Univerza v LjubljaniFakulteta za matematiko in fiziko

Oddelek za fiziko

Calugareanu-White-Fullerjev teoremin topologija DNA

Seminar

Jure Aplinc, dipl. fiz. (UN)Mentor:

prof. dr. Rudolf Podgornik

26. september 2012

Povzetek

V tem seminarju se bomo ukvarjali z obliko molekule DNA, ki jo bomo na zacetkumatematicno opisali. Struktura molekule DNA je dvojna vijacnica, kar pomeni, da jo lahkoukrivimo (kot vsako krivuljo) in tudi ovijemo okoli osi vijacnice. Povedali bomo kako lahkoza zaprte krivulje izracunamo s tem povezane opazljivke in upeljali Gaußovo povezovalnostevilo, in s tem tudi Calugareanu-White-Fullerjev izrek. Na koncu bomo vse te opazljivkedefinirali tudi za odprto krivuljo.

Kazalo

1 Uvod 2

2 Matematicni opis molekule DNA 22.1 Vijacnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Dvojna vijacnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Povezovalno stevilo, ovijanje, ukrivljanje in Calugareanu-White-Fullerjev iz-rek 63.1 Stevilo krizanj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Povezovalno stevilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3 Ukrivljanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4 Ovijanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.5 Calugareanu-White-Fullerjev izrek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Odprte krivulje 94.1 Lk za odprte krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.2 Tw za odprte krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.3 Wr za odprte krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5 Ukrivljanje in tangentna krivulja 115.1 Polarno ukrivljanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.2 Ekvivalentne zaprte krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6 zakljucek 13

1

1 Uvod

Eni sami krivulji (v matematicnem pomenu) lahko pripisemo le ukrivljanje1 (writhe), ce paopisu dodamo se drugo krivuljo, skoraj vzporedno prvi lahko definiramo tudi kako mocno sedruga krivulja ovija (twist) okoli prve. Ti dve krivulji lahko predstavljata rob traku, lahko patudi strukturo molekule DNA. Nas bo v prvi vrsti zanimala slednja, nasa analiza pa velja boljsplosno. Kadar sta obe krivulji zakljuceni (torej nimata robnih tock) tedaj lahko definiramotudi njuno povezovalno stevilo (linking number). Calugareanu je leta 1959 dokazal, da je vsotaovijanja in ukrivljanja enaka povezovalnemu stevilu.

Vsaka od treh omenjenih kolicin ima posebne lastnosti. Ce proglasimo eno od krivulj zaos, drugi pa pravimo sekundarna krivulja, tedaj je ukrivljanje odvisno le od osi, in je nelokalnakolicina. Nasprotno pa je ovijanje odvisno tudi od sekundarne krivulje in je lokalna kolicina.Med vsemi tremi je le povezovalno stevilo topoloska invarianta, to pomeni, da je invariantno nadeformacije krivulj, edina omejitev pri tem je, da ena krivulja ne sme preiti skozi drugo.

Preden bomo zaceli razpravljati o teh kolicinah moramo razmisliti kako matematicno opisatikrivulje in dvojno vijacno strukturo molekule DNA. Ta seveda ni sestavljena iz tankih mate-maticno idealiziranih krivulj, ampak iz atomov in manjsih molekularnih podstruktur, tako, dani samoumevno kako preiti iz atomske slike na opis z vijacnicami. Obicajno se vijacno strukturonapne na atome fosforja, so pa mozne tudi drugacne konvencije.

2 Matematicni opis molekule DNA

Zanimamo se za krivuljo x, ki naj ne seka samo sebe. Vsa mesta na krivulji so v neki parame-trizaciji t podana z

x = x(t). (2.0.1)

Najbolj obicajna parametrizacija (ki pa ni vedno najbolj enostavna za racunanje) je naravnaparametrizacija, pri kateri x(t) opise vso krivuljo, tedaj ko t = s pretece vse vrednosti med0 in L =

∫dl, kjer je slednja dolzina krivulje. ce je ta krivulja obdana z skoraj paralelnimi

krivuljami ji bomo rekli osna krivulja[1].Predpostavimo, da je x(s) gladka in najmanj dvakrat zvezno odvedljiva. Tedaj lahko defi-

niramo tangentni vektor

t(s) =dx

ds(2.0.2)

ce delamo v naravni parametrizaciji velja zanj tudi |t(s)| = 1. Tudi odvod tangentnega vektorjaje vektor, ki je definiran kot

n =1

κ

dt(s)

ds, (2.0.3)

ce κ = |dt(s)ds |, ki ji pravimo ukrivljenost ni enaka 0. Iz definicije vektorja n, ki mu pravimonormala vidimo, da je enotski. Sedaj pa lahko definiramo se tretji vektor, binormalo, takole

b = t× n. (2.0.4)

Omenjeni trije vektorji {t,n,b} tvorijo desnorocno ortonormalno bazo in zadoscajo Frenet-

1Tega in ostale izraze sem bolj ali manj uspesno prevedel iz anglescine, saj nisem poznal ustrezne slovenskebesede.

2

Serretovim enacbam[1, 2]

dt(s)

ds= κn, (2.0.5)

dn(s)

ds= τb− κt, (2.0.6)

db(s)

ds= −τt, (2.0.7)

kjer τ imenujemo torzija, ceprav nima nobene zveze s fizikalno torzijo. To so osnovne enacbediferencialne geometrije krivulje. Povedo nam, da je ”hitrost”tangente t(t) okoli osi b(t) κ(t)in da je τ ”hitrost”rotacije normale n okoli osi t. Frenet-Seretove enacbe lahko zapisemo tudiv matricni obliki[1, 2] kot

(t, n, b) = K(t,n,b), (2.0.8)

kjer je K matrika ukrivljenosti dana z

K(t) =

0 κ(t) 0−κ(t) 0 τ(t)

0 −κ(t) 0

. (2.0.9)

Ce poznamo ukrivljenost κ(t) in torzijo τ(t) lahko s pomocjo Frenet-Seretovih enacb popolnomarekonstruiramo krivuljo [2].

Mi bi radi opisali molekulo DNA, ki pa ni krivulja. Njeno obliko bolje posnemamo ceosno krivuljo obdamo z strukturo in tako definiramo trak , ki nam lahko predstavlja DNAmolekulo. Zato bomo potrebovali dodatno, sekundarno krivuljo y (glej sliko 1) [1]. Najprej

Slika 1: Na sliki je osna krivulja x(t) skupaj z sekundarno krivuljo y(t) [1].

vpeljimo nov enotski vektor v, ki je pravokoten na tangentnega t, zahtevamo torej v(t) ·t(t) = 0(lahko izberemo tudi v(t) = n(t)). Ta vektor je usmerjen v tocko y(t) = x(t) + εv(t) nasekundarni krivulji. Obicajno izberemo ε � 1, da obdrzimo krivulji blizu skupaj. Omenimose, da v primeru ko izberemo naravno parametrizacijo lahko parametriziramo obe krivulji zt = s, toda parameter meri dolzino le vzdolz osne krivulje, ne pa tudi sekundarne krivulje.Ce ”narisemo”kroge z radijem ε, centrirane na x(t) in pravokotne na t(t), dobimo okoli osnekrivulje cev, ki ne bo nikjer sekala same sebe, ce bomo izbrali ε dovolj majhen. Ce cev vsebujetudi sekundarno krivuljo y, tedaj lahko vsako tocko na cevi opisemo s parom koordinat (t, φ),kjer φ = 0 definiramo na sekundarni krivulji, ki ima torej koordinate (t, 0). Ce definiramow = t× v, lahko poljubno tocko na povrsini cevi y(t, φ) izrazimo s

y(t, φ) = x(t) + ε(cosφv(t) + sinφw(t)). (2.0.10)

3

Ce drzimo konstanten kot φ = β lahko definiramo krivuljo, paralelno krivulji y(t, 0), kipoteka skozi tocke y(t, β). S celo druzino takih krivulj 0 ≤ β < 2π pa lahko pokrijemo celotnopovrsino cevi[1].

2.1 Vijacnica

V poglavju 2 smo pokazali kako lahko konstruiramo trak, oziroma ekvivalentno, molekulo DNA.Se vedno pa nismo nic rekli o obliki osne in sekundarne krivulje.

Za opis enojnega heliksa (ki se ”ovija”okoli z osi) potrebujemo dva parametra ukrivljenostin torzijo ali pa visino enega zavoja heliksa h in njegov radij R. Krivuljo, ki opisuje enojniheliks potem enostavno zapisemo v parametrizaciji s kotom φ[2]

x(φ) = (R cosφ,R sinφ,h

2πφ). (2.1.1)

Upeljimo se kot α med lokalno tangento in ravnino xy, dolzina loka je tako dana z

l =φR

cosα. (2.1.2)

Sedaj lahko izracunamo tangento na krivuljo x, kakor smo jo definirali v poglavju 2

t =dx(s)

dl= (− cosα sinφ, cosα cosφ, sinα). (2.1.3)

Produkt tangente na heliks t in osi z je konstanta t · z = sinα, kar je znacilno za heliks.Ce izracunamo ukrivljenost in torzijo heliksa (naprimer s pomocjo Frenet-Serretovih formul)ugotovimo, da je tudi njuno razmerje konstantno κ/τ = cotα. Pravzaprav je Lancret[3] dokazal,da mora imeti heliks konstantno razmerje med ukrivljenostjo in torzijo, se vec, izrek velja tudiv obratno smer, torej vsaka krivulja s to lastnostjo je heliks.

2.2 Dvojna vijacnica

V poglavju 2.1 smo definirali osno krivuljo x, toda tako smo definirali le enega od obeh heliksovv molekuli DNA. Sedaj pa moramo narediti podobno tudi za sekundarno krivuljo y, ki je pravtako vijacnica

y(φ) = (R cosφ,±R sinφ,h

2π(φ+ ∆ψ)). (2.2.1)

Kot ∆ψ pove kako sta heliksa medsebojno razmaknjena. Ako bi naprimer presekali dvojnovijacnico z ravnino xy bi v preseku dobili dve tocki. Kot med njima (glede na center dvojnegaheliksa) bi bil ravno ∆ψ. Ce izberemo ∆ψ = π, dobimo simetricni heliks, toda strukturamolekule DNA ni taka. DNA ja asimetricna dvojna vijacnica z zamikom ∆ψ = 3π/8. Obeomenjeni strukturi sta narisani na sliki 2. Vidimo, da asimetrija povzroci neenake razmake medkrivuljama x in y, nastalim rezam pravimo veliki in mali zlebic.

Vsaka vijacnica ima tudi svojo rocnost, ki je definirana takole: ce sledimo gibanju namisljenetocke vzdolz vijacnice in kaze vektor kotne hitrosti v isto smer kot vektor hitrosti, tedaj jevijacnica desnorocna[2]. Ce pa kaze v nasprotno smer tedaj je vijacnica levorocna. Kakor-koli zasucemo naprimer desnorocno vijacnico, se vedno ostane desnorocna vijacnica, ce pa jopogledamo skozi zrcalo vidimo levorocno vijacnico. To je definicija kiralnosti. Pri definiciji se-kundarne krivulje v 2.2.1 smo za to namenoma napisali dva predznaka pred drugo koordinato,+ pomeni, da imamo desno rocno vijacnico, − pa levorocno vijacnico, oba primera pa imamoskicirana na sliki 3. Rocnost je psevdo skalarna kolicina in ima le dve mozni vrednosti ±1, tako,da se obnasa kot skalar pri vseh simetrijskih operacijah, le pri parnosti spremeni predznak.

4

Slika 2: Na sliki sta simetricni (∆ψ = π) in antisimetricni heliks. Asimetrija povzroci nastanekmajhnega in velikega zlebica[2].

Rocnost vijacnice, kot smo ze povedali, pomeni smer gibanja tocke x(t), ko povecujemoparameter t. Ce se tocka giblje v pozitivni smeri z osi (vseskozi predpostavljamo, da je vijacnicausmerjena v smeri z), tedaj pravimo, da je rocnost desna, ce pa v negativni, je rocnost leva.Vijacnico lahko vrtimo okoli osi, ki je pravokotna na os vijacnice (torej z) in se nahaja ravnona polovici njene periode. Ce imamo eno samo vijacnico (oziroma dvojno vijacnico pri cemerimata obe vijacnici, ki jo sestavljata enako rocnost) jo moramo zavrteti za kot 2π, da je slikataksna kot je bila pred rotacijo. Ako pa imamo dvojno vijacnico, pri cemer je ena desnorocnain druga levorocna, jo moramo zavrteti le za kot π da se ujame s svojo sliko pred rotacijo[2].Realna DNA molekula je sestavljena iz dveh vijacnic nasprotnih rocnosti, torej ima diskretnogrupno simetrijo C2.

Slika 3: Na levi strani imamo dvojno vijacnico sestavljeno iz levorocne in desnorocne vijacnice,na desni pa imamo samo levorocno vijacnico. Ravne zelene puscice ponazarjajo os vrtenja,ukrivljene pa kot rotacije, ki jo moramo napraviti, da vijacnica po rotaciji postane enaka vijacnicipred rotacijo. Kot vidimo je potrebno dvojno vijacnico z razlicnima rocnostima zavrteti le zakot π, enojno vijacnico pa za kot 2π[2].

5

3 Povezovalno stevilo, ovijanje, ukrivljanje in Calugareanu-White-Fullerjev izrek

Vsi modeli za molekulo DNA so predpostavljali, da je ta ravna, pa vendar v naravi to nikoli niobicajna situacija. Krivulja, ki je odgovorna za obliko DNA, tece po osi dvojne vijacnice in jelahko odprta ali pa zaprta. V zadnjem primeru sta zacetek in konec spojena, tako, da je stevilozavojev vijacnice fiksno. Za taksno krivuljo lahko najdemo topolosko invarianto, ki ji pravimopovezovalno stevilo (linking number).

Ko govorimo o dveh zakljucenih krivuljah, moramo to razumeti kot, da opazujemo robovatraku (glej poglavje 2) ali pa obe vijacnici v molekuli DNA (glej 2.2). Sprva torej predpostavimo,da sta obe vijacnici zakljuceni krivulji, tedaj veljajo spodnje definicije in izrek Calugareanu-White-Fullerja.

3.1 Stevilo krizanj

Mislimo si, da imamo dve krivulji in ju proiciramo na ravnino s normalo n. V projekcijskiravnini bosta krivulji krizali druga drugo nekajkrat (glej sliko 4). Stevilu C(n) pravimo stevilokrizanj (crossing number), definiran pa je kot razlika med pozitivnimi in negativnimi krizanji(definicija pozitivnega in negativnega krizanja sta na sliki 5). Za dve zaprti krivulji je C(n)neodvisno od n. Racunanje stevila krizanj je lahko udobna metoda za izracun povezovalnegastevila in upogiba, kot bomo videli kasneje[1, 4, 6, 7, 8].

Slika 4: Na sliki imamo orientirani vozel, ki je proiciran na ravnino xy. Pri tockah krizanjadovolimo, da se krivulja ukrivi v pozitivni smeri osi z kot v tocki (a) na sliki, in negativni smerikot v tockah (b) in (c)[4].

3.2 Povezovalno stevilo

Gaußovo povezovalno stevilo je definirano kot dvojni integral preko osne krivulje x, z tockamix(s) in tangento tx(s) in y, z tockami y(s′) in tangento ty(s′)[1, 6]

Lk =1

4π

∮x

∮y

tx(s)× ty(s′) · x(s)− y(s′)

|x(s)− y(s′)|3dsds′. (3.2.1)

Za Lk veljajo naslednje trditve:

1. Lk je invarianta na deformacije obeh krivulj, ce le krivulji ne moreta preiti ena skozi drugomed deformacijo. To pomeni, da je to povezovalno stevilo topoloska invarianta[1, 2].

2. Lk je naravno stevilo.

3. Lk je enako polovico stevila krizanj C(n) dveh krivulj, ne glede katero ravnino prijekcijeizberemo (glej sliko 5)

Lk =1

2C(n). (3.2.2)

6

4. Lk je neodvisno od izbire osne krivulje, kar pomeni, da se ne spremeni, ce postavimos → −s. Za dve poljubni krivulji povezovalno stevilo spremeni predznak, ako obrnemosmer parametrizacije eni sami. Pri obravnavi dvojne vijacnice moramo zato smer parame-trizacije spremeniti obema krivuljama, ce zelimo, da se povezovalno stevilo ne spremeni[1].

Slika 5: Dve zakljuceni krivulji z stirimi krizanji, vsa stiri so negativna. Primera pozitivnega innegativnega krizanja sta na desni strani slike. Ugotovili smo, da je povezovalno stevilo enakopolovici stevila krizanj, tako, da je v tem primeru Lk = −2[1].

3.3 Ukrivljanje

Ukrivljanje izracunamo na podoben nacin kot povezovalno stevilo[1]

Wr =1

4π

∮x

∮x

tx(s)× tx(s′) · x(s)− x(s′)

|x(s)− x(s′)|3dsds′ (3.3.1)

Za Wr veljajo naslednje trditve:

1. Wr je odvisen le od krivulje x.

2. Wr je enak stevilu krizanj krivulje x s samo seboj, povpreceno preko vseh moznih projek-cijskih kotov[1, 6].

3. Wr je neodvisen od smeri osne krivulje. To pomeni, da lahko parametrizacijo obrnemos→ −s, ukrivljanje pa mora pri tem ostati nespremenjeno.

3.4 Ovijanje

Ovijanje je definirano z enojnim integralom[1, 6, 7]

Tw =1

2π

∮x

t(s) · v(s)× dv(s)

dsds (3.4.1)

Za ovijanje veljajo naslednje trditve:

1. Tw je lokalna kolicina, odvisna od obeh, osne in sekundarne krivulje. Lahko definiramotudi lokalno gostoto ovijanja

Tw =1

2π

∮x

dTwds

ds. (3.4.2)

7

2. dTw/ds meri rotacijo sekundarne krivulje okoli osne krivulje. V vsaki tocki na osni krivuljix definira dTw/ds ravnino, pravokotno na tangento tx(s). Vektor v(s), ki smo ga definiraliv poglavju 2 lezi in se vrti v tej ravnini, zanj velja

t(s) · v(s)× dv(s)

ds= 2π

dTwds

. (3.4.3)

3. Tw je neodvisen od smeri osne krivulje, kar pomeni, da je ovijanje odvisno od rocnostivijacnice, ne pa od tega kako to vijacnico zavrtimo. Kot smo omenili ze v poglavju 2.2 nipomembno kako zavrtimo vijacnico, desnorocna vijacnica bo vselej desnorocna, natankotako je tudi z ovijanjem.

3.5 Calugareanu-White-Fullerjev izrek

Calugareanu je leta 1959 dokazal preprost izrek, ki povezuje povezovalno stevilo Lk , ovijanjeTw in ukrivljanje Wr[1, 6, 7, 8]

Lk = Tw +Wr. (3.5.1)

Tega izreka ne bomo dokazali, kljub temu povejmo idejo dokaza[1]. Ce primerjamo enacbiukrivljanja 3.3.1 in povezovalnega stevila 3.2.1 opazimo, da sta zelo podobni, razlika je le ta, dav prvem primeru oba integrala teceta po isti, osni krivulji, v drugem pa po tudi po sekundarnikrivulji. Calugareanujevo formulo dobimo, ce izracunamo povezovalno stevilo v limiti ko greε proti 0. V tej limiti dobimo singularnost za tocke s = s′, ki jo lahko ukrotimo tako, daintegriramo po majhni okolici tock v katerih nastopi singularnost. Tako dobimo ovijanje Tw.

Izrek, Calugareanu-White-Fullerja se nam morda zdi presenetljiv in neintuitiven, pa se gavendarle da tudi intuitivno dobro razumeti. Na sliki 6 a imamo ukrivljanje in b ovijanje, njunavsota je (kot vemo po enacbi 3.5.1) enaka povezovalnemu stevilu ce je trak zaprt. Zamislimo si,da imamo na zaprtem traku pentlje (kot na sliki a) ce ga zacnemo vleci v oznacenih smereh sebodo te pretvorile v zasuke okoli osi traku (kot na sliki b). Vsota pentelj in zasukov pred in potem ko smo trak raztegnili bo pri tem ostala enaka - to je izrek Calugareanu-White-Fullerja.

Slika 6: Na sliki a imamo eno pentljo, ako jo raztegnemo v oznacenih smereh se pretvori vvijacnico (trak se zacne ovijati okoli osi, ki poteka po sredini traku). Ce je trak sklenjen bovsota pentelj in stevilo period vijacnice enako za obe konfiguraciji (in tudi za vse ostale) - to jebistvo Calugareanu-White-Fullerjevega izreka[4].

Dvojna vijacnica, katere krivulja (ki poteka po sredi med baznimi pari oziroma na sredinimed osno in sekundarno krivuljo) je ravna ima zaradi tega ukrivljanje 0. To pomeni, da je po-vezovlno stevilo enako ovijanju. V splosnem primeru pa je povezovalno stevilo vedno razdeljenona ukrivljanje in ovijanje, kot pravi enacba 3.5.1. Na sliki 7 imamo dve konfiguraciji DNA zistim povezovalnim stevilom, toda razlicnim ukrivljanjem in ovijanjem.

8

Slika 7: Dve konfiguraciji z istim povezovalnim stevilom Lk = 7. Leva, okrogla DNA ima Tw = 7in Wr = 0. Ista, vendar nekoliko deformirana DNA (na desni sliki) ima Tw = 8 in Wr = −1[2].

4 Odprte krivulje

Do sedaj smo se ukvarjali z zaprtimi vijacnicami, zanje smo znali napisati vse zgornje koristneizreke, toda nas v resnici primer zaprtih krivulj ne zanima najbolj, saj DNA v vecini primerovni zaprta, ampak odprta krivulja. Da jo bomo znali opisati moramo na novo premisliti o vsemkar smo zgoraj povedali.

4.1 Lk za odprte krivulje

Z Gaußovo formulo lahko izracunamo povezovalno stevilo (enacba 3.2.1) s pomocjo dvojnegaintegrala, kar je lahko zamudno, zato je vcasih bolje narediti vsoto po enojnih integralih[1] vneki izbrani smeri (recimo v smeri osi z). To bomo obdelali v tem poglavju. V veliko primerihbodo integrali enostavno izracunljivi, se vec ti integrali nam bodo dali naravno definicijo zapovezovanje, ukrivljanje in ovijanje odprtih krivulj z locenimi tockami na robnih ravninah, kotbomo videli v nadaljevanju. To je za nas se posebej pomembno, saj nas zanima molekula DNA,ki pa najpogosteje ni zaprta krivulja, tako, da zanjo zgornji teoremi direktno ne veljajo.

Kljuc do teh izrazov je opazovanje rotacije okoli izbrane fiksne smeri (vzeli jo bomo v smeriosi z). Predstavljajmo si, da potujemo v smeri te izbrane smeri z in gledamo kako se dve krivulji(naprimer vijacnici) ovijata okoli nje (slika 5). Opazovanje tega kota rotacije nas privede dopovezovalnega stevila. Opazujmo torej krivulji xi in xj in predpostavimo, da obe krivuljipotujeta v pozitivni smeri osi z, torej dz/ds > 0. Tedaj lahko krivulji parametriziramo s z.Naj bo vektor relativne razdalje med obema tockama rij(z) = xj(z)− xi(z), iz konstrukcije jeocitno, da vektor lezi v xy ravnini. S Θij(z) bomo oznacili orientacijo tega vektorja v ravniniglede na os x. Ko bomo potovali v smeri osi z, se bo ta vektor vrtel, s pomocjo tega bomo dobilipreprost nacin za izracun povezovanja in ukrivljanja. Spreminjanje tega kota podaja spodnjazveza

dΘij

dz=

z · rij(z)× r′ij(z)

|rij(z)|2(4.1.1)

Skupni kot vrtenja, ki je lahko vec kot 2π med dvema ravninama, prvo na visini z1 in drugo navisini z2 je preprosto integral tega razmerja

∆Θij =

∫ z2

z1

dΘij

dz. (4.1.2)

Kot vemo lahko ovijanje Tw definiramo z rotacijo sekundarne krivulje okoli osne krivulje,izbrano os torej venomer spreminjamo. Tukaj bomo povezovalno stevilo Lk in ukrivljanje Wr

definiali tako, da bomo gledali rotacijo okoli fiksne osi (naprimer osi z)[1].Do sedaj smo predpostavili, da obe krivulji vedno potujeta navzgor, sedaj pa to predpostavko

opustimo[1]. Krivuljo pa lahko se vedno razdelim na dele, za katere velja dz/ds > 0 in dz/ds <

9

0. Recimo, da ima krivulja x n takih kosov, ki ji oznacimo i = 1, . . . , n. Kos i se zacenja navisini zi in koncuje na zi+1. S σi(z) oznacimo ce se kos i dviga ali pada:

σi(z) =

1 z ∈ (zi, zi+1); dz/ds > 0,−1 z ∈ (zi, zi+1); dz/ds < 0,0 z 3 (zi, zi+1).

(4.1.3)

Predpostavimo, da je krivulja x sestavljena iz kosov i = 1, . . . , n in krivulja y iz j =1, . . . , m. Naj bo Θij orientacija relativnega vektorja rij = yj(z) − xi(z), tedaj povezovalnostevilo med obema kosoma dobimo s

Lk =

n∑i=1

m∑j=1

1

2π

∫ ∞−∞

σiσjdΘij

dzdz (4.1.4)

=n∑

i=1

m∑j=1

σiσj2π

∆Θij . (4.1.5)

Ce pa nas zanima le povezovalno stevilo za odsek med −∞ in z0, tedaj ga izracunamo takole

L(z0) =

∫ z0

−∞

dLdz

dz, kjer je (4.1.6)

dLdz

dz =n∑

i=1

m∑j=1

σiσj2π

dΘij

dz. (4.1.7)

L(z0) nam da torej povezovalno stevilo pod z0. Vedeti moramo, da L(z0) za to ni vec topoloskainvarianta v prejsnjem pomenu, saj je odvisen od premikov in deformacij obeh krivulj. Se vednopa ima topoloski pomen, invarianten je namrec na na deformacije krivulj, ki izginejo v ravniniz = z0.

4.2 Tw za odprte krivulje

Ovijanje se da obravnavati na enak nacin kot povezovalno stevilo[1] in to ni tezko, saj je Twlokalna kolicina. Ovijanje do krivulje od −∞ do z0 torej definiramo kot

T (z0) =

∫ z0

−∞

dT (z)

dzdz. (4.2.1)

Spomnimo se definicije sekundarne krivulje y = x + εv, ki tece ob osni krivulji. Krivuljirazdelimo na intervale xi in yi v ekstremih po z, tako kot v prejsnjem poglavju. Vzdolz vsakegakosa lahko izracunamo ovijanje po enacbi 3.4.1. Oznacimo prispevek i-tega dela z Twi, kot vemoi-ti del krivulje opisuje celotno krivuljo od zmin

i do zmaxi . Spomnimo se, da σi nosi informacijo

o predznaku ds/dz (ce je σi = +1, sta s = smini in z = zmin

i ). Ovijanje i-tega dela krivulje takozapisemo

Twi =

∫ smaxi

smini

dTwi

dsds =

∫ zmaxi

zmini

dTwi

ds

∣∣∣∣dsdz

∣∣∣∣dz (4.2.2)

in tako

T ′i (z) =dTwi

ds

∣∣∣∣dsdz

∣∣∣∣ =σi2π

ti(z) · vi(z)× v′i(z). (4.2.3)

10

4.3 Wr za odprte krivulje

Tudi ukrivljanje odprte krivulje lahko obravnavamo podobno kot smo povezovalno stevilo, torejuporabimo podobne tehnike kot zgoraj in izracunamo Lk, potem pa odstejamo Tw. Kot smo zeomenili je za celotno zakljuceno krivuljo Wr = Lk −Tw odvisen le od osne krivulje, sekundarnekrivulje spreminjajo le Lk in Tw.

Uspelo nam je ze izracunati L(z0) in Tw(z0), zato si zelelimo definirati novo kolicino W(z0) =L(z0) − Tw(z0), ki meri ukrivljanje krivulje pod ravnino na visini z0. Ce je ta novo definiranakolicina odvisna le od osne krivulje bi to upravicilo, da jo res obravnavamo kot ukrivljanje,saj ima ukrivljanje za zaprto krivuljo taksno lastnost[1, 4]. Vendar na zalost je L(z0)− Tw(z0)odvisen tudi od sekundarne krivulje. Z vidika matematike se da ta problem obvladati, vendarcelotnega postopka ne bomo navajali v tem seminarju. Napisimo samo rezultat za ukrivljanje,ki ga tako dobimo

Wr = Wlocal + Wnonlocal; (4.3.1)

Wlocal =1

2π

n∑i=1

∫ zmaxi

zmi in

1

1 + |λi|(ti × ti)zdz, (4.3.2)

Wnonlocal =

n∑i=1

n∑i 6=j=1

σiσj2π

∫ zmaxij

zminij

Θ′ij(z)dz, (4.3.3)

kjer je λ = dz/ds V primeru, da v vsotah vzamemo vse dele razsekane krivulje (in je ta zaprta)izracunamo pac ukrivljanje zaprte krivulje, sicer pa odprte krivulje.

Izkaze se, da je rezultat neodvisen od izbire sekundarne krivulje, kar je v redu. Torej lahkoto mero posplosimo v kateri koli smeri. Naj bo q kartezicna koordinata na osi, ki jo definiraenotski vektor q, ki ima poljubno smer v prostoru. Tedaj lahko definiramo ukrivljanje odprtekrivulje W(q0, q) glede na smer q. Tako opisemo ukrivljanje krivulje od −∞ do ravnine, ki senahaja na visini q0. Tako pa definiramo ukrivljanje med dvema ravninama q0 in q1

W(q0, q1, q) = W(q1, q)− W(q0, q). (4.3.4)

Tej na novo definirani meri za ukrivljanje pravimo polarno ukrivljanje[1, 4] v smeri q (polarwright with respect to q), od zdaj naprej bomo zaradi enostavnosti raje izbrali, os z.

Povejmo se, da je polarno ukrivljanje neodvisno od orintacije osne krivulje, to pomeni, datransformacija s → −s ne vpliva na polarno ukrivljanje. Z drugimi besedami to pomeni, dadesnorocni heliks ostane desnorocni keliks, ce ga obrnemo na glavo.

5 Ukrivljanje in tangentna krivulja

Ukrivljanje pa lahko izracunamo tudi geometricno, tako, da konstruiramo tangentno krivuljo(tantrix curve). Tangentni vektor t je po definiciji enotski vektor, kadar se pomikamo po krivuljise torej tangentni vektor pomika po enotski sferi. To sfero imenujmo tangentna sfera (tantrixsphere) in dopustimo, da konica tangentnega vektorja t po ti sferi pusti sled. To pot, ki joizrise tangentni vektor med gibanjem po enotski sferi imenujeno tangentna krivulja. Fuller jeleta 1978 dokazal[7], da je upogib zaprte krivulje enak povrsini A, ki jo na sferi zapre tangentnakrivulja (glej sliko 8)

Wr =A

2π− 1 mod 2. (5.0.5)

11

Slika 8: Vozel in njegova tangentna krivulja. Zgornja leva slika prikazuje vozel z tangentnimvektorjem v neki tocki na krivulji. Levo spodaj je ta vektor narisan skupaj z enotsko sfero. Kotvidimo konica vektorja lezi na enotski sferi. Slika na desni predstavlja celo tangentno krivuljoza vozel na levi strani (za to krivuljo je Wr = 3.52)[4].

5.1 Polarno ukrivljanje

Tangentna sfera pa nam lahko pomaga tudi pri obravnavi polarnega ukrivljanja[1]. Obstajanamrec izrek, ki pravi, da je polarno ukrivljanje za odsek krivulje, za katerega velja ds/dz > 0enako A/2π, kjer je A povrsina med tangentno krivuljo in severnim polom (konca tangentne kri-vulje pa sta povezana s severnim polom po poldnevnikih). To povrsino definiramo za pozitivno,ce tangentna krivulja potuje okoli pola v pozitivnem smislu. Podobno je polarno ukrivljanje delakrivulje, za katerega velja ds/dz < 0 enako A/2π, kjer pa je A sedaj povrsina med tangentnokrivuljo in juznim polom.

To kar smo do sedaj povedali v tem poglavju velja samo za zaprte krivulje, sedaj pa bomoobdelali se odprte.

5.2 Ekvivalentne zaprte krivulje

Vzemimo, da se odprta krivulja (recimo dvojna vijacnica DNA) razteza (oblika ni pomembna)ned dvema ravninama. Tedaj lahko ukrivljanje odprte krivulje izracunamo tako, da dopolnimoodprto krivuljo do zaprte krivulje in nato izracunamo ukrivljanje zaprte krivulje. Definicijapolarnega ukrivljanja ni odvisna od tega ali imamo odprto ali zaprto krivuljo. Ce razrezemokrivuljo na vec delov z paralelnimi rezinami, tedaj je polarno ukrivljanje vsota teh kosov.

Recimo da imamo del krivulje x, ki ima ds/dz > 0, zgornji del krivulje naj bo na visiniz1, spodnji pa na z−1. Tedaj celotna tangentna krivulja lezi na severni hemisferi enotske sfere.Tangentno krivuljo lahko zato zapremo tako, da povezemo konca krivulje s severnim polom popoldnevnikih[1] (glej sliko 9). Ce tangentno krivuljo slikamo nazaj v originalno krivuljo vidimo,da smo s tem odprto krivuljo zaprli. Tako spreminjanje tangentne krivulje za naso originalnokrivuljo pomeni, da na zgornjem koncu x(z1) dodamo krozni lok[1] a1, ki krivuljo podaljsa doz2 > z1. Razlog, da dodamo ta lok je le v tem, da krivuljo gladko poravnamo z osjo z. Robnipogoji za del a1 so torej a1(z1) = x(z1), a′1(z1) = x′(z1) in a′(z2) = z. Nato pa dodamo senavpicno krivuljo b1(z) na lok a1 na visini z2, to pomeni, da so robni pogoji a1(z2) = b1(z2)in a′1(z2) = b′1(z2) = z. Dodatka a1 in b1 ne prispevata nic k ukrivljanju, kar smo tudi zeleli.Tudi spodnji del krivulje razsirimo na ta nacin.

Konca b1 in b−1 lahko razsirimo v ±∞ in tako zapremo krivuljo v neskoncnosti. Lahko patudi povezemo b1 in b−1 s planarno krivuljo c in tako tvorimo koncno zaprto krivuljo. V temprimeru mora krivulja c lezati v ravnini, ki jo definira z in vektor, ki povezuje oba konca krivulj

12

Slika 9: Odprto krivuljo x smo razsirili z dodatkom kroznih segmentov a1 in a−1, nato panavpicnih krivulj b1 in b−1. Na desni strani imamo tangentno krivuljo, ki smo jo po tempostopku dobili[1].

b1 in b−1, ki smo ju dodali. Za to krivuljo je ukrivljanje 0, saj se ne upogiba glede na ostalidel krivulje.

Cetudi se odprta krivulja ne razteza med dvema ravniama kot kaze slika 9, ampak ima oblikozanke z koncnimi tockami na isti ravnini, na visini z = 0 jo lahko preprosto razsirimo do zaprtekrivulje. Najprej povezemo oba konca s kroznimi odseki a1 in a−1, nato pa ta odseka povezemos polkrozno krivuljo c. Odseka a1 in a−1 imata nalogo, da gladko spremenita smer tangenteobstojeci krivulji v navpicno. Tangentna krivulja, ki temu ustreza je del poldnevnika, ki povezekonce krivulje x s severnim ali juznim polom.

Slika 10: Odprto krivuljo x s konci na isti ravnini smo razsirili do zaprte krivulje z dodatkomdveh kroznih lokov a1, a−1 in polkrogom c. Tangentna krivulja, ki temu ustreza je prikazanana desni sliki[1].

6 zakljucek

Molekula DNA ima strukturo dvojne vijacnice, kot sta leta 1953 ugotovila Watson in Crick.Strukturo poljubnega traku lahko matematicno opisemo s pomocjo osne in sekundarne krivu-

13

lje. Mi se ukvarjamo z dvojno vijacnico, zato osno in sekundarno krivuljo konstruiramo kotdve enojni vijacnici. Pri tem upostevamo tudi dejstvo, ki sta ga z analizo difraktograma (kiga je posnela Rosalind Franklin) odkrila omenjena fizika, dvojno vijacna struktura molekuleDNA je namrec nesimetricna. Ugotovimo, da lahko zaprti dvojno vijacni strukturi pripisemoukrivljanje Wr, ovijanje Tw in povezovalno stevilo Lk, ki poveze vse tri preko Calugareanu-White-Fullerjevega izreka. Edino povezovalno stevilo pa je tudi topoloska invarianta za zaprtekrivulje.

Molekula DNA, ki jo najdemo v naravi vecinoma ni zakljucena sama s sabo, ampak je odprtakrivulja. Zato smo definirali vse omenjene kolicine se za odprte krivulje. Pri tem smo imelinekaj tezav s ukrivljanjem, saj ta ni lokalna opazljivka, ampak je odvisen od celotne oblikekrivulje. Pri racunanju ukrivljanja smo si zato pomagali tudi s tangentnimi krivuljami, obstajanamrec izrek, ki nam na ta nacin omogoca enostavno racunanje ukrivljanja.

Obstajajo pa se drugi, bolj preprosti, nacini za izracun ukrivljanja. Fuller je na primerleta 1978 dokazal izrek, kjer je pokazal, da lahko ukrivljanje zaprte krivulje x pod dolocenimipogoji primerjamo s ukrivljanjem referencne krivulje xref in ga tako izracunamo z enojnimintegralom2[1, 7].

2Pri uporabi Fullerjevega izreka moramo biti pazljivi, saj da krsenju predpostavk popolnoma napacnerezultate[1].

14

Literatura

[1] M. A. Berger and C. Prior The Writhe of Open and Closed Curves, J. Phys. 39, 8321-8348(2006).

[2] R. Podgornik, http://www.fmf.uni-lj.si/ podgornik/download/physics-of-DNA-1.0.pdf,(2012).

[3] M. Barros General helicesand a theorem of Lancret, Proc. A. Math. Soc. 125, 5 (1997).

[4] H. K. Moffatt and R. L. Ricca, Helicity and the Calugareanu invariant, Proc. R. Soc. Lond.439, 411-429 (1992).

[5] S. Neukirch and E. L. Starostin Writhe formulas and antipodal points in plectonemic DNAconfigurations, Phys. Rew. 78, 041912 (2008).

[6] M. R. Dennis and J. H. Hannay Geometry of Calugareanu’s theorem, Proc. R. Soc. Lond.461, 2062 (2005).

[7] F. B. Fuller The Writhing Number of a Space Curve, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 68, 815-819(1971).

[8] J. H. White Self linking and the Gauss integral in higher dimensions, Ame. Jour. of. Math.91, 3 (1968).

15