dê um exemplo de razão e indique o antecedente e o consequente.

3. Construa uma proporção que tenha coefi ciente de proporcionalidade 0,5.

4. Como você classifi ca as grandezas número de dias gastos e o número de operários empregados para a construção de uma casa: diretamente

proporcionais ou inversamente proporcionais? Por quê?

5. Dê um exemplo de duas séries de números diretamente proporcionais

e um exemplo de duas séries de números inversamente proporcionais.

6. Marque V (se verdadeira) ou F (se falsa) cada uma das seguintes

afi rmativas:

a) ( ) Uma fração é diretamente proporcional a seu numerador.

b) ( ) Uma fração é diretamente proporcional a seu denominador.

c) ( ) A série (4, 16 e 32) é diretamente proporcional a série (12, 48 e 64).

7. Uma sociedade foi formada por 3 amigos. Encontre o valor investido por

cada um dos sócios, sabendo que no dia do rateio dos ganhos, o lucro

total foi de R$ 50.000,00.

Atenção!

Se você sentiu difi culdade na resolução de alguma atividade ou exercício, releia este

fascículo e procure refazer seus cálculos.

27


Para consulta

Razão: Razão entre dois números a e b é o quociente a

b ou a : b, onde b �= 0. Chamamos

a de antecedente e b de consequente da razão.

Proporção: Se a, b, c e d ∈ �∗ dizemos que a

b=

c

d é uma proporção.

Leitura: a está para b assim como c está para d.

Termos da proporção: extremos (a e d) e meios (b e c).

Propriedade fundamental: a, b, c e d ∈ �∗ e a

b=

c

d⇒ a

b· bd =

c

d· bd ⇒ a · d = b · c .

Proporções múltiplas: a

b=

c

d= . . . =

m

n (onde a, b, c,..., n ∈ �∗ ).

Propriedade fundamental das proporções múltiplas:

a

b=

c

d= . . . =

m

n⇒ a + c + . . . + m

b + d + . . . + n= k

Outras propriedades das proporções:

I) a + c

b + d=

a

c ou

a + c

b + d=

c

d

II) a − c

b − d=

a

b ou

a − c

b − d=

c

d

III) a + b

a=

c + d

c ou

a − b

a=

c − d

c

IV) a + b

b=

c + d

d

ou

a − b

b=

c − d

d

Regra de sociedade

1º. Caso - Capitais iguais e períodos de tempos iguais: dividir igualmente entre os sócios

o lucro (ou prejuízo) do período.

2º. Caso - Capitais iguais e períodos de tempo diferentes: dividir o lucro (ou prejuízo)

em partes diretamente proporcionais ao tempo de sociedade de cada um.

3º. Caso - Capitais diferentes e períodos de tempo iguais: dividir o lucro (ou prejuízo)

em partes diretamente proporcionais ao capital investido por cada sócio.

4º. Caso - Capitais diferentes e períodos de tempo diferentes: dividir o lucro (ou

prejuízo) em partes diretamente proporcionais aos produtos (capital investido)x(tempo

de investimento) de cada sócio.

Anotações

28


Referências

CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e fi nanceira fácil. 11. ed. São Paulo:

Saraiva, 1996.

MERCHEDE, Alberto. Matemática fi nanceira para concursos: mais de 1.500 aplicações.

São Paulo: Atlas, 2003.



Estudando operações sobre mercadorias


Coordenadora da Produção dos Materias

Vera Lucia do Amaral

Coordenador de Edição

Ary Sergio Braga Olinisky

Coordenadora de Revisão

Giovana Paiva de Oliveira

Design Gráfi co

Ivana Lima

Diagramação

Elizabeth da Silva Ferreira

Ivana Lima

José Antonio Bezerra Junior

Mariana Araújo de Brito

Arte e ilustração

Adauto Harley

Carolina Costa

Heinkel Huguenin

Leonardo dos Santos Feitoza

Revisão Tipográfi ca

Adriana Rodrigues Gomes

Margareth Pereira Dias

Nouraide Queiroz

Design Instrucional

Janio Gustavo Barbosa

Jeremias Alves de Araújo Silva

José Correia Torres Neto

Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade

Revisão de Linguagem

Maria Aparecida da S. Fernandes Trindade

Revisão das Normas da ABNT

Verônica Pinheiro da Silva

Adaptação para o Módulo Matemático

Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho


Projeto Gráfi co


Governo Federal


Você verá

por aqui...

Objetivo

1


...o que é preço de compra e o que é preço de venda de um produto, como resolver

situações com operações sobre mercadorias com lucro (ou prejuízo) sobre o preço de

custo e como resolver situações com lucro (ou prejuízo) sobre o preço de venda, além

de situações que envolvem o cálculo de descontos ou acréscimos sobre o preço das

mercadorias, inclusive de forma sucessiva.

Cada assunto apresentado envolve uma explicação teórica e alguns exemplos,

contemplando também algumas atividades em forma de questões subjetivas.

Após todos os conteúdos, segue uma lista de exercícios com questões de múltipla

escolha para fi xação de conhecimentos, e, no fi nal deste material impresso, você

encontrará uma autoavaliação, onde terá oportunidade de avaliar seus conhecimentos

sobre os conteúdos apresentados nesta aula.

Saber resolver situações relacionadas a operações com mercadorias que

envolvam lucro sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda, prejuízo

sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda, ou ainda, que envolvam

a incidência de descontos sucessivos ou de acréscimos sucessivos.

2


Para começo

de conversa...

Pedro tem uma loja de carros. Comprou um automóvel e, com todas as despesas, com

pagamento ao antigo proprietário, com documentação e com impostos, gastou R$

40.000,00, valor que é o preço de custo do carro. Revendeu esse carro no mesmo dia

por um valor 2% maior do que seu preço de custo, ou seja, teve um lucro de 2% sobre

o preço de custo do automóvel.

Que tal aprender como resolver essa e outras situações que envolvem operações

com mercadorias?

CUSTOSDIRETOS

DESPESAS FIXASPROPORCIONAIS

DESPESASVARIÁVEIS

(comissões +impostos + ...)

PREÇO DEVENDA

+ + =

Custos deprodução +estocagem

Custo detransporte

Custo demanutenção +

impostosPreço de custo+ + =

3


Estudando operações

com mercadorias

Quando você compra uma mercadoria, paga por ela um determinado preço que é

chamado de preço de custo, e quando vende uma mercadoria, estabelece para esse

produto um valor correspondente ao produto que é chamado de preço de venda.

O preço de custo de uma mercadoria é formado por todas as despesas que são geradas

pela aquisição de matéria prima, pela fabricação (inclusive com custos das instalações),

pela estocagem, pelo transporte e pela manutenção desse produto.

O preço de venda é o valor cobrado ao consumidor e que deve cobrir o custo direto da

mercadoria/produto/serviço, as despesas variáveis, como impostos, comissões, etc.,

as despesas fi xas proporcionais, ou seja, aluguel, água, luz, telefone, salários e outros

custos. Esse preço de custo deve ainda prever algum lucro.

Preçode

custo

Preço

de

venda

V − C = L< ⇒

Quando o preço de venda é maior que o preço de custo, dizemos que a

venda foi efetuada com lucro.

A compra ou venda de uma mercadoria pode ser efetuada com lucro ou com prejuízo.

4


Preçode

custo

Preço

de

venda

C − V = P> ⇒

Quando o preço de venda é menor que o preço de custo, dizemos que houve

prejuízo na operação de venda.

A esse lucro (ou prejuízo podemos associar uma taxa, que aqui representaremos por i,

que pode ser calculada utilizando como referência o preço de custo ou o preço de venda.

Observe que essa taxa pode ser apresentada na forma percentual ou unitária.

Exemplo 1

A taxa i = 10% (escrita na forma percentual) também pode ser apresentada

como i = 0,10 (quando escrita na forma unitária).

A taxa i = 3% (escrita na forma percentual) também pode ser apresentada


A taxa de 1,5% (escrita na forma percentual) também pode ser apresentada


As situações envolvendo operações com mercadorias que iremos tratar em nossa aula

são as seguintes:

1º. Caso: vendas com lucro sobre o preço de custo;

2º. Caso: vendas com lucro sobre o preço de venda;

3º. Caso: vendas com prejuízo sobre o preço de custo;

4º. Caso: vendas com prejuízo sobre o preço de venda;

5º. Caso: operações com descontos sucessivos e

6º. Caso: operações com acréscimos sucessivos

iC

C=

x

100⇒ iC = x% de C ou

iL

L=

y

100⇒ iL = y% de L

5


Para simplifi car a escrita de algumas situações, em nossa aula, vamos representar

algumas palavras por uma de suas letras iniciais. O preço de custo será representado

por C. O preço de venda será representado por V. O valor do lucro será representado

por L. O valor do prejuízo será representado por P.

Vejamos, então, cada um dos casos citados anteriormente:

Lembre-se:

Na venda de um produto, temos lucro quando o preço de venda é maior

que o preço de custo.

Exemplo 2

V = 1, 25 · 10, 00 ⇒ V = R$ 12, 50

O preço de custo de uma mercadoria é de R$ 10,00. Para ser vendida com

um lucro de 25% sobre o preço de custo, qual será seu preço de venda?

Utilizando as informações que a questão nos apresenta, temos:

C = 10, 00 e L = 25% de C ⇒ L = 0, 25 · C⇒ L = 0, 25 · R$ 10, 00 ⇒ L = R$ 2, 50

V = C + L ⇒ V = 10, 00 + 2, 50 ⇒ V = R$ 12, 50

Ou, resolvendo de uma segunda maneira, podemos escrever:

V = C + L ⇒ V = C + 0, 25 · C ⇒ V = (1 + 0, 25) · C ⇒ V = 1, 25 · C (eq.1)

Para calcular o valor de V, podemos substituir o valor de C na eq.1 e obtemos:

Por qualquer uma das formas de resolução, o resultado encontrado para o

valor de venda da mercadoria é de R$ 12,50.

1º. Caso:

Vendas com lucro sobre o preço de custo

Quando um comerciante efetua uma venda com lucro sobre o preço de custo, signifi ca

que o preço de venda é superior ao preço de custo e que esse lucro foi comparado com

o preço de custo da mercadoria.

Exemplo 4

Exemplo 3

6


Um comerciante vendeu uma mercadoria por R$ 560,00 para obter um lucro

de 12% sobre o preço de custo. Descubra qual foi o preço de custo dessa

mercadoria.

Sabemos que:

L = 12% de C ⇒ L = 0, 12 · C e

C + L = 560 ⇒ C + 0, 12 · C = 560 ⇒ C · (1 + 0, 12) = 560

⇒ C · (1, 12) = 560 ⇒ C =5601, 12

⇒ C = 500

O preço de custo da mercadoria é igual a R$ 500,00.

Cada unidade de um determinado produto custou R$ 30,00. Querendo obter

um lucro de 20% sobre esse preço de custo, qual deverá ser o preço de

venda, por unidade?

C = R$ 30, 00 e L = 20% de C ⇒ L = 0, 20 · (R$ 30, 00) ⇒ L = R$ 6, 00

Lembrando, também, que: V – C = L.

Assim: V − 30 = 6 ⇒ V = 6 + 30 = 36.

O preço de venda, por unidade, desse produto é de R$ 36,00.


De uma forma geral, podemos escrever: V = C + L (eq.2) e L = i · C (eq.3),

sendo i a taxa de lucro sobre o preço de custo.

Quando substituímos o valor de L da eq.3 na eq.2, temos:

V = C + i · C ⇒ V = (1 + i) · C

Que tal mais um exemplo?

Exemplo 5

1Praticando...

7


1. Um comerciante comprou um objeto de R$ 250,00. Desejando ganhar

14% sobre o preço de custo, qual deve ser o preço de venda?

2. Um aparelho de som foi vendido por R$ 480,00. Qual o lucro obtido,

sabendo que o mesmo foi calculado como 20% sobre o preço de custo?

2º. Caso:

Vendas com lucro sobre o preço de venda

Quando afi rmamos que um objeto foi vendido com lucro sobre o preço de venda, signifi ca

dizer que o percentual de lucro foi calculado tomando-se como referência o preço de

venda, ou seja, tomando o preço de venda como 100%.

Ruth comprou uma blusa por R$ 40,00 e resolveu vendê-la com um lucro

de 20% sobre o preço de venda. Qual deve ser o preço dessa mercadoria?

Sabemos que: V = 40 + L (eq.4) e L = 20% de V ⇒ L = 0, 20 V (eq.5)

Substituindo a eq.5 na eq.4, temos: V − 0, 20 V = 40 ⇒ (1 − 0, 20) · V = 40

⇒ 0, 80 · V = 40 ⇒ V = 40 ÷ 0, 80 ⇒ V = 50.

O preço de venda dessa mercadoria deve ser igual a R$ 50,00.

V = (1+i) · C é a fórmula que relaciona o preço de venda e o preço de custo,

em uma venda com lucro sobre o preço de custo.

2Praticando...

Exemplo 6

8


Uma roupa foi vendida, com um lucro de 15% sobre o preço de venda, por

R$ 120,00. Qual foi o preço de custo dessa mercadoria?

Temos que V = C + L, ou seja, C = V – L (eq.6), onde L = 0,15 · V (eq.7).

Assim, quando substituímos a eq.7 na eq.6, temos:

C = V − 0, 15 · V ⇒ C = (1 − 0, 15) · V ⇒ C = 0, 85 · V

Substituindo V por R$ 120,00, temos:

C = 0, 85 · 120 ⇒ C = 102

O preço de custo dessa roupa foi de R$ 102,00.

De uma forma geral:

C = V − L e L = i · V ⇒ C = V − i · V ⇒ C = (1 − i) · V⇒ (1 − i) · V = C ⇒ V =

C

1 − i.

V = C ÷ (1 – i) é a fórmula que relaciona o preço de venda com o preço de

custo, quando ocorre uma operação de venda com lucro sobre o preço de venda.

1. Um produto foi vendido com um lucro de 40% sobre o preço de venda.

Se esse produto foi vendido por R$ 60,00, qual o valor de seu preço de

custo desse produto?

2. Um eletrodoméstico que custou R$ 450,00 foi vendido com um lucro de

10% sobre o preço de venda. De quanto foi o lucro?

Observe mais um exemplo:

Exemplo 7

9


3º. Caso:

Vendas com prejuízo sobre o preço de custo

Quando dizemos que uma mercadoria foi vendida com prejuízo sobre o preço de custo,

signifi ca que o preço de venda dessa mercadoria foi menor que o preço de custo, e esse

prejuízo foi comparado ao preço de custo dessa mercadoria.

Lembre-se:

Na venda de um produto, temos prejuízo quando o preço de venda é menor

que o preço de custo.

Um comerciante vendeu um produto com um prejuízo de 5% sobre o preço

de custo. Qual foi o preço de venda dessa mercadoria, se o preço de custo

foi de R$ 40,00?

Nesse caso, temos:

P = C − V ⇒ V = C − P (eq.8) e P = 5% de C ⇒ P =5

100· C (eq.9).

Substituindo o valor de P da eq.9 na eq.8, temos:

⇒ V =95100

· C ⇒ V = 0, 95 · C

V = C − 5100

· C ⇒ V = (1 − 5100

) · C ⇒ V =100 − 5

100· C

Substituindo o valor de C por R$ 40,00, temos:

V = 0, 95 · 40 ⇒ V = 38

A mercadoria foi vendida por R$ 38,00.

Exemplo 8

3Praticando...

10


Um celular foi vendido com um prejuízo de 30% sobre o preço de custo. Se

esse produto foi adquirido pelo preço de R$ 300,00, por qual preço foi vendido?

Temos que:

V = C − P (eq.10) e P = 30% de C ⇒ P = 0, 3 · C (eq.11)

Substituindo o valor de P da eq.11 na eq.10, temos:

V = C − 0, 3 · C ⇒ V = (1 − 0, 3) · C ⇒ V = 0, 7 · CSubstituindo C por R$ 300,00, temos:

V = 0, 7 · 300 ⇒ V = 210

O celular foi vendido por R$ 210,00.

De uma forma geral, podemos escrever: V = C − P e P = i · C , o que

nos garante que V = C − i · C ⇒ V = (1 − i) · C, sendo i a taxa de prejuízo

sobre o preço de custo.

V = (1 − i) · C é a fórmula que relaciona o preço de venda com o preço de

custo em uma venda com prejuízo sobre o preço de custo.

1. Um equipamento foi vendido por R$ 22.000,00, com prejuízo sobre o preço

de custo. Determine o preço de custo.

2. Determine o preço de custo de um imóvel que foi vendido por R$ 120.000,00

dando ao proprietário inicial um prejuízo de 10% sobre o preço de custo.


Exemplo 9

Exemplo 10

11


4º. Caso:

Vendas com prejuízo sobre o preço de venda

Quando vimos que a informação de uma venda foi realizada com prejuízo sobre o preço

de venda, signifi ca dizer que estamos comparando o prejuízo com o preço de venda da

mercadoria, em operação comercial que foi realizada por um preço não satisfatório para

o vendedor. Vejamos o exemplo a seguir:


Uma casa que custa R$ 60.000,00 foi vendida com um prejuízo de 5% sobre

o preço de venda. Qual é o preço de venda do imóvel?

Como houve prejuízo, temos P = C – V, ou seja, V = C – P (eq.14).

Sabemos que C = 60.000 e P = 0,15 ·V. Substituindo essas expressões na

eq.19, temos: V = 60.000 − 0, 15 · V ⇒ V + 0, 15 · V = 60.000

⇒ V · (1 + 0, 15) = 60.000 ⇒ 1, 15 · V = 60.000 ⇒ V = (60.000) ÷ (1, 15)

⇒ V ∼= 52.173, 91.

O preço de venda da casa foi de, aproximadamente, R$ 52.173,91.

Se certo objeto for vendido por R$ 30,00, haverá um prejuízo de 15% sobre

o preço de venda. Quanto custou esse objeto?

Temos que: V = C − P (eq.12) e P = 0, 15 · V . (eq.13).

Assim, quando substituímos a eq.13 na eq.12, temos:

C = V + P ⇒ C = V + 0, 15 · V ⇒ C = (1 + 0, 15) · V ⇒ C = 1, 15 · V

Substituindo V por R$ 30,00, temos: C = 1, 15 · 30 ⇒ C = 34, 50

O preço de custo do objeto foi de R$ 34,50.

4Praticando...

12


De uma forma geral, P = C – V e como P = i · V, temos que

i · V = C − V ⇒ V + i · V = C ⇒ V · (1 + i) = C ⇒ C = (1 + i) · V é a

fórmula para preço de custo em uma venda com prejuízo sobre o preço de

venda e onde i é a taxa de prejuízo sobre o preço de venda.

1. Calcule o preço de venda de uma mercadoria que custou R$ 50,00 e foi

revendida com um prejuízo de 5% sobre o preço de venda.

2. Ao revender uma camiseta por R$ 27,00, Maria teve um prejuízo de 10%

sobre o preço de venda. Qual foi o preço de custo dessa camiseta?

5º. Caso:

Operações com descontos sucessivos

Quando um produto sofre um desconto após o outro, temos uma operação comercial

com descontos (ou abatimentos) sucessivos. O valor fi nal desse produto será obtido

pelo produto de seu valor inicial pelos fatores de desconto.

O cálculo do preço B após o desconto sobre o preço A pode ser feito da seguinte forma:

B = A − iA · A ⇒ B = A · (1 − iA) (eq.15).

O cálculo do preço C, após o segundo desconto incidir sobre o preço B, será

C = B − iB · B ⇒ C = B · (1 − iB ) (eq.16).

Substituindo o valor de B, da eq.15 na eq.16, temos:

C = A · (1 − iA) · (1 − iB ), que é o preço do produto após dois descontos consecutivos.

Que tal vermos um exemplo?

Exemplo 12

Exemplo 11

13


Um produto recebeu um desconto de 10% e logo em seguida um desconto

de 5%. De quanto foi o desconto total sobre o produto?

Já vimos que o preço de um produto após dois descontos sucessivos pode

ser representado pela expressão: C = A · (1 − iA) · (1 − iB ), sendo iA e iB

as taxas correspondentes aos referidos descontos.

Substituindo iA = 10% = 0, 10 e iB = 5% = 0, 05 na expressão do valor de

C, temos:

C = A · (1 − 0, 10) · (1 − 0, 05) ⇒ C = A · (0, 90) · (0, 95) ⇒ C = A · 0, 855

Como 0, 855 = 1 − 0, 145 , temos C = A(1 − 0, 145) ⇒ iC = 0, 145 ou

iC = 14, 5% .

O desconto real após os dois descontos sucessivos foi de 14,5%.

Uma mercadoria teve descontos sucessivos de 3%, 2% e 8%. Sabendo-se que

seu preço inicial era de R$ 42,00, qual o preço fi nal após os três descontos?

Utilizando um raciocínio semelhante ao do exemplo anterior, podemos

representar o preço final da mercadoria pela expressão a seguir:

D = A · (1 − iA) · (1 − iB ) · (1 − iC )

D = 42 · (1 − 0, 03) · (1 − 0, 02) · (1 − 0, 08)

D = 42 · (0, 97) · (0, 98) · (0, 92)

D = 42 · 0, 874552

D = 36, 731184 ⇒ D ∼= 36, 73

O preço fi nal foi de, aproximadamente, R$ 36,73.

E se tivermos mais descontos sucessivos? Vejamos mais um exemplo.

5Praticando...

14


De uma forma geral, podemos escrever a expressão do preço fi nal após n

descontos através da seguinte expressão:

Pf = Pi · (1 − i1) · (1 − i2) · (1 − i3) · (1 − i4) · . . . · (1 − in), sendo Pf e Pi os

valores do preço fi nal e do preço inicial de um produto.

6º. Caso:

Acréscimos sucessivos

Quando um produto sofre um acréscimo após o outro, temos uma operação comercial

com acréscimos sucessivos. O valor fi nal desse produto será obtido pelo produto de

seu valor inicial pelos fatores de acréscimo.

O cálculo do preço B após o acréscimo sobre o preço A pode ser feito da seguinte forma:

B = A + iA · A ⇒ B = A · (1 + iA) (eq.16).

O cálculo do preço C, após o segundo acréscimo incidir sobre o preço B, será

C = B + iB · B ⇒ C = B · (1 + iB ) (eq.17).

Substituindo o valor de B, da eq.16 na eq.17, temos:

C = A · (1 + iA) · (1 + iB ), que é o preço do produto após dois acréscimos consecutivos.

1. Ana Maria pretende vender seu carro pelo valor de mercado que era

R$ 20.000,00, porém o valor do automóvel sofreu três desvalorizações

consecutivas de 3%, 5% e de 6,5%. Qual é o valor de mercado desse

veículo após essas desvalorizações?

2. Bernardo comprou um imóvel por R$ 80.000,00 para revender, mas o valor

do imóvel teve decréscimos de 3%, 4%, 5% e 2%, consecutivamente.

Após essas desvalorizações, qual é o valor do imóvel?

3. Uma fatura de R$ 6.000,00 sofre dois abatimentos sucessivos de 5% e

4%. Qual o valor líquido a pagar?

Exemplo 14

Exemplo 13

15


Uma duplicata no valor de R$ 5.000,00 foi paga após o vencimento e, por

isso, sobre seu valor inicial incidiram acréscimos sucessivos de 2% e 3%.

Quanto foi pago pela duplicata no ato de sua liquidação?

Como os acréscimos foram sucessivos, para o cálculo do valor final

utilizaremos a expressão C = A · (1 + iA) · (1 + iB ), na qual substituiremos

os valores conhecidos.

C = 5.000 · (1 + 0, 02) · (1 + 0, 03) ⇒ C = 5.000 · (1, 02) · (1, 03)

⇒ C = 5.000 · (1, 0506) ⇒ C = 5.253, 00

O valor pago pela duplicata foi de R$ 5.253,00


Um produto que custava R$ 4,00 sofreu acréscimos sucessivos de 1%, 2%

e 1,5%. Qual é o valor fi nal desse produto?

Utilizando a expressão D = A · (1 + iA) · (1 + iB ) · (1 + iC ) para o cálculo do

preço fi nal do produto e substituindo os valores conhecidos, temos:

D = 4 · (1 + 0, 01) · (1 + 0, 02) · (1 + 0, 015) ⇒ D = 4 · (1, 045653) ⇒ D ∼= 4, 18

O preço fi nal do produto é, aproximadamente, de R$ 4,18.

De uma forma geral, podemos escrever a expressão do preço fi nal após n

acréscimos através da seguinte expressão:

Pf = Pi · (1 + i1) · (1 + i2) · (1 + i3) · (1 + i4) · . . . · (1 + in), onde Pf e Pi

são os valores do preço fi nal e do preço inicial de um produto.

1.___2.___

Se você já resolveu todas as

atividades e não tem mais nenhuma

dúvida, que tal resolver a lista de

exercícios a seguir?

16


6Praticando...

1. No ato da liquidação, uma fatura de R$ 1.500,00 sofre acréscimos

sucessivos de 2%, 3% e 5%, por motivo de atraso em seu pagamento.

Quanto foi pago para liquidar a dívida representada por essa fatura?

2. O preço de uma mercadoria sofreu acréscimos sucessivos de 12% e 5%.

Qual foi o preço fi nal do produto se seu preço inicial era de R$ 50,00?

Exerc

ício

s

17


1. Um comerciante comprou um objeto por R$ 48,00. Para incentivar suas

vendas, anunciou um preço para esse produto com um prejuízo de

2% sobre o preço de venda. O preço de venda desse produto nessa

promoção foi de

a) R$ 54,60.

b) R$ 57,60.

c) R$ 58,60.

d) R$ 64,60.

2. Renata comprou um objeto por R$ 52,00. Para obter um lucro de 20%

sobre o preço de venda, deve vendê-lo por

a) R$ 62,00.

b) R$ 63,50.

c) R$ 65,00.

d) R$ 68,00.

3. Marina comprou um relógio por R$ 125,00, mas logo depois decidiu

vendê-lo. Com um prejuízo de 8% sobre o preço de venda, o preço que

conseguiu receber pelo relógio foi, aproximadamente, de

a) R$ 105,68.

b) R$ 110,02.

c) R$ 115,74.

d) R$ 120,03.

18


18

4. Pedro comprou uma TV por R$ 650,00. Para obter um lucro de 30% sobre

o preço de custo, deverá revender esse produto por

a) R$ 652,50.

b) R$ 654,00.

c) R$ 664,50.

d) R$ 669,50.

5. Após dois descontos sucessivos de 10% e de 8%, uma fatura de R$

8.000,00 tem o valor líquido a pagar de

a) R$ 6.624,00.

b) R$ 6.642,00.

c) R$ 6.264,00.

d) R$ 6.462,00.

6. Por causa do atraso em seu pagamento, uma fatura de R$ 5.000,00 sofre

dois aumentos sucessivos de 10% e 15%. O valor fi nal dessa fatura é de

a) R$ 6.325,00.

b) R$ 6.352,00.

c) R$ 6.235,00.

d) R$ 6.523,00.

Nesta aula, você aprendeu o que é preço de venda e o que é preço de custo

de um produto e como cada um dos seguintes valores: o lucro ou prejuízo

sobre o preço de venda, o lucro ou prejuízo sobre o preço de compra; e o

preço de venda (ou de custo) dado o percentual de lucro (ou prejuízo) sobre

o preço de venda (ou de custo).

Agora, se você já não tem mais nenhuma dúvida e se já resolveu todas as

atividades e exercícios de nossa aula, resolva as questões a seguir.

1. Carol comprou um brinquedo por R$ 80,00 e o revendeu por R$ 104,00.

Qual a taxa de lucro:

a) sobre o preço de custo?

b) sobre o preço de venda?

2. Anderson vendeu um objeto com um prejuízo de 12% sobre o preço

de venda. Sabendo que o objeto lhe custou R$ 558,00, qual foi o valor

apurado em sua venda?

3. Caio vendeu um objeto com 15% de prejuízo e outro objeto com 35% de

lucro, ambos sobre o preço de custo. Por quanto vendeu cada um deles,

se cada objeto custou R$ 748,00?

4. Gabriela Pessoa empregou seu capital, sucessivamente, em quatro

empresas. Na primeira, lucrou 100% e em cada uma das demais perdeu

15%. Ao fi nal das operações, houve lucro ou prejuízo? De quanto?

19


20


Para consulta

Lucro (L) existe em uma venda na qual o preço de venda (V) é maior que o preço de

custo (C). L = V – C

Prejuízo (P) existe em uma venda na qual o preço de venda (V) é menor que o preço

de custo (C). P = C – V

Vendas

Com lucro

Sobre C L = V − C; L = i · C; V = (1 + i) · C

Sobre V L = V − C; L = i · V ; V =C

1 − i

Com prejuízo

Sobre C P = C − V ; P = i · C; V = (1 − i) · C

Sobre V P = C − V ; P = i · V ; V =C

1 + i

Descontos sucessivos:

Pf = Pi · (1 − i1) · (1 − i2) · (1 − i3) · (1 − i4) · . . . · (1 − in) , sendo Pf e Pi os valores

do preço fi nal e do preço inicial de um produto.

Acréscimos sucessivos:

Pf = Pi · (1 + i1) · (1 + i2) · (1 + i3) · (1 + i4) · . . . · (1 + in) , sendo Pf e Pi os valores

do preço fi nal e do preço inicial de um produto.

Referências

ASSAF NETO, Alexandre. Matemática fi nanceira e suas aplicações. 7. ed. São Paulo:

Atlas, 2002.

CÁLCULO do preço de custo e preço de venda. Disponível em: <http://www.portal.inf.

br/custos.htm>. Acesso em: 23 set. 2008.

CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e fi nanceira fácil. 11. ed. São Paulo:

Saraiva, 1996.

MERCHEDE, Alberto. Matemática fi nanceira para concursos: mais de 1.500 aplicações.

São Paulo: Atlas, 2003.

SEBRAE/SP. O que é preço de venda?. Disponível em: <http://www.sebraesp.com.

br/principal/melhorando%20seu%20neg%C3%B3cio/orienta%C3%A7%C3%B5es/

fi nan%C3%A7as/analplanej/precovenda.aspx>. Acesso em: 23 set. 2008.



Moeda, correção monetáriae operações cambiais








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Diagramação

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José Antonio Bezerra JuniorMariana Araújo de Brito

Arte e ilustração

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Heinkel HugueninLeonardo dos Santos Feitoza


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Design Instrucional

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Projeto Gráfi co


Governo Federal


Você verá

por aqui...

Objetivos

1


... um estudo sobre o que é moeda, infl ação, defl ação e correção monetária. Verá também algumas defi nições de câmbio, taxas de câmbio e como realizar conversões monetárias e operações cambiais.

Você encontrará duas atividades com questões subjetivas, no corpo desta aula, para que pratique o conteúdo recém-estudado e também uma lista de exercícios com questões objetivas com todo o conteúdo abordado neste material para reforçar sua aprendizagem.

Ao final da aula, você pode resolver uma autoavaliação, na qual será possível determinar se é necessário ou não reler esse material e, se achar conveniente, refaça algumas questões.

A seção Para consulta apresenta de forma simplifi cada todo o conteúdo apresentado na aula e pode servir de apoio para a resolução das questões.

Saber descrever o signifi cado de moeda

Saber defi nir o que é câmbio e saber resolver situações que envolvam a conversão de moedas de diferentes países.

2


Para começo

de conversa...

Antigamente, nas primeiras atividades comerciais, não havia moeda. O tipo de atividade comercial utilizada era o escambo, uma simples troca de mercadoria por mercadoria ou de serviço por mercadoria, que originou todas as atividades comerciais que conhecemos hoje.

Nesse tipo de atividade comercial, o escambo, o valor da mercadoria dependia apenas da quantidade de tempo ou do trabalho humano que foi necessário para produzi-la.

Assim, quem tivesse plantado e colhido mais milho do que fosse precisar para si e seu grupo, trocava este excesso com o de outra pessoa que, por exemplo, tivesse caçado mais do que o necessário para si e para os seus.

Essa forma primitiva de comércio foi dominante no início da civilização humana e pode ser encontrada, atualmente, porém, ainda traz certas difi culdades, por não haver uma medida padrão entre os elementos a serem trocados.

Com a evolução das negociações comerciais, algumas mercadorias passaram a ser mais procuradas do que outras e assumiram a função de moeda, circulando como elemento padrão trocado por outros produtos e servindo para avaliar-lhes o valor. Eram as moedas–mercadorias. O gado, principalmente o bovino, e o sal foram muito utilizados como moeda–mercadoria, porém havia ainda alguns inconvenientes.

3


O gado e o sal foram tão marcantes como moedas–mercadorias que se fazem presentes até em nosso vocabulário, pois, até hoje, em palavras como pecúnia (dinheiro) e pecúlio (dinheiro acumulado), que derivam do latim pecus (gado); capital (patrimônio), que vem do latim capita (cabeça), e salário (remuneração, geralmente efetuada em dinheiro, realizada pelo empregador por serviço desenvolvido por seu empregado).

Com o passar do tempo, as moedas–mercadorias se tornaram inconvenientes para as transações comerciais, pois havia instabilidade de valor, a difi culdade de fracionamento e a perecibilidade, que impedia o acúmulo de patrimônio.

Quando o homem descobriu o metal, logo passou a utilizá-lo para fabricar seus utensílios e armas anteriormente feitos de pedra e, por apresentar diversas vantagens em relação a outros materiais, esse (o metal) passou a ser utilizado como principal padrão de valor e meio de troca.

Inicialmente, o metal era trocado em seu estado natural, em barras ou sob a forma de objetos. Quando comercializado já manufaturado, exigia aferição de peso e avaliação de seu grau de pureza a cada troca. Depois, ganhou peso determinado e forma defi nida (geralmente em discos circulares), recebendo uma marca com seu valor e também do responsável por sua emissão.

Essa medida veio facilitar as negociações, dispensando as constantes pesagens e permitindo uma rápida informação da quantidade de metal disponível para a troca.

Com a evolução do dinheiro, veio a necessidade da criação de estabelecimentos responsáveis pelo depósito e guarda desses bens, que são os bancos. Com os bancos surgiu uma nova atividade fi nanceira em que o próprio dinheiro é uma mercadoria.

4


Infl ação, defl ação

e correções monetárias

O termo infl ação signifi ca queda do poder de compra do dinheiro, ou mesmo o aumento contínuo e generalizado no valor dos preços. Infl ação zero, ou muito baixa, é uma situação chamada de estabilidade de preços.

A palavra infl ação também é utilizada para signifi car um aumento da oferta de dinheiro, o que pode ser visto como uma das causas de aumento de preços. Externamente, a infl ação signifi ca uma desvalorização da moeda local frente a outras e, internamente, ela se caracteriza mais pelo aumento do volume de dinheiro e aumento dos preços.

Dois tipos de infl ação podem ser destacados: a infl ação de demanda e a infl ação de custos.

A infl ação de demanda é quando há excesso de procura em relação à produção disponível. Para esse tipo de infl ação ser combatido, é necessário que a política econômica se baseie em instrumentos que provoquem a redução da demanda agregada.

A infl ação de custos está associada ao aumento de demanda. O nível da procura permanece e os custos aumentam. Com o aumento dos custos, ocorre uma redução da produção fazendo com que os preços de mercado aumentem. As causas mais comuns da infl ação de custos são os aumentos salariais, o aumento do custo de matéria-prima e a estrutura de mercado (aumento de lucros acima da elevação dos custos de produção por algumas empresas).

A infl ação pode ser medida através de vários índices, entre eles temos o Custo Unitário Básico (CUB), o Índice Geral de Preços (IGP), o Índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC), o Índice Nacional do Custo da Construção (INCC), o Índice de Preços no Atacado (IPA) e o Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA).

Infl ação é o oposto de defl ação.

Defl ação caracteriza-se pela redução do nível geral de preços de um país. Pode ser caracterizada também pela baixa de preços de alguns produtos no mercado de forma não generalizada e não contínua ou quando a moeda em circulação ganha valor relativamente às mercadorias, serviços e moedas estrangeiras. A defl ação pode ser gerada pela baixa procura de determinados produtos ou serviços ou pela maior oferta x menor procura e pelo volume de moeda em circulação. Em resumo, a defl ação é um crescimento negativo dos preços médios.

Exemplo 1

5


Não se deve confundir defl ação com desinfl ação.

Desinfl ação = redução do ritmo de alta de preços num processo infl acionário. Quando a infl ação cai de 3% para 2% ao mês, o que ocorre é a desinfl ação.

Defl ação = queda dos preços médios. A taxa de infl ação torna-se negativa. Não é um fenômeno favorável, principalmente quando a defl ação é provocada pelo excesso da capacidade de produção. Quando a taxa de infl ação é negativa, o que ocorre é a defl ação.

Em um processo de defl ação, os preços acabam caindo sempre que sobram mercadorias por falta de consumidores. E isso causa um efeito dominó: As empresas não conseguem vender como antes, mesmo reduzindo preços, o que reduz o faturamento e o lucro. Para diminuir o prejuízo, elas diminuem o ritmo da produção e a demitem funcionários. Com o desemprego, o consumo cai. Consequentemente, cresce a oferta de serviços e os estoques aumentam.

O processo de defl ação ainda pode ser agravado, podendo afetar todos os setores da economia.

Mesmo reduzindo seus preços, as vendas caem na fábrica de automóveis. Com a redução nas vendas, a fábrica não consegue manter a capacidade de remunerar todos os seus empregados e demite para reduzir o número de trabalhadores.

Sem receber, o trabalhador deixa de trocar algum eletrodoméstico por um modelo mais novo.

Cai a venda de eletroeletrônicos. Para tentar recuperar as vendas, as lojas baixam os preços e, consequentemente, cai a comissão dos vendedores, que deixam de frequentar os restaurantes.

Na tentativa de atrair novos clientes, o dono do restaurante faz várias promoções, sucessivamente. Porém, seu rendimento fi ca cada vez mais reduzido e ele tem que adiar a troca de carro.

Para compensar a perda do poder aquisitivo, após um período de infl ação, se efetua a correção monetária, que é o reajuste periódico de certos preços na economia pelo valor da infl ação passada.

6


Estudando moeda,

câmbio e conversões monetárias

Moeda é o elemento através do qual são efetuados os acordos monetários. Vale aqui destacar que existem diferentes defi nições de “moeda”.

Em geral, a moeda é emitida e controlada pelo governo do país que o emite, único responsável que pode fi xar e controlar seu valor.

Hoje em dia, as moedas são mais utilizadas para o pagamento de quantidades de menor valor. O rápido processo de circulação de valores e o grau cada vez maior de complexidade das economias fi zeram surgir outras formas de pagamento, como o cheque e o cartão de crédito, por exemplo.

A palavra moeda tem uma defi nição mais abrangente do que o simples objeto de valor padronizado de material metálico, já que envolve mais que apenas o dinheiro (em papel ou metal), mas também o valor depositado em instituições bancárias e as operações que podem ser feitas a partir daí.

A moeda é hoje parte integrante da sociedade, controla, interage e participa dela, independentemente da cultura. Sejam quais forem os meios de troca, sempre se tenta basear em um valor qualquer para avaliar outro.

Exemplo 2

Exemplo 3

7


A operação de troca entre moedas de diferentes países é chamada de Câmbio.

No Brasil, os valores em dinheiro são escritos separando-se a parte inteira da parte decimal com o uso d a vírgula, porém algumas moedas estrangeiras utilizam um ponto para isso. Para não criar confusão para você, escreveremos todas as moedas estrangeiras com o mesmo critério adotado para a representação de valores em reais.

Digamos que você esteja de viagem para o Canadá e precise comprar dólares canadenses. Para isso, deve levar uma quantia em reais e comprar uma quantia da moeda válida no Canadá em uma instituição autorizada para realizar essa operação.

Para viajar para outro país, uma pessoa deve ter moedas que sejam válidas no país estrangeiro. Uma das coisas que deve providenciar é se dirigir a uma instituição autorizada e comprar uma quantia na moeda do país de destino. Para que essa troca (ou compra) seja feita, é necessário se ter primeiramente uma informação: qual é o tipo de câmbio praticado.

Existem vários tipos de câmbio, mas apenas dois são os mais praticados, que são o câmbio fi xo e o câmbio fl utuante.

No câmbio fi xo, o Banco Central tem a função de comprar ou vender moeda estrangeira, em geral o dólar, para manter essa moeda a um valor fi xo em moeda nacional. No Brasil, até 1999, era praticado o câmbio fi xo, ou seja, US$ 1 era equivalente a R$ 1. Hoje, estamos em um regime de câmbio fl utuante.

No câmbio fi xo, uma pessoa que quisesse adquirir cinco mil dólares gastaria para isso R$ 5.000,00.

No câmbio fl utuante, a razão de equivalência entre moedas de diferentes nações se altera de acordo com a oferta e procura do mercado. Para efetuar a troca entre diferentes moedas, deve-se saber a taxa de equivalência entre essas moedas, que é chamada de taxa de câmbio.

Exemplo 4

Exemplo 5

8


Observe o quadro a seguir que apresenta algumas cotações de moedas estrangeiras, em 26 de setembro de 2008*.

Moeda Símbolo Valor (em R$)

Dólar americano US$ 1,8547

Euro € 2,70953

Franco suíço Sw.Fr. 1,70125

Iene japonês ¥ 0,017468

(*) Cotações obtidas através da conversão de moedas.

Fonte: <http://www4.bcb.gov.br/?TXCONVERSAO>. Acesso em: 6 mar. 2009.

A conversão de moedas pode ser efetuada por uma regra de três – recurso já estudado em aulas anteriores, utilizado na resolução de problemas.

Observe o exemplo a seguir:

Utilizando a cotação do dólar americano, apresentado na tabela do exemplo 3, calcule quantos reais são necessários para que sejam adquiridos US$ 5.000,00.

Com as informações cambiais do exemplo 3, podemos escrever a seguinte regra de três:

Como as duas grandezas (dólares e reais) são diretamente proporcionais, podemos formar a seguinte proporção:

15.000

=1, 8547

x⇒ x = 5.000 · 1, 8547 ⇒ x = 9.273, 5

Para se adquirir US$ 5.000,00, seriam necessários R$ 9.273,50.


US$ R$

1,00 1,8547

5.000,00 x

Exemplo 6

1Praticando...

9


Com 250 reais, quantos dólares americanos pode-se obter, se recorrer à cotação do exemplo 3?

Basta recorrer a uma regra de três. Observe:

Como as duas grandezas (dólares e reais) são diretamente proporcionais, podemos formar a seguinte proporção:

1x

=1, 8547250, 00

⇒ x · 1, 8547 = 250, 00 ⇒ x = 250, 00 ÷ 1, 8547 ⇒ x ∼= 134, 79

Poderão ser adquiridos, aproximadamente, US$ 134,79.

1. Determine, utilizando o quadro de cotações do exemplo 3, qual a quantia equivalente, em reais, necessária para se adquirir uma nota de 5 euros.

2. Descubra, utilizando o quadro de cotações do exemplo 3, qual a quantia, equivalente em reais, necessária para se adquirir € 1.253,00.

3. Um empresário precisa comprar mercadorias no valor de US$ 2.852,00. Qual é o valor que terá que disponibilizar em reais, quando o dólar estava cotado em R$ 1,82?

4. Um comerciante compra mercadorias no valor de US$ 2.000,00. Com o pagamento à vista, ele recebe um desconto de 20%. Utilizando o quadro de cotações do exemplo 3, quantos reais ele precisou disponibilizar para esse pagamento?

US$ R$

1,00 1,8547

x 250,00

Exemplo 7

10


Essas operações de conversões de moedas podem ser feitas por intermédio de bancos do mesmo país e de países distintos. Quando o câmbio se faz entre bancos de mesmo país, é chamado interior; quando é realizado entre bancos de países distintos, exterior.

Quando, nas operações de câmbio, são envolvidos apenas dois bancos, dizemos que o câmbio é direto; quando, entre as instituições envolvidas, há um banco intermediário, dizemos que o câmbio é indireto. Ou seja, quando compramos dólares canadenses onde negociam apenas dois bancos, um brasileiro e um canadense, o câmbio é direto. Porém, se convertermos os reais disponíveis em dólares americanos e, logo depois, convertermos os dólares americanos em dólares canadenses, dizemos que o câmbio é indireto.

Com US$ 2.000,00 posso adquirir quantos ienes japoneses?

Primeiramente, precisamos construir uma regra de três para determinar quantos reais equivalem à quantia citada em dólares. Para isso, vamos utilizar as cotações apresentadas no exemplo 3.

US$ R$

1 1,8547

2.000 x

Daí, podemos escrever a seguinte proporção:

12.000

=1, 8547

x⇒ x = 2.000, 00 · 1, 8547 ⇒ x = 3.709, 4

A quantia disponível em reais é de R$ 3.709,40.

2Praticando...

11


Agora, para calcular a quantia que pode ser adquirida em ienes, construímos uma nova regra de três.

Podemos, então, escrever:

13.709, 40

=0, 017468

y⇒ y = 3.709, 40 · 0, 017468 ⇒ y = 64, 7957992 ⇒ y ∼= 64, 79

Serão adquiridos, aproximadamente, ¥ 64,79.

Converta 12.000 euros em dólares, utilizando a cotação apresentada no exemplo 3.

Utilizando as cotações apresentadas no exemplo 3, complete o quadro a seguir:

R$ US$ € Sw.Fr. ¥

5.000,00

5.000,00

5.000,00

5.000,00

R$ ¥

1 0,017468

3.709,40 y

Exerc

ício

s

12


1. Conforme os valores apresentados no quadro de cotações do exemplo 3, a quantia de 1.200 dólares equivalem, aproximadamente, a

a) € 821,41.

b) R$ 2.300,52.

c) ¥ 12.231,48.

d) Sw.Fr. 2.080,47.

2. Uma pessoa recebe uma herança de US$ 50.000,00. Essa quantia, pelo quadro do exemplo 3, é equivalente a

a) R$ 68.970,00.

b) R$ 72.000,00.

c) R$ 86.780,00.

d) R$ 92.735,00.

3. Um comerciante francês compra de uma empresa brasileira mercadorias no valor de R$ 5.000,00 e recebe um pagamento de mercadorias de uma empresa britânica no valor de € 5.000,00. Considerando as cotações apresentadas no exemplo 3 e a realização apenas dessas duas operações, o saldo do empresário é igual a

a) R$ 13.547,65.

b) R$ 8.547,65.

c) R$ 6.166,35.

d) R$ 4.253,35.

13


Leituras complementares

BANCO CENTRAL DO BRASIL. Conversão de moedas. Disponível em: <http://www4.bcb.gov.br/?TXCONVERSAO>. Acesso em: 6 mar. 2009.

Na Internet, em alguns sites, você encontra conversores de moedas. Um desses conversores você encontra em uma das páginas do portal do Banco Central do Brasil. Para utilizá-lo, basta escolher as moedas envolvidas na conversão e digitar o valor com que se quer determinar a cotação sem o uso de vírgulas (para US$ 1,00, escrever 100 no espaço referente ao valor), como pode ver na tela a seguir, clicando na palavra ‘conversão’.

Nesta aula, você aprendeu o signifi cado de moeda, algumas defi nições de câmbio e a resolver situações que envolvem a conversão de moedas de diferentes países.

14


1. Moeda pode ser defi nida como

a) produto perecível usado na troca de mercadorias.

b) simples troca de mercadoria por mercadoria e de serviço por mercadoria.

c) o meio circulante utilizado na aquisição de mercadorias e no pagamento de serviços.

d) produto cujo valor depende apenas do tempo e da quantidade de trabalho humano necessário para sua produção.

2. Escambo é

a) produto perecível usado na troca de mercadorias.

b) simples troca de mercadoria por mercadoria e de serviço por mercadoria.

c) o meio circulante utilizado na aquisição de mercadorias e no pagamento de serviços.

d) produto cujo valor depende apenas do tempo e da quantidade de trabalho humano necessário para sua produção.

3. No câmbio fi xo, qual a quantia, em dólares, que pode ser adquirida com R$ 52.325,40?

4. No câmbio fl utuante, com a cotação do dólar a R$ 1,85, qual a quantia, em reais, equivalente a US$ 25.000,00?

Qual a quantia necessária, em reais, para se adquirir uma nota de 20 euros?

5. Qual a quantia, em dólares, equivalente a 60 notas de 20 euros?

Se você já resolveu todas as atividades e exercícios desta aula e não tem mais dúvida, resolva as questões que são apresentadas na Autoavaliação a seguir. Se for necessário, releia a presente aula e refaça as questões.

15


a) Qual o valor da herança, em reais?

b) Considerando que foram realizadas as duas operações, qual o saldo do herdeiro?

Para consulta

Quadro com cotações, utilizado no exemplo 3

Moeda Símbolo Valor (em R$)

Dólar americano US$ 1,8547

Euro € 2,70953

Franco suíço Sw.Fr. 1,70125

Iene japonês ¥ 0,017468

(*) Cotações obtidas através da conversão de moedas.

Fonte: <http://www4.bcb.gov.br/?TXCONVERSAO>. Acesso em: 6 mar. 2009.

Conversão de uma quantia em dólar para uma quantia em reais

B é a quantia, em dólar, que se quer converter, C a cotação do dólar, na data de interesse para a conversão e x é o valor em reais que se quer determinar.

6. Uma pessoa recebe 20.000 euros do pagamento de uma herança e precisa quitar uma dívida de R$ 18.900,00. Responda:

US$ R$

1 C

B x

16


C é a cotação do dólar, na data de interesse para a conversão, D é a quantia em reais que se quer converter em dólares e x é o valor em dólares que se quer determinar.

Conversão de uma quantia em euros para uma quantia em reais

N é a quantia, em euro, que se quer converter, P a cotação do euro, na data de interesse para a conversão e x é o valor em reais que se quer determinar.

Conversão de uma quantia em reais para uma quantia em euros

P é a cotação do euro, na data de interesse para a conversão, Q é a quantia em reais que se quer converter em euros e x é o valor em euros que se quer determinar.

Conversão de uma quantia em ienes para uma quantia em dólares

Conversão de uma quantia em reais para uma quantia em dólares

US$ R$

1 C

xt D

€ R$

1 P

N x

€ R$

1 P

x Q

¥ R$

1 M

J x

R$ US$

1 P

N y

17


J é a quantia, em iene, que se quer converter, M a cotação do iene, em reais, na data de interesse para a conversão e x a quantia em reais que se quer determinar. N é a quantia em reais calculada na primeira regra de três, ou seja, é o próprio valor de x, e P

é a cotação do dólar, na data de interesse para a conversão. A variável y é o valor, em dólares, que se quer determinar.

Conversão de uma quantia em euros para uma quantia em dólares

M é a quantia, em euros, que se quer converter, S a cotação do euro, em reais, na data de interesse para a conversão, e x é o valor em reais, após a conversão. V é a quantia em reais calculada na primeira regra de três e W é a cotação do dólar, na data de interesse para a conversão e a variável y é o valor em dólares que se quer determinar.

Respostas

Atividade 1

1. Aproximadamente R$ 13,55.

2. R$ 3.395,04 (aproximadamente).

3. R$ 5.190,64.

4. R$ 2.967,52.

Atividade 2

1. US$ 17.530,79 (aproximadamente).

2. (em valores aproximados para centésimos)

€ R$

1 S

M x

R$ US$

1 W

V y

R$ US$ € Sw.Fr. ¥

87,34 47,09 32,23 51,34 5.000,00

8.506,25 4.586,32 3.139,38 5.000,00 486.961,87

13.547,65 7.304,50 5.000,00 7.963,35 775.569,61

5.000,00 2.695,85 1.845,34 2.939,02 286.237,69

18


Exercícios

1. Opção a.

2. Opção d.

3. Opção b.

Referências

CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e fi nanceira fácil. 11. ed. São Paulo: Saraiva, 1996.

MERCHEDE, Alberto. Matemática fi nanceira para concursos: mais de 1.500 aplicações. São Paulo: Atlas, 2003.

O CÂMBIO e suas infl uências na economia. Nota Técnica, n. 24, maio 2006. Disponível em: <http://www.dieese.org.br/notatecnica/notatec24cambio.pdf>. Acesso em: 6 mar. 2009.

SOUSA, Rainer. História da moeda. Disponível em: <http://www.brasilescola.com/historia/historia-da-moeda.htm>. Acesso em: 6 mar. 2009.

WIKIPÉDIA. Deflação (economia). Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Defl a%C3%A7%C3%A3o_(economia)>. Acesso em: 6 mar. 2009.

______. Infl ação. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Infl a%C3%A7%C3%A3o>. Acesso em: 6 mar. 2009.

______. Moeda. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Moeda>. Acesso em: 6 mar. 2009.

Anotações

19


Anotações

20




Capitalização simples,desconto simples e títulos de crédito








Design Gráfi co

Ivana Lima

Diagramação



Arte e ilustração





Design Instrucional









Projeto Gráfi co


Governo Federal


Você verá

por aqui...

1


Nesta aula, apresentamos o que são juros simples e faremos um estudo sobre alguns procedimentos matemáticos, como o cálculo de juros e de outros elementos do regime de capitalização simples na resolução de algumas

situações, como determinar o capital aplicado, a taxa de juros aplicada, ou o prazo de um investimento ou empréstimo, quando se têm os demais dados envolvidos.

Você verá, também, por aqui, o que é um título de crédito, quais são os títulos de créditos mais utilizados em operações fi nanceiras e os tipos de desconto que podem incidir sobre esses títulos no regime de capitalização simples, quando o resgate desse documento é antecipado.

O conteúdo, neste material, é apresentado com o apoio de vários exemplos para facilitar a sua compreensão e disponibilizamos, também, ao longo da aula, questões subjetivas e, ao fi nal da aula, questões objetivas em uma lista de exercícios.

Na seção Autoavaliação, ao fi nal desta aula, você encontrará mais uma oportunidade para verifi car e redirecionar sua aprendizagem.

Na seção Para consulta, disponibilizamos um resumo do assunto estudado nesta aula, que servirá de material de apoio para uma consulta rápida na resolução das questões da presente aula e de outras questões que envolvam os conteúdos aqui desenvolvidos.

Objetivos

É o processo pelo

qual os juros são

formados.

Regime de

capitalização

2


Saber aplicar raciocínios adequados em operações fi nanceiras que levam em conta o valor do dinheiro no tempo, utilizando a capitalização simples.

Saber descrever o que é o regime de capitalização simples.

Saber descrever o que são juros.

Saber descrever o que é juro simples e saber resolver situações que envolvam o cálculo de juros simples ou nas quais seja necessário, no regime de capitalização simples, determinar a taxa de juros, o prazo da aplicação ou o valor do capital aplicado.

Saber descrever o que é um título de crédito, identifi car os títulos de créditos mais comuns e calcular descontos em operações fi nanceiras.

Para começo

de conversa...

Quando é necessário pedir emprestado algum valor em dinheiro ou comprar algo utilizando um fi nanciamento, é comum haver o pagamento de um valor a mais, além do fi nanciado (ou emprestado), referente ao uso ou “aluguel” do valor envolvido. Esse valor que foi acrescido é o que chamamos de juro.

A forma como é calculado esse juro é que defi ne o regime de capitalização empregado. Existem dois tipos: o regime de juros simples e o regime de juros compostos.

Em nossa aula, estudaremos o regime de juros simples (ou de capitalização simples), fi cando o sistema de juros compostos para ser abordado na nossa próxima aula.

Vamos começar a nossa aula?

3


Estudando

capitalização simples

O valor monetário aplicado em alguma operação fi nanceira é chamado de Capital (também chamado de Principal, Valor Aplicado, Valor Atual ou Valor Presente). Usa-se, em inglês, o termo PRESENT VALUE (daí as letras PV nas teclas das calculadoras fi nanceiras).

Juros é a remuneração que se recebe pela aplicação do Capital em alguma atividade produtiva. Como já comentamos, no regime de capitalização simples (ou de juros simples), em cada intervalo de tempo, o juro é sempre calculado sobre o capital inicial investido ou tomado por empréstimo.

O uso do regime de juros simples é visto no processo de desconto simples de duplicatas e nas operações de curtíssimo prazo, porém seu uso é bem menos empregado que o do regime de juros compostos.

No regime de capitalização composta (ou de juros compostos), em cada intervalo de tempo, o juro sempre é calculado sobre o saldo acumulado até o início do presente intervalo. A maioria das operações que abrangem a aplicação ou o empréstimo de dinheiro emprega o regime dos juros compostos, que são geralmente usados no fi nanciamento de compras em médio prazo (ou em longo prazo), nas compras com cartão de crédito, nas aplicações fi nanceiras em Caderneta de Poupança, nos empréstimos bancários, entre outros exemplos. Porém não detalharemos aqui esse assunto já que o discutiremos na próxima aula.

O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível para essas operações fi nanceiras são fatores para a defi nição de um elemento que indica qual deve ser a remuneração. Esse elemento é chamado de taxa de juros.

Juro e taxa de juros são coisas diferentes.

A taxa de juros é um valor (na forma percentual ou na forma unitária) que indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado (ou investido) para um determinado período. Na forma percentual ou na forma unitária, uma taxa de juros sempre apresenta a indicação do período de tempo a que se refere. Observe esses formatos no exemplo a seguir.

Exemplo 1

Exemplo 2

4


Observe, no quadro a seguir, alguns exemplos de taxas de juros apresentadas, cada uma, em dois formatos diferentes:

Forma percentual Forma unitária

0,3% ao dia ou 0,3% a.d. 0,003 ao dia ou 0,003 a.d.

1,3% ao mês ou 1,3% a.m. 0,013 ao mês ou 0,013 a.m.

17,5% ao trimestre ou 17,5% a.t. 0,175 ao trimestre ou 0,175 a.t.

129,8% ao ano ou 129,8% a.a. 1,298 ao ano ou 1,298 a.a.

Observe que, na apresentação da taxa de juros, na forma unitária, não se escreve o símbolo % (‘por cento’) e seu valor numérico é igual a um centésimo do valor expresso na taxa percentual.

Devemos lembrar que uma taxa de juros de x%, signifi ca dizer que de cada 100 unidades monetárias (digamos, 100 reais, por exemplo) envolvidas na aplicação fi nanceira, serão pagos x reais de remuneração.

Já falamos que o regime será de juros simples, quando o percentual de juros for calculado apenas sobre o capital inicial. Nesse regime de capitalização, não há incidência de juros sobre juros, em cada período.

Para resolver as situações que apresentaremos a seguir, representaremos o capital inicial emprestado (ou aplicado) pela letra P, a taxa de juros por i e o número de períodos de tempo por n.

A fórmula básica utilizada nos cálculos que envolvem juros simples é J = P · i · n, porém, nesses cálculos, também podemos utilizar uma regra de três composta, recurso de resolução de problemas que já aprendemos e utilizamos em aulas anteriores. Observe o exemplo a seguir:

Uma dívida de R$ 3.000,00 deve ser paga com juros de 2% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 6 meses. Qual é o valor dos juros que serão pagos?

Lembre-se de que se a taxa de juros é de 2% a.m., signifi ca dizer que para cada R$ 100,00 da dívida serão pagos R$ 2,00 a cada mês. Assim, podemos escrever a seguinte regra de três:

Exemplo 3

5


Capital (R$) Tempo (meses) Juros (R$)

100,00 1 2,00

3.000,00 6 x

Essa é uma regra de três composta, e as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, o que nos permite escrever a seguinte proporção:

1003.000

=16

=2x⇒ 2

x=

1003.000

· 16⇒ 2

x=

1003.000 · 6 ⇒ 100 · x = 3.000 · 6 · 2

⇒ x =3.000 · 6 · 2

100⇒ x = 3.000 · 6 · 2

100⇒ x = 3.000 · 6 · 0, 02 ⇒ x = 360

Foram produzidos juros de R$ 360,00.

Vemos no cálculo do valor de x, que é o valor dos juros que se queria determinar, que os juros podem ser calculados pelo ‘produto do capital inicial pelo número de períodos de tempo e pela taxa de juros’, ou seja, J = P · n · i ou J = P · i · n.

Atenção!

Para utilizarmos a fórmula J = P · i · n, a taxa de juros i deve estar na sua forma unitária. Ou seja, se, no enunciado do problema, temos i = 5% a.m., devemos utilizar a taxa unitária i = 0,05 a.m. na fórmula.

Observe que nas situações anteriores, expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, mas nem sempre isso ocorre. Quando a unidade de tempo da taxa e do prazo da aplicação diferem, podemos converter um desses valores para que ambos apresentem a mesma unidade de tempo.

Pelo empréstimo de R$ 1.200,00 a uma taxa de 15% a.t., no período de 2 meses e 15 dias, que juros, no regime de capitalização simples, serão pagos?

Para converter a taxa de 15% a.t. (15% ao trimestre) para uma taxa diária, devemos considerar que o trimestre comercial tem 90 dias, assim:

i = 15% a.t. =15%90

a.d. ⇒ i = 0, 1667% a.d.

(aproximando para 4 casas decimais)

J = P · n · i

Exemplo 4

6


i = 0,001667 a.d.

n = 2 m 15 d = (2 · 60 + 15) d = (120 + 15) d = 135 d

Logo, J = P · i · n

⇒ J = 1.200 · 0,001667 · 135 ⇒ J = 270,054 ⇒ J ≅ 270,05.

Os juros pagos pelo empréstimo serão de R$ 270,05.

Observe que é mais fácil transformar trimestre em dias do que o inverso.

Taxas proporcionais

Considere duas taxas i e i' (percentuais ou unitárias) correspondentes a dois períodos de tempo n e n' (em uma mesma unidade de tempo). Se i

i′=

n

n′ , dizemos que i e i' são taxas proporcionais.

Calcule a taxa mensal proporcional a 48% ao ano.

Como 1 ano corresponde ao período de 12 meses, podemos escrever:

i

i′=

n

n′ ⇒x

0, 48=

112

⇒ 12 · x = 0, 48 · 1 ⇒ 12 · x = 0, 48

⇒ x = 0, 48 ÷ 12 ⇒ x = 0, 04

A taxa proporcional é igual a 0,04 a.m. (ou seja, 4% a.m.).

Observe que a taxa de juros foi convertida para ter a mesma unidade de tempo do prazo da aplicação.

Exemplo 5

Exemplo 6

Agora, que tal fazer algumas

atividades sobre o que

acabou de estudar?

7


Determine a taxa de juros mensal proporcional à taxa de 1,8% ao dia.

O mês comercial é composto de 30 dias, portanto podemos escrever:

1i′

=n

n′ ⇒x

1, 8=

301

⇒ 1 · x = 1, 8 · 30 ⇒ x = 54

Que tal ver mais um exemplo?

Determine os juros a serem recebidos pela aplicação, a uma taxa de 36% a.a., de um capital de R$ 2.500,00, durante 10 meses.

Temos:

P = R$ 2.500,00; n = 10 m

i = 36% a.a. = 0,36 a.a. = (0,36 ÷ 12) a.m. = 0,03 ao mês.

J = P · i · n ⇒ J = 2.500 · 0,03 · 10 ⇒ J = 750

Os juros a serem recebidos são iguais a R$ 750,00.

1Praticando...

8


1. Qual é o valor dos juros a serem pagos pelo empréstimo, a uma taxa de juros simples de 30% a.a., de R$ 1.200,00, pelo período de 2 anos?

Lembre-se:

30% a.a. = 0,3 a.a. e

3% a.m. = 0,03 a.m.

2. Em um investimento de R$ 3.000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 3% a.m., no sistema de capitalização simples, qual é o valor dos juros a serem recebidos?

3. Calcule: (a) a taxa anual proporcional a 12% ao trimestre; (b) a taxa diária proporcional a 15% ao mês.

4. Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 10.000,00, à taxa de 3% a.m., durante 180 dias.

5. Calcule o juro devido pelo empréstimo de um capital de R$ 5.000,00, a uma taxa de 18% a.t., por um período de 2 meses.

Juro simples comercial e juro simples exato

Nos cálculos de juros, em nossa aula, consideramos 1 ano = 360 dias, 1 semestre = 180 dias, 1 trimestre = 90 dias ou 1 mês = 30 dias. Nesse caso, obtemos o que chamamos de juro simples comercial.

A técnica de cálculos que considera os períodos de tempo iguais aos do calendário (1 ano = 365 ou 366 dias, 1 mês = 28, 29, 30 ou 31 dias,...) calcula o que chamamos de juro simples exato. Porém, mesmo nos juros simples comerciais ou nos juros simples

exatos, o cálculo do tempo pode ser exato ou aproximado.

Para que o cálculo do tempo seja exato, podemos utilizar uma técnica que utiliza a consulta à Tabela de Cálculo de Tempo (TCT), na seção Para consulta.

Exemplo 7

9


Determinação de número exato de dias

Esse cálculo do número exato de dias pode ser feita de duas maneiras diferentes:

pela contagem direta no calendário, observando o número exato de dias de cada mês;

pelo uso da Tabela de Cálculo de Tempo, para a contagem exata de dias.

Para entender melhor, observe os exemplos a seguir:

Um empréstimo de R$ 5.400,00 foi realizado em 20/07 e pago em 25/11 do mesmo ano. Sabendo que a taxa foi de 48% a.a., qual o juro total a ser pago?

Temos que

P = R$ 5.400,00

i = 0,3% a.d. = 0,0003 a.d.

n = valor desconhecido (em dias).

Exemplo 8

2Praticando...

10


Em um investimento foi aplicado um capital de R$ 3.200,00, à taxa de 0,5% ao dia, de 14/02 a 20/12 do mesmo ano. Qual foi o valor do juro produzido no investimento?

P = R$ 3.200,00 e i = 0,5% a.d. = 0,005 a.d.

Pela TCT, o valor correspondente a 20/12 é 354 e a 14/02 é 45, logo:

n = 354 – 45 ⇒ n = 309 dias

J = P · i · n ⇒ J = 3.200 · 0,005 · 309 ⇒ J = 4.944

Nessas condições, são produzidos R$ 4.944,00 de juros.

Agora, você pode exercitar o que aprendeu na atividade a seguir.

1. Quanto foi pago de juro pelo empréstimo de R$ 4.000,00, do dia 25/01/08 a 14/02/08, à taxa de 0,6% ao dia?

2. Calcule o juro a ser pago pelo empréstimo de R$ 5.000,00, do dia 19 de agosto ao dia 18 de outubro do mesmo ano, à taxa de 0,48% ao dia.

Consultando a TCT, temos:

para o dia 25/11 temos o valor 329;

para o dia 20/07 temos o valor 201.

O número exato de dias entre 20 de julho e 25 de novembro de um mesmo ano é a diferença entre esses dois valores, ou seja:

n = 329 – 201 ⇒ n = 128 dias.

Assim:

J = 5.400 · 0,0003 · 128 ⇒ J = 207,36

São produzidos R$ 207,36 de juros.

Exemplo 9

Exemplo 10

11


Em algumas situações é necessário calcular mais do que apenas os juros. Observe o exemplo a seguir.

Para pagar um empréstimo de R$ 2.500,00, por 3 meses, a uma taxa de juros de 5% ao mês pelo regime de juros simples, deve ser paga que quantia total, em reais?

Calculando os juros a serem pagos:

J = P · i · n ⇒ J = 2.500 · 0,05 · 3 = 375.

Calculando a quantia total a ser paga:

P + J = 2.500 + 375 = 2875.

O valor total a ser pago pela dívida é de R$ 2.875,00.

Em algumas situações, é necessário calcular a soma do valor principal com os juros produzidos. Quando somamos os juros (J) ao valor principal (P), temos um valor chamado de montante, que representaremos por M.

Assim,

Montante = Principal + Juros

⇒ M = P + J ⇒ M = P + (P · i · n)

⇒ M = P · (1 + i · n)

Calcule o montante resultante da aplicação de R$ 8.000,00 à taxa de 10,5% a.m. durante 270 dias.

Observe que a taxa i = 10,5% a.m. (ou i = 0,105 a.m.) indica uma unidade de tempo diferente da que está indicada em n = 270 dias.

A primeira providência é converter um desses valores para que possamos trabalhar, em i e n, com a mesma unidade de tempo.

Exemplo 11

Exemplo 12

12


Determine os juros simples e o valor total de uma dívida que se referem ao empréstimo de R$ 4.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 142 dias.

No sistema de capitalização simples, temos: J = P · i · n.

Considerando o ano comercial igual a 360 dias e convertendo a taxa anual de 36% em uma taxa diária, temos:

i = 36% a.a. =36%360

a.d. = 0, 1% a.d. ⇒ i = 0, 001 a.d.

Considerando 1 mês comercial como 30 dias, temos que:

n = 270 ÷ 30 ⇒ n = 9 meses.

Assim:

M = P · (1 + i · n) ⇒ M = 8.000 · (1 + 0,105 · 9) ⇒ M = 8.000 · (1 + 0,945)

⇒ M = 8.000 · (1,945) ⇒ M = 15.560

O montante é igual a R$ 15.560,00.

Qual é o capital que, por empréstimo, por um período de 6 meses, a uma taxa de juro simples de 3,5% a.m. gera uma dívida total de R$ 3.206,50?

Como M = P + J ⇒ 3.206,50 = P · (0,035 · 6 + 1)

⇒ 3.206,50 = P · (0,21 + 1) ⇒ P · 1,21 = 3.206,50

⇒ P = (3.206,50) ÷ 1,21 ⇒ P = 2650

O capital que gera esse montante é de R$ 2.650,00.

Agora, observe o exemplo a seguir:

Exemplo 13

Exemplo 14

13


Com a taxa e o prazo do empréstimo se referindo à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, podemos escrever:

J = 4.000 · 0,001 · 142 = R$ 568,00

Para o cálculo do total da dívida (ou montante da dívida), temos:

M = P + J ⇒ M = 4.000 + 568 ⇒ M = 4.568

Os juros simples produzidos no empréstimo foram de R$ 568,00, somando um montante a ser pago de R$ 4.568,00.

Em algumas situações precisamos calcular o valor do capital, em um sistema de capitalização simples. Veja o exemplo a seguir:

Calcule o capital que, aplicado a uma taxa de juros simples de 12% a.m., rende R$ 300,00 de juros em 75 dias.

Temos que: J = 300, n = 75 dias e i = 0,12 a.m. = 0,004 a.d.

Como J = P · i · n, temos:

300 = P · 0,004 · 75 ⇒ 300 = 0,3 · P ⇒ P = 300 ÷ 0,03 ⇒ P = 1.000

O capital aplicado foi de R$ 1.000,00.

Que capital devo aplicar, à taxa diária de 0,12%, para obter juros simples de R$ 151,20, em 35 dias?

Temos: i = 0,12% a.d. = 0,0012 a.d. e n = 35 dias

J = R$ 151,20 ⇒ P · 0,0012 · 35 = 151,20 ⇒ P · 0,042 = 151,20

⇒ P = 151,20 ÷ 0,042 ⇒ P = 3.600

O capital que deve ser aplicado é de R$ 3.600,00.

3Praticando...

Exemplo 15

14


Agora você pode praticar um pouco o que aprendeu.

1. Determine o valor do total da dívida contraída pelo empréstimo de R$ 5.000,00, à taxa de 5% a.m., através do regime de juros simples, pelo prazo de 5 meses.

2. Em quantos meses o capital de R$ 3.000,00, à taxa de 45% a.a. produzirá um montante de 3.562,50?

3. Calcule o capital que, colocado à taxa de 4% a.m., durante 5 meses, rende R$ 600,00 de juros.

4. Que importância devo aplicar à taxa de 1,5% a.d., para render, em 10 meses, juros de R$ 750,00?

5. Determine em quantos dias o capital de R$ 5.700,00, aplicado à taxa de 2,5% a.m., produz juros de R$ 14,25.

Nas situações em que é preciso calcular a taxa de juros aplicada, substitua os valores conhecidos, efetue as operações indicadas e isole o valor de i, lembrando sempre que a taxa e o prazo devem estar em uma mesma unidade de tempo. Observe os exemplos.

A que taxa mensal o capital de R$ 560,00 rende juros de R$ 67,20, em4 meses?

Temos:

P = R$ 560,00; n = 4 meses e J = R$ 67,20

Como J = P · i · n ⇒ 67,20 = 560 · i · 4 ) 67,20 = 2240 · i

⇒ 2240 · i = 67,20 ⇒ i = 67,20 ÷ 2240

⇒ i = 0,03 a.m. (ou seja, i = 3% a.m.).

A taxa de juros aplicada é igual a 3% ao mês.

Exemplo 16

4Praticando...

15


A que taxa anual a importância de R$ 5.200,00 rende, em 9 meses, juros de R$ 624,00?

Convertendo o tempo de 8 meses em ano, temos que:

n = (9 ÷ 12) = 0,75 ano.

Os demais dados conhecidos são:

P = R$ 5.200,00

J = R$ 624,00

J = P · i · n ⇒ 624 = 5.200 · i · 0,75 ⇒ 624 = 3900 · i ⇒ 3900 · i = 624

⇒ i = 624 ÷ 5.200 ⇒ i = 0,12 a.m. ou i = 12 % a.m.

A taxa aplicada foi de 12% ao mês.

1. Qual é a taxa mensal proporcional a 6% ao ano?

2. Qual é a taxa anual proporcional a 0,025 ao dia? (Sendo 1a = 360d ).

3. Calcule a taxa diária proporcional a 3,6% ao bimestre.

4. A que taxa foi colocada a importância de R$ 1.300,00 para que, durante 1 ano e 3 meses, rendesse um juro de R$ 260,00?

Cálculo do prazo da operação

Em alguma situação podemos ter a necessidade de calcular o prazo da operação (seja essa de empréstimo, fi nanciamento ou aplicação fi nanceira). Que tal ver alguns exemplos?

Exemplo 17

Exemplo 18

16


Em quantos dias o capital de R$ 400,00, aplicado à taxa mensal de 3,6%, renderá juros de R$ 21,60?

Temos:

P = R$ 400,00

i = 3,6% a.m. = 0,036 ao mês = (0,036 ÷ 30) a.d. = 0,0012 ao dia

J = R$ 21,60, ou seja, 400 · 0,0012 · n = 21,60 ⇒ 0,48 · n = 21,60

⇒ n = 21,60 ÷ 0,48 ⇒ n = 45 dias

O prazo da aplicação é de 45 dias.

Se a taxa de uma aplicação é de 120% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

Dobrar o capital aplicado signifi ca ter um montante igual ao dobro do capital inicial, ou seja, é M = 2 · P

Para desenvolver os cálculos temos i = 120% a.a. = 1,2 a.a. e a expressão do montante que é M = P (1 + i · n)

Substituindo os valores conhecidos, temos: 2 · P = P · (1 + 1,2 · n)

Dividindo ambos os lados da igualdade por P e resolvendo a equação resultante, temos: 2 = 1 + 1,2 · n ⇒ 2 – 1 = 1,2 · n ⇒ 1 = 1,2 · n ⇒ n = 1 ÷ 1,2

⇒ n = 0,8333 ano ⇒ n = 10 meses

O tempo de aplicação necessário para duplicar o capital, nas condições acima, é de 10 meses.

5Praticando...

17


1. Por quantos meses o capital de R$ 4.000,00 deverá ser aplicado para render R$ 1.200,00 à taxa de 3% ao mês?

2. Por quantos dias devemos aplicar o capital de R$ 5.000,00 para render R$ 875,00, à taxa de 0,5% ao dia?

3. Qual é o prazo de aplicação de um capital de R$ 460,00 para que este renda R$ 49,60 de juros simples, com uma taxa diária de 0,15%?

4. Determine a taxa trimestral que foi aplicada ao capital de R$ 5.000,00, em 36 dias, para produzir R$ 360,00 de juros.

Desconto simples, títulos de

crédito e equivalência de capitais

Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro a ser paga em uma data futura, é normal que entregue ao credor um comprovante dessa dívida, ou seja, um título de crédito.

Todo o título de crédito tem uma data de vencimento, porém se o devedor for resgatá-lo antecipadamente, deve obter, com essa antecipação, um abatimento que recebe o nome de desconto, que é uma das mais comuns aplicações da regra de juros.

No que se refere aos títulos de crédito, o desconto pode ocorrer em qualquer uma das situações a seguir:

I – O devedor decide fazer o pagamento antes da data predeterminada. Por isso, ele se benefi cia com um abatimento correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento.

II – A necessidade, por parte do credor, do dinheiro antes da data predeterminada. Nesse caso, ele pode vender o título de crédito a terceiros que podem querer um lucro sobre essa operação, correspondente ao valor em dinheiro que antecipa, no tempo que falta para o devedor quitar a dívida, por isso paga um valor menor que a quantia fi xada no título de crédito.

Nas duas situações há uma diferença entre dois valores. Essa diferença é chamada de desconto. Nas duas situações anteriormente citadas, veremos como descontar um título.

Alguns termos são comuns em operações de desconto:

A nota promissória,

a duplicata e a letra

de câmbio são os

títulos de crédito

mais utilizados

em operações

fi nanceiras.

Título de

crédito

Exemplo 19

18


Dia do vencimento: data fixada no título para a realização do pagamento ou recebimento da aplicação.

Valor nominal: é o valor a ser pago, indicado no título.

Valor atual: é o valor pago pela antecipação, já com a aplicação do desconto.

Prazo ou tempo: é o número de dias entre a data na qual se negocia o título e a data de seu vencimento.

No desconto pode ser considerado como capital o valor nominal ou o valor atual. Quando é considerado o valor nominal, dizemos que o desconto é denominado de desconto comercial. Quando é considerado o valor atual, o desconto é denominado de desconto racional.

Desconto comercial, desconto bancário ou desconto por fora é o desconto que utiliza cálculo semelhante ao aplicado no cálculo de juro simples e produzido pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente, à certa taxa fi xada.

O valor do desconto comercial é dado pela expressão: d = N · i · n, sendo d o valor do desconto, N o valor nominal do título, i a taxa de desconto e n o tempo de antecipação.

Valor atual comercial ou valor descontado comercial é o valor dado pela expressão A = N – d ou A = N · (1 – i · n), em que A é o valor atual do título após a aplicação do desconto comercial.

O desconto comercial só deve ser empregado por períodos de tempos curtos, pois em prazos muito longos o valor do desconto pode ultrapassar o valor nominal do título.

Um título de R$ 5.000,00 vai ser descontado à taxa de 2% ao mês. Faltando 60 dias para o vencimento do título, calcule: (a) O valor do desconto comercial; (b) O valor atual comercial.

Temos N = 5 000, i = 0,02 a.m. e n = 60 d = 2 me.

O desconto comercial é calculado através da expressão d = N · i · n, logo: d = 5 000 · 0,02 · 2 ⇒ d = 200.

O valor atual comercial é calculado através da expressão: A = N – d, logo: A = 5 000 – 200 ⇒ A = 4 800.

O desconto comercial é de R$ 200,00, e o valor atual comercial (valor a ser pago com a antecipação do resgate do título) é R$ 4.800,00.

Exemplo 20

19


Taxa de juro efetiva

A taxa de juro que torna o valor principal A, no período n, igual ao montante N é a taxa que realmente está sendo aplicada na operação de desconto. Essa taxa recebe o nome de taxa de juro efetiva.

A expressão que representa a taxa efetiva em uma operação é:

if

=d

A · n , em que a taxa if está com a mesma unidade de tempo que o prazo n, d é o

valor do desconto e A é o valor do capital e N o valor do montante.

Veja o exemplo a seguir.

Um título de R$ 6.000,00 foi descontado, faltando 45 dias para o seu vencimento. Sabendo que o desconto comercial foi de R$ 405,00, calcule a taxa de juros efetiva.

if

=d

A · n, onde A = 6000 – 405 ⇒ A = 5595.

Assim: if

=405

5595 · 45⇒ if = 0,0016086 a.d. ou if = 0,16% a.d.

Desconto Racional

É chamado de desconto racional ou por dentro o desconto que equivale ao juro produzido na aplicação do valor atual do título a uma taxa fi xada e durante o tempo correspondente. A expressão que utilizamos no cálculo do desconto racional é: dr = Ar · i · n

Valor do desconto racional em função do valor nominal

Como A = N – d ⇒ Ar = N – dr (eq. 1) e dr = Ar · i · n (eq. 2).

Quando substituímos a eq. 1 na eq. 2, temos: dr = (N – dr ) · i · n. (eq. 3)

Isolando o valor de dr, temos: dr =

N · i · n1 + i · n (eq. 4) que é o valor do desconto racional

descrito em função do valor nominal do título.

Exemplo 21

20


Valor atual racional

O valor atual racional é dado por Ar = N – d

r. Quando substituímos o valor de dr

apresentado na eq. 4, temos Ar = N –

N · i · n1 + i · n . (eq. 5)

Transformando o segundo termo da eq. 5 em uma só fração, temos:

Ar =N · (1 + i · n) − N · i · n

1 + i · n ⇒ Ar =N + N · i · n − N · i · n

1 + i · n ⇒ Ar =N

1 − i · n

Equivalência de capitais

Quando é necessário substituir um título por outro (ou outros) com vencimentos diferentes, pode ser de interesse de alguma das partes envolvidas na operação saber se as duas formas de pagamento são equivalentes.

Problemas desse tipo se referem à equivalência de capitais diferidos.

Dizemos que dois ou mais capitais diferidos são equivalentes, em certa época, quando seus valores atuais, nessa época, são iguais.

Para resolver esse tipo de problema, devemos estabelecer uma data que servirá de referência para a comparação dos valores atuais dos títulos em questão. Cada um dos valores atuais deverá ser calculado como sendo a diferença entre o valor nominal do documento (N) e o valor do desconto aplicado (N · i · n), ou seja: A = N – N · i · n , ou ainda A = N · (1 – i · n)

No regime de capitalização simples, essa data de comparação deve ser considerada como a data na qual a dívida foi contraída (ou data zero).

Para você compreender melhor esse assunto, observe o exemplo a seguir.

Querendo substituir um título de R$ 5.000,00, com vencimento em 90 dias, por outro com vencimento para daqui a 5 meses, ambos descontados à taxa de 3,5% ao mês, qual deve ser o valor nominal comercial do novo título?

Escolhendo o dia de hoje como data zero, com N1 = 5000, i1 = 3,5% a.m. ou 0,035 a.m. e n1 = 90 d = 3 me, como informações sobre o primeiro título e n2 = 5 me, como informação do novo título temos que substituir esses valores na igualdade A2 = A

1, na qual A = N · (1 – i · n) é a expressão para

calcular o valor atual de cada título.

6Praticando...

21


Logo:

N2 · (1 – i

2 · n

2) = N

1 · (1 – i

1 · n

1)

⇒ N2 · (1 – 0,035 · 5) = 5000 · (1 – 0,035 · 3)

⇒ N2 · (1 – 0,175) = 5000 · (1 – 0,105)

⇒ N2 · 0,825 = 5000 · 0,895

⇒ N2 · 0,825 = 4475

⇒ N2 =44750, 825

⇒ N2 = 5424, 24

O valor nominal do novo título deve ser de R$ 5.424,24.

1. Uma duplicata com valor nominal de R$ 3.000,00 foi resgatada 1 mês antes da data do vencimento, à taxa de juros simples de 5% ao mês. Qual é o valor do desconto comercial?

2. Uma duplicata cujo valor nominal é de R$ 3.000,00 foi resgatada 2 meses antes do vencimento, à taxa de 48% ao ano. Qual o desconto comercial aplicado?

Se você já resolveu todas as atividades e não resta nenhuma dúvida, resolva agora essa lista de exercícios a seguir.

Exerc

ício

s

22


1. O juro gerado pela aplicação de R$ 500,00, à taxa de 15% ao ano, durante 2,5 anos é de

a) R$ 187,50.

b) R$ 178,50.

c) R$ 185,70.

d) R$ 158,70.

2. O juro a ser pago pelo empréstimo de R$ 6.250,00, durante 2 trimestres, à taxa de 5% ao semestre, é de

a) R$ 351,20.

b) R$ 321,50.

c) R$ 312,50.

d) R$ 302,51.

3. O prazo da aplicação do capital de R$ 5.000,00, à taxa de 36% a.a., para obtermos R$ 3.600,00 de juros comerciais aproximados (1a = 360 dias) é de

a) 3 semestres.

b) 60 meses.

c) 680 dias.

d) 2 anos.

4. Pelo empréstimo de R$ 1.200,00, à taxa trimestral de 1,5%, foram pagos R$ 240,00 de juros. O prazo do empréstimo foi de

a) 40 meses.

b) 42 meses.

c) 43 meses.

d) 48 meses.

5. A taxa mensal proporcional a 60% ao ano, nos juros comerciais aproximados, é

a) 0,005.

b) 0,05.

23


c) 0,5.

d) 5.

6. Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado em 30/05 de um determinado ano, à taxa diária de 0,5%, e resgatado em 12/08 do mesmo ano. Esse investimento rendeu juros de

a) R$ 180,00.

b) R$ 1.800,00.

c) R$ 18.000,00.

d) R$ 118.000,00.

7. O capital que, aplicado em um investimento à taxa mensal de 1,2%, por um semestre, gerou um juro de R$ 144,00, é igual a

a) R$ 120,00.

b) R$ 1.200,00.

c) R$ 1.800,00.

d) R$ 2.000,00.

8. O montante resultante da aplicação de um capital de R$ 4.800,00 à taxa diária de 2%, por um período de 75 dias, é igual a

a) R$ 12.000,00.

b) R$ 10.200,00.

c) R$ 9.800,00.

d) R$ 9.600,00.

9. Considere uma promissória de R$ 3.000,00, à taxa de 40% ao ano, resgatada 75 dias antes do vencimento. O valor do desconto é

a) R$ 249,75.

b) R$ 247,95.

c) R$ 274,59.

d) R$ 295,74.

24


Em nossa aula, você aprendeu a descrever o que é o regime de capitalização simples, o que são juros e o que são juros simples. Aprendeu, também, a resolver situações, no regime de capitalização simples, que envolvam o cálculo dos juros simples, da taxa de juros, o prazo da aplicação ou o valor do capital aplicado.

Agora que você já resolveu todas as atividades e exercícios, verifi que sua aprendizagem com a Autoavaliação que se encontra a seguir.

1. Com suas palavras, descreva o que são juros simples.

2. O que é uma taxa de juros?

3. Associe a coluna da direita com a coluna da esquerda para que sejam feitas correspondências entre as taxas percentuais e unitárias correspondentes.

a) 12,5 % ao mês ( ) 1,25 ao semestre

b) 12,5% ao dia ( ) 0,0125 ao dia

c) 1,25% ao dia ( ) 0,125 ao trimestre

d) 125% ao ano ( ) 0,125 ao dia

e) 125% ao semestre ( ) 1,25 ao ano

f) 12,5% ao trimestre ( ) 0,125 ao mês

4. Calcule o juro resultante de uma aplicação de R$ 35.000,00, a uma taxa de 20% ao trimestre, durante 2 anos.

25


5. Considere 1 ano correspondente a 360 dias e complete o quadro abaixo, escrevendo as taxas trimestrais proporcionais a cada uma das taxas citadas.

Taxas unitárias Taxas trimestrais proporcionais

0,0545 a.m.

0,36 a.a.

0,1 a.m.

0,006 a.m.

1,2 a.a.

0,0024 a.d.

6. Assinale V (se verdadeira) ou F (se falsa) em cada uma das afi rmativas abaixo.

a) ( ) O juro produzido pelo capital de R$ 8.000,00, durante 10 meses, à taxa mensal de 1,2% é de R$ 96,00.

b) ( ) O montante produzido pelo investimento de R$ 8.000,00, durante 10 meses, à taxa diária de 0,0004 é de R$ 8.960,00.

c) ( ) O número exato de dias que transcorre entre 20 de janeiro e 25 de junho de um mesmo ano que é bissexto é de 155 dias.

d) ( ) Em um ano bissexto, entre 23 de fevereiro e 15 de maio, transcorrem 82 dias.

7. A que taxa anual a importância de R$ 2.000,00 produzirá um montante de R$ 2.600,00, em 6 meses?

8. Um empresário tem dois títulos (um de R$ 12.000,00 e outro de R$

10.000,00), com vencimentos, respectivamente, para 120 e 150 dias. Sabendo que o banco credor aplica uma taxa de desconto de 42% ao ano, o devedor deseja substituir esses documentos por um único título com vencimento para 90 dias. Calcule o valor nominal desse novo título.

Para consulta

Fórmulas úteis

Considere para as fórmulas a seguir que P é o capital, i é a taxa de juros (na forma unitária) e n o número de períodos (com unidade de temo igual à da taxa de juros).

Juros simples: J = P · i · n

26


Montante: M = P · (1 + i · n)

Capital: P = J ÷ (i · n) ou P = M ÷ (1 + i · n)

Tabela para contagem de dias (tct)(*)

MESES

DIAS Jan. Fev. Mar. Abr. Mai. Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez.

01

02

03

04

05

1

2

3

4

5

32

33

34

35

36

60

61

62

63

64

91

92

93

94

95

121

122

123

124

125

152

153

154

155

156

182

183

184

185

186

213

214

215

216

217

244

245

246

247

248

274

275

276

277

278

305

306

307

308

309

335

336

337

338

339

06

07

08

09

10

6

7

8

9

10

37

38

39

40

41

65

66

67

68

69

96

97

98

99

100

126

127

128

129

130

157

158

159

160

161

187

188

189

190

191

218

219

220

221

222

249

250

251

252

253

279

280

281

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15

11

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300

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302

303

330

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332

333

332

360

361

362

263

364

31 31 90 151 212 243 304 365

NOTA: (*) Se o ano é bissexto, deve-se aumentar uma unidade ao resultado, caso o mês de

fevereiro esteja incluído na contagem.

Fonte: Crespo (1996, p. 202).

Anotações

27


Referências

ASSAF NETO, Alexandre. Matemática fi nanceira e suas aplicações. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2002.


JUROS simples. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/emedio/fi nan2.php>. Acesso em: 9 mar. 2009.

MATEMÁTICA fi nanceira: conceitos básicos. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/emedio/fi nan.php>. Acesso em: 9 mar. 2009.


Anotações

28




Juros Compostos








Design Gráfi co

Ivana Lima

Diagramação



Arte e ilustração





Design Instrucional









Projeto Gráfi co


Governo Federal


Você verá

por aqui...

Objetivo

Você verá

por aqui...

Objetivos

Nesta última aula, você verá um breve estudo que apresenta o que são juros

compostos, como calculá-los e como utilizar alguns procedimentos matemáticos no cálculo do capital, do montante, do prazo ou da taxa de juros no regime

de capitalização composta. Verá a aplicação desses procedimentos na resolução de algumas situações do dia a dia, bem como a utilização dos juros compostos no cálculo de descontos ou em empréstimos. Você verá também uma exposição sobre alguns sistemas de amortização.

O conteúdo é apresentado através de diversos exemplos seguidos de atividades (com questões subjetivas), além de uma lista de exercícios (com questões objetivas) ao fi nal de todo o conteúdo. Na seção Autoavaliação, você encontrará mais uma oportunidade para verifi car sua aprendizagem e, se necessário, redirecioná-la.

Na seção Para consulta, disponibilizamos um resumo do assunto estudado nesta aula, que servirá de material de apoio para consultas rápidas na resolução das questões da presente aula e de outras questões que envolvam os conteúdos aqui desenvolvidos.

Analisar alternativas para as aplicações no mercado fi nanceiro e pagamento de empréstimos.

Entender o que é o regime de capitalização composta.

Compreender o que são juros compostos.

Resolver situações que envolvam o cálculo dos juros compostos ou, no regime de capitalização composta, determinar a taxa de juros, o prazo da aplicação, o valor do capital aplicado ou o montante produzido.

1


2


Para começo

de conversa

Na aula anterior, vimos que no empréstimo de dinheiro ou na compra de algum produto através de um fi nanciamento, é comum haver o pagamento de um valor chamado de juro e vimos como são calculados os juros no regime de capitalização simples.

Nesta aula, estudaremos o regime de juros compostos (ou de capitalização composta), mais utilizado nas operações fi nanceiras como caderneta de poupança, empréstimos, fi nanciamentos, etc.

3


Exemplo 1

Estudando

juros compostos

No regime de juros compostos, o juro calculado em cada intervalo de tempo irá compor o capital inicial sobre o qual incidirá o juro do próximo período, como você pode observar no exemplo a seguir.

Marcos abriu uma caderneta de poupança com um valor de R$ 1.000,00. Considerando uma previsão da taxa de rendimento de 1% ao mês, o capital inicial de R$ 1.000,00 terá os seguintes rendimentos:

Período Capital (R$) Juros (R$) Montante (R$)

1º. 1.000,00 10,00 1.010,00

2º. 1.010,00 10,10 1.020,10

3º. 1.020,10 10,20 1.030,30

4º. 1.030,30 10,30 1.040,60

5º. 1.040,60 10,40 1.051,00

Observe que em cada intervalo o juro produzido foi somado ao capital, formando, assim, o montante do período, que é o capital inicial dos juros a serem calculados no próximo período.

Os juros compostos, os mais utilizados, são geralmente aplicados no fi nanciamento de compras, nas aplicações fi nanceiras usuais como Caderneta de Poupança e nos empréstimos bancários, entre outras situações.

A taxa de juros é o elemento que defi ne qual deve ser o valor da remuneração a ser paga pelo dinheiro recebido por empréstimo ou aplicado em um investimento.

Em nossa aula, representaremos o capital inicial (ou valor principal) pela letra P, a taxa de juros por i e o número de períodos de tempo por n.

4


No regime dos juros compostos, como os juros produzidos ao fi m de cada período passam a fazer parte do capital que servirá de base para cálculo do período seguinte, temos:

1º. Período:

Capital inicial: P1; Juros: J = P

1 · i · 1 ⇒ J = P

1 · i

Montante: M1 = P

1 + P

1 · i ⇒ M

1 = P

1 · (1 + i)

2º. Período:

Capital inicial: P2 = P

1 · (1 + i)

Juros: J2 = P

1 · (1 + i) · i · 1 ⇒ J = P

1 · (1 + i) · i

Montante: M2 = P

1 · (1 + i) + P

1 · (1 + i) · i =

= P1 · (1 + i) · (1 + i) ⇒ M

2 = P

1 · (1 + i)2

3º. Período:


1 · (1 + i)2

Juros: J3 = P

1 · (1 + i)2· i · 1 = P

1 · (1 + i)2 · i

Montante: M3 = P

1 · (1 + i)2+ P

1 · (1 + i)2 · i =

= P1 · (1 + i)2 · (1 + i) ⇒ M

3 = P

1 · (1 + i)3

4º. Período:


1 · (1 + i)3

Juros: J4 = P

1 · (1 + i)3 · i · 1 = P

1 · (1 + i)3 · i

Montante:M4 = P

1 · (1 + i)3+ P

1 · (1 + i)3 · i =

= P1 · (1 + i)3 · (1 + i) ⇒ M

4 = P

1 · (1 + i)4

...

n–ésimo período:

Capital inicial: Pn = P

1 · (1 + i · n)n –1

Juros: Jn = P

1 · (1 + i)k – 1· i · 1 = P

1 · (1 + i)n –1· i

Montante: Mn = P

1 · (1 + i)n –1+ P

1 · (1 + i)n –1· i =

= P1 · (1 + i)n –1 · (1 + i) ⇒ M

n = P

1 · (1 + i)n

A expressão Mn = P

1 · (1 + i)n representa o montante acumulado após

n períodos de aplicação de um capital inicial onde P1 é o valor do capital

inicial empregado em uma aplicação fi nanceira na qual i é a taxa de juros constante para todos os períodos.

O fator (1 + i)n é chamado de fator de capitalização ou fator de acumulação de capital.

5


Exemplo 2

Atenção: A taxa i deve apresentar a mesma unidade de tempo que o valor de n e pode ser apresentada na forma percentual ou na forma unitária.

Que tal observar mais um exemplo?

Qual o montante acumulado na aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de juros composta de 2% ao mês, por 6 meses?

Temos que M6 = P

1 · (1 + i)6, onde P

1 = 5000 e i = % a.m. ou 0,02 a.m.

M6 = 5.000 · (1 + 0,02)6 ⇒ M

6 = 5.000 · (1,02)6

⇒ M6 = 5.000 · 1, 126162419264 ⇒ M ≅ 5.630,81

O montante acumulado foi de, aproximadamente, R$ 5.630,81.

Como já temos a expressão que representa o montante, quando for necessário calcular os juros, simplesmente devemos diminuir o valor principal do montante produzido em um dado período.

Assim, para representar os juros produzidos em um período, temos:

Jn = M

n – P

1 ⇒ J

n = P

1 · (1 + i)n – P

1 ⇒ J

n = P

1 · [(1 + i)n – 1].

6


Exemplo 3

Exemplo 4

Veja o exemplo a seguir:

Qual é o valor dos juros produzidos na aplicação no regime de capitalização composta do capital de R$ 6.000,00, à taxa mensal de 1,2%, por 4 meses?

Temos que P 1 = 6000 e i = 0,012 ao mês. Assim:

J4 = P

1 · [(1 + i)4 – 1].⇒ J = 6.000 · [(1 + 0,012)4 – 1]

⇒ J4 = 6.000 · [(1,012)4 – 1] ⇒ 4 = 6.000 · [1,048870932736 – 1]

⇒ J4 = 293,225596416 ⇒J

4 ≅ 293,23

Foram produzidos R$ 293,93 de juros.

Uso de tabela fi nanceira ou de calculadora?

Para simplifi car os cálculos quando é preciso calcular o fator de capitalização, foram criadas algumas tabelas fi nanceiras que já trazem calculado o valor do fator de capitalização (1 + i)n para diferentes períodos de capitalização e de taxa de juro. Existem vários formatos de tabelas fi nanceiras, porém nas que apresentamos ao fi nal desta aula devem ser lidas da seguinte forma: (1º.) localize na coluna da esquerda a linha correspondente ao valor de n (número de períodos); (2º.) na linha superior, localize a coluna correspondente ao valor da taxa i. No cruzamento dessa linha e dessa coluna, temos o fator de capitalização procurado.

Observe o que acabamos de ver no exemplo a seguir.

Determine o fator de capitalização de um investimento no qual foi aplicada a taxa de 2% a.m. durante 5 meses.

Como a unidade de tempo da taxa de juros e do prazo da aplicação é a mesma, não haverá conversão de unidades, basta localizar diretamente na

7


tabela fi nanceira a célula de interseção entre o número de período n = 5 e da taxa i = 2%.

Taxas percentuais (i)

NO. DE

PERÍODOS (n)0,5% 1% 1,5% 2% 2,5%

1 1,005000 1,010000 1,015000 1,020000 1,025000

2 1,010025 1,020100 1,030225 1,040400 1,050625

3 1,015075 1,030301 1,045678 1,061208 1,076891

4 1,020150 1,040604 1,061364 1,082432 1,103813

5 1,025251 1,051010 1,077284 1,104081 1,131408

6 1,030377 1,061520 1,093443 1,126162 1,159693

7 1,035529 1,072135 1,109845 1,148686 1,188686

8 1,040707 1,082857 1,126493 1,171659 1,218403

Observação: Fatores de capitalização utilizando arredondamento para seis casas decimais.

Para 5 períodos de capitalização a uma taxa de 2% (na mesma unidade de tempo), o fator de capitalização procurado é 1,104081.

Na seção Para consulta, temos algumas tabelas de fatores de capitalização que podem ser utilizadas na resolução de outros problemas.

No uso da calculadora, dependendo do tipo desse equipamento, você pode encontrar um valor com maior precisão para o fator de capitalização calculado se obtiver um valor com um número maior de casas decimais.

No caso de uma calculadora científi ca que tenha a tecla x^y ou xy , basta que você digite 1,02, a tecla x^y ou xy , digite 5 e, em seguida, a tecla = .

Exemplo 5

8


Exemplo 6

Você obterá, então, o fator de capitalização com o maior número de casas decimais que sua calculadora puder apresentar no visor. Nesse caso, teremos 1,1040808032, se a calculadora apresentar 12 dígitos ou mais. Leia o manual de sua calculadora, antes de utilizá-la. Veja agora mais um exemplo.

Qual o valor do juro produzido pelo capital de R$ 3.000,00, quando aplicado à taxa de 1,5% ao dia, em 8 dias?

Com taxa e prazo de capitalização em uma mesma unidade de tempo, podemos localizar na tabela o fator de capitalização, no cruzamento da linha de n = 8 e na coluna de i = 1,5%, encontramos o fator 1,126493.

Logo, temos: M = 3.000 · 1,126493 ⇒ M = 3379,479 ⇒ M ≅ 3379,48

J = M – P ⇒ J = 3.379,48 – 3.000,00 ⇒ J = 379,48

Foram produzidos R$ 379,48 de juros nessa aplicação.

Nos exemplos anteriores, a unidade de tempo na taxa de juros e no prazo do investimento é a mesma. Quando essa unidade de tempo da taxa e do período de aplicação diferem, você converte uma delas, como no exemplo a seguir.

Qual é o fator de capitalização de um investimento com prazo de 2 meses e taxa de 0,5% ao dia?

n = 2 meses = 60 dias (no calendário comercial)

Logo, o fator de capitalização passa a ser (1,005)60, que apresentado com um arredondamento para 8 casas decimais será igual a 1,34885015.

Exemplo 7

1Praticando...

9


Agora, você já pode resolver outras questões. Vamos lá?!

Calcule o montante acumulado na aplicação de R$ 2.000,00, por 5 trimestres, à taxa de 10% ao semestre.

1. Calcule o fator de capitalização de uma aplicação que envolve um empréstimo por 3 meses de um capital à taxa de 0,5% ao dia.

2. Determine o valor de cada fator de capitalização que envolve um empréstimo a juros compostos,

a) por um período de 1 ano e 6 meses, a uma taxa de 2% ao mês;

b) por um período de 24 meses, a uma taxa de 25% ao ano;

c) por um período de 15 meses, a uma taxa de 9% ao trimestre.

Algumas situações não apresentam períodos que estejam contemplados em nossas tabelas fi nanceiras. Nesse caso, podemos utilizar as propriedades das potências. Agora, observe o exemplo a seguir.

Calcule o montante de R$ 5.000,00 a juros compostos de 3,5% ao mês, durante 35 meses.

Como não temos n = 35 em nossas tabelas, encontraremos o fator de capitalização utilizando a seguinte propriedade das potências:

(1 + i) a + b = (1 + i) a · (1 + i) b.

Assim, encontraremos

M = 5.000 · (1 + 0,035)35 ⇒ M = 5.000 · (1 + 0,035)5 + 30

Exemplo 8

10


⇒ M = 5.000 · (1 + 0,035)5 · (1 + 0,035)30

⇒ M = 5.000 · 1,187686 · 2,806794 ⇒ M = 16.667,94969342...

⇒ M ≅ 16.667,95

O montante produzido foi de R$ 16.667,95.

A fórmula do montante no regime de juros compostos é Mn = P

1 · (1 + i)n.

Quando precisamos calcular o valor principal ou capital, podemos isolar o valor de P1.

Assim: P1· (1 + i)n = M

n ⇒ P

1 = M

n · (1 + i)– n ou P

1 = M

n ÷ (1 + i)n.

Que tal ver um exemplo sobre esse assunto?

Calcule o valor do capital aplicado à taxa de 3% ao mês, por 5 meses, a juros compostos, que produziu o montante de R$ 4.057,46.

Temos que:

M = 4.057,46, n = 5 meses e i = 3% ao mês = 0,03 a.m.

Substituindo esses valores na fórmula do montante, teremos:

4.057,46 = P1 · (1 + 0,03)5 ⇒ P

1 = 4.057,46 ÷ (1 + 0,03)5 ⇒

P1 = 4.057,46 ÷ 1,1592740743 ⇒ P

1 ≅ 3.500.

Ou seja, o capital inicial foi de R$ 3.500,00.

Em algumas situações temos que calcular o valor do capital. Para isso, usaremos também a expressão do montante nos juros compostos e isolamos o valor de P (capital inicial ou principal). Vejamos um exemplo a seguir.

Exemplo 9

2Praticando...

11


Determine o prazo no qual, no regime de juros compostos, um empréstimo de R$ 11.000,00, à taxa de 15% ao semestre, pode ser quitado em um único pagamento de R$ 22.125,00.

No enunciado, temos: M = 22.125, P = 11.000 e i = 0,15 a.s.

Logo, 22.125 = 11.000 · (1,15)n ⇒ 22.125 ÷ 11.000 = (1,15)n

⇒ (1,15)n = 2,011364.

Comparando com os valores tabelados na coluna de i = 15%, encontramos que o valor mais próximo para o período é n = 5. Logo, o prazo para que o empréstimo seja quitado em um só pagamento é de 5 semestres.

Que tal resolver algumas questões agora?!

1. Calcular o montante de uma aplicação de R$ 4.000,00, à taxa de 2% ao mês, pelo prazo de 32 meses.

2. Determine o total da dívida contraída pelo empréstimo de R$ 12.000,00, à taxa mensal de 1,5% ao mês, pelo período de 3 anos.

Exemplo 10

Exemplo 11

No regime de

juros compostos,

sempre que a

taxa e o período

de capitalização

apresentem unidades

de tempo diferentes,

a taxa deve ser

considerada taxa

nominal e deve ser

convertida para a

unidade adequada.

Taxa nominal

12


Taxa efetiva e taxa nominal

Uma taxa é denominada taxa efetiva quando sua unidade de tempo é a mesma que a unidade de tempo do período de capitalização.

A taxa nominal tem unidade de tempo diferente da unidade de tempo do período de capitalização. Nesse caso, é necessário fazermos a conversão da unidade proporcionalmente.

Para compreender melhor, veja os exemplos a seguir.

Um valor capitalizado mensalmente a uma taxa de 3% ao mês é um exemplo de taxa efetiva.

Uma capitalização anual a uma taxa de 120% ao ano é outro exemplo de taxa efetiva.

Uma taxa nominal de 18% ao ano, com capitalização mensal, será transformada para efeito de cálculos em 18% ÷12 = 1,5 % ao mês.

Qual o montante produzido por R$ 5.000,00, aplicado sob juros compostos trimestrais, taxa de 180% ao ano, durante 1 ano?

Como 180% ao ano é a taxa nominal, pois a capitalização é trimestral, devemos dividi-la por 4 para transformar em trimestral. (180 ÷ 4 = 45% a.t). Devemos também considerar n = 4 (pois 1 ano = 4 trimestres).

M4 = 5.000 · (1,45)4 = 5.000 · 4, 42050625 = 22.102,53125 ≅ 22.102,53.

O montante é de R$ 22.102,53

13


Taxas equivalentes no regime de capitalização composta

São aquelas que, no regime de juros compostos, aplicadas ao mesmo principal, durante o mesmo prazo, produzem os mesmos montantes. Por exemplo, 10% ao mês, sob juros compostos, é uma taxa equivalente a 21% ao bimestre.

Veja o que acontece, quando essas taxas são aplicadas a um capital de 100 reais:

10% ao mês 21% ao bimestre

Capital Montante Capital Montante

1º. Mês R$ 100,00 R$ 110,00 R$ 100,00 ...

2º. Mês R$ 110,00 R$ 121,00 ... R$ 121,00

Como os capitais e os montantes são iguais, podemos obter as taxas equivalentes através de igualdades geradas pelos fatores de correção, elevados aos expoentes convenientes. Ou seja:

(1 + ia)1 = (1 + i

s)2 = (1 + i

t)4 = (1 + i

m)12 = (1 + i

d)360 ou

(1 + is) = (1 + i

t)4 = (1 + i

m)6 = (1 + i

d)180 ou

(1 + it) = (1 + i

m)3 = (1 + i

d)90 ou

(1 + im) = (1 + i

d)30,

ia, i

s, i

t, i

m, i

d são as taxas equivalentes para capitalização anual, semestral, trimestral,

mensal e diária, respectivamente.

Para entender melhor, observe o exemplo a seguir.

Exemplo 12

3Praticando...

14


Qual a taxa semestral, equivalente para juros compostos a 3% ao mês?

(1 + is) = (1 + i

m)6 ⇒ (1 + i

s) = (1,03)6 ⇒ (1 + i

s) = 1,194052 ⇒

(1 + is) = 1 + 0,194052 ⇒ i

s = 0,194052 ⇒ i

s = 19,4052%.

Logo, este fator corresponde a uma taxa de 19,4052% ao semestre.

Agora, que tal resolver mais estas questões?!

1. Qual o valor do montante produzido pela aplicação de um capital de 5.000,00, à taxa de 24% ao ano, ao fi nal de 2 anos, com juros capitalizados trimestralmente?

2. Um banco emprestou a quantia de R$ 12.000,00 por 2 anos. Sabendo que o banco cobra a taxa de 36% ao ano, com capitalização mensal, qual a taxa efetiva anual e qual é o montante a ser devolvido ao fi nal dos 2 anos?

3. Qual a taxa trimestral, equivalente para juros compostos, a 242,102% ao ano?

Diferente do que ocorre com os juros simples, os juros compostos têm ampla utilização. O conhecimento de juros compostos pode ser aplicado no cálculo de descontos compostos, nos cálculos de rendas ou anuidades, nos cálculos de empréstimos, etc.

Título é um

documento que

representa uma

dívida do emitente

(devedor) para com o

benefi ciário (credor).

Os tipos de títulos de

crédito são: cheque,

duplicata, letra

de câmbio e nota

promissória.

Título

15


Desconto Composto

Quando um fi nanciamento tem suas parcelas antecipadas, quando um empréstimo é saldado antes do prazo previsto em contrato ou quando um título tem seu vencimento antecipado, podemos calcular um desconto.

No regime dos juros compostos, os descontos recebem o nome de descontos

compostos.

Existem dois tipos de desconto composto:

Desconto comercial ou “por fora” – é calculado tomando-se como referência o valor futuro dos títulos. É o tipo de desconto composto menos utilizado.

Desconto racional ou “por dentro” – é calculado tomando-se como referência o valor atualizado dos títulos. É o tipo de desconto composto mais utilizado.

Chamaremos o valor nominal (ou valor futuro) de um título de N, a taxa aplicada de i, o prazo de aplicação de n e o valor atualizado (valor com desconto) de A para escrever a expressão que nos auxiliará no cálculo do desconto por fora.

No cálculo do desconto por fora, para o prazo de n períodos de unidades de tempo, a taxa de desconto incide no primeiro período sobre o valor nominal (ou futuro) do título, ou seja, d

1 = i · N.

A partir do segundo período, o desconto incide sobre o valor atualizado (já com o desconto) do título, ou seja, dk = i · A

k –1, onde k = 2, 3,..., n.

Veja, no quadro a seguir, o cálculo do valor antecipado para um número k de períodos, no qual consideramos a mesma taxa i de desconto para todos os períodos.

Períodos de antecipação

Valor do desconto

Valor atualizado do título

k = 1 d1 = i · N A

1 = N – d

1 = N – N · i = N · (1 – i) ⇒ A

1 = N · (1 – i)

k = 2 d2 = i · A

1

A2 = A

1 – d

2 ⇒ A

2 = A

1 – i · A

1 = A

1 · (1 – i) = N · (1 – i) · (1 – i)

⇒ A2 = N · (1 – i)2

k = 3 d3 = i · A

2

A3 = A

2 – d

3 ⇒ A

3 = A

2 – i · A

2 = A

2 · (1 – i) = N · (1 – i)2 · (1 – i)

⇒ A3 = N · (1 – i)3

k = 4 d4 = i · A

3

A4 = A

3 – d

4 ⇒ A

4 = A

3 – i · A

3 = A

3 · (1– i) = N · (1 – i)3· (1 – i)

⇒ A4 = N · (1 – i)4

... ... ...

k = n dn = i · A

n–1

An = A

n–1 – d

n ⇒ A

n = A

n–1 – i · A

n–1 = A

n –1 · (1– i)

⇒ An = = N · (1 – i)n –1· (1 –i) ⇒ A

n = N · (1 – i)n

Exemplo 13

16


Assim, o valor líquido de um título, de prazo igual a n períodos de unidades de tempo que sofre um desconto composto “por fora” é representado pela expressão: A

n = N · (1 – i)n.


Considere a antecipação em 120 dias do resgate de um título com valor nominal de R$ 3.000,00, com um desconto por fora a uma taxa de 2,5% ao mês. Qual o valor do desconto aplicado?

Temos: N = 3.000,00, n = 120 dias = 4 meses e i = 2,5% ao mês.A expressão para o cálculo do valor do título com a antecipação é:

A = N · (1 – i)n

A = 3.000 · (1– 0,025)4 = 3.000 × 0,903688 = 2.711,07

d = N – A = 3.000,00 – 2 711,07 = 288,93.

O valor do desconto aplicado é de R$ 288,93.

No cálculo do desconto “por dentro”, observe a semelhança entre o cálculo do desse desconto com o cálculo do juro composto sobre um capital.

No cálculo do juro composto temos como representação do montante a expressão: M = P · (1 + i)n. No resgate antecipado de um título, o valor futuro (ou valor nominal) é representado pela expressão N = A · (1 + i)n.

O montante M equivale ao valor nominal (ou valor futuro) do título N, o capital aplicado P equivale ao valor atual do título A.

Quando precisamos calcular o valor atual (ou antecipado) do título, isolamos o valor

de A e obtemos: A =N

(1 + i)n

Para calcular o desconto racional (ou por dentro), determinamos a diferença entre o valor futuro de um título (N) e o seu valor atual (A). Ou seja,

dr = N−A ⇒ dr = N− N

(1 + i)n⇒ dr =

N · (1 + i)n − N

(1 + i)n⇒ dr =

N · [(1 + i)n − 1](1 + i)n


Exemplo 14

4Praticando...

17


Um título tem valor nominal de R$ 50.000,00. Sabendo-se que o seu vencimento é daqui a 5 meses e que a taxa de desconto cobrada é de 3,5%

ao mês, determine o valor do desconto composto racional desse título se fosse resgatado hoje.

Temos: N = 50.000,00, n = 5 meses e i = 3,5% a. m. ou i = 0,035 a. m.

(1 + i)n = (1 + 0,035)5 ⇒ (1 + i)n = (1,035)5 = 1,187686305646875

dr =N · [(1 + i)n − 1]

(1 + i)n⇒ dr =

50 000 · [1, 187686305646875 − 1]1, 187686305646875

dr =9384, 315282343751, 187686305646875

⇒ dr = 7901, 34

O valor do desconto racional é de R$ 7.901,34.

Agora, que tal resolver as questões a seguir?

1. Um título foi resgatado com uma antecipação de 90 dias, à taxa de 3% ao mês, produzindo um desconto no valor de R$ 1.379,77. Determine o valor nominal do título.

2. Calcule o desconto composto por fora de um título de valor nominal igual a R$ 10.000,00, à taxa de 5% ao mês, cujo resgate foi antecipado por 60 dias.

3. Calcule o valor nominal de um título que foi resgatado ao valor de R$ 3.065,67, à taxa de 3% ao mês, cujo vencimento se daria daqui a 3 trimestres.

Amortização é

o pagamento do

principal (capital)

emprestado

realizado,

normalmente, de

forma periódica

e sucessiva

durante o prazo de

fi nanciamento.

Amortização

18


Empréstimos e sistemas de amortização

O primeiro passo para contrair uma dívida ocorre quando alguém necessita de uma quantia e resolve pedir esse valor por empréstimo a um banco (ou outra instituição fi nanceira). Esse empréstimo será associado a um prazo para sua quitação. Quem recebe o empréstimo se compromete a pagar o valor recebido mais os juros devidos, no prazo acertado no contrato.

Os empréstimos classifi cam-se em: (I) curto e médio prazo e (II) longo prazo. Os empréstimos de curto e médio prazo são todos os saldados em até 3 anos. Os empréstimos de longo prazo são os que têm prazo superior a 3 anos.

Os empréstimos de longo prazo apresentam várias modalidades de restituição do principal e dos juros. Esses empréstimos têm suas condições estipuladas previamente por contrato entre as partes, ou seja, entre o credor e o devedor.

Quando contraímos uma dívida para quitá-la a médio ou a longo prazo, devemos considerar a incidência de juros compostos e o fato de o valor nominal de cada pagamento ser formado por uma mistura de pagamento de juros e de amortização do principal, permitindo o uso de várias metodologias para estabelecer a forma de saldar essa dívida.

Os sistemas de amortização foram desenvolvidos para serem utilizados em operações de empréstimos e fi nanciamentos de longo prazo. Essas operações envolvem alterações periódicas do principal e incidência de encargos fi nanceiros.

Uma característica dos sistemas de amortização que iremos estudar é a utilização exclusiva do sistema de juros compostos, incidindo os juros apenas sobre o saldo devedor (montante) apurado no período imediatamente anterior.

Quando fazemos um investimento, ocorre uma capitalização e quando fazemos um fi nanciamento, ocorre uma amortização. Uma sequência de depósitos ou de pagamentos de prestações de um fi nanciamento recebe o nome de renda. Cada depósito ou prestação é chamado de termo da renda, e o intervalo de tempo entre a realização de dois termos consecutivos é chamado de período da renda. Observe que o período pode ser mensal, trimestral, semestral, anual etc.

Exemplo 15

5Praticando...

19


Quando consideramos a compra de um computador em 6 prestações mensais de R$ 150,00, cada uma das prestações é um termo da renda e o período é mensal.

Quando fazemos um fi nanciamento ou um empréstimo, chamamos de saldo devedor

ou de estado da dívida o valor devido em certo período, imediatamente após a realização do pagamento relativo a este período.

1. Uma pessoa deposita ao fi nal de cada mês, em uma fi nanceira, durante 4 meses, a quantia de R$ 92,00. Calcule o montante da renda, sabendo que são pagos juros compostos de 2% ao mês, capitalizados mensalmente.

2. Uma pessoa deposita R$ 620,00, no fi nal de cada mês. Sabendo que esse capital rende juros de 2% ao mês, quanto possuirá em 1 ano e 4 meses?

3. Calcule o valor da dívida que pode ser amortizada por 15 prestações mensais de R$ 8.000,00 cada uma, sendo de 2% ao mês a taxa de juros.

Exemplo 16

Um sistema de

amortização é o meio

pelo qual se paga

uma dívida contraída.

É feita pelo devedor

a escolha da maneira

mais conveniente

para ele.

Chamamos de prazo

de carência o período

compreendido entre

o prazo de utilização

e o pagamento da

primeira amortização.

Durante esse prazo o

devedor só paga

os juros.

Sistemas de

amortização

Prazo de

carência

20


Principais sistemas de amortização

Nos sistemas de amortização, o juro será sempre cobrado sobre o saldo devedor, considerando a taxa de juros compostos, sendo que, quando não houver pagamento de uma parcela, teremos a elevação do saldo devedor, pois, nesse caso, haverá o cálculo de juro sobre juro.

Pode-se estabelecer, ou não, em qualquer um dos sistemas de amortização, um prazo de carência.

Veja agora os principais sistemas de amortização:

Sistemas de Amortização Constante – (SAC)

Nesse sistema, as parcelas de amortização são todas iguais, mas as prestações têm valores diferentes. Os juros são calculados, a cada período, multiplicando-se a taxa de juros contratada (na forma unitária) pelo saldo devedor existente no período anterior.


Estudaremos alguns sistemas de

amortização utilizados na amortização de

empréstimos, para que você conheça um

pouco sobre esse assunto.

Considere uma dívida de R$ 10.000,00, saldada em cinco amortizações mensais, a 1,5% ao mês de taxa de juros.

O principal foi emprestado no início do 1º mês e as prestações e os juros serão pagos no fi m de cada mês, ou seja, sempre sobre o saldo devedor do

Exemplo 17

21


período anterior. A amortização é mensal e a prestação é obtida somando-se, ao fi nal de cada período, a amortização com os juros.

Valor da amortização em cada parcela: R$ 10.000 ÷ 5 = R$ 2.000,00.

Para a quitação de um empréstimo de R$ 30.000,00, a taxa de 2% ao mês, em 5 prestações (fixas), pelo sistema francês de amortização (PRICE), temos:

Cálculo do coefi ciente k :

k =i · (1 + i)n

(1 + i)n − 1⇒ k =

0, 02 · (1 + 0, 02)5

(1 + 0, 02)5 − 1⇒ k =

0, 02 · (1, 1040808032)(1, 1040808032) − 1

⇒ k =0, 0220816160640, 1040808032

⇒ k = 0, 212158

Cálculo do valor de cada prestação: R$ 30.000 · k = R$ 6.364,75

Nesse sistema, o devedor devolve o principal mais os juros em prestações iguais entre si. As prestações são fi xas, mas as parcelas de amortização são variáveis. A dívida fi ca completamente quitada na última prestação.

Para calcular a prestação P fazemos o produto do valor fi nanciado pelo coefi ciente K

obtido pela expressão k =i · (1 + i)n

(1 + i)n − 1

Considere a seguinte situação.

Mês Saque Saldo devedor Amortização Juros Prestação

0 10.000,00 10.000,00 - - -

1 - 8.000,00 2.000,00 150,00 2.150,00

2 - 6.000,00 2.000,00 120,00 2.120,00

3 - 4.000,00 2.000,00 90,00 2.090,00

4 - 2.000,00 2.000,00 60,00 2.060,00

5 - - 2.000,00 30,00 2.030,00

Total - - 10.000,00 450,00 10.450,00

Sistema Francês - PRICE

22


Teremos 5 prestações iguais de R$ 6.364,75 e os juros são calculados sobre o saldo devedor do período anterior, como no sistema de amortização constante.

A amortização será calculada pela diferença entre a prestação e o juro, e o saldo devedor será calculado como sendo a diferença entre o saldo devedor do período anterior e a amortização do período:

Mês Saque Prestação Juros Amortização Saldo devedor

0 30.000,00 - 30.000,00

1 - 6.364,75 600,00 5.764,75 24.235,25

2 - 6.364,75 484,71 5.880,04 18.355,21

3 - 6.364,75 367,10 5.997,65 12.357,56

4 - 6.364,75 247,15 6.117,60 6.239,96

5 - 6.364,75 124,80 6.239,96 0,00

Total - 31.823,75 1.823,76 30.000,00 0,00

Sistema Americano

Nesse sistema de amortização, o devedor paga o capital emprestado, após certo prazo, em uma única parcela.

Quanto à incidência de juros, há duas modalidades:

com a incidência de juros apenas sobre o saldo devedor;

com a incidência de juros sobre o montante (valor emprestado mais juros).

Quanto ao pagamento dos juros, temos duas situações:

o pagamento dos juros pode ser feito durante a carência;

o pagamento pode ser feito ao fi nal do prazo contratado, juntamente com o valor do empréstimo.

O caso mais comum é aquela em que o devedor paga juros durante a carência. Observe o exemplo a seguir.

Exemplo 18

23


Considere um fi nanciamento de R$ 80.000,00 a ser amortizado ao fi nal de 5 meses pelo sistema americano de amortização.

Nesse caso, temos P = 50.000,00; i = 1,5% a.m. e amortização no 5º mês.

1ª situação: Com os juros calculados sobre o saldo devedor a cada mês e pagos ao fi nal do prazo de amortização.


0 80.000,00 80.000,00 - - -

1 - 80.000,00 - 1.200,00 -

2 - 80.000,00 - 1.200,00 -

3 - 80.000,00 - 1.200,00 -

4 - 80.000,00 - 1.200,00 -

5 - 80.000,00 1.200,00 86.000,00

Total - 80.000,00 6.000,00 86.000,00

2ª situação: Com capitalização dos juros durante a carência e pagamento ao fi nal.


0 80.000,00 80.000,00 - - -

1 - 81.200,00 - 1.200,00 1.200,00

2 - 81.218,00 - 1.218,00 1.218,00

3 - 81.236,27 - 1.236,27 1.236,27

4 - 81.254,81 - 1.254,81 1.254,81

5 - 81.273,63 80.000,00 1.273,63 81.273,63

Total - 80.000,00 6.182,71 86.182,71

6Praticando...

24


1. Considere o pagamento de um fi nanciamento no valor de R$ 12.000,00, sem entrada, com prazo de 24 meses, a taxa de 0,5% ao mês,

a) no sistema SAC;

b) no sistema PRICE;

c) no sistema americano de amortização, com pagamento mensal de juros que incidem apenas sobre o saldo devedor.

Agora que você já resolveu todas as atividades, resolva a lista de exercícios a seguir.

Exerc

ício

s

1. José conseguiu um empréstimo de R$ 20.000,00 para sua empresa que deverá ser pago ao fi nal de 1 ano, acrescidos de juros compostos de 0,5% ao mês. Ao fi nal do prazo estabelecido, ele deverá pagar um montante aproximado, de

a) R$ 20.566,66

b) R$ 20.996,56

c) R$ 21.233,56

d) R$ 22.356,66

2. George aplicou certo capital à taxa composta de 1% ao mês. Esse investimento produziu um montante de R$ 4.650,00 ao fi nal de 8 meses. O valor aplicado foi, aproximadamente, de

a) R$ 5.035,29

b) R$ 5.305,29

c) R$ 5.503,29

d) R$ 5.903,29

3. A taxa anual equivalente a 1,3% a.m. é, aproximadamente, de

a) 15,6%

b) 16,8%

c) 18,6%

d) 21,3%

4. A taxa efetiva de um investimento capitalizado mensalmente a uma taxa de 21% ao ano é

a) 1,75% ao mês.

b) 1,8% ao trimestre.

c) 1,9% ao mês.

d) 1,95% ao trimestre.

25


26


5. O prazo necessário para a aplicação de R$ 5.000,00 à taxa de 3% ao mês produzir um rendimento de R$ 2.128,80 é de, aproximadamente,

a) 8 meses.

b) 10 meses.

c) 12 meses.

d) 14 meses.

6. Quantas parcelas de R$ 2.000,00, a uma taxa de 0,5% ao mês, devo depositar em certa operação fi nanceira para que possa constituir um capital de R$ 16.282,82?

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

7. Um título de R$ 5.000,00 foi resgatado com uma antecipação de 60 dias, à taxa de 3% ao mês. O valor pago pelo título nessa antecipação do resgate foi igual a

a) R$ 4.563,37

b) R$ 4. 653,37

c) R$ 4. 657,33

d) R$ 4. 675,33

8. Um título de valor nominal igual a R$ 5.000,00 foi resgatado com uma antecipação de 90 dias, a uma taxa de 1,5% ao mês. O valor do desconto composto por fora concedido foi igual a

a) R$ 212,46

b) R$ 212,64

c) R$ 221,64

d) R$ 261,24

27


Em nossa aula, você aprendeu a descrever o que é o regime de capitalização composta e o que são juros compostos. Aprendeu também a resolver situações que envolvam o cálculo dos juros compostos ou, no regime de capitalização composta, determinar a taxa de juros, o prazo da aplicação, o valor do capital aplicado ou o montante produzido.

Agora que você já resolveu todas as atividades e todos os exercícios, verifi que sua aprendizagem com a autoavaliação a seguir, que envolve assuntos desta aula e de aulas anteriores.

1. Qual foi a taxa mensal em que foi aplicado um capital de R$ 150,00, durante 60 dias, para produzir, a juros simples, um montante de R$ 153,00?

2. André investiu R$ 12.000,00, por 5 meses, à taxa de 2% ao mês, sob o regime de juros compostos. Apresente no quadro abaixo o desenvolvimento dessa aplicação.

Período Capital inicial Juros Montante

1º. mês

2º. mês

3º. mês

4º. mês

5º. mês

28


3. Qual o montante acumulado na aplicação de R$ 3.000,00, no regime de juros compostos, à taxa de 2,5% ao mês, por 9 meses?

4. Qual é o valor dos juros produzidos na aplicação no regime de capitalização composta do capital de R$ 10.000,00, à taxa mensal de 1,5%, por 10 meses?

5. Qual o montante produzido por R$ 2.500,00, aplicados sob taxa efetiva de 12% ao trimestre, em 15 meses?

6. Qual o tempo necessário para que um capital, aplicado a juros simples de 5% ao mês, triplique de valor?

7. Em um empréstimo realizado no BANCO T. IRA TUDO S.A. foi pago um total de R$ 1.639,09. O prazo da operação foi de 3 meses e a taxa de juros compostos foi de 3% ao mês. Qual foi o valor do empréstimo?

8. O preço de uma mercadoria era R$ 2.800,00, ou então, uma entrada de 20% e mais um pagamento de R$ 2.688,00, após 40 dias, fi nanciamento a juros simples. Qual a taxa anual de juros que está sendo cobrada pela loja?

9. Apliquei um capital a juros simples de 4% ao mês, durante 2 meses e, em seguida, reapliquei o montante por 6 meses, a juros simples de 5% ao mês. Qual o capital inicial, se o montante fi nal foi de R$ 30.888,00?

10. Se uma pessoa deseja obter um rendimento de R$ 2.700,00, dispondo de R$ 9.000,00 de capital, a que taxa de juro simples quinzenal o capital deve ser aplicado?

11. O juro e o montante em uma aplicação a juros simples estão entre si, como 4 está para 20. O tempo de aplicação foi de 5 anos. Qual a taxa anual do investimento?

12. Qual a taxa anual, equivalente para juros compostos, a 20% ao bimestre?

13. Dada a taxa de juros compostos de 9, 2727% ao trimestre, determinar a taxa de juros compostos equivalente mensal.

14. Considere o pagamento de um fi nanciamento no valor de R$ 8.000,00, sem entrada, com prazo de 24 meses, à taxa de 2% ao mês,

a) no sistema SAC;

b) no sistema PRICE;

c) no sistema americano de amortização, com pagamento mensal de juros que incidem apenas sobre o saldo devedor.

29


Para consulta

Fórmulas úteis no cálculo de elementos no regime de Juros compostos

Cálculo do montante: M = P · (1 + i)n, sendo P o capital inicial; i, a taxa de juros constante em todos os períodos e n, o número de períodos da aplicação (ou empréstimo).

Cálculo do juro: J = M – P ⇒ J = P · (1 + i)n – P ⇒ J = P · [(1 + i)n – 1].

Cálculo de montante para período n não tabelado: Com a e b valores de n tabelados, temos: M = P · (1 + i)a + b = P · (1 + i)a · (1 + i)b.

Cálculo do capital: P = Mn ÷ (1 + i)n ou P = M

n · (1 + i)– n

Taxas equivalentes:

(1 + ia)1 = (1 + i

s)2 = (1 + i

t)4 = (1 + i

m)12 = (1 + i

d)360

ou

(1 + is) = (1 + i

t)4 = (1 + i

m)6 = (1 + i

d)180

ou

(1 + it) = (1 + i

m)3 = (1 + i

d)90

ou

(1 + im) = (1 + i

d)30

Valor antecipado no desconto composto comercial ou ‘por fora’:

An = N · (1 – i)n; N é o valor nominal do título.

Valor antecipado no desconto composto racional ou ‘por dentro’:

A =N

(1 + i)n, sendo d

r = N – A.

Tabelas de fatores de capitalização (1 + i)n

30


Tabela 1 – Fatores de capitalização com taxas percentuais de 0,5% a 4,5%.

n i = 0,5% i = 1% i = 1,5% i = 2% i = 2,5% i = 3% i = 3,5% i = 4% i = 4,5%

1 1,005000 1,010000 1,015000 1,020000 1,025000 1,030000 1,035000 1,040000 1,045000

2 1,010025 1,020100 1,030225 1,040400 1,050625 1,060900 1,071225 1,081600 1,045000

3 1,015075 1,030301 1,045678 1,061208 1,076891 1,092727 1,108718 1,124864 1,045000

4 1,020151 1,040604 1,061364 1,082432 1,103813 1,125509 1,147523 1,169859 1,045000

5 1,025251 1,051010 1,077284 1,104081 1,131408 1,159274 1,187686 1,216653 1,045000

6 1,030378 1,061520 1,093443 1,126162 1,159693 1,194052 1,229255 1,265319 1,045000

7 1,035529 1,072135 1,109845 1,148686 1,188686 1,229874 1,272279 1,315932 1,045000

8 1,040707 1,082857 1,126493 1,171659 1,218403 1,266770 1,316809 1,368569 1,045000

9 1,045911 1,093685 1,143390 1,195093 1,248863 1,304773 1,362897 1,423312 1,045000

10 1,051140 1,104622 1,160541 1,218994 1,280085 1,343916 1,410599 1,480244 1,045000

11 1,056396 1,115668 1,177949 1,243374 1,312087 1,384234 1,459970 1,539454 1,045000

12 1,061678 1,126825 1,195618 1,268242 1,344889 1,425761 1,511069 1,601032 1,045000

13 1,066986 1,138093 1,213552 1,293607 1,378511 1,468534 1,563956 1,665074 1,045000

14 1,072321 1,149474 1,231756 1,319479 1,412974 1,512590 1,618695 1,731676 1,045000

15 1,077683 1,160969 1,250232 1,345868 1,448298 1,557967 1,675349 1,800944 1,045000

16 1,083071 1,172579 1,268986 1,372786 1,484506 1,604706 1,733986 1,872981 1,045000

17 1,088487 1,184304 1,288020 1,400241 1,521618 1,652848 1,794676 1,947900 1,045000

18 1,093929 1,196147 1,307341 1,428246 1,559659 1,702433 1,857489 2,025817 1,045000

19 1,099399 1,208109 1,326951 1,456811 1,598650 1,753506 1,922501 2,106849 1,045000

20 1,104896 1,220190 1,346855 1,485947 1,638616 1,806111 1,989789 2,191123 1,045000

21 1,110420 1,232392 1,367058 1,515666 1,679582 1,860295 2,059431 2,278768 1,045000

22 1,115972 1,244716 1,387564 1,545980 1,721571 1,916103 2,131512 2,369919 1,045000

23 1,121552 1,257163 1,408377 1,576899 1,764611 1,973587 2,206114 2,464716 1,045000

24 1,127160 1,269735 1,429503 1,608437 1,808726 2,032794 2,283328 2,563304 1,045000

25 1,132796 1,282432 1,450945 1,640606 1,853944 2,093778 2,363245 2,665836 1,045000

26 1,138460 1,295256 1,472710 1,673418 1,900293 2,156591 2,445959 2,772470 1,045000

27 1,144152 1,308209 1,494800 1,706886 1,947800 2,221289 2,531567 2,883369 1,045000

28 1,149873 1,321291 1,517222 1,741024 1,996495 2,287928 2,620172 2,998703 1,045000

29 1,155622 1,334504 1,539981 1,775845 2,046407 2,356566 2,711878 3,118651 1,045000

30 1,161400 1,347849 1,563080 1,811362 2,097568 2,427262 2,806794 3,243398 1,045000

Tabela 2 – Fatores de capitalização com taxas percentuais de 5% a 9,5%

n i = 5% i = 5,5% i = 6% i = 6,5% i = 7% i = 7,5% i = 8% i = 8,5% i = 9% i = 9,5%

1 1,050000 1,055000 1,060000 1,065000 1,070000 1,075000 1,080000 1,085000 1,090000 1,095000

2 1,102500 1,113025 1,123600 1,134225 1,144900 1,155625 1,166400 1,177225 1,188100 1,199025

3 1,157625 1,174241 1,191016 1,207950 1,225043 1,242297 1,259712 1,277289 1,295029 1,312932

4 1,215506 1,238825 1,262477 1,286466 1,310796 1,335469 1,360489 1,385859 1,411582 1,437661

5 1,276282 1,306960 1,338226 1,370087 1,402552 1,435629 1,469328 1,503657 1,538624 1,574239

6 1,340096 1,378843 1,418519 1,459142 1,500730 1,543302 1,586874 1,631468 1,677100 1,723791

7 1,407100 1,454679 1,503630 1,553987 1,605781 1,659049 1,713824 1,770142 1,828039 1,887552

8 1,477455 1,534687 1,593848 1,654996 1,718186 1,783478 1,850930 1,920604 1,992563 2,066869

31


n i = 5% i = 5,5% i = 6% i = 6,5% i = 7% i = 7,5% i = 8% i = 8,5% i = 9% i = 9,5%

9 1,551328 1,619094 1,689479 1,762570 1,838459 1,917239 1,999005 2,083856 2,171893 2,263222

10 1,628895 1,708144 1,790848 1,877137 1,967151 2,061032 2,158925 2,260983 2,367364 2,478228

11 1,710339 1,802092 1,898299 1,999151 2,104852 2,215609 2,331639 2,453167 2,580426 2,713659

12 1,795856 1,901207 2,012196 2,129096 2,252192 2,381780 2,518170 2,661686 2,812665 2,971457

13 1,885649 2,005774 2,132928 2,267487 2,409845 2,560413 2,719624 2,887930 3,065805 3,253745

14 1,979932 2,116091 2,260904 2,414874 2,578534 2,752444 2,937194 3,133404 3,341727 3,562851

15 2,078928 2,232476 2,396558 2,571841 2,759032 2,958877 3,172169 3,399743 3,642482 3,901322

16 2,182875 2,355263 2,540352 2,739011 2,952164 3,180793 3,425943 3,688721 3,970306 4,271948

17 2,292018 2,484802 2,692773 2,917046 3,158815 3,419353 3,700018 4,002262 4,327633 4,677783

18 2,406619 2,621466 2,854339 3,106654 3,379932 3,675804 3,996019 4,342455 4,717120 5,122172

19 2,526950 2,765647 3,025600 3,308587 3,616528 3,951489 4,315701 4,711563 5,141661 5,608778

20 2,653298 2,917757 3,207135 3,523645 3,869684 4,247851 4,660957 5,112046 5,604411 6,141612

21 2,785963 3,078234 3,399564 3,752682 4,140562 4,566440 5,033834 5,546570 6,108808 6,725065

22 2,925261 3,247537 3,603537 3,996606 4,430402 4,908923 5,436540 6,018028 6,658600 7,363946

23 3,071524 3,426152 3,819750 4,256386 4,740530 5,277092 5,871464 6,529561 7,257874 8,063521

24 3,225100 3,614590 4,048935 4,533051 5,072367 5,672874 6,341181 7,084574 7,911083 8,829556

25 3,386355 3,813392 4,291871 4,827699 5,427433 6,098340 6,848475 7,686762 8,623081 9,668364

26 3,555673 4,023129 4,549383 5,141500 5,807353 6,555715 7,396353 8,340137 9,399158 10,586858

27 3,733456 4,244401 4,822346 5,475697 6,213868 7,047394 7,988061 9,049049 10,245082 11,592610

28 3,920129 4,477843 5,111687 5,831617 6,648838 7,575948 8,627106 9,818218 11,167140 12,693908

29 4,116136 4,724124 5,418388 6,210672 7,114257 8,144144 9,317275 10,652766 12,172182 13,899829

30 4,321942 4,983951 5,743491 6,614366 7,612255 8,754955 10,062657 11,558252 13,267678 15,220313

Tabela 3 – Fatores de capitalização com taxas percentuais de 10% a 25%

n i = 10% i = 11% i = 12% i = 12,5% i = 15% i = 17,5% i = 18% i = 20% i = 24% i = 25%

1 1,100000 1,110000 1,120000 1,125000 1,150000 1,175000 1,180000 1,200000 1,240000 1,250000

2 1,210000 1,232100 1,254400 1,265625 1,322500 1,380625 1,392400 1,440000 1,537600 1,562500

3 1,331000 1,367631 1,404928 1,423828 1,520875 1,622234 1,643032 1,728000 1,906624 1,953125

4 1,464100 1,518070 1,573519 1,601807 1,749006 1,906125 1,938778 2,073600 2,364214 2,441406

5 1,610510 1,685058 1,762342 1,802032 2,011357 2,239697 2,287758 2,488320 2,931625 3,051758

6 1,771561 1,870415 1,973823 2,027287 2,313061 2,631644 2,699554 2,985984 3,635215 3,814697

7 1,948717 2,076160 2,210681 2,280697 2,660020 3,092182 3,185474 3,583181 4,507667 4,768372

8 2,143589 2,304538 2,475963 2,565785 3,059023 3,633314 3,758859 4,299817 5,589507 5,960464

9 2,357948 2,558037 2,773079 2,886508 3,517876 4,269144 4,435454 5,159780 6,930988 7,450581

10 2,593742 2,839421 3,105848 3,247321 4,045558 5,016244 5,233836 6,191736 8,594426 9,313226

11 2,853117 3,151757 3,478550 3,653236 4,652391 5,894087 6,175926 7,430084 10,657088 11,641532

12 3,138428 3,498451 3,895976 4,109891 5,350250 6,925552 7,287593 8,916100 13,214789 14,551915

13 3,452271 3,883280 4,363493 4,623627 6,152788 8,137524 8,599359 10,699321 16,386338 18,189894

14 3,797498 4,310441 4,887112 5,201580 7,075706 9,561590 10,147244 12,839185 20,319059 22,737368

15 4,177248 4,784589 5,473566 5,851778 8,137062 11,234869 11,973748 15,407022 25,195633 28,421709

16 4,594973 5,310894 6,130394 6,583250 9,357621 13,200971 14,129023 18,488426 31,242585 35,527137

17 5,054470 5,895093 6,866041 7,406156 10,761264 15,511141 16,672247 22,186111 38,740806 44,408921

18 5,559917 6,543553 7,689966 8,331926 12,375454 18,225590 19,673251 26,623333 48,038599 55,511151

32


n i = 10% i = 11% i = 12% i = 12,5% i = 15% i = 17,5% i = 18% i = 20% i = 24% i = 25%

19 6,115909 7,263344 8,612762 9,373417 14,231772 21,415068 23,214436 31,948000 59,567863 69,388939

20 6,727500 8,062312 9,646293 10,545094 16,366537 25,162705 27,393035 38,337600 73,864150 86,736174

21 7,400250 8,949166 10,803848 11,863231 18,821518 29,566179 32,323781 46,005120 91,591546 108,420217

22 8,140275 9,933574 12,100310 13,346134 21,644746 34,740260 38,142061 55,206144 113,573517 135,525272

23 8,954302 11,026267 13,552347 15,014401 24,891458 40,819806 45,007632 66,247373 140,831161 169,406589

24 9,849733 12,239157 15,178629 16,891201 28,625176 47,963272 53,109006 79,496847 174,630639 211,758237

25 10,834706 13,585464 17,000064 19,002602 32,918953 56,356844 62,668627 95,396217 216,541993 264,697796

26 11,918177 15,079865 19,040072 21,377927 37,856796 66,219292 73,948980 114,475460 268,512071 330,872245

27 13,109994 16,738650 21,324881 24,050168 43,535315 77,807668 87,259797 137,370552 332,954968 413,590306

28 14,420994 18,579901 23,883866 27,056438 50,065612 91,424010 102,966560 164,844662 412,864160 516,987883

29 15,863093 20,623691 26,749930 30,438493 57,575454 107,423211 121,500541 197,813595 511,951559 646,234854

30 17,449402 22,892297 29,959922 34,243305 66,211772 126,222273 143,370638 237,376314 634,819933 807,793567

Tabela 4 – Fatores de capitalização com taxas percentuais de 27,5% a 50%

n i = 27,5% i = 30% i = 32,5% i = 35% i = 37,5% i = 40% i = 42,5% i = 45% i = 47,5% i = 50%

1 1,27500 1,30000 1,32500 1,3500 1,37500 1,40000 1,42500 1,45000 1,4750 1,5000

2 1,62563 1,69000 1,75563 1,8225 1,89063 1,96000 2,03063 2,10250 2,1756 2,2500

3 2,07267 2,19700 2,32620 2,4604 2,59961 2,74400 2,89364 3,04863 3,2090 3,3750

4 2,64266 2,85610 3,08222 3,3215 3,57446 3,84160 4,12344 4,42051 4,7333 5,0625

5 3,36939 3,71293 4,08394 4,4840 4,91489 5,37824 5,87590 6,40973 6,9817 7,5938

6 4,29597 4,82681 5,41122 6,0534 6,75797 7,52954 8,37316 9,29411 10,2980 11,3906

7 5,47736 6,27485 7,16987 8,1722 9,29221 10,54135 11,93175 13,47647 15,1895 17,0859

8 6,98363 8,15731 9,50007 11,0324 12,77678 14,75789 17,00274 19,54088 22,4045 25,6289

9 8,90413 10,60450 12,58760 14,8937 17,56808 20,66105 24,22890 28,33427 33,0467 38,4434

10 11,35277 13,78585 16,67857 20,1066 24,15611 28,92547 34,52619 41,08469 48,7439 57,6650

11 14,47478 17,92160 22,09910 27,1439 33,21465 40,49565 49,19982 59,57280 71,8972 86,4976

12 18,45535 23,29809 29,28131 36,6442 45,67014 56,69391 70,10974 86,38056 106,0484 129,7463

13 23,53057 30,28751 38,79774 49,4697 62,79645 79,37148 99,90638 125,25182 156,4214 194,6195

14 30,00147 39,37376 51,40700 66,7841 86,34512 111,12007 142,36660 181,61513 230,7216 291,9293

15 38,25188 51,18589 68,11428 90,1585 118,72453 155,56810 202,87240 263,34194 340,3144 437,8939

16 48,77115 66,54166 90,25142 121,7139 163,24623 217,79533 289,09317 381,84582 501,9637 656,8408

17 62,18321 86,50416 119,58313 164,3138 224,46357 304,91347 411,95777 553,67643 740,3965 985,2613

18 79,28359 112,45541 158,44765 221,8236 308,63741 426,87885 587,03982 802,83083 1092,0848 1477,8919

19 101,08658 146,19203 209,94314 299,4619 424,37644 597,63040 836,53174 1164,10470 1610,8251 2216,8378

20 128,88539 190,04964 278,17466 404,2736 583,51760 836,68255 1192,05773 1687,95181 2375,9670 3325,2567

21 164,32887 247,06453 368,58142 545,7693 802,33671 1171,35558 1698,68226 2447,53013 3504,5513 4987,8851

22 209,51931 321,18389 488,37039 736,7886 1103,21297 1639,89781 2420,62222 3548,91869 5169,2132 7481,8276

23 267,13713 417,53905 647,09076 994,6646 1516,91784 2295,85693 3449,38666 5145,93210 7624,5895 11222,7415

24 340,59984 542,80077 857,39526 1342,7973 2085,76202 3214,19970 4915,37600 7461,60154 11246,2695 16834,1122

25 434,26479 705,64100 1136,04872 1812,7763 2867,92278 4499,87958 7004,41079 10819,32224 16588,2476 25251,1683

26 553,68761 917,33330 1505,26455 2447,2480 3943,39383 6299,83141 9981,28538 15688,01725 24467,6651 37876,7524

27 705,95170 1192,53329 1994,47553 3303,7848 5422,16651 8819,76398 14223,33167 22747,62501 36089,8061 56815,1287

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n i = 27,5% i = 30% i = 32,5% i = 35% i = 37,5% i = 40% i = 42,5% i = 45% i = 47,5% i = 50%

28 900,08842 1550,29328 2642,68008 4460,1095 7455,47896 12347,66957 20268,24763 32984,05626 53232,4640 85222,6930

29 1147,61273 2015,38126 3501,55111 6021,1478 10251,28356 17286,73740 28882,25287 47826,88158 78517,8844 127834,0395

30 1463,20624 2619,99564 4639,55522 8128,5495 14095,51490 24201,43236 41157,21034 69348,97829 115813,8794 191751,0592

Referências

ASSAF NETO, Alexandre. Matemática fi nanceira e suas aplicações. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2002.


DESCONTO composto. Disponível em:<http://www.algosobre.com.br/matematicafi nanceira/descontocomposto.html>. Acesso em: 6 mar. 2009.

MATEMÁTICA fi nanceira: Sistemas de amortização. Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fi nanceira/amortiza/amortiza.htm#amort06>. Acesso em: 6 mar. 2009.


SÁ, Ilydio Pereira de. Curso básico de matemática comercial e fi nanceira. Disponível em: <http://magiadamatematica.com/wp-content/uploads/matematica-fi nanceira-curso-basico-administracao.pdf>. Acesso em: 6 mar. 2009.

______. Matemática fi nanceira nos vestibulares. 2005. Disponível em: <http://magiadamatematica.com/wp-content/uploads/vestibulares.pdf>. Acesso em: 6 mar. 2009.

SANTOS, Jorge Alberto dos. Juros. 2006. Disponível em: <http://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos024.asp>. Acesso em: 6 mar. 2009.

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Anotações

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