UNAAPROXIMACINSOCIOEPISTEMOLGICAALESTUDIODELAINTEGRALDEFINIDA

Ma.GuadalupeCabaasSnchez1

RicardoCantoralUriza2

RESUMEN

Enestecaptulopresentamoslosresultadosparcialesdeunainvestigacinrelacionadaconuna particular interpretacin de la integral definida desarrollada en el marco de laaproximacinsocioepistemolgicaalainvestigacinenmatemticaeducativasepartedeltratamiento de la nocin de rea al nivel de actividad en la vida cotidiana (repartir,comparar y reproducir, medir, cuantificar, y conservar). Describimos, en un primertrmino,eltratamientoescolarde laintegraldefinidaquesueleserusadoenlaenseanzacontempornea y discutimos algunos resultados de investigacin que exhiben lasdificultades de los estudiantes ante dicho tratamiento. Se presentan adems, ejemplos deactividadesqueincorporanlanocindeconservacindel reaenconstruccionesvinculadasal tratamientoderegionesgeomtricasplanas,descritasen trminos sintticosodescritasentrminosanalticos.

Palabras clave: Socioepistemologa, integral definida, comparacin, medicin yconservacindelrea,reproducibilidaddesituacionesdidcticas.

1. INTRODUCCIN

Lacomprensindelosconceptosbsicosdelclculosueleresultarunatareadifcilparalamayora de los estudiantes en sus primeras experiencias en esas asignaturas.Algunas deestas dificultades han sido documentadas sistemticamente en diferentes regiones delmundo y bajo el abrigo de diversas perspectivas tericas (Orton, 1983 Artigue, 1998 yCantoral, 2000). En Mxico particularmente, esta problemtica ha sido estudiada desdehace dos dcadas por el grupo de investigacin del rea de Educacin Superior delDepartamentodeMatemticaEducativadelCinvestav IPN.Sinembargo, sus trabajos sehanorientadoaldesarrollodeacercamientosdidcticosquefavorezcanlaconstruccindesignificados,tantoalniveldelosprocesoscomodelosconceptospropiosdelclculoydelanlisismatemtico,principalmentedelconceptodefuncin,lmite,continuidad,derivada,convergencia y analiticidad, siempre basados en lo que llaman las ideas variacionalesdesatendiendountanto,bajoesteenfoque,elproblemadelaenseanzayaprendizajedelaintegracin.

1 Centro de Investigacin enMatemticaEducativa (Cimate). Facultad deMatemticas (FM).UniversidadAutnomadeGuerrero (UAG).2Cinvestav IPN,enrecesosabticoenelCimate FM,UAG.

Especficamente,diferentesinvestigacionesmuestranquelosestudiantestienendificultadescon la conceptualizacin de los procesos de integracin y que stas se refieren aldesequilibrio existente entre lo conceptual y lo algortmico.De ah que coincidimos conquienes afirman que, bajo el influjo del discurso matemtico escolar3, la enseanza delclculo integral privilegia el tratamiento algortmico a travs de las llamadas tcnicas deintegracin en detrimento propiamente de la comprensin de nociones bsicas como sesealaen(Quezada,1986Artigue,1998,Cantoral,2000).Actualmente,aspectoscentralesdeestaproblemticaestnsiendoestudiadosenelmarcodeunainvestigacintitulada:Unestudio sobre la reproducibilidad de situaciones didcticas: El papel de la nocin deconservacin del rea en la explicacin escolar del concepto de integral, investigacinconducida en el marco de la aproximacin socioepistemolgica a la investigacin enmatemtica educativa. El problema que motiva esta investigacin se ubica en elreconocimientodelasdificultadesquemuestranlosestudiantesensuintentoporalcanzarunaadecuadacomprensindelaintegraldefinidaconbaseenlatpicaexplicacinescolarde rea bajo la curva, presentacin que precisa de un equilibrio entre el desarrolloconceptualdelasideasbsicasdelclculoconelmanejoapropiadodesusalgoritmos.

Desde la perspectiva socioepistemolgica se dar una visin alternativa respecto de lasprcticas sociales relacionadas a dichos conceptos y procesos matemticos, y que sondetectadas en las filiaciones entre enseanza bsica y enseanza superior cuando se tratacon el concepto de integral definida a travs de actividades como: repartir, comparar yreproducir,medir,cuantificar,yconservarbajodiferentesmtodoslasreas.Empecemosreseandoelacercamientousualdelaintegralenlostextosescolares.

2. TRATAMIENTOESCOLARDELAINTEGRALDEFINIDA

En el contexto escolar los procesos de integracin son tratados en el ltimo ao de laenseanzamedia y en el primero de la enseanza superior, a partir de dos vertientes: laintegral indefinida y la integral definida. El concepto de integral definida se asocia aexpresiones simblicas y representaciones geomtricas. Las formas ms usuales deconcebirestasrepresentacionesson:laintegralcomolaoperacininversadeladerivadayla integral cmo el mtodo de determinacin del rea bajo una curva para funcionescontinuas sobre intervalos cerrados. Una representacin geomtrica del concepto deintegralcuandolafuncinespositiva,esaquelladelreabajounacurva,dondeelsmbolo

b

a

dxxf )( expresaelvalordedicharea.Esdecir:

= =b

a

xfycurvalabajoreadxxf )"(")(

3Constituyeunaconcepcindeenseanzaqueestnormadaporelcontratoescolaryelpragmatismoquesederiva de ste. Se ejerce la enseanzaaprendizaje por un lado, considerando a la matemtica como unconocimiento acabado y por el otro, tratando a los conceptosmatemticos en la didctica como actos derepeticinomemorizacin(Cordero,2003).

Una interpretacin plausible dice que el signo significa la suma de los rectngulosrepresentados por dxxf )( , donde )(xf es la altura y dx la base. Mientras que losextremos a yb del intervalo son los lmites de integracin, sobre los que construyen losrectngulos.

Paradescribireltratamientoescolardelaintegraldefinidaseleccionamosunodelostextosdeclculoavanzadomsutilizadosennuestromediouniversitario,(Spivak,1999).EnestetextolosprocesosdeintegracinsonpresentadosenelCaptulo13ysuconstruccinsedaa partir de la definicin de la integral deRiemann, donde se trata con rea de regionessimples,particularmenteaquellasdelimitadasporelejehorizontal,lasrectasverticalesquepasanpor(a,0)y(b,0),yporlagrficadeunafuncinftalque 0)( xf paratodoxen [ ]ba, ,denotandoestetipoderegionespor ),,( bafR .

Previoaladefinicindeintegral,Spivakdefineparticindeunintervaloysumainferiorysuperior.

Definicindeparticindeunintervalo:

Sea ba

Elintervalo [ ]ba, hasidodivididoencuatrosubintervalos

[ ] [ ] [ ] [ ]43322110 ,,,, tttttttt

Pormediodenmeros 43210 ,,,, ttttt con

bttttta = < < < < = 43210

(Lanumeracindelossubndicesempiezapor0demodoqueelsubndicemsgrandeserigualalnmerodesubintervalos).

Sobre el primer intervalo [ ]10, tt , la funcin f tiene el valor mnimomi y el valor mximoMianlogamente,seamielvalormnimoyMielvalormximode fsobreelintervaloisimo [ ]ii tt ,1 - .Lasuma

)()()()( 344233122011 ttmttmttmttms - + - + - + - =

representaelreatotaldelosrectngulosquequedandentrodelaregin ),,( bafR ,mientrasquelasuma

)()()()( 344233122011 ttMttMttMttMS - + - + - + - =

representaelreatotaldelosrectngulosquecontienenlaregin ),,( bafR .

Previoaladefinicindeintegralpresentadosejemplosenelqueconsideradosfunciones:Paraelprimercasolafuncinesunaconstantepositivayparaelsegundo,eslafuncindeDirichletunaesintegrableylaotrano(verFiguras3y4).

Ejemplo1.Supongamosenprimerlugarque cxf =)( paratodo xde [ ]ba, .Si { }nttP ...,,0 = esunaparticincualquierade [ ]ba, ,entonces

Figura2

cMm ii = = ,

Demaneraque:

=

- - = - =n

iii abcttcPfL

11 ),()(),(

=

- - = - =n

iii abcttcPfU

11 ).()(),(

Enestecasotodaslassumasinferioresysuperioressonigualesy

{ } { } )(),(inf),(sup abcPfUPfL - = = (p.353).

Ejemplo2.Consideremosahoralafuncin fdefinidapor

=racionalxirracionalx

xf,1

,0)(

Si { }nttP ...,,0 = esunaparticincualquiera,entonces

0 =im ,puestoqueexisteunnmeroirracionalen [ ]ii tt ,1 -

y

1 =iM ,puestoqueexisteunnmeroracionalen [ ]11, tti- .Porlotanto

=

- = - =n

iii ttPfL

11 ,0)(0),(

=

- - = - =n

iii abttPfU

11 .)(1),(

Aspues,enestecasono esverdadque { } { }),(inf),(sup PfUPfL = (p.354).

Con estos ejemplosSpivakquiere hacer notar que la condicin de funcin acotada en ladefinicindeintegralesnecesariaperonosuficiente.

Ladefinicindeintegralespresentadaentoncesdelasiguientemanera:

Unafuncin facotadasobre [ ]ba, esintegrablesobre [ ]ba, si

sup { PPfL :),( esunaparticinde[ ]} { PPfUba :),(inf, = esunaparticinde [ ]}ba,

Figura3

Figura4

Enestecaso,estenmerocomnrecibeelnombredeintegralde fen [ ]ba, ydenotadopor

b

a

f .

(Elsmbolo recibeelnombredesignointegralyensuorigeneraunasalargada,porsumalosnmeros a yb reciben el nombre de lmites de integracin inferiory superior.) La integral

b

a

f

recibeelnombreder ea de ),,( bafR cuando 0)( xf paratodo xde [ ]ba, p.355).

Lacondicinnecesariaysuficienteesindicadamedianteelteoremasiguiente:

Sif est acotada sobre [ ]ba, , entonces f es integrable sobre [ ]ba, si y solo si para todo 0 > eexisteunaparticin Pde [ ]ba, talque

e < - ),(),( PfLPfU (p.356)

Elteoremafundamentaldelclculoespresentadoenelcaptulo14(Teorema1)

Seaf integrablesobre [ ]ba, ydefnase F sobre [ ]ba, por

=b

a

fxF .)(

Si fescontinuaen cde [ ]ba, ,entoncesF esderivableen c,y

).()( cfcF =

(Si c = a o b, entonces )(cF se entiende que representa la derivada por la derecha o por laizquierdadeF)(p.399)

EselCaptulo18quepresentalanotacintantodelaintegralindefinidacomoaladefinida.Estecaptulo iniciasealandoquetodoclculodeunaderivadaproporciona,segnelsegundoteoremafundamentaldelclculoinfinitesimal,unafrmulaparaintegrales(p.499). Muestra a travs de un ejemplo el uso de este teorema por medio de la funcinlogaritmoparaindicarquelasfrmulasdeestetiposesimplificanconsiderablementesiadoptamoslanotacin

)()()( aFbFxFb

a - = (p.499)

Enseguida define una funcin primitiva como sigue: En general, una funcinF quesatisface fF = recibeelnombreprimitivadef.Sedapasoalapresentacindelaintegraldefinida,queesposterioraldeintegralindefinida,ylohacedelasiguientemanera:

Unafuncin dxxf )( ,esdecir,unaprimitivadef,recibeconfrecuenciaelnombrede

integral indefinida de f, mientras que b

a

dxxf )( es llamada, por contraste, integral

definida...(p.502)

Respecto de la integral definida seala que: esta sugestiva notacin da un buenresultadoen laprctica,peroes importantenodejarseextraviarporella.Aunariesgodecansaral lector,hacemos notarunavezms el siguientehecho: la integral

b

a

dxxf )( nose

definecomo )()( aFbF - ,dondeF esunaintegralindefinidadef(p.502).

Estaformadepresentarlaintegralproduceefectosnotableseneldesarrolloconceptualdelos estudiantes, donde la construccin de nociones aparecen visiblemente complejas conausenciadeactividadesasociadasaprcticasdelavida,tendiendoafavorecereldesarrollode tcnicas de integracin y en consecuencia su pensamiento algortmico. En nuestroestudio,eldiseodelassituacionessernincorporadasprcticasdeconservacin,medicinycomparacin,tomandocomoejeconductoralconceptoderea.Pretendemosabordardosclases de cuestiones: una relacionada con la bsqueda de evidencia emprica sobre elfenmeno didctico de la reproducibilidad de las situaciones didcticas en el clculointegral,yelotrorelativoalpapelquelanocindeconservacindereadesempaaenlasexplicacionesdelprofesorcuandotrataensusclasesconelconceptodeintegraldefinida.

3. DIFICULTADESDELOSESTUDIANTESLIGADASALOSCONCEPTOSBSICOSDELCLCULO

Comosedijoal inicio, lasdificultadesligadasalaprendizajedelosconceptosdelclculohan sido reportadas por diversos autores. Artigue (1991) las sintetiza de la siguientemanera:

Al nivel altamente sofisticado de las estructuras de los objetos en losfundamentosdelclculo,talescomosucesionesyfunciones

Alaexistenciadevariosobstculos,incluyendoaquellosevidenteseneldesarrollo histrico como los obstculos debidos a los procesosinfinitos,ylosobstculosenlaconceptuacindelosnmerosrealesporpartedelosestudiantes.

Dificultades planteadas en el aprendizaje de tcnicas especficas opropiasdelanlisistalcomoelusodelosaxiomasdecompletez.

Losestudianteslleganaobtenerunniveldexitorazonableenunciertonmero de tareas algortmicas sin embargo, las concepcionesdesarrolladas por los estudiantes son pobres y las tcnicas sutiles delClculonosonadoptadas.

Por su parteDreyfus (1990), afirmaque los estudiantes aprenden los procedimientos delclculo (encontrar lmites, diferenciacin, etc.) a un nivel puramente algortmico,construidossobre imgenesconceptualesescasas.Yque lasdificultadesen laconcepcinde losprocesosdediferenciacine integracinpueden explicarseen trminosdeque losestudiantescarecen,necesariamente,deunnivelaltodeabstraccin,tantodelconceptodefuncin(comounobjeto),comodelosprocesosdeaproximacin.

Enestudiosanteriores(Orton,1980,1983),identificadificultadesentreestudiantesde16a22aosdeedad,almomentodeestudiarideasdelclculo,debidoaproblemasvinculadoscon los procedimientos algortmicos, a pesar de la gran dependencia que se tiene con ellgebra elemental. As comodificultades para determinar reas bajo curvas cuando stascortanunejeoenlacomprensinderelacionesentreunaintegraldefinidaylasreasbajounacurva, lacualdebeserdivididaentantosrectnguloscomoseaposible(unacantidadmuygrande).Adems,paraexplicarpormediodeundiagramaoporotrava,elporqu

delaigualdadsiguiente: + = +a aa

xdxdxxdxxx0 00

22 )( .

Schneider(1991),enunestudiorealizadoconestudiantesde15a18aosdeedadenelquerecurrialadescomposicininfinitadesuperficiesyslidosutilizandolosprincipiosdeCavalieri, identific dificultades para calcular reas y volmenes debido a un obstculoqueconsideraepistemolgico,elcualconsisteenderivacionesinconscienteseindebidasenlamanera depensar de los alumnos entre el campode las cantidades y el campode lasmedidas.EnunainvestigacindeQuezada,(1986),sereportaelanlisisdelasdificultadesde los estudiantes al buscar primitivas, y sealan que estas se deben a un dominioinsuficiente del lgebra. Sugiere la autora situar a los estudiantes para que realicen unacantidadsuficientedeejerciciosparaqueadquierandestrezasatravsdelaexperienciaenla bsqueda de primitivas, considerando en dicha labor el atender a los errores msfrecuentemente.Elestudiorealizadoen(Cordero,2003),nobuscacaracterizardificultadesde los estudiantes ante las tareas que requieren de la integracin, sino que se orienta alexamendelascaractersticasnecesariasparaentenderelconceptodeintegral,paralocualacudealempleodediferentesmarcoscomolosepistemolgicos,elcognitivoyeldidctico:

Delanlisisepistemolgicoseidentificunpatrndeconstruccindela

teoradeintegracinconlaexpresin - =b

a

aFbFdxxf )()()( endonde

la diferencia )()( xFdxxF - + y las condiciones de una funcinderivadaFjueganunpapeldefinitivo.

Se le asoci un significado a la integral por medio de la nocin deacumulacin

Las situaciones que favorecen el pensar en la integral, son losfenmenosdecambio

Considerar al rea bajo una curva como modelo geomtrico de laintegralenunambientedevariacincontinua,exigemoverloesttico.

En las explicaciones de profesores y estudiantes ante situaciones devariacin,relacionaronalossignificadosyobjetosdentrodeunsistemaespecfico de la situacin, en contraste con una estructura axiomtica.Por ejemplo: f (x)dx es unaporcin deuna cantidadquevara o es lapiezadeun todo, f (x) es una funcin la cual es representada por unacurva o por una expresin algebraica y el dx como un trminoindependientedelafuncin f(x).

4. LAINTEGRALDEFINIDALAAPROXIMACINSOCIOEPISTEMOLGICA

Lasocioepistemologaesunaaproximacin tericadenaturalezasistmicaquepermitetratara los fenmenos de produccin y de difusin del conocimiento desde una perspectivamltiplealincorporarelestudiodelasinteraccionesentrelaepistemologadelconocimiento,su dimensin sociocultural, los procesos cognitivos asociados y los mecanismos deinstitucionalizacinva laenseanza.Tradicionalmente lasaproximacionesepistemolgicasasumenqueelconocimientoeselresultadodelaadaptacindelasexplicacionestericasconlas evidencias empricas, ignorandoen sobremanerael papel que los escenarios histricos,culturaleseinstitucionalesdesempeanentodaactividadhumana.Lasocioepistemologaporsuparte,planteaelexamendelconocimientosocialmentesituado,considerndoloalaluzdesuscircunstanciasyescenariossociales(CantoralyFarfn,2003,2004).

Dada su naturaleza sistmica, este enfoque posibilita la articulacin entre la teora desituacionesconelestudiodeconstruccindelconocimiento,porloqueelpuntodepartidade esta investigacin es el diseo de situaciones didcticas. Presentaremos una visinalternativaapartirdeltratamientodelanocindereaalniveldelasactividadesasociadas,quesondetectadasenlasfiliacionesentreenseanzabsicaysuperiorcuandotratanconlaintegraldefinida(figura1)medianteactividadescomo:

a) Repartir.Estaactividadsevinculaasituacionesdelavidacotidianaenla que dado un objeto hay que repartirlo equitativamente, ya seaaprovechandoregularidades,porestimacinopormedicin.

b) Comparar y reproducir. Las situaciones tienen que ver con lacomparacin dedos superficies con el fin de determinar cmo es unarespecto de la otra. En otras, se busca obtener una reproduccin conforma diferente a la dada inicialmente. Estas actividades puedenrealizarse mediante: inclusin, transformaciones, estimacin, pormedicin,oestudiandofunciones.

c) Medirycuantificar.Elreasueleaparecerensituacionesdemedidayasea para repartir, conservar, comparar o valorar. Este proceso puede

Figura1.Unavisindelestudiodelaintegraldefinidadesdelaaproximacinsocioepistemolgica

realizarse mediante exhauscin, acotacin, transformaciones, orelacionesgeomtricasgenerales.

d) Conservar.Estaactividadsepresentadespusderealizartransformaciones,omovimientosenconstruccionesvinculadasaregionesplanasonoplanas.Enesteproceso,losobjetospuedencambiaromantenersuformasinqueelreasealtere.

Actividadesqueenlaenseanzahabitualnosonconsideradasenelestudiodelaintegral.Elmtododeenseanzatradicionalporelcontrariotiendeadesarrollarhabilidadesenlos

estudiantesparaelusodefrmulasy tcnicas de integracin en elclculo de reas, olvidando elpapeldelasactividadesdelavidacotidianaEn laescuela bsicaporejemplo, previo a lamedicin delrea,sesitaalosniosatrabajarcon objetos tangibles para queperciban cualidades como laconservacinylacomparacin,detal forma que sean capaces dedeterminar si un objeto o cosa esms grande, igual o ms pequeoqueotro,sinelusodefrmulas,setrata ms bien de que comparenmediante la superposicinapoyndoseenmovimientoscomola rotacin, traslacin, reflexin.En muchas actividades la medida

de la extensin de un terreno no se obtiene en metros cuadrados, sino en unidades deproduccin,obienconbaseenlinderosnaturales.Laideademedirelreaconbaseenlanocindereaparafigurasrectangularesrequieredeotrasprcticas,comolaconservacinquenosonusadasenlaenseanzatradicional.

Nuestratesisesqueaunqueestemosenelnivelsuperiorytrabajemosconobjetosformales,serequiereintroduciraesosobjetosconactividadespreviasquetomenencuentaprincipiosesenciales como la conservacin. Aceptamos que la dimensin emprica juega un papelimportante en la dimensin conceptual de la enseanza superior, la comparacin y lamedicinsonantecedentes.Sinembargo,nospreguntamosCmorecuperarestasprcticasen la enseanza superior sin regresar a la escuela bsica?Consideramos queprevio a lapresentacindidcticadelaintegral,serequieremovilizarprcticascomolaconservacinyconceptosasociados.

Elreaenparticularesunanocinarraigadaalaculturadelassociedades,alacienciayala tecnologa, as comoa las vicisitudesde lavidadiariade laspersonas.Elconceptoderea a su vez est relacionado con tres prcticas: medida, comparacin y conservacin,mismas que pueden ser representadas a travs de formas diversas, tales como: grfica,

numricaysimblica.Elconceptodemedidaderearequieredelconceptodeunidaddemedida,delconceptodeiteracindedichaunidad,delanocincantidaddeunidadesydel clculo de frmulas (Piaget et al, 1970 Kordaki y Potari, 1998). La conservacinsignifica que el valor del rea permanece intacto mientras su figura puede sercualitativamente nueva (Piaget, et al,1970Kordaki yPotari,2001).Puedepresentarse apartir del cambio de la posicin de una figura sin modificar su forma, mediante losmovimientos de traslacin, rotacin y reflexin modificando una figura partindola yreacomodandosuspartes,ymediantetransformacionesanalticasygeomtricas.Significaportantoqueesposibleejercertransformacionesenlosobjetosyqueciertascualidadesdestos permanecern invariantes. Respecto de la conservacin del rea, Kordaki y Potari(2003)afirmanqueenelcontextoescolar losestudiantessonintroducidostempranamentealusodelafrmuladelrea,peroelconceptodeconservacindelreaespasadoporalto.Apesardelhechodequelosestudiantespuedenlograresteconcepto,estudindoloenunavariedaddeformasyusandounaciertacantidaddeherramientasdistintas.

5. LOSCONCEPTOSDEREA,CONSERVACINYMEDIDADEREAENLAENSEANZADELASMATEMTICAS

Enlaenseanzadelasmatemticaselconceptodereaesfundamental.Suestudioiniciaalnivel bsico, y tieneque ver principalmente con lamedidade superficies planas.En losnivelesmedioysuperioresteconceptotambinserelacionaconlamedicindesuperficiesa travs de la integral. En la escuela bsica, los nios son introducidos al concepto demedidadereausandocuadrculasdispuestasparaello ymediante la tareadecontar loscuadradosquequedandentrodelafigurageomtricaencuestin.Seintroducedemaneragradual de tal forma que usan la unidad cuadrada para cubrir formas regulares yposteriormentemedirlas.Verunejemplodeactividad(actividad1).

Cuandose introduce la frmuladelreadel rectnguloporejemplo, lo subdividenenunnmero entero de cuadrados unitarios (normalmente se empieza con el tratamiento defigurasqueefectivamentelopermiten),yseindicaalosestudiantesquelamedidadelreadedichafiguraequivalealnmerodecuadritosenqueselehasubdivididoalrectngulo,advirtindoles,siempreporiniciativadelprofesor,queelnmerodefilasycolumnassonalavez lasmedidasde las longitudesde los ladosdelrectngulo.Conesteprocedimiento,

Actividad1.Elusodelaunidadcuadradaparacubrirformasregulares

concluyen que el rea de esta figura se obtiene entonces demultiplicar las medidas dellargoydelancho,paraobteneraslamedidadelreaquehabrdeexpresarseenunidadescuadradas.Pasan a la representacinalgebraicadel resultado:A=bh ya lasconocidasexpresionesbaseporalturaolargoporancho.Porelcontrario,paraelclculodelreadel crculo se prescindede este tipo deprocedimientos, limitndose a utilizar la frmula

2r p ola introduccindeestrategiascomo ladeseccionarelcrculoensectorescadavezmspequeos.

Esta forma de presentar la medida del rea en la enseanza bsica y de introducirprematuramente las frmulas carece de sentido para los nios si no se cuenta con lacomprensindelaspropiedadesdelamedidadereas,yaquenoexistenespontneamentecomo condiciones lgicas en su pensamiento. Por ejemplo, para un nio el rea de unafiguranoesdesdesiempreequivalentea la sumadereasde laspartesque locomponen(Domnguez,p.31,1984).

Piagetafirmaque laausenciadeactividadesparamanipulacionesderea,principalmenteaquellascon lascuales se inician las acciones sensoriomotorasde los nios,el saltodelconceptodeconservacindereayelusoprematurodefrmulasdereasmatemticasenla escuela causadificultades en lamayora de los estudiantes en este tema.Adems, losnios no tienen la oportunidad para crear sus herramientas subjetivas para medir, porejemplounidadesocuadrculas,debidoa la introduccindeunaunidadpropuestaporelprofesor (Piaget et al, 1970).Acerca del rea, Piaget afirma (Piaget et al, 1970) que elconcepto de conservacin de rea es un aspecto preliminar y fundamental en elentendimiento del concepto de medicin de rea entre los estudiantes, es decir, laconservacinantecedealamedicin.

En la enseanza de las matemticas del nivel medio y superior, el estudio del rea sevinculaconeldeintegraldefinida.Esteconceptosueleintroducirsemedianteexplicacionesrelacionadascon lamedicindelreade regionesplanasacotadas,mediante laexpresinrea bajo la curva. Dicho procedimiento demedicin consiste en dividir la regin enregionesmspequeas,cuyasreastenganfrmulasdeclculoconocidas.Sesueledividiralintervalodeintegracinensubintervalosdeiguallongitud,sobreloscualesseconstruyenrectngulos con los que busca cubrir la regin ya sea por defecto o por exceso (en laexplicacinsemuestransiempregrficasdefuncionespositivas).Elvaloraproximadodelreaseobtieneapartirdelasumadelasreasdelosrectngulosasconstruidos.Elclculodelreadeestosrectngulosutilizalafrmuladebaseporaltura,porloquebastacontarcon los valores de las bases y de las alturas para conocer el valor de las reas de losrectngulos. Si bien el procedimiento utilizado pudiera parecer simple, el recurso desubdividir la regin en rectngulos es introducido artificialmente tanto en los textosescolares como en las explicaciones del profesor, adems de que la particular forma detoma al lmite plantea dificultades cognitivas. Esto suele hacerse con el propsito dejustificar lapresentacinde la integraldefinidaa travsde lanocindereadedondesepasaraltratamientoalgortmicotpicodelaenseanzadelasintegrales.

Si bien, en geometra elemental se deducen frmulas para las reas de muchas figurasplanas, un poco de reflexin hace ver que tampoco se da una definicin aceptable de la

nocinderea.Elreadeunareginsedefineavecescomoelnmerodecuadradosdelado unidad que caben en la regin. Pero esta definicin es totalmente inadecuada paratodas las regiones con excepcin de las ms simples. Por ejemplo, el crculo de radio 1tieneporreaelnmeroirracional p,peronoestclaroenabsolutoculeselsignificadode p cuadrados.Inclusosiconsideramosuncrculoderadio

p1 cuyareaes1,resulta

difcil explicar de qu manera un cuadrado unidad puede llenar este crculo, ya que noparece posible dividir el cuadrado unidad en pedazos que puedan ser yuxtapuestos demaneraqueformenuncrculo(Spivak.pp.345346,1999).

Una particularidad relativa a la medicin del rea, es que las unidades convencionales(metrocuadrado,centmetrocuadrado,etc.)adiferenciadeotrasunidadesnoexistencomoinstrumentos de medicin en las tiendas, as como podemos encontrar reglas, cintasgraduadas,escuadrasenunidadesde longitudpesaspara lamasa,entreotras.Elclculodelrea sedetermina indirectamente, apartirdemedidasde longitud ycon instrumentoscorrespondientesaestamagnitud.

6. ESTUDIOSSOBREMEDIDAYCONSERVACINDELAREA

Los estudios realizados porPiaget y colaboradores en los aos 60s, han significado unacontribucin importante a la comprensin del desarrollo en el nio de conceptosrelacionadosconelrea,puesellosdescubrieronquclasedenocionesdestacanentreniosde8a11aosdeedadcuandotratanconlasnocionesdeconservacinymedicindereas.Apartirdeestudioscomoesteenque se empleanmateriales concretos, seafirmaqueelconcepto de conservacin de rea es un aspecto preliminar y fundamental en elentendimientodelconceptodemedicinderea,esdecirentrminosllanos,sealanquelaconservacinantecedealamedicin.EstatesissellevadelanteenGreciaconestudiantesdesecundaria(14aosdeedad)porpartedeKordakiyPotari(2003)quienesutilizaronunmicromundo llamado C.AR.M.E. (Conservacin de rea y su Medida) para que losestudiantesconstruyerandeformadinmicasuspropiasaproximacionesalosconceptosdeconservacinymedidaderea.Losantecedentesdeestetrabajofueronlasinvestigacionesrealizadas por Piaget et al., (1970). Mediante el uso de este ambiente exploraron: lasestrategias de los estudiantes en relacin al concepto de conservacin de rea y sudesarrollo mientras interactuaban con el micromundo el pensamiento de los estudiantessobreelconceptodeconservacindereaentringulosequivalentesyparalelogramosdebasecomneigualaltura,yelpapeldelasherramientasofrecidasporelmicromundoenrelacin con las estrategias de los estudiantes. El estudio muestra que las herramientasproporcionadasporelambienteexperimentalestimularona losestudiantesaexpresarsuspropias aproximaciones al concepto de conservacin de rea. En la investigacin deDomnguez(1984)seestudiaronlasdificultadesenalumnosdesegundo,tercero,cuartoysexto de primaria ante tareas de comparacin, conservacin, seriacin y medicin desuperficies, equivalencia de unidades, particin de la unidad y duplicacin del cuadradovinculadas con: Particin del continuo eleccin de la unidad cuantificacin de lasunidades y equivalencias aproximacin, precisin y exactitud, y convencionalidadde lamedida. En actividades de medicin identifica que los alumnos conciben el rea comodeterminadaporlongitudesyqueenconsecuencia,leasignanunamedidaquecorresponde

a dichas longitudes en otros casos, y como determinada por las superficies que lacomponen o que la cubren, pero que no sabiendo cmo cuantificar stas, asignan unamedidaquecorrespondeaciertaslongitudes.Enalumnosdelosltimosgradosdeprimariaidentifica que tienden a reconocer como vlidos para establecer una medida de reasnicamentelosprocedimientosqueempleanfrmulasyquecalculanelreaatravsdemedidas de longitud. Incluso, llegan a la conclusin de que si una superficie no tienefrmula(onoseconoce),nosepuedemedir.

7. ACTIVIDADESRELATIVAS ALACONSERVACINDELREA

Los resultados de la investigacin permitirn en un futuro presentar una propuestaalternativaparael tratamientode la integraldefinidaenelcontextoescolar.Pretendemoshaceraportacionestantoalniveltericocomoaldelamejoraenelcampodelaeducacinque favorezcan unamejor enseanza del clculo integral.El estudio terico se situar alniveldel fenmenode reproducibilidadde las situacionesdidcticas,buscando responderpreguntascomo:Qutipodehechosesperamosreproducircuandolamismasituacinesaplicadapordiferentesprofesoresocuandounmismoprofesorlaescenificaenescenariosdistintos?Qufenmenosdidcticosemergencuandoserepiteunasituacindidcticaenescenariosdistintos?Lasaportacionesa laenseanzadelclculo integral sederivande lareproduccindelassituacionesdidcticasenformadepropuestasparasuuso,detalformaquecontribuyaen laconstruccinde la integraldefinidaperomediantenocionescomo laconservacin,lacomparacinylamedicindereas,todoconelfindelograrunequilibrioentreeltratamientoconceptualyalgortmicodelaintegral.

En este estudio estamos interesados en disear actividades vinculadas a la nocin deintegral a fin de estudiar el fenmeno de reproducibilidad. Estos diseos usarnsistemticamente aspectos de la conservacin del rea de figuras elementales comotringulos o polgonos de pocos lados cuando sean sometidos a ciertas transformacionescomorecortary recomponer,otrasladarentreotrasharemosevidentetambin,medianterecursos tecnolgicosespecficos,cmoesqueelmtododelcambiodevariablepara laintegracinesun recursoquemodifica la formade lagrficade la funcina integrar ascomoloslmitesdeintegracin,peroquetienelapropiedaddeconservarelvalordelreaobienveremoscmoconlaaplicacindelteoremadelvalormedioparaintegrales loquesebuscaestransformarunafiguraenotraconservandosurea.

Acontinuacinpresentamosundiseodeactividadesque,sibiennoestnconcluidasyportanto no son definitivas ni hemos hecho sobre ellas exploraciones sistemticas, intentanslomostrar aququeremos referirnos.En lasactividadesunoydos se sitana trabajarconpolgonosconvexosynoconvexos.En lasactividadestres,cuatroycinco,atrabajarconfuncioneslinealesynolinealesyenlaseis,conintegrales.Elpropsitoesidentificarsise percibeque el reapuede conservarse en representaciones analticas o grficas ya searealizandotransformacionesobienaldeterminarrelacionesentrefigurasgeomtricas.

Actividad1.Determinaqu relacin existeentre lasreasde los tringulosABC,ACD,ACE, ACF, ACG y ACH. Ellos son construidos entre dos paralelas. Argumenta turespuesta.

Actividad2

Construye tres polgonos diferentes. Realiza las transformaciones convenientes sobre lasfiguras construidas, de tal forma que el rea de las figuras resultantes sea igual a lasconstruidasinicialmente.Explicalosprocedimientosquerealizasteenlastransformaciones.

Actividad 3.Bosqueja la grfica deuna funcin no lineal cuya rea bajo la curva seaigualalreadelareginsombreadaparacadaunalassiguientesfiguras:

Actividad 4. Una funcin f est definida en el intervalo [0, 1], el rea bajo la curva endichointervaloes1/6.Graficacuatrofuncionesdiferentescuyodominioseaigualalde fyelreabajolacurvaendichointervaloseatambin1/6.

Actividad5

Determinatresfuncionesdiferentes,cuyareabajolasgrficascorrespondientesseaigualaladelareginsombreadaenlagrficadada,considerandoelmismodominiodedefinicin.

L1

L2

A C

B D E F HG

Actividad6.Interpretageomtricamentelosresultadosdecadaunalassiguientesintegrales

dmmcdnnbdxxa +4

1

2

1

23

0 21

).).121

).

8. CONSIDERACIONESFINALES

Una vez planteado el enfoque basado en prcticas que centran la atencin en laconservacindelrea,pretendemosqueantesdedefinir laintegral,elreaseaclaramentemanejadaporlosestudiantes.Esdecir,antesquemedirelrea,conloqueesosignifique,debemos desarrollar entre los estudiantes la necesidad de que, bajo ciertastransformaciones,estaseconserva.

Parallevaradelanteesteenfoquehabremosdedisearydesarrollarunaseriedesituacionesdeaprendizajequeprecisendelaconservacinplanteadasenelcontextodelaintegracinde funcioneselementales.Conestaetapade la investigacin nopretendemosestudiar lasdificultadesdelaprendizajeentrelosestudiantes,niexplorarlasbondadesolimitacionesdeun cierto diseo innovador, pretendemos estudiar el fenmeno de reproducibilidad desituaciones en el caso de la integral definida cuando se introduce al aula medianteexplicaciones relativas al rea bajo la curva. Se contribuir con el entendimiento de lanocindereproducibilidaddesituacionesdidcticasrelativasa laenseanzadelconceptode integral definida. Se abordarn dos clases de cuestiones: una relacionada con labsquedadeevidenciaempricasobreunfenmenodidcticoparticular,lareproducibilidaddelassituacionesdidcticasenclculointegral,yelotrorelativoalpapelquelanocindereadesempeaenlasexplicacionesdelprofesorcuandotrataensusclasesconelconcepto

de integral definida. Presentaremos una visin alternativa a partir del tratamiento de lanocindereaalniveldelasactividadesasociadas,yquesondetectadasenlasfiliacionesentre enseanza bsica y superior cuando tratan con la integral definida medianteactividadescomo:repartir,comparary reproducir,medir,cuantificar,yconservar.

Abordar esta problemtica desde la aproximacin socioepistemolgica permitir hacerconsideraciones de tipo cognitivo, didctico epistemolgico y social. La dimensionescognitiva, didctica y epistemolgica contribuyen a explicar el funcionamiento didctico.Sin embargo en si mismas no explican por completo fenmenos de orden social,fundamentalmente aquello que escapa al mbito de las relaciones internas en el contextoescolar. La perspectiva socioepistemologa considera en el anlisis del estudio de losfenmenos didcticos en la enseanza de lamatemtica la dimensin social, buscandoafectarelsistemaeducativoenelrediseodeldiscursomatemtico,alabordarlasprcticas,previoalaconstruccindeconceptos.

En la enseanza superior las actividades que se proponen a los estudiantes los sitan atrabajarnicamentesobreobjetosformales,porloquepretendemosrescatarprcticascomola comparacin, medicin y conservacin entre otras, que son usadas en la enseanzabsicasinregresaraeseniveleducativo.

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