CC44. Indicatorii . Indicatorii variavariaţieiţiei

CC44. Indicatorii . Indicatorii variavariaţieiţiei

I. Indicatori simpli

1. Amplitudinea variaţiei este diferenţa dintre valorile extreme (xmax şi xmin).

• Amplitudinea absolută:

• se exprimă în unitatea de măsură a variablei X.• pentru date grupate se calculează ca diferenţă între

limita superioară a ultimei grupe şi limita inferioară a primei grupe.

minmax xxA

• Advantaje: uşor de calculat şi interpretat.• Dezavantaje: depinde doar de valorile extreme;

instabilă.• Amplitudinea relativă :

- media aritmetică.• permite comparaţii între variabile diferite.

100% xA

A

x

2. Abaterile individuale de la medie măsoară distanţa fiecărei unităţi statistice faţă de media colectivităţii.

• Abaterile individuale absolute (di)

• Abaterile individuale relative (di%)

xxd ii

100(%) x

dd i

i

II.Indicatori sintetici ai variaţiei• cuantifică împrăştierea valorilor variabilei sintetizând

într-un număr toate abaterile individuale absolute. • măsoară variatia faţă de o valoare reprezentativă

(media).

1.Abaterea medie liniară este media aritmetică a tuturor abaterilor individuale absolute di (indiferent de semn):

- date negrupate:

n

xxd

n

ii

1

• date grupate, frecvenţe absolute

• date grupate, frecvenţe relative

k

ii

k

iii

n

nxxd

1

1

*

1i

k

ii nxxd

2. Dispersia este media abaterilor individuale ridicate la pătrat:

• date negrupate :

• date grupate, frecvenţe absolute :

• date grupate,frecvenţe relative :

n

xxn

ii

1

2_

2

)(

k

ii

k

iii

n

nxx

1

1

2_

2

)(

k

iii nxx

1

*22

Formule de calcul simplificat (I)Pentru distribuţii de frecvenţe pe intervale egale

de variaţie:

2_

2

1

1

2

2 )( axhn

nh

ax

k

ii

k

ii

i

Formule de calcul simplificat (II)• date negrupate

• date grupate

(pe variante sau

intervale de variatie)

21

2

2 xn

xn

ii

2

1

1

2

2 xn

nx

k

ii

k

iii

3. Abaterea medie pătratică:

• date negrupate :

• date grupate, frecvenţe absolute :

• date grupate, frecvenţe relative :

• Se exprimă în unitatea de măsură a variabilei X.

n

xxn

ii

1

2_

)(

k

ii

k

iii

n

nxx

1

1

2_

)(

k

iii nxx

1

*2

4. Coeficientul de variaţie :

sau

• măsoară variaţia relativă => permite compararea variaţiei unor variabile diferite.

• valori între 0 şi 100%.– v < 35-40%: populaţia este omogenă şi media este

reprezentativă. – v > 40%: populaţia este eterogenă şi media este

nereprezentativă.

100_

xv

100_

x

dv

Varianta Valoare (xi) Frecv. absolute

(ni)

Frecv. relative (ni

*)

afirmativă 1 m w

negativă 0 n-m 1-w

Total - n 1

Dispersia variabilei alternative:

wwwwww

nwxi

iiw

1101 22

2

1

22 *

Măsurarea variaţiei pentru grupări bidimensionale

Atunci când o colectivitate este grupată simultan după două variabile (x şi y) se obţin două distribuţii marginale independente:

1.valorile variabilei independente xi cu frecvenţele ni

2. valorile variabilei independente yj cu frecvenţele nj

şi o distributie combinată în funcţie de ambele variabile (valorile xi şi yj cu frecvenţele comune nij).

Grupe după x

Subgrupe după y Total pt. x

(ni. )

Medii pt. grupele lui x

Dispersii pt. grupele lui x

y1 ... yj ... ym

x1

xi

xr

n11 ... n1j ... n1m

ni1… nij … nim

nr1…nrj … nrm

n1.

ni.

nr.

Total pt. y (n.j)

n.1 ... n.j ... n.m

1y

ry

iy

r

i

m

jijn

1 1

21

2r

2i

y

Categorii de variatii:1. Variaţia totală:

2. Variaţia în interiorul grupelor stabilite după X:

3. Variaţia între grupe:

Pentru fiecare unitate i:

ij yy

yy i

yy j

yyyyyy iijj

Media generală:

• - media aritmetică a grupei i;

• ni. – totalul frecvenţelor grupei i;

• r  – numărul de grupe după x

Medii de grupă:

• i = 1,..., r

• nij – frecvenţe combinate.

r

ii

r

iii

n

nyy

1

1

.

.

iy

m

jij

m

jijj

i

n

ny

y

1

1

Fiecare tip de variatie poate fi exprimat printr-o dispersie.

1. Dispersia totală a variabilei y :

• yj –  valorile variabilei y;

•   - media generală;

• n.j – frecvenţele grupelor după y.

m

jj

m

jjj

y

n

nyy

1

1

2

2

.

.

y

2. Dispersiile de grupă :

Media dispersiilor de grupă :

r

ii

r

iii

ry

n

n

1

1

2

22/

.

.

m

jij

m

jijij

i

n

nyy

1

1

2

2

Surprinde influenţa factorilor

aleatori asupra variaţiei lui y.

3.Dispersia dintre grupe este calculată pe baza abaterilor mediilor de grupă de la media generală:

Măsoară influenţa factorului x asupra variabilei y.

r

ii

r

iii

xy

n

nyy

1

1

2

22/

.

.

• Regula adunării dispersiilor:

• Raportul de determinaţie măsoară influenţa factorului de grupare x asupra variabilei dependente y:

• Factorul x influenţează decisiv variaţia variabilei dependente y dacă R2 > 50 %.

• Raportul de nedeterminaţie exprimă variaţia lui y datorită factorilor aleatori:

222 y

1002

22

y

R

1002

22

y

N

%10022 NR

Nivelul de omogenitate al grupelor poate fi măsurat prin coeficienţii de variaţie.

Pentru fiecare grupă i:

unde

Pentru colectivitatea totală:

unde

Cel mai mic coeficient de variaţie indică cel mai omogen grup.

100i

ii y

v 2

ii

100y

v y 2yy

Tipul de administraţie (x)

Subgrupe după mărime, în funcţie de numărul de angajaţi (y)

Total

sub 10 10 - 50 50 - 250 250 şi peste

0 1 2 3 4 5

Publică 20407 9452 3232 345 33436

Privată 23152 47 26 8 23233

Total 43559 9499 3258 353 56669

Exemplu. Numărul unităţilor din administraţie după tip şi mărime în 1996

Sursa: Anuarul statistic al României 1997.

Mediile de grupă = nr mediu de angajaţi din sectorul public/privat:

yj – centrele de interval: 5, 30, 150,

350.

1. administraţie publică:

2. administraţie privată:

m

jij

m

jijj

i

n

ny

y

1

1

3033436

34535032321509452302040751

y

523233

83502615047302315252

y

Media totală (pentru ambele tipuri: public şi privat)

angajaţi.

20669.56

233.235436.3330

.

.

1

1

r

ii

r

iii

n

nyy

Dispersiile de grupă

1. administraţie publică :

m

jij

m

jijij

i

n

nyy

1

1

2

2

982829

33436

34530350

33436

3232301509452303020407305

2

22221

,

2. administraţie privată:

Media dispersiilor de grupă

786523233

85350265150475302315255 222222

,

73169656669

23233796533436982829

1

1

2

2,

,,

.n

.n

r

ii

r

iii

Dispersia dintre grupe:

Dispersia totală:

25151

56669

23233205334362030 22

1

1

2

2

,

.

.

r

ii

r

iii

n

nyy

031848

56669

35320350325820150

56669

9499203043559205

22

22

1

1

2

2

,

.

.

m

jj

m

jjj

y

n

nyy

• Regula de adunare a dispersiilor:

• Raportul de determinaţie

este f. mic =>Tipul administraţiei (public sau privat) nu este un factor important pentru mărimea unităţilor administrative.

73169625151031848222 ... y

%..

.188

031848

25151100

2

22

y

R