Cad C2 Exercicios 3serie 1opcao 2bim Matematica

1

Mdulo 16 Radiciao em 1. (MODELO ENEM) Os afixos das razes n-simas (n 2) de um nmero complexo z 0 so pontos de umacircunferncia com centro na origem do plano complexo, raioigual a

n

z e que dividem essa circunferncia em n partescongruentes.Ento, a rea do polgono cujos vrtices so os afixos das razessextas de 1

a) 3 b) 23 c) 73 d) 43 e)Resoluo

O polgono regular cujos vrtices so as razes sextas de 1 umhexgono regular cujo lado mede 1. Sua rea 6 . =

Resposta: E

Mdulos 17 e 18 Polinmios:Grau, Raiz, Identidades,Diviso, Briot-Ruffini e Teorema do Resto

2. (UNESP MODELO ENEM) Seja x um nmero realpositivo. O volume de um paraleleppedo reto retngulo dado,em funo de x, pelo polinmio x3 + 7x2 + 14x + 8. Se umaaresta do paraleleppedo mede x+1, a rea da face perpendiculara essa aresta pode ser expressa por:a) x2 6x + 8 b) x2 + 14x + 8 c) x2 + 7x + 8 d) x2 7x + 8 e) x2 + 6x + 8 ResoluoSe o volume do paraleleppedo reto retngulo dado por x3 + 7x2 + 14x + 8, com x > 0, ento, a rea da face perpen -dicular aresta de medida x + 1 dada por

= x2 + 6x + 8, pois

Resposta: E

3. Dividir x3 + 2x por x4 + 3x2 2x + 1.Resoluo

, pois

x3 + 2x (x4 + 3x2 2x + 1) . 0 + (x3 + 2x) gr(R) = 3 < gr(B) = 4 Resposta: Q(x) 0 e R(x) = x3 + 2xObs.: Se gr(A) < gr(B), ento R(x) A(x) e Q(x) 0

4. Dividir x4 + 3x2 7x + 2 por x 2 pelo mtodo da chave.Resoluo

Resposta: Q(x) = x3 + 2x2 + 7x + 7 e R(x) = 16

5. Repetir a questo anterior, utilizando o Dispositivo Prticode Briot-Ruffini.ResoluoPara = 2, que a raiz de x 2 = 0, tem-se:

O resto 16 e os coeficientes de Q so 1, 2, 7, 7.Resposta: Q(x) = x3 + 2x2 + 7x + 7 e R(x) = 16

6. Dividir 2x3 + 7x2 4 por x + 2.ResoluoUtilizando o Dispositivo Prtico de Briot-Ruffini com = 2,que a raiz de x + 2 = 0, tem-se:

Resposta: Q(x) = 2x2 + 3x 6 e R(x) = 8

33

2

123

433

2

x3 + 7x2 + 14x + 8

x + 1

11

76

148

80

1

coeficientes de Q resto

1 0 3 7 2 21 2 7 7 16

x3 + 2x x4 + 3x2 2x + 1x3 + 2x 0

x4 + 0x3 + 3x2 7x + 2 x2 2 x4 + 2x3 x3 + 2x2 + 7x + 7

2x3 + 3x2 7x + 2 2x3 + 4x2

7x2 7x + 2 7x2 + 14x

7x + 2 7x + 14

16

coeficientes de Q resto

2 7 0 4 22 3 6 8

LGEBRAFRENTE 1

C2_3oTAR_MAT_Rose_2011 23/12/10 10:50 Pgina 1

2

Mdulo 19 Equaes Algbricas:Relaes de Girard

7. Determinar a sabendo-se que 2 raiz da equaox4 3x3 + 2x2 + ax 3 = 0.ResoluoSe 2 raiz da equao, ento:24 3 . 23 + 2 . 22 + a . 2 3 = 0e da 16 24 + 8 + 2a 3 = 0 2a 3 = 0 a = 3/2Resposta: a = 3/2

8. Resolver a equao x3 3x2 x + 3 = 0, sabendo-se que asoma de duas razes zero.ResoluoSendo V = {r1, r2, r3} o conjunto verdade da equao, temos:

r1 + r2 + r3 = 3 (I)Relaes de Girard r1 . r2 + r1 . r3 + r2 r3 = 1 (II)r1 . r2 . r3 = 3 (III)Relao auxiliar: r1 + r2 = 0 (IV)

Substituin do (IV) em (I), temos:0 + r3 = 3 r3 = 3Sendo r3 = 3 e r1 + r2 = 0, de (III) e (IV), resulta:

r1 . r2 = 1 r1 = 1 e r2 = +1r1 + r2 = 0Resposta: O conjunto verdade da equao {1; 1; 3}.

Mdulo 20 Equaes Algbricas:Pesquisa de Razes

9. Resolver a equao x3 3x2 + 4x 2 = 0, sabendo-se que1 i raiz.ResoluoSe a equao tem coeficientes reais e admite 1 i como raiz,ento admite tambm o conjugado 1 + i como raiz. Assimsendo, o conjunto verdade {r; 1 i; 1 + i}. Para calcular r,usar a 1a. Relao de Girard. Assim: r + (1 i) + (1 + i) = 3 r = 1Resposta: V = {1; 1 i; 1 + i}

10. Resolver a equao 6x4 + 35x3 + 62x2 35x + 6 = 0ResoluoDividir ambos os membros por x2 e agrupar os termos:6x4 35x3 + 62x2 35x + 6 = 0

6x2 35x + 62 35 . + 6 . = 0

6 x2 + 35 x + + 62 = 0

Se x + = t, ento x2 + = t2 2 e, portanto,

6(t2 2) 35t + 62 = 0 6t2 35t + 50 = 0

t = ou t =

Se t = , x + = 3x2 10x + 3 = 0

x = 3 ou x =

Se t = , x + = 2x2 5x + 2 = 0

x = 2 ou x =

Resposta: V = ; ; 2; 3

Mdulo 21 Fatorial e Nmero Binomial

11. (MODELO ENEM) De uma reunio participam npessoas (n 2). Se todas elas se cumprimentam com um apertode mos, ento o total de apertos de mos dado por

=

Se em uma festa todos os presentes se comprimentarem comum aperto de mos e foram registrados 190 cumprimentos dessetipo, quantas pessoas estavam presentes no local?a) 15 b) 18 c) 20 d) 24 e) 26Resoluo

= 190 = 190

= 190 = 190

n2 n 380 = 0 n = 20, pois n .Resposta: C

12. (MODELO ENEM) Sabendo-se que a soma dos ele -mentos de uma coluna do tringulo de Pascal pode ser calculadapela frmula

+ + + + = ,

com n e p nmero naturais (n p) e o nmero binomial de n sobre p, podemos concluir que a soma

S = + + + + resulta igual a

a) 870 b) 969 c) 1140 d) 1330 e) 1560Resoluo

+ + + + = =

1

x

1

x2

1

x2 1

x

1

x1

x2

10

35

2

10

31

x

103

1

3

5

21

x

5

2

1

2

131

2

n2 n!2! (n 2)!

n2 n!

2! . (n 2)!n(n 1)(n 2)!

2! . (n 2)!n2 n

2

pp p + 1

p p + 2

p n

p n + 1p + 1

np

22 32

42

182

18 + 12 + 1182

42

32

22


= = = =

= = = 969

Resposta: B

13. (MODELO ENEM) Em uma barraca de frutas, aslaranjas so arrumadas em camadas retangulares, obedecendo seguinte disposio: uma camada de duas laranjas encaixa-sesobre uma camada de seis; essa camada de seis encaixa-se sobreoutra de doze; e assim por diante, conforme ilustrao abaixo

Assim, o nmero total de laranjas que compem quinze cama -das :a) 680 b) 1360 c) 2040 d) 2720 e) 3400ResoluoDe acordo com a disposio apresentada, as camadas, (de cimapara baixo) podem ser representadas da seguine maneira:

1a. camada: 2

2a. camada: 2

3a. camada: 2

15a. camada: 2

Assim, o nmero total de laranjas que compem 15 camadas igual soma:

2 . + + + + =

= 2 . = 2 . = 2 .

2 . = 2 . =

= 2 . = 1360

Resposta: B

Mdulo 22 Teorema do Binmio de Newton

14. (MODELO ENEM) O termo geral do desenvolvimentodo bi nmio (x + y)n, Tk + 1 = xk . yn k, pode ser utilizado

para resolver certos problemas de probabilidade. Por exemplo,se um casal tem n filhos (n 2), a probabilidade de serem khomens e, con sequentemente, n k mulheres dada por

p = xk . yn k, em que x e y so, respectivamente, as

probabilidades de, em cada nascimento, o filho ser homem oumulher.

Ento, a probabilidade de um casal ter 6 filhos, sendo 2 homense 4 mulheres igual a

a) b) c) d) e)Resoluo

p = xkyn k e n = 6, k = 2, x = y =

Logo, resulta p = 2

.

4

=

= .. = 15 . =

Resposta: D

15. (MODELO ENEM) Jogando dez vezes um dadohonesto, com faces numeradas de 1 a 6, a probabilidade de seobter somente duas vezes a face 6 voltada para cima

a).

8b)

.

10

c).

8d)

.

9

e).

8

ResoluoA probabilidade de ocorrer a face 6 em cada lanamento

x = e a de no ocorrer y = 1 = .

Temos, ento

p = xkyn k, x = , y = , n = 10 e k = 2

Logo, resulta

p =2

.

8= 45 . =

= 45 . =.

8= .

8

Resposta: C

22

32

42

162

22 32

42

162

16 +12 + 1 173 17!3!.(17 3)!

17!

3!.14!17 . 16 . 15 . 14!

3 . 2 . 1 . 14!

17 . 16 . 15

3 . 2 . 1

nk

nk

23

16

732

1564

764

nk 12 62 12

1

2 6!

2!.4!1

41

161

6415

64

2

3 1

6 3

5 1

6 5

4 5

6 25 1

6 3

8 5

6

1

61

65

6

nk 1

65

6

19 . 18 . 17 . 16!

3 . 2 . 1 . 16!19 . 18 . 17!

3 . 2 . 1

58

6105

61

6102

19!

3!16!19!

3!(19 3)!193

56545645

3658

62 . 68

3


Mdulo 23 Princpio Fundamental da Contagem, Arranjos ePermutaes

16. (MODELO ENEM) Uma clnica dispe de 4 enfer -meiras, 2 clnicos gerais 3 cirurgies para os plantes. Cadaplanto deve ter uma equipe composta de uma enfermeira, umclnico geral um cirurgio. O nmero de equipes diferentes quepodem ser formadas :a) 11 b) 16 c) 24 d) 32 e) 40ResoluoO nmero de equipes diferentes que podem ser formadas, nascon dies do enunciado 4 . 2 . 3 = 24, pelo Princpio Fun -damental da Con tagem.Resposta: C

17. (MODELO ENEM) Na figura, temos um quadradomaior de lado 4 cm, subdividido em vrios quadrados de lados1 cm, 2 cm e 3 cm. Quantos quadrados diferentes podem sercon tados na figura?a) 16 b) 20 c) 26 d) 28 e) 30

ResoluoQuadrado de lado 4 cm = 1Quadrados de lados 3 cm = 22 = 4Quadrados de lados 2 cm = 32 = 9Quadrados de lados 1 cm = 42 = 16So, portanto, 1 + 4 + 9 + 16 = 30 quadrados diferentes no total.Resposta: E

Mdulo 24 Combinaes

18. (MODELO ENEM) Num veculo com 9 lugares, sendoum deles o do motorista, devero viajar 9 pessoas das quaisapenas 4 podem dirigir. Nessas condies, de quantas maneirasessas pessoas podero ser dispostas no referido veculo?a) 20 160 b) 40 320 c) 80 640d) 161 280 e) 362 880ResoluoPara cada um dos 4 que podem ocupar a posio do motorista,per mutamos entre si as demais 8 pessoas.Resulta, portanto, 4 . P8 = 4 . 8! = 161 280Resposta: D

19. (ENEM) A escrita Braile para cegos um sistema desmbolos no qual cada carter um conjunto de 6 pontosdispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um sedestaca em relao aos demais.Por exemplo, a letra A representada por .

O nmero total de caracteres que podem ser represen tados nosistema Braile a) 12. b) 31. c) 36. d) 63. e) 720.ResoluoA partir do enunciado, conclui-se que o nmero total decaracteres que podem ser representados no sistema Braile :C6,1 + C6,2 + C6,3 + C6,4 + C6,5 + C6,6 = 26 1 = 63Resposta: D

Obs.: Note que nos 63 caracteres possveis de serem obtidosest includo aquele em que os seis pontos esto em destaque.Neste caso no existe pelo menos 1 que se destaque dos demais;todos, porm, destacam-se em relao ao plano do papel.

20. (MODELO ENEM) Quantos so os nmeros de trsalgarismos do Sistema Decimal de Numerao que possuempelo menos dois algarismos iguais?a) 126 b) 144 c) 252 d) 378 e) 504ResoluoO total de nmeros de trs algarismos do Sistema Decimal deNumerao igual a 9 . 10 . 10 = 900, dos quais 9 . 9. 8 = 648tm os algarismos distintos.Portanto, os que possuem pelo menos dois algarismos iguaisso em nmero de 900 648 = 252Resposta: C

21. (MODELO ENEM) As avenidas de uma cidade estodispostas na direo norte-sul e as ruas dessa mesma cidade nadireo leste-oeste. Paulo mora em uma das esquinas da cidadee sua namorada Tnia em outra esquina situada, em relao dePaulo, trs quadras ao sul e cinco quadras a leste. Quantoscaminhos diferentes Paulo pode fazer para ir de sua casa at acasa de Tnia caminhando apenas para sul e para leste?a) 28 b) 35 c) 56 d) 84 e) 120Resoluo

Na figura considere o ponto P como sendo onde mora Paulo eT onde mora Tnia. Se S representa sul e L leste, dois possveiscaminhos para Paulo ir de sua casa at onde mora Tnia, de

4


acordo com o que se pede SSSLLLLL e SSLLLSLL.O nmero de caminhos possveis igual quantidade de

anagramas da palavra SSSLLLLL que P8(3;5)

= = 56

Resposta: C

Mdulo 25 Probabilidade: Definio eUnio de Eventos

22. (ENEM) Um municpio de 628 km2 atendido por duasemis soras de rdio cujas antenas A e B alcanam um raio de 10 km do municpio, conforme mostra a figura:

Para orar um contrato publicitrio, uma agncia precisa avaliara probabilidade que um morador tem de, circulando livrementepelo municpio, encontrar-se na rea de alcance de pelo menosuma das emissoras.Essa probabilidade de, aproximadamente, a) 20% b) 25% c) 30% d) 35% e) 40%ResoluoA rea de alcance de pelo menos uma das emissoras

= 157km2.

A probabilidade de um morador en con trar-se na rea de al can -

ce de pelo menos uma das emissoras = 25%.

Resposta: B

23. (ENEM) As 23 ex-alunas de uma turma que completouo Ensino Mdio h 10 anos se encontraram em uma reuniocomemorativa. Vrias delas haviam se casado e tido filhos. Adistribuio das mulheres, de acordo com a quantidade defilhos, mostrada no grfico abaixo.

Um prmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas.A probabilidade de que a criana premiada tenha sido um(a)filho(a) nico(a) a) 1/3 b) 1/4 c) 7/15 d) 7/23 e) 7/25

ResoluoA partir da distribuio apresentada no grfico, temos:8 mulheres sem filhos.7 mulheres com 1 filho.6 mulheres com 2 filhos.2 mulheres com 3 filhos.Como as 23 mulheres tm um total de 25 filhos, aprobabilidade de que a criana premiada tenha sido

um(a) filho(a) nico(a) igual a P = .

Resposta: E

Mdulo 26 Probabilidade Condicional eInterseco de Eventos

24. (MODELO ENEM)

Uma urna contm apenas 10 bolas, sendo 7 azuis e 3 verdes.Retirando-se duas bolas ao acaso e sem reposio da primeiraantes de retirar a segunda, qual a probabilidade de as duas bolasserem ver des?

a) b) c) d) e)

ResoluoRepresentando por PA o evento primeira bola azul, SA oevento segunda bola azul, PV o evento primeira bola verdeetc., temos:

P(PV SV) = P(PV) . P(SV/PV) = . =

Resposta: A

25. (MODELO ENEM) Em um determinado semforo, asluzes completam um ciclo de verde, amarelo e vermelho em 1minuto e 40 se gundos. Desse tempo, 25 segundos so para a luzverde, 5 segundos para a amarela e 70 segundos para avermelha. Ao se aproximar do semforo, um veculo tem umadeterminada probabilidade de encontr-lo na luz verde, amarelaou vermelha. Se essa aproximao for de forma aleatria, pode-se admitir que a probabilidade de encon tr-lo com umadessas cores diretamente propor cio nal ao tempo em que cadauma delas fica acesa.Suponha que um motorista passa por um semforo duas vezesao dia, de maneira aleatria e independente uma da outra. Qual a probabilidade de o motorista encontrar esse semforo coma luz verde acesa nas duas vezes em que passar?

a) b) c) d) e)

7

25

1

152

151

51

31

4

3

102

91

15

8!

3!5!

1022

157

628

1

31

31

91

161

25

5


Mdulo 16 Radiciao em De 1 a 7 calcular as razes:

1. Quadradas de 4.2. Cbicas de 8 i.

3. Quartas de 16. 4. Quartas de 16 (cos 120 + i . sen 120)5. Sextas de 64.

6. Sextas de 64.

7. Cbicas de 8.

Mdulo 17 Polinmios: Grau, Raiz, Identidades e Diviso

1. As solues da equao Q(x) = 0, em que Q(x) o quocienteda diviso do polinmio x4 10x3 + 24x2 + 10x 24 por x2 6x + 5, so:a) 1 e 5 b) 1 e 5 c) 1 e 5d) 1 e 5 e) 0 e 1

2. (UESPI) O resto da diviso do polinmio P(x) = x4 + 69por x2 + 4x + 8 :a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

3. (PUC-RS) Se chamamos de Q(x) o quociente da divisode P(x) = x3 12x2 + 41x 30 por D(x) = x2 7x + 6, entoQ(3) igual a:a) 8 b) 2 c) 2 d) 3 e) 8

4. (UESPI) Se o polinmio P(x) = x3 + mx2 1 divisvelpor x2 + x 1, ento m igual a:a) 3 b) 2 c) 1 d) 1 e) 2

5. (UEL) Sabe-se que na diviso do polinmiof = x3 2x2 + kx + t por g = x2 x + 1, obtm-se resto 3x 2.Nessas condies, os nmeros reais k e t so tais que k t igual a:

a) 8 b) 4 c) 2 d) 2 e) 8

6. O quociente da diviso do polinmio f = x3 1 por g = x2 + 1 :a) x + 1 b) x 1 c) x d) x + 1 e) x 1

7. (FGV) Dividindo o polinmio P(x) por x2 + x 1 obtm-sequociente igual a x 5 e resto igual a 13x + 5. O valor de P(1) :a) 12 b) 13 c) 15 d) 16 e) 14

8. (UFRN) Se A, B e C so nmeros reais e P(x) = x5 7x2 + 2x + 4 dividido por Q(x) = x3 8 deixa restoR(x) = Ax2 + Bx +C, pode-se afirmar que 4 A + 2 B + C iguala:

a) 8 b) 16 c) 12 d) 20

6

ResoluoSe a cada 1 minuto e 40 segundos (100 segundos) a luz verdefica acesa 25 segundos, a probabilidade de o motorista encontrar

a luz verde, ao passar pelo semforo, =

A probabilidade de encontrar a luz verde acesa nas duas vezesem que passar

. =

Resposta: B

Mdulo 27 Lei Binomial deProbabilidade

26. (MODELO ENEM) A probabilidade de um atiradoracertar um alvo em um nico tiro 0,2. Com apenas 4 tiros,qual a probabilidade de esse atirador acertar o alvo s 2 vezes?a) 14,25% b) 15% c) 15,36% d) 16% e) 16,35%Resoluo Sendo A o evento acertar o alvo e A

o evento complementar,temos:a) P(A) = p = 0,2

b) P(A ) = 1 p = 1 0,2 = 0,8c) A probabilidade pedida C4,2 . (0,2)2 . (0,8)4 2 = 0,1536Resposta: C

27. (MODELO ENEM) Um casal decidiu que vai ter 3filhos. Con tudo, quer exatamente 2 filhos homens e decide que,se a proba bilidade for inferior a 50%, ir procurar uma clnicapara fazer um tratamento especfico para assegurar que ter osdois filhos ho mens.Aps os clculos, o casal concluiu que a probabilidade de terexatamente 2 filhos homens a) 66,7%, assim ele no precisar fazer um tratamento.b) 50%, assim ele no precisar fazer um tratamento.c) 7,5%, assim ele precisar fazer um tratamento.d) 25%, assim ele precisar procurar uma clnica para fazer um

tratamento.e) 37,5%, assim ele precisar procurar uma clnica para fazer

um tratamento.ResoluoAdmitindo-se que para esse casal a probabilidade do filho ser dosexo masculino (ou feminino) 50%, a probabilidade delesterem exata mente dois filhos homens e, claro, uma mulher

P = C3,2 . 50% . 50% . 50% = 3 . 3

= = 0,375 = 37,5%Resposta: E

25

1001

4

1

41

41

16

123

8


9. (UEL) Dividindo-se o polinmio x4 + 2x3 2x2 4x 21por x + 3, obtm-se:a) x3 2x2 + x 12 com resto nulob) x3 2x2 + 3 com resto 16c) x3 + x2 13x + 35 e resto 84d) x3 + x2 3x + 1 com resto 2e) x3 x2 + x 7 e resto nulo

10. O resto da diviso do polinmio x4 + x3 + x2 + x + 1 por x + 1 :a) 0 b) 5 c) 1 d) 1 e) 2

11. O resto da diviso do polinmio p(x) = 2x4 3x + 1 porg(x) = 2x 1 :

a) b) c) d) e)

12. (UEL) Se o resto da diviso do polinmiop = x4 4x3 kx 75 por (x 5) 10, o valor de k :a) 5 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8

Mdulo 18 Polinmios: Briot-Ruffini e Teorema do Resto

1. (PUCCAMP) Dividindo-se um polinmio f por g = x2 1, obtm-se quociente q = 2x + 1 e resto r = kx 9,sendo k . Se f divisvel por x 2, ento k igual aa) 6 b) 3 c) 1 d) 3 e) 6

2. O resto da diviso de x142 1 por x + 1 :a) 0 b) 1 c) 1 d) 2 e) 2

3. A diviso x999 1 por x 1 tem resto R(x) e quocienteQ(x). Pode-se afirmar que:a) R(x) = 2 e Q(x) tem grau 998b) R(x) = 0 e Q(x) se anula para x = 0c) R(x) = 2 e Q(x) se anula para x = 1d) R(x) = 0 e Q(x) vale 1 para x = 0e) R(x) = 2 e Q(x) vale 1 para x = 0

4. O polinmio P(x) = x5 + ax4 bx divisvel por x 2.Dividido por x + 2, d resto 8. Ento, o valor de b :

a) b) 18 c) 18 d) e) 12

5. Para que o polinmio x3 6x2 + mx + n seja divisvel por (x 1) (x 2) o produto mn deve ser igual a:a) 2 b) 66 c) 2 d) 66 e) 0

6. Sejam m e n determinados de tal modo que o polinmio x4 12x3 + 47x2 + mx + n seja divisvel por x2 7x + 6. Ento m + n igual a:a) 72 b) 0 c) 36 d) 36 e) 58

7. O resto da diviso de um polinmio P(x) por 2x 1 4;deste modo, o resto da diviso de (x2 x) . P(x) por 2x 1 :a) 2 b) c) d) 1 e) 4

8. (FUVEST) Seja p(x) um polinmio divisvel por x 3.Dividindo p(x) por x 1, obtemos quociente q(x) e resto r = 10. O resto da diviso de q(x) por x 3 :a) 5 b) 3 c) 0 d) 3 e) 5

9. (FUVEST) Considere P(x) um polinmio de grau 2 talque P(1) = 2 e P(2) = 1. Sejam D(x) = (x 2) (x 1) e Q(x) oquociente da diviso de P(x) por D(x).a) Determine o resto da diviso de P(x) por D(x).b) Sabendo-se que o termo independente de P(x) igual a 8,

determine o termo independente de Q(x).

10. Um polinmio P(x) dividido por x 2 d resto 3 e divididopor x2 2 d resto 3x 1. O resto da diviso de P(x) por(x 2) (x2 2) :a) x2 + 3x + 1 b) 9x 3 c) x2 3x 1d) 4x2 + 2x 3 e) x2 + 3x + 1

11. (UnB) O resto da diviso do polinmio 310 . (x + 3)12pelo polinmio x3 :a) 66x2 + 36x + 9 b) zero c) 48x2 + 12x + 9d) 66x2 9 e) x2 + x + 9

12. Um polinmio P(x) divisvel por x + 1 e, dividido porx2 + 1, d quociente x2 4 e resto R(x). Se R(2) = 9, escrevaP(x).

13. (UnB) P1(x) e P2(x) so polinmios do 2o. grau que seanulam quando x = 0. O resto da diviso de P1(x) por(x 1) (x + 2) 3x + 1. O resto da diviso de P2(x) por(x + 1) (x + 2) 2x 1. Ento, o quociente da diviso de P1(x)por P2(x) :a) 1 b) 0 c) x + 1 d) 2 e) x 1

14. (MACKENZIE) Um polinmio p(x), de grau maior que 1,deixa resto 1, quando dividido por x 2, e deixa resto 2, quandodivi di do por x 3. O resto da diviso de p(x) por x2 5x + 6 a) x. b) 2x + 1. c) 2x. d) x 1. e) 2.

15. (UNESP) Considere a matriz

A = .

O determinante de A um polinmio p(x).a) Verifique se 2 uma raiz de p(x).b) Determine todas as razes de p(x).

16. (UNIFESP) Dividindo-se os polinmios p1(x) e p2(x) por x 2 obtm-se, respectivamente, r1 e r2 como restos. Sa -bendo-se que r1 e r2 so os zeros da funo quadrtica y = ax2 + bx + c, conforme grfico,

45

45

3

83

825

1

41

4

1

21

2

x

x1

2x

x

0

2

1

x

0

7


o resto da diviso do polinmio produto p1(x).p2(x) por x 2 :a) 3 b) 5 c) 8 d) 15 e) 21

17. (UNESP) Considere o polinmio p(x) = x3 + bx2 + cx + d,onde b, c e d so constantes reais. A derivada de p(x) , pordefinio, o polinmio p(x) = 3x2 + 2bx + c. Se p(1) = 0, p(1) = 4 e o resto da diviso de p(x) por x 1 2, ento o polinmio p(x) :a) x3 x2 + x + 1. b) x3 x2 x + 3.c) x3 x2 x 3. d) x3 x2 2x + 4.e) x3 x2 x + 2.

Mdulo 19 Equaes Algbricas:Relaes de Girard

1. Determinar o polinmio do 3o. grau que se anula parax = 1 e que, dividido por x + 1, x 2 e x + 2, d restos iguais a 6.

2. Se P(x) = x3 + ax + b, em que a, b so nmeros reais e 1, 2, c so razes do polinmio P(x), ento c igual a:a) 0 b) 1 c) 3 d) 1 e) 3

3. A equao polinomial 4x5 + 3x4 + 4x3 + 3x2 + 4x + 3 = 0tem como razes a, b, c, d e e.

O valor de + + + + :

a) b) c) d) e)

4. (FUVEST) O polinmio p(x) = x3 x2 + x + a divisvelpor x 1. Ache todas as razes complexas de p(x).

5. Resolver a equao x3 7x + 6 = 0, sabendo-se que 1 uma de suas razes.

6. (FATEC) Se 1 raiz do polinmiop(x) = x3 4x2 + x k, k , ento as outras duas razes so:a) reais e de multiplicidade 2 b) racionais e negativasc) no reais d) irracionaise) inteiras

7. (UEL) Uma das razes do polinmio x3 + 2x2 7x 2 2. O produto das outras razes :a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 28. (MACKENZIE) Se a soma de duas razes deP(x) = x3 6x2 + 11x + k 3, ento o nmero real k igual a:a) 6 b) 3 c) 2 d) 3 e) 6

9. (UFCE) Sabendo-se que as razes do polinmio P(x) = x3 18x2 + 8x + 384 esto em progresso aritmtica,determinar a maior delas.

10. (VUNESP) Se as razes do polinmio p(x) = x3 6x2 + kx 6 so reais e esto em progresso aritmtica,o valor de k :a) 0 b) 2 c) 3 d) 5 e) 11

11. (FUVEST) Sabe-se que P(x) um polinmio cujas razesformam uma progresso geomtrica de razo 2 e primeiro termo2. O coeficiente do termo de mais alto grau de P(x) 1 e o termoindependente igual a 221. O grau do polinmio :a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

12. (ITA) As razes da equao de coeficientes reaisx3 + ax2 + bx + c = 0 so inteiras, positivas e consecutivas. Asoma dos quadrados dessas razes igual a 14. Entoa2 + b2 + c2 igual a:a) 190 b) 191 c) 192 d) 193 e) 194

13. Um polinmio P1(x) anula-se em 3 pontos distintos. Umpolin mio P2(x) anula-se em 4 pontos distintos. Ento, oproduto dos polinmios P1(x) e P2(x):a) pode no se anular em nenhum ponto.b) anula-se em exatamente 7 pontos distintos.c) pode anular-se em mais de 7 pontos distintos.d) pode anular-se em apenas 5 pontos distintos.e) anula-se em exatamente 12 pontos distintos.

14. (FGV) O polinmio p(x) = x3 5x2 52x + 224 tem trsrazes inteiras. Se a primeira delas o dobro da terceira e a somada primeira com a segunda 1, ento, o produto da primeira ea segunda a) 224. b) 167. c) 56. d) 28. e) 5.

15. (UNIFESP) Considere a equao x3 Ax2 + Bx C = 0,onde A, B e C so constantes reais. Admita essas constantesescolhidas de modo que as trs razes da equao so as trsdimenses, em centmetros, de um parale leppedo reto-retn -gulo. Dado que o volume desse para le leppedo 9 cm3, que asoma das reas de todas as faces 27 cm2 e que a soma doscomprimentos de todas as arestas 26 cm, pede-se: a) os valores de A, B e C. b) a medida de uma diagonal (interna) do paralele ppedo.

16. (UNESP) Seja z = 1 + i um nmero complexo.a) Escreva z e z3 na forma trigonomtrica.b) Determine o polinmio de coeficientes reais, de menor grau,

que tem z e |z|2 como razes e coe ficiente dominante igual a1.

17. (FUVEST) O produto de duas das razes do polinmio p(x) = 2x3 mx2 + 4x + 3 igual a 1. Determinara) o valor de m.b) as razes de p.

1

a

1

b1

c

1

d1

e

4

34

33

43

41

4

8


18. (UFOP) Sabendo que 1 raiz da equao polinomial6x3 + 5x2 + kx 1 = 0 e denominando de a e b as outras razesdessa equao, pode-se afirmar que a2 + b2 vale:

a) b) c) 1 d) 1

Mdulo 20 Equaes Algbricas:Pesquisa de Razes

1. Na equao x4 x3 3x2 + 5x 2 = 0, o nmero 1 raiz:a) simples b) dupla c) triplad) qudrupla e) quntupla

2. Se a equao x3 2x2 + x + m 1 = 0 tem uma raiz dupla,ento m pode ser:a) zero b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

3. (FUVEST) Suponha que o polinmio do 3o. grau P(x) = x3 + x2 + mx + n, em que m e n so nmeros reais, sejadivisvel por x 1. a) Determine n em funo de m.b) Determine m para que P(x) admita raiz dupla diferente de 1.c) Que condies m deve satisfazer para que P(x) admita trs

razes reais e distintas?

4. O polinmio x7 2x6 + x5 x4 + 2x3 x2 = 0 tem:a) 2 razes duplas b) 1 raiz triplac) 4 razes no reais d) 6 razes no reaise) 3 razes duplas5. Determine as razes da equao x3 16x2 + 85x 150 = 0,sabendo-se que uma das razes tem multiplicidade 2.

6. (UEL) Sabe-se que 2 raiz de multiplicidade 2 daequao 2x4 + x3 17x2 16x + 12 = 0. A soma das demaisrazes dessa equao :

a) 7 b) c) 3 d) e) 7

7. (UNICAMP) Para resolver equaes do tipox4 + ax3 + bx2 + ax +1 = 0, podemos proceder do seguintemodo: como x = 0 no uma raiz, divide-se a equao por x2 e,

aps fazer a mudana de variveis u = x + , resolve-se a

equa o obtida [na varivel u]. Observe que, se x e x > 0,ento u 2 .a) Ache as 4 razes da equao x4 3x3 + 4x2 3x + 1 = 0. b) Encontre os valores de b para os quais a equa o

x4 3x3 + bx2 3x + 1 = 0 tem pelo menos uma raiz realpositiva.

8. As razes da equao 3x3 13x2 + 13x 3 = 0 so:

a) 7, 6, b) 6, 5, c) 5, 7,

d) 1, 3, e) 2, 4,

9. (PUCCAMP) Sabe-se que a equao 2x3 + x2 6x 3 = 0 admite uma nica raiz racional e nointeira. As demais razes dessa equao so:a) inteiras e positivas. b) inteiras e de sinais contrrios.c) no reais. d) irracionais e positivas.e) irracionais e de sinais contrrios.10. (VUNESP) Os coeficientes do polinmiof(x) = x3 + ax2 + bx + 3 so nmeros inteiros. Supondo que f(x)tenha duas razes racio nais positivas distintas:a) encontre todas as razes desse polinmio.b) determine os valores de a e b.11. Sabe-se que o nmero complexo i soluo da equao x4 3x2 4 = 0. Ento:a) essa equao tem uma soluo de multiplicidade 2.b) as solues dessa equao formam uma progresso.c) a equao tem duas solues reais irracionais.d) a equao tem 2 solues reais racionais.e) a equao no tem solues reais.12. Se x4 3x3 + 2x2 + 2x 4 = 0 admite a raiz complexa 1 i, ento a soma das duas razes reais dessa equao : a) 3 b) 1 c) 1 d) 2 e) 313. O polinmio de coeficientes inteiros, de menor graupossvel, que tem como razes 2 e i, pode ser:a) x3 2x2 x + 2 b) x2 + (2 i)x 2c) x2 (2 + i)x + 2i d) x3 2x2 + x 2e) x3 + x2 x 2

14. O polinmio p(x) = x3 2x2 x + 2 tem:a) duas razes reais no intervalo [ 1; 0]b) pelo menos uma raiz real no intervalo ]0; [

c) pelo menos uma raiz real no intervalo ]2; 3[d) duas razes reais no intervalo [1; 3]e) uma raiz real no intervalo [3; 4]

15. (FUVEST) A figura mostra parte do grfico de umafuno polinomial f(x) de grau 3.

O conjunto de todos os valo res reais de m para os quais aequao f(x) = m tem trs razes reais distintas :a) 4 < m < 0 b) m > 0c) m < 0 d) 1 < m < 1e) m > 4

16. (GV) Considere a seguinte equao polinomial:x4 + 2x3 + x2 x 6 = 0a) Mostre que esta equao tem uma raiz racional e encontre

esta raiz.b) Mostre que esta equao tem uma raiz irracional.

13

361

6

7

27

2

1

x

1

71

615

1

31

2

1

2

9


17. (UNICAMP) Dada a equao polinomial com coefi -cientes reais x3 5x2 + 9x a = 0:a) Encontre o valor numrico de a de modo que o nmero

complexo 2 + i seja uma das razes da referida equao.b) Para o valor de a encontrado no item anterior, determine as

outras duas razes da mesma equao.

18. (UFPR) Considere as seguintes afirmativas a respeito dopoli n mio p(x) = x2 + bx + c:I. Quando c = 0, o valor x = 0 raiz do polinmio.II. Se x = e x = so razes do polinmio e 0, ento

b = 0.III. Se o nmero complexo x = 1i raiz do polinmio, ento

b + ic = 0.

Assinale a alternativa correta.a) Somente as afirmativas I e II so verdadeiras.b) Somente as afirmativas II e III so verdadeiras.c) Somente as afirmativas I e III so verdadeiras.d) Somente a afirmativa I verdadeira.e) As afirmativas I, II e III so verdadeiras.

19. (UFMT) A diviso de um polinmio de coeficientes reaisP(x) por (x + 1) apresenta como quociente um polinmio Q(x)de grau 3 com o coeficiente do termo de maior grau igual a 1e, como resto, (x 3). O grfico de Q(x) mostrado na figura aseguir.

A partir dessas informaes, qual a soma dos coeficientes deP(x)?a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2

20. (MACKENZIE) Se as trs razes reais, no neces saria -mente distintas, do polinmio p(x) = x3 a3x2 + ax 1, a ,formam uma progresso geomtrica, ento o valor de a a3 a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2

Mdulo 21 Fatorial e Nmero Binomial

1. O valor de :

a) 210 b) 420 c) 360 d) 400 e) 500

2. Simplificando a expresso obtemos:

a) n b) n2 + 1 c) n2 + nd) n2 1 e) n2 n

3. (UNESP) Se n um nmero inteiro positivo, pelosmbolo n! subentende-se o produto de n fatores distintos,n . (n 1) . (n 2) ... 2 . 1. Nestas condies, qual o algarismodas unidades do nmero (9!8!)7!?a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

4. (UESPI) Se n1 e n2 so os nmeros inteiros positivos quesatis fazem a equao

= 0, ento

n1 + n1 . n2 + n2 igual a:a) 119 b) 129 c) 139 d) 149 e) 159

5. (VUNESP) Seja n , n 1. Ento,(n 1)! [(n + 1)! n!] igual a:a) n!n b) (n 1)!n c) (n2)! d) (n!)2 e) 2(n!)

6. (MACKENZIE) Efetuando ,obtm-se:

a) b) c)

d) e) 0

7. O valor do nmero binomial :

a) 19900 b) 20000 c) 19800d) 39800 e) 5460

8. O valor do nmero binomial :

a) 336 b) 56 c) 48 d) 36 e) 20

9. Resolver a equao 2 = 7

10. (UEL) A soluo da equao = um nmero

inteiro mltiplo de

a) 11 b) 9 c) 7 d) 5 e) 3

11. Resolver a equao = 0

12. Resolver a equao =

21! 20!

19!

(n + 1)!(n 1)!

1

6!(n 6)!1

4!(n 4)!2

5!(n 5)!

n(n + 1)!

1

n!

n!(n + 1)!

n 12

n!1

(n + 1)!2n + 1

(n + 1)!

200198

83

x 12x + 14

7

2n + 14

n 12

145x 7145 x

152x153 x10


13. O valor de + :

a) b) c) d) e)

14. (PUC) Se = 10 e = 55, ento igual a:a) 40 b) 45 c) 50 d) 55 e) 60

15. Calcular p, p > 3, sendo dado: =

Questes de 16 a 21

Lembrando que ak, por exemplo, significa

a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 e utilizando as propriedades do

Tringulo de Pascal, calcular:

16. = + + + + =

17. = + + + + =

18. = 19. =

20. = 21. =

22. O valor de m que satisfaz a sentena = 512 :

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

Mdulo 22 Teorema do Binmio de Newton

1. Utilizando o Teorema do Binmio de Newton, desen volver(x 2)6

2. (MACKENZIE) O sistema

x3 + x2y + xy2 + y3 = 8x2 y2 = 6

tem por soluo um par ordenado (x, y) cuja representao

grfica um ponto do:a) primeiro quadrante b) segundo quadrantec) terceiro quadrante d) quarto quadrantee) eixo das abscissas3. (UEL) No desenvolvimento do binmio

segundo as potncias decrescentes de x, o

stimo termo :

a) 210 . x 4 b) 120 . x c) 210 . x2

d) 120 . x e) 210 . x4

4. Calcular o sexto termo do desenvolvimento de(2 x 5 y)10.5. (U.F.CEAR) O coeficiente de x6 no desenvolvimentode (2 . x2 + 2)5 :a) 40 2 b) 48 2 c) 60 2 d) 80 2 e) 84 2

6. (UFSC) Qual o coeficiente numrico do termo em x2,no desenvolvimento do binmio (x + )10?7. (MACKENZIE) O coeficiente do termo em x3 no

desenvol vimento de (x + )6 :a) 1 b) 6 c) 10 d) 15 e) inexistente

8. Calcular o termo independente de x no desenvolvimento

de ( + 4x )18.9. (MACKENZIE) Um dos termos do desenvolvimento de (x + 3a)5 360x3. Sabendo-se que a no depende de x, o valor dea :a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10. (U.F.GOIS) Determine o valor que deve ser atribudoa k de modo que o termo independente de x, no desenvol vi -men to de (x + )6, seja igual a 160.11. (MACKENZIE) No desenvolvimento (x2 + )k, k , os coeficien tes binomiais do quarto e do dcimo-terceirotermos so iguais. O termo independente de x, feito segundo osexpoentes decrescentes de x, o:a) dcimo b) dcimo-primeiro c) nonod) dcimo-segundo e) oitavo

12. (MACK) No desenvolvimento de (2x + b)5, b 0, ocoeficiente numrico do termo em x4 oito vezes aquele dotermo em x3. Ento, b vale:

a) b) c) d) 32 e) 16

m 1p 1 mm p m 1p

p 1 p 1 2 + 3

p p 1 2 3 5

3

7k = 2

4k = 0

4k 40 41 42 43 44 4

k = 0

k + 2k 20 31 42 53 64

9p = 2

9p 10p = 4

p4

10p = 5

p5 3

p = 0

p + 8p m

k = 0

mk

3( )0 3( )1 3( )2 3( )3

21132115211420152014

20142013

14x +

x11

4

114

1

x

1

x

1

x2

k

x

3

x

1

21

41

8

11


13. A soma dos coeficientes numricos dos termos do desen -volvimento de (x y)104 :a) 1 b) 1 c) 0 d) 104 e) 214. A soma dos coeficientes numricos dos termos do desen -volvimento de (3x 2y)n :a) 1 b) 1 c) 2 d) 2n e) 2n

Mdulo 23 Princpio Fundamental da Contagem, Arranjos e Permutaes

1. (FUVEST) Considere todas as trinta e duas sequncias,com cinco elementos cada uma, que podem ser formadas comos algaris mos 0 e 1. Quantas dessas sequncias possuem pelomenos trs zeros em posies consecutivas?a) 3 b) 5 c) 8 d) 12 e) 16

2. (VUNESP) De uma urna contendo 10 bolas coloridas,sendo 4 brancas, 3 pretas, 2 vermelhas e 1 verde, retiram-se, deuma vez, 4 bolas. Quantos so os casos possveis em queaparecem exa tamente uma bola de cada cor?a) 120 b) 72 c) 24 d) 18 e) 12

3. (UEL) Para responder a certo questionrio, preenche-seo carto apresentado abaixo, colocando-se um x em uma sres posta para cada questo.

De quantas maneiras distintas pode-se responder a esse questio -nrio?a) 3125 b) 120 c) 32 d) 25 e) 10

4. (UFRJ) Um construtor dispe de quatro cores (verde,amarelo, cinza e bege) para pintar cinco casas dispostas lado alado. Ele deseja que cada casa seja pintada com apenas uma core que duas casas consecutivas no possuam a mesma cor.Por exemplo, duas possibilidades diferentes de pintura seriam:

Primeira

verde amarelo bege verde cinzaSegunda

verde cinza verde bege cinzaDetermine o nmero de possibilidades diferentes de pintura.

5. (UNESP) Quatro amigos vo ocupar as poltronas a, b, c, dde um nibus dispostas na mesma fila horizontal, mas em ladosdiferen tes em relao ao corredor, conforme a ilustrao.

Dois deles desejam sentar-se juntos, seja do mesmo lado docorredor, seja em lados diferentes. Nessas condies, de quantasmaneiras distintas os quatro podem ocupar as poltronasreferidas, considerando-se distintas as posies em que pelomenos dois dos amigos ocupem poltronas diferentes?a) 24 b) 18 c) 16 d) 12 e) 6

6. (MACKENZIE) Cada um dos crculos da figura ao ladodever ser pintado com uma nicacor, escolhida dentre quatro dispon -

veis. Sabendo-se que dois crculos consecutivos nunca seropintados com a mesma cor, ento o nmero de formas de sepintar os crculos :a)100 b) 240 c) 729 d) 2916 e) 5040

7. (UEL) Um professor de Matemtica comprou dois livrospara premiar dois alunos de uma classe de 42 alunos. Como sodois livros diferentes, de quantos modos distintos pode ocorrera premiao?a) 861 b) 1722 c) 1764 d) 3444 e) 242

8. (UNIV. EST. DE FEIRA DE SANTANA) O nmero deequipes de trabalho que podero ser formadas num grupo dedez indivduos, devendo cada equipe ser constituda por umcoordenador, um secretrio e um digitador, :a) 240 b) 360 c) 480 d) 600 e) 720

9. (UNIV. EST. DE FEIRA DE SANTANA) Numa cor ri -da de Frmula 1, esto inscritos 12 participantes. No podendohaver empate, o nmero de resultados possveis para os doisprimeiros lugares :a) 96 b) 108 c) 112 d) 121 e) 132

10. Quantos nmeros de 3 algarismos distintos, maiores que500, podemos formar com os algarismos de 0 a 9?

11. Quantos nmeros diferentes de quatro algarismos distintosexistem no sistema decimal de numerao?

12. Quantos nmeros mpares diferentes, de quatro algarismosdistintos existem no sistema decimal de numerao?

13. Quantos nmeros pares diferentes, de quatro algarismosdistintos existem no sistema decimal de numerao?

14. Cada linha telefnica nova formada por 8 algarismos,divi di dos em 2 grupos: um formado pelos primeiros 4 algaris -mos, que distingue os centros telefnicos, e outro, com 4algaris mos, que distingue as linhas de um mesmo centro. Su -

CARTO RESPOSTAQUESTES 1 2 3 4 5

SIM o o o o o

NO o o o o o

12


po nha que s os alga rismos de cada grupo sejam todos distin -tos. Quantas linhas telefnicas, comeando com o algarismo 2,poderiam ser lanadas?

15. (UFMG) O total de nmeros inteiros, com todos osalgarismos distintos, compreendidos entre 11 e 1000, :a) 576 b) 648 c) 728 d) 738 e) 741

16. (MACKENZIE)

Considerando a tabela acima, x + y igual a: a) 180 b) 190 c) 270 d) 280 e) 300

17. (FGV) Num concurso que consta de duas fases, os can -didatos fizeram uma prova de mltipla escolha, com 30 questes de4 alternativas cada. Na segunda fase, outra prova continha 30questes do tipo falsa ou verdadeira. Chamando de n1 o nmerodos diferentes modos de responder a prova da 1a. fase e de n2, onmero dos diferentes modos de responder a prova da 2a. fase, tem-se quea) n1 = 2 n2. b) n1 = 30 n2. c) n1 = 4 n2.d) n1 = 230 n2. e) n1 = 430 n2.

18. (FGV) Por ocasio do Natal, um grupo de amigosresolveu que cada um do grupo mandaria 3 mensagens a todosos demais. E assim foi feito. Como o total de men sagensenviadas foi 468, pode-se concluir que o nmero de pessoas queparticipam desse grupo a) 156. b) 72. c) 45. d) 13. e) 11.

19. (FGV) Deseja-se criar uma senha para os usurios de umsistema, comeando por trs letras escolhidas entre as cinco A,B, C, D e E seguidas de quatro algarismos escolhidos entre 0, 2,4, 6 e 8. Se entre as letras puder haver repetio, mas se osalgarismos forem todos distintos, o nmero total de senhaspossveis :a) 78 125 b) 7 200 c) 15 000d) 6 420 e) 50

20. (MACKENZIE) Um hacker est tentando invadir umsite do Governo e, para isso, utiliza um programa que conseguetestar 163 diferentes senhas por minuto. A senha composta por5 caracteres escolhidos entre os algarismos de 0 a 9 e as letrasde A a F. Sabendo que o programa testa cada senha uma nicavez e que j testou, sem sucesso, 75% das senhas possveis, otempo decorrido desde o incio de sua execuo de a) 2 horas e 16 minutos. b) 1 hora e 40 minutos.c) 3 horas e 48 minutos. d) 3 horas e 12 minutos.e) 2 horas e 30 minutos.

21. (UNIFESP) A figura exibe um mapa representando 13pases. Considerando-se como pases vizinhos aqueles cujasfronteiras tm um segmento em comum, o nmero mnimo decores que se pode utilizar para colori-los, de forma que doispases vizinhos no tenham a mesma cor, :

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

22. (UNESP) Considere o tabuleiro da figura.

a) Considere uma pea com 4 casas:

De quantas maneiras diferentes pode-se coloc-la notabuleiro, sem gir-la e mantendo-se sempre a mesma facevoltada para cima, de forma a cobrir 4 casas por completo?

b) Considere, agora, a pea com 3 casas:

Imaginando todas as posies possveis para a mesma, emantendo-se sempre a mesma face voltada para cima, dequantas maneiras diferentes pode-se coloc-la no tabuleirode modo que cubra 3 casas por completo?

23. (UNESP) Considere a identificao das placas deveculos, compostas de trs letras seguidas de 4 dgitos. Sendoo alfabeto constitudo de 26 letras, o nmero de placas possveisde serem constitudas, pensando em todas as combinaespossveis de 3 letras seguidas de 4 dgitos, a) 3 120. b) 78 624 000. c) 88 586 040.d) 156 000 000. e) 175 760 000.

24. (FUVEST) A partir de 64 cubos brancos, todos iguais,forma-se um novo cubo. A seguir, este novo cubo tem cinco desuas seis faces pintadas de vermelho. O nmero de cubosmenores que tiveram pelo menos duas de suas faces pintadasde vermelho

a) 24 b) 26 c) 28 d) 30 e) 32

Agrupamentos de quatro algarismos

TIPO I Quantidade x TIPO II Quantidade y

Os dois primeiros algaris mosiguais e os dois l ti mosiguais, mas dife rentes dos pri -meiros

Trs algarismos iguais emposi es consecu tivas, sendoo algarismo res tante dife rentedos anteriores.

13


Mdulo 24 Combinaes

1. Calcular o nmero total de anagramas da palavraVESTIBULAR.

Questes de 2 a 17

Considerando-se os anagramas da palavra ALIMENTO, qual o nmero total dos que:

2. comeam com a letra M?

3. terminam com a letra O?

4. comeam com a letra M e terminam com a letra L?

5. possuem a letra N em segundo lugar e a letra O em quintolugar?

6. comeam com AL, nessa ordem, e terminam em I?

7. comeam com a letra L ou terminam com a letra I?

8. possuem as letras LIM juntas e nesta ordem?9. possuem as letras LIM juntas?10. comeam com uma vogal?

11. terminam com uma consoante?

12. comeam com vogal e terminam em consoante?

13. comeam e terminam com vogal?

14. comeam com vogal ou terminam em consoante?

15. comeam ou terminam com vogal?

16. no possuem duas vogais juntas nem duas consoantesjuntas?17. possuem todas as letras em ordem alfabtica?

18. (MACK) Um trem de passageiros constitudo de umalocomotiva e 6 vages distintos, sendo um deles restaurante.Sabendo-se que a locomotiva deve ir frente e que o vagorestaurante no pode ser colocado imediatamente aps alocomotiva, o nmero de modos diferentes de montar acomposio :a) 120 b) 320 c) 500 d) 600 e) 720

19. (GV) Um processo industrial deve passar pelas etapas A,B, C, D e E.a) Quantas sequncias de etapas podem ser delineadas se A e B

devem ficar juntas no incio do processo e A deve antece der B?b) Quantas sequncias de etapas podem ser delineadas se A e B

devem ficar juntas, em qualquer ordem, e no necessaria -mente no incio do processo?

20. Um estudante ganhou numa competio quatro diferenteslivros de Matemtica, trs diferentes de Fsica e dois diferentesde Qumica. Querendo manter juntos os da mesma disciplina,calculou que poder enfileir-los numa prateleira da estante, demodos diversos, num total de:a) A9,3 b) A9,3 . A9,3 . A9,2 c) P9d) P4 . P3 . P2 e) P3 . P4 . P3 . P221. (UNESP) O nmero de maneiras que 3 pessoas podemsentar-se em uma fileira de 6 cadeiras vazias de modo que, entreduas pessoas prximas (seguidas), sempre tenha exatamenteuma cadeira vazia, a) 3. b) 6. c) 9. d) 12. e) 15.

22. (UNESP) Considere todos os nmeros formados por 6algaris mos distintos obtidos permutando-se, de todas as formaspossveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.a) Determine quantos nmeros possvel formar (no to tal) e

quantos nmeros se iniciam com o algarismo 1.b) Escrevendo-se esses nmeros em ordem cres cente, determine

qual posio ocupa o nmero 512346 e que nmero ocupa a242a. posio.

23. (UNIFESP) As permutaes das letras da palavraPROVA foram listadas em ordem alfabtica, como se fossempalavras de cinco letras em um dicionrio. A 73a. palavra nessalista a) PROVA. b) VAPOR. c) RAPOV.d) ROVAP. e) RAOPV.

24. (UFOP) Com os algarismos 1, 2, 3 e 4, formam-se todosos nmeros de trs algarismos distintos possveis. Dentre estes,o nmero de mltiplos de trs :a) 0 b) 6 c) 12 d) 24

25. Considere o conjunto A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Calcular onmero de subconjuntos de A com 3 elementos.a) 2 b) 18 c) 20 d) 120 e) 216

26. De um grupo de estudos de vinte pessoas, em que s seisso mdicos, deseja-se formar comisses de dez pessoas, sendoque todos os mdicos devem ser includos em cada comisso. Onmero de formas para elaborar as comisses pode ser dadopor:a) A14,4 b) A20,4 c) A20,6d) C20,4 e) C14,427. Considere 21 pontos, dos quais 3 nunca so colineares.Qual o nmero total de retas determinadas por estes pontos?

28. Considere 21 pontos, dos quais 3 nunca so colineares.Qual o nmero total de tringulos com vrtices nestes pontos?

29. So dados 12 pontos em um plano, dos quais 5 e somente5 esto alinhados. Quantos tringulos podem ser formados comvrtices em 3 dos 12 pontos?

14


30. (MACKENZIE) Os polgonos de k lados (k mltiplo de 3), que podemos obter com vrticesnos 9 pontos da figura, so em nmerode:a) 83 b) 84c) 85 d) 168e) 169

31. (UEL) Em uma floricultura, esto venda 8 mudas decravos e 12 mudas de rosas, todas diferentes entre si. Um clientepretende comprar 3 mudas de cravos e 4 de rosas. De quantosmodos ele pode selecionar as 7 mudas que quer comprar?a) C20,7 b) A20,7 c) 7!d) A8,3 . A12,4 e) C8,3 . C12,432. (VUNESP) De um grupo constitudo de 6 enfermeiros e2 mdicos, deseja-se formar comisses de 5 pessoas. Quantasdessas comisses podem ser formadas se os 2 mdicos devem,necessariamente, fazer parte de todas as comisses?a) 10 b) 15 c) 20 d) 168 e) 336

33. (GV) Em uma Universidade, no Departamento deVeterinria, existem 7 professores com especializao emParasitologia e 4 em Microbiologia. Em um congresso, para aexposio dos seus trabalhos, sero formadas equipes daseguinte forma: 4 com especializao em Parasitologia e 2 comespecializao em Microbio logia. Quantas equipes diferentespodero ser formadas?

34. Uma empresa formada por 6 scios brasileiros e 4japoneses. De quantos modos podemos formar uma diretoria de5 scios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses?

35. De quantas maneiras doze brinquedos diferentes podem serdistribudos entre trs crianas, de modo que a mais nova ganhecinco brinquedos, a mais velha quatro, e a outra trs?

36. Calcular o nmero total de palavras (com sentido ou no)de 4 letras, que podem ser formadas com as 10 primeiras letrasdo alfabeto.

37. Quantos so os anagramas da palavra SAPATO?

38. Quantos nmeros naturais de 4 algarismos existem, aotodo, no sistema decimal de numerao, tendo cada um pelomenos dois algarismos iguais?

39. Quantos nmeros de trs algarismos podemos formar, aotodo, com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4?

40. Quantos nmeros de trs algarismos existem no sistemadecimal de numerao?

41. (MACKENZIE) O frentista de um posto de gasolinadeve calibrar os 4 pneus de um carro. Como est com pressa,escolhe, ao acaso, apenas 2 deles para calibrar. A probabilidadede ele ter calibrado os dois pneus dianteiros

a) . b) . c) . d) . e) .

42. (PUC) Joel e Jane fazem parte de um grupo de dez atores:4 mulheres e 6 homens. Se duas mulheres e trs homens foremescolhidos para compor o elenco de uma pea teatral, aprobabilidade de que Joel e Jane, juntos, estejam entre eles

a) b) c) d) e)

43. (FGV) No estoque de uma loja h 6 blusas pretas e 4brancas, todas de modelos diferentes. O nmero de diferentespares de blusas, com cores diferentes que uma balconista podepegar para mostrar a uma cliente, pode ser calculado assim:a) A10,2 (C6,2 + C4,2) b) C10,2 (C6,2 + C4,2)c) A10,2 A6,4 d) C10,2 C6,4.e) C10,2 A6,4.

44. (UNESP) Considere os algarismos 2, 3, 5, 7 e 11. Aquantidade total de nmeros distintos que se obtmmultiplicando-se dois ou mais destes algarismos, sem repetio,a) 120. b) 52. c) 36. d) 26. e) 21.

45. (UNESP) Marcam-se, num plano, 10 pontos, A, B, C, D,E, F, G, H, I, J, dos quais 4 esto sobre a mesma reta e trsoutros pontos quaisquer nunca esto alinhados, conforme afigura.

O nmero total de tringulos que podem ser formados, unin - do-se trs quaisquer desses pontos, a) 24. b) 112. c) 116. d) 120. e) 124.

46. (UNESP) A turma de uma sala de n alunos resolve formaruma comisso de trs pessoas para tratar de um assunto delicadocom um professor.a) Explicite, em termos de n, o nmero de comisses possveis

de serem formadas com estes alunos.b) Determine o nmero de comisses possveis, se o professor

exigir a participao na comisso de um deter minado alunoda sala, por esse ser o represen tante da classe.

47. (FUVEST) Trs empresas devem ser contratadas pararealizar quatro tra balhos distintos em um condomnio. Cadatrabalho ser atri bu do a uma nica empresa e todas elas devem

1

41

31

21

51

6

3

41

21

41

61

8

15


ser contra ta das. De quantas maneiras distintas podem ser dis -tribudos os trabalhos?a) 12 b) 18 c) 36 d) 72 e) 108

48. (FUVEST) Em uma certa comunidade, dois homenssempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de moe se despedem (na sada) com outro aperto de mo. Um homeme uma mulher se cumprimentam com um aperto de mo, mas sedespedem com um aceno. Duas mulheres s trocam acenos,tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem.Em uma comemorao, na qual 37 pessoas almo aram juntas,todos se cumprimentaram e se des pedi ram na forma descritaacima. Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo queforam trocados 720 apertos de mo?a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

49. (UEG) A UEG realiza seu Processo Seletivo em doisdias. As oito disciplinas, Lngua Portuguesa-LiteraturaBrasileira, Lngua Es tran geira Moderna, Biologia, Matemtica,Histria, Geogra fia, Qumica e Fsica, so distribudas em duasprovas objetivas, com quatro disciplinas por dia. No ProcessoSeletivo 2005/2, a distribuio a seguinte: primeiro dia:Lngua Portuguesa-Literatura Brasileira, Lngua EstrangeiraModerna, Biologia e Matemtica; segundo dia: Histria,Geografia, Qumica e Fsica.A UEG poderia distribuir as disciplinas para as duas provasobjetivas, com quatro por dia, dea) 1.680 modos diferentes. b) 256 modos diferentes.c) 140 modos diferentes. d) 128 modos diferentes.e) 70 modos diferentes.

50. (UFMT) Braille o sistema de leitura e escrita maisutilizado pelos deficientes visuais em todo mundo. Esse mtodottil consiste em pontos em relevo, dispostos de maneirasdiferentes para cada letra do alfabeto, nmeros, smbolos epontuao.A unidade de leitura onde so assinalados os pontos para representar cada algarismo denominada CE -LA. A figura ao lado ilustra uma CELA.

Admita que na ilustrao abaixo esto asrepresentaes dos algarismos da base decimal nesse sistema.

(Adaptado da Revista Galileu, maio/2005, p.82.)

A partir das informaes acima, quantas celas distintas, nosistema Braille, podem ser assinaladas com 1, 2, 3 e 4 pontos eNO representam algarismos da base decimal?a) 78 b) 109 c) 380 d) 46 e) 506

51. (UNB) Em um tabuleiro quadrado, de 5 x 5, mostrado nafigura a seguir, deseja-se ir do quadrado esquerdo superior (ES)ao quadrado direito inferior (DI).

Somente so permitidos os movimentos horizontal (H), vertical(V) e diagonal (D), conforme ilustrado nas represen taesseguintes.

Com base nessa situao e com o auxlio dos princpios deanlise combinatria, julgue os itens que se seguem.(0) Se forem utilizados somente movimentos horizontais e

verticais, ento o nmero de percursos possveis ser iguala 70.

(1) Se forem utilizados movimentos horizontais, verticais eapenas um movimento diagonal, o nmero de percursospossveis ser igual a 140.

(2) Utilizando movimentos horizontais, verticais e trs movi -mentos diagonais, o nmero de percursos possveis iguala 10.

52. (MACKENZIE) Dentre os anagramas distintos quepodemos formar com n letras, das quais somente duas soiguais, 120 apresentam estas duas letras iguais juntas. O valorde n :a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 122

53. Um feirante possui, em sua banca, mas, peras e laranjasem grande quantidade. Desejando atender melhor a sua clien -tela, o feirante resolveu empacotar todas as suas frutas, de mo -do que cada pacote contivesse exatamente 5 frutas. Quantostipos de pacotes poder o feirante oferecer, no mximo, suaclientela?

54. (VUNESP) Dez rapazes, em frias no litoral, esto orga -nizando um torneio de voleibol de praia. Cinco deles so sele -cio nados para escolher os parceiros e capitanear as cincoequi pes a serem formadas, cada uma com dois jogadores.a) Nessas condies, quantas possibilidades de formao de

equipes tm os capites escolhidos?b) Uma vez formadas as cinco equipes, quantas partidas se rea -

lizaro, se cada uma das equipes dever enfrentar todas asoutras uma nica vez?

ES

DI

16


55. (MACKENZIE) O nmero de comisses diferentes, de2 pessoas, que podemos formar com os n diretores de umafirma, k. Se, no entanto, ao formar estas comisses, tivermosque indicar uma das pessoas para presidente e a outra parasuplente podemos formar k + 3 comisses diferentes. Ento, nvale:a) 3 b) 10 c) 13 d) 30 e) 40

56. (MACKENZIE) O valor de Cn,0 + Cn,1 + Cn,2 + ... + Cn,n 1,com n *, :

a) 2n 1 b) 2n c) 2n + n d) n2 e) (n + 2) . 2

57. Existem n maneiras de distribuir 7 moedas de valoresdiferentes entre duas pessoas. Excluindo-se a possibilidade deuma s receber todas as moedas, o valor de n ser:a) 126 b) 128 c) 49 d) 45 e) 30

58. (UNICAMP) O smbolo Cn,p definido por para n 0 com 0! = 1. Estes nmeros Cn,p so inteiros e

aparecem como coeficientes no desenvolvimento de (a + b)n.a) Mostre que Cn,p 1 + Cn,p = Cn + 1,p.b) Seja S = Cn,0 + Cn,1 + .... + Cn,n. Calcule log2S.

59. (UNICAMP) a) De quantas maneiras possvel distribuir 20 bolas iguais

entre 3 crianas de modo que cada uma delas receba, pelomenos, 5 bolas?

b) Escolhendo, aleatoriamente, uma das distribuies do item(a), qual a probabilidade de uma delas receber exata mente 9bolas?

Mdulo 25 Probabilidade: Definio eUnio de Eventos

1. (FATEC) Considere todos os nmeros de cinco alga rismosdistintos obtidos pela permutao dos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8.Escolhendo-se um desses nmeros, ao acaso, a probabilidadede ele ser um nmero mpar :

a) 1 b) c) d) e)

2. O nmero da chapa de um carro par. A probabilidade de oalgarismo das unidades ser zero :a) 1/10 b) 1/2 c) 4/9 d) 5/9 e) 1/5

3. Foram preparadas noventa empadinhas de camaro, dasquais, a pedido, sessenta deveriam ser bem mais apimentadas.Por pressa e confuso de ltima hora, foram todas colocadas aoacaso, numa mesma travessa para serem servidas. A proba -bilidade de algum retirar uma empadinha mais apimentada :a) 1/3 b) 1/2 c) 1/60 d) 2/3 e) 1/90

4. Gira-se o ponteiro (veja a figura) e anota-se o nmero que eleaponta ao parar. Repete-se a operao. Qual a probabilidade deque a soma dos dois nmeros obtidos seja 5?

a) b) c)

d) e)

5. Sete lmpadas de non so dispostas formando um oito,como no mostrador de uma calculadora (figura I), e podem seracesas independentemente umas das outras. Estando todas assete apagadas, acendem-se quatro delas ao mesmo tempo, aoacaso. A probabilidade de ser formado o algarismo 4, comoaparece na figura II, :a) 1/35b) 1/2c) 1/3d) 1/5e) 1/28

6. (VUNESP) A final da Olimpada de Matemtica de umacerta escola vai ser disputada por apenas trs alunos, A, B e C.Admite-se que duas vezes mais provvel que A vena do queB e duas vezes mais provvel que B vena do que C. Nessecaso, a probabilidade de que A vena a Olimpada :

a) b) c) d) e)

7. (FUVEST) Considerando-se um polgono regular de n lados,n 4, e tomando-se ao acaso uma das diagonais do polgono, aproba bilidade de que ela passe pelo centro :

a) 0 se n par. b) se n mpar. c) 1 se n par.

d) se n mpar. e) se n par.

8. (FUVEST) Numa urna so depositadas n etiquetasnumeradas de 1 a n. Trs etiquetas so sorteadas (semreposio). Qual a probabilidade de que os nmeros sorteadossejam consecutivos?

a) b) c)

d) e) 6(n 2) (n 1)

9. (UNICAMP) Uma urna contm 50 bolas que sedistinguem apenas pelas seguintes caractersticas: X delas so brancas e numeradas sequencialmente com os

nmeros naturais de 1 a X.

n!p!(n p)!

1

22

51

41

5

5

368

3612

3624

3635

36

5

74

73

72

71

7

1

2

1

n

1

n 3

(n 2)!

n!(n 3)!

n!(n 2)!

3! n!

(n 2)! 3!

n!

17


X + 1 delas so azuis e numeradas sequencialmente com osnmeros naturais de 1 a X + 1.

X + 2 delas so amarelas e numeradas sequencialmente comos nmeros naturais de 1 a X + 2.

X + 3 delas so verdes e numeradas sequencialmente de 1 aX + 3.

a) Qual o valor numrico de X?b) Qual a probabilidade de ser retirada, ao acaso, uma bola azul

ou uma bola com o nmero 12?

10. So escolhidas aleatoriamente trs dasclulas brancas do tabu leiro repre sen tado nafigura ao lado. Qual a proba bilidade de astrs posi es escolhidas no estaremalinhadas?

a) b) c) d) e)

11. (UNICAMP) Em uma festa para calouros esto presentes250 calouros e 350 calouras. Para danar, cada calouro escolheuma caloura ao acaso formando um par. Pergunta-se:a) Quantos pares podem ser formados?b) Qual a probabilidade de que uma determinada caloura no

esteja danando no momento em que todos os 250 calourosesto danando?

12. (MACKENZIE) Uma loja colocou venda 27 calasjeans, das quais 6 apresentam defeito. Escolhendo-se 3 calas aoacaso, a probabilidade de as 3 estarem com defeito

a) . b) . c) . d) . e) .

13. (PUC) Em um nibus h apenas 4 bancos vazios, cadaqual com 2 lugares. Quatro rapazes e quatro moas entram nessenibus e devem ocupar os bancos vagos. Se os lugares foremescolhidos aleatoriamente, a probabili dade de que cada bancoseja ocupado por 1 rapaz e 1 moa

a) b) c) d) e)

14. (FGV) a) Uma urna contm 6 bolas brancas, 8 bolas pretas e 4 bolas

verdes, todas iguais e indistinguveis ao tato. Um jogador tirauma bola ao acaso. Se a bola for branca, ele ganha; se a bolafor preta, ele perde. Se a bola for verde, ele retira outra bolaao acaso, sem repor a verde. Ele ganha se a segunda bola forbranca; se no, ele perde.Determine a probabilidade de o jogador ganhar.

b) Sete pessoas, entre elas Bento e Paulo, esto reunidas paraescolher, entre si, a Diretoria de um clube formada por umpresidente, um vice-presidente, um secretrio e um tesour -eiro.Determine o nmero de maneiras de compor a Diretoria,onde Paulo vice-presidente e Bento no presidente nemtesoureiro.

15. (FGV) Dois dados com a forma de tetraedro regular tmas faces numeradas de 1 a 4 e de 7 a 10, respectiva mente.Combina-se que ao lan-los, a face sorteada a que fica viradapara a mesa. Os dois dados so lanados. a) Calcule a probabilidade de serem sorteados dois nmeros

cujo produto par. b) Represente, num grfico de setores, as probabili dades de se

obter produto par e de se obter produto mpar, no lanamentodesses dois dados.

16. (FGV) Uma urna contm quatro fichas numeradas,sendo: A 1a. com o nmero 5 A 2a. com o nmero 10 A 3a. com o nmero 15 A 4a. com o nmero 20

Uma ficha sorteada, tem seu nmero anotado e recolocadana urna; em seguida outra ficha sorteada e anotado seunmero. A probabilidade de que a mdia aritmtica dos dois n -me ros sorteados esteja entre 6 e 14 :a) b) c) d) e)

17. (UNIFESP) Um engradado, como o da figura, temcapacidade para 25 garrafas.

Se, de forma aleatria, forem co lo cadas5 garrafas no engradado, a proba bili dadede que quaisquer duas delas no recaiamnuma mesma fila horizontal, nem numamesma fila vertical, :

a) b) c)

d) e)

18. (UFSCar) Juntam-se 27 cubos brancos, cada um com 1cm3 de volume, formando um cubo de 27 cm3. Em seguida,pinta-se de preto cada uma das seis faces do cubo de 27 cm3,como indica a figura 1.

Separa-se novamente os 27 cubos. Aleatoriamente e de umanica vez, 2 desses cubos so sorteados. Com os cubossorteados, deseja-se formar um paralele ppedo de 2 cm3 comcinco faces brancas e apenas uma preta, da forma indicada nafigura 2.

6

713

1425

2827

2811

65

15

3512

96

1174

58524

65

1

706

353

148

352

7

5!

25!5!5!

25!5!20!

25!

5!5!20!

25!5!5!25!

20!

5

129

166

137

148

15

18


A probabilidade de que esse paraleleppedo possa ser formadocom os cubos sorteados igual a

a) b) c) d) e)

19. (UFRN) Para a correo das provas de um concurso, ocoordenador da equipe dispe de dez pessoas, sendo setehomens e trs mulheres, para formar duplas de examinadores.Admitindo-se que a escolha das duplas seja aleatria, aprobabilidade de se ter uma dupla feminina igual a:

a) b) c) d)

20. (UFPE) As cidades A e B esto conectadas por trsrodovias, e as cidades B e C esto conectadas por cincorodovias.

Se escolhermos aleatoriamente uma trajetria para ir de A at Ce voltar para A, usando as rodovias indicadas, qual aprobabilidade de a trajetria no conter rodovias repetidas?a) 2/5 b) 7/15 c) 8/15 d) 3/5 e) 2/3

Mdulo 26 Probabilidade Condicional eInterseco de Eventos

1. Jogando-se um dado honesto de seis faces e sabendo queocorreu um nmero maior do que 2, qual a probabilidade deser um nmero mpar?

2. (PUCC) Lana-se um par de dados no viciados. Se asoma nos dois dados 8, ento a probabilidade de ocorrer a face5, em um deles, :a) 1/2 b) 2/5 c) 4/5 d) 1/5 e) 1/4

3. Sabendo-se que 6% de uma populao tem estatura superiora 1,80m e 30% entre 1,70m e 1,80m, qual a probabilidade deuma pessoa com mais de 1,70m ter mais de 1,80m?

4. Se dois prmios iguais forem sorteados entre 5 pessoas,sendo duas brasileiras e trs argentinas, qual ser aprobabilidade de:a) serem premiadas as duas brasileiras?b) ser premiada pelo menos uma argentina?c) serem premiadas duas argentinas?

5. Sabendo-se que a probabilidade de que um animal adquiracerta enfermidade, no decurso de cada ms, igual a 30%, aprobabili dade de que um animal sadio venha a contrair a doenas no 3o. ms igual a:a) 21% b) 49% c) 6,3% d) 14,7% e) 26%

6. (UNESP) Um piloto de Frmula I estima que suas chancesde subir ao pdio numa dada prova so de 60% se chover no diada prova e de 20% se no chover. O servio de Meteorologiaprev que a probabilidade de chover durante a prova de 75%.Nessas condies, calcule a probabilidade de que o piloto venhaa subir ao pdio.

7. (UNESP) A eficcia de um teste de laboratrio para checarcerta doena nas pessoas que comprovadamente tm essa doen -a de 90%. Esse mesmo teste, porm, produz um falso-po si -tivo (acusa positivo em quem no tem com prova damente adoen a) da ordem de 1%. Em um grupo populacional em que aincidncia dessa doena de 0,5%, seleciona-se uma pessoa aoacaso para fazer o teste. Qual a probabilidade de que o resultadodesse teste venha a ser positivo?

8. (MACK) Numa caixa A, temos um dado preto e outrobranco e, numa caixa B, dois dados brancos e um preto.Escolhida ao acaso uma caixa, se retirarmos dela, tambm aoacaso, um dado, ento a probabilidade de termos um dadobranco com o nmero 2 :

a) b) c) d) e)

9. (PUC) Em uma urna h 10 bolas, numeradas de 1 a 10.Um amigo prope-me o seguinte jogo: Sorteie 3 bolas. Se asoma dos nmeros nelas marcados for menor do que ou iguala 9, voc ganha. Caso contrrio, voc perde. Nesse jogo, aprobabilidade de que eu ganhe :

a) b) c) d) e)

10. (MACKENZIE) Um ultraleve est a 400 metros dealtura quando o motor pra de funcionar. Antes de cada tentativade religar o motor, inclusive a primeira, o piloto deve esperarum intervalo de 10 segundos e, a cada tentativa, cai pela metadea probabilidade de o motor voltar a funcionar. Se o ultraleveest em queda, com velocidade vertical constante de 10m/s, e achance de o motor ligar na primeira tentativa de 40%, aprobabilidade de o motor funcionar antes de o ultraleve tocar osolo dea) 56,8% b) 43,2% c) 70%d) 62% e) 65,6%

11. (FATEC) Suponha que, na regio em que ocorreu apassagem do Furaco Katrina, somente ocorrem trs grandesfenmenos destrutivos da natureza, dois a dois mutuamenteexclusivos: os hidrometeorolgicos (A), os geofsicos (B) e os biolgicos (C).Se a probabilidade de ocorrer A cinco vezes a de ocorrer B, eesta corresponde a 50% da probabilidadede ocorrncia de C, ento a probabilidade de ocorrer a) A igual a duas vezes a de ocorrer C.

1

121

365

727

723

24

1

301

241

207

1207

720

15

1

301

153

10

5

1172

929

11717

392

3

19


b) C igual metade da de ocorrer B.c) B ou C igual a 42,5%.d) A ou B igual a 75%.e) A ou C igual a 92,5%.

12. (UNESP) O gerente de uma loja de roupas, antes de fazernova encomenda de calas jeans femininas, verificou qual aquantidade de calas vendidas no ms anterior, para cadanmero (tamanho). A distribuio de proba bi li da des referenteaos nmeros vendidos no ms anterior foi a seguinte:

Se o gerente fizer uma encomenda de 500 calas de acordo comas probabilidades de vendas dadas na tabela, as quantidades decalas encomendadas de nmero 40 ou menos, e de nmerosuperior a 40, sero, respectivamente:a) 320 e 180. b) 380 e 120. c) 350 e 150.d) 180 e 320. e) 120 e 380.

13. (UNESP) Joga-se um dado honesto. O nmero queocorreu (isto , da face voltada para cima) o coeficiente b daequao x2 + bx + 1 = 0. Determinea) a probabilidade de essa equao ter razes reais.b) a probabilidade de essa equao ter razes reais, sabendo-se

que ocorreu um nmero mpar.

14. (UNESP) Uma urna contm as letras: A, C, D, D, E, E,F, I, I e L.a) Se todas as letras forem retiradas da urna, uma aps a outra,

sem reposio, calcule a probabilidade de, na sequncia dasretiradas, ser formada a palavra FELICIDADE.

b) Se somente duas letras forem retiradas da urna, uma aps aoutra, sem reposio, calcule a proba bilidade de seremretiradas duas letras iguais.

15. (UNESP) Um colgio possui duas salas, A e B, dedeterminada srie. Na sala A, estudam 20 alunos e na B, 30alunos. Dois amigos, Pedro e Joo, estudam na sala A. Umaluno sorteado da sala A e transferido para a B. Pos -teriormente, um aluno sorteado e transferido da sala B para asala A.a) No primeiro sorteio, qual a probabilidade de qualquer um

dos dois amigos ser transferido da sala A para a B?b) Qual a probabilidade, no final das transferncias, de os

amigos ficarem na mesma sala?

16. (UNESP) O sangue humano est classificado em quatrogrupos distintos: A, B, AB e O. Alm disso, o sangue de umapessoa pode possuir, ou no, o fator Rhsus. Se o sangue de umapessoa possui esse fator, diz-se que a pessoa pertence ao gruposanguneo Rhsus positivo (Rh+) e, se no possui esse fator, diz-se Rhsus negativo (Rh). Numa pesquisa, 1000 pessoasforam classificadas, segundo grupo sanguneo e respectivo fatorRhsus, de acordo com a tabela

Dentre as 1000 pessoas pesquisadas, escolhida uma ao acaso,determinea) a probabilidade de seu grupo sanguneo no ser A. Determine

tambm a probabilidade de seu grupo sanguneo ser B ouRh+.

b) a probabilidade de seu grupo sanguneo ser AB e Rh.Determine tambm a probabilidade condicional de ser ABou O, sabendo-se que a pessoa escolhida Rh.

17. (FGV) Quatro meninas e cinco meninos concorreram aosorteio de um brinquedo. Foram sorteadas duas dessas crianasao acaso, em duas etapas, de modo que quem foi sorteado naprimeira etapa no concorria ao sorteio na segunda etapa. Aprobabilidade de ter sido sorteado um par de crianas de sexodiferente

a) . b) . c) . d) . e) .

18. (UNIFESP) Sendo A e B eventos de um mesmo espaoamostral, sabe-se que a probabilidade de A ocorrer

p(A) = , e que a probabilidade de B ocorrer p(B) = .

Seja p = p(A B) a probabilidade de ocorrerem A e B.a) Obtenha os valores mnimo e mximo possveis para p.

b) Se p = , e dado que A tenha ocorrido, qual a

pro babilidade de ter ocorrido B?

Mdulo 27 Lei Binomial deProbabilidade

1. Jogando-se cinco vezes um dado, qual a probabilidade deocorrer cinco vezes o resultado 6?

2. Um jogador A joga um dado perfeito 4 vezes e ganhar casoconsiga, pelo menos, dois resultados iguais a 1, durante asjogadas. Neste caso a probabilidade de o jogador A ganhar :a) b) c) d) e)

3. Jogando-se seis vezes um dado, qual a probabilidade deocorrer o resultado 3 s duas vezes?

4. (MACK) No lanamento de 4 moedas honestas, aprobabilidade de ocorrerem duas caras e duas coroas :

a) b) c) d) e)

5

94

95

81

25

18

3

42

3

7

12

47

14311

10119

1447

5313

107

Nmero (tamanho) 36 38 40 42 44 46Probabilidade 0,12 0,22 0,30 0,20 0,11 0,05

A B AB O

Rh+ 390 60 50 350

Rh 70 20 10 50

1

23

81

43

161

16

20


5. (VUNESP) Sabe-se que, de cada 5 pessoas de umadeterminada comunidade, uma portadora de um certo tipo deanemia. Se selecionarmos, ao acaso, 3 pessoas dessa comuni -dade, qual a probabilidade de que pelo menos uma delas sejaportadora daquele tipo de anemia?

a) b) c) d) e)

6. (UFPE) As faces de um tetraedro so numeradas de 1 a 4e as de um cubo de 5 a 10. Lanando-os simultaneamente 100vezes, qual o nmero mais provvel de vezes em que a soma menor do que 9? (Contam-se, em cada lanamento, os nmerosda face da base do tetraedro e do cubo.)

7. (GV) Uma companhia de seguros coletou uma amostra de2000 motoristas de uma cidade a fim de determinar a relaoentre o nmero de acidentes (y) em um certo perodo e a idade

em anos (x) dos motoristas. Os resultados esto na tabelaabaixo:

Adotando a frequncia relativa observada como probabilidadede cada evento, obtenha:a) A probabilidade de um motorista escolhido ao acaso ter exa -

tamente um acidente no perodo considerado.b) A probabilidade de um motorista ter exatamente 2 acidentes

no perodo considerado, dado que ele tem menos de 20 anos.

68

12564

12561

1253

1251

125

y = 0 y = 1 y = 2 y > 2

x < 20 200 50 20 10

20 x < 30 390 120 50 10

30 x < 40 385 80 10 5

x 40 540 105 20 5

21


Mdulo 11 Definio e Propriedadesdos Determi nantes

1. Calcular o determinante da matriz A =

Resoluo

det A = = 2 . 7 5 . 3 = 1

Resposta: det A = 1

2. Calcular o determinante da matriz A =

Resoluo

= 1 . 2 . 3 + 2 . 0 . 1 + 1 . 2 . 3 1 . 2 . 1 3 . 0 . 1 3 . 2 . 2 == 6 + 0 + 6 2 0 12 = 2Resposta: det A = 2

3. Calcular o valor de , sabendo-se que

= 17

Resoluo

a) = 3 .

b) =

Assim sendo:

= 3 . = ( 3) . ( 17) = 51

Resposta: = 51

4. Calcular o determinante da matriz

M =

Resoluo

det M = = =

= 3 + 18 + 64 24 18 8 = 35Resposta: det M = 35

Mdulo 12 Teorema de Laplace, Teorema de Binet ePropriedades Complementares

5. Calcular o menor complementar e o cofator do elemento

a23 da matriz M =

Resoluo

Na matriz M = , temos a23 = 3 e, portanto,

D23 = = 2 5 = 3

A23 = ( 1)2 + 3 . D23 = ( 1)5 . = ( 1) . ( 3) = 3

Resposta: D23 = 3; A23 = 3

6. Calcular o determinante da matriz M =

apli do o Teorema de Laplace e utilizando a 3a. coluna.ResoluoDe acordo com o exerccio anterior, temos A13 = 0; A23 = 3; A33 = 12. Assim sendo, pelo Teorema de Laplace, temos:det M = a13 . A13 + a23 . A23 + a33 . A33 == 2 . 0 + 3 . 3 + ( 1) . ( 12) = 9 + 12 = 21Resposta: det M = 21

235

7 23

57

121

223

103

2x

4

369

582

123

2x

4

582

2x

4

369

582

2x

4

123

582

2x

4

123

582

123

2x

4

582

2x

4

369

582

123

2x

4

582

2x4

369

582

281394211

232

891

281394211

232

891

281 100.2 10.8 2 8394 100.3 10.9 3 9211 100.2 10.1 2 1

141582

231

141

582

23

111

52

11

52

141582

23

1

22

LGEBRAFRENTE 2


7. Calcular o determinante da matriz M =

aplicando o Teorema de Laplace e utilizando a 1a. linha.

Resoluo

det M = = 1 . A11 + 5 . A12 + 2 . A13 =

= 1 . (1)1 + 1 . + 5 . (1)1 + 2 . +

+ 2 . (1)1 + 3 . =

= 1 . 1 . (14) + 5 . (1) . (7) + 2 . 1 . 0 = 21Resposta: det M = 21

Observaesa) Os exerccios 6 e 7 confirmam que o valor do determi nante

independe da fila escolhida.b) Pela Regra de Sarrus, obteramos, claro, o mesmo resul -

tado. De fato:

8. Calcular o determinante de A . B, sendo

A . B = e B =

Resoluo

Primeiro Processo

A . B = . =

= det (AB) = = 162 19 = 143

Segundo Processo

det (AB) = det A . det B = . =

= (8 + 3) . (15 2) = 11 . 13 = 143Resposta: det (AB) = 143

Mdulo 13 Definio, Clculo ePropriedades da Matriz Inversa

9. Determinar a sabendo-se que a matriz inversa de

.

ResoluoSe as matrizes so inversas uma da outra, ento:

. =

= a = 1

Resposta: a = 1

10. Determinar o valor de a para o qual a matriz

M = singular.

Resoluo

M singular det M = 0 = 0 a = 2

Resposta: a = 2

11. Determinar os possveis valores reais de a para os quais a

matriz M = inversvel.

Resoluo

M inversvel det M 0 0 a 15

Resposta: a 15

Mdulos 14 e 15 Sistemas Lineares:Regra de Cramer eEscalonamento

12. Resolver o sistema pela Regra de Cramer.

Resoluo

a) O sistema normal e pode ser resolvido pela Regra deCramer,

pois D = = 9 2 = 7 D 0

b) Dx = = 27 13 = 14 x = = = 2

141582

231

141

582

231

82

31

41

31

41

82

2314

51

23

2314

51

23

919118

919

118

23

14

51

23

2 1 5 33 a

5 2

2 1 5 3 3 a 5 2

1 0 0 11 2a + 2 0 5a + 6 1 0 0 1

2a + 2 = 0 5a + 6 = 1

1 2 a3 2 20 1 1

1 2 a3 2 20 1 1

2 5 6 a

2 56 a

3x + y = 9 2x + 3y = 13

32

13

14

7Dx

D913

13

23


c) Dy = = 39 18 = 21 y = = = 3

Resposta: (2;3)

13. Resolver o sistema pela Regra de

Cramer.Resoluoa) O sistema normal e pode ser resolvido pela Regra de

Cramer, pois

D = = 7 D 0

b) Dx = = 7 x = = = 1

c) Dy = = 14 y = = = 2

d) Dz = = 21 z = = = 3

Resposta: (1; 2; 3)

Mdulo 16 Caracterstica, Teorema de Rouch-Capelli eSistemas Homogneos

14. Calcular a caracterstica da matriz:

ResoluoSe p for a caracterstica de

, ento:

a) 1 = 1 0 p 1b) = 1 0 p 2

c) = 5 0 p 3

d) Orlando este menor de ordem 3, obtemos:

e) Sendo nulos todos os determinantes de ordem 4, conclumosque a caracters tica p 3.

Resposta: 3

15. Discutir o sistema.

Resoluo

a) A caracterstica p da matriz MI = 2, pois

0.

b) A caracterstica q da matriz MC = 3, pois

0.

c) p = 2, q = 3 p q o sistema no tem soluo.

16. Resolver o sistema

Resoluo

Resposta: (8; 1; 3)

17. Resolva o sistema

Resoluo

a) 0 p = n sistema possvel e determinado.

b) A nica soluo do sistema a trivial (0, 0, 0).Resposta: (0, 0, 0)

Mdulos 17 e 18 Noes de Estatstica 18. (FGV) Seja x um inteiro positivo menor que 21. Se amediana dos nmeros 10, 2, 5, 2, 4, 2 e x igual a 4, ento, onmero de possibilidades para x a) 13. b) 14. c) 15. d) 16. e) 17.

121

2 11

111

236

2 11

111

DxD

77

121

236

111

DyD

14

7

121

2 11

236

DzD

21

7

1203

0 1

42

1311

0 1

42

1203

1203

0 142

1311

0 142

1203

12

0 1

120

0 14

131

1203

0 142

1311

0 142

= 0

1203

0 142

1311

1203

= 0

x + y = 1 2x y = 13x + 2y = 5

123

1 1

212

1 1

123

1 1

2

115

123

1 12

115

x + 2y z = 7

y + 4z = 133z = 9x + 2y z = 7

y + 4z = 133z = 9x + 2y z = 7

y + 4z = 13z = 3

x + 2y z = 7

y + 4 . 3 = 13z = 3

x + 2y z = 7

y = 1z = 3

x + 2 . 1 3 = 7 y = 1

z = 3

x = 8 y = 1

z = 3

2x + 3y + 4z = 0 3x y + z = 05x + 2y + 8z = 0

235

312

418

32

913

Dy

D21

7

x + 2y z = 22x y + z = 3x + y + z = 6

24


Mdulo 11 Definio e Propriedadesdos Determi nantes

1. (UEL) A soluo positiva da equao = um nmero:

a) mpar b) primo c) no inteirod) cubo perfeito e) quadrado perfeito

2. A sentena + = :

a) equivalente a + =

b) s verdadeira se x = y 0.c) s verdadeira se x = y = 0.d) nunca verdadeira.e) equivalente a x = y.

3. O conjunto soluo de = :

a) {x x 1} b) {0, 1} c) {1}d) { 1} e) {0}

4. (PUC) A matriz A = (aij) quadrada de ordem 2

com

O determinante de A igual a:a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6

5. Se A = e B = , calcular o nmero

real x tal que det(A x . B) = 0.

6. (UNIFOR) Sejam as matrizes A = e

B = .

O determinante da matriz A . B :a) 64 b) 8 c) 0 d) 8 e) 64

7. O conjunto soluo da equao = 3 :

a) {1; 3} b) {1; 2} c) {2; 4}1d) { 2; 4} e) { ; 2}2

8. (UNESP) Considere as matrizes reais

A = e B = .

Se A = Bt (transposta de B), o determinante da matriz

igual a:

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3

x

41x

2x

55

x y + 1y x + 1

0y

y1

x

01x

x y + 1y y + 10y

y1

x

01x

1x

11

11

x

1

1x

11

aij = 2i j para i = jaij = 3i 2j para i j

432

123

14

1002

12

210

121

x

31

1x

3

x

43

4 zy xx2 02 y + z

xz4y15

112

25

ResoluoSe x um inteiro positivo menor que 21, e a mediana dosnmeros 10, 2, 5, 2, 4, 2 e x igual a 4, ento, dispostos emordem crescente podemos ter 2, 2, 2, 4, x, 5, 10 ou 2, 2, 2,4, 5, x, 10 ou ainda 2, 2, 2, 4, 5, 10, x. Assim, 4 x < 21, portanto o nmero de possibilidades para x 17.Resposta: E

19. (UFPR MODELO ENEM) Considere as seguintesmedidas descritivas das notas finais dos alunos de trs turmas:

Com base nesses dados, considere as seguintes afirmativas:1. Apesar de as mdias serem iguais nas trs turmas, as notas

dos alunos da turma B foram as que se apresentaram maisheterogneas.

2. As trs turmas tiveram a mesma mdia, mas com variaodiferente.

3. As notas da turma A se apresentaram mais dispersas em tornoda mdia.

Assinale a alternativa correta.a) Somente a afirmativa 3 verdadeira.b) Somente a afirmativa 2 verdadeira.c) Somente as afirmativas 2 e 3 so verdadeiras.d) Somente as afirmativas 1 e 2 so verdadeiras.e) Somente as afirmativas 1 e 3 so verdadeiras.Resoluo1. VERDADEIRA, pois o desvio-padro das notas desses

alunos maior que o desvio-padro das notas dos outros.2. VERDADEIRA, pois as mdias so todas iguais e o desvio-pa -

dro das notas so diferentes.3. FALSA, pois o desvio-padro 1,31 menor, indicando

menos disperso.Resposta: D

Turma Nmero dealunos Mdia

Desviopadro

ABC

151514

6.06.06.0

1.313.512.61


9. (FEI) Para que o determinante da matriz

seja nulo, o valor de a deve ser:

a) 2 ou 2 b) 1 ou 3 c) 3 ou 5d) 5 ou 3 e) 4 ou 4

10. O produto M . N da matriz M = ( ) pela matriz N = (1 1 1):a) no se define;b) uma matriz de determinante nulo;c) a matriz identidade de ordem 3;d) uma matriz de uma linha e uma coluna;e) no matriz quadrada.

11. Sabendo-se que o determinante associado matriz

nulo, conclu mos que essa matriz tem:

a) duas linhas proporcionais.b) duas colunas proporcionais.c) elementos negativos.d) uma fila combinao linear das outras duas filas paralelas.e) duas filas paralelas iguais.

12. (MACKENZIE) O menor valor assumido pela funo

real definida por f(x) =

a) 1 b) c) d) 1 e) 2

13. O trao de uma matriz quadrada a soma dos elementosde sua diagonal principal. Se os nmeros inteiros x e y so tais

que a matriz tem trao igual a 4 e deter -

minante igual a 19, ento o produto xy igual a

a) 4 b) 3 c) 1 d) 1 e) 3

14. (FGV) Considere a matriz A = com

x , x > 0 e x 1 e seja n, o determinante de A. Considere as

equaes: (1) 6 x + 3 = 0 (2) x +

2= 0

(3) 9x 3 = 0 (4) x2 =

(5) x2 =

Pode-se afirmar que n raiz da equaoa) (1). b) (2). c) (3). d) (4). e) (5).

15. (UNESP) Foi realizada uma pesquisa, num bairro dedeterminada cidade, com um grupo de 500 crianas de 3 a 12anos de idade. Para esse grupo, em funo da idade x da criana,concluiu-se que o peso mdio p(x), em quilogramas, era dadopelo determinante da matriz A, onde

A =

Com base na frmula p(x) = det A, determine:a) o peso mdio de uma criana de 5 anos;b) a idade mais provvel de uma criana cujo peso 30 kg.

16. O valor do determinante da matriz

A = , para 0 < < ,

a) 1. b) tg(). c) sec(). d) 0. e) 1.

17. (UNESP) Sejam A = ,

B = e C = , matrizes reais.

a) Calcule o determinante de A, det(A), em funo de x e y, erepresente no plano cartesiano os pares ordenados (x,y) quesatisfazem a inequao det(A) det(B).

b) Determine x e y reais, de modo que A + 2B = C.

18. (UEL) Seja o determinante D = . verdade que:

a) = D 1 b) = D c) = D

d) = D e) = D2

19. Sendo x e y, respectivamente, os determinantes no nulos,

das matrizes e , ento vale:

a) 36 b) 12 c) 6 d) 12 e) 15

20. (UESPI) Se o determinante da matriz

igual a 18, ento o determinante da matriz

111

123

114

7

63

2

3x 4x

x

11

4

1

2

2311x

1

04y

logxxlog31log39log93

121

41

2

1 1 13 0 x

20 2

3

2sen()cos()tg()

cos()sen()

1

sec()cossec()sec2()

1 1

x 2y3x + y

3 5

131 22 1

a

c

bd

c

a

db

bd

a

c

a

c

11

1+a 13 1 a

a2

c2b2d2

db

c

a

y

x

2a3b

2c3d

a

c

bd

ppp244

241ppp

122

241

26


igual a:a) 9 b) 6 c) 3 d) 6 e) 9

21. (MACK) A uma matriz quadrada de ordem 4 e det A = 6. O valor de x tal que det (2A) = x 97 :

a) 12 b) 0 c) 1 d) e) 194

22. (CESGRANRIO) Quando os elementos da 3a. linha deuma matriz quadrada so divididos por x (x diferente de zero)e os elementos da 1a. coluna so multiplicados por y (y diferentede zero), o determinante da matriz fica dividido por:

a) xy b) c) d) e)

23. (PUC) Se somarmos 4 a todos elementos da matriz

A = cujo determinante D, ento o deter mi -

nan te da nova matriz :

a) 2D b) 3D c) 4D d) 5D e) 6D

24. (UESPI) Se o determinante da matriz

igual a 10, ento o determinante da matriz

iguala:

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

25. (UFSCar) Seja A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 3

tal que, com p inteiro positivo. Em tais

con dies, correto afirmar que, necessariamente, det A mltiplo dea) 2. b) 3. c) 5. d) 7. e) 11.

26. (UFRN) Seja A = uma matriz 3 x 3.

Se Det. (A) = = 6, ento

+ + + igual a:

a) 18 b) 12 c) 6 d) 0

27. (UFOP) A matriz A, dada a seguir, igual oposta dasua transposta, ou seja, A = At

A =

Seu determinante vale: a) 3 b) 2 c) 1 d) 0

28. (MACK) Se abc 0, ento, o determinante

D = vale:

a) a b) b c) c d) 2a e) 0

29. Prove que se a + b + c + d = 0, ento:

= 0

30. (VUNESP) Sejam a, b, c, d, e cinco nmeros inteirosformando, nessa ordem, uma progresso aritmtica. Ento, o

determinante da matriz A = vale:

a) a + b + c + d + e b) ace c3 c) 0d) 1/2 e) 131. Qualquer que seja m , o valor de

:

a) (m + 1) . (m + 3) . (m + 5) b) (m + 3)3c) zero d) 1e) 1

32. Calcule

33. (PUC) O co-fator do elemento a23 da matriz

A = :

a) 2 b) 1 c) 1 d) 2 e) 3

34. O conjunto de todos os valores reais de x que satisfazem a

equao = 0 :

a) {0} b)+* c) {7} d) e) {0; 7}

97

2

1

xyx

yy

x

x3

y3

111211

3m

1

2k11k2

0k

2

2k + 41

1k + 3

2

0k 1

2

aij = p, se i = j2p, se i j

a

dg

be

h

c

fi

a

dg

be

h

c

fi

a

dg

be

h

c

fi

a

gd

bhe

c

if

ga

d

hbe

ic

f

gda

he

b

ifc

x12yx

0

z

w

x

a bb cc a

b cc a

a b

c a

a bb c

a

bc

d

bc

da

c

da

b

da

bc

a

bc

bc

d

c

de

m + 1m + 2m + 3

m + 2m + 3m + 4

m + 3m + 4m + 5

159

13

26

1014

371115

48

1216

210121

312

0x2

x

0

4x

67

03x30

0x

45

27


35. (UEMT) O maior valor real de x tal que

= 0 :

a) 8 b) 0 c) 1 d)

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