C7_LubrifEHD

8/17/2019 C7_LubrifEHD

1/13

Elemente de Tribologie Cap. 6. Lubrificaţia EHD

6. LUBRIFICAŢIA ELASTOHIDRODINAMICĂ (EHD)

În capitolele precedente s-au analizat mecanismele de formare a filmelor fluide între suprafe ţele unei cuple cu

geometrie conformă la care presiunile maxime din film nu depăşesc în general 5÷10 MPa. Există însă o serie deaplicaţii (întâlnite în cazul rulmenţilor, angrenajelor, camelor etc.) în care aceste presiuni sunt mult mai mari (deordinul sutelor sau chiar miilor de MPa) - situaţie caracteristică în general, cuplelor cu configuraţie neconformă la care for ţa normală este preluată de o suprafaţă de contact foarte redusă. Crearea acestor presiuni ridicateconduce, pe de o parte, la deformarea locală semnificativă a pereţilor cuplei, iar pe de altă parte, la creştereaviscozităţii lubrifiantului (prin efectul piezoviscos amintit în cap. 2). În aceste cazuri fenomenul este cunoscutsub denumirea de lubrifica ţ ie elastohidrodinamică (prescurtat EHD sau EHL) şi conduce la creşterea grosimiifilmului şi a presiunii maxime în film în comparaţie cu cea ce ar rezulta din teoria lubrificaţiei hidrodinamicesimple.

Mecanismul este întâlnit şi la cuple cu configuraţie conformă la care cel puţin una dintre suprafeţe este realizată

dintr-un material cu modul de elasticitate foarte redus (elastomeri, polimeri) ceea ce conduce la deformaţiielastice mari chiar în condiţiile presiunilor scăzute.

În fine, se poate vorbi de un mecanism similar care are loc la nivelul contactelor dintre rugozităţi, cunoscut subdenumirea de micro-EHD pentru a fi deosebit de cel descris anterior şi numit uneori macro-EHD. În continuarevor fi tratate pe scurt mecanismele macro-EHD.

6.1 CAZUL CUPLELOR CU CONFIGURAŢIE NECONFORMĂ

U 1

U 2

F

r 2

r 1

h0

F

x y

r

U 2

U 1

Fig. 6.1. Echivalarea contactului a doi cilindrii cu axele paralele

După cum s-a precizat în cap. 1.3., în cadrul cuplelor cu configuraţie neconformă, se disting două tipuri decontacte:

(i) contacte nominale punctiforme care, prin deformare elastică, conduc la suprafeţe de contact (amprente)eliptice sau, în cazul particular sfer ă/plan, circulare. Ele pot fi echivalate cu contactul unui elipsoid peun plan, amprenta având forma unei elipse.

2010-2011 MD Pascovici & T. Cicone 6-1


2/13


(ii) contacte nominale liniare care, prin deformare elastică, conduc în general la amprente dreptunghiulare.Marea majoritate a acestor contacte pot fi echivalate cu suficientă precizie prin contactul cilindru/plan lacare raza echivalentă a cilindrului se calculează cu relaţia (v. Fig. 6.1 ec. (2.14) şi Anexa A5):

1 1 1

2 11r r r

r r = ± > 2 (6.1)

unde semnul “+” este folosit pentru contact exterior, iar semnul “-” pentru contact interior. Vitezeleliniare ale celor două suprafeţe se păstrează.

6.1.1 DESCRIEREA MECANISMULUI

Mecanismul lubrificaţiei EHD este similar pentru ambele categorii de contacte. Pentru exemplificare seconsider ă contactul liniar a doi cilindri de lăţime b, cu axele paralele, în prezenţa unui lubrifiant lichid, careformează o cuplă cu configuraţie neconformă. Dacă asupra cuplei se aplică sarcina exterioar ă, F , suprafaţa decontact - iniţial nulă, în valoare nominală - creşte, ajungând la valori semnificative în raport cu grosimeafilmului care, uzual, nu depăşeşte 1μ m. Mişcarea suprafeţelor conduce la antrenarea fluidului în interstiţiulconvergent la fel ca în cazul lubrificaţiei hidrodinamice. La trecerea fluidului prin interstiţiu, presiunea creşteconsiderabil după care fluidul iese în zona divergentă în care presiunea scade brusc la zero. Marea majoritate afluidelor - printre excepţii este de remarcat cazul apei - cunosc o creştere a viscozităţii cu presiunea, astfel încâtla contactele cu presiuni foarte mari, viscozitatea poate creşte de câteva sute de ori, comportarea fluiduluiapropiindu-se de cea a unui solid. Ca rezultat direct este creşterea capacităţii portante faţă de cazulcontactului în condiţii izoviscoase.

6.1.2 MODELUL MATEMATIC

Analiza portanţei EHD, în varianta cea mai simplă (în care se neglijează efectele termice), se poate facerezolvând sistemul compus din:

• ecuaţia Reynolds;

• legea deformării elastice a suprafeţelor cuplei;

• legea de variaţie a viscozităţii cu presiunea.

În continuare va fi prezentat pentru exemplificare, modelul matematic al contactului liniar. Admiţând cazul a doicilindri de lungime B mult mai mare decât razele lor ( B>>r 1,2), care se rostogolesc f ăr ă alunecare unul pestecelălalt (Fig. 6.1), putem considera problema plană (curgere unidirecţională) astfel că ecuaţia Reynolds areforma (v. Tab. 4.2. ec. E ):

( ) x

hU U

x

ph

x dd6

dd

dd

21

3+=⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ η

(6.2)

unde viscozitatea poate fi exprimată în funcţie de presiunea locală de exemplu, cu relaţia lui Barrus -ec. (3.13):

p0η α

η e=

unde η 0 este viscozitatea la presiune atmosferică şi temperatura medie din film;α este coeficientul de variaţie a viscozităţii cu presiunea (coeficientul piezoviscos).

Expresia grosimii filmului, admiţând aproximarea parabolică (v. Anexa A4) este:

el 0 hr

x

hh ++= 2

2

(6.3)

unde h0 este grosimea filmului pe linia centrelor (grosimea minimă), corespunzătoare pereţilor rigizi;



3/13


r x 22 este componenta datorată curburii suprafeţei cilindrului echivalent;

hel este componenta grosimii filmului rezultată din deformarea elastică a pereţilor cuplei.

Aceasta din urmă poate fi uşor estimată considerând modelul clasic din teoria elasticităţii al semi-spaţiuluielastic, încărcat cu o for ţă uniform distribuită pe linia de contact. Relaţia de calcul este:

.d)ln()(2)( 2 const s s x s p E

xh

e

i

s

s

el +−−= ∫π (6.4)

Având în vedere că în cazul general materialele celor două cuple pot fi diferite, modulul de elasticitate careintervine în ecuaţia (6.3) reprezintă o valoare echivalentă, calculată cu ecuaţia (v. şi ec. (2.15)):

2

22

1

21 112

E E E

ν ν −+

−= (6.5)

unde ν 1,2 şi E 1,2 reprezintă respectiv, coeficientul lui Poisson şi modulul de elasticitate corespunzătormaterialului fiecărui cilindru.

Observaţie

Modulul de elasticitate echivalent, E, definit cu ec. (6.5) este numit şi modul de elasticitate

redus.

O problemă aparte o constituie stabilirea limitelor de integrare, si respectiv se, necunoscute la începutulintegr ării, ele depinzând de forma finală, deformată, a suprafeţelor. Pentru o primă aproximare aceste limite potfi considerate corespunzătoare amprentei calculată cu modelul lui Hertz (pentru cazul contactului nelubrifiat),astfel că limitele de integrare devin: si=-a şi se=a (v. Fig. 6.2 şi cap.2).

6.1.3 REZULTATE

Datorită complexităţii modelului, soluţia exactă nu se poate obţine decât pe cale numerică. De remarcat totuşi că au fost propuse şi rezolvări aproximative, analitice, înainte de a exista posibilitatea utilizării calculatoarelor,

prima şi cea mai cunoscută, fiind soluţia propusă în paralel, de Ertel şi Grubin (1947) bazată pe ipoteza că geometria contactului în zona de intrare este aceea şi indiferent dacă acesta este lubrifiat sau uscat . Ca atare,distribuţia presiunii în film trebuie să fie similar ă cu cea obţinută cu modelul lui Hertz pentru contactul uscat,respectiv să aibă o puternică creştere în zona de intrare şi o scădere bruscă la zero în zona de ieşire.Corespunzător, grosimea filmului este practic constantă iar extinderea acestuia este identică cu lăţimeaamprentei din modelul Hertz. Pe baza acestor observaţii intuitive, Ertel şi Grubin au obţinut ecuaţia grosimiiminime a filmului (care este aceeaşi cu grosimea în zona centrală):

111

118

208.2 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

F

ErB

r

U η

r

h 0min α (6.6)

unde2

21 U U U +

= este viteza echivalent ă (viteza de antrenare).

Rezultatul cel mai spectaculos obţinut cu acest model este acela că grosimea minimă a filmului pentru ocuplă metalică lubrifiată cu ulei este de circa 100 de ori mai mare decât cea calculată cu modelul HD

clasic, care presupune pereţii rigizi şi fluidul izoviscos.

Mai târziu, odată cu apariţia calculatoarelor, a fost posibilă modelarea numerică a proceselor EHD. Rezultateleobţinute întâi de Dowson şi Higginson apoi şi de alţi cercetători au confirmat în mare parte soluţia empirică formulată de Ertel şi Grubin.



4/13


În Fig. 6.2. este schematizat rezultatul unei asemenea modelări numerice, sub forma distribuţiei de presiuni şi agrosimii filmului pentru cazul unui cilindru care se rostogoleşte cu viteză de rotaţie relativ mică pe un plan. Înceea ce priveşte forma deformată a interstiţiului, se remarcă o zonă convergentă, de intrare, urmată de o zonă cugrosime a filmului practic constantă, care se termină printr-un prag ce poate reduce grosimea filmului cu până la25%. S-a reprezentat de asemenea distribuţia presiunii, care este foarte apropiată de cea obţinută din teoriahertziană a contactului uscat. Se remarcă totuşi un vârf al presiunii în zona pragului, vârf ce este tot mai mare pe

măsura creşterii vitezei dar care nu influenţează sensibil integrala presiunii, deci nici portanţa. De asemenea pemăsur ă ce viteza creşte, distribuţia presiunii se îndepărtează de cea hertziană (Fig. 6.3).

U

Presiunea

Distribuţia presiunii cf.modelului Hertzian(Contact uscat)

hminh

*

r

2a

Fig. 6.2. Distribuţia presiunii şi variaţia

grosimii filmului pentru regimul EHD

1

2

3

4

5 p

Creştereavitezei

Fig. 6.3. Efectul vitezei asupra

distribuţiei presiunii în contactul EHD

În analiza lubrificaţiei EHD, determinarea grosimii filmului ocupă locul central. Din considerente practice,rezultatele obţinute pe cale numerică sunt aproximate prin formule semi-empirice ai căror coeficienţi suntdeterminaţi prin metoda celor mai mici pătrate. Astfel, rezultatele obţinute de Dowson şi Higginson [7] au fost

puse sub forma:

13.07.054.065.2 −= F U G H min (6.7)

unde

• grosimea minimă a filmului, adimensională r

h H minmin =

• for ţa adimensională ErB F F =

• viteza adimensională Er

U U o

η =

• parametrul materialului E G α =

Din analiza ecuaţiei grosimii filmului -ec. (6.7)- se desprind cele două caracteristici importante ale lubrificaţieiEHD, respectiv:

Grosimea filmului este foarte slab dependentă de forţa normală. Din ec. (6.7) se observă direct că grosimeafilmului este invers propor ţională cu for ţa normală la puterea 0.13 ( H

min~F

-0.13) în contrast cu situaţia din cuplelecu funcţionare în regim HD la care exponentul este –0.5 ( H min ~F

-0.5).



5/13


Grosimea filmului este practic insensibilă la modificarea modulului de elasticitate redus. După o rearanjarea membrului drept se obţine că grosimea minimă a filmului, adimensională este propor ţională cu modulul redusla puterea 0.06 ( H~E 0.06 ). această observaţie a fost pusă în evidenţă experimental în toate experimentele. Trebuieînsă subliniat că modulul de elasticitate redus influenţează sensibil mărimea zonei de contact.

În acelaşi timp, prin rearanjarea termenilor cifrelor adimensionale, se poate remarca puternica dependenţă a

grosimii filmului de viteza relativă U , şi coeficientul piezo-viscos, . Multe alte modelări numerice au fost realizate până în prezent, prin care s-au inclus o serie de rafinamentenumerice, s-au propus alte variante de modelare a comportării fluidului la creşterea presiunii, ori s-au analizatalternative ale modelării comportării elastice ale pereţilor cuplei. Trebuie subliniat că toate aceste rezultate nu auun caracter general, fiind greu de a defini o formulă generală pentru grosimea minimă a filmului. În consecinţă,a fost necesar ă divizarea analizei contactelor neconforme în patru regimuri de lubrificaţie, după cum urmează:

1) Rigid-izoviscos, în care presiunile nu sunt atât de mari încât să producă modificări importante aleviscozităţii sau deformaţii elastice sensibile ale suprafeţelor;

2) Rigid-piezoviscos în care deformaţiile elastice sunt neglijabile dar se ia în considerare modificareaviscozităţii datorită creşterii presiunii;

3) Elastic-izoviscos în care se neglijează modificarea viscozităţii cu presiunea dar deformaţiile elastice alesuprafeţelor sunt considerabile, neputând fi neglijate;

4) EHD complet (elastic piezoviscos) care include atât deformaţiile elastice ale suprafeţelor cât şi efectele piezoviscoase.

Pentru fiecare tip de contact, în literatur ă sunt publicate formule şi diagrame care permit stabilirea regimului delubrificaţie şi calculul grosimii minime a filmului. Pentru a evidenţia mai clar cele patru regimuri, este maicomodă exprimare rezultatelor numerice pe baza a trei parametri noi adimensionali:

• parametrul filmului min H H

U

F g =

• parametrul viscozit ăţ ii U

G F g V

2/3

=

• parametrul elasticit ăţ i U

F g E =

Pe baza valorilor acestor parametrii ecuaţia (6.7) se poate pune în forma mai generală din care se poatedetermina regimul de lubrificaţie precum şi valoarea grosimii filmului:

(6.8)n

E mV H g g Z g ⋅⋅=

unde Z , m şi n sunt diferiţi pentru fiecare regim şi tip de contact. În Tab. 6.1 sunt prezentate valorile acestorconstante pentru cazul amprentei dreptunghiulare. Aceleaşi rezultate se găsesc şi sub formă de diagrame de tipulcelei din Fig. 6.4. (valabilă doar pentru cazul amprentei dreptunghiulare).

Tab. 6.1. Valorile coeficienţilor din ec. (6.8) pentru contactele liniare [21,29]

Regimul Z m n

(1) rigid

(2) rigid-piezoviscos

(3)elastic-izoviscos

(4) EHD complet

4.9

1.05

3.1

2.65

0

0.667

0

0.54

0

0

0.8

0.06



6/13


10000

1000

100

10

1

parametrul elasticităţii g E 0.1

0.1 1 10 100 1000

EHDcomplet

Rigidpiezoviscos

Rigid

izoviscos

g H =500

g H =300

g H =200

g H =100 g H =70

g H =50 g H =30

g H =20

g H =10

g H =7

g H =5

g H =4.9

p a r a m e t r u l v i s c o z i t ă ţ i i g v

Elastic

izoviscos

Fig. 6.4. Regimurile lubrificaţiei EHD pentru cazul amprentei dreptunghiulare [29]

1.0E+02

1.0E+03

1.0E+04

1.0E+05

1.0E+06

1.0E+07

1.0E+01 1.0E+02 1.0E+03 1.0E+04 1.0E+05 1.0E+06

parametrul elasticităţii g E

p a r a m e t r u l v i s c o z i t ă ţ i i g v

Parametrul filmului

g H =10000

g H =6000 g H =4000

g H =2500

g H =1000

g H =1500

g H =700 g H =500

g H =300

g H =200

Izoviscos

Rigid

Viscos

lastic

Izoviscos

lastic

Viscos

Rigid

Fig. 6.5. Regimurile lubrificaţiei EHD pentru cazul amprentei circulare [21]

6.1.4 CAZUL CONTACTELOR PUNCTIFORME

Analiza lubrificaţiei EHD a contactelor punctiforme se face într-o manier ă similar ă celei prezentate anterior, cu

observaţia că pentru cazul general al contactelor eliptice, este necesar ă introducerea unui parametru suplimentar,coeficientul elipticit ăţ ii, k definit în Cap. 2.3.3 ca raport supraunitar al axelor elipsei de contact -ec. (2.19):



7/13


x

y

r

r k =

Hamrock şi Dowson au obţinut prin modelare numerică următoarea expresie a grosimii minime a filmuluicorespunzătoare regimului EHD complet [11]

)k

min e F U G H 68.0073.068.049.0 163.3 −− −= (6.9)

Şi în cazul contactelor eliptice, calculul grosimii filmului trebuie f ăcută în funcţie de regimul de funcţionare,motiv pentru care utilizarea parametrului viscozităţii g V şi al elasticităţii, g E este mai comodă. În Fig. 6.5 este

prezentată ca exemplu “harta” regimurilor de lubrificaţie EHD pentru cazul particular al contactului circular(k =1) [11,21]. Diagrame similare pot fi construite pentru alte valori ale coeficientului elipticităţii.

6.2 CAZUL CUPLELOR CU CONFIGURAŢIE CONFORMĂ. LAGĂR AXIAL HIDROSTATICCOMPLIANT, CU UN BUZUNAR CENTRAL

Aşa cum s-a ar ătat la începutul capitolului, deformaţiile relativ mari în raport cu grosimea filmului pot apare şi

în cazul cuplelor cu configuraţie conformă, dacă cel puţin una dintre componente este realizată dintr-un materialuşor deformabil (compliant). Situaţia este întâlnită, de exemplu, în cazul lagărelor cu cuzinet din material plastic(precum poliamida) sau din cauciuc.

Experimente realizate pe lagăre axiale hidrostatice au demonstrat reducerea debitului şi creşterea portanţei încazul echipării cu un cuzinet din material compliant. În acelaşi timp aceste lagăre s-au dovedit mai uşoradaptabile la funcţionarea dezaxată sau în cazul unor erori de execuţie. Nu în ultimul rând, micro-conformabilitatea superioar ă permite funcţionarea în prezenţa particulelor contaminante dure în lubrifiant.

Exemplele practice cele mai convingătoare sunt lagărele din cauciuc ale arborelui principal de antrenare a eliceinavelor, sau cele de la turbinele hidraulice din centralele hidroelectrice.

În cele ce urmează, pentru exemplificarea modului de abordare a unei astfel de probleme, se va trata cazul unuilagăr axial hidrostatic, cu un buzunar circular central (Fig. 6.6), adică acelaşi care a fost analizat în detaliu înCap. 5 (Lubrificaţia hidrostatică).

Analiza teoretică simplificată se bazează pe modelarea deformaţiei suprafeţei pragului cu “modelul Winkler”.Acest model simplu, cunoscut şi sub denumirea de model “coloană”, presupune deformaţia într-o anumită secţiune propor ţională cu presiunea locală şi independentă de influenţa presiunilor din secţiunile învecinate,ceea ce revine la a asimila comportarea suprafeţei cu cea a unei mulţimi de arcuri independente, montate în

paralel. Astfel, grosimea filmului poate fi exprimată cu ecuaţia:

kphhhh 0el 0 +=+= (6.10)

unde h0, grosimea filmului în zona de presiune zero (la raza exterioar ă în cazul nostru);

hel , deformaţia elastică corespunzătoare presiunii p;

( 21 ν −= E

t k ) este parametrul elasticităţii;t , grosimea stratului compliant;ν coeficientul de contracţie transversală (Poisson) al materialului deformabil;

E modulul de elasticitate al materialului deformabil.

Pentru configuraţia cu simetrie axială, ecuaţia Reynolds se scrie sub forma:

0d

d

d

d 3 =r

prh

r ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ (6.11)



8/13


Q, pin=pb

F

h0Q

hel

pbStrat

deformabil

(compliant)

r e

r b r

Distribuţia presiunii

t

Fig. 6.6. Lagăr axial hidrostatic compliant

Portanţa

Integrând în raport cu r şi considerând ec. (6.10) obţinem:

( ) C p

kphr =+r

10 d

d3

( )

sau, după separarea variabilelor:

r 10 r C pkph dd3 =+ (6.12)

După o nouă integrare rezultă:

( ) C r C kph +=+ ln1 4

bb r r p p

210k 4

Expresiile constantelor de integrare se obţin din impunerea condiţiilor la limită:

er r p ==

== la

la0 (6.13)

astfel că în final distribuţia presiunii rezultă:

( )[ ]4/1

444 )ln1 ⎫⎧ /r (r h

ln ⎭⎬

⎩⎨ +−++−= 0

be

e0b0

0 h ) /r (r

hkphk k

p (6.14)

Într-o formă adimensională, distribuţia presiunii devine:

( )[ ] ( )( )

11ln

110

−⎭⎬

⎩⎨ +−+==

R K

h p E

ln4/1

4 ⎫⎧ r pk (6.15)

unde:

0bb E hk p p K == este presiunea din buzunar adimensională;

este coordonata radială adimensională er r r /=



9/13


raportul razelor.eb r r R /=

De remarcat că modul de definire a presiunii adimensionale din buzunar permite în acelaşi timp considerareaacestui grup adimensional ca fiind un parametru elastic.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

R = r b /r e =0.5 K E =10

K E =1

K E =0.1

K E 0 cazul rigid

er r r /=

b p

p

Fig. 6.7. Distribuţia presiunii pentru lagărul axial hidrostatic, compliant

Distribuţia presiunii adimensionale pe prag, într-o formă normalizată (raportată la valoarea similar ă din buzunar) este prezentată în Fig. 6.7, pentru raportul razelor, R= 0.5, şi diferite valori ale parametrului elastic, K E ,. Cum for ţa portantă reprezintă aria de sub curba presiunii mărginită de axa x, este evidentă creşterea portanţei odată cu creşterea complianţei, definită prin mărimea k (pentru acelaşi h0 şi pb). Această remarcă devine şi mai evidentă dacă se urmăreşte Fig. 6.8, în care este reprezentată variaţia for ţei portante adimensionale

cu parametrul elasticităţii, pentru câteva valori uzuale ale raportului razelor, R.

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 2 4 6 8 1

R=0.7

R=0.5 R=0.6

R=0.8

0

0bb E hk p p K ==

be pr

F F

2π

=

Fig. 6.8. Portanţa lagărului axial hidrostatic, compliant

For ţa portantă este calculată cu relaţia:

(6.16)r rp pr F

r

r

bb

e

b

d22 π π ∫+=



10/13


care, în forma adimensională clasică pentru lagăre hidrostatice cu un singur buzunar, devine:

r r p R pr

F F

Rbe

d21

22 ∫+==

π

(6.17)

Datorită complexităţii expresiei presiunii adimensionale, p -ec. (6.15)-, integrala de mai sus nu poate fi

rezolvată decât numeric.

Un rezultat interesant se obţine din comparaţia între portanţa lagărului compliant - calculată cu ec. (6.17)- şi ceaa lagărului echivalent rigid - ec. (5.27’) - prezentată în graficul din Fig. 6.9. Se poate remarca efectul sensibilfavorabil de creştere a portanţei la lagărul compliant. Efectul este cu atât mai pronunţat cu cât diametrul

buzunarului este mai redus în raport cu cel al lagărului.

Un parametru funcţional la fel de important este presiunea de ridicare (liftare) , pr . Dacă se admite că, până înmomentul premergător liftării, stratul deformarea stratului compliant are aceeaşi formă ca şi în timpulfuncţionării1 (Fig. 6.6) iar contactul dintre cele două cuple ale lagărului are loc doar la raza exterioar ă, presiuneade liftare aceasta se poate calcula ca limită a presiunii de pe prag - ec. (6.14)- când grosimea filmului tinde sprezero:

4/1*

4/1*

0 lnln

ln)lnlim ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==→ R

r p

) /r (r

/r (r p p p b

be

eb

hr

0

(6.18)

unde este presiunea din buzunar înainte de liftare (presiunea maximă necesar ă ridicării).*b p

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

0 2 4 6 8 1

R r /R=0.5

0

rigid

compliant

F

F

R r /R=0.6

R r /R=0.7

R r /R=0.8

0

r r

h

k p p =

Fig. 6.9. Portanţa normalizată, compliant/rigid

De remarcat faptul că la ridicare contribuie şi distribuţia presiunii pe prag, spre deosebire de lagărul rigid în careridicarea are loc doar datorită presiunii din buzunar. Prin urmare, şi în cazul liftării, valorile presiunii sunt maireduse în comparaţie cu lagărul rigid încărcat cu aceeaşi for ţă. Interesant este că distribuţia presiunii înmomentul liftării unui lagăr compliant este identică cu distribuţia presiunii în funcţionare normală a unui lagăridentic, dar rigid. În consecinţă, din ec. (5.1) şi ec. (5.8) putem deduce următoarea legătur ă între presiuneanecesar ă ridicării în cele două variante, lagăr compliant, respectiv lagăr rigid:

( )

( ) 211ln2

R

R

p

p

rigid r

compliant r

−= (6.19)

1 Această ipoteză chiar dacă e realistă, intr ă în contradicţie cu ipoteza modelului Winkler prin care nu se poate ajunge ladeformarea stratului compliant în zona pragului, înainte de iniţierea curgerii pe prag (înainte de liftare).



11/13


Debitul

Curgerea în direcţie radială, din care rezultă debitul de scă pări, este o curgere Poiseuille. Astfel,debitul se calculează, de exemplu la raza buzunarului, r b, cu relaţia:

b

b

r r r

phr Q

=

−=d

d

6η

π 3

După trecerea la mărimi adimensionale şi derivarea presiunii, ecuaţia de mai sus devine:

( ) ( )

( )33 1

11

ln24d

d

6 E E

E

b

compliant K K

K

R Rr r

pr

ph

QQ

+

−+−=

=−==

π π η 4

(6.20)

unde derivata presiunii în raport cu raza adimensională, r , rezultă din ec. (6.15):

( )

( )[ ]4/3

4 1

ln

ln11

11

ln4

1

d

d

⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧

+−+

−+−=

R

r K

K

Rr r

p

E

E 4

(6.21)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10

0bb E hk p p K ==

rigid

compliant

Q

Q

Fig. 6.11. Debitul normalizat, compliant/rigid

Un rezultat remarcabil se obţine dacă se calculează debitul relativ, definit ca raport dintre mărimilecorespunzătoare lagărului compliant - ec. (6.20)-, respectiv, lagărului rigid - ec. (5.9), pentru aceeaşi

presiune în buzunar:

( )

( )( )

( )314

11

E E

E

rigid

compliant

K K

K

Q

Q

+

−+=

4

(6.22)

Rezultă că debitul relativ este independent de dimensiunile lagărului, fiind doar funcţie de parametrulelastic, K E . Dacă se urmăreşte reprezentarea grafică din Fig. 6.11 se remarcă scăderea accentuată adebitului odată cu creşterea complianţei pentru valori ale parametrului elastic mai mici ca doi ( K E < 2),urmată de o stabilizare relativă .



12/13


Frecarea

Cum la lagărul compliant grosimea filmului creşte prin efectul deformării locale în raport cu lagărulsimilar rigid, este evident că ne aşteptăm la o scădere a puterii consumate prin frecare. Ţinând cont că grosimea filmului este variabilă cu raza, dacă mişcarea relativă este de rotaţie, relaţia de calcul este:

∫=br

f r r h

r P d)(

2 2πηω er

3 (6.23)

unde grosimea filmului este dată de ec. (6.10) în care se introduce expresia presiunii pe prag -ec(6.14). Dacă se trece la mărimi adimensionale, din ec. (6.23) obţinem:

( )( )[ ]

∫⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +−+

==4/1

4

3

42

1ln

ln11

d2

R E e

0 f

compliant f

R

r K

r r

r

h P P π

ω η

1

(6.24)

Integrala de mai sus nu are primitivă astfel că pentru ilustrarea variaţiei puterii consumate prin frecareeste necesar ă integrarea numerică. Rezultatele sunt prezentate sintetic în Fig. 6.12.

De asemenea, în Fig. 6.13 este reprezentată puterea relativă, rezultată din ec. (6.24) şi ec. (5.17) înforma integrală:

( )

( ) ( )

( )[ ]∫⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +−+

−=4/1

4

34

1ln

ln11

d14

R E rigid f

compliant f

R

r K

r r R

P

P 1

(6.25)

Din ambele grafice se remarcă scăderea pierderilor prin frecare viscoasă odată cu creştereacomplianţei. Efectul este sensibil în special în domeniul K E = 0.1...10, valori uzuale pentru lagăre cuîncărcare medie (presiuni de ordinul zecilor de bari) având un strat compliant din poliamida saucauciuc, cu grosimi de câţiva milimetri. Acest efect favorabil se explică şi prin creşterea grosimiifilmului în zonele centrale (adiacente buzunarului) în raport cu lagărul similar, rigid.

0

0.4

0.8

1.2

0.01 0.1 1 10

R=0.8

R=0.7

R=0.6 R=0.5

1.6

0bb E hk p p K ==

42e

0 f

f r

h P

P ω η =

Fig. 6.12. Puterea consumată prin frecare pentru lagărul axial hidrostatic, compliant



13/13



0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.01 0.1 1 10

R=0.8

R=0.5

0bb E hk p p K ==

rigid f

compliant f

P

P

Fig. 6.13. Puterea consumată prin frecare normalizată, compliant/rigid

Documents

C7_LubrifEHD