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Universidade Federal de Alagoas

Instituto de Ciências e Biológicas e da Saúde

BIOB-003 – Biomatemática

Prof. Marcos Vinícius Carneiro Vital

1. A antiderivada

- Quando temos em mão a derivada de uma função, e a partir dela queremos

saber qual é a função original, então estamos procurando por uma antiderivada.

- Por exemplo: se sabemos que y’ = 2x, então sabemos que y = x2 é a

antiderivada.

- Uma derivada f ’(x) não possui uma única antiderivada!

- No exemplo acima, qualquer y = x2 + c (onde c é uma constante

qualquer) pode servir como antiderivada.

- Em geral, dada uma derivada f ’(x), existe um conjunto infinito

de antiderivadas f(x) + c, que diferem uma das outras por uma constante aditiva.

2. Integrais

2.1 Crescimento populacional

- Para compreendermos a idéia de uma integral, vamos lidar com um exemplo

que vem nos acompanhando ao longo de toda a disciplina: o crescimento populacional.

- Imagine uma população com N indivíduos em função do tempo.

Sabemos que podemos calcular sua taxa média de crescimento, que é dada por ΔN/Δt,

que para simplificar chamaremos de g.

- Podemos calcular esta taxa média para cada intervalo de tempo,

de forma que teremos valores de g1, g2, ..., gn (onde g1 = ΔN1/Δt1, etc.).

- Mas desta vez a nossa pergunta não é sobre a taxa de

crescimento, e sim sobre o incremento total da população. Ou seja, quanto a população

cresceu? Estamos falando de ∑ 𝑁𝑖; ou, para ser mais exato:

∑ 𝑔𝑖

𝑛

𝑖=1

∙ ∆𝑡𝑖

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- Mas, como nós já vimos anteriormente, a taxa média pode mudar ao longo do

tempo; ou seja, g = g(t).

- Isto significa que estaremos necessariamente cometendo erros ao

calcular nosso somatório acima...

- Uma solução é diminuir o intervalo de tempo, de forma que gi

fique cada vez mais próximo de g(ti). Para termos exatamente o aumento da população,

sem erros, temos que encontrar o limite:

lim𝑛 → ∞

∑ 𝑔(𝑡𝑖) ∙ ∆𝑡𝑖

𝑛

𝑖=1

- Onde Δti → 0

- Chamamos este limite de integral, e normalmente o descrevemos assim:

∫ 𝑔(𝑡)𝑑𝑡

𝑡𝑧

𝑡0

- Que, em português, seria lido como “integral de g(t), de t0 a tz”.

2.2 Área de uma figura plana

- Calcular a área de uma figura plana (como uma asa de um inseto, por exemplo)

é algo bastante útil para um biólogo, mas é um desafio não muito simples de ser

resolvido com precisão.

- A figura a seguir as etapas de uma das possíveis soluções para este

problema:

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- Imagine que a primeira imagem seja a asa de um inseto, e que seja do nosso

interesse calcular a sua área. O primeiro passo seria criar uma malha que nos auxiliará a

fazer este cálculo, e depois identificar os pontos centrais dos quadrados que compõem

esta malha.

- A idéia aqui é simples: se um ponto cai dentro da fronteira da asa, então

a área daquele quadrado é computada, e a soma das áreas dos quadrados que atendem a

este critério é nossa estimativa de área.

- Obviamente, este é um método que deverá gerar um erro de

medida. Uma maneira de reduzir este erro é criar uma malha mais fina, o que nos daria

maior precisão nos quadrados próximos da fronteira da asa.

- Aqui, podemos fazer um raciocínio semelhante ao do

exemplo anterior: o erro pode ser minimizado e podemos encontrar a medida exata se

criarmos uma malha com um número infinito de quadrados!

- Chegamos, mais uma vez, na idéia de integral apresentada no exemplo anterior.

Para torná-la prática, precisamos transformar a forma da asa em uma equação. A

maneira mais simples de fazer isso é pegar pequenos “pedaços” de asa que possam ser

representados graficamente como funções monotônicas. Algo assim:

- Se a curva (em preto) na figura acima é um pedaço da asa representada na

figura anterior, o que queremos saber é a área abaixo dela, entre os pontos 1 e 8 do eixo

x do gráfico.

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- Se pudermos dividir a asa em vários gráficos como este e calcular a área, então

podemos ter a medida total da área da asa!

- Na prática, isto quer dizer que transformamos aquele pedaço de asa em uma

curva que pode ser representada por uma função y = f(x), e estamos interessados em

saber a área abaixo da curva entre dois pontos do eixo x, que chamaremos aqui de a e b

(no gráfico acima, a seria x0, e b seria xn). Representaremos este intervalo como [a,b],

que é o mesmo que dizer que {x| a ≤ x ≤ b}.

- Agora dividimos a área que queremos calcular em um conjunto de retângulos,

de forma que [a,b] é dividido em n intervalos:

- x0 = a, x1, x2,..., xi,..., xn-1, xn = b

- xi – xi-1 = (b – a)/n = Δx

- As ordenadas correspondentes são:

- y0, y1, y2,...,yi,...,yn-1,yn

- Se A é a área abaixo da curva, podemos calcular seu valor aproximado de duas

maneiras diferentes:

- a soma das áreas dos retângulos abaixo da curva (os retângulos rosa da

figura);

- a soma das áreas dos retângulos que cobrem a curva (os retângulos rosa

mais os azuis);

- O primeiro caso seria uma sub-estimativa da área real, e o

segundo caso seria uma super-estimativa!

- Vamos chama a primeira de Ai (limite inferior), e a

segunda de As (limite superior).

- Volte ao gráfico acima para entender como vamos calcular cada área:

- Ai = y1Δx + y2Δx + ... + ynΔx

- As = y0Δx + y1Δx + ... + yn-1Δx

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- O nosso interesse é justamente minimizar os erros inerentes a estes dois

métodos de cálculo da área abaixo da curva; uma forma de encarar isto, é que queremos

que a diferença entre eles seja zero. A diferença entre eles, então:

- As – Ai = y0Δx – ynΔx

- Como sabemos que:

- y0 = f(x0) = f(a)

- yn = f(xn) = f(b)

- Então:

- As – Ai = (f(a) – f(b))Δx

- Voltando à nossa idéia de minimizar o erro, o que precisamos é que n tenda

para o infinito (ou seja, vamos dividir a área abaixo da curva por um número

infinitamente grande de retângulos), o que fará com que Δx tenda para zero e, por fim,

que a diferença As – Ai → 0, o que quer dizer que As e Ai tendem para o mesmo limite!

- Ou seja:

𝐴 = lim𝑛→∞

𝐴𝑖 = lim𝑛→∞

𝐴𝑠

- Ou, usando a notação de integrais:

𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

3. Integração

3.1 Encontrando uma integral

- Agora que conhecemos a idéia do que é uma integral, podemos aprender como

encontrar seu valor.

- Para isso, precisaremos das antiderivadas, vistas anteriormente.

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- Vamos partir do nosso último exemplo, que mostra a integral como a área

abaixo da curva de uma função y = f(x) em um intervalo [a, b] no eixo x. Mas vamos

fazer algumas mudanças:

- Diremos que b = x, e vamos considerar x como uma variável.

- A abscissa x pode tomar qualquer valor dentro do domínio de y = f(x)

- Chamaremos de 𝐴𝑎𝑥 a área entre o gráfico de y = f(x) e o intervalo [a, x]

- Para x = a, o intervalo fica reduzido a um único ponto;

conseqüentemente, 𝐴𝑎𝑥 = 𝐴𝑎

𝑎 = 0.

- Para valores crescentes de x, 𝐴𝑎𝑥 aumenta.

- Cada valor de x está associado a uma área 𝐴𝑎𝑥 .

- Então podemos encarar 𝐴𝑎𝑥 como uma função de x, que

vamos chamar de função de área:

- 𝐴𝑎𝑥 = 𝐹(𝑥)

- Para chegarmos a uma técnica de integração, vamos começar tentando derivar

F(x) em relação a x.

- Vamos dizer que Δx = h é um acréscimo de x, e que o novo valor da

função de área será: 𝐴𝑎𝑥+ℎ = 𝐹(𝑥 + ℎ)

- Então ΔF = F(x + h) – F(x), a região azul abaixo da curva na

figura acima, pode ter sua área aproximadamente calculada a partir da área de um de

dois retângulos possíveis: um com os lados h e f(x), e o outro com os lados h e f(x + h).

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- Como F(x), neste caso, é monotônica crescente, temos:

ℎ ∙ 𝑓(𝑥) < ∆𝐹 < ℎ ∙ 𝑓(𝑥 + ℎ)

- Então para a taxa de variação:

𝑓(𝑥) < ∆𝐹

∆𝑥 < 𝑓(𝑥 + ℎ)

- Então chegamos novamente naquele “dilema” entre dois modos de encarar a

área abaixo da curva: um que a subestima e outro que a superestima. A solução, como

sempre, é tentar encara o problema reduzindo h (que graficamente é a largura do

retângulo) para valores cada vez menores.

- Se, então, h → 0, o limite superior f(x) e o limite inferior f(x + h)

tendem para o mesmo limite f(x). Ou seja, o limite de ΔF/Δx:

𝑑𝐹

𝑑𝑥= 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)

- Ou seja: a derivada de uma função de área F(x) é a função “original” f(x).

- Ou seja: a função de área F(x)é uma antiderivada de f(x)!

- Lembrem-se que cada derivada tem um número infinito de antiderivadas,

diferentes entre si por uma constante.

- Então vamos chamar de I(i) uma antiderivada arbitrária de f(x). Nós

sabemos, então, que F(x) difere de I(x) apenas por uma constante:

𝐹(𝑥) = 𝐼(𝑥) + 𝑐

- Para o valor x = a, F(a) = I(a) + c = 0. Então, c = – I(a), e:

𝐹(𝑥) = 𝐼(𝑥) − 𝐼(𝑎)

- Agora voltamos ao intervalo [a, b] do nosso exemplo anterior:

𝐹(𝑏) = 𝐴𝑎𝑏 = 𝐼(𝑏) − 𝐼(𝑎)

- Sabemos que 𝐴𝑎𝑏 é a área abaixo da curva; ou seja, é a nossa integral! Então:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐼(𝑏) − 𝐼(𝑎)

𝑏

𝑎

- a é o limite inferior e b é o limite superior. A função a ser integrada é chamada

de integrando, x é a variável de integração, e [a, b] é o intervalo de integração.

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3.2 Passo a passo da integração

- Derivar uma função contínua f(x) dentro de um intervalo [a, b] é bem simples:

1. Encontre a antiderivada I(x) da função f(x);

2. Calcule os valores de I(a) e de I(b);

3. Subtraia I(a) de I(b), e pronto!

3.3 Integrais definidas e indefinidas

- A antiderivada I(x) é muitas vezes chamada de integral indefinida, já que a

constante c não precisa ser calculada.

- Ela é escrita sem a notação dos limites inferior e superior:

𝐼(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

- Por outro lado, quando calculamos a integral dentro de um intervalo

estabelecido, temos uma integral definida, que é univocamente determinada por a e b.

- Também podemos considerar uma integral definida na qual o limite

superior é uma variável (ou seja, b = x). Deixando de lado a demonstração, este

raciocínio nos permite chegar ao Teorema Fundamental do Cálculo Integral, que

mostra que derivação e integração são operações inversas:

𝑑

𝑑𝑥∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥)

𝑥

𝑎

3.4 Algumas regras

- Assim como no caso das derivadas, algumas regras simples podem nos ajudar

no processo de integração de uma função:

- O intervalo de integração pode ser desmembrado em subintervalos:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑐

𝑐

𝑎

𝑏

𝑎

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- Permutar os limites muda o sinal da integral:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑎

𝑏

𝑏

𝑎

- A soma das funções é integrada termo a termo:

∫[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

- Um fator constante que multiplica o integrando, pode ser “colocado na

frente” do sinal de integral:

∫ 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

EXERCÍCIO RESOLVIDO 1

Suponha que você esteja tentando determinar a área da asa de um inseto,

dividindo-a em várias partes como mostrado no exemplo desta aula. Uma das partes

desta asa tem a sua curvatura dada pela função:

y = 1200 – 3x2

1.1. Encontre a integral definida da função acima dentro do intervalo [1; 14].

Calcular uma integral envolve descobrir a antiderivada de uma função, substituir

os valores de a e b (que neste caso são 1 e 14, respectivamente), e calcular a diferença

entre eles (ou seja: I(b) – I(a)). Vamos por partes.

Sabemos que podemos “quebrar” as funções em pedaços para encontrar a

antiderivada de cada termo. Então temos que achar a antiderivada de:

1200

3x2

Nos dois casos, temos que ter em mente a regra sobre a derivada de uma

potência. Vamos calcular a derivada de cada termo (vou omitir a constante c, já que ela

vai desaparecer quando calcularmos subtrairmos uma antiderivada de outra).

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O primeiro é o mais fácil:

I(1200) = 1200x

O segundo também é simples:

I(3x2) = x3

Então:

I(1200 – 3x2) = 1200x – x3

Agora o trabalho é ainda mais simples: basta encontrarmos I(b) – I(a) e temos a

integral da nossa função! Como sabemos que o intervalo [a, b] é [1, 14], então tudo que

temos a fazer é substituir os valores:

I(b) – I(a) = I(14) – I(1) = (1200 ∙ 14 – 143) – (1200 ∙ 1 – 13) = 12857

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 12857

14

1

Que é a área abaixo da curva desta função, e representa a área daquele “pedaço”

da asa do inseto.

Imagine agora que um outro pedaço da asa tenha a sua curvatura dada pela função:

y = 150x1/2

1.2. Encontre a sua integral definida dentro do intervalo [1; 14].

Parece complicado, mas no fundo não é. Existem algumas maneiras diferentes

para chegar ao resultado correto, e vou usar aquela que considero mais simples e

intuitiva.

Veja bem, temos uma regra que nos diz que: (xn)’ = nxn-1, que a mesma regra que

usamos nos dois casos anteriores; adicionalmente, podemos nos aproveitar da regra que

diz que ∫ 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

A segunda regra nos permite deixar a constante 150 de lado, e multiplicar no

final após calcularmos a antiderivada de x1/2. Para calcular esta antiderivada, vamos usar

a primeira regra apresentada no parágrafo anterior. Nosso primeiro passo é constatar

que n -1 é ½, então:

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(n – 1) = ½

n = ½ + 1

n = 3/2

Porém, ainda não sabemos a antiderivada, pois a derivada de x3/2 seria 3/2 ∙ x1/2. Então

há algo que multiplica nossa antiderivada que, quando multiplicado por 3/2, dá um. Ou

seja, há um valor c qualquer que:

c ∙ 3/2 = 1

c = 2/3

Então podemos concluir que:

I(x1/2) = 2/3 ∙ x3/2

O 150 foi deixado de lado, e agora podemos voltar a ele, bastando multiplicá-lo

por 2/3 (e o resultado é 100). Então nossa antiderivada é:

I(150x1/2) = 100 ∙ x3/2

Agora só falta encontrar o valor de I(b) – I(a) de novo. A conta parece de novo

ser complicada, mas podemos simplificá-la:

100 ∙ x3/2 = 100 ∙ (x2/2 ∙ x1/2) = 100 ∙ (x ∙ x1/2)

Que é muito mais fácil de se resolver (lembrando que x1/2 é o mesmo que raiz

quadrada de x).

I(b) – I(a) = I(14) – I(1) = (100 ∙14 ∙ 141/2) – (100 ∙ 1 ∙ 11/2) = 5238,32 – 100 = 5138,32

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 5138,32

14

1

Que é a área abaixo da curva desta outra função!

EXERCÍCIO RESOLVIDO 2

Um pesquisador realizou um corte histológico para medir a área de um tecido

afetada por uma inflamação. Ele dividiu o corte em setores quadriculados, e para cada

quadrado na “fronteira” da inflamação ele definiu uma função que descrevesse a

curvatura da linha que separa tecido inflamado de tecido normal. Tendo em mente que a

integral de uma função nos dá o valor da área abaixo da curva, calcule as integrais de:

2.1. 𝑦 = 200 𝑥1/2 + 2𝑥, em [1, 7]

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O procedimento é o mesmo do exercício anterior: encontrar as antiderivadas e

substituir os valores. Então vamos direto aos resultados:

I(200 𝑥1/2) = 133,3 ∙ x3/2

I(2x) = x2

Então:

I(200 𝑥1/2 + 2𝑥) = 133,3 ∙ x3/2 + x2

Substituindo:

I(b) – I(a) = I(7) – I(1) = 133,3 ∙ 73/2 + 72 – (133.3 + 1) = 2383,4

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2383,4

7

1

2.2. 𝑦 = 700 − 4𝑥3, em [1,4]

Novamente, encontrando as antiderivadas e substituindo:

I(700) = 700x

I(4x3) = x4

Fique atento para não esquecer do sinal negativo dentro da função!

I(700 − 4𝑥3) = 700x – x4

I(b) – I(a) = 700 ∙ 4 – 44 – (700 – 1) = 1845

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1845

4

1