C. menentukan nilai optimum dari sistem pertidaksamaan linier

1

Recreated by Heri Sudiana &

Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/

B. MENENTUKAN NILAI OPTIMUM DARI SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER

Nilai Optimum Fungsi Sasaran dari Daerah Sistem Pertidaksamaan Linier

Hal terpenting dalam masalah program linier adalah mengubah persoalan verbal ke dalam

bentuk model matematika (persamaan atau pertidaksamaan) yang merupakan penyajian

dari bahasa sehari-hari ke dalam bahasa matematika yang lebih sederhana dan mudah

dimengerti.

Pada pembahasan dalam buku ini hanya menyajikan model matematika sederhana yang

hanya melibatkan dua variabel dan penentuan nilai optimum ditempuh dengan

menggunakan uji titik pojok. Langkah-langkah yang ditempuh untuk menentukan nilai

optimum adalah sebagai berikut :

a) Ubahlah persoalan verbal ke dalam model matematika (dalam bentuk sistem

pertidaksamaan linier);

b) Tentukan Himpunan Penyelesaian;

c) Tentukan semua titik pojok pada daerah himpunan penyelesaian tersebut;

d) Hitung nilai dari fungsi objektif untuk setiap titik pojok dalam daerah himpunan

penyelesaian;

e) Dari hasil pada langkah di atas, nilai maksimum atau minimum dapat ditetapkan.

Contoh Soal 1 Tentukan nilai maksimum dan minimum dari yxZ 35 += , dengan syarat :

0

;0

;6

;82

≥≥

≤+≤+

y

x

yx

yx

Jawab :

Dengan cara seperti pada bagian sebelumnya (bagian A. Grafik Himpunan Penyelesaian

Sistem Pertidaksamaan Linier), sistem pertidaksamaan tersebut mempunyai himpunan

penyelesaian seperti pada grafik di bawah ini (Tanpa arsiran).

2



Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan berupa segi empat dengan titik pojok O, A,

B, dan C). Titik B yaitu titik potong antara 2 buah garis, yang dapat dicari dengan cara

eliminasi/substitusi antara garis 6=+ yx dan 82 =+ yx , diperoleh nilai x = 4 dan y = 2,

sehingga titik B(4, 2).

Kemudian diuji titik-titik pojoknya yang ditunjukkan pada tabel berikut ini.

Titik Pojok x y yx 35 +

O(0, 0) 0 0 0

A(6, 0) 6 0 30

B(4, 2) 4 2 26

C(0, 4) 0 12 12

Dari tabel di atas, nilai maksimum adalah 30, terjadi untuk x = 6 dan y = 0. Sedangkan nilai minimum sama dengan 0 untuk x = 0 dan y = 0.

Contoh Soal 2 Tentukan nilai maksimum dan minimum yxZ 32 += dari daerah yang ditunjukkan pada

grafik di bawah ini.

Y

0 8

4

6

6

HP

X

6=+ yx

82 =+ yx ● C

●

●

B(4, 2)

A

2 5

3

Y

X 0

(3, 5)

(7, 3) HP

3



Jawab :

Dengan menggunakan uji titik pojok, nilai maksimum dan minimum dapat dicari seperti

ditunjukkan pada table di bawah ini :

Titik Pojok x y yx 32 +

(2, 0) 2 0 4

(5, 0) 5 0 10

(7, 3) 7 3 23

(3, 5) 3 5 21

(0, 3) 0 3 9

Dari tabel terlihat bahwa nilai maksimum adalah 23, yang terjadi pada titik (7, 3) dan nilai

minimum adalah 4, yang terjadi pada titik (2, 0).

Contoh Soal 3 Sebuah pesawat terbang mempunyai kapasitas tempat duduk tidak lebih dari 48 orang.

Setiap penumpang kelas utama dapat membawa bagasi seberat 60 kg dan kelas ekonomi

20 kg, sedangkan pesawat tersebut mempunyai kapasitas bagasi tidak lebih dari 1.440 kg.

apabila harga tiket untuk kelas utama dan ekonomi masing-masing adalah Rp. 1.000.000,-

dan Rp. 500.000,- per orang, tentukan banyaknya penumpang setiap kelas agar penjualan

tiket maksimum.

Jawab : Model matematika disusun dengan memisalkan banyak penumpang kelas utama = x orang

dan banyak penumpang kelas ekonomi = y orang.

Variabel Kelas utama (x) Kelas ekonomi (y) Persediaan

Penumpang x y 48

Bagasi 60 20 1.440

Harga tiket 1.000.000 500.000

4



Maksimalkan yxZ 000.500000.000.1 += .

Syarat daya tampung : 48≤+ yx

Syarat kapasitas : 14402060 ≤+ yx

0≥x

0≥y

Dari model matematika di atas dapat dibuat grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan

linier seperti terlihat pada gambar di bawah ini.

Dari model matematika di atas dan grafik yang dihasilkan diperoleh titik pojok daerah

Himpunan Penyelesaian yaitu titik O, A,B, dan C dengan titik B adalah titik potong antara

garis 48=+ yx dan 482060 =+ yx . Titik potong B adapat dicari dengan cara

subsitusi/eliminasi, sehingga diperoleh titik potong B(12, 36).

Uji titik pojok O, A, B, dan C seperti terlihat pada tabel dibawah ini.

Titik Pojok x y y000.500000.000.1 +

O(0, 0) 0 0 0

A(24, 0) 24 0 24.000.000

B(12, 36) 12 36 30.000.000

C(0, 48) 0 48 24.000.000

Nilai maksimum Z adalah Rp. 30.000.000,- dipenuhi oleh x = 12 dan y = 36, atau dengan

kata lain penjualan tiket akan maksimum jika banyaknya penumpang kelas utama

sebanyak 12 orang dan kelas ekonomi sebanyak 36 orang.

0 24 48 X

72

48

Y

HP

14402060 =+ yx

48=+ yx

C B(12, 36)

A

●

●

●

Documents

C. menentukan nilai optimum dari sistem pertidaksamaan linier