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Resolução de Problemas
Matemáticos
Aluno
Caderno de Atividades
Pedagógicas de
Aprendizagem
Autorregulada - 01 9ª Série | 1° Bimestre
Disciplina Curso Bimestre Ano
Resolução de Problemas Matemáticos
Ensino Fundamental 1° 9°
Habilidades Associadas
Resolver Problemas envolvendo Operações com Números Reais.
Reconhecer as relações de proporcionalidade em situações-problema.
2
A Secretaria de Estado de Educação elaborou o presente material com o intuito de estimular o
envolvimento do estudante com situações concretas e contextualizadas de pesquisa, aprendizagem
colaborativa e construções coletivas entre os próprios estudantes e respectivos tutores – docentes
preparados para incentivar o desenvolvimento da autonomia do alunado.
A proposta de desenvolver atividades pedagógicas de aprendizagem autorregulada é mais uma
estratégia pedagógica para se contribuir para a formação de cidadãos do século XXI capazes de explorar suas
competências cognitivas e não cognitivas. Assim, estimula-se a busca do conhecimento de forma autônoma,
por meio dos diversos recursos bibliográficos e tecnológicos, de modo a encontrar soluções para desafios da
contemporaneidade, na vida pessoal e profissional.
Estas atividades pedagógicas autorreguladas propiciam aos alunos o desenvolvimento das
habilidades e competências nucleares previstas no currículo mínimo, por meio de atividades roteirizadas.
Nesse contexto, o tutor será visto enquanto um mediador, um auxiliar. A aprendizagem é efetivada na
medida em que cada aluno autorregula sua aprendizagem.
Destarte, as atividades pedagógicas pautadas no princípio da autorregulação objetivam, também,
equipar os alunos, ajudá-los a desenvolver o seu conjunto de ferramentas mentais, ajudando-o a tomar
consciência dos processos e procedimentos de aprendizagem que ele pode colocar em prática.
Ao desenvolver as suas capacidades de auto-observação e autoanálise, ele passa a ter maior domínio
daquilo que faz. Desse modo, partindo do que o aluno já domina, será possível contribuir para o
desenvolvimento de suas potencialidades originais e, assim, dominar plenamente todas as ferramentas da
autorregulação.
Por meio desse processo de aprendizagem pautada no princípio da autorregulação, contribui-se para
o desenvolvimento de habilidades e competências fundamentais para o aprender-a-aprender, o aprender-a-
conhecer, o aprender-a-fazer, o aprender-a-conviver e o aprender-a-ser.
A elaboração destas atividades foi conduzida pela Diretoria de Articulação Curricular, da
Superintendência Pedagógica desta SEEDUC, em conjunto com uma equipe de professores da rede estadual.
Este documento encontra-se disponível em nosso site www.conexaoprofessor.rj.gov.br, a fim de que os
professores de nossa rede também possam utilizá-lo como contribuição e complementação às suas aulas.
Estamos à disposição através do e-mail [email protected] para quaisquer
esclarecimentos necessários e críticas construtivas que contribuam com a elaboração deste material.
Secretaria de Estado de Educação
Apresentação
3
Caro aluno,
Neste caderno, você encontrará atividades diretamente relacionadas a algumas
habilidades e competências do 1° Bimestre do Currículo Mínimo de Resolução de Problemas
Matemáticos da 9ª Ano do Ensino Fundamental. Estas atividades correspondem aos estudos
durante o período de um mês.
A nossa proposta é que você, Aluno, desenvolva estas Atividades de forma
autônoma, com o suporte pedagógico eventual de um professor, que mediará as trocas de
conhecimentos, reflexões, dúvidas e questionamentos que venham a surgir no percurso.
Esta é uma ótima oportunidade para você desenvolver a disciplina e independência
indispensáveis ao sucesso na vida pessoal e profissional no mundo do conhecimento do
século XXI.
Neste Caderno de atividades, iremos estudar um pouco sobre as operações com
Números Reais e as relações de proporcionalidade. Os pré-requisitos para a leitura deste
módulo são as habilidades básicas referentes às quatro operações elementares e à
resolução de equações do primeiro grau.
Este documento apresenta 03 (três) Aulas. As aulas são compostas por uma
explicação base, para que você seja capaz de compreender as principais ideias relacionadas
às habilidades e competências principais do bimestre em questão, e atividades respectivas.
Leia o texto e, em seguida, resolva as Atividades propostas. As Atividades são referentes a
dois tempos de aulas. Para reforçar a aprendizagem, temos uma avaliação e uma pesquisa
sobre o assunto.
Um abraço e bom trabalho!
Equipe de Elaboração
4
Introdução ................................................................................................
03
Aula 01: Números Reais: Operações ...........................................................
Aula 02: Segmentos Proporcionais ..............................................................
Aula 03: Teorema de Tales ..........................................................................
Avaliação .....................................................................................................
Pesquisa .......................................................................................................
Referências: .................................................................................................
05
09
13
17
19
20
Sumário
5
Olá, Alunos! Nesta aula, iremos trabalhar situações-problema envolvendo as
operações com os números reais. No entanto, para conseguirmos atingir tal objetivo,
precisamos relembrar como é composto o conjunto dos números reais. Vamos lá? Observe
o diagrama abaixo:
1 ─ CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS:
O conjunto dos números reais é composto pela união entre os conjuntos estudados
até o momento (natural, inteiro, racional e irracional). Em outras definições, é apresentado
como sendo a união do conjunto dos racionais e irracionais. Vejamos o diagrama abaixo:
No conjunto dos números reais, podemos operar os elementos normalmente entre
eles, efetuando qualquer tipo de operação. Vejamos alguns exemplos:
Aula 1: Números Reais: Operações
O Conjunto dos Números reais pode
ser representado pela união entre os
conjuntos Q e I.
6
Exemplo 01:
Calcule o perímetro da figura abaixo:
Resposta:
Observe que temos números inteiros e racionas como medida da figura acima.
Sendo assim, o cálculo do perímetro não ficará exato; no entanto, será possível ser
efetuado e, se desejado, resolver o problema usando aproximação.
Sabendo que o cálculo do perímetro é feito pela soma dos lados, temos:
. Observe que só podemos operar radical com radical e número inteiro
com número inteiro. Logo, iremos juntar e . Sendo assim, o valor do
perímetro será: .
Nesse segundo exemplo, estaremos operando no conjunto dos números racionais.
Vejamos:
Exemplo 2:
Três quartos dos moradores de Chopotó da Serra bebem café regularmente. Desses, dois
quintos preferem o café “Serrano”. Que fração dos moradores da cidade prefere o café
“Serrano”? Que fração dos moradores bebe regularmente café de alguma outra marca?
Resposta:
Nesse caso, devemos trabalhar com multiplicação entre frações. Vamos começar
interpretando os dados do problema?
Como não sabemos a quantidade de moradores, vamos chamá-la de x. O problema nos
diz que 4
3 dessa x pessoas bebem café regularmente, ou seja,
4
3 x. Dentre essas pessoas,
4
3 x, temos que
5
2 preferem um tipo de café.
7
Então, o cálculo dessa quantidade exata se dá pelo produto das duas frações,
10
3
20
6
4
3
5
2 xxx
, ou seja, a fração que representa a quantidade de moradores que
bebem regularmente o café “Serrano” é de 3/10. Isso significa que, se tivermos 200
pessoas na cidade, teremos 60 pessoas que tomam café “Serrano”, observe:
6010
600
10
200 . 3
10
3x
Exemplo 03:
Um grupo possui 12 pessoas, das quais 8 são mulheres e 4 são homens. Indique que fração
representa o número de homens, considerando o total de pessoas. Faça o mesmo com o
grupo de mulheres.
Resposta:
Nesse exemplo, podemos perceber que estamos operando no conjunto dos
racionais. Deseja-se calcular a fração que representa a quantidade de homem e a
quantidade de mulher. Pela definição de frações, temos que será representada tendo a
quantidade total de pessoas como o denominador.
No caso das mulheres, teremos: ,12
8 em que 8 é a quantidade total de mulheres e
12 é o total de pessoas. Porém, esse número pode ser simplificado por 4, por exemplo,
resultando em 3
2. Observe:
3
2
412
48
.
Já no caso dos homens, teremos: 12
4, em que 4 é a quantidade total de homens e
12 é o total de pessoas. Do mesmo modo que simplificamos a quantidade de mulheres
podemos simplificar a fração 12
4, tornando-a irredutível. Observe:
3
1
412
44
.
Logo, teremos 3
2 de mulheres e
3
1 de homens.
Vamos tentar resolver alguns exercícios agora?
8
01. Do dinheiro que possuía, João gastou 1/3 com um ingresso de cinema. Do dinheiro que
restou, João gastou 1/4 comprando pipoca. Que fração do dinheiro total que João possuía
foi gasta com a pipoca? Que fração do dinheiro sobrou depois desses gastos?
02. Um grupo é formado por 10 pessoas, das quais 4 são mulheres e 6 são homens.
Indique que fração do total de pessoas o número de homens representa. Faça o mesmo
com o grupo de mulheres.
03. Em uma sala de aula, há 35 alunos. Se 1/5 dos alunos são canhotos, quantos alunos
são canhotos?
04. Uma sala em formato retangular tem medidas como expressas abaixo. Calcule sua
área.
05. Utilizando dados da questão anterior, calcule seu perímetro.
Atividade 1
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Olá, Alunos! Nesta aula, iremos trabalhar situações-problema envolvendo os
segmentos proporcionais e o Teorema de Tales. Vamos iniciar essa aula lembrando alguns
conceitos:
1 - RAZÃO ENTRE DOIS SEGMENTOS :
A razão entre dois segmentos é a razão de suas medidas, tomadas na mesma
unidade. Dados dois segmentos e , a razão entre eles é indicada por .
Exemplo 01:
Dado o segmento , calcule as razões: DB
BA e
CD
DA
Resposta:
Observe na figura acima que = 6cm, = 5cm e = 3cm. Se desejamos
calcular as razões e , basta substituir os valores. Observe:
2 ─ SEGMENTOS PROPORCIONAIS:
Dois segmentos são proporcionais a outros dois segmentos quando a razão dos dois
primeiros é igual à razão dos dois últimos. Através do exemplo abaixo, você entenderá
melhor este conceito. Observe a figura:
Aula 2: Segmentos Proporcionais
10
Os segmentos e não são proporcionais aos segmentos e , pois as
razões não são iguais:
=5
2
10
4 e =
5
4
Observe agora que os segmentos e são proporcionais aos segmentos e
:
=5
2
10
4 e =
5
2
Exemplo 02:
Calcule a altura do morro ilustrado na figura abaixo, sabendo que a altura da arvore é 25m,
a distância entre ela e o observador é de 150m e a distância do observador ao ponto A é de
450m (Observação: O olho do observador, o topo da árvore e o morro estão alinhados).
Fonte: http://respostas-aconline.blogspot.com.br/2011/10/matematica-relacoes-metricas-do.html
Resposta:
Observando a figura, podemos representar essa situação utilizando dois triângulos e
o conceito de proporcionalidade para resolver. Assim,
25 m x
150 m 450 m
11
Observe que 150m está para 450m, assim como 25m está para x. Como os
triângulos são semelhantes, podemos dizer que seus lados são proporcionais. Logo,
aplicando os conceitos utilizados no início desta aula, temos que: e são razões
iguais.
Quando temos uma igualdade de razões, temos uma proporção! Você lembra como
resolvemos problemas deste tipo? Acompanhe o cálculo abaixo e irá recordar, com
certeza!! Vamos lá!
O morro mede aproximadamente 75 metros.
01. Dados os segmentos abaixo, calcule a razão entre e :
02. Calcule a medida da base do 2º triângulo, sabendo que os segmentos são proporcionais.
Atividade 2
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03. Emmanuel estava brincando em uma pracinha que tinha uma estátua muito bonita e resolveu descobrir qual é altura dessa estátua. Para resolver essa questão, ele fez o seguinte: em um determinado horário, espetou verticalmente uma vareta de 1 m no chão, e percebeu que ela faz uma sombra que mede 20 cm. No mesmo instante, percebeu que a estátua faz uma sombra de 4 m. Com essas informações, é possível descobrir a altura da estátua? Qual seria essa altura? 04. Os quadriláteros ABCD e EFGH a seguir são semelhantes. Nessas condições, determine: a) razão de semelhança de ABCD e EFGH: b) as medidas x, y, z:
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Caro aluno, nesta aula vamos continuar estudando sobre proporcionalidade. Afinal,
você já deve ter percebido o quanto ela é importante! Vamos finalizar este caderno com o
Teorema de Tales. Você sabia que ele possui diversas aplicações no cotidiano? Sim, ele é
uma importante ferramenta da Geometria no cálculo de distâncias inacessíveis e nas
relações envolvendo semelhança entre triângulos.
Então, vamos conhecê-lo?
1─ O TEOREMA DE TALES:
O Teorema de Tales é determinado pela intersecção entre retas paralelas e
transversais, que formam segmentos proporcionais. Ele nos diz que: “Retas paralelas
cortadas por retas transversais formam segmentos proporcionais”.
Observe:
Na relação acima temos as seguintes proporções:
CB'
BC
B'A'
AB ou
C'B'
B'A'
BC
AB
A melhor forma de compreender os cálculos relacionados a este assunto é através
de exemplos. Por isso, iremos apresentar alguns exemplos que serão muito importantes
para que você consiga resolver os exercícios propostos.
Aula 3: Teorema de Tales
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Exemplo 01:
Calcule o Valor de x, sabendo que os segmentos são proporcionais.
Exemplo 02:
No terreno abaixo, estão representados os terrenos I, II e III.
Fonte: http://tempodematematica.blogspot.com.br/2013/06/teorema-de-tales-exercicios.html
Quantos metros de comprimento deverá ter o muro que o proprietário do terreno 2
construirá para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas?
Resposta:
Aplicando o Teorema de Tales, temos:
Resposta:
Sabendo que os segmentos são proporcionais,
vale a relação entre os segmentos:
x
3
4
2
Calculando, teremos:
6x
2
12x
122x
43x2
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O muro deverá ter 32 metros.
01. Maria deseja dividir um terreno entre seus filhos, conforme indicado na figura abaixo.
Sabendo que as laterais desses lotes são paralelas, determine as medidas desconhecidas,
para que Maria consiga fazer essa divisão:
02. Calcule o valor de x na proporção.
Atividade 3
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03. A figura ao lado indica três lotes de terreno com frente para a rua A e para rua B. as
divisas dos lotes são perpendiculares à rua A. As frentes dos lotes 1, 2 e 3 para a rua A,
medem, respectivamente, 15 m, 20 m e 25 m. A frente do lote 2 para a rua B mede 28 m.
Qual é a medida da frente para a rua B dos lotes 1 e 3?
04. Três terrenos têm frente para a rua A e fundos para a rua B, conforme mostra a figura.
As divisas laterais são paralelas entre si. Qual a medida de fundo de cada lote?
x + y + z = 80 m
x 50 m
y 30 m
z 20 m
z 20 m
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01. Em uma festa há 240 pessoas. Sabendo que 80 pessoas são homens, a razão de
homens nessa festa é igual a:
(A) 1/3
(B) 2/3
(C) 2/4
(D) 3/2
(E) 4/5
02. Um homem de 1,80 m de altura projeta uma sombra de 2,70 m de comprimento no
mesmo instante em que uma árvore projeta uma sombra de 9 m de comprimento. Qual é a
altura da árvore?
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 9
(E) 5
03. Durante uma campanha para arborizar o bairro Pitágoras, um projetista calculou a
distância em que deveria ser colocada cada árvore. Observe na figura abaixo como ficou o
projeto de um quarteirão desse bairro:
Se a medida AD = 84 m, determine a distância das árvores C e D:
Avaliação
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(A) 21 m
(B) 25m
(C) 28 m
(D) 32 m
(E) 35 m
04. O mapa mostra quatro estradas paralelas, que são cortadas por três vias transversais.
As medidas indicadas são dadas em km. Complete o mapa com as medidas que estão
faltando:
(A) x = 6,5 km; y = 6,5 km; z =3 0 km
(B) x = 30 km; y = 6 km; z = 35 km
(C) x = 62 km; y = 6 km; z =30 km
(D) x = 6km; y = 62,5 km; z = 30km
(E) x= 6km; y = 30 km; z = 20km
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Caro aluno, agora que já estudamos os principais assuntos relativos ao 1° bimestre, é hora de discutir um pouco sobre a importância deles na nossa vida. Então, vamos lá? Iniciamos este estudo, operando os números reais e segmentos proporcionais. Leia atentamente as questões a seguir e através de uma pesquisa responda cada uma delas de forma clara e objetiva. ATENÇÃO: Não se esqueça de identificar as Fontes de Pesquisa, ou seja, o nome dos livros e sites nos quais foram utilizados. I – Apresente alguns exemplos de situações reais nas quais podemos encontrar Segmentos proporcionais: __________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
II – A matemática está presente em muitas obras, em toda nossa vida. Um exemplo onde a
proporcionalidade está muito bem aplicada é em um quadro de “Da Vinci” chamado
“Homem Vitruviano”. Pesquise outras obras de arte onde há o emprego da
proporcionalidade.
Pesquisa
20
[1] GIOVANNI, José Ruy, 1937 – A conquista da Matemática: a + nova / José Ruy Giovanni,
Benedito Castruci, José Ruy Giovanni Júnior. - São Paulo: FTD, 2002. – (Coleção a conquista
da matemática)
[2] DANTE, Luiz Roberto, Tudo é Matemática: 9ª ano. 2ª. Edição. São Paulo: Atica, 2007.
[3] IEZZI , Gelson, 1939, Matemática e Realidade: 9ª ano / Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce,
Antonio Machado. – 5 ed. – São Paulo : Atual, 2005.
[4] ANDRINI, Álvaro, Novo, Praticando Matemática: / Álvaro Andrini, Maria José C. de V.
Zampirolo. – 1ª ed. - São Paulo: Editora do Brasil, 2004.
Referências
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COORDENADORES DO PROJETO
Diretoria de Articulação Curricular Adriana Tavares Maurício Lessa
Coordenação de Áreas do Conhecimento
Bianca Neuberger Leda Raquel Costa da Silva Nascimento
Fabiano Farias de Souza Peterson Soares da Silva
Ivete Silva de Oliveira Marília Silva
COORDENADORA DA EQUIPE
Raquel Costa da Silva Nascimento Assistente Técnico de Matemática
PROFESSORES ELABORADORES
Alan Jorge Ciqueira Gonçalves
Ângelo Veiga Torres Daniel Portinha Alves
Fabiana Marques Muniz Herivelto Nunes Paiva
Izabela de Fátima Bellini Neves Jayme Barbosa Ribeiro
Jonas da Conceição Ricardo José Cláudio Araújo do Nascimento
Reginaldo Vandré Menezes da Mota Weverton Magno Ferreira de Castro
Equipe de Elaboração
