Upload
andres-jimenez
View
224
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/19/2019 C6 - Modelado de Sistemas II
1/18
FUNDAMENTOS DE
CONTROLCódigo: 3007753
Créditos: 3
Período: 01 / 2016
Profesor: Héctor Flórez Celis
8/19/2019 C6 - Modelado de Sistemas II
2/18
OBJETIVO DE LA CLASE DE HOY
• Recordar los conceptos básicos relacionados con la segunda ley deNewton.
• Comprender la relación existente entre los conceptos básicos decircuitos eléctricos, sistemas de nivel de líquido y sistemas
mecánicos.
• Comprender los conceptos de punto de equilibrio y región deoperación.
• Adquirir las destrezas necesarias para obtener modelos lineales desistemas dinámicos no lineales.
8/19/2019 C6 - Modelado de Sistemas II
3/18
AGENDA
• Clase 06:
• Conceptos básicos y representación de sistemas mecánicos.
• Modelado de sistemas mecánicos.
• Ejemplos.
• Linealización de sistemas dinámicos.• Ejemplo.
8/19/2019 C6 - Modelado de Sistemas II
4/18
SISTEMAS MECÁNICOS:SEGUNDA LEY DE NEWTONElementos presentes en los sistemas mecánicos.Modelos relacionados con el movimiento.
Ejemplo.
8/19/2019 C6 - Modelado de Sistemas II
5/18
MODELOS DE SISTEMAS MECÁNICOS
• Puede ser descrito en varias dimensiones.
• Puede ser de traslación, rotación o sus combinaciones.
• Son gobernados por la segunda Ley de Newton.
•
La sumatoria de fuerzas que son aplicadas a un cuerpo sobre un eje, soniguales a la masa del cuerpo por su aceleración.
• Σ = ×
8/19/2019 C6 - Modelado de Sistemas II
6/18
DEFINICIONES DE LOS COMPONENTES[traslación]
• Masa
• Almacenamiento de energía cinética debido al movimiento de traslación.
• = × •
Resorte lineal• Almacenamiento de energía potencial. Se aproxima por la relación lineal:
• = ×
•
Parachoques o amortiguador• Relación lineal entre la fuerza aplicada y la velocidad. Se aproxima por la
relación lineal:
• = ×
m
k
)(t f
)(t f
8/19/2019 C6 - Modelado de Sistemas II
7/18
DEFINICIÓN DE LOS COMPONENTES[rotación]
• Inercia
• Almacenamiento de energía cinética del movimiento de rotación.
• Se describe por la ecuación:
•
Τ = ×
= ×
• Resorte torsional• Almacenamiento de energía mecánica cuando un elemento es girado.
• Devuelve esa energía en forma de giro cuando es soltado.
• Se representa por la ecuación:
•
Τ = × • Amortiguador• Responde al concepto de fricción viscosa en el movimiento traslacional.
• Τ = ×
J
)(t
k
8/19/2019 C6 - Modelado de Sistemas II
8/18
EJEMPLO [traslación]
• − × − × = ×
• = × × ×
m
k
)(t f
8/19/2019 C6 - Modelado de Sistemas II
9/18
EJEMPLO [rotación]
• Τ1 − 1 × 1 − × 1 − 2 = 1 ×
1 • Τ2 − 2 × 2 − × 2 − 1 = 2 ×
2
k 1 k 2
J 1 J 2
1
2 1 2 1 21
T
8/19/2019 C6 - Modelado de Sistemas II
10/18
LINEALIZACIÓN DE SISTEMASDefinición
Importancia
Desventajas
Interpretación gráfica
Procedimiento matemático
8/19/2019 C6 - Modelado de Sistemas II
11/18
LINEALIZACIÓN DE SISTEMAS NO LINEALES
8/19/2019 C6 - Modelado de Sistemas II
12/18
LINEALIZACIÓN DE SISTEMAS NO LINEALES
• Las teorías matemáticas que representan los fenómenos ingenierilestrabajan linealizadas.
• Muchos procesos trabajan cerca a un punto de operación.
• Las herramientas de análisis y simulación trabajan con las versioneslinealizadas.
• El manejo de herramientas que trabajan con sistemas no lineales escomplejo.
8/19/2019 C6 - Modelado de Sistemas II
13/18
LINEALIZACIÓN DE SISTEMAS NO LINEALES
• Se pierde exactitud en el modelo.
• Se pierde información que puede ser útil.
• El modelo sólo sirve en la zona de linealización.
8/19/2019 C6 - Modelado de Sistemas II
14/18
INTERPRETACIÓN GRÁFICA
x
e
e x
x
8/19/2019 C6 - Modelado de Sistemas II
15/18
EXPANSIÓN ENSERIES DE TAYLOR
• Sea , un punto de operación alrededor del cuál se quierelinealizar.
• = =
× − 12! ×
× − 2
• Δ ≈ × Δ• Si = 1, 2•
Δ ≈
1, 2 × Δ1
1, 2 × Δ2
8/19/2019 C6 - Modelado de Sistemas II
16/18
LINEALIZACIÓN DE UNA ECUACIÓNDIFERENCIAL NO LINEAL
• = ,
• = Δ
•
Δ = , , × Δ , × Δ • , = 0 ⇒ = 0•
Δ = 1 × Δ 2 × Δ
8/19/2019 C6 - Modelado de Sistemas II
17/18
EJEMPLO: SISTEMA DE NIVEL DE LÍQUIDOCON FLUJO TURBULENTO.
• = × ℎ ; ∈ ℝ+ − 0• × ℎ = − •
× ℎ = − × ℎ
R
)( t qQ i
)(t qQ o
T A
)(t h H
8/19/2019 C6 - Modelado de Sistemas II
18/18
EJEMPLO: SISTEMA DE NIVEL DE LÍQUIDOCON FLUJO TURBULENTO.
• Sea , , un punto de equilibrio del sistema:•
ℎ = 1 − (,
ℎ ,
• ℎ = 1 × − 1 × ℎ • ¿Cuál es valor de en
términos de , y ?
R
)( t qQ i
)(t qQ o
T A
)(t h H