Caderno de Atividades: GEOMETRIA ANALÍTICA

E ÁLGEBRA LINEAR

Prof. Carlos Vidigal

Profª. Érika Vidigal

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR FINALIDADE: Aplicar e desenvolver o raciocínio analítico na resolução de problemas da Geometria Analítica; Conhecer a Geometria Analítica no espaço através dos vetores no R2 e R3 e estabelecer as relações com a Geometria Analítica no plano; Fortalecer o relacionamento da Geometria Analítica com as outras disciplinas afins; e adquirir uma nova visão da matemática através do estudo dos vetores e resolução de exercícios. EMENTA: Coordenadas no plano e no espaço: vetores; produto interno e ângulos; distância; desigualdade triangular; produto vetorial; produto misto. Cálculo de área e volume através de produto vetorial e misto. Retas e planos: equações cartesianas e paramétricas; posições relativas; distância e ângulos. Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares.

Bibliografia Básica

[1] STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra linear. 2. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 2008. [2] STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 2006. [3] WINTERLE, Paulo. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2008.

Bibliografia Complementar

- BOULOS, P.; CAMARGO, I. Introdução à geometria analítica no espaço. São Paulo: Makron Books do Brasil, 1997. - CAMARGO, Ivan de; BOULOS, Paulo. Geometria analítica: um tratamento vetorial. 3. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2008 - CAROLI, Alésio de; CALLIOLI, Carlos A.; FEITOSA, Miguel O. Matrizes vetores geometria analítica: teoria e exercícios. São Paulo: Nobel, 1984. - NICHOLSON, W. K. Álgebra linear. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2006. - POOLE, David. Álgebra linear. São Paulo: Thomson, 2004.

Este símbolo sugere uma

Leitura Obrigatória do livro texto.

Este símbolo indica uma série de Exercícios Sugeridos do livro

texto.

MATRIZES

Considere uma tabela de números dispostos em linhas e colunas mas colocados entre parênteses ou

colchetes:

Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são numeradas de cima para baixo e as

colunas, da esquerda para direita:

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n.

Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3.

Veja mais alguns exemplos:

8

1

6

3

7

2: matriz de ordem 2 x 3 (2 linhas e 3 colunas)

314 : matriz de ordem 1 x 3 (1 linha e 3 colunas)

5

3

4,0

: matriz de ordem 2 x 1 (2 linhas e 1 coluna)

As matrizes são nomeadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas

por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.

Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

...

...

...

...

n

n

n

m m m mn

a a a a

a a a a

A a a a a

a a a a

ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento

ocupa. Por exemplo, a23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.

[1] pág 369 a 392

Na matriz

1 6

2 5

3 4

B

temos, por exemplo, b12 = 6 e b32 = 4.

Algumas matrizes são constituídas por elementos cujos valores dependem da sua posição na matriz, isto

é, da linha e da coluna em que se encontra. Por exemplo, a matriz A=v(aij)2x3, em que aij = 2i – 3j é a matriz

1 4 7

1 2 5A

Tipos de Matrizes

Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais.

Matriz linha:

Matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz 1 2 3 4A é do tipo 1 x

4.

Matriz coluna:

Matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo, a matriz

1

2

3

B

é do tipo 3 x 1.

Matriz quadrada:

Matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas. Neste caso, dizemos que a matriz

é de ordem n. Por exemplo, a matriz 1 2

3 4C

é de ordem 2.

OBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTE!!!!

Uma matriz A é representada colocando-se seus elementos entre parênteses ou entre

colchetes. NUNCA utilize barras no lugar dos parênteses ou dos colchetes .

1 4 7

1 2 5A

ou

1 4 7

1 2 5A

Matriz nula:

Matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0m x n. Por exemplo, 3 2

0 0

0 0 0

0 0

x

. Matriz triangular:

Matriz quadrada que possui todos os elementos nulos, acima ou abaixo da diagonal principal.

382

015

001

A

000

710

361

B

(Triangular Inferior) (Triangular Superior)

Matriz diagonal:

Matriz quadrada em que todos os elementos que NÃO estão na diagonal principal são nulos. Por

exemplo:

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária:

A principal é formada pelos elementos aij tais que i = j.

Na secundária, temos i + j = n + 1.

Exemplo:

OBSERVAÇÃO: AS DIAGONAIS SÃO CARACTERÍSTICAS PRÓPRIAS DE MATRIZES QUADRADAS!

Matriz identidade:

Matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são

nulos.

Representamos as matrizes identidades por In, onde n é a ordem da matriz. Por exemplo:

4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

I

Matriz transposta

A matriz transposta de A, denotada por At, é a matriz obtida a partir da matriz A trocando-se

ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:

Note que, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m. Além disso, a 1ª linha de A corresponde à 1ª

coluna de At , a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de At, e assim sucessivamente.

Igualdade de matrizes

Duas matrizes, A e B, são iguais se, e somente se,

I. Possuírem a mesma ordem m x n e II. Todos os elementos que ocuparem a mesma posição forem iguais.

Adição e Subtração de matrizes

A soma (subtração) da matriz A com a matriz B de mesma ordem é uma outra matriz C de mesma ordem cujos elementos é igual à soma (subtração) dos elementos correspondentes das matrizes A e B.

1 4 2 3 3 7

2 3 1 5 1 2

1 4 5 1 1 0 0 3 5

2 3 6 2 5 1 4 2 7

Note que para que seja possível a soma (subtração) de duas ou mais matrizes, necessariamente, as

matrizes devem possuir a mesma ordem.

Propriedades:

Sejam A, B, C e O (nula) do mesmo tipo. São válidas as propriedades:

a) comutativa: A+B=B+A;

b) associativa: (A+B)+C=A+(B+C);

c) elemento neutro: A+O=A;

d) elemento oposto: A+ (– A)=O;

e) transposta da soma: (A+B)T=AT+BT.

Multiplicação de um número (escalar) por uma Matriz

Dados um número real k e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por k.

1 0 6 3 0 183

2 1 3 6 3 9

Propriedades:

Sejam A, B, C, O (matriz nula) matrizes de mesmo tipo e k e m números reais não nulo, valem as

propriedades a) 1.A = A b) (-1).A = -A c) k.O = O d) 0.A = O e) k.(A + B) = k.A + k.B f) (k + m).B = k.B + m.B g) k.(m.A) = (k.m).A

Multiplicação de Matrizes

O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n é a matriz C = (cij) m x n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha i de A pelos elementos da coluna j de B.

Note que:

1) o produto existirá se o número de colunas de uma matriz for igual ao número de linhas da outra matriz.

Além disso, a matriz resultado terá a quantidade de linhas da primeira e a quantidade de colunas da

segunda.

2) se existe o produto A.B, não implica, necessariamente, na existência de B.A.

3) a propriedade comutativa não é válida.

4) se A e B são matrizes tais que AB = 0 (matriz nula), não podemos garantir que uma delas (A ou B) seja

nula. Verifique isso com as matrizes

11

11A e

11

11B .

5) Diferentemente da álgebra dos números reais em que a.b = a.c b = c, para as matrizes a lei do

cancelamento não é válida. Verifique com as matrizes

041

011

021

A ,

222

111

321

B e

111

111

321

C que A.B = AC apesar de B ≠ C.

Propriedades

Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades:

a) associativa: (A.B).C = A.(B.C)

b) distributiva em relação à adição: A.(B + C ) = A.B + A.C ou (A + B).C = A.C + B.C

c) elemento neutro: A.In = In.A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n

Matriz Inversa - Parte I

Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se inversível, ou não singular, se e somente se, existir uma matriz que indicamos por A-1, tal que

A.A-1=A-1.A=In.

EXERCÍCIOS

1. Escreva os elementos da matriz A = (aij)4x2 , definida por

jiseji

jisejiaij

,

, .

2. Construa a matriz quadrada A de ordem 3, definida por:

jij

jiaij

se 1i

se 2

2

ji

.

3. Sendo A = (aij)1x3 tal que jiaij 2 e B = (bij)1x3 tal que 1 jibij , calcule A+B .

4. Sabendo que

11

02

10

21NeM , calcule MN - NM .

5. Dada a matriz

100

001

012

A , calcule A2.

6. Sendo A =

43

21e B =

21

02, mostre que TTT

ABBA .. .

7. Sendo

534

201

321

M ,

100

010

001

N e

023

102

110

P , calcule:

a) N – P + M b) 2M – 3N – P c) N – 2(M – P)

8. Dadas as matrizes

a

aA

0

0 e

1

1

b

bB , determine a e b, de modo que AB = I, em que I é a matriz

identidade.

9. Considere as seguintes matrizes:

45

100

734 xx

A ,

22

05

43

B ,

11

1

x

xxC e

41

510

100

D .

Determine o valor de x para que se tenha: A + BC = D .

10. Sabendo que as matrizes abaixo comutam,

2a

aa e

33

30, determine o valor de a.

11. Se A e B são matrizes tais que:

x

A 1

2

e

1

2

1

B , então para qual valor de x a matriz B.AY t será

nula?

12. O produto M.N da matriz

1

1

1

M pela matriz 111N ;

a) não se define. b) É a matriz identidade de ordem 3 c) É uma matriz de uma linha e uma coluna. d) É uma matriz quadrada de ordem 3. e) Não é uma matriz quadrada.

13. Considere as matrizes:

ijaA , 4 x 7 onde jiaij

ijbB , 7 x 9 onde ibij

ijcC , tal que C = AB.

O elemento 63C :

a) é -112. b) é -18. c) é -9. d) é 112. e) não existe.

14. Dadas as matrizes

31

02A e

132

12B , então a matriz -2AB é igual a:

714

28 b)

714

28 c)

714

28 d)

714

28 e)

714

28

15. A é uma matriz m x n e B é uma matriz m x p. A afirmação falsa é:

a) A + B existe se, e somente se, n = p.

b) tAA implica m = n c) A.B existe se, e somente se, n = p

d) tB.A existe se, e somente se, n = p.

e) B.At sempre existe.

16. Efetue:

a)

2

3

41

35 b)

3

0

2

531 c)

30

12

41

25

17. Dada a matriz

210

432

011

A , obtenha a matriz X tal que tAAX .

18. Numa fábrica de manipulação, para fazer dois tipos de medicamentos (I e II), o farmacêutico precisa das substâncias A, B e C, expressa na tabela abaixo, em gramas:

As substâncias podem ser compradas em dois fornecedores: F1 e F2. O custo por grama das substâncias em cada fornecedor, está expresso em reais na tabela seguinte:

Após construir a matriz cujos elementos indicam o preço de custo dos medicamentos por fornecedor, calcule os valores das despesas se a compra for toda feita no mesmo fornecedor.

19. Um proprietário de dois restaurantes deseja contabilizar o consumo dos seguintes produtos: arroz, carne, cerveja e feijão. No 1° restaurante são consumidos, por semana, 25 kg de arroz, 50 kg de carne, 200 garrafas de cerveja e 20 kg de feijão. No 2° restaurante são consumidos, semanalmente, 28 kg de arroz, 60 kg de carne, 150 garrafas de cerveja e 22 kg de feijão. Existem dois fornecedores, cujos preços, em reais, destes itens são:

A partir destas informações: a) Construa uma matriz 2x4 que descreva o consumo desses produtos pelo proprietário no 1° e no 2° restaurantes, e uma matriz 4x2 que descreva os preços dos produtos nos dois fornecedores; b) Calcule o produto das duas matrizes anteriores, de modo que este represente o gasto semanal de cada restaurante com cada fornecedor e determine o lucro semanal que o proprietário terá comprando sempre no fornecedor mais barato, para os dois restaurantes. RESPOSTAS:

1)

2

1

4

3

3

2

1

2

2)

789

3234

1681

3) 222 4)

20

22

5)

100

012

023

7) a)

65-7

3-11

232

b)

78-11

5-3-0

551-

c)

9-10-14-

612-

4-6-1-

8) a = 1 e b = 0 9) x = 2 10) a = 1 11) x = - 4

12) D 13) E 14) E 15) C

16) a)

11

21 b) [17] c)

132

110 17)

450

561

012

X

18) F1: R$ 790; F2: R$ 830 19) R$ 164

DETERMINANTES

1) Calcule: 22

13

42

x

10:. R

2) Resolva a equação: 3 2

01 5

x

x

R.: 17

3S

3) Resolva a equação: 011

53

x

x

R.: 4, 2S

[1] pág 423 a 461

4) Sendo

12

31

20

31BeA , calcule:

a) det(A+B).

R.: -6

b) det(A.B).

R.: -10

5) Calcule o determinante da matriz

341

025

132

A

R.: det A = 15

6) Resolva a equação 0

423

121

53

x

x

R.: 4

23x

7) Dada as matrizes

121

32

011

93

2xBe

xA , determine x para que det A = det B

R.: 2

13x

8) Resolva a equação 0

44

4

x

xx

xxx

R.: 40,S

9) Seja M = (mij) a matriz quadrada de ordem 3, em que:

jise,ji

jise,ji

jise,

mij

0

. Ache o valor do

determinante de M.

R.: 48

10)Calcule o determinante da matriz P2 , em que P é a matriz

220

112

112

P

R.: 64

11)Calcule o determinante da matriz A utilizando a definição de Laplace:

a)

301

430

112

A

R.: det A = 11

b)

126

540

312

A

R.: det A = -74

Calcule o determinante a seguir, desenvolvendo-o segundo os elementos da 1ª linha.

1231

1251

4134

1312

R.: -180

Calcule o determinante a seguir, desenvolvendo-o segundo os elementos da 1ª linha.

6230

1251

3124

0132

R.: 13

Calcule os determinantes usando triangulação:

R.: 15

341

025

132

A

R.:11

R.: -36

301

430

112

B

114

321

121

C

R.: -180

Verifique se existe e, em caso afirmativo, determine a matriz inversa de A =

32

85.

A-1 =

52

83

1231

1251

4134

1312

D

Determine a inversa das matrizes:

a)

01

43A

R.:

4

3

4

110

b)

121

131

231

B

R.:

011

110

311

121

432

211

C

137

012

25111C

110

211

321

D

R.: Não existe1D

Aplicação

Uma maneira de codificar uma mensagem é através da multiplicação matricial.

Vamos associar as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo:

A B C D E F G H I J K L M

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

N O P Q R S T U V W X Y Z

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Suponhamos que a nossa mensagem seja “PUXA VIDA”. Podemos formar uma matriz 33

assim:

ADI

VA

XUP

, que usando a correspondência numérica fica: M =

149

2201

242116

Agora seja C uma matriz qualquer 33 inversível, por exemplo: C =

102

212

011

Multiplicando nossa matriz da mensagem M por C, obtemos

7133

22145

183722

CM

Transmitimos esta nova matriz CM . Quem recebe a mensagem, decodifica-a através da

multiplicação pela inversa de C, isto é, fazendo 1 CCM e posterior transcrição dos

números para letras. C é chamada de matriz chave para o código.

Com base nessas informações, supondo que você tenha recebido a matriz

17172

303510

333411

CM , traduza a mensagem.

Exercícios Complementares

1) Dadas as matrizes

12

01A e

31

20B , calcule:

a) det (A²)

b) det (B²)

c) det (A² + B²)

R.: a) 1 b) 4 c) 18

2) Determine a solução da equação 02

83

x

x R.: {-2,2}

3) Sendo

31

21A e

12

10B , dê o valor de:

a) det (A). det(B)

b) det (A.B)

R.: a) -10 b) -10

4) Seja a matriz A = (aij) de ordem 3, tal que:

ji se 1

e ji se ,

ji se 1,

ij Rkka . Calcule k, de modo que o

determinante da matriz A seja nulo. R.: k = 0

5) (UFPR) Considere as matrizes

xzy

xyz

zyx

A e

xzyz

zxyxB e

42

64C . Sabendo que

a matriz B é igual à matriz C. Calcule o determinante da matriz A.

R.: 72

6) Calcule o determinante da matriz M = (AB). C, sendo

3

2

1

A , 532B e

413

012

201

C .

R.: zero

7) Calcule o determinante da matriz A =

6230

1251

3124

0132

, utilizando o método da triangulação.

R.: 13

8) Calcule o determinante da matriz

0412

5632

3221

1111

, utilizando o Teorema de Laplace.:

R.: -3

9) (UEL – PR) A soma dos determinantes ab

ba

ab

ba é igual a zero

a) quaisquer que sejam os valores reais de a e de b.

b) se e somente se a = b.

c) se e somente se a = - b. R.: a)

d) se e somente se a = 0.

e) se e somente se a = b = 1.

10) (Mack – SP) A solução da equação 0

02/13/2

51

321

x

a) 1 b) 58 c) -58 d) 9

67 e) 2

R.: d)

11) Sendo A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 2 e aij = j – i², o determinante da matriz A é:

a) 0 b) 11 c) 2 d) 3 e) 4

R.: d)

12) A matriz

1

1

x

x, na qual x é um número real, é inversível se, e somente se:

a) 0x b) 1x c)2

1x d)

2

1 e

2

1 xx e) 1 e 1 xx

R.: e)

[1] pág.: 461 (1 a 22) pág.: 499 (1 a 20)

SISTEMAS LINEARES

1) Expresse matricialmente os sistemas:

a)

03

52

yx

yx

b)

253

0

12

cba

ca

cba

2) A expressão matricial de um sistema S é:

7

4

13

52

b

a. . Determine as equações de S.

3) Resolver o sistema

25

72

yx

yx.

R.: 13 ,S

[1] pág 505 a 515

4) Resolver o sistema

2

5

yx

yx.

R.: S

5) Resolver o sistema

1

10543

02

321

321

321

xxx

xxx

xxx

.

R.: 012 ,,S

6) Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas homogêneos.

a)

086

043

21

21

xx

xx

R.: SPI

b)

03

0422

0

zyx

zyx

zyx

R.: SPI

c)

04

03

02

yx

zyx

zyx

R.: SPD

7) Determine a e b para que o sistema

byx

ayx

44

126seja indeterminado.

R.: a = 6 e b = 8

8) Calcule os valores de a para que o sistema

04

123

yax

yx seja compatível e determinado.

R.: 6a

9) Dê os valores de a para que o sistema

542

2

zyax

azyx

azy

seja compatível e determinado.

R.: 1 e 4 aa/Ra

10) Dê o valor de a para que o sistema

054

02

02

azyx

azyx

yax

seja impossível.

R.: 1ou 4 aa

11) Determine o valor de k para que o sistema

kxy

zx

yz

332

224

143

seja indeterminado.

R.: k = 5

12) Ache m para que o sistema

023

054

032

zmyx

zyx

zyx

tenha soluções próprias.

R.: 13

3m

Escalonamento de Sistemas Lineares

1) Resolva os sistemas:

a)

105

024

623

z

zy

zyx

S={(-2,1,2)}

b)

90

325

642

1329

w

wz

wzy

wzyx

S =

c)

063

0

zy

zyx

Solução geral: (-3k, 2k, k).

d)

132

22

tz

tzyx

Solução geral:

,,,

2

31

4

352

2) Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaixo:

a)

02

833

132

zy

zyx

zyx

R.: Sistema possível e determinado, com S = {(1,-1,2)}

b)

5232

2

zyx

zyx

R.: Sistema possível e indeterminado, com S = {(1+5k, 1-4k, k)}

c)

032

3

zyx

zyx

R.: Sistema possível e indeterminado, com S = {(9-2k, k-6, k)}

Aplicações

1. As quantidades dos produtos que Elaine, Pedro e Carla compraram num mercado estão esquematizadas na tabela a seguir:

Produto A Produto

B Produto C

Elaine 1 2 2

Pedro 3 3 2

Carla 2 3 1

Sabendo que Elaine gastou R$ 33,00, Pedro gastou R$ 49,00 e Carla gastou R$ 36,00, quanto custou o produto C?

R.: R$ 8,00

2) Ruth vende, em reais, sacolas descartáveis dos tipos I, II e III, a preços de x, y e z, respectivamente. Os resultados de suas vendas, ao longo de três dias consecutivos, estão representados na tabela a seguir.

Com base nessa tabela, o valor de x + y + z é igual a:

a) R$ 30,00

b) R$ 25,00

c) R$ 20,00

d) R$ 15,00

e) R$ 10,00

Exercícios Complementares

1) Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer.

432

52

yx

yx R.: {(1,2)}

93

143

yx

yx R.: {(3,2)}

2) Calcule os valores de x, y e z nos sistemas:

3233

932

22

zyx

zyx

zyx

R.: {(1,2,3)}

03

05

010

zy

zx

yx

R.: {(6,4,1)}

3) Resolva as equações matriciais:

13

9

31

12

y

x. R.:

5

2

8

2

2

115

632

741

z

y

x

. R.:

1

2

1

4) Determinar m, de modo que o sistema

4

0

2

zyx

zmyx

yx

seja impossível. R.: m = -1

5) Qual o valor de p para que o sistema

2

0

4

yx

zpyx

zypx

admita uma solução única?

R.: 1 p/Rp

6) Para quais valores de k o sistema linear

2

323

1

kzy

zyx

zyx

é possível e determinado?

R.:

4

1k/Rk

7) Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaixo:

a)

02

833

132

zy

zyx

zyx

R.: Sistema possível e determinado, com S = {(1,-1,2)}

b)

5232

2

zyx

zyx R.: Sistema possível e indeterminado, com S = {(1+5k, 1-

4k, k)}

c)

032

3

zyx

zyx R.: Sistema possível e indeterminado, com S = {(9-2k, k-6, k)}

d)

14633

10422

52

zyx

zyx

zyx

R.: Sistema impossível S

8) Um agricultor plantou três diferentes culturas, cobrindo uma área total de 80 hectares (ha). Para

isso, ele usou 2.800 kg do adubo A e 3.500 kg do adubo B, conforme mostrado neste quadro:

Adubo A

(kg/ha)

Adubo B

(kg/ha)

Cultura I 20 30

Cultura II 30 10

Cultura III 40 60

Por hectare plantado, as culturas I, II e III deram um lucro de, respectivamente, R$ 200,00,

R$ 100,00 e R$ 400,00. Com base nesses dados, CALCULE o lucro total do agricultor.

R.:R$ 24.000,0

9) Matias quis saber quantos quilogramas tinha seu gato, sue cachorro e ele próprio, mas dispunha de uma balança que só era confiável para cargas com mais de 50 kg. Então:

- subiu na balança com o cachorro, sem o gato – ela registrou 95 kg;

- subiu, em seguida, com o gato, sem o cachorro – a balança acusou 54 kg;

- por último, ele colocou o cachorro e o gato na balança – ela marcou 51 kg.

Quantos quilogramas tem cada um?

R.: 49, 46,5

10) Um jogador de basquete fez o seguinte acordo com o seu clube: cada vez que ele convertesse um arremesso, receberia R$10,00 do clube e, caso errasse, pagaria R$5,00 ao clube. Ao final de uma partida em que arremessou 20 vezes, recebeu a quantia de R$50,00. Quantos arremessos ele acertou?

R.: 10 arremessos

11) Uma loja de departamentos, para vender um televisor, um DVD e um aparelho de som, propôs a seguinte oferta: o televisor e o DVD juntos custam R$1200,00; o DVD e o som juntos custam R$1100,00 e o televisor com o som custam juntos R$1500,00. Quanto pagará um cliente que comprar os três produtos?

R.: R$1900,00

12) Uma loja vende produtos como os listados na tabela e seus preços. Sabendo que qualquer mochila custa R$20,00, calcule o preço pago por um par de meias e um conjunto de roupas íntimas.

R.: R$ 25,00

PRODUTO

Preço(R$) Mochila

Par de Meias

Conj.

Roupas íntimas

Camisa Jeans

Tipo 1 2 2 4 2 250,00

Tipo 2 2 2 3 1 180,00

Tipo 3 3 3 5 3 345,00

Tipo 4 2 2 2 1 160,00

13) No estacionamento de um shopping há 80 veículos, entre carros e motos. Sabe-se também que o número de rodas é igual a 260. Determine o número de carros e motos.

R.: 50 carros e 30 motos

Não se esqueça de estudar o livro texto!!!

[1] pág.: 576 (1 a 23)

PONTOS EM R2 E R3

Admita dois eixos, x e y, perpendiculares entre si em O. Esses dois eixos dividem o plano em quatro

regiões, denominadas quadrantes. Em cada uma dessas regiões, podemos representar infinitos pontos,

expressos por meio de pares ordenados p px ,y , em que

px é a abscissa do ponto e

py é sua ordenada. Para

representarmos esse ponto no plano cartesiano, devemos proceder da seguinte forma:

sobre o eixo das abscissas, x, localizamos p

x ;

por este ponto, passamos uma linha tracejada, paralela ao eixo das ordenadas, y;

da mesma forma, em y, identificamos p

y , por onde passamos uma nova linha tracejada, agora paralela

ao eixo x;

o ponto de encontro dessas duas linhas tracejadas é o ponto P p px ,y .

Veja essa construção, na figura 1, a seguir:

Devemos saber, ainda, que o ponto O é chamado de origem do plano, tem coordenadas (0,0) e divide cada um

dos eixos x e y, em dois semi-eixos. À esquerda da origem, temos o semi-eixo negativo das abscissas; à direita,

o semi-eixo positivo das abscissas. Abaixo da origem, temos o semi-eixo negativo das ordenadas, acima dela,

temos o semi-eixo positivo das ordenadas. E cada parte é chamada de quadrante.

Veja essa construção, na figura 2, a seguir:

Posição de um ponto no plano

Como vimos, os eixos x e y dividem o plano em quatro quadrantes e os pontos P p px ,y localizam-se neste

plano, de acordo com os valores de p

x e p

y , da seguinte forma:

se p

x 0 e p

y 0 , então P pertence ao 1º quadrante;

se p

x 0 e p

y 0 , então P pertence ao 2º quadrante;

se p

x 0 e p

y 0 , então P pertence ao 3º quadrante;

se p

x 0 e p

y 0 , então P pertence ao 4º quadrante;

se p

y 0 , então P pertence ao eixo das abscissas. P px ,0 , com

px ;

se p

x 0 , então P pertence ao eixo das ordenadas. P p0,y , com

py .

Se um ponto pertence a um dos eixos coordenados, então ele pertence, simultaneamente, a dois

quadrantes. A origem (0,0), por exemplo, pertence aos quatro quadrantes.

Distância entre dois pontos do plano

Dados os pontos A A Ax ,y e B B

B x ,y :

Se AB // Ox, temos: AB B A

d x x .

Se AB // Oy, temos: AB B A

d y y

Se AB não é paralelo a Ox, nem a Oy. Note que o triângulo ABC é retângulo:

Então, utilizando o Teorema de Pitágoras, temos:

2 22 2 2

AB AC BC AB B A B Ad d d d x x y y

O espaço tridimensional

Assim como usamos um sistema de eixos coordenados para realizar representações no plano, também o

fazemos para representar sólidos e objetos.

Definição:

O conjunto de todas as triplas ordenadas de números reais é chamado de espaço tridimensional, sendo

denotado por 3 . Cada tripla ordenada , ,x y z é chamada de um ponto no espaço tridimensional.

Desta forma do plano para o espaço há o acréscimo do eixo z.

Para marcarmos um ponto no espaço, fazemos o seguinte procedimento, vamos usar o seguinte ponto como

exemplo (3, 2,4)A :

1ª) marca-se o ponto '(3, 2,0)A no plano xy.

2ª) desloca-se A’ paralelamente ao eixo z, 4 unidades para cima (se fosse -4 seriam 4 unidades para baixo)

para obtermos o pontos A.

A

B

y

xA

yA

xB

yB

C

x

Os planos coordenados em um sistema de coordenadas tridimensional dividem o espaço tridimensional

em oito partes, chamadas de octantes. O conjunto de pontos com as três coordenadas positivas forma o

primeiro octante, os demais não têm uma enumeração padrão.

Fonte: Winterle (2000).

Visualização:

Fonte: Winterle (2000).

Região Descrição

Plano xy (x, y, 0)

Plano xz (x, 0, z)

Plano yz (0, y, z)

Eixo x (x, 0, 0)

Eixo y (0, y, 0)

Eixo z (0, 0, z)

Z

Y

X

O

1º

2

º

3

º

4

º

5º

6º 8º

Sistemas de coordenadas retangulares no espaço

Representem no espaço tridimensional os pontos, faça cada exemplo em um espaço tridimensional:

x

y

z

x

y

z

A (2, 0, 0)

B (2, 4, 0)

C (0, 4, 0)

D (0, 4, 3)

E (0, 0, 3)

F (2, 0, 3)

G (2, 4, 3)

H (0, 0, 0)

Exemplo 1

A (0, 1, 0)

B (4, 1, 0)

C (4, 6, 0)

D (0, 6, 0)

E (4, 1, -2)

F (4, 6, -2)

G (0, 6, -2)

H (0, 1, -2)

Exemplo 2

x

y

z

A

B

C

D

E

F

G

H

Determine as coordenadas dos pontos:

Exemplo 4

A (3, 0, 4)

B (3, 5, 4)

C (0, 5, 4)

D (0, 0, 4)

E (3, 0, 0)

F (3, 5, 0)

G (0, 5, 0)

H (0, 0, 0)

Exemplo 3

Referencial

3,0,0 3,0,5

3,4,0 3,4,5

0,4,0 0,4,5

0,0,0 0,0,5

A E

B F

C G

D H

Cálculo da distância entre dois pontos no espaço

Para o cálculo da distância entre dois pontos no espaço, o procedimento é o mesmo já utilizado no plano, apenas

com o acréscimo da variável z, referente ao eixo das cotas no estudo. A distância entre os pontos 1 1 1, ,A x y z e

2 2 2, ,B x y z é:

2 2 2

AB B A B A B Ad x x y y z z

Calcule a distância entre os pontos A 0, 1, 3 e B 4, 2, 3 .

2 2 2

AB

AB

AB

d 4 0 2 1 3 3

d 9 16

d 5

Determine o ponto (P) pertencente ao plano xOz, cuja cota é o dobro da abscissa, que dista 5 unidades de

distância do ponto A 1, 3, 2 .

Dados:

,0, ,0,2

2

5AP

P x z P x x

z x

d

2 2 25 x 1 0 3 2x 2

5 x² 2x 1 9 4x² 8x 4

x² 2x 1 9 4x² 8x 4 25

5x² 10x 11 0

Δ 320

10 320 10 17,8x

10 10

10 17,8x ' 0,78

10

10 17,8x " 2,78

10

Exemplo

Exemplo

Desta forma o ponto P pode ser representado por:

' 0,78 0,78;0;1,56

" 2,78 2,78;0;5,56

x P

x P

Fórmula do ponto médio

O ponto médio do segmento de 1 1 1, ,A x y z e 2 2 2, ,B x y z é:

1 2 1 2 1 2, , ,2 2 2

x x y y z zPM

Encontre o ponto médio do segmento AG, do exemplo 5.

3 0 0 4 0 5 3 5, , , 2,

2 2 2 2 2AGPM

EXERCíCIOS

1) Calcule a distância do ponto 3, 4, 2A :

a) ao plano xy

b) ao plano xz

c) ao plano yz

d) ao eixo x

e) ao eixo y

f) ao eixo z

2) A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de

medidas 1, 2 e 3. Determinar as coordenadas dos vértices deste sólido, sabendo que 2, 1, 2A :

Exemplo

3) Nas figuras a seguir, determine as coordenadas dos oito cantos da caixa:

4) Um cubo de lado 4 unidades tem seu centro geométrico na origem e suas faces paralelas aos planos

coordenados. Esboce o cubo e dê as coordenadas dos oito cantos.

5) Quais são as projeções do ponto (2,3,5) nos planos xy, yz e xz? Desenhe uma caixa retangular que tenha

vértices opostos na origem e em (2,3,5)e com faces paralelas aos planos coordenados. Nomeie todos os

vértices da caixa. Determine o comprimento da diagonal dessa caixa.

6) Mostre que o triângulo com vértices em 2,4,0 , 1,2, 1 e 1,1,2P Q R é um triângulo eqüilátero.

7) Encontre o comprimento dos lados do triângulo com vértices (1,2, 3), (3,4, 2) A B e (3, 2,1)C . O triângulo

ABC é retângulo? È isósceles?

8) A figura abaixo mostra um paralelepípedo onde as dimensões das arestas estão indicadas na figura. No

centro da face EFGH deste paralelepípedo está a origem (0,0,0) de um sistema de eixos cartesianos xyz, que

são paralelos às arestas do sólido. Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F, G e H localizados nos

vértices do paralelepípedo.

9) Determine o valor de a, para que o triângulo ABC seja retângulo em A. Para tanto, considere A 0, 1, 3 ,

B 1, a, 2 e C 1, 0, 1 .

RESPOSTAS

1)

)2

)4

)3

) 20

) 13

)5

a

b

c

d

e

f

2)

2, 1,2 3, 1,5

2, 3,2 2, 1,5

3, 3,2 2, 3,5

3, 1,2 3, 3,5

A E

B F

C G

D H

3)

a)

0,0,0 3,0,4

3,0,0 3,5,4

3,5,0 0,5,4

0,5,0 0,0,4

A E

B F

C G

D H

b)

0,1,0 4,1, 2

0,6,0 4,6, 2

4,1,0 0,6, 2

4,6,0 0,1, 2

A E

B F

C G

D H

4)

2, 2,2 2,2, 2

2, 2, 2 2,2,2

2,2,2 2, 2,2

2,2, 2 2, 2, 2

A E

B F

C G

D H

6) A distância entre cada lado é 14 , portanto o

triângulo é eqüilátero.

7) 3; 6 e 45AB AC BCd d d

² ² ²

( 45)² 6² 3²

45 45

BC AC ABd d d

O triângulo é retângulo, provado através

do teorema de Pitágoras.

8)

2, 5, 5 2, 5,0

2,5, 5 2,5,0

2,5, 5 2,5,0

2, 5, 5 2, 5,0

A E

B F

C G

D H

9)Se o triângulo ABC é retângulo em A, então, o lado BC é a hipotenusa do triângulo, e AB e AC são os seus

catetos. Então, temos:

2 2 2

BC AB AC

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

Por  Pítagoras : d d d

2 a 1 1 a 1 1 1 1 2

5 a 1 a 2a 1 1 1 1 4

0 4 2a

2a 4 a 2

Plano xy: (2,3,0)

Plano yz: (0,3,5)

Plano xz: (2,0,5)

Diagonal: 38

Vetores: Tratamento Geométrico

1) A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho).

Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:

2) Com base na figura, determinar os vetores abaixo, expressando-os

com origem no ponto A:

AKAC)d

DCAC)c

BDAB)b

CNAC)a

OEAO)h

ANAK)g

BLAM)f

EOAC)e

PBBNBL)l

NFPNLP)k

CBBC)j

NPMO)i

3) Dados os vetores , , , e , abaixo representado, obtenha graficamente os vetores e

.

a) = + + b) = 2 - +

Capítulo 1:

Vetores

- Págs.: 14 a 17 ( 1,2,3,4,5,12)

EDDE)e

MCBL)d

OPBC)c

PHAM)b

OFAB)a

FG//AJ)j

LD//JO)i

HI//AC)h

FIKN)g

MGAO)f

AMPN)o

NBPN)n

ECPE)m

BLAM)l

EGAB)k

|BL||AM|)t

NP2AO)s

|AC||AJ|)r

MFIF)q

|FP||AC|)p

VETORES - TRATAMENTO ALGÉBRICO

1) Esboce os vetores com seus pontos iniciais na origem:

a) 5, 2,2

b) 2 3 4i j k

c) 3, 4, 1

d) 2 5 5i j k

2) Determine as componentes do vetor e esboce um vetor equivalente com seu ponto inicial na origem:

3) Determine o módulo de v :

a) 2, 1v

b) 7v i j

c) 3, 1,5v

d) 2 3i j k

4) Determine os vetores unitários que satisfazem as condições dadas:

a) mesma direção e sentido que 4i j

b) sentido oposto a 6 4 2i j k

c) mesma direção e sentido que o vetor do ponto 1,0,2A até o ponto 3,1,1B

5) Dado o vetor 2, 1, 3v , determinar o vetor paralelo a v que tenha:

a) sentido contrário ao de v e três vezes o módulo de v ;

b) o mesmo sentido de v e módulo 4;

c) sentido contrário ao de v e módulo 5;

6) Determinar o valor de n para que o vetor 1 3

, ,2 4

v n

seja unitário.

7) Dados os pontos (1,0, 1), 4,2,1 e 1,2,0A B C , determinar o valor de m para que 7v , sendo

.v m AC BC .

8) Diz se que um vetor w é uma combinação linear dos vetores 1v e 2v se w puder ser expresso como

1 21 2w c v c v onde 1c e 2c são escalares:

a) Determine os valores dos escalares 1c e 2c para expressar o vetor 4 j como combinação linear dos

vetores 1 2v i j e 2 4 2v i j .

b) Mostre que o vetor 3,5 não pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores 1 1, 3v e

2 2,6v .

9) Efetue as operações indicadas com os vetores 3 , 2 e 3u i k v i j k w j :

a) w v

b) 6 4u w

c) 2v w

d) 4 3u v

e) 8 2v w u

f) 3w v w

10) Dados os pontos A(-1, 2,0), B(3, -1,1) e C(-2, 4, 0), determinar o ponto D de modo que ABCD2

1

11) Sendo A(-2, 4) e B(4,1) extremidades de um segmento, determinar os pontos F e G que dividem AB em

três segmentos de mesmo comprimento.

12) Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo ABCD, sendo dados A(3, -2, 4), B(5, 1, -3) e C(0, 1, 2).

Exemplo 4

13) Seja o triângulo de vértices A(4, -1, -2), B(2, 5, -6) e C(1, -1, -2). Calcular o comprimento da mediana do

triângulo relativa ao lado AB.

14) Determine o valor de "m" se o módulo do vetor v = (2m+2, m-1, 2m - 7) se |v | = 13.

15) Sabe-se que o vetor (3, 6, -7) é paralelo ao vetor (3x, y + 2, 21). Calcule os valores de x e y.

RESPOSTAS

1)

2)

3)

a) 5v

b) 50v

c) 35v

d) 14v

4)

a)4

17 17

i j

b) 6 4 2

2 14

i j k

c) 4

3 2

i j k

5)

a) 6,3,9

b) 8 4 12

, ,14 14 14

c) 10 5 15

, ,14 14 14

6) 3

4

7) 13

3 ou 5

8)

a) 1 2c e 2 1c

b) Não representa uma combinação linear.

9)

a) 4 2i j k

b) 18 12 6i j k

c) 5 2i j k

d) 40 4 4i j k

e) 2 16 18i j k

f) 13 2i j k

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Capítulo 1:

Vetores

- Págs.: 40 a 45 (1 a 14, 16 a 23, 29 a 35, 37 a 40, 43 a 47, 49 a 56)

PRODUTO ESCALAR

1) Sejam os vetores

u = (3,2,1) e

v = (-1, -4, -1). Calcular:

a) 2

u

b) (

u +

v ).(2

u –

v )

c) <

u ,

u >

d) 0.u

e) 0.u

2) Dados os vetores

u = 3i -5j + 8k e

v = 4i -2j – k, calcular

u .

v .

3) Dados os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(4 ,2 ,1), calcular

BC.AB

4) Sendo |

u | = 4 e |

v | = 2 e

u .

v = 3, calcular (3

u – 2

v )(-

u + 4

v ).

5) Sendo |

u | = 2, |

v | = 3 e 60º o ângulo entre

u e

v , calcular:

a)

u .

v

b) |

u +

v |2

6) Dados os vetores (1,3, 5)v e (4, 2,8)u , decomponha v como 1 2v v v sendo 1 2/ / e v u v u .

7) Um triângulo no espaço tridimensional é formado pelos vértices 1,2,3 , 2, 2,0 e 3,1, 4A B C .

Determine o ponto H, pé da altura relativa ao lado AB.

EXERCíCIOS COMPLEMENTARES

1) Determinar o vetor v , sabendo que 5v , v é ortogonal ao eixo xO , 6v w e 2w i j .

2) Dados os pontos ,1,0A m , 1, 2 , 2B m m e 1,3, 1C , determinar m de modo que o triângulo ABC seja

retângulo em A. Calcular a área do triângulo.

3) Determinar o vetor u tal que 2u , o ângulo entre u e 1, 1,0v é 45º e u é ortogonal a 1,1,0w .

4) O triângulo no espaço tridimensional é formado pelos vértices 1,2,3 , 2, 2,0 e 3,1, 4A B C , determine

os ângulos formados por estes vértices e classifique-os em agudo, obtuso ou retângulo.

5) Use vetores para mostrar que 2, 1,1 , 3,2, 1 e 7,0, 2A B C são vértices de um triângulo retângulo.

Em qual vértice está o ângulo reto?

6) Sabendo que o vetor 2,1, 1v forma um ângulo de 60º com o vetor AB determinado pelos pontos

3,1, 2A e 4,0,B m , calcular o valor de m.

7) Calcular o valor de m de modo que seja 120º o ângulo entre os vetores 1, 2,1u e 2,1, 1v m .

8) Uma força de 4 6F i j k newtons é aplicada a um ponto que se move uma distância de 15 metros na

direção e sentido do vetor i + j + k. Quanto trabalho foi realizado?

9) Uma caixa é arrastada ao longo do chão por uma corda que aplica uma força de 50 lb em um ângulo de 60º

com o chão. Quanto trabalho é realizado para movimentar a caixa a uma distância de 15 pés?

Referencial de respostas:

1) 0,3, 4v

2) 30

1 e 2

m A

3) 1, 1, 2u

4) ^

^

39º (agudo)

96º (obtuso)

45º (agudo)

â

b

c

5) É retângulo no vértice B.

6) 4m

7) 0 ou 18m m

8) 5 3J

9) 375 pés lb

Capítulo 2:

Produto

Escalar

- Págs.: 66 a 70 ( 1 a 30, 36, 40 a 49)

PRODUTO VETORIAL

1) Mostre que u v é ortogonal a u e a v sendo 5 4 3u i j k e v i k .

2) Dados os vetores 1, 1,1u e (2, 3,4)v , calcule:

a) a área do paralelogramo determinado por e u v .

b) a altura do paralelogramo relativo à base definida pelo vetor u .

3) Dados os vetores 2,1, 1u e (1, 1, )v a , calcular o valor de “a” para que a área do paralelogramo

determinado por u e v seja igual a 62 .

4) Sejam os vetores 1, 1, 4u e (3,2, 2)v . Determinar um vetor que seja:

a) ortogonal a

u e

v .

b) ortogonal a

u e

v e unitário.

c) ortogonal a

u e

v e tenha módulo 4.

5) A operação

u .

v +

u x

v é possível ou não? Justifique sua resposta.

6) A operação

u .[(

v +

u ) x

v ] é possível ou não. Justifique sua resposta. O resultado é um vetor ou um

escalar?

EXERCíCIOS

1) Determine u v , e em seguida verifique que é ortogonal a ambos os vetores u e v .

a) 1,2, 3 ; 4,1,2u v

b) 0,1, 2 ; 3,0, 4u v

2) Determine a área do paralelogramo que tem e u v como lados adjacentes: 2 e 3u j k v j k .

3) Determine a área do triângulo de vértices 1,5, 2P , 0,0,0Q e 3,5,1R .

4) Calcular o valor de m para que a área do paralelogramo determinados por , 3,1u m e 1, 2,2v seja

igual a 26 .

5) Dados os pontos (2,1,1)A e (0, 2,1)B , determinar o ponto C do eixo Oy de modo que a área do triângulo

ABC seja 1,5 u.a.

6) Calcular z, sabendo-se que 2,0,0 , 0,2,0 e 0,0,A B C z são vértices de um triângulo de área 6.

7) Dois vértices consecutivos de um paralelogramo são 2, 4,0A e 1, 3, 1B e o ponto médio das

diagonais é 3,2, 2M . Calcular a área do paralelogramo.

RESPOSTAS

1) a)

7,10,9

0

0

u v

u u v

v u v

b)

4, 6, 3

0

0

u v

u u v

v u v

2) 59 . .u a

3) 374

2A u.a

4) 0 ou 2

5) 5

0,1,0 ou 0, ,02

C C

6) 4 ou -4

7) 2 74

Capítulo 3:

Produto

Vetorial

- Págs.: 87 a 89 (1 a 3, 8, 9, 12, 14 a 17, 20, 21, 23 a 25, 27)

PRODUTO MISTO

1) Determine o volume do paralelepípedo formado pelos vetores 2 , 3 e 5u i v j w k .

2) Determine o volume da caixa, em forma de um paralelepípedo, de lados adjacentes , e AB AC AD , sendo

2,1, 1 ; 3,0,2 ;A B 4, 2,1 e 5, 3,0C D . Calcular a altura desta caixa relativa à base definida por

AB e AC .

3) Para que valor de m os pontos ,1,2 ; 2, 2, 3 ; 5, 1,1 e 3, 2, 2A m B C D são coplanares?

4) Sabendo que os vetores 2,1, 4 , , 1,3 e 3,1, 2AB AC m AD determinam um tetraedro de

volume 3, calcular o valor de m.

EXERCÍCIOS

1) Utilizando o produto misto, determine o volume do paralelepípedo que tem , e u w v como arestas

adjacentes:

a) 2, 6,2 , 0,4, 2 e 2,2, 4u v w

b) 3,1,2 , 4,5,1 e 1,2,4u v w

2) Determine o volume do tetraedro formado pelos vértices 1,2,0 ; 2,1,3 ; 1,0,1 e 3, 2,3P Q R S .

3) Três vértices de um tetraedro de volume 6 são ( 2,4, 1)A , 3, 2,3B e 1, 2, 1C . Determinar o quarto

vértice D, sabendo que ele pertence ao eixo Oy.

4) Dados os pontos 2,1,1 ; 1,0,1 e C 3,2, 2A B , determinar o ponto D do eixo Oz para que o volume do

paralelepípedo determinado , e AB AC AD seja igual a 25 u.v.

5) Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 0, 1,2u ,

4,2, 1v e 3, , 2w m seja igual a 33. Calcular a altura deste paralelepípedo relativo à base definida por

u e v .

6) O ponto 1, 2,3A é um dos vértices de um paralelepípedo e os três vértices adjacentes são

2, 1, 4 ; 0,2,0 e D 1, ,1B C m . Determinar o valor de m para que o volume do paralelepípedo seja igual a

20 u.v.

RESPOSTAS:

1)

a) 16 u.v

b) 45 u.v

2) 2

3u.v

3) 0,2,0 ou 0, 4,0D D

4) 0,0, 10 ou 0,0,15D D

5) 17 33

4 ou e 2 89

m m h

6)6 ou 2

Capítulo 4:

Produto

Misto

- Págs.: 99 a 101 (1, 2, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 16, 18)

Algumas Aplicações

1. Uma peça maciça de cristal tem o formato de um paralelepípedo determinado pelos

vetores

1v (0, -1, 2),

2v (-4, 2, -1) e

3v (3, 4, -2). Extraiu-se desse paralelepípedo

uma peça no formato de um tetraedro cujas arestas coincidem com as arestas do

paralelepípedo. Qual o volume de cristal desse tetraedro?

2

11 u. v.

2. Na figura, a seguir, é possível verificar a trajetória descrita por uma partícula. As várias

posições que ela ocupou estão indicadas por letras seguidas de números que representam

os instantes, em segundos, da passagem da partícula por esses pontos.

Determine o comprimento do vetor deslocamento, para essa partícula.

R: 5m

3. Determine a distância(d) necessária para posicionarmos a piscina junto ao prédio, de forma que a mesma receba o sol da manhã a partir das 8:00hrs. O desenho abaixo mostra de forma esquemática a situação descrita, onde os pontos A(-25,15,23), B(-30,-5,3) e C(10,-5,3) são conhecidos.

R: 35m

4. O seguinte sistema de forças atua sobre uma partícula: F1 = 4j+5k, F2 =-5i +j + 3k, F3 =i -

2j + 4k, F4 = 4i - 3j- 2k. Ache a resultante deste sistema de forças. A partícula estará em

equilíbrio? Qual o efeito da força resultante sobre a partícula?

5. Um pintor pediu para o engenheiro lhe informar a quantidade de massa corrida que ele

precisaria pegar no depósito para emassar uma área triangular de uma rampa inclinada.

O engenheiro determinou através das coordenadas cartesianas os três vértices desse

triângulo: (4,2,1), (1,0,1) e (1,2,0). Sabendo que cada galão de massa corrida rende o

equivalente a 10 metros quadrados para cada demão, quantos galões o pintor precisará

para emassar essa área aplicando duas demãos?

R. 1 galão

6. Uma caixa de madeira se encontra no ponto A. Um trabalhador pode movê-la para o ponto

B (-1,0) ou para o ponto C = (-3,2). Utilizando seus conhecimentos de álgebra linear,

chegou a conclusão que . Nessas condições, quais as coordenadas do ponto A?

R: (1/3, -4/3)

7. Na torre da figura abaixo, determine o ângulo formado entre os cabos AB e AC.

R: Aprox. 41,69o

8. Um ônibus parte em linha reta do ponto (1,2,3) ao ponto (3,1,5). Se o gasto é de R$10,00

por unidade de comprimento, qual o gasto total no deslocamento?

R: R$30,00

9. Uma molécula de metano tem quatro átomos de hidrogênio (H) nos pontos indicados na

figura abaixo e um átomo de carbono (C) na origem. Determine o ângulo de ligação H-C-

H.

R: Aprox. 109,47º

10. A figura abaixo representa uma cozinha que deve ter as paredes revestidas de azulejos até

o teto. Sabendo que cada porta tem 1,60m2 de área e que a janela tem uma área de 2m2,

quantos metros quadrados de azulejos são necessários para a realização do revestimento?

R: 12,80m2

Dados: A(3, -3, 2) B(3, -1, 2) C(2, -1, 2) D(2, -1, 5) E(3, -1, 5)

A RETA

1) a) Determine equações da reta r que passa por (1, 1,4)A e é paralela a (2,3, 2)v .

b) Para t = 1, t =-3 e t = 0; determine os pontos pertencentes a reta r.

2) Dado o ponto (2,3, 4)A e o vetor (1, 2,3)v , pede-se:

a) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de v .

b) Determinar o ponto de r cuja abscissa é -1.

c) Verificar se os pontos (4, 1,2) e (5, 4,3) D E pertencem a r.

d) Determinar para que valores de m e n o ponto ( ,5, )F m n pertence a r.

3) Verifique se as retas 1 2 e L L são paralelas, em cada caso.

a) 1

2

1: 1 3 ; 2 2 ; 3

2

3: 2 9 ; 1 6 ; 1

2

L x t y t z t

L x t y t z t

b) 1

2

: 3 2 ; 1 3 ; 2 4

: 1 ; 4 ; 8 3

L x t y t z t

L x t y t z t

4) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por (3, 1, 2) e (1,2,4)A B .

5) Dadas as equações simétricas 3 5

2 2 1

x y z

. Determine o ponto inicial, o vetor diretor da reta e

equações paramétricas da reta.

6) Seja 2 4 3

:1 2 3

x y zr

, determine as equações reduzidas na variável x.

7) Determine o ângulo entre as retas r: (x,y,z) = (0,-1,3) + t(-2,0,5) e s: 3

3

2

13

zyx

.

8) Determine o valor de “m”, para que as retas r: (x,y,z) = (0,-1,3) + t (1,m,5) e 2

1 3:

2 3

x y zs

m

sejam

ortogonais.

EXERCÍCIOS

1) Obtenha as equações paramétricas para a reta que passa por 1,2,4 e é paralela a 3 4i j k .

2) Obtenha as equações paramétricas para a reta que passa por 2,0,5 e é paralela a reta

1 2 ; 4 ; 6 2x t y t z t .

3) Em que ponto a reta 1 3 ; 2 , 0 x t y t z intersecta:

a) o eixo x b) o eixo y c) a parábola ²y x

4) Encontre as interseções da reta 2; 4 2 ; 3x y t z t com o plano xy, o plano xz e o plano yz.

5) Sejam 1 2 e L L as retas cujas equações paramétricas são:

1

2

: 1 2 ; 2 ; 4 2

: 9 ; 5 3 ; 4

L x t y t z t

L x t y t z t

a) Mostre que 1 2 e L L intersectam no ponto 7, 1, 2 .

b) Determine o ângulo agudo formado entre 1 2 e L L em seu ponto de interseção.

c) Obtenha as equações paramétricas para a reta que é perpendicular a 1 2 e L L e que passa no seu ponto de

interseção.

RESPOSTAS:

1)

1 3

2 4

4

x t

y t

z t

2)

2 2

5 2

x t

y t

z t

3)

a) 7,0 b) 7

0,3

c) 1 85 43 85

,6 18

4) Plano xy: 2,10,0 ; Plano xz: 2,0, 5 ; Plano

yz: a reta não intersecta o plano yz.

5) b) 84,23º

c)

7 7

1

2 7

x t

y

z t

Capítulo 5:

A reta - Págs.: 118 a 123 (1 a 9, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 24, 28)

O PLANO

1) Obtenha a equação geral do plano que passa pelo ponto (2, 1,3)A e tem (3,2, 4)n como

vetor normal.

2) A reta

5 3

: 4 2

1

x t

r y t

z t

é ortogonal ao plano que passa pelo ponto )2,3,1(A . Determine a

equação geral de .

3) Escreva uma equação geral do plano que passa pelo ponto (2,1,3)A e é paralelo ao plano

:3 4 2 5 0x y z .

4) Determine a equação geral do plano representado na figura a seguir:

5) Dado o plano determinado pelos pontos (1, 1,2), (2,1, 3) e ( 1, 2,6)A B C obtenha um

sistema de equações paramétricas e uma equação geral de .

EXERCÍCIOS

1) Determine uma equação do plano que passa pelo ponto P e tem o vetor n como um vetor normal:

a) 2,6,1 ; 1,4,2P n b) 1,0,0 ; 0,0,1P n

2) Determine uma equação do plano que passa pelos pontos dados: 2,1,1 ; 0,2,3 e 1,0, 1A B C .

3) Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois:

a) 2 8 6 2 0

4 3 5 0

x y z

x y z

b) 3 2 1

4 5 2 4

x y z

x y z

c) 3 2 0

2 1

x y z

x z

4) Determine o ângulo formado entre os planos: 0 e 2 4 0x x y z .

5) Determine a equação do plano que passa pela origem e que é paralela ao plano 4 2 7 12 0x y z .

6) Determine a equação do plano que passa pelo ponto 1,2, 5 que é perpendicular aos planos

2 1 e 2 3x y z x y z .

Referencial de respostas:

1) a) 4 2 28 0x y z

b) 0z

2) 10 5 5 0y z

3) a) Paralelos

b) Perpendiculares

c) Nenhum dos dois

4) 35º

5) 4 2 7 0x y z

6) 5 3 6 0x y z

Capítulo 6:

O plano - Págs.: 141 a 149 (1 a 23)