数字信号处理

周治国

2015.10

第四章 快速傅里叶变换

§4-8 线性调频 Z变换(Chirp-Z Transform)

3 / 30

1,...,1,0 ),( −=∀ Nnnx

一、问题的提出

)]([)( nxDFTkX∆

= ∑−

=

−=

1

0

2

)(N

n

knN

jenx

π

kN

jk ezkzX π2)(

==

1,...,1,0 −= Nki) N=ML，2ν → FFT算法（基-2，统一，分裂基）

1,...,1,0 ,)( 2 −=→=

NkzXFFT kN

jk ezk

πii)（X(z)在 |z|=1上等间隔取样值）

问题：? 1,...,1,0 , )( )1

1−=∃

≠MkzX

kzk

? ,1,...,1,0 , )( )2 NMMkkX <−=∃

? 1,...,1,0 , )( )3 −=∃≠ MkkXMLN （质数），Chirp-Z 变换

§4-8 线性调频 Z变换(Chirp-Z Transform)

4 / 30

↔−≤≤∀ 10 ),( Nnnx

∑−

=

−=1

0)()(

N

n

nznxzX

1,...,1,0 , −== −∆

MkAWz kk

二、算法原理

令

00

θjeAA∆

=

1,...,1,0 ,00 −== −

∆

MkeWW jφ

0000

φθ jkkjk eWeAz ⋅⋅= − 1,...,1,0 −= Mk

图4-26(P.152)

图4-26(P.152)

00000 θθ ∠==

∆

AeAz j

)(1001

00 φθ +−= jeWAz

)(00

00 φθ kjkk eWAz +−=

])1([)1(001

00 φθ −+−−− = MjM

M eWAz

z1

6 / 30

取样起始点的矢量长度： ),1( , )1 00 ≤AzA

参数几何意义

{ } 频率）取样起始点的相角（角： ),0/0( ,arg )2 00 <>zθ

间的角频率差取样点： 10 , )3 +kk zzφ

的路径为逆时针旋转kz ,00 >φ

的路径为顺时针旋转kz ,00 <φ

外盘旋的路径是向内取值决定： / )4 0 kzW的路径是向外弯曲kzW ,10 <

的路径是向内弯曲kzW ,10 >

的一段圆弧的路径是半径为 00 ,1 AzW k=

即单位圆上的一部分时 ,10 =A

7 / 30

0 ,1 )1 00 == θA

)]([)()( 2 ,1 )2 00 nxDFTkXzXN

W k ==→==π

φ

N )3 =M 1,...,1,0 −= Nk∴DFT也可视为CZT的一种特例

一般情况：

∑−

=

−=1

0)()(

N

n

nknk WAnxzX 10 −≤≤ Mk (4-62)

利用公式：

])([21 222 nkknnk −−+=

2 2211 ( )

2 2 2

0

( )n kN k nn

nx n A W W W

− − −−

=

= ∑

式(4-62)变为：

∑−

=

−−−=1

0

)(21

222

22

])([N

n

nknn

k

WWAnxW

∑−

=

−=1

0

2 )()(2 N

n

k

nkhnfW 1,...,1,0 −= Mk

(4-65)式中：

2

2

)()(n

nWAnxnf −∆

=

( ) 22

2

0

2

)(n

Wnh e jn

Φ==−∆

1,...,1,0 −= Nn

2

00n

2

n

Chirp Signal CZT

n

→ →

Φ Φ角位移 对时间序数 的微分值为

瞬时频率随时间成线性变化

?=n W0=1时

∑−

=

−=1

0)()(

N

n

nknk WAnxzX

])([21 222 nkknnk −−+=

h(n) X(zk),k=0,1,…,M-1

x(n),n=0,1,…,N-1

2

2nnWA− 2

2k

W

f(n)

图4-27 CZT的运算流程图

g(k)

2

2

)()(n

nWAnxnf −∆

=

( ) 22

2

0

2

)(n

Wnh e jn

Φ==−∆

∑−

=

−=1

0

2 )()(2 N

n

k

nkhnfW

∑−

=

−=1

0)()(

N

n

nknk WAnxzX

1,...,1,0 −= Mk

10 / 30

1,...,1,0 ,,,, 20000

2

−=→ − NnWAWAn

nφθ

三、运算/实现步骤：

),(nx 10 −≤≤ Nn

),(nf 10 −≤≤ Nn

(1)要求[X(zk)]

2

2n

W−

nnh ∀ ),(

(2)计算 f(n)*h(n)， n=0,1,…,M-1

1)1(),( −≤≤−− MnNnh

10),( −≤≤ Nnnf

ν2 1

=

−+>

LMNL

点补零至L )(nf ′

)(nh′)()( nhnf ∗

LL l +× 2log2

3—

N—×

(3)计算 F(r)H(r)

h(n) X(zk),k=0,1,…,M-1

x(n),n=0,1,…,N-1

2

2nnWA− 2

2k

W

f(n) g(k)

14 / 30

MLNL L +++2log23 *：

四、运算量估算

(M,N>50→CZT优于直接计算)

15 / 30

0000 ≠→≠ θAz

五、CZT算法的特点

10 ),( )1 −≤≤∀ Nnnx

10 ),( −≤≤∃ MkzX k1 , ≠≠ kzNM

2) N,M均可为质数→ 任意情况

3) 取样起始点z0任选：

1,...,1,0 ),( −= MkzX k

4) 可任意取值0φ

1, +kk zz 的角间隔（频率）任意

频率分辨率可变

进行窄带高分辨分析

pqMWANM

M

≠==>

≠=

1,1,

0,2

00

00 θπ

φ

16 / 30

NeWA Nj

∀== ,,1 )52π

MnxDFTzXCZT k ∀=→ )],([)(

DFT的推广0,1,..., 1k M= −( )N pl≠

§4-10 FFT的应用

17 / 30

10 )( 10 )(

2

1

−≤≤−≤≤∀

NnnhNnnx

一、利用FFT求卷积——快速卷积

=∗∃ )()( nhnx

21 .1 NN ≈

∑ ∑−

=

−

=

−=−1

0

1

0

1 2

)()()()(N

l

N

llnxlhlnhlx

)()(

nhnx

)()(

nhnx

′′

)()( kHkX ′′FFT IFFT

21 .2 NN >>

)()( ),()( .3 ** nhnhnxnx ==

运算量比较：

1.直接卷积：N2

2.快速卷积：3Nlog2N

思考：补零会造成卷积计算误差吗？

补零

分段卷积

1 2

1 2

1

0

1

0

(1) ( ) ( )( ) ( ) ( )

(2) 1 2'( ) '( )

'( ) '( ) '( ) '( ) '(( )) ( )

(3) : '( ) '( ) '( ) '( )(4) '( ) '( ) '( )

1 1(5) : '( ) [ '( )] [ ' ( )]

v

N

N Nk

Nnk nk

N Nk

x n N h n Ny n x n h n

N N N Nx n h n

y n x n h n x k h n k R n

FFT x n X k h n H kY k X k H k

IFFT y n Y k W Y k WN N

−

=

−− ∗

=

= ∗

≥ + − =

= ⊗ = −

→ →=

= =

∑

∑

补零

1

0

(6) ( )

N

k

y n

∗−

=

∑

一、利用FFT求卷积——快速卷积计算步骤

( ),s( ), ( ) 0 1 ( ), ( ), ( ) 0 1

g n n h n n NG k S k H k k N

∀ ≤ ≤ −≤ ≤ −

实序列

一、利用FFT求卷积——高效的FFT卷积

1

2

1

2

FFT( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ( )] ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) [ ( )] ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) Re[ ( )]

y n g n h ny n s n h n

p n g n js nDFT p n P k G k jS kY k H k P k

y n IFFT Y k p n h ng n js n h n g n h n js n h n

y n g n h n y ny

= ⊗ = ⊗

= +

= = +

== = ⊗

= + ⊗ = ⊗ + ⊗

= ⊗ =

用一次 实现两个卷积运算

合成：

则：

令：

因此：( ) ( ) ( ) Im[ ( )]n s n h n y n

= ⊗ =

§4-10 FFT的应用

(1)(2)(3)

应用：

一个系统同时通过两种输入信号

一个系统同时处理长序列分段过滤中的两个片段

一个信号同时通过两个系统

一、利用FFT求卷积——高效的FFT卷积

21 / 30

二、利用FFT求相关——快速相关

10 )( 10 )(

2

1

−≤≤−≤≤∀

NnnyNnnx

∑−

=

+=∃1

0

*1

)()()( N

llnylxnz ∑

−

=

+=1

0

*2

)()(N

llnxly

)()(

nynx

)()(

nynx

′′

' ( ) ( )X k Y k∗ ′ )(nzFFT IFFT补零

)()( .3 .2)()( .1

*21

21

nxnxNNnynx

NN

=

>>→=≈

自相关

21 .1 NN ≈

21 .2 NN >>

)()( ),()( .3 ** nynynxnx ==

1

1 2

0

1 2

1 1

0 0

(1) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

(2) 1 2'( ) '( )

(3) : '( ) '( ) '( ) '( )(4) ( ) ' ( ) '( )

1 1(5) : '( ) [ ( )] [ ( )]

(6) ( )

N

kv

N Nnk nk

N Nk k

x n N y n N

z n x k y n k

N N N Nx n y nFFT x n X k y n Y kZ k X k Y k

IFFT z n Z k W Z k WN N

z n

∗

=

∗

∗− −− ∗

= =

= +

≥ + − =

→ →

=

= =

∑

∑ ∑

补零

二、利用FFT求相关——快速相关计算步骤

往年真题：

4、设有两个有限长实序列，试给出用基-2 FFT计算其线性卷积的方法步骤（要求尽量减少乘法运算次数），并与用线性卷积定义直接计算时的运算量做以比较。

往年真题：

5、已知实序列x(n)和y(n)，长度分别为N和M，试给出仅用基-2 FFT正变换快速计算其线性卷积的方法步骤，要求尽量减少乘法运算次数。

§4-11 2-D DFT/FFT 算法

25 / 30

),( nmx∀

一、2-D DFT

12 10

ν=

−≤≤

MMm

22 10

ν=

−≤≤

NNn

)],([),( nmxDFTlkX∆

=

∑∑−

=

−

=

=1

0

1

0),(

M

m

N

n

lnN

kmM WWnmx

1010

−≤≤−≤≤

NlMk

∑∑−

=

−

=

−−∆

=1

0

1

0),(1),(

M

k

N

l

lnN

kmM WWlkX

MNnmx

1010

−≤≤−≤≤

NnMm

26 / 30

1,...,1,0 , .2 −=∀ Mkk

1,...,1,0 ,),(),(1

0−== ∑

−

=

NlWnkAlkXN

n

lnN

NNM 2log2

×∗—

二、2-D FFT

1,...,1,0 , .1 −=∀ Nnn

1,...,1,0 ,),(),(1

0−== ∑

−

=

MkWnmxnkAM

m

kmM

MMN 2log2

×∗—

列

行

222 )(MNMN =2、2-D DFT

三、运算量估算

1、2-D FFT

MN MNNM 22 log2

log2

×+× )log(log2 22

MNMN+= MNMN

2log2

=

§4-12 FFT的其它形式

28 / 30

—2Winograd Fourier Transform Algorithm (WFTA):

—3—4—5

—7—8—9—16

DFTN— 10 ),( N-kkXDFT ≤≤→

DFT−=××× 504057916 例：

8 4 2 3 3算法步骤：1.利用下标映射，把大N点的DFT化成互素的小N点的DFT；2.把小N点的DFT化成循环卷积；3.找出计算小N点卷积的快速算法，从而得到小N点的DFT的快速算法；4.由小N点的DFT求出大N点的DFT。

维络格勒德

x(n)= {x(0), x(1), x(2)…x(14)} = {0,1,2,…,14}

X(k)= {

}

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

x(n)= {

}

X(k)= {

}

1.0e+002 *

1.0500 -0.0750 + 0.1032i -0.0750 + 0.0244i -0.0750 - 0.0244i -0.0750 - 0.1032i

-0.3750 + 0.2165i 0 0 0 0

-0.3750 - 0.2165i 0 0 0 0

1.0e+002 *

1.0500 -0.0750 + 0.3528i -0.0750 + 0.1685i -0.0750 + 0.1032i -0.0750 + 0.0675i

-0.0750 + 0.0433i -0.0750 + 0.0244i -0.0750 + 0.0079i -0.0750 - 0.0079i -0.0750 - 0.0244i

-0.0750 - 0.0433i -0.0750 - 0.0675i -0.0750 - 0.1032i -0.0750 - 0.1685i -0.0750 - 0.3528i

2D-FFT

FFT

x(n)= {x(0), x(1), x(2)…x(14)} = {0,1,2,…,14}

x(0) x(3) x(6) x(9) x(12)x(5) x(8) x(11) x(14) x(2)x(10) x(13) x(1) x(4) x(7)

X(k)= {

}

x(n)= {

}X(k)= {

}

1.0e+002 *

1.0500 -0.0750 + 0.3528i -0.0750 + 0.1685i -0.0750 + 0.1032i -0.0750 + 0.0675i

-0.0750 + 0.0433i -0.0750 + 0.0244i -0.0750 + 0.0079i -0.0750 - 0.0079i -0.0750 - 0.0244i

-0.0750 - 0.0433i -0.0750 - 0.0675i -0.0750 - 0.1032i -0.0750 - 0.1685i -0.0750 - 0.3528i

1.0e+002 *

1.0500 -0.0750 + 0.0244i -0.0750 - 0.1032i -0.0750 + 0.1032i -0.0750 - 0.0244i

-0.0750 - 0.0433i -0.0750 + 0.3528i -0.0750 + 0.0079i -0.0750 - 0.1685i -0.0750 + 0.0675i

-0.0750 + 0.0433i -0.0750 - 0.0675i -0.0750 + 0.1685i -0.0750 - 0.0079i -0.0750 - 0.3528i

X(0) X(6) X(12) X(3) X(9)X(10) X(1) X(7) X(13) X(4)X(5) X(11) X(2) X(8) X(14)

X(k)= {

}

FFT

2D-FFT

本章回顾：

1.基-2 DIT2.基-2 DIF3.统一复合数4.基-4 DIF/DIT5.分裂基6.实序列FFT7.Chirp Z变换

算法原理时抽频抽蝶形流图复乘复加算法特点变换卷积