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STS 1 Variables alatoires discrtes 2009/2010

Chapitre 7 : Variables alatoires discrtes

Table des matires

I Variable alatoire 1I.1 Notion de variable alatoire discrte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.2 Loi dune variable alatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.3 Esprance dune variable alatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.4 Variance et cart-type dune variable alatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II Lois fondamentales 4II.1 Loi de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4II.2 loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II.3 loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5II.4 Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

I Variable alatoire

I.1 Notion de variable alatoire discrte

Dfinition 1Une grandeur numrique X prenant, lors dune exprience alatoire, des valeurs x1, x2,...,xn avec des

probabilitsp1, p2,...,pn est unevariable alatoire discrte.

Exemple 1Un jeu de hasard consiste lancer un d quilibr 6 faces. Le lanceur gagne la somme double de la valeur de la faceobtenue si celle-ci est paire, sinon, il perd le double de la valeur indique par le d.On appelle X le gain, positif ou ngatif, du joueur aprs un lancer.

Ici, lensemble des issues possibles est ={1;2;3;4;5;6},

on a dfini avec Xune variable alatoire relle telle que :X(1) =2, X(2) = 4, X(3) =6, X(4) = 8, X(5) =10 et X(6) = 12.

I.2 Loi dune variable alatoire

Dfinition 2Laloi de probabilitde la variable alatoireXest la fonctionfqui a chaque valeur associe sa probabilit.


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Remarque 1En gnral, on prsente la loi dune variable alatoire Xsous la forme dun tableau, qui rcapitule les valeurs

prises parXainsi que les probabilits associes.

Dans tout le reste du chapitre, on considrera la variable alatoire discrte de loi :

Valeurs de X :xi x1 x2 x3 ... xn

Probabilit : p(X=xi) p1 p2 p3 ... pn

Exemple 2On reprend lnonc de lexemple prcdent. La loi de Xest donne par :

xi 10 6 2 4 8 12

p(X=xi) 1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

Exemple 3On dispose dun jeu de 32 cartes. On tire une carte dans ce jeu, et on attribue ce tirage la valeur Xcalcule suivant largle suivante :

si la carte est un Roi, X vaut 4 points,

si la carte est une Dame, X vaut 3 points,

si la carte est un Valet, X vaut 1 point,

toutes les autres cartes valent 0 point.

La loi de Xest donne par :

xi 0 1 3 4

p(X=xi) 5

8

1

8

1

8

1

8

Remarque 2On note que pour chacun de ces tableaux, la somme des probabilits lmentaires fait 1, en accord avec lundes axiomes des probabilits !

I.3 Esprance dune variable alatoire

Dfinition 3Soit Xune variable alatoire discrte, on appelleesprance de la variable alatoireX le rel notE(X)

qui vaut :

E(X) =p1x1+ p2x2+ ... +pnxn=ni=1

pixi.

Remarque 3Ce nombre important en probabilits reprsente la valeur moyenne de la variable alatoire X.

Exemple 4On reprend le jeu de cartes tudi prcdemment.On rappelle que la loi de Xest donne par :


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xi 0 1 3 4

p(X=xi) 5

8

1

8

1

8

1

8

Do le calcul de lesprance :

E(X) = 0 5

8+ 1

1

8+ 3

1

8+ 4

1

8

E(X) =8

8 = 1.

Concretement, cela signifie "quen moyenne", le joueur gagne 1 point.

I.4 Variance et cart-type dune variable alatoire

Dfinition 4Soit X une variable alatoire alatoire discrte despranceE(X).

On appelle variance de la variable alatoireX le rel notV(X) qui vaut :

V(X) =p1[x1 E(X)]2 +p2[x2 E(X)]

2 + ... +pn[xn E(X)]2 =

ni=1

pi[xi E(X)]2.

On appellecart-typedeX le rel not(X) ou X dfini par :

(X) = V(X).

Exemple 5Calcul de la variance pour le jeu de cartes :

V(X) = 5

8[0 1]2 +

1

8[1 1]2 +

1

8[3 1]2 +

1

8[4 1]2

V(X) = 5

8+ 0 +

4

8+

9

8 =

9

4 = 2, 25.

Do lcart-type :

(X) = x=

9

4 =x=

3

2= 1, 5.

Le thorme suivant permet un calcul plus facile de la variance :

Thorme 1 (De Knig)

V(X) =p1x2

1+ p2x

2

2+ ... +pnx

2

n [E(X)]2 =

ni=1

pix2

i [E(X)]2 =E(X2) E2(X).

Exemple 6Autre mthode de calcul de la variance pour le jeu de cartes :

V(X) = 5

8 02 +

1

8 12 +

1

8 32 +

1

8 42 12

V(X) = 0 +1

8+

9

8+

16

8 1 =V(X) =

9

4= 2, 25.


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Proprit 1 La variance et lcart-type dune variable alatoire relle Xsont des nombres positifs.

Lcart-type mesure la dispersion des valeurs dune variable alatoire par rapport son esprance.

Si Xest exprim dans un certaine unit, X lest dans la mme unit.

II Lois fondamentales

II.1 Loi de Bernoulli

Dfinition 5Uneexprience de Bernoulliest une exprience qui na que deux issues possibles, lune appele succs

qui a pour probabilitp, lautre appele chec qui a pour probabilitq= 1 p.Dfinir une loi de Bernoulli de paramtre p, cest associer une loi de probabilit discrte cette

exprience alatoire en faisant correspondre la valeur1 lapparition dun succs et 0 celle dun chec.

xi 1 0

p(X=xi) p 1 p

Exemple 7Si on lance un d et quon nomme succs lapparition de la face 6, on obtient la loi de Bernoulli suivante :

xi 1 0

p(X=xi) 1

6

5

6

Proprit 2Soit Xune variable alatoire suivant une loi de BernouilliB(p), alors :

Lesprance de Xvaut E(X) =p.

La variance de Xvaut V(X) =pq.

Exemple 8Dans lexemple prcdent, on obtient E(X) =

1

6 et V(X) =

5

36.

II.2 loi binomiale


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Dfinition 6

La loi binomiale de paramtres n et p, noteB(n;p) est la loi de probabilit du nombre de succsdans la rptition den expriences de Bernouilli de paramtrep identiques et indpendantes.Elle est dfinie par :

P(X=k) =

n

k

pk qnk , 0 k n

Exemple 9On lance2 fois un d bien quilibr. On sintresse lapparition de la face6. Chaque lancer est une exprience de Bernouilli

de paramtre 16

. O.n obtient donc une loi binomialeB

2;

1

6.

nombre de succs 0 1 2

probabilit 2536

10

36

1

36

Proprit 3Soit X une variable alatoire suivant une loi Binomiale B(n, p), alors :

Lesprance de Xvaut E(X) =np.

La variance de Xvaut V(X) =npq.

Exemple 10Dans lexemple prcdent, on obtient E(X) =

1

3 et V(X) =

5

18.

II.3 loi de Poisson

La loi de Poisson modlise des situations o lon sintresse au nombre doccurrences dun vnement dansun laps de temps dtermin ou dans une rgion donne. Par exemple :

Nombre dappels tlphoniques qui arrivent un standard en x minutes, nombre de clients qui attendent la caisse dun magasin, nombre de dfauts de peinture par m2 sur la carrosserie dun vhicule . . .

Dfinition 7La variable alatoireX suit une loi de Poisson de paramtre , noteP() avec >0 lorsque sa loide probabilit vrifie :

P(X=k) =ek

k!

, k N.

Le formulaire donne pour certaines valeurs du paramtres les probabilits p(X=k), k N, les valeurs noncrites tant ngligeables. On peut aussi taper la formule directement sur la calculatrice.


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Exemple 11On considre la variable alatoire X mesurant le nimbre de clients se prsentant au guichet 1 dun bureau de poste par

intervalle de temps de dure 10 minutes entre 14h30et 16h30.On suppose que Xsuit la loi de Poisson de paramtre = 5.

Pour = 5, la table de la loi de poisson nous donne :

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

p(X=k) 0, 007 0, 034 0, 084 0, 140 0, 176 0, 176 0, 146 0, 104 0, 065 0, 036 0, 018 0, 008 0, 003 0, 001 0, 000

On peut aussi reprsenter graphiquement la loi P(5) :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0.1

La porbabilit quentre 14h30 et 14h40, 10 personnes exactement se prsentent ce guichet vaut :P(X= 10) = 0, 018.

La porbabilit quentre 15h20 et 15h30, au maximum 3 personnes se prsentent ce guichet vaut :P(X3) =P(X= 0) + P(X= 1) + P(X= 2) + P(X= 3) = 0, 265.

La porbabilit quentre 16h00 et 16h10, 8 personnes au moins se prsentent ce guichet vaut :P(X8) = 1 P(X 30) et p proche de 0, (p 0, 1) tels que np(1 p) 10, on peut approcher laloi binomialeB(n;p) par la loi de Poisson P(), o = np. On a alors :

P(X=k) k

k!e

Exemple 13Dans une chane de fabrication, 5 % des pices sont dfectueuses. On prlve 120 pices et on dsigne par X la variablealatoire qui donne le nombre de pices dfectueuses.

1. Calcul de P(X= 5) en utilisant la loi binomiale.

2. Calcul de P(X= 5) en utilisant lapproximation.


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0.1

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