GEOMETRI II BAGIAN I

EDISI I

GEOMETRI II BAGIAN I

EDISI I

OLEH

Prof. Drs. Mega Teguh Budiarto, M.Pd.

Drs. T.R. Nindyo

Penyunting

Drs. Soemadi

Diterbitkan Oleh :

Universitas Negeri Surabaya

2012

Kata Pengantar

Buku ini disusun dengan harapan dapat memenuhi kebutuhan akan

buku ajar khususnya untuk mata kuliah Geometri II Jurusan

Pendidikan Matematika.

Buku Geometri II terdiri dari dua bagian, bagian pertama memuat

tentang Geometri didekati dengan vektor dan bagaian kedua

memuat tentang Transformasi, termasuk di dalmnya transformasi

topologi, dilatasi shear, strecth, inversi dan komposisi transformasi.

Penguasaan pembaca akan analisa vektor, Geometri I dan matrik

sangat menunjang untuk mempelajari buku ini.

Terwujudnya buku ini tak lepas dari bantuan segala pihak, untuk itu

kami ucapkan terima kasih kepada Bapak Prof. Drs. R. Soedjadi dan

Bapak Drs. Djoko Moesono yang telah membantu sepenuhnya.

Kami menyadari buku ini kurang sempurna, untuk itu pertanyaan,

kritik dan saran dari pembaca sangat kami harapkan.

Surabaya, Maret 2012

Penyusun

Daftar Isi

0. Kata Pengantar

1. Vektor dan Skalar

2. Vektor dalam bentuk pasangan bilangan

3. Vektor yang sama atau ekuivalen

4. Penjumlahan vektor

5. Perkalian vektor dengan skalar

6. Vektor posisi dari suatu titik

7. Rumus pembagian dalam bentuk vektor

8. Fungsi linier dari n vektor

9. Ruang dimensi satu

10. Ruang dimensi dua

11. Ruang dimensi tiga

12. Perkalian skalar dua vektor

13. Hasil kali vektor dari dua vektor

14. Persamaan vektor garis melalui (0, 0)

15. Persamaan vektor garis melalui suatu titik dan sejajar suatu

vektor

16. Jarak titik ke garis

17. Persamaan vektor bidang datar melalui titik (0, 0)

18. Persamaan vektor bidang yang tidak melalui (0, 0)

19. Mengubah persamaan bidang Ax + By + Cz + D = 0 ke dalam

persamaan vektor bidang

20. Persamaan vektor bidang yang melalui suatu titik dan diketahui

normalnya

21. Sudut antara dua bidang

22. Jarak titik ke bidang

23. Persamaan lingkaran

24. Persamaan garis singgung melalui suatu titik pada lingkaran

25. Persamaan bola

26. Persamaan bidang singgung melalui suatu titik pada bola

27. Buku rujukkan

B

A Gambar 1

Vektor dan Skalar

Suatu pemindahan tempat dari semua titik pada suatu benda besar

dan arah yang sama, disebut suatu pergeseran atau translasi.

Perpindahan dari A ke B ditunjukkan

oleh vektor perpindahan AB . A

disebut titik pangkal, B disebut titik

ujung.

Panjang dari vektor AB ditulis AB .

Himpunan semua garis berarah yang besar dan arahnya sama,

disebut vektor (Vektor Geometris), besar tadi disebut panjnag vektor,

dan arah tadi disebut arah vektor. Masing-masing ruas garis berarah

tadi disebut wakil vektor.

Gambar 2

Suatu vektor diberi nama dengan huruf kecil yang diberi garis bawah.

Seperti a yang dibaca : vektor a (penulisan ini semata-mata untuk

memudahkan penulisan dalam buku tulis). Besar vektor a ditulis |a|

Pada suatu vektor u pasti ada tepat satu pergeseran yang diwakili

oleh ruas garis yang sama dengan wakil-wakil u karena itu geometrik

sering didefinisikan sebagi pergeseran.

Contoh suatu vektor adalah : berat, percepatan, gaya, kecepatan.

Sedangkan suatu besaran yang hanya mempunyai besar saja disebut

skalar.

Contoh suatu skalar adalah suhu, luas, volume, massa.

Vektor dalam Bentuk Pasangan Bilangan

Di samping vektor dapat diwakili oleh ruas garis berarah, vektor juga

dapat diwakili notasi pasangan bilangan (vektor komponen).

Jika diketahui vektor u , maka

vektor u dapat diltulis sebagai

jumlah duavektor v dan w yang

masing-masing diketahui

panjangnya dan v w .

Misal |v| = u1 dan |w| = u2

Dengan demikian vektor u merupakan suatu pergeseran yang

memindakan setiap titik pda bidang itu : u1 satuan ke kanan dan u2

satuan ke atas.

Untuk menulis pergeseran atau vektor itu lazim ditulis dengan simbol

dan ditulis u = dimaksudkan suatu pergeseran

dengan memindahkan setiap titik A pada bidang, pertama mendatar

ke kanan atau ke kiri sejauh u1 satuan kemudian vertikal ke atas atau

ke bawah sejauh u2 dengan pengertian :

Untuk u1> 0 pemindahan horizontal ke kanan

Untuk u1< 0 pemindahan horizontal ke kiri

Untuk u2> 0 pemindahan horizontal ke atas

Untuk u2< 0 pemindahan horizontal ke bawah

Bilangan u1 dan u2 disebut komponen vektor u, jika u1 = u2 = 0, maka

vektor u = vektor ini disebut vektor nol dan ditulis 0 = .

Vektor nol tidak mempunyai besar dan arahnya tak tentu.

Jika a = maka |a| = a12 + a22.

Vektor yang sama atau Ekuivalen

Dua buah vektor dikatakan ekuivalen apabla panjnagnya sama,

terletak pada suatu garis atau garis-garis sejajar dan mempunyai arah

yang sama pula, atau dengan kata lain a = b |a| = |b| dan arah a

sama dengan arah b.

AB = CD = PQ

Vektor-vektor yang ini

membentuk suatu kelas

ekuivalen, kalau kelas ini disebut

a, maka a = AB , CD , PQ

Gambar 4

Setiap anggota dari kelas dapat dipakai untuk mewakili a. Sedangkan

vektor yang berlawanan arah dengan a dinyatakan sebagai a.

Vektor-vektor yang sama ini membentuk kelas ekuivalen.

Gambar 5

Penjumlahan Vektor

Untuk menentukan jumlah u dan v kita ambil suatu wakil dari u,

misalnya OA dan wakil dari v, misalnya AB .

Wakil v pangkalnya ditempatkan pada ujung wakil u, sehingga terjadi

segitiga vektor OAB

Jumlah u dan v adalah OB

Cara lain untuk menentukan u + v adalah dengan menyatukan

pangkal u dan v. Maka diagonal dari jajaran genjang yang sisi-sisinya

terbentuk dari dua vektor tadi adalah u + v.

Jika a = dan b = maka a + b =

Perkalian Vektor dengan Skalar

Misal AB dan CD masing-masing adalah ruas garis berarah yang sama

panjnag, sejajar dan searah, jadi keduanya dapat mewakili a.

Kita kerjakan penjumlahan AB + CD dengan pangkal O, didapat

OP = AB + CD = AB + AB = 2AB = 2 a . Jika Q titik tengah ruas

garis AB, maka AQ = QB , sehingga 2AQ = AB atau AQ =1

2AB

Jika a = maka

a + a = +

=

=

= 2

= 2 a

Dengan demikian jika k suatu bilangan real, maka besar ka adalah k

kali besar a, sedangkan arahnya sama jika k > 0, dan berlawanan arah

jika k < 0.

Beberapa sifat penjumlahan vektor

1. Operasi biner penjumlahan vektor mempunyai sifat tertutup

2. Penjumlahan vektor mempunyai sifat komutatif a + b = b + a

3. Penjumlahan vektor mempunyai sifat asosiatif

a + (b + c) = (a + b) + c

4. Penjumlahan vektor mempunyai elemen netral, yaitu vektor

nol, sedemikian hingga a + 0 = 0 + a = a

5. Setiap vektor a mempunyai lawan atau invers penjumlahan,

yaitu a , sedemikian hingga a + (- a) = (- a) + a = 0

6. Jika k dan l bilangan real maka (kl)a = k(la)

7. 0 a = 0

8. Jika k bilangan real maka k 0 = 0

9. Jika k bilangan real maka k(a + b) = ka + kb

10. Jika k, l bilangan real maka (k + l)a = ka + la

Contoh 1

Pada gambar 9 semua garis dianggap wakil vektor, maka

a. AE + EC = AC

b. DB + BE = DE

c. AD + DB + BC = AC

d. CB + BE + EA + AD = CD

e. DE + BE = DE + EB = DB

f. AC + BC = AC + CB = AB

g. CD + BA + BD = CD +

DB + BA = CA

Contoh 2

Diketahui : a = < - 2, 2>, b = , c = , d =

Tunjukan (a + b) + (c + d) = (a + b + c) + d

Dengan cara a) Geometrik b) Pasangan bilangan

Penyelesaian

a) Gambar 10

b) (a + b) + (c + d) = (< - 2, 2> + ) + ( + )

= +

=

(a + b + c) + d = (< - 2, 2> + + ) +

= +

=

Jadi (a + b) + (c + d) = (a + b + c) + d

Contoh 3

Diketahui wakil vektor a, b, c, seperti pada gambar 11.

Gambar 11

Tentukan a b c secara geometri dengan cara

a) Segitiga b) Jajaran Genjang

Penyelesaian

a)

Gambar 12

b)

Gambar 13

Contoh 4

Pada gambar 13 contoh x dalam bentuk yang paling sederhana dari :

a) x + a = w

b) b + x = v + u + a

c) v = b x

d) x w = v

Penyelesaian

a) x + a = w

x = w a

x = w + ( a)

x = u

b) b + x = v + u + a

x = v + u + a b

x = (v + u) + a + ( b)

x = b + a + ( b)

x = a

c) v = b x

x = b v

x = b + ( v)

x = u

d) x w = v

x = v + w

Contoh 5

Pada gambar 14 permudahlah :

a) AC AB

b) CA CB

c) BA BC

d) CB CA

Penyelesaian

a) AC AB = AC + AB c) BA BC = BA + BC

= AC + BA = BA + CB

= BA + AC = CB + BA

= BC = CA

b) CA CB = CA + CB d) CB CA = CB + CA

= CA + BC = CB + AC

= BC + CA = AC + CB

= BA = BA

Soal Latihan

1. EFGH adalah jajar genjang. Permudahlah :

a) EF EH

b) GE GH

c) EA EF

d) GE GA

2. Jika a = , v = , dan w = nyatakan :

a) a + v + w

b) u v + w

c) a + v w

3. Tentukan kesimpulan dari pernyataan di bawah ini :

a) Jika 3u = 2u maka

b) Jika 3u = 2v, u 0, maka

c) Jika aa = bv, a dan v tidak sama arahnya dan tidak

berlawanan arahnya, u dan v bukan vektor nol, maka

4. Diketahui paralelepipedum ABCD EFGH dan AB , AD , AE ,

merupakan wakil vektor a , b, c, nyatakanlah dalam kombinasi a,

b, dan c dari :

a) AC c) AB

b) AB d) CE

Vektor Posisi dari Suatu Titik

Misal 0 adalah pangkal koordinat dan P adalah titik P(a1, a2).

Vektor yang diwakili oleh OP disebut vektor posisi dari P ditulis p =

. Ternyata koordinat-koordinat suatu titik adalah komponen-

komponen vektor posisi. Perlu diperhatikan dalam pengertian di atas

adalah pengertian vektor posisi dari suatu titik.

Kita dapat berbicara vektor posisi suatu titik jika titik P sudah

ditentukan, yaitu vektor (himpunan) yang mempunyai OP sebagai

wakil. Sebaliknya bahwa setiap vektor (karena mempunyai suatu

wakil degan pangkal O) adalah vektor posisinya suatu titik tertentu.

Misal vektor posisi titik A adalah a dan vektor posisi titik B adalah b

maka vektor posisi AB adalah b a (lihat gambar 15)

Gambar 15

Contoh

Perhatikan gabar 15. M adalah titik pertengahan AB : m, a, dan b

adalah vektor-vektor posisi titik M, A, dan B terhadap pangkal

koordinat O.

Buktikan bahwa m = (a + b)

Bukti :

OM = OA + AM

OM = OA +1

2AB

m = a + (b a)

m = a + b a

m = (a + b)

Cara lain :

AM = MB

m a = b m

2m = b + a

m = (a + b)

Contoh 7

Nyatakan OP dalam a dan b

Penyelesaian :

OP = OA + AP

OP = OA +1

3AB

p = a + 1/3 (b a)

p = a + 1/3 b 1/3 a

p = 2a+1b

3

Contoh 8

Buktikan bahwa titik-titik tengah sisi-ssi suatu sebarang segiempat

ABCD membentuk suatu Jajaran Genjang.

Bukti :

Misal P, Q, R, dan S masing-

masingpertengahan

AD , DC , CB dan AB , dan a, b, c,

d, p, q, r, dan s masing-masing

vektor posisi titik A, B, C, D, P, Q,

R, dan S maka :

p = (a + d)

q = (d + c)

r = (c + b)

s = (a + b)

PQ = q p PS = s p

= (d + c) (a + d) = (a + b) (a + d)

= (c a) = (b d)

SR = r s QR = r q

= (c + b) (a + b) = (c + b) (d + c)

= (c a) = (b d)

Jadi PQ // SR Jadi PS // QR

Dengan demikian PQRS Jajaran Genjang

Contoh 9

Buktikan bahwa median

trapesium sejajar alas dan

panjangnya sama dengan

setengah sisi atas dan bawah.

Bukti :

Misal a, b, c, d, p, dan q merupakan vektor posisi dari titik A, B, C, D,

P, dan Q, maka :

p = (a + b)

q = (c + d)

PQ = q p

= (c + d) (a + b)

= (BC ) + (AD )

= (BC ) + (AD )

PQ =1

2(BC + AD )

Jadi PQ =1

2 (BC + AD ) karena BC //AD maka :

= (BC + mBC ) AD = m BC untuk suatu harga m

= 1

2(1 + m)BC , Jadi PQ // BC

Contoh 10

OABC suatu bidang cyrat P, Q, R,

S adalah berturut-turut titik

tengah BC, CA, dan AB

Buktikan bahwa :

OA + OB + OC = OP + OQ + OR

Bukti :

Misal a, b, dan c vektor posisi titik A, B, dan C maka :

p = (b + c)

q = (a + c)

r = (a + b)

OP + OQ + OR = p + q + r

= b + c + a + c + a + b

= a + b + c

= OA + OB + OC

Contoh 11

ABCD adalah jajaran genjang M adalah titik tengah AB dan T

membagi DM dengan perbandingan 2 : 1.

Buktikan bahwa A, T, dan C kolinier dan tentukan AT : TC

Bukti :

Misal AD wakil vektor u dan AB wakil dari vektor v :

AT = AM + MT

= AM +1

3MD

= AM +1

3 AD AM

= AM +1

3AD

1

3AM

=1

3AD +

2

3AM

=1

3 u +

2

3

1

2 v

= 1/3 (u + v)

AT =1

3 AB + BC

AT =1

3AC

3AT = AC ,ini berarti bahwa A, T, C segaris dan AT : TC = 1 : 2

Soal Latihan :

1. Sebuah bidang beraturan berujung 6 buah dipandang sebagai

sejumlah segitiga-segitiga sama sisi yang sama dan sebangun

(lihat gambar).

Nyatakanlah vektor posisi dari titik

A, B, C, dengan a dan c

2. Buktikan diagonal jajaran genjang saling membagi dua sama

panjang.

3. Diketahui P, Q, R, dan S adalah titik-titik tengah dari sisi-sisi AB,

BC, CD, dan DA dari suatu segiempat ABCD.

a) Misal K suatu titik lain dalam ruang buktikan :

KP + KR = KQ + KS

b) Buktikan PR dan QS saling memotong di tengah.

4. Buktikan bahwa diagonal-diagonal suatu paralelepipedum saling

memotong di tengah.

5. Buktikan garis yang menghubungkan titik-titik tengah rusuk-rusuk

yang berhadapan dari suatu bidang empat saling memotong di

tengah

Rumus pembagian dalam bentuk vektor

Jika titik P terletak pada garis AB di antara A dan B maka AP dan PB

mempunyai arh yang sama, jika P terletak di luar AB pada pihak B,

maka AP dan PB mempunyai arah yang berlawanan. Jika P terletak di

luar AB pada pihak A, maka AP dan PB merupakan arah yang

berlawanan.

Jika P terletak pada garis AB, sehingga AP : PB = m : n, maka

dikatakan bahwa P membagi AB dengan m : n.

Jika AP dan PB mempunyai arah yang sama (berarti m dan n bertanda

sama), maka dikatakan bahwa P membagi AB di dalam. Jika AP dan

PB mempunyai arah yang berlawanan (berarti m dan n berlawanan

tanda), maka dikatakan bahwa P membagi AB di luar.

Contoh 1 :

AP : PB = 2 : 1 AP : PB = 2 : - 1

P membagi AB di dalam. P membagi AB di luar di pihak B

AP : PB = -1 : 4

P membagi AB di luar di pihak A.

Contoh 2 :

Pada garis AB terletak titik M dan N yang berturut-turut membagi AB

di dalam dan di luar dengan perbandingan 2 : 1

a) Tentukan letak M dan N pada garis AB.

b) Tentukan Nilai perbandingan AM : AD, NA : AB, AM : AN, AN :

NM.

Penyelesaian :

a) Lihat gambar

b) AM : AB = 2 : 3

NA : AB = -2 : 1

AM : AN = 2 : 6 = 1 : 3

AN : AM = 6 : -4 = 3 : -2

Arah ke kanan diambil sebagai arah positif dan arah ke kiri diambil

sebagai arah negatif. Pada garis AB terletak titik P yang membagi AB

dengan perbandingan m : n.

Vektor posisi titik A, B dan P berturut-turut adalah a, b, dan p

AP : PB = m : n

AP : AB = m : (m + n)

OP = OA + AP

OP = OA +m

(m + n)AB

p = a +m

(m+n) (b a)

p = a + m

(m +n) b

m

(m+n) a

p = (1 m

(m+n)) a +

m

(m+n) b =

n

(m+n) a +

m

(m+n) b

p = mb +na

(m+n) disebut dalil perbandingan

Contoh 3 :

Tentukan vektor posisi titik P yang membagi garis AB di dalam denan

perbandinga 5 : 3.

Penyelesaian : AP : PB = 5 : 3

p = 3a+5b

3+5=

3

8a +

5

8b

Contoh 4 :

Tentukan vektor posisi titik P yang membagi garis AB di luar dengan

perbandingan 5 : 3.

Penyelesaian : AP : PB = 5 : 3

p = 3a+5b

3+5=

3

2a +

5

2b

Soal Latihan :

1. Diketahui 4 titik A, B, C, D dengan vektor posisi a, b, c, dan d. Titik

tengah AB, BC, CD, dan DA disebut N, M, R, dan P. Nyatakanlah

dalam a, b, c, d vektor posisi.

a. Titik N, M, R, dan P

b. Titik tengah S dan NR

c. Titik tengah T dan PM

d. Bagaimana letak S dan T

e. Bagaimana tentang NR dan PM

f. Bangun apakah NMRP

2. Tentukan koordinat titik P yang membagi garis hubung a(-1, 5, 2)

dan B(2, 2, -7) di dalam (di luar) dengan perbandingan 2 : 1

3. Tentukan koordinat titik R dan S yang berturut-turut membagi

garis hubung titik M(5, 2, 1) dan N(9, 10, 3) di dalam dan di luar

dengan perbandingan 1 : 3.

4. Dari tetrahedron ABCD diketahui A(3, 0, -4), B(6, 2, 4), C(-2, 1, -3)

dan D(1, 5, -1).

Tentukan kooedinat titik beratnya.

Fungsi Linier dari n Vektor

Bentuk m1a1 + m2a2 + + mnandi mana m1, m2, , mn. Skalar-skalar

disebut fungsi linier dri n vektor.

Jika a suatu vektor dan a 0 maka tiap vektor pada suatu garis yang

sejajar dengan a adalah fungsi linier dari a yaitu ma dengan m

bilangan real.

Misal H = {a1, a2, , an} H disebut bebas linier jika :

m1a1 + m2a2 + + mnan = 0 menyebabkan

m1 = m2 = = mn = 0

himpunan yang tidak bebas linier disebut bergantung linier.

Contoh 1 :

1. Misal A = {a, b} seperti pada gambar :

m1a + m2b = 0 jika dan hanya jika m1 = m2 = 0

jadi A = {a, b} bebas linier

2. Misal B = {a, b, a+b} seperti pada gambar di atas.

Untuk m1 = 1, m2 = 1, dan m3 = 1 ternyata m1a + m2b + m3(a+b)= 0

Jadi B = {a, b, a+b} bergantung linier

Beberapa sifat Fungsi linier

1. Jika a dan b masing-masing bukan vektor nol dan tidak sejajar

maka jika xa + yb = 0 pastilah x = y = 0

2. Jika a dan b masing-masing tak nol dan tidk sejajar serta

berpangkal sama. Sedngkan c adalah vektor pada bidang yang

ditentukan oleh a dan b maka c dapat dinyatakan sebagai fungsi

linier dari a dan b.

3. Jika a, b, dan c masing-masing bukan vektor nol dan ketiganya tak

sebidang tetapi berpangkal sama maka jika xa + yb + zc = 0

pastilah x = y = z = 0

4. Jika a, b, dan c masing-masing bukan vektor nol dan ketiganya tak

sebidang tetapi berpangkal sama maka tiap-tiap vektor di ruang

dapat dinyatakan sebagai fungsi linier dari a, b, dan c.

5. Jika a, b, dan c bebas linear , maka tiap vektor dalam ruang dapat

dinyatakan ssebagai fungsi linear dari a , b , dan c secara tunggal

Bukti sifat 1:

Andaikan x0 , maka xa = yb

a =y

xbini berarti a b

Kontradiksi dengan yang diketahui a b dengan demikian x=0.

Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan y=0

Jadi, jika xa + yb = 0 maka x = y = 0

Contoh :

Buktikan bahwa titik titik A , B, dan C kolinier jika dan hanya jika

untuk setiap titik 0 dalam ruang OC = 1 p OA + pOB

Untuk membuktikan hal ini akan dibuktikan dari kiri ke kanan dan

dari kanan ke kiri

1. Diketahui A, B, dan C segaris

Buktikan OC = 1 p OA + pOB

Bukti :OC = OA + AC

= OA + pAB

= OA + p OB OA

= OA pOA + pOB

= 1 p OA + pOB

P + Q = 1

2. Diketahui OC = 1 p OA + pOB

Buktikan : A, B, dan C segaris

Bukti :OC = 1 p OA + pOB

= OA pOA + pOB

OC OA = p OB OA

AC = pAB

Maka AC AB , jadi AC pada AB

Dengan demikian A, B, dan C segaris jika dan hanya jika

untuk tiap titik 0 pada ruang OC = 1 p OA + pOB

Contoh : Buktikan garis - garis berat sebuah segitiga konkuren

(melalui satu titik ).

Bukti : perhatikan gambar disamping:

Dalam ABC , D, E, dan F berturut

turut adalah tengah AB , BC dan AC.

Misal AP : PE = r : s ; (r + s = 1)

BP : PF = u : V ; (u + v = 1)

Ambil O sebagai titik pangkal tidak pada bidang ABC, maka :

OP = r OE + s OA (sebab A, P, dan E segaris)

OP = u OF + r OB (sebab B, P, dan F segaris)

E tengah tengah BC , maka OE =1

2 OB + OC

F tengah tengah AC , maka OF =1

2 OA + OC

Dengan demikian OP = 1

2 OB + OC + s OA . (1)

Di lain pihak OP = 1

2 OA + OC + r OB . (2)

Karena OA , OB , OC bebas linear maka dari pers. (1) dan (2) didapat : r

2= v ,

r

2=

u

2 , s =

u

2

r = 2v, r = u , 2s = u

r = 2sdidapat r : s = 2 : 1

u = 2vdidapat u : v = 2 : 1

jadi P membagi BF dan AE dalam perbandingan 2 : 1

jika Q titik potong antara AE dan CD maka Q membagi AE dengan

perbandingan 2 : 1

jadi Q berhimpit P

kesimpulan garis garis berat suatu segitiga konkuren

contoh :

buktikan garis bagi suatu segitiga membagi sisi dihadapannya

menjadi 2 segmen yang sebanding dengan sisi yang lain.

Penyelesaian:

Diketahui : ABC

CAD = BAD

Buktikan : BD

DC=

AB

AC

Bukti :

Ambil A sebagai pangkal koordinat misal AB = a , AC = b

Vektor satuan a adalah a

a

Vektor satuan b adalah b

b

Misal u =a

a+

b

b

Karena AD garis bagi CAB, maka u bertumpu pada AD

Dengan demikian AD = ku

= k (a

a+

b

b)

Karena B , D dan C kolinier, maka k

a+

k

b= 1

k b + k a = b a

k a + b = a b

k = a b

a + b

jadi, AD = b

a + b a +

a

a + b b

BD

DC =

a

a + b

b

a + b

= a

b

Ini berarti BD

DC=

AB

AC

Diketahui abc dengan titik berat G

Misal a ,b , c dan q masing masing vektor posisi dari titik A, B, C, dan

D

Buktikan q = 1

3(a + b + c)

Bukti :

Ambil O sebagai titik

pangkal di luar ABC.

Karena G titik berat maka

CG : GD = 2 : 1

Misal d vektor posisi dari

suatu titik D yaitu

pertengahan AB , maka:

d =1

2 a + b

OG = OC + CG

q = OC +2

3CD

q = c +2

3 d c

q = c +2

3 1

2 a + b c

q = c +1

3 a b

2

3c

q =1

3c +

1

3a +

1

3b

q =1

3(a + b + c )

LATIHAN SOAL

Buktikan bahwa a + 2b + c , a + 3b 2c , a + b + 4c bergantung

linear

RUANG BERDIMENSI SATU (R1)

Misal l suatu garis dan O suatu titik pada l. dengan demikian l dibagi

menjadi 2 sinar yaitu sinar OA dan sinar OB . Misal titik C pada l dan

OC panjangnya satu satuan dan OA dipandang sebagai sinar positif,

sinar OB dipandang sebagai sinar negatif. Maka untuk setiap titik X

pada l, OX dapat dinyatakan sebagai OC . Jika titik P pada garis l

sedemikian panjangnya OP = x1 satuan dan P pada sinar positif, maka

koordinar P adalah x1 dan ditulis (x1). Jika koordinat P adalah bilangan

yang menyatakan panjang segmen OP . jika diukur dengan OC sebagai

segmen satuan.

Dari gambar terlihat titik P, Q, dan R masing masing koordinatnya

P(4), Q(-5), dan R(2).

Dari pengertian di atas jelaslah bahwa setiap titik pada garis

menentuka tepat satu bilangan real dan sebaliknya tiap bilangan real

menunjukkan tepat satu titil pada l. jadi ada korespondensi satu

satu pada garis l dan himpunan bilangan real.

Garis l disebut garis bilangan, O disebut titik pangkal.

Garis bilangan juga disebut ruang berdimensi satu (R1).

RUANG BERDIMENSI DUA (R2)

Misal x dan y adalah dua garis bilangan yang bersekutu di O. Kedua

garis bilangan ini menentuka suatu sistem koordinat.

Garis garis x dan y, selanjutnya disebut sumbu koordinat.

Segmen satuan pada kedua sumbu boleh sama boleh tidak.

PQ y dan PR x

OQ = x1 dan OR = y1

Titik P menentukan suatu pasangan bilangan nyata x1 dan y1 dan

ditulis (x1 , y1 )

Setiap titik pada bidang XOY menentukan tepat satu pasang bilangan

real (x,y) dan sebaliknya setiap pasangan bilangan nyata (x, y)

menentukan tepat satu titik pada XOY.

Pasangan (x1 , y1 ) disebut koordinat titik P.

Jika x y maka sistem koordinat itu disebut sistem koordinat

cartesius atau sistem koordinat siku siku.

Sistem koordinat ini disebut ruan berdimensi dua.

RUANG BERDIMENSI TIGA (R3)

Misal x, y, dan z garis bilangan yang taksebidang dan berpangkal

sama. x, y, dan z menentukan sistem koordinat dalam ruang

berdimensi tiga.

x y , x z, y z

Untuk setiap titik dalam R3 menentukan satu pasangan bilangan real

(x, y, z) dan sebaliknya tiap pasangan bilangan real (x, y, z)

menentukan sebuah titik dalam R3.

X disebut absis, y disebut ordinat, dan z disebut aplikat.

Jika sumbu x positif diputar 900 kearah sumbu y positif menyebabkan

sumbu z brgerak kearah sumbu z positif maka sistem x, y, z disebut

sistem putar kanan.

Jika sumbu z bergera berlawanan dengan arah sumbu z positif, maka

x, y, z disebut sistem putar kiri.

Sistem putar kanan sistem putar kiri

Dalam perubahan selanjutnya digunakan sistem putar kanan.

PERKALIAN SKALAR 2 VEKTOR

Misal a , b suatu vektor dan sudut terkecil yang diapit oleh kedua

vektor itu, perkalian skalar adan b ditulis a. b didefinisikan sebagai:

a. b = a . b cos

0

Jika a diproyeksikan ke b maka panjang proyeksinya adalah a cos

a. b = a . b cos

= a cos |b|

=panjang proyeksi a pada b kali b

a

b

a

a cos

Atau a. b = b cos a

=panjang proyeksi pada b pada a kali a

Sifat sifat perkalian skalar

jika a, b dan c vektor, sedang m skalar

1. a. b = b. a

2. a. b + c = a. b + a. c

3. m a. b = ma . b = d. mb = a. b m

4. Jika a. b = 0 , a = 0 , b = 0, maka a tegak lurus b

5. a. a = |a|2

6. i. i = j. j = k. k = 1

i. z = i. k = j. k = 0

7. Jika a = a1i + a2j + a3k

b = b1i + b2j + b3k

Maka a. b = a1b1 + a2b2 + a3b3

Contoh

Diketahui: a = 3i 2j + 6k

b = 3i 5j + 8k

Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh a dan b

Penyelesaian: a. b = |a|. |b| cos

cos =a.b

a . b

= 3 3 + 2 5 +6.8

32 + 2 2+62 3 2+ 5 2+82

=49

7.7 2

=1

2

=

4

Contoh :

Buktikan diagonal diagonal suatu Belah ketupat tegak lurus satu

sama

Penyelesaian:

Diketahui :OABC belah ketupat

Buktikan :AC OB

Bukti :misal OABC suatu belah ketupat dan OA = a ; OC = c, maka:

OB = a + c

AC = c a

OB . AC = a + c . (c a)

= a + c . (c + (a))

= a + c . c + a + c . (a)

= a. c + c. c + a. a + c. a

= a. c + |c|2 a 2 c. a

= |c|2 a 2

Karena OABC belah ketupat maka |c| = |a|

Jadi ,OB . AC = 0

Dengan demikian AC OB

Contoh

Buktikan suatu jajaran genjang yang diagonal diagonalnya tegak

lurus merupakan suatu belah ketupat.

Penyelesaian:

dikeathui : OABC jajaran genjang

OB AC

Buktikan : OABC belah ketupat

Bukti : misal OA = a ; OC = c

Maka AC = c a , OB = a + c

OB AC sehingga AC . OB = 0

c a . a + c a . c = 0

c. a a. a + c. c a. c = 0

c. a a 2

+ c 2

a. c = 0

a 2

= c 2

Berarti sisi OA = OC

Karena OABCjajaran genjang maka OA = OC = CB = AB

Jadi , OABC belah ketupat.

Contoh

Buktikan garis berat ke garis alas suatu segitiga sama kaki adalah

tegak lurus pada garis alas.

Penyelesaian:

Diketahui : segitiga OAB sma kaki

OA = OB, AC = BC

Buktikan : OC AB

Bukti : misal OA = a, OB = b

Maka AB = b a

C tengah tengah AB maka

OC =1

2(a + b)

OC . AB = b a .1

2(a + b)

=1

2( b a . a + (b a). b

=1

2 b. a a. a + b. b a. b

=1

2(b. a a

2+ b

2 a. b)

=1

2( b

2 a

2)

Karena OA = OB maka b = a , dengan demikian ;

OC . AB =0, jadi OC AB

Contoh :

Buktikan teorema phytagoras

Penyelesaian:

Diketahui : Segitiga OAB siku siku di O

Buktikan : OA 2

+ OB 2

= AB 2

Bukti : misal OA = a, OB = b

Maka AB = b a, OB OA sehingga

OA . OB = 0

a. b = 0. (1)

AB 2 = AB . AB = b a . (b a)

= b a . b b a . a

= b. b a. b b. a + a. a

= |b|2 0 0 + a 2

Jadi, AB 2

= OA 2

+ OB 2

Contoh :

Buktikan dalam setiap segitiga siku siku garis berat ke sisi miring

sama dengan setengah panjang sisi miring

Penyelesaian:

Diketahui : segitiga OAB siku siku di O

AC = CB

Buktikan : OC = 1

2AB

Bukti :

OA = OC + CA = OC +1

2BA

OB = OC + CB = OC 1

2BA

Karena OA OBmaka OA . OB = 0

OC +1

2BA . OC

1

2BA = 0

OC . OC +1

2BA . OC

1

2OC . BA

1

4BA . BA = 0

OC 2

1

4 BA

2= 0

OC 2

=1

4 BA

2

OC =1

2BA

Jadi , OC = 1

2 BA

Contoh :

Perhatikan gambar dibawah ini :

Buktikan :AC BC

Bukti : PA = PB = PC = R

CA = CP + PA = CP 1

2AB

CB = CP + PB = CP +1

2AB

CA . CB = CP 1

2AB . CP +

1

2AB

= CP 2

1

4 AB

2= R2 R2 = 0

Jadi , CA CB

Contoh :

Diketahui : ABC siku siku di A

Buktikan : BC2 = AB2 + AC2

Bukti : ACAB maka AC . AB =0

BC = AC AB

BC 2 = BC . BC

= AC AB . AC AB

= AC . AC AC . AB AB . AC + AB . AB

= AC 2

+ AB 2

Jadi, BC2 = AB2 + AC2

Contoh :

Diketahui :ABC

Buktikan : AB2 = AC2 + BC2 2AC.BC.Cos ACB

Bukti : AB = CB CA

AB . AB = CB CA . (CB CA )

AB 2 = CB . CB CB . CA CA . CB + CA . CA

= CB 2 2CA . CB cos ACB + CA

2

Jadi, AB2 = AC2 + BC2 2AC.BC.Cos ACB

Contoh :

Buktikan jumlah kuadrta diagonal diagonal suatu jajaran genjang

sama dengan kuadrat jumlah kuadrat sisinya.

Penyelesaian:

Buktikan : AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + DA2

Bukti :

AC = AB + BC

BD = AD AB = BC AB

AC 2

= AC . AC

= AB + BC . AB + BC

= AB . AB + AB . BC + BC . AB + BC . BC

= AB 2

+ 2AB . BC + BC 2

BD 2 = BD . BD

= BC AB . BC AB

= BC . BC BC . AB AB . BC + AB . AB

= BC 2 2AB . BC + AB

2

|AC| 2 + |BD |2 = 2|AB |2 + 2|BC |2

= AB 2

+ DC 2

+ BC 2

+ AD 2

Jadi ,AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + DA2

Soal Latihan

1. Buktikan cos + = cos cos sin sin

2. Buktikan untuk setiap segitiga ABC

AB = AC cos + BC cos

3. Buktikan bahwa untuk setiap segitiga ABC, jika berlaku

BC2 = AB2 + AC2 maka ABC siku siku di A

4. Buktikan bahwa segmen segmen garis yang

menghubungkan titik titik tengah yang berdekatan dari

suatu bujur sangkar membentuk suatu bujur sangkar.

5. Buktikan jumlah kuadrat dari doagonal diagonal suatu

segiempat sama dengan dua kali jumlah kuadrat dari segmen

segmen garis yang menghubungkan titik titik tengah sisi

sisi yang berhadapan.

6. Buktikan apabila dua pasang rusuk berhadapan dari suatu

bidang empat tegak lurus sesamanya, maka pasangan yang

ketigaa juga tegak lurus.

HASIL KALI VEKTOR DARI DUA VEKTOR

Perkalian vektor dari vektor a dan b ditulis a x b dibaca a kali b

adalah vektor c yang mempunyai sifat:

1. Besarnya sama dengan luas jajaran genjang yang bersisi a dan

b. dengan demikian c = a b sin , dimana sudut antara

a dan b

2. Arahnya tegak lurus a dan b sehingga a , b dan c membentuk

sistem tangan kanan

Secara simbolik ditulis

a x b = ab sin u 0 < <

u =vektor satuan yang menunjukkan arah dari a x b

SIFAT SIFAT PERKALIAN VEKTOR

1. a x b = b x a

2. Untuk tiap vektor a berlaku a x a = 0

3. Jika a 0 , b 0 dan a x b = 0, maka a b

4. Untuk setiap vektor a, b dan c berlaku:

ax b + c = a x b + a x c

5. Jika m skalar, a dan bvektor, maka :

m a x b = ma x b = a x mb

6. Jika a = a1i + a2j + a3k

b = b1i + b2j + b3k , maka

a x b =

i j k

a1 a2 a3b1 b2 b3

Perhatikan gambar diatas :

i x i = i i sin 0 = 0

i x i = j x j = k x k

i x j = j x i = k

j x k = k x j = i

k x i = i x k = j

Beberapa bukti sifat diatas :

Bukti 2.

a x a = a a sin 0 = 0

Dengan demikian a x a = 0

Bukti 3:

a x b = 0 a x b = 0

a . b sin = 0

sin = 0 , sudut antara a dan b

= 0 ,makaa b

bukti 4

Misal a adalah vektor yang tegak lurus bidang V, dan b dan c masing

masing vektor komponen b danc pada bidang yang tegak lururs

pada a yaitu bidang V. dengan demikian a x b dan a x c terletak pada

bidang V. (lihat gambar).

|a x c |

|a x b=

a c sin 900

a b sin 900=

|c |

|b |

Dan sudut OMN = sudut OBC

Dengan demikian segitiga OMN ~ segitiga OBC, akibatnya

|ON |

|b +c | =

a x b

|b |

ON = a x b b +c

b

b = a b sin 900|b +c |

b

ON = a b + c

ON = a x b + c

ON = OM + MN

= a x b + a x c

Karena a x b + c = a x (b + c)

a x b = a x b; a x c = a x b

Maka a x b + c = a x b + a x c

Contoh 1:

Tentukan a x b jika a = 3i + 2j + k

b = i + 4j + k

Penyelesaian:

a x b = i j k

3 2 11 4 1

= 6i 4j + 10k

Contoh 2:

Tentukan vektor tegal lurus pada AB dan CD jika A 0, 1,3 ,

B 2,0,4 , C(2, 1,4) dan D(3,3,2)

Penyelesaian:

AB = 2i + j + k, CD = i + 4j 2k

AB x CD = i j k

2 1 11 4 2

= 6i + 5j + 7k

Jadi, vektor yang tegak lurus pada AB danCD adalah :

m(6i + 5j + 7k)denganm 0

Contoh 3:

Diketahui : segitiga ABC

Buktikan : sin A

BC=

sin B

AC=

sin C

AB

Bukti : misal AB = a; AC = b, maka BC = b a

BC x BC = BC x (b a)

o = BC x b BC x a

BC x a = BC x b

BC x a = |BC x b|

BC a sin B = BC b sin C

a sin B = b sin C

sin B

|b| =

sin C

a

sin B

AC =

sin C

AB

Dengan cara yang sama didapat : sin A

BC=

sin B

AC

Jadi ,sin A

BC=

sin B

AC=

sin C

AB

Contoh 4 :

Buktikan : (a b) x (a + b) = a x b

Bukti : a b x a + b = a b x a + a b x b

= a x a b x a + a x b

= 0 b x a + a x b

= a x b + a x b

= a x b

LATIHAN SOAL

1. Jika a = 3i j + 2k

b = 2i + j k

c = i 2j + k

Carilah a. a x b x c

b. a x (b x c)

2. Carilah luas segitiga ABC, dimana A 1,3,2 , B 2, 1,1 ,

C(1,2,3)

3. Buktikan a. b x c = a x b . c

4. Buktikan a. a x c = 0

5. Buktikan bahwa syarat perlu dan cukup agar a , b dan c

sebidang adalah a. b x c = 0

6. Buktikan |a x b|2 + |a . b|2 = a 2|b|2

7. Buktikan a . b x c = b . c x a

= c . (a x b)

8. Buktikan a x b = luas jajaran genjang yang sisinya a dan b

PERSAMAAN VEKTOR GARIS MELALUI (0,0)

Misal garis g melalui pangkal koordinat dan titik A dengan vektor

posisi a terletak pada g.

Misal ada vektor x yang bertumpu pada garis g maka = , dimana

t parameter.

Bentuk

Dinamakan persamaan vektor garis melalui (0,0)

Misal = , dan = 1, 2

Dari = didapat

= ,

, = 1, 2

, = 1, 2

= 1

= 2

Bentuk dinamakan persamaan

parameter garis lurus melalui

(0,0)

Jika t dieliminir dari kedua persmaan diatas maka didapat

=21

Bentuk dinamakan persamaan garis

lurus melalui (0,0)

PERSAMAAN VEKTOR GARIS YANG MELALUI SUATU TITIK

DAN SEJAJAR SUATU VEKTOR

Misal diketahui titik (1, 2) dan (1, 2) yang masing masing

vektor posisinya = 1, 2 dan = 1, 2

Maka persamaan vektor garis yang melalui titik A adalah

= 1

= 2

=21

= , dimana t parameter

= +

= +

Bentuk dinamakan persamaan vektor

garis melalui suatu titik B dan

sejajar dengan a

Misal = , maka , = 1, 2 + 1 , 2

, = 1 + 1, 2 + 2

= 1 + 1

= 2 + 2

Jika t dieliminir dari kedua persamaan diatas didapat

2 =2

1( 1)atau

22 2

= 11 1

Yaitu persamaan garis melalui titik

Contoh :

Diketahui titik A dan titik B

Tunjukkan bahwa :

a. Persamaan vektor garis AB adalah = +

Dimana m parameter

b. Jika = 1, 2 , = 1 , 2

Tunjukkan bahwa persamaan garis AB adalah 22 2

= 11 1

Penyelesaian :

a. Misal vektor posisi dari A dan B masing masing a dan b

Maka =

Persamaan vektor garis AB adalah persamaan vektor yang melalui

titik A dan sejajar dengan , yaitu:

= +

= + , dimana m parameter

Atau

= +

b. Misal = 1, 2 , = 1 , 2 , = ,

Maka dari = + didapat

, = 1, 2 + ( 1 , 2 1, 2 )

, = 1, 2 + ( 1 , 2 1, 2

= 1 + 1 1

= 2 + (2 2)

Dengan mengeliminir m dari kedua persamaan diatas didapat

= 2 + 11 1

. 2 2

Atau 22 2

= 11 1

Contoh :

Diketahui jajaran genjang OBCR

Titik P pada BC sedemikian hingga BP : PC = 3 : 2 dan Q pada AC

sedemikian hingga AQ : AC = 1 : 3

Ditanya :

a. Persamaan garis OQ dan AP

b. Jika X titik potong antara AP dan OQ tentukan AX : TC

c. Jika BX memotong AC di T, tentukan perbandingan AT : TC

Penyelesaian :

a. Misal vektor posisi A dan B adalah

= +

= +1

3

= +1

3

= +

= +2

5

= + (2

5)

Jadi persamaan vektor garis OQ adalah = ( +1

3) dimana t

parameter

Persamaan vektor gari AP adalah = + ( 2

5) dimana s

parameter

b. Titik potong AQ dan AP adalah X, maka X terletak pada vektor

garis OQ sekaligus terletak pada vektor garis AP. Dengan

demikian untuk titik X berlaku :

+1

3 = +

2

5

+1

3 = +

2

5

+1

3 = 1

2

5 +

Ini berarti

= 1 2

5dan

1

3 =

= 1 2

5.1

3

17

15 = 1

=15

17dan =

5

17

Dari = ( +1

3) didapat

=15

17 +

1

3

=15

17

Jadi OX : XQ = 15 : 2

Juga dari = + ( 2

5) didapat

= +5

17

2

5

= +5

17

Jadi AX : XP = 5 : 12

c. = +

= +15

17

= +15

17 +

1

3

Persamaan vektor BX : = +

Dimana n parameter

= + ( +15

17 +

15

51)

= +15

17 +

15

51

Persamaan vektor garis AC adalah = + , m parameter.

Titik potong BX dan AC adalah T, maka T terletak pada vektor

garis AC. Dengan demikian untuk titik T berlaku :

+ = +15

17 +

5

17

+ = 1 +15

17 +

15

17

Ini berarti :

1 =15

17 =

17

15

= 1 +5

17

= 1 12

17

= 1 12

17.17

15

= 1 12

15

=3

15

Dengan demikian

= 1 +3

15

Jadi AT : TC = 3 : 12

Contoh :

Diketahui ; P pertengahan garis berat yang melalui A.

memotong di O

1. Carilah persamaan vektor garis

2. Tentukan AQ : QC

Penyelesaian :

Misal = , = maka =

=

= 1

2

= 1

2

1

2

=1

2 +

1

4

Jadi persamaan vektor garis OP adalah = . , dimana t

parameter. =1

2 +

1

4, maka

= . (1

2 +

1

4)

Persamaan vektor garis AC : = + , s parameter

Atau = + ( )

Q titik Potong dan , maka :

1

2 +

1

4 = + ( )

1

2 +

1

4 = 1 +

Ini berarti : 1

2 = 1 dan

1

4 =

= 2(1 ) = 4

4 = 2 1

6 = 2

=1

3

Dengan demikian = +1

3

Jadi AQ : QC = 1 : 2

Contoh :

+1

Buktikan :

.

.

= 1

Bukti:

Misal AR : RB = m : 1, BP : PC = n : 1, = dan =

Maka =

+1

= +

= +1

+1

=

=

+1 +

1

+1

Persamaan vektor garis RP adalah :

= : + , t parameter

=

+ 1 + (

+ 1 ( +

1

1 + )

=

1 +

+ 1+

+ 1

+ 1

persamaan vektor garis AC adalah

= , u parameter

=

Q titik potong antara garis RP dan AC; maka dititik potong itu berlaku

=

Dengan demikian

+ 1 +

+ 1+

+ 1

+ 1 =

Ini berarti :

+ 1 =

+ 1+

+ 1

+ 1= 0

Dari persamaan terakhir didapat:

+1

1

+1 =

+1atau

=( + 1)

+ 1

Jika bentuk terakhir ini disubstitusikan pada

+1 = didapat

=

+1 (pembaca diharap menghitung harga u ini )

Dengan demikian =

+1

= +

+ 1 = +

=

+ 1

= + 1

+ 1

=

+ 1

Q membagi AC diluar, dengan demikian :

=

+1

+1

=

1

Jadi,

.

.

=

1 .

1 .

1

= 1

Contoh :

a. Buktikan dengan persamaan vektor garis bahwa perpotongan

garis berat suatu segitiga berbanding 2 : 1

b. Buktikan juga ketiga garis berat itu melalui satu titik

Penyelesaian:

a. Misal = , = , maka =

P pertengahan BC. Jadi =1

2 +

Persamaan vektor garis AT adalah :

=

=1

2 +

= +

= +1

2

Persamaan vektor garis BT adalah :

= + , u parameter

= + 1

3

T terletak pada dan, maka untuk titik T berlaku

= 1

2 + = +

1

2

1

2 +

1

2 = 1 +

1

2

Ini berarti 1

2 = 1dan

1

2 =

1

2

Dari kedua persamaan ini didapat

=2

3dan =

2

3

Dengan demikian vektor posisi dari titik t adalah:

= +2

3

Jadi BT : BR = 2 : 3 atau

BT : TR = 2 : 1 atau

Vektor posisi dari T adalah 2

3

Dengan demikian AT : AP = 2 : 3

AT : TP = 2 : 1

=

=1

2

Misal CQ dan AP berpotongan di T1, maka persamaan garis CT1

adalah:

= + ,v parameter

= + 1

2

=1

2 + (1 )

T1terletak pada dan , maka untuk titik T1 berlaku =

1

2 + =

1

2 + 1

Ini berarti 1

2 =

1

2dan

1

2 = 1

Dari kedua persamaan diatas didapat = =2

3

Dengan demikian vektor posisi dari T1 adalah +2

3

Jadi CT1 : CQ = 2 : 3 atau CT1 : T1Q = 2 : 1

Begitu juga AT1 : T1P = 2 : 1 (selidiki)

b. Karena perbandingannya selalu sama yaitu 2 : 1 maka vektor

posisi T dan T1 sama. Dengan demikian T berimpit T1 jadi ketiga

garis berat melalui satu titik

SOAL LATIHAN

1.

a. Tentukan persamaan vektor

garis , ,

b. Tentukan vektor posisi dari D , E,

dan F

c. Buktikan bahwa ketiga garis

tinggi melalui titik T

2. a. Tentukan persamaan vektor sumbu sumbu AB , BC, dan AC

b. Buktikan bahwa ketiga garis sumbu itu melalui satu titik

3. Dalam dibuat transversal

sudut yang memotong AB, BC,

dan CA berturut turut di P, Q ,

dan R. jika ketiga transversal

tadi melalui satu titik

Buktikan

.

.

= 1

(petunjuk : misalkan PA : PB = 1 : m dan RA : RC = 1 : n, kemudian

cari perbandingan CQ :QB)

4. Tentukan persamaan garis melalui (2,1) dan tegak lurus pada

= 3

5. Diketahui garis l : = 2, 3,1 + 5,2, 1 dan titik (3, 1,2)

Tentukan persamaan vektor suatu garis yang melalui P dan sejajar

dengan l.

6. Diketahui titik (3,5) dan (2, 3)

Tentukan persamaan vektor garis AB

7. Diketahui titik A dan B merupakan ujung ujung vektor dan

Buktikan persamaan vektor garis AB adalah

=+

+,t, k parameter dan + 0

8. Tentukan persamaan vektor garis yang melalui titik pangkal dan

sejajar

9. Diketahui 1, 1 , 1 dan = 1 + 2 + 3

Tentukan persamaan vektor garis yang melalui

10. Diketahui garis l :2 + 3 6 = 0.

Tentukan persamaan vektor garis tersebut.

Selidiki apakah jawabannya tunggal?

JARAK TITIK KE GARIS

Diketahui persamaan

garis l dengan

persamaan

+ + = 0dan

titik (1, 1) diluar

garis L.

Misal (0, 0) dan

1(2, 2) pada l, maka

2 0 + (2 0)

Misal = +

= 2 0 + (2 0) (1)

Dilain pihak A dan P1 pada l, maka

2 + 2 + = 0

0 + 0 + = 0

2 0 + 2 0 = 0 (2)

Jika (2) disubstitusikan pada (1) didapat . 1 = 0

Jadi . 1 dan disebut vektor normal dari l

Vektor normal dari garis l yang persamaannya + + = 0

adalah = +

Lihat 1

cos =1

1 = . cos (3)

. = . cos

= . cos .

. cos = .

| | . (4)

Substitusikan (3) pada (4) didapat

1 = .

||

Misal jarak titik ke garis dinamakan d maka

= .

| | dimana A titik sebarang yang dapat dipilih pada garis l

Contoh :

Carilah luas ABC jika 4,1 , 0,4 , (1, 3)

Jawab :

= 6 = 4,3

= 5

Persamaan vektor garis melalui A adalah

= 4,1 + 4,3

, = 4 4, 1 + 3

= 4 4

= 1 + 3

Jika t dieliminer dari kedua persamaan diatas didapat 3 + 4 = 16

Dengan demikian vektor normalnya = 3 = 4

= = 4,1 1,3 = 5,4

Atau = 5 + 4

= .

=

31

5

Luas =1

2.

=1

2.

31

5. 5 =

31

2satuan luas

Contoh :

Tentukan jarak titik 3,2 pada garis p yang persamaannya

5 + 6 30 = 0

Jawab

Ambil suatu titik P pada garis p misal (0,5).

Maka = 3 + 3

Misal jarak A ke garis p adalah d, maka

=| . |

, dimana = 5 + 6

= 3 + 3 . (5 + 6)

52 + 62

=15 + 18

61

=3

61

PERSAMAAN BIDANG DATAR

1. Persamaan BIdang Datar Yang Melalui titik O

Bidang V melalui vektor , dan titik O

Ambil sebarang titik P pada bidang V yang vektor posisinya

, maka merupakan Persamaan vektor. = +

Bidang yang melalui titik O, ,

Untuk setiap nilai t dan k yang memenuhi persamaan diatas,

ujung vektornya berada pada bidang tersebut.

= 2 + 3berarti ujung vektor berada pada bidang V

2. Persamaan Bidang Yamg Tidak Melalui (0,0)

Bidang V melalui vektor dan dan O sedang bidang V melalui

ujung vektor dan sejajar dengan dan

Jadi

Misal P sebarang titik pada bidang V yang vektor posisinya , maka

= + +

Untuk setiap nilai t dan k,ujung-ujung vektor berada pada bidang V

misal : = 1 + 2 + 3

= 1 + 2 + 3

= 1 + 2 + 3

Maka :

, , = 1, 2, 3 + 1, 2, 3 + 1, 2 . 3

Jadi = 1 + 1 + 1

= 2 + 2 + 2

= 3 + 3 + 3

Dengan mengeliminir t dan k dari persamaan diatas dan memisalkan

koefisien x adalah A, koefisien y adalah B, koefisien z adalah C dan D

konstanta, maka bentuk diatas menjadi :

+ + + = 0

Yang merupakan persamaan bidang dalam koordinat siku siku

3. Mengubah Persamaan Bidang + + + = Dalam

Persamaan Vektor Bidang

Misal 0, maka =

Ambil = dan = maka =

, , =

, 0,0 +

, 1,0 +

, 0,1

Nampak bahwa bidang tersebut melalui vektor =

dan sejajar

dengan vektor- vektor

=

+

=

+

4. Persamaan Vektor Bidang Yang Melalui Suatu Titik dan

Diketahui Normalnya

Diketahui normal dan titik A

Misalkan P sebarang titik pada bidang V maka

Dengan demikian . = 0

. = 0

. . = 0

. = .

Bentuk merupakan persamaan bidang melalui

titik A dan diketahui normalnya.

Misal:

= 1 + 2 + 3

= 1 + 2 + 3

= 1 + 2 + 3

. = .

1 + 2 + 3 = , dimana = 11 + 22 + 33

Atau

1 1 + 2 2 + 3 3 = 0

1, 2dan3 dinamakan bilangan arah dari bidang V

CATATAN

Vektor normal dari bidang V yang persamaannyambh

+ + + = 0adalah = + +

Contoh :

Diketahui titik (3,2,3) dan = 3 + 2vektor normal.

Tentukan persamaan bidang melalui A dan tegak lurus

Jawab

. = .

Ambil sebarang titik (, , ) pada bidang itu, maka

. = .

3 + 2 = 15 2 + 6

3 + 2 = 19

Contoh :

Diketahui bidang + 3 4 + 5 = 0, dan titik (2,2,3) dan

titik (4,2,1)

Tentukan persamaan bidang W yang melalui AB dan tegak lurus V

Penyelesaian:

Misal dan merupakan vektor posisi dari titik A dan B, maka

= 2,2,3 , = 4,2,1 .

Dengan demikian = 2,0, 2

Jika normal V, maka = 1,3, 4

Bidang W melalui AB dan melalui ujung ujung dan serta sejajar

Bidang , W sejajar dengan

Jadi persamaan bidang W adalah :

= , , = 2,2,3 + 2,0, 2 + 1,3, 4

Dimana t dan k parameter

Dari persamaan diatas didapat:

= 2 + 2 +

= 2 + 3

= 3 2 4

Dengan mengeliminir t dan k dari persamaan terakhir didapat

+ + = 7

Contoh :

Diketahui bidang V dengan persamaan 2 + 2 = 6 dan titik

(4,9,5)

Tentukan proyeksi A pada bidang V

Penyelesaian:

Jika = 2 + 2 vektor normal bidang V, maka persamaan

vektor garis lurus yang tegak lurus V melalui A adalah = +

dimana t parameter, vektor posisi suatu titik A

= 4,9,5 + 2, 1,2 atau

= 4 + 2

= 9

= 5 + 2

Jika ini disubstitusikan pada persamaan bidang V didapat:

2 4 + 2 9 + 2 5 + 2 = 6

Didapat = 1

3

Jadi proyeksi A pada bidang V adalah (31

3, 9

1

3, 4

1

3)

Sudut Antara Dua Bidang

Misal diketahui bidang V : + + + = 0 dengan normalnya

1 = + + dan bidang W : + + + = 0 dengan

normalnya 2 = + +

Sudut antara dua bidang sama dengan sudut antar normal

normalnya. Misal A sudut diantara kedua normal itu, maka

1. 2 = 1 2 cos

cos =1 .2

1 2

Beberapa Sifat

1. Kedua bidang itu tegak lurus sesamanya apabila cos = 0 atau

1. 2 = 0

2. Kedua bidang itu sejajar apabila 1 = , 2 = , k parameter atau

=

=

=

Contoh :

Diketahui bidang V:8 + 4 + = 5

W:2 + 6 + 9 = 4

Tentukan sudut antara bidang V dan W

Jawab :

Misal 1 normal dari V, maka 1 = 8 + 4 +

2normal dari W, maka 2 = 2 + 6 + 9

cos =1.2

1 2

cos =16+24+9

64+16+1 4+36+9

cos =49

63

Jadi = cos49

63

Jarak Sebuah Titik Pada Sebuah Bidang

Diketahui bidang V dan titik A diluar V (lihat gambar)

Misal normal bidang V

Ambil suatu titik pada bidang V misalkan titik B, maka

1 = cos .. (1)

. = cos atau

cos = .

| | .. (2)

Substitusikan (2) pada (1), didapat:

1 = .

||

= .

||

Contoh :

Tentukan jarak (2, 4, 3) dari bidang V: 2 + 2 + 3 = 0

Jawab:

Misal normal dari bidang V, maka = 2 + 2

Ambil sebuah titik B pada bidang V, misal (0, 3, 3), maka

= 2 + 6

Jika d jarak A ke bidang V, maka

= .

||

=4 1 12

4 + 1 + 4=

9

3= 3

Jadi. Jarak A ke bidang V adalah 3 satuan

Latihan Soal

1. Diketahui = +

= + +

Tentukan vektor yang tegak lurus dan serta panjnagnya 1

.

2. Diketahui =

= + 3 +

Tentukan vektor yang dengan membentuk sudut 450, tegak

lurus serta panjangnya 5 2

3. Diketahui bidang V:2 + 3 4 = 7

garis h: = 1,2,3 + 1,3,2 , t parameter

tentukan :

1. Persamaan garis yang melalui titik (1,2,3) dan tegak lurus

bidang V

2. Persamaan bidang melalui h dan tegak lurus bidang V

3. Proyeksi h pada V

4. Diketahui titik 0,0,3 , 4,3,0 , 0,0,4 , (2,2,5)

1. Hitung isi bidang empat ABCD

2. Hitung jarak antara garis AB dan CD

5. Carilah persamaan bidang yang melalui titik 2,3, 4 dan tegak

lurus vektor 3 + 7 +

6. Carilah sudut antara bidang bidang dengan persamaan

2 + + = 1, + 4 + 8 = 1

7. Carilah jarak antara bidang bidang 4 + 8 = 6 dan

4 + 8 = 1

PERSAMAAN LINGKARAN

Lingkaran dengan pusat A a1, a2 dan jari jari R adalah tempat

kedudukan titik X x, y yang mempunyai jarak R terhadap titik A

Jika x dan a masing masing vektor posisi titik X dan A, maka untuk

setiap titik X pada lingkaran berlaku :

x a = R atau

Bentuk ini dinamakan persamaan vektor lingkaran yang pusatnya A

dan jari jarinya R

Karena x =< , > dan a = a1 , a2 maka

x a = x a1 , y a2

Dengan demikian x a1 , y a2 . x a1 , y a2 = R2

. = 2

1 2+ 2

2 = 2

Atau

Jika O sebagai pusat lingkaran , maka persamaan vektor lingkarannya

adalah :

x = R atau

Bila x = x, y maka bentuk diatas menjadi x2 + y2 = R2

Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Pada Lingkaran

Diketahui lingkaran dengan pusat A a, b , jari jari R dan titik

P x0 , y0 pada lingkaran

Misal persamaan vektor garis singgung yang melalui P adalah :

x = x0 , y0 + t p, q , t parameter, p dan q besaran yang akan dicari

Kita tentukan titik potong garis singgung dengan lingkaran yang

persamaannya x a 2+ y b 2 = R2

Didapat :

. = 2

(x0 + tp) a 2+ (y0 + tq) b

2 = R2

p2 + q2 t2 + 2px0 2ap + 2qy0 2bq t = 0

(silahkan pembaca mencari persamaan terakhir)

Agar garis menyinggung lingkaran haruslah diskriminannya sama

dengan 0.

Jadi , 2px0 2ap + 2qy0 2bq 2 =0, atau

x0p ap + y0q bq = 0

x0 a)p + (y0 b q = 0

p = y0 b dan q = x0 a .

Dengan demikian persamaan garis singgung yang melalui titik

P x0 , y0 pada lingkaran x a 2+ y b 2 = R2 adalah

Atau

x, y = x0 , y0 + t y0 b, x0 + a

x = x0 + t y0 b

y = y0 + t(x0 + a)

Jika t dieliminir dari kedua persamaan diatas didapat :

Contoh :

Diketahui sebuah lingkaran dengan persamaan :

x a . x a = 25

= x0 , 0 + y0 , 0 +

0 + 0 = 2

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran melalui O

a) Dalam bentuk persamaan vektor

b) Dalam bentuk koordinat siku siku

Jawab

Pusat lingkaran A(4,-3)

a. Persamaan vektor garis singgung yang melalui titik O adalah :

x = t 3,4

b. Persamaan garis singgung dalam koordinat siku siku adalah :

4 x 4 + 3 y + 3 = 25

4x + 3y = 0

Contoh :

Carilah vektor posisi titik potong garis r = ta , t parameter dengan

lingkaran r. r = R2

Jawab :

Substitusikan r = ta pada r. r = R2, didapat

ta. ta = R2

t2a2 = R2

t =R

a atau t =

R

a

Substitusikan t pada r = ta didapat :

r =R

a a atau r =

R

a a

Jadi, vektor posisi dari titik potong yang dimaksud adalah

R.a

a atau R.

a

a

Contoh

a. Carilah vektor posisi dari titik potong garis

x = x0 + ta dengan lingkaran yang persamaan

x x0 . x x0 = 14

b. Tentukan koordinat titik itu jika diketahui

x0 = 3i + 4j + 2k

a = 2i + j + 3k

Jawab :

a. Substitusikan x = x0 + ta pada x x0 . x x0 = 14 didapat

ta. ta = R2

t2a2 = R2

t =R

a atau t =

R

a

Substitusikan t pada x = x0 + ta didapat :

x = x0 +R

a . a atau x = x0

R

a . a

Jadi vektor posisi dari titik potongnya adalah :

x0 +R

a . a atau x0

R

a . a

b. Jika x0 = 3i + 4j + 2k dan a = 2i + j + 3k

Maka vektor posisinya adalah :

3i + 4j + 2k + 14

14 2i + j + 3k

= 3i + 4j + 2k 2i + j + 3k

= 5i + 5j + 5k

Atau

3i + 4j + 2k 14

14 2i + j + 3k

= 5i 3j k

LATIHAN SOAL

1. Diketahui titik N dengan vektor posisi n terletak pada lingkaran

x. x = R2

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik N

2. a. Tentukan persamaan lingkaran yang mempunyai titik pusat A

dengan vektor posisi a dan menyinggung garis x. b = k

b. Tentukan persamaan itu dalam koordinat siku siku jika

a = 2i 3j + 4k dan n = 2i j + 3k

3. Melalui titik titik potong garis r = a + tb dan lingkaran

x a 2+ y b 2 = R2 dibuat garis singgung pada lingkaran

a. Tentukan persamaan garis singgung itu dalam bentuk vektor

b. Tentukan pula persamaan dalamm koordinat siku siku, jika

diketahui :

a = 3i 2j + 3k dan b = 2i + 2j + k

PERSAMAAN BOLA

Bola dengan pusat A a1 , a2 , a3 dan jari jari R adalah tempat

kedudukan titik X x, y, z yang mempunyai jarak R terhadap titik A.

Jika x dan a masing masing vektor posisi titik X dan A maka untuk

setiap titik X pada ligkaran berlaku:

x a = R atau

Bentuk ini dinamakan persamaan vektor bola yang pusatnya A

dengan jari jari R

Karena x = x, y, z dan a = a1, a2 , a3 , maka

x

x

X

Z

Y

A

. = 2

x a = x a1 , y a2 , z a3 , dengan demikian:

x a1 , y a2 , z a3 . x a1 , y a2 , z a3 = R2 atau

x a1 2

+ y a2 2

+ z a3 2

= R2

Jika titik O sebagai pusat bola maka persamaan vektor bolaa adalah:

x = R atau x. x = R2

Bila x = x, y, z maka bentuk di atas menjadi :

x2 + y2 + z2 = R2

PERSAMAAN BIDANG SINGGUNG MELALUI TITIK PADA BOLA

Perhatikan bola dengan persamaannya:

x a . x a = R2 dan bidang V yng menyinggung bola dititik

P x0 , y0 , z0 , untuk sebarang titik Q x, y, z pada bidang V berlaku:

p a . q a = AP AQ cos

= PA PA

A

Q P

= PA 2

= R2

Jadi PA . QA = R2 , dimana p dan q masing maisng vektor posisi titk P

dan Q

Jadi persamaan vektor bidang singgung melalui titik P bola dengan

persamaannya :

p a . q a = R2

Atau

x0 , y0 , z0 a1, a2,a3 . x, y, z a1 , a2,a3 = R2

Contoh :

Titik P(5,3,4) adalah suatu titik pada bola dengan pusat A 2, 1,1 .

carilah persamaan bidang singgung pada bola melalui titik P dan

tentukan persamaan bolanya.

Penyelesaian:

Ambil sebarang titik R(x, y, z) pada bidang singgung maka

AR = x 2 i + y + 1 j + (z 1)k

PA = 3i + 4j + 3k; PA = 9 + 16 + 9 = 34

a. Persamaan bidang singgungnya:

PA . AR = R2

0 1 1 + 0 2 2 + 0 3 3 = 2

3i + 4j + 3k . x 2 i + y + 1 j + (z 1)k = 34

3 x 2 + 4 y + 1 + 3 z 1 = 34

3x 6 + 4y + 4 + 3z 3 = 34

3x + 4y + 3z = 39

b. Jika T(x, y, z) sebarang titik pada bola, maka :

AT . TA = R2

x 2 i + y + 1 j + (z 1)k . x 2 i + y + 1 j + (z

1)k = 34

x 2 2 + y + 1 2 + (z 1)2 = 34

Contoh :

a. Tentukan persamaan persamaaan bidang singgung pada bola

. = 2 yang sejajar bidang . =

b. Tentukan persamaan itu dalam koordinat siku siku, jika

= 2 3 3 dan R=4

Penyelesaian:

a. Misal bidang W dengan persamaan . = , buat bidang V yang

bidang W menyinggung bola di P dan 1, maka :

, , dan 1

Dengan demikian dan 1atau =

| |. , demikian

juga 1 =

| |.

Misal (, , ) sebarang titik pada bidang V dan vektor posisinya

, maka persamaan bidang V adalah

. = 2 atau . 1 = 2

. = 2 +

. = 2

.. = 2

.. = 2

. = . . = .

b. = 2 3 3 ; = 4 + 9 + 3 = 4

. = .

+ + . 2 3 3 = 4.4

2 3 3 = 16

Untuk bidang singgung yang satunya diserahkan pada pembaca !

Latihan Soal

1. Diketahui bola persamaannya:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + = 0dan titik

0, 0 , 0 pada bola

Tentukan persamaan bidang singgung pada bola melalui P

a. Dalam vektor

b. Dalam koordinat siku siku

2. A. Tentukan persamaan bola dengan ujung diameternya adalah

(4,2, 1) dan (6,3,2)

B. Tentukan persamaan bidang singgung bola yang melalui

kedua ujung diameter di atas

3. A. Carilah vektor posisi titik potong garis = 0 + dengan

. = 2

B. jika 0 = 4 + 2, = 3 + 3, dan R=4

Carilah vektor posisi titik potong itu dalam koordinat siku -

siku

4. A. Carilah vektor posisi titik potong garis = 0 dengan bola

0 . 0 = 2

B. Jika 0 = + 4 , = 2 + dan R=3

Carilah vektor posisi titik potong itu dalam koordinat siku -

siku

C. tentukan persamaan vektor garis Y melalui titik potong itu

dan dengan

D. Jika = 2 3, tentukan persamaan garis pada soal C.

dengan koordinat siku siku

5. Diketahui suatu bola dengan pusatP yang vektor posisinya dan

menyinggung bidang yang persamaannya;

. =

a. Tentukan persamaan bola tersebut yang dinyatakan dalam

vektor

b. Jika = 2 3

= 3 + 2

Tentukan persamaan bola yang dinyatakan dalam koordinat

siku -siku

BUKU RUJUKAN

Anthony J Pettofre, Vektors and their Aplication, Marwien Asia

Edition, Tokyo Japan, 1968.

Depdikbud, Matematika VII Transformasi, BPG Tertulis, Bandung,

1977.

Charles Mwxler, Analytic Geometry A Vector Approach, Addison

Wesley Publishing Company INc, Massachusetts, 1964

Harry Lass, Vektor and Tensor Analysis, Tosho Printing Co Ltd, Tokyo

Japan, 1966

Marternus Bruder, Ilmu Ukur Ruang, Kursus B1 / B2 , Surabaya , 1960

Moeharti Hadiwidjaja, Ilmu Ukur Vektor dan Transformasi untuk

Sekolah Menengah, Yayasan Pembina FKIE IKIP, Yogyakarta,

1972.

Murray R Spigel, Vector Analysis, Schoum Outline Series, MCGraw-

Hill International Book Company, Singapore, 1986

Soedjadi, Tranformasi Geometri , IPIEMS, Surabaya, 1979

Soejono, Geometri Analitik (pendekatan vektor ), FKIE Universitas

Udayana, 1981

L kuipers,Wirasto, Planimetri, Noordhoff Kolff N.V Jakarta, 1956