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MAIN : 2004/4/26(0:24)
目 次
1. 直 流 回 路
1 . 1 抵抗（コンダクタンス）とオームの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 . 2 直並列回路の合成抵抗 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 . 2 . 1 抵抗の直列接続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 . 2 . 2 抵抗の並列接続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 . 2 . 3 ホイートストーンブリッジ回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 . 3 電圧源と電流源 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 . 3 . 1 定 電 圧 源 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 . 3 . 2 定 電 流 源 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 . 3 . 3 電圧源と電流源の等価変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1 . 4 直 流 電 力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 . 5 キルヒホッフの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 . 6 直流回路の計算例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1 . 6 . 1 回路方程式を手で解く . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1 . 6 . 2 回路方程式を数値計算で解く . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1 . 6 . 3 回路シミュレータ Spiceによる解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1 . 7 重ね合せの理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1 . 8 テブナンの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2. 受動回路素子
2 . 1 抵 抗 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 . 2 静 電 容 量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 . 3 イ ン ダ ク タ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 . 4 相互インダクタンスと変成器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 . 5 電力とエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
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2 目 次
2 . 5 . 1 抵 抗 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 . 5 . 2 キャパシタ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 . 5 . 3 インダクタ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 . 5 . 4 変 成 器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3. 回路の定常状態と過渡現象
3 . 1 コンデンサの充放電 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 . 1 . 1 一階の方程式の解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 . 1 . 2 コンデンサの充電問題の解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 . 1 . 3 Spiceでの解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 . 2 時 定 数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 . 3 正弦波交流を印加した場合の定常解と過渡解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 . 3 . 1 ２階の方程式の解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4. 正弦波交流と受動素子の交流特性
4 . 1 正弦波交流の表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 . 2 受動素子の交流特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 . 2 . 1 抵 抗 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 . 2 . 2 インダクタ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 . 2 . 3 キャパシタ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 . 3 交流電力と実効値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 . 4 簡単な交流回路の電流，電圧特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5. 交流回路の複素計算法
5 . 1 正弦波のフェーザ表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 . 1 . 1 複素数の表現形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 . 1 . 2 正弦波のフェーザ表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5 . 2 インピーダンスとアドミタンス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 . 2 . 1 歴史的背景. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 . 3 リアクタンスとサセプタンス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5 . 4 イミタンスとフェーザ図（ベクトル図) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5 . 4 . 1 例 題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
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1直 流 回 路
回路（あるいは電気回路）とは 、電気現象をモデル化したものである。回路
モデルでは、回路は回路素子が（完全に損失のない）導線によって結ばれたも
のであると考える。回路を表した図である、回路図は 回路の視覚的な表現で
ある。回路図は同じ回路モデルでも色々な変形があり得る。数学的には、回路
は節点と枝の集合であるグラフによって、表現される。ただし、節点とは、回
路のある一点のことであるが、この一点から完全導体である導線のみによって
移動できる範囲は同じ節点と考える（同じ電位の場所）。また、枝は節点と節
点のペアによって表されるが、枝には回路素子が対応するものと考える。ここ
では、回路素子モデルとして、抵抗と定電圧源、定電流源だけを考える。これ
らの回路素子が完全導体である導線（これもモデル）によって結合された回路
が直流回路である。
1 . 1 抵抗（コンダクタンス）とオームの法則
抵抗は一つの回路素子モデルである。まず、抵抗（モデルとしての）素子か
ら考察を始める。
図 1.1のように２つの端子をもつ素子の、端子電流が iアンペア、端子電圧
が vボルトであるとき
v = Ri, (Rは非負定数) (1.1)
となるような回路素子を抵抗器（簡単化して抵抗）という。Rを抵抗という。
また、電圧の矢印は矢の頭の電位から矢の根の電位を引く意味で用いる。通
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2 1. 直 流 回 路
Rv
i
図 1.1 抵抗器
常抵抗など２端子素子の電流と電圧の向きは図 1.1のようにし、その方向に測
定する。
式 (1.1)は電圧と電流が時間によって変化する場合でも成り立つ：
v(t) = Ri(t) (1.2)
また、式 (1.1)は
i =v
R= Gv (1.3)
の形に書くこともできる。このとき、G=1/Rはコンダクタンス (conductance)
という。
銅線などにおいては式 (1.1)が成り立つことがオームによって発見された。
銅線などの抵抗器（物理的なもの）において式 (1.1)が成立するとき、これを
オームの法則という。
1. オームの業績の紹介のページへのリンク
Georg Simon Ohm （オームの業績の数学的側面からの紹介）
Georg Simon Ohm (1787-1854) （平易な解説）
2. 電池を発明した Voltaの紹介のページへのリンク
Alessandro Volta (1745-1827） （平易な解説）
Alessandro Volta （詳しい業績）
3. オームの法則の発見の出版 1827年「 電気回路の数学的研究」（Die
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1 . 2 直並列回路の合成抵抗 3
galvanische Kette, mathematisch bearbeitet (1827) ）というオーム
が著した本の中に記述がある。
4. オームは実験的にオームの法則を確認する装置を作る際に、最初はボ
ルタの電池を利用した装置を作ったがうまくいかなかった。そこでゼー
ベックの熱電対を利用した装置を作って測定に成功した。
問１． なぜ、ボルタの電池ではうまくいかなかったのか。また、オームの
実験装置はどのようなもので、どうやってオームの法則を発見したのか調べよ。
解答例
1 . 2 直並列回路の合成抵抗
1 . 2 . 1 抵抗の直列接続
図 1.2の回路において、R = v/iを 2つの抵抗RaとRbの直列抵抗という。
Ra
v
i
Rb
o
b
a
図 1.2 抵抗器の直列接続
節点 o, a, bの電位を v′o, v′a, v′
b とすると、
v = v′a − vo,
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4 1. 直 流 回 路
va = v′a − v′b,
vb = v′b − v′
o (1.4)
が成立する。これから
v = v′a − v′o
= v′a + (−v′b + v′
b) − v′o
= (v′a − v′b) + (v′
b − v′o) = va + vb (1.5)
が成立する。
v = va + vb (1.6)
の関係式は後のキルヒホッフの第２法則に相当する（回路素子のつながり方か
ら来る関係式で、素子が何であっても成立する）。
va = Rai, vb = Rbi (1.7)
であるから、式 (1.6)から
v = (Ra + Rb)i (1.8)
を得る。したがって、直列抵抗は
R = Ra + Rb (1.9)
と求められる。
i =v
R=
v
Ra + Rb (1.10)
であるから、
va = Rai =Ra
Ra + Rbv
vb = Rbi =Rb
Ra + Rbv (1.11)
が成立する。すなわち、va と vb は v を Ra と Rb の比で分けたものになって
いる。
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1 . 2 直並列回路の合成抵抗 5
1 . 2 . 2 抵抗の並列接続
図 1.3のように抵抗を並列接続した回路を考える。このとき
Ga
i
Gb
ia ib
図 1.3 抵抗器の並列接続
i = ia + ib (1.12)
が成立する。これは電流連続の方程式であり、後のキルヒホッフの第一法則に
対応する（この関係も素子には無関係に接続関係だけから成り立つ性質）。
Ga =1
Ra, Gb =
1Rb
(1.13)
とすれば、
ia = Gav, ib = Gbv (1.14)
が成立する。こうして、直列接続において、vを iに、iを vに、Rを Gに置
き換えれば、まったく同じ式変形により、
G = Ga + Gb,
ia =Ga
Ga + Gbv,
ib =Gb
Ga + Gbv (1.15)
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6 1. 直 流 回 路
が成り立つ。すなわち、ia と ib は iを Ga と Gb の比で分けたものになって
いる。
1 . 2 . 3 ホイートストーンブリッジ回路
1. ホイートストーンとは誰かは以下のリンクで
A D V E N T U R E S in C Y B E R S O U N D Charles
Wheatstone, Sir : 1802 - 1875
Sir Charles Wheatstone, b. February 6, 1802, Barnwood, England,
d. October 19, 1875, Paris, France
2. ホイートストーンブリッジ回路については次が詳しい
Wheatstone Bridges: Introduction
3. 測定装置の写真としては次が詳しい
Wheatstone Bridge
4. 腕試しの演習問題を解くなら
Wheatstone Bridges
問 2. ホイートストーンブリッジ回路を発明したのはホイートストーンでは
ない、誰か？
解答
1 . 3 電圧源と電流源
1 . 3 . 1 定 電 圧 源
図 1.4のように両端子間に接続される負荷に関係なく
v = E (1.16)
となる 2端子素子を直流電圧源または定電圧源という。ただし、vはこの 2端
子素子の両端の電圧である。
端子間を短絡している状態でも両端子間に電圧 E が現れるとは考えにくい
ので、内部抵抗 Rを考えることがある（図 1.5）。
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1 . 3 電圧源と電流源 7
E v
i
図 1.4 直流電圧源（定電圧源）
v =RL
RL + RE (1.17)
であるから Rがゼロに近づく極限で理想電源に近づく。
E
v
i
R
RL
図 1.5 内部抵抗を含む直流電圧源（定電圧源）
1 . 3 . 2 定 電 流 源
図 1.6のように両端の負荷に関係なく
i = J (1.18)
となる２端子素子を直流電流源または定電流源という。ただし、iはこの 2端
子素子から流出する電流である。両端を開放している状態でも一定の電流を流
し続けるというのは物理的に奇妙なので図 1.7 のように内部抵抗 Rを考える
MAIN : 2004/4/26(0:24)
8 1. 直 流 回 路
J v
i
図 1.6 直流電流源（定電流源）
こともある。この場合、並列接続された抵抗の解析結果から
i =R
R + RLJ (1.19)
が成立する。よって、Rが無限大となる極限で、内部抵抗を持つ電流源は理想
直流電流源に近づく。
v
i
RLJ R
図 1.7 内部抵抗を含む直流電流源（定電流源）
1 . 3 . 3 電圧源と電流源の等価変換
内部抵抗をもつ直流電流源と内部抵抗をもつ直流電圧源は同じ内部抵抗 R
を持つとき、
E = RJ （または J =E
R） (1.20)
MAIN : 2004/4/26(0:24)
1 . 4 直 流 電 力 9
という関係式が成立していると、両者の開放電圧と短絡電流が等しくなる。そ
の意味で両者は等価である。
1 . 4 直 流 電 力
電磁気学（高校の物理）で学んだように、導線の中では電位の差があると電
流が流れる。いわば、水道管の両端に水の圧力差があると水が流れるのに似て
いる。電位の差を電圧というのであった。Qという電荷量を持つ電荷が、電圧
V の端子間を動いたとき、電荷になされる仕事量W は
W = QV (1.21)
で与えられる。2端子素子の両端の電圧が V で電流が I であるとき、この素子
の中で電圧によって電荷は移動し、素子にはそれによってエネルギーが加えら
れていることになる。単位時間に 2端子素子が受け取る仕事量を電力という。
時間間隔 Tの間に Qという電荷が移動したとすると、その電荷の移動によっ
て電荷が受け取るエネルギーは
W = QV (1.22)
であったから、この 2端子素子の電力は
P =W
T=
QV
T=
Q
TV (1.23)
となる。T を十分小さい時間間隔と思えば、I = Q/T となるので、
P = IV (1.24)
となる。
1 . 5 キルヒホッフの法則
(1) キルヒホッフとは誰かについて
1. Gustav Robert Kirchhoff (数学的な側面からの業績の紹介）
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10 1. 直 流 回 路
2. Gustav Robert Kirchhoff, born March 12, 1824, Ko nigsberg, Prussia
[now Kaliningrad, Russia] , died Oct. 17, 1887, Berlin, Germany (平
易な紹介)
3. Kirchhoff’s Voltage Law (KVL) これをキルヒホッフの電圧則（第二
法則）という。
4. Kirchhoff’s Current Law (KCL) これをキルヒホッフの電流則（第一
法則）という。
1 . 6 直流回路の計算例
直流回路の電流と電圧は、回路素子の接続の様子（これを回路のトポロジー
という）によって KVLと KCLから導かれる関係式と、2端子素子の特性に
よる、素子の両端の電圧と流れる電流の関係式を適切に組み合わせることによ
り、得られる連立一次方程式から決定できる（例題)。このことは大変重要なこ
とであるので、後に詳しく解説する。
ここでは、そのような連立一次方程式の解き方を調べてみよう。
1 . 6 . 1 回路方程式を手で解く
これは回路理論の理解やモデル解析のため小さな回路方程式を解くときなど
に是非やらねばならないことである。クラメールの公式は、一年生の線形代数
でも習った方式である。しかし、未知数が３つより多い場合などクラメルの公
式で解くということは非現実的に計算の手数がかかり無理である。数学で習っ
た公式で、現実に適用するときまったく役に立たない（使ってはいけない）公
式の代表例がクラメルの公式である（もちろんクラメルの公式にまったく意義
がないといっているわけではない。少なくとも連立一次方程式の解を陽に表し
ている意味で意義が大きい。歴史的には第２種の線形フレッドホルム型積分方
程式の解の公式であるフレッドホルムの公式などが導かれるのにも役立って
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1 . 6 直流回路の計算例 11
いる）。
1 . 6 . 2 回路方程式を数値計算で解く
これは LSI の設計などで実際に行われている手法である。数値計算で連立一
次方程式を解く場合には、直接法と反復法が用いられる。直接法の代表はガウ
スの消去法であり、反復法には定常法と非定常法がある。定常法の代表はガウ
スーザイデル法で非定常法は CG(Conjugate Gradient)法の流れを汲む解法
である。
ここでは直接法を解説する。これはガウスの消去法に基づく解法である。図
1.8の回路を考える。
Ea Eb
Ra Rc
Rb
IbIa
0
1 2 3
a b
図 1.8 直流回路
閉路 aと bにそれぞれKVLを適用すると
Ea = RaIa + Rb(Ia + Ib),
Eb = RcIb + Rb(Ia + Ib) (1.25)
を得る。未知数 Ia と Ib の連立方程式として、上の式を整理すると
(Ra + Rb)Ia + RbIb = Ea
RbIa + (Rb + Rc)Ib = Eb (1.26)
となる。または、行列 Aを
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12 1. 直 流 回 路
A =
Ra + Rb Rb
Rb Rb + Rc
, b =
Ea
Eb
(1.27)
と定義すると
Ax = b (1.28)
となる。ただし、x = (Ia, Ib)T である。
数式処理 式 (7)のように、Ra, Rb, Rc という記号を含んだままこれを解く
には数式処理 (Computer Algebra) プログラムを用いる必要がある。早稲田
大学ではMAPLEとMATHEMATICAのサイトライセンスを購入している
ので、学生諸君はこれらを用いて数式処理で解を求める練習をすることがで
きる。
数値計算 回路解析では通常数値計算が用いられる。数値計算では連立一次
方程式は通常ガウスの消去法が用いられる。MATLABはこのような数値計算
をするためのインタプリタである。MATLABには LAPACKという数値計算
のプロが開発した高速で、高性能の数値計算パッケージが組み込まれているの
で、これを利用することが薦められる（その中身については数値計算の講義中
で明らかにする）。ここではMATLABによる、連立一次方程式の解き方を示
そう。
例として Ra = 1.1, Rb = 2, Rc = 3, Ea = 7, Eb = 12 の場合を考えよう。
MATLABを立ち上げると
>>
というコマンドラインが現れる。ここで、以上のパラメータの値を入れる：
>> Ra=1.1; Rb=2; Rc=3; Ea=7; Eb=12;
ここで、係数行列を入力する。
>> A=[Ra+Rb,Rb;Rb, Rb+Rc]
A =
3.1000 2.0000
2.0000 5.0000
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1 . 6 直流回路の計算例 13
また、右辺ベクトルを入力する。
>> b=[Ea;Eb]
b =
7
12
このとき、連立一次方程式 Ax=bの解は
>> x=A\b
x =
0.9565
2.0174
と求められる。U （英語キーボードではバックスラッシュ\、日本語キーボー
ドでは円マーク）は連立一次方程式の解を求める記号で、これによりガウスの
消去法に基づいて Ax = bの解が求められる。
MATLABの詳細については大石の解説を参照されたい。
1 . 6 . 3 回路シミュレータ Spiceによる解析
回路解析のプログラムとしては Spiceが重要である。Linux上ではフリーの
Spiceが手に入る。Windows上で動く Spiceとしては次のものがフリーで手に
入る。
spice opus (licenceを読んで、それを遵守できることを確認してダウンロー
ドすること）
インストールは zipファイルを解凍してできるフォルダ内の Setup.exeをダ
ブルクリックすればよい。
例題 1. MATLABで解いたのと同じ回路を解いてみよう。
SpiceOpusを立ち上げると
SpiceOpus (c) 1->
というプロンプトがでる。そこで、回路のネットリストを編集するというコマ
ンドを入力する:
MAIN : 2004/4/26(0:24)
14 1. 直 流 回 路
SpiceOpus (c) 1 -> edit C:\SpiceOpus\ex\ex2.cir
するとメモ帳が立ち上がるので、そこで、つぎのようなネットリストをメモ帳
に入力する：
TITLE ex2.cir
V1 1 0 7V
V2 3 0 12V
Ra 1 2 1.1
Rb 2 3 3
Rc 2 0 2
.DC V1 7 7 1
.DC V2 12 12 1
.END
そしてメモ帳を上書き保存する。ここで、このネットリストを Spiceに読み
込む：
SpiceOpus (c) 2-> c:\SpiceOpus\ex\ex2.cir
Circuit: TITLE test.cir
ここで、Spiceを走らせる。
SpiceOpus (c) 3-> run
すべての枝での情報を表示させるとつぎのようになる。
SpiceOpus (c) 4-> show all
Resistor: Simple linear resistor
device rc rb ra
model R R R
resistance 2 3 1.1
i 2.97 -2.02 0.957
p 17.7 12.2 1.01
m 1 1 1
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1 . 6 直流回路の計算例 15
Vsource: Independent voltage source
device v2 v1
model V V
dc 12 7
acmag 0 0
m 1 1
i -2.02 -0.957
p 24.2 6.7
赤で示した部分からMATLABと同じ結果が得られていることがわかる。
例題 2 上と同じ回路
Va = 50V, Vb = 0V, Ra = 100, Rb = 200, Rc = 50の場合
ネットリスト (ex3.cir)
DC circuit with R
V 1 0 50V
R1 1 2 100
R2 2 3 50
R3 2 0 200
R4 3 0 150
.DC V 50 50 1
.end
Spiceによる解析
SpiceOpus (c) 1 -> C:\SpiceOpus\ex\ex3.cir
Circuit: DC circuit with R
SpiceOpus (c) 2 -> run
SpiceOpus (c) 3 -> print all
v(1) = 5.000000e+001
v(2) = 2.500000e+001
MAIN : 2004/4/26(0:24)
16 1. 直 流 回 路
v(3) = 1.875000e+001
sweep = 5.000000e+001
v#branch = -2.50000e-001
Spiceの使い方へのリンク
Spice3f5 マニュアル
アナログ回路シミュレータ SPICE
ＣＡＤ特論テキスト（江口 啓博士） ワードファイル
SPICEについて
SPICE によるアナログ回路のシミュレーション
(3) ガウス（Johann Carl Friedrich Gauss）とは誰か
Gauss, Karl Friedrich (1777-1855)
(4) ガウスの消去法の歴史
Matrices and determinants
1 . 7 重ね合せの理
ここでは重ね合わせの理について説明する。
例題 1
1 . 8 テブナンの定理
歴史的な展望を書いた論文 (Don H. Johnson, Origins of the Equivalent
Circuit Concept: The Voltage-Source Equivalent, Proceedings of the IEEE,
APRIL, 2003, pp.636-640.) この中で、テブナンの定理は 1853年に出版され
た H.Helmholzの論文にすでに記述されていることが述べられている。テブ
ナンの定理が出版されたのは 1883年である。重ね合わせの定理は 1853年の
Helmholzの論文が最初であるとも書かれている。
(1) 例題
MAIN : 2004/4/26(0:24)
1 . 8 テブナンの定理 17
図 1.9 の回路を考える。この回路において Ra = 100, Rb = 200, Rc =
E RL
Ra Rc
Rb
0
1 2 3
図 1.9 テブナンの定理を適用する直流回路
150, RL = 200, Ea = 75V とする。RL は負荷であるとして、RL 以外の部分
のテブナンの等価回路を Spiceを用いて計算してみよう。RL を取り除いたと
きの電圧を VT , Ea を短絡したときの内部抵抗 RT を Spiceにより求めてみる。
VT
RT
図 1.10 テブナン等価回路
そのため、RL を 1012 に設定した次のネットリスト（ex3.cir)を用いる：
Thevenin Circuit
V 1 0 75V
R1 1 2 100
R2 2 3 150
R3 2 0 200
MAIN : 2004/4/26(0:24)
18 1. 直 流 回 路
R4 3 0 1E12
.DC V 75 75 1
.TF V(3) V
.END
そして、Spiceで解析を行う。
SpiceOpus (c) 1-> C:\SpiceOpus\ex\ex6.cir
Circuit: Thevenin Circuit
SpiceOpus (c) 2-> run
SpiceOpus (c) 3-> show all
Resistor: Simple linear resistor
device r4 r3 r2 r1
model R R R R
resistance 1e+012 200 150 100
i 5e-011 0.25 5e-011 0.25
p 2.5e-009 12.5 3.75e-019 6.25
m 1 1 1 1
Vsource: Independent voltage source
device v
model V
dc 75
acmag 0
m 1
i -0.25
p 18.8
SpiceOpus (c) 4-> print all
MAIN : 2004/4/26(0:24)
1 . 8 テブナンの定理 19
input_impedance = 3.000000e+002
output_impedance = 2.166667e+002
transfer_function = 6.666667e-001
この結果から、VT = 0.25 ∗ 200 = 50V, RT = output impedance = 216.6667
であることがわかる。
問 手計算によってこの結果を確認せよ。
参考リンク
Lessons in Electric Circuits Volume I DC
韓国の大学での講義ノート Linear Circuit Analysis, School of Computer
Science and Engineering, Seoul National University
レポート
問 1. 教科書の第一章末の問題 (pp.18-20)を解け。
問 2. (発展問題) Spice をインストールして教科書の第一章末の問題の
1.6,1.7を解け。
MAIN : 2004/4/26(0:24)
2受動回路素子
2 . 1 抵 抗
第一章を参照のこと。
2 . 2 静 電 容 量
キャパシタ、コンデンサ、蓄電器などという。容量が C[単位はファラド
(farad)]のキャパシタは図 2.1において
v
i
q(t)C
図 2.1 キャパシタ
v(t) =1C
∫i(t)dt (2.1)
あるいは
MAIN : 2004/4/26(0:24)
2 . 3 イ ン ダ ク タ 21
i(t) = Cdv(t)dt
(2.2)
が成り立つ 2端子素子のことである。
図 2.1において、キャパシタの・がついている側の電荷量を q(t)とすると
q(t) = Cv(t) (2.3)
となる。すなわち、
i(t) =dq(t)dt
(2.4)
である。
次のサイトなどが参考になる。
キャパシタ (Wikipedia)
Capacitors
2 . 3 イ ン ダ ク タ
インダクタンスが L[ヘンリー]のインダクタあるいはコイルとは、図 2.2に
おいて
v
i
L
図 2.2 インダクタ
v(t) = Ldi(t)dt
(2.5)
MAIN : 2004/4/26(0:24)
22 2. 受 動 回 路 素 子
または
i(t) =1L
∫v(t)df (2.6)
が成り立つ２端子素子をいう。電流 i(t) がつくる鎖交磁束 (linkage flux) を
φ(t)とすると
φ(t) = Li(t) (2.7)
と
v(t) =dφ(t)
dt(2.8)
が成り立つ。φはファイと発音する。
(2) 次のサイトなどが参考になる。
キャパシタとインダクタ (pdf)
Self-Inductance and Inductive Reactance
2 . 4 相互インダクタンスと変成器
図 2.3のような一次コイル、２時コイルの自己インダクタンスがそれぞれと
で両コイル間の相互インダクタンスがMの変成器あるいは変圧器（トランス)
は端子電圧、電流の間にM > 0として
v1(t) = L1di1(t)
dt+ M
di2(t)dt
v2(t) = Mdi1(t)
dt+ L2
di2(t)dt
(2.9)
が成り立つ素子をいう。図 2.3のドットは図のような方向に電圧と電流の向き
をつけたとき、M > 0として式 (2-7)が成立することと約束する。
一方、次の図 2.4のようにドットをつけたときは、M > 0として、図のよ
うに電圧と電流の向きを決めたとき
v1(t) = L1di1(t)
dt− M
di2(t)dt
v2(t) = −Mdi1(t)
dt+ L2
di2(t)dt
(2.10)
MAIN : 2004/4/26(0:24)
2 . 4 相互インダクタンスと変成器 23
v1
i1
L1 v2
i2
L2
M
図 2.3 相互インダクタ
が成り立つことを意味する。
v1
i1
L1 v2
i2
L2
M
図 2.4 極性の異なる相互インダクタ
もし、ドットが書き込まれていない、変成器があったときは、図 2.3の極性
であるとする。
加極性接続 教科書 p.27
減極性接続 教科書 p.28
次のサイトが参考になる。
Mutual Inductance
MAIN : 2004/4/26(0:24)
24 2. 受 動 回 路 素 子
2 . 5 電力とエネルギー
2 . 5 . 1 抵 抗
p(t) = v(t)i(t) = Ri2(t),
W =∫ t
−∞p(s)ds =
∫ t
−∞Ri2(s)ds (2.11)
2 . 5 . 2 キャパシタ
p(t) = v(t)i(t) = v(t)Cdv(t)dt
=d
dt
12Cv2(t)
,
W =∫ t
−∞p(s)ds =
12Cv2(t) (2.12)
2 . 5 . 3 インダクタ
p(t) = v(t)i(t) = Ldi(t)dt
i(t) =d
dt
12Li2(t)
,
W =∫ t
−∞p(s)ds =
12Li2(t) (2.13)
2 . 5 . 4 変 成 器
p(t) = v1(t)i1(t) + v2(t)i2(t) =d
dt
12
(L1i
21(t) + Mi1(t)i2(t) + L2i
22(t)
),
W =∫ t
−∞p(s)ds =
12
(L1i
21(t) + Mi1(t)i2(t) + L2i
22(t)
)(2.14)
問 式 (2-12)からW = 0 となるためには
k =M√L1L2
5 1 (2.15)
が必要十分となることを示せ。
MAIN : 2004/4/26(0:24)
3回路の定常状態と過渡現象
本章のねらい（次を理解することを目標とする）
1. 定数係数の線形常微分方程式の一般解は右辺を 0（電源なし）と置いた
斉次方程式の一般解と一つの特解の和で表わされること。
2. 上記において右辺を定数（直流電源の値) と置いた特解は直流解である
こと。
3. 上記の常微分方程式の右辺が正弦波である場合、同じ角周波数の正弦波
に限定すれば、解（振幅と位相）は一意に定まる。これ（一つの特解）
が正弦波交流を印加したときの定常解となること。この時点ではフェー
ザ法（複素表示）を導入していないので、計算は面倒になるが、三角関
数の公式だけを用いて解析することになる。
4. 微分方程式が 1階 (RL回路又は RC回路）である場合、変数分離形と
なるので簡単に一般解が求められる。ここで初期条件（t=0のときの変
数値）を与えて任意定数を定めることによって得られた特解が回路の過
渡現象（定常項と過渡項の和）であること。ラプラス変換を知らなくて
も，RL又は RC1次回路に直流又は正弦波交流を印加したときの過渡
現象が求められる。
回路方程式は一般には常微分方程式となる。集中定数回路の回路方程式は、
定数係数の常微分方程式となる。とくに、線形な素子のみを考えているときに
は定数係数の線形常微分方程式となる。これは常微分方程式の中でももっとも
易しいところで、解析も深く進んでいる。まず、定数係数の線形上微分方程式
の理論を勉強しよう。
MAIN : 2004/4/26(0:24)
26 3. 回路の定常状態と過渡現象
3 . 1 コンデンサの充放電
図 3.1の RC回路を考える。
i(t)
Cv(t)
R
V
1
2
図 3.1 RC直列回路
スイッチを t = 0で 1から 2へ入れたときの振る舞いを調べよう (コンデン
サの充電)。ただし、v(0) = 0とする。
図 3.1の回路は図 3.2の回路に書き直すことができる。ただし、u(t)はヘビ
サイドの単位ステップ関数とする。ここに、ヘビサイドの単位ステップ関数と
は図 3.1の RC回路を考える。
i(t)
Cv(t)
R
+−
V u(t)
図 3.2 RC直列回路 (変形)
u(t) =
1 (t >= 0)
0 (t < 0)
(3.1)
MAIN : 2004/4/26(0:24)
3 . 1 コンデンサの充放電 27
で与えられる関数である。図 3.2の回路において、抵抗の両端の電圧を vR(t)
とすると
vR(t) + v(t) = V u(t) (3.2)
が成り立つ。vR(t) = Ri(t)で i(t) = Cdv/dtであるから式 (3-2)は
RCdv(t)dt
+ v(t) = V u(t) (3.3)
となる。
3 . 1 . 1 一階の方程式の解
(3.3)を解くために、一階の線形な非斉次の定数係数常微分方程式の一般形dx(t)
dt+ γx(t) = f(t) (3.4)
を考える。
(a) 斉次方程式の一般解
まず、(3.4)の右辺の f(t)をゼロとした斉次方程式を考える。dx(t)
dt+ γx(t) = 0 (3.5)
この方程式 (3.5)の解は
x(t) = Ae−γt (3.6)
で与えられる。ただし、Aは定数である。この定数は初期条件 (t = 0での x
の値）から決めることができる。
(b) 非斉次方程式の一般解
非斉次方程式 (3.4)の一般解は
(3.4)の一般解 ＝ (3.5)の一般解 ＋ (3.4)の特解 (3.7)
という形をしている。非斉次方程式 (3.4)の一つの解（特解）は
x(t) = e−γt
∫ t
eγsf(s)ds =∫ t
eγ(s−t)f(s)ds (3.8)
である。よって、式 (3.4)の一般解は
MAIN : 2004/4/26(0:24)
28 3. 回路の定常状態と過渡現象
x(t) = e−γt
[A +
∫ t
eγsf(s)ds
](3.9)
で与えられる。
(c) 解の物理的解釈
斉次方程式 (3.5)の一般解は斉次であるように、電源によらない。また、A
という定数は初期値によって決めるので、初期値に依存する。これは、回路に
スイッチが入ったときに、初期条件から定常状態に移行する過程に現れるもの
（過渡状態を表す解）である。
非斉次方程式 (3.4)の一つの解（特解）は電源に依存して決まる。しかし、
初期値とは無関係である。したがって、これは回路にスイッチを入れて長い間
ほ放っておいた状態を表す解（定常状態の解）となっていると考えられる。
3 . 1 . 2 コンデンサの充電問題の解
(1) t > 0のとき (3.3)の特解は v(t) = V である。
(2) 式 (3.3)の斉次方程式は
RCdv(t)
dt+ v(t) = 0 (3.10)
となる。その一般解は v(t) = A exp(−t/RC)で与えられる。
(3) t > 0のとき (3.3)の一般解は
v(t) = V + Ae−t/RC (3.11)
となる。t = 0で v(t) = 0であるとすると、A = −V となることがわかる。
よって、 t > 0のとき (3.3)の一般解は
v(t) = V (1 − e−t/RC) (3.12)
となることがわかる。
3 . 1 . 3 Spiceでの解析
図 3.3に対して Spiceで解析を行う。
ネットリスト（ C:\SpiceOpus\ex\ex3-1.cir）は
MAIN : 2004/4/26(0:24)
3 . 2 時 定 数 29
i(t)
Cv(t)
R
+−
V (t)
0
1 2
図 3.3 RC直列回路
Switch Closing in RC-series circuit
V 1 0 PWL(0,0 10us,1V 10ms,1V)
R 1 2 10k
C 2 0 0.1uF
.TRAN 1ms 10ms
.PROBE
.END
であるとする。
SpiceOpus (c) 1-> C:\SpiceOpus\ex\ex3-1.cir
Circuit: Switch Closing in RC-series circuit
SpiceOpus (c) 2-> run
SpiceOpus (c) 3-> plot v(2)
得られた図 (v(t)の変化) (pdf)
3 . 2 時 定 数
以上の解析からわかるように、RC という量が、過渡現象がどれくらい続く
かを表す量となる。これを時定数という。
3 . 3 正弦波交流を印加した場合の定常解と過渡解
MAIN : 2004/4/26(0:24)
30 3. 回路の定常状態と過渡現象
図 3.4の回路を考える。回路には時間的に V (t)と変化する電圧源が接続さ
れているとする。回路方程式は
Li(t)
Cv(t)
R
+−
V (t)
図 3.4 RLC直列回路
Ldi(t)dt
+ Ri(t) +1C
∫i(t)dt = V (t) (3.13)
となる。これは微分積分方程式であまり見かけない形であるが、両辺を tにつ
いて微分すると
Ld2i(t)dt2
+ Rdi(t)dt
+1C
i(t) =dV (t)
dt(3.14)
を得る。これは、線形な非斉次（右辺に強制項があるということ）の定数係数
２階常微分方程式である。もし、dV (t)/dt = 0であるなら (3.14)は
Ld2i(t)dt2
+ Rdi(t)dt
+1C
i(t) = 0 (3.15)
となる。これは線形な斉次（右辺に強制項がないということ）の定数係数２階
常微分方程式である。
3 . 3 . 1 ２階の方程式の解
つぎの方程式の解を求めよう：
d2x(t)dt2
+ λdx(t)
dt+ ω2
0x(t) = f(t) (3.16)
(a) 斉次方程式の一般解
(3.16)の右辺の f(t)をゼロとした斉次方程式を考える。
MAIN : 2004/4/26(0:24)
3 . 3 正弦波交流を印加した場合の定常解と過渡解 31
d2x(t)dt2
+ λdx(t)
dt+ ω2
0x(t) = 0 (3.17)
(3.17)の一般解を求めるために
x(t) ∝ ept (3.18)
の形の解を捜そう。(3.18)を (3.17)に代入すると
p2 + λp + ω20 = 0 (3.19)
を得る。したがって、
p± =−λ ±
√λ2 − 4ω2
0
2(3.20)
が解となる。これより、(3.17)の一般解は
x(t) = Aep+t + Bep−t (3.21)
となることがわかる。
(a-1) λが小さい場合 ((3.20)のルート中が負となる場合）
x(t) = e−t/τ (A cos ωt + B sin ωt) (3.22)
となる。ただし、τ = 2/λで ω =√
ω20 − (λ/2)2 である。これは減衰振動で
ある。
(b) 非斉次方定式の特解
f(t) = F cos ωt (3.23)
の場合について (3.16)の特解を求めよう。
x(t) = F (A(ω) cos ωt + B(ω) sin ωt),
A(ω) =λω
(ω20 − ω2)2 + (λω)2
B(ω) =ω2
0 − ω2
(ω20 − ω2)2 + (λω)2
(3.24)
となる。
(ｃ) 非斉次方程式の一般解
非斉次方程式 (3.16)の一般解は
MAIN : 2004/4/26(0:24)
32 3. 回路の定常状態と過渡現象
(3.16)の一般解 ＝ (3.17)の一般解 ＋ (3.16)の特解 (3.25)
という形をしている。
(d) 解の物理的解釈
斉次方程式 (3.17)の一般解 (3.21)は斉次であるように、電源によらない。
また、A,B という定数は初期値によって決めるので、初期値に依存する。こ
れは、回路にスイッチが入ったときに、初期条件から定常状態に移行する過程
に現れるもの（過渡状態を表す解）である。
非斉次方程式 (3.16)の一つの解（特解）は電源に依存して決まる。しかし、
初期値とは無関係である。したがって、これは回路にスイッチを入れて長い間
放っておいた状態を表す解（定常状態の解）となっていると考えられる。
レポート
1. (コンデンサの放電問題） 図 3.1の回路において、t = 0でスイッチを
2から 1へ入れたときの、コンデンサの端子電圧 v(t)の t > 0での振る舞いを
調べよう。ただし、v(0) = V とする。
(1) t > 0での v(t)の形を解析的に求めよ。
(2) V = 1[V], R = 10(1+学籍番号の下３桁 /100)k[Ω], C = 0.1µ[F]で
あるとして、 その解の形を scilabあるいはMATLABによりプロットせよ。
(3) 2の素子値のとき、この問題を Spiceを用いて数値計算せよ。
MAIN : 2004/4/26(0:24)
4正弦波交流と受動素子の交流特性
4 . 1 正弦波交流の表現
正弦波交流とは
a(t) = A sin θ = A sin(ωt + φ) (4.1)
とかかれる。ただし、θ = ωt + φである。ωは角周波数 (angular frequency)、
Aは振幅 (amplitude)、φは位相角 (phase angle)と呼ばれる。
4 . 2 受動素子の交流特性
4 . 2 . 1 抵 抗
v(t) = Ri(t) (4.2)
4 . 2 . 2 インダクタ
v(t) = Ldi(t)dt
(4.3)
i(t) = I sin ωt (4.4)
のときは
v(t) = ωLI cos ωt = ωLI sin (ωt + π/2) = V sin (ωt + π/2) (4.5)
MAIN : 2004/4/26(0:24)
34 4. 正弦波交流と受動素子の交流特性
4 . 2 . 3 キャパシタ
i(t) = Cdv
dt(4.6)
v(t) = V sin ωt (4.7)
のとき
i(t) = ωCV cos (ωt) = ωCV sin (ωt + π/2) = Ｉ sin (ωt + π/2)(4.8)
4 . 3 交流電力と実効値
抵抗
(1) 瞬時電力は p(t) = v(t)i(t)である。i(t) = I sin ωtのときは
p(t) = RI2 sin2 ωt = RI2(1 − cos 2ωt)/2 (4.9)
となる。
(2) 平均電力
(4.9)を一周期にわたって積分し、T で割ると、平均電力 P を得る。
P =RI2
2(4.10)
となる。したがって、
Ie =I√2
(4.11)
と定義すると、
P = RI2e (4.12)
となって、Ieという直流電流の電力と同じとなる。Ieを実行値という。家庭の
電圧計は電圧の実行値
Ve =V√2
(4.13)
で測られているので、100V の交流は最大電圧が 141V の正弦波交流電圧で
ある。
MAIN : 2004/4/26(0:24)
4 . 4 簡単な交流回路の電流，電圧特性 35
4 . 4 簡単な交流回路の電流，電圧特性
リンク
Lessons In Electric Circuits Volume II-AC
レ ポ ー ト
教科書 p.49-50 第３章の問題を解け。
MAIN : 2004/4/26(0:24)
5交流回路の複素計算法
電気の分野では虚数単位を j で表す。オイラーの公式
ejθ = cos θ + j sinθ (5.1)
は何種類の証明を皆さんは知っているだろうか。
5 . 1 正弦波のフェーザ表示
5 . 1 . 1 複素数の表現形式
(1) 直交形式 複素数 zは２つの実数 x, yにより
z = x + jy (5.2)
と表されれる。x を z の実部といい x = Rez と書く。y を z の虚部といい
y = Imzと書く。(5.2)の表現を直交形式 (Cartesian form)という。
(2) 極形式
(5.2)は
z = reθ (5.3)
と書き直すことができる。ただし、
r =√
x2 + y2 (5.4)
で
θ = arctany
x(5.5)
である。これを極形式 (polar form)という。
MAIN : 2004/4/26(0:24)
5 . 1 正弦波のフェーザ表示 37
r = |z|, θ = arg z (5.6)
と書く。
(3) フェーザ形式
複素数 zを極表示したときの rと θを用いて
z = r∠θ (5.7)
と表すとき、これをフェーザ形式という。フェーザ形式は極形式そのものであ
る。交流理論では、極形式の複素数を図的に表現することを背景に、最近は
フェーザ形式という用語を用いるのが欧米を含め一般的である。
注 昔は zを図で表したときに、ベクトルに似ているので、ベクトルと呼ばれ
たこともあった。ベクトル軌跡という用語はそのときの名残である。複素数と
ベクトルは明らかに異なる数学的概念であるので、極形式の複素数を図的にみ
るときに、フェーザという言葉を対応させることが推奨されるようになった。
5 . 1 . 2 正弦波のフェーザ表示
(1) 正弦波
a(t) =√
2Ae sin (ωt + φ) (5.8)
は複素数
A = Aeejφ (5.9)
を用いると
a(t) = Im[√
2A exp(jωt)] (5.10)
と表現される。この意味で、複素数 Aを正弦波 (5-4)のフェーザ表示（phasor
equivalent)あるいは複素表示 (complex representation)という。また、a(t)
は時間関数という。
(2) 同じ角周波数の２つの正弦波の和のフェーザ表示
a1(t) =√
2Ae1 sin(ωt + φ1)
MAIN : 2004/4/26(0:24)
38 5. 交流回路の複素計算法
a2(t) =√
2Ae2 sin(ωt + φ2) (5.11)
に対して、そのフェーザ表示を
A1 = Ae1 exp(jφ1),
A2 = Ae2 exp(jφ2) (5.12)
とする。このとき、
a(t) = a1(t) + a2(t)
=√
2Im[A1exp(jωt) + A2 exp(jωt)]
=√
2Im[(A1 + A2) exp(jωt)] (5.13)
となるので、a(t) = a1(t) + a2(t)のフェーザ表示は A1 + A2 となる。
(3) 正弦波の微分のフェーザ表示
a(t) = Im[√
2A exp(jωt)] (5.14)
とする。このとき、
da
dt(t) = Im[
√2jωA exp(jωt)] (5.15)
となる。したがって、a′(t) のフェーザ表示は jωA であることがわかる。同
様に、∫
a(t)dt (5.16)
のフェーザ表示は
A
jω(5.17)
となる。
5..2 電圧，電流のフェーザ表示
図 5.1の回路を考える。
電源電圧を
e(t) =√
2Ee sin (ωt + φ) (5.18)
とする。すなわち、電源電圧のフェーザ表示を
MAIN : 2004/4/26(0:24)
5 . 1 正弦波のフェーザ表示 39
Li(t)
Cv(t)
R
e(t)
図 5.1 RLC回路
E = Eeejφ (5.19)
とする。このとき、電流 i(t)のフェーザ表示を I とすると、図 5-1の回路の回
路方程式
Ldi
dt+ Ri +
1C
∫idt = e (5.20)
から、
(jωLI + R +1
jωC)I = E (5.21)
が成立するのがわかる。
Z = jωLI + R +1
jωC= R + j(ωL − 1
ωC) (5.22)
と置けば、
I =E
Z(5.23)
を得る。これから
|I| =|E||Z|
, arg I = arg E − arg Z (5.24)
を得る。時間波形では
i(t) =√
2Ie sin (ωt + φ − θ) (5.25)
とすると
Ie =Ee
|Z|, θ = arg Z (5.26)
MAIN : 2004/4/26(0:24)
40 5. 交流回路の複素計算法
となる。ここに、
|Z| =
√R2 + (ωL − 1
ωC)2
arg Z = arctan
ωL − 1ωC
R
(5.27)
である。
5 . 2 インピーダンスとアドミタンス
インピーダンス
(5.22)の Z は
Z =E
I (5.28)
で定義されている。このように、フェーザ電圧 Eとフェーザ電流 Iの比 E/I
として定義される Z は抵抗の拡張のようにみることができる。これをインピー
ダンス (impedance)という。
E = ZI (5.29)
が成り立つ。この式は
I = Y V (5.30)
とも書ける。ただし、Y = 1/Z である。Y をアドミタンス (admittance)と
いう。
注 Z は複素数でフェーザであるが正弦波関数が対応はしていない。
5 . 2 . 1 歴史的背景
(1)（参考書から） 交流回路にフェーザを用いるのは 1877以降、レイリー
とヘビサイドによって始められた。しかし、実際に電気の分野で普及させたの
はケネリーとシュタンインンメッツで 1893年以降である。
(2) （リンク） John William Strutt Lord Rayleigh(Born: 12 Nov 1842
MAIN : 2004/4/26(0:24)
5 . 3 リアクタンスとサセプタンス 41
in Langford Grove (near Maldon), Essex, England, Died: 30 June 1919 in
Terling Place, Witham, Essex, England)
(3) (リンク) Oliver Heaviside (Born: 18 May 1850 in Camden Town,
London, England Died: 3 Feb 1925 in Torquay, Devon, England)
(a) ベクトル解析を作り上げ、Maxwellの方程式を現在の形に定式化した。
(b) 1880 から 1887の間に演算子法（ｐｄｆ）を開発した。
(c) 1887に大洋間通信に induction coilsを加えるべきとの提言をした。
(d) 1902 Kennelly-Heaviside Layerが存在することを予想した。
(e) Heaviside step functionでも有名。
(4) （リンク） Arthur Edwin Kennelly (「ケネリーは 1893 年に
the American Institute of Electrical Engineers (AIEE) の発行する雑誌
に、”Impedance”に関する論文を書いた。これにより複素解析の手法を用
いて dc 解析と同様な解析が ac 解析で行えるようになった。」との記述が
ある。)
(5) Charles Proteus Steinmetz (1865-1923) 1865年 4月 9日に Bres-
lau, Prussiaに生まれる。1889にアメリカに移り、General Electric in Sch-
enectadyに勤める。1902年から New York city’s Union Collegeの教授とな
る。(1) マグネチックヒステリシス (2) 交流電流 (Wechselstrom) を計算す
るためにの複素数を用いた簡便な方法の発展などに貢献があった。著書に
C.P.Steinmetz, Theory and Calculation of Alternating Current Phenom-
ena, McGraw-Hill Book Co., Inc., New York, 1916
5 . 3 リアクタンスとサセプタンス
インピーダンスは複素数であるから
Z = R + jX (5.31)
と書ける。ただし、RとX は実数とする。Rを抵抗部、X をリアクタンス部
という。同様に、Y = 1/Z も
MAIN : 2004/4/26(0:24)
42 5. 交流回路の複素計算法
Y = G + jB (5.32)
と書ける。ただし、Gと B は実数とする。Gをコンダクタンス、B をサセプ
タンスという。
5 . 4 イミタンスとフェーザ図（ベクトル図)
(1) インピーダンスとアドミタンスを総称してイミタンスという。
(2) フェーザ図（ベクトル図ともいう）
単一角周波数の独立電源を含む回路のあるフェーザ電圧とフェーザ電流を同
一複素平面に図示した図 (diagram)をフェーザ図という。2つの複素数の振幅
の違いと位相差がみたいので、基準となるほうのフェーザの位相を 0として他
方のフェーザの位相が丁度位相差になるように表示すると見やすい。
5 . 4 . 1 例 題
(1) RC直列回路
図 5.2の RC直列回路を考える。図 5-2 RC直列回路
i(t)
C = 100µF
R = 5Ω
e(t) = 10V 60Hz
図 5.2 RC直列回路
E = 10[V]で ω = 2πf = 120πである。Z = R + 1/(jωC) = 10− j/(120 ∗
10−4) = 10 − 26.5258j[Ω]となる。
|Z|と arg Z をMATLABで計算すると次のようになる：
MAIN : 2004/4/26(0:24)
5 . 4 イミタンスとフェーザ図（ベクトル図) 43
>> k=1/(120*pi*0.0001)
k =
26.5258
>> az=sqrt(5^2+k^2)
az =
26.9929
>> s=-atan(1/(120*pi*0.0001*5))
s =
-1.3845
>> s*180/pi
ans =
-79.3253
よって、Z のフェーザ形式は
Z = 26.993∠ − 79.3253 (5.33)
となる。また、フェーザ電流 Iは
I = E/Z (5.34)
で与えられるから
I =10∠0
26.993∠ − 79.3253= 370.5mA∠79.3253 (5.35)
を得る。
θ
E
I
図 5.3 RC直列回路のフェーザ図
時間関数は
e(t) =√
210 sin 120πt (5.36)
に対して
MAIN : 2004/4/26(0:24)
44 5. 交流回路の複素計算法
i(t) =√
2∗0.3705 sin (120πt + 1.3845) = 0.5240 sin (120πt + 1.3845)(5.37)
となる。
Spiceでの解析
図 5-2をネットリストとして表すと
ac r-c circuit
v1 1 0 AC 10V
r1 1 2 5
c1 2 0 100u
.AC lin 1 60Hz 60Hz
.END
となる。このファイルが c:\SpiceOpus\ex\ac10.cirであるとして、Spice
で解析した結果を以下に示す。
SpiceOpus (c) 1 -> c:\SpiceOpus\ex\ac10.cir
Circuit: ac r-c circuit
SpiceOpus (c) 2 -> run
Warning: v1: has no value, DC 0 assumed
SpiceOpus (c) 3 -> print i(v1)
i(v1) = -6.86229e-002,-3.64056e-001
SpiceOpus (c) 4 -> print mag(i(v1))
mag(i(v1)) = 3.704671e-001
SpiceOpus (c) 5-> print atan(imag(i(v1))/real(i(v1)))*180/pi
atan(imag(i(v1))/real(i(v1)))*180/pi = 7.932525e+001
これは先の解析と一致することがわかる。
(2) RC並列回路
図 5.4の RC並列回路を考える。
ネットリストは
ac r-c parallel circuit
v1 1 0 AC 10V
MAIN : 2004/4/26(0:24)
5 . 4 イミタンスとフェーザ図（ベクトル図) 45
i(t)
C = 100µF
R = 5Ωe(t) = 10V 60Hz
図 5.4 RC並列回路
r1 1 0 5
c1 1 0 100u
.AC lin 1 60Hz 60Hz
.END
このファイルが c:\SpiceOpus\ex\ac11.cirであるとして、Spiceで解析し
た結果を以下に示す。
SpiceOpus (c) 10 -> c:\SpiceOpus\ex\ac11.cir
Circuit: ac r-c parallel circuit
SpiceOpus (c) 11 -> run
Warning: v1: has no value, DC 0 assumed
SpiceOpus (c) 12 -> print i(v1)
i(v1) = -2.00000e+000,-3.76991e-001
SpiceOpus (c) 13 -> print mag(i(v1))
mag(i(v1)) = 2.035220e+000
SpiceOpus (c) 14 -> print atan(imag(i(v1))/real(i(v1)))*180/pi
atan(imag(i(v1))/real(i(v1)))*180/pi = 1.067475e+001
これからフェーザ電流 Iは
I = 2.035∠10.67 deg (5.38)
で与えられる。
問 手計算で以上の結果を確認せよ。
MAIN : 2004/4/26(0:24)
46 5. 交流回路の複素計算法
略解 Y = 1/R + jωC = 0.2 + 0.0377j より
I = Y E = (0.2 + 0.0377j)10 = 2 + 0.377j (5.39)
(3) RL直列回路
i(t) R = 5Ω
e(t) = 10V 60Hz L = 10mH
図 5.5 RL直列回路
図 5.5の回路において、Z = R + jωL = 5 + 120π0.01 = 5 + j3.7699 [Ω]
MATLABにより
>> abs(z)
ans =
6.2620
>> a=angle(z)
a =
0.6460
>> a*180/pi
ans =
37.0156
と計算できるので、
Z = 6.262e0.646j (5.40)
よって、
I = E/Z = 10/Z = 1.5969e−0.646j (5.41)
MAIN : 2004/4/26(0:24)
5 . 4 イミタンスとフェーザ図（ベクトル図) 47
Spiceによる解析
ネットリストは
ac r-l circuit
v1 1 0 ac 10
r1 1 2 5
l1 2 0 10m
.ac lin 1 60 60
.end
となる。この内容のファイルが c:\SpiceOpus\ex\ac12.cir であるとして
Spiceで解析を行うと次のようになる。
SpiceOpus (c) 15 -> c:\SpiceOpus\ex\ac12.cir
Circuit: ac r-l circuit
SpiceOpus (c) 16 -> run
Warning: v1: has no value, DC 0 assumed
SpiceOpus (c) 17 -> print i(v1)
i(v1) = -1.27511e+000,9.614121e-001
SpiceOpus (c) 18 -> print mag(i(v1))
mag(i(v1)) = 1.596942e+000
SpiceOpus (c) 19 -> print atan(imag(i(v1))/real(i(v1)))*180/pi
atan(imag(i(v1))/real(i(v1)))*180/pi = -3.70156e+001
(4) RL並列回路
図 5.6の回路を考える。
Y =1R
+1
jωL= 0.2 − 0.2653j (5.42)
より
I = Y E = 2 − 2.653j (5.43)
Spiceによる解析
ac r-l circuit
MAIN : 2004/4/26(0:24)
48 5. 交流回路の複素計算法
i(t)
R = 5Ωe(t) = 10V 60Hz L = 10mH
図 5.6 RL並列回路
v1 1 2 ac 10
r2 2 0 0.000000000001
r1 1 0 5
l1 1 0 10m
.ac lin 1 60 60
.end
\endvernbatim
\beginverbatim
SpiceOpus (c) 22 -> c:\SpiceOpus\ex\ac13.cir
Circuit: ac r-l circuit
SpiceOpus (c) 23 -> run
Warning: v1: has no value, DC 0 assumed
SpiceOpus (c) 24 -> print i(v1)
i(v1) = -2.00000e+000,2.652582e+000
ここでは、電圧源に微小内部抵抗を考えている。
