數字系統與資料表示法

本章提要

電腦的儲存單位

數字系統

數字系統間的轉換

資料表示法

為何電腦採用二進位數字系統

最主要的理由是電腦應用到電(正電壓和0電壓，電的運作方式)、磁(陽極和陰極，磁碟機的運作方式)和光(有反射光和無反射光)等性質來判斷訊號，所以對於電腦而言二進位數字是最能反應其物理性質的數字系統。

位元 (Bit)：最小的儲存單位叫做位元, 一個位元有 0 與 1 兩種狀態。

電腦儲存單位

位元組 (Byte) ：存取資料的基本單位是位元組, 就是將『8 個位元組成一組』，可表示出28 = 256 種訊號。

電腦儲存單位

電腦的儲存單位

1 Kilo Byte (KB) = 210 Bytes = 1024 Bytes

1 Mega Byte (MB) = 220 Bytes = 1024 KB

1 Giga Byte (GB) = 230 Bytes = 1024 MB

1 Tera Byte (TB) = 240 Bytes = 1024 GB

1 Peta Byte (PB) = 250 Bytes = 1024 TB

1 Exa Byte (EB) = 260 Bytes = 1024 PB

1 Zetta Byte (ZB) = 270 Bytes = 1024 EB

1 Yotta Byte (YB) = 280 Bytes = 1024 ZB

數字系統

人類習慣以十進位來計算事物, 同時也會使用到其他的數字系統。

時與分採六十進位。

日與時的換算則為二十四進位。

月與年則使用十二進位來計算。

電腦的世界中為二進位系統。

常用的數字系統

十進位數字系統：是一套以 10 為基數, 逢10 即進位的數字系統, 由 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 等十個數元所組成。

二進位數字系統：是一套以 2 為基數, 逢 2

即進位的數字系統, 任何數都只用 0 和 1 兩種數元所組成的符號來表示。

常用的數字系統

八進位數字系統：是一套以 8 為基數, 逢8 即進位的數字系統。由 0、1、2、3、4、5、6、7 等八個數元組成。

十六進位數字系統：是一套以 16 為基數, 逢 16 即進位的數字系統, 此數字系統是由 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F 等十六個數元所組成。

常用的數字系統對照表

數字系統的表示法

一組數值採用何種數字系統, 一般是將數值加上小括號, 然後在右下角標註其數字系統。

二進位(101101)

2

十六進位(ACD8)

16

二進位轉換成十進位

十進位轉換成二進位

以 (29.75)10 來示範, 整數部份：

十進位轉換成二進位 (cont.)

以 (29.75)10 來示範, 小數部份：

十進位轉換成二進位 (cont.)

將整數部份加上小數部份：11101 + 0.11 = 11101.11。 所以(29.75)10 =(11101.11)2

八進位轉換成十進位

整數部份右邊第一位的位值為 80、第二位的位值為 81…。小數部份, 左邊第一位的位值為 8–1、第二位的位值為8–2 …。

八進位轉換成十進位, 只要將每一個八進位數乘以該數的位值, 然後相加即可求得。

十進位轉換成八進位

以 (87.375)10 來示範, 整數部份：

十進位轉換成八進位 (cont.)

小數部份：

十進位轉換成八進位 (cont.)

最後將整數部份加上小數部份：127 + 0.3 = 127.3。 所以(87.375)8 =(127.3)10

十六進位轉換成十進位

以 (BCE.1E)16 來示範：

十進位轉換成十六進位

以 (43969.6719)10 來示範, 整數部份：

十進位轉換成十六進位 (cont.)

以 (43969.6719)10 來示範, 小數部份：

十進位轉換成十六進位 (cont.)

最後將整數部份加上小數部份：ABC1 + 0.AC01 = ABC1.AC01。 所以(4.3969.6719)10 =(ABC1.AC01)16

與十進位互轉的通則

十進位轉成 r 進位的原則：整數部份除以 r ，由下往上取；小數部份乘以 r ，然後由上往下取。

r 進位轉成十進位的原則：將每個位數乘以對應位值後，全部相加即可。

八進位與二進位間的轉換

二進位與八進位互相轉換時, 以 3 個 一組為單位來轉換會較為方便。

八進位數與等值的二進位數之對照表：

二進位轉換成八進位

將二進位的整數部份由右至左, 每 3 個分成一組, 不足 3 個即往前補 0。

小數部份則由左至右每 3 個分成一組, 不足往後補 0, 再將其轉換成對應的八進位數即可。

八進位轉換成二進位

將八進位的數值轉換成每 3 個一組的二進位數值即可：

十六進位數與二進位數之對照表

二進位轉換成十六進位

整數部份, 由右往左每 4 個一組進行轉換, 不到 4 個時, 就在前端補 0。

小數部份則是由左往右每 4 個一組進行轉換, 不到 4 個時, 就在後面補 0,再將其轉換成對應的十六進位數即可。

十六進位轉換成二進位

將十六進位的數值轉換成每 4 個一組的二進位數值：

八進位轉換成十六進位

先轉換二進位數字, 再將二進位轉換成十六進位：

十六進位轉換成八進位

先轉換成二進位數字之後, 再由二進位轉成八進位：

二、八、十六進位轉換的通則

二進位與八進位：要以 3 個為一組來轉換。

二進位與十六進位：要以 4 個為一組來轉換。

八進位與十六進位：必須先轉成二進位後再進行轉換。

數值資料表示法

數值資料分類： 整數：不含小數的數值稱為『整數』(integer)，包括正數、負數與0。例如 3200，-1，+58 …等這些數值資料都可稱為整數。

浮點數：含有小數點的數值即為『浮點數』(Floating-Point

Number)，也就是我們一般所說的實數。例如86.2564、0.317522、-148.87612 … 等這些數值都可稱為浮點數。

電腦內部並沒有 "+" 、 "-" 等符號來表示正、負數, 也沒有表示小數點的符號。所以有幾種不同的負數與浮點數表示方法。

最高位元表示法

以最高位元來表示正負號, 最高位元為 0 表示正數, 最高位元為 1 表示負數。

缺點：就是產生了 2 個 0 (+0 與 –0), 使得原來總共可以表示 256 個數, 便成只能表示 255

個數。

最高位元表示法

2 的補數表示法

使用 2 的補數表示法時, 一個數的負數即是將該數的每一位元取其反相 (即 1 變 0, 0 變 1) 再加1。

以一個Byte來表示整數資料:

數值資料的算術運算

補數運算概念

A,B若是兩個K進位數字，則A-B等於A+(B的K

補數)

補數加的運算

範例：(278)10 + (125)10

補數減的運算

範例：(278)10 - (125)10

浮點資料表示法

IEEE Standard 754之浮點表示法分為單精確度(Single Precision，佔32位元)，雙精確度(Double

Precision，佔64位元)。一個以浮點表示的二進位數字包含三部分，如圖13.3所示。它們分別是正/負符號 (Sign)，偏差指數 (Biased Exponent)部分，與小數 (Significant或Mantissa)部分。

一個以浮點表示的二進位數字包含三部分

其中小數部分佔23位元，指數部分佔8位元，符號佔1位元，共計32位元。每個部分說明如下﹕

a) 正/負符號(S)：由單一位元 b31 形成，若 b31=0 表示此實數為正數；b31=1 表示此實數為負數。

浮點資料表示法

b) 偏差指數(E)：由 b30…b23 八個位元組成。8位元可表示的非負整數值為0~255。但實數可由很小至很大，故需要正、負二種指數，因此以127為指數偏差值(Exponent Bias)，實際的指數值=偏差指數-127。故若偏差指數的範圍為127 ~ 255，則代表真正指數值為0 ~ 128；而偏差指數介於0 ~ 126之間，則代表真正指數值介於-127 ~ -1之間。例如偏差指數是132，其真正指數則為5；偏差指數是120，其真正指數即是-7。

c) 小數部分(M)：此部分由 b22…b0 這23個位元所組成。此處的小數部分是經過正規化 (Normalization)後的小數。由於它有23位元，所以可準確到小數點後23位(2-23)。

浮點資料表示法

正規化 (Normalization)

是將任何實數表示成二進位1.xxx × 2指數的形式。

17.75可先表成定點表示法為(10001.11)2，之後再正規化為1.000111 × 24。

32位元以表示17.75：

浮點資料表示法

範例

-0.111 × 2-4 之浮點表式法為何?

解答：

因此數為負值，故 b31 = 1。將-0.111 × 2-4正規化成 -1.11 × 2-5，其指數為-5，所以偏差指數是 -

5+127 = 122，表示成八位元的二進位數字為01111010。有效小數部份則為110…0 (21個0)。所以此數被儲存為

10111101011000000000000000000000

一個32位元的浮點表示法字串其所代表的真正實數可用下列公式導出：

(-1)S × (1 + M) × 2(E- 指數偏差值)

S:正/負符號，0表示此實數為正數；1表示此實數為負數。M:小數部分，即b22…b0。E:偏差指數即b30…b23，8位元的非負整數值0~255。

範例

IEEE 754 之 32 位元浮點表示法字串

11000000101000000000000000000000

其所代表的實數為何?

解答：

b31=1，故此實數為負值。偏差指數為10000001相當於十進位的 129，真正的指數是 2 (即129-127)。小數部份為1.01 相當於十進位的 1.25。因此，其所代表的實數為

(-1) × (1+0.01)2 × 22

經計算後其所代表的實數為 -5。

文字資料表示法

輸入電腦的文字資料, 亦會被轉換成二進位碼的形式儲存。

將文字資料轉換成二進位碼的系統就稱為編碼系統。

不同的系統可能會使用不同的編碼方式。

文字資料表示法

ASCII碼

美國標準資訊交換碼的縮寫 ( American Standard

Code for Information Interchange )。

ASCII 碼共有 128 個, 每一個碼對應一個字元。

在電腦中是以 1 個 Byte 來儲存。

ASCII 碼

EBCDIC 碼

EBCDIC 碼的全名是 Extended Binary Code

Decimal Interchange Code, 是美國 IBM 公司所制定的編碼系統。

EBCDIC 碼的每一個字元是由 8 個位元所組成。

共有 28 種組合,可以表示 256 個字元。

中文編碼系統

中文字是以 2 Bytes (16 Bits) 來編碼。

常見的繁體中文碼有 BIG-5 碼、通用碼、公會碼、倚天碼、王安碼…等。

亞洲的方塊字多半使用 2 Bytes 來編碼, 如日本的 JIS 碼、簡體中文的 GB 碼…等等都是。

近年來為了便利網路上的相關應用, 也出現了Unicode 這種編碼, 它將亞洲國家的常用、共用字編在一起, 藉此達成統一編碼的目的。

Step 1.

使用者在鍵盤上鍵入大寫字母D。

Step 2.

大寫字母D的電子訊號被送至系統主機。

Step 3.

大寫字母D的訊號被轉成它的ASCII二進位碼(01000100)，然後被儲存在記憶體中等待處理。

Step 4.

處理完後，大寫字母D的二進位碼會被轉成一個影像，且被顯示在裝置上。