線形代数とは線形代数とは

第一回第一回 ベクトルベクトル

教科書教科書

「エクササイズ線形代数」「エクササイズ線形代数」

立花俊一・成田清正著立花俊一・成田清正著

共立出版共立出版

必要最低限のことに限る必要最低限のことに限る

得意な人には物足りないかもしれません得意な人には物足りないかもしれません

線形代数とは何をするもの線形代数とは何をするもの??

線形関係線形関係 →→ y=axy=ax →→ 直線直線

yyももxxもも 11次式で登場する（次式で登場する（11次の形）＝線形次の形）＝線形

ただし、ただし、11次元の話次元の話 世の中は世の中は33次元［次元［44次元］次元］

22次元、次元、33次元、次元、44次元、次元、……はどうやって直線を表はどうやって直線を表

すの？すの？

ベクトルや行列の概念ベクトルや行列の概念

xAy rr=

ベクトルを使うとベクトルを使うとy=axy=axという式はという式は

Y=AXY=AXX,YX,Yがが22次元以上だとベクトルになり、次元以上だとベクトルになり、

AAは複数の数からなる行列というものになりますは複数の数からなる行列というものになります

代数というのがついてますから代数というのがついてますから

ベクトルや行列の演算を扱う学問ということになりベクトルや行列の演算を扱う学問ということになります。ます。

本日の御題本日の御題 ーー ベクトルベクトル

幾つかの量をまとめて表すことを考えます幾つかの量をまとめて表すことを考えますりんごりんご33個個 みかんみかん55個個これを表すにはこれを表すには

世の中りんごとみかんしかないとすると世の中りんごとみかんしかないとすると

りんごりんご 33みかんみかん 55

りんごりんご みかんみかん

33 55

( ) [ ]53,53,53

,53

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛と表してあげればよい

“計算する場合”“計算する場合”

かご１にかご１に りんごりんご33、みかん、みかん55かご２にりんご２、みかんかご２にりんご２、みかん44

りんご、みかんのそれぞれの合計は？りんご、みかんのそれぞれの合計は？

かご１が２かごある場合かご１が２かごある場合

りんご、みかんのそれぞれの合計は？りんご、みかんのそれぞれの合計は？

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛95

42

53

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛106

53

2

計算する場合（２）計算する場合（２）

りんごの単価１りんごの単価１ここ8080円、みかんの単価１円、みかんの単価１ここ3030円とするとかご１の値段総額は？円とするとかご１の値段総額は？

( ) ( )円円円円 15024053

3080 +=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛•

数学的には数学的には

個数の計算個数の計算

ベクトルの和（加法）ベクトルの和（加法）

ベクトルのベクトルのスカラースカラー倍倍

値段の総額の計算値段の総額の計算

ベクトルの内積ベクトルの内積

ベクトルとスカラーベクトルとスカラー

物理や幾何学で現れる量の多くは、ある単位物理や幾何学で現れる量の多くは、ある単位とこれを用いて測った数値で表すことができる。とこれを用いて測った数値で表すことができる。Ex. Ex. 質量は何質量は何gg、温度は何℃、温度は何℃

こういう量をスカラーというこういう量をスカラーという

他に：長さ、時間、密度、エネルギー、電気量など他に：長さ、時間、密度、エネルギー、電気量など

方向を持っている量方向を持っている量

重力などの力重力などの力

方向は１つの矢で表す方向は１つの矢で表す

A

BAB

ベクトルの書き表し方ベクトルの書き表し方

a, A a, A 太字にする。手書きだと見分けにくい太字にする。手書きだと見分けにくい

文字の上に矢印を書く文字の上に矢印を書くAarr,

ベクトルの相等ベクトルの相等

大きさが等しく、向きも等しい大きさが等しく、向きも等しい

AA==BB

始点の位置は関係ない→自由ベクトル始点の位置は関係ない→自由ベクトル束縛ベクトル束縛ベクトル

平行移動したベクトルはすべて相当の関係にある平行移動したベクトルはすべて相当の関係にある

A B

力の合成力の合成

OOに作用する２力の合成に作用する２力の合成

平行四辺形の法則（三角形の法則）平行四辺形の法則（三角形の法則）

OAO A

B C

OBOC

OBOAOC +=

ベクトルの和（加法）ベクトルの和（加法）

平行四辺形（三角形）の法則平行四辺形（三角形）の法則

一方のベクトルの尻尾一方のベクトルの尻尾((始点始点))をもう一方のベをもう一方のベクトルの頭クトルの頭((終点終点))につけることにより定義につけることにより定義

22つのベクトルつのベクトルA,BA,Bの和の和A + BA + BははAAととBBによってによって作られる平行四辺形の対角線として表わせ作られる平行四辺形の対角線として表わせますます

交換法則交換法則

AA＋＋BB＝＝BB＋＋AA

A

A

B BA+B

結合法則結合法則

（（AA＋＋BB）＋）＋CC＝＝AA＋（＋（BB＋＋CC））

A

B

C

A＋B

B＋C

A+B+C

ベクトルの和は次のような性質を持ベクトルの和は次のような性質を持つつ

11．．22つのベクトルの和はまたベクトルである．つのベクトルの和はまたベクトルである．((このことこのことを和は閉じているといいますを和は閉じているといいます) )

22．任意のベクトル．任意のベクトルAAととBBにおいて，において，AA++BB = = BB++AAが成りが成り立つ．立つ．((交換法則交換法則))

33．任意のベクトル．任意のベクトルAA,,BB,,CCにおいて，において，((AA++BB)+)+CC = = A+(B+C)A+(B+C)が成り立つ．が成り立つ．((結合法則結合法則))

44．任意のベクトル．任意のベクトルAAに対して，に対して，AA++00 = = AAとなるベクトルとなるベクトル00が存在する．が存在する．((零元の存在零元の存在))

55．任意のベクトル．任意のベクトルAAに対して，に対して，AA++BB = 0= 0となるベクトルとなるベクトルBBが存在する．が存在する．((逆元の存在逆元の存在)) BB = = --AA

ベクトルベクトル00についてについて

大きさ大きさ 0 0 （（※※大きさはまだ定義していない大きさはまだ定義していない））

方向方向 なしなし

スカラー倍スカラー倍

O Aa（－１）a＝－a

α a （α>1）

α a （α>－1）

ベクトルのスカラー倍ベクトルのスカラー倍 ααAAは次のような性質をもは次のような性質をもつつ

66．ベクトルのスカラー倍はまたベクトルである．．ベクトルのスカラー倍はまたベクトルである．

77．任意の実数．任意の実数ααととββに対してに対して，，

αα(( ββ AA) = () = (αα ββ)) AAが成り立つ．が成り立つ．((結合法則結合法則))88．任意の実数．任意の実数ααととββに対してに対して，，

((αα＋＋ββ)) AA = = αα AA + + ββ AAが成り立ち，が成り立ち，

任意のベクトル任意のベクトルAAととBBに対して，に対して，

αα ((AA++BB) =) = αα AA + + ββ BBが成り立つ．が成り立つ．((分配法則分配法則))99．．1 1 AA = = AA ; 0; 0 AA = = 00 ; ; αα 00 = = 00が成り立つ．が成り立つ．

ベクトル空間ベクトル空間

線形空間ともいう線形空間ともいう

平面や空間の幾何ベクトルにおいて平面や空間の幾何ベクトルにおいて11からから99ままでの性質が成り立ちますでの性質が成り立ちます

このとき、平面や空間のベクトルの集まりをこのとき、平面や空間のベクトルの集まりを幾何ベクトル空間幾何ベクトル空間 ((geometric geometric vector space) vector space) といいますといいます

もっと抽象的にもっと抽象的に11からから99を満たす“もの”の集まを満たす“もの”の集まりをベクトル空間といい、その集合の要素をりをベクトル空間といい、その集合の要素をベクトルといいます。ベクトルといいます。

公理とは公理とは

ある数学体系の出発点となる一般的法則のある数学体系の出発点となる一般的法則のことこと

１～９は線形空間の公理といってよい１～９は線形空間の公理といってよい

もとは加法とスカラー倍から導き出されたもとは加法とスカラー倍から導き出された

ベクトルの成分表示ベクトルの成分表示

平面、空間の直交座標系を平面、空間の直交座標系をOO--xyxy、、OO--xyzxyzとするとする

各座標軸の正方向に向かう長さ１のベクトルを各座標軸の正方向に向かう長さ１のベクトルを II,,j j あるいはあるいは ii,, jj, , kkで表す。で表す。 基本ベクトル基本ベクトル

ある点ある点PPの平面座標を（の平面座標を（x, y)x, y)とするととすると

ある点ある点PPの空間座標を（の空間座標を（x, y, z)x, y, z)とするととすると

kzjyixOPrrr

++=

jyixOPrr

+= ( )yxyx

,⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ベクトルの成分表示→

( )zyxzyx

,⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

ベクトルの成分表示→

ｎ成分基本ベクトルｎ成分基本ベクトル

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

10

0

,,

0

10

,

0

01

21

MrL

M

r

M

rneee

ier … 第i成分のみが1でその他の成分はすべて0

基本ベクトルを用いて基本ベクトルを用いて

任意のベクトル任意のベクトル は、は、

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

na

aa

aM

r 2

1

∑=

=++=n

iiinn eaeaeaeaa

12211

rrL

rrr

ベクトルの相等ベクトルの相等

成分表示において成分表示において

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

mn b

bb

a

aa M

rM

r11

,

( ) bamniba

bababamn

ii

nnrr

L

=⇔=≤≤=⇔

====

1

,,,, 2211

ベクトルの計算（和）ベクトルの計算（和）

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1

2

1 ,bb

baa

arr

22112

12211

2

1 , ebebbb

beaeaaa

a rrrrrr+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

( ) ( )( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=

+++=+++=+

22

11

222111

22112211

baba

ebaebaebebeaeaba

rr

rrrrrr

同じ成分同士を足す

( ) ( )∑∑∑∑====

+=+=+=+n

iiii

n

iiiii

n

iii

n

iii ebaebeaebeaba

1111

rrrrrrr

ベクトルの計算（スカラー倍）ベクトルの計算（スカラー倍）

実数:,22112

1 αeaeaaa

a rrr+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

( ) ( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∴⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+=+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1

2

1

2

1

22112211

2

1

aa

aa

aa

eaeaeaeaaa

a

αα

ααα

ααα

αα

rrrr

r

( )∑∑==

==n

iii

n

iii eaeaa

11

rrr ααα

各成分それぞれα倍する

連立連立11次方程式次方程式

⎩⎨⎧

=+=+

⇔

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⇔

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇔

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇔

=+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==+⇔

⎩⎨⎧

=+=+

2222121

1212111

2

1

222121

212111

2

1

222

212

121

111

2

1

22

122

21

111

2211

22

122

21

1112211

2222121

1212111 ,,

bxaxabxaxa

bb

xaxaxaxa

bb

xaxa

xaxa

bb

aa

xaa

x

baxax

aa

aaa

abaxaxbxaxabxaxa

rrr

rrrrr

和

スカラー倍

相等

平面・空間の位置ベクトル平面・空間の位置ベクトル

原点が点Oの座標系

bOQaOPrr

== ,

OP の定めるベクトル aOP r=

を点Pのこの座標系に関する位置ベクトルという

O

P

Q

brar

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyx

xrPの座標が ( )zyx ,, ならば

平面・空間の位置ベクトル平面・空間の位置ベクトル

任意のベクトルはある点の位置ベクトル

空間の点とベクトルが１対１にもれなく対応する

O

P

Q

brar

OPOQPQ −=

ab rr−=

平面・空間上の点を位置ベクトルで表す平面・空間上の点を位置ベクトルで表す

cOCbOBaOA rrr=== ,,

平行四辺形ABCDと原点O

A D

CB

M

N

O

原点Oの座標系での位置ベクトル

?

?

?

=

=

=

ON

OD

OM

?=OM

MMは線分は線分ACAC（（BDBD）の中点である）の中点である

平行四辺形平行四辺形OAECOAECの対角線の対角線OEOEのの中点中点になるになる

caOCOAOE rr+=+=

A D

CB

M

N

O

E

( )caOEOM rr+==

21

21

?=ODA D

CB

M

N

O

1.O→A→Dと経由して作るか2.O→C→Dと経由して作るか

( ) cbaOBOCOA

BCOAADOAODrrr

+−=−+=

+=+=

問 O→C→Dで を作ってみよOD

?=ON線分線分ADADの中点の中点

( ) ( ) ( )cbacbaaODOAON +−=+−+=+=rrrrr 2

21

21

21

A D

CB

M

N

O

ベクトル をそれぞれ

とするとき、それらの終点を図示し、を で表せCABCDBAC ,,, ba

rr ,

ODOCOBOA ,,,bababarrrrrr 2,32,, −+

問