Cac Huong Tu Duy de Giai Toan Hinh Hoc Toa Do Khong Gian Oxyz

7262019 Cac Huong Tu Duy de Giai Toan Hinh Hoc Toa Do Khong Gian Oxyz

httpslidepdfcomreaderfullcac-huong-tu-duy-de-giai-toan-hinh-hoc-toa-do-khong-gian-oxyz 123

GIẢI ĐAacuteP TOAacuteN CẤP 3 ndash THI ĐẠI HỌC

THUẬT TOAacuteN TIgraveM ĐIỂM CAacuteCH VIẾT PHƯƠNGTRIgraveNH MẶT PHẲNG

CAacuteCH VIẾT PHƯƠNGTRIgraveNH ĐƯỜNG THẲNG

CAacuteCH VIẾT PHƯƠNGTRIgraveNH MẶT CẦU

CAacuteC H ƯỚ NG T Ư DUY VAgrave PH ƯƠ NG PHAacuteP GI Ả ITRONG HIgraveNH H ỌC OXYZ

Biecircn soạn Thanh Tugraveng

) Toacutem tắt lyacute thuyết đầy đủ theo một trigravenh tự logic vagrave coacute hệ thống) Đưa ra caacutec hướng tư duy vagrave phương phaacutep giải khaacutei quaacutet cho từng lớp bagravei toaacuten) Coacute bagravei toaacuten mẫu minh họa đi kegravem

) Phần bagravei tập aacutep dụng coacute gợi yacute) Lời giải chi tiết cho từng bagravei toaacuten cụ thể

(tham khảo thecircm trecircn httpwwwfacebookcomgiaidaptoancap3 )

BAgraveI TOAacuteN CỰC TRỊ

(tham khảo thecircm)

H Agrave NỘ I 2 2 0 1 3



2

CAacuteC HƯỚ NG TƯ DUY VAgrave PHƯƠ NG PHAacuteP GIẢI TRONG HIgraveNH HỌC OXYZ

A KIẾN THỨ C CƠ BẢN

I CAacuteC COcircNG TH Ứ C C Ơ B Ả N

II CAacuteC COcircNG TH Ứ C V Ề ĐỊ NH LƯỢ NG



3

III PH ƯƠ NG TRIgraveNH M Ặ T PH Ẳ NG ĐƯỜ NG TH Ẳ NG M Ặ T C Ầ U

IV VỊ TRIacute TƯƠNG ĐỐI GIỮ A MẶT PHẲNG ĐƯỜNG THẲNG VAgrave MẶT CẦU



4

B CAacuteC DẠNG TOAacuteN VAgrave PHƯƠ NG PHAacuteP GIẢII BAgraveI TOAacuteN 1 BAgraveI TOAacuteN TIgraveM ĐIỂM

CAacuteC BAgraveI TOAacuteN MẪU Trướ c khi lagravem caacutec bagravei tập trong Chuyecircn Đề nagravey thầy coacute một vagravei quy ướ c sau (để caacutec em tiện theo dotildei)

+) ( ) M t isin ∆ ta ragraveng buộc tọa độ điểm M theo một ẩn lagrave t

+) ( )a t r

ta ragraveng buộc tọa độ veacutec tơ ar

theo một ẩn lagrave t

+) 1 2( ) M t t điểm M coacute tọa độ phụ thuộc vagraveo hai ẩn 1t vagrave 2t

+) ar

1 2( )t t veacutec tơ ar

coacute tọa độ phụ thuộc vagraveo hai ẩn 1t vagrave 2t

1) (D ndash 2012 NC) Cho đườ ng thẳng1 1

2 1 1

x y zd

minus += =

minus vagrave hai điểm (1 12) A minus (2 1 0) B minus Xaacutec định tọa độ

điểm M thuộc d sao cho tam giaacutec AMB vuocircng tại M

Hướ ng giải +) Gọi ( ) M t d isin ( )

( )

MA t

MB t

rarr

uuur

uuur

+) Khai thaacutec dữ kiện bagravei toaacuten ( tam giaacutec AMB vuocircng tại M ) 0 ( ) 0 MA MB f t t M = hArr = hArr = rArruuur uuur

Giải +) Gọi( 2 2 )

(1 2 1 )(1 2 )

MA t t t M t t t d

MB t t t

= minus minus+ minus minus isin rArr

= minus minus

uuur

uuur

+) Tam giaacutec AMB vuocircng tại M necircn MA MBperpuuur uuur

2 20

2 (1 2 ) (2 ) 0 6 4 0 2

3

t t t t t t t t

t

=hArr minus minus + minus minus = hArr minus = hArr rArr =

(1 10)7 5 2

3 3 3

M

M

minus

minus



5

2) ( A ndash 2011 CB) Cho hai điểm A(2 0 1) B(0 -2 3) vagrave mặt phẳng (P) 2x ndash y ndash z + 4 = 0 Tigravem tọa độ điểm M

thuộc (P) sao cho MA = MB = 3

Hướ ng giải+) Gọi ( ) ( ) 2 4 0 M x y z P x y zisin rArr minus minus + = (1)

+) Khai thaacutec dữ kiện bagravei toaacuten ( MA = MB = 3) 3 ( ) 0 (2)

3 ( ) 0 (3)

MA f x y z

MB g x y z

= = rArr = =

+) Từ (1) (2) vagrave (3) x y z M rArr = rArr

Giải+) Gọi ( ) ( ) 2 4 0 M x y z P x y zisin rArr minus minus + = (1)

+) Ta coacute MA = MB = 32 2 2 2

2 2 22 2 2 2

2 0 (2)9 ( 2) ( 1) 9

( 2) ( 3) 9 (3)9 ( 2) ( 3) 9

x y z MA x y z

x y z MB x y z

+ minus + = = minus + + minus = rArr rArr hArr

+ + + minus == + + + minus =

+) Từ (1) vagrave (2)2 2

3

x y

z y

= minusrArr

= () Thay () vagraveo (3) ta đượ c 2 2 2(2 2) ( 2) (3 3) 9 y y yminus + + + minus =

21

7 11 4 0 47

y y y

y

=hArr minus + = hArr rArr =

(013)6 4 12

7 7 7

M

M

minus

BAgraveI TẬP AacuteP DỤNG


2 1 1

x y zd

minus += =

minus vagrave hai điểm (1 12) A minus (2 10) B minus Xaacutec định tọa độ

điểm M thuộc d sao cho tam giaacutec AMB vuocircng tại M (đ atilde giải)2) ( A ndash 2011 CB) Cho hai điểm A(2 0 1) B(0 -2 3) vagrave mặt phẳng (P) 2x ndash y ndash z + 4 = 0 Tigravem tọa độ điểm M

thuộc (P) sao cho MA = MB = 3 (đ atilde giải)3) (B ndash 2011 CB) Cho đườ ng thẳng ∆

2 1

1 2 1

x y zminus += =

minus minus vagrave mp (P) x + y + z ndash 3 = 0 Gọi I lagrave giao của ∆ vagrave (P)

Tigravem điểm M thuộc (P) sao cho MI vuocircng goacutec vớ i ∆ vagrave MI = 4 14

4) ( B ndash 2011 NC) Cho đườ ng thẳng2 1 5

1 3 2

x y z+ minus +∆ = =

minus vagrave hai điểm A(- 2 1 1) B(-3 - 1 2) Tigravem điểm M

thuộc ∆ sao cho tam giaacutec MAB coacute diện tiacutech bằng 3 5

5) (A ndash 2010 CB) Cho đườ ng thẳng1 2

2 1 1

x y zminus +∆ = =

minus vagrave mp (P) x ndash 2y + z = 0 Gọi C lagrave giao của ∆ vớ i (P) M

lagrave điểm thuộc ∆ Tiacutenh khoảng caacutech từ M đến (P) biết MC = 6

6) (B ndash 2010 CB) Cho A(1 0 0) B(0 b 0) C(0 0 c) vớ i 0b c gt vagrave mp (P) y ndash z + 1 = 0 Tigravem b vagrave c biết mp

(ABC) vuocircng goacutec vớ i mp (P) vagrave kcaacutech từ O đến mp (ABC) bằng1

3

7) (B ndash2010 NC) Cho đườ ng thẳng1

2 1 2

x y zminus∆ = = Xaacutec định tọa độ điểm M trecircn trục hoagravenh sao cho khoảng caacutech

từ M đến ∆ bằng OM



6

8) (D ndash 2010NC) Cho hai đườ ng thẳng 1

3

x t

y t

z t

= +

∆ = =

vagrave 2

2 1

2 1 2

x y zminus minus∆ = = Xaacutec định tọa độ điểm M thuộc 1∆

sao cho khoảng caacutech từ M tớ i 2∆ bằng 1

9) (A ndash 2009 - NC) Cho mp (P) x ndash 2y + 2z ndash 1 = 0 vagrave hai đườ ng thẳng 1

1 9

1 1 6

x y z+ +∆ = =

2

1 1 1 2 3 2

x y zminus minus +

∆ = =minus Xaacutec định tọa độ điecircm M thuộc đườ ng thẳng 1∆ sao cho khoảng caacutech từ M đến đườ ng

thẳng 2∆ vagrave khoảng caacutech từ M đến mp (P) bằng nhau

10) (D ndash 2009 CB) Cho A(2 1 0) B(1 2 2) C(1 1 0) vagrave mp (P) x + y + z ndash 20 = 0 Xaacutec định tọa độ điểm D thuộcđườ ng thẳng AB sao cho đườ ng thẳng CD song song vớ i mp (P)

11) (A ndash 2008) Cho điểm A(2 5 3) vagrave đườ ng thẳng d 1 2

2 1 2

x y zminus minus= = Tigravem tọa độ higravenh chiếu vuocircng goacutec của điểm

A trecircn đườ ng thẳng d 12) (B ndash 2008) Cho 3 điểm A(0 1 2) B(2 - 2 1) C(-2 0 1) Tigravem tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng

2x + 2y + z ndash 3 = 0 sao cho MA = MB = MC13) (D ndash 2008) Cho bốn điểm A(3 3 0) B(3 0 3) C(0 3 3) D(3 3 3) Tigravem t ọa độ tacircm đườ ng trograven ngoại tiếp

tam giaacutec ABC14) (B ndash 2007) Cho mặt cầu (S) 2 2 2 2 4 2 3 0 x y z x y z+ + minus + + minus = vagrave mp (P) 2x ndash y + 2z ndash 14 = 0 Tigravem tọa độ

điểm M thuộc (S) sao cho khoảng caacutech từ M đến mp (P) lớ n nhất

15) (D ndash 2007) Cho hai điểm A(1 4 2)B(-1 2 4) vagrave đườ ng thẳng 1 2

1 1 2

x y zminus +∆ = =

minus Tigravem tọa độ điểm M

thuộc ∆ sao cho 2 2 MA MB+ nhỏ nhất

16) (B ndash 2006) Cho điểm A(0 1 2) vagrave hai đườ ng thẳng 1

1 1

2 1 1

x y zd

minus += =

minus 2

1

1 2

2

x t

d y t

z t

= +

= minus minus

= +

Tigravem tọa độ điểm M thuộc 1d N thuộc 2d sao cho 3 điểm A M N thẳng hagraveng

17) (D ndash 2006) Cho điểm A(1 2 3) vagrave đườ ng thẳng 2 2 3

2 1 1

x y zd

minus + minus= =

minus

Tigravem tọa độ điểm Arsquo đối xứng vớ i điểm A qua đườ ng thẳng d

18) (A ndash 2005) Cho đườ ng thẳng1 3 3

1 2 1

x y zd

minus + minus= =

minusvagrave mp (P) 2x + y ndash 2z + 9 = 0 Tigravem tọa độ điểm I thuộc d

sao cho khoảng caacutech từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2

19) (D ndash 2005) Cho hai đườ ng thẳng 1

1 2 1

3 1 2

x y zd

minus + += =

minus 2 d

3

4

2 2

x t

y t

z t

=

= minus = +

vagrave mp Oxz cắt 1 2d d lần lượ t tại

caacutec điểm A B Tiacutenh diện tiacutech tam giaacutec OAB ( O lagrave gốc tọa độ )

20) ( A ndash 2002) Cho đườ ng thẳng

1

2

1 2

x t

y t

z t

= +

∆ = + = +

Cho điểm M(214) Tigravem tọa độ điểm H thuộc ∆ sao cho đoạn

thẳng MH coacute độ dagravei nhỏ nhất



7

21) Tigravem tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) 2 2 2 2 2 2 0 x y z x z+ + minus + minus = sao cho khoảng caacutech từ M đến mặt phẳng

(P) 2x ndash 2y + z + 6 = 0 lagrave lớ n nhất nhỏ nhất

22) Cho hai đườ ng thẳng 1 1 1 2

x y zd = = 2

1 2

1

x t

d y t

z t

= minus minus

=

= +

Xaacutec đinh tọa độ điểm MN lần lượ t thuộc 1d vagrave 2d sao cho đườ ng thăng MN song song vớ i mặt phẳng

(P) x ndash y + z = 0 vagrave độ dagravei đoạn MN bằng 2 23) Tigravem higravenh chiếu H của điểm M(2 -3 1) trecircn mặt phẳng (P) x + 3y ndash z + 2=0

24) Tigravem higravenh chiếu H của điểm M(2 -1 1) trecircn đườ ng thẳng d

1 2

1

2

x t

y t

z t

= +

= minus minus =

25) Tigravem higravenh chiếu của d 2 6

1 1 4

x y zminus += =

minus trecircn mặt phẳng (P) 2x ndash y + 2z + 1 = 0

II BAgraveI TOAacuteN 2 BAgraveI TOAacuteN VIẾT PHƯƠ NG TRIgraveNH

BAgraveI TOAacuteN 21 VIẾT PHƯƠ NG TRIgraveNH MẶT PHẲNG



8

CAacuteC BAgraveI TOAacuteN MẪU


1 1

2 1 1

x y zd

minus += =

minus 2

1

1 2

2

x t

d y t

z t

= +

= minus minus = +

Viết phươ ng trigravenh mặt phẳng (P) qua A đồng thờ i song song vớ i 1 2d d

Phacircn tiacutech +) Bagravei toaacuten cho đi qua điểm A(0 1 2) (biết một yếu tố - vẫn cograven thiếu veacutec tơ phaacutep tuyến của (P))

+) Khai thaacutec dữ kiện ldquo(P) đồng thờ i song song vớ i 1 2d d rdquo rArr 1 2u uur uur

lagrave cặp vtcp của (P) rArr ( ) 1 2Pn u u =

uuur ur uur

Như vậy theo Hướ ng tư duy ở TH1 ta sẽ coacute lờ i giải như sau

Giải Từ phươ ng trigravenh của đườ ng thẳng 1 2d d ta coacute 1 (21 1)u = minusur

vagrave 2 (1 21)u = minusuur

magrave (P) đồng thờ i song song vớ i 1 2d d ( ) 1 2 (135)Pn u u rArr = =

uuur ur uur

Vậy phươ ng trigravenh mặt phẳng (P) đi qua A(0 1 2) vagrave coacute ( ) (135)Pn =uuur

lagrave

( 0) 3( 1) 5( 2) 0 x y zminus + minus + minus = hay 3 5 13 0 x y z+ + minus = Kiểm tra kết quả

(vigrave chuacuteng ta khai thaacutec bagravei toaacuten chư a triệt để 1 2d d coacute thể nằ m trecircn (P) ndash 1 2u uur uur

lagrave cặ p vtcp của (P) mớ i cho ta đ iề u

kiện cần như ng chư a đủ necircn ta phải coacute bướ c kiể m tra lại k ế t quả)

Chọn 1 1(01 1) M d minus isin vagrave 2 2(1 12) M d minus isin Ta coacute 1 2( ) ( ) M P M Pnotin notin1

2

( )

( )

d P

d P

rArr

(thỏa matilden)

Vậy phươ ng trigravenh mặt phẳng (P) lagrave 3 5 13 0 x y z+ + minus =

2) ( D ndash 2010) Cho hai mặt phẳng (P) x + y + z ndash 3 = 0 vagrave mặt phẳng (Q) x ndash y + z ndash 1 = 0 Viết phươ ng trigravenh mặtphẳng (R) vuocircng goacutec vớ i (P) vagrave (Q) sao cho khoảng caacutech từ O đến (R) bằng 2

Phacircn tiacutech +) Như vậy vớ i dữ kiện của đề bagravei ta khocircng khai thaacutec đượ c yếu tố điểm Thế cograven veacutec tơ phaacutep tuyến

+) Dữ kiện ldquomp (R) vuocircng goacutec vớ i (P) vagrave (Q)rdquo rArr ( ) ( )P Qn nuuur uuur

lagrave cặp vtcp của (R) rArr ( ) ( ) ( ) ( ) R P Qn n n a b c = =

uuur uuur uuur

rArr mp (R) 0ax by cz m+ + + = +) Cắt ngh ĩ a dữ kiện O đến ( R) bằng 2 ( ) 0 f m mrArr = hArr = rArr mp (R)

Vớ i những phacircn tiacutech trecircn ta sẽ đi theo Hướ ng tư duy ở TH2 Vagrave ta coacute lờ i giải cụ thể sauGiải

Từ

phươ

ng trigravenh của m

ặt ph

ẳng (P) vagrave (Q) ta coacute ( ) (111)Pn

=uuur

vagrave ( ) (1 11)Qn = minus

uuur

magrave mp ( R) vuocircng goacutec vớ i (P) vagrave (Q)rdquo ( ) ( ) ( ) (20 2) 2(10 1) R P Qn n n rArr = = minus = minus

uuur uuur uuur

Vậy phươ ng trigravenh ( R) coacute dạng 0 x z mminus + = Ta coacute ( ( )) 2d O R = 2 2

2 2 2 2 21 1

mm mhArr = hArr = hArr = plusmn

+

Vậy phươ ng trigravenh của (R) 2 2 0 x zminus + = hoặc 2 2 0 x zminus minus =



9

3) (B ndash 2009CB) Cho tứ diện A(1 2 1) B(-2 1 3) C(2 - 1 1) vagrave D(0 3 1) Vi ết phươ ng trigravenh mặt phẳng (P)đi qua A B sao cho khoảng caacutech từ C đến (P) bằng khoảng caacutech từ D đến (P)

Phacircn tiacutech +) Như vậy vớ i dữ kiện của đề bagravei (nếu khocircng khai thaacutec đượ c số liệu đặc biệt của bagravei toaacuten ) ta khocircng tigravem đượ c yếu tố

veacutec tơ phaacutep tuyến Vigrave vậy gọi (P) coacute dạng 0ax by cz d + + + =

+) Khai thaacutec ldquo(P) đi qua A B vagrave khoảng caacutech từ C đến (P) bằng khoảng caacutech từ D đến (P)rdquo rArr a b c d =

Vớ i phacircn tiacutech trecircn ta sẽ đi theo Hướ ng tư duy ở TH3 Vagrave ta coacute lờ i giải cụ thể sauGiải

Gọi mp (P) coacute dạng 0ax by cz d + + + = Vigrave (P) đi qua A(1 2 1) B(-2 1 3)2 0

2 3 0

a b c d

a b c d

+ + + =rArr

minus + + + =

3

25 5

2

a bc

a bd

+=

hArr minus minus =

necircn (P)3 5 5

0 2 2 (3 ) (5 5 ) 02 2

a b a bax by z ax by a b z a b

+ ++ + minus = hArr + + + minus + = (P)

Magrave2 2 2 2 2 2

22 6 2 2( ( )) ( ( )) 3

04 4 (3 ) 4 4 (3 )

a ba b b ad C P d D P a b b a

ba b a b a b a b

=minus minus = hArr = hArr minus = minus hArr

=+ + + + + +

+) Vớ i 2a b= chọn 4 2 7a b c= = rArr = vagrave 15d = minus rArr mp (P) 4 2 7 15 0 x y z+ + minus =

+) Vớ i 0b = chọn 2 3a c= rArr = vagrave 5d = minus rArr mp (P) 2 3 5 0 x z+ minus = Chuacute yacute V ớ i số liệu đặc biệt của bagravei toaacuten trecircn caacutec em coacute thể coacute caacutech giải khaacutec lagrave ldquokhoảng caacutech t ừ C đế n (P) bằ ngkhoảng caacutech t ừ D đế n (P)rdquo hArr (P) song song vớ i CD hoặc (P) đ i qua trung đ iể m của CD Vagrave quay về H ướ ng t ư duy ở TH1 (đ acircy cũng lagrave caacutech giải của Bộ Giaacuteo Dục ndash caacutech giải nagravey lagrave hay nhấ t vớ i số liệu trecircn) Như ng nế u khoảng caacutechkhocircng bằ ng nhau thigrave caacutech nagravey lại khocircng lagravem đượ c H ướ ng t ư duy ở TH3 luacutec nagravey vẫ n phaacutet huy taacutec d ụng

4) (B ndash 2012 NC) Cho (003) (120) A M Viết phươ ng trigravenh mặt phẳng (P) qua A vagrave cắt caacutec trục Ox Oy lần lượ ttại B C sao cho tam giaacutec ABC coacute trọng tacircm thuộc đườ ng thẳng AM

Phacircn tiacutech Vớ i dữ kiện (P) đi qua (003) A vagrave cắt caacutec trục Ox Oy lần lượ t tại B C cho ta hướ ng tư duy của TH4

Necircn theo Hướ ng tư duy của TH4 ta coacute lờ i giải như sau

Giải Vigrave (P) đi qua A vagrave cắt Ox Oy lần lượ t tại B C necircn ( 0 0) B b vagrave (0 0)C c rArr phươ ng trigravenh (P) 13

x y z

b c+ + =

Ta coacute (12 3) AM = minusuuuur

rArr phươ ng trigravenh AM 2

3 3

x t

y t

z t

=

= = minus

Gọi ( 2 3 3 )G t t t AM minus isin (1) ( thuật toaacuten tigravem điểm)

Mặt khaacutec G lagrave trọng tacircm tam giaacutec ABC 13 3

b cG

rArr

(2) Từ (1) vagrave (2)

233

2 23

41 3 3

b t t

ct b

ct

= =

rArr = hArr =

== minus

rArr phươ ng trigravenh (P) 12 4 3

x y z+ + = hArr 6 3 4 12 0 x y z+ + minus =



10


Bagravei 1 (Gợ i yacute Đi theo H ướ ng tư duy ở TH1)

1) (B ndash 2008) Cho 3 điểm A(0 1 2) B(2 - 2 1) C(-2 0 1)Viết phươ ng trigravenh mặt phẳng đi qua ba điểm A B C


1 1

2 1 1

x y zd

minus += =

minus 2

1

1 2

2

x t

d y t

z t

= +

= minus minus

= +

Viết phươ ng trigravenh mặt phẳng (P) qua A đồng thờ i song song vớ i 1 2d d (đ atilde giải)

3) (B ndash 2005) Cho lăng trụ đứng 1 1 1 ABC A B C vớ i A(0 - 3 0) B(4 0 0) C (0 3 0) 1 B (4 0 4) Gọi M lagrave trung

điểm của 1 1 A B Viết phươ ng trigravenh mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A M vagrave song song vớ i 1 BC Mặt phẳng (P) cắt

đườ ng thẳng 1 1 AC tại điểm N Tiacutenh độ dagravei đoạn MN

4) ( D ndash 2005) Cho hai đườ ng thẳng 1

1 2 1

3 1 2

x y zd

minus + += =

minus vagrave 2

3

4

2 2

x t

d y t

z t

=

= minus

= +

Chứng minh 1d vagrave 2d song song vớ i nhau Viết phươ ng trigravenh mặt phẳng (P) chứa cả hai đườ ng thẳng 1d vagrave 2d

5) (A ndash 2002) Cho hai đườ ng thẳng 1

2 1 4

2 3 4

x y zminus minus minus∆ = = vagrave 2

1

2

1 2

x t

y t

z t

= +

∆ = +

= +

Viết phươ ng trigravenh mặt phẳng (P) chứa đườ ng thẳng 1∆ vagrave song song vớ i đườ ng thẳng 2∆

6) Cho điểm M(1 -1 1) vagrave hai mặt phẳng (P) 3x + y ndash 2 z ndash 2011 = 0 (Q) x ndash 3y + 2 = 0 Viết phươ ng trigravenh mặt

phẳng ( )α đi qua M vagrave đồng thờ i vuocircng goacutec vớ i (P) vagrave (Q)

7) Cho điểm M(0 ndash 2 -1) đườ ng thẳng d1 1

2 2 1

x y zminus += =

minus vagrave mặt phẳng (P) x ndash y ndash 2z + 2012 = 0 Viết phươ ng

trigravenh mặt phẳng ( )α đi qua M song song vớ i d vagrave vuocircng goacutec vớ i (P)


1) ( D ndash 2010) Cho hai mặt phẳng (P) x + y + z ndash 3 = 0 vagrave mặt phẳng (Q) x ndash y + z ndash 1 = 0 Viết phươ ng trigravenh mặtphẳng (R) vuocircng goacutec vớ i (P) vagrave (Q) sao cho khoảng caacutech từ O đến (R) bằng 2 (đ atilde giải)

2) (TN ndash 2005) Trong khocircng gian cho mặt cầu (S) 2 2 2 2 2 4 3 0 x y z x y z+ + minus + + minus = vagrave hai đườ ng thẳng

1

1

1 1 1

x y zminus∆ = =

minus 2

1

2 1 1

x y zminus∆ = =

minus Viết phươ ng trigravenh tiếp diện vớ i mặt cầu (S) vagrave song song vớ i 1∆ 2∆

3) (TN ndash 2003) Trong khocircng gian cho bốn điểm A(2 4 -1) C(2 4 3) 4OB i j k = + minusuuur r r r

vagrave 2 2OD i j k = + minusuuur r r r

Gọi (S) lagrave mặt cầu qua bốn điểm A B C D Viết phươ ng trigravenh tiếp diện của (S) vagrave song song vớ i (ABD)

4) Trong khocircng gian cho mặt cầu (S) 2 2 2 2 4 2 10 0 x y z x y z+ + minus + + minus = vagrave hai điểm A(-1 2 1) B(2 3 -1)

Viết phươ ng trigravenh mặt phẳng vuocircng goacutec vớ i AB vagrave tiếp xuacutec vớ i mặt cầu (S)


1) (A ndash 2011NC) Cho mặt cầu 2 2 2( ) 4 4 4 0S x y z x y z+ + minus minus minus = vagrave điểm A(4 4 0) Viết phươ ng trigravenh mặt

phẳng (OAB) biết điểm B thuộc (S ) vagrave tam giaacutec OAB đều



11

2) (B ndash 2009CB) Cho tứ diện A(1 2 1) B(-2 1 3) C(2 - 1 1) vagrave D(0 3 1) Vi ết phươ ng trigravenh mặt phẳng (P)đi qua A B sao cho khoảng caacutech từ C đến (P) bằng khoảng caacutech từ D đến (P) (đ atilde giải)

3) (A ndash 2008) Cho điểm A(2 5 3) vagrave đườ ng thẳng1 2

2 1 2

x y zd

minus minus= = Viết phươ ng trigravenh mặt phẳng ( )α chứa d

sao cho khoảng caacutech từ A đến ( )α lớ n nhất

4) (B ndash 2007) Cho mặt cầu (S) 2 2 2 2 4 2 3 0 x y z x y z+ + minus + + minus = vagrave mp (P) 2x ndash y + 2z ndash 14 = 0 Viết phươ ng

trigravenh mặt phẳng (Q) chứa trục Ox vagrave cắt (S) theo một đườ ng trograven coacute baacuten kiacutenh bằng 3

5) ( A ndash 2006) Cho higravenh lập phươ ng ABCDArsquoBrsquoCrsquoDrsquo vớ i A(0 0 0) B(1 0 0) D(0 1 0) Arsquo(0 0 1) Viết phươ ng

trigravenh mặt phẳng chứa ArsquoC vagrave tạo vớ i mặt phẳng Oxy một goacutec α biết1

cos6

α =

6) Cho đườ ng thẳng2 1 1

4 1 1

x y zminus minus +∆ = =

minus minusvagrave điểm A(1 0 3) Viết phươ ng trigravenh mặt phẳng (P) đi qua A song song

vớ i đườ ng thẳng ∆ vagrave khoảng caacutech giữa đườ ng thẳng ∆ vớ i mặt phẳng (P) bằng 3


1) (B ndash 2012 ndash NC) Cho (003) (120) A M Viết phươ ng trigravenh mặt phẳng (P) qua A vagrave cắt caacutec trục Ox Oy lần lượ t

tại B C sao cho tam giaacutec ABC coacute trọng tacircm thuộc đườ ng thẳng AM (đ atilde giải)2) (B ndash 2010 CB) Cho A(1 0 0) B(0 b 0) C(0 0 c) vớ i 0b c gt vagrave mp (P) y ndash z + 1 = 0 Tigravem b vagrave c biết mp


3 3) Viết phươ ng trigravenh mặt phẳng ( )P đi qua điểm (123) M vagrave cắt caacutec trục Ox Oy Oz lần lượ t tại A B C sao cho

a) M lagrave trọng tacircm của tam giaacutec ABC b) M lagrave trực tacircm của tam giaacutec ABC

4) Viết phươ ng trigravenh mặt phẳng ( )P cắt caacutec trục Ox Oy Oz lần lượ t tại A B C sao cho ABC lagrave tam giaacutec đều vagrave

coacute diện tiacutech bằng 2 3

5) Viết phươ ng trigravenh mặt phẳng ( )P đi qua điểm (911) M vagrave cắt caacutec tia Ox Oy Oz lần lượ t tại A B C sao cho

a) OA OB OC + + nhỏ nhất

b) Thể tiacutech tứ diện OABC lớ n nhất



12

BAgraveI TOAacuteN 22 VIẾT PHƯƠ NG TRIgraveNH ĐƯỜ NG THẲNG


1) ( D ndash 2007) Trong khocircng gian vớ i hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1 4 2) B(-1 2 4) Viết phươ ng trigravenh đườ ngthẳng d đi qua trọng tacircm G của tam giaacutec OAB vagrave vuocircng goacutec vớ i mặt phẳng (OAB)

Phacircn tiacutech+) Yếu tố điểm G lagrave trọng tậm của tam giaacutec OAB rArr tọa độ G

+) Veacutec tớ Chỉ Phươ ng ( )( ) d OABd OAB u n OA OB perp rArr = =

uur uuuuur uuur uuur

Vậy theo hướ ng tư duy ở TH1 ta coacute lờ i giải như sauGiải

+) Vigrave G lagrave trọng tậm của tam giaacutec OAB rArr ( )022G (vớ i (000)O )

+) Ta coacute(142)

( 124)

OA

OB

=

= minus

uuur

uuur magrave ( ) ( )( )( ) 12 66 6 2 11d OABd OAB u n OA OB perp rArr = = = minus = minus uur uuuuur uuur uuur

Vậy phươ ng trigravenh của đườ ng thẳng d lagrave2 2

2 1 1

x y zminus minus= =

minus



13

2) (A ndash 2005) Trong khocircng gian vớ i hệ tọa độ Oxyz cho đườ ng thẳng d 1 3 3

1 2 1

x y zminus + minus= =

minus vagrave mặt phẳng

(P) 2x + y ndash 2z + 9 = 0 Tigravem tọa độ giao điểm A của đườ ng thẳng d vagrave mặt phẳng (P) Viết phươ ng trigravenh tham số của đườ ng thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P) biết ∆ đi qua A vagrave vuocircng goacutec vớ i d

Phacircn tiacutech

+) Yếu tố điểm ( )d P Acap = rArr tọa độ điểm A

+) Veacutec tơ chỉ phươ ng ( )

( )P

Pu n u

d ∆ ∆

∆ sub rArr = ∆ perp

uur uuur uur Vậy theo hướ ng tư duy ở TH1 ta coacute lờ i giải như sau

Giải

+) Gọi (1 3 2 3 ) A t t t d minus minus + + isin magrave ( ) A Pisin (do ( )d P Acap = ) 2(1 ) 3 2 2(3 ) 9 0t t t rArr minus minus + minus + + =

2 2 0 1 (0 14)t t AhArr minus = hArr = rArr minus

+) Ta coacute ( ) (21 2)Pn = minusuuur

vagrave ( 121)d u = minusuur

Magrave ( )

( ) (505) 5(101)P

Pu n u

d ∆ ∆

∆ sub rArr = = = ∆ perp

uur uuur uur

Vậy phươ ng trigravenh của đườ ng thẳng ∆ lagrave 1

4

x t

y

z t

=

= minus

= +

3) (A A1 ndash 2012 NC) Trong khocircng gian vớ i hệ tọa độ Oxyz cho đườ ng thẳng1 2

2 1 1

x y zd

+ minus= = mặt phẳng

( ) 2 5 0P x y z+ minus + = vagrave điểm (1 12) A minus Viết phươ ng trigravenh đườ ng thẳng ∆ cắt d vagrave ( )P lần lượ t tại M vagrave N sao cho A lagrave trung điểm của đoạn thẳng MN

Phacircn tiacutech

+) Yếu tố điểm ldquo ∆ cắt d vagrave ( )P lần lượ t tại M vagrave Nrdquo rarr tigravem M N theo TTTĐ (Thuật Toaacuten T igravem Điểm)

+) Veacutec tơ chỉ phươ ng u MN ∆

=uur uuuur

Như vậy vớ i dữ kiện của bagravei toaacuten ta sẽ đi theo hướ ng tư duy ở TH2 vagrave coacute lờ i giải như sauGiải +) Gọi ( 1 2 2 ) M t t t d minus + + isin

Vigrave (1 12) A minus lagrave trung điểm của đoạn thẳng MN

2 3 2

2 2 (3 2 2 2 )

2 2

N A M

N A M

N A M

x x x t

y y y t N t t t

z z z t

= minus = minus

rArr = minus = minus minus rArr minus minus minus minus

= minus = minus

Mặt khaacutec ( ) ( ) 3 2 2 2(2 ) 5 0 2 0 2P N N P t t t t t ∆ cap = rArr isin rArr minus minus minus minus minus + = hArr minus = hArr = (324) M rArr vagrave ( 1 40) N minus minus

+) Vậy ( 4 6 4) 2(23 2)u MN ∆

= = minus minus minus = minusuur uuuur

rArr Phươ ng trigravenh ∆3 2 4

2 3 2

x y zminus minus minus= =

CHUacute Yacute Bagravei toaacuten trecircn khi viế t phươ ng trigravenh ∆ chuacuteng ta coacute 3 sự lự a chọn đ iể m (lagrave nhữ ng đ iể m chuacuteng ta nhigraven thấ y rotilde nhấ t) lagrave

(1 1 2) (32 4) ( 1 40) A M N minus minus minus (Bagravei toaacuten trecircn thầ y đ atilde chọn đ iể m (324) M )



14

4) ( D ndash 2011) Trong khocircng gian vớ i hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1 2 3) vagrave đườ ng thẳng d 1 3

2 1 2

x y z+ minus= =

minus

Viết phươ ng trigravenh đườ ng thẳng ∆ đi qua điểm A vuocircng goacutec vớ i d vagrave cắt trục Ox

Phacircn tiacutech

+) Yếu tố điểm ∆ đi qua điểm A (1 2 3)

+) Veacutec tơ chỉ phươ ng ∆ cắt trục Ox rarr gọi ( 0 0) B x Oxisin vagrave do d ∆ perp rArr tọa độ điểm B u AB∆rArr =

uur uuur

Như vậy vớ i dữ kiện của bagravei toaacuten ta sẽ đi theo hướ ng tư duy ở TH2 vagrave coacute lờ i giải như sauGiải

Gọi ( 0 0) B x Oxisin ( vớ i B Ox= ∆ cap ) ( 1 2 3) AB xrArr = minus minus minusuuur

Ta coacute (21 2)d u = minusuur

Magrave 0 0d d d u u AB u∆

∆ perp hArr = hArr =uur uur uuur uur

2( 1) 2 6 0 1 x xhArr minus minus + = hArr = minus ( 100) BrArr minus

( )( 2 2 3) 223u AB∆

rArr = = minus minus minus = minusuur uuur

rArr Phươ ng trigravenh đườ ng thẳng ∆ 1 2 3

2 2 3


BAgraveI TẬP AacuteP DỤNG Bagravei 1 (Gợ i yacute Đi theo H ướ ng tư duy ở TH1)

1) ( D ndash 2007) Cho hai điểm A(1 4 2) B(-1 2 4) Viết phươ ng trigravenh đườ ng thẳng d đi qua trọng tacircm G của tamgiaacutec OAB vagrave vuocircng goacutec vớ i mặt phẳng (OAB) (đ atilde giải)

2) (A ndash 2005) Cho đườ ng thẳng d 1 3 3

1 2 1


minus vagrave mặt phẳng (P) 2x + y ndash 2z + 9 = 0 Tigravem tọa độ giao

điểm A của đườ ng thẳng d vagrave mặt phẳng (P) Viết phươ ng trigravenh tham số của đườ ng thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P)biết ∆ đi qua A vagrave vuocircng goacutec vớ i d (đ atilde giải)

3) Cho đườ ng thẳng d 1

1 2 3

x y zminus= =

minus vagrave hai mặt phẳng (P) x + y ndash 3z + 4 = 0 (Q) x ndash y + 2z ndash 2 = 0

Viết phươ ng trigravenh đườ ng thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (Q) đi qua điểm M vagrave song song vớ i (P) biết M lagrave giaođiểm của đườ ng thẳng d vagrave mặt phẳng (Q)

4) Cho điểm M(- 1 2 1) vagrave hai đườ ng thẳng 1 d 1 2

2 1 3

x y zminus += =

minus vagrave 2

4 2

2

x t d y t

z t

= += minus minus

= minus

Viết phươ ng trigravenh đườ ng thẳng ∆ đi qua điểm M vagrave vuocircng goacutec đồng thờ i vớ i 1 2d d

5) Cho điểm M(0 2 -3) vagrave hai mặt phẳng (P) 2x ndash y + z ndash 2011 = 0 (Q) x + 3y ndash z + 2013 = 0Viết phươ ng trigravenh đườ ng thẳng ∆ đi qua điểm M cugraveng song song vớ i (P) vagrave (Q)

6) Cho điểm M(2 1 -1) đườ ng thẳng1 1

2 2 1

x y zd

minus += =

minus vagrave mặt phẳng ( )α x + y ndash 2z + 2012 = 0 Viết phươ ng

trigravenh đườ ng thẳng ∆ đi qua M song song vớ i ( )α vagrave vuocircng goacutec vớ i d

7) Cho hai điểm A(2 4 -1) B(-5 2 4) vagrave đườ ng thẳng1 2

1 1 2

x y zd

minus +

= =minus Viết phươ ng trigravenh đườ ng thẳng đi

qua M vagrave song song vớ i d biết 2 MA MB= minusuuur uuur


1) (A A1- 2012NC) Cho đườ ng thẳng1 2

2 1 1

x y zd

+ minus= = mp ( ) 2 5 0P x y z+ minus + = vagrave điểm (1 12) A minus

Viết phươ ng trigravenh đườ ng thẳng ∆ cắt d vagrave ( )P lần lượ t tại M vagrave N sao cho A lagrave trung điểm của đoạn thẳng MN

(đ atilde giải)



15

2) ( D ndash 2011) Cho điểm A(1 2 3) vagrave đườ ng thẳng d 1 3

2 1 2

x y z+ minus= = Viết phươ ng trigravenh đườ ng thẳng ∆ đi qua

điểm A vuocircng goacutec vớ i d vagrave cắt trục Ox (đ atilde giải)

3) )(D ndash 2009 NC) Cho đườ ng thẳng2 2

1 1 1

x y z+ minus∆ = =

minus vagrave mặt phẳng (P) x + 2y ndash 3z + 4 = 0 Viết phươ ng

trigravenh đườ ng thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt vagrave vuocircng goacutec vớ i đườ ng thẳng ∆


1 2

2 1 1

x y z

d

minus += =

minus vagrave 2

1 2

13

x t

d y t z

= minus +

= +

=

Viết phươ ng trigravenh đườ ng thẳng d vuocircng goacutec vớ i mặt phẳng (P) 7x + y ndash 4z = 0 vagrave cắt hai đườ ng thẳng 1 2d d

5) (B ndash 2004) Cho điểm ( 4 24) A minus minus vagrave đườ ng thẳng

3 2

1

1 4

x t

d y t

z t

= minus +

= minus = minus +

Viết phươ ng trigravenh đườ ng thẳng ∆ đi qua

điểm A cắt vagrave vuocircng goacutec vớ i đườ ng thẳng d

6) Cho đườ ng thẳng 1

1 2 2

2 1 2

x y zd

minus + minus= =

minus 2

2 3 4

1 1 1

x y zd

minus minus minus= =

minus vagrave mặt phẳng ( ) 6 0 x y zα minus + minus = Lập

phươ ng trigravenh đườ ng thẳng ∆ song song vớ i ( )α vagrave cắt 1 2d d lần lượ t tại M vagrave N sao cho 3 6 MN =

7) Cho hai đườ ng thẳng 1

1 2

2 1 1

x y zd

minus += =

minus vagrave 2

1 2

1

3

x t

d y t

z

= minus +

= + =

Chứng minh rằng 1 2d d cheacuteo nhau vagrave viết phươ ng trigravenh đườ ng vuocircng goacutec chung của 1d vagrave 2d

BAgraveI TOAacuteN 23 VIẾT PHƯƠ NG TRIgraveNH MẶT CẦU



16


1) (A A1 ndash 2012 CB) Trong khocircng gian vớ i hệ tọa độ Oxyz cho đườ ng thẳng1 2

1 2 1

x y zd

+ minus= = vagrave điểm

(003) I Viết phươ ng trigravenh mặt cầu (S) coacute tacircm I vagrave cắt d tại hai điểm A B sao cho tam giaacutec IAB vuocircng tại I

Phacircn tiacutech

+) Yếu tố Tacircm Đề bagravei đatilde cho tacircm (003) I

+) Yếu tố Baacuten Kiacutenh Tam giaacutec IAB vuocircng cacircn tại I ( vigrave IA = IB = R) rArr 2 R IH = rArr cần tiacutenh IH C1 Tigravem tọa độ điểm H (dugraveng Thuật Toaacuten Tigravem Điểm) IH rArr

C2 IH bằng khoảng khoảng caacutech từ I đến d (Aacutep dụng cocircng thức khoảng caacutech)Vậy theo hướ ng tư duy ở TH1 ta coacute lờ i giải như sau Giải

+) Gọi ( 1 2 2) H t t t d minus + isin lagrave higravenh chiếu của I xuống đườ ng thẳng d ( 12 1) IH t t t rArr = minus minusuuur

Ta coacute veacutec tơ chỉ phươ ng của d (121)d u =uur

vagrave IH d perp 1 2 2 7 0 1 4 1 0 6 2 0 3 3 3 3d IH u t t t t t H rArr = hArr minus + + minus = hArr minus = hArr = rArr minus

uuur uur

2 2 22 2 2 2 3

3 3 3 3 IH

rArr = + + =

(coacute thể tiacutenh ( ) IH d I AB= =

2 3

3 - Cocircng thức coacute ở ban Nacircng Cao)

+) Vigrave tam giaacutec IAB vuocircng tại I vagrave IA = IB = R rArr tam giaacutec IAB vuocircng cacircn tại I

0cos45 R IA ABrArr = =2 2 3 2 6

2 2 22 3 3

IH IH = = = =

Vậy phươ ng trigravenh mặt cầu (S) 2 2 2 8( 3)

3 x y z+ + minus =

2) (D ndash 2012 CB) Cho mặt phẳng (P) 2 2 10 0 x y z+ minus + = vagrave điểm I(2 1 3) Viết phươ ng trigravenh mặt cầu tacircm I vagravecắt (P) theo một đườ ng trograven coacute baacuten kiacutenh bằng 4

Phacircn tiacutech +) Yếu tố Tacircm Đề bagravei đatilde cho tacircm (213) I +) Yếu tố Baacuten Kiacutenh Mặt cầu cắt (P) theo một đườ ng trograven coacute baacuten kiacutenh bằng 4 2 2 2 R r h RrArr = + rarr

Giải +) Gọi mặt cầu cắt (P) theo một đườ ng trograven coacute tacircm I vagrave baacuten kiacutenh 4r = Suy ra ( ) II Pperp Necircn

2 2 2

4 1 6 10 9 ( ( )) 332 1 2

h II d I P + minus += = = = =

+ +

+) Theo Pitago ta coacute 2 2 2 2 24 3 25 5 R r h R= + = + = rArr =

Vậy phươ ng trigravenh mặt cầu lagrave 2 2 2( 2) ( 1) ( 3) 25 x y zminus + minus + minus =



17

3) (B ndash 2012 CB) Cho đườ ng thẳng1

2 1 2

x y zd

minus= =

minus vagrave hai điểm (210) A ( 2 3 2) B minus Viết phươ ng trigravenh mặt

cầu đi qua A B vagrave coacute tacircm thuộc đườ ng thẳng d

Phacircn tiacutech

+) Yếu tố Tacircm Đề bagravei đatilde cho tacircm I d isin rarr Dựa vagraveo Thuật Toaacuten Tigravem Điểm I rArr +) Yếu tố Baacuten Kiacutenh R IA= Vậy theo hướ ng tư duy ở TH2 ta coacute lờ i giải như sau

Giải +) Gọi mặt cầu coacute tacircm I vagrave gọi (2 1 2 ) I t t t d + minus isin +) Mặt cầu đi qua A B necircn IA IB R= =

2 2 IA IBrArr = 2 2 2 2 2 2(2 1) ( 1) 4 (2 3) ( 3) (2 2)t t t t t t hArr minus + minus + = + + minus + + 6 2 14 22 1t t t hArr minus + = + hArr = minus

Suy ra ( 1 12) I minus minus vagrave baacuten kiacutenh 2 2 23 2 2 17 R IA= = + + =

Vậy phươ ng trigravenh mặt cầu lagrave 2 2 2( 1) ( 1) ( 2) 17 x y z+ + + + minus =

4) (D ndash 2011 - NC) Trong khocircng gian vớ i hệ tọa độ Oxyz cho đườ ng thẳng1 3

2 4 1

x y zminus minus∆ = = vagrave mặt phẳng

(P) 2x ndash y + 2z = 0 Viết phươ ng trigravenh mặt cầu coacute tacircm thuộc đươ ng thẳng ∆ baacuten kiacutenh bằng 1 vagrave tiếp xuacutec vớ i mặtphẳng (P)

Phacircn tiacutech

+) Yếu tố Tacircm Đề bagravei đatilde cho tacircm I isin ∆ rarr Dựa vagraveo Thuật Toaacuten Tigravem Điểm I rArr +) Yếu tố Baacuten Kiacutenh Đề bagravei cho 1 R =

Vậy theo hướ ng tư duy ở TH2 ta coacute lờ i giải như sauGiải +) Gọi tacircm (2 14 3 ) I t t t + + isin ∆ Ta coacute Mặt cầu tiếp xuacutec vớ i mặt phẳng (P) ( ( ))d I P RhArr =

2 2 2

2 (5112)2(2 1) (4 3) 21 2 1 3

1 ( 1 1 1)2 1 2

t I t t t t

t I

=+ minus + + hArr = hArr minus = hArr rArr

= minus minus minus minus+ +

+) Vậy phươ ng trigravenh mặt cầu lagrave 2 2 2( 5) ( 11) ( 2) 1 x y zminus + minus + minus = hoặc 2 2 2( 1) ( 1) ( 1) 1 x y z+ + + + + =

BAgraveI TẬP AacuteP DỤNG BAgraveI 1 ((Gợ i yacute Đi theo H ướ ng tư duy ở TH1)

1) (D ndash 2012) Cho mặt phẳng (P) 2 2 10 0 x y z+ minus + = vagrave điểm I(2 1 3) Viết phươ ng trigravenh mặt cầu tacircm I vagrave cắt (P)

theo một đườ ng trograven coacute baacuten kiacutenh bằng 4 (đ atilde giải)

2) (A A1 ndash 2012) Cho đườ ng thẳng1 2

1 2 1

x y zd

+ minus= = vagrave điểm (003) I Viết phươ ng trigravenh mặt cầu (S) coacute tacircm I

vagrave cắt d tại hai điểm A B sao cho tam giaacutec IAB vuocircng tại I (đ atilde giải)

3) ( A ndash 2010 NC) Cho điểm A(0 0 -2) vagrave đườ ng thẳng2 2 3

2 3 2

x y z+ minus +∆ = = 983086 Tiacutenh khoảng caacutech từ A đến ∆

Viết phươ ng trigravenh mặt cầu tacircm A cắt ∆ tại hai điểm B vagrave C sao cho BC = 8

4) ( B ndash 2005) Cho higravenh lăng trụ đứng 1 1 1 ABC A B C vớ i A(0 - 3 0) B(4 0 0) C(0 3 0) 1(404) B Tigravem tọa độ

caacutec đỉnh 1 1 A C Viết phươ ng trigravenh mặt cầu coacute tacircm lagrave A vagrave tiếp xuacutec vớ i mặt phẳng 1 1( ) BCC B

5) Cho điểm I(1 2 -2) vagrave mặt phẳng (P) 2x +2y + z + 5 = 0 Viết phươ ng trigravenh mặt cầu (S) coacute tacircm lagrave I sao cho (P)

cắt (S) theo một đườ ng trograven coacute chu vi lagrave 8π

6) Cho mặt phẳng (P) 5x ndash 4y + z ndash 6 = 0 mặt phẳng (Q) 2x ndash y + z + 7 = 0 vagrave đườ ng thẳng d 1 1

7 3 2

x y zminus minus= =

minus minus



18

Viết phươ ng trigravenh mặt cầu (S) biết rằng tacircm I của mặt cầu lagrave giao điểm của d vớ i (P) vagrave mặt phẳng (Q) cắt higravenh cầu

(S) theo thiết diện lagrave higravenh trograven vớ i diện tiacutech lagrave 20π

7) Lập phươ ng trigravenh mặt cầu coacute tacircm I(2 3 -1) vagrave cắt đườ ng thẳng d 11 25

2 1 2

x y zminus += =

minus tại hai điểm A B

sao cho AB = 16

8) Cho hai đườ ng thẳng 1 2d d coacute phươ ng trigravenh 1

2

4

x t

d y t

z

=

=

=

vagrave 2

3 2

0

x t

d y t

z

= +

= minus

=

a) Chứng minh 1 2d d cheacuteo nhau

b) Lập phươ ng trigravenh mặt cầu (S) nhận đoạn vuocircng goacutec chung của 1d vagrave 2d lagravem đườ ng kiacutenh

BAgraveI 2 ((Gợ i yacute Đi theo H ướ ng tư duy ở TH2)

1) Cho hai điểm A(2 -1 0) B(1 1 -2) Viết phươ ng trigravenh mặt cầu (S) coacute tacircm nằm trecircn trục Oy vagraveA B lagrave hai điểm thuộc (S)


2 1 2

x y zd

minus= =


cầu đi qua A B vagrave coacute tacircm thuộc đườ ng thẳng d (đ atilde giải)

3) (D ndash 2011 - NC) Cho đườ ng thẳng 1 32 4 1

x y zminus minus∆ = = vagrave mặt phẳng (P) 2x ndash y + 2z = 0 Viết phươ ng trigravenh

mặt cầu coacute tacircm thuộc đươ ng thẳng ∆ baacuten kiacutenh bằng 1 vagrave tiếp xuacutec vớ i mặt phẳng (P) (đ atilde giải)4) (D ndash 2008) Cho bốn điểm A(3 3 0) B(3 0 3) C(0 3 3) D(3 3 3) Vi ết phươ ng trigravenh mặt cầu đi qua bốn

điểm A B C D5) (D ndash 2004) Cho ba điểm A(2 0 1) B(1 0 0) C(1 1 1) vagrave mặt phẳng (P) x + y + z ndash 2 = 0Viết phươ ng trigravenh mặt cầu đi qua ba điểm A B C vagrave coacute tacircm thuộc mặt phẳng (P)

6) (TN ndash 2004) Trong khocircng gian cho bốn điểm A(1 -1 2) B(1 3 2) C(4 3 2) vagrave D(4 -1 2) Gọi Arsquo lagrave higravenhchiếu của A lecircn mặt phẳng Oxy Viết phươ ng trigravenh mặt cầu đi qua Arsquo B C D

7) Cho đườ ng thẳng d 1 2

3 1 1

x y zminus += = vagrave mặt phẳng (P) 2x + y ndash 2z + 2 = 0

Viết phươ ng trigravenh mặt cầu (S) coacute tacircm nằm trecircn d tiếp xuacutec vớ i (P) vagrave coacute baacuten kiacutenh bằng 1

8) Cho hai điểm A(2 -1 0) B(1 1 -2) Viết phươ ng trigravenh mặt cầu (S) coacute tacircm nằm trecircn trục Oy vagrave A B lagrave hai điểmthuộc (S)

9) Viết phươ ng trigravenh mặt cầu (S) coacute tacircm nằm trecircn đườ ng thẳng 0

1

x t

d y

z

=

= = minus

tiếp xuacutec vớ i hai mặt phẳng

(P) 3x + 4y + 3 = 0 vagrave (Q) 2x + 2y ndash z + 39 = 0

10) Cho hai điểm A(0 0 4) B(2 0 0) Viết phươ ng trigravenh mặt cầu qua O A B vagrave tiếp xuacutec vớ i mặt phẳng

(P) 2x + y ndash z ndash 5 = 0



19

PHẦN THAM KHẢO CAacuteC BAgraveI TOAacuteN CỰ C TRỊ CỦA HIgraveNH HỌC GIẢI TIacuteCH TRONG KHOcircNG GIAN

Yacute t ưở ng cho caacutec bagravei toaacuten tigravem GTLN GTNN noacutei chung cũng như caacutec bagravei toaacuten GTLN GTNN của higravenh học giải tiacutechtrong khocircng gian noacutei riecircng lagrave ta tigravem caacutech thiế t lậ p biể u thứ c cần xaacutec định GTLN GTNN theo một ẩ n t nagraveo đ oacute bằ ngcaacutech ldquocắ t nghĩ ardquo d ữ kiện bagravei toaacuten Sau đ oacute dugraveng caacutec k ĩ thuật vagrave phươ ng phaacutep tigravem GTLN GTNN để giải quyế t (thườ nglagrave bagravei toaacuten tigravem đ iể m) Hoặc cắ t nghĩ a bagravei toaacuten (khocircng cần thiế t lậ p biể u thứ c) để khai thaacutec đượ c yế u t ố vuocircng goacutec

song song (thườ ng vớ i nhữ ng bagravei toaacuten viế t phươ ng trigravenh đườ ng thẳ ng mặt phẳ ng mặt cầu) Vagrave sau đ acircy chuacuteng ta sẽ đ itigravem hiể u caacutec hướ ng đ i nagravey

Bagravei toaacuten 1 Cho đườ ng thẳng d vagrave hai điểm A B Tigravem tọa độ điểm M d isin sao cho

1) 2 21 2k MA k MB+ nhỏ nhất lớ n nhất (nếu coacute) 2) 1 2k MA k MB+

uuur uuur nhỏ nhất

3) MA + MB nhỏ nhất (hoặc chu vi tam giaacutec MAB nhỏ nhất) 4) MA MBminus lớ n nhất

Caacutech giải chung Gọi ( ) M t d isin rarr

Cacircu 1) 2 2 21 2k MA k MB at bt c+ = + +

C1 +) Taacutech gheacutep theo hằng đẳng thức 2 2( ) ( )2 4b f t at bt c a t a a

minus∆= + + = + +

+) Nếu( )

( )

2 21 2 min

2 21 2 max

0 ( )4 4 2

0 ( )4 4 2

ba f t k MA K MB khi t M

a a ab

a f t k MA K MB khi t M a a a

minus∆ minus∆gt rarr ge rarr + = = minus rarr

minus∆ minus∆

lt rarr le rarr + = = minus rarr

C2 Hagravem số bậc hai 2( ) f t at bt c= + + đạt cực tiểu khi 0a gt vagrave cực đại khi 0a lt tại2

bt M

a= minus rarr

C3 Dugraveng hagravem số để tigravem min (hoặc max) của 2( ) f t at bt c= + +

Cacircu 2) 21 2 1 2

( )( )

( )

MA t k MA k MB u t k MA k MB at bt c

MB t

rarr + = rarr + = + +

uuuruuur uuur r uuur uuur

uuur ( vớ i 0a gt ) ()

Từ () 1 2min 4

k MA k MBa

minus∆rarr + =

uuur uuur khi

2

bt M

a= minus rarr

Cacircu 3) 2 21 1 2 2 MA MB at b t c at b t c+ = + + + + + ()

C1 +) Từ () rarr ( )2 2 2 21 1 2 2( ) ( ) MA MB a t x y t x y+ = minus + + minus + (2)

C11+) Trong mặt phẳng Oxy xeacutet caacutec điểm ( 0) Ox N t isin 1 1 2 2( ) ( ) H x y K x y (vớ i 1 2 0 y y lt ) (3)

+) Từ (2) vagrave (3) rarr ( ) MA MB a NH NK a HK + = + ge = const (4) rarr min( ) MA MB+ a HK =

+) Dấu ldquo=rdquo (4) xảy ra khi Ox N HK = I N t M rarr = rarr = rarr

C12

+) Trong mặt phẳng Oxy xeacutet 1 1

2 2

( )

( )

u t x y

v x t y

minus

minus

r

r rarr 2 1 1 2( )u v x x y y+ = minus +r r

(vớ i 1 2 0 y y gt )



20

+) Từ (2) rArr ( ) 2 22 1 1 2[( ) ( ) ] MA MB a u v a u v a x x y y const + = + ge + = minus + + =

r r r r

+) Dấu ldquo=rdquo (4) xảy ra khi u vr r

cugraveng hướ ng 1 1

2 2

0t x y

x t y

minusrarr = gt

minust M rarr = rarr

C2 Dugraveng hagravem số để tigravem min của 2 21 1 2 2( ) f t at b t c at b t c= + + + + +

Cacircu 4) 2 21 1 2 2 MA MB at b t c at b t cminus = + + minus + + ()

+) Từ () rarr2 2 2 2

1 1 2 2 ( ) ( ) MA MB a t x y t x yminus = minus + minus minus + (2)

+) Trong mặt phẳng Oxy xeacutet caacutec điểm ( 0) Ox N t isin 1 1 2 2( ) ( ) H x y K x y (vớ i 1 2 0 y y gt ) (3)

+) Từ (2) vagrave (3) rarr MA MB a NH NK a HK minus = minus le = const rarrmax

MA MBminus a HK = (4)


CHUacute Yacute

+) Ở Cacircu 3 (vagrave Cacircu 4) ta phải chọn 1 2 0 y y lt (vagrave 1 2 0 y y gt ) để hai điểm H K khaacutec phiacutea (vagrave cugraveng phiacutea) vớ i Ox

+) Ở phần caacutech giải chung trong Cacircu 3 vagrave Cacircu 4 ta đang giải quyết trong trườ ng hợ p khoacute lagrave AB vagrave đườ ng thẳng dlagrave cheacuteo nhau (khocircng đồng phẳng) Nhưng nếu AB vagrave d đồng phẳng (coacute thể cắt nhau song song trugraveng nhau) thigrave ta sẽ

coacute caacutech giải quyết nhẹ nhagraveng hơ n (thầy sẽ noacutei rotilde điều nagravey qua caacutec viacute dụ) +) Ở Cacircu 1Cacircu 2 chuacuteng ta coacute thể mở rộng bagravei toaacuten thagravenh n điểm 1 2 n A A A

Viacute dụ 1 Cho đườ ng thẳng 1 1 1

x y z∆ = = vagrave hai điểm (003) A (033) B Tigravem tọa độ điểm M isin ∆ sao cho

1) 2 22 MA MB+ nhỏ nhất 2) 3 MA MBminusuuur uuur

nhỏ nhất

3) MA + MB nhỏ nhất 4) MA MBminus lớ n nhất

Viacute dụ 2 Cho hai điểm A(1 1 0) B(3 ndash 14) vagrave đườ ng thẳng1 1 2

1 1 2

x y zd

+ minus += =

minus

Tigravem điểm M trecircn d sao cho MA + MB nhỏ nhất

Viacute dụ 3 Cho hai điểm A(1 5 0) B(3 3 6) vagrave đườ ng thẳng

1 2

1

2

x t

y t

z t

= minus +

∆ = minus

=

Xaacutec định vị triacute điểm M nằm trecircn đườ ng

thẳng ∆ để chu vi tam giaacutec MAB đạt giaacute trị nhỏ nhất

Viacute dụ 4 Cho đươ ng thẳng1 1

1 2 2

x y zd

minus += =

minus vagrave hai điểm A(0 1 2) B(ndash1 2 3) Tigravem M thuộc d sao cho

1) 2 2 MA MB+ nhỏ nhất 2) MA MB+ nhỏ nhất

3) 2 MA MBminusuuur uuur

nhỏ nhất 4) 2 MA MB+uuur uuur

nhỏ nhất

Viacute dụ 5 Trong khocircng gian vớ i hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1 2 -1) B(7 - 2 3) vagrave đườ ng thẳng d coacute phươ ng

trigravenh2 4

3 2 2

x y zminus minus= =

minus Tigravem trecircn d những điểm M sao cho tổng khoảng caacutech từ M đến A vagrave B lagrave nhỏ nhất



21

Bagravei toaacuten 2 Cho mặt phẳng (P) vagrave ba điểm A B C Tigravem tọa độ điểm ( ) M Pisin sao cho

1) 2 2 21 2 3k MA k MB k MC + + nhỏ nhất lớ n nhất (nếu coacute) 2) 1 2 3k MA k MB k MC + +

uuur uuur uuuurnhỏ nhất


Caacutech giải chungCacircu 1)

+) Xeacutet điểm I thỏa matilden 1 2 3 0k IA k IB k IC + + =uur uur uur r

() rarr tọa độ điểm I

+) Ta coacute2 2 22 2 2

1 2 3 1 2 3k MA k MB k MC k MA k MB k MC + + = + +uuur uuur uuuur

2 2 21 2 3( ) ( ) ( )k MI IA k MI IB k MI IC = + + + + +

uuur uur uuur uur uuur uur

= 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3( ) 2 ( )k k k MI k IA k IB k IC MI k IA k IB k IC + + + + + + + +

uuur uur uur uur

= 2 2 2 21 2 3 1 2 3( )k k k MI k IA k IB k IC + + + + + (2) (do coacute ())

+) Magrave 2 2 2

1 2 3

k IA k IB k IC + + = const ( vigrave A B C I lagrave caacutec điểm cố định) (3)

+) Từ (2) vagrave (3) rarrNếu( )

( )

2 2 21 2 3 1 2 3 min

min2 2 21 2 3 1 2 3

0

0max

k k k k MA k MB k MC MI

k k k k MA k MB k MC

+ + gt rarr + + harr + + lt rarr + +

(4)

+) Từ (4) rarr M lagrave higravenh chiếu của I trecircn (P) M rarr Cacircu 2)



+) Ta coacute 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( )k MA k MB k MC k MI IA k MI IB k MI IC + + = + + + + +uuur uuur uuuur uuur uur uuur uur uuur uur

1 2 3 1 2 3( )k k k MI k IA k IB k IC = + + + + +uuur uur uur uur

1 2 3( )k k k MI = + +uuur

(do coacute ())

1 2 3 1 2 3 1 2 3( )k MA k MB k MC k k k MI k k k MI rarr + + = + + = + +uuur uuur uuuur uuur

Vậy 1 2 3min

k MA k MB k MC + +uuur uuur uuuur

khi min MI (2) rarr M lagrave higravenh chiếu của I trecircn (P) M rarr

CHUacute Yacute Caacutec em coacute thể tigravem nhanh đ iể m I nhờ vagraveo cocircng thứ c sau

1 2 3 1 2 31 2 3

1

0 ( )k IA k IB k IC OI k OA k OB k OC k k k + + = harr = + ++ +

uur uur uur r uur uuur uuur uuur

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1( )

1

( )

1( )

I A B C

I A B C

I A B C

x k x k x k xk k k

y k y k y k yk k k

z k z k z k zk k k

= + +

+ +

rarr = + + + +

= + ++ +



22

Cacircu 3)Xeacutet vị triacute tươ ng đối của A B so vớ i mặt phẳng (P) ( giống như trong mặt phẳng điểm vớ i đườ ng thẳng) Nếu

TH1 TH2

TH1 A B khaacutec phiacutea so vớ i (P) MA MB AB const rarr + ge = min( ) MA MB ABrarr + = khi 0 ( ) M M AB Pequiv = I

TH2 A B cugraveng phiacutea so vớ i (P)+) Xaacutec định điểm A đối xứng vớ i A qua (P)

+) Ta coacute MA MB MA MB A B const + = + ge = min( ) MA MB A Brarr + = khi ( ) M A B P= I

Cacircu 4) (về mặt yacute tưở ng ta sẽ lagravem tươ ng tự như Cacircu 3 ndash song caacutech giải ngượ c vớ i Cacircu 3)Xeacutet vị triacute tươ ng đối của A B so vớ i mặt phẳng (P) Nếu

TH1 TH2

TH1 A B cugraveng phiacutea so vớ i (P) MA MB AB const rarr minus le =max

MA MB ABrarr minus = khi 0 ( ) M M AB Pequiv = I


+) Ta coacute MA MB MA MB A B const minus = minus le =max

MA MB A Brarr minus = khi 0 ( ) M M A B Pequiv = I

CHUacute Yacute Qua Cacircu 3 vagrave Cacircu 4 ta nhận thấy để giải đượ c bagravei toaacuten

+) min( ) MA MB+ thigrave A B khaacutec phiacutea (nếu cugraveng phiacutea thigrave phải chuyển về khaacutec phiacutea ndash phần giải đatilde lagravem rotilde điều nagravey)

+)max

MA MBminus thigrave A B cugraveng phiacutea (nếu khaacutec phiacutea thigrave phải chuyển về cugraveng phiacutea)

Viacute dụ 1 Cho mặt phẳng ( ) 4 0P x y z+ + minus = Tigravem điểm ( ) M Pisin sao cho

1) 2 23 MA MB+ nhỏ nhất biết (121) A (012) B

2) 2 2 23 2 MA MB MC + + nhỏ nhất biết (121) (012) (003) A B C

3) 2 2 23 5 MA MB MC + minus lớ n nhất biết (121) (012) (003) A B C

4) 3 4 MA MB MC + +uuur uuur uuuur

nhỏ nhất biết (121) (012) (003) A B C

5) MA MB+ nhỏ nhất biết (100) A (120) B

6) MA MBminus lớ n nhất biết (121) A (012) B

Viacute dụ 2 Trong khocircng gian Oxyz cho caacutec điểm A(1 2 -1) B(3 1 -2) C(1 -2 1) vagrave mặt phẳng ( ) 2 0 x y zα minus + =



23

Tigravem điểm M thuộc mặt phẳng ( )α sao cho 2 2 2 MA MB MC minus minus coacute giaacute trị lớ n nhất

Bagravei toaacuten 3 Bagravei toaacuten GTLN GTNN liecircn quan tớ i khoảng caacutech độ dagravei đoạn thẳngchu vi tam giaacutec diện tiacutech tam giaacutecthể tiacutech của khối higravenh đa diện

Caacutech giải chung Vớ i dạng toaacuten trecircn chuacuteng ta thườ ng đi theo hai hướ ng

+) Cắt ngh ĩ a bagravei toaacuten để khai thaacutec đượ c yếu tố vuocircng goacutec song song+) Thiết lập biểu thức khoảng caacutech theo ẩn t Vagrave chuyển về bagravei toaacuten tigravem t để khoảng caacutech lớ n nhất nhỏ nhất

Viacute dụ 1 Cho điểm A(10 2 - 1) vagrave đườ ng thẳng1 1

2 1 3

x y zd

minus minus= = Lập phươ ng trigravenh mặt phẳng (P) đi qua A

song song vớ i d vagrave khoảng caacutech từ d tớ i (P) lagrave lớ n nhất

Viacute dụ 2 ( 2t ) Cho điểm A(2 ndash1 0) B(0 1 ndash 1) vagrave đườ ng thẳng1 1

1 2 2

x y zminus +∆ = =

minus Viết phươ ng trigravenh đườ ng

thẳng d đi qua B cắt ∆ sao cho khoảng caacutech từ A tớ i d lagrave lớ n nhấtViacute dụ 3 Cho ba điểm A(1 5 4) B (0 1 1) C(1 2 1) Tigravem tọa độ điểm điểm D thuộc đườ ng thẳng AB sao cho độ dagravei đoạn thẳng CD nhỏ nhấtViacute dụ 4 Trong khocircng gian vớ i hệ tọa độ Oxyz cho M(123) Lập phươ ng trigravenh mặt phẳng đi qua M cắt ba tia OxOy Oz lần lượ t tại A B C sao cho thể tiacutech tứ diện OABC nhỏ nhất

Viacute dụ 5 Trong khocircng gian cho mặt cầu 2 2 2( ) 2 4 2 16S x y z x y z+ + minus minus + = Viết phươ ng trigravenh mặt phẳng (P) qua

M(2 1 1) sao cho (P) cắt (S) theo giao tuyến lagrave một đườ ng trograven coacute baacuten kiacutenh nhỏ nhất

Viacute dụ 6 Cho hai đườ ng thẳng 1

1 1 3

1 2 2

x y z+ + minus∆ = =

minus vagrave 2

1

2 2

2

x t

y t

z t

= minus minus

∆ = + = minus

Viết phươ ng trigravenh mặt phẳng (P) qua 1∆ vagrave caacutech 2∆ một khoảng lớ n nhất

Viacute dụ 7 Cho đườ ng thẳng

2

1

2

x t

y t

z t

=

∆ = minus

= +

vagrave hai điểm (2 11) (012) A Bminus Viết phươ ng trigravenh đườ ng thẳng d qua A

vuocircng goacutec vớ i ∆ vagrave caacutech B một khoảng lớ n nhất nhỏ nhất

C ả m ơ n caacutec em vagrave caacutec bạ n đ atilde đọ c tại liệu

Mọi yacute kiến đoacuteng goacutep caacutec em vagrave caacutec bạn gửi qua E- mail giaidaptoancap3yahoocom

hoặc địa chỉ số 9 ndash Ngotilde 880 ndash Bạ ch Đằ ng ndash Hai Bagrave Trư ng ndash Hagrave N ội Điện thoại 0439871450 hoặc DĐ 0947141139 Lờ i giải caacutec bagravei tậ p caacutec em coacute thể tham khả o trecircn web httpwwwfacebookcomgiaidaptoancap3



2

CAacuteC HƯỚ NG TƯ DUY VAgrave PHƯƠ NG PHAacuteP GIẢI TRONG HIgraveNH HỌC OXYZ

A KIẾN THỨ C CƠ BẢN

I CAacuteC COcircNG TH Ứ C C Ơ B Ả N

II CAacuteC COcircNG TH Ứ C V Ề ĐỊ NH LƯỢ NG



3





4




+) ( )a t r




+) ar




2 1 1

x y zd

minus += =




( )

MA t

MB t

rarr

uuur

uuur


Giải +) Gọi( 2 2 )

(1 2 1 )(1 2 )

MA t t t M t t t d

MB t t t


= minus minus

uuur

uuur


2 20

2 (1 2 ) (2 ) 0 6 4 0 2

3

t t t t t t t t

t


(1 10)7 5 2

3 3 3

M

M

minus

minus



5





3 ( ) 0 (3)

MA f x y z

MB g x y z

= = rArr = =




2 2 22 2 2 2

2 0 (2)9 ( 2) ( 1) 9

( 2) ( 3) 9 (3)9 ( 2) ( 3) 9

x y z MA x y z

x y z MB x y z


+ + + minus == + + + minus =

+) Từ (1) vagrave (2)2 2

3

x y

z y

= minusrArr


21

7 11 4 0 47

y y y

y


(013)6 4 12

7 7 7

M

M

minus



2 1 1

x y zd

minus += =




2 1

1 2 1

x y zminus += =




1 3 2





2 1 1

x y zminus +∆ = =





3


2 1 2





6


3

x t

y t

z t

= +

∆ = =

vagrave 2

2 1

2 1 2




1 9

1 1 6

x y z+ +∆ = =

2

1 1 1 2 3 2

x y zminus minus +





2 1 2







1 1 2

x y zminus +∆ = =




1 1

2 1 1

x y zd

minus += =

minus 2

1

1 2

2

x t

d y t

z t

= +

= minus minus

= +



2 1 1

x y zd

minus + minus= =

minus



1 2 1

x y zd

minus + minus= =




1 2 1

3 1 2

x y zd

minus + += =

minus 2 d

3

4

2 2

x t

y t

z t

=

= minus = +




1

2

1 2

x t

y t

z t

= +

∆ = + = +





7




x y zd = = 2

1 2

1

x t

d y t

z t

= minus minus

=

= +




1 2

1

2

x t

y t

z t

= +

= minus minus =


1 1 4

x y zminus += =






8



1 1

2 1 1

x y zd

minus += =

minus 2

1

1 2

2

x t

d y t

z t

= +

= minus minus = +





uuur ur uur





uuur ur uur


lagrave






2

( )

( )

d P

d P

rArr

(thỏa matilden)






uuur uuur uuur



Từ

phươ


ặt ph


=uuur


uuur


uuur uuur uuur


2 2 2 2 21 1


+




9







2 3 0

a b c d

a b c d

+ + + =rArr

minus + + + =

3

25 5

2

a bc

a bd

+=

hArr minus minus =

necircn (P)3 5 5

0 2 2 (3 ) (5 5 ) 02 2



Magrave2 2 2 2 2 2

22 6 2 2( ( )) ( ( )) 3

04 4 (3 ) 4 4 (3 )


ba b a b a b a b


=+ + + + + +







x y z

b c+ + =



3 3

x t

y t

z t

=

= = minus



b cG

rArr


233

2 23

41 3 3

b t t

ct b

ct

= =

rArr = hArr =

== minus





10





1 1

2 1 1

x y zd

minus += =

minus 2

1

1 2

2

x t

d y t

z t

= +

= minus minus

= +






1 2 1

3 1 2

x y zd

minus + += =

minus vagrave 2

3

4

2 2

x t

d y t

z t

=

= minus

= +



2 1 4

2 3 4


1

2

1 2

x t

y t

z t

= +

∆ = +

= +





2 2 1

x y zminus += =






1

1

1 1 1

x y zminus∆ = =

minus 2

1

2 1 1

x y zminus∆ = =












11



2 1 2

x y zd







cos6

α =


4 1 1

















12









+) Ta coacute(142)

( 124)

OA

OB

=

= minus

uuur



2 1 1

x y zminus minus= =

minus



13


1 2 1




Phacircn tiacutech



( )P

Pu n u

d ∆ ∆



Giải





Magrave ( )

( ) (505) 5(101)P

Pu n u

d ∆ ∆


uur uuur uur


4

x t

y

z t

=

= minus

= +


2 1 1

x y zd



Phacircn tiacutech



=uur uuuur



2 3 2

2 2 (3 2 2 2 )

2 2

N A M

N A M

N A M

x x x t

y y y t N t t t

z z z t

= minus = minus


= minus = minus


+) Vậy ( 4 6 4) 2(23 2)u MN ∆



2 3 2






14


2 1 2

x y z+ minus= =

minus


Phacircn tiacutech



uur uuur







( )( 2 2 3) 223u AB∆



2 2 3





1 2 1





1 2 3

x y zminus= =




2 1 3

x y zminus += =

minus vagrave 2

4 2

2

x t d y t

z t

= += minus minus

= minus




2 2 1

x y zd

minus += =




1 1 2

x y zd

minus +





2 1 1

x y zd



(đ atilde giải)



15


2 1 2




1 1 1

x y z+ minus∆ = =




1 2

2 1 1

x y z

d

minus += =

minus vagrave 2

1 2

13

x t

d y t z

= minus +

= +

=



3 2

1

1 4

x t

d y t

z t

= minus +

= minus = minus +




1 2 2

2 1 2

x y zd

minus + minus= =

minus 2

2 3 4

1 1 1

x y zd





1 2

2 1 1

x y zd

minus += =

minus vagrave 2

1 2

1

3

x t

d y t

z

= minus +

= + =





16



1 2 1

x y zd



Phacircn tiacutech







uuur uur

2 2 22 2 2 2 3

3 3 3 3 IH

rArr = + + =


2 3



0cos45 R IA ABrArr = =2 2 3 2 6

2 2 22 3 3

IH IH = = = =


3 x y z+ + minus =




2 2 2

4 1 6 10 9 ( ( )) 332 1 2

h II d I P + minus += = = = =

+ +





17


2 1 2

x y zd

minus= =



Phacircn tiacutech







2 4 1



Phacircn tiacutech



2 2 2

2 (5112)2(2 1) (4 3) 21 2 1 3

1 ( 1 1 1)2 1 2

t I t t t t

t I








1 2 1

x y zd




2 3 2








7 3 2

x y zminus minus= =

minus minus



18




2 1 2

x y zminus += =


sao cho AB = 16


2

4

x t

d y t

z

=

=

=

vagrave 2

3 2

0

x t

d y t

z

= +

= minus

=






2 1 2

x y zd

minus= =









3 1 1





1

x t

d y

z

=

= = minus







19











minus∆= + + = + +

+) Nếu( )

( )

2 21 2 min

2 21 2 max

0 ( )4 4 2

0 ( )4 4 2


a a ab



minus∆ minus∆



bt M

a= minus rarr


Cacircu 2) 21 2 1 2

( )( )

( )


MB t

rarr + = rarr + = + +



Từ () 1 2min 4

k MA k MBa

minus∆rarr + =

uuur uuur khi

2

bt M

a= minus rarr






C12


2 2

( )

( )

u t x y

v x t y

minus

minus

r


(vớ i 1 2 0 y y gt )



20


r r r r



2 2

0t x y

x t y

minusrarr = gt




+) Từ () rarr2 2 2 2






CHUacute Yacute







nhỏ nhất



1 1 2

x y zd

+ minus += =

minus



1 2

1

2

x t

y t

z t

= minus +

∆ = minus

=




1 2 2

x y zd

minus += =





nhỏ nhất


trigravenh2 4

3 2 2

x y zminus minus= =




21








+) Ta coacute2 2 22 2 2





uuur uur uur uur


+) Magrave 2 2 2

1 2 3



( )

2 2 21 2 3 1 2 3 min

min2 2 21 2 3 1 2 3

0

0max




(4)






1 2 3( )k k k MI = + +uuur

(do coacute ())


Vậy 1 2 3min




1 2 3 1 2 31 2 3

1



1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1( )

1

( )

1( )

I A B C

I A B C

I A B C

x k x k x k xk k k

y k y k y k yk k k

z k z k z k zk k k

= + +

+ +

rarr = + + + +

= + ++ +



22


TH1 TH2





TH1 TH2








+)max







nhỏ nhất biết (121) (012) (003) A B C






23






2 1 3

x y zd




1 2 2

x y zminus +∆ = =






1 1 3

1 2 2


minus vagrave 2

1

2 2

2

x t

y t

z t

= minus minus

∆ = + = minus



2

1

2

x t

y t

z t

=

∆ = minus

= +








3





4




+) ( )a t r




+) ar




2 1 1

x y zd

minus += =




( )

MA t

MB t

rarr

uuur

uuur


Giải +) Gọi( 2 2 )

(1 2 1 )(1 2 )

MA t t t M t t t d

MB t t t


= minus minus

uuur

uuur


2 20

2 (1 2 ) (2 ) 0 6 4 0 2

3

t t t t t t t t

t


(1 10)7 5 2

3 3 3

M

M

minus

minus



5





3 ( ) 0 (3)

MA f x y z

MB g x y z

= = rArr = =




2 2 22 2 2 2

2 0 (2)9 ( 2) ( 1) 9

( 2) ( 3) 9 (3)9 ( 2) ( 3) 9

x y z MA x y z

x y z MB x y z


+ + + minus == + + + minus =

+) Từ (1) vagrave (2)2 2

3

x y

z y

= minusrArr


21

7 11 4 0 47

y y y

y


(013)6 4 12

7 7 7

M

M

minus



2 1 1

x y zd

minus += =




2 1

1 2 1

x y zminus += =




1 3 2





2 1 1

x y zminus +∆ = =





3


2 1 2





6


3

x t

y t

z t

= +

∆ = =

vagrave 2

2 1

2 1 2




1 9

1 1 6

x y z+ +∆ = =

2

1 1 1 2 3 2

x y zminus minus +





2 1 2







1 1 2

x y zminus +∆ = =




1 1

2 1 1

x y zd

minus += =

minus 2

1

1 2

2

x t

d y t

z t

= +

= minus minus

= +



2 1 1

x y zd

minus + minus= =

minus



1 2 1

x y zd

minus + minus= =




1 2 1

3 1 2

x y zd

minus + += =

minus 2 d

3

4

2 2

x t

y t

z t

=

= minus = +




1

2

1 2

x t

y t

z t

= +

∆ = + = +





7




x y zd = = 2

1 2

1

x t

d y t

z t

= minus minus

=

= +




1 2

1

2

x t

y t

z t

= +

= minus minus =


1 1 4

x y zminus += =






8



1 1

2 1 1

x y zd

minus += =

minus 2

1

1 2

2

x t

d y t

z t

= +

= minus minus = +





uuur ur uur





uuur ur uur


lagrave






2

( )

( )

d P

d P

rArr

(thỏa matilden)






uuur uuur uuur



Từ

phươ


ặt ph


=uuur


uuur


uuur uuur uuur


2 2 2 2 21 1


+




9







2 3 0

a b c d

a b c d

+ + + =rArr

minus + + + =

3

25 5

2

a bc

a bd

+=

hArr minus minus =

necircn (P)3 5 5

0 2 2 (3 ) (5 5 ) 02 2



Magrave2 2 2 2 2 2

22 6 2 2( ( )) ( ( )) 3

04 4 (3 ) 4 4 (3 )


ba b a b a b a b


=+ + + + + +







x y z

b c+ + =



3 3

x t

y t

z t

=

= = minus



b cG

rArr


233

2 23

41 3 3

b t t

ct b

ct

= =

rArr = hArr =

== minus





10





1 1

2 1 1

x y zd

minus += =

minus 2

1

1 2

2

x t

d y t

z t

= +

= minus minus

= +






1 2 1

3 1 2

x y zd

minus + += =

minus vagrave 2

3

4

2 2

x t

d y t

z t

=

= minus

= +



2 1 4

2 3 4


1

2

1 2

x t

y t

z t

= +

∆ = +

= +





2 2 1

x y zminus += =






1

1

1 1 1

x y zminus∆ = =

minus 2

1

2 1 1

x y zminus∆ = =












11



2 1 2

x y zd







cos6

α =


4 1 1

















12









+) Ta coacute(142)

( 124)

OA

OB

=

= minus

uuur



2 1 1

x y zminus minus= =

minus



13


1 2 1




Phacircn tiacutech



( )P

Pu n u

d ∆ ∆



Giải





Magrave ( )

( ) (505) 5(101)P

Pu n u

d ∆ ∆


uur uuur uur


4

x t

y

z t

=

= minus

= +


2 1 1

x y zd



Phacircn tiacutech



=uur uuuur



2 3 2

2 2 (3 2 2 2 )

2 2

N A M

N A M

N A M

x x x t

y y y t N t t t

z z z t

= minus = minus


= minus = minus


+) Vậy ( 4 6 4) 2(23 2)u MN ∆



2 3 2






14


2 1 2

x y z+ minus= =

minus


Phacircn tiacutech



uur uuur







( )( 2 2 3) 223u AB∆



2 2 3





1 2 1





1 2 3

x y zminus= =




2 1 3

x y zminus += =

minus vagrave 2

4 2

2

x t d y t

z t

= += minus minus

= minus




2 2 1

x y zd

minus += =




1 1 2

x y zd

minus +





2 1 1

x y zd



(đ atilde giải)



15


2 1 2




1 1 1

x y z+ minus∆ = =




1 2

2 1 1

x y z

d

minus += =

minus vagrave 2

1 2

13

x t

d y t z

= minus +

= +

=



3 2

1

1 4

x t

d y t

z t

= minus +

= minus = minus +




1 2 2

2 1 2

x y zd

minus + minus= =

minus 2

2 3 4

1 1 1

x y zd





1 2

2 1 1

x y zd

minus += =

minus vagrave 2

1 2

1

3

x t

d y t

z

= minus +

= + =





16



1 2 1

x y zd



Phacircn tiacutech







uuur uur

2 2 22 2 2 2 3

3 3 3 3 IH

rArr = + + =


2 3



0cos45 R IA ABrArr = =2 2 3 2 6

2 2 22 3 3

IH IH = = = =


3 x y z+ + minus =




2 2 2

4 1 6 10 9 ( ( )) 332 1 2

h II d I P + minus += = = = =

+ +





17


2 1 2

x y zd

minus= =



Phacircn tiacutech







2 4 1



Phacircn tiacutech



2 2 2

2 (5112)2(2 1) (4 3) 21 2 1 3

1 ( 1 1 1)2 1 2

t I t t t t

t I








1 2 1

x y zd




2 3 2








7 3 2

x y zminus minus= =

minus minus



18




2 1 2

x y zminus += =


sao cho AB = 16


2

4

x t

d y t

z

=

=

=

vagrave 2

3 2

0

x t

d y t

z

= +

= minus

=






2 1 2

x y zd

minus= =









3 1 1





1

x t

d y

z

=

= = minus







19











minus∆= + + = + +

+) Nếu( )

( )

2 21 2 min

2 21 2 max

0 ( )4 4 2

0 ( )4 4 2


a a ab



minus∆ minus∆



bt M

a= minus rarr


Cacircu 2) 21 2 1 2

( )( )

( )


MB t

rarr + = rarr + = + +



Từ () 1 2min 4

k MA k MBa

minus∆rarr + =

uuur uuur khi

2

bt M

a= minus rarr






C12


2 2

( )

( )

u t x y

v x t y

minus

minus

r


(vớ i 1 2 0 y y gt )



20


r r r r



2 2

0t x y

x t y

minusrarr = gt




+) Từ () rarr2 2 2 2






CHUacute Yacute







nhỏ nhất



1 1 2

x y zd

+ minus += =

minus



1 2

1

2

x t

y t

z t

= minus +

∆ = minus

=




1 2 2

x y zd

minus += =





nhỏ nhất


trigravenh2 4

3 2 2

x y zminus minus= =




21








+) Ta coacute2 2 22 2 2





uuur uur uur uur


+) Magrave 2 2 2

1 2 3



( )

2 2 21 2 3 1 2 3 min

min2 2 21 2 3 1 2 3

0

0max




(4)






1 2 3( )k k k MI = + +uuur

(do coacute ())


Vậy 1 2 3min




1 2 3 1 2 31 2 3

1



1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1( )

1

( )

1( )

I A B C

I A B C

I A B C

x k x k x k xk k k

y k y k y k yk k k

z k z k z k zk k k

= + +

+ +

rarr = + + + +

= + ++ +



22


TH1 TH2





TH1 TH2








+)max







nhỏ nhất biết (121) (012) (003) A B C






23






2 1 3

x y zd




1 2 2

x y zminus +∆ = =






1 1 3

1 2 2


minus vagrave 2

1

2 2

2

x t

y t

z t

= minus minus

∆ = + = minus



2

1

2

x t

y t

z t

=

∆ = minus

= +








4




+) ( )a t r




+) ar




2 1 1

x y zd

minus += =




( )

MA t

MB t

rarr

uuur

uuur


Giải +) Gọi( 2 2 )

(1 2 1 )(1 2 )

MA t t t M t t t d

MB t t t


= minus minus

uuur

uuur


2 20

2 (1 2 ) (2 ) 0 6 4 0 2

3

t t t t t t t t

t


(1 10)7 5 2

3 3 3

M

M

minus

minus



5





3 ( ) 0 (3)

MA f x y z

MB g x y z

= = rArr = =




2 2 22 2 2 2

2 0 (2)9 ( 2) ( 1) 9

( 2) ( 3) 9 (3)9 ( 2) ( 3) 9

x y z MA x y z

x y z MB x y z


+ + + minus == + + + minus =

+) Từ (1) vagrave (2)2 2

3

x y

z y

= minusrArr


21

7 11 4 0 47

y y y

y


(013)6 4 12

7 7 7

M

M

minus



2 1 1

x y zd

minus += =




2 1

1 2 1

x y zminus += =




1 3 2





2 1 1

x y zminus +∆ = =





3


2 1 2





6


3

x t

y t

z t

= +

∆ = =

vagrave 2

2 1

2 1 2




1 9

1 1 6

x y z+ +∆ = =

2

1 1 1 2 3 2

x y zminus minus +





2 1 2







1 1 2

x y zminus +∆ = =




1 1

2 1 1

x y zd

minus += =

minus 2

1

1 2

2

x t

d y t

z t

= +

= minus minus

= +



2 1 1

x y zd

minus + minus= =

minus



1 2 1

x y zd

minus + minus= =




1 2 1

3 1 2

x y zd

minus + += =

minus 2 d

3

4

2 2

x t

y t

z t

=

= minus = +




1

2

1 2

x t

y t

z t

= +

∆ = + = +





7




x y zd = = 2

1 2

1

x t

d y t

z t

= minus minus

=

= +




1 2

1

2

x t

y t

z t

= +

= minus minus =


1 1 4

x y zminus += =






8



1 1

2 1 1

x y zd

minus += =

minus 2

1

1 2

2

x t

d y t

z t

= +

= minus minus = +





uuur ur uur





uuur ur uur


lagrave






2

( )

( )

d P

d P

rArr

(thỏa matilden)






uuur uuur uuur



Từ

phươ


ặt ph


=uuur


uuur


uuur uuur uuur


2 2 2 2 21 1


+




9







2 3 0

a b c d

a b c d

+ + + =rArr

minus + + + =

3

25 5

2

a bc

a bd

+=

hArr minus minus =

necircn (P)3 5 5

0 2 2 (3 ) (5 5 ) 02 2



Magrave2 2 2 2 2 2

22 6 2 2( ( )) ( ( )) 3

04 4 (3 ) 4 4 (3 )


ba b a b a b a b


=+ + + + + +







x y z

b c+ + =



3 3

x t

y t

z t

=

= = minus



b cG

rArr


233

2 23

41 3 3

b t t

ct b

ct

= =

rArr = hArr =

== minus





10





1 1

2 1 1

x y zd

minus += =

minus 2

1

1 2

2

x t

d y t

z t

= +

= minus minus

= +






1 2 1

3 1 2

x y zd

minus + += =

minus vagrave 2

3

4

2 2

x t

d y t

z t

=

= minus

= +



2 1 4

2 3 4


1

2

1 2

x t

y t

z t

= +

∆ = +

= +





2 2 1

x y zminus += =






1

1

1 1 1

x y zminus∆ = =

minus 2

1

2 1 1

x y zminus∆ = =












11



2 1 2

x y zd







cos6

α =


4 1 1

















12









+) Ta coacute(142)

( 124)

OA

OB

=

= minus

uuur



2 1 1

x y zminus minus= =

minus



13


1 2 1




Phacircn tiacutech



( )P

Pu n u

d ∆ ∆



Giải





Magrave ( )

( ) (505) 5(101)P

Pu n u

d ∆ ∆


uur uuur uur


4

x t

y

z t

=

= minus

= +


2 1 1

x y zd



Phacircn tiacutech



=uur uuuur



2 3 2

2 2 (3 2 2 2 )

2 2

N A M

N A M

N A M

x x x t

y y y t N t t t

z z z t

= minus = minus


= minus = minus


+) Vậy ( 4 6 4) 2(23 2)u MN ∆



2 3 2






14


2 1 2

x y z+ minus= =

minus


Phacircn tiacutech



uur uuur







( )( 2 2 3) 223u AB∆



2 2 3





1 2 1





1 2 3

x y zminus= =




2 1 3

x y zminus += =

minus vagrave 2

4 2

2

x t d y t

z t

= += minus minus

= minus




2 2 1

x y zd

minus += =




1 1 2

x y zd

minus +





2 1 1

x y zd



(đ atilde giải)



15


2 1 2




1 1 1

x y z+ minus∆ = =




1 2

2 1 1

x y z

d

minus += =

minus vagrave 2

1 2

13

x t

d y t z

= minus +

= +

=



3 2

1

1 4

x t

d y t

z t

= minus +

= minus = minus +




1 2 2

2 1 2

x y zd

minus + minus= =

minus 2

2 3 4

1 1 1

x y zd





1 2

2 1 1

x y zd

minus += =

minus vagrave 2

1 2

1

3

x t

d y t

z

= minus +

= + =





16



1 2 1

x y zd



Phacircn tiacutech







uuur uur

2 2 22 2 2 2 3

3 3 3 3 IH

rArr = + + =


2 3



0cos45 R IA ABrArr = =2 2 3 2 6

2 2 22 3 3

IH IH = = = =


3 x y z+ + minus =




2 2 2

4 1 6 10 9 ( ( )) 332 1 2

h II d I P + minus += = = = =

+ +





17


2 1 2

x y zd

minus= =



Phacircn tiacutech







2 4 1



Phacircn tiacutech



2 2 2

2 (5112)2(2 1) (4 3) 21 2 1 3

1 ( 1 1 1)2 1 2

t I t t t t

t I








1 2 1

x y zd




2 3 2








7 3 2

x y zminus minus= =

minus minus



18




2 1 2

x y zminus += =


sao cho AB = 16


2

4

x t

d y t

z

=

=

=

vagrave 2

3 2

0

x t

d y t

z

= +

= minus

=






2 1 2

x y zd

minus= =









3 1 1





1

x t

d y

z

=

= = minus







19











minus∆= + + = + +

+) Nếu( )

( )

2 21 2 min

2 21 2 max

0 ( )4 4 2

0 ( )4 4 2


a a ab



minus∆ minus∆



bt M

a= minus rarr


Cacircu 2) 21 2 1 2

( )( )

( )


MB t

rarr + = rarr + = + +



Từ () 1 2min 4

k MA k MBa

minus∆rarr + =

uuur uuur khi

2

bt M

a= minus rarr






C12


2 2

( )

( )

u t x y

v x t y

minus

minus

r


(vớ i 1 2 0 y y gt )



20


r r r r



2 2

0t x y

x t y

minusrarr = gt




+) Từ () rarr2 2 2 2






CHUacute Yacute







nhỏ nhất



1 1 2

x y zd

+ minus += =

minus



1 2

1

2

x t

y t

z t

= minus +

∆ = minus

=




1 2 2

x y zd

minus += =





nhỏ nhất


trigravenh2 4

3 2 2

x y zminus minus= =




21








+) Ta coacute2 2 22 2 2





uuur uur uur uur


+) Magrave 2 2 2

1 2 3



( )

2 2 21 2 3 1 2 3 min

min2 2 21 2 3 1 2 3

0

0max




(4)






1 2 3( )k k k MI = + +uuur

(do coacute ())


Vậy 1 2 3min




1 2 3 1 2 31 2 3

1



1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1( )

1

( )

1( )

I A B C

I A B C

I A B C

x k x k x k xk k k

y k y k y k yk k k

z k z k z k zk k k

= + +

+ +

rarr = + + + +

= + ++ +



22


TH1 TH2





TH1 TH2








+)max







nhỏ nhất biết (121) (012) (003) A B C






23






2 1 3

x y zd




1 2 2

x y zminus +∆ = =






1 1 3

1 2 2


minus vagrave 2

1

2 2

2

x t

y t

z t

= minus minus

∆ = + = minus



2

1

2

x t

y t

z t

=

∆ = minus

= +








5





3 ( ) 0 (3)

MA f x y z

MB g x y z

= = rArr = =




2 2 22 2 2 2

2 0 (2)9 ( 2) ( 1) 9

( 2) ( 3) 9 (3)9 ( 2) ( 3) 9

x y z MA x y z

x y z MB x y z


+ + + minus == + + + minus =

+) Từ (1) vagrave (2)2 2

3

x y

z y

= minusrArr


21

7 11 4 0 47

y y y

y


(013)6 4 12

7 7 7

M

M

minus



2 1 1

x y zd

minus += =




2 1

1 2 1

x y zminus += =




1 3 2





2 1 1

x y zminus +∆ = =





3


2 1 2





6


3

x t

y t

z t

= +

∆ = =

vagrave 2

2 1

2 1 2




1 9

1 1 6

x y z+ +∆ = =

2

1 1 1 2 3 2

x y zminus minus +





2 1 2







1 1 2

x y zminus +∆ = =




1 1

2 1 1

x y zd

minus += =

minus 2

1

1 2

2

x t

d y t

z t

= +

= minus minus

= +



2 1 1

x y zd

minus + minus= =

minus



1 2 1

x y zd

minus + minus= =




1 2 1

3 1 2

x y zd

minus + += =

minus 2 d

3

4

2 2

x t

y t

z t

=

= minus = +




1

2

1 2

x t

y t

z t

= +

∆ = + = +





7




x y zd = = 2

1 2

1

x t

d y t

z t

= minus minus

=

= +




1 2

1

2

x t

y t

z t

= +

= minus minus =


1 1 4

x y zminus += =






8



1 1

2 1 1

x y zd

minus += =

minus 2

1

1 2

2

x t

d y t

z t

= +

= minus minus = +





uuur ur uur





uuur ur uur


lagrave






2

( )

( )

d P

d P

rArr

(thỏa matilden)






uuur uuur uuur



Từ

phươ


ặt ph


=uuur


uuur


uuur uuur uuur


2 2 2 2 21 1


+




9







2 3 0

a b c d

a b c d

+ + + =rArr

minus + + + =

3

25 5

2

a bc

a bd

+=

hArr minus minus =

necircn (P)3 5 5

0 2 2 (3 ) (5 5 ) 02 2



Magrave2 2 2 2 2 2

22 6 2 2( ( )) ( ( )) 3

04 4 (3 ) 4 4 (3 )


ba b a b a b a b


=+ + + + + +







x y z

b c+ + =



3 3

x t

y t

z t

=

= = minus



b cG

rArr


233

2 23

41 3 3

b t t

ct b

ct

= =

rArr = hArr =

== minus





10





1 1

2 1 1

x y zd

minus += =

minus 2

1

1 2

2

x t

d y t

z t

= +

= minus minus

= +






1 2 1

3 1 2

x y zd

minus + += =

minus vagrave 2

3

4

2 2

x t

d y t

z t

=

= minus

= +



2 1 4

2 3 4


1

2

1 2

x t

y t

z t

= +

∆ = +

= +





2 2 1

x y zminus += =






1

1

1 1 1

x y zminus∆ = =

minus 2

1

2 1 1

x y zminus∆ = =












11



2 1 2

x y zd







cos6

α =


4 1 1

















12









+) Ta coacute(142)

( 124)

OA

OB

=

= minus

uuur



2 1 1

x y zminus minus= =

minus



13


1 2 1




Phacircn tiacutech



( )P

Pu n u

d ∆ ∆



Giải





Magrave ( )

( ) (505) 5(101)P

Pu n u

d ∆ ∆


uur uuur uur


4

x t

y

z t

=

= minus

= +


2 1 1

x y zd



Phacircn tiacutech



=uur uuuur



2 3 2

2 2 (3 2 2 2 )

2 2

N A M

N A M

N A M

x x x t

y y y t N t t t

z z z t

= minus = minus


= minus = minus


+) Vậy ( 4 6 4) 2(23 2)u MN ∆



2 3 2






14


2 1 2

x y z+ minus= =

minus


Phacircn tiacutech



uur uuur







( )( 2 2 3) 223u AB∆



2 2 3





1 2 1





1 2 3

x y zminus= =




2 1 3

x y zminus += =

minus vagrave 2

4 2

2

x t d y t

z t

= += minus minus

= minus




2 2 1

x y zd

minus += =




1 1 2

x y zd

minus +





2 1 1

x y zd



(đ atilde giải)



15


2 1 2




1 1 1

x y z+ minus∆ = =




1 2

2 1 1

x y z

d

minus += =

minus vagrave 2

1 2

13

x t

d y t z

= minus +

= +

=



3 2

1

1 4

x t

d y t

z t

= minus +

= minus = minus +




1 2 2

2 1 2

x y zd

minus + minus= =

minus 2

2 3 4

1 1 1

x y zd





1 2

2 1 1

x y zd

minus += =

minus vagrave 2

1 2

1

3

x t

d y t

z

= minus +

= + =





16



1 2 1

x y zd



Phacircn tiacutech







uuur uur

2 2 22 2 2 2 3

3 3 3 3 IH

rArr = + + =


2 3



0cos45 R IA ABrArr = =2 2 3 2 6

2 2 22 3 3

IH IH = = = =


3 x y z+ + minus =




2 2 2

4 1 6 10 9 ( ( )) 332 1 2

h II d I P + minus += = = = =

+ +





17


2 1 2

x y zd

minus= =



Phacircn tiacutech







2 4 1



Phacircn tiacutech



2 2 2

2 (5112)2(2 1) (4 3) 21 2 1 3

1 ( 1 1 1)2 1 2

t I t t t t

t I








1 2 1

x y zd




2 3 2








7 3 2

x y zminus minus= =

minus minus



18




2 1 2

x y zminus += =


sao cho AB = 16


2

4

x t

d y t

z

=

=

=

vagrave 2

3 2

0

x t

d y t

z

= +

= minus

=






2 1 2

x y zd

minus= =









3 1 1





1

x t

d y

z

=

= = minus







19











minus∆= + + = + +

+) Nếu( )

( )

2 21 2 min

2 21 2 max

0 ( )4 4 2

0 ( )4 4 2


a a ab



minus∆ minus∆



bt M

a= minus rarr


Cacircu 2) 21 2 1 2

( )( )

( )


MB t

rarr + = rarr + = + +



Từ () 1 2min 4

k MA k MBa

minus∆rarr + =

uuur uuur khi

2

bt M

a= minus rarr






C12


2 2

( )

( )

u t x y

v x t y

minus

minus

r


(vớ i 1 2 0 y y gt )



20


r r r r



2 2

0t x y

x t y

minusrarr = gt




+) Từ () rarr2 2 2 2






CHUacute Yacute







nhỏ nhất



1 1 2

x y zd

+ minus += =

minus



1 2

1

2

x t

y t

z t

= minus +

∆ = minus

=




1 2 2

x y zd

minus += =





nhỏ nhất


trigravenh2 4

3 2 2

x y zminus minus= =




21








+) Ta coacute2 2 22 2 2





uuur uur uur uur


+) Magrave 2 2 2

1 2 3



( )

2 2 21 2 3 1 2 3 min

min2 2 21 2 3 1 2 3

0

0max




(4)






1 2 3( )k k k MI = + +uuur

(do coacute ())


Vậy 1 2 3min




1 2 3 1 2 31 2 3

1



1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1( )

1

( )

1( )

I A B C

I A B C

I A B C

x k x k x k xk k k

y k y k y k yk k k

z k z k z k zk k k

= + +

+ +

rarr = + + + +

= + ++ +



22


TH1 TH2





TH1 TH2








+)max







nhỏ nhất biết (121) (012) (003) A B C






23






2 1 3

x y zd




1 2 2

x y zminus +∆ = =






1 1 3

1 2 2


minus vagrave 2

1

2 2

2

x t

y t

z t

= minus minus

∆ = + = minus



2

1

2

x t

y t

z t

=

∆ = minus

= +








6


3

x t

y t

z t

= +

∆ = =

vagrave 2

2 1

2 1 2




1 9

1 1 6

x y z+ +∆ = =

2

1 1 1 2 3 2

x y zminus minus +





2 1 2







1 1 2

x y zminus +∆ = =




1 1

2 1 1

x y zd

minus += =

minus 2

1

1 2

2

x t

d y t

z t

= +

= minus minus

= +



2 1 1

x y zd

minus + minus= =

minus



1 2 1

x y zd

minus + minus= =




1 2 1

3 1 2

x y zd

minus + += =

minus 2 d

3

4

2 2

x t

y t

z t

=

= minus = +




1

2

1 2

x t

y t

z t

= +

∆ = + = +





7




x y zd = = 2

1 2

1

x t

d y t

z t

= minus minus

=

= +




1 2

1

2

x t

y t

z t

= +

= minus minus =


1 1 4

x y zminus += =






8



1 1

2 1 1

x y zd

minus += =

minus 2

1

1 2

2

x t

d y t

z t

= +

= minus minus = +





uuur ur uur





uuur ur uur


lagrave






2

( )

( )

d P

d P

rArr

(thỏa matilden)






uuur uuur uuur



Từ

phươ


ặt ph


=uuur


uuur


uuur uuur uuur


2 2 2 2 21 1


+




9







2 3 0

a b c d

a b c d

+ + + =rArr

minus + + + =

3

25 5

2

a bc

a bd

+=

hArr minus minus =

necircn (P)3 5 5

0 2 2 (3 ) (5 5 ) 02 2



Magrave2 2 2 2 2 2

22 6 2 2( ( )) ( ( )) 3

04 4 (3 ) 4 4 (3 )


ba b a b a b a b


=+ + + + + +







x y z

b c+ + =



3 3

x t

y t

z t

=

= = minus



b cG

rArr


233

2 23

41 3 3

b t t

ct b

ct

= =

rArr = hArr =

== minus





10





1 1

2 1 1

x y zd

minus += =

minus 2

1

1 2

2

x t

d y t

z t

= +

= minus minus

= +






1 2 1

3 1 2

x y zd

minus + += =

minus vagrave 2

3

4

2 2

x t

d y t

z t

=

= minus

= +



2 1 4

2 3 4


1

2

1 2

x t

y t

z t

= +

∆ = +

= +





2 2 1

x y zminus += =






1

1

1 1 1

x y zminus∆ = =

minus 2

1

2 1 1

x y zminus∆ = =












11



2 1 2

x y zd







cos6

α =


4 1 1

















12









+) Ta coacute(142)

( 124)

OA

OB

=

= minus

uuur



2 1 1

x y zminus minus= =

minus



13


1 2 1




Phacircn tiacutech



( )P

Pu n u

d ∆ ∆



Giải





Magrave ( )

( ) (505) 5(101)P

Pu n u

d ∆ ∆


uur uuur uur


4

x t

y

z t

=

= minus

= +


2 1 1

x y zd



Phacircn tiacutech



=uur uuuur



2 3 2

2 2 (3 2 2 2 )

2 2

N A M

N A M

N A M

x x x t

y y y t N t t t

z z z t

= minus = minus


= minus = minus


+) Vậy ( 4 6 4) 2(23 2)u MN ∆



2 3 2






14


2 1 2

x y z+ minus= =

minus


Phacircn tiacutech



uur uuur







( )( 2 2 3) 223u AB∆



2 2 3





1 2 1





1 2 3

x y zminus= =




2 1 3

x y zminus += =

minus vagrave 2

4 2

2

x t d y t

z t

= += minus minus

= minus




2 2 1

x y zd

minus += =




1 1 2

x y zd

minus +





2 1 1

x y zd



(đ atilde giải)



15


2 1 2




1 1 1

x y z+ minus∆ = =




1 2

2 1 1

x y z

d

minus += =

minus vagrave 2

1 2

13

x t

d y t z

= minus +

= +

=



3 2

1

1 4

x t

d y t

z t

= minus +

= minus = minus +




1 2 2

2 1 2

x y zd

minus + minus= =

minus 2

2 3 4

1 1 1

x y zd





1 2

2 1 1

x y zd

minus += =

minus vagrave 2

1 2

1

3

x t

d y t

z

= minus +

= + =





16



1 2 1

x y zd



Phacircn tiacutech







uuur uur

2 2 22 2 2 2 3

3 3 3 3 IH

rArr = + + =


2 3



0cos45 R IA ABrArr = =2 2 3 2 6

2 2 22 3 3

IH IH = = = =


3 x y z+ + minus =




2 2 2

4 1 6 10 9 ( ( )) 332 1 2

h II d I P + minus += = = = =

+ +





17


2 1 2

x y zd

minus= =



Phacircn tiacutech







2 4 1



Phacircn tiacutech



2 2 2

2 (5112)2(2 1) (4 3) 21 2 1 3

1 ( 1 1 1)2 1 2

t I t t t t

t I








1 2 1

x y zd




2 3 2








7 3 2

x y zminus minus= =

minus minus



18




2 1 2

x y zminus += =


sao cho AB = 16


2

4

x t

d y t

z

=

=

=

vagrave 2

3 2

0

x t

d y t

z

= +

= minus

=






2 1 2

x y zd

minus= =









3 1 1





1

x t

d y

z

=

= = minus







19











minus∆= + + = + +

+) Nếu( )

( )

2 21 2 min

2 21 2 max

0 ( )4 4 2

0 ( )4 4 2


a a ab



minus∆ minus∆



bt M

a= minus rarr


Cacircu 2) 21 2 1 2

( )( )

( )


MB t

rarr + = rarr + = + +



Từ () 1 2min 4

k MA k MBa

minus∆rarr + =

uuur uuur khi

2

bt M

a= minus rarr






C12


2 2

( )

( )

u t x y

v x t y

minus

minus

r


(vớ i 1 2 0 y y gt )



20


r r r r



2 2

0t x y

x t y

minusrarr = gt




+) Từ () rarr2 2 2 2






CHUacute Yacute







nhỏ nhất



1 1 2

x y zd

+ minus += =

minus



1 2

1

2

x t

y t

z t

= minus +

∆ = minus

=




1 2 2

x y zd

minus += =





nhỏ nhất


trigravenh2 4

3 2 2

x y zminus minus= =




21








+) Ta coacute2 2 22 2 2





uuur uur uur uur


+) Magrave 2 2 2

1 2 3



( )

2 2 21 2 3 1 2 3 min

min2 2 21 2 3 1 2 3

0

0max




(4)






1 2 3( )k k k MI = + +uuur

(do coacute ())


Vậy 1 2 3min




1 2 3 1 2 31 2 3

1



1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1( )

1

( )

1( )

I A B C

I A B C

I A B C

x k x k x k xk k k

y k y k y k yk k k

z k z k z k zk k k

= + +

+ +

rarr = + + + +

= + ++ +



22


TH1 TH2





TH1 TH2








+)max







nhỏ nhất biết (121) (012) (003) A B C






23






2 1 3

x y zd




1 2 2

x y zminus +∆ = =






1 1 3

1 2 2


minus vagrave 2

1

2 2

2

x t

y t

z t

= minus minus

∆ = + = minus



2

1

2

x t

y t

z t

=

∆ = minus

= +








7




x y zd = = 2

1 2

1

x t

d y t

z t

= minus minus

=

= +




1 2

1

2

x t

y t

z t

= +

= minus minus =


1 1 4

x y zminus += =






8



1 1

2 1 1

x y zd

minus += =

minus 2

1

1 2

2

x t

d y t

z t

= +

= minus minus = +





uuur ur uur





uuur ur uur


lagrave






2

( )

( )

d P

d P

rArr

(thỏa matilden)






uuur uuur uuur



Từ

phươ


ặt ph


=uuur


uuur


uuur uuur uuur


2 2 2 2 21 1


+




9







2 3 0

a b c d

a b c d

+ + + =rArr

minus + + + =

3

25 5

2

a bc

a bd

+=

hArr minus minus =

necircn (P)3 5 5

0 2 2 (3 ) (5 5 ) 02 2



Magrave2 2 2 2 2 2

22 6 2 2( ( )) ( ( )) 3

04 4 (3 ) 4 4 (3 )


ba b a b a b a b


=+ + + + + +







x y z

b c+ + =



3 3

x t

y t

z t

=

= = minus



b cG

rArr


233

2 23

41 3 3

b t t

ct b

ct

= =

rArr = hArr =

== minus





10





1 1

2 1 1

x y zd

minus += =

minus 2

1

1 2

2

x t

d y t

z t

= +

= minus minus

= +






1 2 1

3 1 2

x y zd

minus + += =

minus vagrave 2

3

4

2 2

x t

d y t

z t

=

= minus

= +



2 1 4

2 3 4


1

2

1 2

x t

y t

z t

= +

∆ = +

= +





2 2 1

x y zminus += =






1

1

1 1 1

x y zminus∆ = =

minus 2

1

2 1 1

x y zminus∆ = =












11



2 1 2

x y zd







cos6

α =


4 1 1

















12









+) Ta coacute(142)

( 124)

OA

OB

=

= minus

uuur



2 1 1

x y zminus minus= =

minus



13


1 2 1




Phacircn tiacutech



( )P

Pu n u

d ∆ ∆



Giải





Magrave ( )

( ) (505) 5(101)P

Pu n u

d ∆ ∆


uur uuur uur


4

x t

y

z t

=

= minus

= +


2 1 1

x y zd



Phacircn tiacutech



=uur uuuur



2 3 2

2 2 (3 2 2 2 )

2 2

N A M

N A M

N A M

x x x t

y y y t N t t t

z z z t

= minus = minus


= minus = minus


+) Vậy ( 4 6 4) 2(23 2)u MN ∆



2 3 2






14


2 1 2

x y z+ minus= =

minus


Phacircn tiacutech



uur uuur







( )( 2 2 3) 223u AB∆



2 2 3





1 2 1





1 2 3

x y zminus= =




2 1 3

x y zminus += =

minus vagrave 2

4 2

2

x t d y t

z t

= += minus minus

= minus




2 2 1

x y zd

minus += =




1 1 2

x y zd

minus +





2 1 1

x y zd



(đ atilde giải)



15


2 1 2




1 1 1

x y z+ minus∆ = =




1 2

2 1 1

x y z

d

minus += =

minus vagrave 2

1 2

13

x t

d y t z

= minus +

= +

=



3 2

1

1 4

x t

d y t

z t

= minus +

= minus = minus +




1 2 2

2 1 2

x y zd

minus + minus= =

minus 2

2 3 4

1 1 1

x y zd





1 2

2 1 1

x y zd

minus += =

minus vagrave 2

1 2

1

3

x t

d y t

z

= minus +

= + =





16



1 2 1

x y zd



Phacircn tiacutech







uuur uur

2 2 22 2 2 2 3

3 3 3 3 IH

rArr = + + =


2 3



0cos45 R IA ABrArr = =2 2 3 2 6

2 2 22 3 3

IH IH = = = =


3 x y z+ + minus =




2 2 2

4 1 6 10 9 ( ( )) 332 1 2

h II d I P + minus += = = = =

+ +





17


2 1 2

x y zd

minus= =



Phacircn tiacutech







2 4 1



Phacircn tiacutech



2 2 2

2 (5112)2(2 1) (4 3) 21 2 1 3

1 ( 1 1 1)2 1 2

t I t t t t

t I








1 2 1

x y zd




2 3 2








7 3 2

x y zminus minus= =

minus minus



18




2 1 2

x y zminus += =


sao cho AB = 16


2

4

x t

d y t

z

=

=

=

vagrave 2

3 2

0

x t

d y t

z

= +

= minus

=






2 1 2

x y zd

minus= =









3 1 1





1

x t

d y

z

=

= = minus







19











minus∆= + + = + +

+) Nếu( )

( )

2 21 2 min

2 21 2 max

0 ( )4 4 2

0 ( )4 4 2


a a ab



minus∆ minus∆



bt M

a= minus rarr


Cacircu 2) 21 2 1 2

( )( )

( )


MB t

rarr + = rarr + = + +



Từ () 1 2min 4

k MA k MBa

minus∆rarr + =

uuur uuur khi

2

bt M

a= minus rarr






C12


2 2

( )

( )

u t x y

v x t y

minus

minus

r


(vớ i 1 2 0 y y gt )



20


r r r r



2 2

0t x y

x t y

minusrarr = gt




+) Từ () rarr2 2 2 2






CHUacute Yacute







nhỏ nhất



1 1 2

x y zd

+ minus += =

minus



1 2

1

2

x t

y t

z t

= minus +

∆ = minus

=




1 2 2

x y zd

minus += =





nhỏ nhất


trigravenh2 4

3 2 2

x y zminus minus= =




21








+) Ta coacute2 2 22 2 2





uuur uur uur uur


+) Magrave 2 2 2

1 2 3



( )

2 2 21 2 3 1 2 3 min

min2 2 21 2 3 1 2 3

0

0max




(4)






1 2 3( )k k k MI = + +uuur

(do coacute ())


Vậy 1 2 3min




1 2 3 1 2 31 2 3

1



1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1( )

1

( )

1( )

I A B C

I A B C

I A B C

x k x k x k xk k k

y k y k y k yk k k

z k z k z k zk k k

= + +

+ +

rarr = + + + +

= + ++ +



22


TH1 TH2





TH1 TH2








+)max







nhỏ nhất biết (121) (012) (003) A B C






23






2 1 3

x y zd




1 2 2

x y zminus +∆ = =






1 1 3

1 2 2


minus vagrave 2

1

2 2

2

x t

y t

z t

= minus minus

∆ = + = minus



2

1

2

x t

y t

z t

=

∆ = minus

= +








8



1 1

2 1 1

x y zd

minus += =

minus 2

1

1 2

2

x t

d y t

z t

= +

= minus minus = +





uuur ur uur





uuur ur uur


lagrave






2

( )

( )

d P

d P

rArr

(thỏa matilden)






uuur uuur uuur



Từ

phươ


ặt ph


=uuur


uuur


uuur uuur uuur


2 2 2 2 21 1


+




9







2 3 0

a b c d

a b c d

+ + + =rArr

minus + + + =

3

25 5

2

a bc

a bd

+=

hArr minus minus =

necircn (P)3 5 5

0 2 2 (3 ) (5 5 ) 02 2



Magrave2 2 2 2 2 2

22 6 2 2( ( )) ( ( )) 3

04 4 (3 ) 4 4 (3 )


ba b a b a b a b


=+ + + + + +







x y z

b c+ + =



3 3

x t

y t

z t

=

= = minus



b cG

rArr


233

2 23

41 3 3

b t t

ct b

ct

= =

rArr = hArr =

== minus





10





1 1

2 1 1

x y zd

minus += =

minus 2

1

1 2

2

x t

d y t

z t

= +

= minus minus

= +






1 2 1

3 1 2

x y zd

minus + += =

minus vagrave 2

3

4

2 2

x t

d y t

z t

=

= minus

= +



2 1 4

2 3 4


1

2

1 2

x t

y t

z t

= +

∆ = +

= +





2 2 1

x y zminus += =






1

1

1 1 1

x y zminus∆ = =

minus 2

1

2 1 1

x y zminus∆ = =












11



2 1 2

x y zd







cos6

α =


4 1 1

















12









+) Ta coacute(142)

( 124)

OA

OB

=

= minus

uuur



2 1 1

x y zminus minus= =

minus



13


1 2 1




Phacircn tiacutech



( )P

Pu n u

d ∆ ∆



Giải





Magrave ( )

( ) (505) 5(101)P

Pu n u

d ∆ ∆


uur uuur uur


4

x t

y

z t

=

= minus

= +


2 1 1

x y zd



Phacircn tiacutech



=uur uuuur



2 3 2

2 2 (3 2 2 2 )

2 2

N A M

N A M

N A M

x x x t

y y y t N t t t

z z z t

= minus = minus


= minus = minus


+) Vậy ( 4 6 4) 2(23 2)u MN ∆



2 3 2






14


2 1 2

x y z+ minus= =

minus


Phacircn tiacutech



uur uuur







( )( 2 2 3) 223u AB∆



2 2 3





1 2 1





1 2 3

x y zminus= =




2 1 3

x y zminus += =

minus vagrave 2

4 2

2

x t d y t

z t

= += minus minus

= minus




2 2 1

x y zd

minus += =




1 1 2

x y zd

minus +





2 1 1

x y zd



(đ atilde giải)



15


2 1 2




1 1 1

x y z+ minus∆ = =




1 2

2 1 1

x y z

d

minus += =

minus vagrave 2

1 2

13

x t

d y t z

= minus +

= +

=



3 2

1

1 4

x t

d y t

z t

= minus +

= minus = minus +




1 2 2

2 1 2

x y zd

minus + minus= =

minus 2

2 3 4

1 1 1

x y zd





1 2

2 1 1

x y zd

minus += =

minus vagrave 2

1 2

1

3

x t

d y t

z

= minus +

= + =





16



1 2 1

x y zd



Phacircn tiacutech







uuur uur

2 2 22 2 2 2 3

3 3 3 3 IH

rArr = + + =


2 3



0cos45 R IA ABrArr = =2 2 3 2 6

2 2 22 3 3

IH IH = = = =


3 x y z+ + minus =




2 2 2

4 1 6 10 9 ( ( )) 332 1 2

h II d I P + minus += = = = =

+ +





17


2 1 2

x y zd

minus= =



Phacircn tiacutech







2 4 1



Phacircn tiacutech



2 2 2

2 (5112)2(2 1) (4 3) 21 2 1 3

1 ( 1 1 1)2 1 2

t I t t t t

t I








1 2 1

x y zd




2 3 2








7 3 2

x y zminus minus= =

minus minus



18




2 1 2

x y zminus += =


sao cho AB = 16


2

4

x t

d y t

z

=

=

=

vagrave 2

3 2

0

x t

d y t

z

= +

= minus

=






2 1 2

x y zd

minus= =









3 1 1





1

x t

d y

z

=

= = minus







19











minus∆= + + = + +

+) Nếu( )

( )

2 21 2 min

2 21 2 max

0 ( )4 4 2

0 ( )4 4 2


a a ab



minus∆ minus∆



bt M

a= minus rarr


Cacircu 2) 21 2 1 2

( )( )

( )


MB t

rarr + = rarr + = + +



Từ () 1 2min 4

k MA k MBa

minus∆rarr + =

uuur uuur khi

2

bt M

a= minus rarr






C12


2 2

( )

( )

u t x y

v x t y

minus

minus

r


(vớ i 1 2 0 y y gt )



20


r r r r



2 2

0t x y

x t y

minusrarr = gt




+) Từ () rarr2 2 2 2






CHUacute Yacute







nhỏ nhất



1 1 2

x y zd

+ minus += =

minus



1 2

1

2

x t

y t

z t

= minus +

∆ = minus

=




1 2 2

x y zd

minus += =





nhỏ nhất


trigravenh2 4

3 2 2

x y zminus minus= =




21








+) Ta coacute2 2 22 2 2





uuur uur uur uur


+) Magrave 2 2 2

1 2 3



( )

2 2 21 2 3 1 2 3 min

min2 2 21 2 3 1 2 3

0

0max




(4)






1 2 3( )k k k MI = + +uuur

(do coacute ())


Vậy 1 2 3min




1 2 3 1 2 31 2 3

1



1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1( )

1

( )

1( )

I A B C

I A B C

I A B C

x k x k x k xk k k

y k y k y k yk k k

z k z k z k zk k k

= + +

+ +

rarr = + + + +

= + ++ +



22


TH1 TH2





TH1 TH2








+)max







nhỏ nhất biết (121) (012) (003) A B C






23






2 1 3

x y zd




1 2 2

x y zminus +∆ = =






1 1 3

1 2 2


minus vagrave 2

1

2 2

2

x t

y t

z t

= minus minus

∆ = + = minus



2

1

2

x t

y t

z t

=

∆ = minus

= +








9







2 3 0

a b c d

a b c d

+ + + =rArr

minus + + + =

3

25 5

2

a bc

a bd

+=

hArr minus minus =

necircn (P)3 5 5

0 2 2 (3 ) (5 5 ) 02 2



Magrave2 2 2 2 2 2

22 6 2 2( ( )) ( ( )) 3

04 4 (3 ) 4 4 (3 )


ba b a b a b a b


=+ + + + + +







x y z

b c+ + =



3 3

x t

y t

z t

=

= = minus



b cG

rArr


233

2 23

41 3 3

b t t

ct b

ct

= =

rArr = hArr =

== minus





10





1 1

2 1 1

x y zd

minus += =

minus 2

1

1 2

2

x t

d y t

z t

= +

= minus minus

= +






1 2 1

3 1 2

x y zd

minus + += =

minus vagrave 2

3

4

2 2

x t

d y t

z t

=

= minus

= +



2 1 4

2 3 4


1

2

1 2

x t

y t

z t

= +

∆ = +

= +





2 2 1

x y zminus += =






1

1

1 1 1

x y zminus∆ = =

minus 2

1

2 1 1

x y zminus∆ = =












11



2 1 2

x y zd







cos6

α =


4 1 1

















12









+) Ta coacute(142)

( 124)

OA

OB

=

= minus

uuur



2 1 1

x y zminus minus= =

minus



13


1 2 1




Phacircn tiacutech



( )P

Pu n u

d ∆ ∆



Giải





Magrave ( )

( ) (505) 5(101)P

Pu n u

d ∆ ∆


uur uuur uur


4

x t

y

z t

=

= minus

= +


2 1 1

x y zd



Phacircn tiacutech



=uur uuuur



2 3 2

2 2 (3 2 2 2 )

2 2

N A M

N A M

N A M

x x x t

y y y t N t t t

z z z t

= minus = minus


= minus = minus


+) Vậy ( 4 6 4) 2(23 2)u MN ∆



2 3 2






14


2 1 2

x y z+ minus= =

minus


Phacircn tiacutech



uur uuur







( )( 2 2 3) 223u AB∆



2 2 3





1 2 1





1 2 3

x y zminus= =




2 1 3

x y zminus += =

minus vagrave 2

4 2

2

x t d y t

z t

= += minus minus

= minus




2 2 1

x y zd

minus += =




1 1 2

x y zd

minus +





2 1 1

x y zd



(đ atilde giải)



15


2 1 2




1 1 1

x y z+ minus∆ = =




1 2

2 1 1

x y z

d

minus += =

minus vagrave 2

1 2

13

x t

d y t z

= minus +

= +

=



3 2

1

1 4

x t

d y t

z t

= minus +

= minus = minus +




1 2 2

2 1 2

x y zd

minus + minus= =

minus 2

2 3 4

1 1 1

x y zd





1 2

2 1 1

x y zd

minus += =

minus vagrave 2

1 2

1

3

x t

d y t

z

= minus +

= + =





16



1 2 1

x y zd



Phacircn tiacutech







uuur uur

2 2 22 2 2 2 3

3 3 3 3 IH

rArr = + + =


2 3



0cos45 R IA ABrArr = =2 2 3 2 6

2 2 22 3 3

IH IH = = = =


3 x y z+ + minus =




2 2 2

4 1 6 10 9 ( ( )) 332 1 2

h II d I P + minus += = = = =

+ +





17


2 1 2

x y zd

minus= =



Phacircn tiacutech







2 4 1



Phacircn tiacutech



2 2 2

2 (5112)2(2 1) (4 3) 21 2 1 3

1 ( 1 1 1)2 1 2

t I t t t t

t I








1 2 1

x y zd




2 3 2








7 3 2

x y zminus minus= =

minus minus



18




2 1 2

x y zminus += =


sao cho AB = 16


2

4

x t

d y t

z

=

=

=

vagrave 2

3 2

0

x t

d y t

z

= +

= minus

=






2 1 2

x y zd

minus= =









3 1 1





1

x t

d y

z

=

= = minus







19











minus∆= + + = + +

+) Nếu( )

( )

2 21 2 min

2 21 2 max

0 ( )4 4 2

0 ( )4 4 2


a a ab



minus∆ minus∆



bt M

a= minus rarr


Cacircu 2) 21 2 1 2

( )( )

( )


MB t

rarr + = rarr + = + +



Từ () 1 2min 4

k MA k MBa

minus∆rarr + =

uuur uuur khi

2

bt M

a= minus rarr






C12


2 2

( )

( )

u t x y

v x t y

minus

minus

r


(vớ i 1 2 0 y y gt )



20


r r r r



2 2

0t x y

x t y

minusrarr = gt




+) Từ () rarr2 2 2 2






CHUacute Yacute







nhỏ nhất



1 1 2

x y zd

+ minus += =

minus



1 2

1

2

x t

y t

z t

= minus +

∆ = minus

=




1 2 2

x y zd

minus += =





nhỏ nhất


trigravenh2 4

3 2 2

x y zminus minus= =




21








+) Ta coacute2 2 22 2 2





uuur uur uur uur


+) Magrave 2 2 2

1 2 3



( )

2 2 21 2 3 1 2 3 min

min2 2 21 2 3 1 2 3

0

0max




(4)






1 2 3( )k k k MI = + +uuur

(do coacute ())


Vậy 1 2 3min




1 2 3 1 2 31 2 3

1



1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1( )

1

( )

1( )

I A B C

I A B C

I A B C

x k x k x k xk k k

y k y k y k yk k k

z k z k z k zk k k

= + +

+ +

rarr = + + + +

= + ++ +



22


TH1 TH2





TH1 TH2








+)max







nhỏ nhất biết (121) (012) (003) A B C






23






2 1 3

x y zd




1 2 2

x y zminus +∆ = =






1 1 3

1 2 2


minus vagrave 2

1

2 2

2

x t

y t

z t

= minus minus

∆ = + = minus



2

1

2

x t

y t

z t

=

∆ = minus

= +








10





1 1

2 1 1

x y zd

minus += =

minus 2

1

1 2

2

x t

d y t

z t

= +

= minus minus

= +






1 2 1

3 1 2

x y zd

minus + += =

minus vagrave 2

3

4

2 2

x t

d y t

z t

=

= minus

= +



2 1 4

2 3 4


1

2

1 2

x t

y t

z t

= +

∆ = +

= +





2 2 1

x y zminus += =






1

1

1 1 1

x y zminus∆ = =

minus 2

1

2 1 1

x y zminus∆ = =












11



2 1 2

x y zd







cos6

α =


4 1 1

















12









+) Ta coacute(142)

( 124)

OA

OB

=

= minus

uuur



2 1 1

x y zminus minus= =

minus



13


1 2 1




Phacircn tiacutech



( )P

Pu n u

d ∆ ∆



Giải





Magrave ( )

( ) (505) 5(101)P

Pu n u

d ∆ ∆


uur uuur uur


4

x t

y

z t

=

= minus

= +


2 1 1

x y zd



Phacircn tiacutech



=uur uuuur



2 3 2

2 2 (3 2 2 2 )

2 2

N A M

N A M

N A M

x x x t

y y y t N t t t

z z z t

= minus = minus


= minus = minus


+) Vậy ( 4 6 4) 2(23 2)u MN ∆



2 3 2






14


2 1 2

x y z+ minus= =

minus


Phacircn tiacutech



uur uuur







( )( 2 2 3) 223u AB∆



2 2 3





1 2 1





1 2 3

x y zminus= =




2 1 3

x y zminus += =

minus vagrave 2

4 2

2

x t d y t

z t

= += minus minus

= minus




2 2 1

x y zd

minus += =




1 1 2

x y zd

minus +





2 1 1

x y zd



(đ atilde giải)



15


2 1 2




1 1 1

x y z+ minus∆ = =




1 2

2 1 1

x y z

d

minus += =

minus vagrave 2

1 2

13

x t

d y t z

= minus +

= +

=



3 2

1

1 4

x t

d y t

z t

= minus +

= minus = minus +




1 2 2

2 1 2

x y zd

minus + minus= =

minus 2

2 3 4

1 1 1

x y zd





1 2

2 1 1

x y zd

minus += =

minus vagrave 2

1 2

1

3

x t

d y t

z

= minus +

= + =





16



1 2 1

x y zd



Phacircn tiacutech







uuur uur

2 2 22 2 2 2 3

3 3 3 3 IH

rArr = + + =


2 3



0cos45 R IA ABrArr = =2 2 3 2 6

2 2 22 3 3

IH IH = = = =


3 x y z+ + minus =




2 2 2

4 1 6 10 9 ( ( )) 332 1 2

h II d I P + minus += = = = =

+ +





17


2 1 2

x y zd

minus= =



Phacircn tiacutech







2 4 1



Phacircn tiacutech



2 2 2

2 (5112)2(2 1) (4 3) 21 2 1 3

1 ( 1 1 1)2 1 2

t I t t t t

t I








1 2 1

x y zd




2 3 2








7 3 2

x y zminus minus= =

minus minus



18




2 1 2

x y zminus += =


sao cho AB = 16


2

4

x t

d y t

z

=

=

=

vagrave 2

3 2

0

x t

d y t

z

= +

= minus

=






2 1 2

x y zd

minus= =









3 1 1





1

x t

d y

z

=

= = minus







19











minus∆= + + = + +

+) Nếu( )

( )

2 21 2 min

2 21 2 max

0 ( )4 4 2

0 ( )4 4 2


a a ab



minus∆ minus∆



bt M

a= minus rarr


Cacircu 2) 21 2 1 2

( )( )

( )


MB t

rarr + = rarr + = + +



Từ () 1 2min 4

k MA k MBa

minus∆rarr + =

uuur uuur khi

2

bt M

a= minus rarr






C12


2 2

( )

( )

u t x y

v x t y

minus

minus

r


(vớ i 1 2 0 y y gt )



20


r r r r



2 2

0t x y

x t y

minusrarr = gt




+) Từ () rarr2 2 2 2






CHUacute Yacute







nhỏ nhất



1 1 2

x y zd

+ minus += =

minus



1 2

1

2

x t

y t

z t

= minus +

∆ = minus

=




1 2 2

x y zd

minus += =





nhỏ nhất


trigravenh2 4

3 2 2

x y zminus minus= =




21








+) Ta coacute2 2 22 2 2





uuur uur uur uur


+) Magrave 2 2 2

1 2 3



( )

2 2 21 2 3 1 2 3 min

min2 2 21 2 3 1 2 3

0

0max




(4)






1 2 3( )k k k MI = + +uuur

(do coacute ())


Vậy 1 2 3min




1 2 3 1 2 31 2 3

1



1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1( )

1

( )

1( )

I A B C

I A B C

I A B C

x k x k x k xk k k

y k y k y k yk k k

z k z k z k zk k k

= + +

+ +

rarr = + + + +

= + ++ +



22


TH1 TH2





TH1 TH2








+)max







nhỏ nhất biết (121) (012) (003) A B C






23






2 1 3

x y zd




1 2 2

x y zminus +∆ = =






1 1 3

1 2 2


minus vagrave 2

1

2 2

2

x t

y t

z t

= minus minus

∆ = + = minus



2

1

2

x t

y t

z t

=

∆ = minus

= +








11



2 1 2

x y zd







cos6

α =


4 1 1

















12









+) Ta coacute(142)

( 124)

OA

OB

=

= minus

uuur



2 1 1

x y zminus minus= =

minus



13


1 2 1




Phacircn tiacutech



( )P

Pu n u

d ∆ ∆



Giải





Magrave ( )

( ) (505) 5(101)P

Pu n u

d ∆ ∆


uur uuur uur


4

x t

y

z t

=

= minus

= +


2 1 1

x y zd



Phacircn tiacutech



=uur uuuur



2 3 2

2 2 (3 2 2 2 )

2 2

N A M

N A M

N A M

x x x t

y y y t N t t t

z z z t

= minus = minus


= minus = minus


+) Vậy ( 4 6 4) 2(23 2)u MN ∆



2 3 2






14


2 1 2

x y z+ minus= =

minus


Phacircn tiacutech



uur uuur







( )( 2 2 3) 223u AB∆



2 2 3





1 2 1





1 2 3

x y zminus= =




2 1 3

x y zminus += =

minus vagrave 2

4 2

2

x t d y t

z t

= += minus minus

= minus




2 2 1

x y zd

minus += =




1 1 2

x y zd

minus +





2 1 1

x y zd



(đ atilde giải)



15


2 1 2




1 1 1

x y z+ minus∆ = =




1 2

2 1 1

x y z

d

minus += =

minus vagrave 2

1 2

13

x t

d y t z

= minus +

= +

=



3 2

1

1 4

x t

d y t

z t

= minus +

= minus = minus +




1 2 2

2 1 2

x y zd

minus + minus= =

minus 2

2 3 4

1 1 1

x y zd





1 2

2 1 1

x y zd

minus += =

minus vagrave 2

1 2

1

3

x t

d y t

z

= minus +

= + =





16



1 2 1

x y zd



Phacircn tiacutech







uuur uur

2 2 22 2 2 2 3

3 3 3 3 IH

rArr = + + =


2 3



0cos45 R IA ABrArr = =2 2 3 2 6

2 2 22 3 3

IH IH = = = =


3 x y z+ + minus =




2 2 2

4 1 6 10 9 ( ( )) 332 1 2

h II d I P + minus += = = = =

+ +





17


2 1 2

x y zd

minus= =



Phacircn tiacutech







2 4 1



Phacircn tiacutech



2 2 2

2 (5112)2(2 1) (4 3) 21 2 1 3

1 ( 1 1 1)2 1 2

t I t t t t

t I








1 2 1

x y zd




2 3 2








7 3 2

x y zminus minus= =

minus minus



18




2 1 2

x y zminus += =


sao cho AB = 16


2

4

x t

d y t

z

=

=

=

vagrave 2

3 2

0

x t

d y t

z

= +

= minus

=






2 1 2

x y zd

minus= =









3 1 1





1

x t

d y

z

=

= = minus







19











minus∆= + + = + +

+) Nếu( )

( )

2 21 2 min

2 21 2 max

0 ( )4 4 2

0 ( )4 4 2


a a ab



minus∆ minus∆



bt M

a= minus rarr


Cacircu 2) 21 2 1 2

( )( )

( )


MB t

rarr + = rarr + = + +



Từ () 1 2min 4

k MA k MBa

minus∆rarr + =

uuur uuur khi

2

bt M

a= minus rarr






C12


2 2

( )

( )

u t x y

v x t y

minus

minus

r


(vớ i 1 2 0 y y gt )



20


r r r r



2 2

0t x y

x t y

minusrarr = gt




+) Từ () rarr2 2 2 2






CHUacute Yacute







nhỏ nhất



1 1 2

x y zd

+ minus += =

minus



1 2

1

2

x t

y t

z t

= minus +

∆ = minus

=




1 2 2

x y zd

minus += =





nhỏ nhất


trigravenh2 4

3 2 2

x y zminus minus= =




21








+) Ta coacute2 2 22 2 2





uuur uur uur uur


+) Magrave 2 2 2

1 2 3



( )

2 2 21 2 3 1 2 3 min

min2 2 21 2 3 1 2 3

0

0max




(4)






1 2 3( )k k k MI = + +uuur

(do coacute ())


Vậy 1 2 3min




1 2 3 1 2 31 2 3

1



1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1( )

1

( )

1( )

I A B C

I A B C

I A B C

x k x k x k xk k k

y k y k y k yk k k

z k z k z k zk k k

= + +

+ +

rarr = + + + +

= + ++ +



22


TH1 TH2





TH1 TH2








+)max







nhỏ nhất biết (121) (012) (003) A B C






23






2 1 3

x y zd




1 2 2

x y zminus +∆ = =






1 1 3

1 2 2


minus vagrave 2

1

2 2

2

x t

y t

z t

= minus minus

∆ = + = minus



2

1

2

x t

y t

z t

=

∆ = minus

= +








12









+) Ta coacute(142)

( 124)

OA

OB

=

= minus

uuur



2 1 1

x y zminus minus= =

minus



13


1 2 1




Phacircn tiacutech



( )P

Pu n u

d ∆ ∆



Giải





Magrave ( )

( ) (505) 5(101)P

Pu n u

d ∆ ∆


uur uuur uur


4

x t

y

z t

=

= minus

= +


2 1 1

x y zd



Phacircn tiacutech



=uur uuuur



2 3 2

2 2 (3 2 2 2 )

2 2

N A M

N A M

N A M

x x x t

y y y t N t t t

z z z t

= minus = minus


= minus = minus


+) Vậy ( 4 6 4) 2(23 2)u MN ∆



2 3 2






14


2 1 2

x y z+ minus= =

minus


Phacircn tiacutech



uur uuur







( )( 2 2 3) 223u AB∆



2 2 3





1 2 1





1 2 3

x y zminus= =




2 1 3

x y zminus += =

minus vagrave 2

4 2

2

x t d y t

z t

= += minus minus

= minus




2 2 1

x y zd

minus += =




1 1 2

x y zd

minus +





2 1 1

x y zd



(đ atilde giải)



15


2 1 2




1 1 1

x y z+ minus∆ = =




1 2

2 1 1

x y z

d

minus += =

minus vagrave 2

1 2

13

x t

d y t z

= minus +

= +

=



3 2

1

1 4

x t

d y t

z t

= minus +

= minus = minus +




1 2 2

2 1 2

x y zd

minus + minus= =

minus 2

2 3 4

1 1 1

x y zd





1 2

2 1 1

x y zd

minus += =

minus vagrave 2

1 2

1

3

x t

d y t

z

= minus +

= + =





16



1 2 1

x y zd



Phacircn tiacutech







uuur uur

2 2 22 2 2 2 3

3 3 3 3 IH

rArr = + + =


2 3



0cos45 R IA ABrArr = =2 2 3 2 6

2 2 22 3 3

IH IH = = = =


3 x y z+ + minus =




2 2 2

4 1 6 10 9 ( ( )) 332 1 2

h II d I P + minus += = = = =

+ +





17


2 1 2

x y zd

minus= =



Phacircn tiacutech







2 4 1



Phacircn tiacutech



2 2 2

2 (5112)2(2 1) (4 3) 21 2 1 3

1 ( 1 1 1)2 1 2

t I t t t t

t I








1 2 1

x y zd




2 3 2








7 3 2

x y zminus minus= =

minus minus



18




2 1 2

x y zminus += =


sao cho AB = 16


2

4

x t

d y t

z

=

=

=

vagrave 2

3 2

0

x t

d y t

z

= +

= minus

=






2 1 2

x y zd

minus= =









3 1 1





1

x t

d y

z

=

= = minus







19











minus∆= + + = + +

+) Nếu( )

( )

2 21 2 min

2 21 2 max

0 ( )4 4 2

0 ( )4 4 2


a a ab



minus∆ minus∆



bt M

a= minus rarr


Cacircu 2) 21 2 1 2

( )( )

( )


MB t

rarr + = rarr + = + +



Từ () 1 2min 4

k MA k MBa

minus∆rarr + =

uuur uuur khi

2

bt M

a= minus rarr






C12


2 2

( )

( )

u t x y

v x t y

minus

minus

r


(vớ i 1 2 0 y y gt )



20


r r r r



2 2

0t x y

x t y

minusrarr = gt




+) Từ () rarr2 2 2 2






CHUacute Yacute







nhỏ nhất



1 1 2

x y zd

+ minus += =

minus



1 2

1

2

x t

y t

z t

= minus +

∆ = minus

=




1 2 2

x y zd

minus += =





nhỏ nhất


trigravenh2 4

3 2 2

x y zminus minus= =




21








+) Ta coacute2 2 22 2 2





uuur uur uur uur


+) Magrave 2 2 2

1 2 3



( )

2 2 21 2 3 1 2 3 min

min2 2 21 2 3 1 2 3

0

0max




(4)






1 2 3( )k k k MI = + +uuur

(do coacute ())


Vậy 1 2 3min




1 2 3 1 2 31 2 3

1



1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1( )

1

( )

1( )

I A B C

I A B C

I A B C

x k x k x k xk k k

y k y k y k yk k k

z k z k z k zk k k

= + +

+ +

rarr = + + + +

= + ++ +



22


TH1 TH2





TH1 TH2








+)max







nhỏ nhất biết (121) (012) (003) A B C






23






2 1 3

x y zd




1 2 2

x y zminus +∆ = =






1 1 3

1 2 2


minus vagrave 2

1

2 2

2

x t

y t

z t

= minus minus

∆ = + = minus



2

1

2

x t

y t

z t

=

∆ = minus

= +








13


1 2 1




Phacircn tiacutech



( )P

Pu n u

d ∆ ∆



Giải





Magrave ( )

( ) (505) 5(101)P

Pu n u

d ∆ ∆


uur uuur uur


4

x t

y

z t

=

= minus

= +


2 1 1

x y zd



Phacircn tiacutech



=uur uuuur



2 3 2

2 2 (3 2 2 2 )

2 2

N A M

N A M

N A M

x x x t

y y y t N t t t

z z z t

= minus = minus


= minus = minus


+) Vậy ( 4 6 4) 2(23 2)u MN ∆



2 3 2






14


2 1 2

x y z+ minus= =

minus


Phacircn tiacutech



uur uuur







( )( 2 2 3) 223u AB∆



2 2 3





1 2 1





1 2 3

x y zminus= =




2 1 3

x y zminus += =

minus vagrave 2

4 2

2

x t d y t

z t

= += minus minus

= minus




2 2 1

x y zd

minus += =




1 1 2

x y zd

minus +





2 1 1

x y zd



(đ atilde giải)



15


2 1 2




1 1 1

x y z+ minus∆ = =




1 2

2 1 1

x y z

d

minus += =

minus vagrave 2

1 2

13

x t

d y t z

= minus +

= +

=



3 2

1

1 4

x t

d y t

z t

= minus +

= minus = minus +




1 2 2

2 1 2

x y zd

minus + minus= =

minus 2

2 3 4

1 1 1

x y zd





1 2

2 1 1

x y zd

minus += =

minus vagrave 2

1 2

1

3

x t

d y t

z

= minus +

= + =





16



1 2 1

x y zd



Phacircn tiacutech







uuur uur

2 2 22 2 2 2 3

3 3 3 3 IH

rArr = + + =


2 3



0cos45 R IA ABrArr = =2 2 3 2 6

2 2 22 3 3

IH IH = = = =


3 x y z+ + minus =




2 2 2

4 1 6 10 9 ( ( )) 332 1 2

h II d I P + minus += = = = =

+ +





17


2 1 2

x y zd

minus= =



Phacircn tiacutech







2 4 1



Phacircn tiacutech



2 2 2

2 (5112)2(2 1) (4 3) 21 2 1 3

1 ( 1 1 1)2 1 2

t I t t t t

t I








1 2 1

x y zd




2 3 2








7 3 2

x y zminus minus= =

minus minus



18




2 1 2

x y zminus += =


sao cho AB = 16


2

4

x t

d y t

z

=

=

=

vagrave 2

3 2

0

x t

d y t

z

= +

= minus

=






2 1 2

x y zd

minus= =









3 1 1





1

x t

d y

z

=

= = minus







19











minus∆= + + = + +

+) Nếu( )

( )

2 21 2 min

2 21 2 max

0 ( )4 4 2

0 ( )4 4 2


a a ab



minus∆ minus∆



bt M

a= minus rarr


Cacircu 2) 21 2 1 2

( )( )

( )


MB t

rarr + = rarr + = + +



Từ () 1 2min 4

k MA k MBa

minus∆rarr + =

uuur uuur khi

2

bt M

a= minus rarr






C12


2 2

( )

( )

u t x y

v x t y

minus

minus

r


(vớ i 1 2 0 y y gt )



20


r r r r



2 2

0t x y

x t y

minusrarr = gt




+) Từ () rarr2 2 2 2






CHUacute Yacute







nhỏ nhất



1 1 2

x y zd

+ minus += =

minus



1 2

1

2

x t

y t

z t

= minus +

∆ = minus

=




1 2 2

x y zd

minus += =





nhỏ nhất


trigravenh2 4

3 2 2

x y zminus minus= =




21








+) Ta coacute2 2 22 2 2





uuur uur uur uur


+) Magrave 2 2 2

1 2 3



( )

2 2 21 2 3 1 2 3 min

min2 2 21 2 3 1 2 3

0

0max




(4)






1 2 3( )k k k MI = + +uuur

(do coacute ())


Vậy 1 2 3min




1 2 3 1 2 31 2 3

1



1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1( )

1

( )

1( )

I A B C

I A B C

I A B C

x k x k x k xk k k

y k y k y k yk k k

z k z k z k zk k k

= + +

+ +

rarr = + + + +

= + ++ +



22


TH1 TH2





TH1 TH2








+)max







nhỏ nhất biết (121) (012) (003) A B C






23






2 1 3

x y zd




1 2 2

x y zminus +∆ = =






1 1 3

1 2 2


minus vagrave 2

1

2 2

2

x t

y t

z t

= minus minus

∆ = + = minus



2

1

2

x t

y t

z t

=

∆ = minus

= +








14


2 1 2

x y z+ minus= =

minus


Phacircn tiacutech



uur uuur







( )( 2 2 3) 223u AB∆



2 2 3





1 2 1





1 2 3

x y zminus= =




2 1 3

x y zminus += =

minus vagrave 2

4 2

2

x t d y t

z t

= += minus minus

= minus




2 2 1

x y zd

minus += =




1 1 2

x y zd

minus +





2 1 1

x y zd



(đ atilde giải)



15


2 1 2




1 1 1

x y z+ minus∆ = =




1 2

2 1 1

x y z

d

minus += =

minus vagrave 2

1 2

13

x t

d y t z

= minus +

= +

=



3 2

1

1 4

x t

d y t

z t

= minus +

= minus = minus +




1 2 2

2 1 2

x y zd

minus + minus= =

minus 2

2 3 4

1 1 1

x y zd





1 2

2 1 1

x y zd

minus += =

minus vagrave 2

1 2

1

3

x t

d y t

z

= minus +

= + =





16



1 2 1

x y zd



Phacircn tiacutech







uuur uur

2 2 22 2 2 2 3

3 3 3 3 IH

rArr = + + =


2 3



0cos45 R IA ABrArr = =2 2 3 2 6

2 2 22 3 3

IH IH = = = =


3 x y z+ + minus =




2 2 2

4 1 6 10 9 ( ( )) 332 1 2

h II d I P + minus += = = = =

+ +





17


2 1 2

x y zd

minus= =



Phacircn tiacutech







2 4 1



Phacircn tiacutech



2 2 2

2 (5112)2(2 1) (4 3) 21 2 1 3

1 ( 1 1 1)2 1 2

t I t t t t

t I








1 2 1

x y zd




2 3 2








7 3 2

x y zminus minus= =

minus minus



18




2 1 2

x y zminus += =


sao cho AB = 16


2

4

x t

d y t

z

=

=

=

vagrave 2

3 2

0

x t

d y t

z

= +

= minus

=






2 1 2

x y zd

minus= =









3 1 1





1

x t

d y

z

=

= = minus







19











minus∆= + + = + +

+) Nếu( )

( )

2 21 2 min

2 21 2 max

0 ( )4 4 2

0 ( )4 4 2


a a ab



minus∆ minus∆



bt M

a= minus rarr


Cacircu 2) 21 2 1 2

( )( )

( )


MB t

rarr + = rarr + = + +



Từ () 1 2min 4

k MA k MBa

minus∆rarr + =

uuur uuur khi

2

bt M

a= minus rarr






C12


2 2

( )

( )

u t x y

v x t y

minus

minus

r


(vớ i 1 2 0 y y gt )



20


r r r r



2 2

0t x y

x t y

minusrarr = gt




+) Từ () rarr2 2 2 2






CHUacute Yacute







nhỏ nhất



1 1 2

x y zd

+ minus += =

minus



1 2

1

2

x t

y t

z t

= minus +

∆ = minus

=




1 2 2

x y zd

minus += =





nhỏ nhất


trigravenh2 4

3 2 2

x y zminus minus= =




21








+) Ta coacute2 2 22 2 2





uuur uur uur uur


+) Magrave 2 2 2

1 2 3



( )

2 2 21 2 3 1 2 3 min

min2 2 21 2 3 1 2 3

0

0max




(4)






1 2 3( )k k k MI = + +uuur

(do coacute ())


Vậy 1 2 3min




1 2 3 1 2 31 2 3

1



1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1( )

1

( )

1( )

I A B C

I A B C

I A B C

x k x k x k xk k k

y k y k y k yk k k

z k z k z k zk k k

= + +

+ +

rarr = + + + +

= + ++ +



22


TH1 TH2





TH1 TH2








+)max







nhỏ nhất biết (121) (012) (003) A B C






23






2 1 3

x y zd




1 2 2

x y zminus +∆ = =






1 1 3

1 2 2


minus vagrave 2

1

2 2

2

x t

y t

z t

= minus minus

∆ = + = minus



2

1

2

x t

y t

z t

=

∆ = minus

= +








15


2 1 2




1 1 1

x y z+ minus∆ = =




1 2

2 1 1

x y z

d

minus += =

minus vagrave 2

1 2

13

x t

d y t z

= minus +

= +

=



3 2

1

1 4

x t

d y t

z t

= minus +

= minus = minus +




1 2 2

2 1 2

x y zd

minus + minus= =

minus 2

2 3 4

1 1 1

x y zd





1 2

2 1 1

x y zd

minus += =

minus vagrave 2

1 2

1

3

x t

d y t

z

= minus +

= + =





16



1 2 1

x y zd



Phacircn tiacutech







uuur uur

2 2 22 2 2 2 3

3 3 3 3 IH

rArr = + + =


2 3



0cos45 R IA ABrArr = =2 2 3 2 6

2 2 22 3 3

IH IH = = = =


3 x y z+ + minus =




2 2 2

4 1 6 10 9 ( ( )) 332 1 2

h II d I P + minus += = = = =

+ +





17


2 1 2

x y zd

minus= =



Phacircn tiacutech







2 4 1



Phacircn tiacutech



2 2 2

2 (5112)2(2 1) (4 3) 21 2 1 3

1 ( 1 1 1)2 1 2

t I t t t t

t I








1 2 1

x y zd




2 3 2








7 3 2

x y zminus minus= =

minus minus



18




2 1 2

x y zminus += =


sao cho AB = 16


2

4

x t

d y t

z

=

=

=

vagrave 2

3 2

0

x t

d y t

z

= +

= minus

=






2 1 2

x y zd

minus= =









3 1 1





1

x t

d y

z

=

= = minus







19











minus∆= + + = + +

+) Nếu( )

( )

2 21 2 min

2 21 2 max

0 ( )4 4 2

0 ( )4 4 2


a a ab



minus∆ minus∆



bt M

a= minus rarr


Cacircu 2) 21 2 1 2

( )( )

( )


MB t

rarr + = rarr + = + +



Từ () 1 2min 4

k MA k MBa

minus∆rarr + =

uuur uuur khi

2

bt M

a= minus rarr






C12


2 2

( )

( )

u t x y

v x t y

minus

minus

r


(vớ i 1 2 0 y y gt )



20


r r r r



2 2

0t x y

x t y

minusrarr = gt




+) Từ () rarr2 2 2 2






CHUacute Yacute







nhỏ nhất



1 1 2

x y zd

+ minus += =

minus



1 2

1

2

x t

y t

z t

= minus +

∆ = minus

=




1 2 2

x y zd

minus += =





nhỏ nhất


trigravenh2 4

3 2 2

x y zminus minus= =




21








+) Ta coacute2 2 22 2 2





uuur uur uur uur


+) Magrave 2 2 2

1 2 3



( )

2 2 21 2 3 1 2 3 min

min2 2 21 2 3 1 2 3

0

0max




(4)






1 2 3( )k k k MI = + +uuur

(do coacute ())


Vậy 1 2 3min




1 2 3 1 2 31 2 3

1



1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1( )

1

( )

1( )

I A B C

I A B C

I A B C

x k x k x k xk k k

y k y k y k yk k k

z k z k z k zk k k

= + +

+ +

rarr = + + + +

= + ++ +



22


TH1 TH2





TH1 TH2








+)max







nhỏ nhất biết (121) (012) (003) A B C






23






2 1 3

x y zd




1 2 2

x y zminus +∆ = =






1 1 3

1 2 2


minus vagrave 2

1

2 2

2

x t

y t

z t

= minus minus

∆ = + = minus



2

1

2

x t

y t

z t

=

∆ = minus

= +








16



1 2 1

x y zd



Phacircn tiacutech







uuur uur

2 2 22 2 2 2 3

3 3 3 3 IH

rArr = + + =


2 3



0cos45 R IA ABrArr = =2 2 3 2 6

2 2 22 3 3

IH IH = = = =


3 x y z+ + minus =




2 2 2

4 1 6 10 9 ( ( )) 332 1 2

h II d I P + minus += = = = =

+ +





17


2 1 2

x y zd

minus= =



Phacircn tiacutech







2 4 1



Phacircn tiacutech



2 2 2

2 (5112)2(2 1) (4 3) 21 2 1 3

1 ( 1 1 1)2 1 2

t I t t t t

t I








1 2 1

x y zd




2 3 2








7 3 2

x y zminus minus= =

minus minus



18




2 1 2

x y zminus += =


sao cho AB = 16


2

4

x t

d y t

z

=

=

=

vagrave 2

3 2

0

x t

d y t

z

= +

= minus

=






2 1 2

x y zd

minus= =









3 1 1





1

x t

d y

z

=

= = minus







19











minus∆= + + = + +

+) Nếu( )

( )

2 21 2 min

2 21 2 max

0 ( )4 4 2

0 ( )4 4 2


a a ab



minus∆ minus∆



bt M

a= minus rarr


Cacircu 2) 21 2 1 2

( )( )

( )


MB t

rarr + = rarr + = + +



Từ () 1 2min 4

k MA k MBa

minus∆rarr + =

uuur uuur khi

2

bt M

a= minus rarr






C12


2 2

( )

( )

u t x y

v x t y

minus

minus

r


(vớ i 1 2 0 y y gt )



20


r r r r



2 2

0t x y

x t y

minusrarr = gt




+) Từ () rarr2 2 2 2






CHUacute Yacute







nhỏ nhất



1 1 2

x y zd

+ minus += =

minus



1 2

1

2

x t

y t

z t

= minus +

∆ = minus

=




1 2 2

x y zd

minus += =





nhỏ nhất


trigravenh2 4

3 2 2

x y zminus minus= =




21








+) Ta coacute2 2 22 2 2





uuur uur uur uur


+) Magrave 2 2 2

1 2 3



( )

2 2 21 2 3 1 2 3 min

min2 2 21 2 3 1 2 3

0

0max




(4)






1 2 3( )k k k MI = + +uuur

(do coacute ())


Vậy 1 2 3min




1 2 3 1 2 31 2 3

1



1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1( )

1

( )

1( )

I A B C

I A B C

I A B C

x k x k x k xk k k

y k y k y k yk k k

z k z k z k zk k k

= + +

+ +

rarr = + + + +

= + ++ +



22


TH1 TH2





TH1 TH2








+)max







nhỏ nhất biết (121) (012) (003) A B C






23






2 1 3

x y zd




1 2 2

x y zminus +∆ = =






1 1 3

1 2 2


minus vagrave 2

1

2 2

2

x t

y t

z t

= minus minus

∆ = + = minus



2

1

2

x t

y t

z t

=

∆ = minus

= +








17


2 1 2

x y zd

minus= =



Phacircn tiacutech







2 4 1



Phacircn tiacutech



2 2 2

2 (5112)2(2 1) (4 3) 21 2 1 3

1 ( 1 1 1)2 1 2

t I t t t t

t I








1 2 1

x y zd




2 3 2








7 3 2

x y zminus minus= =

minus minus



18




2 1 2

x y zminus += =


sao cho AB = 16


2

4

x t

d y t

z

=

=

=

vagrave 2

3 2

0

x t

d y t

z

= +

= minus

=






2 1 2

x y zd

minus= =









3 1 1





1

x t

d y

z

=

= = minus







19











minus∆= + + = + +

+) Nếu( )

( )

2 21 2 min

2 21 2 max

0 ( )4 4 2

0 ( )4 4 2


a a ab



minus∆ minus∆



bt M

a= minus rarr


Cacircu 2) 21 2 1 2

( )( )

( )


MB t

rarr + = rarr + = + +



Từ () 1 2min 4

k MA k MBa

minus∆rarr + =

uuur uuur khi

2

bt M

a= minus rarr






C12


2 2

( )

( )

u t x y

v x t y

minus

minus

r


(vớ i 1 2 0 y y gt )



20


r r r r



2 2

0t x y

x t y

minusrarr = gt




+) Từ () rarr2 2 2 2






CHUacute Yacute







nhỏ nhất



1 1 2

x y zd

+ minus += =

minus



1 2

1

2

x t

y t

z t

= minus +

∆ = minus

=




1 2 2

x y zd

minus += =





nhỏ nhất


trigravenh2 4

3 2 2

x y zminus minus= =




21








+) Ta coacute2 2 22 2 2





uuur uur uur uur


+) Magrave 2 2 2

1 2 3



( )

2 2 21 2 3 1 2 3 min

min2 2 21 2 3 1 2 3

0

0max




(4)






1 2 3( )k k k MI = + +uuur

(do coacute ())


Vậy 1 2 3min




1 2 3 1 2 31 2 3

1



1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1( )

1

( )

1( )

I A B C

I A B C

I A B C

x k x k x k xk k k

y k y k y k yk k k

z k z k z k zk k k

= + +

+ +

rarr = + + + +

= + ++ +



22


TH1 TH2





TH1 TH2








+)max







nhỏ nhất biết (121) (012) (003) A B C






23






2 1 3

x y zd




1 2 2

x y zminus +∆ = =






1 1 3

1 2 2


minus vagrave 2

1

2 2

2

x t

y t

z t

= minus minus

∆ = + = minus



2

1

2

x t

y t

z t

=

∆ = minus

= +








18




2 1 2

x y zminus += =


sao cho AB = 16


2

4

x t

d y t

z

=

=

=

vagrave 2

3 2

0

x t

d y t

z

= +

= minus

=






2 1 2

x y zd

minus= =









3 1 1





1

x t

d y

z

=

= = minus







19











minus∆= + + = + +

+) Nếu( )

( )

2 21 2 min

2 21 2 max

0 ( )4 4 2

0 ( )4 4 2


a a ab



minus∆ minus∆



bt M

a= minus rarr


Cacircu 2) 21 2 1 2

( )( )

( )


MB t

rarr + = rarr + = + +



Từ () 1 2min 4

k MA k MBa

minus∆rarr + =

uuur uuur khi

2

bt M

a= minus rarr






C12


2 2

( )

( )

u t x y

v x t y

minus

minus

r


(vớ i 1 2 0 y y gt )



20


r r r r



2 2

0t x y

x t y

minusrarr = gt




+) Từ () rarr2 2 2 2






CHUacute Yacute







nhỏ nhất



1 1 2

x y zd

+ minus += =

minus



1 2

1

2

x t

y t

z t

= minus +

∆ = minus

=




1 2 2

x y zd

minus += =





nhỏ nhất


trigravenh2 4

3 2 2

x y zminus minus= =




21








+) Ta coacute2 2 22 2 2





uuur uur uur uur


+) Magrave 2 2 2

1 2 3



( )

2 2 21 2 3 1 2 3 min

min2 2 21 2 3 1 2 3

0

0max




(4)






1 2 3( )k k k MI = + +uuur

(do coacute ())


Vậy 1 2 3min




1 2 3 1 2 31 2 3

1



1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1( )

1

( )

1( )

I A B C

I A B C

I A B C

x k x k x k xk k k

y k y k y k yk k k

z k z k z k zk k k

= + +

+ +

rarr = + + + +

= + ++ +



22


TH1 TH2





TH1 TH2








+)max







nhỏ nhất biết (121) (012) (003) A B C






23






2 1 3

x y zd




1 2 2

x y zminus +∆ = =






1 1 3

1 2 2


minus vagrave 2

1

2 2

2

x t

y t

z t

= minus minus

∆ = + = minus



2

1

2

x t

y t

z t

=

∆ = minus

= +








19











minus∆= + + = + +

+) Nếu( )

( )

2 21 2 min

2 21 2 max

0 ( )4 4 2

0 ( )4 4 2


a a ab



minus∆ minus∆



bt M

a= minus rarr


Cacircu 2) 21 2 1 2

( )( )

( )


MB t

rarr + = rarr + = + +



Từ () 1 2min 4

k MA k MBa

minus∆rarr + =

uuur uuur khi

2

bt M

a= minus rarr






C12


2 2

( )

( )

u t x y

v x t y

minus

minus

r


(vớ i 1 2 0 y y gt )



20


r r r r



2 2

0t x y

x t y

minusrarr = gt




+) Từ () rarr2 2 2 2






CHUacute Yacute







nhỏ nhất



1 1 2

x y zd

+ minus += =

minus



1 2

1

2

x t

y t

z t

= minus +

∆ = minus

=




1 2 2

x y zd

minus += =





nhỏ nhất


trigravenh2 4

3 2 2

x y zminus minus= =




21








+) Ta coacute2 2 22 2 2





uuur uur uur uur


+) Magrave 2 2 2

1 2 3



( )

2 2 21 2 3 1 2 3 min

min2 2 21 2 3 1 2 3

0

0max




(4)






1 2 3( )k k k MI = + +uuur

(do coacute ())


Vậy 1 2 3min




1 2 3 1 2 31 2 3

1



1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1( )

1

( )

1( )

I A B C

I A B C

I A B C

x k x k x k xk k k

y k y k y k yk k k

z k z k z k zk k k

= + +

+ +

rarr = + + + +

= + ++ +



22


TH1 TH2





TH1 TH2








+)max







nhỏ nhất biết (121) (012) (003) A B C






23






2 1 3

x y zd




1 2 2

x y zminus +∆ = =






1 1 3

1 2 2


minus vagrave 2

1

2 2

2

x t

y t

z t

= minus minus

∆ = + = minus



2

1

2

x t

y t

z t

=

∆ = minus

= +








20


r r r r



2 2

0t x y

x t y

minusrarr = gt




+) Từ () rarr2 2 2 2






CHUacute Yacute







nhỏ nhất



1 1 2

x y zd

+ minus += =

minus



1 2

1

2

x t

y t

z t

= minus +

∆ = minus

=




1 2 2

x y zd

minus += =





nhỏ nhất


trigravenh2 4

3 2 2

x y zminus minus= =




21








+) Ta coacute2 2 22 2 2





uuur uur uur uur


+) Magrave 2 2 2

1 2 3



( )

2 2 21 2 3 1 2 3 min

min2 2 21 2 3 1 2 3

0

0max




(4)






1 2 3( )k k k MI = + +uuur

(do coacute ())


Vậy 1 2 3min




1 2 3 1 2 31 2 3

1



1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1( )

1

( )

1( )

I A B C

I A B C

I A B C

x k x k x k xk k k

y k y k y k yk k k

z k z k z k zk k k

= + +

+ +

rarr = + + + +

= + ++ +



22


TH1 TH2





TH1 TH2








+)max







nhỏ nhất biết (121) (012) (003) A B C






23






2 1 3

x y zd




1 2 2

x y zminus +∆ = =






1 1 3

1 2 2


minus vagrave 2

1

2 2

2

x t

y t

z t

= minus minus

∆ = + = minus



2

1

2

x t

y t

z t

=

∆ = minus

= +








21








+) Ta coacute2 2 22 2 2





uuur uur uur uur


+) Magrave 2 2 2

1 2 3



( )

2 2 21 2 3 1 2 3 min

min2 2 21 2 3 1 2 3

0

0max




(4)






1 2 3( )k k k MI = + +uuur

(do coacute ())


Vậy 1 2 3min




1 2 3 1 2 31 2 3

1



1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

1( )

1

( )

1( )

I A B C

I A B C

I A B C

x k x k x k xk k k

y k y k y k yk k k

z k z k z k zk k k

= + +

+ +

rarr = + + + +

= + ++ +



22


TH1 TH2





TH1 TH2








+)max







nhỏ nhất biết (121) (012) (003) A B C






23






2 1 3

x y zd




1 2 2

x y zminus +∆ = =






1 1 3

1 2 2


minus vagrave 2

1

2 2

2

x t

y t

z t

= minus minus

∆ = + = minus



2

1

2

x t

y t

z t

=

∆ = minus

= +








22


TH1 TH2





TH1 TH2








+)max







nhỏ nhất biết (121) (012) (003) A B C






23






2 1 3

x y zd




1 2 2

x y zminus +∆ = =






1 1 3

1 2 2


minus vagrave 2

1

2 2

2

x t

y t

z t

= minus minus

∆ = + = minus



2

1

2

x t

y t

z t

=

∆ = minus

= +








23






2 1 3

x y zd




1 2 2

x y zminus +∆ = =






1 1 3

1 2 2


minus vagrave 2

1

2 2

2

x t

y t

z t

= minus minus

∆ = + = minus



2

1

2

x t

y t

z t

=

∆ = minus

= +






Documents

Cac Huong Tu Duy de Giai Toan Hinh Hoc Toa Do Khong Gian Oxyz