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発展新演習 中 3 数学 指導のポイント
【指導のねらい】★多項式の計算を分配法則を利用して計算できるようにする。★式の展開をできるようにする。
1 式の展開◆指導ページ P.12 ～ 15 ◆
はじめに
＜導入＞ 多項式と単項式の乗除は，中学 2年で学習した多項式と数の乗除がベースになる。分配法則を利用したものなので，きまりを確認しながら，計算させたい。また，中学 2年学習時同様，次数の数え間違えがでやすいので，途中式を丁寧にかくことが大切である。 多項式×多項式の計算は，この後に学習するものの基本となる考え方なので，計算の仕方をきちんと理解させたい。難しい計算ではないので，計算の順番のきまりを決めて丁寧に計算させることで，しっかりと身に付けさせておきたい。
＜事前確認＞学習１多項式×単項式・分配法則を使って，多項式の各項に単項式をかける。・（ ）内の項すべてに分配する。
学習２多項式÷単項式・分数の形になおしてから約分する。・単項式が分数の除法の場合は，わる式を逆数にして乗法になおして計算する。
学習３展開…単項式や多項式の積の形の式を計算し，単項式の和の形に表すこと。多項式×多項式…分配法則を繰り返して計算する。
学習内容・補足事項など
学習１ 多項式と単項式の乗法 ⇒Ａ１，Ｂ１ 分配法則 m（a＋ b）＝ma＋mb※（ ）内の項が 3つの場合は，3つすべての数に分配する。
例題▷ 3a（2b ＋ c） ＝ 3a × 2b ＋ 3a × c ＝ 6ab ＋ 3ac▷ （2a － b ＋ 3c）×（－ 2a） ＝ 2a ×（－ 2a）－ b×（－ 2a）＋ 3c ×（－ 2a） ＝－ 4a2 ＋ 2ab － 6ac
学習２ 多項式と単項式の除法 ⇒Ａ２，Ｂ１ 除法
（a＋ b）÷m＝ am＋bm
（a＋ b）÷mn ＝（a＋ b）×nm
例題▷ （16a2 － 12ab）÷（－ 4a）
＝ 16a2 ÷（－ 4a）－ 12ab ÷（－ 4a）
＝－ 4a ＋ 3b※割り切れる場合は，分数にせずそのまま計算してもよい。
▷ （3x2y － 4xy2）÷ 12 xy
＝（3x2y － 4xy2）× 2xy ＝ 3x2y × 2xy － 4xy2 ×
2xy
＝ 3x2y × 2xy － 4xy2 × 2xy ＝ 6x － 8y※分数の割り算や，割り切れない場合は，乗法になおして計算するとよい。
学習３ 式の展開と分配法則 理解 ⇒Ａ３・４，Ｂ２～４ 式の展開 （a＋ b）（c＋ d）＝ ac ＋ ad ＋ bc ＋ bd※分配法則の順番は自分で決めてよいが，どんな問題も同じ手順で計算するようにした方がミスは減る。
例題
▷ （x－ 2）（ y ＋ 3）
＝ x× y＋ x × 3 － 2 × y － 2 × 3＝ xy ＋ 3x － 2y － 6
▷ （2x － 3y）（3x ＋ y） ＝ 6x2 ＋ 2xy － 9xy － 3y2 ＝ 6x2 － 7xy － 3y2
▷ （a＋ b）（a＋ 2b － 1）
＝ a2 ＋ 2ab － a ＋ ab ＋ 2b2 － b ＝ a2 ＋ 3ab － a ＋ 2b2 － b
分配法則分配法則
m（a＋ b＋ c）＝ma＋mb＋mcm（a＋ b＋ c）＝ma＋mb＋mc
÷を×になおす÷を×になおす
xと－ 2それぞれを分配するxと－ 2それぞれを分配する
同類項は 1つにまとめる同類項は 1つにまとめる
aと bそれぞれを分配するaと bそれぞれを分配する
第1章 多項式
発展新演習 中 3 数学 指導のポイント
【指導のねらい】★式の展開を，乗法公式を利用して解くことができるようにする。★乗法公式の利用をふくむ，いろいろな計算問題を解くことができるようにする。
2 乗法公式◆指導ページ P.16 ～ 19 ◆
はじめに
＜導入＞ 前単元で学習した多項式×多項式において，分配法則を一部省略して展開する式が乗法公式である。乗法公式を利用することで，計算ミスを大幅に減らすことができ，また，この後に学習する因数分解のことを考えると，しっかりと身に付けさせておきたい。 まずは分配法則を使って計算を行い，その結果から特徴を見つけ出してから，乗法公式を利用して 1回の計算で展開させるなどをし，活用することのよさを理解させたい。 3つの乗法公式は，最初にまとめて示してもよい。問題の形式からどの公式を使えばよいのかを判断できるようにすると今後につながる。
＜事前確認＞学習１乗法公式①（x＋ a）（x＋ b）＝ x2 ＋（a＋ b）x ＋ ab・x の係数が 1以外でも，同じであればこの公式は使える。
学習２乗法公式② 和の平方の展開 （a ＋ b）2 ＝ a2 ＋ 2ab ＋ b2
乗法公式③ 差の平方の展開 （a － b）2 ＝ a2 － 2ab ＋ b2
学習３乗法公式④ 和と差の積の展開 （a ＋ b）（a－ b）＝ a2 － b2・a，b の部分が小数や分数になっているものもよく出題される。
学習内容・補足事項など
学習１ （x＋ a）（x＋ b）の展開 暗記 ⇒Ａ１，Ｂ１・２例題▷ （x＋ 2）（x＋ 4） ＝ x2 ＋（2＋ 4）x ＋ 2 × 4 ＝ x2 ＋ 6x ＋ 8
▷ （x－ 2y）（x＋ 3y） ＝ x2 ＋（－ 2y ＋ 3y）x － 2y × 3y ＝ x2 ＋ xy － 6y2※ y を入れ忘れることが多いので気をつける。
▷ （2a ＋ 3）（2a － 5） ＝（2a）2 ＋（3－ 5）× 2a ＋ 3 ×（－ 5） ＝ 4a2 － 4a － 15※（3－ 5）× 2a の部分で，2をかけるのを忘れることが多い。
学習２ （a＋ b）2，（a－ b）2の展開 暗記 ⇒Ａ２，Ｂ１・２例題▷ （a＋ 5）2 ＝ a2 ＋ 2 × a × 5 ＋ 52 ＝ a2 ＋ 10a ＋ 25
▷ （x－ 6）2 ＝ x2 － 2 × x × 6 ＋ 62 ＝ x2 － 12x ＋ 36
▷ （3x ＋ 2y）2 ＝（3x）2 ＋ 2 × 3x × 2y ＋（2y）2 ＝ 9x2 ＋ 12xy ＋ 4y2
学習３ （a＋ b）（a－ b）の展開 暗記 ⇒Ａ３，Ｂ１・２例題▷ （a＋ 3）（a－ 3） ＝ a2 － 32 ＝ a2 － 9
▷ （2x ＋ 5y）（2x － 5y） ＝（2x）2 －（5y）2 ＝ 4x2 － 25y2
学習４ おきかえによる展開 ⇒Ａ４，Ｂ３例題▷ （a＋ 2b － 3）2 a＋ 2b ＝ Aとすると， （A－ 3）2 ＝ A2 － 6A＋ 9＝（a＋ 2b）2 － 6（a ＋ 2b）＋ 9 ＝ a2 ＋ 4ab ＋ 4b2 － 6a － 12b ＋ 9
▷ （x＋ y－ 2）（x－ y＋ 2） ＝｛x＋（y－ 2）｝｛x－（y－ 2）｝ y－ 2＝ Aとすると， （x＋A）（x－ A）＝ x2 － A2 ＝ x2 －（y－ 2）2 ＝ x2 －（y2 － 4y ＋ 4）＝ x2 － y2 ＋ 4y － 4
乗法公式① ※ a＝ 2，b＝ 4とする。乗法公式① ※ a＝ 2，b＝ 4とする。
乗法公式② ※ b＝ 5とする乗法公式② ※ b＝ 5とする
乗法公式③ ※ a＝ x，b ＝ 6 とする乗法公式③ ※ a＝ x，b ＝ 6 とする
乗法公式④ ※ b＝ 3とする乗法公式④ ※ b＝ 3とする
第1章 多項式
発展新演習 中 3 数学 指導のポイント
【指導のねらい】★因数，素数，素因数の意味を理解する。★素因数分解をできるようにする。★素因数分解を利用した問題を解けるようにする。
3 素因数分解・共通因数でくくる因数分解◆指導ページ P.20 ～ 23 ◆
はじめに
＜導入＞ 本単元は，この後に学ぶ因数分解，次章の平方根の計算上，非常に重要な単元である。また，数の処理・分析を深める上できわめて重要な役割をもつ。ここでは，素因数分解，素因数分解の利用，共通因数でくくる因数分解の 3つを学習対象とする。 学習のポイントは以下の 3つ行うことである。①素因数分解の方法…「連除法」を利用②どんな数の 2乗か③共通因数を見つける 素因数分解を用いて解く方法をしっかりと身につけさせたい。
＜事前確認＞学習１因数…整数がいくつかの整数の積の形で表されるとき，それぞれの整数のこと。素数…その数自身と 1のほかに因数をもたない自然数。（約数が 2個しかない）素因数…素数である因数。素因数分解…自然数を素因数の積で表すこと。
学習２どんな数の 2乗か…素因数分解したときの各素因数の指数がすべて偶数のとき，その素因数の積の数の 2乗となっている。
学習３・因数分解…多項式を単項式や多項式の積の形で表すこと。・共通因数でくくる因数分解 ma＋mb＝m（a＋ b）
学習内容・補足事項など
学習１ 素因数分解 理解 ⇒Ａ１・２例題▷ 30 以下の素数をすべて答えよ。 1は素数ではないこと，2以外の偶数は素数ではないことを基本にし，奇数の中で 3，5，7などで割れない数を探す。 よって，素数は，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29 である。※ 3つの連続する数のうち 1つは 3の倍数なので特に気をつける。
▷ 18，42 をそれぞれ素因数分解せよ。結果は累乗の指数を使って表せ。 18，42 を連除法を使って素因数分解する。 2） 18 3） 9 3 これより，18 ＝ 2 × 32 2） 42 3） 21 7 これより，42 ＝ 2 × 3 × 7
学習２ 素因数分解の利用 理解 ⇒Ａ３～５，Ｂ１～４ どんな数の 2乗か… 素因数分解したときの各素因数の指数がすべて偶数のとき，その素因数の
積の数の 2乗となっている。例題▷ 196 はどんな自然数を 2乗したものか。 196 を素因数分解する 2） 196 2） 98 7） 49 7 これより，196 ＝ 22 × 72 ＝（2× 7）2 ＝ 142
▷ 48にできるだけ小さい自然数をかけて，ある整数の2乗にするにはどんな数をかければよいか。 48 を素因数分解する 2） 48 2） 24 2） 12 2） 6 3 これより，48 ＝ 24 × 3 各素因数の指数がすべて偶数になれば，整数の 2乗になるので，3を 1つかける。 確認… 24 × 3 × 3 ＝ 24 × 32 ＝（22 × 3）2 ＝ 122 3× 22 などをかけても，ある整数の 2乗になるが，最小は 3
学習３ 共通因数でくくる因数分解 ⇒Ａ６，Ｂ５▷ 3x3 － 6x2 ＝ 3x2（x － 2）
▷ 4a2b － 8ab2 ＋ 2ab ＝ 2ab（2a － 4b ＋ 1）※共通因数の見つけ方は，数と文字で分けて考える。整数においては最大公約数が共通因数となる。※共通因数による因数分解は，因数分解の最優先事項である。必ず確認するように指導したい。
3x3 ＝ 3x2 × x，6x2 ＝ 3x2 × 23x3 ＝ 3x2 × x，6x2 ＝ 3x2 × 2
3 つすべての項に共通する因数は 2ab3 つすべての項に共通する因数は 2ab
第1章 多項式
発展新演習 中 3 数学 指導のポイント
【指導のねらい】★因数分解の意味を理解できるようにする。★公式を利用して，因数分解ができるようにする。
4 因数分解⑴◆指導ページ P.24 ～ 27 ◆
はじめに
＜導入＞ 本単元では，因数分解の基本的方法を学ぶ。因数分解は，前単元の学習３で学習した共通因数による因数分解と，公式を利用するものの 2つであり，公式を利用した因数分解では，4つの乗法公式を逆に用いる。 導入は，式の展開の復習から始めるとよい。分配法則を使う場合と，公式を使う場合の最低 2題をあげ，展開の逆として因数分解を説明する。 因数分解の意味は，展開と対応させて展開は「積の形→和の形」，因数分解は「和の形→積の形」などと補足することで，目的に応じて式を変形したり式の意味を読みとることができるようにさせたい。
＜事前確認＞学習１因数分解の公式① x2＋（a＋ b）x＋ ab＝（x＋ a）（x＋ b）・ab となる値の組み合わせから先に考えた方がよい。・ab ＝正の数→ a，bが同符号・ab ＝負の数→ a，bが異符号
学習２因数分解の公式② 和の平方になる因数分解 a2 ＋ 2ab ＋ b2 ＝（a＋ b）2因数分解の公式③ 差の平方になる因数分解 a2 － 2ab ＋ b2 ＝（a－ b）2・a2，b2 の項がある→これらの因数分解であることを考える。
学習３因数分解の公式④ 2乗の差の因数分解 a2 － b2 ＝（a＋ b）（a－ b）
学習内容・補足事項など
学習１ x2 ＋（a＋ b）x＋ abの因数分解 暗記 ⇒Ａ１，Ｂ１～４・xについての 2次式で，x2 の係数が 1の場合，（x ）（x ）の形に因数分解できる。
例題▷ x2 ＋ 8x ＋ 15 を因数分解する。 x2 ＋ 8x ＋ 15 ＝ x2 ＋（3＋ 5）x ＋ 3 × 5 ＝（x＋ 3）（x＋ 5）
※ ab＝ 15となる組み合わせを優先に考え，その組み合わせの中で a＋ b＝ 8となるものを探す。
▷ x2 － 3x － 10 を因数分解する。 x2 － 3x － 10 ＝ x2 ＋（2－ 5）x ＋ 2 ×（－ 5） ＝（x＋ 2）（x－ 5）
▷ x2 ＋ xy － 2y2 を因数分解する。 x2 ＋ xy － 2y2 ＝ x2 ＋（2y － y）x ＋ 2y ×（－ y） ＝（x＋ 2y）（x－ y）※係数だけで和と積を考えればよい（積が－ 2，和が 1）。答えに yをつけ忘れないようにする。※－ 2× y2 となることは考えない。和が－ 2＋ y2 となり，問題にあてはまらないのが分かりきっているため。
学習２ a2 ＋ 2ab＋ b2，a2 － 2ab＋ b2 の因数分解 暗記 ⇒Ａ２，Ｂ１・２例題▷ x2 ＋ 6x ＋ 9 ＝ x2 ＋ 2 × x × 3 ＋ 32 a2 a b b2 ＝（x＋ 3）2
▷ x2 － 12x ＋ 36 ＝ x2 － 2 × x × 6 ＋ 62 ＝（x－ 6）2※ x2 の係数が 1のときは定数項や係数に着目し，定数項がある数の 2乗，xの係数がある数の 2倍のとき公式②，③を用いる。
▷ 4x2 ＋ 20xy ＋ 25y2 ＝（2x）2 ＋ 2 × 2x × 5y ＋（5y）2 ＝（2x ＋ 5y）2※ x2 に 1 以外の係数がつく場合，xの係数がある数の 2倍ではなくなる。2ab の意味をしっかり理解させておきたい。
学習３ a2 － b2 の因数分解 暗記 ⇒Ａ３例題▷ a2 － 16 ＝ a2 － 42 ＝（a＋ 4）（a－ 4）
▷ 9x2 － 25y2 ＝（3x）2 －（5y）2 ＝（3x ＋ 5y）（3x － 5y）※ a2 － b2 ＝（a－ b）2 というミスをする場合がある。公式をしっかりと覚えさせたい。
a b a ＋ b1 15 16 ×3 5 8 ○－ 1 － 15 － 16 ×－ 3 － 5 － 8×
a b a ＋ b1 15 16 ×3 5 8 ○－ 1 － 15 － 16 ×－ 3 － 5 － 8×
a b a ＋ b 積＜ 0より，2数は異符号，和＜ 0より負の数の方が絶対値が大きい
1 － 10 － 9 ×2 － 5 － 3 ○－ 1 10 9 ×－ 2 5 3 ×
a b a ＋ b 積＜ 0より，2数は異符号，和＜ 0より負の数の方が絶対値が大きい
1 － 10 － 9 ×2 － 5 － 3 ○－ 1 10 9 ×－ 2 5 3 ×
公式②があてはまる形に変形公式②があてはまる形に変形
公式③があてはまる形に変形公式③があてはまる形に変形
公式④があてはまる形に変形公式④があてはまる形に変形
第1章 多項式
発展新演習 中 3 数学 指導のポイント
【指導のねらい】★公式などを組み合わせた 2回以上の処理を必要とする式を因数分解できるようにする。★おきかえを利用して因数分解できるようにする。★組み分けを必要とする因数分解をできるようにする。
5 因数分解⑵◆指導ページ P.28 ～ 33 ◆
はじめに
＜導入＞ 前単元で学んだことを発展させ，複雑な因数分解をできるようにさせる。本単元で学ぶ処理の仕方は，共通因数，おきかえ，組み分けの 3つであり，これらと前単元で学んだ因数分解の公式とを組み合わせて利用できるように指導したい。 また，与えられた文字式をどのように考えれば，因数分解しやすくなるかという見方を持たせたい。 導入は，因数分解の発展として特に工夫する必要はない。
＜事前確認＞学習１共通因数→公式・因数分解は，各因数がそれ以上分解できない形になるまで行う。・はじめに共通因数をくくり出し，さらに，かっこの中の因数分解を考える。
学習２おきかえ・式の中にふくまれる多項式を 1つの文字でおきかえると，因数分解しやすくなることがある。
学習３組み分け・組に分け，それぞれの組で因数分解を考える。・組み分けをした後，共通因数，公式，おきかえなどさまざまな方法を用いて因数分解を行う。
学習６・た すきがけの因数分解…下記の展開公式の逆を利用した因数分解。
（ax ＋ b）（cx ＋ d）＝ acx2 ＋（ad ＋ bc）x ＋ bd
学習内容・補足事項など
学習１ 共通因数→公式利用の因数分解 理解 ⇒Ａ１例題▷ 3x2 ＋ 9x ＋ 6 ＝ 3（x2 ＋ 3x ＋ 2） ＝ 3（x ＋ 1）（x＋ 2）
学習２ おきかえによる因数分解 理解 ⇒Ａ２，Ｂ１例題▷ a（x － y）＋ b（y－ x）＝ a（x － y）－ b（x － y）＝ aA－ bA＝（a－ b）A＝（a－ b）（x－ y） ※おきかえの問題は，最後にまとめることを必要とする問題もある。これを忘れてしまう場合 があるので，最後まで丁寧に計算することを指導したい。
学習３ 複雑な因数分解① ⇒Ａ３，Ｂ２▷ xy － 3x － 2y ＋ 6 ＝ x（y－ 3）－ 2（y－ 3） ＝（x－ 2）（y－ 3）
学習４ 複雑な因数分解② ⇒Ａ４，Ｂ２例題▷ x4 － 2x2 ＋ 1 ＝（x2 － 1）2 ＝｛（x＋ 1）（x－ 1）｝2 ＝（x＋ 1）2（x － 1）2▷ （x＋ 1）（x－ 2）（x＋ 3）（x－ 4）＋ 24 ＝（x2 － x － 2）（x2 － x － 12）＋ 24 ＝（A－ 2）（A－ 12）＋ 24 ＝A2 － 14A＋ 48 ＝（A－ 6）（A－ 8） ＝（x2 － x － 6）（x2 － x － 8） ＝（x－ 3）（x＋ 2）（x2 － x － 8）
学習５ 複雑な因数分解③ * ⇒Ａ５，Ｂ３例題▷ a2（b － c）＋ b2（c － a）＋ c2（a － b） ＝（b－ c）a2 －（b2 － c2）a ＋ bc（b － c） ＝（b－ c）a2 －（b＋ c）（b－ c）a ＋ bc（b － c） ＝Aa2 － A（b＋ c）a ＋ Abc ＝A｛a2 －（b＋ c）a ＋ bc｝ ＝（b－ c）（a－ b）（a－ c）＝－（a－ b）（b－ c）（c－ a）
学習６ たすきがけの因数分解 * ⇒Ａ６，Ｂ３例題▷ 2x2 － 7x ＋ 3 ac ＝ 2 ＝ 1 × 2，bd ＝ 3 ＝ 1 × 3 より，ad ＋ bc ＝－ 7となる組み合わせを探す。 1 1 → 2 1 3 → 6 1 － 1 →－2 1 － 3 →－6 2 3 → 3 2 1 → 1 2 － 3 →－3 2 － 1 →－1 2 3 5 2 3 7 2 3 － 5 2 3 － 7 よって，（x－ 3）（2x － 1）となる。
共通因数
x2＋（a＋ b）x＋ ab＝（x＋ a）（x＋ b）
共通因数
x2＋（a＋ b）x＋ ab＝（x＋ a）（x＋ b）
y－ x ＝－（x－ y）おきかえ（x－ y＝ Aとする）y－ x ＝－（x－ y）おきかえ（x－ y＝ Aとする）
組み分け（xy－ 3xと－ 2y＋ 6それぞれを共通因数でくくる）組み分け（xy－ 3xと－ 2y＋ 6それぞれを共通因数でくくる）
（ab）2 ＝ a2b2（ab）2 ＝ a2b2
（x ＋ 1）（x－ 2）と（x＋ 3）（x－ 4）に分けて展開おきかえ（x2 － x ＝ Aとする）（x＋ 1）（x－ 2）と（x＋ 3）（x－ 4）に分けて展開おきかえ（x2 － x ＝ Aとする）
aについて，次数が高い順に整理する
おきかえ（b－ c ＝ Aとする）
aについて，次数が高い順に整理する
おきかえ（b－ c ＝ Aとする）
a b → bc c d → ad ac bd ad ＋ bcx2 の係数 定数の項 xの係数
a b → bc c d → ad ac bd ad ＋ bcx2 の係数 定数の項 xの係数
第1章 多項式
発展新演習 中 3 数学 指導のポイント
【指導のねらい】★乗法公式や因数分解を式の値や数の計算に利用できるようにする。★数や図形の性質の証明や表し方を理解する。
6 式の計算の利用◆指導ページ P.34 ～ 39 ◆
はじめに
＜導入＞ 本単元は，式の展開や因数分解の応用を学ぶ単元であると同時に，第一章の最終単元として章全体をまとめる位置にある。 式の値とは“文字に数を代入して得られる式全体の数値”であることを確認し，一般的には式を簡単にしてから数を代入する。数を直接代入してから計算するより式を簡単にしてから代入する方が，スピーディかつ正確であるので，「直接代入」と「式を簡単にしてから代入」の 2つの方法を行うことで実感させて，利便性を理解させたい。 学習２でも同様に，直接計算の方法は全員がわかっているものとして，工夫の仕方を簡単な例によって確認して進めるようにしたい。ただし，ときには，直接計算した方がスピーディかつ正確な場合もあるので，注意が必要である。
＜事前確認＞学習１，２・乗法公式や因数分解を利用すると，数の計算が簡単になることがある。
学習３，４・整数や図形の数値を文字におきかえることで証明する。
学習５・式の値の計算では，式の計算をすませてから，あるいは因数分解してから，数を代入する。
学習内容・補足事項など
学習１ 乗法公式と数の計算 理解 ⇒Ａ１，Ｂ１例題▷ 乗法公式を利用して，992 を計算せよ。 992 ＝（100 － 1）2 ＝ 1002 － 2 × 100 × 1 ＋ 12 ＝ 10000 － 200 ＋ 1 ＝ 9801
学習２ 因数分解と数の計算 理解 ⇒Ａ２，Ｂ１・２▷ 因数分解を利用して，652 － 352 を計算せよ。 652 － 352 ＝（65 ＋ 35）×（65 － 35） ＝ 100 × 30 ＝ 3000※（60＋ 5）2－（30＋ 5）2としてしまうことが多い。どのようにすればより計算が簡単になるかを考えるように徹底させたい。
学習３ 式による証明 理解 ⇒Ａ３，Ｂ２例題▷ 連続する 2つの奇数の積に 1を加えると，偶数の 2乗になる証明。 nを整数とすると，連続する 2つの奇数は， ←連続する数についての場合は，使う文字は1つ 2n － 1，2n ＋ 1 それらの積に 1を加えると （2n － 1）（2n ＋ 1）＋ 1＝ 4n2
＝（2n）2 ← nは整数なので，2n は偶数を表す。 したがって，連続する 2つの奇数の積に 1を加えると，偶数の 2乗になる。
学習４ 式の計算の利用 理解 ⇒Ａ４例題▷ 右の図のように，正方形の池のまわりに幅 a mの道をつくる。この道の面積を S m2，道の真ん中を通る線（図の点線）の長さをℓmとするとき，S＝ aℓが成り立つことを証明せよ。 池の 1辺の長さを x mとして，道の面積 Sと点線の長さℓを求める。点線の長さは，1辺（x＋ a）mの正方形の周の長さになるので， ℓ＝ 4（x ＋ a）…①大きい正方形の 1辺の長さは（x＋ 2a）mなので， S＝（x＋ 2a）2 － x2 ＝ x2 ＋ 4ax ＋ 4a2 － x2 ＝ 4ax ＋ 4a2 ＝ a × 4（x ＋ a）…②したがって，S＝ aℓ
学習５ 式の値 理解 ⇒Ａ５，Ｂ３例題▷ x＝ 5，y＝ 8のとき，（x＋ 3y）（4x ＋ 3y）－（2x ＋ 3y）2 の値を求めよ。 直接代入 （x＋ 3y）（4x ＋ 3y）－（2x ＋ 3y）2 ＝（5＋ 24）×（20 ＋ 24）－（10 ＋ 24）2 ＝ 29 × 44 － 342 ＝ 1276 － 1156 ＝ 120 式を簡単にして代入 （x＋ 3y）（4x ＋ 3y）－（2x ＋ 3y）2 ＝ 4x2 ＋ 15xy ＋ 9y2 －（4x2 ＋ 12xy ＋ 9y2） ＝ 3xy ← ここに x＝ 5，y＝ 8を代入 ＝ 3× 5× 8＝ 120
乗法公式③ （a－ b）2 ＝ a2 － 2ab ＋ b2乗法公式③ （a－ b）2 ＝ a2 － 2ab ＋ b2
因数分解の公式④ a2 － b2 ＝（a＋ b）（a－ b）因数分解の公式④ a2 － b2 ＝（a＋ b）（a－ b）
ℓm
a m 池
ℓm
a m 池
第1章 多項式
発展新演習 中 3 数学 指導のポイント
【指導のねらい】★平方根の意味，根号の使い方，平方根の大小を理解する。★有理数，無理数の意味を理解する。
7 平方根◆指導ページ P.42 ～ 47 ◆
はじめに
＜導入＞ 本単元で，平方根について初めて学習する。 導入としては，面積が 2 cm2 となる正方形をかくことができるかどうかを質問し，実際にかくことができることを説明する。そして，そのときの 1辺の長さがいくつなのかを一緒に考えてみるなどが挙げられる。 学習１では平方根の意味，根号の使い方について学習するが，問われている内容の違いを区別できずに混乱してしまうことも考えられるため，「平方根を求めよ」と「根号を使って表せ」の答え方の違いについて指導しておきたい。 学習４では，√ の中をかんたんにする方法を学習する。ここではなぜそう変形できるのかを学習するが，慣れてきたら途中式をかかずに変形できるようにしたい。
＜事前確認＞学習１平方根… 2乗（平方）すると aになる数を aの平方根という。根号…正の数である aの平方根は，√a と－√a があり，記号√ を用いて表す。この記号を根号といい，ルートと読む。
学習２大小… a＜ bならば√a ＜√b
学習３平方根の乗除 a，bが正の数のとき・√a ×√b ＝√a× b
・√a√b ＝ab
学習４√ の中をかんたんにする a，bが正の数のとき・√a2b ＝a √b・a ×√b＝ a√b
学習５有理数…分数で表せる数。無理数…分数では表すことができない数。有限小数…終わりがある小数。無限小数…終わりがない小数。循環小数…同じ数の並びが限りなく続く小数。
学習内容・補足事項など
学習１ 平方根の意味・根号の使い方 理解 ⇒Ａ１・２，Ｂ１・正の数の平方根は，正と負の 2つあり，絶対値が等しい。・0の平方根は 0だけである。・負の数の平方根はない。・根号のはずし方 a＞ 0のとき√a2 ＝ a
例題▷ 0.09 と 3 の平方根を求めよ。 0.32 ＝ 0.09，（－ 0.3）2 ＝ 0.09 なので，0.09 の平方根は± 0.3 2 乗すると 3になる数はないので，3の平方根は±√3と表す。※「平方根を求めよ」という問いには±を必ずつけるようにする。 0.09 ＝ 0.032 としてしまうことがあるため，気をつける。▷ √16 ，√（－ 3）2 をそれぞれ根号を使わずに示せ。 √16 ＝√42 ＝ 4，√（－ 3）2 ＝√32 ＝ 3※「根号をはずせ」という問いのときは，±にはならない。「平方根を求めよ」との区別をしっかりする。※√（－ 3）2 ＝－ 3とするミスが多い。2乗による符号の変換に注意する。※ルートの外はいいが，中に－（マイナス）がつく数は存在しない。
学習２ 平方根の大小 理解 ⇒Ａ３，Ｂ２・３ ・大小を比べるときは，どちらも根号をつけた状態で比べるか，すべての数を 2乗して根号をはずした状態で比べるとよい。
例題▷ 6，√35 ，√37 を不等号で表すと， 62 ＝ 36，（√35 ）2 ＝ 35，（√37 ）2 ＝ 37 より，35 ＜ 36 ＜ 37 なので，√35 ＜√36 ＜√37 よって，√35 ＜ 6 ＜√37▷ aを正の整数とするとき，4.6 ＜√a＜ 5をみたす aの値をすべて求めよ。 4.6 ＜√a ＜ 5 21.16 ＜ a ＜ 25 よって，aをみたす自然数は 22，23，24
学習３ 平方根の積・商 ⇒Ａ４例題▷ √3×√5＝√3×5＝√15
▷ √50 ÷√2＝√50√2 ＝502 ＝√25 ＝ 5
※根号をはずすことができる数（ある数の平方となる数）は，根号をはずさなくてはいけない。
学習４ 根号で表した数の変形 理解 ⇒Ａ５，Ｂ１・３ ・素因数分解を利用するとよい。例題▷ 4√2を√aの形で表せ。 4＝√16 より，4√2＝√16 √2 ＝√16 × 2 ＝√32▷ √20 の根号の中をできるだけ小さい整数にせよ。 20 を素因数分解すると，20 ＝ 22 × 5 よって，√20 を変形すると，√20 ＝√22 × 5 ＝ 2 √5
学習５ 有理数と無理数 ⇒Ａ６，Ｂ４例題
▷ 56 ，3827 をそれぞれ循環小数で表せ。
循環小数は，同じ数字の並びが限りなくくり返すもので，その両端の数字の上に◦をつけて表す。56 ＝ 5 ÷ 6 ＝ 0.83333 …＝ 0.83
4
3827 ＝ 38 ÷ 27 ＝ 1.407407 …＝ 1.44
074
※無理数を小数で表すと，循環しない小数になる。
それぞれを 2乗するそれぞれを 2乗する
第2章 平方根
発展新演習 中 3 数学 指導のポイント
【指導のねらい】★分母の有理化の方法を知る。★根号を含む式の四則計算の方法を学ぶ。★近似値の意味を理解し，求めることができるようにする。
8 平方根の計算⑴◆指導ページ P.48 ～ 53 ◆
はじめに
＜導入＞ 本単元の主な目標は，根号を使った数の四則計算であり，分母の有理化はその前段階作業として始めるとよい。 平方根の計算は，今まで学んだ数の計算と比べ複雑であり，さまざまな手法を用いることになる。その代表的なものを列挙すると，素因数分解の利用を前提として ①√a2b ＝ a √b ②√ab ＝√a√b ③√ どうしの約分 ④√a×√aの利用 ⑤分母の有理化などがあり，計算の答えは√ の中を最もかんたんな整数として表すことの必要から①～⑤などの手法の便利さを実感できるような解法を心がけたい。 学習１の近似値は，前課の学習４を利用した問題である。数を変形してから近似値を代入する方法を用いる。
＜事前確認＞学習１・近似値…真の値ではないが，それに近い値。
学習２・分母の有理化①…分母に根号をふくむ式を，根号をふくまない式に変形すること。
・√ の中をかんたんにすることと同様，必ずしなくてはいけないことである。
学習３・根号をふくむ式の乗除…√ の中の数を素数の積で表したり，できるだけ小さい整数になるように変形してから計算する。
学習４・根号をふくむ式の加減…同類項と同じようにまとめることができる。根号の中の数が異なっていても，変形することで加減が可能になるものもある。
学習内容・補足事項など
学習１ 平方根の近似値 ⇒Ａ１，Ｂ１√2＝ 1.41421356 … √3＝ 1.7320508 … √5＝ 2.2360679 … √6＝ 2.44949 …
例題▷ √3＝ 1.732，√5＝ 2.236，√30 ＝ 5.477 とするとき， √45 の値は， √45 ＝ 3 √5 ＝ 3 × 2.236 ＝ 6.708 √300 の値は， √300 =10 √3 ＝ 10 × 1.732 ＝ 17.32 √0.3 の値は，
√0.3 = 30100 ＝
√3010 =
5.47710 ＝ 0.5477（分母が√ をはずせる数にする）
※√0.3 = 310 ＝
√3√10 としてしまいやすい。
このとき，√10 は整数で表せることはできないので，
√10 の近似値が分からないと，√0.3 = 1.732√10 となり，これ以上値を求めることはできない。
√0.01 = 1√100 ＝
110 =0.1，√0.0001 =
1√10000 =
1100＝ 0.01
このように，根号の中の数の小数点の位置が 2けたずれるごとに，平方根の小数点の位置は1けたずれる。
学習２ 分母の有理化① 理解 ⇒Ａ２・３，Ｂ２ ・分母の有理化は， ①（√a）2 ＝ a ②分母と分子に同じ数をかけても，分数の値はかわらない。 これらの 2つのことを利用して行う。
√a√b＝
√a×√b√b×√b ＝
√abb
例題
▷ 3√2，
23 √6 を分母に根号がない形で表せ。
3√2＝
3×√2√2×√2＝
3√22
23 √6 ＝
2 ×√63 √6 ×√6＝
2√63×6＝
√69 ←根号の外の数どうしであれば約分できる
※分母と分子にかける数は，√6だけでよい。※根号の中を小さくできる場合は，小さい整数にしてから有理化した方がよい。
学習３ 根号をふくむ式の乗法・除法 ⇒Ａ４・７，Ｂ２・３▷ √12 ×√54 ＝ 2√3× 3√6＝（2× 3）×（√3×√6）＝ 6×（√3×√3√2） ＝ 6× 3√2＝ 18 √2※根号の中を簡単にして答える。▷ √24 ÷ 3 √2 ×√3
＝2√6×√33 √2 ＝2 √3 ×√33 ＝ 2 × 33 ＝ 2
※約分は，√ の外の数どうし，√ の中の数どうしで行う。
学習４ 根号をふくむ式の加法・減法 ⇒Ａ５～７，Ｂ２・３m√a＋n√a＝（m＋n）√a m√a－n√a＝（m－n）√a
例題▷ 3√2＋ 5√2 ＝（3＋ 5）√2＝ 8√2▷ √27 －√12 ＝ 3√3－ 2√3＝（3－ 2）√3＝√3 ※√ の中が同じでない場合は，同類項と同様，計算しない。※はじめに根号の中の数を簡単にしたり，分母の有理化をしたりする。
第2章 平方根
発展新演習 中 3 数学 指導のポイント
【指導のねらい】★分配法則，乗法公式の利用と計算の工夫をできるようにする。★（a＋ b）（a－ b）＝ a2 － b2 を利用した分母の有理化のしかたを理解する。
9 平方根の計算⑵◆指導ページ P.54 ～ 57 ◆
はじめに
＜導入＞ 平方根の計算の総合問題となる単元である。 導入としては，式の展開のところの復習をしつつ，文字に平方根を代入したらどうなるかを考えさせたい。 学習２では，まず展開の乗法公式の通りに式をかき，後でそれぞれを計算したほうがミスは減る。平方根に慣れていればある程度の計算までは一気にできるが，文字式とは違い√ の中どうし，外どうしで計算が出てくるので若干手間取ると思われる。ゆっくりでもいいので丁寧に計算したい。 学習３では，（a＋b）（a－b）＝a2－b2を利用した分母の有理化を学習する。まずは普通に思いつくように有理化をさせてみて，√ を完全になくすにはどうしたらいいかを考えさせてみよう。理解してしまえば計算は学習２までと同じ計算しかしないので，とくに注意することはない。丁寧に計算することを徹底させたい。
＜事前確認＞学習１分配法則 a，b，c が正の数のとき √a（√b＋√c ）＝√a√b＋√a√c
学習２乗法公式と根号をふくむ式の計算・根号をふくむ式の計算に乗法公式を利用できることがある。
学習３分母の有理化② 分母が√a＋√b，√a－√bのとき， （√a＋√b）（√a－√b）＝ a－ b を使って，分母を有理化する。
学習内容・補足事項など
学習１ 分配法則と平方根の計算 ⇒Ａ１・４，Ｂ１例題▷ （√24 －√10 ）÷√2 ＝（2√6－√10 ）÷√2
＝2√6√2 －√10√2
＝ 2√3－√5 ※除法のときは√ の中を簡単にしないで計算した方がよい場合もある。▷ （√3＋√2）（√6＋ 1） ＝√3×√6＋√3× 1＋√2×√6＋√2× 1 ＝ 3√2＋√3＋ 2√3＋√2 ＝ 4√2＋ 3√3 ※√ の中を簡単にすると，加減ができるようになることがある。簡単にできるかは常に意識させるようにしたい。
学習２ 乗法公式と平方根の計算 ⇒Ａ２・４，Ｂ１～４ 乗法公式 ① （x＋ a）（x＋ b）＝ x2 ＋（a＋ b）x ＋ ab ② （a＋ b）2 ＝ a2 ＋ 2ab ＋ b2 ③ （a－ b）2 ＝ a2 － 2ab ＋ b2 ④ （a＋ b）（a－ b）＝ a2 － b2例題▷ （2√2－ 1）（2√2－ 3） ＝（2√2）2 － 4 × 2 √2 ＋ 3 ＝ 8－ 8√2＋ 3 ＝ 11 － 8 √2▷ （√7－√2）2 ＝（√7）2 － 2 ×√7×√2＋（√2）2 ＝ 7－ 2√14 ＋ 2 ＝ 9－ 2√14▷ （3√2＋√3）（√18 －√3） ＝（3√2＋√3）（3√2－√3） ＝（3√2）2 －（√3）2 ＝ 18 － 3 ＝ 15
学習３ 分母の有理化② * ⇒Ａ３・４，Ｂ１・３例題
▷ √2√3＋ 1
＝ √2（√3－ 1）（√3＋ 1）（√3－ 1）
＝√6－√23 － 1
＝√6－√22
▷ √5＋√2√5－√2
＝ （√5＋√2）2（√5－√2）（√5＋√2）
＝5＋ 2√5√2＋ 25 － 2
＝7＋ 2√103
分配法則
根号の中の整数を簡単にする
分配法則
根号の中の整数を簡単にする
（a＋ b）（c＋ d）＝ac ＋ ad ＋ bc ＋ bd（a ＋ b）（c＋ d）＝ac ＋ ad ＋ bc ＋ bd
平方根の加減平方根の加減
乗法公式①乗法公式①
乗法公式③乗法公式③
√ の中の整数を簡単にする
乗法公式④
√ の中の整数を簡単にする
乗法公式④
分母が√3＋ 1だから，√3－ 1を分母と分子にかける分母が√3＋ 1だから，√3－ 1を分母と分子にかける
分母が√5－√2だから，√5＋√2を分母と分子にかける
分子は乗法公式②
分母が√5－√2だから，√5＋√2を分母と分子にかける
分子は乗法公式②
第2章 平方根
発展新演習 中 3 数学 指導のポイント
【指導のねらい】★根号をふくむ式の値の計算をできるようにする。★平方根の整数部分，小数部分，平方根の性質などの応用問題を解けるようにする。
10 平方根の応用◆指導ページ P.58 ～ 61 ◆
はじめに
＜導入＞ この単元では，平方根の応用の 3つの代表的問題の解き方を学ぶ。 学習１では，今までの式の値と同様に，式を簡単にしてから，もしくは因数分解してから代入することが基本となるため，導入はなくてもよい。問題によっては，直接代入しても計算が面倒にならないものもあるため，よく見極めたいところである。 学習２では，整数部分と小数部分の意味がわからないことが多いため，まずは有限小数を使って説明するとよい。とくに小数部分は混乱しやすく，√ を使うとなおさらなので，丁寧に説明すること。 学習３の考え方は，3課の学習２と同様の問題である。出題方法は異なるが問題の意味は同じなので，まずは 3課の復習から入ってもよい。
＜事前確認＞学習１式の値・式の値の計算では，式を計算して簡単にしたあとや，因数分解したあとで数を代入するとよい。
学習２平方根の整数部分と小数部分・nが整数で，n＜√x＜n＋ 1のとき， √x の整数部分… n √x の小数部分…√x － n
学習３平方根の性質の利用・a＞ 0のとき， √a2 ＝ a また， √0＝ 0
学習内容・補足事項など
学習１ 式の値 ⇒Ａ１，Ｂ１例題▷ x＝ 3＋ 2√3，y＝ 2＋√3のとき，x2 － 4xy ＋ 4y2 － x ＋ 2y の値を求めよ。 条件の式や，値を求める式を変形すると，計算が簡単になることがある。 （x2 － 4xy ＋ 4y2）－ x ＋ 2y ＝（x－ 2y）2 －（x－ 2y） ＝A2 － A ＝A（A－ 1） ＝（x－ 2y）（x－ 2y － 1） ここで，x－ 2y ＝ 3 ＋ 2 √3 － 2（2 ＋√3）＝－ 1より， 求める式は（－ 1）×（－ 1－ 1）＝ 2▷ x＝ 2－√5のとき，x2 － 4x ＋ 7 の値を求めよ。 与式＝（x2 － 4x ＋ 4）＋ 3 ＝（x－ 2）2 ＋ 3 ＝（2－√5－ 2）2 ＋ 3 ＝（－√5）2 ＋ 3 ＝ 5＋ 3＝ 8※因数分解できない式のときは，無理やり因数分解できる形に変形するとよい。－ 4x の項からどのような形に変形できるか予想できる。
▷ x＝3＋√52 ，y ＝3 －√52 のとき，x2 ＋ y2 の値を求めよ。
与式＝（x＋ y）2 － 2xy
ここで，x＋ y＝3＋√52 ＋3 －√52 ＝ 3，xy ＝3 ＋√52 ×3 －√52 ＝9 － 54 ＝ 1 より，
求める式は 32 － 2 × 1 ＝ 9 － 2 ＝ 7※代表的な式の変形である。6課でも同様の問題が出題されているので復習しておくとよい。
学習２ 平方根の整数部分と小数部分 ⇒Ａ２，Ｂ２例題▷ √5の小数部分を aとするとき，a2 ＋ 5a ＋ 6 の値を求めよ。 整数部分を求めてから，小数部分について考える。 √4＜√5＜√9より，2＜√5＜ 3 よって，√5の整数部分は 2なので，小数部分 a＝√5－ 2 次に，a2 ＋ 5a ＋ 6 を因数分解すると， a2 ＋ 5a ＋ 6 ＝（a＋ 2）（a＋ 3） ＝（√5－ 2＋ 2）（√5－ 2＋ 3） ＝√5（√5＋ 1） ＝ 5＋√5※学習１同様，代入は与式を変形してからするとよい。
学習３ 平方根の性質の利用 ⇒Ａ３，Ｂ３例題▷ √54n が整数となる自然数 nのうち，もっとも小さい値を求めよ。 √54n＝√2× 3³ × n ←素因数分解 素因数の指数がすべて偶数のとき，√ をはずすことができるので， 2と 3をあと 1つずつかければよい。 よって，n＝ 2× 3＝ 6
▷ √700 － 28n が整数になるとき，自然数 nの値をすべて求めよ。 √700 － 28n ＝√28（25 － n）＝√22 × 7 ×（25 － n）より，25 － nが 0，7であればよい。 よって，n＝ 18，25※ 25 － n＝ 7× 22，7 × 32 …でも整数になるが，そのような自然数 nは存在しないので確認していない。
おきかえ（x－ 2y ＝ Aとする）
因数分解
おきかえ（x－ 2y ＝ Aとする）
因数分解
ここで a＝√5－ 2を代入ここで a＝√5－ 2を代入
第2章 平方根
発展新演習 中３数学 指導のポイント
【指導のねらい】★ 2次方程式の意味，必要性を理解する。★平方根による解法と因数分解による解法を知る。
11 2 次方程式の解き方⑴◆指導ページ P.64 ～ 67 ◆
はじめに
＜導入＞ 例えば，「底辺が高さより 2 cm長い面積が 25 cm2 の三角形の高さは何cmですか。」など，まず具体的な問題を出題し，それを数式化し，1次方程式や連立方程式では解決できないことを確かめ，2次方程式の解法の必要性を示すことから始めたい。 本単元は，最も単純かつ重要な平方根の考え方を利用した解法と因数分解を利用した解法を学ぶ。 平方根の場合は ax2 ＝ b，因数分解は（x＋ a）（x＋ b）＝ 0の形に変形することが基本である。どの解き方で解を出すのかを確認してから変形することを徹底したい。 この章の進行は，下記の様になる。 ①平方根と因数分解の利用 ②平方完成 ③解の公式の利用 ①は，2次方程式の基本的な解法で，②，③は①の方法で解けないものを解くときに必要とする。このテキストでは解なしの例は含まれていない。例題の段階で簡単に触れておくのがよい。
＜事前確認＞学習１，２2 次方程式…整理することにより， （2次式）＝ 0に変形できる方程式2次方程式の解… 2次方程式を成り立たせるような文字の値。解をすべて求めることを，その 2次方程式を解くという。平方根による解法・x2 ＝ k → x＝±√k
学習３，４因数分解による解法 �（2 次式）＝ 0の左辺が因数分解できるとき，次のことを利用する。 AB＝ 0 → A＝ 0またはB＝ 0
学習内容・補足事項など
学習１ ax2 ＝ bの解き方 理解 ⇒Ａ１，Ｂ１例題▷ 3x2 ＝ 48 x2 ＝ 16 ����x ＝± 4▷ 4x2 － 5 ＝ 0 4x2 ＝ 5
��x2 ＝ 54 ���x ＝± 5
4 ＝±√52
※ ax2 ＝ b の形に変形してから解き始める。■補足 解がない 2次方程式 x2 ＋ 2 ＝ 0 → x2 ＝－ 2 x2 ≧ 0 なので，xに対する解はない。解なし。
学習２ （x＋m）2 ＝ nの解き方 ⇒Ａ２，Ｂ２・x＋mをひとかたまりのものとみて，平方根の考えを使って解く。 （x＋m）2 ＝ n→ X2 ＝ n例題▷ （x－ 3）2 ＝ 25 �x － 3 ＝± 5 �x ＝ 3 ± 5 �x ＝ 8，－ 2▷ 16（x ＋ 5）2 － 3 ＝ 0 16（x ＋ 5）2 ＝ 3
（x＋ 5）2 ＝ 316 �x ＋ 5 ＝±√34 �x ＝－ 5±√34
学習３ 因数分解による解き方 理解 ⇒Ａ３，Ｂ３例題▷ x2 － x － 12 ＝ 0 （x ＋ 3）（x－ 4）＝ 0 x＋ 3＝ 0 または x－ 4＝ 0より， x＝－ 3，4
▷ 2x2 － 7x － 4 ＝ 0 （2x ＋ 1）（x－ 4）＝ 0 2x ＋ 1 ＝ 0 または x － 4 ＝ 0 より，
x＝－ 12 ，4
たすきがけは次のようになる。 2 1 → 1 1 － 4 → － 8 － 7※ 4・5課で学んだ因数分解をしっかりと身につけているか，再度確認しておきたい。
両辺を 3でわる
xは 16 の平方根
両辺を 3でわる
xは 16 の平方根
x－ 3は 25 の平方根x－ 3は 25 の平方根
左辺を因数分解左辺を因数分解
たすきがけたすきがけ
第3章 2次方程式
発展新演習 中３数学 指導のポイント
【指導のねらい】★ 2次方程式の解法として，平方完成の利用を定着させる。★解の公式による解き方を知る。★計算の発展的応用問題にふれる。
12 2 次方程式の解き方⑵◆指導ページ P.68 ～ 71 ◆
はじめに
＜導入＞ 本単元では，平方完成と解の公式について学習する。平方完成は 2次方程式の解法の中でも最も重要な位置をしめ，理解することも難しい考え方である。また，高校数学での平方完成につながっていくので，じっくり丁寧に教えたい。 また，平方完成を応用した解法が解の公式である。公式の中でもかなり複雑なものになるため，漠然と暗記をさせるのではなく，公式の求め方を何度も繰り返し書かせるなどして，しっかりと理解させたい。 本単元で，すべての 2次方程式の解法を学習したことになる。どの解法で2次方程式を解けばよいのかを再度確認したい。１．①（x＋m）2 ＝ n →平方根の利用 ② x2 ＋ px ＋ q ＝ 0 →因数分解の利用２．②で因数分解できない場合 →平方完成か解の公式 平方完成や解の公式ならばどんな 2次方程式も解くことはできるが，平方根や因数分解で解いた方が時間がかからないので，まずは平方根や因数分解の便利さを実感させたい。
＜事前確認＞学習１平方完成 x2 ＋ px ＋ q ＝ 0� →�（x ＋m）2 ＝ n
学習２解の公式ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 のとき，
x＝－ b±√b2 － 4ac2a
学習３いろいろな 2次方程式・x2 の係数が 1ではない →逆数をかけて，係数を 1にする。・式が複雑 →一度展開してから整理する。・おきかえを利用する場合もある。
学習内容・補足事項など
学習１ 平方完成による解き方 理解 ⇒Ａ１，Ｂ１ ※変形の仕方の手順をきちんと理解したい。例題▷ x2 － 6x ＋ 1 ＝ 0 x2 － 6x ＝－ 1 �� x2 － 6x ＋ 32 ＝－ 1＋ 32 ���（x － 3）2 ＝ 8 � x － 3 ＝± 2√2 �����x ＝ 3 ± 2 √2▷ x2 ＋ x － 4 ＝ 0 x2 ＋ x ＝ 4
x2 ＋ x ＋ 14 ＝ 4 ＋14
（x＋ 12 ）2＝ 174 �x ＋ 12 ＝±
√172
�x ＝－ 12 ±√172
学習２ 解の公式による解き方 ⇒Ａ２，Ｂ１例題▷ 2x2 － 5x ＋ 1 ＝ 0 a＝ 2，b＝－ 5，c ＝ 1 なので，解の公式より
x＝－（－ 5）±√（－ 5）2 － 4 × 2 × 12 × 2 ��＝5 ±√174▷ x2 ＋ 4x － 8 ＝ 0 a＝ 1，b＝ 4，c ＝－ 8なので，解の公式より
x＝－ 4±√42 － 4 × 1 ×（－ 8）2× 2 ��＝－ 4±√482 ��＝－ 4± 4√32 ��＝－ 2± 2√3
学習３ いろいろな 2 次方程式 ⇒Ａ３，Ｂ２～４例題
▷ x2 ＋ 12 x －16 ＝ 0
6x2 ＋ 3x － 1 ＝ 0 よって，解の公式より，
x＝－ 3±√32 － 4 × 6 ×（－ 1）2× 6 ��＝－ 3±√3312▷ ��2x（x － 1）＝（x－ 4）2 ���2x2 － 2x ＝ x2 － 8x ＋ 16 ���x2 ＋ 6x － 16 ＝ 0 （x＋ 8）（x－ 2）＝ 0 よって，x＝－ 8，2▷ （x－ 3）2 － 2（x － 3）－ 3＝ 0 X2 － 2X－ 3＝ 0 ��（X＋ 1）（X－ 3）＝ 0 よって，X＝－ 1，3 Xをもとに戻すと，x－ 3＝－ 1，3 したがって，x＝ 2，6
因数分解できない→平方完成→ 1を移項
両辺に xの係数の12の 2 乗を加える（6の12＝ 3 より 32）
左辺を因数分解
因数分解できない→平方完成→ 1を移項
両辺に xの係数の12の 2 乗を加える（6の12＝ 3 より 32）
左辺を因数分解
平方完成を利用
��ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0
��x2 ＋ ba x ＋ca＝ 0
x＋ ba x ＝－ca
x ＋ ba x ＋（ b2a ）2＝（ b
2a ）2－ ca ���（x ＋ b
2a ）2＝ b2 － 4ac4a2 �x ＋ b
2a ＝±√b2－ 4ac2a
���x ＝－ b±√b2－ 4ac2a
平方完成を利用
��ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0
��x2 ＋ ba x ＋ca＝ 0
x＋ ba x ＝－ca
x ＋ ba x ＋（ b2a ）2＝（ b
2a ）2－ ca ���（x ＋ b
2a ）2＝ b2 － 4ac4a2 �x ＋ b
2a ＝±√b2－ 4ac2a
���x ＝－ b±√b2－ 4ac2a
両辺に 6をかけ，分母をはらう両辺に 6をかけ，分母をはらう
両辺を展開する移項して整理する左辺を因数分解
両辺を展開する移項して整理する左辺を因数分解
x－ 3＝ Xと置きかえるx－ 3＝ Xと置きかえる
第3章 2次方程式
発展新演習 中３数学 指導のポイント
【指導のねらい】★ 2次方程式における解と係数の関係を理解する。★数について 2次方程式をたてることができるようにする。
13 2 次方程式の応用⑴◆指導ページ P.72 ～ 75 ◆
はじめに
＜導入＞ 本単元では，1次方程式や連立方程式では解けなかった複雑な応用問題を実際に解いてみる。このような文章問題を解くことで，2次方程式の意味も明確になる。 文章問題を解くにあたっては量の関係を考えたり，問題に適した図を書いたりするとよい。また，2次方程式で文章問題を解く場合，解が問題に適しているか確かめることを忘れがちになるので，これを習慣づけるようにしたい。 導入としては，テーマの確認でよく，すぐ例題に入ってよい。
＜事前確認＞学習１・方程式の解…代入すると等式を成り立たせる値。
学習２・解と係数の関係 ax2 ＋ bx＋ c＝ 0の解が p，qのとき a（x－ p）（x－q）＝0と表すことができ，
p＋ q＝－ ba pq ＝ ca となる。
学習３・2次方程式の文章問題…方程式の解が問題の答えとして適しているかを確かめる。
学習内容・補足事項など
学習１ 解と 2 次方程式 ⇒Ａ１，Ｂ１～３例題▷ 2次方程式 x2 －（a＋ 4）x ＋ a－ 1＝ 0の 1つの解が 2であるとき，aの値と他の解を求めよ。 x＝ 2を方程式に代入 4－（a＋ 4）× 2＋ a－ 1＝ 0，a＝－ 5 したがって，方程式は x2 ＋ x － 6 ＝ 0 これを解くと，（x－ 2）（x＋ 3）＝ 0，x ＝ 2，－ 3 よって，もう 1つの解は，x＝－ 3▷ 2次方程式 x2 － 2x － 1 ＝ 0 の 2 つの解のうち小さい方を aとするとき，a2 － 3a － 1 の値を求めよ。 x2 － 2x － 1 ＝ 0 より，平方完成すると（x－ 1）2 ＝ 2 よって，x＝ 1±√2 aは小さい方の解なので a＝ 1－√2 また，aは x2 － 2x － 1 ＝ 0 の解なので，a2 － 2a － 1 ＝ 0，a2 ＝ 2a ＋ 1 これを a2 － 3a － 1 に代入すると，（2a ＋ 1）－ 3a － 1 ＝－ a＝－（1－√2）＝－ 1＋√2※直接代入するより，次数を下げた方が計算が楽になる。
学習２ 2 次方程式の解と係数 * ⇒Ａ２，Ｂ４～７例題▷ 2次方程式 x2 ＋ ax ＋ b ＝ 0 の解が－ 1，3のとき，a，bの値を求めよ。 解が－ 1と 3である 2次方程式は，（x＋ 1）（x－ 3）＝ 0 これを展開すると，x2 － 2x － 3 ＝ 0 これより，係数を比べると，a＝－ 2，b＝－ 3※解を x2 ＋ ax ＋ b ＝ 0 に代入して aと bを解とする連立方程式にしてもよいが，計算が面倒になる。連立方程式はミスも多いので，この方法を知っておくとよい。
▷ 2次方程式 x2 ＋ 5x ＋ 2 ＝ 0 の 2 つの解を p，qとするとき，p2 ＋ q2 の値を求めよ。 解と係数の関係より，p＋ q＝－ 5，pq ＝ 2 p2 ＋ q2 ＝（p＋ q）2 － 2pq ＝（－ 5）2 － 2 × 2 ＝ 21※（x－ p）（x－ q）＝ 0より，x2 －（p＋ q）x ＋ pq ＝ 0 となるので，p＋ q＝－ 5，pq ＝ 2 といえる。毎回確認するよりは解と係数の関係を覚えた方がよい。
学習３ 数についての問題 ⇒Ａ３，Ｂ８～ 10例題▷ 和が 8で，積が 11 となる 2つの数を求めよ。 2つの数のうち，1つを xとすると，もう 1つの数は 8－ x と表せる。 これより，積が 11 なので，x（8－ x）＝ 11 これを解くと，x＝ 4±√5 x＝ 4＋√5のとき，もう 1つの数は 8－（4＋√5）＝ 4－√5 x＝ 4－√5のとき，もう 1つの数は 8－（4－√5）＝ 4＋√5 よって，2つの数は 4＋√5と 4－√5※解が問題の答えとして適当かを確認することを忘れないこと。▷ 連続した 3つの正の整数があり，最小の数の 2乗が他の 2数の和に等しい。この 3つの整数を求めよ。 最小の数を xとすると， �� x2 ＝（x ＋ 1）＋（x＋ 2） �� x2 ＝ 2x ＋ 3 �x2 － 2x － 3 ＝ 0 （x＋ 1）（x－ 3）＝ 0 �x ＝－ 1，3 xは正の整数なので，x＝ 3 よって，連続した 3つの正の整数は 3，4，5※中央の数，最大の数を xとしてもよいが，計算が楽になるものを選ぶとよい。
第3章 2次方程式
発展新演習 中３数学 指導のポイント
【指導のねらい】★図形や速さなど，各分野固有の性質や考え方をチェックする。★座標平面上での図形について理解する。★割合や濃度についての式をたてることができるようにする。
14 2 次方程式の応用⑵◆指導ページ P.76 ～ 81 ◆
はじめに
＜導入＞ 本単元では，図形や速さ，座標平面を利用した 2次方程式の応用問題を学習する。 図形や座標平面の性質を理解しているかどうかが重要であるため，図形の面積の求め方や 1次関数の性質を復習する必要がある。 割合や濃度に関しては，中学 2年の連立方程式でも扱っているので，その知識を応用する。 また，速さについても同様のことがいえるので，知識だけでも復習する必要がある。
＜事前確認＞学習１・�図形についての問題…求めたい図形の面積や体積の公式にあてはめる。
学習２・�座標平面上の問題…座標から辺の長さを求める。・座標の交点…連立方程式で求める。
学習３・割合，濃度
a割＝ a10 a%＝ a
100
学習内容・補足事項など
学習１ 図形についての問題 ⇒Ａ１，Ｂ１例題▷ 右の図のような，縦 15m，横 25mの長方形の土地に，同じ幅の道をつくり，残りの土地を畑にしたところ，畑の面積は 264m2 になった。このときの道の幅を求めよ。 �道の幅を xm（0＜ x ＜ 15）とすると，右の図のように，道を端に寄せると畑の合計が 1つの長方形として考えることができる。
この畑の面積の和は，縦（15 － x）m，横（25 － x）mの長方形なので， （15 － x）（25 － x）＝ 264 これを解くと，x＝ 3，37 0＜ x ＜ 15 より，x＝ 3m
学習２ 座標平面上の問題 ⇒Ａ２，Ｂ２例題▷ 3つの直線 y＝ 2x ＋ 3 …①，y＝ x ＋ 1 …②，x＝ a…③がある。また，点A，B，Cはそれぞれ①と②，①と③，②と③の交点である。△ABCの面積が 8のとき，aの値を求めよ。ただし，a＞ 0とする。 3点A，B，Cの座標を求める。 A…①と②を連立方程式として解くと，A（－ 2，－ 1） B，C…①，②に③を代入すると，B（a，2a ＋ 3），C（a，a＋ 1） �△ABCの底辺をBCとすると，高さは 2点A，Bの x座標の差となる。
BC＝（2a ＋ 3）－（a＋ 1）＝ a＋ 2 高さ＝ a－（－ 2）＝ a＋ 2
よって，△ABC＝ 12（a ＋ 2）2 ＝ 8 これを解くと，a＝ 2，－ 6
a＞ 0より，a＝ 2
学習３ 割合や濃度についての問題 ⇒Ａ３，Ｂ３・４例題▷ 原価 800 円の品物に x割の利益を見込んで定価をつけたが，売れないので定価の x割引きで売ったら，32 円の損をした。このとき，xの値を求めよ。
（定価）＝（原価）×（1＋利益の割合）＝ 800 ×（1＋ x10 ）
（売値）＝（定価）×（1－割引きの割合）＝ 800 ×（1＋ x10 ）×（1－ x
10 ） 売値から原価を引くと，損をした金額が出るので，
800（1 ＋ x10 ）（1－ x
10 ）－ 800 ＝－ 32 これを解くと，x＝± 2 x ＞ 0 より，x＝ 2▷ 10％の食塩水 100g が入っている容器から xg をとり，そのかわりに xg の水を入れてよく混ぜ，もう一度 xg をとり，xg の水を入れたところ，4.9%の食塩水になった。このとき，xの値を求めよ。 食塩の量に注目する。
100g の食塩水から xg をとると，食塩水は（100 － x）gなので，食塩は（100 － x）× 10100 g に
なる。もとの食塩の量は 10g なので，1回の操作で，食塩の量は 100 － x100 倍になる。
これを 2回行うので，10 ×（ 100 － x100 ）2＝ 100 × 4.9100 これを解くと，x＝ 30，170 0 ＜ x ＜ 100 より，x＝ 30
学習４ いろいろな問題 ⇒Ａ４，Ｂ５～７例題▷ ボールを毎秒 30mの速さで真上に投げると，t秒後には，始めの位置からおよそ（30t － 5t2）mの高さにあるという。はじめの位置から 40m高くなるのは何秒後か。 30t － 5t2 ＝ 40 これを解くと，t ＝ 2，4 �2 秒後にはボールが上昇しながら 40mの高さに到達し，4秒後には落下しながら 40mの高さに達する。
よって，2秒後と 4秒後
xm
xm
xm
xm
x
y ①
②
O
C
Ｂ
A
③
x
y ①
②
O
C
Ｂ
A
③
第3章 2次方程式
発展新演習 中３数学 指導のポイント
【指導のねらい】★ 2乗に比例する関数のグラフや性質，式の決定を学ぶ。★変化の割合の定義を確認し，2次関数の変化の割合を求めることができるようにする。★ xに対応する yの変域を求めることができるようにする。
15 関数 y＝ ax2◆指導ページ P.84 ～ 89 ◆
はじめに
＜導入＞ 本単元では，2乗に比例した関数の特徴について学習する。 2乗に比例する関数は，今までの関数同様に，意味，一般式，グラフなどをしっかりと理解させればよい。どのような関係が 2乗に比例するのかをまずは示すとよい。 変域については，xの変域が原点をまたいでいるかどうかが重要なポイントである。言葉だけでは理解に乏しいと思うので，グラフをかいて説明する方がよい。最大，最小の意味も「yの」最大，最小なのだと説明しないと理解してくれないときがある。なかなか理解しない場合は基本から説明して，しっかりと身につけさせたい。 変化の割合は，基本は中学 2年次に学習した変化の割合と同じ求め方ができるが，復習も兼ねて，まずは 1次関数にもどって変化の割合の定義を確認しておきたい。また，1次関数では，変化の割合＝傾きだったため，2乗に比例の関数でも，変化の割合＝比例定数と勘違いすることが多いので，気をつけたい。
＜事前確認＞学習１・2乗に比例する関数 一般式… y＝ ax2 （a：比例定数 a≠ 0）
学習２・y＝ ax2 の式の決定 式を求める→比例定数を求める。
学習３・y＝ ax2 のグラフ グラフの形…放物線・関数 y＝ ax2 の変域 xの変域が原点をまたがない → yの変域に 0が入らない。 xの変域が原点をまたぐ → yの変域に 0が入る。
学習４変化の割合＝ yの増加量xの増加量
学習内容・補足事項など
学習１ 2 乗に比例する関数 ⇒Ａ１，Ｂ１・xが 2倍，3倍…となると，yが（22 ＝）4倍，（32 ＝）9倍…となる。
例題▷ 1辺が x cmの立方体の表面積を y cm2 とする。このとき，yは x の 2 乗に比例することを示せ。また，比例定数を答えよ。 立方体の表面積は，6つの合同な正方形の面積の和である。 1つの正方形の面積＝ x× x ＝ x2 より y＝ 6x2 よって，yは x の 2 乗に比例し，比例定数は 6
学習２ y＝ ax2 の式の決定 ⇒Ａ２・比例定数の求め方… y＝ ax2 に x と y の組を 1組代入する。
例題▷ yは x の 2 乗に比例し，x＝－ 3のとき y＝ 27 である。⑴ yを x の式で表せ。 一般式 y＝ ax2 に x ＝－ 3，y＝ 27 を代入。 27 ＝ a ×（－ 3）2 これを解くと，a＝ 3 よって，y＝ 3x2⑵ x ＝ 2 のときの yの値を求めよ。 y＝ 3x2 に x ＝ 2 を代入。 y＝ 3× 22 ＝ 3 × 4 ＝ 12
学習３ y＝ ax2 のグラフと変域 理解 ⇒Ａ３～５，Ｂ２・４・５・a＞ 0のとき，上に開くグラフになる。・a＜ 0のとき，下に開くグラフになる。
例題
▷ 関数 y＝ 12 x2 …①，y＝－ x2 …②のグラフをかけ。 対応する x，yの値の組をいくつか求めて，これらの x，yの値の組を座標とする点をとり，なめらかな曲線でつなぐ。 ①（0，0），（2，2），（4，8）… ②（0，0），（1，－ 1），（2，－ 4）…▷ y＝ x2（－ 3≦ x ≦－ 1）…①，y＝－ 2x2（－ 1≦ x ≦ 2）…②の関数について，（ ）内に示された xの変域のとき，yの変域を求めよ。 ①… a＞ 0 また，xの変域が原点をふくまない → xの絶対値：最小 y：最小 x の絶対値：最大 y：最大 x＝－ 1のとき y＝ 1，x ＝－ 3のとき y＝ 9より，1≦ y≦ 9 ②… a＜ 0 また，xの変域が原点をふくむ → x＝ 0 y＝最大 xの絶対値：最大 y：最小 x＝ 0のとき y＝ 0，x ＝ 2 のとき y＝－ 8より，－ 8≦ y≦ 0
学習４ 変化の割合 暗記 ⇒Ａ６・関数 y＝ ax2 の変化の割合 xが pから qに増加する場合，yは ap2 から aq2 に増加するから 変化の割合＝ aq2 － ap2q － p ＝ a（q2 － p2）q － p ＝ a（q ＋ p）（q－ p）q－ p ＝ a（p＋ q）
例題▷ 関数 y＝ 2x2 について，xの値が 1から 3まで増加するときの変化の割合を求めよ。 変化の割合＝ a（p＋ q）＝ 2×（1＋ 3）＝ 8
学習５ 変化の割合の利用 ⇒Ａ７，Ｂ３例題▷ 2つの関数 y＝ ax2，y ＝ 4x － 3 は，xの値が－ 4から－ 2まで増加するときの変化の割合が等しい。aの値を求めよ。 y＝ ax2 の変化の割合は，a×（－ 4－ 2）＝－ 6a y＝ 4x － 3 は 1 次関数なので，変化の割合は 4 よって，－ 6a ＝ 4，a ＝－ 23
a＞0 のときy＝ax² y
a
x1－1 O
軸
頂点
放物線
yO 1－1
a
y＝ax²
a＜0 のとき
x
a＞0 のときy＝ax² y
a
x1－1 O
軸
頂点
放物線
yO 1－1
a
y＝ax²
a＜0 のとき
x
y
xO
4
2
－4 －2 2 4
－2
－4
①
②
y
xO
4
2
－4 －2 2 4
－2
－4
①
②
第4章 関数 y＝ ax2
発展新演習 中３数学 指導のポイント
【指導のねらい】★落下運動，車の制動距離などの問題を解けるようにする。★動点問題と図形の移動問題を解けるようにする。★いろいろな事象においての関係を関数として考えることができるようにする。
16 関数 y＝ ax2 の利用◆指導ページ P.90 ～ 93 ◆
はじめに
＜導入＞ 本単元では，関数の利用として物の落下や図形上の点の移動（＝動点）と面積，いろいろな事象と関数を扱う。 導入としては，2乗に比例する関数の代表的な文章問題として運動と動点をやると目標をあげればよい。 物の落下については，まず落下のイメージを描かせることが重要である。物を投げ上げたり，橋の上から物を前に放り投げたりしたときの落下のようすを思い出させ，それが放物線を描くことを確認することから始めたい。「放物線を描く→ 2乗に比例する関数→ y＝ ax2」と定式化しておく。 動点と面積では，1次関数では 1点の移動であったものが，2乗に比例する関数では 2点の移動になっている。また，1次関数にはなかった，図形の移動による重なりの問題が登場する。ここで注意したいのが場合分けである。重なりの面積は時間の経過とともに「三角形→台形→五角形→長方形」のような変化をするものもある。それぞれの形を見極め，それに対応する xの変域を正確に把握することが必要になる。どのように変化するのか正確に考えられるようにすることが大切である。 今まで学習した関数は比例・反比例，1次関数だが，すべて xが変化するとyが変化するものであった。ここでは，そうではない関数もあるということを知る必要がある。
＜事前確認＞学習１・落�下運動…落下する時間と落下距離が 2乗に比例する。
・制�動距離…車の速さと制動距離が 2乗に比例する。
学習２・図�形の変形… xの値がいくつのときに変わり方に変化が起こるのかを確認する。
学習内容・補足事項など
学習１ 関数 y＝ ax2 の利用 ⇒Ａ１例題▷ 高いところから物を自然に落としたとき，落ち始めてから x秒間に落ちる距離を y mとすると，およそ y＝ 5x2 の関係が成り立つ。次の問いに答えよ。⑴ 落ち始めてから 3秒間では，何m落ちるか。 x＝ 3なので，これを y＝ 5x2 に代入すると， y＝ 5× 32 ＝ 45 よって，45 m⑵ 高さ 80mのところから落とすと，地面に着くのは何秒後か。また，地面に着くまでの平均の速さを求めよ。 y＝ 80 を代入すると，80 ＝ 5x2，x ＝± 4 x ＞ 0 より，x＝ 4（秒後）
平均の速さ＝ 落ちた距離かかった時間＝
yの増加量xの増加量＝変化の割合より，
平均の速さ＝ a（p＋ q）＝ 5×（0＋ 4）＝ 20（m/s）※平均の速さが変化の割合と等しいことは覚えておくと問題が解きやすい。中学 2年の 1次関数の利用でも速さに関する問題があるので，そこで確認したことを利用するとよい。
学習２ 動点と図形の面積 ⇒Ａ２，Ｂ１・２例題▷ 右の図のような 1辺が 4cmの正方形ABCDがある。点 P，Qは同時に頂点Aを出発して，点 Pは辺AB，BC，CD上を点Dまで毎秒 2cmの速さで動き，点Qは辺AD上を毎秒 1cmの速さで動いてDに着いたら，Dで止まっている。P，QがAを出発してから x秒後の△APQの面積を ycm2 とする。xの変域が 0＜ x ≦ 2，2 ≦ x ≦ 4，4 ≦ x ＜ 6 のとき，それぞれ yを xの式で表せ。 0＜ x ≦ 2 のとき，Pは辺AB上，Qは辺AD上なので，AP＝ 2xcm，AQ＝ xcmより，
y＝ 2x × x × 12 ＝ x2
2≦ x≦ 4のとき，Pは辺BC上，Qは辺AD上なので，底辺＝AQ＝ xcm，高さ＝4cmより，
y＝ x × 4 × 12 ＝ 2x
4 ≦ x ＜ 6 のとき，Pは CD上，Qは点D上なので， 底辺＝AQ＝ 4cm，高さ＝ PD＝（12 － 2x）cmより，
y＝ 4×（12 － 2x）× 12 ＝－ 4x ＋ 24
※ 4 ≦ x ＜ 6 のときの考え方は中学 2年の 1次関数の利用における動点の問題でも学習している。確認しておくとよい。
学習３ いろいろな事象と関数 ⇒Ａ３，Ｂ３例題▷ 右のグラフは，定形外郵便物について，重さが xg の郵便物を送るときの料金を y円として，xと yの関係を表したものである。次の問いに答えよ。⑴ 次の xの値に対応する yの値を求めよ。 ① x＝ 80 50 ＜ x ≦ 100 のとき，y＝ 140 より， x＝ 80 のとき，y＝ 140 ② x＝ 150 100 ＜ x ≦ 150 のとき，y＝ 205 より， x＝ 150 のとき，y＝ 205※ 150 ＜ x ≦ 250 のときと間違えやすい。グラフ上の◦はふくむ点，◦はふくまない点を表している。⑵ y＝ 250 となるとき xの変域を求めよ。 グラフより，150 ＜ x ≦ 250※変域の不等号の扱いに注意すれば問題ない。
QA→
P↓
D
B C
QA→
P↓
D
B C
2x
A
P
Q（D）
B C
12－2x
4
2x
A
P
Q（D）
B C
12－2x
4
10050
120140
400
205250
250150 500x
y
O 10050
120140
400
205250
250150 500x
y
O
第4章 関数 y＝ ax2
発展新演習 中３数学 指導のポイント
【指導のねらい】★放物線と直線の交点，線分の長さの求め方を理解する。★グラフ上の図形（平行四辺形，三角形など）問題の処理方法を理解する。
17 放物線と直線◆指導ページ P.94 ～ 97 ◆
はじめに
＜導入＞ 本単元は，座標平面上の放物線と直線の関係を対象とした問題を学習する。 放物線と直線の交点では連立方程式，放物線と線分の長さでは x座標や y座標の差，方程式を利用して解く。 放物線と直線の交点に関しては，1次関数での 2直線の交点の座標を，グラフの 2式の連立方程式の解として求めたことの復習から始め，同様の方法で放物線と直線の交点の座標も求めることができることを指導したい。
＜事前確認＞学習１・放物線と直線の交点 y＝ ax2 と y ＝mx ＋ nの座標
→連立方程式���y ＝ ax2y ＝ mx ＋ nを解く。
学習２・y＝ ax2 上の 2点 A，Bを結ぶ直線の傾きは a（p＋ q）
学習３・放物線と線分の長さ 座標どうしの差を用いる。または，座標を文字で表し方程式を用いる。
学習内容・補足事項など
学習１ 放物線と直線の交点 * ⇒Ａ１，Ｂ１・y＝ ax2 と y ＝mx ＋ nが交わるとき，ax2 ＝ mx ＋ nとなる。例題▷ 右の図のように，放物線 y＝ ax2 …①，直線 y＝ 2x＋ 3…②が 2点A，Bで交わっている。点Bの x座標が 3のとき，aの値と点Aの座標を求めよ。 まず点Bの座標を求める。x＝ 3なので，これを②の式に代入する。 y＝ 2× 3＋ 3＝ 9 よって，B（3，9） これを①に代入すると， 9＝ a× 32，a ＝ 1 よって，①は y＝ x2 …③ ②と③より，x2 ＝ 2x ＋ 3，x2 － 2x － 3 ＝ 0 これを解くと，x＝ 3，－ 1なので，Aの x座標は－ 1 これを③に代入すると，y＝（－ 1）2 ＝ 1 よってA（－ 1，1）
学習２ 放物線と直線の式 ⇒Ａ２，Ｂ２，３例題▷ y＝ 2x2 と 2 点 A，Bで交わる直線ℓがある。点A，Bの x座標がそれぞれ－ 2，1であるとき，直線ℓの方程式を求めなさい。 A（－ 2，8），B（1，2）である。 解法① 直線ℓの傾きは 2点A，Bの変化の割合に等しい。 直線ℓの式を y＝mx ＋ nとすると， 変化の割合＝ 2×（－ 2＋ 1）＝－ 2 よって，y＝－ 2x ＋ n B（1，2）を通るので， 2＝－ 2× 1＋ n，n＝ 4 よって，y＝－ 2x ＋ 4 解法② 2点A，Bを通る直線の式を連立方程式を用いて求める。
���8 ＝－ 2m＋ n2 ＝m＋ n
これを解くと，m＝－ 2，n＝ 4 よって，y＝－ 2x ＋ 4
学習３ 放物線と線分の長さ ⇒Ａ３～６，Ｂ２～４例題▷ 放物線 y＝ 14 x2 …①と，直線 y＝ 8…②がある。右の図のように，直線②より下側にある放物線①の上に 2点A，Bをとり，A，Bから②にそれぞれ垂線AC，BDをひく。ただし，点Aの x座標は正であり，線分ABは x軸に平行である。⑴ 点Aの x座標が 2のとき，長方形ACDBの面積を求めよ。 A（2，1）より，B（－ 2，1），C（2，8）である。 AB＝ 2－（－ 2）＝ 4，AC＝ 8－ 1＝ 7なので， 長方形ACDBの面積＝ 4× 7＝ 28⑵ 長方形ACDBが正方形のとき，点Aの x座標を求めよ。
点Aの座標を t とすると，A（t， 14 t2）より，B（－ t， 14 t2），C（t，8） よって，AB＝ 2t，AC＝ 8－ 14 t2
AB＝ACのとき正方形になるので，2t ＝ 8 － 14 t2 これを解くと，t ＝－ 4± 4√3
t ＞ 0 より，t ＝－ 4＋ 4√3
x
y
O 3
A
B
① ②
x
y
O 3
A
B
① ②
x
y
O
B A
D C
①
②
x
y
O
B A
D C
①
②
第4章 関数 y＝ ax2
発展新演習 中３数学 指導のポイント
【指導のねらい】★等積変形を利用し，面積の等しい三角形をつくる点の座標を求めることができるようにする。★グラフ上の図形（平行四辺形，三角形など）問題の処理方法を理解する。
18 放物線と図形◆指導ページ P.98 ～ 101 ◆
はじめに
＜導入＞ 本単元は，2次関数の最後の単元であり，座標平面上の放物線と図形を対象とした問題について学習する。 平行四辺形の性質として，対辺は平行で長さが等しい。この性質を用いて座標を考えることが問題を解くときに重要となる知識である。中学 2年学習内容の図形の性質を一度復習しておくとよい。 三角形に関しては，面積を 2等分する直線の式を求める問題が重要である。中点の求め方をもう一度確認しておきたい。 等積変形に関しては，底辺と平行な直線を引かないと考えることができないので，補助線を引き，その式を求めることが大切である。平行な 2直線の特徴を復習しておきたい。
＜事前確認＞学習１・平行四辺形の性質 ① 2組の対辺はそれぞれ平行である。 ② 2組の対辺はそれぞれ等しい。③対角線はそれぞれの中点で交わる。
学習２・三角形の面積の 2等分… 1点と対辺の中点を通る。
学習３・等積変形…底辺と平行な線を頂点を通るようにひく。この平行線上ならば頂点がどこに移動しても面積は変わらない。
学習内容・補足事項など
学習１ 放物線と平行四辺形 ⇒Ａ１，Ｂ１例題
▷ 右の図のように，放物線 y＝ 12 x2 上に点A（4，8）をとり，y軸上に
点B（0，6）をとる。放物線上に 2点 P，Qを，四角形ABPQが平行四辺形になるようにとるとき，点 P，Qの座標を求めよ。 BA // PQ，BA＝ PQを利用する。
P（p， 12 p2），Q（q， 12 q2）とすると，線分ABの傾きは 8－ 64 － 0＝12
線分 PQの傾きは 12（p ＋ q）なので，
12（p ＋ q）＝12 ，p ＋ q ＝ 1 …①
また，BA＝ PQより，x座標の差が等しいので，q－ p＝ 4－ 0＝ 4…②
①，②より，p＝－ 32 ，q ＝52
よって，P（－ 32 ， 98 ），Q（ 52 ， 258 ）学習２ 放物線と三角形 ⇒Ａ２，Ｂ２・３面積の 2等分
中点
例題▷ 右の図のように，放物線 y＝ x2，直線 y＝ 2x ＋ 8 の交点をA，Bとする。このとき，次の問いに答えよ。⑴ △AOBの面積を求めよ。 A（－ 2，4），B（4，16）より， 直線 y＝ 2x ＋ 8 と y 軸との交点C（0，8）を用いると，
△AOB＝△AOC＋△BOC＝ 8× 2× 12 ＋ 8 × 4 ×12 ＝ 24
⑵ 原点Oを通り，△AOBの面積を 2等分する直線の式を求めよ。 線分ABの中点を通ればよい。ABの中点は（1，10）なので， 原点と（1，10）を通る直線の式は，y＝ 10x
学習３ 等積変形 ⇒Ａ３～５，Ｂ４等積変形
平行
P
A B
Qℓℓ// mのとき，
△PAB＝△QABm
例題
▷ 右の図のように，放物線 y＝ 13 x2 と直線ℓが 2点A，Bで交わっている。A，Bの x座標がそれぞれ－ 3，9のとき，次の問いに答えよ。
⑴ 直線ℓの式を求めよ。 A（－ 3，3），B（9，27）なので，傾きは 13 ×（－ 3＋ 9）＝ 2 y＝ 2x ＋ nとし，A（－ 3，3）を代入すると，n＝ 9 よって，y＝ 2x ＋ 9⑵ 放物線上のOと Bの間に点 Pをとる。△APB＝△AOBであるとき，点 Pの座標を求めよ。 OP // AB のとき，△APB＝△AOBとなる。
P（p， 13 p2）とすると，OPの傾き＝ 2より， 13 ×（0＋ p）＝ 2，p＝ 6 よって，P（6，12）
x
y
O
B
P
Q
A
x
y
O
B
P
Q
A
y
xO
CA
B
y
xO
CA
B
x
y
O
A
P
B
ℓ
x
y
O
A
P
B
ℓ
第4章 関数 y＝ ax2
発展新演習 中３数学 指導のポイント
【指導のねらい】★相似の定義と性質を理解し，相似比と比例式を用いた式の計算に慣れる。★三角形の相似条件を三角形の合同と対応し，理解する。★比例式を用いて，辺の長さを求めることができるようにする。
19 三角形の相似⑴◆指導ページ P.104 ～ 109 ◆
はじめに
＜導入＞ 本単元は，相似の定義，相似の位置，三角形の相似条件，相似比と辺の長さについて学習する。 相似の定義を，「形が同じで大きさの異なる図形」「形を変えないで大きさをそろえたとき，重なる図形」としてもよい。 導入としては，学習の目標が「図形の相似」であることを提示した上で，中学 2年で学習した「図形の合同」と対比させるとよい。 相似の位置については，作図ができることが重要である。相似の中心についてもきちんと理解させておきたい。 三角形の相似条件は，合同条件の復習をかねて合同条件と対比させて説明するとよい。その際，「2組の角がそれぞれ等しい」は，他の条件が 3つの要素をあげる必要があるのに対し，2つの要素をあげるだけでよく，最もよく使われる条件であることを指摘しておく。
＜事前確認＞学習１・相�似…形を変えず，一定の割合で拡大または縮小した図。
・相似な図形の性質 ①対応する辺…比が等しい ②対応する角…等しい・相似比…対応する辺の長さの比。
学習２・�相�似の位置… 2つの図形の対応する頂点を結ぶ直線が 1点 Oに集まり，Oまでの距離の比がすべて等しいとき，それらの図形は点Oを相似の中心とした相似の位置にあるという。
学習３三角形の相似条件・3組の辺の比がすべて等しい。・2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。・2組の角がそれぞれ等しい。
学習内容・補足事項など
学習１ 相似な図形 ⇒Ａ１，Ｂ１・相似…記号∽を使って表し，対応する頂点は同じ順に並べてかく。▷ 右の図で，四角形ABCDと四角形EFGHは相似である。このとき，次の問いに答えよ。⑴ 四角形ABCDと四角形EFGHの相似比を求めよ。 対応する辺の比を相似比という。 BC：FG＝ 8：12 ＝ 2：3⑵ 辺ADの長さを求めよ。 対応する辺の比はすべて相似比と等しいので，AD：EH＝AD：8＝ 2：3
比例式として解くと，3AD＝ 16，AD＝ 163（cm）
⑶ ∠A，∠Dの大きさを求めよ。 対応する角の大きさは等しいので，∠A＝∠E＝ 93° 四角形の内角の和は 360°なので，∠D＝ 360°－（93°＋ 65°＋ 82°）＝ 120°
学習２ 相似の位置 ⇒Ａ２例題▷ 右の図の点Oを相似の中心として，△ABCとの相似比が 2：1である△DEFをかけ。①相似の中心Oと 3点A，B，Cをそれぞれ結ぶ。②AO：DO＝ BO：EO＝ CO：FO＝ 2：1となるように点D，E，Fをとる。
B C
A
O
B C
AEF
D
D
EF
O
※D，E，Fの位置は 2通りとれるので，答えも 2通りある。
学習３ 三角形の相似条件 ⇒Ａ３，Ｂ２例題▷ 次の中から，相似な三角形の組を選び，記号∽を使って表せ。
60°
AB
C
60°
J
K
L PQ
R
6cm
15cm
12cm
G
H
I
10cm
5cm
12.5cm
DE
F
80°6cm
9cm M
NO
4cm
6cm80°
△ABCと△JLKにおいて， ∠A＝∠J＝ 90°，∠B＝∠L＝ 60°より，2組の角がそれぞれ等しいので，△ABC∽△JLK △DEFと△NMOにおいて， ∠D＝∠N＝ 80°，DE：NM＝ 9：6＝ 3：2，DF：NO＝ 6：4＝ 3：2より， 2組の辺の比が等しく，その間の角が等しいので，△DEF∽△NMO △GHI と△PQRにおいて， GH：PQ＝ 12.5：15 ＝ 5：6，GI：PR＝ 5：6，HI：QR＝ 10：12 ＝ 5：6 より， 3組の辺の比が等しいので，△GHI ∽△PQR
学習４ 相似比と辺の比 ⇒Ａ４・５，Ｂ３～５例題▷ 右の図で，∠ABC＝∠AEDであるとき，線分ECの長さを求めよ。 ∠ABC＝∠AED，∠BAC＝∠EAD（共通する角）より， 2組の角がそれぞれ等しいので△ABC∽△AEDである。 相似比を求めると，AB：AE＝ 4＋ 6：5＝ 2：1 よって，AC：AD＝AC：4＝ 2：1，AC＝ 8（cm） EC＝AC－AE＝ 8－ 5＝ 3（cm）
93°
E
F G
H
8cm
65° 82°
A
B C
D
8cm 12cm
93°
E
F G
H
8cm
65° 82°
A
B C
D
8cm 12cm
B C
A
OB C
A
O
A
B C
DE
5cm4cm
6cm
A
B C
DE
5cm4cm
6cm
第5章 相似
発展新演習 中３数学 指導のポイント
【指導のねらい】★ 2つの三角形の相似条件を確認し，相似の証明方法を知る。★相似であることを利用し，辺の長さを求める。
20 三角形の相似⑵◆指導ページ P.110 ～ 115 ◆
はじめに
＜導入＞ 本単元は，前単元で学んだ相似条件を用いて，相似の証明方法について学習する。 相似の証明については，合同の証明とほぼ同じであるので，中学 2年学習内容のときの証明の手順を確認する必要がある。 証明を書き始める前に，どの 2つの三角形を比べるのか，どの相似条件を用いるのかを見極めることが大切である。用いる相似条件の多くは「2組の角がそれぞれ等しい」なので，まず「大きさが等しいといえる 2組の角をみつける」ことから始めるとよい。
＜事前確認＞学習１～４相似の証明 ①対象となる 2つの三角形を示す。 ②相似条件の要素を順にあげる。 ・理由をかき，番号をふる ・対応の順に気をつける。 ③相似条件を明示する。 ④結論を記号を使って表す。
学習内容・補足事項など
学習１ 相似の証明①（直角三角形） ⇒Ａ１，Ｂ２例題▷ ∠A＝ 90°の直角三角形で，頂点Aから斜辺BCに垂線AHをひく。このとき，△HAC∽△HBAであることを証明せよ。 （証明） △HACと△HBAにおいて， 仮定より，∠AHC＝∠BHA＝ 90°…① 三角形の内角の和は 180°なので，∠HCA＝ 180°－∠AHC－∠HAC＝ 90°－∠HAC…② ∠BAC＝ 90°より，∠HAB＝ 90°－∠HAC…③ ②，③より，∠HCA＝∠HAB…④ ①，④より，2組の角がそれぞれ等しいので，△HAC∽△HBA
学習２ 相似の証明②（2組の角） ⇒Ａ２・３例題▷ 右の図は，正三角形ABCの辺 BC上に点Dをとり，ADを 1辺とする正三角形ADEをかいたもので，点FはACと DEの交点である。このとき，△ABD∽△DCFであることを証明せよ。 （証明） △ABDと△DCFにおいて， 正三角形の角はすべて等しいので，∠ABD＝∠DCF＝ 60°…① △ABDの内角と外角の関係より，∠BAD＋∠ABD＝∠ADC＝∠ADF＋∠CDF ここで，∠ABD＝∠ADF＝ 60°より，∠BAD＝∠CDF…② ①，②より，2組の角がそれぞれ等しいので，△ABD∽△DCF
学習３ 相似の証明③（2組の辺の比とその間の角） ⇒Ａ４，Ｂ３・４例題▷ △ABCの頂点 B，Cから辺AC，ABにそれぞれ垂線BD，CEをひく。このとき，△ABC∽△ADEであることを証明せよ。 （証明） △ABDと△ACEにおいて， 仮定より，∠ADB＝∠AEC＝ 90° 共通な角なので，∠BAD＝∠CAE 2組の角がそれぞれ等しいので，△ABD∽△ACE…① 次に，△ABCと△ADEにおいて， 共通な角なので，∠BAD＝∠CAE…② ①より，対応する辺の比は等しいので，AB：AC＝AD：AE よって，AB：AD＝AC：AE…③ ②，③より，2組の辺の比が等しく，その間の角が等しいので，△ABC∽△ADE
学習４ 相似の証明④（図形の折り返し） ⇒Ａ５，Ｂ５例題▷ 右の図は，長方形の紙ABCDを，頂点Aが辺 CD上にくるように折ったものである。点E，Fはそれぞれ点A，Bが移った点で，線分GHは，このときの折り目で，点 Iは辺 EFと線分 CHの交点である。このとき，△CIE ∽△DEGであることを証明せよ。 （証明） △CIE と△DEGにおいて， 仮定より，∠ECI ＝∠GDE＝ 90°…① △CIE の内角の和は 180°なので，∠CEI ＋∠CIE ＝ 180°－∠ECI ＝ 90°…② ∠GEI ＝ 90°より，∠CEI ＋∠DEG＝ 180°－∠GEI ＝ 90°…③ ②，③より，∠CIE ＝∠DEG…④ ①，④より，2組の角がそれぞれ等しいので，△CIE ∽△DEG
A
B CH
A
B CH
A
B CD
EF
A
B CD
EF
A
E
D
B C
A
E
D
B C
A G D
B H IF
C
E
A G D
B H IF
C
E
第5章 相似
発展新演習 中３数学 指導のポイント
【指導のねらい】★三角形と平行線の定理を理解する。★平行線と線分の比の定理を理解する。
21 平行線と線分の比◆指導ページ P.116 ～ 119 ◆
はじめに
＜導入＞ 本単元は，三角形と平行線，平行線と線分の比について学習する。 相似比を用いて線分の長さを求めることは前単元で学習したが，それを応用したものが今回の単元である。平行線があることで，必ず相似な関係ができるので，そこから辺の比について理解させたい。 相似な図形における対応する辺の比とは違う比を用いて問題を解くことになるため，どのような比を使ってよいのかを理解することが重要である。問題の図がパターン化しているので，それを覚えてしまうのも一つの方法である。比の計算は今まで同様，比例式を用いるので，ここでは新しい計算方法は出てこない。
＜事前確認＞学習１・三角形と平行線
Ａ
Ｄ
Ｂ Ｃ
Ｅ
E D
CB
A
・DE // BC のとき， AD：AB ＝ AE：AC ＝ DE：BC AD：DB ＝ AE：EC・AD：AB ＝ AE：AC のとき， または，AD：DB ＝ AE：EC のとき，
DE // BC
学習２・平行線と比
a′
b′
a
bm
n
ℓℓ// m // nならば，a：b＝a′：b′
学習内容・補足事項など
学習１ 三角形と平行線 ⇒Ａ１・下記のような図形が基本パターンとなり出題される。
例題▷ 右の図で，DE // BC のとき，線分 AE，BC の長さを求めよ。
AD：AB ＝ AE：AC より， 5：8 ＝ AE：12 8AE ＝ 60 AE ＝ 7.5 また，AD：AB ＝ DE：BC より， 5：8 ＝ 7：BC 5BC ＝ 56 BC ＝ 11.2
学習２ 平行線と線分の比 ⇒Ａ２・3 つ以上の平行線に交わる 2 直線は，平行線によって等しい比の線分に分けられる。例題▷ 右の図で，ℓ // m // n のとき，x，y の値を求めよ。 14：21 ＝ 2：3 より， 12：x ＝ 2：3 2x ＝ 36 x ＝ 18 y：（32 － y）＝ 2：3 3y ＝ 2（32 － y） y ＝ 12.8
※ 2：5 ＝ y：32 で解いてもよい。
学習３ 三角形・平行線と比の利用 ⇒Ａ３～５，Ｂ１～５例題▷ 右の図のように，平行四辺形 ABCD において，辺 CD，DA の
中点をそれぞれ M，N とし，さらに線分 AM，BN の交点を P とする。AP：PM，BP：PN を求めよ。
右下の図のように，AM，BC の延長の交点を Q とする。 △AMD と△QMC において， AD // CQ より，△AMD ∽△QMC がいえる。 また，対応する辺の比が 1：1 なので， △AMD ≡△QMC よって，BC ＝ AD ＝ CQ より，C は BQ の中点 ゆえに，BQ ＝ 2BC ＝ 2 × 2AN より， BQ：AN ＝ 4：1 △QPB ∽△APN より， 相似比は BQ：AN ＝ 4：1 よって，BP：PN ＝ 4：1 また，AP：PQ：AQ ＝ 1：4：5，AM：MQ：AQ ＝ 1：1：2 より， AQ ＝ 10 とすると，AP：PQ：AQ ＝ 2：8：10，AM：MQ：AQ ＝ 5：5：10 PM ＝ PQ － MQ より， PM ＝ 8 － 5 ＝ 3 よって，AP：PM ＝ 2：3
※共通する辺を同じ数でそろえると，すべての辺の長さを比べることができる。
A
B C
D E7
5 12
3
A
B C
D E7
5 12
3
m
n
ℓ12
3221
14 y
x
m
n
ℓ12
3221
14 y
x
A N
PM
D
B C
A N
PM
D
B C
A N
P M
D
B C Q
A N
P M
D
B C Q
第5章 相似
発展新演習 中３数学 指導のポイント
【指導のねらい】★中点連結定理を理解する。★中点連結定理を応用した問題を解くことができるようにする。
22 中点連結定理◆指導ページ P.120 ～ 123 ◆
はじめに
＜導入＞ 本単元は，中点連結定理について学習する。 導入としては，相似や平行線と比のつながりから，特別な場合があることを伝えて，中点連結定理を説明する。証明を生徒にやらせてもよい。 中点連結定理で重要なことは，どの点とどの点が中点となっているのかを見極めることと，どの三角形における中点なのかを確認することである。中点を見つけても，三角形を見つけないと中点連結定理は使えないので，この2 点を必ず確認させたい。 また中点連結定理は，中点どうしを結んだとき，その結んだ線はもう 1 つの辺と平行で長さが半分であるという定理だが，その逆も成り立つことを知っておきたい。
＜事前確認＞学習１～３・中 点連結定理…三角形の 2 辺の中点
を結ぶ線分は，残りの辺に平行で，長さはその半分に等しい。
学習内容・補足事項など
学習１ 中点連結定理 ⇒Ａ１・右の図において，
AM ＝ MB，AN ＝ NC，MN // BC，MN ＝ 12 BC
どれか 2 つが成り立つ⇒ 4 つすべてが成り立つ例題▷ 右の図の△ABC で，点 M，N はそれぞれ辺 AB，AC の中
点である。⑴ 線分 MN の長さを求めよ。
中点連結定理より，MN ＝ 12 BC から，MN ＝ 1
2 × 8 ＝ 4
⑵ ∠ANM の大きさを求めよ。 MN // BC より，平行線の同位角は等しいので， ∠AMN ＝∠ABC ＝ 75° よって，△AMN で，∠ANM ＝ 180°－（67°＋ 75°）＝ 38°
学習２ 中点連結定理の利用① ⇒Ａ２・３，Ｂ１・４例題▷ 右の図の△ABC で，点 D，E は辺 AB を三等分する点であり，
点 F は辺 BC の中点である。また，AF，CD の交点を G とする。EF ＝ 4cm のとき，線分 GC の長さを求めよ。 △BCD において，E，F は辺 BD，BC の中点なので，中点連結
定理より， DC ＝ 2EF ＝ 2 × 4 ＝ 8（cm）
また，DC // EF，D が辺 AE の中点なので，△AEF において中点連結定理より，
DG ＝ 12 EF ＝ 1
2 × 4 ＝ 2（cm）
よって，GC ＝ DC － DG ＝ 8 － 2 ＝ 6（cm） ※ DC // EF，D が AE の中点から中点連結定理が成り立つ理由は説明しておいた方がよい。
ただ，今後において使える知識なので，教科書等で記載されている中点連結定理より，学習 １での中点連結定理を理解しておくとよい。 DG // EF なので，AG：GF ＝ AD：DE ＝ 1：1 よって，G は AF の中点なので，△AEF において中点連結定理を用いることができる。
学習３ 中点連結定理の利用② ⇒Ａ４・５，Ｂ２・３・５例題▷ 四角形 ABCD の辺 AD，BC，対角線 AC，BD の中点をそれぞ
れ P，Q，R，S とすると，四角形 PSQR は平行四辺形であることを証明せよ。※平行四辺形になるための条件は以下の 5 つである。そのうちの
1 つを示せばよい。 ① 2 組の対辺がそれぞれ平行である。 ② 2 組の対辺がそれぞれ等しい。 ③ 2 組の対角がそれぞれ等しい。 ④対角線がそれぞれの中点で交わる。 ⑤ 1 組の対辺が平行でその長さが等しい。
（証明） △ABC において，中点連結定理より，
RQ // AB …①，RQ ＝ 12 AB …②
△ABD において，中点連結定理より，
PS // AB …③，PS ＝ 12 AB …④
①，③より，RQ // PS …⑤ ②，④より，RQ ＝ PS …⑥ ⑤，⑥より，1 組の対辺が平行でその長さが等しいので，四角形 PSQR は平行四辺形である。
A
NM
B C
A
NM
B C
A
67°
75°
M
B C
N
8
A
67°
75°
M
B C
N
8
A
GE
B C
D
F
A
GE
B C
D
F
A
B C
DP
RS
Q
A
B C
DP
RS
Q
第5章 相似
発展新演習 中３数学 指導のポイント
【指導のねらい】★三角形の角の二等分線と辺の比の関係を理解する。★三角形の重心について理解する。
23 相似と線分の比◆指導ページ P.124 ～ 129 ◆
はじめに
＜導入＞ 本単元は，角の二等分線と辺の比，線分比の移動，三角形の重心について学習する。 角の二等分線と辺の比については，計算問題としてもよく出題される内容である。どの辺で比をつくるのかがすぐには覚えられないことがあるので，問題をくり返し解くことで使えるようにしたい。 線分比の移動については，補助線をひくことで平行線と比を応用することができる問題である。ただ，補助線のひき方が難しいので，なぜそこに平行線をひくのかを丁寧に説明したい。 重心については，まず重心の概念から説明したい。「重心＝つりあいの中心」であることを実演して確認し，
「三角形の重心を求めるにはどうしたらいいのか」という発問で解説に入るとよい。
＜事前確認＞学習１・角 の二等分線と辺の比…△ABC の
∠A の二等分線が辺 BC と交わる点を D とすると，
AB：AC ＝ BD：DC が成り立つ。
学習２・線 分比の移動…線分の比は，適当な
平行線をひくことによって，他の線分上に移すことができる。
学習３・中 線…三角形の頂点とそれに向かい
合う辺の中点を結ぶ線分。・三 角形の重心…三角形の 3 つの中線
が交わった点。
学習内容・補足事項など
学習１ 角の二等分線と辺の比 ⇒Ａ１，Ｂ１例題▷ △ABC の∠A の二等分線が辺 BC と交わる点を D とする。こ
のとき，AB：AC ＝ BD：DC であることを証明せよ。 ※平行な補助線をひいて，三角形と平行線の定理を使う。 AB：AC を 1 つの線分上で扱えるようにする。（証明）
点 C を通り DA に平行な直線をひき，BA の延長との交点を E とすると，同位角や錯角は等しいので，
∠AEC ＝∠BAD，∠ACE ＝∠DAC また，仮定より，∠BAD ＝∠DAC だから，∠AEC ＝∠ACE よって，△ACE は二等辺三角形なので，AE ＝ AC …① また，△BCE において AD // EC より，BA：AE ＝ BD：DC …② ①，②より，AB：AC ＝ BD：DC
学習２ 線分比の移動 * ⇒Ａ２，Ｂ３～５例題▷ 右の図のように，△ABC の辺 AB 上に AD：DB ＝ 2：1 となる点 D，
辺 AC 上に AE：EC ＝ 3：2 となる点 E をとり，BE と CD の交点を Fとする。このとき，BF：FE を求めなさい。※ F を通る直線と平行な線を補助線としてひく。ここでは E を通り，
FD と平行な直線をひき，それを AB との交点を G とする。 △BEG において，DF // GE なので，BF：FE ＝ BD：DG
AD：DB ＝ 2：1 より，DB ＝ 12 AD …①
△ACD において，EG // CD なので，AG：GD ＝ AE：EC ＝ 3：2
よって，DG ＝ 25 AD …②
①，②より，BF：FE ＝ BD：DG ＝ 12 AD： 2
5 AD ＝ 5：4
※ CF：FD を求めるには，点 D を通り，BE に平行な直線をひけばよい。
学習３ 三角形の重心 * ⇒Ａ３・三角形の重心…重心はそれぞれの中線を 2：1 に分ける。例題▷ 三角形の 3 つの中線は 1 つの点で交わる。これを証明せよ。
※辺 BC，CA，AB の中点をそれぞれ L，M，N とするとき，AL と BMの交点と，AL と CN の交点が一致することを示す。
（証明） 中線 AL と BM の交点を G とする。線分 ML をひくと，中点連結定理
より，AB // ML，AB ＝ 2ML よって，AG：GL ＝ AB：ML ＝ 2：1 …① 次に，中線 AL と CN の交点を H とすると， 同様にして，AH：HL ＝ AC：NL ＝ 2：1 …② ①，②より，点 G，H はともに AL を 2：1 に分けることから，点 G と点 H は一致する。
よって，AL，BM，CN は 1 点で交わる。
学習４ 三角形の重心の利用 * ⇒Ａ４・５，Ｂ２例題▷ 右の図の平行四辺形 ABCD で，点 L，M，N はそれぞれ辺 AB，BC，
CD の中点である。BD と LM，AN の交点をそれぞれ P，Q とするとき，PQ：BD を求めよ。
△ACD において，AO ＝ OC，CN ＝ ND なので，Q は△ACD の重心
よって，DQ：QO ＝ 2：1 これより，OQ ＝ 13 OD ＝ 1
6 BD
また，△OBC において中点連結定理より，PO ＝ 12 BO ＝ 1
4 BD なので，
PQ ＝ PO ＋ OQ ＝ 14 BD ＋ 1
6 BD ＝ 512 BD ゆえに，PQ：BD ＝ 5：12
A
B CD
A
B CD
A
B C
E
D
A
B C
E
D
A
E
CF
D
B
A
E
CF
D
B
A
E
CF
D
B
G2
1
③
②
A
E
CF
D
B
G2
1
③
②
A
M
C
N
B L
A
M
C
N
B L
A
M
CB L
G
A
C
N
B L
H
A
M
CB L
G
A
C
N
B L
H
A
PL Q N
D
B M C
A
PL Q N
D
B M C
A
PL Q
O N
D
B M C
①②
A
PL Q
O N
D
B M C
①②
第5章 相似
発展新演習 中３数学 指導のポイント
【指導のねらい】★相似な図形における，相似比と面積比の関係を理解する。★相似な立体における，相似比と体積比の関係を理解する。
24 面積比と体積比◆指導ページ P.130 ～ 135 ◆
はじめに
＜導入＞ 本単元は，相似比と面積比・体積比について学習する。今までは平面図形における相似だけを考えてきたが，空間図形でも相似という関係があるので，特徴をよくおさえておくようにする。 面積比や体積比が相似比から求めることができることを理解できればよいが，実際に相似な図形における面積や体積を求め，面積比や体積比がどのような関係になっているかを確認してからの方がよいだろう。 一度確認したら，その知識を使って例題を解いてみることも忘れずに行うこと。今までも比例式を用いて計算をしてきたが，少しでも違った考え方が出てくると今までと同じ方法が使えないと勘違いしてしまうことがある。計算方法は今までと同じでよいことを説明しておきたい。
＜事前確認＞学習１・三 角形と面積比…高さが等しい 2 つ
の三角形の面積比は底辺の比と等しい。
学習２・周 の長さの比…相似な平面図形の周
の長さの比は，相似比に等しい。・面 積比…相似な平面図形の面積比は，
相似比の 2 乗に等しい。
学習３，４・表 面積比…相似な立体の表面積比は，
相似比の 2 乗に等しい。・体 積比…相似な立体の体積比は，相
似比の 3 乗に等しい。
学習内容・補足事項など
学習１ 三角形と面積比 ⇒Ａ１，Ｂ１
1 つの辺が共通→S₁：S₂＝a：b
1 つの角が共通→ ＝S₁ S₂
a b
S₁ S₂
a b B
A
D
C
E△ADE△ABC
AD×AEAB×AC
例題▷ 右の図の△ABC で，AP：PB ＝ 2：1，BQ：QC ＝ 3：1， CR：RA ＝ 4：1 のとき，△PQR：△ABC を求めよ。 △ABC ＝ S とし，△PQR を S を用いて表す。
△APR ＝ 15 × 2
3 × S ＝ 215 S
同様に，△BQP ＝ 14 S，△CRQ ＝ 1
5 S
よって，△PQR ＝ S －（ 215 S ＋ 1
4 S ＋ 15 S）＝ 5
12 S
よって，5：12
学習２ 相似比と面積比 ⇒Ａ２・３，Ｂ２・３・相似比と周の長さの比…相似比 m：n →周の長さの比 m：n・相似比と面積比…相似比 m：n →面積比 m2：n2例題▷ 右の図の△ABC で，AD ＝ DF ＝ FB，AE ＝ EG ＝ GC である。
△AFG ＝ 24cm2 のとき，四角形 DFGE と四角形 FBCG の面積を求めよ。四角形 DFGE AF：AD ＝ AG：AE ＝ 2：1 より，△AFG ∽△ADE で，相似比は 2：1 よって，面積比は 4：1 なので，△ADE ＝ 24 ÷ 4 ＝ 6（cm2） ゆえに，四角形 DFGE ＝ 24 － 6 ＝ 18（cm2）四角形 FBCG △AFG ∽△ABC で，相似比は 2：3，面積比は 4：9
よって，四角形 FBCG ＝ 94 × 24 － 24 ＝ 30（cm2）
学習３ 相似比と体積比 ⇒Ａ４，Ｂ４・相似比と表面積比…相似比 m：n →表面積比 m2：n2・相似比と体積比…相似比 m：n →体積比 m3：n3例題▷ 相似な 2 つの三角錐 F，G があって，F と G の相似比は 5：3
である。次の問いに答えよ。⑴ G の表面積が 225cm2 のとき，F の表面積を求めよ。
F と G の表面積比＝ 25：9 より，F の表面積＝ 225 × 259 ＝ 625（cm2）
⑵ F の体積が 500cm3 のとき，G の体積を求めよ。
F と G の体積比＝ 125：27 より，G の体積＝ 500 × 27125 ＝ 108（cm3）
学習４ 空間図形と相似 ⇒Ａ５，Ｂ５・錐体（角錐や円錐）を底面に平行な平面で切り分けてできる小さい錐体は，もとの錐体と相似
な関係である。例題▷ 右の図は，円錐を底面に平行な平面で切り，その上部を取り除いた立体を
表している。下の面の面積が 27πcm2，上の面の面積が 12πcm2 で，高さが5cm のとき，この立体の体積を求めよ。
もとの円錐を表すと右下の図のようになる。 もとの円錐と取り除いた円錐は相似なので， 面積比＝ 27π：12π＝ 9：4 より，相似比＝ 3：2 よって，体積比＝ 27：8 ゆえに，もとの円錐と求めたい立体の体積比は，27：19 また，もとの円錐の高さは 5 × 3 ＝ 15（cm）より，
求めたい立体の体積は，27π× 15 × 13 × 19
27 ＝ 95π（cm3）
A
P
R
Q CB
A
P
R
Q CB
②
❸ ❶
4
1
①
A
P
R
Q CB
②
❸ ❶
4
1
①
A
P
R
Q CB
m² n²∽ nm
m² n²∽ nm
A
F G
ED
CB
A
F G
ED
CB
∽∽
F GF G
5cm
12πcm²
27πcm²
5cm
12πcm²
27πcm²
5cm
②
③5cm
②
③
第5章 相似
発展新演習 中３数学 指導のポイント
【指導のねらい】★円と弦，円と接線について理解する。★円周角の定理について理解し，利用できるようにする。★円周角の定理の逆，円に内接する四角形について理解する。
25 円周角と中心角◆指導ページ P.138 ～ 143 ◆
はじめに
＜導入＞ 本単元では，円の特徴と円周角について学習する。 円周角の定理は，証明においても利用できるものなので，きちんと理解できるまで問題を解かせたい。角度計算では，円周角の定理に合わせて，今まで学習したものとの複合問題がよく出題される。中学 2 年学習内容のときの多角形や平行と合同の知識を復習しておきたい。 円周角の定理の逆は，どのような状況のときに利用できるのかを判断できるようにしたい。 円に内接する四角形は，角度計算でも利用できるので，円周角の定理を利用した証明を用いて説明するなどして，しっかりと理解させたい。
＜事前確認＞学習１・円と弦 ① 円の中心から弦に引いた垂線は，
その弦を二等分する。 ② 弦の垂直二等分線は，円の中心を
通る。・円と接線 ① 円の接線は，接点を通る半径に垂
直である。 ② 円外の 1 点からその円にひいた 2
つの接線の長さは等しい。
学習２～４・円 周角…ある弧の両端と別の円周上
の点とを結んだときにできる円周上の角。
・円周角の定理 ① 1 つの弧に対する円周角の大きさ
は，その弧に対する中心角の大きさの半分である。
② 同じ弧に対する円周角の大きさは等しい。
学習５・内 接…多角形のすべての頂点が 1 つ
の円の周上にあるとき，その多角形は円に内接するという。また，その円を多角形の外接円という。
・円に内接する四角形の性質①対角の和は 180°である。②外角はそれととな
り合う内角の対角に等しい。
・四角形が円に内接する条件
上の①，②のどちらかが成り立つとき。
学習内容・補足事項など
学習１ 円の基本性質 理解 ⇒Ａ１，Ｂ１例題▷ 右の図で，円外の 1 点 P から円 O に 2 つの接線をひき，その接点を A，
B とするとき，PA ＝ PB であることを証明せよ。 （証明） △OPA と△OPB において，共通な辺なので，OP ＝ OP …① 円 O の半径なので，OA ＝ OB …② PA，PB は接線だから，∠OAP ＝∠OBP ＝ 90°…③ ① , ② , ③より，直角三角形の斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しいので，△OPA ≡△OPB よって，対応する辺は等しいので PA ＝ PB
学習２ 円周角の定理 暗記 ⇒Ａ２例題
▷ 右の図で，∠APB ＝ 12 ∠AOB であることを証明せよ。
・△OAP と△OPB が二等辺三角形であることを利用する。 （証明） ∠OPA ＝∠a，∠OPB ＝∠b とする。 円 O の半径より，OP ＝ OA だから，∠OAP ＝∠OPA ＝∠a ∠AOC は△AOP の外角だから，∠AOC ＝ 2 ∠a 同様にして，∠BOC ＝ 2 ∠b したがって，∠AOB ＝ 2（∠a ＋∠b）
∠APB ＝∠a ＋∠b なので，∠APB ＝ 12 ∠AOB
学習３ 円周角と中心角 理解 ⇒Ａ２，Ｂ２・３▷ 右の図で，∠x の大きさを求めよ。
∠APB は A⌒B に対する円周角で，中心角は∠AOB なので，
∠APB ＝ 12 ∠AOB ＝ 1
2 × 120°＝ 60°
学習４ 円周角の定理の逆 理解 ⇒Ａ３，Ｂ４例題▷ 円周上に 3 点 A，B，C がある。右の図のように，直線 AB について点 C と同
じ側に点 P をとるとき，∠APB と∠ACB の大小関係を次の場合について示せ。⑴ P が円周上 円周上にあるときは，円周角の定理より∠APB ＝∠ACB⑵ P が円の内部 右の図 1 より，△APC′の内角と外角の関係より， ∠APB ＞∠ACB⑶ P が円の外部 右の図 2 より，△APC′の内角と外角の関係より， ∠APB ＜∠ACB
学習５ 円に内接する四角形 * ⇒Ａ４，Ｂ５例題▷ 円 O に内接する四角形 ABCD について，∠BAD ＋∠BCD ＝ 180°であることを証明せよ。 （証明） 右の図のように，対角線 AC，BD をひく。 A⌒B，A⌒D に対する円周角より， ∠ACB ＝∠ADB，∠ACD ＝∠ABD △ABD の内角の和から，∠BAD ＋∠ADB ＋∠ABD ＝ 180°より， ∠BAD ＋∠ACB ＋∠ACD ＝ 180° ∠ACB ＋∠ACD ＝∠BCD なので， ∠BAD ＋∠BCD ＝ 180°
Ｏ
Ａ
ＢＰ
Ｏ
Ａ
ＢＰ
P
BAC
O
P
BAC
O
P
a
a
b
b
BAC
O
P
a
a
b
b
BAC
O
O120°
A
P
BxO
120°
A
P
Bx
P P
BA
CP
P P
BA
CP
BA
C PP
BA
C図 1 図 2
C′
C′
BA
C PP
BA
C図 1 図 2
C′
C′
CB
A D
O
CB
A D
O
第6章 円
発展新演習 中３数学 指導のポイント
【指導のねらい】★円周角を利用して，三角形の合同や相似を証明することができる。★内接四角形の特徴や接弦定理，方べきの定理を理解する。
26 円と相似◆指導ページ P.144 ～ 149 ◆
はじめに
＜導入＞ 本単元では，円周角を利用した証明とさまざまな定理について学習する。 円周角を利用した証明は，どの円周角どうしが等しくなるのかが最も重要になる。証明の際に，等しい角を説明する根拠がこれまでに学習してきたことに加えて，更にふえることになるので，円を使った証明の場合には，必ず考えるように指導したい。 内接四角形と相似は第 25 課で学習したことを証明に応用するので，第25 課の内容を確認しておきたい。 接弦定理は，どの角とどの角が等しくなるのかをきちんと理解させたい。 方べきの定理は，相似な図形の特徴を定理にしたものである。計算問題で用いると簡単に問題が解けるものがあるので，身につけさせておきたい。。
＜事前確認＞学習１・円�周角の定理…同じ弧に対する円周角の大きさは等しい。
学習２・内接四角形①対角の和は 180°②内角は，その対角の外角に等しい
学習３，４・接�弦定理…円の接線と，その接点を通る弦とがつくる角は，その角内にある弧に対する円周角に等しい。
学習５・方べきの定理A D
C
PB
B
DC
AP
PA× PB＝ PC× PDB
T
AP
PA× PB＝ PT2
学習内容・補足事項など
学習１ 円と相似 理解 ⇒Ａ１，Ｂ１～３例題▷ 右の図のように，円Oに 2つの弦AB，CDをひき，その交点を Pとする。このとき，△PAC∽△PDBであることを証明せよ。・円周角の定理を利用して，等しい大きさの角を示す。 （証明） △PACと△PDBにおいて， 対頂角は等しいので，∠APC＝∠DPB…① C⌒Bに対する円周角は等しいから，∠CAP＝∠BDP…② ①，②より，2組の角がそれぞれ等しいので，△PAC∽△PDB
学習２ 内接四角形と相似 * ⇒Ａ２，Ｂ４例題▷ 右の図のように，円に内接する四角形ABCDで，AD，BCそれぞれの延長が交わる点をEとする。このとき△ABE∽△CDEであることを証明せよ。 （証明） △ABEと△CDEにおいて 共通な角なので，∠AEB＝∠CED…① 内接する四角形の内角は，その対角の外角に等しいので，∠ABE＝∠CDE…② ①，②より，2組の角がそれぞれ等しいので，△ABE∽△CDE
学習３ 接弦定理 * 理解 ⇒Ａ３例題▷ 右の図で，直線ATが点Aにおける円Oの接線であるとき， ∠TAB＝∠ACB（接弦定理）が成り立つことを証明せよ。 （証明） 直径ADをひき，点B，Dを結ぶ。 ∠DAT＝ 90°より，∠TAB＝ 90°－∠BAD…① ∠ABD＝ 90°より，∠ADB＝ 90°－∠BAD…② ①，②より，∠TAB＝∠ADB また，A⌒Bに対する円周角なので，∠ADB＝∠ACB よって，∠TAB＝∠ACB
学習４ 接弦定理と相似 * ⇒Ａ４例題▷ 右の図で，四角形ABCDは円に内接し，B⌒C＝ C⌒Dである。円Oの点 Cにおける接線と辺ADの延長との交点をEとする。このとき，△ABC∽△CDEであることを証明せよ。 （証明） △ABCと△CDEにおいて， 接弦定理より，∠CAD＝∠DCE…① B⌒C＝ C⌒Dより，∠BAC＝∠CAD…② ①，②より，∠BAC＝∠DCE…③ また，四角形ABCDは円に内接しているので，∠ABC＝∠CDE…④ ③，④より，2組の角がそれぞれ等しいので，△ABC∽△CDE
学習５ 方べきの定理 * ⇒Ａ５，Ｂ５例題▷ 右の図で，直線 PTは点Tで円に接している。PA＝ 4，PB＝ 10 のとき，PTの長さを求めよ。 方べきの定理より，PA× PB＝ PT2 よって，PT2 ＝ 4 × 10 PT＞ 0より，PT＝ 2√10
BC
A
D
P
O
BC
A
D
P
O
B CE
A
D
B CE
A
D
B
C
O
A T
B
C
O
A T
B
CD
O
A T
B
CD
O
A T
DB
A
O
C E
DB
A
O
C E
P
A
B
TP
A
B
T
第6章 円
発展新演習 中３数学 指導のポイント
【指導のねらい】★三平方の定理を証明する。★三平方の定理を利用でき，三平方の定理の逆を理解する。★特別な直角三角形の 3辺の比を利用できるようにする。
27 三平方の定理◆指導ページ P.152 ～ 157 ◆
はじめに
＜導入＞ 本単元では，三平方の定理について学習する。 三平方の定理は，ピタゴラスの定理とも呼ばれ，この定理を用いることによって，平面図形の求積をほぼ可能にし，その後の数学史上においても重要な位置を占めている。 導入には，古代エジプト・ギリシアにさかのぼってエピソードを紹介するなど，さまざまな方法が考えられる。 直角三角形にしか用いることのできない定理なので，解く前に，直角三角形であるか，どれが斜辺かの 2点を必ず確認するように徹底させたい。
＜事前確認＞学習１，２・三�平方の定理…直角三角形の直角をはさむ 2辺の平方の和は，斜辺の平方と等しい。
学習３・三�平方の定理の逆…ある三角形において，2辺の平方の和が他の 1辺の平方と等しいとき，その三角形は直角三角形である。
学習４・三角定規の直角三角形 ① �45°，45°，90°の直角三角形の 3
辺の比は 1：1：√2 ② �30°，60°，90°の直角三角形の 3
辺の比は 1：2：√3・3辺の比が整数で表される直角三角形 3：4：5 5：12：13 8：15：17 など
学習内容・補足事項など
学習１ 三平方の定理（定理の証明）理解 ⇒Ａ１，Ｂ１・三平方の定理…直角三角形の直角をはさむ 2辺の長さを a，b， 斜辺の長さを cとすると，a2 ＋ b2 ＝ c2例題▷ 三平方の定理を，右の図の正方形CDFHを使って，証明せよ。 正方形AEGBの面積を 2通りの方法で表し，等号で結ぶ。 正方形AEGBの面積をSとすると，1辺が cの正方形だから，S＝c2…① また，正方形CDFHから 4つの合同な直角三角形を引いた図形だから，
S＝（a＋ b）2 － 12 ab × 4 ＝ a2 ＋ 2ab ＋ b2 － 2ab ＝ a2 ＋ b2 …②
①，②より，a2 ＋ b2 ＝ c2
学習２ 直角三角形の辺の長さ ⇒Ａ２・３，Ｂ２・３例題▷ 右の図の△ABCで，辺ACの長さを求めよ。ただし，AHは点Aから辺CBの延長へひいた垂線である。 △AHBにおいて，∠H＝ 90°なので，三平方の定理より， AH2 ＋ HB2 ＝ AB2，AH2 ＝ 132 － 52 ＝ 144 △AHCにおいて，三平方の定理より， AC2 ＝ AH2 ＋ HC2 ＝ 144 ＋ 162 ＝ 400 よって，AC＞ 0より，AC＝ 20
学習３ 三平方の定理の逆 ⇒Ａ４・a2 ＋ b2 ＝ c2 ならば，∠C＝ 90°例題▷ 次の長さを 3辺とする三角形は，直角三角形といえるか。 ⑴ 8 cm，15 cm，17 cm 82 ＝ 64，152 ＝ 225，172 ＝ 289 より，64 ＋ 225 ＝ 289 なので，直角三角形である。 ⑵ 12 cm，15 cm，21 cm それぞれの長さを 3でわると，4 cm，5 cm，7 cmとなる。 42 ＝ 16，52 ＝ 25，72 ＝ 49 より，16 ＋ 25 ≠ 49 なので，直角三角形ではない。※相似な三角形で直角三角形であることを調べてもよい。
学習４ 特別な直角三角形の辺の比 暗記 ⇒Ａ５，Ｂ３～５
1 1 3
4 5
12
135
三角定規型3辺の比 整数比型
12
60°45°
30°
2 3
例題▷ 次の図の直角三角形で，x，yの値を求めなさい。⑴
45°
y
x
10
45°の角をもつ直角三角形なので，x：y：√10 ＝ 1：1：√2
よって，x＝ y＝√10 × 1√2 ＝√5
⑵
30°y
6
x
30°の角をもつ直角三角形なので，y：6：x ＝ 1：2：√3よって，y＝ 6÷ 2＝ 3x ＝ y ×√3＝ 3√3
Ａ
ＣＢ
c b
a
Ａ
ＣＢ
c b
a
DF E
C
A
H
G
B
c b
a
DF E
C
A
H
G
B
c b
a
H C
A
B
13
115H C
A
B
13
115
Ａ
ＣＢ
c b
a
Ａ
ＣＢ
c b
a
第7章 三平方の定理
発展新演習 中３数学 指導のポイント
【指導のねらい】★三平方の定理を利用して三角形・四角形の高さや面積を求めることができるようにする。★座標平面上の 2点間の距離を求めることができるようにする。
28 三平方の定理と平面図形◆指導ページ P.158 ～ 163 ◆
はじめに
＜導入＞ 本単元では，三平方の定理を他の平面図形において応用する方法を学習する。 直角をふくんでいない平面図形において三平方の定理を利用するには，補助線をひき，直角三角形をつくることから始めることになる。 特別な直角三角形が利用できる場合は，必ず角度が与えられているので，角度と三平方の定理を関連付けて考えることができるように指導したい。補助線の引き方次第では問題が解けなくなってしまうので，どのようなひき方をすべきなのか，しっかりと指導したい。 座標平面上における 2点間の距離は，2点を結んだ線分を斜辺とする直角三角形を利用する。実際に図で示した方がミスが少なくなるので，きちんと図をかかせたい。
＜事前確認＞学習１，２・三�角形・四角形の面積…補助線をひき，直角三角形をつくる。
学習３・平�面図形への応用…求めたい辺の長さを xとして，三平方の定理を利用して方程式をたてる。
学習４・2�点間の距離… 2点を結ぶ線分を斜辺とした直角三角形を利用する。
学習内容・補足事項など
学習１ 三角形・四角形の面積① 理解 ⇒Ａ１，Ｂ１～３例題▷ 次の図形の面積を求めよ。⑴ ∠B＝ 60°，∠C＝ 75°，BC＝ 4の△ABC 75°＝ 30°＋ 45°より，Cから辺ABに垂線 CHをひくと，△HBCは 30°，60°，90°の直角三角形になり，△AHCは直角二等辺三角形になる。 HB＝ 4÷ 2＝ 2，CH＝ 2√3，AH＝ CH＝ 2√3 よって，△ABCの面積は，（2＋ 2√3）× 2√3÷ 2＝ 6＋ 2√3⑵ AD // BC，AD＝ 5，BC＝ 9，AB＝ CD＝ 6の台形ABCD 点Aを通り辺DCに平行な直線とBCの交点をEとすると，台形は，二等辺三角形ABEと平行四辺形AECDに分けられる。 Aから辺BCに垂線AHをひくと，BH＝ HE＝（9－ 5）÷ 2＝ 2 △ABEにおいて，三平方の定理より，AH＝√62 － 22 ＝ 4 √2 よって，台形ABCD＝（5＋ 9）× 4√2÷ 2＝ 28 √2
学習２ 三角形・四角形の面積② 理解 ⇒Ａ２例題▷ 右の図は，AB＝ 13，BC＝ 14，CA＝ 15 の△ABCで，点Aから辺BCに垂線AHをひいたものである。次の⑴～⑶を求めよ。 ⑴ 線分BHの長さ BH＝ xとおくと，CH＝ 14 － x △ABH，△ACHのそれぞれで三平方の定理を用いると， AH2 ＝ AB2 － BH2 ＝ 132 － x2 AH2 ＝ AC2 － CH2 ＝ 152 －（14 － x）2 よって，132 － x2 ＝ 152 －（14 － x）2 これを解くと，x＝ 5 ⑵ 線分AHの長さ AH2＝AB2－BH2より，AH2＝ 132－ 52＝ 144 AH＞ 0より，AH＝ 12 ⑶ △ABCの面積 △ABC＝ 14 × 12 ÷ 2 ＝ 84
学習３ 平面図形への応用 ⇒Ａ３・４，Ｂ４～６例題▷ 右の図は，AB＝ BC＝ 8の直角二等辺三角形の紙ABCを，線分EFを折り目として頂点Aが辺 BCの中点Dに重なるように折ったものである。BEの長さを求めよ。 BE＝ x とすると，ED＝ EA＝ 8－ x となる。 △EBDにおいて，三平方の定理より， BE2 ＋ BD2 ＝ ED2，x2 ＋ 42 ＝（8－ x）2 これを解くと，x＝ 3
学習４ 2点間の距離 理解 ⇒Ａ５・2点間の距離…座標平面上の 2点A（x1，y1），B（x2，y2）間の距離は， AB＝√（x2 － x1）2 ＋（y2 － y1）2例題▷ 座標平面上の 3点A（3，2），B（－ 2，4），C（－ 4，－ 1）を頂点とする△ABCはどんな三角形か。 AB2 ＝（－ 2－ 3）2 ＋（4－ 2）2 ＝ 29 BC2 ＝｛（－ 4－（－ 2）｝2 ＋（－１－ 4）2 ＝ 29 CA2 ＝｛3－（－ 4）｝2 ＋（2－（－ 1）｝2 ＝ 58 より， AB＝ BCである。 また，CA2 ＝ AB2 ＋ BC2 より，∠B＝ 90°の直角三角形である。 よって，△ABCは∠B＝ 90°の直角二等辺三角形である。
A
H
B 60° 30°45°
C4
A
H
B 60° 30°45°
C4
A
HB C
E
D
4 5
5
66
A
HB C
E
D
4 5
5
66
A
HB C
A
HB C
A
HB x 14－x
13 15
C
A
HB x 14－x
13 15
C
A
F
E
B CD
A
F
E
B CD
x
8－x
4
A
F
E
B CD
x
8－x
4
A
F
E
B CD
y
x
B
OC
A
y
x
B
OC
A
第7章 三平方の定理
発展新演習 中３数学 指導のポイント
【指導のねらい】★三平方の定理を円に応用できるようにする。★円と円に接する図形についての考え方を深める。
29 三平方の定理と円◆指導ページ P.164 ～ 169 ◆
はじめに
＜導入＞ 本単元では，三平方の定理を円に応用する方法について学習する。 三平方の定理を利用するには，直角三角形を見つけなくてはいけないので，垂線のひき方が重要になる。 円と弦については，第 25 課で学習したことを利用すれば直角三角形をつくることができるので，再度確認しておきたい。 円と接線の関係は重要である。どこが垂直なのかをきちんと理解しておきたい。 内接円は，半径が三角形の辺と垂直に交わるので，学習２と同様の解き方ができる。問題のパターンとして頭に入れておきたい。 他にもさまざまな問題があるが，補助線のひき方がポイントとなることに変わりはない。
＜事前確認＞学習１・円�と弦…円の中心から弦にひいた垂線は，その弦を二等分する。
学習２・円�と接線…円の接線は，接点を通る半径に垂直である。
学習３・三�角形の内接円…三角形の 3つの辺に接する円を，その三角形の内接円という。
・三�角形の内心…内接円の中心。3つの角の二等分線の交点である。
学習４・三�角形の外接円…三角形の 3つの頂点を通る円を，その三角形の外接円という。
・三�角形の外心…外接円の中心。三角形の 3つの辺の垂直二等分線の交点である。
学習内容・補足事項など
学習１ 円と弦 ⇒Ａ１・右の図のとき，AB＝ 2√r2 － d2例題▷ 半径6 cmの円で，中心Oから 2 cmの距離にある弦ABの長さを求めよ。 �中心Oと弦との距離は，Oから弦ABにひいた垂線OHの長さなので，OH＝ 2 cm。
また，OHはABを二等分するので，HはABの中点である。 △OAHで，三平方の定理より， AH2 ＝ 62 － 22 ＝ 32，AH＝ 4√2（cm） よって，AB＝ 2AH＝ 8√2（cm）
学習２ 円の接線の長さ 理解 ⇒Ａ２，Ｂ１・２・右の図で，PA＝ PB＝√d2 － r2例題▷ 半径 5 cmの円Oと半径 7 cmの円O′があり，中心間の距離OO′は16 cmである。右の図のように，2円に共通する接線をひいたとき，線分ABの長さを求めよ。ただし，A，Bは接点とする。 半径OA，O′Bをひくと， OA⊥AB，O′B⊥AB 点OからO′Bに垂線OHをひくと，長方形AOHBができて， AB＝ OH，O′ H ＝ 7 － 5 ＝ 2 △OO′Hで，三平方の定理より， AB＝ OH＝√162 － 22 ＝ 6 √7（cm）
学習３ 三角形の内接円 * ⇒Ａ３～５，Ｂ４・三角形の内接円…三角形の 3辺を，a，b，c，内接円の半径を r，三角形の面積を Sとすると，
S＝ r2（a ＋ b ＋ c）
例題▷ AB＝ 13，BC＝ 14，CA＝ 15 の△ABCについて，その内接円の半径を rとする。rの値を求めよ。 �右の図のように，内接円の中心を I，内接円が各辺と接する点をD，E，Fとする。
�△ABC＝△IBC＋△ICA＋△IABであり，ID，IE，IF はそれぞれの三角形の高さとなる。
また，ID＝ IE＝ IF＝ r，△ABCの面積は 84（第 28 課学習２参照）なので，
84 ＝ r2（13 ＋ 14 ＋ 15）＝ 21r これより，r＝ 4
学習４ 三角形の外接円 * ⇒Ａ５・６，Ｂ５例題▷ AB＝ 13，BC＝ 14，CA＝ 15 の△ABCについて，その外接円の半径をRとする。Rの値を求めよ。 �右の図のように，外接円の中心をOとし，AOの延長と外接円との交点をDとする。
また，Aから辺BCに垂線AHをひくと，△ADC∽△ABHより， AD：AB＝AC：AH ここで，AD＝ 2R，AB＝ 13，AC＝ 15 また，AH＝ 12（第 28 課学習２参照）となるので， 2R：13 ＝ 15：12
よって，R＝ 658
rＡ
Ｂ
Ｏ drＡ
Ｂ
Ｏ d
Ａ
Ｂ
Ｏ62
Ｈ
Ａ
Ｂ
Ｏ62
Ｈ
Ａ
Ｂ
Ｐ rdＡ
Ｂ
Ｐ rd
ＢA
Ｏ′Ｏ
ＢA
Ｏ′Ｏ
ＢA
Ｏ′Ｏ
Ｈ5
7
16
ＢA
Ｏ′Ｏ
Ｈ5
7
16
A
B C
EF
D
I13
15
14
r
A
B C
EF
D
I13
15
14
r
A
B C
D
H
O
151312
R
A
B C
D
H
O
151312
R
第7章 三平方の定理
発展新演習 中３数学 指導のポイント
【指導のねらい】★直方体，立方体の対角線を求める公式を覚える。★立体の切り口の面積を求めることができるようにする。★立体表面を結ぶ最短経路を求めることができるようにする。
30 三平方の定理と空間図形⑴◆指導ページ P.170 ～ 175 ◆
はじめに
＜導入＞ 本単元では，三平方の定理を空間図形に応用する方法について学習する。 空間図形についてを考えるが，三平方の定理を利用できるのは直角三角形という平面図形のときのみなので，空間の中に直角三角形を見つける，もしくは作る必要がある。 直方体の対角線を求めるには，例題のように直角三角形を作ってもよいが，公式を用いると計算は簡単になる。求め方を理解した上で公式を覚えさせたい。 立体の切断は，指定された点以外にも通る点があるので，それを探すことが大切である。 最短経路は，中学 1年での既習内容だが，長さを求めるには三平方の定理が必要になるが，どのようなときに最短になるのかは別途理解している必要があるので，中学 1年の学習内容を復習しておきたい。
＜事前確認＞学習１，２・直�方体の対角線…同一面上にない 2点を結んだ線分が直方体の対角線である。
学習３・切�り口の図形…立方体を 1つの平面で切ったときの切り口の図形について，
①図形の辺は立方体の面上にできる。 ②立方体の平行な面には，平行な辺 ができる。 ③切り口の辺の延長線を利用する。
学習４・最�短経路…立体の表面にそって 2点を結ぶときの最短経路は，展開図の上では，2点を結ぶ線分で表される。
学習内容・補足事項など
学習１ 直方体・立方体の対角線の長さ 暗記 ⇒Ａ１・直方体の対角線…√a2 ＋ b2 ＋ c2・立方体の対角線…√3 a例題▷ 右の図は，AB＝ 7，AD＝ 5，AE＝ 4の直方体を表している。対角線AGの長さを求めよ。 �空間の中に，AGを辺にもつ直角三角形を見つけ，三平方の定理を利用する。
△AEGで，∠AEG＝ 90°なので，AG2 ＝ AE2 ＋ EG2 EGが分からないので，EGを求める。 △EFGで，∠EFG＝ 90°なので，三平方の定理より，EG2 ＝ 52 ＋ 72 これを用いると，△AEGで三平方の定理より， AG2 ＝ 42 ＋ 52 ＋ 72 ＝ 90 AG＞ 0より，AG＝ 3√10
学習２ 直方体・立方体への応用 理解 ⇒Ａ２，Ｂ１例題▷ 右の図 1は，AB＝AD＝ 2，AE＝ 1の直方体を表している。次の問いに答えよ。⑴ 3点A，F，Cを頂点とする△AFCの面積を求めよ。 AF，FCは長方形の対角線，CAは正方形の対角線なので， AF＝ FC＝√22 ＋ 12 ＝√5 CA＝ 2√2 �よって，△AFCは図 2のような二等辺三角形である。 高さFMは，√（√5）2 －（√2）2＝√3なので， 面積は，2√2×√3÷ 2＝√6⑵ △AFCと対角線BHとの交点を Lとする。BLの長さを求めよ。 �対角線 BHをふくむ面BFHDは図 3のようになる。
BH＝√22 ＋ 22 ＋ 12 ＝ 3 BL：LH＝ 1：2なので，BL＝ 1
学習３ 立体の切り口 * ⇒Ａ３・５，Ｂ２～４例題▷ 右の図は 1辺 6の立方体で，点M，Nはそれぞれ辺FG，GHの中点である。3点A，M，Nを通る平面で，この立方体を切ったとき，切り口の図形の周の長さを求めよ。 �直線MNと直線 EF，EHそれぞれの延長上と交わる点を P，Qとする。3点A，P，Qを結ぶ△APQをふくむように立方体を切る。すると，点A，P，Q以外に，BF，DH上の点 I，J を通る五角形AIMNJとなる。
△MFP≡△MGNより，FP＝ GN＝ 3 また，△IFM≡△IFP より， AI ＋ IM＝AI ＋ IP ＝ AP＝√62 ＋ 92 ＝ 3 √13 同様にAJ＋ JN＝ AQ＝ 3√13 MN＝ 3√2なので，周の長さは 3√13 × 2 ＋ 3 √2 ＝ 6 √13 ＋ 3 √2
学習４ 最短経路 ⇒Ａ４・５例題▷ 右の図は，AB＝ 5，AD＝ 4，AE＝ 3の直方体で，点 Pは辺 BC上の点である。線分の長さの和AP＋ PGがもっとも小さくなるとき，その値を求めよ。また，そのときのBPの長さを求めよ。 �点 Pがある辺BCを切り離さない展開図をかき，線分AGをかき入れる。
右の図より，△AFGで，三平方の定理より， AP＋ PG＝AG＝√82 ＋ 42 ＝ 4 √5 また，BP // FG より，BP：FG＝AB：AF BP：4＝ 5：8
よって，BP＝ 52
a bc a
直方体 立方体a bc a
直方体 立方体
A
E F
GH
B
D C
A
E F
GH
B
D C
7
45
A
E F
GHB
D C
7
45
A
E F
GHB
D C
図 1
LＡ
Ｂ Ｃ
Ｄ
Ｆ Ｇ
ＨＥ
図 1
LＡ
Ｂ Ｃ
Ｄ
Ｆ Ｇ
ＨＥ
図 2 図 3F
A CM
5 5
2 2
B D
L
（AC）
（EG）F H
図 2 図 3F
A CM
5 5
2 2
B D
L
（AC）
（EG）F H
A D
B
F GMNHE
C
A D
B
F GMNHE
C
A D
B
FGM
I
P N Q
J
HE
C
A D
B
FGM
I
P N Q
J
HE
C
D C
A
E F
G
P
HB
D C
A
E F
G
P
HB
D GC
A B F
P4
5 3
D GC
A B F
P4
5 3
第7章 三平方の定理
発展新演習 中３数学 指導のポイント
【指導のねらい】★角錐や円錐に三平方の定理を利用して，体積や表面積を求めることができるようにする。★球や正四面体などに三平方の定理を応用することができるようにする。
31 三平方の定理と空間図形⑵◆指導ページ P.176 ～ 181 ◆
はじめに
＜導入＞ 本単元では，三平方の定理を角錐や円錐，球などに利用する方法を学習する。 立体の高さや球の半径の長さが分かれば，体積や表面積を求めることができるので，長さを求めるための直角三角形を見つけることが重要になる。 正四角錐の場合，高さは頂点から底面の対角線の交点にひいた線となる。また，円錐の場合は，頂点から底面の円の中心にひいた線が高さである。その線をふくんだ直角三角形で三平方の定理を利用すればよいことを気付かせたい。 正四面体の場合，頂点から底面の重心にひいた線が高さになる。重心の特徴について確認をする必要があるので，そこから指導するとよい。
＜事前確認＞学習１
・（～錐の体積）＝13×（底面積）×（高さ）
・正�四角錐の高さ…正四角錐の頂点から底面にひいた垂線は，底面の正方形の対角線の交点を通る。
学習２・円�錐の高さ…円錐の頂点から底面にひいた垂線は，底面の円の中心を通る。
学習３・球の半径を rとすると， 表面積＝ 4πr2
体積＝ 43 πr3
学習 4・正�四面体の高さ…正四面体の頂点から底面にひいた垂線は，底面の正三角形の重心を通る。
・重�心…中線の交点。中線を 2：1に分ける位置にある。
・中�線…頂点から対辺の中点にひいた線。
学習内容・補足事項など
学習１ 角錐への応用 理解 ⇒Ａ１・３，Ｂ１・４例題▷ 右の図は，底面が 1辺 6の正方形で，残りの辺の長さが 5の正四角錐O-ABCDである。体積と表面積を求めよ。 体積…�底面の正方形の対角線の交点をHとすると，OHが正四角錐
の高さとなる。
AH＝ 12 AC＝12× 6 √2 ＝ 3 √2 より，
OH＝√52 －（3√2）2 ＝√7
（体積）＝ 13×（底面積）×（高さ）より，13× 6 × 6 ×√7＝ 12 √7
表面積…側面の△OABの高さは，OI ＝√52 － 32 ＝ 4
よって，表面積は，6× 6＋ 12× 6 × 4 × 4 ＝ 84
学習２ 円錐への応用 理解 ⇒Ａ２，Ｂ２
・側面を展開したおうぎ形の半径をℓ，中心角を a°，底面の円の半径を rとすると， a360 ＝
rℓ
例題▷ 右の図は円錐の展開図で，OA＝ 10 cm，∠AOB＝ 216°である。円錐の体積を求めよ。※底面の半径，円錐の高さ，体積の順に求める。
底面の半径を r cmとすると， 216360 ＝r10より，r＝ 6
これより，円錐の高さは√102 － 62 ＝ 8（cm）
したがって，体積は， 13×π× 6× 6× 8＝ 96π（cm3）
学習３ 球への応用 理解 ⇒Ａ２・３，Ｂ２・３例題▷ 右の図のように，深さが 10cm，底面の半径が 4cmの円柱状の容器に，同じ大きさの球を 2つ入れたところ，上の球の上端から容器の上端まで 4cmであった。このとき，この球の半径を求めよ。 右下の図のように，球の中心で切断した図で考える。 �2 つの球の中心をA，B，球の半径を xcmとし，図のような直角三角形ACBを考えると，
AB＝ 2x，AC＝ 8－ 2x，BC＝ 6－ 2x よって，三平方の定理より， （2x）2 ＝（8－ 2x）2 ＋（6－ 2x）2 これを解くと，x＝ 7± 2√6 0＜ x ＜ 4 なので，x＝ 7－ 2√6（cm）
学習４ 正四面体への応用 * ⇒Ａ４・５，Ｂ５▷ 右の図は 1辺の長さが 6の正四面体O-ABCである。体積を求めよ。 �頂点 O から底面の正三角形 ABC に垂線 OH をひくと，点 H は△ABCの重心なので，
AH＝23 AM＝23× 3√3＝ 2√3
よって，△OAHにおいて，OH＝√62 －（2√3）2 ＝ 2 √6
△ABC＝ 12× 6 × 3 √3 ＝ 9 √3 より，
体積は， 13 × 9 √3 × 2 √6 ＝ 18 √2
O
A B
CD
O
A B
CD
O
A B
CDH 6
6
5
O
A B
CDH 6
6
5
O
IA B3
5
O
IA B3
5
216°
OAB
10cm
216°
OAB
10cm
O
10
6
O
10
6
BAC
4cm
6cm
8cm
x
xBAC
4cm
6cm
8cm
x
x
O
C
B
A
O
C
B
A
O
C
B
A H M
6
36
O
C
B
A H M
6
36
第7章 三平方の定理
発展新演習 中３数学 指導のポイント
【指導のねらい】★全数調査と標本調査の意味や使い分けを理解する。★標本調査を利用して，全体のようすを推定することができるようにする。
32 標本調査◆指導ページ P.184 ～ 187 ◆
はじめに
＜導入＞ 本単元では，標本調査について学習する。 調査をするときに，すべての対象を調査することが難しいものには，標本調査が行われていることを説明するとよい。 計算よりも言葉の意味をしっかりと理解させ，何を聞かれているのかを判断できるようにすることが大切になる。 ただ，割合を使った計算があるので，確認しておく必要がある。割合の計算を苦手とする生徒は多いので，きちんと指導したい。
＜事前確認＞学習１・全�数調査…調査の対象となっている集団全部について調査すること。
・標�本調査…集団の一部分を調査して全体を推定する調査方法。
学習２・無�作為抽出…母集団からかたよりがないように標本をとり出すこと。
学習内容・補足事項など
学習１ 標本調査の意味 ⇒Ａ１・２，Ｂ１・全数調査…全体を調べることが容易のときに用いる。・標本調査…全体を調べることが難しいときに用いる。・母集団…標本調査を行うとき，傾向を知りたい集団全体のこと。・標本…母集団の一部分を取り出して実際に調べたもの。・標本の大きさ…取り出した資料の個数。例題▷ 次の調査は，全数調査，標本調査のうち，どちらが適切か。◦テレビ番組の視聴率調査 標本調査が行われるのは以下のような場合のときである。 ・全数調査では多くの手間や時間，費用などがかかる場合。 ・工場の製品の良否を調べるのに製品をこわすおそれがある場合。 ・およその傾向が予想できれば十分な場合や，現実的に全数調査が不可能な場合。 �テレビ番組の視聴率調査は，全世帯のうちの何世帯かを選んで調べ全体を推定する方法で行われるので，この調査は標本調査が適している。◦学校で行う生徒の健康診断 学校で行う生徒の健康診断は，生徒全員に対して行われる。よって，この調査は全数調査である。◦製造工場で行う電球の寿命調査 全数調査をすると，出荷する電球がなくなるので，標本調査で確認する。■補足・母集団と標本の違いを理解しておく必要がある。▷ Ａ中学校の生徒 500 人から 25 人を選び出してアンケートを行った。⑴ この調査の母集団は何か。 今回の調査は，全体から一部分を取り出して行っているので，標本調査である。 この調査は，Ａ中学校の生徒を対象に行われているので，母集団はＡ中学校の生徒 500 人である。⑵ 標本は何か。また，その大きさを答えよ。 アンケートを行ったのは，500 人中，25 人なので，選び出された 25 人の生徒が標本である。 その標本の大きさは 25 人である。
学習２ 標本調査と母集団の傾向 ⇒Ａ３～５，Ｂ２～５・無�作為抽出の例…資料に番号をつけ，くじびきや乱数さい，乱数表，コンピュータなどを利用して取り出す。
・母集団の傾向…無作為に抽出した標本の性質を調べ，その結果から母集団の傾向を推定する。例題▷ 袋の中に同じ大きさの赤玉と白玉が合わせて 400 個入っている。この袋の中から 30 個の玉を無作為に抽出したところ，12 個の赤玉が含まれていた。この袋の中には，赤玉と白玉がそれぞれおよそ何個入っているか推定せよ。 �無作為に抽出した場合，標本における赤玉の割合は，母集団における赤玉の割合とほぼ等しいと考えてよい。
よって，赤玉の割合は， 1230 ＝25
ゆえに，袋の中の赤玉の個数は，およそ 400 × 25 ＝ 160（個）
白玉の個数は，およそ 400 － 160 ＝ 240（個） （別解） 袋の中の赤玉を x個とすると，x：400 ＝ 12：30■補足無作為抽出の方法は，何かしらのかたよりがあってはいけない。▷ ある中学校の生徒 400 人から，50 人を選び出してアンケートを行うことにした。このとき，50 人の生徒をどのように選ぶのがよいか。適切なものを，次のア～ウから 1つ選べ。ア 3年生の女子生徒がちょうど 50 人いるので，この 50 人を選ぶ。イ 全校生徒 400 人に 1から 400 までの番号をつけ，くじびきで 50 人を選ぶ。ウ 運動部の生徒が 100 人いるので，その中からくじびきで 50 人を選ぶ。 �無作為抽出は，かたよりがないように標本をとりだすことなので，アやウのように，中学校の生徒全体に対して 3年生女子のみや，運動部のみというかたよった選び方では正しい調査結果が得られない。よって，イが適切である。
第8章 資料の活用
発展新演習 中３数学 指導のポイント
【指導のねらい】★座標平面上の図形に，相似の考え方を応用できるようにする。★座標平面上の図形で，三平方の定理を利用できるようにする。
33 1 次関数のグラフと図形◆指導ページ P.190 ～ 193 ◆
はじめに
＜導入＞ 本単元では，座標平面上における相似や三平方について学習する。 導入としては，座標平面上の図形についての問題を解くために何が必要かを説明するだけでよい。 座標が分かっていれば辺の比を求めることは可能なので，面積などを求めるときは相似を用いる。 また，斜めの線分の長さを求めるには三平方の定理が必要になるので，問題を解く上で何が必要になるのかを判断できるようにしたい。
＜事前確認＞学習１・1�次関数と相似…線分をいくらかの比に分ける点の座標は，平行線によってその比を座標軸上に移して求めることができる。
学習内容・補足事項など
学習１ 1次関数と相似の応用 ⇒Ａ１・２，Ｂ２・４例題▷ 右の図のような 3点A（1，3），B（－ 2，－ 2），C（7，－ 1）を頂点とする△ABCの重心 Gの座標を求めなさい。 重心は，中線を 2：1に分ける点である。 辺ACの中点をMとすると，Mの座標は
1＋ 72 ＝ 4， 3 ＋（－ 1）2 ＝ 1より，M（4，1）
�ここで，右の図のように，座標軸に平行な辺をもつ直角三角形を考えると，
△BHG∽△BNMで，相似比は 2：3である。
BH＝ 6× 23 ＝ 4，GH＝ 3×23 ＝ 2
よって，点Gの x座標，y座標は， x＝－ 2＋ 4＝ 2，y＝－ 2＋ 2＝ 0 したがって，G（2，0）
学習２ 1次関数と三平方の定理の応用 ⇒Ａ３～５，Ｂ１・３例題
▷ 原点Oから，直線 y＝－ 12 x ＋ 2 …①までの距離を求めよ。
直線①と原点との距離は，原点から直線①にひいた垂線OHの長さである。 A（4，0），B（2，0）なので， △OABで，三平方の定理より， AB＝√42 ＋ 22 ＝ 2 √5 △OABの面積は，OAを底辺とすると，
△OAB＝ 12 × 4 × 2 ＝ 4
また，底辺をABとすると，高さはOHなので，
12 × 2 √5 × OH＝ 4
よって，OH＝ 4√55 （別解 1） �直線OHは y＝ 2x と表せるから，これと①から，Hの座標を求め，線分OHの長さを求める。
H（ 45 ， 85 ）より，OH＝（ 45 ）2＋（ 85 ）2＝ 4 √55※ 2 直線が垂直に交わるとき，2直線の傾きの積は－ 1であることを利用している。 （別解 2） △BOH∽△BAOより，対応する辺の比は等しいので，OH：AO＝ BO：BA AO＝ 4，BO＝ 2，BA＝ 2√5より， OH：4＝ 2：2√5
これより，OH＝ 4√55
Ay
x
BCO
Ay
x
BCO
A
M（4，1）
B（－2，－2）
C
NH
G
6
3
①
②
A
M（4，1）
B（－2，－2）
C
NH
G
6
3
①
②
A
y
x
HB2
4O
①
A
y
x
HB2
4O
①
第9章 関数のグラフと図形
発展新演習 中３数学 指導のポイント
【指導のねらい】★放物線と直線，図形の問題に，相似の考え方を応用できるようにする。★放物線と直線，図形の問題に，三平方の定理を利用できるようにする。
34 関数 y ＝ ax2 のグラフと図形◆指導ページ P.194 ～ 197 ◆
はじめに
＜導入＞ 本単元では，放物線と直線との間における相似や三平方について学習する。 導入としては，放物線と直線の交点などから，第 33 課で学習したことを利用して問題を解くということを説明すればよい。 座標平面上では，x軸，y軸に平行な直線をかくことで相似な図形をかんたんに作ることができる。その考え方を利用して問題をとくように指導したい。 三平方の定理が利用できるのは直角三角形のみなので，どこに直角三角形があるのか，どの三角形を利用するのかをしっかりと判断できるようにしたい。
＜事前確認＞学習１・座�標平面と相似…線分をいくらかの比に分ける点の座標は，平行線によってその比を座標軸上に移して求めることができる。
学習２・二�等辺三角形の特徴…二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する。
学習内容・補足事項など
学習１ 放物線と相似の応用 ⇒Ａ１・２，Ｂ１・２例題▷ 右の図のように，直線ℓが関数 y＝ 14 x2 …①のグラフと 2点A，Bで交わり，x軸と点 Cで交わっている。B（2，1），AB：BC＝ 3：1のとき，次の問いに答えよ。⑴ 点A，Cの座標をそれぞれ求めよ。 点A，Bから x軸にそれぞれ垂線AA′，BB′をひくと， AA′：BB′＝ AC：BC＝（3＋ 1）：1＝ 4：1 BB′＝ 1 なので，AA′＝ 4 すなわち，Aの y座標は 4 これを①に代入すると，
4＝ 14 x2 x ＜ 0 より，x＝－ 4
よって，A（－ 4，4） また，A′ B′：B′ C ＝ AB：BC＝ 3：1， A′ B′＝ 2 －（－ 4）＝ 6より，B′ C ＝ 2 よって，Cの x座標は 2＋ 2＝ 4 点Cは x軸上にあるので，y座標は 0 よって，C（4，0）⑵ 直線ℓの式を求めよ。 B（2，1）と C（4，0）を通る直線の式を求める。
傾き＝変化の割合＝ 0－ 14 － 2 ＝－12
これより，切片を bとすると，y＝－ 12 x ＋ b
これに C（4，0）を代入すると，0＝－ 2＋ b，b＝ 2
よって，直線ℓの式は，y＝－ 12 x ＋ 2
※先にAと Bの座標から直線ℓの式を求め，そこからCの座標を求めてもよい。
A（－ 4，4）と B（2，1）を通る直線なので，傾き＝ 1－ 42 －（－ 4）＝－
12
y ＝－ 12 x ＋ b に B（2，1）を代入すると，1＝－ 1＋ b，b＝ 2
よって，直線ℓの式は，y＝－ 12 x ＋ 2
Cは x 軸上の点なので，y座標は 0より，0＝－ 12 x ＋ 2，x ＝ 4 したがって，C（4，0）
学習２ 放物線と三平方の定理の応用 ⇒Ａ３・４，Ｂ２・３例題▷ y＝ 14 x2 のグラフと，x軸に平行な直線が 2点A，Bで交わっている。次の問いに答えよ。 点Aの x座標を a，線分ABと y軸の交点をCとする。⑴ △OABが直角三角形になるとき，△OABの面積を求めよ。 �△OAB は∠AOB ＝ 90°の直角二等辺三角形だから，△AOCも直角二等辺三角形となる。 よって，CO＝ CA＝ a
したがって，A（a，a）と表される。
Aは放物線 y＝ 14 x2 上の点なので，（a，a）を代入すると，a＝14 a2
これを解くと，a＞ 0より，a＝ 4
ゆえに，△OAB＝ 12 ×（4＋ 4）× 4＝ 16
⑵ △OABが正三角形になるとき，△OABの面積を求めよ。 ∠OAC＝ 60°より，CA：CO＝ 1：√3 したがって，A（a，√3 a）と表される。
Aは放物線 y＝ 14 x2 上の点なので，（a，√3 a）を代入すると，√3 a ＝14 a2，
よって，a＝ 4√3 また，Aの y座標は，√3× 4√3＝ 12
よって，△OAB＝ 12 ×（4√3＋ 4√3）× 12 ＝ 48 √3
x
y
OA′
Aℓ
B′
BC
y＝ x²14
x
y
OA′
Aℓ
B′
BC
y＝ x²14
x
y
OA′
Aℓ
B′
BC
34
4 2
2
2
1x
y
OA′
Aℓ
B′
BC
34
4 2
2
2
1
x
y
O
AB C
y＝ x²14
x
y
O
AB C
y＝ x²14
第9章 関数のグラフと図形
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